KOMPLEKS TRİGO
15+
Bazı gerekli değerler
KARMAŞIK SAYILARDA TRİGONOMETRİ
o
o
0
KUTUPSALA (TRİGONOMETRİK BİÇİME)
ÇEVİRME
tanθ
0
1
√3
Örnek...1 :
sin θ
1+ i s a yı s ı n ı n k u t u p s a l b i ç i m i n i b u l u n u z.
cos θ
0
1
Çözüm
1.yol
1+ i s a yı s ı n a d ü zl e m d e A ( 1 , 1 ) n o k t a s ı k a r ş ıl ık
g e l s i n . Ş e k l i i n c e l e yi n i z
A
1
45o
1
x
1
www.matbaz.com
O
z= x + i y s a yı l a r ı z= ∣z∣. cis θ o l a r ak
ya z ı l a b i l d i ğ i n d e n (∣z∣=modül ; arg(z)=θ )
olacağından
1+ i = √ 2 cis45 o l a r a k e l d e e d i l i r.
2 .yol
z= 1 + i s a yı s ı n ı n ö n c e m o d ü l ü
√ ℜ2+ℑ2=√ 12 +12=√ 2 b u l u n u r.
tan θ
+
2.bölge
-
1
√3
√3
3
1
√2
√3
1
2
√2
=
√2
√3
2
2
2
=√
2
1
2
Örneğin açının tanjantının mutlak değerinden ölçüsü 45o
bulunmuş ve açıyı 2. bölgede istiyorsak 180-45 ;
3. bölgede istiyorsak 180+45 ; 4. bölgede istiyorsak 36045 olarak yazarız.
Unutmayın 90 ve 270 ile yazılan açılar isim değişikliğine
sebep oluyordu dolayısıyla açı bulurken 90 ve 270 e
bulaşılmaz. ( tan (90+45)=-cot135 gibi)
Örnek...2 :
z= - 1 + i √ 3 s a yıs ın ın k ut u p s a l b i ç i m i n i
b u l u n u z.
√
3.bölge
+
2
∣z∣= (−1)2+ √ 3 =2 , i ş a r e t l e r i n m ut l a k
∣tan θ∣= y = √ 3 →θ=60o
değerinden
x 1
v e z s a yı s ı 2 . b ö l g e d e o l d u ğ u n d a n a ç ı
1 8 0 - 6 0= 1 2 0 o o l a r ak h e s a p l a n ır
z= - 1 + i √ 3 = 2 c i s 1 2 0
Örnek...3 :
z= - 4 - 4 i s a yı s ı n ı n k ut u p s a l b i ç im i n i b u l u n u z .
4.bölge
Çözüm
∣tanθ∣= y = 4 =1 →θ=45o
x 4
v e z s a yı s ı 3 . b ö l g e d e o l d u ğ u n d a n a ç ı
180+45=225o olarak hesaplanır
-
∣z∣=√ (−4)2 +(−4 )2 =4 √ 2
z= - 4 - 4 i = 4 √ 2 c i s 2 2 5
11. Sınıf Karmaşık Sayılar Ek Bölümü
1
2
60
Çözüm
S o n r a s a n a l k ı s ım , r e e l k ı s ım v e a r g üm e n t i
o l u ş t u r a n a ç ı yı b i r b i r i n e b a ğ l a ya n
İm y
tan θ=
= ifadesinden açının tanjant
Re x
d e ğ e r i ( 2 f ar k l ı a ç ı d e ğ e r i ) v e v e r i l e n
s a yı n ı n k oo r d i n a t s i s t e m i n d e b ö l g e s i d e
d ik k a t e a l ı n a r ak a r g ü m e n t h e s a p l a n ı r.
y 1
Burada tan θ= = →θ=45 o veya 225o olarak elde
x 1
edilir.
Koordinatların her ikisi de pozitif olacağından açı 45o ve
dolayısıyla
1+i= √ 2 cis45 olarak elde edilir.
1.bölge
=
o
45
Şimdi iki farklı tanjant değeri bulmak yerine işareti 2.
adımda dikkate alacağımız yeni bir yol bulalım.
Açıyı tanjant değerinden bulurken önce işaretine
bakmaksızın sanal kısmı reel kısma bölerek mutlak
değerce hangi dar açının tanjantına baktığımızı buluruz.
Sonra z sayısına karşılık gelen noktanın bölgesini
kullanarak açının gerçek değerini buluruz. Bunun için ı
ilk elde ettiğimiz dar açıyı 180 e ekler / çıkartır veya 360
dan çıkartırız.
y
1
o
30
1/8
KOMPLEKS TRİGO
15+
İNDİRGEME (TRİGONOMETRİK
ÖZDEŞLİKLER)
Örnek...4 :
Z = 5 - 5 √ 3. i s a yı s ı n ı n k ut u p s a l b i ç i m i n i
bulunuz.
Çözüm
2
y 5 3
∣z∣= (5 )2 +(5 √ 3) =10 , ∣tan θ∣= = √ = √ 3→ θ=60o
x
5
3π
π ±θ
±θ
2
2
b i ç i m i n d e o l a n a ç ıl a r, t r i g o n o m e t r i k d e ğ e r
i ç i n d e h e s a p l a n ı rk e n π i ç e r e n k ıs ım d a n
k ur t u l a b i l m ek i ç i n
ölçüsü
√
v e z s a yı s ı 4 . b ö l g e d e o l d u ğ u n d a n a ç ı
360-60=300o olarak hesaplanır
A d ım 2 İ s i m d e ğ i ş i k l i ğ i o l u p o lm a d ığ ı b u l u n u r.
3π
B u d e ğ i ş i k l ik s a d e c e π ±θ
±θ
2
2
i f a d e l e r i n d e cos ↔ sin v e cot ↔ tan
b i ç i m i n d e d i r.
2 π±θ İ ç i n i s i m d e ğ i ş m e z
π±θ
Örnek...5 :
z= - 6 s a yı s ı n ı n k u t u p s a l b i ç i m i n i b u l u n u z.
U ya r ı : e k l e n e n / ç ık a n x , 3 x , 5 x , 2 0 x o l s a d a
f ar k e t m e z, d a r k a b u l e d i l i r! !
Örnek...6 :
z= 12. i √ 3 s a yı s ı n ı n k u t u p s a l b i ç im i n i b u l u n u z.
www.matbaz.com
Çözüm
∣tan θ∣= y = 0 =0 →θ=0o
x 6
z s a yı s ı ek s e n ü ze r i n d e v e n e g a t if t a r af t a
o l d u ğ u n d a n a ç ı 1 8 0 - 0 = 1 8 0 o o l a r ak
h e s a p l a n ı r. ( K a b u l e d e l im i ş i g e r ek s i z
u za t t ı k )
Çözüm
∣tan θ∣= y = 12 √ 3 =∞→θ=90 o
x
0
z s a yı s ı ek s e n ü ze r i n d e v e p o zi t i f t a r af t a
o l d u ğ u n d a n a ç ı 1 8 0 - 9 0 = 9 0 o o l a r ak
h e s a p l a n ı r.
√
2
∣z∣= (12 √ 3) =12 √ 3 ,
11. Sınıf Karmaşık Sayılar Ek Bölümü
2 π±θ
A d ım 1 E k l e n e n v e ya ç ık a n a ç ı d a r k ab u l
e d i l e r e k f o nk s i yo n u n i s t e n e n b ö l g e d e k i
işareti bulunur
iki gereksiz örnek !!
Bu örneklerde verilen sayılar eksen üzerinde olduğundan
çizim ile yapmak veya sadece düşünerek yapmak daha
uygun olabilir.
∣z∣= √ (−6)2=6 ,
π±θ
A l ış t ı rm a l a r
sin(90+5x)=+cos5x (2. bolge ve isim değiş)
c o t ( 1 8 0 + 3 x ) = c o t 3 x ( 3 . b o l g e v e i s im a yn ı) )
cos(270+4x)=+sin4x (4. bolge ve isim değiş)
t a n ( 2 7 0 - 7 x )= + c o t 7 x ( 3 . b o l g e v e i s im d e ğ i ş )
s i n ( 3 6 0 - 1 3 x )= - s i n 1 3 x ( 4 . b o l g e v e i s i m a yn ı )
gibi
Ayr ıc a b i l i nm e ye n i ç e r m e ye n a ç ıl a r d a d a r
a ç ıl a r c i n s i n d e n e l d e e d i l e b i l i r
− 3
s i n 2 4 0 = s i n ( 1 8 0 + 6 0 ) = - s i n 6 0 = √ v e ya
2
−√ 3
s i n 2 4 0 = s i n ( 2 7 0 - 3 0 )= - c o s 3 0 =
2
t a n 2 2 5 = t a n ( 1 8 0 + 4 5 ) = t a n 4 5 = 1 v e ya
t a n 2 2 5 = t a n ( 2 7 0 - 4 5 )= c o t 4 5 = 1 g i b i
K a r m a ş ık s a yı l a r d a g e n e l l ik l e i ş l e m i n t e r s i n e
i h t i ya ç d u ya r ı z.
M e s e l a - c o s 4 0 o if a d e s i n d e – d e n n a s ıl
k ur t u l u r u m v e s t a n d a r t b i ç i m d e k i + c o s x g i b i
b i r i f a d e e l d e e d e r im s o r u s u n u k e n d im i ze
s o r a r ız .
Burada bahsedilen örnekte -cos40, kosinüsün
n e g a t i f o l d u ğ u b ö l g e o l d u ğ u n d a n 4 0 o ' yi
d e ğ i ş t i r m e ye n 1 8 0 o v e ya 3 6 0 o k u l l a n ı l a r ak
i s t e n e n b ö l g e ye t a ş ın a b i l i r. B u r a d a b ö l g e yi
b i l m e d i ğ i m i zd e n c o s ( 1 8 0 - 4 0 ) v e ya
c o s ( 1 8 0 + 4 0 ) k ul l a n ıl a b i l i r. ( S o r u l a r d a t a m
o l a r a k n e i s t e d i ğ im i zi b i l i r i z . )
2/8
KOMPLEKS TRİGO
15+
Örnek...8 :
İndirgeme (trigonometrik özdeşlik) kullanma
z=-6(sin65−isin25) ise z karmaşık sayısının standart
biçimini bulunz
Örnek...7 :
z=2(cos20−isin20) ise z karmaşık sayısının standart
biçimini bulunz
Çözüm
adım 1 önce -6 nın negatifini içeri dağıtalım (modül pozitif
olmalı) z=6.(-sin65+isin25)
adım 2 açıların ölçü olarak aynı olması için ve isimlerin
standart sırayı tutması için sin65 yerine cos 25 yazalım
z=6.(-cos25+isin25)
adım3 son olarak kosinüsün başındaki – işaretinden
kurtulmak için kosinüsün negatif sinüsün pozitif olduğu
bölgeyi bulup 25 dereceyi değiştirmeyen ölçüyle
kullanalım.
Aranan 2. bölge olup 25 i değiştirmeyen sayı 180 dir.
z=6.(cos(180-25)+isin(180-25)) =6cis 155
Çözüm
standart kutupsal biçim r>0 için z=r.cisθ idi
burada önce sırasıyla
1. modül 0 dan büyük olmalı;
2. başta i siz kısım kosinüslü olarak bulunmalı,
3. i' li kısım sinüsle çarpılmalı
4. açı ölçü değerleri aynı ,
5. ortadaki işaret de + olacak şekilde bulunmalıdır.
Aksi takdirde aşağıdaki adımlar takip edilir
adım2
sinüs ve kosinüs değerinde kullanılan açılar gerekiyorsa
indirgeme (trigonometrik özdeşlikler) bağıntıları
kullanılarak dar açı olarak elde edilir.
adım3
sinüs ve kosinüs ifadeleri yerlerinde değilse 90
dereceden çıkarılarak tekrar yazılır
adım4
bölgelere göre işaretler dikkate alınarak bir önceki
adımda elde edilen dar açı argümenti oluşturacak şekilde
güncellenir.(Bu adımda adım 3 de bulunan açı 180 veya
360 derece kullanılarak istenilen bölgeye taşınır)
www.matbaz.com
adım1
modülde – varsa bu – trigonometrik değerlere dağıtılır
z=8(cos140 +isin(-40)) ise z karmaşık sayısının standart
biçimini bulunz
Çözüm
cos140 =cos(180-40)=-cos40
sin(-40)=-sin40 olduğundan
z=8(-cos40 -isin40) olur. Aranan sinüs ve kosinüsün
negatif olduğu bölge yani 3.bölgedir. 40 dereceyi
değiştirmeyen 180+40 ile beraber
z=8(cos220 +isin(220)) elde edilir
z=2(cos20−isin20)
ifadesinde modül pozitif , kosinüs ve sinüs yerli yerinde ve
aynı açısal değerlere sahip ( 20 derece) yapmamız
gereken aradaki işareti pozitif yapmak için açıyı
değiştirmek :
kosinüsün pozitif, sinüsün negatif olduğu bölge 4. bölge
olup 20 derecenin değişmemesi için 360 ile kullanalım
dolayısıyla z=2 (cos (360-20)+i.sin(360-20)) yazılarak
işlem tamamlanır
11. Sınıf Karmaşık Sayılar Ek Bölümü
Örnek...9 :
3/8
KOMPLEKS TRİGO
15+
KUTUPSAL BİÇİMDE ÇARPMA, BÖLME VE
KUVVET ALMA
KUTUPSAL BİÇİMDE TOPLAMA VE ÇIKARMA
Örnek...14 :
Örnek...10 :
z1 =2.cis200 ve z2 =16.cis700 ise z1 .z2 kaçtır?
z = cis82 ve w= cis22 ise z +w =?
Hatırlatma
z1=r1cisƟ1 ve z2=r2cisƟ2 sayıları için
Çözüm 1
1. yol
1) z1.z2=r1.r2cis(Ɵ1+Ɵ2)
x+y
x−y
. cos
2
2
x+y
x−y
sinx+siny=2 sin
.cos
2
2
olduğundan verilen kutupsal biçimdeki ifadeleri açar
toplarız
( ) ( )
( ) ( )
cosx +cosy=2cos
2) z1n=r1n cis(n.Ɵ1)
3)
z1 r1
=
cis(Ɵ1−Ɵ2)
z2 r2
olduğundan
cis82+cis22=cos82+isin82+cos22+isin22
=cos82+cos22+i(sin82+sin22)
Çözüm
z1 .z2 = 2.16.cis (20+70)=32 cis90=32(0+1i)=32i olarak
elde edilir
(
) (
)
(
) (
= 2 cos 82 +22 .cos 82−22 +i 2sin 82 +22 .cos 82−22
2
2
2
2
)
=2cos52.cos30+i.sin52.cos30
=2cos30(cos52+isin52)= 2. √ 3 cis52= √3.cis52
Örnek...11 :
z1 =200.cis620 ve z2 =4.cis170
z
ise 1 kaçtır?
z2
Çözüm
z1 200
√ 2 √ 2 i)=25 √ 2(1+i )
=
cis (62−17)=50 cis45=50( +
z2
4
2 2
www.matbaz.com
2
Çözüm 2
Genel bir çözüm olmamakla birlikte toplamanın vektörel
yorumu işimizi bazı durumlarda oldukça kolaylaştırabilir.
Önce cis 82 ve cis22 düzlemde gösterilir.
Sonra vektöre toplama için paralel kenar oluşturulur.
(Modüller eşit olduğundan oluşacak şekil eşkenar dörtgen
ve vektörlerin toplamı (fizik dersinden öğrendiğimiz
paralel kenar yöntemine göre )köşegen (şeklin eşkenar
dörtgen olmasından dolayı açıortay) üzerinde olur.
Burada çıkan 120- 30- 30 üçgeninde uzun kenar
√3 birim olur. Açı ise 22+30=52 derece olacağından
toplam √ 3 cis52 olarak elde edilir.) Şekli inceleyiniz
y
Örnek...12 :
z1=( √ 2)cis (15)
z+w
w=cis82 1
ise z1 12 kaçtır?
1
Çözüm
12
12
6
z1 =( √ 2) cis (15.12)=2 cis180=64 (−1+0i)=−64
1
o
30
o
30
z=cis22
1
0
Örnek...13 :
z1=2cis240 ve z2=8cis120 ise
x
z = cis82 ve w= cis22 ise z +w = √3 . cis52
z61
=?
z22
(Umarım beğenmişsinizdir !! Malesef özel koşulların
oluşmadığı durumlarda bu çözüm yerine trigonometrik
çözümü yapmak durumundayız)
Çözüm
z61 26 cis24.6
−1 √ 3 i
= 2
=cis (144−24)=cis120=
+
2
2
2
z2 8 cis 12.2
11. Sınıf Karmaşık Sayılar Ek Bölümü
22
o
4/8
KOMPLEKS TRİGO
15+
Örnek...15 :
Örnek...16 :
z = 4cis15 ve w= 4cis105 ise z1 − z2=?
4x açısı dar bir açı olmak üzere, z=1+cos4x+isin4x ise
Arg(z)=?
Çözüm 1
yarım açı bağıntılarını kullanarak
Çözüm 1
{
2 cos 2 θ−1
ve sin 2θ=2sinθcos θ
cos 2 θ= 1−2 sin2 θ
cos 2 θ−sin2 θ
olduğundan 1 i yok edecek biçimde işlem yapalım
z=1+cos4x+isin4x = 1+2cos2 2x−1+2sin2x.cos2x
( ) ( )
( ) ( )
x+y
x−y
. sin
2
2
x−y
x+y
sinx−siny =2sin
. cos
2
2
olduğundan verilen kutupsal biçimdeki ifadeleri açar ve
çıkarırız
cosx−cosy=−2sin
4cis15-4cis105=4cos15+4isin105-4cos105-4isin105
=4(cos15-cos105)+4i(sin15-sin105)
= 4.−2sin 15+105 . sin 15−105 + 4i. 2sin 15−105 .cos 15+105
(
2
) (
2
)
(
2
) (
2
=2cos2x( cos2x+isin2x) olduğundan
z=2cos2x. Cis 2x yazılırsa Arg(z)=2x olarak elde edilir.
)
Çözüm 2 vektörel
Artık öğrenmiş olmalısınız :)
z=cis4x ve w=1 olsun. Vektörel toplam yapalım. (z nin ve
w nin modülü 1 birimdir) Şekli inceleyiniz
=-8.sin60.sin(-45)+8i.sin(-45).cos60
Çözüm 2
Önce w= 4 cis105 ve z=4 cis15 sayılarını yerleştiririz. Z-w
yi bulmak için z+(-w) işleminden yararlanmak için -w yi
eksene yerleştiririz. Sonra bir önceki sorudaki gibi
paralelkenarı (burada şekil kare olmaktadır) oluşturup
köşegeni çizerek z+(-w) elde edilir
y
www.matbaz.com
y
=8sin60sin45-8isin45cos60
3 2
21
= 8. √ . √ −8i. √
=2 √ 6−2 √ 2 i
2 2
2. 2
z=1.cis4x
1
z
1
2x
2x
4x
w=1
z+w
2x
1
x
w
x
Buradaki çözümde iç ters açıların eşitliği ve ikizkenar
üçgen anahtar roldedir.
Şekle göre argüment 2x olur
Örnek...17 :
w=4cis105
4
y
4x dar açı olsun
z = 1+cos4x +isin4x
o l d u ğ u n a g ö r e z s a yı s ı n ı n m o d ü l ü n ü b u l u n u z .
15o
0
45 o
4
z=4 cis15
15o
30 o
x
Çözüm
yarım açı bağıntılarına hazır bulaşmışken bu soruyu da
araya ekleyelim.
15o
z+(-w)
∣z∣= √ (1 +cos4x)2 +sin2 4x = √ 1+2cos4x+cos2 4x +sin 2 4x
-w=-4cis105
√ 1+2cos4x+1= √ 2+2cos4x= √ 2 (1 +cos4x )
√ 2(1+cos4x)= √ 2 (1+2cos 2 2x−1) (1 i yok edelim)
√ 4 cos2 2x=2∣cos 2x∣=2 cos 2x
şekle göre
z+(-w)= 4 √ 2 cis (−30)=4 √ 2(cos (−30)+i.sin(−30))
3 i
= 4 √ 2(cos (30)−i.sin(30))=4 √ 2( √ − )
2 2
= 2 √ 6−i.2 √ 2 olarak elde edilir.
11. Sınıf Karmaşık Sayılar Ek Bölümü
5/8
KOMPLEKS TRİGO
15+
DÖNDÜRMELER
KARIŞIK BİRKAÇ UYGULAMA
Biraz da trigonometrinin başka faydaları
Hatırlatma
1. (x−a)2+(y−b)2 =r 2 ifadesi düzlemde merkezi
M(a,b) ve yarıçapı r olan çember belirtir.
2. Her x açısı için sin2 x+cos2 x=1 özdeşliği
geçerlidir
Örnek...18 :
z= √ 3 +i sayısının orijin etrafında pozitif yönde 30o
döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayıyı bulunuz.
Çözüm
z = r.cisx orijin etrafında pozitif yönde a kadar
döndürülmesiyle elde edilen yeni karmaşık sayı w1 ise
w1=z.cısa olacaktır.
w1=z.cısa=r.cisx.cisa=r.cis(x+a) olarak elde edilir
Şekli inceleyiniz
Örnek...20 :
x=5+2sin3t y=2cos3t−6 parametrik denklemi ile
verilen çemberi ∣z−z0∣=c şeklinde ifade ediniz.
İm (z)
Çözüm
w
x−5=2sin3t buradan (x−5)2=4 sin 2 3t
y+6=2cos3t
(y+6)2 =4 cos 2 3t
ve taraf tarafa toplanarak
z
a
x
(x−5)2 +(y+6)2=4 (sin2 3t+cos2 3t)=4 olarak elde edilir
Re (z)
Soruya dönersek
istenen √ 3 +i .cis30 olup cis30 u x+iy biçimine döndürüp
çarpmayı yapalım.
3 i
√ 3 +i .cis30= (√ 3+i)( cos30+isin30 )=(√ 3+i) √ + .
2 2
(
)
3 +i √ 3 +i √ 3 + i2
=1+ √ 3 i
2
2
2 2
www.matbaz.com
O
bu ise merkezi (5,-6) ve yarıçapı 2 birim olan çemberdir.
Bunu da (5,-6) sayısının temsil ettiği 5-6i sayısına uzaklığı
2 birim olan karmaşık sayı olarak yorumlayıp
∣z−(5−6i)i∣=2 olarak yazabiliriz.
Örnek...21 :
Arg(z−3+2i)= 450 eşitliğini sağlayan z karmaşık
sayılarını noktaları düzlemde gösteriniz
UYARI
Benzer bir mantıkla z = r.cisx orijin etrafında negatif
yönde a kadar döndürülmesiyle elde edilen yeni karmaşık
sayı w2 ise w=z.cıs(-a) olacaktır.
Çözüm
z=x+iy olsun
Arg(z−3+2i)=Arg(x+iy−3+2i)= 450
imajiner
ve buradan tan(Arg)=
bağıntısıyla
sanal
y+2
y+2
, 1=
ve içler dışlar sonunda y=x-5
tan 45=
x−3
x−3
doğrusu elde edilir.
Son olarak yeni elde edilen (x-3)+i.(y+2) sayısının
argümenti 45 ise sayı 1.bölgede olmalıdır.
Bu ise x−3>0 , y+2>0 olmasıyla mümkündür.
Bu ise doğru denkleminin düzeltilerek yarı doğruya
dönüşmesini sağlar. Şekli inceleyiniz
y=x-5 ise doğrunun geçtiği noktalar (0,-5) ve (5,0)
Örnek...19 :
1 + i sayısını orjin etrafında negatif yönde 60 derece
döndürünüz
Çözüm
istenen (1+i).cis(-60)= (1 +i)(cos (−60)+isin(−60))
1
√3 )
(1 +i)(cos (60)−isin(60))=(1+i)( −i .
2
2
1
√ 3 + i −i2 √ 3 = 1+ √ 3 +i.( 1−√ 3 )
−i .
2
2 2
2
2
2
11. Sınıf Karmaşık Sayılar Ek Bölümü
6/8
KOMPLEKS TRİGO
15+
Örnek...22 :
Arg(z+5-4i)= 2380 eşitliğini sağlayan z karmaşık
sayılarını noktaları düzlemde gösteriniz
y
Çözüm
z sayıları bu yarı
doğru üzerindedir
3 5
O
-2
Arg(z+5-4i)=Arg(z-(-5+4i)) ve nokta K(-5,4)
y
x
K(3,-2)
o
238
-5
4
z sayıları bu yarı
doğru üzerindedir
-5
şimdi doğru üzerinde bir nokta alıp olaya bakalım.
y=x-5 ifadesinden x=4 ve y=-1 olsun. Z sayısı 4-i olur.
z o = a + i b k a rm a ş ı k s a yı s ı n ı n d ü zl em d e k i
g ö r ü n t ü s ü K ( a , b ) i s e A r g ( z− z o ) = α
k oş u l u n u s a ğ l a ya n z s a yı l a r ı ] K P ya r ı
d o ğ r u s u ü ze r i n d e d i r.
y
www.matbaz.com
Soruda verilen Arg(z−3+2i)=Arg((4-i)−3+2i)=Arg(1+i) olur
ki bu da zaten 45 derecedir!!!
NOT
P
z0
K(a,b)
α
O
x
Yani trigonometriye bulaşmadan da bu tür soruları
çözebilirsiniz
Adım 1 Arg (z−zo) =α standard biçiminde ifade yazılır
Adım 2 zo düzlemde işaretlenir.
Adım 3 bu noktada sahte bir eksen oluşturulur ve standart
pozisyonda verilen α açısı kadar açı alınarak yarı doğru
oluşturulur.
11. Sınıf Karmaşık Sayılar Ek Bölümü
K(-5,4)
7/8
O
x
KOMPLEKS TRİGO
15+
Örnek...23 :
Örnek...24 :
∣z−2−i∣=1 İse Arg (z)=α nın en büyük değeri için
tan α=?
x +y= π z=cosx −cosy +i(sinx +siny) i s e z.̄z k aç t ır ?
3
Çözüm
Çözüm
∣z−2−i∣=1 uzaklık ifadesini çembere dönüştürelim
hatırlatma
cos(x+y)= cosxcosy-sinx.siny
cos(x-y)=cosxcosy+sinx.siny
∣z−(2+i)∣=1 merkezi M(2,1) ve yarıçapı 1 olan
çemberdir. Şekli inceleyiniz
sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx
sin(x-y)=sinxcosy-sinycosx
y
2
z.̄z =∣z∣ idi
z sayıları bu
çember üzerindedir
∣z∣= √(cosx−cosy)2 +( sinx+siny) 2
∣z∣= √cos 2 x+cosy 2−2cosxcosy +sin 2 x+sin 2 y+2sinxsiny
∣z∣= √2−2cosxcosy +2sinxsiny = √ 2−2 (cosxcosy−sinxsiny)
∣z∣= √2−2 cos (x +y) , |z|= 2−2 cos π = 2−2. 1 = √ 1=1
3
2
∣z∣=1→∣z∣2 =1
M(1,2)
Arg(z) en çok olması
için z buradadır
y
1
x
2
y
z
1
O
M
2
L
x
√
√
x
2
www.matbaz.com
1
m̂
MOL= x için Arg(z)=2x
olacağından
istenen tan2x tir.
2tanx
Yarım açı
tan2x=
1−tan2 x
bağıntısıyla
Örnek...25 :
4+4 √ 3i sayısının küpkökleri düzlemde birleştirilirse
oluşacak çokgenin alanı kaç birim kare olur?
Çözüm
Kutupsal biçimde kök alalım
4+4 √ 3i =8cis60
küpkökler rcisx ise r3. cis3x=8cis60 eşitliğinden
z0 = 2 cis 20 ,
z1 = 2 cis (20+120) =2 cis140
z2 = 2 cis (20+120+120) =2 cis260
ve bu noktalar bir eşkenar üçgenin köşeleridir. Şekli
inceleyiniz
y
z1
zo
x
1
2.
2
4
tan2x=
= olarak elde edilir.
2
3
1
1−
2
2
z2
()
2 √3
120o
O
zo
2
∣z1 −z 2∣=∣z 1−z0∣=∣z0 −z 2∣=2 √ 3 .
Aranan bir kenarı 2 √ 3 olan eşkenar üçgenin alanıdır.
2
Bu ise (2 √3) √3 =3 √3 br 2
4
11. Sınıf Karmaşık Sayılar Ek Bölümü
z1
8/8
Download

Karmaşık Sayılar - Trigonometri Karması