4) DENKLEM
ÇÖZÜMLERİ
Cebirsel denklem
f(x)=0
4.1.
Grafik Yöntemleri
4.2. Kapalı Yöntemler
4.3. Açık Yöntemler
Kök,kökün bulunması
Denklem kökleri mühendislikte
tasarım alanında karşımıza çıkar.


Fizik kanunlarından çıkarılan
matematiksel denklemler veya
modeller, bir sisteme ait bağımlı
değişkenlerin tahmin
edilmesinde kullanılır.
Örnek:Bir paraşütçünün hızını bulmak için
Newtonun 2. yasasını kullanalım
v
gm
c

1 e
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
  c / m t

2
Diğer parametreler bilinirse, paraşütçünün hızını, zamana
bağlı olarak hesaplamak (v=f(t)) kolaydır




fakat
c= ?.
Çözüm analitik olarak mümkün
değil
v
gm
c
1  e
  c / m t

Sayısal çözüm:
f( c) =0
f (c ) 
gm
c
1  e
  c / m t
v
Bu fonksiyonu sıfır yapan kök, tekrar tekrar c’ye değerler verilerek, grafik
veya diğer sayısal yöntemlerle bulunur.
Denklemlerin sayısal olarak çözümleri de diğer problem çözümleri gibi
çoğunlukla yinelemeli (iteratif) yöntemlerle yapılır.
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
3
4.1. Grafik Yöntemleri
•Kökü aramaya doğru bir noktadan başlamak
çözüme ulaşmayı hızlandıracaktır
•Grafik çizimleri, kökü aramak için herhangi
bir sayısal çözüm yönteminde başlangıç tahmin değerlerinin
seçiminde bize yardımcı olur

Örnek:f(x)=xe-x+x3+1 fonksiyonunun yaklaşık
kökünü grafikten bulalım.
Kaba bir yaklaştırma için çizilen grafik yeterli olabilecektir.
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
4
15
10
5
0
-2
-1,5
f(x)
-2,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-5
-10
-15
-20
-25
f(x)= xe-x+x3+1 fonksiyonunun grafiği
x
x
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
f(x)
-21,7781122
-9,097533606
-2,718281828
0,050639365
1
1,42826533
2,367879441
4,70969524
9,270670566
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
5
4.2. Kapalı Yöntemler
8
f(x)>0
f(x)>0
kök
x
-2
-1
-2 0
kök
3
3
-3
8
1
2
3
-3
-2
-1
-2 0
f(x)<0
-7
-7
-12
-12
-17
-17
-22
-22
xa xü
1
2
3
f(x)<0


Fonksiyonlar kök civarında işaret değiştirdikleri için, kökü sağından ve solundan kıskaca alarak bu aralığı
gittikçe daraltıp köke ulaşmak mümkündür. Bunun için iki tane başlangıç değeri belirlemek gerekir.
Kökün, bu iki değerin arasındaki kapalı bölgede olduğu bu yöntemlere kapalı yöntemler adı verilir.
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
6
4.2. Kapalı Yöntemler
2. kök15(aradığımız)
10
1. kök
xa
-2
3. kök
5
0
-1
0
1
xü
2
-5
-10
-15
-20
-25
Arada
başka bir kök olmaması ve kısa sürede köke yakınsaması için aralık mümkün olduğunca dar seçilmelidir.
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
7
8
f(x)>0
f(x)>0
-3
-2
-1
xü
-2 0
xa xü
3
3
xa
8
1
x
2
3
-3
-2
f(x)<0
-7
-1
-2 0
1
2
3
-7
f(x)<0
-12
-12
-17
-17
-22
-22
f(x): [xa,xü]
• f(xa).f(xü)<0
• f(xa).f(xü)=0
• f(xa).f(xü)>0
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
x 

[xa,xü]
f(xa) =0
x=xa
f(xü) =0
x=xü
x 
[xa,xü]
8
İkiye Bölme (Bisection) Yöntemi
[xa,xü] aralığındaki köke yaklaşmak için aralığın orta noktasını bulalım
xo 
x a  xü
• f(xa).f(xo) <0
2
xa
Güncellenecek sınır
• f(xa).f(xo) >0 xa ile
xo
xü(yeni)=xo
xa ile xo farklı bölgelerde
xo aynı bölgelerde
xü
xa
xa(yeni)=xo
xo xü

 ! xo  xa !  ! xo  xü !

kök
f(x )
f(x )
kök f(xo)
-2 ,5
-2
-1 ,5
-1
-0 ,5
0
0 ,5
1
1 ,5
2
2 ,5
-2 ,5
-2
-1 ,5
-1
-0 ,5
0
0 ,5
f(xa).

x
1
1 ,5
x a  xü
2
2
2 ,5
 s
x
Kök, xa, xoarasında S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 Kök, xo, xü arasında
9
Örnek: f(x) = x.e-x+x3+1 fonksiyonunun kökünü
,
 s=1*10-6 duyarlılıkla bulalım, [-1,0] Cevap: x=-0.515438
Tablo.4.1. İkiye bölme yöntemiyle fonksiyonun kökünün yaklaşık olarak bulunması
n
xa
xü
xo
f(xa).f(xo)
=
x a  xü
2
1
2
3
4
5
6
7
.
.
19
20
-1.000000
-1.000000
-0.750000
-0.625000
-0.562500
-0.531250
-0.515625
.
.
-0.515449
-0.515446
0.000000
-0.500000
-0.500000
-0.500000
-0.500000
-0.500000
-0.500000
.
.
-0.515442
-0.515442
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
-0.500000
-0.750000
-0.625000
-0.562500
-0.531250
-0.515625
-0.507813
.
.
-0.515446
-0.515444
+
+
+
+
+
.
.
+
-
0.500000
0.250000
0.125000
0.062500
0.031250
0.015625
0.007813
.
.
0.000004
0.000002
10
Bilgisayarda Çözüm: Programın Algoritması
B aşla
İlk değerleri ve
sabitleri ata
E
 <s
K ök ü yaz
?
H
İkiye bölm e ile yeni kök tahm ini
xo 
H
x a  xü
2
f(x a ).f(x o )< 0 ?
x a =x o
E
x ü= x o
H atayı bu l
=
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
xü  xa
2
11
Program
xa=-1; xu=0; es=1e-6
while abs(xu-xa)/2>es
xo=(xa+xu)/2
fa=xa*exp(-xa)+xa^3+1
fo=xo*exp(-xo)+xo^3+1
if fa*fo<0
xu=xo;
else
xa=xo
end
end
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
12
Programı daha esnek hale getirebilmek için öncelikle programda kullanılacak
fonksiyon başka bir .m dosyası içinde önceden tanımlanabilir.
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
13
Başla
Geliştirilmiş algoritma
İlk Değerleri Ata
E
“Verilen
Aralıkta Kök
Yoktur”
f(xa).f(xü)>0?
H
E
Kök=xa
E
f(xa).f(xü)=0?
H
f(xa) =0 ?
xo 
H
x a  xü
2
Kök=xü
H
f(xa).f(xo)<0?
E
xa=xo
xü=xo
|xü-xa|/2 <  s
H
n=n+1
H
E
kök=xo
n>=Nmax?
E
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
kök ve tekrar sayısını yazdır
14
Maksimum tekrarda
yakınsama
sağlanamadı
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
15
4.2.2. Adım Küçülterek Köke
Yaklaşma Yöntemi
f(x )
adım
h
xa
xk
f(x).f(x+h) >0
x(yeni)=x+h
f(x).f(x+h)<0
h(yeni)=h/10
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
xü
x
16
Örnek: Herhangi bir f(x) fonksiyonunun kökü 5.42 olsun.
[4 6] aralığında kökü aramaya başlarsak;
xa=4, h=1
1
x= 4
5
h=0.1
0,5
5,1
5,2
5,3
5,4
5,41
0
3,5
4
4,5
5
5,5
6
h=0.01
-0,5
5,42
-1
-1,5
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
-2
17
Program algoritm ası
B aşla
İlk D eğerleri Ata
H
x=x a , , h,
s
h>=  s ve
f(x) ~=0 m ı?
K ökü yazdır
E
H
f(x).f(x+h)<0 ?
x=x+h
E
h=h*0.1
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
18
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
19
Ödev: a) R=10  ve diyot gerilimi VD= ln(150 iD+1) olarak kabul edelim. Şekilde devrede
iD akımını i D = [3 , 4] aralığında adım küçültme yöntemiyle  0 . 01 duyarlılıkla hesaplayın.
İlk adım büyüklüğümüz h=0,1 olarak başlasın. ( h yeni 
h eski
10
)
R
+
40V
i
VD
b) Problemi bilgisayarda çözmek için bir algoritma hazırlayın ve bildiğiniz bir programlama
dilinde yazın.
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
20
4.2.3. Yer Değiştirme (Regula Falsi) Yöntemi
f(xü)
f(x )
Benzer üçgenler
xr
f(xa)
xa
xü
        
x
xü xr
         

xü xa
f ( xü )
f ( xü )  ( f ( x a )

xü  xr
xü  xa
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
x r  xü 
f ( xü )  x a  xü 
f ( x a )  f ( xü )
21
x r  xü 
f ( xü )  x a  xü 
f ( x a )  f ( xü )
• f(xa).f(xr) <0
Güncellenecek sınır
xa ile xr farklı bölgelerde
• f(xa).f(xr) >0 xa ile
xa
xr
xr aynı bölgelerde
xü
xa
xü(yeni)=xr
xa(yeni)=xr
xr xü

kök
f (x )
f (x )
kök
-2 , 5
-2
-1 , 5
-1
-0 , 5
0
0 ,5
1
1 ,5
2
2,5
-2 , 5
-2
-1 , 5
-1
-0 , 5
0
0 ,5
1
1 ,5
2
2,5
f(xa).
%  a  s
x
x
K ök, x a , x r arasında S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 K ök, x r , x ü arasında
22
Örnek:
Kütlesi m=68.1kg olan bir paraşütçünün, t=10 s serbest
düştükten sonra 40m/s hıza sahip olabilmesi için gerekli
direnç katsayısını yer değiştirme yöntemiyle iki iterasyon
adımı için belirleyin.(, xa=12, xü=16)
f (c ) 
gm
c

1 e
  c / m t
v
Çözüm: Burada kök x=c direncidir,
• ilk iterasyon:
 2.2688 12  16 
xa=12
f(xa)=6.0699
xr= 16 
 14.9113
6.0669    2.2688 
xü=16
f(xü)=-2.2688
f(xr)=-0.25413
•İkinci iterasyon:
f(xa)*f(xr)= -1.5426 <0
xr , xü ile aynı bölgede olduğu için bir sonraki iterasyonun üst sınırı olacaktır.
xü=14.9113
xa=12
f(xü)= -0.2543 xr=14.9113   0.2543 12  14.9113   14.7942
6.0669    0.2543 
f(xa)=6.0699
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
23
Ödev: a) Şekildeki elektrik devresinde Kirschoff yasaları kullanılarak sistemin empedansı
1
Z

1
R
2
1 

  wC 

wL 

2
şeklinde ifade edilebilir. Burada Z=empedans(  ) ve w=açısal
frekanstır. [wa= 50 ve wü= 300] ilk tahminlerinden başlayarak yer değiştirme (regula falsi)
yöntemiyle 100  empedans veren açısal frekansı ilk 3 adım için bulun.
Hesaplamalarda virgülden sonra 5 basamağı dikkate alın
R=225  , C=0.6*10-6 F ve L=0.5 H.
Regula Falsi Formülü x r  x ü 
f ( xü )  x a  xü 
f ( x a )  f ( xü )
mutlak yüzde yaklaşım hatası % e a  10  3 duyarlılıkla bulan
program algoritmasını oluşturun ve programı yazın.
b) soruyu
~
R
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
L
C
24
4.3. Açık Yöntemler
• Kökü iki başlangıç değeri arasında kıskaca alma ( f(xa).f(xü) <0 )
sorgulaması yok
f(x)
Kapalı
f(x)
Açık
Eğim = f’(xi)
f(x i)
f(x ü )
0
f(x a )
xa
0
xü
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
x i+ 1
xi
x
25
aradığımız kök
15
10
5
0
-2
-1
xo
0
1
2
-5
-10
-15
-20
-25
Açık yöntemler
hızlıdır fakat
bazen başlangıç
noktası uygun
seçilmediğinde
ıraksayabilirler.
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
26
4.3.1. Basit Sabit Noktalı İterasyon:

Bütün açık yöntemler kökün bulunması için
bir formül kullanırlar.

x = g(x)
f(x)=0
g(x)
x 3
2
f(x)=x2-2x+3=0
x=
2
f(x)=sinx=0

x=sinx+x
veya
g(x)
xi+1=g(xi)
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
27
Örnek: Basit sabit noktalı iterasyon kullanarak f(x)=e-x-x fonksiyonunun
kökünün yerini yüzde yaklaşım hatası % a1.2’nin altına düşene kadar
hesaplayınız. Her adım için % yaklaşım hatasını mutlak değer olarak
bulunuz. (x0=0)
Çözüm: x%i+1= e  xi , İlk tahmin olarak x0=0 ile başlayarak tablodaki
değerler bulunabilir.
a

x i 1  x i
i
xi
0
0
1
1.000000
100
2
0.367879
171,8285
3
0.692201
46,85373
4
0.500473
38,30936
5
0.606244
17,44694
6
0.545396
11,15666
7
0.579612
5,903259
8
0.560115
3,480892
9
0.571143
1,930865
* % 100
x i 1
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
10
0.564879
28
1,10891
Sabit noktalı iterasyon için algoritma
Başla
İlk Değerleri Ata
 ,x0,n,Nmax
xkeski=x0
Bitiş
H
n<Nmax?
E
n=n+1
xkyeni=g( xkeski)
Sıfıra Bölme Hatası
H
xkyeni<>0?
E
a

xi 1  xi
* %100
xi 1
a  s ?
H
E
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007Kökü, tekrar sayısını
ve bağıl hatayı yazdır
n=Nmax
29
x0=0; es=1.2; n=0; Nmax=100;
xkeski=x0;
while (n<Nmax)
n=n+1;
xkyeni=g(xkeski)
if xkyeni~=0
ea=abs((xkyeni-xkeski)/xkyeni)*100
if ea<es
disp('Kök='); disp(xkyeni);
disp('Tekrar Sayisi='); disp(n);
disp('Yüzde bagil Hata=');disp(ea);
n=Nmax;
end
else disp('Sifira bolme hatasi');
end
xkeski=xkyeni;
end
g.m dosyası
function [xkyeni] = g(xkeski)
xkyeni=1.0*exp(-xkeski);
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
30
4.3.2. Newton-Raphson Yöntemi
f(x)
E ğim = f’( xi)
f(x i )
0
Xi+2
f '( xi ) 
f xi   0
x i  x i 1
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
x i+ 1
x i 1  x i 
xi
x
f xi 
f ' xi 
31
Örnek: Newton-Raphson yöntemini kullanarak, f(x)=e-x-x
fonksiyonunun kökünü x0=0 ilk tahminini yaparak bulun. (Yüzde
bağıl yaklaşma hatası 3*10-5’in altına düşene kadar iterasyona
devam edin)

Çözüm: Fonksiyonun birinci türevi
f ' ( x)  e
x
1
fonksiyon ve türevi denklemde yerine konulursa
xi+1= xi -
e
 xi
e
 xi
 xi
1
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
32
x0=0
i
xi
0
0
1
0.500000000
100
2
0.566311003
11,70929095
3
0.567143165
0,146728736
4
0.567143290
2,20403E-05
• f.m dosyasının içeriği:
function [fx] = f(x)
fx=1.0*exp(-x)-x;
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
(%) a
fturev.m dosyasının içeriği:
function [fturevx] = fturev(x)
fturevx=-1.0*exp(-x)-1;
33
es=3e-5; n=0; Nmax=100;
xkeski=0;
while (n<Nmax)
n=n+1;
if fturev(xkeski)==0
disp('Sifira bolme hatasi');
else
xkyeni=xkeski-f(xkeski)/fturev(xkeski)
if xkyeni~=0
ea=abs((xkyeni-xkeski)/xkyeni)*100
if ea<es
disp('Kök='); disp(xkyeni);
disp('Tekrar Sayisi='); disp(n);
disp('Yüzde bagil Hata=');disp(ea);
n=Nmax;
end
else disp('Sifira bolme hatasi');
end
xkeski=xkyeni;
end
end
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
34
Başla
İlk Değerleri Ata
 ,x0, n, Nmax
xkeski=x0
Bitiş
H
n<Nmax?
E
n=n+1
Sıfıra Bölme Hatası
H
f ' x <>0?
E
xkyeni=xkeski-
Sıfıra Bölme Hatası
H
fx
f 'x
xkyeni<>0?
E
a

xi 1  xi
* %100
xi 1
a  s ?
H
E
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
Kökü, tekrar sayısını
ve bağıl hatayı yazdır
n=Nmax
35
f(x )
4.3.3. Sekant Yöntemi:
f(xi-1)
f(x i )
0
x i+1
f '( xi ) 
f '( x i ) 
Newton R
f xi   0
x i  x i 1
x i 1  x i 
xi
x i-1
f xi 
f ' xi 
f  x i 1   f ( x i )
x i 1  x i
x i 1  x i 
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
 x i   x i 1  x i 
f  x i 1   f ( x i )
f
36
İkisinde de iki ilk tahmin değeri var
x r  xü 
f ( xü )  x a  xü 
Regula Falsi
f ( x a )  f ( xü )
Güncellenecek sınır
• f(xa).f(xr) <0
• f(xa).f(xr) >0 xa ile
xa
xr
xü(yeni)=xr
xa ile xr farklı bölgelerde
xr aynı bölgelerde
xü
xa
xa(yeni)=xr
xr xü
kök
f (x )
f (x )
kök
-2 , 5
-2
-1 , 5
-1
-0 , 5
0
0 ,5
1
1 ,5
2
2,5
-2 , 5
-2
-1 , 5
-1
-0 , 5
0
0 ,5
1
1 ,5
2
2,5

x
K ök, x a , x r arasında
x
K ök, x r , x ü arasında
Sekant
x i 1  x i 
 x i   x i 1  x i 
f  x i 1   f ( x i )
f
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007
Xi+1
xi
xi-1
37
Download

BÖLÜM.4. Denklem Çözümleri