Milutin Kojić
Matematika 2
ODREĐIVANJE PRIRODE I ZNAKA REŠENJA KVADRATNE
JEDNAČINE
Verovatno ste već i sami primetili da su rešenja kvadratne jednačine, po određenim
osobinama uvek ista. Tako nikada niste dobili kao rešenje takve jednačine jedno realno i
jedno kompleksno rešenje. Postoje tri vrste rešenja koje kvadratna jednačina može da ima
i to kom od tih tipova rešenje pripada zapravo određuje prirodu rešenja kvadratne
jednačine.
Naime, svaka jednačina oblika ax 2  bx  c  0 , gde su a, b, c  R, a  0 može imati:
1) Dva različita realna rešenja;
2) Dva jednaka realna rešenja;
3) Konjugovano kompleksno rešenje.
Od čega zavisi kakvo će rešenje biti? Pa pogledajmo formulu kojom dolazimo do rešenja
b  b 2  4ac
kvadratne jednačine: x1/2 
. Ključnu ulogu u tome kakvo će rešenje biti
2a
igra ova potkorena veličina koju smo ranije nazvali diskriminantom. Da razmotrimo sve
mogućnosti znaka diskriminante:
1) D>0, tada je pod korenom pozitivan broj pa je samim tim i taj koren definisan, pa
ćemo dakle, kao rešenje jednačine imati dva različita realna broja
2) D=0, tada je i vrednost čitavog korena jednaka nuli, pa formula dobija sledeći
b  0 b
oblik: x1/2 
, što znači da će jednačina imati jedno realno rešenje.

2a
2a
3) D<0, tada vrednost korena neće biti moguće izračunati u polju realnih brojeva, pa
se premeštamo u polje kompleksnih brojeva i samim tim kao rešenje dobijamo
dva kompleksna broja, koja su pri tom međusobno konjugovani brojevi.
Ova osobina je od velike koristi, jer će nam u daljem izučavanju matematike veoma
često biti potrebna samo priroda, ne i konkretna rešenja kvadratnih jednačina te neće biti
neophodno računati čitavo rešenje već samo proveriti njegovu prirodu te nam je na ovaj
način posao daleko skraćen i olakšan.
Što se tiče znaka rešenja, to je svima poznato da rešenje može biti pozitivno ili
negativno.
Za izučavanje znaka rešenja, pretpostavićemo da je a>0 , ako to nije ispunjeno
množenjem čitave jednačine sa -1 ćemo obezbediti taj uslov.
Tada možemo zaključiti sledeće:
1) Ako je c>0 rešenja su istog znaka, suprotnog od znaka koeficijenta b.
2) Ako je c<0 rešenja su suprotnog znaka, a ono od rešenja čija je apsolutna
vrednost veća je suprotnog znaka od znaka koeficijenta b.
Milutin Kojić
Matematika 2
ZADACI:
1. Ne rešavajući jednačine odrediti prirodu rešenja datih jednačina:
a)3x 2  10 x  3  0;
b) x 2  1x  13  0;
c) x 2  6 x  9  0;
d ) x 2  4 x  5  0;
e) x 2  20 x  64  0; f )9 x 2  12 x  4  0.
Rešenje: Računamo diskriminantu i zatim utvrđujemo prirodu rešenja:
a) D  b 2  4ac  100  36  64  0 što znači da su rešenja realna i različita.
2. Za koje vrednosti realnog parametra m su rešenja kvadratne jednačine
(m  2) x 2  4 x  1  0 konjugovano kompleksna?
3. Ispitati prirodu rešenja kvadratnih jednačina u zavisnosti od realnih parametara a,k,m:
a ) x 2  3 x  m  0;
b) ax 2  5 x  6  0;
c) mx 2  (2m  5) x  m  0;
d ) 4 x 2  8 x  m  4  0;
e) 2kx 2  3 x  1  0;
f ) 5m 4 x 2  6m 2 x  2  0.
Rešenje:
c) Prva važna stvar je da je m različito od nule, jer u suprotnom jednačina ne bi ni bila
kvadratna. Zatim računamo diskriminantu:
D  (2m  5)2  4  m  m  4m2  20m  25  4m2  25  20m , sada razmatramo slučajeve,
5
prvo kada će rešenja biti realna i različita: 25  20m  0  20m  25  m  , m  0.
4
5
5
Realna i jednaka će biti za m  , dok će konjugovano kompleksna biti za m  .
4
4
4. Za koje vrednosti realnog parametra m kvadratne jednačine imaju dvostruka realna
rešenja:
a) x 2  (m  1) x  2m  1  0;
b) (2m  1) x 2  (m  2) x  m  3  0.
Rešenje: Potrebno je da diskriminanta bude jednaka nuli:
D  (m  1)2  4(2m  1)  0  m2  2m  1  8m  4  0  m2  6m  5  0
a)
m  5 ili m  1
5. U kvadratnoj jednačini (5k  1) x 2  (5k  2) x  3k  2  0 odredite realni parametar k
tako da rešenja budu dvostruka.
6. U jednačini x 2  7 x  2m  4  0 odrediti vrednosti realnog parametra m za koji će
jednačina imati oba rešenja pozitivna.
Rešenje: Da bi rešenja bila realna, potrebno je da je D veće od nule, pa onda imamo da je:
65
49  4(2m  4)  0  49  8m  16  0  m 
. Zatim da bi oba rešenja bila pozitivna,
8
potrebno je da je c>0, pa imamo uslov 2m  4  0  m  2 , pa konačno rešenje dobijamo
65
kao presek ova dva uslova: 2  m 
.
8
Milutin Kojić
Matematika 2
7. Odrediti prirodu i znake rešenja jednačine x 2  2 x  m  3  0 , gde je m realni
parametar.
Download

određivanje prirode i znaka rešenja kvadratne jednačine