Önsöz
Değerli Öğrenciler,
Bu fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza
yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak şekilde hücrelere ayrılarak işlenmiştir.
Öğrenci ve öğretmenlere kolaylık olması için konu sırası ve kapsamı Milli Eğitim Bakanlığı müfredatı ile tam uyumludur. Fasikül baştan sona kazanım temelli hazırlanmıştır. Her hücre bir kazanımla ilişkilendirilmiştir.
Fasikül aşağıdaki bölümlerden oluşmaktadır,
Bilgi Kavrama Kutusu: Anlamlı en küçük hücredir. Önce kısa, temel bir bilgi verilir daha sonra da bu
bilginin kavranması için örnek çözümler yapılır.
Uygulama Kutusu: Bilgi kavrama kutusundaki bilginin uygulaması niteliğindedir. Bilgi dikkatle okunup,
çözümlü örnekler incelenirse bu bölümdeki sorular kolaylıkla çözülür.
Kontrol Testi: Birkaç hücrenin birleştirilerek anlamlı bir bütün oluşturduğu bölümdür. Birkaç bilgi kavrama kutusundan sonra verilen ve bu hücrelerdeki bilgilerin birleştirilmesi ile çözülebilecek sorulardan
oluşur.
Karma Test: Fasikülün sonundaki bölümdür. Sorular ilk 2-3 testte konu sırasına göre gelir. Diğer testlerde karma sorular vardır. Sorular giderek zorlaşır. Tüm bilgi- kavrama kutularını birleştiren bölümdür.
Fasikül Programlı Öğretim yöntemine ve Bloom ‘un “Eğitsel Hedeflerin Taksonomisi” ne göre hazırlanmıştır. Bireysel öğrenmeyi kolaylaştıran “Küçük Adımlar İlkesi”, “Bireysel Hız İlkesi”, “Aşamalı İlerleme
İlkesi” gibi ilkeler gözetilmiştir.
Programlı öğretim kendi kendine ve bir sınıf içinde aşamalı öğrenme yöntemidir. Bilginin özel parçalara veya temel öğelere ayrılarak belirli bir sıraya göre düzenlenip bireysel esasa göre öğrenilebileceği
varsayımına dayanmaktadır. Öğretimin bireyselleşmesi ve tam öğrenme ilkeleri temele alınmaktadır.
Programlı öğretim öğrencinin öğrenme sürecine etkin katılımını, bireysel öğrenme hızına göre
ilerleme kaydetmesini ve öğrenme sonucunun anında kontrol edilmesini sağlayan bir öğretim tekniğidir.
Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda
başarılar dilerim.
Üveys AKKAYA
[email protected]
5
Neden Öğreneceğiz?
Drichlet fonksiyonu değişkenler arası ilişki olarak tanımlamıştır. Cantor tarafından kümeler
teorisi ortaya atıldıktan sonra fonksiyon kavramı daha geniş anlamda iki küme arasındaki yapılan eşlemeler olarak algılanmaya başlandı.(Ponte, 1992)
Tanım nasıl algılanırsa algılansın fonksiyon iki küme veya iki değişken arasındaki ilişkiyi ortaya koyar. Sayı doğrusunda eşleştirme, toplama, çıkarma, simetri, öteleme, limit, türev… bu
eşleştirme veya ilişkilere örnektir. Lise müfredatında bulunan konuların tamamı küme teorisi
üzerine inşa edildiğine ve fonksiyonun da iki küme arasındaki eşleştirmeler olarak algılandığını
düşünürsek, lise müfredatının her konusunda fonksiyonun doğrudan veya dolaylı bir şekilde var
olduğunu görürüz.
Fonksiyonel düşünce en genel manada nitel veya nicel çokluklar arasındaki ilişkilerin incelenmesi sürecinde kullanılan akıl yürütme tarzı olarak adlandırılır. Tanım bu kadar geniş olunca
fonksiyonel düşünce insan hayatında karşılaştığı birçok problemin çözümünde ortaya çıkar.
Fonksiyonel düşüncenin gelişmesi, fonksiyon kavramının ve işlemlerinin iyi kavranması ve
özümsenmesi ile olur.
Fonksiyonun ister matematik konularındaki önemi, isterse fonksiyonel düşünce tarzını oluşturmadaki gücünü göz önüne aldığımızda, hem müfredatta hem sınavlarda hem de sağlam bir
düşünce tarzı geliştirmede vazgeçilmez bir kavram olduğu ortaya çıkıyor.
Ne Öğreneceğiz? (Kazanımlar)
1. Fonksiyon kavramı, fonksiyon çeşitleri ve ters fonksiyon kavramlarını açıklar.
2. Verilen bir fonksiyonun artan, azalan ve sabit olmasını açıklar; verilen bir fonksiyonun
artan, azalan veya sabit olduğu aralıkları belirler.
3. Çift fonksiyonu ve tek fonksiyonu açıklar, grafiklerini yorumlar.
4. Verilen bir fonksiyonun en geniş tanım kümesini belirler.
5. Parçalı fonksiyonun grafiğini çizer, uygulamalar yapar.
6
İçindekiler
Önsöz........................................................................................................................................................... 5
Ne Öğreneceğiz? (Kazanımlar)..................................................................................................................... 6
İçindekiler..................................................................................................................................................... 7
Bilgi Kutusu 1 (Kazanım No 1) ..................................................................................................................... 8
Uygulama Kutusu 1...................................................................................................................................... 9
Bilgi Kutusu 2 (Kazanım No 1).................................................................................................................... 10
Uygulama Kutusu 2.................................................................................................................................... 11
Bilgi Kutusu 3 (Kazanım No 1).................................................................................................................... 12
Uygulama Kutusu 3.................................................................................................................................... 13
Bilgi Kutusu 4 (Kazanım No 2).................................................................................................................... 14
Uygulama Kutusu 4.................................................................................................................................... 15
Bilgi Kutusu 5 (Kazanım No 3).................................................................................................................... 16
Uygulama Kutusu 5.................................................................................................................................... 17
Kontrol Testi 1......................................................................................................................................18-19
Bilgi Kutusu 6 (Kazanım No 4).................................................................................................................... 20
Uygulama Kutusu 6.................................................................................................................................... 21
Kontrol Testi 2......................................................................................................................................22-23
Bilgi Kutusu 7 (Kazanım No 5)................................................................................................................... 24
Uygulama Kutusu 7.................................................................................................................................... 25
Bilgi Kutusu 8 (Kazanım No 5).................................................................................................................... 26
Uygulama Kutusu 8.................................................................................................................................... 27
Bilgi Kutusu 9 (Kazanım No 5).................................................................................................................... 28
Uygulama Kutusu 9.................................................................................................................................... 29
Kontrol Testi 3......................................................................................................................................30-31
Bilgi Kutusu 10 (Kazanım No 5)................................................................................................................. 32
Uygulama Kutusu 10.................................................................................................................................. 33
Bilgi Kutusu 11 (Kazanım No 5).................................................................................................................. 34
Uygulama Kutusu 11.................................................................................................................................. 35
Bilgi Kutusu 12 (Kazanım No 5).................................................................................................................. 36
Uygulama Kutusu 12.................................................................................................................................. 37
Bilgi Kutusu 13 (Hatırlatmalar).................................................................................................................... 38
Uygulama Kutusu 13.................................................................................................................................. 39
Kontrol Testi 4......................................................................................................................................40-41
Karma Test 1.........................................................................................................................................42-43
Karma Test 2.........................................................................................................................................44-45
Karma Test 3.........................................................................................................................................46-47
Karma Test 4.........................................................................................................................................48-49
Karma Test 5.........................................................................................................................................50-51
Karma Test 6.........................................................................................................................................52-53
Çözümler...............................................................................................................................................54-55
2014-2015 Ünitelendirilmiş Yıllık Plan Örneği........................................................................................56
7
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 1: Kartezyen Çarpım - Bağıntı
• a, b ! R olmak üzere (a, b) ikilisine "sıralı ikili", kısaca "ikili" denir.
• Birinci bileşeni A'dan ikinci bileşeni B'den alınarak oluşturulan tüm ikililerin kümesine A kartezyen B denir.
A x B = {(a, b) | a ∈ A ve b ! B} dir.
• s(A x B) = s(A) . s(B)
• Ax (B ∪ C) = (AxB) ∪ (A xC) , A ≠ B için AxB ! BxA dır.
• AxB'nin her alt kümesine A'dan B'ye bir bağıntı denir.
A'dan B'ye 2 s^Ah.s^Bh tane bağıntı tanımlanır.
• A'dan B'ye bir bağıntı b ={(x, y) | x! A, y! B} ise b 'nın tersi,
b –1={(y, x) | (x, y)! b } yani (x, y) ! b , (y, x)! b –1 dir.
Örnek 1:
Örnek 3:
s(A) = 4 ve s(B) = 2 ise A'dan B'ye kaç tane
A = {1, 2, 3, 4, 5}
bağıntı tanımlanır?
olmak üzere
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
β = {(x, y) | x + 2y = 15 . x! A, y! B}
bağıntısının eleman sayısını ve b –1 bağıntısını
Çözüm:
bulalım.
s(AxB) = s(A) . s(B) = 4 . 2 = 8
AxB'nin alt küme sayısı 28 dir.
AxB'nin her alt kümesi A'dan B'ye bir bağıntı
olduğundan A'dan B'ye 28 tane bağıntı tanımlanır.
Çözüm:
x + 2y = 15 olması için
x=1 3 5
y = 7 6 5'dir.
b ={(1, 7), (3, 6), (5, 5)} , s( b ) = 3 olur.
(x, y) ! b iken (y, x)! b –1 olduğundan
b –1 = {(7, 1), (6, 3), (5, 5)} dır.
Örnek 2:
A = {1, 2, 3, x}
B = {1, 2, 3 3x–10}
AxB = BxA ise x kaçtır?
Çözüm:
AxB = BxA ise A = B'dir.
8
A = B ise
x = 3x–10
10 = 2x
5 = x olur.
UYGULAMA KUTUSU 1
1.
(x – 3, 5) = (4, y3 + 4)
olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
4.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
B = {(x,y) | x . y = 12, x! A, y! A}
olarak tanımlanıyor. Buna göre B bağıntısının
eleman sayısı kaçtır?
A) 2
2.
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A = {x : x, 3'ün katı olan rakamdır}
olduğuna göre AxA kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
A) 4
B) 9
C) 16
D) 25
E) 36
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
5.
B = {(x,y) | x . y = 480, x, y! N}
olarak tanımlanan bağıntısnın eleman sayısı
kaçtır?
A) 48
B) 36
C) 24
D) 18
E) 12
3. A'dan A'ya 48 tane bağıntı tanımlanabildiğine göre A kaç elemandır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
1. D 2. C 3. C 4. E 5. C
9
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 2: Fonksiyonun Tanımı
• A ve B boş olmayan iki küme olsun. A'dan B'ye tanım-
A
B
f
lanan f bağıntısı aşağıdaki şartları sağlıyorsa f'ye A'dan
B'ye bir fonksiyon denir ve f : A " B
x•
y = f (x) şeklinde gösterilir.
Tanım
kümesi
1. Her x! A için (x, y)! f olacak şekilde y! B vardır.
•y
y = f(x)
Değer kümesi
2. A'daki her eleman B'deki yalnız bir elemanla f(A) : Görüntü kümesi Görüntü kümesi
eşleşmelidir. Yani (x, y), (x, z)! f ise y = z dir.
• Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını belirlemek için düşey doğru testi uygulanır. Grafikte y eksenine paralel doğrular çizilir. Her doğru grafiği birden fazla noktada kesmemelidir.
• I (x) = x fonksiyonu birim fonksiyondur.
c)
Örnek 1:
A
Aşağıdaki açıklamaları inceleyiniz.
A
f
A'daki her eleman eşleşmiştir.
A'daki her eleman B'deki yalnız bir elemanla
eşleşmiştir. Bundan dolayı f, A'dan B'ye fonk-
B
•1
•2
•3
B
•1
•2
•3
•4
•a
•b
•c
k
•a
•b
•c
k fonksiyondur.
Örnek 2:
Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
siyondur.
a) b)
b)
A
•a
•b
g
B
•1
•2
•3
fonksiyondur
c)
fonksiyon değildir
d)
a elemanı hem 1 hem de 3 ile eşleştiğinden
yani (a, 1), (a, 3)! g olduğundan g fonksiyon
değildir.
fonksiyondur
10
fonksiyon değildir
UYGULAMA KUTUSU 2
1.Aşağıdaki bağıntıların fonksiyon olup olmadığını belirtiniz.
a)
A
f1
2.Aşağıda grafikleri verilen bağıntıların fonksiyon olup olmadığını belirtiniz.
a)
B
f
•1
•a
y
•2
x
•3
b)
C
f2
b)
D
•a
•1
•b
•2
•c
•3
y
g
x
c)
d)
E
f3
F
•a
•a
•b
•b
•c
•c
•d
•d
G
f4
H
•a
•1
•b
•2
•c
•3
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
•4
c)
y
h
x
d)
y
k
x
•4
y
e)
K
f5
L
•a
•b
•1
e)
p
x
•c
Cevaplar 54. Sayfada
11
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 3: Fonksiyon Çeşitleri
• Birebir Fonksiyon: f : A " B fonksiyonu A'nın farklı elemanlarını B'nin farklı elemanları ile eşleşiyorsa f birebir fonksiyondur.
Yani x1 ! x2 için f(x1) ! f(x2) ya da f(x1) = f(x2) ise x1 = x2 dir.
• İçine fonksiyon: f : A " B fonksiyonunda f(A) ! B ise f içine fonksiyondur.
• Örten fonksiyon: f : A " B fonksiyonu için f(A) = B ise f örten fonksiyondur.
• Ters fonksiyon: f : A " B, y = f(x) fonksiyonu birebir ve örten olsun.
f –1 : B " A, x = f –1 (y) fonksiyonu f'nin tersidir. Yanı y = f(x) + x = f–1(y) dir.
x–b
• f(x) = ax+b ise f –1 ^xh = a ax + b
–dx + b
• f (x) = cx + d ise f –1 ^xh = cx–a dır.
• f ile f–1 fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
Örnek 1:
Örnek 4:
f(x) = 2x–1 fonksiyonu birebirdir.
Çünkü f(x1) = f(x2) ise
3x + 1
f ^xh = 5x + a fonksiyonunun tersi kendisine
eşitse a'yı bulalım.
2x1–1 = 2 x2–1 ( x1 = x2 dir.
Örnek 2:
Çözüm:
g(x) = x2 – 1 fonksiyonu birebir değildir. Çünkü
x = 3 için f(3) = 8 ise x = –3 için f(–3) = 8 dir.
3x + 1
f ^xh = 5x + a
–ax + 1
f –1 ^xh = 5x–3
f(x) = f–1 (x) ise
3x–1
–ax + 1
5x + a = 5x–3
Örnek 3:
a)
olduğundan a = –3 dır.
A
•a
•b
•c
f
B
•1
•2
•3
f fonksiyonu birebir değildir. örten değildir,
içinedir.
12
UYGULAMA KUTUSU 3
1. Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlardan
kaç tanesi birebirdir?
I.
3.
olduğuna göre f–1(21) kaçtır?
II.
A) 8
III.
IV.
A) 1
B) 2
f(x+3) = x3 – 3x2 + 3x –7
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
V.
C) 3
D) 4
E) 5
4.
A = {a, b, c}
,
B = {1, 2, 3, 4}
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
olmak üzere A'dan B'ye kaç tane birebir
fonksiyon tanımlanabilir?
2.
A) 8
B) 12
C) 18
D) 24
E) 36
x+5
f ^xh = 4x–a
fonksiyonu sabit fonksiyon ise f(2015 .a)
kaçtır?
A) 4
B) 2
1
C) 2 1
D) 4 1
E) 8
5.
A = {a, b, c}
,
B = {1, 3, 5}
olmak üzere A'dan B'ye kaç tane içine fonksiyon tanımlanır?
A) 30
B) 27
1. C
C) 24
D) 21
E) 18
2. D 3. B 4. D 5. D
13
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 4: Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon
x1 ve x2 , (a, b) aralığında iki eleman ve x1 < x2 olsun.
•f(x1) < f(x2) ise f fonksiyonu (a, b) de artandır.
•f(x1) > f(x2) ise f fonksiyonu (a, b) de azalandır.
•f(x1) = f(x2) ise f fonksiyonu (a, b) de sabittir.
Örnek 1:
Örnek 3:
1
f : R+ ➞ R, f(x) = x fonksiyonunu inceleyelim.
x1, x2 ∈ R+ ve x1 < x2 olsun.
1
1
f(x1) = x 1 ve f(x2) = x 2 dir.
x –x
1
1
f(x2) – f(x1) = x 2 – x 1 = x11 .x 22 1 0
a > 0, a > 1, a ∈ R olmak üzere
f : R ➞ R+ ,
f(x) = ax
g : R+ ➞ R ,
g(x) = logax
fonksiyonlarının grafiklerini çizerek artan veya
azalan olduklarını ifade edelim.
ise f(x2) – f(x1) < 0
• 0 < a < 1
ise f(x2) < f(x1)
y
yani fonksiyon azalandır.
1
• 1 < a
y
f(x)
f(x)
1
x
f artandır
f azalandır
y
Örnek 2:
f : R ➞ R f(x) = x2
1
fonksiyonu (–∞, 0) aralığında
azalan (0, ∞) aralığında artandır.
f (x) = x2
Azalandır
14
Artandır
g azalandır
x
y
g(x)
1
g artandır
x
UYGULAMA KUTUSU 4
1.
3.
f(x) = (a + 2)x2 – (b + 3) x + a.b
fonksiyonu gerçek (reel) sayılarda sabit bir
fonksiyon ise f(1001) kaçtır?
A) 6
B) 4
C) 2
D) –4
f(x) = x2 – 4x +1
fonksiyonunun artan olduğu en geniş küme
aşağıdakilerden hangisidir?
E) –6
A) (–∞, –2)
D) [–2, +∞)
2.I. f (x) = x3 fonksiyonu R de artandır.
II. f (x) = –x2 – 2 fonksiyonu hiçbir aralıkta artan
değildir.
III.f (x) = cos x fonksiyonu R de artandır.
x+1
IV. f ^xh = x fonksiyonu R de azalandır.
V. Birim fonksiyon R de artandır.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
C) [2, +∞)
E) (–∞, 2)
f : R ➞ R , y = f(x)
fonksiyonu R de artandır. Buna göre tanımlı
oldukları en geniş kümede,
1
I. g ^xh =
f ^xh
II. h(x) = –f (x)
III.k(x) = (f (x))2
IV. P(x) = f(x) – 24
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 1
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
4.
B) (–2, 2]
fonksiyonlarından hangisi kesinlikle R de
azalandır?
A) I, II
B) I, IV
D) I, II, IV
C) II, IV
E) III, IV
1. A 2. B 3. C 4. A
15
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 5: Çift ve Tek Fonksiyon
• f (–x) = f(x) ise f çift fonksiyondur.
• f(–x) = –f(x) ise f tek fonksiyondur.
• Bir fonksiyon tek veya çift olmak zorunda değildir. ( f (x) = x + 1)
• Bir fonksiyon hem çift hem de tek olabilir. ( f (x) = 0 )
Örnek 1:
Örnek 2:
• Sabit fonksiyon çifttir. Çünkü,
f (x) = a ise f (–x) = a dır.
• f(x) = x tek fonksiyondur. Çünkü,
m bir rakam olmak üzere
f(x) = xm + 11
fonksiyonu m'nın hangi değerleri için çifttir.
f (x) = x , f (–x) = –x
olduğundan f(–x) = –f(x) dır.
• f(x) = x2 fonksiyonu çifttir.
Genel olarak xn fonksiyonunda
Çözüm:
m çift olduğunda f çift olur.
m nin alabileceği değerler 0, 2, 4, 6, 8 dır.
n tek ise xn tek fonksiyon
n çift ise xn çift fonksiyondur
Uyarı !
1. Tek fonksiyonların toplamı tek fonksiyondur.
2. Tek fonksiyonun tek tamsayı kuvvetleri tek,
çift tamsayı kuvvetleri çift fonksiyondur.
3. f tek ise fof bileşke fonksiyonu da tektir.
4. İki çift fonksiyonun çarpımı, toplamı ve bölümü de çift fonksiyondur.
5. Bir tek ile bir çift fonksiyonun çarpımı tek
fonksiyondur.
6. f çift ise fof bileşkesi de çifttir.
7. f vey g'den biri çift ise fog ve gof bileşkeleri
de çift fonksiyondur.
Örnek 3:
f(x) çift fonksiyon ve
3 f(x) – f(–x) = 5x2 + 1
olduğuna göre f(3) kaçtır?
Çözüm:
f çift ise f(–x) ise f(–x) = f(x) dir.
3 f(x) – f(–x) = 5x2 + 1
& 3 f(x) – f(x) = 5x2 + 1
& 2 f(x) = 5x2 + 1
x = 3 için,
2 . f (3) = 5 .32 + 1
2 f(3) = 46
& f(3) = 23 dır.
16
UYGULAMA KUTUSU 5
1. f çift fonksiyondur.
4. f tek ve g çift fonksiyon ise
I.
x2 . f(x) + f(–x)x = 3x2 + x – 2
olduğuna göre f(3) kaçtır?
A) 28
B) 14
14
C) 3 7
D) 3 f.g
II. f2
III. g2
E) 2
IV. f3
V. g3
VI. fog
VII. gog
fonksiyonlarından kaç tanesi çifttir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
2. f tek fonksiyondur.
5 f(x) + 3 f(–x) = x2 + 5
olduğuna göre f(7) kaçtır?
A) 45
B) 41
C) 27
D) 23
E) 19
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
5.f (x) = (m + 1) x2 + (2n – 1) x + t + 3
3.f(x) = (a + 5) x3 + (b – 3) x + a + b
fonksiyonu hem çift hem de tek olduğuna
göre m + n + t toplamı kaçtır?
fonksiyonu çift ise f (a ) kaçtır?
b
A) –3
B) –2
C) –1
D) 2
E) 3
3
A) – 2 5
7
B) – 2 C) – 2 5
D) 2 7
E) 2
1. D 2. C 3. B 4. C 5. C
17
KONTROL TESTİ - 1
4.A = {1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere A'dan A'ya kaç
tane örten fonksiyon tanımlanabilir?
1.f : R ➞ R, f(x) = 3 – x2 fonksiyonu ve A = (–1, 4]
kümesi veriliyor. Buna göre f(A) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [0, 16]
B) (–2, 2]
D) (2, 13]
A) 64
C) [–2, 7)
D) 120 E) 144
B) I, III
D) II, III
C) III
E) I, II, III
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
5. R'den R'ye tanımlı,
Yukarıda verilen fonksiyonlardan hangisi birebirdir?
C) 96
E) [–13, 0)
2.I. f : R+ ➞ R, f(x) = Inx
1
II.f . R+ ➞ R, f ^xh = x
III.f : R ➞ R, f(x) = x3 + x
A) I, II
B) 78
f(x) = (a – 3) x2 + (b + 1) x – ab
3x 2 –6x + 9
g ^xh = mx–nx + 6
fonksiyonları sabit fonksiyon ise a+b+m+n
toplamı kaçtır?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
3. A boştan farklı bir küme olsun
f : A ➞ A
y = f (x)
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
I. f birebirse örtendir.
II. f örtense birebirdir.
III.f birim fonksiyondur.
6.
IV. f sabit fonksiyon olamaz.
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
A) I, IV
18
B) II, IV
D) III, IV
C) I, II
E) I, II, III, IV
f : R – {3} ➞ R – {2}
ax–6
f ^xh = bx–12
fonksiyonu birebir ve örten ise a . b çarpımı
kaçtır?
A) 12
B) 18
C) 24
D) 32
E) 40
10.
f ^xh =
III.cos(sinx)
f(x) < g(x) dır.
IV. sin(cosx)
7.I. cosx
II.sinx
V.1 + tan x
2
A) 1
C) 3
D) 4
f (x) = 1 – 4x – x
fonksiyonu aşağıdakilerden aralıkların hangisinde azalandır?
C) 3
D) 4
E) 5
11.f fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir.
2
A) (–3, 3)
B) 2
E) 5
B) (–3, 6)
D) (–3, 0)
C) (3, 6)
E) (–6, –2)
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
8.
B) 2
Buna göre g (12) nin alabileceği en küçük
tamsayı değeri kaçtır?
A) 1
Yukarıda verilen fonksiyonlardan kaç tanesi
çift fonksiyondur?
1
ve her x için
x –1
f(a) = 5m – 3
f(–a) = 9 – m
olduğuna göre m kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
3
E) – 2
12.f tek ve g çift fonksiyondur.
k(x) = (f . g)(x) olarak tanımlanıyor.
9. f fonksiyonu artan bir fonksiyondur.
I.
Buna göre;
I.
Buna göre;
k tek fonksiyondur.
II. k çift fonksiyondur.
f (e) < f (π)
II. f ^ 7 h 1 f ^2h
III. k(2) = k(–2) dır.
III. f(log99) < f (log23)
IV. k(–2) = –k(2) dir.
ifadelerinden hangisi doğrudur?
ifadelerinden hangisi doğrudur?
A) I
B) I, II
D) II, III
1. E
A) I, IV
C) I, III
2. E
3. C
4. D
D) II, IV
E) I, II, III
5. B
6. D
7. D
B) II, III
8. C
9. A
10. A
C) I, III
E) Hepsi
11. B
12. A
19
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 6: Bir Fonksiyonun En Geniş Tanım Kümesi
• P(x) = an xn + ....+ a1 x + a0 polinom fonksiyon tüm gerçek (reel) sayılarda tanımlıdır.
P (x)
rasyonel fonksiyonu paydası sıfır yapan değerlerde tanımlı değil, diğer tüm değerQ (x)
lerde tanımlıdır.
• f ^xh =
• f ^xh = n g (x) fonksiyonu
n tek ise g(x)'in en geniş tanım kümesinde,
n çift ise g(x) ≥ 0 şartını sağlayan gerçek (reel) sayılarda tanımlıdır.
• f (x) = loga g(x) , a > 0 , a ≠ 1 ve g (x) > 0 şartını sağlayan değerlerde tanımlıdır.
Örnek 1:
Örnek 2:
3–x
• f ^xh = x–4 fonksiyonu x = 4 noktasında tanımlı değildir.
• f ^xh = x 2 + x–6 fonksiyonunun en geniş
En geniş tanım kümesi R – {4} dır.
x2 + x – 6 ≥ 0 olmalıdır.
x
–2
x
3
• f ^xh = x–7 fonksiyonu x – 7 ≥ 0 yani x ≥ 7
aralığında tanımlıdır.
tanım kümesini bulalım.
–3
x1 = 2
+
x2 = –3
• f ^xh = 3 x–3 fonksiyonu her noktada tanımlı-
2
–
+
en geniş tanım kümesi: R– (–3, 2) dır.
dır.
• f ^xh = log 5 ^x 2 –3xh fonksiyonu
x2 – 3x > 0 da tanımlıdır.
Örnek 3:
0
x(x– 3) > 0 olduğundan
+
3
–
+
en geniş tanım kümesi: (–∞, 0) ∪ (3, +∞)
veya R – [0, 3] dır.
f ^xh =
7x–4
fonksiyonunun en geniş
x 2 –mx + 4
tanım kümesi R ise k hangi değerleri olabilir.
Çözüm:
Paydayı sıfır yapan değer olmamalıdır. Bunun
için x2 – mx + 4 ifadesini sıfır yapan değer olmamalıdır.
Δ = b2 – 4ac = m2 – 4 . 1 . 4 < 0 olmalıdır.
& m2 – 16 < 0
& m2 < 16
20
– 4 < m < 4 olmalıdır.
UYGULAMA KUTUSU 6
1.
f ^xh =
6x–5
x 2 + 2ax + 2a + 8
3.
y
4
fonksiyonu tüm gerçek (reel) sayılarda tanımlı ise a kaç farklı tamsayı değeri alır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
f(x)
5
y
10
–5
–2
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir. Buna göre (–5, 10) aralığında
5
fonksiyonu tanımsız yapan
g ^xh =
f ^xh –3
kaç değer vardır?
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 5
2. f ^xh = 4 sin x cos x–1
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 30° ≤ x ≤ 150°
B) 60° ≤ x ≤ 120°
C) 15° ≤ x ≤ 45°
D) 15° ≤ x ≤ 75°
E) 45° ≤ x ≤ 135°
4.
f ^xh = 1–x 2
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi T ve
görüntü kümesi f(T) olduğuna göre T∩f(T)
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [–1, 0]
B) [–1, 1]
D) [0, 3]
C) [0, 1]
E) R– [0, 3]
1. C 2. D 3. B 4. C
21
KONTROL TESTİ - 2
1.
f ^xh = 4– x–1
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [–3, 5]
B) [–4, 4]
D) [–3, 0]
4.
f ^xh = 3 x 2 –x–2 fonksiyonu ile
f ^xh =
x 2 –x–2 fonksiyonunun
en geniş tanım kümelerinin kesişim kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
C) [0, 2]
E) [0, 3]
A) R – (1, 2)
B) R – [–1, 1]
C) R – {–1, 2}
D) R – (–1, 2)
E) [–1, 2]
2.
f(x) = log3–x(x+5)
fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde
kaç tane tamsayı vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
5.
f : A ➞ R , f ^xh =
fonksiyonu veriliyor
Buna göre aşağıdakilerden hangisi A kümesinin elemanı olabilir?
3
A) – 2 3.
f ^xh =
x 2 –4x + 3
x–1
fonksiyonunun tanımsız yapan doğal sayıların toplamı kaçtır?
A) 1
22
B) 3
D) 6
C) 4
E) Sonsuz
1
1
x – x–1
6.
3
D) 2 f ^xh =
1
B) – 2 5
E) 2
1
C) 2 4
x 2 –m
fonksiyonunun tanımsızlık kümesi boş küme
ise m'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D)
2
E) 16
7. P(x) bir polinomdur.
10.
f : R ➞ R , f ^xh =
1
P (x)
f : (a, b) ➞ R , y = f(x)
fonksiyonunu
fonksiyon ve 1
f(a) = 0,0001 olduğuna göre g (x) =
fonkf (x)
siyonu (a, b) aralığında kaç noktada tanım-
bir fonksiyon olduğuna göre,
I. P(x)'in sabit terimi sıfır olamaz.
II. P(x) polinomunun grafiği x eksenini kesmez.
sızdır?
III.P(x)'in grafiği yukarı kolludur.
A) 0
artan
B) 1
bir
C) 2
D) 3
E) 4
IV. P(x) birinci derecedendir.
ifadelerinden hangisi daima doğrudur?
A) I
B) I, II
8.
f ^xh =
E) I, III, IV
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
D) III, IV
C) II, III
3
x 2 –4x + a
11.f : R ➞ R olmak üzere f fonksiyonu her x gerçek (reel) sayısını kendisinden büyük olmayan
en büyük tamsayı ile eşleştiriyor.
1
fonksiyonu aşağıdaki
f (x)
aralıkların hangisinde tanımsız olur?
Buna göre g (x) =
A) (–1, 0]
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi R – {k} ise k . a kaçtır?
A) –8
B) –4
C) 4
D) 6
B) [0, 1)
D) R – [–1, 1]
C) (1, 2)
E) (–∞, 0]
E) 8
12.
y
5
–4
9.
1
f ^xh = 2 cos x–1
B) π
1. A
x
y=f(x)
f (x) fonksiyonunun grafiği yukarıda verilmiştir.
fonksiyonunu tanımsız yapan (0, 2π) aralığındaki değerlerin toplamı kaçtır?
2r
A) 3 –3
7
1
5r
C) 3 2. C
3. B
3r
D) 2 E) 2π
4. D
5. C
6. A
5
fonksiyonu (–4, 7)
3–f (x)
aralığında kaç noktada tanımlı değildir?
Buna göre g (x) =
A) 1
7. B
8. E
B) 2
9. E
10. A
C) 3
11. B
D) 4
E) 5
12. C
23
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 7: Parçalı Fonksiyon
• Tanım kümesinin farklı alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyona parçalı fonksiyon
denir.
f (x ) = )
g (x)
h ^xh
x<a
a<x
fonksiyonu iki dallı bir fonksiyondur. f(x) in kritik noktası x = a dır.
Örnek 1:
Örnek 3:
x2 + 1
f ^xh = * 1
x
x#0
f ^xh = (
x>0
olduğuna göre f (–1) + f (0) + f (1) toplamı kaçtır?
2
x2
x14
x$4
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Öncelikle y = 2'nin grafiğini çizelim.
Çözüm:
y
x2 +1
1
x
0
x +1
2
_
f (–1) = (–1) 2 + 1 = 2 b
`2 + 1 + 1 = 4
f (0 ) = 0 2 + 1 = 1
b
f (1 ) = 1
a
R
y=2
x
4
İkinci olarak y = x2 grafiğini çizelim.
y
y = x2
Örnek 2:
f ^x + 2h = (
log x
3x–1
51x
x#5
4
x
ise f (12) + f (0) kaçtır?
Bu grafikleri birleştirelim.
Çözüm:
x = 10 ise f(12) = log10 = 1
x = –2 ise f(0) = –7
1 – 7 = –6
24
f(x)
y
16
2
4
x
UYGULAMA KUTUSU 7
–x , x 1 –1
f ^ x h = * x 2 , –1 # x # 1
1.
x
, 11x
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
3.
–x
f ^xh = * m
x .m
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
f : [–1, 3] ➞ R
Z
]x
] x ten küçük
f ^xh = [
] en büyük
]
\ tamsayı
x!Z
xgZ
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözümler sayfa 54'te
x#0
,
x20
olmak üzere f (–5) = f (5) olduğuna göre m'nin
alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
A) –3
2.
,
1
B) – 5 C) –1
D) 1
1
E) 5
x+2 , x 1 1
4.
f ^xh = (
2x
, x$1
g ^xh = (
x
,
1–x ,
x13
x$3
fonksiyonları veriliyor. Buna göre (f + g)(x)
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) ^f + gh^xh = (
2x + 2 ,
x
,
x11
x$1
B) ^f + gh^xh = (
2x + 2
x
x14
x$4
,
,
2x + 2 ,
,
C) ^f + gh^xh = * 3x
x+1 ,
x11
1 # x 1 3
3#x
3x–1 ,
D) ^f + gh^xh = * 2x + 2 ,
x
,
x#1
1 1 x 1 3
3#x
2x + 2
E) ^f + gh^xh = * 3x–1
x
x#1
11x#3
31x
3. C 4. C
,
,
,
25
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 8: Mutlak Değer Fonksiyonu
• I f (x)I = a ise f (x) = a veya f (x) = –a dır.
• I x.yI = IxI . IyI
• I f (x)I < a ise –a < f(x) < a dır.
• I x nI = IxIn
• I f (x)I > a ise f(x) > a veya f (x) < –a dır.
• I xI = I–xI , Ix–yI = Iy–xI
• a < I f (x)I < b ise a < f(x) < b veya –b < f(x) < –a dır.
• I xI = IyI & x = y veya x = –y
(a, b > 0)•
Örnek 1:
n
xn = )
x , n tek
IxI , n çift
Örnek 3:
Ix2 – 7I = 18
f ^xh =
denkleminin gerçek sayılarda çözümünü bula-
eşitsizliğini sağlayan tamsayıları bulalım.
lım.
3
1
ise f ^xh 2 4
x–7
Çözüm:
1
3
1
f ^xh 2 4 &
2 4
x–7
Çözüm:
⇒ 3 . 4 > Ix–7I
Ix2 – 7I = 18 & x2 – 7 = 18 veya x2 – 7 = – 18
& x2 = 25 veya x2 = –11
& x = "5
Ç.K. = {–5, 5}
⇒ 12 > Ix–7I
⇒ –12 < x – 7 < 12
⇒ –5 < x < 19 ve x ≠ 7
{–4, –3, ...., 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9.....,18}
Örnek 4:
Örnek 2:
IxI + I2xI+ I–3xI + I–xI = 14
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
IxI = I–xI olduğundan
bulalım.
Çözüm:
Mutlak değer pozitif olduğundan eşitsizliğin her
iki tarafının karesini alalım.
Ix–5I2 ≤ Ix+2I2
IxI + I2xI + I–3xI + I–xI = 14
x2 – 10x + 25 ≤ x2 + 4x + 4
⇒ IxI + 2IxI + 3I xI + IxI = 14
21 ≤ 14x
⇒ 7IxI = 14
3 ≤ 2x
⇒ IxI = 2 ⇒ x = 2 veya x = –2
Ç.K. = {–2, 2}
26
Ix –5I ≤ Ix+2I eşitsizliğinin çözüm kümesini
3
2 # x olur.
3
Ç.K. = : 2 , + 3 k
UYGULAMA KUTUSU 8
1.
I2x – 1I + x = 2
4.
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {1}
D) {–2, 2}
C) {–1, 1}
5.
B) (0, +∞)
D) (1, +∞)
C) (0, 1]
E) [2, +∞)
eşitsizlik sistemini sağlayan tamsayıların
toplamı kaçtır?
B) –6
C) 1
D) 2
E) 3
C) –2
D) 6
f(x) = Ix + 3I + Ix – 2I
fonksiyonunun (–1, 1) aralığındaki eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x+1
6.
3 < Ix + 1I < 7
A) –11
B) –1
E) {–2}
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
3.
A) –2
Ix + 2I < Ix –4I
A) (–∞, 1)
2x–1 –5
fonksiyonunu tanımsız yapan tamsayıların
toplamı kaçtır?
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
2.
B) {–1, 2}
f ^xh =
B) 2x+5 C) x– 5 D) 1
E) 5
f (x) = Ix – 3I + Ix + 5I
fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?
A) 8
B) 5
C) 3
D) –3
E) –5
E) 11
1. C 2. A 3. B 4. D 5. E 6. A
27
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 9: Mutlak Değer Fonksiyonunun Grafiği
• Mutlak değer fonksiyonu negatif tanımlı değildir. Bu nedenle grafik x ekseninin altına inmemelidir.
• y = I f(x)I fonksiyonunun grafiği çizilirken önce f(x) in grafiği çizilir. Daha sonra ise x ekseninin
altında kalan (f(x) negatif) kısmının x eksenine göre simetriği alınır.
Örnek 1:
Örnek 2:
f(x) = Ix2–4I fonksiyonunun grafiğini çizelim.
f(x) = Ix+1I + Ix–1I
fonksiyonunu parçalı fonksiyon olarak ifade
edelim ve grafiğini çizelim
Çözüm:
y = x2 – 4 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
x ekseninin altında kalan kısmının x eksenine
göre simetrisini alalım.
Çözüm:
x +1 H 0
x +1< 0
x –1< 0
–1
x +1 H 0
1
x –1<0
y
R
–x–1–x+ 1 x +1 – x+1 x +1 + x–1
–2x
2
2x
–2
–4
, x < –1
, –1 ≤ x < 1
, 1≤x
Örnek 3:
y
y=2
–1
y = 2x
28
x
2
–2x
f ^xh = * 2
2x
f(x) = |x2 – 4|
4
x –1 H 0
1
f(x) = IcosxI fonksiyonunun grafiğini çizelim.
y
x
1
y = –2x
–r
f(x) = cosx
r
x
UYGULAMA KUTUSU 9
1.
3.
f (x) = I InxI
f ^xh = x– x + 2
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2.
f (x) = x – Ix – 2I
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
4. Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. y = If(x)I fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
A)
B)
y
y
x
x
f(x)
f(x)
C)
D)
y
y
f(x)
x
x
f(x)
E)
F)
y
y
x
x
f(x)
f(x)
Çözümler Sayfa 54'te
29
KONTROL TESTİ - 3
1.
f ^xh = (
log 3 x ,
3x
,
x>1
x#1
y
3.
Buna göre 3f(x) = 1 denkleminin çözüm kümesinde kaç tane eleman vardır?
A) 0
y = f(x)
6
fonksiyonu veriliyor.
B) 1
C) 2
D) 3
–1
E) 4
x
–1
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
g : [0, +∞) ➞ R+
x ➞ g(x) : "0'dan x'e kadar f(x) in grafiği ile x
ekseni arasında kalan bölgenin alanı" olarak tanımlanıyor.
f ^xh = (
x+1
1–x
,
,
x<0
x≥0
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre f(x) in x eksenine göre simetriğinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
B)
y
1
1
C)
1
x
y
1
x
y
D)
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
2.
Buna göre g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisidir?
3x 2
x2
,
0
<
x
≤
6
, 0<x≤6
A) * 4
B) * 2
3x + 6 , 6 < x
3x–9 , 6 < x
C) )
18 , 0 < x ≤ 6
x 2 –x , 0 < x < 6
D) (
x + 18 , 6 < x
x2 + x , 6 < x
x2
, 0<x≤6
E) * 2
6x–18 , 6 < x
1
1
x
–1
–1
1
y
E)
–1
–1
x
4.
1
x
f ^xh = (
,
,
x<2
x≥2
fonksiyonu R ➞ R ye birebir ve örten bir
fonksiyon ise a kaçtır?
A) –3
30
3x–5
ax + 3
B) –1
C) 1
D) 3
E) 5
5.
8. f(x) = x –2+ Ix –1I
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
I2x – 6I + 3 Ix – 3I = 10
denkleminin çözüm kümesindeki elemanların toplamı kaçtır?
A) –6
B) –4
C) 2
D) 4
y
A)
E) 6
B)
1
y
1
x
x
1
–1
C)
y
D)
y
1
x
1
–1
B) I x+1I < I2x – 8I
C) Ix–1I < I2x–8I
D) Ix+1I < I2x+8I
E) Ix +1I < 2IxI + 8
1
y = f(x)
Buna göre
f ^xh + f ^xh
g ^xh =
2
fonksiyonunun
grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
–2
1
–2
– x 2 – 2 x , x < –2
E) ) 2
x + 2 x , x ≥ –2
2. E
3. E
4. B
5. E
6. B
7. E
8. A
–2
2
x
y
E)
x
2
y
x
x 2 –2x , x < 0
x 2 –2x , x < –2
)
D)
x 2 + 2x , x ≥ 0
x 2 + 2x , x ≥ –2
1. C
–2
D)
y
y
x
C)
x
2
B)
y
–x 2 –2x , x < 2
–x 2 –2x , x < 0
)
B)
x 2 + 2x , x ≥ 2
x 2 + 2x , x ≥ 0
C) )
y
f(x) = x . Ix + 2I
fonksiyonunun parçalı bir şekilde ifadesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) )
x
1
9.Yanda y = f(x) fonk
siyonunun grafiği
verilmiştir.
A)
7.
y
2
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) Ix–1I < 2 Ix +8I
x
–1
E)
6. Gerçek sayı ekseninde A(–1) noktasına olan
uzaklığı, B(4) noktasına uzaklığının 2 katından daha küçük olan noktaların geometrik
yeri aşağıdakilerden hangisidir?
2
x
9. E
31
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 10: Yatay ve Düşey Öteleme
• y = f(x) fonksiyonu verilsin. f(x) fonksiyonu;
• m birim sağa ötelenirse f(x–m)
• m birim sola ötelenirse f(x +m)
Yatay öteleme
• m birim aşağıya ötelenirse f(x)–m
• m birim yukarıya ötelenirse f(x)+m
Düşey öteleme
fonksiyonları elde edilir.
c) 2 birim yukarıya ötelenirse
Örnek 1:
y
f(x) = x2 fonksiyonu
f(x)= x2
f (x) + 2 = x2 + 2 fonksiyonu elde edilir.
nun grafiği yanda
y
verilmiştir. f(x)
x
fonksiyonunu 2
2
birim
a) sağa
f(x)+2
b) sola
c) yukarıya
d) aşağıya öteleyelim.
x
d) 2 birim aşağıya ötelenirse
Çözüm:
a) f(x) = x2 fonksiyonu 2 birim sağa ötelenirse
f(x–2) = (x – 2)2 = x2 – 4x + 4
fonksiyonu oluşur.
f(x) –2 = x2 –2
fonksiyonu elde edilir.
y
f(x) – 2
y
f(x– 2)
–2
x
2
Genel olarak
b) 2 birim sola ötelenirse
f(x + 2) = (x + 2)2 = x2 + 4x + 4
fonksiyonu elde edilir.
y
x
f(x) + m
m
f(x+2)
f(x +m)
m
f(x)
m
–2
32
x
f(x) – m
şeklinde olur.
m
f(x – m)
UYGULAMA KUTUSU 10
1. Aşağıdaki adımları izleyerek
2.y = f(x) fonksiyo
nunun grafiği yanda verilmiştir.
f(x) = Ix2 – 4I + 2
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
I. f(x) = x2 –4 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
y
4
Buna göre aşa–3
ğıdakilerden
hangisi f(x–2) + 2
fonksiyonunun grafiğidir?
A)
5
B)
y
x
f(x)
y
x
–1
5
–1
x
x
2
–2
II. f(x) = x2 –4 fonksiyonunun grafiğinde x ek-
C)
seninin altında kalan parçanın x eksenine
D)
y
göre simetrisini alınız.
2
–1
x
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
y
2
x
4
E)
y
4
x
9
y
–1
2
7
x
III.İkinci adımda elde ettiğiniz grafiği 2 birim
yukarıya öteleyiniz.
y
3.
x
f : [–3, 3] ➞ R f(x) = IxI
fonksiyonunun grafiği 2 birim sola ve 2 birim
aşağıya ötelenmesi ile oluşan grafik ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç birim
karedir?
A) 12
B) 10
C) 8
D) 6
E) 4
Çözümler Sayfa 55'te
2. E 3. E
33
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 11: Fonksiyonların Simetrileri
• (x, y) noktasının x eksenine göre simetriği (x, –y) olduğundan,
y = f (x) fonksiyonunun x eksenine göre simetriği y = –f(x) dir.
• (x, y) noktasının y eksenine göre simetriği (–x, y) olduğundan,
y = f(x) fonksiyonunun y eksenine göre simetriği y = f(–x) dir.
• (x, y) noktasının orijine göre simetrisi (–x, –y) olduğundan,
y = f(x) fonksiyonunun orijine göre simetriği y = – f(–x) dir.
Örnek 1:
Örnek 2:
f(x) = (x – 1)2 fonksiyonunun eksenlere ve oriji-
f(x) = ax2 + bx + c = 0 denkleminin çözüm kü-
ne göre simetrisini alalım.
mesi {1, 5} dır.
Buna göre f(x) 'in önce y eksenine sonra orijine
y
f(x) = (x – 1)
2
göre simetrisi alınıyor ve g(x) fonksiyonu elde
ediliyor. g(x) = 0 denkleminin köklerini bulalım.
1
1
x
Çözüm:
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çiz-
y
I. x eksenine göre
meyeceğiz. Sadece kökleri üzerinden giderek
simetriği
işlem yapacağız.
f(x) = – (x –1)2 dir.
1
–1
x
x eksenini kestiği noktalardır. O halde kökleri 1
ve 5 olan denklemin grafiği x eksenini (1, 0) ve
– (x–1)2
(5, 0) da keser. Bu noktaların önce y eksenine
sonra orijine göre simetrisini alacağız.
II. y eksenine göre simetriği
f(x) = (–x + 1)
(1, 0)
1
2
x
–1
riği, f(x) = –(–x–1)2
–1
–1
34
(5, 0)
y. ek.
orijine
(–1, 0)
(1, 0)
(–5, 0)
(5, 0)
Ç.K. = {1, 5} olur.
III.Orijine göre simetdir.
f(x) = 0 'ın kökleri f(x) fonksiyonunun grafiğinin
x
UYGULAMA KUTUSU 11
1.
4. f ile g fonksiyonları x eksenine göre, g ile h
fonksiyonları y eksenine göre simetriktirler.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
f(x) = ax2 + bx + c = 0
denkleminin kökler toplamı 1'dir. f(x) in orijine
göre simetriği alınarak g(x) fonksiyonu elde ediliyor.
A) f = h dir.
Buna göre g(x) = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır?
A) 2
B) 1
C) –1
D) –2
B) f ile h x eksenine göre simetriktir.
E) –3
C) f–1 ile g–1 y eksenine göre simetriktir.
D) f ile h orijine göre simetriktir.
2. f(x) in y eksenine göre simetriği kendisi olmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) f tek fonksiyondur.
B) f artandır.
C) f birim fonksiyondur.
E) f üstel fonksiyondur.
3. f tek fonksiyon ise f nin aşağıdakilerden
hangisine göre simetriği kesinlikle kendisine
eşittir?
D) y = x
5.
r
0 # i # 2 olmak üzere
Z = 2 cis θ karmaşık sayılarının
D) f çift fonksiyondur.
A) x ekseni
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
E) g çift fonksiyondur.
B) y ekseni
C) Orijin
E) y = –x
orijine göre simetrikleri aşağıdakilerden
hangisidir?
r
A) 2 # i # r , 2cisi
r
B) 2 # i # r , 4cisi
3r
C) r # i # 2 , 2cisi
3r
D) 2 # i # 2r , 4cisi
E) 0 # i # r , 2cisi
1. C 2. D 3. C 4. D 5. C
35
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 12: Bağıntı Grafikleri
• Bir fonksiyonun veya bağıntının grafiği testte soruluyorsa, çoğunlukla grafiği çizmeye gerek
yoktur. Şıklar denenerek sonuca gidilebilir.
• y = f(x) grafiği verilmiş olsun. IyI = f(x) in grafiği şöyle çizilir: y ekseninin pozitif olduğu bölgede
bulunan grafiğin parçası ile bu parçanın x eksenine göre simetriği alınarak elde edilen grafiğin
birleşmesidir.
Örnek 1:
Örnek 3:
Yanda verilen grafik
aşağıdaki bağıntılardan hangisine
eşittir?
y
Bazı bağıntıların grafikleri aşağıdadır.
İnceleyiniz.
2
a)
–2
A) y = Ix–2I
B) y = Ix + 2I + Ix – 2I
C) IyI = Ix– 2I
D) IyI = x – 2
x
2
y
a > 0 olmak üzere
IxI + IyI = a
a
–a
x
a
–a
b)
y
IxI – IyI = a
IyI – Ix I = a
2IxI + 3IxI = 12
E) y = x – 2
Çözüm:
–a
x
a
Grafik (0, 2) den geçmektedir. Bu nokta şıklarda yerine yazılırsa B, D, E şıkları elenir. Ayrıca
(0, –2) denenirse A şıkkı da elenir.
c)
y
a
Örnek 2:
y
Yanda y = f(x) bağın-
x
–a
tısının grafiği verilmiştir.
x
IyI = f(x) in grafiğini
d)
4
çizelim.
–6
Çözüm:
y
–4
y
e)
x
IxyI = 2
y
xy = –2
xy = 2
36
x
6
xy = 2
xy = –2
x
UYGULAMA KUTUSU 12
1.
y = 4–x 2
3.
y
y= f(x)
x
bağıntısının grafiği ile eksenler arasında kalan bölgenin alanı kaç birim karedir?
A) 4
B) 9
C) 16
D) 4π
E) 16 π
Yukarıda y = f(x) in grafiği verilmiştir. Buna
göre IyI = f(x) in grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y
x
x
C)
D)
y
E)
y
x
x
y
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
4.
f : R ➞ R y = f(x)
x = Iy – 5I bağıntısının grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
B)
y
5
5
x
C)
–5
IyI = 6 – IxI
bağıntısının grafiği ile eksenler arasında kalan bölgenin alanı kaç birim karedir?
A) 24
B) 36
C) 48
D) 64
–5
D)
5
2.
5
x
y
x
y
5
x
5
E)
y
x
y
–5
5
x
E) 72
1. E 2. E 3. D 4. A
37
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 13: Hatırlatmalar
• Fonksiyonlarda İşlemler: • ^f " gh^xh = f ^xh " g ^xh • (f .g)(x) = f(x) . g(x)
• Bileşke fonksiyonda işlemler:
• fog ≠ gof (f≠g ise)
• fof–1 = f–1of = I
•(fog)–1 = g–1 o f–1
• fog = h ⇒ f–1 o (fog) = f–1 o h dır.
f ^xh
f
• a g k^xh =
• (fog)(x) = f(g(x))
g ^xh
• Permütasyon Fonksiyon:A = {a, b, c, d} , f: A ➞ A birebir olsun.
f
A
•a
•b
•c
•d
A
•a •b
•c
•d
ise f = d
abcd
n veya kısaca f = (c d b a) olarak gösterilir.
c db a
Örnek 1:
Örnek 3:
(fog)(x) = 3x2 – 2 ve g(x) = x+1 ise f(x) i bulalım.
f = (31524) ise f–1 i bulalım.
Çözüm:
Çözüm:
g(x) = x+1 ise g (x) = x – 1 dir.
–1
(fog)(x) = 3x2 – 2
⇒ fogog–1 = (3x2 – 2) og–1
f = (31524) = d
ise f–1 = d
12345
n
31524
12345
n = (2 4153)
24153
⇒ f(x) = (3x2 – 2) o (x – 1)
= 3(x – 1)2 – 2
= 3(x2 – 2x+1)–2
= 3x2 – 6x+1
Örnek 4:
f(x) = 3x – 2
1
g ^xh = 2
x +1
ise (f . g)(3) kaçtır?
Örnek 2:
f = (13245)
ise f(1) = 1 , f(2) = 3 , f(3) = 2
f(4) = 4
f(5) = 5 dır.
Çözüm:
(f . g)(3) = f(3) . g(3)
38
= (3.3–2) . c
1
7
= 7. 10 = 10
1
m
32 + 1
UYGULAMA KUTUSU 13
1.
f : R ➞ R , f(x) = x2 – 2
g : R ➞ R , g(x) = Ix+2I
ise (gof)(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) IxI+x
D) IxI. x+1
2.
B) x +3
C) x 2
2
E) IxI
Buna göre (fogofo....ofog) (3)
kaçtır?
A) 9
olduğuna göre (f +2g)(–1) kaçtır?
A) –8
B) –4
C) 1
D) 4
E) 8
5.f = d
B) 6
abcde
n
bde a c
C) 3
D) 1
3.
(fog)(x) = 2x + 6
g(x) = 3x – 12
g=d
E) –2
abcde
n
e cbda
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre (g–1of)(e) değeri nedir?
A) a
16 tane
f(x) = x + 5 , g(x) = 3x – 1
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
4.f(x) fonksiyonunun grafiği A(–1, 3) noktasından,
g(x) fonksiyonunun grafiği (3, –1) noktasından
geçmektedir.
B) b
C) c
D) d
E) e
olduğuna göre f (6) kaçtır?
A) 6
B) 12
C) 15
D) 18
E) 21
1. C 2. B 3. D 4. C 5. B
39
KONTROL TESTİ - 4
1.
3. y = f(x) fonksiyonunun a birim sağa ve b birim yukarıya ötelenmesi ile oluşan fonksiyon
aşağıdakilerden hangisidir?
f(x) = 3x –1 fonksiyonu
u = ^1, –2h vektörü boyunca ötelenirse aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi elde edilir?
B) 3x+1
D) 3x–1
C) 3x–3
E) 3x–6
2. Yanda f(x) = x3
fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
f(x)
fonksiyonu
a = ^–2, 3h vektörü
boyunca ötelenirse aşağıdaki grafiklerden hangisi elde edilir?
A)
y
–2
f(x) = x3
x
B)
y
B) f(x– b)+a
C) f(x– a)+b
D) f(x+ a) + b
E) f(x+ a)–b
4. f(x) = IxI fonksiyonu 4 birim sola ve 4 birim
aşağıya ötelenmesi ile elde edilen fonksiyonun g(x)'tir. Buna göre g(x) fonksiyonunun x
eksenini kestiği noktaların apsisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–4, 4}
B) {–8, –4}
D) {–4, 0}
C) {–8, 0}
E) {–4, 2}
y
3
x
A) f(x– a)–b
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 3x+3
2
x
3
C)
D)
y
3
3
x
–2
–2
E)
y
2
–3
y
x
5.
x
f : A ➞ R, f(x) = logx fonksiyonu tanımlanıyor.
Buna göre f(A) kümesinde alınan bir noktanın y = x doğrusuna göre simetriği alındığında elde edilen nokta, aşağıdaki fonksiyonların hangisinin grafiği üzerinde olmak
zorundadır?
A) y = 10x
B) y = x3
C) y = log2 x
D) y = 10x
40
A ⊂ R+ olmak üzere
E) y = ex
6. Halil öğretmen öğrencilerine aşağıdaki etkinliği sıra ile yapmalarını söylüyor.
8.f(x) fonksiyonunun orijine göre simetriği kendisidir.
1. Bir fonksiyon yazın.
2. Bu fonksiyonun grafiğini çizin.
I. f(x) tek fonksiyondur.
3. Çizdiğiniz grafiğin orijine göre simetrisini
II. f(x) çift fonksiyondur.
alın.
III.f(x) in grafiği orijinden geçer.
4. Üçüncü maddede elde ettiğiniz grafiği
IV. f(x), x eksenini en az bir noktada keser.
u = ^0, –1h vektörü boyunca öteleyin.
Halil öğretmen etkinlik bittikten sonra Ebru'ya
"en son hangi fonksiyonu elde ettin?" diye soruyor. Ebru "f(x) = x fonksiyonu" diyor.
ifadelerinden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) I
B) I, III
D) I, III, IV
C) II, IV
E) I, IV
Ebru etkinliğin hiçbir adımında hata yapmadığına göre birinci adımda yazdığı fonksiyon
aşağıdakilerden hangisidir?
A) f (x) = x
B) f (x) = x+1 C) f (x) = –x
D) f (x) = x –1
E) f (x) = 1 – x
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
Buna göre,
y
9.Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
x
Buna göre IyI = f (x)
in grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
y = f(x)
B)
y
x
x
7.f(x) fonksiyonunun y eksenine göre simetrisi
kendisidir.
C)
D)
y
y
x
x
Buna göre,
y
I. f(x) çift fonksiyondur.
II. f(x) tek fonksiyondur.
E)
III.x eksenine göre simetriği kendisidir.
y
ifadelerinden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) I
B) II
D) I, III
x
C) I, II
E) I, II, III
1. E
2. D
3. C
4. C
5. D
6. D
7. A
8. A
9. C
41
KARMA TEST - 1
1. Aşağıda verilen bağıntılardan kaç tanesi
fonksiyondur?
I. f : R ➞ R , f(x) = x
4.
2
1
II. f : R ➞ R , f(x) = x
fonksiyonu birebir ve örten ise A kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) [–1, 1]
B) [–2, 1)
D) [–1, 1)
1
1
x– 2
III. f : Z ➞ R , f(x) =
f : A ➞ [2, 6) , f (x) = 4 – 2x
C) (–2, 1]
E) (–1, 1]
x
IV. f : N ➞ R, f(x) = x + 1
x+1
A) 1
C) 3
B) 2
D) 4
E) 5
2. Aşağıdakilerden hangisi artandır?
A) f : R ➞ R , f(x) = x2
B) f : R ➞ R , f(x) = –x3
C) f : R+ ➞ R , f(x) =
1
x
D) f : R ➞ R , f(x) = Inx
+
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
V. f : R ➞ R, f(x) =
5.I. f (x) = cos x
II. f(x) = sin x
III.f(x) = x3 +1
IV. f(x) = x2 +1
V. f(x) = x2 + cosx
VI. f(x) = 6
Yukarıda verilen fonksiyonlardan kaç tanesi
çifttir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
1
E) f : R+ ➞ R , f(x) = log x
3.
A = [1, 4) olmak üzere
f : A ➞ K , f(x) = 4 – 2x
olduğuna göre f(A) aşağıdakilerden hangisidir?
A) [–4, 2]
42
6.
B) (–4, 2]
D) R– [–4, 2]
C) (–4, 2)
E) (–2, 2]
f ^xh = x 2 –3x–10
fonksiyonunun tanım kümesinde olmayan
kaç tane tamsayı vardır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
f ^xh =
7.
A) R
B) R–{2}
f : R – {a} ➞ R – {b}
3x–2
f ^xh = x + 1
fonksiyonu birebir ve örten ise a + b toplamı
kaçtır?
9.
B) 2
fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?
–3
B) 2 A) –3
3
D) 2 C) 0
E) 3
E) R–{–2, 1}
8.
A) 3
f (x) = I x 2 – 3x – 4I
C) R–{–1, 2}
D) R–{–2}
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
C) 1
D) –2
E) –3
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
10.
x 2 –1
x 2 –x–2
11.f(x) fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
f (x) = ax 3 + (b – 3) x2 + 2x
ve f(1) = 4 olduğuna göre f(b) kaçtır?
A) 36
B) 40
C) 48
D) 54
E) 60
D) 3
E) 5
f (x) = I x–7I – Ix–2I
fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [–7, 7]
B) [–7, 2]
D) [–5, 5]
1. C
2. D
C) [–7, –2]
E) [–5, 7]
3. B
4. E
12.f (x) çift fonksiyondur.
f(x) – f(–x) = g(x) + x2 +1
olduğuna göre g(–2) kaçtır?
A) –5
5. C
6. B
7. C
8. B
B) –3
9. D
10. C
C) 1
11. E
12. A
43
KARMA TEST - 2
1.
olduğuna göre f(3) kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
2.
D) 6
y
–4
–1
B) f (–4) + f (–1) = 0
C) f (7) . 7 > 0
D) f (–6) . f (1) < 0
E) f (–1) > f (–4)
3. Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlardan
hangisi birebir ve örtendir?
B)
B)
y
x
A) f (–2) . f (2) > 0
y
x
y
y = f(x)
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
A)
y = f(x)
x
3
y
Buna göre aşağıdakilerden
hangisi y = f(–x)
in grafiğidir?
A)
1
E) 7
C)
x
D)
y
E)
y
x
x
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
4.Yanda y = f(x)
fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
f (x . y) = f(x) + f (y) ve f(81) = 20
y
x
y
x
x
5. y = f(x) fonksiyonunun grafiği çiziliyor.
C)
D)
y
y
I. x ekseninin altında kalan kısmın x eksenine
göre simetrisi alınıyor.
x
II. x eksenine göre simetrisi alınıyor.
x
III.2 birim yukarıya öteleniyor.
E)
y
x
Yukarıdaki adımlar sırası ile uygulanırsa
aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi elde edilir?
A) 2 – If(x)I
44
B) If(x) +2I
D) If(x)I +2
C) I f(x)I – 2
E) 2 – f (IxI)
6. f (x) fonksiyonu art arda
9.Yanda y = f (x)
fonksiyonunun
grafiği
verilmiştir.
u = ^1, 2h , v = ^–2, 3 h , k = ^a, b h
vektörleri boyunca öteleniyor. Son durumda
oluşan fonksiyon f(x) fonksiyonuna eşit ise
a+b toplamı kaçtır?
A) –4
B) –2
Z 1
] 2
] x –9
f ^xh = [ 1–x
] 1
] 2
\ x –25
7.
C) 0
D) 2
x < –1
,
–1 # x < 3
,
x≥3
B) 3
C) 4
8.Yanda y = f (x) fonksi
yonunun grafiği verilmiştir.
A)
x
–5
C)
x
–2
E)
–6
1. C
2. B
–3
3
–1
x
y
3
A)
x
B)
y
C)
x
D)
y
y
x
x
x
y
x
E)
y
x
x
3. D
x
10.f(x) = x . IxI fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
4
3 5
y
x
35
–3
–1
x
–3 –1
D)
y
x
y
3 4
y
x
5
E)
4
D)
y
x
y
3
–3 –1
2
B)
y
–6
–3
–1
C)
E) 6
y
Buna göre y = f(3 –x)
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
B)
y
–3
D) 5
2
f ^xh – f ^xh
fonksiyonunun
2
grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
fonksiyonu kaç tane x tamsayısında tanımsızdır?
A) 2
–1
Buna göre g ^xh =
E) 4
A)
,
–3
–2
y = f(x)
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
y
4. A
5. A
6. A
7. B
8. A
9. E
10. C
45
KARMA TEST - 3
1. y = f(x) fonksiyonu için
3.
If(x)I = –f(x) dir.
A)
y
B)
y
C)
D)
y
E)
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
If(x)I = f(x)
y
B)
B) Tek fonksiyondur.
C) Sabit fonksiyondur.
D) Sıfır fonksiyonudur.
E) Birim fonksiyondur.
y
D)
x
E)
Buna göre f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
x
x
y
x
5.f(x) fonksiyonunun u = ^a, bh vektörü boyunca
ötelenmesi ile 4 birim aşağıya ötelenmesinden
aynı fonksiyon elde edilmektedir.
y
x
Buna göre b kaçtır?
A) 0
46
E) 64
A) Çift fonksiyondur.
olduğuna göre f(x) in grafiği aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
C)
D) 36
4.y = f(x) fonksiyonunun a(a>0) birim düşey ötelenmesi ile x eksenine göre simetrisinin alınmasından aynı fonksiyonlar elde edilmektedir.
y
y
C) 32
x
2. f(x) çift fonksiyondur.
A)
B) 25
x
A) 16
y
x
bağıntısının çözüm kümesinin alanı kaç birimkaredir?
x
x
Buna göre f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
IxI + IyI ≤ 4
B) 2
C) 4
D) –2
E) –4
6. Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
f ^–xh , x < 0
g ^xh = )
–f (x) , x ≥ 0
olduğuna göre g(x)
in grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
y
1
1
B)
y
x
y = f(x)
x
A) y = IxI + x
B) IyI + IxI =0
C) y = IxI –2x
D) IyI = x
y
y
8. Yanda f(x) bağıntısının grafiği verilmiştir. Buna göre f(x)
aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
E) IyI = IxI
1
x
C)
D)
y
1
–1
1
1
x
1
y
1
–1
1
y
9. Yanda y = f(x) fonksi-
y
x
E)
x
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
1
x
yonunun grafiği verilmiştir.
–1 , xf (x) < 0
g ^xh = )
1 , xf (x) ≥ 0
y = f(x)
–4
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
B)
y
1
x
4
–4
–1
C)
D)
x
4
–4
B) (–6, 4)
E)
1. B
2. E
1
–4
C) (–4, 6)
3. C
4. C
x
y
4
x
–1
3
E) a – 2 , 6 k
D) (–4, 4)
4
–1
denkleminin farklı iki kökü olması için a hangi aralıkta olmalıdır?
A) (–6, 6)
1
–1
x
y
1
I4xI + ax = 6
4
–1
y
–4
y
1
–4
7.
x
4
5. E
6. B
7. D
8. E
9. A
47
KARMA TEST - 4
1.
3.a, b ∈ R+ ve a < b dır.
y
y = f(x)
5
2
y = f(x)
g : [a, b] ➞ R y = g(x)
ve f(a) = g(b) dır.
1
f : [a, b] ➞ R x
4
Yukarıda y = f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
A) ∀ x ∈ [a, b] için f(x) < g(x) dır.
Buna göre,
B) ∃ x ∈ [a, b] : f(x) = g(x) = 0
I. f(x) in tanım kümesi (1, 4] dır.
II. f(x) in görüntü kümesi (2, 5] dır.
C) ∀ x ∈ [a, b] için g(x) < f(x)
III.f(1) = 2 dır.
D) f(a) < g(a)
ifadelerinden hangisi doğrudur?
A) I
B) II
D) II, III
E) f(x) – g(x) sabit fonksiyondur.
C) I, II
E) Hepsi
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
f(x) ve g(x) artan fonksiyon olduğuna göre
aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
4.f(x) artan bir fonksiyondur.
I. f(x) orijine göre simetrisi
2.a, b ∈ R ve a < b dır.
+
II. f(x) in x eksenine göre simetrisi
f : [a, b] ➞ R y = f(x)
mesi
1– 2
3 olduğuna göre
f(x) = 0 denkleminin [a, b] aralığında kaç tane
kökü vardır?
A) 0
48
III.f(x) in u = ^–1, –1h vektörü boyunca ötelen-
fonksiyonu azalan bir fonksiyondur.
f ^ah =
B) 1
C) 2
Buna göre;
D) 3
E) 4
ile elde edilen fonksiyonlardan hangisi kesinlikle azalan bir fonksiyondur.
A) I
B) II
D) II, III
C) I, II
E) I, II, III
5.f: A ➞ A , y = f (x) fonksiyonu veriliyor.
f ^xh =
7.
Buna göre;
I. f(x) birebirdir.
II. f(x) çift fonksiyondur.
B) R–{–4}
D) R – {–4, 2}
IV. f(x) tek fonksiyondur.
x 2 + 2x–8
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) R
III.f(x) örtendir.
^x + 1 h2 –9
C) R – {2}
E) R – {1, 2}
yukarıdaki önermeler için aşağıdakilerden
hangisi daima doğrudur?
A) I ⇒ IV
D) III ⇒ II
C) IV ⇒ II
E) II ⇒ III
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
B) III ⇒ I
8.
6.f : A ➞ B ve f–1 : B ➞ A
fonksiyondur.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
f(x) = log ( log(x+1))
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–1, 10)
B) (10, ∞)
D) (–1, ∞)
A) ∃ a, b ∈ A, (a ≠ b) : f(a) = f(b) dır.
C) (0, ∞)
E) (1, ∞)
B) A ≠ f–1 (B) dır.
C) ∃ a ∈ A , b ∈ A : f(a) = f–1 (b)
D) a, b ∈ B için f–1(a) = f–1(b) ise a = b dir.
E) A ⊂ f(B) dir.
1. B
2. A
3. C
4. B
5. B
6. D
7. D
8. C
49
KARMA TEST - 5
1.
4
3.
y
5
–7
3 6
B(7, 4)
9 x
x
–3
y = f(x)
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu
için [–7, 9] aralığında ⎜If(x)I –3⎟ = 2 eşitliğini
sağlayan kaç tane x değeri vardır?
C) 5
D) 6
E) 7
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f(x) fonksiyonunun tanım kümesi T ve
görüntü kümesi f(T) ise T– f (T) kümesindeki
tamsayıların toplamı kaçtır?
A) –12
B) –9
C) –6
D) –3
E) 3
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
B) 4
y
y = f(x)
–6
A) 3
A(–5, 6)
2.
4.
y
5
–5
x
y = f(x)
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre g ^xh =
1
fonksiyonunu [–5, 5]
f ^xh
aralığında tanımsız yapan kaç tane x değeri
vardır?
A) 2
50
B) 3
C) 4
D) 5
bağıntısının grafiği ve eksenler arasında kalan kapalı bölgenin alanları toplamı kaç birimkaredir?
A) 36
I x – yI = 6
E) 6
B) 32
C) 24
D) 18
E) 15
5.
x ve y tamsayı olmak üzere
IxI + IyI = 6 eşitliğini sağlayan kaç tane (x, y)
sıralı ikilisi vardır?
A) 6
B) 12
C) 18
D) 24
x –1
f ^ x h = x –1 + 3
7.
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
E) 36
A)
B)
y
4
C)
4
2
2
x
D)
y
1
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
2
x
–1
E)
x
y
4
x
1
–2
f (x) = 2IxI
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
C)
x
D)
y
y
x
y
x
x
6.
x
4
2
8.
1
y
4
y
x ve y tamsayı olmak üzere
IxI + IyI ≤ 5 eşitsizliğini sağlayan kaç tane (x, y) sıralı ikilisi vardır?
A) 26
B) 30
C) 31
1. D
D) 60
2. C
E)
E) 61
3. B
4. A
y
x
5. D
6. E
7. B
8. D
51
KARMA TEST - 6
1.
a ∈ Z olmak üzere
f (x) = (a – 3) x2 +2
3. Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlardan
hangisi her x için f(x) = f(IxI) eşitliğini sağlar?
fonksiyonu R+ da artan olduğuna göre f(a)
A)
en az kaçtır?
A) 3
B) 6
C) 11
D) 18
B)
y
E) 27
y
f(x)
x
x
C)
y
D)
f(x)
y
x
y
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
E)
IV. En küçük değeri 0 dır.
V. f(x) = 0 denkleminin kökü yoktur.
işleminin sonucu kaçtır?
52
III.f(x) artandır.
2015 tane
B) 5
D) 2015
fonksiyonu için;
II. f(x) çift fonksiyondur.
(fo f of o....ofof) (2)
A) 2
3
1 + x2
I. f(x) tek fonksiyondur.
f (x) = Ix+5I – Ix–2I
olduğuna göre,
f(x)
x
4.f : R ➞ R , f ^xh =
2.
f(x)
x
C) 7
E) 4030
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1
5.f ^xh = x + x bir fonksiyondur.
7.
5
Buna göre tanım kümesindeki her x elemanı
için;
C) II, III, IV
Buna göre If(x) –1I = 1 denklemini sağlayan
kaç tane x değeri vardır?
A) 2
E) III, IV
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
D) I, III, IV
B) 3
C) 4
B)
y
20
12345
n
24531
g=d
12345
n
51432
C)
7
5
3
2
h ^xh =
1
f ^xh –g ^x h
A) 1
B) 2
C) 3
1. D
D) 4
2. C
4. B
x
50 55 60
E)
7
5
3
2
5. B
6. D
7. C
y
5
3
2
20
7
5
3
2
x
50 55 60
y
20
50 55 60
x
y
20
E) 5
3. E
x
D)
fonksiyonunu tanımsız yapan x değeri kaçtır?
50 55 60
y
20
olduğuna göre
h : {1, 2, 3, 4, 5} ➞ R
E) 6
Buna göre 0-60 ton su birim fiyatını gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir?
5
3
2
f=d
D) 5
8.Bir belediye 20 ton ve altı için suyun birim fiyatını 2 lira, 20 tonun üstündeki kullanımlar için 3
lira belirlemiştir. Ayrıca 50 tondan sonra her 5'in
katında birim fiyat 2 lira artmaktadır.
A)
6.
x
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
ifadelerinden hangisi doğrudur?
B) II, IV
5
–3
IV. f(x) in grafiği x eksenini kesmez.
A) I, II
y = f(x)
1
–5
I. f(x) = –f(x)
1
II. f(x) = f a x k
III.f(x) = f(–x)
y
50 55 60
x
8. E
53
UYGULAMA KUTUSU 2 / CEVAPLAR
UYGULAMA KUTUSU 9 / CEVAPLAR
1. A) Fonksiyondur.
1. B) Fonksiyondur.
C) Fonksiyon değildir.
D) Fonksiyon değildir.
E) Fonksiyondur.
y
f(x) = |Inx|
x
e
2. A) Fonksiyondur.
B) Fonksiyon değildir.
C) Fonksiyondur.
D) Fonksiyondur.
E) Fonksiyon değildir.
2. f (x) = x – Ix–2I
x– (–x + 2) 2
= x+x –2
= 2x – 2
UYGULAMA KUTUSU 7 / CEVAPLAR
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
y
1 2
x
–2
y
1.
–1
3. f (x) = ⎜x – Ix+2I⎟
x
1
2.
y
–1
x < –2 x ≥ –2 f(x) = ⎜x + x+2⎟
= ⎜2x + 2⎟ = 2 Ix+1I
= 2(–x–1)
= –2x–2
f(x) = ⎜x – x–2⎟
= I–2I = 2
y
2
1
1
2
3
x
2
–2 –1
54
x– (x – 2)=2
x– (x – 2)=2
–2
x
4. A)
y
UYGULAMA KUTUSU 10 / CEVAPLAR
If(x)I
1. I. f (x) = x2 – 4
x
y
f(x) = x2 – 4
B)
y
–2
If(x)I
y
If(x)I
y
II.
4
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
x
D)
y
If(x)I
x
–2
y
6
III.
y
E)
x
2
2
–2
x
F)
x
–4
x
C)
2
y
2
x
If(x)I
x
55
AY
Süre
4
4
4
4
08-10
EYLÜL
EKİM
HAFTA
15-19
29-03
13-17
22-26
SAAT
5. Parçalı fonksiyonun grafiğini çizer, uygulamalar yapar.
KURBAN BAYRAMI
5. Parçalı fonksiyonun grafiğini çizer, uygulamalar yapar.
PARÇALI FONKSİYONLAR
4. Verilen bir fonksiyonun en geniş tanım kümesini belirler.
FONKSİYONLARIN TANIM KÜMESİ
3. Çift fonksiyonu ve tek fonksiyonu açıklar, grafiklerini yorumlar.
belirler.
2. Verilen bir fonksiyonun artan, azalan ve sabit olmasını açıklar; verilen
bir fonksiyonun artan, azalan veya sabit olduğu aralıkları
1. Fonksiyon kavramı, fonksiyon çeşitleri ve ters fonksiyon kavramlarını
açıklar.
FONKSİYONLAR
ALT ÖĞRENME ALANLARI VE KAZANIMLAR
FONKSİYONLAR (16 Saat)
Fonksiyonlar
Parçalı
Fonksiyonlar
Parçalı
Fonksiyonların
Tanım Kümesi
Fonksiyonlar
Fonksiyonlar
(CEBİR)
ÖĞRENME ALANI
Düz Anlatım
Soru-cevap
Problem çözme,
Analiz etme,
Gösterip Yaptırma,
Grup Çalışması
ÖĞRENMEÖĞRETME YÖNTEM VE TEKNİKLERİ
Ders kitabı
Etkileşimli Tahta Eba
KULLANILAN EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ VE TEKNİKLERİ
2014-2015 Eğitim Öğretim Yılı 12. Sınıf Matematik Dersi Ünitelendirilmiş Yıllık Plan Örneği
DEĞERLENDİRME
Download

12. Sınıf Özel Tanımlı Fonksiyonlar Fasikülü (pdf)