-112.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi
UZAYDA VEKTÖRLER
3 'de vektör kavramını daha iyi anlayabilmek için 2 'de vektör kavramı ve özelliklerini
hatırlayalım...
A noktası AB yönlü doğru parçasının başlangıç noktası,B noktası AB yönlü doğru parçasının bitiş noktası,
d doğrusu AB yönlü doğru parçasının doğrultusu,
|AB| ise AB yönlü doğru parçasının uzunluğu=boyu=şiddeti olarak tanımlanabilir.Bundan sonra,


AB yönlü doğru parçasına vektör deyip AB şeklinde gösterilip AB : "AB vektörü" diye okunacaktır.

Ayrıca ; AB vektörünün boyu ; ||AB|| şeklinde gösterilip "AB vektörünün normu" diye okunacaktır.
Düzlemdeki her vektör; doğrultusu , yönü ve şiddeti değiştirilmemek şartıyla taşınabilir.
Başlangıç noktası orijin olan vektöre konum(yer) vektörü denir.
  
Uzunluğu 0 birim olan vektöre SIFIR VEKTÖR denir. 0 =AA=BB=...
Uzunluğu 1 birim olan vektöre BİRİM VEKTÖR denir.
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
-212.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi
Yandaki şekilde analitik düzlem verilmektedir.
e1 (1,0) , e2 (0,1) , A(-3,2) ve B(-3,-3) noktaları düzlemde gösterilmektedir.
Analitik düzlemde gösterilebilen tüm noktalar konum vektörü olarakta
kabul edebiliriz.




e1 =(1,0) , e2 =(0,1) , A (-3,2) ve B (-3,-3) şeklinde de gösterilir.



A =(a,b) ve B =(p,q) vektörleri veriliyor. ||AB|| bağıntısını yazınız.
  

2
2
AB= B - A =(p,q)-(a,b)=(p-a,q-b) ve ||AB||= p-a +  q-b 



2
2
AB=(-3,-3)-(-3,2)=(-3+3,-3-2)=(0,-5)  AB=(0,-5)  ||AB||=  0  +  -5  = 25=5



0
-5
AB ile aynı yönlü olan vektör v =(  ,  )  v =  0,-1 
||AB|| ||AB||




0
-5
AB ile aynı zıt olan vektör u = -(  ,  )  u =  0,1  e2 =  0,1
||AB|| ||AB||
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
-312.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi


 
A =(-3,2) ve B =(-3,-3) vektörleri için 2 A -3 B vektörünü temel taban vektörleri biçiminde yazınız.
   
2 A -3 B =2 A -3 B =2.(-3,2)-3.(-3,-3)=(-6,4)-(-9,-9)=(-6,4)+(9,9)=  3,13 
  

2 A -3 B =3e1 +13e2
HATIRLATMA


A ile  A arasında aşağıdaki gibi ilişki
mevcuttur.
Bu iki vektörün doğrultuları aynıdır.
Bu iki vektörün normları aynıdır.
Bu iki vektörün yönleri farklıdır.(Aşikardır ki;
Başlangıç ve bitiş noktalarıda farklıdır.)
VEKTÖRLERDE UÇ UCA EKLEME YÖNTEMİ
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
-412.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi
VEKTÖR:
Doğrultuları ve yönleri aynı uzunlukları yani normları eşit olan eş yönlü doğru parçalarına denir.
 


AB  CD  AB ve CD 'nin doğrultuları,yönleri aynı ve uzunlukları eşit yönlü doğru parçalarının
kümesi denklik bağıntısı mevcuttur.
Vektörler kümesindeki her bir denklik sınıfında bulunan vektörleri belirten vektöre temsilci vektör
denir.Uzaydaki bütün vektörlerin kümesi V ile gösterilir.3 'te eksenler aşağıdaki gibidir.
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
-512.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
-612.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi
Uygulama-1
   
 
Yukarıda ayırıtı verilen kare dik prizma için, AH= u , AG= v ve GB= w olsun.


u ve v vektörleri için aşağıdaki önermeler doğrudur.
Bahsedilen vektörler kare dik prizmanın karşılıklı yüzlerinin köşegen vektörleri olduğundan,
 
uzunlukları eşittir.Doğrultuları aynıdır.Yönleri farklı yani u =- v
(Uzayda paralel olan düzlemlerin üzerindeki her doğru paralel olacağını unutulmamalıdır.)
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
-712.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi
2
 2  2
HDA dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanırsa,|| u || = 
 +
4


2
 3  2 3 14 7

 = + = = birim
2

 16 4 16 8
Kare prizmasında e yüzey ,[AG] cisim köşegenidir.Bu durumda,CBA dik ikizkenar üçgendir.
2
1
. 2= olacaktır.GCA dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanır.
4
2
2

2  3 1 1
|| v ||2 =  e  + 
 = + =1 birim
 2  4 4

v , birim vektördür.
Bu durumda e=
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
-812.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi
Uygulama-2
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
-912.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi
  
Uç uca ekleme yönteminde; AC=AB+BC
  
AC=AD+DC
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
-1012.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi
  
  
    
AC=AB+BC ve
AC=AD+DC eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa , 2AC=AB+BC+ AD+DC


    
  
BC taşırsak uzayda, ED olur. Bu durumda, , 2AC=AB+ED+ AD+DC ayrıca, ED+DC=EC olacağı
aşikardır.
  
  
Ayrıca, AC=AE+EC  EC=AC- AE
   
2AC=AB+ AD+EC
    
2AC=AB+ AD+ AC- AE
   
AC= AD + AC - AE
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
-1112.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi
Uygulama-3
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
-1212.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi
Uygulama-4
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
-1312.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi
Uygulama-5
Düzlemde olduğu gibi uzayda da vektörleri başlangıç noktası O(0,0,0) noktasına taşıyabiliriz.
 
A(x,y,z) noktasının normu(uzunluğu) , OA = A =(x,y,z)-(0,0,0)=(x-0,y-0,z-0)=(x,y,z)

|| A ||= x2 +y2 +z2 şeklinde hesaplanabilir.
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
-1412.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi
Yukarıda verilen vektörlerde,



|| a ||= 4 , || -b ||= 5 , || c ||= 4

||3 a ||2 = 3242 =9.16=144

||-3 b ||2 = 32.52 =9.25=225

||4 c ||2 = 42.42 =16.16=256




|| w||= ||3 a ||2 +||-3 b ||2 +||4 c ||2 = 144+225+256= 625=25 birim
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
-1512.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi
HATIRLATMA
LİNEER BAĞIMLILIK VE LİNEER BAĞIMSIZLIK
Uzayda doğrultuları aynı olan iki vektör lineer bağımlıdır.
(Vektörleri taşıyan doğruların eğimleri eşit ise)
Yani lineer bağımlı iki vektöreden biri diğerinin bir gerçek sayı katına eşittir.
Uzayda doğrultuları farklı olan iki vektör lineer bağımsızdır.
(Vektörleri taşıyan doğruların eğimleri eşit değil ise)
Yani lineer bağımsız iki vektöreden biri diğerinin bir gerçek sayı katı şeklinde yazılamaz.
Aynı düzlemde bulunan üç vektör lineer bağımlıdır.Aynı düzlemde bulunmayan sıfırdan farklı üç vektör
lineer bağımsızdır.Uzayda üçten fazla vektör lineer bağımsız olamaz.
 

  
u , v ve w uzayda üç vektör olmak üzere w =m u +n v olacak şekilde m,n   bulunabiliyorsa,
bu üç vektör lineer bağımlı,bulunamıyorsa lineer bağımsız vektörler denir.
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
-1612.SINIF GEOMETRİ
DERS NOTLARI
Bu ders materyali matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
Ekleme tarihi : 26 Temmuz 2014 Cumartesi
Uygulama-6


Uzayda sıfırdan farklı a , b ve c lineer bağımsız vektörlerdir.Buna göre;
  
  
  
2 a - b +3 c , a + b - c ve a + b -3 c 'nün lineerlik durumunu yorumlayınız.
Uzayda üç vektör lineer bağımlı ise bu vektörlerden herhangi biri diğer iki vektörün lineer
bileşimi şeklinde yazılabilir.
  
  
  
2 a - b +3 c , a + b - c ve a + b -3 c 'nü lineer bağımlı kabul edelim.Bu durumda, m,n  
olmak üzere aşağıdaki eşitlik yazılabilir.
  

  
  
2 a - b +3 c = m.  a + b - c  + n.  a + b -3 c  buradan gerekli düzenlemeleri yapılarak 0 'ne




eşitlenir.


 
2-m-n a +  -1-m-n b +  3+m+3n c = 0 yani 2-m-n=0 , -1-m-n=0 , 3+m+3n=0
Bu denklem sisteminin m,n için çözümünün olmadığı aşikardır.Bu durumda uzayda verilen bu 3 vektör,
lineer bağımsızdır.
Hedefinize ulaşacak kadar çalışmakta fayda olduğunu düşünüyorum…
Download

UZAYDA VEKTÖRLER - www.omersencar.com