ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
ANALİTİK DÜZLEM
Örnek...3 :
y
A B C D k ar e D ( 6 , 1 4 )
ise Alan(ABCD)
k aç b i r i m k a r e d i r ?
DİK KOORDİNAT DÜZLEMİ
İ k i s a yı d o ğ r u s u n u n d i k k es i ş m e s i yl e
o l u ş a n d ü zl e m e , d ik k oo r d i n a t d ü zl e m i
v e ya a n a l i t i k d ü zl e m d e n i r.
D
C
A
y
Ya t a y
eksen Ox
A
ekseni
b
v e ya a p s i s
ekseni,
2
dikey
1
eksen Oy
x
ekseni
v e ya
a
−2 −1 0
1 2
−1
ordinat
ekseni
o l a r a k a d l a n d ı r ı l ı r. Ox ⊥O y v e Ox ∩O y = {O } d ır.
B u r a d a k i k es i m n o k t a s ı o l a n O ' ya k oo r d i n a t b a ş l a n g ı c ı ( O R İ J İ N ) d e n i r.
Apsisi a ve ordinatı b olan nokta analitik
k oo r d i n a t d ü zl e m i n d e A ( a , b ) i l e b e l i r t i l i r.
Örnek...1 :
K ( x− 3 , y+ 2 ) n o k t a s ı n ı n x ek s e n i n e u z ak l ığ ı 4
b i r im v e y ek s e n i n e u za k l ı ğ ı 3 b i r im s e x . y
ç a r p ı m ı n ı n e n k üç ü k d e ğ e r i k a ç t ı r ?
B
x
ANALİTİK KOORDİNAT DÜZLEMİNDE
BÖLGELER
www.matbaz.com
HATIRLATMA
O
O x ek s e n i v e O y
ek s e n i n i n k es i ş m e s i yl e d ü z l em
d ö r t b ö l g e ye
a yr ıl ır.
( Ek s e n l e r i n b u
d ö r t b ö l g e yl e
k e s i ş im i b o ş t u r. )
y
I
(+,+)
II
(−,+)
x
0
III
(−,−)
IV
(+,−)
Örnek...4 :
A ( m , n ) n o k t a s ı a n a l i t ik d ü z l em i n I I . b ö l g e s i n d e b i r n ok t a i s e B (m − n , m . n ) n ok t a s ı
hangi bölgede olabilir?
Örnek...5 :
Örnek...2 :
K ( m , n ) n o k t a s ı a n a l i t ik d ü z l em d e 4 b ö l g e d e
d e d e ğ i l s e m . n n i n k aç f ar k l ı d e ğ e r i v a r d ır ?
y
O B A C e şk e n a r
d ö r t g e n d i r. C ( 6 , 8 )
ise Çevre(OBAC)
kaçtır?
C
A
Örnek...6 :
O
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
B
x
A ( 3 k + 8 , k − 7 ) n ok t a s ı I V. b ö l g e d e o l d u ğ u n a
g ö r e , k n ın a l a b i l e c e ğ i f ar k l ı t a m s a yı d e ğ e r l e r i t o p l a m ı k a ç t ır ?
1/8
ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
ANALİTİK KOORDİNAT DÜZLEMİNDE
UZAKLIK
Örnek...10 :
D i k k oo r d i n a t d ü zl e m i n d e b i r A n o k t a s ın ın
a p s i s i 6 a r t ır ıl ıp , o r d i n a t ı 8 a za l t ı l d ı ğ ı n d a b i r
B n o k t a s ı e l d e e d i l i yo r. B u n a g ö r e , | A B | k aç
birimdir?
A ( x1 , y 1 ) v e B ( x2 , y 2 ) n ok t a l a r ı b i r l e ş t i r i l d i ğinde elde edilen doğru parçasının uzun l u ğ u n a b u n ok t a l a r a a r a s ı n d a k i u za k l ı k
d e n i r. Ş ek l i i n c e l e yi n i z
y
B(x2,y2)
1
,y
)
y2
1
0
A(
x
y1
Örnek...11 :
y2− y1
x
x2−x1
x1
C
A ( − 2 , 5 ) v e B ( 6 , − 3 ) n ok t a l a r ı O y e k s e n i ü ze r i n d e k i b i r K n ok t a s ın a e ş i t u zak l ık t a i s e
K ' n i n k o o r d i n a t l a r ı t o p l a m ı k aç t ır ?
x
x2
|AB|= √ ( Δ X ) 2+( Δ Y) 2 , |AB|= √ ( x1 −x 2)2 +( y 1−y 2)2
Örnek...7 :
A ( 5 , 8 ) , B ( 2 , 9 ) n o k t a l a r ı v e r i l i yo r | A B | = ?
www.matbaz.com
A B C d i k ü ç g e n i n i i n c e l e yi n i z .
Örnek...12 :
A ( 3 x − 2 , 7 − x ) n ok t a s ı ek s e n l e r e e ş i t u zak l ık t a
ise A noktası ne olabilir?
Örnek...8 :
A (k , 2 ) , B (− 3 , 6 ) n ok t a l a r ı i ç i n | A B | = 5 i s e k '
n ı n a l a b i l e c e ğ i d e ğ e r l e r t o p l am ı k aç t ı r ?
Örnek...13 :
M(0,1) , N(−3,5) noktaları KLMN karesinin
k öş e l e r i d i r. B u k a r e n i n K M k öş e g e n i n
u zu n l u ğ u k a ç b i r im d i r ?
Örnek...9 :
A (m , m ) , B ( 4 , 2 ) , | A B | = 6 b r i s e m ' n i n a l a b i leceği değerler toplamı kaçtır?
Örnek...14 :
A ( 2 , − 1 ) v e B ( 3 , 1 ) n o k t a l a r ın a e ş i t u z ak l ık t a k i
n o k t a l a r ın g e om e t r i k ye r d e n k l e m i n i b u l u n u z.
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
2/8
ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
DOĞRU PARÇASININ ORTA NOKTA
KOORDİNATLARI
Örnek...18 :
Ş e k i l d e P n ok t a s ı [ K R ] '
n ın v e L n o k t a s ı [ K M ] '
n ın o r t a n ok t a l a r ı d ı r.
M(3,x), L(a,−2),
R(−2,1), P(m,k) ve
K ( 1 , − 3 ) i s e x + a .k − m
k aç t ır ?
A ( x1 , y 1 ) v e B ( x2 , y 2 ) n ok t a l a r ı b i r l e ş t i r i l d i ğ i n d e e l d e e d i l e n [ A B ] d o ğ r u p a r ç a s ı n ın
o r t a n o k t a s ı C ( x0 , y 0 ) i s e
x 0=
x1 +x2
2
y 0=
y 1 +y 2
2
M
L
K
P
R
o l a r a k e l d e e d i l i r. Ş ek l i i n c e l e yi n i z .
y
UYARI
B(x2,y2)
y2
y0
y1
P a r a l e lk e n a r, e ş k e n a r d ö r t g e n , k ar e v e
d ik d ö r t g e n d e k ö ş e g e n l e r b i r b i r l e r i n i o r t a l a d ı ğ ı n d a n b u d ö r t g e n l e r d e k ar ş ıl ık l ı
köşelerin apsislerin toplamları ve karşı l ık l ı o r d i n a t l a r ı n t o p l a m ı b i r b i r i n e e ş i t t i r.
A B C D p a r a l e lk e n a r ın ı i n c e l e yi n i z.
C
A(x1,y1)
0
x1
x0
D(x4,y4)
x2
C(x3,y3)
Örnek...15 :
K ( 5 , 6 ) v e L ( − 11 , − 8 ) n ok t a l a r ı v e r i l i yo r [ K L ]
nin orta noktası D ise D noktasının koordinat
b a ş l a n g ı ç n o k t a s ı n a u za k l ı ğ ı k a ç b i r im d i r ?
Örnek...16 :
K (m + 11 , 1 4 ) , M ( − 2m + 7 , √ 2) n o k t a l a r ı n ı n o r t a
n ok t a s ı y e k s e n i ü ze r i n d e i s e m k a ç t ı r ?
Örnek...17 :
A ( 1 , 2 ) , B ( 3 , 6 ) , C ( − 3 , 5 ) n ok t a l a r ı A B C ü ç g e n i n i n k öş e l e r i d i r. Ü ç g e n i n A B k e n a r ı n a a i t
k e n a r o r t a y u zu n l u ğ u k a ç b i r im d i r ?
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
E
A(x1,y1)
B(x2,y2)
E ( x 0 , y 0 ) k ö ş e g e n l e r i n k es i m n o k t a s ı i s e
x +x
x +x
y +y
y +y
x 0= 1 3 = 2 4 , y0= 1 2 = 2 4
2
2
2
2
v e b u r a d a n x 1+x 3=x 2+x 4 , y1 +y 3=y 2+ y4 t ü r.
Örnek...19 :
A n a l i t i k d ü zl e m d e k ö ş e k oo r d i n a t l a r ı A ( 0 , 2 ) ,
B ( − 5 , 3 ) , C ( 8 , 2 ) D ( x , y) o l a n A B C D p a r a l e l
k en a r ın D k ö ş e s i n i n k o o r d i n a t l a r ı t o p l a m ı
k aç t ır ?
Örnek...20 :
Köşegenlerinin kesim noktası O(3,−7) olan
A B C D d i k d ö r t g e n i n i n d ö r t k öş e s i n i n k o o r d i n a t l a r ı t o p l am ı k a ç t ır ?
3/8
ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
BELLİ ORANDA İÇTEN VE DIŞTAN BÖLME
B) DIŞTAN BÖLEN NOKTA:
A) İÇTEN BÖLEN NOKTA:
Eğer
A ve B noktaları bir doğru parçasının uç
∣AC∣
n o k t a l a r ı o lm ak ü ze r e
=k o l a c ak
∣BC∣
ş e k i l d e b i r C∈ [ AB ] v a r s a C n ok t a s ı n a
[ A B ] ' n ı k o r a n ı n d a i ç t e n b ö l e n n ok t a
d e n i r. Ş ek l i i n c e l e yi n i z.
A(x1,y1)
C(x3,y3)
∣AC∣
=k o l a c a k ş ek i l d e b i r
∣BC∣
C∉ [ AB ] , C∈AB v a r s a C n o k t a s ın a [ A B ] ' n ı k
o r a n ı n d a d ış t a n b ö l e n n ok t a d e n i r. Ş e k l i
i n c e l e yi n i z
A(x1,y1)
B(x2,y2)
B(x2,y2)
C(x3,y3)
Örnek...23 :
A ( 1 , − 6 ) , B ( 9 , 2 2 ) n ok t a l a r ı v e r i l i yo r
Örnek...21 :
∣AC∣
=5
∣BC∣
o r a n ın d a d ış t a n b ö l e n C n o k t a s ın ın k o o r d i natları nedir?
www.matbaz.com
A ( 5 , 1 4 ) , B ( 1 3 , − 1 4 ) n o k t a l a r ı v e r i l i yo r
∣AC∣
=3 o r a n ı n d a i ç t e n b ö l e n C n o k t a s ı n ın
∣BC∣
koordinatları toplamı nedir?
Örnek...24 :
A ( 9 , 1 2 ) , B ( 1 5 , 1 7 ) n o k t a l a r ı v e r i l i yo r. C n ok ∣AC∣ 2
t a s ı [ A B ] n ı,
= o r a n ın d a d ış t a n b ö l ü ∣BC∣ 3
yo r s a B n o k t a s ın ın k o o r d i n a t l a r ı ç a r p ım ı
nedir?
Örnek...22 :
A (− 5 , 6 ) , C ( 1 5 , 2 0 ) n o k t a l a r ı v e r i l i yo r. C
∣AC∣
n ok t a s ı [ A B ] n ı ,
=2 o r a n ı n d a i ç t e n
∣BC∣
b ö l ü yo r s a B n o k t a s ı n ı n k o o r d i n a t l a r ı ç a r p ım ı
nedir?
Örnek...25 :
Şekilde ABCD
paralel
k en a r d ır
∣AE∣ 3
= ve
∣ED∣ 4
E(1,2) ,
F(10,−17) ise
C k öş e s i n i n
k oo r d i n a t l a r ın ı
b u l u n u z?
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
A
D
E
F
B
C
4/8
ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
Örnek...26 :
ve M(1,−4), L(0,−1)
P (− 4 , 11 ) i s e R
n ok t a s ı n ı n k oo r d i n a t l a r ı
çarpımı nedir?
Örnek...28 :
M
∣KL∣
∣KP∣ 2
=2,
=
Ş ek i l d e
∣LM∣
∣PR∣ 3
A ( x , y) , B ( − 1 , 2 ) , C ( 4 , 6 ) ü ç g e n i n i n a ğ ır l ık
m er k e zi n i n G (− 5 , 1 2 ) i s e A n ok t a s ın ı n k oo r d i n a t l a r ın ı b u l u n u z ?
L
K
P
R
Örnek...29 :
Köşeleri A(2,1), O ve B
o l a n A O B d ik ü ç g e n i n i n
a ğ ır l ık m e rk e zi n i
b u l u n u z?
y
A(2,1)
x
ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİNİN
KOORDİNATLARI
C(x3,y3)
G(x0,y0)
A(x1,y1)
www.matbaz.com
O
B
KÖŞE KOORDİNATLARI BİLİNEN ÜÇGENİN
ALANI
C(x3,y3)
B(x2,y2)
K ö ş e k o o r d i n a t l a r ı A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2) , C ( x 3 , y 3 )
o l a n A B C ü ç g e n i n a ğ ı r l ı k m er k e zi G ( x 0 , y 0 )
x +x +x
y +y +y
i s e x 0= 1 2 3 , y 0= 1 2 3 o l a r a k e l d e
3
3
e d i l i r.
Örnek...27 :
A (− 8 , 1 0 ) , B (− 5 , 6 ) , C ( − 2 , 5 ) ü ç g e n i n i n
a ğ ı r l ı k m e r k e zi n i n k oo r d i n a t l a r ı n ı b u l u n u z ?
A(x1,y1)
B(x2,y2)
K ö ş e k o o r d i n a t l a r ı A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2) , C ( x 3 , y 3 )
olan ABC üçgenin alanı bulunurken şekildeki
g i b i n o k t a l a r a l t a l t a y a z ı l ı r. S o n r a i l k n o k t a larının ikilisi en alta yazılır ve ok yönündeki
çarpımlar yapıldıktan sonra oluşturulan iki
grubun farklarının yarısının mutlak değeri
a l ı n ı r.
1
A ( ABC) = ∣a−b∣
2
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
5/8
ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
Örnek...30 :
Örnek...33 :
K ö ş e l e r i A ( 0 , 1 ) , B ( 3 , 5 ) , C ( 3 , 6 ) v e D ( − 8 ,− 3 )
o l a n A B C D d ö r t g e n i n i n a l a n ı k aç b r 2 d i r ?
A n a l i t ik d ü z l em d e A ( 0 , 2 ) , B (− 5 , 3 ) v e
C ( 8 , 2 ) n ok t a l a r ı i s e v e r i l e n A B C ü ç g e n i n i n
a l a n ı k aç b i r i m k ar e d i r ?
Örnek...31 :
A ( 0 , 4 ) , B ( − 5 , 4 ) v e C ( a , b ) n ok t a l a r ı i s e
v e r i l e n A B C ü ç g e n i n i n a l a n ı 2 0 b i r im k ar e d i r.
B u n a g ö r e b n i n a l a c a ğ ı d e ğ e r l e r ç a r p ım ı
kaçtır?
www.matbaz.com
Örnek...34 :
A n a l i t i k d ü zl e m d e v e r i l e n A B C ü ç g e n i n i n
a ğ ır l ık m e rk e zi G ( 6 ,− 2 ) n o k t a s ıd ır. B ( 2 ,− 2 ) v e
C(0,−4) olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı
k aç b i r i m k a r e d i r ?
Örnek...32 :
A n a l i t ik d ü z l em d e k öş e k o o r d i n a t l a r ı A ( − 2 , 5 ) ,
B(1,3), C (n,4) olan ABC üçgeninin alanı 8
b i r im k a r e o l d u ğ u n a g ö r e , n k a ç o l a b i l i r ?
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
6/8
ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
DEĞERLENDİRME
2)
3)
4)
Analitik düzlemde A(x − 5,3 − x) noktası III. bölgede
bir nokta ise B(4x, x − 9) noktası hangi bölgede
olabilir?
Şekildeki ABCD paralel
kenarında L ve F orta noktalar.
[DF] ∩ [BL]=K ve A(−2,1)
ve C(22,−17) ise K noktasının koordinatları farkı
kaçtır?
D
C
L
K
F
B
A
K(−3,3y+2) ve L(x−3,−2) noktaları analitik düzlemde aynı bölgelerde ise x+y nin alabileceği en
büyük tam sayı değeri kaçtır?
www.matbaz.com
1)
5)
K(1,2) ve L(−3,1) noktalarına eşit uzaklıkta ve y
ekseni üzerindeki noktanın ordinatı kaçtır?
Şekildeki paralel kenarda
A(−2,1) B(3,2) ve C(1,4) ise
BD köşegen uzunluğu kaç
birimdir?
6)
Koordinat sisteminde a ve b birer tamsayı olmak
üzere K(a,2) ve B(−1,b) noktaları arası 5 birim ise b
nin alabileceği tam sayıların aritmetik ortalaması
kaçtır?
7)
Şekildeki OKA dik üçgen ve
m(KOA) 75 ve A(16,0) ise K
noktasının koordinatları nedir?
y
K
C
D
y
8)
A
B
Şekilde [OK], LOA üçgeninin yüksekliği , L(0,5) ve
∣LK∣= √ 5 ise A noktasının
apsisi kaçtır?
L
O
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
x
A
O
K
A
7/8
x
ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
9)
Analitik koordinat düzleminde koordinatları O(0,0)
A(6,0) B(4,3) ve C(0,7) olan dörtgenin alanı kaç
birim karedir?
13) Şekilde
∣KL∣ 3
= ,P [KR]
∣LM∣ 2
M
nin orta noktası ve K(1,2),
M(21,−18) ve R(7,2) ise
|LP| kaç birimdir?
K
L
P
R
11) A(2,−1) noktasına uzaklığı B(1,1) noktasına uzaklığının 2 katına eşit noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.
www.matbaz.com
10) Analitik koordinat düzleminde koordinatları M(1,−3)
∣MK∣
N(2,5) ise [MN] nı
=3 oranında dıştan bölen
∣NK∣
K noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
14) ABC üçgeninde [NB] B
C
açısının açıortayı ,
∣BC∣ 3
= , C(0,0) ve
∣BA∣ 2
N
N(9,−6) ise A noktasının koordinatları
A
çarpımı kaçtır?
B
12) Analitik düzlemde verilen ABC üçgeninin ağırlık
merkezi G(2, 4) noktasıdır. A(−1, 3) ise B ve C
noktalarının koordinatları toplamını bulunuz.
15) Şekilde PRST dikdörtgendir.
R(−3,6) ve P(−7,0)
ise T noktasının
koordinatları çarpımı kaçtır?
R
y
S
P
x
T
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
8/8
Download

Doğru Analitiği 1