Nokta ile doğrunun durumları :
10. SINIF
GEOMETRİ
1- Nokta, doğrunun dışındadır.
II. ÜNİTE
DÜZLEMDE NOKTA VE
VEKTÖRLER
2- Nokta, doğrunun üzerindedir.
İki doğrunun durumları :
1- İki doğru birbirini keser
Doğruların doğrultuları :
2- İki doğru paraleldir.
3- İki doğru çakışıktır.
Doğru ile düzlemin durumları :
· Her grubun pozisyonu ile diğer grupların
pozisyonuna dikkat ediniz.
· Bu paralel doğru gruplarının her biri denklik
sınıfıdır.
· Her bir denklik sınıfı bir doğrultudur.
1- Doğru düzlemi keser.
· Doğrultuları farklı olan
iki doğrunun arakesiti
bir noktadır.
2- Doğru düzleme paraleldir.
3- Doğru düzlemin içindedir.
Kapalı yarı doğru ve açık yarı doğru :
Herhangi sabit bir nokta ile başlayıp, sonsuz
sayıdaki noktalar ile düz olarak sürekli tek yöne
uzatılabilen uzunluğu sınırsız, kalınlığı bulunmayan
geometrik terime kapalı yarı doğru (ışın),
başlangıç noktası dahil edilmediğinde ise açık yarı
doğru denir.
· Doğrultuları aynı olan iki doğru paralel veya
çakışıktır.
ÖRNEK: Düzlemde doğrusal olmayan 6 noktadan
en fazla kaç doğru geçer?
ÇÖZÜM: n elemanlı bir kümenin r li alt küme
P(n,r)
sayısı C(n,r) =
ile bulunuyordu. Buna göre:
r!
P(6, 2) 6.5
C(6, 2) =
=
= 15 tane doğru geçer.
2!
2.1
[AB
Kapalı yarı doğru (ışın)
-1-
]AB
Açık yarı doğru
Yarı düzlem :
Doğru Parçaları ile desen oluşturma :
Düzlemde alınan bir doğrunun düzlemde ayırdığı
iki parçadan her birine yarı düzlem denir.
Bu düzlem parçalarına doğru dahil edildiğinde
kapalı yarı düzlem, dahil edilmediğinde ise açık
yarı düzlem denir.
· Doğru parçaları ile eksenler oluşturulup
aralarındaki açılar dar, dik ve geniş açı olarak
alınabilir.
· Eksenler üzerinde alınan nokta sayılarının aynı
olmasına dikkat edilerek bu noktalar harfler veya
sayılar eşit aralıklarla yerleştirilerek isimlendirilir.
· Eksen uzunlukları eşit veya farklı olabilir.
· Eksenlerde alınan birimlerin oranı desenlerin
altına yazılmalıdır.
· Aynı harflere ait noktalar doğru parçası
oluşturacak şekilde birleştirilerek tasarımlar
oluşturulur.
· İstenirse elde edilen şekillerde bazı bölgeler
boyanarak farklı desen ve tasarımlar elde edilebilir.
Kapalı yarı düzlem
İnceleyiniz.
Açık yarı düzlem
Kapalı yarım düzlem
Doğru parçası ve iki doğru parçasının
durumları :
· İki nokta ile bunlar arasında bulunan ve doğrudaş
olan noktaların kümesine doğru parçası, bu iki
noktaya doğru parçasının uç noktaları denir.
Doğru parçası
Doğrultuları aynı çakışık doğru parçaları
Doğrultuları aynı paralel doğru parçaları
ÖDEV: Aşağıdaki şekli değişik renklerle boyayınız.
Doğrultuları farklı kesişen doğru parçaları
· Bir doğru parçasının doğrultusu, üzerinde
bulunduğu doğrunun doğrultusuyla aynıdır.
· İki doğru parçasının üzerinde bulunduğu doğrular
kesişiyorlarsa bu doğru parçalarının doğrultuları
farklı, kesişmiyorlarsa doğrultuları aynıdır.
· Uç noktaları çakışık doğru parçasına nokta
denir. Bütün noktalar aynı denklik sınıfındadır.
ÖDEV:
Filografi ile ilgili araştırma yapılacak.
-2-
Yönlü doğru parçası :
Vektörlerde toplama işlemi :
1. Doğrultuları aynı olan vektörlerde toplama :
İki vektörün doğrultuları yönü aynı ise bu
vektörlerin toplamının uzunluğu, vektörlerin
uzunluklarının toplamına eşit ve yönü aynıdır.
Uzunluğu, doğrultusu ve yönü olan doğru
parçasına yönlü doğru parçası denir.
Doğru Parçası
Yönlü doğru parçası ( + yön )
2- Doğrultuları farklı olan vektörlerde toplama :
r
· Çokgen yöntemi : Önce a nü sabit bir noktaya
r
taşırız. Sonra bu vektörün bitim noktasına b nü
r
taşıyarak, başlangıç noktası a nün başlangıç
r
noktası ve bitim noktası b nün bitim noktası olan
r
r
vektör çizilir. Son çizilen vektör, a ile b nün
toplam vektörüdür.
Yönlü doğru parçası (- yön )
Doğrultuları aynı, uzunlukları eşit olan yönlü
doğru parçalarına eş yönlü doğru parçaları denir.
Bu eş yönlü doğru parçaları bir denklik sınıfı
oluşturur. Her bir denklik sınıfına bir vektör denir.
Yukarıda verilen yönlü doğru parçalarının hepsi
aynı vektördür. Vektörlerde işlem yapılırken denklik
sınıfının temsilci elemanı kullanılır. Buradaki
vektörlerin temsilci elemanına u vektörü diyelim.
uuur uuur uuur uuur
r
AB º CD º EF º GH º ...... º u dir.
Düzlemdeki bütün vektörler kümesi V ile
gösterilir. Vektörler ile işlem yapılırken denklik
sınıflarının temsilci elemanları kullanılır.
ÖRNEK:
Birim vektör-Sıfır vektörü :
Uzunluğu 1 birim olan vektöre birim vektör
uuur
denir. IABI = 1 biçiminde gösterilir.
Başlangıç ve bitimi aynı olan yonlu doğru
parçalarının denklik sınıfına sıfır vektörü denir.
uuur uuur uuur
r
AA º BB º CC º ..... º 0 biçiminde gösterilir.
r
r
· Paralelkenar yöntemi : u ve v gibi doğrultuları
farklı iki vektörü toplarken başlangıç noktaları sabit
bir nokta üzerine taşınır. Başlangıç noktaları ortak
r
r
olan u ve v ne eş vektörler çizilir. Başlangıç
r
r
noktası u ve v nün başlangıç noktasıyla aynı olan
r r
köşegenin belirlediği toplam vektörü u + v olur.
Zıt yönlü vektörler :
Doğrultuları ve uzunlukları aynı, yönleri farklı olan
vektörlere zıt yönlü vektörler denir.
-3-
c) Birleşme özelliği : Üç veya daha fazla vektörü
toplarken önce hangi iki vektörü toplarsanız
toplayın sonuç değişmez.
r r r
r r r
Yani a + (b + c) = (a + b) + c dir.
Çıkarma işlemi : Vektörler kümesinde çıkarma
işlemi aslında bir toplama işlemidir.
r r r
r
u - v = u + ( -v) olduğuna dikkat ediniz.
İNCELEYİNİZ.
d) Birim (etkisiz) eleman : Vektörler kümesinde
r
toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı 0 dür.
r r r r r
Yani a + 0 = 0 + a = a dir.
e) Ters eleman : Her vektörün, toplandığında
r
0 nü veren bir vektörü vardır. Bu vektöre ters
r
r
r r r
eleman denir. Yani a + (-a) = ( -a) + a = 0 dir.
Toplama işleminin özellikleri :
1, Doğrultuları aynı vektörler için;
a) Kapalılık özelliği : İki vektörün toplamı yine bir
r r uur
vektördür. Yani u + v = w Î V dir.
2. Doğrultuları farklı vektörler için :
a) Kapalılık özelliği :
b) Değişme özelliği : İki vektör yer değiştirse de
toplamları yine aynı vektördür.
r r r r uur
Yani u + v = v + u = w dir.
b) Değişme özelliği :
-4-
c) Birleşme özelliği :
Özellikler :
r r
k,m Î R ve a,b Î V için;
r
r
r
1 - k × (m × a) = (k × m) × a = m × (k × a)
r
r
r
2 - (k + m) × a = k × a + m × a
r r
r
r
3 - k × (a + b) = k × a + k × b
r
r
4 - Ik × aI = IkI × IaI
Lineer bağımlılık :
Verilen iki vektörden biri diğeri üzerine, başlangıç
noktaları çakışacak şekilde taşınır.
Vektörlerden biri, diğerinin uzunluğuna eşit olacak
şekilde kÎR sayısı ile çarpılarak uzatılır. Böylece
doğrultuları aynı olan iki vektörün lineer bağımlı
yani biri diğerinin reel katı olduğu anlaşılır.
r
r
r
r
Yani a ile b lineer bağımlı ise b = k × a dir.
NOT: Paralel veya çakışık vektörler lineer
bağımlıdır. Sıfır vektörü (kendisi hariç) her vektör
ile lineer bağımlıdır.
ÖRNEK:
d) Birim (etkisiz) eleman ve ters eleman
yukarıda açıklandığı gibidir.
Bir vektörün bir reel sayı ile çarpımı :
(Skalar çarpım)
· Bir ölçü belirten büyüklüklere skalar denir. Skalar
büyüklükler, tek bir reel sayı ile belirlenebilen
büyüklüklerdir. Termometrenin gösterdiği sıcaklık,
metrenin gösterdiği uzunluk ölçüsü gibi. Bir reel
sayı yerine skalar sözcüğü de kullanılır.
· Bir vektör ile bir reel sayı çarpıldığında, vektörün
doğrultusu değişmez, ama yönü değişebilir.
Lineer bağımsızlık :
Doğrultuları farklı iki vektör ve bir nokta alınır. Bu
iki vektör başlangıç noktaları aynı olacak biçimde
belirlenen noktaya taşınır. Buradan da görülür ki,
doğrultuları farklı iki vektörün lineer bağımsız
olduğu yani birinin diğerinin katı olarak
r
r
yazılamayacağı anlaşılır. Yani u ¹ k.v dir.
· Bir vektörün bir reel sayı ile çarpımında yedi farklı
durum incelenir.
Vektörün uzunluğu ve
yönündeki değişime dikkat!
UYARI : Düzlemde ikiden fazla vektör lineer
bağımsız olamaz. Aşağıdaki şekilde doğrultuları
farklı üç vektör ve bir nokta belirlenirse,
r
r
r
paralelkenar yöntemi ile k nün, u ve v cinsinden
r
r
r
k = m.u + n.v şeklinde ifade edilebileceğini
r
r
görürsünüz. Bu yazılışa k vektörünün u ile v ye
göre lineer bileşimi denir.
-5-
Download

10. sınıf geometri