40. Jednačine koje se svode na kvadratne
ZADATAK 1. Rešiti jednačinu
x2 + x − 5
3x
+ 2
+ 4 = 0.
x
x + x−5
Rešenje:
Primećujemo da su prvi i drugi razlomak jedan drugome inverzni, s tom razlikom što
drugomo razlomku treba „skinuti“ trojku. To se lako postiže i dobijamo sledeću jednačinu:
x2 + x − 5
x
+ 3⋅ 2
+ 4 = 0.
x
x + x−5
x2 + x − 5
Ako sada uvedemo smenu
= t dobijamo
x
1
t + 3⋅ + 4 = 0.
t
Saberimo sve u jedan razlomak:
t 2 + 3 + 4t
= 0.
t
Ako je razlomak jednak nuli, to znači da je brojilac jednak nuli, tj.
t 2 + 4t + 3 = 0
t1, 2 =
− 4 ± 16 − 12
2
t 1 = −3 ∧ t 2 = −1 .
Ako vratimo smenu za svaku vrednost t dobićemo sledeća rešenja:
1o
x2 + x − 5
= −3
x
x2 + x − 5
+3= 0
x
x 2 + x − 5 + 3x
=0
x
x 2 + 4x − 5 = 0
x1 = −5 ∧ x 2 = 1 ;
1
2o
x2 + x − 5
= −1
x
x2 + x − 5
+1 = 0
x
x2 + x − 5 + x
=0
x
x 2 + 2x − 5 = 0
x 3 = −1 − 6 ∧ x 4 = −1 + 6 .
{
}
Dakle skup rešenja naše jednačine je: − 5,1,−1 − 6 ,−1 + 6 .
Binomna jednačina:
-
Oblik: Ax n ± B = 0 ,
-
Smena: x = y n
-
Svodi se na oblik: y n ± 1 = 0 .
B
,
A
ZADATAK 2. Reši jednačinu 8 x 3 − 27 = 0 .
Rešenje:
8 x 3 − 27 = 0
Smena x =
3
y
2
3
3 
8 ⋅  y  − 27 = 0
2 
27 y 3 − 27 = 0
27( y 3 − 1) = 0
y3 −1 = 0
( y − 1)( y 2 + y + 1) = 0
y −1 = 0 ∨ y2 + y +1 = 0
2
y1 = 1 ∧ y 2 =
−1− i 3
−1+ i 3
∧ y3 =
2
2
Sada vraćamo smenu za sve dobijene vrednosti y.
1o
x1 =
3
3
⋅1 =
2
2
2o
x2 =
3 −1− i 3
3(1 + i 3 )
⋅
=−
2
2
4
3o
x3 =
3 −1+ i 3
3(1 − i 3 )
⋅
=−
2
2
4
Trinomne jednačine
( )
-
Oblik: ax 2 n + bx n + c = 0 što transformišemo u oblik a x n
-
Smena: x n = t ,
-
Svodi se na oblik: at 2 + bt + c = 0 .
ZADATAK 3. Reši jednačinu x 6 − 7 x 3 − 8 = 0 .
Rešenje:
x6 − 7x3 − 8 = 0
(x )
3 2
− 7x3 − 8 = 0
Uvodimo smenu: x 3 = t
t 2 − 7t − 8 = 0
t 1 = 8 ∧ t 2 = −1 .
Opet, smenu vraćamo za sve dobijene vrednosti promenljive t, tj.
1o
x3 = 8
x3 − 8 = 0
(x − 2)(x 2 + 2 x + 4) = 0
x − 2 = 0 ∨ x 2 + 2x + 4 = 0
x1 = 2 ∧ x 2 = −1 − i 3 ∧ x3 = −1 + i 3 .
3
2
+ bx n + c = 0 ,
2o
x 3 = −1
x3 + 1 = 0
(x + 1)(x 2 − x + 1) = 0
x +1 = 0 ∨ x2 − x +1 = 0
x 4 = −1 ∧ x5 =
1− i 3
1+ i 3
∧ x6 =
.
2
2
4
Download

40. Jednačine koje se svode na kvadratne