Milutin Kojić
Matematika 2
VIETOVE FORMULE
Među rešenjima kvadratne jednačine ax 2  bx  c  0, a, b, c  R koja obeležavamo sa
x1 i x2 postoje izvesne veze.
Prema tvrđenju iz prethodnog odeljka imamo da je ax 2  bx  c  0 moguće zapisati na
drugačiji, rastavljen način: a( x  x1 )( x  x2 ) . Ukoliko izmnožimo ove brojeve dobijamo:
a( x  x1 )( x  x2 ) 
(ax  ax1 )( x  x2 ) 
ax 2  axx2  axx1  ax1 x2 
ax 2  a( x2  x1 ) x  ax1 x2
Kako je ova jednačina ekvivalentna sa polaznom ax 2  bx  c  0 dobićemo da su
vrednosti koeficijenata b i c jednaki: b  ( x1  x2 )a i c  ax1 x2 . Iz ovih relacija manjim
transformacijama dobijamo nove:
Definicija 1: Između rešenja x1 i x2 kvadratne jednačine ax 2  bx  c  0, a, b, c  R i
njenih koeficijenata postoje relacije:
b
c
x1  x2  
i x1  x2 
a
a
koje se zovu Vietove formule.
Značaj Vietovih formula je veliki. Naime nekad nam nije od posebnog značaja da
računamo rešenja kvadratne jednačine ali su nam potrebne relacije među njima. Vrlo
često kada su ta rešenja konjugovano kompleksna, nisu pogodna za neki dalji račun a
veze među rešenjima koje daju Vietove veze su nam dovoljna.
ZADACI:
1. Sastaviti bar jednu kvadratnu jednačinu čija su rešenja:
a ) x1  2 i x2  5;
b) x1  6 i x2  1;
c) x1  1 i x2  3;
e) x1  2  3 i x2  2  3;
1
d ) x1  2 i x2  ;
2
f ) x1  1  2i i x2  1  2i .
Rešenje:
Primenom Vietovih formula imamo da je x1  x2  
b
c
i x1  x2  pa tako u slučaju
a
a
b
c
i 10  . Koeficijent a možemo izabrati proizvoljno,
a
a
najpogodnije da u ovom slučaju bude jednak 1, pa tada iz ovih relacija imamo da je
b  7, c  10 pa je tražena kvadratna jednačina x 2  7 x  10 . Ovu jednačinu možemo
pomnožiti bilo kojim brojem i dobićemo novu jednačinu čija će rešenja takođe biti 2 i 5,
pod a) imamo da je 7  
Milutin Kojić
Matematika 2
te se stoga u postavci zadatka kaže odrediti bar jednu, jer takvih jednačina ima
beskonačno mnogo.
2. U kvadratnoj jednačini ax 2  bx  c  0, odrediti pomoću Vietovih formula:
1 1
1 1
a) x12  x22 ;
b) x13  x23 ;
c)  ;
d) 2  2
x1 x2
x1 x2
Rešenje:
c b 2  2ac
 b
a) x  x  ( x1  x2 )  2 x1 x2      2 
;
a
a2
 a
2
2
1
2
2
2
c  b  b3  3abc
 b
b) x  x ;( x1  x2 )  3 x1 x2 ( x1  x2 )      3     
;
a  a
a3
 a
b

1 1 x x
b
c)   2 1  a   ;
c
x1 x2
x1 x2
c
a
b 2  2ab
1 1 x2  x2
b 2  2ac
a2
d ) 2  2  22 21 

c2
x1 x2
x1  x2
c2
a2
3
3
1
3
2
3
3. Neka su x1 i x2 rešenja jednačine x2  x  2  0 . Ne rešavajući jednačinu odrediti:
a ) x12  x22 ;
b) x13  x23 ;
c ) x14  x24
4. Ne rešavajući jednačinu x 2  4 x  21  0 odrediti vrednost izraza:
3x12  4 x1 x2  3x22
.
x13  2 x12 x2  2 x1 x22  x23
5. Ne rešavajući jednačinu x 2  8x  15  0 odrediti vrednost izraza:
7 x12  5x1 x2  7 x22
, x1  x2 .
x13  3x12 x2  3x1 x22  x23
6. Odrediti vrednost parametra a tako da koreni1 jednačine x 2  x  a  2  0
zadovoljavaju uslov:
x1 x2 1
  x1 x2  4  0.
x2 x1 2
7. U jednačini x 2  8 x  q  0 odrediti realno q ako je x1  3 x2 .
1
Koreni jednačine su isto što i rešenja jednačine
Milutin Kojić
Matematika 2
8. Za koje vrednosti realnog parametra m jedno rešenje kvadratne jednačine
(m  3) x 2  (m  4) x  3m  0 tri puta veće od drugog?
9. U kvadratnoj jednačini 3kx 2  (6k  1) x  k  8  0 odrediti k tako da rešenja te
jednačine budu međusobno recipročna.
10. U jednačini (m  2) x 2  2(m  1) x  m  0 odrediti realni parametar m tako da njena
10
rešenja zadovoljavaju relaciju x12  x22  .
9
11. Sastaviti kvadratnu jednačinu čija su rešenja recipročna rešenjima jednačine
ax 2  bx  c  0, a, c  0 .
12. Neka su x1 i x2 rešenja jednačine x2  8x  2  0 . Sastaviti kvadratnu jednačinu čija
1
1
su rešenja 2 i 2 .
x1 x2
13. Primenom Vietovih formula odrediti vrednost realnog parametra m tako da rešenja
jednačine x 2  2(m  1) x  4m  0 budu negativna.
Rešenje: Rešenja kvadratne jednačine su realna i negativna ako i samo ako je D  0 ,
b
c
x1  x2    0 i x1 x2   0 . Jednačina ima realna rešenja za sve realne brojeve m jer
a
a
2
je D  4((m  1)  4m)  4(m  1) 2  0 .
Iz 2(m  1)  0 i  m  0 sledi da jednačina ima negativna rešenja za m<0.
14. Primenom Vietovih formula odrediti vrednost realnog parametra m za koji će rešenja
jednačine x 2  4 x  2(m  3)  0 biti pozitivna.
15. Ako su x1 i x2 rešenja jednačine x 2  px  q  0 , kako glasi jednačina čija su rešenja
x1  1 x2  1
i
?
x1
x2
Rešenje: Primenom Vietovih formula imamo da je x1  x2   p i x1  x2  q .
1
1
i 1  . Ako novu jednačinu, koju
Nama je potrebna jednačina čija su rešenja: 1 
x1
x2
b
c
i x1  x2  ,
tražimo, napišemo u obliku ax 2  bx  c  0 , imaćemo da je x1  x2  
a
a

x x
b
1
1
b
1 
1 c
i
i 1    1    , odakle je 2  1 2  
odakle je 1   1   
x1 x2
a
x1
x2
a
 x1   x2  a
1
x x  2( x1  x2 ) c
1 1 x1  x2 c
p
b

i 1 2
 
 
 pa je dalje: 2 
q
a
x1 x2
a
x1 x2
x1 x2
a
Milutin Kojić
Matematika 2

2q  p
b q 2p c
 i
 . Odavde se lako dobija da je a=q, b=(p-2q) i c=-p+1.
q
a
q
a
Download

VIETOVE FORMULE