Aşağıdaki şekillerde alanların kaçar birim kare
olduklarını bulalım.
25 br2
28 br2
Birim Karelerin Hangisi?
*Aşağıda verilen aynı büyüklükteki masaların yüzeyleri,
farklı boyutlardaki karelerle kaplanmıştır.
6 br2
12 br2
24 br2
* 3 işlemde de aynı bölgenin alanını doğru olarak ölçmemize
rağmen, farklı sonuçlarla karşılaştık. Neden?
* Çünkü herkes için geçerli olan, standart bir ölçme birimi
kullanılmadı.
*Standart bir ölçme birimi ile ölçme yapılırsa, herkes için daha
anlaşılır olur.
* Standart alan ölçme birimi olarak cm2 ve m2 kullanılır.
•Kenar uzunluğu 1 cm olan karenin alanı 1 cm2 dir.
Bir santimetre kare” biçiminde okunur.
“
•Kenar uzunluğu 1 m olan karenin alanına ise 1 m2 denir. “
Bir metre kare” biçiminde okunur.
***Eğer masamızın alanını bulurken,
standart ölçme birimleri olan cm
yada m kullansaydık, bulduğumuz
sonuçlar aynı çıkardı.
Şekillerde karelerin birer kenar uzunlukları verilmiştir.
6 cm
Alanlarını bulmaya çalışalım.
5 cm
10 cm
9 cm
3 cm
Ölçümlerimizi tablo halinde gösterelim.
Kenarı
Alanı Her karenin bir kenarının
uzunluğu ile alanı arasında nasıl
2
Kareler
(cm)
( cm )
1.Kare
3
2.Kare
5
3.Kare
6
4.Kare
9
5.kare
10
9
25
36
81
100
bir ilişki vardır?
Karenin alanı bir kenarının kendisi ile
çarpımıdır.
Örnek : Karenin bir kenarı 3 cm ise, Karenin
Alanı ;
( A ) = 3x3 = 32 = 9 cm2 dir.
Karenin bir kenar uzunluğuna a dersek , alanını nasıl gösteririz?
Karenin bir kenar uzunluğuna
Alan (
a olursa ;
A ) = a x a = a2 şeklinde formülleşir.
Şekillerde dikdörtgenlerin uzunlukları ve genişlikleri belirtilmiştir.
Alanlarını bulmaya çalışalım.
6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
9 cm
11 cm
9 cm
7 cm
5 cm
3 cm
Ölçümlerimizi yine tablo halinde görelim.
Dikdörtgenler
1.Dikdörtgen
2.Dikdörtgen
Genişliği
( cm )
Uzunluğu
( cm )
Alanı
( cm2 )
3
5
4
9
15
36
55
48
63
3.Dikdörtgen
5
11
4.Dikdörtgen
6
8
7
9
5.Dikdörtgen
Her dikdörtgenin uzunluğu ve
genişliği ile alanı arasında nasıl
bir ilişki vardır?
Dikdörtgenin alanı, uzunluğu
ile genişliği çarpılarak bulunur.
Örnek : Dikdörtgenin
uzunluğu 11 cm, genişliği 5 cm
ise;
Dikdörtgenin Alanı;
( A ) = 11x5 = 55 cm2 dir.
Bir dikdörtgenin genişliğine a , uzunluğuna b dersek ; alanını
nasıl gösteririz?
Dikdörtgenin genişliği a , uzunluğuna b olursa ;
Alanı (
A ) = a x b şeklinde formülleşir.
M
N
c
a
a
c
L
K
Dikdörtgensel bölgenin alanı,
uzunluğu ile genişliğinin çarpımına eşittir.
A(KLMN) = a x c
Bir kenarı yükseklik olarak düşünürsek;
Dikdörtgenin alanı, “bir kenarının uzunluğu ile
yüksekliğinin çarpımına eşittir”, diyebiliriz.
F
a
C
S
a
a
a
E
Karesel bölgenin alanı;
iki kenar uzunluğunun çarpımına eşittir.
A(FSEC) = a x a = a2
Bir kenarı yükseklik olarak düşünürsek;
Karesel bölgenin alanı; “bir kenarının uzunluğu ile
yüksekliğinin çarpımına eşittir” , diyebiliriz.
 Şekil üzerinde, alanı 12 cm2 olan dikdörtgenler çizmeye
çalışalım.
Alanı 12
cm2 olan kaç dikdörtgen çizebiliriz?
2 cm
3 cm
6 cm
4 cm
A = 3x4 = 12 cm2
A = 2x6 = 12 cm2
12 cm
1 cm
A = 1x12 = 12 cm2
Bunun gibi başka dikdörtgenler çizebilir miyiz?
Şekilde iki nokta arası 2 cm’dir. Buna göre şeklin
çevresi kaç santimetredir?
Kaç tane nokta aralığı olduğunu bulur ve 2 ile çarparız.
Toplam : 20 tane
Çevre = 20 x 2 = 40 cm
Şeklimizin kenarlarını kes-yapıştır yöntemiyle dikdörtgene tamamlar ve
çevresini hesaplarız.
Oluşan dikdörtgenin;
Kısa kenarı =
Uzun Kenarı =
6 cm
Çevresi =
14 cm
Aynı şeklin bu kez de alanını hesaplayalım.
( iki nokta arası yine 2 cm)
Şekil üzerinde çizimler yaparak, şeklimizi dikdörtgensel ve karesel
bölgelere ayırmaya çalışalım.
1 dikdörtgensel ve 2 karesel bölge oluşturduk. Şimdi bu bölgelerin
kenar uzunluklarını bulalım.
( iki nokta arası 2 cm idi.)
8 cm
4 cm
6 cm
4 cm
2 cm
2 cm
Ayrı ayrı alanları hesaplayıp ve daha sonra hepsini
toplayarak , tüm şeklin alanını bulalım.
8 cm
6 cm
4 cm
48 cm2
2
4 cm 16 cm
2 cm
4 cm2
A = 6x8 = 48 cm2
A = 4x4 = 16 cm2
Şeklimizin toplam alanı;
2 cm
A = 2x2 = 4 cm2
Aşağıdaki dikdörtgenlerin önce çevre uzunluklarını,
daha sonra alanlarını hesaplayınız.
6 cm
7 cm
12 cm
11 cm
Dikdörtgenin çevresini ; bir uzun ve bir kısa kenarını toplayıp, sonra 2 ile çarparak
bulduğumuzu hatırlayın.
İki dikdörtgende de çevre uzunlukları eşit ve 36 cm çıktı.
Şimdi alanlarını bulalım. Bakalım alanları da eşit çıkacak mı?
Bu dikdörtgenler için, “çevreleri eşitse; alanları da
eşittir.” diyebilir miyiz?
•Dikdörtgenlerimizin alanlarını ayrı ayrı hesaplayalım.
6 cm
7 cm
12 cm
11 cm
Görüldüğü gibi dikdörtgenlerin alanları birbirinden farklı çıktı.
•Bu ve buna benzer dikdörtgenler için; “çevreleri eşitse, alanları da eşittir” yada “alanları eşitse,
çevreleri de eşittir” şeklinde bir kural koyamayız.
•Verilen şeklin kenar uzunluklarına göre , çevre ve alanları
hesaplamamız gerekir.
•Bazen öyle sorularla karşılaşırız ki, bize alanın bir kısmı verilir,
bizden alanın tamamı istenir.
•Bunun tersi de olabilir tabi ki : Alanın tamamı verilir, taralı alanı
bulmamız istenir.
•Yada “taralı alan şu kadarsa, şeklin çevresi ne kadardır?” gibi çevre
soruları da olabilir.
Şimdi , örnekler üzerinde bununla ilgili
çalışmalar yapalım.
Çevresinin uzunluğu 24 cm olan karesel bölgenin alanı
kaç cm2 dir?
Çevre ve alan hesaplamaları yaparken, şeklin kenar
uzunluklarının bilinmesi gerekmektedir.
Karede dört eşit kenar bulunduğundan çevre uzunluğunu dörde bölerek,
bir kenarını hesaplarız
Ç = 24 cm
Karenin alanını, bir kenar uzunluğunu
kendisi ile çarparak buluyorduk.
Bir uzun kenarı 40 m olan dikdörtgenin çevresi 120 m’dir.
Bu dikdörtgenin alanı kaç m2 dir?
Çevresi ve bir uzun kenarı verilen dikdörtgenin, kısa kenarını da bulmamız
gerekmektedir.
Dikdörtgenin uzun kenarları toplamı
olur.
Ç = 120 m
40 + 40 = 80 m
Çevresinden uzun kenarlar toplamını çıkararak , kısa kenarların
toplamını buluruz.
120 – 80 = 40 m (kısa kenarlar toplamı)
Bir kısa kenar uzunluğu ise; 40 : 2 = 20 m olur
İki kenar da belli olduğuna göre; şimdi alanını bulabiliriz.
Uzun kenarı 160 m, kısa kenarı 40 m olan dikdörtgensel
bir bahçenin alanı; karesel bir bahçenin alanına eşittir. Bu
karesel bahçenin çevresi kaç m’dir?
• Öncelikle problemi anlamaya çalışalım. Şekillerini çizelim.
• Verilenleri ve isteneni listeleyelim.
•Dikdörtgen biçimindeki bahçenin;
Uzun kenarı :160 m
Kısa Kenarı : 40 m
•Dikdörtgenin alanı, karenin alanına eşit.
Kare şeklindeki
bahçenin çevresi
•Dikdörtgensel bahçenin kısa kenarı 40 m, uzun kenarı 160 m.
•Dikdörtgenin alanını hesaplayıp, karenin alanı ile eşleyelim.
40 m
160 m
•Dikdörtgensel bahçenin alanı 6400 m2 olursa, karesel bahçenin alanı da 6400 m 2 olacak.
•Ancak soruda bizden karesel bahçenin çevresi isteniyor.
Bizden istenen karenin çevresi olduğu
için, karenin alanı olan 6400 m2 den yola
çıkarak , karenin bir kenarını bulmamız
gerekir.
Bir sayıyı kendisi ile çarparak 6400
sayısını bulacağız. Bu sayı kaç olabilir?
8 x 8 = 64 ise
80 x 80 = 6400 olur.
Öyle ise karesel bahçenin bir kenarı 80 m’dir. Şimdi
çevresini hesaplayabiliriz.
ABCD karesinde taralı bölge
72 cm2 ise, şeklin tüm alanı kaç cm dir?
2’
72 cm2
72 cm2
Karede komşu olmayan iki köşeyi birleştiren,
iki doğru parçası vardır. Bunlara köşegen
diyoruz.
AC ve BD köşegenleri
Köşegenler kareyi eş parçalara ayırır. Şimdi AC köşegenini çizelim.
Kare iki eş parçaya ayrıldı.
Taralı bölge 72 cm2 ise, diğer bölgede 72 cm2’dir.
Şeklin toplam alanı ise;
Karenin 2 köşegeni vardır.
Bir köşegen kareyi iki eş parçaya;
İki köşegen ise dört eş parçaya
(üçgene) ayırır.
Karenin köşegenleri birbirini ortalar.
Yani birbirlerini eş parçalara ayırırlar.
I AO I = I OC I = I BO I = I OD I
Şekilde KLMN karesel bir bölgedir. I LO I ve I NO I
uzunlukları birbirine eşit ve KLO üçgeninin alanı 45 cm2 ise,
tüm şeklin alanı kaç cm2’dir?
** ILNI doğru parçası karenin bir köşegenidir.
** I NO I = I LO I olduğu için I LN I köşegeni ortalanmış durumdadır.
*** Bu nedenle MO noktalarını birleştirdiğimizde, karenin diğer köşegeni olan I KM
I köşegenini elde ederiz.
*** Böylelikle karemiz 4 eş parçaya ayrılmış oldu.
Taralı alan 45 cm2 ise;
Diğer parçalar da 45 cm2’dir.
45 cm2
45 cm2
45 cm2
45 cm2
25 m
Şekilde verilenlere göre
EFGH dikdörtgeninin
çevresi kaç metredir?
75 m2
Dikdörtgenin bir kenarı ile alanının bir kısmı verilmiş,
bizden çevresini bulmamız isteniyor.
Çevresini bulmak için dikdörtgenin diğer kenarını da bulmamız gerekir.
Bunu nasıl yapabiliriz? Biraz düşünün bakalım.
•Dikdörtgenin alanı , kısa kenar ile uzun kenarın çarpımı ile bulunuyordu.
•Alanının tamamını bulabilirsek , verilmeyen kenarı da bulabiliriz.
25 m
75 m2
75 m2
75 m2
75 m2
 Karede olduğu gibi dikdörtgende de köşegenler , alanı birbirine eşit parçalara ayırırlar.
 Verilen
şekilde köşegenler , dikdörtgeni 4 eş parçaya ayırmıştır.
Taralı kısım 75 m2 ise , diğer parçalarda 75 m2’dir.
Bulduğumuz alanı yerine yazalım.
25 m
12 m
•Ancak bizden istenen alan değil, dikdörtgenin çevresiydi.
•Bunun için de alan formülü kullanarak, kısa kenarı bulmamız gerekir.
Dikdörtgenin Alanı = Kısa Kenar x Uzun kenar
•Son işlem ; kısa ve uzun kenarları belli olan dikdörtgenimizin çevresini bulalım.
Şekildeki PRSŞ dikdörtgeninde IPRI kenarı dört eşit
parçaya ayrılmıştır. Dikdörtgenin tüm alanı 200 cm2 ise,
taralı alan kaç cm2’dir?
** *Dikdörtgen üzerinde köşegenleri çizerek, dikdörtgeni eş parçalara
ayıralım.
*** ŞR köşegeni çizildiğinde taralı alanın kesildiği görülmektedir.
**** Bu yüzden ŞR köşegenini kullanmamız doğru olmaz.
*** Sadece SP köşegenini çizerek dikdörtgenimizi 2 eş parçaya ayırırız.
*** Toplam alan 200
cm2 olduğundan, iki eş parçadan her biri 100 cm2 olur.
100 cm2
100 cm2
Sadece taralı alanın yer aldığı parçayı, dikdörtgenden ayıralım.
Bu şeklin tüm alanı 100
cm2 olmuştu.
2 2
100100
cmcm
IPRI doğru parçasının 4 eş parçaya ayrıldığı, soruda belirtilmişti.
Birleştirilmeyen diğer noktayı da, S köşesi ile birleştirelim.
Alanları birbirine eşit olan
Bu şeklin tamamı 100
4 tane üçgen elde ederiz.
cm2 ise ;
Şekildeki ABCD dikdörtgeni içerisinde, birbirine eş 10 kare
kenarı 12 m ise, taralı alan kaç m2 olur?
bulunmaktadır. BC
12 m
 Taralı alanı bulmak için, ABCD dikdörtgeninin alanından , birbirine eş 10 karenin
alanını çıkarmamız gerekiyor.
Bunun için öncelikle dikdörtgenin ve karelerin kenar uzunluklarını hesaplamalıyız.
•BC kenarının ölçüsü olan 12 m yi kullanarak , karenin bir
kenarını bulalım.
•BC kenarını 4 kare ile oluşturduk. Öyleyse karelerin bir
kenarı;
•Böylelikle bütün karelerin alanlarını hesaplayabiliriz.
3
3
3
3
12 m
Kısa kenarı 12
cm olan ABCD dikdörtgenin uzun kenarını bulalım.
Dikdörtgenin uzun kenarı 6 kareden oluştu. Karenin bir kenarı 3
dikdörtgenin uzun kenarı;
cm olduğu için,
Şimdi kısa ve uzun kenarı belli olan ABCD dikdörtgenin alanını bulabiliriz.
12 m
18 m
12 m
3
18 m
Download

12 m - Eba