İÇİNDEKİLER
TÜREV KAVRAMI
Üstel Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Türev Tanımı / Türevin Grafik Yorumu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Logaritmik Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Türevi Limitle Tanımlama.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Logaritmik Düzenleme ve
Türev'in "h" Limitle Gösterimi – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Logaritma Yardımıyla Türev Alma.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Türev'in "h" Limitle Gösterimi – 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Bileşke Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Sağdan-Soldan Türev / Türev Süreklilik İlişkisi.. . . . . . . . . 5
Ters Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Türevin Varlığı / Türevin Grafikte Varlığı.. . . . . . . . . . . . . . . . 6
Uygulama Zamanı-4.......................................... 43
Uygulama Zamanı – 1......................................... 7
DİFERANSİYEL TÜREVLER
TÜREV ALMA KURALLARI
n
Sabit Fonksiyon Türevi / f(x) = kx Türevi. . . . . . . . . . . . . . . 9
Negatif ve Rasyonel Kuvvetlerde Türev.. . . . . . . . . . . . . . . 10
Toplamın ve Farkın Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Çarpımın Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Bölümün Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Kuvvet Fonksiyonunun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Köklü Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Diferansiyel Kavramı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Zincir Kuralı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Kapalı Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Parametrik Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
İkinci Türevler:
Parametrik Fonksiyonda / Kapalı Fonksiyonda.. . . . . . . . 48
Yüksek Mertebeden (Ardışık) Türevler.. . . . . . . . . . . . . . . . 49
Uygulama Zamanı-5.......................................... 50
Uygulama Zamanı – 2....................................... 16
Tekrar Zamanı
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.......................................... 51
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.......................................... 18
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.......................................... 53
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.......................................... 20
ÖZEL FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ
Parçalı Tanımlı Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Sinüs Fonksiyonunun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
TÜREV UYGULAMALARI
0
0
ve
∞
∞
Belirsizliklerinde L'Hospital.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
0 · ∞ ve ∞ – ∞ Belirsizliği.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Logaritma Yardımıyla Limit: 00, ∞0 ve 1∞ Belirsizlikleri.. . . . . . 59
Cosinüs Fonksiyonunun Türevi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Uygulama Zamanı-6.......................................... 60
Tanjant Fonksiyonunun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Türevin Fiziksel Yorumu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Cotanjant Fonksiyonunun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Türevin Polinom Yorumu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Arcsing(x) in Türevi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Polinomun Katlı Kökleri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Arccosg(x) in Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Uygulama Zamanı-7.......................................... 65
Arctang(x) in Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Tekrar Zamanı
Arccotg(x) in Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.......................................... 66
Uygulama Zamanı-3.......................................... 34
Tekrar Zamanı
KONU TESTLERİ.............................................. 69
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.......................................... 35
SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ.......................... 109
Türev Tanımı / Türevin Grafik Yorumu
(Türev Tanımı)
Konu Özeti
”” Gösterimi: f(x) fonksiyonun x = a noktasındaki türevi
y
y = f(x)
f(a)
d f (x)
dır.
dx x = a
(a, f(a))
t
a
0
”” f(x) fonksiyonunun bütün noktalarındaki türev fonksiyonu f'(x) veya
(Türevin Grafik Yorumu)
Konu Özeti
”” Bir fonksiyonun herhangi bir noktasından çizilen teğetinin eğimi(*), fonksiyonun o noktasındaki türevidir.
f'(a) ya da
TÜREV KAVRAMI
(Grafikte Türev)
ÖRNEK
y = f(x)
y
(Türev-Teğet İlişkisi)
d
4
y = f(x) fonksiyonunun üzerindeki apsisi 2 olan noktadan çizilen teğetin eğimini belirtiniz.
ÇÖZÜM
f'(a) = mt
Türev-teğet ilişkileri "TÜREV 2" fasikülünde
ayrıntılı irdelenecektir.
d f (x)
ile gösterilir.
dx
Türev fonksiyonu, teğet denklemi değildir,
teğetin eğimini veren fonksiyondur.
ÖRNEK
x
y = f(x) fonksiyonunun x = a
apsisli noktasındaki teğeti
olan t doğrusunun eğimi f'(a)
dır.
Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan
çizilen teğetin eğimi fonksiyonun o noktadaki türevidir.
y = f(x) in teğet eğimlerini veren türev fonksiyonu f'(x)
d f (x)
dir ve x = 2 apsisli noktasındaki teğetin
dx
d f (x)
eğimi, f'(2) veya
dir.
dx x = 2
veya
Aşağıdaki soruları cevaplandırınız.
T(3, 4)
Yandaki grafikte, f(x)
fonksiyonu d doğrusuna T
noktasında teğettir. Buna
d f (x)
ün
dx x = 3
göre
0
(1, 0)
x
3
değerini bulunuz.
ÇÖZÜM Fonksiyonun herhangi bir noktasındaki
teğetinin eğimi o noktasındaki türevidir.
4-0 4
= =2
md =
3-1 2
d doğrusu T noktasında y= f(x) fonksiyonuna teğet ve
eğimi 2 olduğuna göre
d f (x)
= f'(3) = 2 dir.
dx x = 3
Aşağıdaki soruları cevaplandırınız.
1. y = f(x) fonksiyonunun teğetlerinin eğimini veren fonksiyon nedir?
1.
y = f(x)
Şekilde d doğrusu
y = f(x) fonksiyonuna T
noktasında teğettir.
y
d
2
135˚
0 1
d f (x)
2.
in değeri y = f(x) fonksiyonun hangi noktadx x = 5
Verilenlere göre f'(1) in
x değeri kaçtır?
sındaki teğetinin eğimidir?
2.
3. y = f(x) fonksiyonu y = 5x – 1 doğrusuna ordinatı
14 olan noktada teğet olduğuna göre f'(3) ün değeri
kaçtır?
1) f'(x) veya
d f (x)
dx
2) (5, f(5))
3) 5
(*) Bir doğrunun eğimi x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantıdır. Yani eğim = m = tan a
y
P
2
–2
0
3
1) –1
Şekilde t doğrusu
y = f(x) fonksiyonut
na P noktasında
y = f(x) teğettir.
Verilenlere göre f'(3)
kaça eşittir?
x
2)
2
5
1
Türevi Limitle Tanımlama
TÜREV KAVRAMI
”” Türev limitle tanımlanırken, teğet değme noktasından fonksiyona çizilen kirişlerin, teğete yakınsamasından faydalanılır.
”” f: [a, b] → R ve x0 ∈ (a, b) olmak üzere y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türevi;
y
f(x0)
\

Teğet
f(x)
ş
Kiri
x – x0
0 x0
x
f: R → R, f(x) = 2x + 3 fonksiyonunun x = 3 teki türevini
limit yardımıyla bulunuz.
ÇÖZÜM
H ?
f (x) - f (3)
lim 2x + 3 - 9
x = 3 için f' (3) = xlim
=
"3
x"3
x-3
x-3
3
x
lim
x"3
lim
x"3
f (x) - f (4)
x-4
x"4
e) lim
b) lim
x"3
2 ^f (x) - f (3) h
f (x) - f (3)
= 2 · x lim
"3
x-3
1 4 4 44 2x4-4344 3
f'(3)
3. f : R → R , f(x) = x2 + 3x + 4 olduğuna göre
lim
x"1
5 f (x) - 5 f (3)
x-3
f ( x) - f (4)
x"4
2
4 ^f (x) - f (3) h
4 f (x) - 4 f (3)
= xlim
"3
2x - 6
2 ^x - 3h
= 2 · f'(3) bulunur.
1. Aşağıdaki verilen limitleri türev ile ifade ediniz.
d) lim
4 f (x) - 4 f (3)
limitinin eşitini bulunuz.
2x - 6
ÇÖZÜM
0
Limitte x yerine x0 yazıldığında oluşan
0
belirsizliğine göre limit değeri bulunur.
f (x) - f (2)
x-2
(Türevin Katsayılı Limit Tanımı)
f: R → R, xlim
"
Kirişlerin teğete yakınsaması
x"2
f (x) - f (1)
limitinin eşiti kaçtır?
x-1
4. f : R → R , f(x) = 3 + 2x2 olduğuna göre
x2 - 16
2 f (x) - 2 f (3)
limitinin eşiti kaçtır?
x-3
x"3
lim
f (x) - f (–1)
x+1
x " –1
c) lim
f) lim
x"2
f2 (x) - f2 (2)
x2 - 4
5. R de türevlenebilir f fonksiyonu için
2. f : R → R , f(x) = 3x + 2 fonksiyonu için f'(2) nin değeri
kaçtır?
2
1. soru: a) f'(2)
b) f'(4)
c) f'(–1)
d) 5 ·f'(3)
e)
1
f ' ( 4)
8
f)
f (2) f' (2)
2
f (3)
2 ^x - 3h
2x - 6
= xlim
= lim 2 = 2
= xlim
" 3 x-3
" 3 ^x - 3h
x"3
ÖRNEK
6 44 7 44 8
f (x) - f (x0)
lim
f ' ( x 0) = x " x
dır.
x - x0
0
1 44444 2 4 444
43
a) lim
f (x)
O halde, f'(3) = 2 dir.
y = f(x)
f(x) – f(x0)
Kirişlerin eğimi
(Türevin Limit Tanımı)
ÖRNEK
Konu Özeti
2) 3
f(3) = 1 ve f'(3) = 81 olduğuna göre
lim
x"3
f2 (x) - f2 (3)
x3 - 27
3) 5
ifadesinin eşiti kaçtır?
4) 24
5) 6
Türev'in "h" Limitle Gösterimi - 1
TÜREV KAVRAMI
ÖRNEK
Konu Özeti
”” f' (x) = x lim
" x0
f (x) - f (x0)
ifadesinde h = x − x0 değişken
x - x0
ÇÖZÜM Fonksiyonun "h" li türev tanımında f(x) = x²
fonksiyonu kullanıldığında
f (x + h) - f (x)
(x + h) 2 - x2
f' (x) = lim
( lim
h
h
h"0
h"0
değiştirmesi uygulanarak
f' (x0) = lim
f (x0 + h) - f (x0)
h
h"0
türevin "h"li limitle gösterimi elde edilir.
”” Fonksiyonun her noktasındaki türev fonksiyonu
h"0
ch
b) lim
c) lim
h"0
f (2 + h) - f (2)
h
f (4 + 2h) - f (4)
h
h"0
& f' (x) = lim ^2x + hh
h"0
ÖRNEK
(Türev'in Katsayısı)
f: R → R, lim
h"0
f (x - 3h) - f (x + 7h)
limitinin sonucunu
5h
ÇÖZÜM
lim
h"0
f (–2 + 3h) - f (–2 + h)
d) lim
h
h"0
e) lim
h"0
f (x - 3h) - f (x + 7h) - 3 - 7
=
· f ' ( x) = - 2 · f ' ( x )
5
5h
3. f : R → R , f(x) = x2 + 3x + 1 olduğuna göre
1. Aşağıdaki verilen limitleri türev ile ifade ediniz.
h
türevle ifade ediniz.
a-b
=
· f' (x0) dır.
c
L'Hospital kuralı uygulanarak da katsayı
belirlenebilir.
f (1 + h) - f (1)
a) lim
h
h"0
h · ^2x + hh
h yerine 0 yazıldığında; f'(x) = 2x elde edilir.
”” Katsayı Belirleme: Türevin başındaki katsayıyı bulmak için fonksiyon içindeki "h" lerin katsayıları farkı
paya, paydadaki "h" nin katsayısı paydaya yazılır.
lim
h
h"0
O halde, f' (x) = lim
f (x + h) - f (x)
dır.
f' (x) = lim
h
h"0
h"0
x2 + 2xh + h2 - x2
2xh + h2
= lim
h
"
h
0
0
Bu aşamada h yerine sıfır yazıldığında
belirsizliği
0
geldiğinden sadeleştirme yapmalıyız.
( f' (x) = lim
"h" li limit ile türevi ifade ederken h her zaman
sıfıra yaklaşmalıdır.
f (x0 + ah) - f (x0 + bh)
(Türev Fonksiyonu)
f: R → R, f(x) = x2 fonksiyonunun türevini "h" li limit
yardımıyla bulunuz.
f (3 - 2h) - f (3 + 6h)
2h
f (2 + h) - f (2 - h)
limitinin eşiti kaçtır?
h
h"0
lim
4. f: R → R, f(x) = 2 (x + 2)2 olduğuna göre
f ( 1 + h) - f ( 1)
limitinin eşiti kaçtır?
lim
h
h"0
f2 (1 + h) - f2 (1)
h
h"0
f) lim
5. f: R → R, f(x) = x2 + 3x fonksiyonunun türev fonksiyonu f'(x) nedir?
2. f : R → R , f(x) = 2x + 5 olduğuna göre
f ( 3 + h) - f ( 3)
limitinin eşiti kaçtır?
h
h"0
lim
1. soru: a) f'(1)
b) f'(2)
c) 2 · f'(4)
d) 2 ·f'(–2)
e) –4 · f'(3)
f) 2 · f(1) f'(1)
2) 2
3) 14
4) 12
5) 2x + 3
3
Türev'in "h" Limitle Gösterimi - 2
TÜREV KAVRAMI
ÖRNEK
Konu Özeti
”” İki farklı değişkenin toplamını tanımlayan fonksiyonda türevin "h" limitle gösteriminden faydalanılarak çözüme gidilir. Örnekle açıklayalım.
Tüm reel sayılarda türevli bir f fonksiyonu için
f (h)
f(x + y) = f(x) + f(y) + xy ve lim
= 6 olduğuna göre
h"0 h
f'(1) kaçtır?
ÇÖZÜM
nu için, f'(2) = 4 olduğuna göre
lim
f(1 + h) = f(1) + f(h) + h ifadesini yukarıdaki limit ifadesinde yerine yazalım.
f (1) + f (h) + h - f (1)
h
h"0
ÇÖZÜM
f (2 + 3h) - f (2 - h)
ifadesindeki "h" lerin katsayılarıh
h"0
lim
f (2 + 3h) - f (2 - 2h) 3 - ^–2h
=
· f' (2)
1
1· h
h"0
lim
= 5 · f' (2) = 20 bulunur.
:
4
h
f (h)
& f' (1) = lim
+ lim = 7 bulunur.
h"0 h
h"0h
> =
6
f (2 + 3h) - f (2 - 2h)
kaçtır?
h
nı kullanırsak
f ( 1 + h) - f ( 1)
dir.
h
h"0
f'(1) = lim
f'(1) = lim
f: R → R tanımlı ve her noktada türevli y = f(x) fonksiyo-
h"0
ÖRNEK
(h Limitle Türev Katsayısı)
1
f: R → R tanımlı ve her noktada türevli y = f(x) fonksiyonu
için f'(3) = 3 tür.
Buna göre aşağıdaki limitlerin eşitini bulunuz.
f (3 + 2h) - f (3 + h)
=
1. lim
h
h"0
4. Tüm reel sayılarda türevli bir f fonksiyonu için
f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy ve lim
h"0
f (h)
= 4 olduğuna göre
h
f'(2) kaçtır?
5. Tüm reel sayılarda türevli bir f fonksiyonu için
f(x + y) = f(x) + f(y) – 4xy
f (3 + 4h) - f (3 + 2h)
=
h
h"0
2. lim
f (h)
kaçtır?
h"0 h
f'(2) = 5 olduğununa göre lim
6. R de tanımlı ve türevli bir f fonksiyonu için
f (3 - 5h) - f (3 - h)
=
3. lim
2h
h"0
f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy ve lim
h"0
f'(x) fonksiyonu nedir?
1) 3
4
2) 6
3) –6
4) 10
5) 13
f (h)
= 3 olduğuna göre
h
6) 2x + 3
Sağdan-Soldan Türev / Türev Süreklilik İlişkisi
(Sağdan-Soldan Türev)
Konu Özeti
f (x) - f (x0)
x - x0
x " x0
(Türev-Süreklilik İlişkisi)
Konu Özeti
”” f: [a, b] → R ve x0 ∈ (a, b) olmak üzere,
f (x) - f (x0)
vv Sağdan türev: f' (x+0 ) = lim
+
x - x0
x " x0
vv Soldan türev: f' (x-0 ) = lim-
TÜREV KAVRAMI
”” Sağdan ve soldan türevler var ve eşit ise fonksiyonun
o noktada türevi vardır.
vv f' (x+0 ) = f' (x-0 ) = f' (x0) türev vardır.
”” f: [a, b] → R ve x0 ∈ (a, b) olmak üzere,
vv f → TÜREVLİ ise f → SÜREKLİ dir.
vv f → SÜREKSİZ ise f → TÜREVSİZ dir.
vv f → SÜREKLİ ise f → TÜREVLİ OLMAYABİLİR!
Çünkü sürekli olunan noktada kırılma (sivri nokta) var
ise sağ-sol türev eşit olamayacağı için türev yoktur.
Süreklilik: lim+f (x) = lim-f (x) = f (x0) olduğunu
x " x0
x " x0
hatırlayınız.
4 DİKKAT
EDİNİZ!
vv f' (x+0 ) ! f' (x-0 ) & f' (x0) türev yoktur.
ÖRNEK
ÖRNEK
f: R → R , f(x) = |x – 1| fonksiyonunun x = 1 noktasında
f: R → R, f(x) = |x| fonksiyonu için aşağıdakileri bulunuz.
a) f'(0+)
b) f'(0–)
c) f'(0)
a) Sürekliliğini tespit ediniz.
b) Türevinin olup olmadığını belirleyiniz.
y
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
x , x H 0 iken
olduğuna göre,
f ( x) = x = '
- x , x 1 0 iken
? @
x - 0
f (x)
a) f' (0+) = lim
x-0
x " 0+
? @
x - 0
f (x)
b) f'(0 ) = lim-
x"0
f (0)
= lim
x " 0+
f (0)
x-0
= limx"0
x
x
x
x
0
1
= lim
x
x " 0+ x
1
= lim 1 = 1
x " 0+
= limx"0
x
1
2x ,
3x ,
x
a) Grafikten de görüleceği üzere
x"1
x " 1+
= lim (–1) = –1
x " 0+
c) f' (0+) ! f' (0-) olduğu için f'(0) yoktur.
1. f: R → R , f (x) = '
1
lim f (x) = lim-f (x) = f (1) = 0 yani x = 1 de süreklidir.
1
-x
y = |x – 1|
x - 1, x H 1
f ( x) = x - 1 = '
1 - x, x < 1
x<2
fonksiyonu veriliyor.
xH2
b) Grafikte x = 1 kırılma noktası olduğu için bu noktada
birden fazla teğet çizilebilir. Yani,
f'(1+) ≠ f'(1–) olduğu için f'(1) yoktur.
y
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun
y = f(x) grafiği verilmiştir.
Buna göre f'(2+) ve f'(2–) nin değeri kaçtır?
0
Buna göre aşağıdaki soruları
cevaplayınız.
1 2
5
x
–3
2. f: R → R , f (x) = '
2x - 1 ,
4x
,
x<1
fonksiyonu veriliyor.
xH1
1. f'(2+) ifadesinin eşiti nedir?
Buna göre f'(1+), f'(1–) ve f'(1) in değeri kaçtır?
2. f'(2–) ifadesinin eşiti nedir?
3. f'(2) ifadesinin eşiti nedir?
1) f'(2+) = 3 , f'(2–) = 2
2) f'(1+) = 4 , f'(1–) = 2 ve f'(1) yoktur.
1) 1
2) –3
3) Yoktur
5
ÖZEL FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ
Konu Özeti
(Logaritmik Düzenlemelerden Faydalanma)
n
vv log m (bn) =
logab
m
a
1442443
”” Logaritma kuralları yardımıyla fonksiyon türevi kolay
alınabilecek hale dönüştürülebilir. Bu kuralları hatırlayalım,
vv loga (b·c) = loga b + loga c
b
vv loga c m = loga b - loga c
c
Cevaplar logaritmik
olarak düzenlenmiş
verilebilir.
DİKKAT EDİNİZ!
Konu Özeti
( 6g (x)@h (x) ifadelerinde Logaritmik Yardım)
”” Üstel ifadenin hem tabanı hem küvveti fonksiyon ise
kuvvetteki fonksiyon logoritma (ln–) yardımıyla düşürülür.
f (x) = 6g (x)@h (x) & ln f (x) = ln 6g (x)@ h (x) &
ln 6f (x)@ = h (x) · ln 6g (x)@ (Her iki tarafın türevi alınırsa)
g' (x)
f ' (x )
= h' (x) · ln 6g (x)@ + h (x) ·
&
f ( x)
g ( x)
f' (x) =123
f (x) >h' (x) · lng (x) + h (x) ·
↓
ÖRNEK
g' (x)
H bulunur.
g ( x)
h(x)
[g(x)]
x-1
ise f'(x) fonksiyonunu bulunuz.
x+1
f(x) = ln
Logaritmik Düzenleme ve Logaritma Yardımıyla Türev Alma
Fonsiyonu logaritma kurallarıyla düzenle-
ÇÖZÜM
yelim,
ÖRNEK
f(x) = xx ise f'(x) fonksiyonunu bulunuz.
ÇÖZÜM
1
2
x-1
x-1
1
m = 6ln (x - 1) - ln (x + 1)@
= ln c
x+1
x+1
2
f (x) = ln
dir.
1 1
1
O halde, f'(x) = ;
E bulunur.
2 x-1 x+1
Her iki tarafın türevi alınırsa,
f ' ( x)
1
= 1· ln x + x · & f' (x) = f (x) · (ln x + 1) = xx (ln x + 1)
f ( x)
9
x
x
x
Tanımlı olduğu aralıklarda aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
1. f(x) = ln
f(x) = xx ⇒ lnf(x) = lnxx ⇒ lnf(x) = xlnx
Tanımlı olduğu aralıklarda aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
1. f(x) = xx + 1 olduğuna göre f'(x) = ?
x
olduğuna göre f'(x) = ?
x+2
2. f(x) = xsin 2x olduğuna göre f'(x) = ?
2. f (x) = ln f
x2 · sin x
x
p olduğuna göre f'(x) = ?
3. f(x) = xlnx olduğuna göre f'(e) = ?
3. f (x) =
1)
40
1
1
olduğuna göre f' c m = ?
12
log3 x e2
1 1
1
; E
2 x x+2
2)
2
1
+ cot x–
x
2x
π
4. f(x) = (sin x)x olduğuna göre f' c m = ?
2
3) 2
1) xx + 1 c ln x +
x+1
m
x
2) xsin 2x c 2 cos 2x · ln x +
sin 2x
m
x
3) 2
4) 0
Bileşke Fonksiyonun Türevi
ÖZEL FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ
ÖRNEK
Konu Özeti
”” Bileşke fonksiyonların türevi alınırken, birleşke fonksiyon tespit edilir ve oluşan fonksiyonun türevi alınır.
”” Bileşke fonksiyonu tespit etmenin zor olduğu durumlarda aşağıdaki bağıntı kullanılır.
(fog)'(x) = 6f ^g (x) h@ ' = f' ^g (x) h · g' (x)
ÖRNEK
(Bileşke Fonksiyonlu Türev)
(Nokta Türev)
g(1) = 2, f'(2) = 4 ve g'(1) = 3 olduğuna göre
(fog)'(1) in değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
(fog)'(x) = f'(g(x)) · g'(x) bileşke türev bağın-
tısına göre
(fog) ' (1) = f' (g (1)) · g' (1) = f' (2) · 3 = 4 · 3 = 12 bulunur.
> ; :
2
ÖRNEK
3
4
(f(g(x)) = h(x) İfadelerinin Türevi)
2
f(x) = x + 3x ve g(x) = sin x olduğuna göre
y = (fog)(x) bileşke fonsiyonunun türevini bulunuz.
ÇÖZÜM
Bileşke fonksiyonu tespit edip türevini alalım
y = (fog)(x) = f (g (x)) = f (sin x) = sin2 x + 3 sin x dir.
=
sinx
2
y' = (fog)'(x) = (sin x) ' + (3 sin x) ' = 2 sin x· cos x + 3 cos x
2
II. Yol: f(x) = x + 3x ⇒ f'(x) = 2x + 3,
ÇÖZÜM
f(x2 + x) = x3 ifadesinde her iki tarafın türevi alınırsa,
(2x + 1) f'(x2 + x) = 3x2
123 123
için türevi
g(x) = sin x ⇒ g'(x) = cos x olduğuna göre
y = (fog)(x) = f(g(x)) ise y' = (fog)'(x) = f' (g (x)) · g' (x)
= ;
cos x
sin x
= (2 sin x + 3) · cos x = 2 sin x · cos x + 3 cos x bulunur.
1 44 2 44 3 <
f'^g (x)h
f: R+ → R, f(x2 + x) = x3 olduğuna göre, f'(2) nin değerini
bulunuz.
g'(x)
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
(x2 + x = 2 ⇒ x2 + x – 2 = 0 ⇒
2
(x + 2)(x – 1) = 0, x = –2 veya x = 1 dir. Tanım kümesi
R+ olduğu için x = 1 kullanılır)
O halde, x = 1 ⇒ (2 · 1 + 1) · f'(12 + 1) = 3 · 12 ⇒
3 · f'(2) = 3 ⇒ f'(2) = 1 bulunur.
4. f(2x + 1) = 3x2 – 4x + 1 olduğuna göre f'(3) + f(–3)
değeri kaçtır?
1. f(x) = x + 1 ve g(x) = 2x + 5 olduğuna göre (fog)'(x)
nedir?
5. f: R+ → R, f(x2 + 4) + f(2x + 3) = x3 – 2x + 1 olduğuna
göre f'(5) kaçtır?
3
2. f(x) = x – 2x ve g(x) = x + 1 olduğuna göre (gof)'(x)
nedir?
6. f: R+ → R, f(x2 + g(x)) = g2(x) · x iken,
3. f(2) = 4, f'(2) = 2 ve g'(4) = 3 olduğuna göre (gof)'(2)
ifadesinin eşiti nedir?
1) 2
2) 3x2 – 2
3) 6
g(1) = 2 ve g'(1) = 0 ise f'(3) ün değeri kaçtır?
4) 22
5)
1
4
6) 2
41
Ters Fonksiyonun Türevi
ÖZEL FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ
”” Ters fonksiyonların türevi alınırken, ters fonksiyon
tespit edilir ve oluşan fonksiyonun türevi alınır.
”” Ters fonksiyonu tespit etmenin zor olduğu durumlarda bileşke fonksiyonun türevinden faydalanılır.
vv f: A → B, y = f(x) birebir örten (tersi alınabilir)
fonksiyon olsun,
f: R – {1} → R –{3} , f(x) =
(f–1)'(x) i bulunuz.
f (x)
Her iki tarafın türevi alınırsa, f'(x) · (f–1)'(f (x)) = 1 olur.
9
y
1
-1
O halde, (f ) ' (y) =
dir.
f' (x)
hatırlayınız.
f: R → R, f(x) = x3 + x ise (f–1)'(2) nin değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
Fonksiyonun tersini bulmak zor olduğu için
bileşkeden faydalanır.
123
f(x) = x3 + x ise f–1(x3 + x) = x dir. Her iki tarafın türevi
alınırsa,
x3 + x = 2 olması için
(3x2 + 1) (f–1)'(x3 + x) = 1
123
123
x = 1 olmalıdır
için türevi
2
O halde x = 1 ise (3 · 12 + 1) · (f–1)'(13 + 1) = 1 ⇒
4(f–1)'(2) = 1 ⇒ (f–1)'(2) =
1
bulunur.
4
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
3x - 2
fonksiyonu için,
x-1
- dx + b
ax + b
& f-1 (x) =
olduğunu
cx - a
cx + d
3x - 2
x-2
& f-1 (x) =
olduğuna göre,
x-1
x-3
(f-1) ' (x) =
ÖRNEK
(Nokta Türev)
f ( x) =
ÇÖZÜM
f ( x) =
y = f(x) ise f-1 ( y ) = x ⇒ f–1(f(x)) = x dir.
5
ÖRNEK
(Tersini Bularak Türev Alma)
ÖRNEK
Konu Özeti
1· (x - 3) - (x - 2) ·1
(x - 3) 2
=-
1
bulunur.
(x - 3) 2
(Ters Türev Bağıntısı)
f türevlenebilir ve birebir örten bir fonksiyon olmak üzere
f(1) = 3 ve f'(1) = 2 olduğuna göre (f–1)'(3) ün değerini
bulunuz.
ÇÖZÜM
f (x) = y & f-1 (y) = x & f-1 (f (x)) = x
7
f (x)
Her iki tarafın türevini alalım,
f'(x) · (f–1)'(f(x)) = 1
1
x = 1 için f' (1) · (f-1) ' (f (1)) = 1 & (f-1) ' (3) = bulunur.
2
<
:
2
4. f: ;-
3
π,π
E " 6- 1, 1@, f(x) = sin x ise (f–1)'(x) i bulunuz.
2 2
1. f: R → R, f(x) = x3 – x olduğuna göre (f–1)'(24) değeri
nedir?
2. f: R– → (–8, ∞) için f(x) = x2 – 8 olduğuna göre (f–1)'(1)
kaçtır?
5. f ve g türevlenebilir, birebir örten,
f(x3 + 3x) = g(2x + 1) olmak üzere,
g–1(3) = 5 ve g'(5) = 4 olduğuna göre (f–1)'(3) kaçtır?
3. f: (–2, ∞) → R olmak üzere f(x) = log(x + 2) olduğuna
göre (f–1)'(0) kaçtır?
1)
42
1
26
2) -
1
6
3) ln 10
4)
1
1 - x2
5)
15
8
Uygulama Zamanı
Uygulama – 4
Tanımlı olduğu aralıklarda aşağıdaki fonksiyonların
türevini bulunuz.
1. f(x) = 5
x2 + 1
1
9. f(x) = (2x)x fonksiyonunda f' c m kaçtır?
2
olduğuna göre f(x) = ?
10.f(x) = (ln x)x fonksiyonunda f'(e) kaçtır?
π
2. f(x) = esin x fonksiyonunun türevinin x = noktasın2
daki değeri kaçtır?
3. f(x) = ex + 1· ex
2
- 2x
11.f(3x – 2) = 2x3 – 3x2 + 4x + 3 olduğuna göre f'(4)
kaçtır?
fonksiyonu için f'(1) kaçtır?
x
4. f(x) = 4x + 2 ve g(x) =
fonksiyonları için (fog)'(–4)
2
kaçtır?
5. f(x) = log2(5x – 1) olduğuna göre f'(1) kaçtır?
12.f(x) = sin x ve g(x) = 2x – 2 olduğuna göre (fog)'(1)
kaçtır?
13.f(2x – 2) = 2 g(4x+1) – 3x2 ve g'(–3) = –2 olduğuna
göre f'(–4) kaçtır?
6. f(x) = log4(x2 + 2x + 1) olduğuna göre f'(x) kaçtır?
14.f: R+ → R+ , f(3x2 + x) = x3 + 4x olduğuna göre
(f–1)'(5) kaçtır?
7. f(x) = log3(x – 2) + log3(x + 2) olduğuna göre f'(3)
kaçtır?
8. f(x) = ln c
1) 2x · ln 5 · 5
x+1
m olduğuna göre f'(1) kaçtır?
x
x2 + 1
6)
2) 0
log2 e
x+1
3) e
7)
6
5 ln 3
4) ln 2
8) -
3
4
5)
2
15. f: c , ∞ m " R , f(x) = ln(2x – 5) olduğuna göre
5
(f–1)'(0) + (f–1)(0) kaçtır?
5
·log2 e
4
9) 1
10) 1
11)
16
3
12) ln 4
13) –5
14) 1
15)
7
2
43
Diferansiyel Kavramı
DİFERANSİYEL TÜREVLER
ÖRNEK
Konu Özeti
”” Tanımlı olduğu aralıkta türevlenebilen y = f(x) fonksiyonu için x in değerindeki değişim olan ∆x e karşılık
gelen y nin değerindeki değişim ∆y olsun,
vv x in diferansiyeli dx = ∆x iken
vv y nin diferansiyeli dy = f'(x) · dx tir.
O halde
dy
”” Nokta türev: y = f(x) için f' (a) =
dır.
dx x = a
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
2. f(x) = x + sin 2x olduğuna göre
2) 1 + 2 cos 2x
4) 0
df (x)
= f' (2) dir.
dx x = 2
O halde, x = 2 için f'(2) = 2 · 2 + 3 = 7 bulunur.
d
(ln (sin x)) nedir?
dx
d 2 x
(x e ) nedir?
dx
d x
(x )
kaçtır?
dx
x=e
8. f (x) =
3) 3x2 + 2x + 1
df (x)
değerini bulunuz.
dx x = 2
f(x) = x2 + 3x ise f'(x) = 2x + 3 tür.
7.
d 3
(a + a ) nedir?
4.
dx
1) 2x + 2
ÇÖZÜM
6. e-x
d 3
(x + x2 + x) nedir?
dx
(Nokta Türev)
f(x) = x2 + 3x ise
5.
df (x)
nedir?
dx
Çarpımın türevi uygulanır.
d (x · cos x)
= 1· cos x + x ·(- sin x) = cos x - x sin x dir.
dx
dy
nedir?
dx
1. y = x2 + 2x – 4 olduğuna göre
44
ÇÖZÜM
ÖRNEK
”” Diferansiyel ile türev alırken, türev alma kuralları aynen uygulanır.
3.
d (x · cos x)
ifadesinin eşitini bulunuz.
dx
dy
= f' (x) bulunur.
dx
Diferansiyel kavramı "İntegral Fasikülünde"
ayrıntılı incelenecektir.
(Diferansiyel ile Türev)
5) cot x
df (x)
d x
(e cos x) olduğuna göre
nedir?
dx
dx
6) x2 + 2x
7) 2ee
8) –2ex sin x
Zincir Kuralı
DİFERANSİYEL TÜREVLER
ÖRNEK
Konu Özeti
......
”” Değişkenlerin birbirine bağlı olduğu fonksiyon sistemlerinde, türev alınırken zincin kuralı uygulanır.
”” y = f(t), t = g(v), v = h(x) olmak üzere
vv Değişkenler arasındaki bağ y → t → v → x şeklinde belirtilir ve aşağıdaki gibi türevlendirilir.
dy dy dt dv
=
·
·
= f' (t) · g' (v) · h' (x)
dx
dt dv dx
(fogoh)'(x) = f'(g(h(x))) · g'(h(x)) · h'(x) dir.
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
14243
t = 3z2 + z
2
x=0
Değişkenler arası bağ y → t → v → x şek-
lindedir.
dy dy dt dv
=
· ·
= (t2 + 3t)' (v2)'(2x)' = (2t + 3) · (2v) · 2
dx
dt dv dx
v = 2x ⇒ t = (2x)2 = 4x2 bulunur. O halde,
Bileşke fonksiyonların türevleri de zincir kuralı
olarak değerlendirilebilir.
dy
olduğuna göre
dx
ÇÖZÜM
Bulunan ifadedeki bütün değişkenleri x e çevirelim.
Zincir diferansiyeller sadeleşirse
dy dt dv
dy
·
·
=
elde edilir.
dx
dt dv dx
1. y = t2 – 3t
ÇÖZÜM
dy
dy
a)
b)
dx x = 1
......dx
dy
= (2t + 3) · (2v) · 2 = 8x (8x2 + 3) = 64x3 + 24x
a)
dx
↓
↓
2x
t+2
dy
b)
= 64 · 13 + 24 · 1 = 88 bulunur.
dx x = 1
4. y =
kaçtır?
4x2
14243
y = t2 + 3t, t = v2, v = 2x olduğuna göre aşağıdakileri
......
bulunuz.
3
t = x3 + 2x2 – 4x
1
x=
u
olduğuna göre
dy
du
u=1
kaçtır?
t = 2u
u = x3
14243
2. y = 3t2
olduğuna göre
dy
kaçtır?
dx
14243
t = e2z – 1
z = x3 + x – 2
1) 0
dy
olduğuna göre
dx
olduğuna göre
z = h(x) = 2x
u2 - 1
u = sin x
x=1
kaçtır?
x = cos 2t
t = arcsin z
2) 72x5
olduğuna göre (fogoh)(x) in
türevini bulunuz.
t = g(t) = sin t
6. y =
3. y = ln(t + 2)
14243
5. y = f(u) = eu
1442443
z=x +1
3) 4
4) –1
5) 2 cos 2x · esin 2x
dy
dz
z=0
kaçtır?
6) 0
45
Uygulama Zamanı
1. S = f(t) = 3t2 + 6t – 7 fonksiyonu ile hareket eden bir
hareketlinin 2. saniyedeki hızı nedir?
2. S(t) = t3 – t2 + 4 yol denklemi verilen hareketlinin 3.
saniyedeki konumu nedir?
3. S(t) = at2 + bt + 1 hareketlisinin 2. saniyedeki hızı 17
ve anlık ivmesi 6 olduğuna göre a + b kaçtır?
4. S(t) = t3 – 3t2 + 5t yol denklemi ile verilen hareketlinin t = 1 ve t = 3 saniyeleri arasındaki ortalama hızı
nedir?
1) 18
2) 22
3) 8
4) 6
Uygulama – 7
5. P(x) = ax2 + bx + c polinomu veriliyor.
P(2) = –3, P'(1) = 1, P''(3) = 4 olduğuna göre
a + b + c toplamı kaçtır?
6. a > 0 iken, P(x) · P'(x) = 4x + 8 şartını sağlayan P(x)
polinomu için P(1) kaçtır?
7. P'(x) + P(x) = 6x2 + 12x + 4 şartını sağlayan P(x)
polinomu için P(–2) kaçtır?
8. P(x) = x3 + ax2 + bx – 6 polinomu (x – 1)2 ile tam
bölündüğüne göre b kaçtır?
5) –6
6) 6
7) 28
8) 13
65
Tekrar Zamanı
1.
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1
x4 - 1
limitinin sonucu kaçtır?
x+1
lim
x "-1
A) –4
B) –2
C) –1
D) 3
x"∞
E) 4
A)
sin 2x
limitinin sonucu aşağıdakilerden hangicos 3x
2. lim
π
x"
2
3
2
B) –1
x"1
1
1
A) B) 3
2
4. lim
x"a
x"π
D) 0
E)
7. lim
8. lim
C) 1
3
D) 2
x"1
B) –a
C) 0
D) a
B) –1
C) 0
D) 1
C)
1
4
D)
1
1
E)
2
3
sin2 2x
limitinin değeri kaçtır?
x2
A) 1
1
2
B) 2
C) 4
D) 8
E) 16
ln x
limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
x-1
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
E) 2
E) 2a
sin x - sin π
limitinin değeri kaçtır?
π
cos c x - m
2
A) –2
66
2
3
x2 –a2
limitinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x-a
A) –2a
5. lim
C) -
3x + 6 - 3
limitinin değeri kaçtır?
x-1
3. lim
1
1
B) 5
6
x"0
sidir?
A) -
x2 + 1
limitinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
3x2 - 4
6. lim
9.
x "-∞
hangisidir?
2
B) - 3
A) –∞
10. lim
x"∞
E) 2
2x2 + x - 1
limitinin değeri aşağıdakilerden
3x2 - 2
lim
A) 0
ln x
x
C) 0
D)
2
3
E) ∞
limitinin değeri kaçtır?
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
11. lim c
x"∞
2x - 1 -3x
m
limitinin eşiti aşağıdakilerden han2x + 1
15. lim
a"0
gisidir?
A) 0
12. lim
x"0
hangisidir?
B) 1
C) e
2
D) e 3
E) e
A) –2
e-x - ex
limitinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x · cos x
A) –2
a · cos a
limitinin değeri aşağıdakilerden
cos a - a
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
f' (4) = lim
x"2
13.a, b ∈ R iken,
x"2
14. lim
3
x"1
A) 1
C) –6
D) –4
C) 0
D) 1
f' (x + 1) - f' (3)
olduğuna göre a kaçtır?
x-2
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
18.P(x) = x70 – x69 + x68 – x67 + ......– x + 1 polinomunun
x – 1 ile bölümünden elde edilen bölüm polinomunun
katsayılar toplamı kaçtır?
hangisidir?
B) –1
E) 1
E) –2
x3 + 7 - x + 3
limitinin eşiti aşağıdakilerden
x-1
A) –2
D) 0
P(x) – P'(x) = x2 – 5x + 7 olduğuna göre P(1) kaçtır?
a + b toplamı kaçtır?
B) –8
C) –1
17.P(x) bir polinom olmak üzere,
x2 + ax + b
= 2 olduğuna göre
x2 - 4
A) –12
3
2
16.f(x) = x2 + 3ax + 4 fonksiyonu için,
A) –3
lim
B) -
A) 35
E) 2
B) 45
C) 50
D) 65
E) 70
67
1. A
2. C
3. B
4. E
5. D
6. D
7. C
8. C
9. D
10. A 11. E 12. A 13. B 14. C 15. C 16. B 17. B 18. A
Tekrar Zamanı Test - 1 Çözümü
1.
lim
x4 - 1 0
= (L'Hospital)
x+1
0
lim
4x 3
= 4 ·(- 1) = - 4 bulunur.
1
x "-1
x "-1
2.
e-x - ex
Cevap: A
2
2 cos 2x
=
- 3 sin 3x
lim
x"
π
2
x"1
2 cos π
2·- 1
2
=
= - bulunur.
-3·- 1
3π
3
- 3 sin
2
x"1
4.
x"a
x2 + ax + b
0
= belirsizliği vardır.
0
x2 - 4
x = 2 için pay sıfır olmalıdır. O halde,
Cevap: C
4 + 2a + b = 0 ise 2a + b = –4
2x + a 4 + a
L'Hospital alınırsa lim
=
=2
2x
4
x"2
4+a=8⇒a=4
a + b = 4 – 12 = –8 bulunur.
Cevap: B
x2 - a2 0
lim
= (L'Hospital)
x"a x - a
0
lim
14. lim
x"1
3
Cevap: E
lim
3·
(x 3 + 7) 2
3
sin x - sin π 0
= (L'Hospital)
π
0
cos c x - m
2
cos x
cos π
-1
lim
= 1 bulunur.
=
=
π
π
x"π
-1
- sin c x - m - sin
2
2
x"π
x2 + 1
3x 2 - 4
x"∞
=
a · cos a
Cevap: D
7. lim
0
= (L'Hospital)
0
1
8.
9.
lim
x "-∞
lim
x "-∞
10. lim
x"∞
lim
x"∞
3x 2 - 2
x
1
x
1
=
Cevap: C
x"∞
2 x
x"∞
68
1· cos a - sin a · a 1 - 0
=
= - 1 bulunur.
0-1
- sin a - 1
Cevap: C
f'(x) = 2x +3a ⇒ f'(4) = 8 + 3a
lim
lim
f' (x + 1) - f' (3)
x-2
=
0
(L'Hospital)
0
f'' (x + 1)
= f'' (3) = 2
1
f'(4) = f''(x) ⇒ 8 + 3a = 2 ⇒ 3a = –6 ⇒ a = –2 bulunur.
x"2
Cevap: B
17.P(x) = ax + bx + c ise,
2
ax2 + x(b – 2a) + c – b = x2 – 5x + 7
polinom eşitliğinden
c – b = 7 ⇒ c = 4 O halde,
P(x) = x2 – 3x + 4 ise P(1) = 1 – 3 + 4 = 2 bulunur.
Cevap: D
18. -
Cevap: B
P (x) x - 1
B (x)
k
P(x) = (x – 1) · B(x) + k
2 x
2
2
= lim
= = 0 bulunur.
x
∞
x"∞
x
x70 – x69 + x68 – x67 + ...–x + 1 = (x – 1) · B(x) + k
Her iki tarafın türevi alınırsa
2x - 1 -3x
11. lim c
m = ∞∞ belirsizliği,
x " 0 2x + 1
lim c 1 +
0
a = 1, b – 2a = –5 ⇒ b = –3
∞
(L'Hospital)
=
∞
∞
(L'Hospital)
∞
= lim
Cevap: C
P(x) – P'(x) = ax2 + bx + c – 2ax – b
4x + 1 ∞
4 2
=
(L'Hospital) lim
= bulunur.
∞
6x
3
x "-∞ 6
ln x
1 1
- = 0 bulunur.
4 4
P'(x) = 2ax + b
0
ln x
lim
= (L'Hospital)
0
x"1 x - 1
1
1
x
lim
= = 1 bulunur.
1
x"1 1
2x 2 + x - 1
lim
x"0
x"2
x2
2 · sin 4x 0
2 · sin 2x · 2 cos 2x
lim
& lim
= (L'Hospital)
2x
0
2x
x"0
x"0
4 cos 4x
lim
= 4 · cos 0 = 4 bulunur.
Cevap: C
<
1
x"0
x"0
=
16.f(x) = x2 + 3ax + 4 ise
Cevap: D
sin2 2x
1
2 x+3
15. lim cos a - a = (L'Hospital)
0
x"0
2x 1
∞
= bulunur.
(L'Hospital) ⇒ lim
∞
3
x"∞ 6x
-
1
x"1
5. lim
Cevap: B
x3 + 7 – x + 3
0
= (L'Hospital)
x-1
0
3 x2
2x
= 2a bulunur.
1
6. lim
Cevap: A
2a + b = –4 ⇒ 8 + b = –4 ⇒ b = –12
2 3x + 6
3
3 1
=
= = bulunur.
x-1
6 2
2 3+6
- e-x - ex
-1 - 1
=
= - 2 bulunur.
1-0
1 cos x - sin x · x
x"0
3
lim
x"0
13. lim
3x + 6 - 3 0
= (L'Hospital)
x-1
0
3. lim
lim
sin 2x
0
lim
= (L'Hospital)
π cos 3x
0
x"
0
12. lim x cos x = (L'Hospital)
0
x"0
-2
m
2x + 1
-3x
-2
lim a
· - 3x k
x " ∞ 2x + 1
&e
Cevap: A
&e
6x
lim
x " ∞ 2x + 1
70 · x69 – 69 · x68 + 68 · x67 – ...–1 = 1 · B(x) + B'(x) · (x – 1)
x = 1 için, 70 - 69 + 68 - 67 + ... + 2 - 1 = B (1)
> >
<
1
= e3
Cevap: E
1
1
B(1) = 35 bulunur.
Cevap: A
Türev Alma Kuralları
Konu Testi – 1
1. f(x) = x2 – 4x + 1 olduğuna göre lim
x"2
f (x) - f (2)
x-2
limitinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
6. f(x) = 3x2 + x + 3 x olduğuna göre
lim
h"0
E) 2
2. f(x) = ^1 + 2 h fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
f (1 + h) - f (1)
limitinin değeri kaçtır?
h
21
41
B)
3
6
C)
20
3
D)
13
19
E)
2
3
3
A) 0
B) 1
C)
2
7. f(x) =
A)
D) 1 + 2 E) 3 ^1 + 2 h
2x + 1
olduğuna göre f'(0) kaçtır?
x+3
2
1
B) 9
3
C)
4
9
D)
2
5
E)
3
9
2
3. f(x) = x6 + 4x2 fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 6x5 + 4x
B) x6 + 8x
D) 3x5 + 4x
E) x5 + 4x2
4. f(x) =
C) 6x5 + 8x
d f (x)
4
- 2x–3 + 3x olduğuna göre
aşağıdakix
dx
lerden hangisine eittir?
4
- 6x–2 + 3 x2
4
C) 2 + 6x–4 - 3 x
A)
4
- 6x–2 + 3
x2
4
D) – 2 + 6x–4 + 3
x
8. f(x) = (x4 – x + 2)3 fonksiyonu için
A) –12
C) –4
x=0
D) 4
kaçtır?
E) 8
9. f(x) = x2 + 5x - 5 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki
türevi kaçtır?
A)
B) –
B) –8
d f (x)
dx
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
E)
5
2
E) –4x2 - 6x–4 + 3
5. f(x) = (x3 + 2) (x5 – 2x + 1) fonksiyonu veriliyor. Buna
göre f'(–1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
10.f(x) = c
x+1 2
m olduğuna göre f'(2 ) kaçtır?
x-1
A) –10
B) –12
C) –14
D) –15
E) –18
69
3x - 5
11.f(x) = x2 + 2x +
fonksiyonunun x = –2 deki
x+1
türevi kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
16.f(x) =
^x - 3h2
^x + 1h
Buna göre f'(0) kaçtır?
A) –16
12.f(x) = x2 · g(x) fonksiyonu veriliyor. f'(3) = 12 ve
g(3) = –1 olduğuna göre g'(3) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
1
13.f: R – {0} → R tanımlı bir f(x) = 4x2 - 2 fonksiyonu
x
veriliyor.
Buna göre f'(1) kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
Ç-1
14.f(x) = x4 + 1 ve x = –f(x) · g(x) olduğuna göre g'(0)
kaçtır?
A) –2
15.f(x) =
B) –1
4
^x - 1h
2
C) 0
D) 1
fonksiyonu için lim
h"0
17.f(x) =
C) –6
E) –9
x2 + 2x + 3
fonksiyonunun türevi aşağıdakilerx
x2 - 3
x2 + 3
B)
2
x
x
D)
x2 + 3
x-3
E)
2
x
x
18.f: R – {2} → R – {1} , f(x) =
na göre a kaçtır?
A) 2
B) 3
C)
x2 - 3
x
x-a
ve f'(1) = 4 olduğux-2
C) 4
D) 5
E) 6
19.f(x) = x3 (x + 2)5 fonksiyonunun x = –1 deki türevi
kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
2
20.f(x) = 3 ^x2 + 2xh olduğuna göre
lerden hangisine eşittir?
A)
E) –4
E)
70
D) –10
E) 2
E) 2
f (2 + h) - f (2)
h
D) –5
C) –12
A)
C)
B) –7
B) –15
den hangisine eşittir?
limiti kaçtır?
A) –8
fonksiyonu veriliyor.
2x + 2
3 3 x2 + 2x
1
3 3 x2 + 2x
3
B)
D)
3
d f (x)
aşağıdakidx
4x + 4
x2 + 2x
4x + 4
3 3 x2 + 2x
4x
x2 + 2x
1. C 2. A 3. C 4. D 5. A 6. B 7. D 8. A 9. C 10. B 11. B 12. D 13. D 14. B 15. A 16. B 17. A 18. E 19. A 20. D
Download

PDF Örneği için tıklayınız