ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR − 4
( FONKSİYON TÜRLERİ )
FONKSİYONLAR BÖLÜM 4
UYARI
B i r f on k s i yo n u n g r af i ğ i n d e n b i r e − b i r o l u p
o l m a d ığ ın ı a n l am a k i ç i n v e r i l e n t a n ım
a r a l ığ ın d a ç i zi l e n ya t a y d o ğ r u l a r ın
s a d e c e b i r d ef a g r af i ğ i k es m e s i n i i s t e r i z
FONKSİYON TÜRLERİ:
BİRE−BİR FONKSİYON
f : A →B f on k s i yo n u i ç i n x 1 ≠ x 2 i ç i n
f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) o l u yo r s a ; ya n i f a rk l ı
e l em a n l a r ı n g ö r ü n t ü l e r i d e f a r k l ı i s e f
f o nk s i yo n u n a b i r e − b i r f on k s i yo n d e n i r.
y
Örneğin;
y=f(x)
Ş ek i l d ek i g i b i
g r af i ğ i o l a n f ,
bire−bir
f o nk s i yo n d u r
Örnek...1 :
A = { 0 , 1 , 2 } k üm e s i n d e n r e e l s a yı l a r a t a n ım l ı
f (x ) = x ³ f o n k s i yo n u b i r e b i r m i d i r ?
x
0
y
y=f(x)
www.matbaz.com
Örnek...2 :
R e e l s a yı l a r a t a n ı m l ı , f ( x )= 3 x + 5 f on k s i yo n u
bire bir midir?
Örnek...3 :
Ş ek i l d ek i g i b i
g r af i ğ i o l a n f ,
b i r e − b i r f o nk s i yo n
d e ğ i l d i r.
0
x
UYARI
A d a n A ya (k ıs a c a A ' d a ) t a n ım l ı b i r e b i r
f on k s i yo n a p e r m ü t a yo n f on k s i yo n u d a
d e n i r.
A = { 0 , 1 , 2 } k üm e s i n d e n r e e l s a yı l a r a t a n ım l ı
f (x ) = x ² − x f on k s i yo n u b i r e b i r m i d i r ?
ÖRTEN FONKSİYON
f : A →B f o nk s i yo n u i ç i n f (A ) = B i s e f
f on k s i yo n u ö r t e n b i r f on k s i yo n d u r.
Ta n ım a g ö r e f f o nk s i yo n u n , B k üm e s i n i n
t ü m e l e m a n l a r ın ı A k üm e s i n i n
e l e m a n l a r ı yl a e ş l e ş t i r d i ğ i s o n u c u n u
ç ık a r ır ı z .
Örnek...4 :
f
y
Ş e k i l d e g r af i ğ i
v e r i l e n f o nk s i yo n R
d e b i r e − b i r m id i r ?
y=f(x)
x
0
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
A
B
•
•
•
•
•
•
1/7
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR − 4
( FONKSİYON TÜRLERİ )
UYARI
UYARI
B i r f o nk s i yo n u n g r a f i ğ i n d e n ö r t e n o l u p
o lm a d ı ğ ı n ı a n l a m ak i ç i n v e r i l e n d e ğ e r
k üm e s i n i n h e r d e ğ e r i i ç i n ç i zi l e n ya t a y
d o ğ r u l a r ı n g r a f i ğ i e n a z b i r d ef a
k e sm e s i n i i s t e r i z.
İ ç i n e l i k v e Ö r t e n l ik b i r b i r i n i n t e r s i d i r.
Örnek...7 :
F o nk s i yo n l a r ı i n c e l e yi n i z, ö r t e n o l u p
o lm a d ık l a r ın ı b e l i r t i n i z
Örnek...5 :
y
Ş e k i l d e g r af i ğ i
verilen
f on k s i yo n r e e l
s a yı l a r d a
t a n ım l ı d ı r. B u
f on k s i yo n u n
ö r t e n o lm a s ı
için değer
k üm e s i n e
olmalıdır?
−1
y=f(x)
2
f (x)= x 2−1
x +1
2 ) f : ℝ→ℝ,
f (x)= √ x
3
x
4
0
1 ) f : ℝ→ℝ,
Örnek...8 :
G r af ik l e r i i n c e l e yi n i z . Ta n ım a r a l ık l a r ı n d a
v e r i l e n f on k s i yo n l a r ı n ö r t e n v e ya i ç i n e o l u p
o lm a d ık l a r ın ı b e l i r t i n i z
−3
f : ℝ→ℝ
www.matbaz.com
y
Örnek...6 :
y
f: ( ∞ ,2] → K
f on k i yo n u ö r t e n s e
en geniş K
k üm e s i n i ya z ı n ı z.
y=f(x)
8
2
y=f(x)
x
0
−5
f : ℝ→ℝ
y
x
−6
0
y=f(x)
2
x
İÇİNE FONKSİYON :
f : A →B f on k s i yo n u i ç i n f ( A ) ≠ B i s e f
f o nk s i yo n u i ç i n e b i r f o nk s i yo n d u r.
Ta n ı m a g ö r e f f on k s i yo n u n B k üm e s i n d e A
k üm e s i n i n e l e m a n l a r ı yl a e ş l e ş t i rm e d i ğ i
e lm a n l a r i ç e r d i ğ i s o n u c u n u ç ı k a r ı r ı z.
f
B
•
•
•
•
•
•
•
+
f : ℝ →ℝ
A
•
0
+
y
y=f(x)
x
0
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
2/7
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR − 4
( FONKSİYON TÜRLERİ )
SABİT FONKSİYON
Örnek...9 :
Ta n ım k üm e s i n i n h e r e l em a n ın ı n
g ö r ü n t ü s ü a yn ı o l a n f on k s i yo n a s a b i t
f on k s i yo n d e n i r.
Ö r n e k ; A = { 0 , 1 , 2 } k üm e s i n d e n r e e l
s a yı l a r a t a n ım l ı f ( x )= 5 f o nk s i yo n u s a b i t
f on k s i yo n d u r.
H a n g i l e r i r e e l s a yı l a r k ü m e s i n d e b i r e b i r v e
örtendir?
y
y
y=f(x)
y=g(x)
x
0
Örnek...11 :
x
f : ℝ →ℝ, f(x)=(k−2)x 3+(m+3 )x+km
f o nk s i yo n u s a b i t f o nk s i yo n i s e f ( − 2 3 ) = ?
0
y
y
x
0
x
0
y
www.matbaz.com
y=k(x)
y=h(x)
Örnek...12 :
4x 2−(a−2)x+b+2
x2 +x+5
f o nk s i yo n u s a b i t f o nk s i yo n i s e a+ b = ?
f : ℝ →ℝ,
f(x)=
y=m(x)
0
x
Örnek...13 :
Örnek...10 :
s ( A ) = n 2 − n v e s ( B ) = 5 n A k üm e s i n d e n B
k üm e s i n e t a n ı m l ı b i r f f o n k s i yo n u b i r e b i r
d e ğ i l am a ö r t e n s e i s e s ( A ) e n a z k aç t ı r ?
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
A= { x , x∈ℤ ,∣x−2∣≤2 } o lm a k ü ze r e A
k üm e s i n d e k aç t a n e s a b i t f o nk i yo n
t a n ım l a n ı r ?
3/7
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR − 4
( FONKSİYON TÜRLERİ )
BİRİM FONKSİYON
UYARI
A k üm e s i n d e n A k üm e s i n e t a n ı m l ı b i r f
f o nk s i yo n u h e r e l e m a n ı k e n d i s i yl e
e ş l i yo r s a f f on k s i yo n u n a s a b i t f o nk s i yo n
d e n i r. B i r i m f on k s i yo n g e n e l l i k l e I ( x ) i l e
g ö s t e r i l i r.
1 . D o ğ r u s a l f o nk s i yo n l a r r e e l s a yı l a r d a
b i r e − b i r v e ö r t e n f o nk s i yo n l a r d ır.
2 . y=f (x)=ax+b f o nk s i yo n u n g r a f i ğ i n i
ç i zm e k i ç i n i k i n o k t a b u l u r v e g r a f i ğ i b u
n o k t a l a r d a n g e ç e c ek ş e k i l d e ç i ze r i z.
y
y=f(x)=x
Örnek...17 :
0
y=f (x)=3x−6 f o nk s i yo n u n g r a f i ğ i n i ç i zi n i z
x
Örnek...14 :
f : ℝ →ℝ, f(x)=(k 2−4 )x2 +(k+3 )x+k−m
f on k s i yo n u b i r im f o nk s i yo n i s e f (k m ) = ?
Örnek...15 :
f : ℝ →ℝ, y=f (x) f on k s i yo n u b i r im f o nk s i yo n
v e f (g ( x ) ) + f ( x 3 )+ x = x 3 − 4 x + 7 i s e g ( 1 ) k a ç t ır ?
www.matbaz.com
Örnek...18 :
y=f (x)=
−x
f o nk s i yo n u n g r a f i ğ i n i ç i zi n i z
4
Örnek...19 :
DOĞRUSAL FONKSİYON
a ∈ℝ,b ∈ℝ, a≠0 k o ş u l u yl a y=f (x)=ax+b
b i ç im i n d ek i f on k s i yo n l a r a d o ğ r u s a l
f o nk s i yo n d e n i r.
D o ğ r u s a l f on k s i yo n l a r ı n g r af ik l e r i
d ü zl em d e d o ğ r u b e l i r t i r.
Ya n d a k i g r a f ik y= f ( x ) i n
g r af i ğ i o l m a k ü ze r e ,
g ( x )= f ( x − 6 ) b i ç i m i n d e
t a n ım l a n a n g
f o nk s i yo n u n u n
ek s e n l e r l e o l u ş t u r d u ğ u
b ö l g e n i n a l a n ı k a ç b i r im
karedir?
y
x
0
y=f(x)=−2x
Örnek...16 :
y=f (x) d o ğ r u s a l f on k s i yo n v e f ( 2 )= 6 v e
f (3 ) = 9 i s e f (0 ) d e ğ e r i n i h e s a p l a yı n ı z .
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
4/7
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR − 4
( FONKSİYON TÜRLERİ )
HATIRLATMA
UYARI
−b
2a
d o ğ r u s u n a g ö r e s i m e t r i k o l u p yi n e x e b u
d e ğ e r v e r i l d i ğ i n d e a s a yı s ı n a b a ğ l ı o l a r ak
e n b ü yü k v e ya e n k üç ü k d e ğ e r i n i a l ır.
Ç i zi l m i ş d o ğ r u s a l f on k s i yo n l a r ı n k u r a l ın ı
b u lm a k i ç i n
y=f (x)=ax 2+bx +c f o nk s i yo n l a r ı r=
a ) n ok t a l a r s ı r a d a n n ok t a l a r i s e
y= f ( x ) = m x + n if a d e s i n d e n o k t a l a r ye r i n e
k o n u r v e m i l e n b u l u n u r.
b ) ek s e n l e r i k es t i ğ i n o k t a l a r A ( a , 0 ) v e
x f (x)
+
=1
B(0,b) olan noktalar ise
a
b
e ş i l i ğ i n d e n f (x ) ç e k i l e b i l i r.
Örnek...22 :
R e e l s a yıl a r d a t a n ım l ı y=f (x)=x2 +6x+1
f o nk s i yo n u n u n g ö r ü n t ü k üm e s i n i n e n k üç ü k
d e ğ e r i k aç t ır ?
Örnek...20 :
G r a f i ğ i v e r i l e n f o nk s i yo n u n k ur a l ı n ı b u l u n u z
y
y
y=f(x)
A(−2,1)
3
x
0
0
y=g(x)
PARABOLİK FONKSİYONLAR
a ∈ℝ,b ∈ℝ, c∈ℝ ,a ≠0 k oş u l u yl a
y=f (x)=ax2+bx +c b i ç i m i n d e k i
f o nk s i yo n l a r a p a r a b o l i k f o nk s i yo n d e n i r.
P a r a b o l ik f on k s i yo n l a r ı n g r af ik l e r i
d ü zl em d e p a r a b o l b e l i r t i r.
www.matbaz.com
x
−2
HATIRLATMA
P a r a b o l g r af i ğ i n i ç i zm ek i ç i n 3 n o k t a ya
ye t e r l i d i r. ( B a ze n t e p e n o k t a s ı v e
ç u k u r l u ğ u n yö n ü d e ye t e r l i o l a b i l i r )
G r a f i ğ i n g e n e l ş ek l i u i l e v a r a s ın d a d ır
( k o l l a r yu k a r ı d u r um l u i s e ) . B u n o k t a l a r
g e n e l l i k l e g r af i ğ i n e k s e n l e r i k es t i ğ i
n o k t a l a r v e t e p e n ok t a s ıd ı r
Örnek...23 :
2
y=f (x)=x −2x −8 f on k s i yo n u n g r af i ğ i n i ç i zi n i z
Örnek...21 :
f : ℝ →ℝ, f(x)=(a +3)x 3+(b−2)x 2+bx +b−3
f o n k s i yo n u n g r af i ğ i o r j i n d e n g e ç e n b i r
p a r a b o l i s e b u g r af i ğ i n x e k s e n i n i k e s t i ğ i
d i ğ e r n ok t a yı b u l u n u z .
Örnek...24 :
y=f (x)=x2 f on k s i yo n u n g r af i ğ i n i ç i zi n i z .
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
5/7
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR − 4
( FONKSİYON TÜRLERİ )
HATIRLATMA
PERMÜTASYON FONKSİYONU
P a r a b o l l e r i n t a n ım k üm e l e r i
s ı n ı r l a n d ı r ı lm a zs a b i r e b i r d e d e ğ i l d i r,
ö r t e n d e d e ğ i l d i r. Ta n ı m v e d e ğ e r
k üm e l e r i n e g ö r e b i r e b i r v e ya ö r t e n
ya p ı l a b i l i r l e r.
f : A →A f o nk s i yo n u b i r e b i r v e ö r t e n b i r
f on k s i yo n a f ye A d a b i r p e r m ü t a s yo n
f on k s i yo n u d e n i r.
Ö r n e ğ i n A= { a , b , c } d e t a n ım l ı f = { ( a , b ) ,
( b , c ) , ( c , a ) } f o nk s i yo n u b i r e b i r v e ö r t e n
o l d u ğ u i ç i n b i r p e rm ü t a s yo n
a b c
f on k s i yo n u d u r. B u f o n k s i yo n f=
b c a
o l a r a k d a s ık l ık l a b e l i r t i l i r.
(
Örnek...25 :
2
f : ℝ →ℝ, f(x)=x −10x+21 f on k s i yo n u n
g ö r ü n t ü k üm e s i n i b u l u n u z ?
)
Örnek...27 :
(
)
a b c
c a b
p e rm ü t a s yo n f on k s i yo n u i ç i n {f ( b ) ,f ( c ) }
k üm e s i n i ya z ı n ı z ?
Örnek...26 :
f :(3,8) → K, f (x)=x 2−4x+10 f on k s i yo n u n
g ö r ü n t ü k üm e s i n d e k aç f ar k l ı t a m s a yı v a r d ır ?
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
A= { a , b , c } k üm e s i n d e t a n ım l ı f=
Örnek...28 :
s ( A )= n o l m ak ü ze r e A d a k aç t a n e
p e rm ü t a s yo n f on k s i yo n u t a n ım l a n a b i l i r ?
6/7
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR − 4
( FONKSİYON TÜRLERİ )
DEĞERLENDİRME
1)
f : ℝ →ℝ,
f(x)=
5)
(p−2)x 3 +3x 2 −(a−2)x+k
x 2+x+5
Grafiği verilen y=f(x)
fonksiyonu için f(f(f(3))) =?
y=f(x)
y
A(1,3)
x
fonksiyonu sabit fonksiyon ise f(k)=?
0
f : ℝ →ℝ,
f (20x 2 +6x +2)=(k2 +4)x 2+(m+3 )x+c−m
fonksiyonu birim fonksiyon ise ise k.m.c en az kaç
olabilir?
3) s(A)=5 olmak üzere A da tanımlanabilecek en
fazla kaç değişik permütasyon fonksiyonu
tanımlanabilir?
6)
f : ℝ →ℝ, f(x)=x 2−2x−15 fonksiyonun simetri
eksenini belirleyiniz ve grafiğini çiziniz.
7)
f : [3,8] →K , f (x)=x −2x +4 fonksiyonu bire bir
ve örtense K kümesi ne olabilir?
www.matbaz.com
2)
2
4) A={a,b,c,d} olmak üzere f(a)=b olacak şekilde
A kümesinde kaç tane birebir fonkiyon
tanımlanır
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
7/7
Download

Özel Tanımlı Fonksiyonlar 4.Bölüm