ÜNİTE - 3
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE
UYGULAMALARI
ÜNİTE – 3
FONKSİYONLARLA
İŞLEMLER VE
UYGULAMALARI
5. Bir öğrenci dik koordinat düzleminde verilen bir
noktayı 5 birim sola, 8 birim aşağı öteleyerek
Aʹ(13, –5) noktasını elde ettikten sonra 8 rakamını yanlışlıkla 3 olarak gördüğünü farkediyor.
1. Dik koordinat düzleminde A(–3, 2) noktasının 3 birim sağa, 3 birim aşağıya ötelenmesiyle oluşan nokta aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (–6, –1)
B) (0, 0)
C) (0, –1)
D) (3, –3)
Temel Kavramlar ve Örnekler
E) (3, –1)
A(5, –2) noktası 4 birim sola,
2 birim aşağıya ötelendiğinde
elde edilen noktayı bulalım.
Buna göre, doğru sonuç aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (16, –5)
B) (16, 5)
D) (13, –2)
C) (16, –2)
D)(10, –13)
C) (–4, –3)
3. Dik koordinat düzleminde A(4, 4) noktasının ötelenmişi olan nokta Aʹ(–1, –7) ise
hangi yöne kaç birim ötelenmiştir?
A) 5 birim sağa, 3 birim yukarı
Aʹ(x + 3, y + 5) = Aʹ(9, –6)
x+3 = 9 & x = 6
4 A (6, – 11)
y + 5 = –6 & y = – 11
6.
B) 5 birim sağa, 3 birim aşağı
E) 5 birim sola, 11 birim yukarı
1
A(2,1)
0
B(4,3)
3
D) 5 birim sola, 11 birim aşağı
2
4
x
noktaları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (4, –4)
C) Aʹ(–3, 4), Bʹ(–1, 6) D) Aʹ(–3, 5), Bʹ(1, 6)
D) (5, 0)
A) Aʹ(5, –4), Bʹ(7, –2) B) Aʹ(5, 4), Bʹ(–1, –2)
C) (4, 0)
2) E
A(5, –2)
3 yukarı
5 sağa
B(x + 5, y +3) →
K(x + 5 – 7, y + 3 – 6)
K(x – 2, y –3) = K(10, 10)
x – 2 = 10 ⇒ x = 12
y – 3 = 10 ⇒ y = 13
E) Aʹ(–3, 6), Bʹ(–1, 6)
E) (4, –5)
1) C
A(x, y) olsun.
olan [AB] nin 3 birim yukarı, 5 birim sola ötelenmesiyle oluşan doğru parçasının uç
Dik koordinat düzleminde bir A
noktası, 3 birim yukarı, 5 birim
sağa, 6 birim aşağı ve 7 birim
sola ötelendiğinde K(10, 10)
noktası elde ediliyor. A noktasını bulalım.
Düzlemde uç noktaları A(2, 1) ve B(4, 3)
elde edilen son nokta aşağıdakilerden hangisidir?
B) (5, –4)
olur.
y
C) 3 birim sola, 3 birim yukarı
4. Dik koordinat düzleminde bir A(3, –2) noktası
önce 2 birim sağa, 3 birim yukarı öteleniyor ve
sonra 5 birim aşağı, 1 birim sola ötelenerek
elde edilen son nokta işaretleniyor.
Dik koordinat düzleminde 3
birim sağa, 5 birim yukarı ötelenmişi Aʹ(9, –6) olan noktayı
bulalım.
A(x, y) olsun.
3 sağa
A(5, –2)
5 yukarı
E) (–10, –13)
4 sola
2 aşağıya
Aʹ(1, –4) olur.
Palme Yayıncılık
B) (–8, 1)
A(5, –2)
E) (13, –10)
2. Dik koordinat düzleminde 5 birim yukarı, 7
birim sağa ötelenmişi olan nokta Aʹ(–3, –8) ise ötelenen A noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–8, –1)
Dik koordinat düzleminde 3) D
4) A
5) E
6) C
55
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
Test - 1
Nokta - Şekil Öteleme
Test - 1
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
Köşelerinin koordinatları
A(1,2), B(–2, 6) ve C(3, –4) olan
ABC üçgeni 4 birim sağa, 2
birim aşağı doğru ötelenirse
elde edilen AʹBʹCʹ üçgeninin
köşe koordinatlarını bulalım.
4 sağa
2 aşağı
A(1, 2)
B(–2, 6)
4 sağa
2 aşağı
C(3, –4)
4 sağa
2 aşağı
olur.
A) Aʹ(–1, 8), B(7, 4)
Aʹ(5, 0)
C
Cʹ(7, –6)
A
B
Dik koordinat düzleminde verilen ABC üçgeninin ötelenmişi AʹBʹCʹ üçgenidir.
Buna göre, uygulanan öteleme aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4 birim sola, 2 birim yukarı
y
8.
C
B) 7 birim sola
C) 7 birim sola, 3 birim yukarı
A
D) 8 birim sola, 2 birim yukarı
B
x
x
0
E) 8 brimi sola, 3 birim yukarı
0
C
Dik koordinat sisteminde verilen ABC üçgeni 3 birim sola
2 birim aşağı doğru ötelenerek
Yukarıda dik koordinat düzleminde ABC
üçgeninin 2 birim sola, 4 birim aşağıya ötelenmesiyle oluşan AʹBʹCʹ üçgeninin köşe
koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
toplamını bulalım.
Grafik üzerinde sayarak Aʹ(4, 5)
B(3, 4)
3 sola
2 aşağı
Bʹ(0, 2)
C(9, 3)
3 sola
2 aşağı
Cʹ(6, 1)
O halde AʹBʹCʹ üçgeninin koordinatlarının toplamı
C)Aʹ(0, 0), Bʹ(4, 0), Cʹ(3, –2)
D)Aʹ(0, –1), Bʹ(4, 0), Cʹ(3, –2)
Dik koordinat sisteminde verilen ABCD karesinin bir köşesi A(7, 4) olup 5 birim sola 2 birim
aşağı öteleniyor.
Buna göre, karenin III. bölgede kalan kısmının alanı kaç birim karedir?
9.
y
6
A
B
4 + 5 + 0 + 2 + 6 + 1 = 18
bulunur.
x
0
duğu görülüyor.
3 sola
2 aşağı
A(7, 4)
E)Aʹ(0, –1), Bʹ(4, 0), Cʹ(3, –1)
A(7, 7), B(3, 4) ve C(9, 3) ol-
A(7, 7)
y
B)Aʹ(0, 0), Bʹ(4, 1), Cʹ(3, –1)
AʹBʹCʹ nün koordinatlarının
11.
A)Aʹ(0, 0), Bʹ(4, 1), Cʹ(3, –2)
AʹBʹCʹ üçgeni elde ediliyor.
x
Bʹ 0
E) Aʹ(–3, 2), Bʹ(7, –4)
B
–5
A) 1
D
B) 2
C) 4
D) 6
E) 10
C
3
0
2
x
Dik koordinat sisteminde verilen ABCD dikdörtgeni 4 birim aşağı, 3 birim sağa öteleniyor.
12. Bir ABC üçgeninin köşe koordinatarı A(–3, 3),
B(0, 1) ve C(2, 2) dir.
Buna göre, dikdörtgenin IV. bölgede kalan
kısmı II. bölgede kalan kısmından kaç birim
kare fazladır?
A) 1
56
Aʹ
B) Aʹ(–1, 8), Bʹ(7, 2)
A
Cʹ
C) Aʹ(–1, 2), Bʹ(7, –4) D) Aʹ(–3, 2), Bʹ(5, –4)
Bʹ(2, 4)
y
Buna göre, doğru sonuç aşağıdakilerden
hangisidir?
y
10.
7. Bir öğrenci dik koordinat sistemindeki [AB]
doğru parçasını 2 birim sola, 3 birim aşağıya
öteleyerek oluşan [AB] nin uç noktalarını Aʹ(–5, 2) ve Bʹ(3, –4) olarak bulduktan sonra
yönleri zıt yaptığını farkediyor.
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 3
Temel Kavramlar ve Örnekler
B) 2
C) 3
D) 4
7) B
E) 5
8) B
9) A
Bu üçgen 2 birim aşağı, 3 birim sola ötelendiğinde elde edilen AʹBʹCʹ üçgeninin köşe
koordinatlarının toplamı kaçtır?
A) –12
10) C
11) C
B) –11 C) –10 D) –9
12) C
E) –8
1. f(x) = a ⋅ xn fonksiyonu için
3.
y
1) a(+), n çift (i)
Temel Kavramlar ve Örnekler
f(x)
y
y = f(x)
x
0
2) a(–), n çift (ii)
Yanda grafiği verilen
f(x) = axn + d
fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
y = f(x) = a ⋅ xn +d fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
Bu grafiğe göre, a pozitif, d pozitif
ve n çift sayıdır.
A) a pozitif, n çift, d negatiftir.
B) a pozitif, n çift, d pozitiftir.
C) a negatif, n tek, d pozitiftir.
3) a(+), n tek (iii)
D) a negatif, n çift, d pozitiftir.
E) a negatif, n çift, d negatiftir..
4.
4) a(–), n tek (iv)
0
x
0
1
2
3
4
A)
II
IV
III
I
B)
IV
II
III
I
C)
I
II
III
IV
D)
II
IV
I
III
E)
I
II
IV
III
2.
Palme Yayıncılık
Yukarıdaki fonksiyon grafiği ve açıklamalarının doğru eşlenmesi aşağıdakilerden
hangisidir?
Yukarıdada grafiği verilen
f(x) = –2x2
fonksiyonuna göre,
g(x) = 2x2 + 2
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
0
B)
y
y
x
0
x
0
C)
f(x)
Yukarıda grafiği verilen
f(x) = axn + d
fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
D)
y
x
y = f(x)
Yukarıda verilen grafik x ekseninin negatif kısmına doğru 2 birim
kaydırılmış, sonra x eksenine göre
simetri alınmıştır.
O halde y = g(x) in denklemi
g(x) = –(x + 1)4 olarak bulunur.
y
x
0
0
E)
A) a pozitif, n çift, d pozitiftir.
y
–1
A)
x
x
1
y = f(x) = (x – 1)4
fonksiyonunun grafiği veriliyor.
Buna göre, aşağıda grafiği verilen
fonksiyonu bulalım.
f(x) = –2x2
y
0
y = f(x)
y
y
x
y
B) a pozitif, n tek, d pozitiftir.
C) a negatif, n tek, d negatiftir..
0
x
D) a negatif, n çift, d negatiftir.
E) a negatif, n çift, d pozitiftir.
1) D
2) E
3) A
4) A
57
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
x
0
ÜNİTE – 3
Test - 2
Fonksiyon - Grafik Öteleme - 1
Test - 2
ÜNİTE – 3
Temel Kavramlar ve Örnekler
f(x)= x2 – 1
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
g(x) = x2 fonksiyonunun grafi-
f(x) = –x2 – 1
5.
A)
B)
y
x
D)
y
y
2
y=x –1
1
x
0
x
0
0
x
A)
E)
f(x) = –3 +
2x3
g(x) = 2(x – 1)3
fonksiyonlarının grafikleri araf(x) in grafiği g(x) in grafiğinin 1
birim sağa 3 birim aşağı ötelenmiş halidir.
fonksiyonlarının birbiriyle olan
ilişkisini bulalım.
g(x) = –f(x) olduğundan g(x) ile
x
0
f(x) = 3(x –
2)2
C)
A)
B) 11
+1
C) 12
f(x) x eksenine göre simetrik
D) 13
0
C)
2
E)
y
0
1
1
x
0
–2
E)
x
8.
f(x) = 5 + 2(x + 3)4 fonksiyonu
g(x) = 2x4
fonksiyonunun hangi yöne ve ne kadar ötelenmesiyle oluşturulmuştur?
y
A) 3 birim sola, 5 birim yukarı
B) 3 birim sağa, 5 birim aşağı
1
–2
0
C) 3 birim sola, 5 birim aşağı
x
D) 5 birim sağa, 3 birim yukarı
E) 5 birim sağa, 3 birim aşağı
58
x
y
D)
2
x
3
x
0
–2
0
–3
1
x
y
0
x
y
1
grafiklere sahiptir.
y
–3
E) 14
B)
y
D)
y
0
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A) 10
x
3
x
0
6.
y
0
3
sındaki ilişkiyi bulalım.
f(x) = 1 – x3 ile g(x) = x3 – 1
B)
y
y
ve
Yukarıda grafiği verilen
f(x) = 2x3
fonksiyonuna göre,
g(x) = 2x3 – 3
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
–1
x
x
0
Palme Yayıncılık
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
0
C)
–1
y
x
y
f(x) = 2x3
0
y = x2
0
y
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
ğini 1 birim aşağı öteleyeceğiz.
y
7.
5) D
6) C
7) C
8) A
Test - 3
1.
4.
Yanda grafiği verilen,
y
f(x)
f(x) = a ⋅ xn + d
x
fonksiyonu için
aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
f(x) = –(x – 1)2 + 3
A)
B)
y
x
1
x
0
x
y = a xn + d fonksiyonunun
–3
grafiği veriliyor.
B) a pozitif, n çift, d negatiftir.
C)
C) a negatif, n tek, d negatiftir.
D)
y
1
E) a negatif, n tek, d pozitiftir.
A) a pozitif, n çift, d negatiftir.
–1 0
E)
x
y
–1
0
y
x
–3
Palme Yayıncılık
x
ve d negatiftir.
3
–3
Yanda grafiği verilen f(x) = a ⋅ xn + d
fonksiyonu için
aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
Buna göre, n tek sayı, a pozitif
y
x
0
D) a negatif, n çift, d pozitiftir.
f(x)
y
3
A) a pozitif, n tek, d negatiftir.
y
y = axn + d
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
0 1
2.
y
y = f(x + 3)
–4
–1
0
4
y = f(x + 3) fonksiyonunun grafiği veriliyor.
B) a pozitif, n çift, d pozitiftir.
f(x + 3) = 0 koşulunu sağlayan x
değerlerinin toplamı nedir?
C) a pozitif, n tek, d pozitiftir.
D) a negatif, n tek, d pozitiftir.
x = –4 ⇒ f(–4 + 3) = 0
E) a negatif, n çift, d negatiftir.
⇒ f(–1) = 0
x – 3 = –1
3.
5.
y
2
y = f(x – 2)
–3
4
5
g(x) =
–x3
fonksiyonu
+3
x = 4 ⇒ f(4 + 3) = 0
⇒ f(7) = 0
x – 3 = 7 x = 10
olup 2 + 10 = 12 bulunur.
fonksiyonunun hangi yöne, ne kadar ötelenmesiyle oluşturulmuştur?
x
0
A) 1 birim sola, 3 birim aşağı
B) 1 birim sağa, 3 birim yukarı
–2
f(x) = –(x –
1)3
x=2
C) 1 birim sola, 3 birim yukarı
D) 3 birin sağa, 1 birim aşağı
f(x – 2) fonksiyonunun grafiğine göre, f(x + 1) = 0 eşitliğini sağlayan x değerleri
toplamı nedir?
A) –5
B) –4
C) 0
D) 1
1) C
E) 3 birim sağa, 1 birim yukarı
E) 4
2) C
3) B
4) A
5) B
59
x
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 3
Fonksiyon - Grafik Öteleme - 2
Test - 3
6.
f(x) = 3 + 5x3
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
fonksiyonu veriliyor.
g(x) = –2 + 5(x + 1)3
fonksiyonunun f(x) ile olan öte-
f(x) = 3x3 ile g(x) = –3x3
fonksiyonlarının grafikleri aşağıdakilerden
hangisinde doğru olarak verilmiştir?
A)
y
leme ilişkisini bulalım.
B)
y
x
9.
f(x) = –5x4 ile
g(x) = 5x4
y
y
x
x
fonksiyonlarının grafikleri aşağıdakilerden
hangisinde doğru olarak verilmiştir?
A)
x
y
x
C)
y
y
x
E)
f (x) =
x
x–2
C)
x
f (x) =
3
fonksiyonu 3 birim sola ötelenierse
3
3
+1 =
+1
x–2+3
x+1
elde edilir.
Bu fonksiyonu da 2 birim aşağı
ötelersek
3
7.
f(x) = –4 + (x – 1)4 fonksiyonu
g(x) = x4
–1
+ 1– 2 =
x+1
x+1
fonksiyonu elde edilir.
g (x) =
fonksiyonunun hangi yöne ve ne kadar ötelenmesiyle oluşturulmuştur?
10.
x
x
Yanda grafiği verilen,
1 5
f(x) = –
x
10
fonksiyonuna göre,
1 5
h(x) = –
x +1
10
x
f(x) = – 1 x5
10
B) 4 birim sola, 1 birim yukarı
C) 4 birim sağa, 1 birim aşağı
D) 4 birim aşağı, 1 birim sağa
E) 4 birim aşağı, 1 birim sola
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
y
A)
B)
y
1
1
C)
4
+2
x
C)
4
– 2 x–2
4
– 4 x–2
4
–4
E)
x–4
B)
4
–2
x+2
D)
4
–2
x–4
–1
7) C
1
E)
0
y
1
0
8) B
9) A
10) A
x
y
x
E)
6) B
D)
y
0
fonksiyonunun 2 birim sola, 4 birim aşağı
ötelenmesiyle oluşan fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
A)
60
f (x) =
0
x
0
8.
x
y
y
A) 4 birim sola, 1 birim aşağı
3
x
y
–5
y
x
E)
x
+1
5
x
y
y
x
D)
y
y
+1
fonksiyonu 3 birim sola 2 birim
aşağıya ötelenerek g(x) fonksiyonu elde ediliyor.
g(x) i bulalım.
x–2
y
5
–5
x
y
–5
3
y
x
D)
y
x
y
x
aşağı ötelenerek g(x) elde edilir.
B)
y
f(x) in grafiği 1 birim sola 5 birim
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 3
Temel Kavramlar ve Örnekler
x
x
4. A(3, 5) noktasının B(–6, 3) noktasına göre
simetriğinin orijine göre simetriği C noktası
ise A ile C arasındaki uzaklık kaç birimdir?
1. K(3, –2) noktasının P(–3, 5) noktasına göre
simetriği L(a, b) ise a + b toplamı kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
Temel Kavramlar ve Örnekler
E) 4
30 C) 4 2
D) 6
E) 2 10
K(4, –3) noktasının P(–2, 4)
noktasına göre, simetriği L(m, n) ise m + n toplamını bulalım.
K(4, –3)
P(–2, 4)
L(m, n)
4+m
=–2 & 4+m =–4
2
m =–8
–3+n
2
= 4 & –3+n = 8
n = 11
m + n = ( – 8) + 11 = 3 bulunur.
2. A(–1, 6) noktasının K(3, 1) noktasına göre simetriği B noktasıdır.
5.
y
B noktasının x eksenine uzaklığı kaç birimdir?
B) 2
C) 3
D) 4
D
E) 7
A
Palme Yayıncılık
A) 1
y
x
C
Dik koordinat düzleminde verilen ABCD
dörtgeninin E noktasına göre simetriği
alınarak elde edilen AʹBʹCʹDʹ dörtgeninin
köşe koordinatları toplamı kaçtır?
B) –8
C) –4
D) 2
Köşelerinin koordinatları A(–3, 2), B(7, 4) ve C(2, –6)
olan ABC üçgeninin orijine
göre simetriği alınarak elde
edilen AʹBʹCʹ üçgenini bulalım.
K(m, n) noktasının orijine göre
simetriği Kʹ(–m, –n) dir.
O halde,
B
A) –14
3.
E
A(–3, 2)
B(7, 4)
E) 3
C(2, –6)
orijine göre
simetriği
orijine göre
simetriği
orijine göre
simetriği
Aʹ(3, –2)
Bʹ(–7, –4)
Cʹ(–2, 6)
bulunur.
A
C
B
x
0
Dik koordinat sisteminde verilen ABC üçgeninin orijine göre simetriğinin köşe koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A)Aʹ(5, 3), Bʹ(2, 4), Cʹ(3, 7)
B)Aʹ(–5, 3), Bʹ(–2, 4), Cʹ(–3, 7)
6. f(x) = –2(x + 3)2 fonksiyonunun orijine göre
simetriği olan g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
C)Aʹ(–5, 3), Bʹ(–2, –4), Cʹ(–3, –7)
A) g(x) = 2(x + 3)2
B) g(x) = –2(x – 3)2
D)Aʹ(3, –5), Bʹ(4, –2), Cʹ(7, –3)
C) g(x) = –2(x + 3)2
D) g(x) = 2(x – 3)2
E)Aʹ(–3, –5), Bʹ(–4, –2), Cʹ(–7, –3)
1) D
f(x) = x3 + x2 fonksiyonunun
orijine göre simetriği olan g(x)
fonksiyonunu bulalım.
y = x3 + x2 denkleminde x yerine –x, y yerine –y yazmalıyız.
–y = (–x)3 + (–x)2
⇒ –y = –x3 + x2
⇒ y = x3 – x2
yani g(x) = x3 – x2 bulunur.
E) g(x) = (x – 3)2
2) D
3) E
4) E
5) C
6) D
61
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
A) 2 6 B)
ÜNİTE – 3
Test - 4
Nokta, Şekil ve Fonksiyonun Orijine ve Noktaya Göre Simetriği
Test - 4
7.
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
f(x) = x2 + 1 fonksiyonunun
P(3, –2) noktasına göre simetriği olan g(x) fonksiyonunu bulalım.
K(x, y)
P(3, –2)
f(x) = 2x3 – 5
10.
fonksiyonunun A(–3, 2) noktasına göre simetriği olan g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) g(x) = 3(x + 6)2 + 10
fonksiyonunun orijine göre simetriği olan
fonksiyonun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
y
A)
B)g(x) = 3(x + 6)2 – 2
g(x) grafiği üzerinde bir nokta
K(x, y) ise K noktasının P(3, –2)
noktasına göre simetriği olan
nokta f(x) = x2 + 1 in grafiği
üzerindedir.
Yani f(x) = x2 + 1 i sağlar.
f(x) = –3x2 + 6
C)g(x) = 3(x – 4)2 – 12
0
D)g(x) = 3(x – 4)2 + 10
–5
E) g(x) = 3(x +
4)2
C)
x
2
Kʹ(m, n)
0
–5
K(6 – x1 – 4 – y) nin koordinatları y = x2 + 1 de yerine yazılır.
–4 – y = (6 – x)2 + 1
⇒ –4 – y = 36 – 12x + x2 + 1
–x2
⇒ y=
⇒ g(x) = –x2 + 12x – 41
+ 12x – 41
A(2, –1)
K(m, n)
x+m
= 2 & m = 4–x
2
y+n
=–1 & n =– 2– y
P(m, n) nin koordinatları g(x) = 2x2 denklemini sağlar.
–2 – y = 2(4 – x)2
⇒ y = f(x) = –2x2 + 16x – 34
bulunur.
62
x
y
x
f(x) = 2(x – 3)3 + 3
fonksiyonu g(x) fonksiyonunun A(–5, 3)
noktasına göre simetriği ise g(x) aşağıdakilerden hangisidir?
B) g(x) = 2(x – 13)2 + 3
f ( x) =
11.
2
–6
x+3
D) g(x) = –2(x + 13)2 + 3
fonksiyonunun orijine göre simetriği olan
g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
E) g(x) = –2(x + 13)2 + 9
A) g (x) =
–2
– 6
x+3
B) g (x) =
2
+6
x+3
C) g (x) =
2
+ 6
x–3
D) g (x) =
2
+6
3–x
C) g(x) = 2(x + 13)2 + 3
E) g (x) =
y = f(x) in grafiği üzerindeki
P(x, y) noktasını alalım. P nin
A(2, –1) e göre simetriği
g(x) = 2x2 üzerinde olacaktır.
2
8.
A(2, –1) noktasına göre simetriği g(x) = 2x2 olan fonksiyonu
bulalım.
y = f(x) in A(2, –1) noktasına
göre simetriği g(x) = 2x2 olsun.
f(x) i bulalım.
P(x, y)
0
–5
0
A) g(x) = 2(x – 13)2 + 9
y
–5
x
E)
= –2 & y+n =–4
n & – 4— y
D)
& m = 6–x
y+n
x
0
–5
y
x+m
= 3 & x+m = 6
2
y
B)
– 12
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 3
Temel Kavramlar ve Örnekler
2
–6
x–3
9. f(x) = –2x3 fonksiyonunun orijine göre simetriği
g(x) fonksiyonudur.
12. A(2, 1) noktasına göre simetriği
f (x) =
Buna göre g(x) fonksiyonunun A(–1, 0) noktasına göre simetriği olan h(x) fonksiyonu
aşağıdakilerden hangisidir?
A) h(x) = 2(x + 2)3
B) h(x) = 2(x – 2)3
C) h(x) = –2(x + 2)3
D) h(x) = –2(x – 2)3
7) B
olan fonksiyonunun orijine göre simetriği
aşağıdakilerden hangisidir?
A) –
E) h(x) = –2(x + 1)3
3
3
3
+ 2 B) – – 2 C) + 4
x
x
x
D) –
8) D
9) C
10) A
3
+2
4–x
11) C
3
3
– 4 E) – + 4
x
x
12) E
1.
5. f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
I.Birim fonksiyon tektir.
II.Sıfır fonksiyonu çifttir.
III.f(x) = –x3 + 1 fonksiyonu tektir.
IV.g(x) = 3x2 + 5 fonksiyonu tektir.
Yukarıdaki yargılardan hangileri doğrudur?
B) II ve III
D) II, III ve IV
f: A → R
bir fonksiyon
Her x ∈ A için –x ∈ A olmak
üzere
f(–x) = f(x) ise f ye çift fonksiyon
f(–x) = –f(x) ise f ye tek fonksiyon denir.
f(x) = 6x4 + (5 – n)x3 + 2x2 + 1
fonkiyonunun çift fonkiyon olması için n kaç olmalıdır?
f(x) + 3x = x ⋅ f(–x) + 1
olduğuna göre, f(5) kaçtır?
A) –
14
7
7
7
B) – C) – D) 3
6
3
2
E) 14
C) I, II ve III
E) I, II ve IV
f: R → R ve g: R → R
için f fonksiyonu çift g fonksiyonu tek ise
aşağıdakilerden hangisi y- eksenine göre
simetriktir?
A) f + g
f
D) g
B) f – g
C) f ⋅ g
E) gof
6. f çift fonksiyon olmak üzere,
Palme Yayıncılık
2.
3 =
xf (x) + 1
f fonksiyonu çift ise f nin grafiği
y eksenine göre simetriktir.
5
2
B) 2
C)
5
2
D) 3
E)
f fonksiyonu tek ise grafiği orijine göre simetriktir.
7
2
f(x) = 4x7 – (2 – a)x4 + 8x
fonksiyonunun tek fonksiyon olması için a
kaç olmalıdır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
7. f fonksiyonunun grafiği y- eksenine göre simetriktir.
4. f: R → R ve f fonksiyonu çift olmak üzere,
2f (–x) + 5x
f(1) kaçtır?
A)
3.
f(x) = f(x) olmalıdır.
Bu nedenle x3 lü terim bulunmamalıdır.
O halde, 5 – n = 0 ⇒ n = 5
olur.
f(x) = 2x2 + 4x – 3f(–x)
ise f(–2) kaçtır?
A) –4
B) –2
C) 0
1) A
D) 2
2) E
E) 4
3) E
3f (x)
f (– x)
ise f(6) kaçtır?
A) –10
4) C
+ 2x = 5 – f (x)
5) C
B) –6
6) B
C) –4
7) A
D) 4
E) 6
63
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
A) I ve II
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 3
Test - 5
Tek, Çift Fonksiyon
Test - 5
Orijine göre simetrik olan bir
grafik tek fonksiyona aittir.
8. f çift fonksiyon ve
2 ⋅ f(–x) =
– f(x) +
ax2
11. Aşağıdakilerden hangisi bir çift fonksiyonunu grafiğidir?
+ 5 tir.
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
B) –11 C) –8
D) 4
y
A)
f(–2) = 3 ise a sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) –12
3x4
E) 6
x
0
y- eksenine göre simetrik olan
bir grafik çift fonksiyona aittir.
y
B)
C)
D)
y
x
0
y
π 2π x
–π
f bir çift fonksiyon
3 ⋅ f(–x) = x4 – 2 ⋅ f(x) + ax2 + 2
olsun.
f(3) = 5 ise a kaçtır?
f çift fonksiyon ise
f(–3) = f(3) = 5 tir.
O halde,
x
0
9.
f, g: R → R,
E)
f(x) = x g(x + 1)
g fonksiyonu çift fonksiyon ve g(2) = 4 olduğuna göre f(–3) değeri kaçtır?
A) 17
B) 10
C) –10 D) –12
0
–2π
y
4
x
0
E) –18
3⋅f(–3)=(–3)4–2⋅f(3) + a(–3)2 + 2
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 3
Temel Kavramlar ve Örnekler
3 ⋅ 5 = 81 – 2 ⋅ 5 + 9a + 2
58
–58 = 9 ⋅ a a = –
bulunur.
9
10. Aşağıdakilerden hangisi bir tek fonksiyonun grafiğidir?
y
A)
x
0
C)
y
B)
y
x
0
II.
y
x
0
D)
y
12.I.
–2π
0
III.
y
x
0
0
y
x
0
IV.
x
x
y
x
0
E)
y
x
0
Yukarıda verilen grafiklerden hangileri tek
fonksiyona aittir?
A) Yalnız I
B) I ve III
D) I, III ve IV
64
8) B
9) D
10) D
11) B
12) D
C) II ve IV
E) II, III ve IV
1.
4.
y
f
2
0
2
–6
–2
x
(–4, – 2)
Şekilde f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
f fonksiyonunun grafiği şekilde verilmiştir.
(fof) (x + 3) = 2 eşitliğini sağlayan
(fof)(a) = 0 olduğuna göre,
x değerlerinin toplamı kaçtır?
a aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2
B) 0
2.
C) –1
D) –2
A) –4
E) –4
B) –2
5.
y
D) 2
f(x)
5
f
2
x
5
3
Palme Yayıncılık
4
E) 4
y
6
0
C) 0
–1
–3
0
f fonksiyonunun grafiği şekilde verilmiştir.
(fof)(x – 2) = 6 ise, x kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
(fofof)(0) değeri kaçtır?
C) 3
(fof)(x + 4) = 2 ⇒ f(f(x + 4)) = 2
olup grafikte
f(x + 4) = 0 dır. Yine grafikten
x + 4 = –6, 4, 5, 7 olur.
x + 4 = –6 ⇒ x = –10,
x + 4 = –4 ⇒ x = –8
x+4=5 ⇒ x=1
x+4=7 ⇒ x=3
olur.
x değerinin toplamı
(–10) + (–8) + 1 + 3 = –14
bulunur.
D) 4
6.
y
y
4
4
3
2
x
0
f (x – 2)
y = f(x – 2) nin grafiği şekildeki gibidir.
Buna göre (fof)(–2) kaçtır?
B) 0
(fof)(k) = 0 ⇒ f(f(k)) = 0
ise f(k) = –2 ve
verilen eşitliklerden k = 6 bulunur.
5
2
A) –1
Bire-bir f fonksiyonu için
f(–2) = 0, f(6) = –2
olduğuna göre, (fof)(k) = 0 eşitliğini sağlayan k sayısını bulalım.
E) 5
3.
C) 1
D) 2
1) E
0
E) 3
2) E
4) A
4
x
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu
için (fofof) (x – 2) = 3 ise x kaçtır?
A) 3
3) B
y = f(x)
2 3
5) E
B) 4
6) C
C) 5
x
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
B) 2
7
x
1 2 3
–1
A) 1
5
Şekilde f fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
Buna göre, (fof)(x + 4) = 2 eşitliğini sağlayan x değerlerinin
toplamını bulalım.
–2
0
x
0
f(x)
f(x)
–4
2
D) 6
E) 7
65
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
–2
y
y
2
–4
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 3
Test - 6
Bileşke Fonksiyon - 1
Test - 6
7.
10.
y
y
4
y
f(x)
5
3
3
–3
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
1
0
2
x
4
g(x)
f: R → R,
g: R → R
fonksiyonlarının grafikleri veriliyor.
Buna göre, (fog)(2) değerini
bulalım.
(fog)(2) = f(g(2)) ve grafikten
g(2) = 3 olduğundan
(fog)(2) = f(3) olur.
f(x) = 1 (sabit fonksiyon) olduğundan f(3) = 1 bulunur.
3
0
f(x)
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
(fof)(2x+1) = 4 eşitliğini sağlayan farklı
x değerlerinin çarpımı kaçtır?
A) –16
B) –8
C) –2
8.
D) 2
g(x)
f ve g fonksiyonlarının grafikleri yukarıda verilmiştir.
Buna göre (fog)(4) + (gof)(3) kaçtır?
E) 8
A) –2
y
B) –1
C) 0
11.
5
3
2
3
–2
(gof)(8) değeri kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 4
D) 5
x
2
0
Şekilde f ve g fonksiyonlarına ait grafikler verilmiştir.
f(x)
–2
x
6
y
E) 2
f(x)
4
g(x)
4
D) 1
y
f(x)
2
x
2 3 4
–2
4
0
y = f(x)
0
5
x
9
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 3
Temel Kavramlar ve Örnekler
g(x)
Şekilde y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının
grafiği verilmiştir.
(fog)(3) + (gof)(0) toplamı kaçtır?
E) 6
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
3
2
–2
4
0
x
2
g(x)
9.
h(x)
2
3
0
f: R → R
(fog)(4) = f(g(4)) = f(0) = 2 olup
h: R → R
3 + 2 = 5 bulunur.
x
2
4
f(x)
3
–4
fonksiyonlarının grafikleri şekildeki gibidir.
Buna göre (foh)(2) neye eşittir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
–2
7) B
9) C
2
4
x
Şekilde f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri
verilmiştir.
Buna göre, (fog)(4) + (gof)(–2) değeri kaçtır?
E) 5
8) A
0
A) 8
66
f(x)
y
3
f ve g fonksiyonlarının grafikleri
veriliyor.
(gof)(0) + (fog)(4) toplamını bulalım.
(gof)(0) = g(f(0)) = g(2) = 3
12.
y
10) A
11) C
B) 12
12) C
C) 15
D) 19
E) 22
Test - 7
y
1.
–1
0 1
4
x
6
Şekilde grafiği verilen y = (fof)(x)
fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
A) (fof) (–1) = 0
B) (fof) (0) = 2
C) (fof) (6) = 1
D) (fof) (–4) = 2
–1
1
fonksiyonu için
f –1(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
B)
y
x
1
0
y
x
C)
D)
y
y
1
y = f(x) fonksiyonunun grafiği
veriliyor.
f-1(x) fonksiyonunun grafiğini
çizelim.
y = f(x) ve y= f-1(x) (ters fonksiyon)
grafikleri y =x doğrusuna göre
simetriktirler.
O halde f ve f-1 fonksiyonla-
1
–1
x
0
y
Palme Yayıncılık
x
0
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre f –1(x) fonksiyonunun grafiği aşay
4.
f: R+ → R
f(x) = x2 + 1
ise f –1(x) fonksiyonunun graği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
B)
y
0
C)
y
x
x
0
0
D)
0
x
E)
x
x
0
x
0
x
–1
y
y
–1
1) A
2) A
3) C
4) B
x
1
0
1
y
x
f
y
–1
E)
0
f: R+ → R
f(x) = x2 – 1 ise f-1(x) fonksiyonunun gafiğini çizelim.
f ve f-1 fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktirler.
Buna göre, grafikte
y
D)
y
C)
y
1
0
1
y
x
1
f(x)
y
0
x
y(x)
1
A)
B)
x
0
ğıdakilerden hangisi olabilir?
A)
y
0
y = f(x)
rının grafikler aynı koordinat
düzleminde aşağıdaki gibi çizilir.
y
–1
E)
2.
x
0
–1
x
f(x)
0
1
0
–1
E) (fof) (4) = 2
y
y = (fof)(x)
f(x) =
x2
0
x
f
–1
x
0
şeklinde çizilir.
67
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
–4
f: R+ → R
3.
2
1
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 3
Bileşke Fonksiyon - 2
Test - 7
y
(–5,3)
2
y
B)
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
f(x)
y = f(x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
Grafiğe göre
f(0) + f-1(3) + f(5) değerlerinin
toplamını bulalım.
–4
y
Grafikten f(0) = 2, f(–5) = 3 olduğundan,
f-1(3) = 5 ve f(5) = 0 dır.
O halde,
f(0) + f-1(3) + f(5) = 2 + 3 + 0 = 5
bulunur.
x
0
x
0
y
D)
B) 2
C) 3
D) 4
9.
y
y
y = f(x)
x
0
E) 5
x
0
E)
y = f(x)
Şekilde verilenlere göre (fog–1of)(–2) kaçtır?
A) 1
y
x
0
x
0
–2
C)
y = g(x)
3
x
5
0
y
8.
fonksiyonun tersinin graği aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A)
–4
–6
f: R → R, f(x) = x3
5.
1
–3
x
0
6.
y
f(x)
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 3
Temel Kavramlar ve Örnekler
y
(–5, 2)
y = f(x)
x
0
y = g(x)
Şekilde g fonksiyonu ile doğrusal f fonksiyonu
verildiğine göre
(g–1of )(3) + f(–3) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
(5,–2)
A)
1
–2
0
x
4
y = g(x)
f ve g fonksiyonlarının grafikleri
veriliyor.
Buna göre, (fog)(4) değerini
bulalım.
Şekilde grafiği verilen f(x) fonksiyonu için
f(5) + f –1(2) + f –1(–2) toplamının eşiti nedir?
A) –3
B) –2
C) 0
7.
3
duğundan benzerlikten
2
1
=
& g (4) = 3
2 + 4 g (4)
bulunur.
f(3) ü yine benzerlikten bulacağız.
2
2+3
=
1
f (3)
(fog) (4) =
5
2
& f (3) =
bulunur.
5
2
olup
–4
E) 5
B) 1
C) 2
10.
D) 3
E) 4
y
y = f(x + 1)
7
f(x)
5
–2
0
1
x
3
2
1
–2
–2
0
1
3
4
x
Şekildeki f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Yukarıdaki grafik y = f(x + 1) fonksiyonuna aittir.
Bu grafiğe göre; f(1) + f –1(–2) + f(–4) + f(3)
toplamı kaçtır?
(fof)(x – 1)–5 = f –1(2)
olduğuna göre, x kaçtır?
A) –2
68
D) 2
y
y = f(x) bir doğru denklemi ol-
2
1
2
B) –1
C) 0
D) 1
5) B
E) 2
6) B
A) 1
7) B
8) C
9) D
B) 2
10) E
C) 3
D) 4
E) 5
1.
4. f(2x –1) = 3x + g(x) ve
x–1
g–1(x) =
fonksiyonları veriliyor.
2
f: R → R, fonksiyonu için,
f(x + 1) = 2x – 3 ise, f –1(–9) aşağıdakilerden
hangisidir?
B) –3
C) –2
D) 2
E) 3
Buna göre f –1(1) değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
f(x + 2) = 3x – 2 ise
f-1(3) değerini bulalım.
f(x + 2) = 3x – 2 = 13
⇒ 3x = 13 + 2 = 15
x=5
f(x + 2) = 13 ⇒ x + 2 = f-1(13)
⇒ x = 5 ⇒ 5 + 2 = f-1(13)
f-1(13) = 7 dir.
f(x) =
– 3 ⋅ g(x) ve
2
3x – 1
g-1(x) =
ise
2
f1(2) değerini bulalım.
g-1(x) =
& g (x) =
olur.
f(x) =
& f (x) =
f(x) =
& f (x) = –
f-1(2)
& –c
f –1(a) = 3 eşitliğini sağlayan a kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
Palme Yayıncılık
2. Tanımlı olduğu aralıkta bir f(x) fonksiyonu için
3x + 2
f(2x+1) =
olduğuna göre,
4x + 1
5. f(3x – 1) = 2x + 4 . g(x) ve
2x
g–1(x) = –5 fonksiyonları veriliyor.
3
Buna göre f –1(6) değeri kaçtır?
A) –10
E) 2
B) –9
C) –3
D) 2
E) 8
6. f doğrusal bir fonksiyon ve
2x–1 + 3x2 – 1 fonksiyonu veriliyor.
f(1) – 2 . f –1 (3) işleminin sonucu kaçtır?
A) –3
B) –2
C) 0
D) 1
E) 3
f(2) = 1, f –1(3) = 1 ise
1
f d n kaçtır?
2
A) 1
1) C
2) D
3) D
4) B
5) C
B) 2
6) D
C) 3
E) 5
2
2x + 1
3
x+1
2
– 3 $c
2x + 1
3
m
x+1
– (2x + 1)
2
x + 1 – 4x – 2
2
(3x + 1)
2
= a ⇒ f(a) = 2
3a + 1
f doğrusal fonksiyon f(2) = 4,
f-1(2) = 1 olduğuna göre, f(x) i
bulalım.
f(x) = ax + b olun.
f-1(2) = 1 ⇒ f(1) = 2
f(2) = 4
D) 4
3x – 1
m= 2
2
⇒ 3a + 1 = –4 ⇒ 3a = –5
5
⇒ a =–
3
5
-1
f (2) = a = –
bulunur.
3
3. f(x) =
x+1
2$a+b = 4
a+b = 2
4 & a = 2, b = 0
f(x) = ax + b ⇒ f(x) = 2x olur.
69
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
A) –5
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 3
Test - 8
Ters Fonksiyon
Test - 8
7.
x+1
f(x) = 3x + 2 ve g(x) =
x –2
fonksiyonları için (gof-1)(–4) değerini bulalım.
f(x – 2) + f (x + 3) = 4x – 4 olduğuna göre,
f –1(20 + f(–1)) aşağıdakilerden hangisidir?
olarak veriliyor.
A) –7
Buna göre f(–2) aşağıdakilerden hangisidir?
B) –4
C) 4
D) 5
E) 9
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
A)
(gof-1)(–4) = g(f-1(–4) olur.
Önce
f-1(–4) ü bulalım.
f(x) = 3x + 2 = –4 ⇒ 3x = –6
⇒ x = –2 olup
f-1(–4) = –2 dir.
–2+1
g(f-1(–4)) = g(–2)) =
–2–2
bulunur.
–1
=
–4
=
1
m=
m+n =
4
,n=
1
4
+
3
4
3
4
8. f(x) = 3x + 14 ve g(x) =
=
4
4
(fog)(x) = (gof)(x) = x ⇒
g(x) = f-1(x) dir.
–6$6+3
6–1
–36 + 3
=
5
=–
bulunur.
70
olduğuna göre (gof –1)(2) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
fog birim fonksiyon ise m + n kaçtır?
A)
2
3
B) 1
C)
3
2
D) 2
E)
5
2
x+3
x+6
– 6x + 3
-1
& f (x) =
= g (x) olur.
x –1
g (6) =
11. f(x) = 3x – 2, g(x) = mx + n ve
= 1 olur.
f (x) =
5x + 2
x–2
olup
x+3
f(x) =
x+6
(fog)(x) = (gof)(x) = x ise
g(6) değerini bulalım.
E) 1
1
f(x) = 4x – 3 ve g(x) = mx + n
fonksiyonları veriliyor.
(fog)(x) = x olduğuna göre, m + n toplamını bulalım.
9
7
7
5
B) C)
D)
7
11
9
10
4
(fog)(x) = x ⇒ g(x) = f-1(x)
3
x+3 1
= x+
mx + n =
4
4
4
10. Tanımlı olduğu değerler için f ve g fonksiyonları
x
3x – 2
g(x) =
ve (g–1of) c
m=x+1
x–3
2x + 4
f: R → R, fonksiyonu için,
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 3
Temel Kavramlar ve Örnekler
33
5
9. f ve g fonksiyonları R den R ye tanımlı iki fonksiyondur.
f(x) = 3x – 2 ve (fog)(x) = 7x + g(x)
olduğuna göre g–1(8) değeri kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 9
D) 18
7) E
8) C
12. f(x) =
9) A
olduğuna göre, g(4) kaçtır?
A)
E) 29
10) C
2x + 1
ve (gof)(x) = (fog)(x) = x
3x – 1
1
2
3
5
4
B) C) D) E)
5
2
3
4
6
11) B
12) A
Test - 9
1.
x
0
1
2
4
y
I
0
II
0 III
y
y
–4 –3
4
–2
fonksiyonunun işaret tablosunda aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
0
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
II
III
A)
–
+
–
B)
–
+
+
A) f(5) < f(3)
B) f(2) < f(0)
C)
–
–
+
C) f(–2) = f(4) = 0
D) f(–1) < 0
D)
+
–
–
E)
+
+
–
A) (1, 4]
B) (1, 4)
D) (–2, 1)
C) (–∞, –2]
E) (4, ∞)
Palme Yayıncılık
fonksiyonunun pozitif olduğu aralıklardan
biri aşağıdakilerden hangisidir?
f: [–4, 5] → [–2, 2]
y = f(x) fonksiyonunun grafiği
veriliyor. f nin negatif ve pozitif
olduğu kümeleri bulalım.
f fonksiyonu, [–4, 3) ∪ (0, 4) kümesinde negatif (–3, 0) ∪ (4, 5]
kümesinde pozitif değerler alır.
y
3
6
0
–2
2
Şekilde y= f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanıştır?
C) f(–2) . f(3) = 0
D) f(7) . f(–3) > 0
E) f(2) < f(0)
y
–3
x
B) f(0) = 3
3
x
6
y = f(x)
6.
Şekilde verilen y = f(x) fonksiyonuna göre
f(x) > 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam
sayısı vardır?
A) 1
B) 2
C) 5
D) 6
1) C
2) B
4) B
6
5
B) (0, –8)
5) D
6) A
x
–2
f: [–3, 6] → [–4, 2]
f fonksiyonunun grafiği veriliyor.
Buna göre,
a) (fof)(–3)
b) (fof)(2)
c) (fof)(1) in işaretlerini bulalım.
a) (fof)(–3) = f(f(–3)) = f(2) = 0
b) (fof)(2) = f(f(2)) = f(0) = –2
c) (fof)(1) = f(f(1) ve f(1) ∈ (–2 ,0)
dır.
grafikten f(f(1)) ∈ (–2, 0) olup
f(f(1)) < 0 olur.
fonksiyonunun grafiğinin y eksenini kestiği
nokta aşağıdakilerden hangisidir?
D) (0, 2)
3) C
2
y =f(x) = –(x – 2)(x + 2)(x – 4)
A) (0, –16)
E) 7
0
–4
2
0
y
y = f(x)
A) f(–3) < 0
3.
x
E) f(–4) > 0
f(x) = –2(x – 1) (x – 4)(x + 2)
4 5
–2
5.
0
x
y = f(x)
I
2.
f(x)
2
1
(x – 1)2 (x – 4)
4
f(x) =
C) (0, –2]
E) (0, 16)
71
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
4.
5
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 3
Grafiğin Eksenleri Kestiği Noktalar Test 1
Test - 9
y
y = f(x)
2
–2
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
x
1
f: R → R, y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor.
f nin denklemini bulalım.
Grafikten f nin denkleminin 3
(rel) kökü olduğu görülüyor.
x1 = 2, x2 = 0, x3 = 1 olup
f(x) = a(x + 2)(x – 0)(x – 1)
ve f(–1) = 2 olduğundan
2 = a ⋅ (–1 + 2) ⋅ (–1) ⋅ (–1 – 1)
2 = a ⋅ 1 ⋅ (–1) ⋅ (–2) ⇒ a = 1
olur.
f(x) = x ⋅ (x + 2) ⋅ (x – 1) dir.
x
0
–2
–5
f(x)
3
1
–1
–1 0
10.
y
y = f(x)
y
7.
0
1
B) f(x) = 3(x – 3) (x – 1) (x + 1)
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre f(x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?
C) f(x) = –2(x – 3)(x – 1)(x + 1)
D) f(x) = –3(x – 1)(x + 1)(x + 3)
A) (–5, 0)
E) f(x) = (x – 3)(x – 1)(x + 1)
B) (–4, –3)
D) (0, 4)
y
II.
f(x)
x
A) f(x) = (x – 1) (x + 1) (x + 3)
8. I.
4
Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonu
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
C) (–2, 0)
E) (–2, –1)
y
g(x)
0 a
y
0
a
y = f(x)
III.
0 a
IV.
b
0 a
b
x
y
h(x)
y = f(x) fonksiyonunun [a, b]
aralığındaki grafiği veriliyor.
Grafiğe göre, [a, b] aralığında f
pozitif ve artandır.
x
y
x
b
b
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 3
Temel Kavramlar ve Örnekler
p(x)
x
0 a
b
x
Yukarıda grafikleri verilen fonksiyonlar için
aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
11. Bir kömür madeninde x işçi vardır. İşçi sayısına bağlı olarak çıkarılan kömür miktarı ton
1 2
olarak k(x) =
x (20 – x) fonksiyonu ile ve30
rilmiştir.
Buna göre 10 işçi çalıştığında kaç ton
kömür elde edilir?
A)
A) f(x) fonksiyonu artandır.
10
3
B) 10
C)
100
D) 100
3
E) 300
B) g(x) fonksiyonu artandır.
C) f(x) ve p(x) fonksiyonları artandır.
D)h(x) fonksiyonu azalandır.
y
E)p(x) fonksiyonu azalandır.
a
b
0
x
y = f(x)
y = f(x) fonksiyonunun [a, b]
aralığındaki grafiği veriliyor.
Grafiğe göre, [a, b] aralığında f
negatif ve artandır.
9. Bir top havaya atıldıında t saniye olmak üzere
yerden yüksekliği metre olarak
h(t) = 30t – 5t2 fonksiyonu ile veriliyor.
h(t) = –5t2 + 30t + 2 fonksiyonu ile veriliyor.
Buna göre topun 4. saniyedeki yüksekliği
kaç m dir?
Buna göre kaçıncı saniyede yerden 47 m
yükseklikte olur?
A) 40
72
12. Bir taş havaya atıldığında t saniye olmak üzere
yerden yüksekliği metre olarak
B) 80
C) 100 D) 140
7) C
8) C
A) 2
E) 200
9) A
10) B
11) C
B) 3
12) B
C) 4
D) 5
E) 6
Test - 10
1.
x –5 –4 –3 –2 –1,5 –1
f(x)
f(x) = 3(x + 4) (x + 2) (x + 1)
0
II
0
III
0
IV
2
3
6
–2
fonksiyonunun işaret tablosunda aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
I
II
III
IV
A)
–
+
–
+
B)
–
–
–
+
C)
–
–
+
+
D)
+
–
+
–
E)
+
+
–
+
–4 –3
x
0
y = f(x)
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) f(–2) = f(6)
B) (fof) (–2) = 3
C) f(0) = 3
D) f(1) > 0
B) (–∞, 4) – {1} C) (1, 4)
D) [1, 4)
E) (4, +∞)
Palme Yayıncılık
A) (–∞, 4)
5.
y = f(x)
3
Şekilde y = f(x) fonksiyonun grafiği verilmiştir.
Buna göre x2 ⋅ f(x) < 0 eşitsizliğini sağlayan
kaç tane x tam sayısı vardır?
A) 3
4
0
Her x ≠ 2 için (x – 2)2 > 0 olduğundan x – 5 < 0 olan kümeyi
bulalım.
x – 5 < 0 ⇒ x < 5 ve
x ∈ (–∞, 5) dir. Bu aralıkta x = 2
değeri için f(x) = 0 olur.
O halde en geniş küme
(–∞, 5) – {2} dir.
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
x
y = f(x)
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonu için
aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) f(–5) > 0
6.
C) f(2) > 0
D) f(–2) < 0
A) (1, 0)
B) f(0) = 3
E) f(8) < 0
B) (2, 0)
D) (–1, 0)
2) B
3) D
4) E
f(x) = 2(x – 3)2 ⋅ (x + 1) ⋅ (x + 2)
fonksiyonunun grafiği y eksenini hangi noktada keser?
y = f(x) = 2(x – 1)(x – 3)2
fonksiyonunun grafiğinin x eksenini kestiği
noktalardan biri aşağıdakilerden hangisidir?
1) A
f(x) = (x – 2)2 ⋅ (x – 5)
fonksiyonunun negatif değerler aldığı en geniş kümeyi bulalım.
3
–3
x
0
f(x) < 0 ⇒ –3 < x < 3 ve
6 < x < 7 dir.
Bu aralıklardaki x tam sayıları
–2, –1, 0, 1, olup 6 tanedir.
y
y = f(x)
y
–3
3.
x
f: [–4, 7] → [–4, 2]
f fonksiyonunun grafiği veriliyor.
x2 ⋅ f(x) < 0
eşitsizliğini sağlayan kaç x tam
sayısı olduğunu bulalım.
Her x ≠ 0 için x2 > 0 olduğundan x2 ⋅ f(x) < 0 eşitsizliğinin
çözüm kümesi için f(x) < 0
eşitsizliğinin çözüm kümesini
bulmalıyız.
f(x) = (x – 1)2 ⋅ (x – 4)
fonksiyonunun negatif değerler aldığı en
geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
7
6
0
–4
E) f(–1) < 0
2.
y
3
5) A
6) A
C) (–3, 0)
f nin grafiği y eksenini (0, f(0))
noktasında keser.
x=0 ⇒
f(0)=2 ⋅ (0 – 3)2 ⋅ (0 + 1) ⋅ (0 + 2)
= 2 ⋅ 9 ⋅ 1 ⋅ 2 = 36
olup (0, 36) noktasında keser.
E) (–2, 0)
73
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
I
y
4.
0
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 3
Grafiğin Eksenleri Kestiği Noktalar Test 2
Test - 10
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
–5
y = f(x)
0
–1
–3
y = f(x)
1
–3 –2
3
5
x
–2
0
Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonu
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) f(x) = 4(x – 2)2 (x + 3)
B) f(x) = 4(x + 2)2 (x – 3)
Buna göre, f(x) fonksiyonunun sabit olduğu
aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?
5
1
1 5
A) d –2, n B) d , n C) c 2, m
2
2
2 2
5
D) c , 3 m E) (4, 5)
2
y
y = f(x)
b cd ef
h
x
3
E) f(x) = 4(x + 2) (x – 3)
a
2
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
D) f(x) = –4(x + 2)2 (x – 3)
Bir f fonksiyonu [a, b] aralığı1
ğında pozitif ve artan ise
f (x)
fonksiyonu aynı aralıkta pozitif
1
2
5
2
C) f(x) = –4(x – 2)2 (x + 3)
8.
x
2
0
f: [–5, 5] [–1, 2]
f fonksiyonunun grafiği veriliyor.
f nin artan olduğu küme:
(–5, –3) ∪ (3,5)
f nin sabit olduğu küme:
(–3, –2) ∪ (1, 3)
f nin azalan olduğu küme:
(–2, 1) aralığıdır.
y
y
2
10.
f(x)
y
7.
ı
i
0
j
k
x
ve azalandır.
Yukarıdaki y = f(x) grafiği bir hastanın kalp atış
düzenini göstermektedir.
Buna göre, f için aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 3
Temel Kavramlar ve Örnekler
11. Kenar uzunluğu x cm (x > 8) olan bir karenin
her köşesinden, kenar uzunlukları 3 cm olan
küçük kareler kesilip çıkarılmış ve sonra kenarlar kıvrılarak üstü açık bir kutu yapılmıştır.
Bu kutunun hacminin (cm3) x in fonksiyonu
olarak yazımı aşağıdakilerden hangisidir?
A)3x2 –12x + 36
B)3x2 + 12x + 36
C)3x2 – 36x + 108
D)x2 + 36x + 108
E)3x2 + 36x + 108
A) a ile b arasında sabittir.
Bir top atışının yere dikey olarak yapıldığı bir deneyde fırlatıldıktan t saniye sonra yerden
yüksekliği
H(t) = 40 t – t2
fonksiyonu ile veriliyor.
Top maksimum yüksekliğe kaçıncı saniyede ulaşır?
H(t) = –(t2 – 40t)
= –[(t – 20)2] + 400
olduğundan t = 20. saniyede
en çok 400 metre yüksekliğe
ulaşır.
B) c ile e arasında azalandır.
C) f ile g arasında azalandır.
D) ı ile i arasında artandır.
E) j ile k arasında sabittir.
9. f(x) fonksiyonu (c, d) aralığında pozitif tanımlı
ve artan bir fonksiyon olduğuna göre,
aşağıdakilerden hangisi aynı aralıkta azalan bir fonksiyondur?
A)
1
f (x)
B) f(x2)
D) f(x) – x
74
C) x + f(x)
12. Bir top atışının yere dikey olarak yapıldığı deneyde fırlatıldıktan t saniye sonra yerden yüksekliği
H = 36t – 3t2 fonksiyonu ile veriliyor.
Maksimum yüksekliğe kaçıncı saniyede
ulaşır?
E) 3f(x)
7) A
8) B
A) 4
9) A
10) E
11) C
B) 5
12) C
C) 6
D) 7
E) 8
1.
(fog)(x) = 6x + 11
olduğuna göre, g(2) kaçtır?
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
g(x) = 2x – 3
A) x2 – 2x + 3
B) x2 + 2x – 3
fonksiyonu veriliyor.
(fof)(A) nın en büyük elemanı kaçtır?
C) 2
D) 6
Palme Yayıncılık
f: A → R ve f(x) = x2 – 3
B) –1
(fog)(x) = 4x + 10
⇒ g(x) = f-1(4x + 10)
x=3
⇒ g(3) = f-1(4 ⋅ 3 + 10) = f-1(22)
f-1(22) = a ⇒ f(a) = 22
⇒ 3a + 4 = 22
⇒ 3a = 18
⇒ a=6
g(3) = f-1(22) = a = 6 bulunur.
C) x2 – 3x + 2
D) x2 + 3x + 2
5. Reel sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları için
f(x) = 3x – 2
2. A = {–2, –1, 0, 1, 2} olmak üzere
A) –3
f(x) = 3x + 4 ve
(fog)(x) = 4x + 10 olduğuna
göre g(3) değerini bulalım.
ise f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
E) x2 + 3x – 2
E) 7
(fog)(x) = 2f(x) + 2x + 1 ise
g(2) kaçtır?
A) 3
B) 5
C) 8
D) 12
E) 15
(fog)(x) = 3(3x + 1) – 2
f(g(x)) = 3x + 1 + 1
3g(x) + 1 = 3x + 1 + 1
⇒ 3g(x) = 3x + 1
g(x) = x + 1 ve g(3) = 3 + 1 = 4
bulunur.
3.
f(x) =
2x
ax – 2
6. f (x) =
fonksiyonu sabit bir fonksiyon
3x – 1
+ 1 ve (fog)(x) = 2f(x) – 1
olduğuna göre, g(2) kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 2
D) 3
1) E
E) 4
2) D
3) D
4) C
f (x) =
sabit olması için
a b
= olmalıdır. O halde,
c a
A) 0
5) B
6) E
D) 3
E) 6
ax – 3
C) 1
f (x) =
fonksiyonunun
4x + 1
sabit olması için a kaç olmalıdır?
olduğuna göre (fof)(a) değeri kaçtır?
B) 1
f(x) = 3x + 1 ve
(fog)(x) = 3 ⋅ f(x) –2 olduğuna göre, g(3) değerini bulalım.
a
4
=–
ax + b
cx + d
3
1
fonksiyonunun
& a = – 12 olmalıdır.
75
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
A) 6
(gof)(x) = 2x2 – 6x + 1 ve
4.
f(x) = 2x + 3
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 3
Test - 11
Bileşke
Test - 11
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
f(x) = 3x + 5 , g(x) = ax + b ve
(fog)(x) = 9x + 10
ise a ve b değerlerini bulalım.
(fog)(x) = f/g(x)) = 9x + 10
= f(ax + b)+5 = 9x + 10
= 3(ax + b) + 5
= 9x + 10
3ax + 3b + 5 = 9x + 10
3a = 9
a=3
7. f: R → R f(x) = 2x – 1
10.
f(x) = 2x + 5
g: R → R g(x) = ax + b ve
(gof)(x) = 3x2 + x + k ve
(gof)(x) = 6x – 5
olduğuna göre, a ⋅ b çarpımı kaçtır?
A) –6
C) –1
D) 1
f(x) = mx + 6 ve
(fof)(1) = 6 ise m değerini bulalım.
(fof)(1) = f(f(1)) = 6
f(1) = m + 6 ⇒ f(m + 6) = 6
⇒ m(m + 6) + 6 = 6
⇒ m = 0 veya m = –6
m ≠ 0 olacağından m = –6 bulunur.
D) 6
E) 7
E) 3
11. f(x) ve g(x) fonksiyonları için
f(x) = 2x – 1 ise
(fofof)(x) nedir?
A) 8x – 7
B) 8x – 6
D) 8x – 4
C) 8x – 5
E) 8x – 3
(fog)(x) = 3x + 1
f(x) = 2x – 1
olduğuna göre, g(x + 1) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3x + 2
3x + 3
3x + 4
B)
C)
2
2
2
D)
3x + 5
3x + 6
E)
2
2
f(x) = 3x – 1 ise
(fofof)(x) i bulalım.
12.
9. f: R → R , f(x) = a ⋅ x + 4,
(fof)(x)
= f(f(x))
= f(3x – 1)
= 3(3x – 1) – 1
= 9x – 4
C) 5
bulunur.
B) 4
3b + 5 = 10
3b = 5
b= 5
3
8.
B) –3
g(3) = 9 ise, k kaçtır?
A) 3
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 3
Temel Kavramlar ve Örnekler
(fofof)(x) = f(9x – 4)
= 3(9x – 4) – 1
= 27x – 13
y
(fof)(1) = 16
olduğuna göre, a değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) –6
B) –2
C) 0
D) 4
3
E) 6
0
f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
(fof)(2a + 3) = 3
olduğuna göre a sayısı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) –2
7) A
8) A
9) A
10) E
x
y = f(x)
76
5
11) D
B) –1
12) D
C) 0
D) 1
E) 2
ÜNİTE – 3
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
77
Download

Ünite 3: Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları