www.matematiranje.com
OJLEROVE SMENE
Njih koristimo kod integrala tipa :
∫ R[ x,
ax 2 + bx + c ]dx .
1) Ako je a>0 smena je
ax 2 + bx + c = ± a x+t
2) Ako je c>0 smena je
ax 2 + bx + c = xt +
c
3) Ako su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine uvodimo smenu
x2)t
Primeri:
∫ x+
dx
x2 + x +1
,
∫ x+
Pazi, ako je u imeniocu proizvod, npr.
dx
x 2 − 5x + 6
∫x
,
∫
ax 2 + bx + c =a(x-x1)t
(1 − x 2 + x + 1) 2
x2 x2 + x +1
ili
ax 2 + bx + c =a(x-
dx
1
treba uzeti smenu x= i tako izbegnemo Ojlera…
t
x + x +1
dx
2
INTEGRAL BINOMNOG DIFERENCIJALA
Ova metoda se koristi kod integrala oblika
∫x
m
(a + bx n ) p dx . Ovaj tip se svodi na integral racionalne funkcije.
Razlikovaćemo 3 situacije:
1) Ako je p-ceo broj , onda dizanjem binoma (a+bxn) na p-ti stepen, ovaj integral bude kao integral iracionalne
funkcije
m +1
2) Ako je
-ceo broj , smena je a+bxn = ts , gde je s imenilac razlomka p
n
m +1
3) Ako je
+p – ceo broj, tada je smena ax-n + b=ts , gde je s opet imenilac razlomka p
n
x3 + x4
dx
Primeri: ∫
, ∫
dx ,
x4
x 6 x 2 −1
METODA OSTROGRADSKOG
Koristimo je za rešavanje integrala tipa
∫
P ( x)
ax 2 + bx + c
dx , gde je P(x) polinom drugog ili većeg stepena.
Ako je P(x) drugog stepena radimo sledeće:
∫
mx 2 + px + r
dx =(Ax+B)
ax 2 + bx + c + λ ∫
dx
, tražimo koeficiente A,B i λ
-
ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c
ovu jednačinu najpre diferenciramo (nadjemo joj izvod)
-
zatim je pomnožimo sa ax 2 + bx + c
Sredimo obe strane i uporedjivanjem tražimo nepoznate koeficiente A,B i λ
www.matematiranje.com
Primeri:
∫
2 x 2 + 3x
x 2 + 2x + 2
dx ,
∫
4x 2 − 5x
x2 + x +1
dx
Download

ojlerove_smene - WordPress.com