2. ÜNİTE
SAYILAR VE CEBİR
(f -1) -1=
f
+
y
y=f(x)=x2
2
y=g(x)=2x
(
)
fog
(
o
h
=
)og
f
o
h
)
))
g(x
g(f(x
x)-
)(x)=
= f(
(gof
)(x)
(f-g
(f+
)
x
(
g
x)
(
f
=
)
x
(
g)
(hof)og=ho(fog)
0
x
10.3. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
51
10.3. FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
Günlük yaşamda karşılaşılan bir çok durum ve doğadaki bir çok olay fonksiyonlarla ifade edilebilmektedir. Sizce bir hayvan popülasyonunda bulunan hayvan sayısının zamana bağlı olarak değişimi ve
çalışan bir insanın zaman bağlı olarak elde edeceği gelir fonksiyonlarla nasıl ifade edilebilir?
10.3.1. FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ
Bu bölümü tamamladığınızda;
1. Bir fonksiyonun grafiğinden, simetri dönüşümleri yardımı ile yeni fonksiyon grafikleri çizebileceksiniz.
f
2. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonlarını kullanarak f + g , f - g , f . g ve g fonksiyonlarını elde edebileceksiniz.
10.3.1.1. Simetri Dönüşümleri ve Fonksiyon Grafikleri
Etkinlik
y
✓✓ Bir dinamik geometri yazılımı kullanarak f ^xh = x 3
y=x3
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
✓✓ Aynı koordinat sistemine g ^xh =
x
0
x 3 - 1 fonksiyonunun
grafiğini de çiziniz.
✓✓ f ^xh = x 3 ile g ^xh = x 3 - 1 fonksiyonlarının grafikleri
y
arasındaki benzer ve farklı olan yönleri belirtiniz.
✓✓ Yukarıda verilen etkinlik basamaklarını f ^xh =
y=x3–1
0
x3
ile
g ^xh = ^x + 1h3 ; f ^xh = x 3 ile g ^xh = 2x 3 ; f ^xh = x 3
ile g ^xh = - x 3 fonksiyonları için tekrarlayınız.
52
1
–1
x
y = f(x) + b Dönüşümü
y = f ^xh fonksiyonun grafiği verilsin.
a) b ! R + olmak üzere y = f ^xh + b fonksiyonunun grafiği, y = f ^xh fonksiyonunun grafiğinin y ek-
seni boyunca pozitif yönde b birim ötelenmiş hâlidir.
b) b ! R + olmak üzere y = f ^xh - b fonksiyonunun grafiği, y = f ^xh fonksiyonunun grafiğinin y ek-
seni boyunca negatif yönde b birim ötelenmiş hâlidir.
n = - 1, 0, 1 için y = x n + 2 fonksiyonlarının grafiklerini çizelim.
n = - 1, 0, 1 için y = x n + 2 fonksiyonların grafikleri, n = - 1, 0, 1 için y = x n fonksiyonlarının grafikleri y ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim ötelenerek elde edilir.
y
y= 1
x +2
–1
y
3
2
1
3
01
–1
y=3
2
y=1
1
x
y
x
0
y=x+2
y=x
0
x
y= 1
x
1
n = - 1 için y = x + 2
n = 0 için y = 1 + 2 = 3
n = 1 için y = x + 2
n = 2, 3 için y = x n - 1 fonksiyonlarının grafiklerini çizelim.
n = 2, 3 için f ^xh = x n - 1 fonksiyonlarının grafikleri, n = 2, 3 için y = x n fonksiyonlarının grafikleri y
ekseni boyunca negatif yönde 1 birim ötelenerek elde edilir.
y
y
y=x
2
y=x3–1
y=x2–1
0
y=x3
0
x
x
–1
–1
n = 2 için y = x 2 - 1
n = 3 için y = x 3 - 1
53
y = f(x – a) Dönüşümü
y = f ^xh fonksiyonunun grafiği verilsin.
a) a ! R + olmak üzere y = f ^x - ah fonksiyonunun grafiği, y = f ^xh fonksiyonunun grafiğinin x ek-
seni boyunca pozitif yönde a birim ötelenmiş hâlidir.
b) a ! R + olmak üzere y = f ^x + ah fonksiyonunun grafiği, y = f ^xh fonksiyonunun grafiğinin x ek-
seni boyunca negatif yönde a birim ötelenmiş hâlidir.
n = - 1, 0 için y = ^x + 2hn fonksiyonlarının grafiklerini çizelim.
n = - 1, 0 için y = ^x + 2hn fonksiyonlarının grafikleri, n = - 1, 0 için y = x n fonksiyonlarının grafik-
leri x ekseni boyunca negatif yönde 2 birim ötelenerek bulunur.
y
–2
y
y= 1
x
1
x
0
y=1
x
0
y= 1
x+2
n = - 1 için y =
n = 0 için y = ^x + 2h0 = 1
1
x+2
n = 1, 2, 3 için y = ^x - 1hn fonksiyonlarının grafiklerini çizelim.
n = 1, 2, 3 için y = ^x - 1hn fonksiyonlarının grafikleri, n = 1, 2, 3 için y = x n fonksiyonlarının grafik-
leri x ekseni boyunca pozitif yönde 1 birim ötelenerek elde edilir.
y
y
y=x–1
0
1
x
y=x2
y
y=(x–1)2
y=(x–1)3
0
1
0
x
1
x
y=x
y=x3
n = 1 için y = x - 1
n = 2 için y = ^x - 1h2
54
n = 3 için y = ^x - 1h3
y
4
y=f(x)
3
Yandaki şekilde y = f ^xh fonksi-
yonunun grafiği verilmiştir. Buna göre
y = f ^x - 1h + 2 fonksiyonunun grafiğini
–5
–3
–1
0 1
6
3
x
çizelim.
–3
–4
y
1 birim
ötelendi
6
2 birim
ötelendi
y=f(x–1)+2
5
Yanda da görüldüğü gibi y = f ^x - 1h + 2
4
3
fonksiyonunun grafiğinin çizilebilmesi için
y = f ^xh fonksiyonunun grafiği, önce y ekseni
boyunca pozitif yönde 2 birim, sonra x ekseni
–5 –4
boyunca pozitif yönde 1 birim ötelenmiştir.
–3 –2 –1
0 1
–1
–2
–3
3
x
4
y=f(x)
y=f(x)+2
–4
y = k.f(x) Dönüşümü
y = f ^xh fonksiyonunun grafiği verilsin.
k > 1, k ! R + olmak üzere y = kf ^xh fonksiyonunun grafiği, y = f ^xh fonksiyonu grafiğinin bir k çar-
panı kadar y ekseni boyunca uzatılmış hâlidir.
k < 1, k ! R + olmak üzere y = kf ^xh fonksiyonunun grafiği, y = f ^xh fonksiyonu grafiğinin bir k çar-
panı kadar y ekseni boyunca sıkıştırılmış hâlidir.
n = - 1, 0, 1 için y = 2x n fonksiyonlarının grafiklerini çizelim.
n = - 1, 0, 1 için y = 2x n fonksiyonlarının grafikleri, n = - 1, 0, 1 için y = x n fonksiyonlarının bazı
özel noktalarda aldıkları değerlerin 2 katı alınarak elde edilir.
55
y
4
y= 1
x
–2
2
1
1
–1 – 2
–1
2
y
y
2
1
2
0
1
2
2
1
y=1
1
x
–2 –1
x
0
–1
4
y=2
y= 2
x
–2
y=2x
y=x
2
1
01 2
–1
–2
x
–4
–4
2
n = - 1 için y = x
n = 0 için y = 2x 0 = 2
n = 1 için y = 2x
n = 2, 3 için y = - x n fonksiyonlarının grafiklerini çizelim.
n = 2, 3 için y = - x n fonksiyonlarının grafikleri, n = 2, 3 için y = x n fonksiyonlarının bazı özel noktalarda aldıkları değerlerin (–1) katı alınarak elde edilir.
y=–x3
y
y=x2
4
–2
–1
2
1
0
1 2
–4
8
y
y=x3
x
–2
1
0 1 2
x
y=–x2
n = 2 için y = - x 2
–8
n = 3 için y = - x 3
y = - f ^xh fonksiyonunun grafiği, y = f ^xh fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriği
alınarak elde edilir.
y = f(kx) Dönüşümü
y = f ^xh fonksiyonunun grafiği verilsin.
k > 1, k ! R + olmak üzere y = f ^kxh fonksiyonunun grafiği, y = f ^xh fonksiyonu grafiğinin bir k çar-
panı kadar x ekseni boyunca sıkıştırılmış hâlidir.
k < 1, k ! R + olmak üzere y = f ^kxh fonksiyonunun grafiği, y = f ^xh fonksiyonu grafiğinin bir k
çarpanı kadar x ekseni boyunca uzatılmış hâlidir.
56
n = - 1, 0, 1 için y = ^3xhn fonksiyonlarının grafiklerini çizelim.
n = - 1, 0, 1 için y = ^3xhn fonksiyonlarının grafikleri, n = - 1, 0, 1 için y = x n fonksiyonlarının bazı
önemli noktalarının 3 n katı alınarak bulunur.
y
y= 1
x
y
y
–1
1
3
–1
3
y=x
3
1
0
–1
3
1
3
1
n = - 1 için y = ^3xh-1 =
–1 1
x
0
–1
y= 1
3x
y=1
1
x
y=3x
01
1
x
–3
n = 0 için y = ^3xh0 = 1
1
3x
n = 1 için y = 3x
n = 2, 3 için y = ^- xhn fonksiyonlarının grafiklerini çizelim.
n = 2, 3 için y = ^- xhn fonksiyonlarının grafikleri, n = 2, 3 için y = x n fonksiyonlarının bazı özel
noktalarda aldıkları değerlerin ^- 1hn katı alınarak bulunur.
y=–x3
y
y=x2
1
–1
0 1
y=x3
y
x
n = 2 için y = ^- xh2 = x 2
–1
0
x
1
–1
n = 3 için y = ^- xh3 = - x 3
y = f ^- xh fonksiyonunun grafiği, y = f ^xh fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriği
alınarak bulunur.
Dinamik matematik/geometri yazılımı kullanarak aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çizelim.
y = f(x) ve y = r(x) fonksiyonların grafiklerini karşılaştıralım.
a) f(x) = x5
b) g(x) = (x – 1)5
c) h(x) = –(x – 1)5
57
ç) r(x) = 2 – (x – 1)5
a) "GeoGebra" programının kurulu olduğu bir bilgisayarda program açılır. Programın perspektifler
penceresinden "Cebir&Grafik" kısmı açılır ve açılan ekranda altta yer alan "Giriş" kısmına f(x) = x5 fonksiyonu yazılır. Bunun için sırasıyla şunlar yapılmalıdır:
• Klavyeden f harfine basınız.
• Parantez oluşturabilmek için bilgisayarın "shift" tuşuna basılı tutarak 8 tuşuna basınız.
• x harfine basınız.
y
• Yanıp sönen imleci, oluşan parantezin dışına çı-
3
• Eşittir (=) işaretini yazabilmek için "shift" tuşuna
2
basılı tutarak 0 tuşuna basınız.
1
0
• x harfine basınız.
• Programda üstlü ifade yazabilmek için "shift" tuşuna basılı tutarak 3 tuşuna basınız ve arkasından yaz-
–4 –3 –2 –1
–1
2
3
4
x
–3
–4
• Son olarak bilgisayarın "enter" tuşuna basınız ve
böylece grafik bölümünde f(x) =
1
–2
mak istediğiniz üst değeri olan 5 tuşuna basınız.
x5
f(x)=x5
4
karabilmek için klavyenin sağ yön tuşuna basınız.
in grafiği program
tarafından yandaki gibi çizilmiş olur.
y
g(x)=(x–1)5
4
3
b) Bir önceki seçenekteki adımları takip ederek
2
bu sefer de g(x) = (x – 1)5 fonksiyonunun grafiğini çi-
1
0
zelim. Yazılım sayesinde çizilen g(x) = (x – 1)5 in grafiği yandaki gibidir. Grafikten de görüldüğü gibi y = g(x)
fonksiyonunun grafiği, y = f(x) fonksiyonunun grafiği-
–4 –3 –2 –1
–1
1
2
3
4
x
–2
nin x-ekseni boyunca pozitif yönde 1 birim ötelenmiş
–3
hâlidir.
–4
h(x)=–(x–1)5
c) Yukarıdaki adımları takip ederek h(x) = –(x – 1)5
in grafiğini çizelim. Yazılım sayesinde çizilen fonksiyonun grafiği yandaki gibi elde edilir. Grafikte de görüldü-
y
4
3
2
1
0
ğü gibi y = h(x) fonksiyonunun grafiği, y = g(x) fonksi-
–4 –3 –2 –1
–1
yonunun grafiğinin x-eksenine göre simetriğinin alınmış
–2
hâlidir.
–3
–4
58
1
2
3
4
x
y
4
ç) Benzer şekilde "GeoGebra" kullanılarak çizilen
3
r(x) = 2 – (x – 1)5 in grafiği yandaki gibidir. Grafikten de
r(x)=2–(x–1)5
2
görüldüğü gibi y = r(x) fonksiyonunun grafiği, y = h(x)
1
0
fonksiyonunun grafiğinin y-ekseni boyunca pozitif yön-
–4 –3 –2 –1
–1
de 2 birim ötelenmiş hâlidir.
1
2
3
4
x
–2
–3
–4
y
f(x)=x5
4
3
2
1
0
–4 –3 –2 –1
–1
1
2
3
4
x
–2
–3
–4
r(x)=2–(x–1)5
–5
y = f(x) ve y = r(x) fonksiyonlarının grafikleri incelendiğinde r(x) = 2 – (x – 1)5 in grafiğinin, f(x) = x5 in
grafiğinin sırasıyla x-ekseni boyunca pozitif yönde 1 birim ötelenmiş, sonra x-eksenine göre simetriği
alınmış ve son olarak da y-ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim ötelenmiş hâli olduğu görülür.
y
y=f(x)
Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre
0
y = 3 + 2f(–x – 2) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
–1
59
1
2
x
y
İlk önce y = f(–x) fonksiyonunun y-eksenine simetriğini
–4 –3 –2 –1
alarak y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilir.
0
x
–1
–2
–3
y=f(–x)
–4
y
Sonra y = f(–x) in grafiği, x-ekseni boyunca pozitif yönde
2 br ötelenerek y = f(–x – 2) nin grafiği çizilir.
–4 –3 –2 –1
0
x
–1
–2
–3
–4
y=f(–x–2)
y
Daha sonra y = f(–x – 2) nin grafiği, 2 çarpanı kadar y ekseni boyunca uzatılarak veya y = f(–x – 2) fonksiyonunun
değerleri 2 ile çarpılarak y = 2f(–x – 2) nin grafiği çizilir.
–4 –3 –2 –1
0
x
–1
–2
–3
–4
y=2f(–x–2)
y
Son olarak y = 2f(–x – 2) nin grafiği, y ekseni boyunca
negatif yönde 1 birim ötelenerek y = 3 + 2f(–x – 2) nin grafiği çizilir.
–4 –3 –2 –1
0
x
–1
–2
–3
–4
60
y=3+2f(–x–2)
y
y=f(x)
2
Yanda y = f ^xh = x 2 - 3x + 2 fonksiyonunun grafiği verilmiş-
tir. Buna göre y = - f ^xh ve y = f ^- xh fonksiyonlarının grafiklerini
–
çizelim.
1
1
4
fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriği alınır.
x
2
y
2
y = - f ^xh fonksiyonunun grafiğini çizebilmek için y = f ^xh
3
2
1
4
1
–
4
y=f(x)
1
2
y=–f(x)
–2
y = f ^- xh fonksiyonunun grafiğini çizebilmek
için y = f ^xh fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre
y
y=f(–x)
x
y=f(x)
2
simetriği alınır.
–2
3
2
–1
–
1
4
1
3
2
2
Çift ve Tek Fonksiyonlar
Etkinlik
✓✓ Bir dinamik geometri yazılımı kullanarak f ^xh = x 2 ve g ^xh = x 4 fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
✓✓ Çizdiğiniz grafiklerin nereye göre simetrik olduklarını belirleyiniz.
✓✓ Dinamik geometri yazılımı yardımıyla h ^xh = x ve k ^xh = x 3 fonksiyonlarının grafiklerini
çiziniz.
✓✓ Çizdiğiniz grafiklerin nereye göre simetrik olduklarını belirleyiniz.
✓✓ Sizce bu fonksiyonların ortak ve farklı olan yönleri nelerdir? Ortak yönü olan fonksiyonların sizce simetri eksenleri veya noktaları nasıl olur? Tartışınız.
f: A $ B , y = f ^xh fonksiyonu verilsin. ∀x ∈ A için,
a) f ^- xh = f ^xh ise f fonksiyonuna çift,
b) f ^- xh = - f ^xh ise f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.
61
x
f, g: R $ R , f ^xh = x 3 + x , g ^xh = x 2 - 1 fonksiyonlarının tek veya çift fonksiyon olup olmadıklarını
gösterelim ve bir dinamik geometri yazılımı yardımıyla bu fonksiyonların grafiklerini çizelim.
Her x ! R için f ^- xh = ^- xh3 + ^- xh = - x 3 - x = - ^x 3 + xh = - f ^xh olduğundan f fonksiyonu tek
fonksiyondur.
Her x ! R için g ^- xh = ^- xh2 - 1 = x 2 - 1 = g ^xh olduğundan g fonksiyonu çift fonksiyondur.
Dinamik geometri yazılımı yardımıyla çizilen y = f ^xh ve y = g ^xh fonksiyonlarının grafikleri aşağı-
daki gibi olur.
y
y
f(x)=x3+x
0
x
g(x)=x2–1
0
–1
1
x
–1
Grafiklerden de görüldüğü üzere f ^xh fonksiyonunun grafiği orijine göre, g ^xh fonksiyonunun grafiği
y eksenine göre simetriktir.
Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre, çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.
Aşağıdaki fonksiyonların tek ya da çift fonksiyon olup olmadıklarını bulalım.
a) f: R $ R , f ^xh = x + 2x 3
b) g: R $ R , g ^xh = 2x 2 + 1
c) h: R $ R , h ^xh = 2x + 3
a) Her x ! R için f ^-xh = ^-xh + 2 ^-xh3
=-x - 2x 3 =-^x + 2x 3h =-f ^xh olduğundan f fonksiyonu tek fonksiyondur.
b) Her x ! R için g ^-xh = 2 ^-xh2 + 1 = 2x 2 + 1 = g ^xh olduğundan g fonksiyonu çift fonksiyondur.
c) Her x ! R için h ^- xh = 2. ^- xh + 3 = - 2x + 3 ise h ^- xh ≠ - h ^xh ve h ^- xh ≠ h ^xh olduğun-
dan h fonksiyonu ne tek ne de çift fonksiyondur.
62
Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların tek ya da çift fonksiyon olup olmadıklarını bulalım.
y
y
y
y=h(x)
2
0
–4
y=f(x)
–1
4
x
–3
0
–2
3
–2
x
–4
0
x
y=g(x)
–3
f fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyon, g fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur. Ancak h fonksiyonunun grafiği ne orijine ne de y
eksenine göre simetrik olmadığından ne tek ne de çift fonksiyondur.
f: R $ R , f ^xh = 3x 2 - 4f ^-xh fonksiyonu çift fonksiyon ise f ^-1h değerini bulalım.
f fonksiyonu çift fonksiyon ise her x ! R için f ^-xh = f ^xh olur.
Buna göre f ^xh = 3x 2 - 4f ^-xh & f ^xh = 3x 2 - 4f ^xh
& 5f ^xh = 3x 2
& f ^xh =
3 2
x
5
3
3
& f ^-1h = ^-1h2 = olur.
5
5
Alıştırmalar
1. Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a) y = - x + 1
b) y = ^x + 1h2 - 2
c) y = ^x - 1h3 + 1
ç) y =
1
+2
x-1
63
2. Yanda y = f ^xh fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre
y
aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
2
a) y = f ^xh + 1
0
b) y = f ^x - 2h
c) y = f ^x + 1h - 3
1
x
y=f(x)
ç) y = - f ^xh
d) y = f ^- xh
e) y = f ^2 - xh + 3
3. Yanda y = f ^xh fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
4
Buna göre aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a) y = f ^x - 2h
–5
b) y =-f ^xh + 1
3
1
0
–2
c) y = f ^-x + 1h - 1
y
2
–1
5
x
ç) y = f ^x - 1h + 2
4. Aşağıda verilen fonksiyonların tek ya da çift fonksiyon olup olmadıklarını bulunuz.
a) f ^xh = x - 3x 3
b) f ^xh = 2x 4 + x 2 - 1
c) f ^xh = x 2 - 2x - 1
ç) f ^xh = x 3 - 1
5. f: R $ R , f ^xh = ^a - 1h x 2 + ^2 - ah x + 5 fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik ise
f ^5h değeri kaçtır?
6. f: R $ R , f ^xh = 4x 3 + 2x + f ^- xh fonksiyonu tek fonksiyon ise f ^2h değerini bulunuz.
64
10.3.1.2. Fonksiyonlarda Dört İşlem
Toplama ve Çıkarma İşlemleri
A 1 R ve B 1 R olmak üzere f, g: A $ B , y = f ^xh ve y = g ^xh fonksiyonları verilsin. Buna
göre f + g ve f – g fonksiyonları aşağıdaki gibi tanımlanır.
^f + gh: A $ B, ^f + gh^xh = f ^xh + g ^xh
^f - gh: A $ B , ^f - gh^xh = f ^xh - g ^xh
f: R $ R , f ^xh = x 2 - x + 2 ve g ^xh = x 2 + 2x - 1 fonksiyonları için ^f + gh^xh ve ^f - gh^xh fonksi-
yonlarını bulalım ve bu fonksiyonların grafiklerini bir dinamik geometri yazılımı kullanarak çizelim.
Dinamik geometri yazılımı kullanarak çizilen y = f ^xh ve y = g ^xh fonksiyonlarının grafikleri aşağı-
daki gibi olur.
y
y
y=f(x)
y=g(x)
2
1
–3
x
0
–2
–1
x
0
–1
Şimdi f + g ve f – g fonksiyonlarının kurallarını bulalım.
^f + gh^xh = f ^xh + g ^xh = ^x 2 - x + 2h + ^x 2 + 2x - 1h = 2x 2 + x + 1
^f - gh^xh = f ^xh - g ^xh = ^x 2 - x + 2h - ^x 2 + 2x - 1h = x 2 - x + 2 - x 2 - 2x + 1
= - 3x + 3
Bu fonksiyonların grafiklerini dinamik geometri yazılımı yardımıyla çizelim ve grafikleri inceleyelim.
y
y
y=(f+g)(x)
3
0
1
0
1
y=(f–g)(x)
x
65
x
Grafiklerden de görüldüğü gibi f ve g fonksiyonlarının grafikleri birer eğri olduğu hâlde (f – g) fonksiyonunun grafiği doğrusaldır.
Çarpma İşlemi
f, g: R $ R , y = f ^xh ve y = g ^xh fonksiyonları verilsin. Buna göre ^f $ gh fonksiyonu aşağıda-
ki gibi tanımlanır.
^f $ gh: R $ R , ^f $ gh^xh = f ^xh $ g ^xh
f: R $ R , f ^xh = x - 2 , g: R $ R , g ^xh = 2x + 1 şeklinde tanımlanmıştır. Buna göre ^f $ gh fonksi-
yonunu bulalım.
^f $ gh^xh = f ^xh $ g ^xh = ^x - 2h^2x + 1h = x $ 2x - 2 $ 2x + x $ 1 - 2 $ 1
= 2x 2 - 4x + x - 2
= 2x 2 - 3x - 2
Bölme İşlemi
f
f, g: R $ R , y = f ^xh ve y = g ^xh fonksiyonları verilsin. Buna göre b g l fonksiyonu aşağıdaki
gibi tanımlanır.
g ^xh = 0 denkleminin kökleri x 1, x 2, ... ise
f ^xh
b gf l: R - " x 1, x 2, ... , $ R , b gf l^xh =
olur.
g ^xh
f
f: R $ R , f ^xh = x 2 - 2x + 2 , g: R $ R , g ^xh = x + 1 ise g fonksiyonunu bulalım.
g ^xh = 0 & x + 1 = 0 & x 1 = - 1 olur. Buna göre
f ^xh
x 2 - 2x + 2
b gf l: R - " -1 , $ R , b gf l^xh =
olarak bulunur.
=
x+1
g ^xh
66
Bir Fonksiyonun Bir Gerçek Sayı ile Çarpımı
f: R $ R , y = f ^xh fonksiyonu ve c ! R verilsin.
^c $ fh: R $ R , ^c $ fh^xh = c $ f ^xh olarak tanımlanır.
f: R $ R , f ^xh = x 2 - 2x - 1 fonksiyonu verilsin. Buna göre ^2fh fonksiyonunu bulalım.
^2fh: R $ R , ^2fh^xh = 2f ^xh = 2 ^x 2 - 2x - 1h = 2x 2 - 4x - 2 olarak bulunur.
Gerçek sayılar üzerinde tanımlı f ^xh = x + 1 ve g ^xh = 3 fonksiyonları için f, g, (f + g), (f – g), (f . g),
b gf l , (3f – g) fonksiyonlarının grafiklerini çizelim.
İstenen fonksiyonların grafiklerini çizebilmek için değerler tablosundan yararlanalım.
^f + gh^xh = f ^xh + g ^xh = x + 1 + 3 = x + 4
^f - gh^xh = f ^xh - g ^xh = x + 1 - 3 = x - 2
^f $ gh^xh = f ^xh $ g ^xh = ^x + 1h $ 3 = 3x + 3
f ^xh
x+1
b gf l^xh =
=
3
g ^xh
^3f - gh^xh = 3f ^xh - g ^xh = 3 ^x + 1h - 3 = 3x + 3 - 3 = 3x
x
–1
0
1
2
f ^xh = x + 1
0
1
2
3
g ^xh = 3
3
3
3
3
^f + gh^xh = x + 4
3
4
5
6
–3
–2
–1
0
0
3
6
9
b gf l^xh = x + 1
3
0
1
3
2
3
1
^3f - gh^xh = 3x
–3
0
3
6
^f - gh^xh = x - 2
^f $ gh^xh = 3x + 3
67
Değerler tablosuna göre istenen grafikler aşağıdadır.
y
y
3
y=f(x)
y
y=g(x)
4
3
1
–1
x
0
0
y
y
3
y=(f–g)(x)
0
1
–1
2
x
–1
–4
x
–1
x
0
y
y=(f.g)(x)
0
y=(f+g)(x)
x
y=( gf )(x)
1
–1
0
x
2
–2
y
y=(3f–g)(x)
3
0 1
x
Alıştırmalar
1. f: R $ R , f ^xh = 2x 2 - 3x + 1, g: R $ R , g ^xh = x - 2 fonksiyonları veriliyor. Buna göre aşağı-
daki fonksiyonların kurallarını bulunuz.
a) ^f + gh^xh
b) ^f - gh^xh
c) ^f $ gh^xh
f
ç) b g l^xh
d) ^2f - 3gh^xh
e) ^f - g 2h^xh
y
2. Yanda y = ^f - gh^xh fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
f ^0h = 4 , f ^- 4h = - 1 ve f ^3h = 2 ise ^f + gh^0h , ^f $ gh^- 4h ve
3f
c 2g m^3h değerlerini bulunuz.
68
y=(f–g)(x)
3
2
–4
0
3
x
1
3. f: R $ R , f ^xh = 2x + 1, g: R $ R , g ^xh = fonksiyonları veriliyor. Buna göre aşağıdaki fonk2
siyonların grafiklerini çiziniz.
a) ^f + gh^xh
b) ^f - gh^xh
c) ^f $ gh^xh
f
ç) b g l^xh
d) ^f + 2gh^xh
e) ^2fh^xh
4. Yanda y = f ^xh ve
y
y = g ^xh fonksiyonlarının grafikleri
2
verilmiştir. Buna göre
f ^0h + g ^1h
+ ^f $ gh^ 0h
^f + gh^2h
y
y=g(x)
y=f(x)
3
1
–2
6
0
2
x
–1
0
1
2
işleminin sonucunu bulunuz.
–3
10.3.2. İKİ FONKSİYONUN BİLEŞKESİ VE BİR FONKSİYONUN TERSİ
Bu bölümü tamamladığınızda;
1. Fonksiyonlarda bileşke işlemini açıklayabileceksiniz.
2. Bir fonksiyonun bileşke işlemine göre tersinin olması için gerekli ve yeterli şartları
belirleyerek verilen bir fonksiyonun tersini bulabileceksiniz.
10.3.2.1. Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi
Etkinlik
Yanda bir çiftçinin ürettiği bir malın toptancıya
gelinceye kadarki maliyetini gösteren bir tablo bulunmaktadır.
Örneğin 2 TL ye ürettiği bir malı çiftçi 4 TL ye
tüccara vermektedir. Tüccar ise 4 TL ye aldığı malı
Çiftçi
Tüccar
Toptancı
2 TL
4 TL
7 TL
4 TL
6 TL
9 TL
5 TL
7 TL ye toptancıya satmaktadır. Toptancıda bulunan bu mal ise marketlere dağıtılarak evlerimize
girmektedir.
✓✓ Tablonun son satırını yukarıda verilen örneğe uygun şekilde doldurunuz.
✓✓ Çiftçi x TL ye ürettiği bir malı tüccara kaç x TL ye satar? Bu durumu f fonksiyonu olarak
adlandırınız.
✓✓ Tüccar x TL ye aldığı malı, toptancıya kaç x TL ye satar? Bu durumu g fonksiyonu olarak
adlandırınız.
69
x
✓✓ Çiftçinin x TL ye ürettiği bir malın toptancıya kaç x TL ye geldiğini bulunuz. Bu durumu h
fonksiyonu olarak adlandırınız.
✓✓ g fonksiyonunda x gördüğünüz yere f(x) fonksiyonunu g(f(x)) yazınız. Yeni fonksiyonu h(x)
fonksiyonu ile karşılaştırınız.
✓✓ Sizce g(f(x)) fonksiyonu nasıl bir fonksiyondur? Tartışınız.
x
f
g
x
2x + 1
5x – 3
Yukarıdaki f ve g makineleri yandaki gibi montaj edilip f makinesi-
f
ne 5 sayısı atılıyor. Buna göre g den çıkacak olan sayıyı bulalım.
g
f makinesi x sayısını 2x + 1 sayısına dönüştürdüğünden 5 sayısı f makinesinden 2 $ 5 + 1 = 11
sayısı olarak çıkacaktır. f ve g makineleri montaj edildiğinden f makinesinden çıkan sayı g makinesine
girecektir.
g makinesi x sayısını 5x – 3 sayısına dönüştürdüğünden 11 sayısı g makinesinden 5 $ 11 - 3 = 52
sayısı olarak çıkacaktır.
Buna göre f ve g nin montaj edilmesiyle elde edilen yeni makineye 5 sayısı atılınca 52 sayısı çıkacaktır.
f: A $ B , y = f ^xh , g: B $ C , z = g ^yh fonksiyonları için,
h: A $ C , h ^xh = z = g ^yh = g ^ f ^ xhh biçiminde tanımlanan fonksiyona g bileşke f fonksiyo-
nu denir ve gof sembolü ile gösterilir. Bileşke işlemi aşağıdaki şema ile gösterilebilir.
f
A
x
g
B
y=f(x)
gof
70
C
z=g(y)=g(f(x))
f, g: R $ R , f ^xh = 3x - 1, g ^xh = 2x + 1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre (fog)(3) değerini bulalım.
I. Yol:
Bileşke işleminin tanımına göre fog(3) = f(g(3)) olur.
Buna göre g ^3h = 2 $ 3 + 1 = 7 olduğundan
^fogh^3h = f ^g ^3hh = f ^7h = 3 $ 7 - 1 = 20 olarak bulunur.
II. Yol:
Bileşke fonksiyonun kuralı bulunur. Buna göre
^fogh^xh = f ^g ^xhh = 3 $ g ^xh - 1 = 3 $ ^2x + 1h - 1 = 6x + 2 olur.
Dolayısıyla ^fogh^3h = 6 $ 3 + 2 = 20 olarak bulunur.
f, g, h: R $ R , f ^xh = 2x - 1, g ^xh = 1 - 3x , h ^xh = 3x + 2 fonksiyonları veriliyor. Buna göre aşağı-
daki fonksiyonları bulalım.
a) (fog)(x)
b) (gof()x)
c) [(fog)oh](x)
ç) [fo(goh)](x)
a) ^fogh^xh = f ^g ^xhh = 2 $ g ^xh - 1 = 2 ^1 - 3xh - 1 = 2 - 6x - 1 = 1 - 6x
b) ^gofh^xh = g ^f ^xhh = 1 - 3 $ f ^xh = 1 - 3 ^2x - 1h = 1 - 6x + 3 = 4 - 6x
c) [^fogh oh] ^xh = ^fog h^h ^x hh = 1 - 6 $ h ^x h = 1 - 6 ^3x + 2h = 1 - 18x - 12 =-18x - 11
ç) ^gohh^xh = g ^h ^xhh = 1 - 3 $ h ^xh = 1 - 3 ^3x + 2h = 1 - 9x - 6 = - 9x - 5
[fo ^gohh] ^xh = f 6^gohh^xh@ = 2 $ ^gohh^xh - 1 = 2 ^ -9x - 5h - 1
= - 18x - 10 - 1 = - 18x - 11
Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliği vardır ancak değişme özelliği yoktur. Yani f,
g ve h fonksiyonları için,
i) ^fogh oh = fo ^gohh (Birleşme özelliği vardır.)
ii) fog ≠ gof (Değişme özelliği yoktur.)
71
fog: R $ R , ^fogh^xh = x 2 - 2x - 3 , f: R $ R , f ^xh = x - 4 ise g ^xh fonksiyonunu bulalım.
^fogh^xh = f ^g ^xhh = g ^xh - 4 olduğundan g ^xh - 4 = x 2 - 2x - 3 ise g ^xh = x 2 - 2x + 1 olarak
elde edilir.
Tanım kümesindeki her elemanı kendisiyle eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir ve genellikle "I" ile gösterilir. Yani A 1 R için,
I: A $ A , I ^xh = x olur.
f: R $ R , f ^xh = ^a - 2h x 2 + ^b + 2h x + c - 3 fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre a.b.c işleminin sonucunu bulalım.
f ^xh = ^a - 2h x 2 + ^b + 2h x + c - 3 birim fonksiyon ise a – 2 = 0, b + 2 = 1, c – 3 = 0 olmalıdır. Buna
göre a = 2, b = –1, c = 3 olup a.b.c = 2. ^-1h .3 =-6 bulunur.
Birim fonksiyon bileşke işlemine göre etkisiz (birim) elemandır. Yani f herhangi bir fonksiyon
olmak üzere
f o I = I o f = f dir.
y
Yanda fog fonksiyonunun grafiği verilmiştir. g(2) = 3 ise f(3) değerini bulalım.
5
0
y=(fog)(x)
2
x
Verilen grafikten fog(2)=5 olduğu görülmektedir.
fog(2) = f(g(2)) = f(3) olduğundan f(3) = 5 olarak bulunur.
f ^xh =
1
x -1
ve g ^xh =
fonksiyonları veriliyor. Buna göre f ^xh fonksiyonunun g ^xh türünden
x -2
2
eşiti nedir?
72
g ^xh =
f ^xh =
x -1
1
& 2g ^xh = x - 1 & x = 2g ^x h + 1 olur. Bu eşitlik f ^xh =
eşitliğinde yerine yazılırsa
2
x -2
1
1
1
=
&f ^xh =
elde edilir.
x - 2 2g ^xh + 1 - 2
2g ^xh - 1
f ^3x - 4h = 6x - 1 ise f ^5h değerini bulalım.
3x - 4 = 5 & 3x = 9
& x = 3 olur.
Buna göre x = 3 için f ^3 $ 3 - 4h = 6 $ 3 - 1 & f ^5h = 17 bulunur.
Alıştırmalar
1. f, g: R $ R , f ^xh =
bulunuz.
2x - 1
, g ^xh = 3x - 2 fonksiyonları veriliyor. Buna göre aşağıdaki değerleri
3
a) (fog)(2)
b) (gof)(1)
d) (foI)(4)
e) (Iog)(3)
c) (fof)(–1)
ç) (gog)(–2)
2. f ve g fonksiyonları için g ^xh = 2x - 5 ve (gof) ^xh = 6x - 7 ise f(x) fonksiyonunun kuralını bulu-
nuz.
6
3. Yanda y = f ^xh fonksiyonunun grafiği verilmektedir. Buna göre
(fofof)(–1) değerini bulunuz.
4. f ^xh =
bulunuz.
y=f(x)
2
–1
0
2
x
x-1
2
ve g ^xh =
fonksiyonları veriliyor. Buna göre f ^xh in g ^xh türünden eşitini
x+2
x-3
5. f ^2x + 1h = 8x + 7 ise f(1), f(3), f(–1) değerlerini bulunuz.
6. f b
y
1
= 2x - 2 ise f(4) değerini bulunuz.
x-1l
73
10.3.2.2. Bir Fonksiyonun Bileşke İşlemine Göre Tersi
f: A $ B , y = f ^xh bire bir ve örten fonksiyonu verilsin.
f -1: B $ A , f -1 ^yh = x fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir.
f
A
B
y
x
f –1
Aşağıdaki fonksiyonların terslerinin kurallarını bulalım.
a) f(x) = 3x – 2
b) g ^xh =
3x + 1
x-2
Bir fonksiyonun tersini bulmak için aşağıdaki adımlar izlenebilir.
1) y = f(x) kuralında x değişkeni yalnız bırakılır.
2) Elde edilen eşitlikte x yerine y, y yerine ise x yazılır.
3) Son eşitlikte y görülen yere f -1 ^xh yazılır.
a) y = f ^xh & y = 3x - 2 & 3x = y + 2 & x =
b) y = g ^xh & y =
y+2
3
x+2
&y=
3
& f -1 ^ x h =
x+2
olur.
3
3x + 1
& xy - 2y = 3x + 1 & xy - 3x = 2y + 1
x-2
2y + 1
& x ^y - 3h = 2y + 1 & x =
y-3
2x + 1
& y =
x-3
2x + 1
& f -1 ^xh =
bulunur.
x-3
y = f(x) fonksiyonu için,
x
f ^xh = ax ise f -1 ^xh = a ,
f ^xh = x + b ise f -1 ^xh = x - b ,
f ^xh = ax + b ise f -1 ^xh =
x-b
a ,
- dx + b
ax + b
f ^xh =
ise f -1 ^xh = cx - a olur.
cx + d
74
f: R $ R , f ^xh = 2x - 3 fonksiyonunun ve tersinin grafiğini çizelim.
f ^xh = 2x - 3 ise f -1 ^xh =
x+3
olur. Buna göre grafikleri çizebilmek için değerler tablosundan
2
yararlanalım.
x
0
1
2
f(x)
–3
–1
1
x
f –1(x)
–3
–1
1
0
1
2
y
y
y=f (x)
1
0
–1
1
2
2
x
–3
–1 0
y=f –1(x)
1
x
1
–3
y
y=f (x)
y=x
y=f –1(x)
2
1
0
Bu grafikleri aynı koordinat sisteminde gösterirsek bu fonksiyonların y = x doğrusuna göre simetrik olduğu görülür.
–3
–1
–1
1
2
x
–3
Bir fonksiyonun tersinin grafiği, o fonksiyonun grafiğinin y = x dogrusuna göre simetriğidir.
y
3
Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre
y = f -1 ^xh fonksiyonunun grafiğini çizelim.
0
1
y=f(x)
75
x
y
y=
f -1
^xh fonksiyonunun grafiğini çizebilmek için önce y = x
doğrusu çizilir. Daha sonra y = f ^xh fonksiyonunun grafiğinin y = x
doğrusuna göre simetriği alınır. Buna göre y =
f -1
da verilmiştir.
f: R - " 2 , $ R - " 1 , , f ^ x h =
f ^xh =
^xh in grafiği yan-
1
0
y=x
1
3
y=f(x)
x
y=f –1(x)
-1
x+3
fonksiyonu veriliyor. (fof -1)^xh ve ^f -1 h ^xh kurallarını bulalım.
x-2
x+3
2x + 3
ise f -1 ^xh =
dir.
x-2
x-1
2x + 3 + 3x - 3
2x + 3
+3
f -1 ^xh + 3
x
1
x -1
=
Buna göre
=
^xh = f _ ^xhi = -1
2x + 3 - 2x + 2
2x + 3
f ^xh - 2
-2
x -1
x -1
5x x - 1
5x
=
$
=
= x = I ^ xh olur.
5
5
x-1
-1
2x + 3
x+3
f -1 ^ x h =
& ^ f -1 h ^ x h =
= f ^xh bulunur.
x-1
x-2
^fof -1h
3
f -1
Bire bir ve örten bir f fonksiyonu için,
a) fof -1 = f -1 of = I ,
-1
b) ^f -1h = f dir.
f ^xh = 3x - 5 ve gof ^xh = 6x - 9 ise g ^xh i bulalım.
g ^xh fonksiyonu,
^gofh of -1 ^xh = go ^fof -1h^xh = goI ^xh = g ^xh işleminden elde edilir.
x+5
olur. Buna göre
f ^xh = 3x - 5 ise f -1 ^xh =
3
g ^xh = ^gofh of -1 ^xh = gof 8f -1 ^xhB = 6 $ f -1 ^xh - 9
x+5
- 9 = 2 ^x + 5h - 9
3
= 6$
= 2x + 10 - 9 = 2x + 1 bulunur.
Bu durumda g ^xh = 2x + 1 olarak elde edilir.
76
f: R $ R , f ^xh = 9x - 2 ise f -1 ^16h nın değerini bulalım.
f ^ah = b , f -1 ^bh = a olduğundan
f -1 ^16h = a olsun. Buna göre f ^ah = 16 olur. Dolayısıyla
9a - 2 = 16 & 9a = 18 & a = 2 bulunur. Yani f -1 ^16h = 2 olarak elde edilir.
f: R - " a , $ R - " b , , f ^ x h =
2x + 3
bire bir ve örten fonksiyonu veriliyor. Buna göre a + b topla4x - 3
mını bulalım.
f fonksiyonu bire bir ve örten fonksiyon olduğundan f fonksiyonunu tanımsız yapan nokta a noktasını, f -1 fonksiyonunu tanımsız yapan nokta ise b noktasını verecektir.
3
3
olduğundan a = tür.
4
4
3x + 3
1
1
1
fonksiyonunu tanımsız yapan nokta 4x - 2 = 0 & x = olduğundan b =
dir.
f ^xh =
4x - 2
2
2
3
1
5
Buna göre a + b = +
= olarak bulunur.
4
2
4
f fonksiyonunu tanımsız yapan nokta 4x - 3 = 0 & x =
^2h
f ^x + 2h = 3x - 4 ve g ^x - 1h = 2x + 1 ise ^fog -1h^5h değerini bulalım.
g -1 ^5h = a diyelim. Buna göre g ^ah = 5 olur. g fonksiyonunda x - 1 = a & x = a + 1 yazalım.
g ^a + 1 - 1h = 2 ^a + 1h + 1 & g ^ah = 2a + 3 olur. 2a + 3 = 5 & a = 1 olur.
^fog -1h^5h = f _ g -1 ^5hi = f ^ah = f ^1h değerini bulalım. f fonksiyonunda x + 2 = 1 & x = - 1 yazalım.
f ^- 1 + 2h = 3 $ ^- 1h - 4 & f ^1h = - 7 olur.
Dolayısıyla fog -1 ^5h = - 7 olarak bulunur.
77
Yanda y = f ^xh = x - 1 ve y = g ^xh fonksiyonlarının grafik-
y=g(x)
leri verilmiştir.
^fogh^2h + ^gof -1h^1h
Buna göre -1
değerini bulalım.
f ^3h + ^f -1 ogh^-1h
y
f(x)=x–1
3
–1 0
–1
1
2
x
–2
Verilen grafiğe göre fonksiyonların aldıkları bazı değerler şunlardır:
g ^- 1h = - 2 , g ^1h = 0 , g ^2h = 3 , f ^1h = 0 , f ^0h = - 1
Bunlarla birlikte f fonksiyonunun kuralı belli olduğundan ^f ^xh = x - 1h f fonksiyonunun her x ! R
için değerini bulabiliriz. Buna göre f -1 ^xh = x + 1 ise
^fogh^2h = f ^g ^2hh = f ^3h = 3 - 1 = 2
^gof -1h^1h = g _ f -1 ^1hi = g ^1 + 1h = g ^2h = 3
f -1 ^ 3 h = 3 + 1 = 4
^f -1 ogh^-1h = f -1 ^g ^-1hh = f -1 ^-2h =-2 + 1 =-1 olur. Dolayısıyla
^fogh^2h + ^gof -1 h^1h
2+3
5
=
= olarak bulunur.
f -1 ^3h + ^f -1 ogh^- 1h 4 + ^- 1 h 3
Alıştırmalar
1. Bire bir olmayan bir fonksiyonun tersinin, fonksiyon olmadığını bir örnekle gösteriniz.
2. Örten olmayan bir fonksiyonun tersinin, fonksiyon olmadığını bir örnekle gösteriniz.
3. Aşağıdaki fonksiyonların terslerini bulunuz.
a) f ^xh = 3x - 6
b) g ^xh =
x-4
2
ç) k ^xh =
x-1
x
2
c) h ^xh =
x-1
d) p ^xh =
2x + 1
1-x
4. f: R $ R , f ^xh = 2x - 3 fonksiyonunun ve tersinin grafiklerini aynı koordinat sisteminde çiziniz.
5. f, g: R $ R , g ^xh = 4x - 1 ve ^gofh^xh = x - 3 ise f -1 ^xh i bulunuz.
78
6. f b
3x - 1
l = 2x - 3 ise f -1 ^1h değerini bulunuz.
2x
x+1
fonksiyonunun tersinin de fonksiyon olabilmesi için f fonksiyonunun tanım ve
7. f ^xh =
2x - 3
değer kümelerini bulunuz.
8. g ^xh = 1 - x 2 , ^fogh^xh = 3x 2 - 5x + 1 ise ^gof -1h^xh fonksiyonunu bulunuz.
y
8
9. Yanda verilen grafiklere göre
y
g -1 ^2h + fog ^ - 3h + g ^ 3h
değerini
g -1 ^0h + f ^- 2h + fog -1 ^4h
bulunuz.
y=g(x)
4
y=f(x)
–3
–3
–1
–2 –1
0
1
3
3
2
0
3
x
x
-1
10. f: R $ R , f ^x + 3h = 4x - 1, g: R $ R , g ^1 - 2xh = 4 - 6x ise ^gof -1 h ^xh i bulunuz.
10.3.3. Fonksiyonlarla İlgili UYGULAMALAR
Bu bölümü tamamladığınızda, iki miktar (nicelik) arasındaki ilişkiyi fonksiyon kavramıyla açıklayıp
problem çözümünde fonksiyonun grafik ve tablo temsilini kullanabileceksiniz.
10.3.3.1. İki Nicelik Arasındaki ilişkinin Fonksiyon Kavramıyla Açıklanması
İçinde bir miktar su bululan havuzun tamamı su ile doldurulmak isteniyor. Başlangıçta suyun yüksekliği 20 cm iken havuz
doldukça zamana bağlı olarak suyun yüksekliğindeki değişim
aşağıdaki tabloda verilmektedir.
Zaman (dk)
0
1
2
3
4
Yükseklik (cm)
20
29
38
47
56
su
Havuzun yüksekliği 200 cm ise yukarıdaki tabloya göre zamana bağlı olarak havuzdaki suyun yüksekliğini veren fonksiyonun kuralını ve havuzun kaç dakikada dolacağını bulalım.
79
t zamanına bağlı olarak havuzdaki suyun yüksekliğini veren fonksiyon h(t) olsun. Soruda verilen
tablo incelendiğinde her bir dakikada suyun 9 cm yükseldiği anlaşılmaktadır. Başlangıçtaki suyun 20 cm
yükseklikte olduğu dikkate alınırsa
h(t) = 20 + 9t olarak fonksiyonun kuralı ifade edilebilir.
Havuzun yüksekliği 200 cm olduğundan 20 + 9t = 200 & 9t = 180 & t = 20 dk olur. Yani havuz
bu şartlarda 20 dakikada dolacaktır.
A, B 1 R olmak üzere f: A $ B , y = f ^xh bir fonksiyon olsun.
a) (a, b) aralığında artan olarak verilen noktaların f altın-
y
f(x2)
daki görüntüleri de artıyorsa f fonksiyonuna (a, b) aralığında
f(x1)
artan fonksiyon denir. Yani x1, x2 ∈ (a, b) için x1 < x2 iken
f(x1) < f(x2) oluyorsa f, (a, b) aralığında artan fonksiyondur.
0
a
x1
x2
b
a
x1
x2
b
x
y
b) (a, b) aralığında artan olarak verilen noktaların f altındaki görüntüleri azalıyorsa f fonksiyonuna (a, b) aralığında
f(x1)
azalan fonksiyon denir. Yani x1, x2 ∈ (a, b) için x1 < x2 iken
f(x2)
f(x1) > f(x2) oluyorsa f, (a, b) aralığında azalan fonksiyondur.
c) (a, b) aralığında her noktanın f altındaki görüntü-
0
f(x1)=f(x2)
x
y
sü eşit ise f fonksiyonuna (a, b) aralığında sabit fonksiyon denir. Yani x1, x2 ∈ (a, b) için f(x1) = f(x2) oluyorsa
f, (a, b) aralığında sabit fonksiyondur.
0
a
x1
x2
x
b
y
2
Yandaki şekilde grafiği verilen f: R $ R ,
y = f ^xh fonksiyonunun grafiğini inceleyelim.
–5
80
–3
–1
1
0
–1
3
7
x
y=f(x)
Verilen grafik incelendiğinde,
[–3, 3] aralığında artan şeklindeki noktaların y = f ^xh altındaki görüntüleri arttığından f fonksiyonu
[–3, 3] aralığında artandır.
(–∞,–3] ve [3, +∞) aralıklarında artan şeklindeki noktaların görüntüleri azaldığından f fonksiyonu
(–∞, –3] ve [3, +∞) aralıklarında azalandır.
Bununla birlikte f fonksiyonun x eksenini ^- 5, 0h , ^- 1, 0h ve ^7, 0h noktalarında keser. f fonksiyo-
nunun y eksenini kestiği nokta ise (0, 1) noktasıdır.
Her x ! ^- 5, - 1h ve her x ! ^7, + ∞ h için f(x) fonksiyonunun negatif,
her x ! ^- ∞, - 5h ve her x ! ^- 1, 7h için f(x) fonksiyonunun pozitif değerler aldığı grafikten görül-
mektedir.
y
Yanda grafiği verilen fonksiyonu inceleyelim.
–1
y=f(x)
2
0
5
x
–1
–2
Grafik incelendiğinde fonksiyonun x eksenini kestiği noktaların (–1, 0) ve (5, 0); y eksenini kestiği
noktanın (0,–1) olduğu görülür.
Verilen fonksiyon (–∞, 2] aralığında azalan; [2, +∞) aralığında artandır.
Bununla birlikte (–∞,–1) ve (5, +∞) aralığına fonksiyon pozitif; (–1, 5) aralığında negatif değerler alır.
Ayrıca y = f(x) fonksiyonu y = –2 değerinden daha küçük bir değer almadığından fonksiyonun
minimum değerinin –2 olduğu görülür. Ancak fonksiyonun maksimum değeri yoktur.
y
6
y=f(x)
4
3
Yandaki şekilde grafiği verilen f: 6-6, 4@ $ R , y = f ^xh
fonksiyonunun grafiğini inceleyelim.
–6 –5
–3
–1 0
1
–4
81
3
4
x
Grafik incelendiğinde fonksiyon 6- 6, - 3@ ve 61, 4@ aralığında azalan; 6- 3, 1@ aralığında artandır.
Verilen fonksiyon y = - 4 değerinden daha küçük ve y = 6 değerinden daha büyük bir değer almadığından fonksiyonun minimum değeri –4 ve maksimum değeri 6 dır.
Ayrıca [–6,–5) ve (–1, 3) aralıklarında fonksiyon pozitif; (–5,–1) ve (3, 4] aralıklarında fonksiyon negatif değerlidir.
Bununla birlikte fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar (–5, 0), (–1, 0) ve (3, 0); y eksenini kestiği
nokta ise (0, 3) noktasıdır.
y
Herhangi bir y = f(x) fonksiyonu verilsin. Fonksiyonun
[a, b] aralığında x e bağlı ortalama değişimi,
f ^bh - f ^ah
oranı ile bulunur.
b-a
y=f(x)
f(b)
[a, b] aralığında f fonksiyonunun ortalama değişim oranı,
^a, f ^ahh ve ^b, f ^bhh noktalarından geçen doğrunun eğimidir.
Bu doğruya kesen doğrusu denir.
Biyologların yaptığı deneyler sonucu bir bakteri türünün uy-
f(a)
0
a
b
\EDNWHULVD\×V×
x
y=f(x)
5100
gun ortamda zamana bağlı olarak sayısındaki artış ile ilgili yandaki y = f(x) grafiği elde edilmiştir. Biyologlar 2. gün 300 olan
bakteri sayısının, 10. gün 5100 olduğunu gözlemlediklerine göre
2 ile 10. günler arası bu bakteri türünün sayısındaki günlük ortalama artışını bulalım.
2 ile 10. günler arasında bakteri türünün ortalama artış hızı
f ^10h = 5100 ve f ^2h = 300 olduğundan
300
0
2
10
x (gün)
f ^10h - f ^2h
oranı ile bulunur.
10 - 2
f ^10h - f ^2h 5100 - 300
4800
=
=
= 600 sayı/gün ola10 - 2
8
8
rak bulunur.
Dolayısıyla 2 ile 10. günler arasında bu bakteri türünün sayısında günde ortalama 600 artış olduğu
görülür.
82
Yerden havaya doğru atılan bir cismin t saniye sonra yerden f ^ t h = - t 2 + 6t metre yükseklikte ola-
cağını düşünelim. Bu durumda
a) İlk 2 saniyede,
b) 1 ile 3. saniyeler arasında cismin yerden yüksekliğindeki ortalama artışını bulalım.
a) Cismin ilk 2 saniyede yerden yüksekliğindeki ortalama artış hızı,
f ^2h - f ^0h ^- 2 2 + 6 $ 2h - 0
- 4 + 12
8
=
=
= = 4 m/sn olur.
2-0
2
2
2
b) Cismin 1 ile 3. saniyeler arasına yerden yüksekliğindeki ortalama artış hızı,
f ^3h - f ^1h ^- 3 2 + 6 $ 3h - ^- 1 2 + 6 $ 1h ^- 9 + 18h - ^- 1 + 6h
=
=
3-1
3-1
2
=
9-5
4
= = 2 m/sn olarak bulunur.
2
2
Alıştırmalar
1. Yanda içinde bir miktar su bulunan kaba doldurulan
suyun miktarına bağlı olarak suyun kapta kaç cm yükseldiğini
gösteren bir tablo bulunmaktadır. Buna göre kaba doldurulan suyun yüksekliğini veren fonksiyonun kuralını bulunuz.
x (litre)
1
2
3
4
h(x) (cm)
3
5
7
9
y
2. Yanda [–6, 4] aralığında tanımlanmış y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre fonksiyonun
3
2
a) Pozitif ve negatif olduğu aralıkları,
–6
b) Artan ve azalan olduğu aralıkları,
–3
–5
–1
–1
2
1
0
1
3
–3
ç) Maksimum ve minimum değerlerini bulunuz.
3. Bir yunusun suyun üzerinde yaptığı zıplama hareketi-
y (metre) yükseklik
nin yandaki grafikte görüldüğü gibi modellendiğini düşünelim.
a) Yunusun 0 ile 5. saniyeler arasındaki yüksekliğindeki
x
y=f(x)
c) Eksenleri kestiği noktaları,
Buna göre
4
5
ortalama artışını bulunuz.
b) Yunusun hareketinin artan ve azalan olduğu aralıkları
bulunuz.
83
0
5
10
x (saniye)
Leonhard Euler (Lenırt Öyler) 1707 ile 1783 yılları arasında
yaşamış olan İsviçreli matematik bilginidir. Euler 18. yüzyılın en
önemli ve tüm zamanların da önde gelen matematikçilerinden biri
olarak kabul edilmektedir.
Euler’in yeni kavram ve yöntemlerle zenginleştirdiği matematik bilimini bütünlüğe kavuşturan çok önemli çalışmaları bulunmaktadır. Euler, kendisinden önceki matematikçilerin çalışmalarını sistemli bir yapıya kavuşturmuştur. Kanıtları bugünün
ölçüleriyle istenilen kesinlikte olmasa da matematiğin birçok dalına yeni yöntem ve kavramlar getiren Euler, bu yöntemleri öbür bi-
Euler'in temsilî resmi
lim dallarına da uygulayarak 18. yüzyıl bilim düşüncesinin boyutlarını çağının ötesine götürmeyi
başarmıştır. Analiz, cebir, geometri, sayılar kuramı, fonksiyonlar, sonsuz seriler, değişimler (varyasyonlar) hesabı gibi matematiğin hemen hemen her alanına katkıda bulunmuş olan Euler, fizik
ve astronomi alanında da değerli çalışmalar yapmış, özellikle matematiksel fiziğin gelişmesini
de büyük ölçüde etkilemiştir. Daha çok sentetik ve geometrik yöntemlere dayanan mekaniğe,
analitik yöntemleri başarıyla uygulamış; katı cisimlerin hareketine, esneklik kuramına, akışkanlar
mekaniğine, manyetizma ve optiğe ilişkin çalışmalarıyla farklı branşların matematiksel temeller
üzerine oturtulmasında önemli bir rol oynamıştır. Euler, bunlara ek olarak astronomide özellikle
gök mekaniğine ağırlık vermiş; gezegenlerin hareketini, karşılıklı çekim etkisinden ileri gelen tedirginlikleri incelemiş; kuyruklu yıldız ve gezegenlerin, özellikle de Ay’ın yörüngesini çok küçük
bir yanılma payıyla hesaplama olanağı veren yöntemin kuramsal temellerini atmıştır.
Euler, 28 yaşında iken birtakım sağlık problemleri yaşamaya başlamıştır. Humma hastalığına yakalanmış ve bu olaydan 5 yıl sonra da Euler’in sağ gözü görmemeye başlamıştır. Daha
sonra yapılan cerrahi müdahaleler ile geçici olarak iyileşme sağlansa da kısa bir süre sonra Euler
yeniden görme kaybı yaşamaya başlamıştır. Euler’in rahatsızlığı uzun yıllar boyunca artarak devam etmiştir. Euler 60’lı yaşlarına geldiğinde yapılan cerrahi bir müdahele sonucunda maalesef
öteki gözünü de kaybetmiş ve görme duyusunu tümüyle yitirmiştir. Görme duyusunu tümüyle yitirmesine karşın, olağanüstü güçlü belleği ve akıldan işlem yapma konusundaki inanılmaz
yeteneği sayesinde Euler, hayatının sonuna kadar çalışmalarını aralıksız olarak sürdürmüştür.
Matematik tarihinde eşine az rastlanır bir üretkenlik örneğiyle yaşamı boyunca 500'ü aşkın kitap
ve makale yayımlayan Euler, eserlerinin neredeyse yarısından fazlasını görme duyusunu tümüyle
yitirdiği ve her şeyi asistanlarına dikte ettirdiği dönemde ortaya koymuştur.
Bu kitap için yazılmıştır.
84
Ünite SONU Ölçme ve Değerlendirme Çalışmaları
1. f: R - " 1 , $ R - " a , , f ^xh =
3x - 1
fonksiyonu bire bir ve örten ise a + b aşağıdakilerden han2x - b
gisidir?
A)
7
2
B) 3
C) 4
5
2
9
E)
2
D)
2. f: R $ R , 2f ^xh = f ^x + 1h ve f ^3h = 6 ise f ^7h kaçtır?
A) 48
B) 96
C) 108
D) 56
E) 72
3. f: R $ R , f ^xh = f ^x - 1h + 3 ve f ^1977h = 1980 ise f ^2003h kaçtır?
A) 2056
B) 2060
C) 2057
D) 2059
E) 2058
4. f: R $ R , f ^xh = x 2 - 2x + 3 ve g: R $ R , g ^xh = 2x 2 + x - 5 ise ^2f - gh^1h değeri aşağıda-
kilerden hangisidir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
85
3x - 1
5. f ^xh =
fonksiyonu sabit fonksiyon ise m kaçtır?
x - 2m
1
A) 4
2
B) 3
1
C) 5
1
D) 6
1
E)
3
2x + 1, x < 1
6. f: R $ R , f ^xh = * x 2 + 1, 1 ≤ x < 3 fonksiyonu veriliyor. Buna göre f ^- 4h + f ^2h + f ^3h topla9 - x, x ≥ 3
mını bulunuz.
A) 2
B) 3
7. f ^xh = 3x + 1 ve g ^xh =
bulunuz.
A)
B)
C)
D)
E)
C) 4
D) 5
E) 6
2x - 1
fonksiyonları veriliyor. Buna göre f ^xh in, g ^xh cinsinden eşitini
x
g ^xh - 5
g ^xh + 2
5 - g ^xh
g ^xh - 2
g ^xh - 2
g ^xh - 5
g ^xh - 5
g ^xh - 2
2 + g ^xh
g ^xh - 5
8. f ^xh + f ^2 - xh = 3x 2 - x + 1 ise f(1) kaçtır?
3
A) 1
B) 2
C) 2
D) 4
E)
5
2
9. f ^xh = 3x - 1 ve g ^xh = 2x + 1 ise ^fogh^3h değerini bulunuz.
A) 16
B) 18
C) 20
D) 23
E) 26
2x + 1
10. ^fogh^xh =
ve g ^xh = x - 3 ise f ^- 1h değeri nedir?
x -1
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
86
E) 9
y
11.Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre y = f ^- xh + 1
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
C)
y
0
0
1
1
–1
x
–3
y
4
1
–1
0
x
–4
E)
y
0
–1
x
D)
x
0
y
4
1
3
–1
B)
y
y=f(x)
3
x
1
0
x
12.f fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir. Buna göre 2f ^xh = f ^- xh + x 2 - 3 ise f ^5h
kaçtır?
A) 19
B) 20
C) 21
13.f tek fonksiyon ve 3f ^xh = x - f ^- xh ise f ^4h kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 22
E) 23
D) 4
E) 5
y
14.Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmektedir. Buna göre
f fonksiyonunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?
y=f(x)
50
30
20
A) [0, 4]
B) [7, 8]
0
C) [5, 7]
D) [5, 8]
E) [4, 5]
87
4 5
7 8
x
15. A = " 0, 1, 2, 3 , olmak üzere f: A $ B , f ^xh = 3x - 4 , g: B $ C , g ^xh = 2x + 1 dir. B = f(A) ve
C = g(B) ise C kümesinin elemanlarının toplamı nedir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
y
y=f(x)
3
16.Yanda y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
Buna göre g 62 - ^gofh^0h@ değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B) –1
–2
C) –2
2
1
0
D) 1
1
3
x
y=g(x)
E) 3
17.Bir bakteri türünün uygun şartlarda günde ikiye bölünerek çoğaldığı gözlemlenmiştir. 1. gün
ortamda bulunan bakteri sayısının 1 olduğu düşünülürse 3 ve 5. günler arasında bu bakteri türünün
sayısındaki günlük ortalama artışı kaçtır?
A) 11
B) 10
C) 9
4x - 2
2x - 4
11
ise f -1 b l kaçtır?
=
3x + 1 l
x+1
2
8
9
7
A) B) C) 5
5
5
D) 8
E) 6
D) 1
E)
18. f b
6
5
19. f ^xh = ^x - 1h2 + 2 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
3
–1
y
3
4
2
0
C)
y
x
–1
D)
2
0
0
0
E)
y
2
x
1
x
y
3
3
x
1
–3
–1
0
x
20. f ^xh = ^a - 1h x 2 + ^b + 2h x + c + 1 fonksiyonu, birim fonksiyon ise a + b + c toplamı nedir?
A) 2
B) –2
C) 1
88
D) 0
E) –1
Download

sayılar ve cebir