Analitička geometrija u prostoru
Prava i ravan
Neka su dati prava
p:
x  x1 y  y1 z  z1


l
m
n
i ravan  : Ax  By  Cz  D  0 .
Ugao izmeđ prave p i ravni  računa se po formuli: sin  
pN
p N
, gdje je p vektor
pravca prave p ,a N vektor normale na ravan  .
Uslov paralelnost prave i ravni glasi: Al  Bm  Cn  0 .
A B C
Uslov okomitosi prave i ravni glasi:   .
l m n
Tačka prodora prave p kroz ravan  oređuje se tako što se jednačina prave napiše u
parametarskom obliku x  x1  lt , y  y1  mt , z  z1  nt , zatim se zamijene vrijednosti za
x, y, z u jednačini ravni i iz tako dobijene jednačine odredi se parametar t ,a samim tim i
koordinate presječne tačke.
1. Naći projekciju tačke M 1, 2,8 na pravu :
x 1 y z

 .
2
1 1
4 x  y  3z  6  0
2. Napisati jednačinu projekcije prave 
na ravan 2 x  y  5z  5  0 .
 x  5 y  z  10  0
3. Napisati jednačinu ravni u kojoj se nalaze paralelne prave:
x 1 y  3 z  4
x y z


i
  .
7
4
2
7 4 2
4. Napisati jednačinu ravni koja prolazi kroz pravu
pravoj
x  1 y  2 z 1


.
1
3
2
y 1 z  2 x  5 y  2 z  3

,


.

1
0
2
3
1
a) Odrediti  tako da se prave sijeku;
b) Za tako nađeno  naći presjek pravih;
c) Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz koordinatni početak i normalna je
na ravan koju određuju te dvije prave.
5. Date su prave
x2
x  3 y 1 z

 , a paralelna je
2
1
2

1
6. Napisati jednačinu zajedničke normale pravih:
x  1 y  2 z 1
.


1
3
2
x  3 y 1 z

 i
2
1
2
7. Sastaviti jednačinu prave koja leži u ravni 2 x  3 y  z  1  0 , prolazi kroz tačku
x 3 y 3 z
zaklapa minimalan ugao.


 0, 0, z  i sa pravom
1
2
1
8. Sastaviti jednačinu prave koja leži u ravni 2 x  3 y  z  1  0 , i prolazi kroz tačku u
x  2 y  4z  3  0
kojoj ova ravan siječe pravu 
i normalna je na ovu pravu.
 2 x  y  3z  1  0
9. Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M1  3, 2, 4  , paralelna je ravni
x  2 y  4 z 1
.


3
2
2
 y  2x 1
 y  x  2
i 
10. Naći ravan koja je paralelna pravama: 
i prolazi kroz
 z  3x  2
 z  4x 1
sredini rastojanja između njih.
3x  2 y  3z  7  0 i siječe pravu
11. Date su tačke A  0,5,0  , B 1, 2,0  , C  6,5,0  . Naći tačku u ravni
3x  2 y  z  1  0 koja je jednako udaljena od strana trougla ABC .
 5x  3 y  1  0

12. Na pravoj 
naći tačku jednako udaljenu od ravni : 3x  3x  2  0 i
9
15
3x  2 z  2  0
4x  y  z  4  0 .
13. Odrediti jednačinu ravni koja sadrži presjek ravni  : x  y  z  1  0 i
x 1 y  1 z


između datih ravni.
 : x  y  2 z  2  0 i polovi odsječak prave l :
1
2
2
14. Kroz tačku T  3,1, 2  postaviti pravu l koja je paralelna ravni  : 4 x  y  2 z  5  0 i
x  3 y  2 z 1


. Odrediti jednačinu prave l1 koja je
0
2
1
simetrična pravoj l u odnosu na ravan  .
koja siječe pravu p :
15. Ravni  : px  3 y  4 z  4,  : x  y  qz  0,  : 2 x  y  z  r , p, q, r 
sijeku
se u tački A 1, 0,1 . Odrediti osnovicu BC dužine 10 jednakokrakog trougla ABC
koja je normalna na ravan  , ako tačka B pripada presječnij pravoj ravni  i  .
2
Download

I Vježbe: Vektori u ravni i prostoru