TRԨGONOMETRԨ
ÜNԨTE
3. ÜNԨTE
3. ÜNԨTE
3. ÜNԨTE
Dik Üçgende Dar Açlarn Trigonometrik Oranlar
1. Kazanm: Dik üçgende dar açlarn trigonometrik oranlarn belirtir.
2. Kazanm: Dik üçgen yardmyla 30°, 45° ve 60° lik açlarn trigonometrik oranlarn hesaplar.
3. Kazanm: Tümler açlarn trigonometrik oranlar arasndaki iliԭkiyi belirtir.
4. Kazanm: Trigonometrik oranlardan biri belli iken diԫer trigonometrik oranlar bulur.
Yönlü Açlar
1. Kazanm: Yönlü aç ve yönlü yay kavramn açklar.
2. Kazanm: Birim çemberi belirtir ve denklemini yazar.
3. Kazanm: Aç ölçü birimlerini belirtir ve birbirine çevirir.
4. Kazanm: Açnn esas ölçüsünü açklar.
Trigonometrik Fonksiyonlar
1. Kazanm: Trigonometrik fonksiyonlar birim çember yardmyla ifade eder, tanm ve görüntü kümelerini
belirler, trigonometrik özdeԭlikleri gösterir.
2. Kazanm: k D Z olmak üzere,
kr
" i saylarnn trigonometrik oranlarn i saysnn trigonometrik
2
oran cinsinden yazar.
3. Kazanm: Bir açnn trigonometrik fonksiyonlar altndaki görüntüsünü trigonometrik deԫer tablosunda
bulur.
Trigonometrik Fonksiyonlarn Grafikleri
1. Kazanm: Periyodu ve periyodik fonksiyonu açklar, trigonometrik fonksiyonlarn periyotlarn bulur.
2. Kazanm: Trigonometrik fonksiyonlarn grafiklerini çizer.
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
1. Kazanm: Ters trigonometrik fonksiyonlar açklar.
Üçgende Trigonometrik Baԫntlar
1. Kazanm: Sinüs, kosinüs teoremlerini belirtir, gösterir ve üçgenin alan formüllerini bulur.
Toplam ve Fark Formülleri
1. Kazanm: Ԩki saynn toplam ve farknn trigonometrik oranlarn bulur.
2. Kazanm: Yarm aç formüllerini oluԭturur.
3. Kazanm: Toplam çarpma dönüԭtürme (dönüԭüm) ve çarpm toplama dönüԭtürme (ters dönüԭüm)
formüllerini oluԭturur.
Trigonometrik Denklemler
1. Kazanm: Trigonometrik denklemleri çözer.
3. ÜNԨT
TRԨGONOMETRԨ
DAR AÇILARIN TRԨGONOMETRԨK ORANLARI
Ölçülmesi çok zor, hatta imkansz gibi görünen yatay veya düԭey uzunluklarn ölçülmesi için geliԭtirilmiԭ olan
trigonometri yardmyla bu uzunluklar kolaylkla hesaplanabilir.
a
m( KOL) = _ açsna göre,
"
OLK dik üçgeninde
[OK] : hipotenüs
[OL] : komԭu dik kenar
[KL] : karԭ dik kenar
_
!
#
cos_ =
OL
komu dik kenar uzunlu¤u
=
,
hipotenüs uzunlu¤u
OK
$%&_ '
()*+,-.%(-(/&)*-010&2030
"#
'
!"
4%567/&8$-010&2030
7)&_ '
()*+,-.%(-(/&)*-010&2030
"#
'
;
!#
(69+0-.%(-(/&)*-010&2030
:67_ '
(69+0-.%(-(/&)*-010&2030
!#
'
"#
()*+,-.%(-(/&)*-010&2030
ÖRNEK 1
r
2
4
olmak üzere, sin_ =
5
ԫerlerini bulunuz.
ÖRNEK 2
0<_<
ise cos_, tan_ ve cot_ de_
Çözüm
Yukardaki ԭekil dört eԭ kareden oluԭmuԭtur.
ESEN YAYINLARI
Buna göre tan_ kaçtr?
Çözüm
231
Trigonometri
ÖRNEK 3
ÖRNEK 4
'
'
&
&
+
_
!
$
#
%
,
$_
"
!
a
ABC üçgeninde m( ADC) = _, |AB| = |AC| = 5 cm
-
"
a
ABC dik üçgeninde [AC] Œ [BC], m( ABC) = 2_
|BD| = 2 cm, |DC| = 4 cm ise cot_ kaçtr?
ise tan_ nn a, b, c türünden deԫerini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ETKԨNLԨK
'
!
_
"
Çok yüksek bir daԫn yerden yüksekliԫini bulmak için bu daԫn en yüksek noktas (A) ile yerdeki bir nokta (B)
a
arasndaki uzaklԫn ve m( ABC) = _ nn bilinmesi yeterli olur mu?
|AB| = 6400 metre ve sin_ =
Çözüm
232
3
deԫerleri verildiԫinde bu daԫn yerden yüksekliԫi kaç metre olur?
4
Trigonometri
ÖRNEK 5
ÖRNEK 7
Bir ABC üçgeninde |AB| = |BC| ve tanC = 2 ise
olduԫunu gösteriniz.
sinB kaçtr?
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Herhangi bir ABC üçgeninde, a.cosB + b.cosA = c
ÖRNEK 6
'
ÖRNEK 8
'
_
!
*
"
1234
a
ABC dik üçgeninde [AH] Œ [BC], m( ACB) = _
_
!
|BC| = 1 cm ise |HC| nin _ cinsinden deԫerini bulunuz.
Çözüm
"
Bir uçak _ açsyla saatte 240 km hzla havalanyor.
1
sin_ =
olmak üzere kaç dakika sonra 8 km lik yük3
sekliԫe ulaԭr?
Çözüm
233
Trigonometri
Ölçüleri 30° ve 60° Olan Açlarn Trigonometrik Oranlar
'
(56 (56
v(
$
$
756
!
756
)
*
)
"
Bir kenar uzunluԫu 2 cm olan ABC eԭkenar üçgeninde [AH] Œ [BC] çizildiԫinde [AH] yüksekliԫi hem kenarora
a
tay, hem açortay olacaԫndan |BH| = |HC| = 1 cm, |AH| = v3 cm, m( BAH) = m( HAC) = 30° olur.
ABH dik üçgeninde,
sin30° =
BH
1
,
=
2
AB
cos30° =
AH
3
=
,
2
AB
tan30° =
BH
1
3
=
=
,
3
AH
3
cot30° =
AH
= 3
BH
Benzer ԭekilde, ayn üçgende,
sin60° =
®
3
,
2
tan60° = v3 ,
cos60° = 1 ,
2
cot60° =
3
3
olur.
Bulunan deԫerler karԭlaԭtrldԫnda,
sin30° = cos60° = 1 ,
2
sin60° = cos30° =
3
,
2
tan30° = cot60° =
3
, tan60° = cot30° =
3
3
eԭitlikleri oluԭur. Bu durumu aԭaԫdaki gibi kurallaԭtrabiliriz.
Birbirini 90° ye tamamlayan iki açdan birinin sinüsü diԫerinin kosinüsüne, birinin tanjant diԫerinin
kotanjantna eԭittir.
_ + ` = 90° ise sin_ = cos` , tan_ = cot` dr.
ÖRNEK 9
ÖRNEK 10
Aԭaԫda birbirini 90° ye tamamlayan açlarla ilgili örnekler verilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.
sin 42°. tan 10°
iԭleminin sonucu kaçtr?
cos 48°. cot 80°
Çözüm
®
sin12° = cos78°
®
sin44° = cos46°
®
sin63° = cos27°
®
tan2° = cot88°
®
tan21° = cot69°
®
tan53° = cot37°
234
Trigonometri
ÖRNEK 11
ÖRNEK 12
_ < 90° ve ` < 90° olmak üzere
sin40° = a ve cot25° = b
sin_ + tan35° = cos` + cot55°
olduԫuna göre, cos50°.tan65° ifadesinin eԭitini bu-
eԭitliԫini saԫlayan _ + ` kaç derecedir?
lunuz.
Çözüm
Çözüm
Ölçüsü 45° Olan Açnn Trigonometrik Oranlar
'
%&6
v$
)
%&6
!
)
"
Dik kenar uzunluklar 1 br olan ABC ikizkenar dik üçgeninde, |AC| = |BC| = 1 br, |AB| = v2 br olur.
sin45° =
AC
1
2
=
=
2
AB
2
tan45° =
AC
=1
BC
,
,
cos45° =
BC
1
2
=
=
2
AB
2
cot45° =
1
= 1 bulunur.
tan 45°
Hipparchus (M.Ö. 190 –– M.Ö. 120)
Yunan matematikçi ve astronomdur. Ԩznik’’te doԫdu ve muhtemelen Rodos’’ta
öldü.
Ԩlk sistematik astronomi ve trigonometriyi bulan kiԭi olarak kabul edilir. Güneԭ ve
Ay’’n uzaklԫn hesaplamԭtr. Enlem ve boylam daireleriyle, Dünya’’daki herhangi
bir noktann konumunu belirtme yöntemini bulmuԭtur.
235
ALIŞTIRMALAR – 1
1.
6.
Aԭaԫdaki tabloyu doldurunuz.
(56
/
%&6
#
"
_
756
9:;/
=
+89/
$
<-;/
'
!
a
ABCD karesinde m( ECB) = _, |EA| = 2 cm ve
+8</
tan_ = 3 ise |AB| kaç cm dir?
_ D b 0,
2.
r
3
l ve tan_ =
2
4
olduԫuna göre sin_, cos_ ve cot_ deԫerlerini
bulunuz.
#
7.
"
=
r
5
l ve cos_ =
13
2
olduԫuna göre sin_ , tan_ ve cot_ deԫerlerini
bulunuz.
_
ESEN YAYINLARI
_ D b 0,
3.
'
!
ABCD dikdörtgen DBE üçgendir.
a
[DB] Π[BE], m( CBE) = _, 4.|AB| = 3.|AD| ise
cos_ kaçtr?
_ D b 0,
4.
r
l olmak üzere
2
tan_ = 2 ise cos_.sin_ kaçtr?
8.
_
5.
'
`
_
!
#
"
a
ABC eԭkenar üçgeninde m( ADB) = _
|BD| = 5.|DC| ise tan_ kaçtr?
236
Yukardaki ԭekil bir küpün açlmyla oluԭmuԭtur.
Buna göre, tan_ + cot` kaçtr?
Trigonometri
YÖNLÜ AÇILAR
Baԭlangç noktalar ortak olan iki ԭnn birleԭimi aç, açy oluԭturan ԭnlarn herbiri de açnn kenarlardr.
Açy, kenarlarnn yazlԭ srasna göre iki deԫiԭik biçimde yönlendiririz.
'
>
F8G:<:H2.I;
!-BC-;DAE23?;[email protected]
!BC;
!:<
:4
23?
;
[email protected]
DAE
23?
;
[email protected]
'
>
!
J?D-<:H2.I;
!:<:423?;[email protected]
!
Yukardaki ԭekillerin birincisinde baԭlangç kenarndan bitim kenarna saat yönünün tersi yönde (pozitif yön),
ikincisinde ise saat yönü ile ayn yönde (negatif yön) gidilmiԭtir.
a
BOA açs pozitif yönlü bir aç olup BOA biçiminde gösterilir. Baԭlangç kenar [OB, bitim kenar [OA dr.
a
AOB açs negatif yönlü bir aç olup AOB biçiminde gösterilir. Baԭlangç kenar [OA, bitim kenar [OB dir.
'EA
MI;N
!-BC-;DAE23?;[email protected]
!:<:423?;[email protected]
OI9<?@:C:B:
J?D-<:H
S2MQ
S2MP
QMP
F8G:<:H
S2KR
S2KL
RKL
Q
M
P
L
K
R
YÖNLÜ YAYLAR
h
Ԭekilde O merkezli çember ile AOB açsnn kesiԭimi AB yaydr ve AB biçi-
!
L
K
minde gösterilir. AB yaynn yönü olarak LOK açsnn yönü alnrsa AB yay
>
pozitif yönlü bir yay olur. A noktas bu yayn baԭlangç noktas, B noktas da
'
bitim noktasdr.
'EA
MI;N
!-BC-;DAE2;83<-9A
!:<:42;83<-9A
OI9<?@:C:B:
F8G:<:H
"
!
"!
J?D-<:H
R
L
RL
!
'
"
L
K
R
237
Trigonometri
Radyan
BԨRԨM ÇEMBER
Bir çemberde, yarçap uzunluԫundaki bir yay gören
.
merkez açnn ölçüsü 1 radyandr.
T5U)V
1 radyan yaklaԭk olarak 57.3° dir.
LT/U.V
Bir çember yaynn ölçüsü 2/ radyandr.
)
>
TX)U5V
W
T)U5V
/
Aç Ölçü Birimlerinin Birbirine Dönüԭtürülmesi
Bir çember yaynn ölçüsü 360 derece veya 2/ rad-
T5UX)V
yan olduԫundan
D = R ‰ D = R
360 2r
180 r
Merkezi baԭlangç noktas ve yarçapnn uzunluԫu
1 birim olan çembere birim çember denir.
K(x, y) birim çember üzerinde bir nokta olmak üzere;
OTK dik üçgeninde,
2
2
2
ÖRNEK 14
2
2
|OT| + |KT| = |OK| ‰ x + y = 1 olur.
Ölçüsü
x2 + y2 = 1 baԫnts birim çemberin denklemidir.
7r
radyan olan aç kaç derecedir?
4
Çözüm
ÖRNEK 13
Birim çember üzerinde apsisi ordinatna eԭit olan
ESEN YAYINLARI
noktalar bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 15
Ölçüsü 240° olan aç kaç radyandr?
Çözüm
ÖRNEK 16

AÇI ÖLÇÜ BԨRԨMLERԨ
1
Bir çemberin
n gören merkez açnn ölçüsü
360
1 derecedir.
Derece (°) simgesi ile gösterilir.

1° nn 60 ta biri 1 dakikadr. (1 )

1 nn 60 ta biri 1 saniyedir. (1 )
238


olduԫuna göre, _ + ` deԫerini bulunuz.
Derece


_ = 42° 54 36 ve ` = 11° 40 43
Çözüm
Trigonometri
ÖRNEK 17
ÖRNEK 20



Birim çember üzerinde, uzunluklar; 0 , r , r , 3r
2
2
ve 2/ olan yönlü yaylarn bitim noktalarnn koordi-

_ = 46° 38 23 ve ` = 21° 12 40
olduԫuna göre, _ –– ` deԫerini bulunuz.
natlarn bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 18


23° 16 43 lik aç kaç saniyedir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 21
Birim çember üzerinde, uzunluklar
ÖRNEK 19
52146

dir?
Çözüm
lik aç kaç derece, kaç dakika, kaç saniye-
r 3r 5r
,
,
ve
4
4
4
7r
olan yönlü yaylarn bitim noktalarnn koordinat4
larn bulunuz.
Çözüm
239
Trigonometri
ÖRNEK 23
Ölçüsü ––1413° olan açnn esas ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm
ÖRNEK 24
Ölçüsü
23r
radyan olan açnn esas ölçüsünü bu3
lunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
BԨR AÇININ ESAS ÖLÇÜSÜ
0° ” e < 360° ve k D Z olmak üzere, ölçüsü e + k.360°
olan açnn esas ölçüsü e derecedir.
0 ” e < 2/ ve k D Z olmak üzere, ölçüsü e + k.2/
olan açnn esas ölçüsü e radyandr.
ÖRNEK 25
Ölçüsü
yandr?
ÖRNEK 22
Ölçüsü 4243° olan açnn esas ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm
240
Çözüm
––
43r
olan açnn esas ölçüsü kaç rad5
ALIŞTIRMALAR – 2
1.
Aԭaԫda verilen tablodaki boԭluklar doldurunuz.
'EA
MI;N
!-BC-;DAE23?;[email protected]
!:<:423?;[email protected]
OI9<?@:C:B:
!-BC-;DAE2;83<-9A
!:<:42;83<-9A
OI9<?@:C:B:
'
!
"
Q
M
P
2.
Aԭaԫda verilen tablodaki boԭluklar doldurunuz.
M-.
MI;N
!
'
L
3.
"
R
K
Aԭaԫdaki noktalardan hangilerinin birim çember
4.
üzerinde olduԫunu tespit ediniz.
a.
1 1
c , m
2 2
b.
d
3 1
, n
2
2
Aԭaԫda verilen açlar çiziniz.
a
a. AOB
a
b. XYZ
c.
d ––
1
3
,
n
2 2
e.
3
,
d
2
2
n
2
d.
d
2
2
, ––
n
2
2
f.
3
,
d ––
2
5
n
2
5.
Birim çember üzerinde apsisi
1
olan noktalar2
dan birinin ordinatn bulunuz.
241
Trigonometri
6.
Birim çember üzerinde apsisi ordinatnn
10. Aԭaԫda ölçüleri verilen yönlü yaylarn bitim nok-
3
talarnn koordinatlarn bulunuz.
kat olan noktalar bulunuz.

7.


_ = 42° 13 51 ve ` = 28° 24 40
a.
r
3
b.
2r
3
c.
4r
3
d.
5r
3
e.
r
6
f.
5r
6
g.
7r
6
h.
11r
6

olmak üzere aԭaԫdaki ifadelerin her birinin eԭitini
bulunuz.
a. _ + `
c. 2_ + 3`
ESEN YAYINLARI
b. _ –– `
11. Aԭaԫda ölçüleri verilen açlarn, esas ölçülerini
ayn birimde bulunuz.
a. 480°
b. 1316°
c. ––843°
d. ––2716°
d. 3_ –– `
8.

48916 lik aç kaç derece, kaç dakika ve kaç saniyedir?
e.
9.


16° 41 37 lik aç kaç saniyedir?
242
51r
7
g. ––
19r
5
f. 83r
4
h. ––
213r
4
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK FONKSԨYONLAR
Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonlar
.
!T5U)V
LT/U.V
"TX)U5V
)
9:;_
'T)U5V
_
>
+89_
K
/
#T5UX)V
a
K(x, y) noktas birim çember üzerindedir. m( KOL) = _ olmak üzere;
®
K(x, y) noktasnn apsisine, _ gerçek saysnn kosinüsü denir ve cos_ biçiminde gösterilir.
_ gerçek saysn, cos_ ya dönüԭtüren fonksiyon kosinüs fonksiyonudur.
®
K(x, y) noktasnn ordinatna, _ gerçek saysnn sinüsü denir ve sin_ biçiminde gösterilir.
_ gerçek saysn, sin_ ya dönüԭtüren fonksiyon sinüs fonksiyonudur.
®
Birim çember üzerindeki noktalarn apsis ve ordinatlar [––1, 1] aralԫnda bulunduԫundan, sinüs ve kosinüs
fonksiyonlarnn
tanm kümesi : R ,
görüntü kümesi : [––1, 1] dir.
Yani, ™ _ D R için ––1 ” cos_ ” 1 ve ––1 ” sin_ ” 1 dir.
®
Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarn
cos : R A [––1, 1], f(x) = cosx ,
sin : R A [––1, 1], f(x) = sinx
ÖRNEK 26
sin
r
r
ve cos
ifadesinin eԭitini bulunuz.
2
2
Çözüm
biçiminde ifade ederiz.
ÖRNEK 27
sin180° ve cos180° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
243
Trigonometri
Benzer ԭekilde 0°, 270° ve 360° lik açlara karԭlk
ÖRNEK 29
gelen noktalar birim çember üzerinde iԭaretlenerek
A = 3cosx –– 2siny
bu açlarn da sinüs ve kosinüsleri bulunabilir. Bu de-
olmak üzere A nn en büyük tam say deԫeri ile en
ԫerler aԭaԫdaki tabloda verilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.
/
56
Z56
)156
$Y56
(756
+89/
)
5
X)
5
)
9:;/
5
)
5
X)
5
küçük tam say deԫerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 28
A = 2sinx –– 3
olmak üzere A nn deԫer aralԫn bulunuz.
Çözüm
Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonlar
.
/[)
+8<_
!
/
$
/
"
>
\
_
W
L
.[)
<-;_
5
$/ '
/
(/ #
$
a
x = 1 ve y = 1 doԫrular birim çembere A ve B noktalarnda teԫettir. m( AOK) = _ olmak üzere,
®
[OK nn, x = 1 doԫrusunu kestiԫi T noktasnn ordinat, _ reel saysnn tanjantdr ve tan_ olarak gösterilir.
x = 1 doԫrusu tanjant eksenidir.
®
y ekseni ile tanjant ekseni paralel olduԫundan,
_=
®
®
r
3r
r
3r
veya _ =
için [OK ile x = 1 doԫrusu kesiԭmez. O halde; tan
ve tan
tanmszdr.
2
2
2
2
r
+ k/, k D Z} , görüntü kümesi : R dir.
2
[OK nn, y = 1 doԫrusunu kestiԫi K noktasnn apsisi, _ reel saysnn kotanjantdr ve cot_ olarak gösterilir.
Tanjant fonksiyonunun; tanm kümesi : R –– {
y = 1 doԫrusu kotanjant eksenidir.
®
x ekseni ile kotanjant ekseni paralel olduԫundan, _ = 0, _ = / veya _ = 2/ için [OK ile y = 1 doԫrusu
kesiԭmez. Dolaysyla cot0, cot/ ve cot2/ tanmszdr.
®
Kotanjant fonksiyonunun; tanm kümesi : R –– {k/, k D Z} , görüntü kümesi : R dir.
244
Trigonometri
Sekant ve Kosekant Fonksiyonlar
.
L
!
+89?+_
"
/
/
$
K
_
>
5 '
$/
R
/
9?+_
# (/
$
KM doԫrusu birim çembere L noktasnda teԫet olup eksenleri kestiԫi noktalar K ve M dir.
a
m( LOM) = _ olmak üzere,
®
M noktasnn apsisi, _ reel saysnn sekantdr ve sec_ ile gösterilir.
®
K noktasnn ordinat, _ reel saysnn kosekantdr ve cosec_ biçiminde gösterilir.
®
B ve D noktalarnda sekant deԫerleri tanmsz olacaԫndan sekant fonksiyonunun,
tanm kümesi : R –– &
®
r
+ kr, k ! Z 0 , görüntü kümesi : R –– (––1, 1) dir.
2
A ve C noktalarnda kosekant deԫerleri tanmsz olacaԫndan kosekant fonksiyonunun,
tanm kümesi: R –– { k/ , k D Z } , görüntü kümesi: R –– (––1, 1) dir.
ÖRNEK 30
ÖRNEK 31
A = 4 –– tanx
0° ” _ ” 45° olmak üzere,
olduԫuna göre, A nn alabileceԫi en küçük pozitif tam
sec_ hangi aralkta deԫer alr?
say deԫeri kaçtr?
Çözüm
Çözüm
245
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK ÖZDEԬLԨKLER
sin2_ + cos2_ = 1
.
OAK dik üçgeninde,
LT+89_U29:;_V
)
|OA| = cos_
_
>
|AK| = sin_
'
/
|OK| = 1 olduԫundan
|OA|2 + |KA|2 = |OK|2 ‰ (cos_)2 + (sin_)2 = 12 ‰ sin2_ + cos2_ = 1 bulunur.
Bu özdeԭliԫi,
sin2_ = 1 –– cos2_ ve cos2_ = 1 –– sin2_ biçimleriyle de kullanacaԫz.
ÖRNEK 32
ÖRNEK 34
sin 2 x
= 1 –– cos x
1 + cos x
sin4x –– cos4x + cos2x = sin2x olduԫunu gösteriniz.
olduԫunu gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 33
cos 2 x
cos 2 y
––
sin 2 x –– sin 2 y
Çözüm
ifadesinin eԭitini bulalm.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 35
1–– sin x
cos x
in a türünden
= a olduԫuna göre,
cos x
1 + sin x
deԫerini bulalm.
Çözüm
246
Trigonometri
tan_ = sin a
cos a
ve cot_ =
cos a
dr.
sin a
.
&
&
OMR + OAT olduԫundan
OM
MR
=
OA
AT
‰
cos a sin a
=
‰ tan a = sin a
cos a
1
tan a
+8<_
!
olur.
\
J
)
9:;_
‰
"
'
+89_ R
>
sin a cos a
cos a
=
‰ cot a =
olur.
1
cot a
sin a
#
.[)
<-;_
_
&
&
ONR + OBK olduԫundan
ON
NR
=
OB
BK
L
W
/
/[)
Bu iki eԭitlikten yararlanarak, cos_  0 ve sin_  0 olmak üzere,
tan_.cot_ = 1 , tan_ =
1
1
, cot_ =
eԭitlikleri de elde edilir.
tan a
cot a
ÖRNEK 36
ÖRNEK 38
3 sin x –– 2 cos x 2
=
sin x + cos x
3
(1 + cot2x).sin2x = 1 olduԫunu gösteriniz.
olduԫuna göre, tanx kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 37
tan 2 x –– 1
= tan 2 x olduԫunu gösteriniz.
1 –– cot 2 x
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 39
tanx –– cotx =
1
2
olduԫuna göre, tan2x + cot2x kaçtr?
Çözüm
247
Trigonometri
sec_ =
1
cos a
ve cosec_ =
1
sin a
dr.
.
&
&
OLT + OML olduԫundan
‰
1
cos a
1
olur.
=
‰ sec_ =
sec a
1
cos a
!
&
&
LON + KOL olduԫundan
‰
)
R
_
"
LO
ON
=
KO
OL
K
J
+89?+_
9:;_
OL
OT
=
OM
OL
L
1
sin a
1
=
‰ cosec a =
olur.
cosec a
1
sin a
>
+89_
9?+_
#
ÖRNEK 40
ÖRNEK 42
cosec 2 x –– sec 2 x
= –– 1
cot 2 x –– tan 2 x
tan2_ –– sec2_
ifadesinin eԭitini bulunuz.
olduԫunu gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 41
1 + cos x + sin x = 2 cosec x
sin x
1 + cos x
olduԫunu gösteriniz.
Çözüm
248
ESEN YAYINLARI
Çözüm
W '
/
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK FONKSԨYONLARIN BԨRԨM ÇEMBERԨN BÖLGELERԨNDEKԨ ԨԬARETLERԨ
. 9:;
9:;20
+892X
<-;2X
+8<2X
9:;20
+8920
<-;20
+8<20
/
$
]]
]
/
/
5
]]]
9:;2X
+892X
<-;20
+8<20
$/
+89
]^
9:;2X
+8920
<-;2X
+8<2X
(/
$
x ekseni kosinüs ekseni, y ekseni sinüs ekseni olduԫundan, birim çemberin herhangi bir bölgesinde bulunan
bir açnn kosinüsü ile sinüsünün iԭareti o bölgedeki bir noktann apsis ve ordinatnn iԭareti ile ayndr.
Tanjant ve kotanjantn iԭaretleri de o bölgedeki sinüs ve kosinüsün iԭaretlerinin oranndan bulunur.
Bu durumda,
®
_ D (0°, 90°) ise trigonometrik oranlarn tümü pozitiftir.
®
_ D (90°, 180°) ise sinüs pozitif, kosinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir.
®
_ D (180°, 270°) ise tanjant ve kotanjant pozitif, sinüs ve kosinüs negatiftir.
®
_ D (270°, 360°) ise kosinüs pozitif, sinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir.
ÖRNEK 43
x = cos172° , y = sin103° , z = tan212°
ÖRNEK 44
a = sin140° –– cos195°
t = cot300° ise x, y, z ve t nin iԭaretlerini bulunuz.
Çözüm
b = tan310°.cot210°
olduԫuna göre,
b –– a
a –– b
ifadesinin eԭiti nedir?
Çözüm
249
Trigonometri
ÖRNEK 45
ÖRNEK 47
3r
3
, 2r m olmak üzere, sin_ = ––
2
5
ise cos_, tan_ ve cot_ deԫerlerini bulunuz.
_Dc
cot_ = ––2
lunuz.
Çözüm
r
x D b , r l olmak üzere, tanx = –– 3 ise sinx, cosx
2
ve cotx deԫerlerini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 46
ÖRNEK 48
5r
2r
3r
r
· tan
+ sin 2
+ tan
18
9
8
8
iԭleminin sonucunu bulunuz.
sin 2
Çözüm
250
olduԫuna göre, sin_.cos_ deԫerini bu-
ALIŞTIRMALAR – 3
1.
5.
Aԭaԫdaki tabloyu doldurunuz.
Aԭaԫdaki özdeԭliklerin doԫru olduԫunu gösteriniz.
/
56
Z56
)156
$Y56
(756
a. 1 + tan2x =
9:;/
1
cos 2 x
+89/
<-;/
+8</
b. cos5x + cos3x.sin2x = cos3x
2.
Aԭaԫdaki boԭluklar uygun ԭekilde doldurunuz.
c.
cos 2 x
= ––1 –– sin x
sin x –– 1
d.
1 –– sin 2 x
= cot 2 x
1 –– cos 2 x
e.
cos x
1 + sin x
+
= 2 sec x
1 + sin x
cos x
f.
cos x + sin x
= sin x. cos x
sec x + cosec x
g.
sec x –– cos x
= –– tan 3 x
sin x –– cosec x
h.
cos x
cos x
––
=2
tan x + sec x tan x –– sec x
a. x = 1 doԫrusu .................... eksenidir.
b. y = 1 doԫrusu .................... eksenidir.
d. y = 0 doԫrusu .................... eksenidir.
3.
4 sin x –– 1
n=
3
ESEN YAYINLARI
c. x = 0 doԫrusu .................... eksenidir.
olduԫuna göre, n nin deԫer aralԫn bulunuz.
4.
4 sin x –– 2 cos x 1
=
3 sin x + cos x
2
olduԫuna göre, cotx kaçtr?
251
Trigonometri
6.
9.
Aԭaԫdaki özdeԭliklerin doԫru olduԫunu gösteriniz.
a.
Aԭaԫdaki ifadeler doԫru ise boԭ kutulara ““D””
yanlԭ ise ““Y”” yaznz.
1 + cot x
= cot x
1 + tan x
2. bölgede sinx > 0 dr.
4. bölgede cosx < 0 dr.
b.
cot 2 x
1 ––
= sin 2 x –– cos 2 x
1 + cot 2 x
3. bölgede tanx > 0 dr.
c. sin4x –– cos4x = 1 –– 2cos2x
A = 3sinx + cosy ise A nn en büyük
deԫeri 3 tür.
d.
7.
1 + tan 2 x
= sin 2 x
tanx + cotx = a ise tan3x + cot3x ifadesinin a
ESEN YAYINLARI
B = 1 –– 3sinx ise B nin en küçük deԫeri
tan 2 x
––2 dir.
3r
r
<_</<`<
2
2
10.
cinsinden deԫerini bulunuz.
olmak üzere aԭaԫdakilerden kaç tanesi doԫrudur?
I. sin_ + tan` > 0
II. cos_ + sin` > 0
III. tan_.sin` > 0
IV. cot` –– tan_ < 0
sin6x + cos6x = k
8.
olduԫuna göre, sin2x.cos2x ifadesinin k cinsinden deԫerini bulunuz.
252
V. tan_.cot` < 0
Trigonometri
11. Aԭaԫdaki ifadelerin iԭaretlerini tespit ediniz.
a = sin40°
c = tan
15. cos x = !
1
olduԫunu gösteriniz.
1 + tan 2 x
16. sin x = !
1
olduԫunu gösteriniz.
1 + cot 2 x
b = cos123°
7r
4
d = cos
123r
4
e = cot200°
f = sec140°
g = cosec243°
h = sin1470°
12.
_ D cr ,
3r
m ve cot_ = 2
2
olduԫuna göre, sin_ , cos_ ve tan_ deԫerlerini
bulunuz.
13.
_Dc
cos_ =
3r
, 2r m olmak üzere,
2
ESEN YAYINLARI
17. cos2x –– sin2x =
18. tanx +
olduԫuna göre, sin_.cos_ kaçtr?
1 + cos x
1 –– cos x
olduԫunu göste-
riniz.
5
ise sin_ kaçtr?
13
tan_ = ––0,75
olduԫunu gösteriniz.
cos x
= sec x olduԫunu gösteriniz.
1 + sin x
19. (cotx + cosecx)2 =
20.
14.
1 –– tan 2 x
1 + tan 2 x
0<x<
r
için 2sinx –– cosx = 1
2
olduԫuna göre, cotx kaça eԭittir?
253
Trigonometri
kr ! a Saylarnn Trigonometrik Oranlarnn, _ Saysnn Trigonometrik Oranlar Cinsinden Ԩfadesi
2
b
r
–– a l A I. Bölge,
2
b
r
+ a l A II. Bölge,
2
(/ –– _) A II. Bölge,
c
3r
–– a m A III. Bölge,
2
c
3r
+ a m A IV. Bölge,
2
(2/ –– _) A IV. Bölge
(/ + _) A III. Bölge
alnarak önce bölgelere göre iԭaret tespit edilir. / ve 2/ içerenlerde isim deԫiԭmez.
r
3r
ve
2
2
içerenlerde
isim deԫiԭir. Yani sin yerine cos, tan yerine cot yazlr.
sin(/ –– _) = sin_
sin(/ + _) = –– sin_
sin(2/ –– _) = –– sin_
cos(/ –– _) = –– cos_
cos(/ + _) = –– cos_
cos(2/ –– _) = cos_
tan(/ –– _) = –– tan_
tan(/ + _) = tan_
tan(2/ –– _) = –– tan_
cot(/ –– _) = –– cot_
cot(/ + _) = cot_
cot(2/ –– _) = –– cot_
sin b
r
–– a l = cos a
2
r
cos b –– a l = sin a
2
r
tan b –– a l = cot a
2
r
cot b –– a l = tan a
2
sin b
r
+ a l = cos a
2
r
cos b + a l = –– sin a
2
r
tan b + a l = –– cot a
2
r
cot b + a l = –– tan a
2
3r
–– a m = –– cos a
2
3r
cos c
–– a m = –– sin a
2
3r
tan c
–– a m = cot a
2
3r
cot c
–– a m = tan a
2
3r
+ a m = –– cos a
2
3r
cos c
+ a m = sin a
2
3r
tan c
+ a m = –– cot a
2
3r
cot c
+ a m = –– tan a
2
sin c
sin c
Ԭimdi bu özdeԭliklerin doԫruluԫunu birim çember yardmyla gösterelim.
y eksenine Göre Simetri
Birim çember üzerindeki K noktasnn y eksenine göre simetriԫi Kv olmak üzere, ölçüleri
_ ve / –– _ olan açlarn trigonometrik oranlar
9:;
.
Rv
R
Lv
L
için aԭaԫdaki eԭitlikler yazlabilir.
sin_ = |KC| ve sin(/ –– _) = |Kv Cv|
<-;
!
/2X2_
_
"v
cos_ = |OC| ve cos(/ –– _) = –– |OCv|
tan_ = |TA| ve tan(/ –– _) = –– |ATv|
>
W
+8<
_
"
'
+89
Wv
cot_ = |BM| ve cot(/ –– _) = –– |Mv B|
Ayrca, |KC| = |Kv Cv| , |OC| = |OCv| , |TA| = |ATv| , |BM| = |MvB| olduԫundan
sin(/ –– _) = sin_
cos(/ –– _) = –– cos_
tan(/ –– _) = –– tan_
cot(/ –– _) = –– cot_
bulunur.
Birbirini 180° ye tamamlayan açlarn ölçülerinin sinüsleri eԭit; kosinüs, tanjant ve kotanjantlar ters iԭaretlidir.
254
/
Trigonometri
ÖRNEK 49
ÖRNEK 51
Aԭaԫda (90° , 180°) aralԫndaki baz açlarn trigo-
sin 110°. cos 40°
sin 70°. cos 140°
nometrik oranlar hesaplanmԭtr. Ԩnceleyiniz.
ifadesinin eԭiti kaçtr?
3
2
®
sin120° = sin(180° –– 60°) = sin60° =
®
cos120° = cos(180° –– 60°) = –– cos60° = ––
®
tan120° = tan(180° –– 60°) = –– tan60° = –– v3
®
cot120° = cot(180° –– 60°) = –– cot60° =
Çözüm
1
2
––
3
3
®
sin150° = sin(180° –– 30°) = sin30° =
®
cos150° = cos(180° –– 30°) = –– cos30° = ––
3
2
®
tan150° = tan(180° –– 30°) = –– tan30° = ––
®
cot150° = cot(180° –– 30°) = –– cot30° = –– v3
®
sin135° , cos135° , tan135° ve cot135°
1
2
3
3
ÖRNEK 52
# $
_
ÖRNEK 50
Bir ABC üçgeninde aԭaԫdaki ifadelerin eԭitlerini
bulunuz.
®
®
®
ESEN YAYINLARI
deԫerlerini de siz bulunuz.
"
%
(
'
Y
!
ABCD yamuԫunda, [AB] // [DC] dir.
sin(A + B) –– sinC
Verilenlere göre tan_ kaçtr?
cos(A + B) + cosC
Çözüm
tan(A + B) –– tanC
Çözüm
255
Trigonometri
Orijine Göre Simetri
9:;
.
Birim çember üzerindeki K noktasnn orijine göre si-
<-;
metriԫi Kv olmak üzere, ölçüleri _ ve / + _ olan açlarn
R
!
trigonometrik oranlar için aԭaԫdaki eԭitlikler yazlabilir.
L
2_
/20
sin_ = |KC| ve sin(/ + _) = ––|Kv Cv|
"v
cos_ = |OC| ve cos(/ + _) = ––|OCv|
>
"
tan_ = |TA| ve tan(/ + _) = |TA|
Lv
Ayrca, |KC| = |KvCv| ve |OC| = |OCv| olduԫundan
sin(/ + _) = –– sin_
cos(/ +_) = –– cos_
tan(/ +_) = tan_
cot(/ + _) = cot_
olur.
ÖRNEK 53
ÖRNEK 54
tan 70° + cos 20° + cos 200°
tan 250°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Aԭaԫda (180°, 270°) aralԫndaki baz açlarn trigonometrik oranlar hesaplanmԭtr. Ԩnceleyiniz.
® sin210° = sin(180° + 30°) = –– sin30° =
Çözüm
––
® cos210° = cos(180° + 30°) = –– cos30° =
––
ESEN YAYINLARI
® tan210° = tan(180° + 30°) = tan30° =
® cot210° = cot(180° + 30°) = cot30° = v3
® sin225° = sin(180° + 45°) = –– sin45° =
––
® cos225° = cos(180° + 45°) = –– cos45° =
® tan225° = tan(180° + 45°) = tan45° = 1
® cot225° = cot(180° + 45°) = cot45° = 1
256
––
ÖRNEK 55
sin (r + a) –– sin (r –– a)
cos (r + a) + cos (r –– a)
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
+8<
_
_
cot_ = |BM| ve cot(/ + _) = |BM|
W
'
+89
/
Trigonometri
x Eksenine Göre Simetri
9:;
.
Birim çember üzerindeki K noktasnn x eksenine göre simetriԫi
Kv olmak üzere, ölçüleri _ ve
<-;
R
!
2/ –– _ olan açlarn trigono-
L
metrik oranlar için aԭaԫdaki eԭitlikler yazlabilir.
sin_ = |KC|
ve
sin(2/ –– _) = –– |Kv C|
ve
tan(2/ –– _) = –– |TvA|
cot_ = |BM|
ve
cot(2/ –– _) = –– |BvMv|
"
'
2_
cos(2/ –– _) = |OC|
tan_ = |TA|
2X
$/
cos_ = |OC| ve
_
_
>
+8<
W
Lv
Wv
+89
/
Rv
!v
Ayrca, |KC| = |KvC| , |TA| = |TvA| ve |BM| = |BvMv| olduԫundan
sin(2/ –– _) = –– sin_
cos(2/ –– _) = cos_
tan(2/ –– _) = –– tan_
cot(2/ –– _) = –– cot_
olur.
Ölçüleri 2/ –– _ ve ––_ olan açlar birim çember üzerinde ayn noktaya denk geldiklerinden
sin(–– _) = –– sin_
cos(–– _) = cos_
tan(–– _) = –– tan_
cot(–– _) = –– cot_
olur.
ÖRNEK 56
ÖRNEK 57
Aԭaԫda (270° , 360°) aralԫndaki baz açlarn trigo-
Aԭaԫda (––90° , 0°) aralԫndaki baz açlarn trigono-
nometrik oranlar hesaplanmԭtr. Ԩnceleyiniz.
metrik oranlar hesaplanmԭtr. Ԩnceleyiniz.
®
sin300° = sin(360° –– 60°) = –– sin60° = ––
®
cos300° = cos(360° –– 60°) = cos60° =
®
tan300° = tan(360° –– 60°) = –– tan60° = –– v3
®
cot300° = cot(360° –– 60°) = –– cot60° = ––
®
sin315° = sin(360° –– 45°) = –– sin45° = ––
®
cos315° = cos(360° –– 45°) = cos45° =
®
tan315° = tan(360° –– 45°) = –– tan45° = ––1
®
cot315° = cot(360° –– 45°) = –– cot45° = ––1
®
cos(–– 60°) = cos60° =
®
sin(–– 45°) = –– sin45° = ––
®
tan(–– 30°) = –– tan30° = ––
®
cot(–– 45°) = –– cot45° = ––1
®
sin(––60°) = ––sin60° = ––
®
tan(––60°) = ––tan60° = ––
®
cos(––30°) = cos30° =
3
257
Trigonometri
ÖRNEK 58
ÖRNEK 59
Aԭaԫda baz özdeԭlikler en sade biçimiyle yazlmԭtr. Ԩnceleyiniz.
®
sin(x –– /) = sin[–– (/ –– x)] = –– sin(/ –– x) = –– sinx
®
cos(5/ + x) = cos(/ + x) = –– cosx
®
tan(3x –– 5/) = tan(3x –– /) = tan[––(/ –– 3x)]
®
cot(––x –– /) = cot[––(x + /)] = –– cot(x + /) = –– cotx
cos 314°. tan (–– 40°) . sin 295°
cos 46°. tan 320°. sin 65°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
9:;
Birim çemberde, ölçüsü _ olan açnn bitim noktas
K(cos_, sin_) olmak üzere bu noktay ksaca K(C, S)
!
RTX`U2"V
WT`U2"V
olarak gösterirsek,
/
X_
$
_ _
r –– a açsnn bitim noktas, T(S, C)
2
r
+ a açsnn bitim noktas, M(––S, C)
2
_
5
'v
LT"U2`V
'
+89
_ _
3r –– a açsnn bitim noktas, Tv(––S, ––C)
2
WvTX`U2X"V
RvT`U2X"V
!v
3r + a açsnn bitim noktas, Mv(S, ––C) olur.
2
Bu durumda, K(C, S) ile T(S, C) karԭlaԭtrldԫnda,
sin b
r
–– a l = cos a ,
2
cos b
r
–– a l = sin a ,
2
tan b
r
–– a l = cot a ,
2
cot b
r
–– a l = tan a
2
bulunur.
Birbirini 90° ye tamamlayan iki açdan birinin sinüsü diԫerinin kosinüsüne, birinin tanjant diԫerinin kotanjantna
eԭittir.
K(C, S) ile M(––S, C)
K(C, S) ile Tv(––S, ––C)
K(C, S) ile Mv(S, ––C)
karԭlaԭtrldԫnda,
karԭlaԭtrldԫnda,
karԭlaԭtrldԫnda,
r
sin b + a l = cos a
2
3r
sin c
–– a m = –– cos a
2
sin c
cos b
r
+ a l = –– sin a
2
cos c
3r
–– a m = –– sin a
2
cos c
tan b
r
+ a l = –– cot a
2
tan c
3r
–– a m = cot a
2
tan c
3r
+ a m = –– cot a
2
cot b
r
+ a l = –– tan a
2
cot c
3r
–– a m = tan a
2
cot c
3r
+ a m = –– tan a
2
özdeԭlikleri elde edilir.
258
3r
+ a m = –– cos a
2
3r
+ a m = sin a
2
Trigonometri
SIRALAMA
ÖRNEK 60
9:;
Aԭaԫda baz özdeԭlikler en sade biçimiyle yazlmԭ-
Z56
#
tr. Ԩnceleyiniz.
"
®
®
9r
r
cos c
+ a m = cos b 4r + + a l = cos b
2
sin c a ––
`
+ al
>
5r
r
m = sin b a –– –– 2r l = sin
2
_
' ! 56
+89
a
a
m( COB) = _ , m( DOB) = ` olsun.
|CB| = sin_ ve |AD| = sin` olur.
|CB| < |AD| olduԫundan sin_ < sin` dr.
Yani I. bölgede sinüs fonksiyonu artandr.
Örneԫin
®
r
r
tan b 3a –– l = tan :–– b –– 3a lD = –– tan
2
2
sin10° < sin15° < sin30° < sin70° dir.
|OB| = cos_ ve |OA| = cos` dr.
|OA| < |OB| olduԫundan cos` < cos_ olur.
ÖRNEK 61
sin20° = a olduԫuna göre, cos110° nin a cinsinden
deԫeri nedir?
ESEN YAYINLARI
Yani I. bölgede kosinüs fonksiyonu azalandr.
Örneԫin
cos80° < cos60° < cos40° < cos10° dir.
9:;
"
=
#
L
K
Çözüm
`
>
a
m( DOA) = _ ,
ÖRNEK 62
r
sin 5a. tan 2a
9a =
olduԫuna göre,
kaçtr?
2
cos 4a. cot 7a
Çözüm
_
!
'
+89
a
m( COA) = ` olsun.
|BA| = tan_ ve |CA| = tan` olur.
|BA| < |CA| olduԫundan tan_ < tan` dr.
Yani I. bölgede tanjant fonksiyonu artandr.
Örneԫin
tan5° < tan6° < tan12° < tan40° dir.
|ED| = cot_ ve |EK| = cot` olur.
|EK| < |ED| olduԫundan cot` < cot_ olur.
Yani I. bölgede kotanjant fonksiyonu azalandr.
Örneԫin
cot80° < cot70° < cot62° < cot5° dir.
259
Trigonometri
ÖRNEK 63
ÖRNEK 66
a = sin5° , b = sin36° ve c = sin70°
a = cos10° , b = cos40° ve c = cos70°
olmak üzere a, b, c deԫerlerini küçükten büyüԫe
deԫerlerini küçükten büyüԫe doԫru sralaynz.
doԫru sralaynz.
Çözüm
Çözüm
a = sin40° , b = sin130° ve c = sin200°
deԫerlerini küçükten büyüԫe doԫru sralaynz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 64
ÖRNEK 67
a = tan10° , b = tan200° , c = tan70°
deԫerlerini küçükten büyüԫe doԫru sralaynz.
Çözüm
ÖRNEK 65
a = cos20° , b = cos140° , c = cos300°
deԫerlerini küçükten büyüԫe doԫru sralaynz.
Çözüm
45° ” x < 90° ‰ tanx • 1 dir.
Bu durumda,
[45°, 90°)
aralԫndaki açlarn
trigonometrik oranlar karlaԭtrlrken tanx en
büyüktür.
Çünkü, ––1 ” sinx ” 1 ve ––1 ” cosx ” 1 dir.
260
Trigonometri
Bu cetveli incelediԫimizde,
ÖRNEK 68
®
a = tan48° , b = sin10° , c = cos70°
0° den 45° ye kadar olan açlar, sol baԭtaki sütunda yukardan aԭaԫya doԫru
deԫerlerini küçükten büyüԫe doԫru sralaynz.
®
Çözüm
45° den 90° ye kadar olan açlar, saԫ baԭtaki
sütunda, aԭaԫdan yukarya doԫru yazlmԭtr.
ÖRNEK 70
sin27° ifadesinin deԫerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 69
a = tan10° , b = sin10° , c = cos10° ve d = cot10°
deԫerlerini küçükten büyüԫe doԫru sralaynz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
TRԨGONOMETRԨK FONKSԨYONLARIN TABLOSU
Esas ölçüsü; 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° ve
360° olan açlarn trigonometrik oranlarn, birim çemberden veya dik üçgenlerden yararlanarak hesaplamay öԫrendik. Fakat, tüm reel saylarn trigonometrik
ÖRNEK 71
tan68° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 72
0° < _ < 90° olmak üzere cos_ = 0,8090 ise _ kaç
derecedir?
Çözüm
oranlarn bu yöntemler yardmyla hesaplayamayz.
Daha geniԭ olanaklarla hazrlanan trigonometri cetveli yardmyla diԫer açlarn da trigonometrik oranlarn
hesaplayabiliriz.
261
Trigonometri
X2W\aO>J>R=W\a2"=W^=Ka2X
'EA
ICEN9N
T#?@?+?V
+89
9:;
<-;
+8<
9?+
+89?+
5
)
$
(
)U5555
5UZZZ1
5UZZZ%
5UZZ17
5U5555
5U5)Y&
5U5(%Z
5U5&$(
5U5555
5U5)Y&
5U5(%Z
5U5&$%
&YU$Z55
$1U7(7)
)ZU51))
)U5555
)U555$
)U5557
)U55)%
&YU$ZZ
$1U7&%
)ZU)5Y
Z5
1Z
11
1Y
%
&
7
Y
5UZZY7
5UZZ7$
5UZZ%&
5UZZ$&
5U57Z1
5U51Y$
5U)5%&
5U)$)Z
5U57ZZ
5U51Y&
5U)5&)
5U)$$1
)%U(55Y
))2U%(55
ZU&)%%
1U)%%(
)U55$%
)U55(1
)U55&&
)U55Y&
)%U(&5
))U%Y%
ZU&771
1U$5&&
17
1&
1%
1(
1
Z
)5
))
5UZZ5(
5UZ1YY
5UZ1%1
5UZ1)7
5U)(Z$
5U)&7%
5U)Y(7
5U)Z51
5U)%5&
5U)&1%
5U)Y7(
5U)Z%%
YU))&%
7U()(1
&U7Y)(
&U)%%7
)U55Z1
)U5)$&
)U5)&%
)U5)1Y
YU)1&(
7U(Z$&
&UY&11
&U$%51
1$
1)
15
YZ
)$
)(
)%
)&
5UZY1)
5UZY%%
5UZY5(
5UZ7&Z
5U$5YZ
5U$$&5
5U$%)Z
5U$&11
5U$)$7
5U$(5Z
5U$%Z(
5U$7YZ
%UY5%7
%U(()&
%U5)51
(UY($)
)U5$$(
)U5$7(
)U5(57
)U5(&(
%U15ZY
%U%%&%
%U)((7
(U1Z(Y
Y1
YY
Y7
Y&
)7
)Y
)1
)Z
5UZ7)(
5UZ&7(
5UZ&))
5UZ%&&
5U$Y&7
5U$Z$%
5U(5Z5
5U($&7
5U$17Y
5U(5&Y
5U($%Z
5U(%%(
(U%1Y%
(U$Y5Z
(U5YYY
$UZ5%$
)U5$5(
)U5%&Y
)U5&)&
)U5&Y7
(U7$15
(U%$5(
(U$(7)
(U5Y)7
Y%
Y(
Y$
Y)
$5
$)
$$
$(
5UZ(ZY
5UZ((7
5UZ$Y$
5UZ$5&
5U(%$5
5U(&1%
5U(Y%7
5U(Z5Y
5U(7%5
5U(1(Z
5U%5%5
5U%$%&
$UY%Y&
$U75&)
$U%Y&)
$U(&&Z
)U57%$
)U5Y))
)U5Y1&
)U517%
$UZ((1
$UYZ5%
$U77Z&
$U&&Y7
Y5
7Z
71
7Y
$%
$&
$7
$Y
5UZ)(&
5UZ57(
5U1Z11
5U1Z)5
5U%57Y
5U%$$7
5U%(1%
5U%&%5
5U%%&$
5U%77(
5U%1YY
5U&5Z&
$U$%75
$U)%%&
$U5&5(
)UZ7$7
)U(Z%7
)U)5(%
)U))$7
)U5$$5
$U%&17
$U(771
$U$1$$
$U$7$Y
77
7&
7%
7(
$1
$Z
(5
()
5U11$Z
5U1Y%7
5U1775
5U1&Y$
5U%7Z&
5U%1%1
5U&555
5U&)&5
5U&()Y
5U&&%(
5U&YY%
5U755Z
)U115Y
)U15%5
)UY($)
)U77%(
)U))))
)U)%()
)U)&%Y
)U)777
$U)&55
$U57$&
$U5555
)UZ%)7
7$
7)
75
&Z
($
((
(%
(&
5U1%15
5U1(1Y
5U1$Z5
5U1)Z$
5U&$ZZ
5U&%%7
5U&&Z$
5U&Y(7
5U7$%Z
5U7%Z%
5U7Y%&
5UY55$
)U755(
)U&(ZZ
)U%1$7
)U%$1)
)U)YZ$
)U)Z$%
)U$57$
)U$$51
)U11Y)
)U1(7)
)UY11(
)UY%(%
&1
&Y
&7
&&
(7
(Y
(1
(Z
5U15Z5
5UYZ17
5UY115
5UYYY)
5U&1Y1
5U75)1
5U7)&Y
5U7$Z(
5UY$7&
5UY&(7
5UY1)(
5U15Z1
)U(Y7%
)U($Y5
)U$YZZ
)U$(%Z
)U$(7)
)U$&$)
)U$7Z5
)U$171
)UY5)(
)U77)7
)U7$%(
)U&1Z5
&%
&(
&$
&)
%5
%)
%$
%(
5UY775
5UY&%Y
5UY%()
5UY()%
5U7%$1
5U7&7)
5U77Z)
5U71$5
5U1(Z)
5U17Z(
5UZ55%
5UZ($&
)U)Z)1
)U)&5%
)U))57
)U5Y$%
)U(5&%
)U($&5
)U(%&7
)U(7Y(
)U&&&Y
)U&$%(
)U%Z%&
)U%77(
&5
%Z
%1
%Y
%%
%&
5UY)Z(
5UY5Y)
5U7Z%Y
5UY5Y)
5UZ7&Y
)U5555
)U5(&&
)U5555
)U(Z5$
)U%)%$
)U%(Z7
)U%)%$
%7
%&
9:;
+89
+8<
<-;
+89?+
9?+
'EA
ICEN9N
T#?@?+?V
262
ALIŞTIRMALAR – 4
1.
Aԭaԫdaki tabloyu uygun ԭekilde doldurunuz.
$/
(
/
(/
%
&/
7
Y/
7
&/
%
%/
(
&/
(
Y/
%
))/
7
9:;/
+89/
<-;/
+8</
3.
Bir ABC üçgeninde aԭaԫdaki ifadelerin eԭitlerini
bulunuz.
a.
b. cos2
c.
Aԭaԫdaki ifadelerin en sade biçimlerini bulunuz.
a.
sin 62°. tan 43°
sin 118°. tan 137°
b.
cos 40°. cot 20°
cos 320°. tan 110°
sin (A + B) + sin C
tan (A + B) –– tan C
A
B+C
+ cos2 c
m
2
2
ESEN YAYINLARI
2.
c.
3r
–– a m
2
cot (r + a) . sin (r + a) . cos (7r + a)
sin (2r –– a) . cos (5r –– a) . tan c
cot (B + C) –– cot A
cos (B + C) –– cos A
4.
#
%
"
_
1
7
d. tan
C
A+B
. tan c
m
2
2
'
)%
!
ABCD yamuԫunda [AB] // [CD] dir.
Verilenlere göre cos_ kaçtr?
263
Trigonometri
5.
9.
Aԭaԫdaki özdeԭliklerden doԫru olanlar için boԭ
kutuya ““D”” yanlԭ olanlar için ““Y”” yaznz.
sin(_ –– 2/) = sin_
cos c
a. sin_ = 0,2588
7r
–– a m = –– sin a
2
b. cos_ = 0,5299
cos(7/ –– _) = –– cos_
c. tan_ = 1,1918
tan(5/ + _) = tan_
cot c a ––
Trigonometri cetvelini kullanarak _ deԫerlerini
bulunuz.
d. cot_ = 19,3007
9r
m = tan a
2
10.
sin(2_ –– 7/) = –– sin2_
6.
olduԫuna göre, cos130° nin a cinsinden deԫeri
nedir?
7.
cos110° = a
olduԫuna göre, sin380° nin a cinsinden deԫeri
nedir?
ESEN YAYINLARI
sin40° = a
(76
'
'b-+A;2DICD?9:
Ԭekildeki aԫacn uzunluԫu 8 m dir. Güneԭ ԭnlarnn yer düzlemiyle yaptԫ aç 36° ise aԫacn
gölgesinin uzunluԫunu bulunuz.
11. Aԭaԫdaki ifadeleri hesaplaynz.
8.
Trigonometri cetvelini kullanarak aԭaԫdaki ifadelerin eԭitini bulunuz.
a. sin150° + cos120°.tan225°
a. sin43°
b. cos300° + sin240°.cot330°
b. tan70°
c. cos76°
d. cot12°
264
c. tan c
43r
29r
123r
m .sin c ––
m .cos c
m
4
3
6
d. sin(1035°).cos(––225°).cot c ––
17r
m
4
Trigonometri
PERԨYODԨK FONKSԨYON
ÖRNEK 73
Grafikleri belli aralklarla aynen tekrarlanan fonksi-
Aԭaԫda baz fonksiyonlarn esas periyotlar bulun-
yonlar periyodik fonksiyonlardr.
muԭtur. Ԩnceleyiniz.
/
5
/
$
/
(/
$
$/
&/
$
(/
Y/
$
%/
9:;/
5
)
5
X)
5
)
5
X)
5
a. f(x) = sin(4x –– 1) fonksiyonunun esas periyodu,
2r r
P=
=
dir.
4
2
Yukardaki tabloyu incelediԫimizde [0, 2/) aralԫnda
sinx in aldԫ deԫerlerin [2/, 4/) aralԫnda da aynen
b. f(x) = 4cos b
tekrarlandԫn görürüz.
Bu durum [4/, 6/), [6/, 8/), ... aralklarnda da aynen
P=
tekrarlanr. Ayn durum cosx için de geçerlidir.
Bu nedenle sinx ve cosx fonksiyonlarnn periyodu
x
–– 1 l fonksiyonunun esas periyodu,
2
2r
= 4r dir.
1
2
k.2/ dir. (k D Z+)
sinx ve cosx fonksiyonlarnn esas periyodu 2/ dir.
$/
&/
$
(/
Y/
$
%/
/
5
9:;$/
5
)
5
)
5
)
5
)
5
9:;(/
5
)
5
X)
5
)
5
X)
5
3
Yukardaki tabloyu incelediԫimizde sin x in esas periyodunun 2/, sin2x in esas periyodunun / olduԫunu
görürüz.
tanx
ve
cotx
c. f(x) = tan(1 –– 5x) fonksiyonunun esas periyodu,
r
r
P=
=
tir.
5
––5
ESEN YAYINLARI
/
(/
$
/
$
d. f(x) = cos3(2x) fonksiyonunun esas periyodu,
2r
P=
= r dir.
2
fonksiyonlarnn aldԫ deԫerler
[0, /), [/, 2/), ... aralklarnda tekrarlandԫndan bu
fonksiyonlarn esas periyotlar / dir.
Genel olarak
F=
$/
U 22;2<?32:9?
c-c
F=
/
U22;2E:H<2:9?
c-c
F=
$/
U 22;2<?32:9?
c-c
F=
/
U22;2E:H<2:9?
c-c
F=
/
c-c
HT /V = 3_9:;; T-/ + , V
HT /V = 3_+89; T-/ + , V
HT /V = 3_ <-; ; T-/ + , V
HT /V = 3_ +8< ; T-/ + , V
biçiminde ifade edebiliriz.
F=
/
c-c
e. f(x) = sin2(––2x + 3) fonksiyonunun esas periyor
r
du, P =
=
dir.
2
––2
f.
f(x) = cot2 c
P=
2x –– 1
m fonksiyonunun esas periyodu,
3
r 3r
=
2
2
3
dir.
f(x) ve g(x) periyodik fonksiyonlar olmak üzere,
f(x) ± g(x)
fonksiyonu eԫer periyodik ise esas
periyodu f(x) ve g(x) fonksiyonlarnn esas periyotlarnn e.k.o.k. una eԭittir.
265
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK FONKSԨYONLARIN
ÖRNEK 74
GRAFԨKLERԨ
f(x) = cos2x + 4sin5x
Kosinüs Fonksiyonunun Grafiԫi
fonksiyonunun esas periyodunu bulunuz.
Kosinüs fonksiyonunun grafiԫi {(x, cosx) : x D R}
Çözüm
kümesine analitik düzlemde karԭlk gelen noktalar
kümesidir.
f(x) = cosx fonksiyonunun esas periyodu 2/ olduԫundan [0, 2/) aralԫnda çizilecek grafik 2/ periyotlarla
tekrarlanr.
/
5
/
$
/
(/
$
$/
+89/
)
5
X)
5
)
Tablodaki bilgileri analitik düzlemde aԭaԫdaki gibi
ifade ederiz.
.
ÖRNEK 75
)
fonksiyonlarnn esas periyotlarn bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
f(x) = sin2x ve g(x) = cos2x
/
$
X/
(/
$
X$/
/
$
/
(/
$
5
X)
ÖRNEK 77
[0, 2/] A R , f(x) = 2cosx –– 1
fonksiyonunun grafiԫini çizelim.
Çözüm
ÖRNEK 76
f(x) = sin2x + cos2x
fonksiyonunun varsa esas periyodunu bulunuz.
Çözüm
266
$/
/
Trigonometri
ÖRNEK 78
ÖRNEK 79
f(x) = 1 + cos2x
[0, 2/] A R , f(x) = 3sinx + 1
fonksiyonunun periyodunu bulup, herhangi bir aralk-
fonksiyonunun grafiԫini çiziniz.
ta grafiԫini çiziniz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 80
f(x) = 2sin3x
fonksiyonunun periyodunu bulup herhangi bir periyot
aralԫnda grafiԫini çiziniz.
Çözüm
Sinüs Fonksiyonunun Grafiԫi
Sinüs fonksiyonunun grafiԫi {(x, sinx) : x D R}
kümesine analitik düzlemde karԭlk gelen noktalar
kümesidir.
f(x) = sinx fonksiyonunun periyodu 2/ olduԫundan
grafiԫini [0, 2/) aralԫnda çizip 2/ periyotlarla tekrarlarz.
/
5
/
$
/
(/
$
$/
9:;/
5
)
5
X)
5
.
)
X$/
(/ X/
$
/
$
5
X)
/
$
(/
$
/
$/
/
267
Trigonometri
Tanjant Fonksiyonunun Grafiԫi
TERS TRԨGONOMETRԨK FONKSԨYONLAR
Tanjant fonksiyonunun grafiԫi
r
+ k/, k D Z} kümesine analitik
{(x, tanx) : x D R, x 
2
düzlemde karԭlk gelen noktalar kümesidir.
Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi
için, bu fonksiyonun bire bir ve örten olmas gerekir. Trigonometrik fonksiyonlar R den R ye bire bir
ve örten olmadklarndan R den R ye trigonometrik
f(x) = tanx fonksiyonunun esas periyodu / olduԫunr
dan, grafiԫi [0, /] –– & 0 aralԫnda çizilip, / periyot2
larla tekrarlanr.
/
5
<-;/
5
/
7
v(
(
/
%
/
(
)
v(
$/
(
(/
%
X2v(
X)
/
$
0' X'
&/
7
v(
(
fonksiyonlarn tersleri fonksiyon olmaz. Bu nedenle
bu fonksiyonlarn bire bir ve örten olduԫu reel say
aralklar seçerek bu aralklarda ters fonksiyonlarn
tanmlayacaԫz.
/
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarnn
5
tersleri arcsin, arccos, arctan, arccot biçiminde yazlr.
.
v(
Arcsin (Arksinüs) Fonksiyonu
)
v(e(
X/
/
$
/
Xv(e(
7
X)
Sinüs fonksiyonunun bire bir ve örten olduԫu aralk-
/ $/ (/ &/
$ ( % 7
/ /
% (
(/
$
/
lardan biri olan :––
/
ESEN YAYINLARI
Xv(
Kotanjant Fonksiyonunun Grafiԫi
Kotanjant fonksiyonun grafiԫi
{ (x, cotx) : x D R, x  k/, k D Z } kümesine analitik
f: :––
r r
, D aralԫn seçersek
2 2
r r
, D A [––1, 1], f(x) = sinx fonksiyonu bire bir
2 2
ve örten olur.
Bu fonksiyonun ters fonksiyonu sin––1x veya arcsinx
biçiminde gösterilir.
arcsin : [––1, 1] A :––
r r
, D, f ––1(x) = arcsinx
2 2
düzlemde karԭlk gelen noktalar kümesidir.
f(x) = cotx
fonksiyonunun esas periyodu / oldu-
y = arcsinx ‹ x = siny
ԫundan grafiԫi (0, /) aralԫnda çizilip / periyotlarla
tekrarlanr.
/
5
+8</
0'
/
7
/
%
v(
)
/
(
v(
(
/
$
5
$/
(
v(
(
.
(/
%
&/
7
X)
X2v(
/
X'
HT/V2[29:;/
/
$
.
(/ &/
% 7
v(e(
5 / / / /
7 % ( $
X)
Xv(
268
)
X)
)
/
$
X)
5
v(
X/
HX)T/V2[2-@+9:;/
/
$
)
/
(/
$
$/
/
/
$
.2[2/
/
$
/
Trigonometri
ÖRNEK 81
.
Aԭaԫdaki ifadelerin herbirinin eԭitini bulalm.
1
a. arcsin c m
2
b. arcsin d ––
c. arcsin(0)
d. arcsin(1)
HX)T/V2[2-@++89/
/
3
n
2
.2[2/
/
$
Çözüm
)
5
X)
X)
/
)
/
/
$
HT/V2[2+89/
ÖRNEK 83
Aԭaԫdaki ifadelerin herbirinin eԭitini bulalm.
a. arccos d
3
n
2
ESEN YAYINLARI
c. arccos(0)
b. arccos c ––
1
m
2
d. arccos(1)
Çözüm
ÖRNEK 82
1
m
2
ifadesinin eԭitini bulalm.
arcsin c ––
Çözüm
Arccos (Arkkosinüs) Fonksiyonu
Kosinüs fonksiyonu [0, /] aralԫnda bire bir ve örtendir. Dolaysyla bu aralkta f(x) = cosx fonksiyonunun
tersi yine bir fonksiyondur.
f: [ 0, /] A [––1, 1] , f(x) = cosx olmak üzere,
f ––1: [––1, 1] A [0, /] , f ––1(x) = arccosx
y = arccosx ‹ x = cosy
269
Trigonometri
Arctan (Arktanjant) Fonksiyonu
ÖRNEK 85
r r
f: b –– , l " R , f(x) = tanx fonksiyonu bire bir ve
2 2
örten olduԫundan,
f ––1: R A b ––
arctan(––1)
ifadesinin eԭitini bulalm.
r r
, l , f ––1(x) = arctanx tir.
2 2
Çözüm
y = arctanx ‹ x = tany
Arccot (Arkkotanjant) Fonksiyonu
f: (0, /) A R , f(x) = cotx fonksiyonu bire bir ve örten
.
HT/V2[2<-;/
f ––1: R A (0, /) , f ––1(x) = arccotx dir.
HX)T/V2[2-@+<-;/
/
$
/
$
olduԫundan
.2[2/
5
/
$
y = arccotx ‹ x = coty
.
/
HX)T/V2[2-@++8</
/
$
/
/
$
ÖRNEK 84
ESEN YAYINLARI
5
/
$
/
.2[2/
HT/V2[2+8</
Aԭaԫdaki ifadelerin herbirinin eԭitini bulalm.
a. arctan(1)
ÖRNEK 86
b. arctan(–– v3)
Aԭaԫdaki ifadelerin herbirinin eԭitini bulalm.
c. arctan(0)
a. arccot d
Çözüm
c. arccot(0)
Çözüm
270
3
n
3
b. arccot(–– v3)
/
Trigonometri
ÖRNEK 87
ÖRNEK 90
2
sin c arccos m
3
arccot(––1)
ifadesinin eԭiti kaçtr?
ifadesinin eԭiti kaçtr?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 88
3
=x
4
olduԫuna göre, sinx + cosx kaçtr?
arctan
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 91
ÖRNEK 89
1
cos c arcsin m
2
ifadesinin eԭiti kaçtr?
cos(arcsinx) =
1 –– x 2
olduԫunu gösteriniz.
Çözüm
Çözüm
cos(arccosx) = x
sin(arcsinx) = x
tan(arctanx) = x
cot(arccotx) = x
271
Trigonometri
ÖRNEK 92
ÖRNEK 94
1 r
+ E
2 2
ifadesinin eԭiti kaçtr?
cos ;arctan
3arccos(2x) –– 2/ = 0
denklemini saԫlayan x deԫeri kaçtr?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 95
r r
2x –– 1
, D , f(x) = arcsin c
m
2 2
3
fonksiyonunun tanm kümesini bulunuz.
f : A A :––
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 93
arcsin2x = arccosx
olduԫuna göre, x kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 96
arctanx + arccotx =
olduԫunu gösteriniz.
Çözüm
272
r
2
Trigonometri
ÖRNEK 97
ÖRNEK 99
Tanml olduԫu deԫerler için
x
1
f(x) = arcsin b l ve g(x) = arctan c
m
3
x –– 1
r
x
ise f––1 b l kaçtr?
f(x) = 2arccos
2
2
r
olduԫuna göre, ^ fog ––1hb –– l kaçtr?
4
Çözüm
ÖRNEK 98
arcsinx = arctan2
ESEN YAYINLARI
Çözüm
olduԫuna göre, x kaçtr?
Çözüm
273
ALIŞTIRMALAR – 5
1.
3.
Aԭaԫdaki ifadelerden doԫru olanlar için boԭ kutulara ““D”” yanlԭ olanlar için ““Y”” yaznz.
Aԭaԫdaki fonksiyonlarn grafiklerini çiziniz.
a. f: [0, 2/] A R, f(x) = ––2sinx
f(x) = sin(4x + 1) fonksiyonunun esas
r
periyodu,
dir.
2
b. f: [0, 4/] A R, f(x) = 3cosx –– 2
f(x) = 3cos(––3x + 1) fonksiyonunun esas
periyodu,
2r
tür.
3
f(x) = tan c
periyodu,
c. f: [––2/, 0] A R, f(x) =
sin x
2
1–– x
m fonksiyonunun esas
4
r
tür.
4
d. f: : ––
r r
, D A R, f(x) = 3tanx
2 2
f(x) = sin2(2x) fonksiyonunun esas periyor
dir.
du,
2
e. f: [0, 2/] A R, f(x) = ––2cotx
f(x) = –– cos (1 –– 2x) fonksiyonunun esas
periyodu, –– / dir.
f(x) = tan2(4x + 1) fonksiyonunun esas
r
dir.
periyodu,
2
ESEN YAYINLARI
3
4.
Aԭaԫdaki fonksiyonlarn periyotlarn bulup herhangi bir periyot aralԫnda grafiklerini çiziniz.
a. f(x) = sin4x
b. f(x) = –– cos
2.
x
2
Aԭaԫdaki fonksiyonlarn esas periyotlarn bulunuz.
a. f(x) = 2cos(4x –– 1) + 3cos2(3x + 1)
c. f(x) = 2tan2x
b. f(x) = tan(1 –– 2x) + sin3(5x –– 1)
d. f(x) = –– cot
274
x
3
Trigonometri
5.
Aԭaԫda sol sütundaki ifadelerin eԭitlerini saԫ
9.
sütunda bulup eԭleԭtiriniz
f: A A [0, /] , f(x) = arccos c
3x –– 1
m
4
fonksiyonunun tanm kümesini bulunuz.
a.
2
arcsin d
n
2
1.
b.
arcsin(––1)
2.
––
3.
2r
3
––
c.
arccos c ––
1
m
2
d.
arctan(––1)
4.
e.
arccot(v3)
5.
r
6
r
4
x
10. Tanml olduԫu deԫerler için f(x) = 3arctan b l
4
3r
ise f ––1 c
m kaçtr?
4
r
2
r
4
11.
arccosx = arccot3
6.
3
=x
5
olduԫuna göre, tanx + cosx kaçtr?
arcsin
ESEN YAYINLARI
olduԫuna göre, x kaçtr?
12. Aԭaԫdaki eԭitliklerin doԫru olduԫunu gösteriniz.
a. sin(arcsinx) = x
7.
8.
1
sin c arctan m
2
ifadesinin eԭiti kaçtr?
sin b arc cot 2 ––
b. sin(arccosx) =
1 –– x 2
c. tan(arcsinx) =
x
1 –– x 2
r
l
2
ifadesinin eԭiti kaçtr?
d. arccos(sinx) =
r
–– x
2
275
Trigonometri
ÜÇGENDE TRԨGONOMETRԨK BAԪINTILAR
KOSԨNÜS TEOREMԨ
Bir ABC üçgeninde kenar uzunluklar a, b, c ve
A
bu kenarlara ait açlar A, B, C olmak üzere
a2 = b2 + c2 –– 2bc.cosA
2
2
b
c
2
b = a + c –– 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 –– 2ab.cosC dir.
B
'
Ԩspat
ABC üçgeninde [AH] Œ [BC] dir.
+
f
|BH| = x alrsak, |HC| = a –– x olur.
ABH dik üçgeninde,
C
a
!
/
*
,
-X/
"
|AB|2 = |BH|2 + |AH|2 ‰ c2 = x2 + h2 ‰ h2 = c2 –– x2 ... (I) olur.
AHC dik üçgeninde
|AC|2 = |AH|2 + |HC|2 ‰ b2 = h2 + (a –– x)2 ‰ h2 = b2 –– (a –– x)2 ... (II) olur.
I ve II eԭitliklerinden
c2 –– x2 = b2 –– (a –– x)2 ‰ c2 –– x2 = b2 –– a2 + 2ax –– x2 ‰ b2 = a2 + c2 –– 2ax
... (III) olur.
ABH dik üçgeninde
x
cosB =
‰ x = c.cosB olacaԫndan bu deԫeri III eԭitliԫinde yerine yazarsak
c
b2 = a2 + c2 –– 2.a.c.cosB elde edilir. Elde ettiԫimiz bu baԫnt kosinüs teoremidir. Benzer iԭlemlerle
a2 = b2 + c2 –– 2bc.cosA
c2 = a2 + b2 –– 2ab.cosC eԭitlikleri de elde edilir.
Kosinüs teoremi yardmyla
® Ԩki kenar uzunluԫu ile bu kenarlar arasndaki açs verilen üçgenin üçüncü kenar uzunluԫunu
® Üç kenar uzunluԫu bilinen üçgenin açlarnn ölçülerini bulabiliriz.
ÖRNEK 100
ÖRNEK 101
Bir ABC üçgeninde,
a
a = 3 cm, b = 4 cm ve m( C) = 60° ise c kenarnn
Bir ABC üçgeninde,
uzunluԫu kaç cm dir?
derecedir?
Çözüm
Çözüm
276
a
a = c13 cm , b = 4 cm ve c = 1 cm ise m( A) kaç
Trigonometri
ÖRNEK 102
ÖRNEK 104
!
#
&
%
'
"
$
#
ABC üçgeninde [AD] Œ [AC], |AD| = 4 cm
|AC| = 3 cm, |BD| = |DC| ise |AB| = x kaç cm dir?
!
"
Çözüm
Bir gölün en uzak iki noktas A ve B dir. AB uzunluԫua
nu bulmak için m( ACB) = 60° olacak ԭekilde uzak bir
tepe üzerinde bir C noktas alnarak, A ile C arasnn
50 m, B ile C arasnn 40 metre olduԫu tespit ediliyor.
AB uzunluԫu kaç metredir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 103
!
"
+
$
&
#
*
(
)
'
%
Ԭekilde, [AE] E [BD] = {C} dir. Verilenlere göre,
|DE| = x kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 105
Bir ABC üçgeninde, a2 = b2 + c2 + bc baԫnts varsa
a
m( A) kaç derecedir?
Çözüm
277
Trigonometri
ÖRNEK 106
ÖRNEK 107
!
!
)
*
"
'
$
'
'
"
#
$
#
ABC üçgeninde |AB| = 4 cm, |AC| = 6 cm,
Ԭekilde, ABCD kiriԭler dörtgenidir.
|AD| =
|AB| = 2 cm, |BC| = |CD| = 4 cm, |AD| = 6 cm
a
19 cm ve |BD| = |DC| ise m( BAC) kaç
derecedir?
ise cosA kaçtr?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
278
)
c+,
Trigonometri
SԨNÜS TEOREMԨ
Herhangi bir ABC üçgeninde, çevrel çemberin yarçap R olmak üzere
a
b
c
=
=
= 2R dir.
sin A sin B sin C
Ԩspat:
a
m( BAC) < 90° olmak üzere, ABC üçgeninin çevrel
!
$
çemberinin merkezi O olsun.
:
6
;
Ayn yay gören çevre açlarn ölçüleri eԭit olduԫundan,
a
a
m( D) = m( A) olur.
"
Çap gören çevre aç 90° olacaԫndan
a
m( DBC) = 90° dir.
/
#
DBC dik üçgeninde,
sinD =
BC
a
‰ sinD = a ‰ sinA = a ‰
= 2R bulunur.
2R
2R
sin A
DC
Benzer iԭlemlerle
c
b
= 2R eԭitlikleri elde edilir.
= 2R ve
sin C
sin B
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
Bu durumda,
ÖRNEK 108
olur.
ÖRNEK 109
!
A
4
.
./0123
2
+(9
'(9 4
45/6783
_
B
45°
C
ABC üçgeninde verilenlere göre sin_ kaçtr?
Samsun-Trabzon aras 240 km dir. Trabzon’’dan kalkan bir uçak A gibi bir noktada iken uçaԫn konumu
yukardaki ԭekilde ifade edilmiԭtir. A noktasnn varԭ
Çözüm
noktasna olan uzaklԫn bulunuz.
Çözüm
279
Trigonometri
ÖRNEK 110
ÖRNEK 113
#
Çevrel çemberinin yarçap 4 cm olan ABC üçgeninde
a
m( A) = 30° ise a kenarnn uzunluԫu kaç cm dir?
%
Çözüm
"
'
!
a
a
ABC üçgeninde m( C) –– m( B) = 90° , |AB| = 4 cm
|AC| = 3 cm ise cotB kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 111
a a
3
Bir ABC üçgeninde sin( A + C ) =
, b = 15 cm ise,
5
ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarçap kaç cm dir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 114
!
$
"
'(9
%<9
#
a
ABC üçgeninde 3|AD| = 4|DC|, m( ABD) = 45°
a
sin A
m( DBC) = 30° ise
kaçtr?
sin C
Çözüm
ÖRNEK 112
Bir ABC üçgeninde,
a
a
a
a
sin2( A) + sin2( B) = sin2( C) ise m( C) kaç derecedir?
Çözüm
280
Trigonometri
ÜÇEGENԨN ALANI
Herhangi bir ABC üçgeninde
A(ABC) =
A
1
a.b.sinC
2
A(ABC) =
b
c
1
A(ABC) =
b.c.sinA
2
B
1
a.c.sinB
2
C
a
Ԩspat:
!
ABC üçgeninde
:
[AH] Π[BC]
>/
6
çizelim.
"
=
#
/
A(ABC) =
1
a.ha olduԫunu biliyoruz.
2
AHC dik üçgeninde,
sinC =
AH
AC
‰ sinC =
ha
‰ ha = b.sinC olur.
b
Elde ettiԫimiz ha deԫerini
A(ABC) =
1
1
a.ha eԭitliԫinde yerine yazarsak A(ABC) = a.b.sinC bulunur.
2
2
ÖRNEK 115
ÖRNEK 116
!
Ardԭk iki kenar uzunluԫu a ile b ve bu kenarlar arasndaki açsnn ölçüsü _ olan ABCD paralelkenarn-
'
da A(ABCD) = a.b.sin_ olduԫunu gösteriniz.
%<9
"
)
#
Çözüm
ABC üçgeninde, |BC| = 6 cm, |AC| = 4 cm
a
m( C) = 30° ise A(ABC) kaç cm2 dir?
Çözüm
281
Trigonometri
ÖRNEK 117
ÖRNEK 119
!
!
*
'(9
-
_
%
'
%
"
'
#
&
$
"
$
#
ABC ve BDE üçgenlerinin alanlar eԭittir.
ABC üçgeninde |BD| = |DC| dir.
Verilenlere göre x kaç br dir?
Verilenlere göre sin_ kaçtr?
Çözüm
Çözüm
-
!
"
$
#
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 118
ÖRNEK 120
!
*
"
(
Ԭekilde, [EC] Œ [AC], [EC] E [AD] = {B}
|AB| = 5 cm, |AC| = 3 cm ve |EB| = |BC| = |BD| ise
A(EDB) kaç cm2 dir?
Çözüm
#
$
Ԭekilde, [BA] Œ [AD], [AC] Œ [CD], |AB| = 2 cm
|AD| = 5 cm ve |CD| = 4 cm ise A(BAC) kaç cm2 dir?
Çözüm
282
'
!
Trigonometri
ÖRNEK 121
ÖRNEK 123
!
Çevrel çemberinin yarçap R olan ABC üçgeninde,
a.b.c
A(ABC) =
olduԫunu gösteriniz.
4R
'
$
Çözüm
)
'
"
-
ABC üçgeninde verilenlere göre,
|EC| = x kaç birimdir?
& #
A (BDE) 2
=
A (BAC) 5
ise
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 124
ÖRNEK 122
!
!
%
"
"
#
ABC üçgeninde |AB| = 3 cm, |AC| = 6 cm ise
A(ABC) en fazla kaç cm2 olabilir?
(
'
)
@
#
ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarçap kaç birimdir?
Çözüm
Çözüm
283
ALIŞTIRMALAR – 6
2.
Aԭaԫdaki sorularn her birinde verilenlere göre
Aԭaԫdaki sorularn her birinde verilenlere göre
istenilenleri bulunuz.
istenilenleri bulunuz.
a.
a.
!
%
'
*
#
a=?
/
"
$
!
+*<9
'
&
)
#
b.
b.
!
a
cos A = ?
%
*
'
"
$
'
!
!
+
c.
-
&
+
#
%
"
$
!
x=?
'
*
%
a
cosC = ?
%
*
#
"
c.
&
'
#
'(9
x=?
%<9
"
d.
#
d.
!
%
!
-
)
%
x=?
(
'
sin_ = ?
&
_
"
284
A
x=?
-
"
ESEN YAYINLARI
1.
$
*
#
"
%<9
#
Trigonometri
3.
$
%
B
+
6.
#
$
'
!
A
&
%
+*<9
! + -
"
"
Ԭekildeki ABCD eԭkenar dörtgeninde
|AE| = |FC| = 1 cm, |DF| = 3 cm,
a
m( ABC) = 120° ise |EF| = x kaç cm dir?
#
@
Ԭekildeki ABCD dörtgeninde |AD| = 4 cm
|AB| = 3 cm, |BC| = 7 cm, |DC| = 8 cm
a
m( A) = 90° ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
7.
!
*
-
#
4.
'
'
"
ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |AC| = 4 cm
a
a
a
m( C) = 90° + m( B) ise cot( B) kaçtr?
!
5.
ESEN YAYINLARI
)
!
%
'
$
&
#
ABD ve EBC birer üçgen, |AE| = 2 cm
|EB| = 4 cm, |BD| = 5 cm ve
A(ABD) = A(BEC) ise |DC| = x kaç cm dir?
8.
!
_ '(
9
*
"
(
"
)
'
;
"
#
O merkezli çemberde |AB| = 2 cm, |BC| = 3 cm
|AC| = 4 cm ise |OA| kaç cm dir?
$
#
ABC üçgeninde |AB| = 4 cm, |AC| = 6 cm
a
a
4|BD| = 3|DC|, m( DAC) = 45° ve m( BAD) = _
ise sin_ kaçtr?
285
Trigonometri
9.
Bir ABC üçgeninde, b2 = a2 + c2 + v3ac
a
ise m( B) kaç derecedir?
14. Bir ABC üçgeninde
a 2 –– b 2
= a. cos B –– b. cos A
c
olduԫunu gösteriniz.
a
10. Bir ABC üçgeninde, a = 2b.cosC ise b = c
olduԫunu gösteriniz.
!
15.
D
"
C
#
ABC üçgeninde 3|AK| = 2|AB|, 5|AL| = 3|AC|
ise
11. Bir ABC üçgeninde
ESEN YAYINLARI
a
A(ABC) = u.(u –– b) ise m( B) = 90°
A (AKL)
kaça eԭittir?
A (ABC)
olduԫunu gösteriniz.
16.
12. Bir ABC üçgeninde hb = 2R.sinA.sinC
sin A
= 2. cos C
sin B
olduԫuna göre, ABC üçgeninin ikizkenar üçgen
olduԫunu gösteriniz.
olduԫunu gösteriniz
13. Bir ABC üçgeninde
a.sinA + b.sinB + c.sinC =
olduԫunu gösteriniz.
286
17.
a2 + b2 + c2
2R
sinC = cosA + cosB
olduԫuna göre, ABC üçgeninin dik üçgen olduԫunu gösteriniz.
Trigonometri
ԨKԨ YAYIN TOPLAMININ VE FARKININ TRԨGONOMETRԨK ORANLARI
®
sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b
®
sin(a –– b) = sin a.cos b –– cos a.sin b
®
cos(a + b) = cos a.cos b –– sin a.sin b
®
cos(a –– b) = cos a.cos b + sin a.sin b
Ԩspat
®
#
ABC ve AEC dik üçgenler
6
FBDE dikdörtgen
a
a
|AC| = 1 br, m( CAE) = a, m( EAD) = b
+
/
olmak üzere, AEC dik üçgeninde,
CE
AC
‰ |CE| = sin a ve cos a =
AE
AC
-
6
!
sin a =
B
"
$
‰ |AE| = cos a olur.
CFE dik üçgeninde,
cos b =
CF
CE
‰ cos b =
CF
‰ |CF| = sin a.cos b
sin a
ADE dik üçgeninde,
sin b =
ED
AE
‰ sin b =
ED
‰ |ED| = cos a.sin b olur.
cos a
ABC dik üçgeninde,
sin(a + b) =
CB
‰ |CB| = sin(a + b)
AC
sin(a + b) = |CB| = |CF| + |FB| = |CF| + |ED| = sin a.cos b + cos a.sin b bulunur.
®
sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b eԭitliԫinde b yerine ––b yazarsak
sin(a –– b) = sin a.cos(––b) + cos a.sin(––b) = sin a.cosb –– cos a.sin b olur.
®
cos(a + b) = sin :
r
r
r
r
–– (a + b) D = sin :b –– a l –– b D = sin b –– a l cos b –– cos b –– a l sin b
2
2
2
2
= cos a.cos b –– sin a.sin b olur.
®
cos(a –– b) = cos[a + (––b)] = cos a.cos(––b) –– sin a.sin(––b) = cos a.cosb + sin a.sinb bulunur.
287
Trigonometri
ÖRNEK 125
ÖRNEK 129
Aԭaԫda toplam fark formüllerine verilen örnekleri
$
inceleyiniz.
® sin20°.cos30° + cos20°.sin30° = sin(20° + 30°)
"
+%
® sin40°.cos15° –– cos40°.sin15° = sin(40° –– 15°)
!
= sin25°
ABCD dörtgeninde [DC] Œ [BC], |DC| = 4 cm
® cos50°.cos20° + sin50°.sin20° = cos(50° –– 20°)
|BC| = 3 cm, |AD| = 12 cm, |AB| = 13 cm ise
a
cos( ABC) kaçtr?
= cos30°
® cos100°.cos5° –– sin100°.sin5° = cos(100° + 5°)
= cos105°
Çözüm
ÖRNEK 126
sin42°.cos18° + sin18°.cos42°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 127
sin40°.sin50° –– cos40°.cos50°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 130
sin15° ifadesinin eԭitini bulunuz.
cos105° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
288
#
%
+*
= sin50°
ÖRNEK 128
'
Çözüm
Trigonometri
Çözüm
ÖRNEK 131
$
#
+
*
_
+
!
%
"
ABCD dik yamuԫunda |DC| = 1 cm, |CE| = 2 cm
a
|EB| = 1 cm, |AB| = 3 cm, m( AED) = _ ise sin_
kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 133
$
B
#
ABCD kare |DF| = |FC|
|CE| = |EB|
a
m( FAE) = _
-
ise cos_ kaçtr?
_
!
"
Çözüm
ÖRNEK 132
$
#
_
!
-
"
ABCD dikdörtgeninde |AE| = |EB| = |CB|
a
m( ACE) = _ ise cos_ kaçtr?
289
Trigonometri
ÖRNEK 134
ÖRNEK 135
Bir ABC üçgeninde,
cosA =
Bir ABC üçgeninde
12
4
ve cosB =
13
5
ise sinC kaçtr?
cosA.cosB =
Çözüm
1
, sinA.sinB = 1 ise cosC kaçtr?
2
4
Çözüm
®
tan(a + b) =
tan a + tan b
1 –– tan a. tan b
®
tan(a –– b) =
tan a –– tan b
1 + tan a. tan b
®
cot(a + b) =
cot a. cot b –– 1
cot a + cot b
®
cot(a –– b) =
cot a. cot b + 1
cot b –– cot a
Ԩspat
®
tan(a + b) =
sin (a + b)
sin a. cos b + cos a. sin b
=
cos (a + b)
cos a. cos b –– sin a. sin b
olur.
Bu ifadenin pay ve paydasn cosa.cosb ile bölersek,
sin a sin b
sin a. cos b cos a. sin b
+
+
tan a + tan b
tan(a + b) = cos a. cos b cos a. cos b = cos a cos b =
sin a sin b
1 –– tan a. tan b
cos a. cos b
sin a. sin b
1 ––
·
––
cos a cos b
cos a. cos b cos a. cos b
®
tan(a –– b) = tan[a + (––b)] =
290
tan a + tan (–– b)
tan a –– tan b
=
1–– tan a. tan (–– b)
1 + tan a. tan b
bulunur.
bulunur.
Trigonometri
ÖRNEK 136
ÖRNEK 138
!
tan75° ifadesinin eԭitini bulalm.
_
Çözüm
'
"
*
$
*
#
ABC dik üçgeninde |BD| = |DC| = 2 cm, |AB| = 4 cm
a
m( DAC) = _ ise tan_ kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 139
ESEN YAYINLARI
cos c arcsin
4
12
+ arctan
m ifadesinin eԭitini bulunuz.
5
5
Çözüm
ÖRNEK 137
tan a = 1
2
ve cot b = 4
olduԫuna göre, tan(a + b) kaçtr?
Çözüm
291
Trigonometri
YARIM AÇI FORMÜLLERԨ
ÖRNEK 140
sin b x ––
r
r
l = 2 cos b x –– l
4
4
sin2x = 2sinx.cosx
olduԫuna göre, tanx kaçtr?
Ԩspat
Çözüm
sin2x = sin(x + x) = sinx.cosx + cosx.sinx
= 2sinx.cosx olur.
ÖRNEK 142
sin 40°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
sin 20°
Çözüm
ÖRNEK 141
1
+ arccot 3
2
ifadesinin eԭitini bulunuz.
arctan
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 143
x D b0 ,
sinx =
r
l olmak üzere,
2
3
ise sin2x in deԫerini bulunuz.
5
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 144
sin75°.cos75° ifadesinin eԭitini bulalm.
Çözüm
292
Trigonometri
ÖRNEK 145
ÖRNEK 148
r
sin r .cos r .cos
24
24
12
cos36°.sin18° ifadesinin eԭitini bulunuz.
ifadesinin eԭitini bulalm.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 146
sinx –– cosx =
1
3
olduԫuna göre, sin2x kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 149
cos6
r
r
+ sin6
8
8
ifadesinin eԭiti kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 147
x D (0, /) olmak üzere,
1 + sin x ifadesinin eԭiti nedir?
Çözüm
293
Trigonometri
ÖRNEK 150
cos2x = cos2x –– sin2x
sin10°.cos20°.cos40° iԭleminin sonucu kaçtr?
Çözüm
Ԩspat
cos2x = cos(x + x)
= cosx.cosx –– sinx.sinx
= cos2x –– sin2x bulunur.
Ayrca, bu eԭitlikte cos2x = 1 –– sin2x veya
sin2x = 1 –– cos2x yazlarak
cos2x = 2cos2x –– 1
cos2x = 1 –– 2sin2x
ESEN YAYINLARI
eԭitlikleri de elde edilir.
ÖRNEK 152
cosx =
1
olduԫuna göre, cos2x kaçtr?
3
Çözüm
ÖRNEK 151
1
sin c 2 arccos m ifadesinin eԭitini bulunuz.
3
Çözüm
ÖRNEK 153
sinx =
Çözüm
294
1
olduԫuna göre, cos4x kaçtr?
5
Trigonometri
ÖRNEK 154
ÖRNEK 157
r
r
–– sin2
8
8
ifadesinin eԭitini bulunuz.
cos2
x ! b0 ,
r
l olduԫuna göre,
2
1 + cos 2x
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 155
cos475° –– sin475°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 158
x D (2/, 3/) olmak üzere,
1 –– cos x
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 156
1 + cos 20°
sin 20°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
295
Trigonometri
ÖRNEK 159
cos2
ÖRNEK 161
sin50° = a olduԫuna göre,
r
ifadesinin eԭitini bulunuz.
8
cos20° nin a türünden deԫeri nedir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 162
sin3x = 3sinx –– 4sin3x
eԭitliԫinin doԫru olduԫunu gösteriniz.
ÖRNEK 160
sin 2
5r
r
+ cos 2
12
12
ifadesinin eԭitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 163
1
cos c 2 arcsin m
4
ifadesinin eԭitini bulalm.
Çözüm
296
Trigonometri
tan2x =
ÖRNEK 166
2 tan x
1 –– tan 2 x
tan x. cot 2x
tan 2 x –– 1
Ԩspat
ifadesinin eԭiti kaçtr?
tan2x = tan(x + x)
=
tan x + tan x
1 –– tan x. tan x
=
2 tan x
olur.
1 –– tan 2 x
Çözüm
ÖRNEK 164
tanx = 1
2
olduԫuna göre, tan2x kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 167
tanx –– cotx =
2
3
olduԫuna göre, tan4x kaçtr?
ÖRNEK 165
Çözüm
3
olduԫuna göre,
4
tanx in alabileceԫi deԫerleri bulunuz.
tan2x =
Çözüm
297
Trigonometri
DÖNÜԬÜM FORMÜLLERԨ
®
sin a + sin b = 2sin
a+b
a –– b
.cos
2
2
a+b
a –– b
.sin
2
2
®
sin a –– sin b = 2cos
®
cos a + cos b = 2cos
®
cos a –– cos b = ––2sin
a+b
a –– b
.cos
2
2
a+b
a –– b
.sin
2
2
Ԩspat
sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny
®
+ sin(x –– y) = sinx.cosy –– cosx.siny
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
sin(x + y) + sin(x –– y) = 2sinx.cosy ..... (I)
Bu eԭitlikte x + y = a ve x –– y = b alrsak, x =
a+b
2
y=
ve
a –– b
2
Bu deԫerleri (I) eԭitliԫinde yerine yazarsak sin a + sin b = 2sin a + b .cos
2
®
olur.
a –– b
2
bulunur.
I de bulduԫumuz eԭitlikte b yerine –– b yazarsak
sin a + sin(––b) = 2sin
a –– (––b)
a –– b
a+b
a –– b
.cos
‰ sin a –– sin b = 2sin
.cos
2
2
2
2
olur.
cos(x + y) = cosx.cosy –– sinx.siny
®
cos(x –– y) = cosx.cosy + sinx.siny
+
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
cos(x + y) + cos(x –– y) = 2cosx.cosy olur.
x+y = a
a+b
a –– b
a+b
a –– b
ve y =
deԫerleri yerine yazlrsa cos a + cos b = 2cos
.cos
olur.
3 ‰ x=
2
2
2
2
x –– y = b
®
cos(x + y) = cosx.cosy –– sinx.siny
cos(x –– y) = cosx.cosy + sinx.siny
eԭitliklerini taraf tarafa çkararak cosa –– cosb = ––2sin
ÖRNEK 168
cos 3a + cos a
ifadesinin eԭitini bulunuz.
sin 3a –– sin a
Çözüm
a –– b
a+b
.sin
eԭitliԫini siz bulunuz.
2
2
ÖRNEK 169
sin 40° + sin 20°
cos 10°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
298
Trigonometri
ÖRNEK 170
Pratik olarak,
cos (a + b) –– cos (a –– b)
sin (a + b) + sin (a –– b)
ifadesinin eԭitini bulunuz.
sin x + sin 3x + sin 5x
=
cos x + cos 3x + cos 5x
Çözüm
olarak alnabilir.
x + 3x + 5x
3
= tan 3x
x + 3x + 5x
cos
3
sin
ÖRNEK 173
sin 20° + sin 40° + sin 80°
cos 10°
ifadesinin eԭitini bulalm.
Çözüm
ÖRNEK 171
cos10° + cos50° –– v3.cos20°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 172
sin x + sin 3x + sin 5x
cos x + cos 3x + cos 5x
ifadesinin eԭitini bulunuz.
ÖRNEK 174
cos242° –– cos218°
ifadesinin eԭitini bulalm.
Çözüm
Çözüm
299
Trigonometri
ÖRNEK 175
1
1
––
cos 75° sin 75°
ÖRNEK 178
sin 6x + sin 4x + sin 2x
cos 4x + cos 2x + 1
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
ifadesinin en sade biçimini
bulunuz.
Çözüm
sin 5x + sin 3x
9x = r olmak üzere,
ifadesinin eԭi2
cos x. cos 5x
tini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 176
ÖRNEK 179
Bir ABC üçgeninde,
sinA + sinB + sinC = 4cos
olduԫunu gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 177
cos80° + sin50° –– cos20° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
300
B
C
A
.cos .cos
2
2
2
Trigonometri
TERS DÖNÜԬÜM FORMÜLLERԨ
®
sinx.cosy =
1
[sin(x + y) + sin(x –– y)]
2
®
sinx.siny =
1
[cos(x –– y) –– cos(x + y)]
2
®
cosx.cosy =
1
[cos(x + y) + cos(x –– y)]
2
Ԩspat
sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny
®
sin(x –– y) = sinx.cosy –– cosx.siny
+
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
sin(x + y) + sin(x –– y) = 2sinx.cosy ‰ sinx.cosy =
1
[sin(x + y) + sin(x –– y)] bulunur.
2
cos(x + y) = cosx.cosy –– sinx.siny
®
cos(x –– y) = cosx.cosy + sinx.siny
––
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
cos(x + y) –– cos(x –– y) = ––2sinx.siny ‰ sinx.siny =
1
[cos(x –– y) –– cos(x + y)] bulunur.
2
cos(x + y) = cosx.cosy –– sinx.siny
®
+ cos(x –– y) = cosx.cosy + sinx.siny
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
cos(x + y) + cos(x –– y) = 2cosx.cosy ‰ cosx.cosy =
ÖRNEK 180
cos15°.cos75° ifadesinin eԭiti kaçtr?
Çözüm
1
[cos(x + y) + cos(x –– y)] bulunur.
2
ÖRNEK 182
1
–– 4 cos 10° ifadesinin eԭiti kaçtr?
sin 40°
Çözüm
ÖRNEK 181
sin
5r
r
ifadesinin eԭitini bulunuz.
· cos
24
24
Çözüm
301
Trigonometri
ÖRNEK 183
cos10°.cos50°.cos70° ifadesinin eԭiti kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 185
_ –– e =
r
olmak üzere,
6
tan(_ –– 2e).tan(2_ –– e) ifadesinin eԭiti kaçtr?
ÖRNEK 184
cos80°.cos40°.cos20° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
302
Çözüm
ALIŞTIRMALAR – 7
1.
Aԭaԫdaki eԭitliklerden doԫru olanlar için boԭ
4.
kutulara ““D”” yanlԭ olanlar için ““Y”” yaznz.
Bir ABC üçgeninde sinA =
3
, cosB = 5
13
5
ise
sinC kaçtr?
3
sin48°.cos12° + cos48°.sin12° =
2
sin50°.sin40° –– cos50°.cos40° = 1
cos80°.sin20° –– sin80°.cos20° = ––
sin2105° –– cos2105° =
3
2
5.
3
2
a+b=
r
3
olmak üzere,
(cosa –– cosb)2 + (sina + sinb)2
ifadesinin eԭitini bulunuz.
tan 32° + tan 13°
=1
1 –– tan 32°. tan 13°
2.
r
2
= ––
8
2
Aԭaԫdakilerin herbirinin eԭitini bulunuz.
a. sin75°
b. cos
ESEN YAYINLARI
1 –– 2cos2
6.
r
12
7.
c. tan15°
d. cot
3.
sinx –– cosx = 1
4
olduԫuna göre, sin2x ifadesinin eԭitini bulunuz.
7r
12
tan a = 2 , cot b = 3
olduԫuna göre, tan(a + b) kaçtr?
Aԭaԫda sol sütunda verilen ifadelerin eԭitini saԫ
sütunda bularak eԭleԭtiriniz.
a.
cos4x –– sin4x
1.
cot2x
b.
cos 6x sin 6x
+
sin 2x cos 2x
2.
cot2x
c.
sin 4x
1 –– cos 4x
3.
2cot4x
d.
1 + cos 2x
1 –– cos 2x
4.
cos2x
303
Trigonometri
e.
Aԭaԫdakilerin herbirinde verilenlere göre istenilenleri bulunuz.
a.
%
+
$
#
+
-
!
a
cos( BCD) = ?
"
'
ABCD dik yamuk
_
tan_ = ?
*
!
#
"
'
$
+*
f.
$
#
-
ABCD kare
b.
!
c.
!
tanx = ?
*
"
|DE| = 3|CE|
_
&
$
*
$
#
_
r
r
ifadesinin eԭiti nedir?
+ sin 6
12
12
9.
cos 6
10.
sin10°.sin50°.sin70° ifadesinin eԭiti nedir?
11.
sin10°.cos10°.cos20°.cos40° = a
ABCD kare
B
-
tan_ = ?
"
#
'
ESEN YAYINLARI
8.
|DE| = |AE|
sin_ = ?
!
d.
"
%
$
-
*
#
ABCD kare
cot_ = ?
_
!
304
B
olduԫuna göre, cos10° nin a cinsinden deԫeri
+
nedir?
"
Trigonometri
12.
15. Aԭaԫdakilerin herbirinin eԭitini bulunuz.
sin84° = a olduԫuna göre,
sin87° nin a cinsinden deԫeri nedir?
13. x D b 0 ,
r
l olmak üzere, verilenlere göre iste2
nenleri bulunuz.
a. cos c arctan
3
5
–– arcsin
m
4
13
b. tan c arc cot
1
+ arctan 2 m
3
1
‰ cos2x = ?
5
a. cosx =
c. sin(2arctan2)
1
‰ cos4x = ?
3
c. cot2x =
3
‰ tanx = ?
4
d. sinx = 3
5
14.
x D b0 ,
16.
17.
cos20° –– sin50° –– cos80°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
1 + sin x
1 –– sin x
18.
b.
sin54° –– sin18°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
‰ sin2x = ?
r
l
2
olmak üzere, aԭaԫdaki ifadelerin eԭitini bulunuz.
a.
1
d. tan c 2 arccos m
3
ESEN YAYINLARI
b. sinx =
1 + cos x
1 –– cos x
cos10°.cos30°.cos50°.cos70° = 3
16
eԭitliԫinin doԫru olduԫunu gösteriniz.
305
Trigonometri
sin 50° ––
19.
3
4 sin 20°
21.
ifadesinin eԭitini bulunuz.
ifadesinin eԭitini bulunuz.
22.
20. Aԭaԫdaki ifadelerin en sade biçimini elde ediniz.
a.
3 ––
1
cos 10° sin 10°
1
1
––
cos 36° sin 18°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
sin 8x + sin 2x
cos 8x –– cos 2x
23. Bir ABC üçgeninde aԭaԫdaki eԭitliklerin doԫru
olduԫunu gösteriniz.
c.
a. cosA + cosB + cosC = 1 + 4 sin
cos 5x + cos x
sin 5x –– sin x
sin 80° + sin 20°
cos 80° –– cos 20°
ESEN YAYINLARI
b.
b. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC
c. cos2A + cos2B + cos2C = 1 –– 2cosAcosBcosC
24.
d. sin 10° + sin 30° + sin 50°
cos 10° + cos 30° + cos 50°
tan2_ + cot2_ = 5
olduԫuna göre, sin4_ kaça eԭittir?
sin b x ––
e.
sin 20° + sin 40° + sin 60° + sin 80°
cos 20° + cos 40° + cos 60° + cos 80°
306
A
B
C
sin sin
2
2
2
r
l
4 =1
25.
r
2
sin b x + l
4
olduԫuna göre, cotx kaça eԭittir?
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK DENKLEMLER
sinx =
1
r
5r
denklemini ele alalm. Bu denklemi saԫlayan [0, 2/] aralԫndaki deԫerlerin
ve
olduԫunu biliyoruz.
2
6
6
Ancak daha geniԭ aralklarda bu denklemi saԫlayan baԭka deԫerler de vardr. Bu deԫerlerin tümünü tek tek bulmamz mümkün olmadԫndan bu deԫerlerin hepsini ifade eden kümeyi ortak özellik yardmyla gösterebiliriz.
cosx = a Denkleminin Çözümü
cosx =
1F3
3
denkleminin çözüm kümesini
2
+
/
)
bulmaya çalԭalm.
Kosinüsü
?+
3
ye eԭit olan [0, 2/)
2
aralԫndaki reel saylar; r ve –– r dr.
6
6
;
v%
*
?+
/
)
+
:81
Ancak, k D Z olmak üzere,
r + k.2/ ve –– r + k.2/ saylarnn da kosinüsleri
6
6
Dolaysyla denklemin çözüm kümesi,
3
ye eԭittir.
2
Ç = { x : x = r + k.2/  x = –– r + k.2/, k D Z} olur.
6
6
Bu durumu genel olarak aԭaԫdaki biçimde ifade edebiliriz.
1F3
+
––1 ” a ” 1 olmak üzere,
cosx = a denkleminin [0, 2/) aralԫndaki bir kökü
?+
;
_ ise denklemin çözüm kümesi;
Ç = { x : x = _ + k.2/  x = –– _ + k.2/ , k D Z} dir.
ÖRNEK 186
cosx = 1
2
Çözüm
_
?_
/ +
:81
?+
ÖRNEK 187
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
cos x = ––
3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
2
Çözüm
307
Trigonometri
ÖRNEK 188
ÖRNEK 191
cos2x –– 3cosx + 2 = 0
cos2x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 189
cos b 2x ––
r
1
l = ––
3
2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 192
0° ” x < 360° olmak üzere,
cos(2x + 10°) = cos50°
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 190
cos3x = 1
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
308
Trigonometri
sinx = a Denklemini Çözümü
sinx =
1
2
1F3
denkleminin çözüm kümesini
+
/
)
/ /
)
bulmaya çalԭalm. Sinüsü
1
ye eԭit olan
2
[0, 2/) aralԫndaki reel saylar
r
6
ve r ––
+
*
?+
+
;
r
6
:81
dr.
?+
Bu durumda, k D Z olmak üzere
r
r
+ k.2/ ve r ––
+ k.2/ saylarnn da sinüsü 1 olacaԫndan çözüm kümesi;
2
6
6
Ç = {x : x =
5r
r
+ k.2/  x =
+ k.2/, k D Z} olur.
6
6
Bu durumu genel olarak aԭaԫdaki biçimde ifade edebiliriz.
1F3
+
––1 ” a ” 1 olmak üzere,
sinx = a denkleminin [0, 2/) aralԫndaki bir kökü
/
?+
_
_ ise denklemin çözüm kümesi;
;
_
/?_
+
:81
Ç = { x : x = _ + k.2/  x = / –– _ + k.2/, k D Z} dir.
?+
ÖRNEK 193
ÖRNEK 194
3
2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
1
2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
sinx =
sin3x = ––
309
Trigonometri
ÖRNEK 195
cos2x –– sin2x + sinx = 0
denkleminin çözüm kümesini bulalm.
Çözüm
ÖRNEK 197
cos2x + sin2x = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 196
cos3x –– cosx + 2sin2x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
310
Trigonometri
tanx = a Denkleminin Çözümü
ÖRNEK 199
1F3
+
tan b 2x ––
G/3
/
'
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
H+I+J
Çözüm
+
?+
r
l = ––1
4
:81
(/
'
?+
tanx = 1 denkleminin çözüm kümesini bulalm.
Tanjant 1 e eԭit olan [0, 2/) aralԫndaki reel saylar
r
r
ve r + olduԫundan bu iki deԫeri de içeren
4
4
r
+ kr , (k D R) denklemi saԫlayan x deԫerle4
ridir. Dolaysyla denklemin çözüm kümesi
r
+ k/, k D Z } olur.
Ç = {x : x =
4
x=
tanx = a denkleminin [0, /) aralԫndaki bir kökü _
ise denklemin çözüm kümesi
Ç = { x : x = _ + k/, k D Z } dir.
cotx = a Denkleminin Çözümü
cotx = –– v3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
a D R olmak üzere,
ÖRNEK 200
®
k D R olmak üzere,
a D R olmak üzere,
f(x) = g(x) + k.2/  f(x) = / –– g(x) + k.2/
cotx = a denkleminin [0, /) aralԫndaki bir kökü
eԭitliklerini saԫlayan x reel saylardr.
_ ise denklemin çözüm kümesi
Ç = { x : x = _ + k/, k D Z } dir.
sinf(x) = sing(x) denkleminin çözüm kümesi,
®
cosf(x) = cosg(x) denkleminin çözüm kümesi,
k D R olmak üzere,
f(x) = g(x) + k.2/  f(x) = –– g(x) + k.2/
eԭitliklerini saԫlayan x reel saylardr.
ÖRNEK 198
tanx = v3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
®
tanf(x) = tang(x) veya cotf(x) = cotg(x)
denklemlerinin çözüm kümesi, k D R
olmak üzere, f(x) = g(x) + k/
eԭitliԫini saԫlayan x reel saylardr.
311
Trigonometri
ÖRNEK 201
ÖRNEK 203
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
r
r
l = cos b –– x l
3
6
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 202
sin b 2x ––
r
r
l = –– sin b x + l
6
3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
312
cos b x ––
r
l = sin x
4
ESEN YAYINLARI
sin b 2x ––
ÖRNEK 204
cos b x ––
r
r
l = –– cos b x + l
4
4
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Trigonometri
Çözüm
ÖRNEK 205
cos b 2x ––
r
l = sin x
3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
sinx ve cosx e Göre Doԫrusal Denklemler
a, b, c sfrdan farkl reel saylar olmak üzere,
ESEN YAYINLARI
a.cosx + b.sinx = c biçimindeki denklemler,
ÖRNEK 206
r
tan b 2x –– l = tan x
6
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
sinx ve cosx e göre doԫrusal denklemlerdir.
ÖRNEK 208
sinx –– v3 cosx = 1
denkleminin çözüm kümesini bulalm.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 207
tan3x.cot b
r
–– x l = 1
3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
313
Trigonometri
ÖRNEK 209
ÖRNEK 210
f(x) = a.sinx + b.cosx
Aԭaԫdaki tabloda baz fonksiyonlarn en büyük ve en
küçük deԫerleri verilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.
fonksiyonunun en büyük ve en küçük deԫerlerini
bulunuz.
Çözüm
LH&J
-3MNOPONMQRSR5
-3M6OEONMQRSR5
%1F3&MKM':81&
? %*MKM'*MTM?M(
(
*1F3&M?M:81&
? **MKMH?+J*MTM?Mv(
v(
1F3&MKM:81&
? +*MKM+*MTM?Mv*
v*
ÖRNEK 211
3sinx –– 4cosx = 5
olduԫuna göre, sinx kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
f(x) = a.sinx ± b.cosx ise f(x) in
en küçük deԫeri: –– a 2 + b 2
en büyük deԫeri:
314
a2 + b2
dir.
Trigonometri
sinx ve cosx e Göre Homojen Denklemler
Çözüm
2sinx –– 3cosx = 0
sinx –– v3 cosx = 0
biçimindeki denklemler, 1. dereceden homojen denklemlerdir.
sin2x + 2sinx.cosx –– cos2x = 0
sin2x + 2sin2x + 3cos2x = 0
biçimindeki denklemler, 2. dereceden homojen denklemlerdir.
sinx –– v3 cosx = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 212
ÖRNEK 214
3cos2x –– 3cosx.sinx + 2sin2x = 1
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 213
sin2x + sinx.cosx –– 2cos2x = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
315
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK EԬԨTSԨZLԨKLER
Çözüm
sinx > a veya sinx < a Eԭitsizliԫi
1F3
/
_
_
:81
sinx > a eԭitsizliԫinde
––1 ” a ” 1 ‰ Ç = (_, / –– _)
a>1‰Ç=Ø
a < ––1 ‰ Ç = R
1F3
_
_
:81
sinx < a eԭitsizliԫinde
––1 ” a ” 1 ‰ Ç = [0, _) F (/ –– _, 2/)
a>1‰Ç=R
a < ––1 ‰ Ç = Ø
ÖRNEK 215
3
2
eԭitsizliԫinin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesini
sinx >
bulunuz.
316
ESEN YAYINLARI
/
ÖRNEK 216
1
2
eԭitsizliԫinin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesini
sinx ”
bulunuz.
Çözüm
Trigonometri
cosx > a veya cosx < a Eԭitsizliԫi
cosx > a eԭitsizliԫinde,
Çözüm
1F3
––1 ” a ” 1 ‰ Ç = (–– _, _)
veya Ç = [0, _) F (2/ –– _, 2/]
a>1 ‰ Ç=Ø
_
_ /
:81
a < ––1 ‰ Ç = R
cosx < a eԭitsizliԫinde,
1F3
––1 ” a ” 1 ‰ Ç = (_, 2/ –– _)
a>1 ‰ Ç=R
a < ––1 ‰ Ç = Ø
_
_
/
:81
tanx > a veya tanx < a Eԭitsizliԫi
tanx > a eԭitsizliԫinin çözüm kümesi,
1F3
/
*
1
2
eԭitsizliԫinin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesini
cosx >
bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
/
ÖRNEK 217
_
_
:81
%/
*
Ç = ba ,
G/3
r
3r
l , cr + a ,
m olur.
2
2
tanx < a eԭitsizliԫinin çözüm kümesi,
1F3
/
*
/
_
_
:81
%/
*
G/3
ÖRNEK 218
2
2
[0, 2/]
Ç = b ––
cos x ” ––
eԭitsizliԫinin
bulunuz.
aralԫndaki çözüm kümesini
r
r
, a l , b , r + a l veya
2
2
Ç = 60 , r h , b
r
3r
, r + al , c
, 2r m dir.
2
2
317
Trigonometri
cotx > a veya cotx < a Eԭitsizliԫi
ÖRNEK 219
1F3
tanx > 1
:8G
eԭitsizliԫinin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesini
bulunuz.
/
_
Çözüm
_
/
:81
cotx > a eԭitsizliԫinin çözüm kümesi,
Ç = (0, _) F (/, / + _) dr.
1F3
:8G
/
ESEN YAYINLARI
_
_
/
cotx < a eԭitsizliԫinin çözüm kümesi,
Ç = (_, /) F (/ + _, 2/) dir.
ÖRNEK 221
ÖRNEK 220
tanx < v3 eԭitsizliԫinin [0, 2/] aralԫndaki çözüm
kümesini bulunuz.
Çözüm
318
:81
cotx > v3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ALIŞTIRMALAR – 8
1.
3.
Aԭaԫdaki ifadelerden doԫru olanlar için boԭ kutulara ““D”” yanlԭ olanlar için ““Y”” yaznz.
Aԭaԫdaki trigonometik denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
––1 ” a ” 1 olmak üzere,
a. sin2x = sin b x +
sinx = a denkleminin [0, 2/] aralԫnda
r
l
3
2 kökü vardr.
tanx = a denkleminin [0, /] aralԫnda
1 kökü vardr.
cosx = a denkleminin [0, /] aralԫnda
b. cos4x = sin
1 kökü vardr.
Aԭaԫdaki trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a. sinx = ––1
ESEN YAYINLARI
2.
3r
8
b. cos2x = ––
r
l
4
d. sin(2x –– 10°) = ––sin(x + 20°)
e. sin(x –– 20°) = cos(x + 40°)
c. tan2x = 1
d. cot3x =
2
2
c. cos3x = cos b x ––
3
3
f. cos b 2x ––
r
r
l = ––cos b x + l
6
3
319
Trigonometri
5.
Aԭaԫdaki trigonometrik denklemlerin [0, 2/] ara-
Aԭaԫdaki trigonometrik denklemlerin çözüm kü-
lԫndaki çözüm kümelerini bulunuz.
melerini bulunuz.
a. sin2x –– cos2x –– 5sinx + 3 = 0
a. 3cos2x + sin2x –– 5cosx + 1 = 0
b. sin2x.cosx + cos2x.sinx = 1
b. tan2x.cot b 2x ––
c. tanx + cotx = 1
c. cos2x = 1 –– 2sinx
r
l=1
3
ESEN YAYINLARI
4.
d. sin4x –– cos2x = 0
e. sin2x + 2sinx = 0
f.
2sin2x –– 1 = 0
320
d. cos2x + 3sinx –– 2 = 0
e. sinx + cosx = 1
f.
cosx + cos2x + cos3x = 0
Trigonometri
g. 3sinx = 1 + cos2x
6.
f(x) = sinx –– v3.cosx
fonksiyonunun grafiԫinin [0, 2/] aralԫnda x
eksenini kestiԫi noktalar bulunuz.
h. sinx + v3 cosx = 0
7.
v3 cosx + 3 sinx = v6
j.
6 cos2x + 2 cos6x = 1
fonksiyonunun grafiԫi [0, 2/] aralԫnda x eksenini kaç noktada keser?
ESEN YAYINLARI
.
f(x) = sin5x –– cos2x + sinx
8.
Aԭaԫdaki eԭitsizliklerin [0, 2/] aralԫndaki çözüm
kümelerini bulunuz.
a. sinx • 1
k. sin2x + v3 sinx.cosx = 1
b. cosx ”
l.
1
2
2cos2x + 6sinx.cosx + 4sin2x = 0
m. 2sin2x + sin2x –– 2cos2x = 1
c. v3 –– 2sinx < 0
321
Trigonometri
10. Aԭaԫdaki fonksiyonlarn en büyük ve en küçük
d. 2cosx + 1 ” 0
deԫerlerini bulunuz.
a. f(x) = v2 sinx –– cosx
e. cos b x +
r
l>0
4
b. f(x) = 3sinx –– 4cosx
f. 2sinx •
2
9.
Aԭaԫdaki eԭitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
c. f(x) = 3sinx + 4cosx
d. f(x) = 5sin3x –– 12cos3x
a. sinx < cosx
b. sinx.cosx <
c. cotx < 1
322
1
4
e. f(x) = ––sinx + cosx
f. f(x, y) = sinx + cosy
TEST – 1
1.
Aç Ölçü Birimleri

5.
48431 lik aç kaç derece, kaç dakika kaç saniyedir?


B) 10° 41 32


D) 13° 39 31


A) 10° 41 30
C) 13° 27 11




Birim çember üzerindeki noktalardan apsisi ordi-
natnn v3 katna eԭit olannn apsisi aԭaԫdakilerden hangisi olabilir?
A) v3
B)
3
2
C)
1
2
D) 1
3
2
2
E)
E) 13° 40 32
2.


13° 12 10 lik aç kaç saniyedir?
A) 46520
6.
B) 46530
lerden hangisidir?
C) 47510
A)
E) 47530
11r
4r
10r
B)
C)
9
3
9
D)
13r
9
E)
14r
9
ESEN YAYINLARI
D) 47520
280° lik açnn radyan cinsinden eԭiti aԭaԫdaki-
3.




_ = 24° 16 45 ve ` = 17° 12 38 ise
2_ + ` aԭaԫdakilerden hangisine eԭittir?



A) 65° 46 8

B) 65° 44 8


D) 65° 43 8
4.


7.

C) 65° 45 8


E) 65° 42 8


11r
radyanlk açnn derece cinsinden eԭiti aԭa5
ԫdakilerden hangisidir?
A) 396° B) 397° C) 398°
D) 399°
E) 400°

_ = 43° 16 12 ve ` = 24° 23 26 ise
_ –– ` aԭaԫdakilerden hangisidir?



A) 18° 52 46

B) 18° 52 45


D) 18° 51 45


C) 18° 51 46


E) 18° 50 46
8.
24132° lk açnn esas ölçüsü kaç derecedir?
A) 12
B) 18
C) 102
D) 108
E) 112
327
Trigonometri
9.
––1341° lik açnn esas ölçüsü kaç derecedir?
A) 89
B) 92
C) 94
D) 99
13.
/
!"#$%&
E) 98
.
*")%$#&
0
'"%$#&
,#-
+
("#$)%&
a
Yukardaki birim çemberde m( EOD) = 60° ise
132r
10.
radyanlk açnn esas ölçüsü kaç radyan7
dr?
A)
2r
7
B)
3r
7
C)
4r
7
D)
5r
7
E)
E noktas aԭaԫdakilerden hangisidir?
6r
7
A) d
3
1
, –– n
2
2
B) d ––
3
1
,
n
2
2
C) d
1
3
, ––
n
2
2
D) d ––
1
3
, ––
n
2
2
73r
radyanlk açnn esas ölçüsü kaç
3
radyandr?
11. ––
A)
r
3
B)
2r
3
C) /
D)
4r
3
E)
ESEN YAYINLARI
E) d
5r
3
2
2
, ––
n
2
2

14. 18° –– 19751 ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden
hangisidir?


B) 12° 30 48


D) 12° 31 49


A) 12° 30 47
C) 12° 30 49




E) 12° 32 49
5r
radyanlk yayn bitim
6
noktas aԭaԫdakilerden hangisidir?
12. Birim çember üzerinde
A) d ––
C) d ––
E) d
1. C
328
1
3
,
n
2
3
2
,
2
2
n
2
B) d ––
3
1
, –– n
2
2
D) d ––
3 1
, n
2
2
15. Bir ABC üçgeninde
a
a
a
m( A) = 3r , m( B) –– m( C) = 32° ise
5
a
m( C) kaç radyandr?
3
1
, –– n
2
2
2. E
3. A
A)
4. A
5. B
6. E
7. A
8. A
9. D
r
6
10. E
B)
r
7
11. E
C)
r
8
12. D
D)
13. A
r
9
E)
14. C
r
10
15. D
TEST – 2
1.
Trigonometrik Fonksiyonlar
Birim çemberde _ açsnn bitim noktas
5.
4 3
c –– , m ise tan_ kaçtr?
5 5
A) ––
5
3
B) –– 5
4
C) ––
4
3
sin
r
3r
7r
7r
+ cot
+ tan
.cot
2
2
3
3
ifadesinin eԭiti kaçtr?
D) –– 3
4
E) –– 1
3
A) ––2
6.
B) ––1
C) 0
D) 1
E) 2
sin87° , tan142° , cos216° ve cot278°
ifadelerinin iԭaretleri srasyla aԭaԫdakilerden
2.
cos300° + tan240° –– sin150° + cot150°
hangisidir?
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
C) 0
A) + –– + ––
E) v3
D) 1
B) + –– –– ––
D) + + –– ––
C) –– –– –– +
E) + –– –– +
ESEN YAYINLARI
A) –– v3 B) ––1
7.
3.
3r
cos/ + sec/ –– sin c ––
m –– tan(––/)
2
ifadesinin eԭiti kaçtr?
A = 2cosx –– 3siny + 4
olduԫuna göre, A gerçel says hangi aralkta
deԫer alr?
A) [5, 9]
A) ––3
B) ––2
C) ––1
D) 0
D) [3, 9]
E) 1
8.
4.
tan210°.sin300°
3
1
B) ––
6
2
C) ––
1
3
D) ––
1
6
E) ––
f(x) =
C) [––1, 5]
E) [––1, 9]
3 sin x + 7
2
fonksiyonunun en büyük ve en küçük deԫerleri
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) ––
B) [3, 5]
toplam kaçtr?
3
9
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
329
Trigonometri
9.
13.
r
olmak üzere,
4
3 –– tan x
ifadesi hangi aralkta deԫer alr?
2
0”x”
A) [1, 2]
C) ;1,
B) [0, ')
D) (––', 0)
tan1°.tan2°.tan3° ..............tan89°
ifadesinin eԭiti kaçtr?
A) 89
B) 45
C) 1
D) 0
E) ––1
3
E
2
E) [0, 1]
a = 1 –– cos2x ve 2b = 1 + sinx
14.
olduԫuna göre, a ile b arasndaki baԫnt aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) a –– 1 = 2b
B) a + 1 = 2b
D) a2 = 2b –– 1
10.
C) a = (2b + 1)2
E) a = (2b –– 1)2
A(sin10°, cos10°) ve B(sin350°, cos170°)
noktalar arasndaki uzaklk kaç birimdir?
B) 3
D) v2
C) 2
E) 1
ESEN YAYINLARI
A) 4
15.
x = 2tan_ –– 1 ve y = 4cot_ + 2
olduԫuna göre, y nin x cinsinden deԫeri aԭaԫdakilerden hangisidir?
A)
2x + 10
x+1
D)
11. a = cos_ , b = sin_.cos` ve c = sin_.sin`
B)
8
x+1
2x –– 8
x+1
E)
C)
8
x –– 2
2x + 8
x+1
olduԫuna göre, a2 + b2 + c2 ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) 2
C) sin2_
B) 1
2
2
E) sin `
D) cos _
r
3r
<a<r<i<
2
2
16.
olmak üzere aԭaԫdakilerden kaç tanesi doԫrudur?
I.
sin_ + tane > 0
II. cos_ + sine < 0
III. sine.tan_ > 0
cos x –– sin x
3
=
cos x + 2 sin x 2
12.
IV. tan_.cote < 0
olduԫuna göre, tanx kaçtr?
A) ––
1. D
1
8
2. C
330
B) ––
3. A
1
7
C) ––
4. B
1
6
5. E
V. tan_ –– cote < 0
D) ––
1
5
6. B
E) ––
7. E
1
4
A) 1
8. C
9. C
10. C
B) 2
11. B
C) 3
12. A
13. C
D) 4
14. E
E) 5
15. A
16. E
TEST – 5
1.
Trigonometrik Fonksiyonlar
cos b 2x +
r
3r
l –– 3 sin
3
2
ifadesini en küçük yapan x deԫerlerinden biri
5.
fb
r
+ x l = cotx –– tan2x
2
olduԫuna göre, f(x) aԭaԫdakilerden hangisidir?
aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) r
4
B) r
3
C) 2r
3
D) 3r
4
E) r
2
B) cotx –– tan2x
C) cotx –– cot2x
D) ––tanx –– tan2x
E) tanx + tan2x
6.
2.
A) tanx –– cot2x
sin 2 56° + sin 2 34° + cos 2 70° –– 1
tan 56°. tan 34° + sin 20° –– 1
_Db
sin a –– cos a
= 2 ise cos_ kaçtr?
sin a + cos a
iԭleminin sonucu kaçtr?
10
10
A) ––
A) cos70°
B) cos20°
B) ––
C) ––sin70°
10
5
10
5
C) ––
E)
10
10
r
1
, r l ve sinx =
2
3
ise
D)
E) 1
10
4
ESEN YAYINLARI
D) ––cos70°
r
, r l olmak üzere
2
3.
7.
^ 1 + tan 2 xh . c 1 –– 1 m
sec 2 x
xDb
tanx.cosx kaçtr?
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) cot2x
B) cotx
D) tan2x
A)
C) 1
olduԫuna göre, tanx nedir?
B) –– 3
4
3
2
C) 1
2
D) –– 1
2
E) ––
C) –– 1
3
1
1
+
1 –– tan 40° 1 –– cot 40°
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
4sin(x + /) + 3cos(x –– /) = 0
A) –– 4
3
B)
E) tanx
8.
4.
3
3
A) tan40°
D) 3
4
E) 4
3
B) cot40°
D) 1
C) 2
E) ––1
335
3
3
Trigonometri
9.
13. a = sin280° , b = tan170° , c = cot190° ve
sinx.cosx = 1
4
olduԫuna göre, sinx + cosx ifadesinin pozitif de-
d = cos250° ise aԭaԫdaki sralamalardan hangisi doԫrudur?
ԫeri nedir?
6
2
A)
5
2
B)
C) 1
3
2
D)
E)
2
2
A) a < b < c < d
B) a < d < c < b
C) a < b < d < c
D) a < d < b < c
E) d < a < b < c
10. x D b 0 ,
x –– y =
r
l olmak üzere,
2
r
2
ve cosx =
1
3
14. cos306° = a olduԫuna göre,
olduԫuna göre,
tan144°.cos36° ifadesinin eԭiti nedir?
cot(x –– 2y) nedir?
2
A) ––
2
1
B) ––
2
1
2
E)
2
2
B) ––1
C) 0
D) 1
cos c
15. Aԭaԫdakilerden hangisi
11. x + y = / ise
A) sinx
B) sin(x + /)
D) cos(/ –– x)
B) ––1
C) 0
D) 1
E) 2
1. B
2. A
336
B) cotx
3. D
A) a < b < c
5. D
6. A
7. A
8. D
B) c < a < b
D) a < c < b
C) ––tanx D) ––sinx E) ––cotx
4. B
r
–– x l
2
aԭaԫdaki sralamalardan hangisi doԫrudur?
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) tanx
E) cos b
C) cosx
16. a = sin140° , b = sin160° , c = tan55° ise
sin (x –– 3r) + sin (x + 5r)
cos (x + 4r) –– cos (x + 5r)
12.
3r
–– x m
2
ifadesine eԭittir?
cos x –– 1
cos y + 1
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) ––2
E) a
ESEN YAYINLARI
D)
A) ––a
3
C) ––
2
9. A
10. A
11. B
12. C
C) b < c < a
E) b < a < c
13. D
14. A
15. B
16. E
TEST – 6
Periyot ve Grafik
f(x) = cos2(3 –– 2x)
1.
5.
hangisidir?
r
4
B)
r
2
C) /
D)
3r
2
3 –– 4x
m fonksiyonunun periyodu kaçtr?
6
fc
fonksiyonunun esas periyodu aԭaԫdakilerden
A)
f(x) fonksiyonunun periyodu 6 ise
A) 3
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
E) 2/
6.
f(x) fonksiyonunun periyodu 2, g(x) fonksiyonunun
periyodu 4 olmak üzere, f(1) = 4 ve g(3) = 1 ise
1 –– x
f(x) = 2sin3 c 3 m
2.
f(11) + g(19) kaçtr?
fonksiyonunun esas periyodu aԭaԫdakilerden
A) 3
hangisidir?
2r
3
B) /
C)
3r
2
D) 2/
C) 5
D) 6
7.
f:[––/, /] A R, f(x) = 2cosx
fonksiyonunun grafiԫi aԭaԫdakilerden hangisidir?
'&
!&
/
/
4
3.
f(x) = 2tan(1 –– 2x) + 3
fonksiyonunun esas periyodu aԭaԫdakilerden
)/
r
4
B) r
3
4
/
4
/
4
#
hangisidir?
A)
E) 7
E) 6/
ESEN YAYINLARI
A)
B) 4
/
0
)/
/
4
#
/
4
/
/
4
/
)%
C)
r
2
D) /
)4
E) 2/
*&
(&
/
/
%
%
)/
/
4
/
4
/
#
0
)/
/
4
#
)%
)4
4.
+&
f(x) = sin5x –– sinx
/
4
fonksiyonunun esas periyodu kaç radyandr?
%
A) /
B) 2/
0
C) 3/
D) 4/
E) 5/
)/
/
4
#
/
4
0
/
337
0
Trigonometri
8.
10.
f:[0, /] A R, f(x) = 2sin2x
/
fonksiyonunun grafiԫi aԭaԫdakilerden hangisi-
4
dir?
%
'& /
!& /
%
%
1/
6
/
4
#
/
/
6
0
/
6
)%
*& /
(& /
4
4
1/
6
#
/
1/
6
/
1/
4
0
4/
0
Yukardaki grafik aԭaԫdaki fonksiyonlardan han-
A) y = 2sinx
B) y = 2sinx –– 1
C) y = 3sinx –– 2
D) y = 2 + sinx
E) y = 1 + sinx
/
4
#
)4
/
/
4
gisine ait olabilir?
/
6
0
/
6
/
4
#
)%
/
4
#
1/
6
/
0
)4
+& /
%
#
1/
6
/
4
/
ESEN YAYINLARI
4
0
/
6
)4
11.
/
1
9.
/
/
4
#
4
1/
6
/
6
/
0
%
#
/
6
/
4
1/
6
4/
0
)1
Yukardaki grafik aԭaԫdaki fonksiyonlardan han-
Yukardaki grafik aԭaԫdaki fonksiyonlardan han-
gisine ait olabilir?
gisine ait olabilir?
A) y = 2 + cosx
B) y = 1 + cosx
A) y = 2cos2x
B) y = cos2x + 3
C) y = 2cos2x –– 1
D) y = 2cos2x
C) y = 3 + cosx
D) y = 3cos2x
E) y = 1 + cos2x
1. B
338
2. E
E) y = 2 + cosx
3. C
4. B
5. D
6. C
7. B
8. C
9. E
10. E
11. D
TEST – 7
1.
Üçgende Trigonometrik Baԫntlar
5.
'
'
%
8
(
5
0
1
!
*
7
!
ABC üçgeninde |AC| = 5 cm, |AB| = 7 cm
a
|BC| = 8 cm ise m( C) kaç derecedir?
4
6
+
*
ABC üçgeninde [DE] Œ [BC], |AD| = 1 cm
|BE| = 2 cm, |DB| = 3 cm, |EC| = 4 cm
A) 30
B) 45
C) 60
D) 75
E) 150
ise |AC| = x kaç cm dir?
A) v5
2.
B) v6
C) 2v5
D) 3v5
E) 2v6
Bir ABC üçgeninde, a = 7 cm , b = 5 cm ve
a a
c = 3 cm ise sin( B + C) kaçtr?
6.
A) 1
2
2
2
B)
3
2
C)
D)
5
3
E)
'
6
4
3.
ESEN YAYINLARI
8
'
(
5
*
6
|AD| = 5 cm, |DC| = 4 cm ise |AC| = x kaç cm
dir?
8
*
(
ABC üçgeninde |AB| = 7 cm, |BD| = 3 cm
4
,
1
!
0
5
A) 2v5
0
B) c21
C) c23
D) 2v6
E) 5
5
!
+
Ԭekilde, [AE] E [BD] = {C}, |AC| = 5 cm
|CE| = 5 cm, |BC| = 6 cm, |CD| = 2 cm
'
7.
6
|AB| = 7 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
!
A) 3
B) 4
C) 5
D) 3v5
4
(
0
E) 4v5
,#*
4.
Kenar uzunluklar a, b, c olan ABC üçgeninde,
a2 = b2 + c2 + v3bc baԫnts saԫlanyorsa,
a
m( A) kaç derecedir?
A) 30
B) 60
C) 120
D) 135
E) 150
ABCD kiriԭler dörtgeninde, |AB| = 2 cm
a
|AD| = 4 cm, m( BCD) = 60° ise |BD| = x
kaç cm dir?
A) v7
B) c10
C) 2v7
D) 4v5
E) 2c10
339
Trigonometri
8.
11.
'
'
%
%%4-
0
+
446
!
1
*
a
a
ABC üçgeninde m( BAC) = 112°, m( ABC) = 22°
!
B) 2tan22°
D) 4cot22°
0
*
(
Ԭekilde |AE| = 1 cm, |EB| = 3 cm, |BC| = 4 cm
|BC| = 4 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
A) tan22°
6
A(BDE) = 2 A(ABC) ise |CD| = x kaç cm dir?
C) 4tan22°
A)
E) 2cot22°
20
3
B) 6
17
3
C)
E) 14
3
D) 5
*
9.
12.
'
6
!
5
ESEN YAYINLARI
'
ABC üçgeninde |AB| = 5 cm, |BC| = 4 cm
a
m( BAC) = _ ise cos_ nedir?
A)
2 6
B)
7
21
7
D)
10.
35
7
,
1
,#-
_
C)
!
*
ABC üçgeninde |AB| = 3 cm, |AC| = 6 cm
ise A(ABC) en çok kaç cm2 dir?
30
7
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
3 6
E)
7
0
(
*
13.
'
1#-
0
4
1
,
65,#-
!
'
(
*
!
a
ABCD kiriԭler dörtgeninde, m( DAC) = 45°
a
m( CAB) = 60° ve |BC| = 6 cm ise |CD| = x
ABC üçgeninde |AB| = 3 cm, |AC| = 2 cm
a
a
m( BAD) = 30°, |BD| = |DC| ve m( DAC) = x
ise sinx nedir?
kaç cm dir?
A) 6v2
1. C
340
B) 4v2
2. C
3. C
C) 4v3
4. E
D) 2v6
E) v6
5. C
6. B
A) 1
3
7. C
8. C
B) 2
3
9. A
C) 3
4
10. D
D) 3
5
11. A
E) 1
2
12. B
13. C
TEST – 9
1.
cos375° nin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A)
2.
Toplam –– Fark ve Yarm Aç Formülleri
3 +1
2
B)
D)
3+ 6
4
3 –– 1
2
6 ––
4
C)
5.
r
4
olduԫuna göre
(1 + tanx) (1 + tany) ifadesinin eԭiti nedir?
2
A) 1
2
6+ 2
4
E)
x, y D R+ ve x + y =
B) 1
C) 3
2
D) 2
E) 5
2
Aԭaԫdakilerden kaç tanesi yanlԭtr?
I. sin20°.cos10° + cos20°.sin10° = 1
2
1
2
II. sin110°.sin10° –– cos110°.cos10° = ––
6.
iԭleminin sonucu aԭaԫdakilerden hangisidir?
III. cos50°.cos40° + sin50°.sin40° = 0
tan 70° –– tan 10°
= 3
1 + tan 70°. cot 80°
V. cos215° –– sin215° =
A) 1
B) 2
A) ––2sin10°
D) –– 4
3
2
C) 3
D) 4
E) 5
7.
3.
4.
C)
2
10
D)
Bir ABC üçgeninde sinA = 12
13
3
10
E)
ifadesinin eԭiti kaçtr?
B) 62
65
C) 63
65
B) ––1
C) 0
D) 1
E) 2
D) 1
E) 2
5
10
ve cosC = 4
5
8.
sin 3x cos 3x
––
sin x
cos x
ifadesinin eԭiti kaçtr?
olduԫuna göre, sinB kaçtr?
A) 61
65
E) 4
a + b + c = / olduԫuna göre,
A) ––2
B) 3
5
C) ––2
cosa.cosb –– sina.sinb + cosc
r
< y < / olmak üzere
2
tanx = 2 ve tany = –– 3 ise sin(x + y) kaçtr?
0<x<
A) 2
5
B) ––2sin20°
ESEN YAYINLARI
IV.
3
1
––
cos10° sin 10°
D) 64
65
E) 1
A) ––2
B) ––1
C) 0
343
Trigonometri
9.
*
12.
a+1
2
cos35° =
olduԫuna göre, sin20° nin a cinsinden deԫeri
nedir?
`
_
'
(
A) ––a
!
+
B) a –– 1
C) a
D) a + 1 E) 2a
ABC üçgeninde |AC| = |AD| = |DE| = |EB|
a
a
[CA] Π[AB], m( AEC) = _ , m( ABC) = `
ise _ + ` kaç derecedir?
A) 30
B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
sin2
13.
a
a
a
a
.cos2 + cos2 .sin2 = k
2
2
2
2
olduԫuna göre, cos2a nn k cinsinden deԫeri
nedir?
A) 1 –– 2k
B) 1 + 2k
D) 2k2 –– 1
(
*
0
6
'
1
+
!
a
ABCD dikdörtgeninde |AE| = |EC|, m( ACE) = x
14. x D b 0 ,
|EB| = 3 cm, |AD| = 4 cm ise tanx kaçtr?
tan2x =
A) 1
2
B) 2
3
C) 3
4
D) 4
5
E) 5
6
A)
2 sin x –– sin 2x
cos 2 x –– 1
11.
E) 1 –– 2k2
ESEN YAYINLARI
10.
C) 1 –– 4k
r
l olmak üzere,
2
4
ise sinx kaçtr?
3
5
2
B)
5
3
C)
5
5
D)
5
6
E)
5
8
tan 2 x –– 1
tan 2 x + 1
15.
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
x
A) ––2cot
2
x
B) 2cot
2
D) 2tan
1. E
344
2. B
3. C
x
2
x
C) tan
2
E) ––2tan
4. C
5. D
A) cos2x
x
2
6. D
B) –– cos2x
D) –– sin2x
7. C
8. E
9. B
10. A
11. E
C) sin2x
E) 2sinx
12. C
13. C
14. C
15. B
TEST – 12
1.
sin 25° –– sin 15°
cos 25° + cos 15°
5.
sin (a + b) + sin (a –– b)
cos (a + b) + cos (a –– b)
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) cot5°
A) cota
B) ––tan5°
D) tan5°
2.
Dönüԭüm ve Ters Dönüԭüm Formülleri
C) ––cot5°
E) sin5°
D) cotb
sin 10° + sin 40° + sin 70°
cos 10° + cos 40° + cos 70°
6.
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) cot40°
B) sin40°
x + y = 2r
3
C) sina
E) tanb
ise
cos x –– cos y
ifadesinin eԭiti
sin y –– sin x
aԭaԫdakilerden hangisidir?
C) tan40°
A) ––v3
E) cot80°
B) ––v2 C) ––1
D) v2
E) v3
ESEN YAYINLARI
D) tan80°
B) tana
3.
cos x + cos 3x + cos 5x + cos 7x
sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x
7.
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) tan3x
B) cot3x
D) sin4x
4.
A) v2cot9°
D) 2v2sin9°
A) ––2
E) cot4x
B) 2cot9°
C) 2v2cos9°
E) v2sin9°
r
2
ise
cos 5x. cos 9x
cos 8x –– cos 4x
ifadesinin eԭiti
aԭaԫdakilerden hangisidir?
C) tan4x
cos 36° + sin 36°
sin 9°
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
11x =
8.
B) ––1
C) –– 1
2
D) 1
2
E) 1
sin38° + cos68° –– cos8°
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) ––2
B) ––1
C) 0
D) 1
E) 2
349
Trigonometri
9.
13.
sin71° –– cos79° –– cos41°
cos10°.cos50°.cos70°
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
iԭleminin sonucu aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) ––2
A)
10.
B) ––1
C) 0
D) 1
E) 2
sin(a + b) + sin(a –– b) = cosb
14.
olduԫuna göre, sina ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) 1
B)
1
2
C) 1
3
D) 1
4
1
16
B)
1
8
C)
D) 3
8
E) 3
16
sin x –– 2 sin 2x + sin 3x
sin x + 2 sin 2x + sin 3x
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) tan2 x
2
E) 1
6
3
8
B) ––tan2 x
2
E) cot x
2
ESEN YAYINLARI
D) tan x
2
C) ––cot2 x
2
15.
sin23x –– sin22x
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
11.
cosec 10°
2
iԭleminin sonucu aԭaԫdakilerden hangisidir?
2cos20° ––
A) sin5x.cosx
B) sin5x.sinx
C) cos5x.cos3x
D) cos5x.sinx
E) sin5x.sin3x
A) ––2
B) ––1
C) 0
D) 1
E) 2
A) ––2
1. D
2. C
350
B) ––1
3. E
C) 0
4. A
D) 1
5. B
6. E
toplamnn sonucu aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) v6
E) 2
7. C
1
1
+
cos 15° sin 15°
16.
3 –– 4 sin 20°. cos 40°
12.
sin 20°
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
8. C
9. C
10. B
D) v6 –– 1
11. B
C) v6 + 1
B) 2v6
12. E
E) 2v3 + 2
13. C
14. B
15. B
16. B
TEST – 13
1.
5.
arctan 1 = x ise sinx.cosx kaçtr?
3
A) 1
10
B) 2
10
arcsin d ––
C) 3
10
sin(2arccot2)
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
D) 2
5
A) 2
5
E) 3
5
2
n + arctan(v3)
2
B) 3
4
tan c arcsin
6.
C) 4
5
D) 5
6
E) 5
8
4
+ arc cot 2 m
5
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) r
12
A) 6
B) r
10
C) r
9
D) r
8
E) r
6
B) 11
2
C) 5
D) 9
2
E) 4
ESEN YAYINLARI
2.
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
3.
3
cot c arcsin m
5
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) 1
3
4.
B) 3
4
C) 4
3
sin c 2 arcsin
7.
4 r
+ m
5 2
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
D) 5
3
E) 1
1 –– 3x
m
2
fonksiyonunun en geniԭ tanm kümesi aԭaԫdaki-
A) –– 7
25
B) –– 8
25
C) 9
25
D) 11
25
E) 12
25
f(x) = 2arcsin c
lerden hangisidir?
1
1
arccos c m + arccos c –– m
3
3
8.
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
1
A) ;–– 1, E
3
B) [––1, 2]
D) [1, 2]
1
C) ;–– , 1 E
3
1
E) ; , 1 E
3
A)
3r
4
B) /
C)
4r
3
D) 2/
E)
5r
2
351
Trigonometri
13.
3
3
cos c arcsin m + sin c arctan m
5
4
9.
arccos(cos4x) + sin(arcsin2x)
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
ifadesinin eԭiti kaçtr?
A) 2x
A) 3
5
10.
B) 4
5
C) 6
5
D) 7
5
r
2
fonksiyonunun görüntü kümesi aԭaԫdakilerden
f(x) = arccos(x + 1) ––
14.
hangisidir?
D) :––
11.
r
B) :–– , 0 D
2
f(x) = arcsin
r
D
4
1 –– x
2
ve g(x) = arctan
4
1 –– x
r
olduԫuna göre, (fog––1) b l kaçtr?
4
r
r
r
A)
B)
C)
D) r
8
6
5
4
15.
1
10
1. C
2. A
352
B)
3. C
2
10
C)
4. C
3
10
D) 2
3
5. C
6. B
r
l
10
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisi olabilir?
B) 3r
5
C ) 4r
5
D) 5r
6
E ) 6r
7
4arctan(x + 2) –– / = 0
A) –– r
2
E) r
3
16.
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A)
E) 6x
olduԫuna göre, arcsinx nedir?
1
3
sin c arctan m
2
4
12.
D) 5x
arccos b sin
A) 2r
5
r r
C) :–– , D
2 2
E) :0,
r r
, D
4 2
C) 4x
ESEN YAYINLARI
r
A) :–– , 0 D
4
B) 3x
E) 8
5
E) 1
3
7. A
9. D
C) –– r
8
D) r
4
E) r
2
r
3
+ arccos m
4
5
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
tan c
A) ––7
8. B
B) –– r
4
10. C
B) ––6
11. B
C) ––5
12. A
13. E
D) 5
14. A
E) 7
15. A
16. A
TEST – 14
1.
Trigonometrik Denklemler ve Eԭitsizlikler
f(x) = 4sinx –– 3cosx
ifadesinin en küçük deԫeri kaçtr?
A) ––6
B) ––5
sinx + cosx = v2
5.
C) ––4
denkleminin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesi
D) ––3
aԭaԫdakilerden hangisidir?
E) ––2
r r
A) & , 0
8 4
r r
B) & , 0
4 2
r 3r
D) ' ,
1
4 4
f(x) = 3sinx –– v7cosx
2.
6.
ifadesinin en büyük deԫeri kaçtr?
A) 1
B) 2
C) 3
denkleminin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesi
D) 4
aԭaԫdakilerden hangisidir?
E) 5
r 11r
B) ' ,
1
2 6
ESEN YAYINLARI
r 2r
D) ' ,
1
2 3
gisidir?
aԭaԫdakilerden hangisidir?
D) '
B) '
A) {x : x = k.2/, k D Z}
4r 7r
,
1
3
3
2r 4r
,
1
3
3
r 2r
C) ' ,
1
3 3
2r
, k D Z}
3
r
 x = k./ , k D Z}
C) {x : x = k.
3
r
 x = k./ , k D Z}
D) {x : x = k.
6
2r
, k D Z}
E) {x : x = k.2/  x = k.
3
B) {x : x = k.
r 5r
E) ' ,
1
3 3
8.
4.
tan2x.tanx = 1
denkleminin (0, 2/) aralԫnda kaç kökü vardr?
A) 2
B) 3
C) 4
r 7r 2r
E) ' ,
,
1
2 6 3
denkleminin çözüm kümesi aԭaԫdakilerden han-
3cosx –– cos2x + 1 = 0
4r 5r
,
1
3
3
r 7r 11r
C) ' ,
,
1
2 6
6
cosx –– 2cos2x + 1 = 0
7.
denkleminin (0, 2/) aralԫndaki çözüm kümesi
A) '
r 5r
E) ' ,
1
4 4
cos2x + sinx = 0
r 7r
A) ' ,
1
2 6
3.
r
C) & 0
4
D) 5
E) 6
cosx + 3sin x = ––1
2
denkleminin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesi
kaç elemanldr?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
353
Trigonometri
v3cosx + 3sinx = 3
9.
13.
4cosx + 3sinx = 5
denkleminin çözüm kümesi aԭaԫdakilerden han-
olduԫuna göre, sinx aԭaԫdakilerden hangisine
gisidir?
eԭittir?
A) 3
4
A) { x : x =
r
+ k.2/, k D Z}
2
B) { x : x =
r
+ k.2/, k D Z}
6
C) { x : x =
r
r
+ k.2/  x =
+ k.2/, k D Z}
2
6
D) { x : x =
r
r
+ k./  x =
+ k./, k D Z}
4
12
C) 4
5
D) 2
3
E) 2
5
cos2x + sinx + 1 = 0
14.
r
r
+ k.2/  x =
+ k.2/, k D Z}
E) { x : x =
3
4
B) 3
5
denkleminin [0, 2/] aralԫnda kaç farkl kökü
vardr?
A) 0
10.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
sinx + sin2x + sin3x = 0
denkleminin [0, /] aralԫndaki çözüm kümesi
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
ESEN YAYINLARI
kaç elemanldr?
E) 5
15.
2sinx –– 1 • 0
eԭitsizliԫinin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesi
aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) ;
4sin2x –– 5 = 3cosx –– 2cos2x
11.
denkleminin [0, /] aralԫndaki çözüm kümesi
5r
, 2r E
6
D) ;
aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) '
2r
1
3
D) '
C) '
B) {/}
2r 5r
,
1
3
6
E) '
B) ;
r 5r
,
E
6
6
5r 3r
,
E
6
2
C) :
E) ;
r r
, D
6 2
5r
, rE
6
2r
, r1
3
2r
5r
, r,
1
3
6
16. x D [0, 2/) olmak üzere,
2cosx + 1 < 0 eԭitsizliԫinin çözüm aralԫ aԭaԫ12. x + y D [0, /] olmak üzere,
dakilerden hangisidir?
cos(x –– 10°) + cos(y + 25°) = 0 ise
A) c
x + y kaç radyandr?
A)
1. B
5r
6
11r
12
B)
2. D
3. D
354
C)
4. C
3r
4
5. C
D)
2r
3
E)
6. C
7. E
5r 7r
,
m
6
6
D) c
7r
12
8. A
9. C
10. D
B) c
4r
, 2r m
3
11. C
12. A
r 5r
,
m
6
6
E) c
13. B
C) c
r 2r
,
m
6
3
2r 4r
,
m
3
3
14. B
15. B
16. E
TEST – 18
cosec2x –– cot2x
1.
5.
ifadesinin en sade biçimi aԭaԫdakilerden hangi-
ifadesinin sonucu aԭaԫdakilerden hangisidir?
sidir?
A) 1
A) 1
B) sinx
D) secx
C) cosx
D) tan18°
cos1° + cos2° + cos3° + ... + cos179°
E) tan72°
C) 0
D) 1
x=
r
olmak üzere,
7
E) 2
A) 1
B)
1
2
C) 0
D) ––
1
2
E) ––1
ESEN YAYINLARI
B) ––1
C) cos18°
cos 4x + cos 6x
ifadesinin sonucu kaçtr?
cos x + cos 3x
toplamnn deԫeri kaçtr?
A) ––2
B) sin18°
E) tanx
6.
2.
sin72°.tan36° + cos72°
arcsin1 + arcsin c ––
3.
7.
1
m
2
r
4
B)
r
3
C)
r
2
D)
2r
3
E)
cos X
B + sin Y
C = sin Y
A ve kenarlar arasnda
C ) kaç deb2 = (a –– c)2 + ac baԫnts varsa m( Y
toplam kaç radyandr?
A)
Bir ABC üçgeninin açlar arasnda
5r
6
recedir?
A) 30
1
3
cos 15° +
sin 15°
2
2
4.
8.
1+ 3
2
B)
D)
2
2
C) 60
D) 90
E) 120
a = cos24° , b = sin36° , c = cot44°
olduԫuna göre a, b ve c nin sralanԭ aԭaԫ-
ifadesinin sonucu kaçtr?
A)
B) 45
3
2
C)
E)
2
4
3
4
dakilerden hangisidir?
A) b < c < a
B) b < a < c
D) a < c < b
C) a < b < c
E) c < a < b
361
Trigonometri
9.
12. x D [0°, 360°) olmak üzere,
D
sin2x +
8
|AB| = 6 cm
4
A
|BC| = |CD| = 4 cm
denkleminin çözüm kümesi aԭaԫdakilerden han-
C
x
|AD| = 8 cm
3 cos2x –– 1 = 0
gisidir?
4
A) {45°, 135°, 225°, 315°}
6
B) {30°, 75°, 225°, 315°}
B
Ԭekildeki ABCD kiriԭler dörtgeninin köԭegeni
C) {45°, 75°, 165°, 225°}
olan |AC| = x kaç cm dir?
D) {30°, 165°, 225°, 345°}
B) 2 15
A) 7
E) {45°, 165°, 225°, 345°}
C) 8
E) 5 3
D) 6 2
10.
H
13. Bir ABC üçgeninde,
B .cos Y
C olduԫuna
|AC| = 6 cm ve sin Y
A = 2.sin X
G
göre, |AB| kaç cm dir?
_
E
A) 6 2
F
C
A
B
%
Yukardaki küpte m( AHB ) = _ ise sin_ kaçtr?
A)
1
2
B)
D)
1
3
1
6
C)
E)
E) 3
ESEN YAYINLARI
D) 6
D
C) 4 3
B) 8
1
2
14. Üst tabannn merkezi
O
O olan yandaki dik silin-
2
6
dirin yarçap 1 cm
yüksekliԫi 3 cm ve
|AB| = 3 cm ise
%
cos( AOB ) kaçtr?
r
olmak üzere, aԭaԫdakilerden kaç
2
tanesi yanlԭtr?
11. _ + e =
I.
sin_ = cose
II.
tan(r –– _) = cote
III.
cos2_ + cos2e = 1
IV.
cot c
V.
r
cos b –– a l = sine
2
A) 1
A)
3r
+ a m = tan_
2
B) 2
C) 3
17
20
2.C
362
3.B
4.D
4
5
A
C)
3
4
D)
7
10
E)
13
20
cos22x –– sin2x = 0
15.
denkleminin [0, r] aralԫnda kaç farkl kökü
vardr?
D) 4
E) 5
A) 1
1.A
B)
B
5.A
6.E
7.A
8.B
9.C
B) 2
10.B
11.C
C) 3
12.E
D) 4
13.D
E) 5
14.A
15.C
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
1.
1987 –– ÖYS
4.
a
m( BAD) = _
1988 –– ÖSS
?
>
(
|AB| = a
a
m( EBB) = _°
|CD| = c
|AE| = |ED|
*
+
'
?
!
?
(
_
a>c
?
(
*
*
_
9
'
!
'
Yukardaki ԭekilde ABCD bir ikizkenar teԫetler
!
 


Yukardaki ԭekilde ABCDA B C D bir küp olduԫu-
yamuԫudur. Buna göre cos_ nn deԫeri nedir?
na göre, tan_ nn deԫeri nedir?
a –– c
B)
2a + c
a –– c
A)
a+c
D)
a
a+c
E)
a –– c
C)
a + 2c
B) v5
A) 2v5
c
a+c
D)
5.
5
3
5
2
E)
1988 –– ÖYS
O1 ve O2 çember-
1987 –– ÖYS
a
m( CKA) = 90°
a
m( DHA) = 90°
(
*
2
<
|DH| = |HK|
a
m( DAH) = _°
+
_
'
!
B)
3
2
A)
C) 3
4
D) 2
3
4_
4`
sin b
sin a
E) 1
2
D)
6.
!
B)
cos b
cos a
cot a
cot b
C) tan a
tan b
E) cos a
cos b
1988 –– ÖYS
ABCD bir dikdörtgen
(
+
1987 –– ÖYS
de |AB| = 15 birim
*
_
E noktas [CD] üzerin3.
.4
hangisidir?
tan_ nn deԫeri kaçtr?
2
2
.%
Ԭekildeki A ve B noktalarnda kesiԭen çemberleAO 1
rin yarçaplarnn
oran aԭaԫdakilerden
AO 2
Yukardaki ԭekilde ABCD bir kare olduԫuna göre
A)
'
lerin merkezleri,
%
m (AO 1 B) = 2_
%
m (AO 2 B) = 2`
ESEN YAYINLARI
2.
5
4
C)
,
_
denkleminin [0°, 90°] aralԫndaki kökü kaç dere-
|AD| = 6 birim
a
a
m( DAE) = m( CEB) = _
cedir?
Yukardaki verilere göre tan_ nn deԫerlerinden
sin2x = cos35°
A) 70
B) 65
D) 27,5
C) 37,5
E) 17,5
%5
'
!
biri nedir?
A)
3
4
B)
1
2
C)
1
3
D)
1
4
E)
363
1
6
Trigonometri
7.
1988 –– ÖYS
10. 1989 –– ÖYS
cos36° =
3
+
_
'
(
olduԫuna göre, cos72° kaçtr?
7
4
!
5 +1
4
*
5 –– 1
4
A)
A ve C noktalar çemberlerin merkezi, EF ortak
teԫet, AC merkezler doԫrusu, D noktas EF ile
D)
AC doԫrularnn kesim noktas, çemberler B nok-
3 +2
4
B)
3
2
5
3
C)
E)
1
3
tasnda birbirine teԫet,
|EA| = 2 birim, |FC| = 8 birim
a
Yukardaki ԭekilde m( EDA) = _ olduԫuna göre
11. 1989 –– ÖYS
tan_ nn deԫeri nedir?
A) 5
6
B) 4
5
c = cose, s = sine
C) 3
4
D) 2
3
E) 1
2
olduԫuna göre c6 + 3c2s2 + s6 ifadesinin ksaltlmԭ aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) sin2e
B) 1
C) sine.cose
8.
1988 –– ÖYS
cos x + cos 6x + cos 11x
sin x + sin 6x + sin 11x
ifadesinin ksaltlmԭ biçimi aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) cot6x
B) cot18x
C) cotx + cot6x + cot11x
D) 1
ESEN YAYINLARI
D) 3
E) cos2e
12. 1989 –– ÖYS
E, [CD] üzerinde
(
*
ABCD bir dikdörtgen
|AB| = 2|BC|
E) 0
+
e
|DE| = |EC|
a
m( EAC) = e
'
!
Yukarda verilen bilgilere göre tane nn deԫeri
9.
kaçtr?
1988 –– ÖYS
A)
sin95°, cos190°, tan210°
1
4
B)
1
3
C)
1
2
nin iԭaretleri aԭaԫdakilerden hangisinde doԫru
D)
1
2
E)
1
3
olarak verilmiԭtir?
sin95°
––––––––––––
A)
+
cos190°
––––––––––––––
––
tan210°
––––––––––––
––
B)
––
––
+
C)
––
+
+
D)
+
+
––
E)
+
––
+
364
13. 1990 –– ÖYS
1
1
+
=8
cos 2 x sin 2 x
denkleminin dar aç olan çözümü nedir?
A) r
8
B) r
6
C) r
5
D) r
4
E) r
3
Trigonometri
14. 1991 –– ÖYS
sin 3x cos 3x
+
=1
sin x
cos x
18. 1993 –– ÖYS
1
1
4
––
=
1 –– cos x 1 + cos x 3
olduԫuna göre, cos2x aԭaԫdakilerden hangisine
denklemini saԫlayan x dar açs kaç derecedir?
eԭittir?
A) 25
A) 5
8
B) 1
3
C) 2
3
D) 3
4
ABC bir üçgen
65- e
cm dir. Çember üzerindeki A ve B noktala-
!
(
_
1
6
.
r O ve T ye birleԭtiril-
*
'
,#-
!
tr?
C)
3
3
D) 1
2
E) 1
3
ESEN YAYINLARI
miԭtir.
a
a
m( AOB) = 60°, m( ATB) = _ olduԫuna göre
Yukardaki verilenlere göre, sine nn deԫeri kaç-
3
2
=
3 cm, taban yarçap 4
4@@@4
|AB| = 2 birim
|AC| = 2v2 birim
a
m( BAD) = 45°
a
m( DAC) = e
E) 75
merkezi O, yüksekliԫi
4
|BD| = |DC|
B)
D) 60
nin tepesi T, taban
'
D, [BC] üzerinde
2
2
C) 45
19. 1993 –– ÖYS
Ԭekildeki dönel koni-
15. 1991 –– ÖYS
A)
B) 30
E) 5
6
cos_ nn deԫeri kaçtr?
A) 17
25
B) 19
25
C) 21
25
D) 3
5
E) 4
5
20. 1994 –– ÖYS
16. 1992 –– ÖYS
1
1
+
=2 6
cos x sin x
r yarçapl bir çember içine bir kenar uzunluԫu
r 2 ––
denklemini saԫlayan dar aç ( x ) aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) 15°
B) 20°
Buna göre düzgün çokgenin kenar says kaçtr?
A) 20
C) 30°
D) 35°
3 olan bir düzgün çokgen çizilmiԭtir.
B) 18
C) 15
D) 13
E) 12
E) 45°
21. 1994 –– ÖYS
17. 1993 –– ÖYS
3
4
=
cos x sin x
cosx –– sinx = 1
2
olduԫuna göre, cos2x in deԫeri aԭaԫdakilerden
olduԫuna göre, cosx in pozitif deԫeri kaçtr?
hangisidir?
A) 2
3
A)
B) 2
5
C) 3
5
D) 4
5
E)
3
5
7
4
B) 1
4
C) 1
2
D) –– 1
4
E) –– 1
365
Trigonometri
22. 1995 –– ÖYS
26. 1996 –– ÖYS
1
cos c 2arc cot m deԫeri kaçtr?
2
A) –– 3
5
B) –– 1
4
C) 1
4
0° < _ < 90° ve
D) 1
2
3 sin 5° cos 7° + 3 cos 5° sin 7°
= sin_
4 cos 84° cos 6°
E) 3
2
olduԫuna göre _ kaç derecedir?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 30
E) 60
23. 1995 –– ÖYS
0 ” x ” r olmak üzere
2
sin x
= 2 olduԫuna göre x açs aԭa1 + cos x
ԫdakilerden hangisidir?
cot x +
A) r
2
B) r
3
C) r
4
D) r
6
27. 1996 –– ÖYS
/
!
E) r
8
A ve B çember üze_
rinde, A D Ox ekseni
.
(
'
0
ESEN YAYINLARI
[BD] Π[OA]
24. 1995 –– ÖYS
2
A
+
3
(
Ԭekildeki O merkezli birim çemberde
cos_ = |AB| olduԫuna göre, |AB| kaç birimdir?
A) v3 + 2
B) v3 + 1
D) v3 –– 1
C) v3
E) v3 –– 2
*
'
!
ABCDEFGH bir birim küp olduԫuna göre, [DF] ve
[DA] arasndaki açnn cosinüsü kaçtr?
A)
2
2
B)
3
2
C)
1
3
D)
2
3
E)
3
4
28. 1997 –– ÖYS
'
ABC bir ikizkenar
_
üçgen
|AB| = |AC|
a
m( ABC) = e
a
m( BAC) = _
25. 1996 –– ÖYS
sin 2A + sin 4A
cos 2A + cos 4A
B) tg2A
D) cotg3A
366
*
Yukardaki ԭekilde tane = 3 olduԫuna göre,
ifadesi aԭaԫdakilerden hangisine eԭittir?
A) sin2A
e
!
C) tg3A
E) cos3A
tan_ nn deԫeri kaçtr?
A) 1
3
B) 2
3
C) 3
4
D) 3
5
E) 4
5
Trigonometri
29. 1997 –– ÖYS
32. 2006 –– ÖSS
/
3r
< x < 2r olmak üzere,
2
r
cosx –– tan .sinx = 3 denkleminin kökü aԭa3
ԫdakilerden hangisidir?
A) 11r
6
B) 9r
5
C) 8r
5
D) 7 r
4
C
D"'.C&@[email protected]
e
.
'
)@ e
E) 5r
3
0
D"'.Cv&@E@)@e
Cv
Ԭekildeki O merkezli birim çember üzerindeki
P ve Pv noktalar Ox eksenine göre birbirinin
simetriԫidir. Buna göre, Pv noktas aԭaԫdakilerden hangisiyle ifade edilemez?
A) (cos(––e), sin(––e))
B) (cos(––e), sine)
30. 1998 –– ÖYS
C) (cose, ––sine)
/
BKA dörtte bir
D) (cose, sin(2/ –– e))
<
!
çember yay
E) (cos(2/ –– e), ––sine)
e
.
'
0
Ԭekildeki O merkezli, 15 m yarçapl dörtte bir
çember biçimindeki havuzun A noktasndan hareket eden ve saniyede 0,2 m hzla yüzen bir
kiԭi, ANK yolunu izleyerek t zamanda K noktaa
sna geliyor. m( AOK) = e olduԫuna göre, t nin e
ESEN YAYINLARI
B
|OA| = |OB| = 15 m
a
m( AOK) = e
33. 2006 –– ÖSS
sin 2a
ifadesinin sadeleԭtirilmiԭ biçimi aԭa1 –– cos 2a
ԫdakilerden hangisidir?
A) sina
türünden deԫeri aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) 50.sine
B) 50.sin2e
D) 100.sin
i
2
B) cosa
D) cota
C) tana
E) sina + cosa
C) 100.sine
E) 150.sin
i
2
34. 2006 –– ÖSS
AL ΠKL
BA // KL
|AL| = 3 km
|BA| = 12 km
!
%4
'
1
4%
<
;
|KL| = 21 km
K noktasndaki kontrol kulesinde bulunan bir görevli, yerden 3 km yükseklikte yere paralel uçan
31. 1998 –– ÖYS
bir uçaԫn, A noktasndan B noktasna kadar
sin2x + 10cosx –– 10 = 0
r 5r
,
E aralԫndaki kökü aԭaԫda2
2
kilerden hangisidir?
denkleminin ;
A)
7r
6
B)
4r
3
C)
3r
2
D) 2r
E) r
12 km lik hareketini radarla izliyor.
A noktasnn yerdeki dik izdüԭümü L noktas ve
|KL| = 21 km olduԫuna göre, radarn taradԫ AKB
açsnn tanjant kaçtr?
A) 3
7
B) 4
9
C) 2
11
D) 3
13
E) 7
17
367
Trigonometri
35. 2007 –– ÖSS
39. 2008 –– ÖSS
sin 10° cos 40° + cos 10° sin 40°
cos 50° cos 10° + sin 50° sin 10°
cos b
iԭleminin sonucu kaçtr?
A) v2
B) v2
C)
r
r
+ x l = sin b –– x l
2
2
olduԫuna göre, tanx kaçtr?
3
2
D)
1
2
E) 1
A)
––
3
3
C) ––1 D) –– v3
3
3
B)
E) v3
36. 2007 –– ÖSS
cos 2a
1 –– tan 2 a
40. 2009 –– ÖSS
A
ifadesinin sadeleԭtirilmiԭ biçimi aԭaԫdakilerden
hangisidir?
A) sin2a
B) cos2a
2
|DC| = 1 |AC|
4
a
m( DBC) = x
C) cot2a
2
D) 1 + sin a
E) 1 + tan a
D
ESEN YAYINLARI
x
C
Ԭekildeki ABC üçgeni bir eԭkenar üçgen olduԫuna göre, tanx kaçtr?
A)
37. 2007 –– ÖSS
b sin
B
3
10
B)
3
7
C) 3 3
5
D)
3
3
E) 2 3
3
r
r 2
+ cos l
12
12
ifadesinin deԫeri kaçtr?
A) 1
2
B) 3
2
C) 5
2
D) ––1 + v3
E) 1+v3
41. 2009 –– ÖSS
A
O noktas yarm
çemberin merkezi
38. 2008 –– ÖSS
sin 2x = a olduԫuna göre,
(sin x + cos x)
2
ifadesinin a türünden deԫeri
aԭaԫdakilerden hangisidir?
|AC| = 1 cm
a
m( AOC) = x
1
3
|AB| = 3 cm
x
B
O
C
Yukardaki verilere göre, sinx kaçtr?
A) a + 1
D) a2 + 1
368
B) 2a + 1
C) 2a + 2
E) 2a2 + 1
A) 2
3
B) 3
4
C) 3
5
D) 4
9
E) 3
10
Trigonometri
42. 2010 –– LYS
3sinx –– 4cosx = 0
46. 2011 –– LYS
f(x) = arcsin b
olduԫuna göre, |cos2x| deԫeri kaçtr?
3
A)
4
3
B)
5
4
C)
5
7
D)
25
x
+ 2 l fonksiyonunun ters fonksiyo3
nu olan f ––1(x) aԭaԫdakilerden hangisidir?
9
E)
25
A) 2sin(x) –– 6
B) 2sin(x) + 3
C) 3sin(x) –– 6
D) sin(2x –– 6)
E) sin2(x) –– 3
43. 2010 –– LYS
(sin x –– cos x) 2
+ 2 sin x
cos x
ifadesi aԭaԫdakilerden hangisine eԭittir?
A)
1
cos x
B)
47. 2011 –– LYS
1
sin x
D) arcsinx
C) 1
r
olmak üzere,
2
1
cotx –– 3tanx =
olduԫuna göre,
sin 2x
0<x<
E) arccosx
ESEN YAYINLARI
sin2x kaçtr?
44. 2010 –– LYS
A)
1
9
B)
1
8
C)
1
7
D)
1
5
E)
1
4
tan 60°
1
––
sin 20° cos 20°
ifadesi aԭaԫdakilerden hangisine eԭittir?
A) 4
B) 2
C) 1
D)
3
2
E)
1
2
48. 2011 –– LYS
A
B
45. 2010 –– LYS
C
1 + cos 40°
cos 55°. cos 35°
ifadesi aԭaԫdakilerden hangisine eԭittir?
A) cos20°
B) 2cos20°
C) 4cos20°
D) cos40°
Birim kareler üzerine çizilmiԭ yukardaki ABC
üçgeninin B açsnn tanjant kaçtr?
A)
25
4
B)
34
5
C)
40
9
D) 4
E) 5
E) 2cos40°
369
Trigonometri
49. 2011 –– LYS
cosx =
A)
52. 2012 –– LYS
–– 4
olduԫuna göre, cos2x kaçtr?
5
3
5
B)
5
13
C)
12
13
D)
24
25
E)
cosx.cos2x =
1
16.sin x
olduԫuna göre, sin4x kaçtr?
7
25
A)
1
2
B)
2
3
C)
1
4
D)
2
2
E)
3
2
53. 2012 –– LYS
50. 2012 –– LYS
1
2
(cos a) = 0
4
2
denkleminin bir kökü
tür.
3
2
x –– (sin a) x ––
cos 135° + cos 330°
sin 150°
ifadesinin deԫeri kaçtr?
3 ––
B)
3 –– 1
2 +1
E)
2
D)
51. 2012 –– LYS
C)
Buna göre, sin a kaçtr?
2 –– 1
2+ 3
ESEN YAYINLARI
A)
D
ABCD bir kare
C
|BE| = 5 cm
7
|EC| = 7 cm
%
m( EAC ) = x
E
x
5
A
B
Yukardaki verilere göre, tan x kaçtr?
A)
4
13
370
B)
6
13
C)
9
13
D)
5
17
E)
7
17
A)
2
2
B)
2
3
C)
2
6
D)
1
2
E)
1
3
ESEN ÜÇRENK
MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ
ESEN
ÜÇRENK
MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ
9. SINIF
10. SINIF
11. SINIF
12. SINIF
YGS - LYS
www.nevzatasma.com & www.halitbiyik.com
Download

Trigonometri