Milutin Kojić
Matematika 2
KVADRATNA JEDNAČINA
Sada ćemo se upoznati sa pravim (potpunim) kvadratnim jednačinama.
Definicija 1: Kvadratna jednačina je jednačina oblika ax 2  bx  c  0 gde su a,b,c
proizvoljni parametri iz skupa realnih brojeva, i a  0.
Pitanje koje se logički nameće jeste kako odrediti rešenja takve jednačine. Prvo što nam
pada na pamet jeste da probamo da pogađamo rešenje. Sve i da uspemo da pogodimo, to
nam i dalje ne znači da je to rešenje jedino za tu jednačinu. Ako pogodimo i drugo
rešenje, pitanje je da li postoji i treće i tako redom. Jasno je da ovim principom ne bismo
daleko dogurali pa se okrećemo nekoj drugoj ideji. Neki bi rekli da pokušamo da traženu
jednačinu transformišemo u neki proizvod čiji je proizvod jednak nuli i time problem
svedemo na nešto što nam je od ranije pozanto ali se javlja problem što to nije uvek
moguće uraditi. Treba nam neki univerzalni postupak. Sada ćemo izvesti formulu koju
ćemo kasnije bez dokazivanja primenjivati i njome računati rešenja kvadratnik jednačina.
Dakle, neka je:
ax 2  bx  c  0 gde je a  0
u slučaju da je a=0, ta jednačina ne bi bila kvadratna. Stoga ćemo jednačinu podeliti sa a:
b
c
x2  x   0
a
a
Sada ćemo izvršiti niz ekvivalentnih transformacija:
2
b 
b2 c

x


 0


2a  4a 2 a

2
b 
b2 c

x   2 
2a 
4a a

b  b 2  4ac

x


 
2a 
4a 2

2
x
b
b 2  4ac

2a
4a 2
x
b
b 2  4ac

2a
4a 2
b  b 2  4ac
2a
Ako pogledamo krajnji rezultat prethodnih transformacija :
x
b  b 2  4ac
x
2a
primetićemo da u njoj figurira operacija  što znači da x može imati dvojaku vrednost,
pa pišemo:
Milutin Kojić
Matematika 2
b  b 2  4ac
2a
Ovo je formula kojom se rešava bilo koja kvadratna jednačina oblika ax 2  bx  c  0 .
Dakle, kvadratne jednačine oblika ax 2  bx  c  0 se rešavaju primenom formule koju
smo upravo izveli i iz koje je:
x1/2 
x1 
b  b 2  4ac
b  b 2  4ac
i x2 
2a
2a
Naravno da nije potrebno znati izvođenje ovih formula. Izveli
smo zajedno formule za opšte rešenje kvadratne jednačine kako
bismo pokazali da je ono savršeno logično.
Definicija 2: Potkorena veličina u gore navedenim formulama b2  4ac naziva se
diskriminantnom i obeležava se slovom D.
Diskriminanta će nam biti od velike koristi u daljem izučavanju kvadratnih jednačina ali
o tome će biti reči nešto kasnije.
ZADACI:
1. Rešiti jednačine:
a) x 2  9 x  14  0;
b)3x 2  10 x  3  0;
c) x 2  6 x  8  0;
d ) x 2  2 x  2  0;
e) 25 x 2  20 3x  61  0;
f ) x 2  2 2  3  0.
Rešenje: Zadatak se rešava prostom primenom formule za rešavanje kvadratne jednačine.
2. Rešiti jednačine:
a) ( x  9) 2  ( x  8) 2  (2 x  11) 2 ;
c) (5 x  2)(8 x  1)  9  (3 x  1)(4 x  1);
b) (3  x) 2  (20  4 x) 2  ( x  15) 2 ;
d ) (3 x  4) 2  (2 x  1) 2  (3 x  2) 2  ( x  1)( x  11).
Rešenje: Zadatak se rešava sređivanjem datih izraza do kvadratne jednačine nakon čega
se primenjuje formula za rešavanje kvadratne jednačine.
3. Rešiti jednačine:
3x
2x
3x  6
a)


;
x  1 x  2 ( x  1)( x  2)
x 1 1
3x  2
c)1 
 
;
x  2 x x( x  2)
3x
4x
2x2  6x

 2
;
x 1 x 1
x 1
2x 1 x 1
5x  4
d)


.
x  1 2 x  1 ( x  1)(2 x  1)
b)
Milutin Kojić
Matematika 2
4. Rešiti jednačinu: 1 
2x
27
6
 2

.
x  4 2x  7 x  4 2x 1
5. U jednačinama:
a ) x 2  kx  1  0 i x 2  x  k  0;
b) x 2  (k  2) x  6  0 i x 2  (2k  1) x  10  0;
c ) x 2  3 x  k  2  0 i x 2  4 x  2k  1  0
odrediti parameter k tako da jednačine imaju zajedničko rešenje.
Rešenje: Neka je a rešenje obe jednačine, tada je:
a 2  ka  1  0 i a 2  a  k  0 . Oduzimanjem druge jednačine od prve dobijamo:
a 2  ka  1  ( a 2  a  k )  0  0  ka  a  1  k  0 pa dalje imamo da je:
k (a  1)  (a  1)  0  (a  1)(k 1)  0 . Ovo je moguće u slučajevima da je a=1 ili k=1.
Ako je k=1 ove dve jednačine su ekvivalentne, a ako je a=1 zamenom te vrednosti u
jednu od jednačina dobijamo da je k=-2.
6. Rešiti kvadratne jednačine, gde su m , n , a, b realni parametri:
a) mx 2  (m  n) x  n  0;
b) (a 2  b 2 ) x 2  2ax  1  0;
c) x 2  2ax  a 2  b2  0;
d ) x 2  2m2 x  m4  n 4  0.
Rešenje:
a) Kako je jednačina kvadratna iz toga mora značiti da je m  0 , pa primenom poznate
formule za rešavanje kvadratnih jednačina imamo da je:
(m  n)  (m  n) 2  4mn (m  n)  (m  n) 2 m  n  (m  n)



2m
2m
2m
m  n  m  n 2m
m  n  m  n 2n n
 x1 

 1, x2 

 .
2m
2m
2m
2m m
b) Ovde je potreban uslov da je a 2  b2  0 pa je a  b .
x1/2 
7. Rešiti kvadratne jednačine, gde su m , n , a, b realni parametri:
a  4b a  4b 4b
m x xm
2mx
a)

 ;
b)

 2
;
x  2b x  2b a
m  x x  m m  x2
2x  m
2x
1
1
1
c)

 2;
d)

  0;
x
xm
2x  a x  a a
2
2
2b
a b
2
b 1
1
1
e)1 
 2
;
f)



;
2
2
x  a a  2ax  x
x  a bx
bx  b bx  x 2
a
a 1
mx 2  1
(m  1) x 2
1
g)
 2

1;
h
)

 .
2
2 2
2
3 2
bx  x x  2bx  x b
(mx  1) m x  m(2mx  1) m
Rešenje:
U ovakvim zadacima najvažnije je razmotriti sve moguće slučajeve.
a) Za a  0, x  2b, x  2b jednačina je ekvivalentna jednačini b( x 2  2ax  a 2  4b 2 )  0
čija su rešenja za b  0, x1/2  a  2b. Data jednačina za a  0 nema rešenja, za
Milutin Kojić
Matematika 2
b  a  0 rešenja su x   \{0}, za b  0, a  0, a  4b rešenja su x1/2  a  2b , dok je
za b  0, a  4b rešenje x1  6b , a za b  0, a  4b , rešenje je x1  6b .
8. Rešiti jednačine:
a) 2 x 2  5 x  3 | x  2 | 0;
b) 2 x 2  | 5 x  2 | 0;
c) x 2  | x  1| 0;
d ) x 2  | x | 2  0;
e)| x 2  | x  1|| 1;
f )| x 2  4 | x | 3 | x  3;
g )| x 2  9 |  | x 2  4 | 5;
h)| x 2  1|  | x |  | 2 x  3 | 4 x  6.
Rešenje: Kao i u prvoj godini kada smo rešavali linearne jednačine sa apsolutnom
vrednosti, i sada se rukovodimo istim principom. Dakle ispitujemo znak izraza u
apsolutnoj zagradi i zatim razmatramo dva slučaja. Na kraju proveravamo da li se
dobijeno rešenje nalazi u traženom intervalu (ili neposrednom zamenom u zadatku),
a) | x  2 | znak ove zagrade je pozitivan za x  2 a negativan za x  2 . Razmatramo sada
slučajeve:
1) ako je x  2 tada jednačina ima oblik:
2 x 2  5 x  3( x  2)  0  2 x 2  8 x  6  0  x 2  4 x  3  0 pa su rešenja te jednačine:
x1  3, x2  1 ali zbog uslova da je x  2 , odbacujemo rešenje x2  1 .
2) ako je x  2 tada jednačina ima oblik:
2 x 2  5 x  3( x  2)  0  2 x 2  2 x  6  0  x 2  x  3  0 pa su rešenja te jednačine:
1  13
1  13
, x2 
, ali zbog uslova po kojem je x  2 odbacujemo rešenje
2
2
1  13
x1 
.
2
Iz ova dva slučaja zaključujemo, konačno, da jednačina ima dva rešenja i to su x1  3 i
x1 
x2 
1  13
.
2
e) | x 2  | x  1|| 1 , ovu jednačinu možemo svesti na dve: x 2  | x  1| 1 i x 2  | x  1| 1
koje zatim rešavamo kao dva potpuno odvojena zadatka, a krajnje rešenje dobijamo tako
što uniramo rešenja ove dve jednačine.
U zadacima gde se nalaze dve različite apsolutne zagrade koje su nezavisne jedna od
druge potrebno je razmotriti sve slučajeve, a ako su apsolutne zagrade jedna unutar
druge, onda se uvek prvo radi unutrašnja zagrada.
Ukoliko po nekom uslovu dobijemo da je na primer x  2 , i u tom slučaju pri
rešavanju jednačine, kao rešenja dobijemo kompleksne brojeve, automatski ih
odbacujemo jer kao što smo već ranije napomenuli, kompleksni brojevi se ne
mogu porediti ni među sobom niti sa realnim brojevima.
Milutin Kojić
Matematika 2
9. Broj 21 rastaviti na dva sabirka tako da zbir kvadrata tih delova bude 261.
Rešenje: Ako su ta dva dela x i y, posmatramo jednačine:
x  y  21 i x 2  y 2  261 , pa dalje zamenom iz prve u drugu jednačinu dobijamo da je:
x 2  (21  x) 2  261  x 2  441  2 x  2 x 2  261  2 x 2  2 x  180  0  x 2  x  90  0
pa je to obična kvadratna jednačina čija su rešenja: 15 i 6.
10. Proizvod polovine i osamnaestine nekog broja jednak je 1. Koji je to broj?
1 1
1 2
Rešenje: Imamo jednačinu: x  x  1 pa je
x  1 odakle je x=-6 ili x=6
2 18
36
11. Naći tri uzastopna cela broja, čiji je zbir kvadrata jednak 110.
Rešenje: Ako srednji od tih brojeva označimo sa x, njegov prethodnik je x 1 a njegov
sledbenik x  1. Po uslovu zadatka imamo da je: ( x  1) 2  x 2  ( x  1) 2  110 odakle je
x 2  2 x  1  x 2  x 2  2 x  1  110  3x 2  108  0  x 2  36  0 odakle leko dobijamo
da je je x=-6 ili x=6. Tražena tri broja su: (7, 6, 5) ili (5,6,7) .
12. Zbir kvadrata tri uzastopna parna broja jednak je 200. Odrediti te brojeve.
13. Razlika kubova dva uzastopna prirodna broja jednaka je 91. Koji su to brojevi?
14. Naći dva broja čiji je proizvod -24 a razlika 17.
15. Bazen se vodom puni kroz širu cev za vreme koje je 5 časova kraće od vremena
punjenja kroz užu cev. Kroz obe cevi se puni za 6 časova. Za koje vreme će se bazen
napuniti kroz svaku od cevi posebno?
Rešenje: Ako je vreme punjenja u časovima kroz užu cev x, onda je kroz širu x-5. Kroz
1
1
užu cev za 1 čas puni se
deo bazena, a kroz širu
. Kroz obe cevi se za jedan čas
x
x5
napuni šestina bazena. Kad to izrazimo jednačinom, dobijamo:
1
1
1

 , x  0, x  5.
x x 5 6
Množenjem obe strane jednačine sa 6x(x-5) dobija se jednačina:
x 2  17 x  30  0
čija su rešenja 15 i 2. Važi samo prvo rešenje x=15. Prema tome, kroz užu cev bazen se
napuni za 15 sati a kroz širu za 10 sati. Ako bi uzeli drugo rešenje x=2, onda bi vreme
punjenja samo kroz užu cev bilo manje od vremena punjenja kroz obe cevi, što je
nemoguće.
16. Postoji li pravougli trougao, čije su dužine stranica tri uzastopna prirodna broja?
Rešenje: Obeležimo stranice trougla sa a,b,c. Pošto su to tri uzastopna prirodna broja,
mora da važi b=a+1, c=a+2. Pošto je trougao pravougli na njega možemo da primenimo
Pitagorinu teoremu, pa tako imamo da je a2  b2  c2 . Sada u tu formulu zamenjujemo
b=a+1, c=a+2 i imamo da je a 2  (a  1) 2  (a  2) 2 . Sada još treba srediti tu jednačinu:
Milutin Kojić
Matematika 2
a 2  a 2  2a  1  a 2  4a  4  a 2  2a  3  0 , pa su rešenja te jednačine a=3 i a=-1.
Budući da stranice trougla moraju biti pozitivni brojevi, odbacujemo rešenje -1, pa su
traženi brojevi a=,3 b=4, c=5.
17. Dužina hipotenuze pravouglog trougla je c, a zbir dužine njegovih kateta iznosi k.
Naći dužine kateta.
18. Fabrika se obavezala da trgovini isporuči za određeno vreme 600 komada jednog
proizvoda. Povećanjem produktivnosti rada fabrika je uspela da izrađuje dnevno 10
komada više tog proizvoda, zbog čega je isporuku izvršila 3 dana ranije. Koliko je
komada tog proizvoda fabrika izrađivala dnevno i koliko je bilo povećanje produktivnosti
rada?
Download

KVADRATNA JEDNAČINA