Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
Maksvelove jednačine predstavljaju matematičku formulaciju osnovnih postulata teorije makroskopskog
elektromagnetskog polja koji u elektromagnetici igraju istu ulogu kao Njutnovi postulati u klasičnoj
mehanici. Naziv su dobile po škotskom fizičaru Džejmsu Maksvelu koji je 1864. godine objavio prvi put rad
sa jednačinama koje objašnjavaju elektromagnetske pojave. Kompletan sistem Maksvelovih jednačina sadrži
četiri jednačine koje povezuju četiri vektora polja
opterećenja .
,
,
i
, vektor gustine struje
i gustinu električnih
Integralni oblik Maksvelovih jednačina elektromagnetskog polja
Integralni oblik Maksvelovih jednačina elektromagnetskog polja dat je u tabeli koja sledi.
Naziv jednačine
Jednačina
Gausov zakon (zakon
električnog fluksa)
·
Gausov zakon magnetizma
(zakon održanja magnetskog
fluksa)
·
Faradejev zakon
elektromagnetne indukcije
·
·
Uopšteni Amperov zakon
0
·
·
Ovim jednačinama treba dodati i jednačinu kontinuiteta koja izražava nemogućnost stvaranja ili uništavanja
električnih opterećenja u makroskopskim razmerama, tzv. zakon održanja električnih opterećenja
(naelektrisanja). Jednačina kontinuiteta glasi
·
U nastavku će biti objašnjene sve ove jednačine.
Neke korisne relacije:
1
Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
Značenje simbola i SI merne jedinice pomenutih veličina su dati u sledećoj tabeli.
Simbol
Značenje
SI jedinica mere
ili
Vektor jačine električnog polja
Vektor jačine magnetskog polja
Vektor (di)električnog pomeraja ili vektor električne indukcije ili vektor
gustine električnog fluksa
Vektor magnetske indukcije ili vektor gustine magnetskog fluksa
ili
Gustina naelektrisanja (zapreminskog)
Specifična provodnost materijala
Gustina električne struje
Deo površine po kojoj se integrali
Deo prostora obuhvaćenog zatvorenom površinom
Deo krive koja okružuje površinu
Permitivnost vakuuma ili (di)električna konstanta vakuuma
Relativna permitivnost dielektrika
Permitivnost dielektrika ili (di)električna kontstanta dielektrika
Permeabilnost vakuuma ili magnetska konstanta
Relativna permeabilnost
Permeabilnost (apsolutna)
Vektor električne polarizacije
Vektor magnetizacije
8,85419 · 10
4 · 10
Gausov zakon – zakon električnog fluksa
Gausov zakon daje zavisnost električnog fluksa koji izvire iz neke zatvorene površine od naelektrisanja koje
se nalazi unutar te površine. Ime je dobio po nemačkom fizičaru Gausu (Karl Friedrich Gauss, 1777 – 1855).
Zamislimo da se punktualno električno opterećenje
nalazi unutar domena ograničenog proizvoljnom
zatvorenom površinom (slika 1), čija je pozitivna normala orijentisana napolje. Vektor električnog polja
uopšte ima različit intenzitet u raznim tačkama površine i različito je orijentisan u odnosu na normalu. Kroz
svaki element površine
vektor stvara elementarni fluks, koji je definasan proizvodom
cos
gde je
ugao koji vektor
zaklapa sa pozitivnom normalom, a
projekcija vektora
Slika 1. Uz izvođenje Gausove teoreme
2 na normalu.
Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
Ako se sa
obeleži vektor čiji je intenzitet jednak površini , a pravac i smer mu se poklapaju sa pravcem
, može
i smerom pozitivne normale na tu površinu, tada se elementarni fluks, koji će se obeležavati sa
pisati u vidu skalarnog proizvoda
Ukupni izlazni fluks kroz zatvorenu površinu
·
je dat površinskim integralom
·
Kako je
1
4
elementarni fluks dobija oblik
4
4
gde je
cos projekcija elementarne površine na ravan upravnu na poteg što spaja punktualno
opterećenje sa elementarnom površinom. Kako je, s druge strane, elementarni telesni ugao Ω, pod kojim se
vide površine
i
, definisan odnosom (definicija prostornog ugla)
može se pisati
4
Ukupni izlazni fluks kroz zatvorenu površinu je, prema tome,
4
Ovaj izraz predstavlja Gausovu teoremu, izvedenu za slučaj usamljenog punktualnog opterećenja. Izlazni
fluks vektora jačine električnog polja kroz zatvorenu površinu jednak je količniku električnog opterećenja i
dielektrične konstante. Vrednost fluksa ne zavisi ni od oblika zatvorene površine, ni od položaja punktualnog
opterećenja koje je njom obuhvaćeno.
Ako površina
obuhvata
proizvoljno lociranih punktualnih opterećenja, ukupni fluks je jednak
algebarskom zbiru parcijalnih fluksova što ih stvaraju pojedina opterećenja:
1
·
Kada su električna opterećenja kontinualno raspodeljena i njihov raspored određen funkcijom gustine
naelektrisanja , Gausova teorema se piše u obliku
1
·
gde zapreminski integral treba računati po domenu
koji obuhvata zatvorena površina S.
Poslednji izraz predstavlja najopštiju formulaciju Gausove teoreme koja važi za svaki sistem opterećenja u
vakuumu: izlazni fluks vektora električnog polja kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednak je količniku
ukupne količine električnih opterećenja, obuhvaćenim tom površinom, i dielektrične konstante.
3 Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
U slučaju linearnih homogenih dielektrika, permitivnosti , važi relacija
je gustina struje dielektričnog pomeraja u amperima po kvadratnom metru.
Na osnovu ovoga uopšteni Gausov zakon u integralnom obliku se može pisati
·
Ova jednačina je uvršćena u skup Maksvelovih jednačina elektromagnetskog polja.
Ovaj zakon ima mnogo primena koje se uglavnom mogu podeliti u dve grupe. U prvu grupu spadaju
izračunavanja vektora D i E u izvesnim prostim, ali važnim slučajevima. Ti slučajevi se odlikuju jako
izraženom simetrijom, koja osigurava da je vektor D u svim tačkama poznatog pravca i smera, ali
nepoznatog intenziteta u funkciji koordinata. Tada se pomoću uopštenog Gausovog zakona može odrediti
zavisnost intenziteta od odgovarajuće koordinate. U drugu grupu primena spadaju dokazi izvesnih opštih
osobina elektrostatičkih polja.
Gausov zakon se može iskoristiti za dokazivanje da ukoliko unutar Faradejevog kaveza nema naelektrisanja,
onda unutar kaveza nema ni električnog polja. Odnosno, spoljnje električno polje ne može prodreti u
Faradejev kavez, već se polje unutar kaveza može stvoriti samo usled naelektrisanja koja se nalaze u njemu.
Gausov zakon je elektrostatički ekvivalent Amperovog zakona koji se bavi magnetizmom.
Zakon održanja magnetskog fluksa (Gausov zakon magnetizma)
Fluks vektora magnetske indukcije se kraće naziva magnetski fluks. To je jedna od najvažnijih veličina u
teoriji elektromagnetskih polja, i to ne samo kao računska veličina pomoću koje se mogu jednostavno
formulisati izvesni fundamentalni zakoni, već i kao veličina koja je vrlo lako dostupna direktnom merenju1.
Fluks vektora
integralom
kroz neku površinu , koja se oslanja na konturu
cos
(slika 2), definiše se površinskim
,
gde je
vektor čiji je intenzitet jednak elementarnoj površini
, a ima pravac i smer normale na tu
površinu. Pozitivan smer normale određuje se po pravilu desne zavojnice u odnosu na proizvoljno izabrani
pozitivan smer obilaženja po konturi.
Slika 2. Uz izračunavanje magnetskog fluksa kroz površ
1
Prof. dr Jovan Surutka, “Elektromagnetika”, treće izdanje, Građevinska Knjiga, Beograd 1971, pogl. 13.3.1, str. 336 4 Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
Fluks vektora
podleže veoma važnom zakonu o konzervaciji fluksa koji je jedan od osnovnih zakona
teorije elektromagnetskih polja. Prema ovom zakonu, izlazni fluks vektora
površinu jednak je nuli:
·
kroz ma koju zatvorenu
0
Ustvari, ovaj zakon iziskuje princip neprekidnosti linija vektora magnetske indukcije, koje nigde nemaju ni
početka ni kraja, već se zatvaraju same u sebe. Za razliku od polja vektora elektrostatičke indukcije, polje
vektora je bezizvorno, što je i razumljivo, s obzirom da u prirodi ne postoje magnetske mase (opterećenja).
Ispravnost principa neprekidnosti, odnosno zakona o konzervaciji fluksa magnetske indukcije, će se pokazati
ogledom. Ovaj zakon podjednako važi za homogenu kao i za nehomogenu sredinu, za magnetska polja
proizvedena makroskopskim električnim strujama kao i za polja permanentnih magneta. Do prve spoznaje o
neprekidnosti linija magnetske indukcije došlo se na osnovu proučavanja spektara magnetskog polja
električnih struja u vakuumu, gde se pokazuje u svim slučajevima bez izuzetka da su linije magnetske
indukcije zatvorene, tj. da nemaju ni početka ni kraja. Ilustracije radi, na slici 3 su prikazani spektri linija
magnetske indukcije što ih stvaraju struje u tankim provodnicima proste geometrije (prav provodnik, kružna
kontura, solenoid i torusni namotaj). Imajući u vidu da se, prema današnjim shvatanjima, namagnećenost
permanentnih magneta i uopšte uticaj magnetika na magnetsko polje objašnjava postojanjem elementarnih
struja u atomima i molekulima materije, princip neprekidnosti se može uopštiti i na magnetska polja u
materijalnim sredinama. Naime polazeći od fizički korektne predstave o elementarnim strujama, magnetsko
polje u materiji se može tretirati kao polje u vakuumu pri čemu uticaj materije treba zameniti uticajem
unutrašnjih elementarnih struja.
Slika 3. Spektri linija magnetske indukcije
Na slici 4 je šematski prikazan ogled kojim se neposredno i na jednostavan način dokazuje važenje principa
neprekidnosti (odnosno zakon o konzervaciji fluksa) i u slučaju heterogene sredine. Na slici je prikazan
torusni namotaj sa feromagnetskim jezgrom, koje je na jednom mestu presečeno, tako da postoji vazdušni
procep male debljine. Ako se probni navoj instrumenta za merenje magnetskog fluksa, fluksmetra2, koji
obuhvata torusni namotaj, pomera duž ose torusa, konstatuje je se da je fluks vektora
isti u svim
presecima, pa i na mestu gde se nalazi vazdušni procep. Apstrahujući malo rasipanje u okolini procepa,
2
Princip rada fluksmetra: Prof. dr Jovan Surutka, “Elektromagnetika”, treće izdanje, Građevinska Knjiga, Beograd 1971, pogl. 13.3.1, str. 336 5 Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
proizilazi da magnetska indukcija u jezgru i procepu ima istu vrednost. To znači da linije magnetske
indukcije prolaze kroz vazdušni procep bez prekidanja i da se zatvaraju same u sebe.
meren fluksometrom
Slika 4. Fluks vektora
Faradejev zakon elektromagnetne indukcije
Vremenski promenljiva magnetska polja izazivaju pojavu promenljivih električnih i magnetskih polja. Ova
uzajamna povezanost vremenski promenljivih električnih i magnetskih polja ukazuje da su električno i
magnetsko polje dva vida jednog jedinstvenog polja, koje se naziva elektromagnetsko polje.
Uzajmnu povezanost ovih polja prvi je primetio engleski fizičar Majkl Faradej. On je 1831. godine na
osnovu niza ekperimenata, otkrio i kvantitativno formulisao zakon elektromagnetske indukcije, jedan od
osnovnih i najvažnijih zakona elektrodinamike i elektrotehnike. Zanimljivo je da je Faradej do ovog otkrića
došao skoro slučajno, nastojeći da eksperimentalno dokaže jednu pogrešnu naučnu hipotezu. Neposredno
posle otkrića Ersteda i Ampera da stacionarna električna struja stvara magnetsko polje, Faradej je pokušao da
otkrije suprotan efekat, tj. da pomoću stalnog magnetskog polja izazove stacionarnu električnu struju u kolu
koje prožima magnetsko polje. Poveden ovom idejom, Faradej je konstruisao dva kalema i, postavivši ih u
neposrednu blizinu, kroz jedan od njih (primar) propuštao jaku jednosmernu struju. Stalno magnetsko polje
primara, koji je u ovom eksperimentu igrao ulogu elektromagneta, trebalo je, prema očekivanju, da u
sekundarnom kolu izazove stalnu jednosmernu struju. Iako je očekivani efekat izostao, Faradej je primetio da
se prilikom uspostavljanja i isključivanja struje u primaru i sekundaru javljaju kratkotrajne prelazne struje
suprotnog smera. Pojavu ovih tzv. indukovanih struja u sekundaru Faradej je zapazio i prilikom menjanja
relativnog položaja primara u odnosu na sekundar, pri čemu je struja u primaru-elektromagnetu održavana
konstantnom. Sličan efekat indukcije u sekundaru zapazio je kada je primar zamenio stalnim magnetom i
menjao relativni položaj magneta i sekundarnog kola.
Analizirajući na prvi pogled raznolike okolnosti pod kojima dolazi do pojave elektromagnetne indukcije,
Faradej dolazi do zaključka da je uzrok indukcije u svim slučajevima promena magnetskog fluksa kroz
posmatranu provodnu konturu, a da je intenzitet indukovane struje srazmeran brzini promene fluksa. Način
na koji se ostvaruje ova promena je potpuno irelevantan. Ona može da bude ostvarena menjanjem pobudne
struje u sistemu koji stvara magnetsko polje, pomeranjem ovog sistema u odnosu na provodnu konturu ili
deformacijom i pomeranjem konture u nepromenljivom magnetskom polju. U opštem slučaju, promena
fluksa može nastati i kao rezultat simultanog dejstva dva ili više pobrojanih faktora. Isto tako, promene
fluksa mogu nastati i zbog promena struje u posmatranoj konturi (samoindukcija).
Indukovana struja, koja se javlja u zatvorenoj provodnoj konturi prilikom menjanja fluksa, posledica je
indukovane elektromotorne sile koja postoji i u slučaju kada je kontura prekinuta. S obzirom da Faradej, iako
genijalni eksperimentator, nije vladao jezikom vektorske analize, on svoj zakon nije iskazivao u
matematičkoj formi. Nojman je 1845. godine dao matematičku formulaciju Faradejevog zakona, koja glasi:
6 Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
Indukovana elektromotorna sila (ems) u zatvorenoj konturi je srazmerna negativnom diferencijalnom
količniku priraštaja magnetskog fluksa i odgovarajućeg priraštaja vremena. Dakle,
Znak „minus“ na desnoj strani predstavlja matematički iskaz Lencovog pravila, prema kome indukovana
struja uvek ima takav smer da svojim poljem teži da spreči promenu fluksa, koja je prouzrokovala indukciju.
Pri pozitivnim priraštajima fluksa smer indukovane ems je suprotan pozitivnom smeru obilaženja po konturi
prema kome se određuje algebarski znak fluksa (po pravilu desne zavojnice).
Prilikom procesa elektromagnetske indukcije u konturi, ili nekim njenim delovima, indukuje se električno
polje,
, čiji je linijski integral, uzet po zatvorenoj konturi, jednak ems, odnosno
·
Pošto je
Faradejev zakon se može pisati u obliku
·
Izraz na desnoj strani predstavlja totalni izvod fluksa po vremenu, pri čemu promene fluksa mogu nastati bilo
zbog promena magnetske indukcije, bilo zbog promena oblika, orijentacije ili položaja konture.
Lako se može pokazati3 da se u opštem slučaju totalni izvod fluksa po vremenu može predstaviti u obliku
gde je
brzina pojedinih elemenata
konture u odnosu na posmatrača. Prvi član na desnoj strani
predstavlja brzinu promene fluksa zbog menjanja indukcije , a drugi brzinu promene fluksa zbog pomeraja
i deformacije konture .
Prema tome izraz za indukovanu elektromotornu silu u opštem slučaju ima oblik
·
(1)
Prvi član predstavlja indukovanu ems zbog promena magnetske indukcije, a drugi ems kao posledicu
deformacije i pomeranja provodne konture u magnetskom polju. U specijalnom slučaju, kada je kontura
nepokretna, a menja se magnetsko polje, može se pisati
·
(2)
Kada se kontura kreće u nepromenljivom magnetskom polju, indukovana ems se određuje po formuli
(3)
·
3
Prof. dr Jovan Surutka, “Elektromagnetika”, treće izdanje, Građevinska Knjiga, Beograd 1971, str. 332‐333 7 Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
Pošto nastaje zbog relativnog kretanja konture u odnosu na sistem koji stvara magnetsko polje,
elektromagnetska indukcija u ovom drugom slučaju se naziva dinamičkom indukcijom.
Jačina rezultantnog polja
u nekoj tački provodne konture je geometrijski zbir indukovanog polja
koje potiče od kvazistacionarnih električnih opterećenja. Pošto je linijski integral polja
po zatvorenoj
konturi jednak nuli, polje
se u jednačinama (1), (2) i (3) može zameniti rezultantnim poljem
tome, jednačina (2) se može pisati u obliku
·
i polja
. Prema
·
Ovaj zakon je zajedno sa ostalim zakonima elektromagentizma ugrađen u Makvelove jednačine.
Uopšteni Amperov zakon
U fizici, Amperov zakon, koji je otkrio Andre-Mari Amper, opisuje zavisnost kružnog magnetskog polja oko
električne struje. Ovaj zakon je magnetski ekvivalent Faradejevom zakonu elektromagnetske indukcije. U
svom izvornom obliku, Amperov zakon povezuje magnetsko polje sa svojim izvorom, gustinom struje .
Struktura magnetskog polja koje stvaraju električne struje zavisi od geometrijske konfiguracije strujnih
provodnika i intenziteta struja u njima. Iako, u opštem slučaju, magnetska polja električnih struja mogu
imati vrlo složenu strukturu, ona se pokoravaju jednom izvanredno jednostavnom integralnom zakonu,
poznatom pod imenom Amperov zakon o cirkulaciji vektora magnetskog polja. Prema ovom zakonu, koji
daje najopštiji kvantitativni odnos između magnetskih polja u vakuumu i stacionarnih električnih struja koja
ta polja prouzrokuju, linijski integral vektora magnetske indukcije
po proizvoljnoj zatvorenoj konturi
(cirkulacija vektora ) je srazmeran algebarskom zbiru struja koje prolaze kroz površinu što se oslanja na
konturu integraljenja (slika 5), odnosno
Slika 5. Pozitivan smer proticanja struje se određuje po pravilu desne zavojnice u odnosu
na proizvoljno izabrani smer obilaženja po konturi
U slučaju prostornog strujnog polja Amperov zakon se može pisati u obliku
8 Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
Ovako formulisan Amperov zakon važi bez izuzetka za sva magnetska polja električne struje u slobodnom
prostoru (vakuumu, vazduhu i materijalnim sredinama sa slabim magnetnim uređenjem, npr.
paramagneticima), bez obzira na složenost raspodele struje u prostoru i komplikovanost magnetskog polja.
U drugim sredinama važi uopšteni Amperov zakon koji kaže da je cirkulacija vektora jačine magnetnog polja
duž zatvorene konture jednaka sumi svih struja koje ta kontura obuhvata.
Naime, Maksvel je primetio neslaganje Amperovog zakona kada se primeni na punjenje ili pražnjenje
kondenzatora. Ako površina prolazi između ploča kondenzatora, a ne preko provodnika, onda je
0. To
je zato što se između ploča kondenzatora nalazi dielektrik, pa tu ne može biti gustine struje. Međutim,
između ploča kondenzatora važi
·
0, što je u suprotnosti sa prethodnim zaključkom da između
ploča kondenzatora nema struje. Maksvel je zaključio da Amperov zakon nije potpun. Da bi rešio problem,
osmislio je koncept struje dielektričnog pomeraja i napravio je opšti oblik Amperovog zakona koji je uvrstio
u Maksvelove jednačine. Opšti zakon, kako ga je Maksvel ispravio, ima sledeći integralni oblik
·
·
gde je u linearnim sredinama
gustina struje dielektričnog pomeraja.
Jednačina kontinuiteta
Jednačina kontinuiteta izražava nemogućnost stvaranja ili uništavanja električnih opterećenja u
makroskopskim razmerama, tzv. zakon održanja električnih opterećenja.
Intenzitet ili jačina električne struje kroz malu ravnu površ
definiše se kao odnos količine elektriciteta
koja prođe kroz površ u intervalu vremena , i tog intervala vremena,
(4)
Jedan od dva moguća smera prolaska kroz površinicu
uzima se proizvoljno kao referentni, pa se pozitivno
naelektrisanje koje kroz
prođe u tom smeru uzima kao pozitivno, a ako prođe u suprotnom smeru kao
negativno. Prema dogovoru, za negativno naelektrisanje važi obrnuto pravilo: kao pozitivno u jednačinu (4)
ulazi negativno naelektrisanje koje kroz
prođe u smeru suprotnom od referentnog. Ovakav dogovor o
računanju naelektrisanja koje prođe kroz malu površ potekao je iz dva razloga. Sa jedne strane, ako
posmatramo jednu makroskopsku zatvorenu površ, promena naelektrisanja unutar površi je ista ako neko
pozitivno nelektrisanje uđe u površ i ako isto toliko negativno naelektrisanje izađe iz površi. Sa druge strane,
ispostavlja se da su skoro svi efekti koji prate električnu struju nezavisni od znaka nosilaca naelektrisanja,
zbog čega je i vektor gustine struje definisan tako da ne zavisi ponaosob od (naelektrisanja čestice) i
(srednje usmerene brzine naelektrisanih čestica), već od njihovog proizvoda.
Ako je vektor gustine struje definisan kao vektorski zbir
(5)
tada se jačina struje
način
može se napisati preko vektora gustine struje u posmatranoj tački, na sledeći
·
9 (6)
Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
U slučaju makroskopske površi (koja ne mora biti ravna) intenzitet struje se dobija kao zbir intenziteta
struja oblika (4) ili (6) kroz sve elementarne površinice na koje izdelimo površ . Dakle,
(7)
ili, alternativno
(8)
·
Zamislimo sada jednu zatvorenu, nepokretnu površ u strujnom polju. I kroz zatvorenu površ moguće je
izračunati jačinu električne struje prema obrascima (7) i (8). Neka je domen obuhvaćen površi , a
gustina naelektrisanja (funkcija koordinata i vremena) unutar . Tada na osnovu jednačine (8) imamo
š
·
(9)
Referentni smer vektorskog elementa zatvorene površi usmereva se uvek, po dogovoru iz površi u polje
(slika 6).
Slika 6. Referentni smer vektorskog elementa zatvorene površi
Prema zakonu održanja opterećenja imamo da je
(10)
Kombinovanjem jednačina (7), (9) i (10) dobijamo
·
Ova jednačina se naziva jednačina kontinuiteta. Pošto smo pretpostavili da je površ nepromenljiva u
vremenu, diferenciranje se može izvršiti po gustini opterećenja . Kako je funkcija i koordinata i vremena,
pišemo znak parcijalnog diferenciranja, pa na kraju imamo
·
10 Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
Elementi vektorske analize
Teorija elektromagnetskog polja koristi neke pojmove i niz identiteta iz vektorske analize koji će biti
objašnjeni.
Kaže se da u delu prostora postoji polje neke fizičke veličine ako je u svim tačkama toga domena veličina
tačno određena podesnom definicijom. Npr, temperaturno polje na površi Zemlje je skup svih vrednosti
temperatura površi, koje se mogu izmeriti ili izračunati interpolacijom. Za elektromagnetiku su od posebnog
interesa skalarna i vektorska polja, tj. polja fizičkih veličina koje su skalari, odnosno vektori. Matematički se
skalarna i vektorska polja opisuju skalarnom, odnosno, vektorskom funkcijom položaja tačke u polju.
Smatraće se da su te funkcije uvek neprekidne i da su im definisani svi potrebni izvodi.
Osnovne veličine koje karakterišu skalarno i vektorsko polje jesu:
• za skalarno polje
o gradijent skalarne funkcije kojom se opisuje polje,
• za vektorsko polje:
o divergencija vektorske veličine kojom se polje opisuje,
o rotor vektorske veličine kojom se polje opisuje.
Gradijent
Gradijent, u vektorskoj analizi, je vektorsko polje koje predstavlja smer najveće promene u skalarnom polju.
Ako se posmatra soba u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem , tako da je u svakoj tački , ,
temperatura
, , (pretpostavka je da se temperatura ne menja sa vremenom). Tada će, u svakoj tački u
sobi, gradijent u toj tački pokazivati smer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti
kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.
Gradijent se, takođe, može koristiti za merenje kako se skalarno polje menja u drugim smerovima (a ne samo
u pravcu najveće promene) korišćenjem skalarnog proizvoda vektora. Ako se posmatra brdo sa najvećim
nagibom od 40% i ako put ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, takođe, 40%. Ako, međutim, put ide
oko brda sa uglom u smeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati manji nagib. Na primer, ako je ugao
između puta i pravca uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže
duž puta, biti 20%, što se dobilo iz proizvoda 40% · cos 60° .
Slika 7. Skalarno polje prikazano je crnim i belim područijem, s tim da crna odgovara većim vrednostima, a njegov
odgovarajući gradijent je predstavljen strelicama.
Gradijent skalarne funkcije
se obeležava sa
, a definiše se na sledeći način:
11 Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
lim
1
(11)
Zatvorena površinica obuhvata elementarnu zapreminu , a unutar nje se nalazi tačka u kojoj određujemo
gradijent. Uslov
0 treba shvatiti u smislu da najveći “prečnik” zapremine teži nuli, tj. da se zapremina
“skuplja” oko tačke u kojoj se određuje gradijent. Npr, ne može biti tanak valjak konačne visine čiji
poluprečnik teži nuli. Element
je po dogovoru usmeren iz površi u polje. Iz definicije (11) se vidi da je
gradijent skalarne funkcije vektorska veličina. Napomenimo da se neka vektorska polja mogu opisati i
podesnom skalarnom veličinom, čiji gradijent daje originalnu vektorsku veličinu u svakoj tački polja.
Može se dokazati da gradijent ne zavisi od oblika zatvorene površinice (dokaz nije prikazan). Ako se uzme
da je mala sfera sa centrom u posmatranoj tački, tada je iz definicione jednačine (11) očigledno da je
vektor
u smeru najbržeg porasta veličine u okolini te tačke.
Pomoću definicionog obrasca (11) mogu se izvesti izrazi za gradijent u svim koordinatnim sistemima. Kao
primer, izvešće se izraz za gradijent u Dekartovom pravouglom sistemu. U tom slučaju najpogodnije je
, i dalje sledi (videti sliku 8)
staviti lim
1
gde je
srednja vrednost funkcije
na strani 1 paralelopipeda na slici 8, i slično za
su obeleženi jedinični vektori (ortovi) osa ,
i . Pošto je
, ...,
. Sa
,
i
, i slično za druga dva izraza,
gradijent u Dekartovom koordinatnom sistemu ima oblik
(12)
Odavde se vidi da je skalarna komponenta
vektora
u pravcu i smeru neke ose
jednaka
Slika 8. Uz izvođenje izraza za gradijent, divergenciju i rotor u Dekartovom pravouglom sistemu
Vrlo često se, zbog skraćenja pisanja, uvodi tzv. “nabla” operator
(13)
pa se po definiciji piše i
(14)
12 Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
Divergencija
Divergencija vektorske funkcije
gradijenta)
definiše se relacijom (uz ista ograničenja za mali domen
1
kao u slučaju
(15)
Iz ove definicije je očigledno da je divergencija vektora u nekoj tački mera onih izvora tog vektorskog polja
u toj tački koji daju radijalnu komponentu polja.
U Dekartovom koordinatnom sistemu izraz za divergenciju se dobija na sličan način kao za gradijent (slika
8). Taj izraz glasi
(16)
,
i
su intenziteti vektorskih komponenata vektora
u smeru osa
Dekartovom sistemu se može skraćeno pisati i pomoću nabla operatora
,
·
i
. Divergencija u
(17)
gde tačka označava “skalarni proizvod” vektorskog operatora nabla i vektora .
Fizičko značenje pojma divergencije se može lakše razumeti na primeru brzinskog polja tečnosti koja struji.
Ako je brzina čestica tečnosti, onda površinski integral
(18)
uzet po nekoj zatvorenoj površini , predstavlja količinu tečnosti (merenu jedinicama zapremine) koja u
jedinici vremena napusti domen ograničen posmatranom površinom. Ako u domenu ne postoji nijedan izvor
ili ponor, kroz graničnu površinu domena će isticati upravo onoliko tečnosti koliko uđe, pa će i vrednost
integrala (18) biti jednaka nuli. U opštem slučaju, kada domen sadrži izvore i ponore, izlazni fluks vektora
brzine je različit od nule i upravo jednak razlici količina tečnosti koje u jedinici vremena odaju svi izvori i
prime svi ponori unutar domena. Vrednost integrala (18), kada se izračuna za domen konačne zapremine,
daje samo sumaran podatak o količini tečnosti koja nastaje ili nestaje u posmatranom domenu, ali se na
osnovu ovog podatka ne može ništa pobliže zaključiti o raspodeli i izdašnosti izvora i ponora. Međutim, ako
se integral (18) izračuna za elementarni domen čija zapremina teži nuli i dobijeni rezultat podeli sa ovom
zapreminom, dobije se mera izdašnosti izvora u posmatranoj tački, tj. količina tečnosti, svedena na jedinicu
zapremine, koju ovi izvori odaju u jedinici vremena. Prema tome, divergencija vektora brzine nije ništa
drugo do mera izdašnosti izvora, odnosno ponora, u posmatranoj tački brzinskog polja. U onim tačkama
polja u kojima nema izvora ili ponora divergencija mora biti jednaka nuli.
Po analogiji sa hidromehaničkim pojavama, pozitivna električna opterećenja možemo smatrati “izvorima”
linija električnog polja, a negativna njihovim “ponorima”. Linije električnog polja u vakuumu počinju na
pozitivnim, a završavaju na negativnim električnim opterećenjima. U onim domenima gde ne postoje
nikakva električna operećenja linije električnog polja su neprekinute, što se matematički iskazuje relacijom
0
Ovaj zaključak o neprekidnosti linija električnog polja važi samo za polja u vakuumu.
13 Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
Rotor
U vektorskoj analizi, rotor je vektorski operator koji pokazuje “učestalost rotacije“ vektorskog polja,
odnosno, pravac ose rotacije i intenzitet rotacije. Može se opisati i kao gustina cirkulacije (termini “rotacija”
i “cirkulacija” su korišćeni kao objašnjenje osobina vektorske funkcije pozicije, uprkos njihovoj mogućoj
promenljivosti u vremenu).
Vektorsko polje koje ima rotor jednak nuli naziva se nevrtložno vektorsko polje.
Rotor vektorske veličine
definiše se relacijom
1
Iz ove definicije se može zaključiti da je
(19)
mera onih izvora vektora
u posmatranoj tački koji stvaraju
vrtložnu komponentu vektora .
Pomoću slike 8 se dolazi do zaključka da definicija rotora (19) daje u Dekartovom sistemu izraz za rotor
(20)
što se pomoću nabla operatora može napisati u obliku
(21)
Poređenjem jednačina (11), (15) i (18) sa jednačinama (14), (17) i (21) dolazimo do zaključka da je moguće
definisati generalisani operator nabla,
1
a gradijent, divergenciju i rotor obeležavati sa
pravougli koordinatni sistem.
V,
·
(22)
i
, ne ograničavajući se pri tome na Dekartov
Neke teoreme i identiteti vektorske analize
Iz definicija gradijenta (11), divergencije (15) i rotora (19) slede skoro direktno tri veoma korisne teoreme
vektorske analize. Kao prvo, pomožimo jednačinu (11) sa
i primenimo je na sve male zapremine
na
koje smo izdelili proizvoljnu zapreminu konačne veličine. Imajući u vidu da je, po definiciji, element
svih zatvorenih površinica orijentisan iz površinica u polje, sabiranjem tako dobijenih jednačina nalazimo da
je
(23)
Na sasvim sličan način, iz jednačine (5) sledi veoma važna teorema Gaus-Ostrogradskog,
·
a iz jednačine (8) identitet
14 (24)
Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
(25)
Da bismo dokazali još jednu važnu teoremu vektorske analize, tzv. Stoksovu teoremu, zamislimo prvo da je
elementarna zapremina u jednačini (19) oblika pljosnatog valjka (slika 9). Obeležimo ort spoljašnje normale
na jednu osnovu valjka sa , površinu osnove sa ∆ , a visinu (debljinu) valjka sa .
vektora
.
Slika 9. Uz izvođenje Stoksove teoreme i izraza za komponentu ·
Po dogovoru, orijentacija konture i normale na površ koju kontura ograničava povezani su po pravilu desne strane
Množenjem leve i desne strane tako modifikovane jednačine (19) skalarno sa
·
Na osnovicama valjka su vektori
, gde je
1
lim
·
∆
∆
i
lim
∆
1
∆
dobijamo
·
paralelni, pa im je vektorski proizvod nula. Na omotaču valjka je
element konture koja ograničava osnovu valjka (npr. gornju, slika 9). Tako se
dobija
·
lim
∆
1
∆
·
(26)
Ovaj izraz predstavlja alternativu definiciji rotora, preciznije, definiciju komponente vektora
u pravcu i
smeru proizvoljnog orta . Važno je uočiti da je smer obilaska konture povezan sa normalom na površ
koju kontura ograničava po pravilu desne zavojnice (slika 9), a u skladu sa dogovorom koga se uvek držimo.
Zamislimo sada proizvoljnu otvorenu površ ograničenu konturom . Izdelimo površ na elementarne
površinice
ograničene konturama . Napišimo jednačine oblika (26) za sve te površinice, pomnožimo ih
sa , pa te jednačine saberimo. Imajući u vidu da je orijentacija elemenata susednih kontura suprotna i da je
, dobijamo
·
·
(27)
Ova jednačina se naziva Stoksova teorema.
Na osnovu do sada dobijenih rezultata moguće je definisati niz operacija nad skalarnim i vektorskim
funkcijama, kao i dokazati veći broj vrlo korisnih identiteta. Na primer, moguće je računati divergenciju
rotora neke vektorske funkcije, tj.
. Prema teoremi Gaus-Ostrogradskog imamo prvo identitet
15 Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
·
0
pošto se zatvorena površ
može zamisliti kao otvorena površ sa beskonačno malom konturom kao
granicom, pa primeniti Stoksova teorema (27). Pošto gornja jednačina mora važiti za svaku zapreminu ,
sledi da je integrand jednak nuli. Tako dolazimo do korisnog identiteta
0
Na kraju, zamenimo
u Stoksovoj teoremi (27) sa
. Pošto je
·
desna strana jednačine (27) u tome slučaju je nula. Ovaj zaključak važi za svaku površ
konturu , pa mora biti
0
16 (28)
⁄
,
koja se oslanja na
(29)
Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
Diferencijalni oblik Maksvelovih jednačina elektromagnetskog polja
Pomoću gore izvedenih teorema moguće je integralne jednačine polja transformisati u diferencijalne.
Na Gausov zakon električnog fluksa koji u integralnom obliku glasi
·
primenimo teoremu Gaus-Ostrogradskog na levu stranu jednačine i dobijamo
odnosno
(30)
Na Gausov zakon magnetizma koji u integralnom obliku glasi
·
0
primenimo teoremu Gaus-Ostrogradskog na levu stranu jednačine i dobijamo
0
odnosno
0
(31)
Ako na Faradejev zakon elektromagnetne indukcije koji glasi
·
·
primenimo Stoksovu teoremu na levu stranu jednačine dobijamo
·
·
Pošto ova jednačina važi za svaku površ , dobijamo da je
(32)
Na analogan način se transformiše uopšteni Amperov zakon koji u integralnom obliku glasi
·
·
Primenom Stoksove teoreme dobijamo
17 Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
·
·
odnosno
(33)
Pored ovih jednačina, transformišimo i jednačinu kontinuiteta koja u integralnom obliku glasi
·
tako što ćemo primeniti teoremu Gaus-Ostrogradskog na levu stranu i dobiti
odnosno
(34)
Integralni i diferencijalni oblik Makvelovih jednačina, kao i jednačine kontinuiteta su dati u sledećoj tabeli.
Naziv jednačine
Integralni oblik
Gausov zakon (zakon
električnog fluksa)
·
Gausov zakon magnetizma
(zakon održanja magnetskog
fluksa)
·
Faradejev zakon
elektromagnetne indukcije
Uopšteni Amperov zakon
Jednačina kontinuiteta
Diferencijalni oblik
·
0
0
·
·
·
·
18 Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
Literatura
1. Prof. Dr Branko Popović, “Osnovi elektrotehnike I”, četvrto izdanje, Građevinska knjiga, Beograd,
1982.
2. Prof. Dr Branko Popović, “Osnovi elektrotehnike II”, drugo izdanje, Građevinska knjiga, Beograd, 1981.
3. Prof. Dr Branko Popović, “Elektromagnetika”, četvrto izdanje, Građevinska knjiga, Beograd, 1990.
4. Prof. dr Jovan Surutka, “Elektromagnetika”, treće izdanje, Građevinska Knjiga, Beograd, 1971.
5. Daniel Fleisch, “A student’s Guide to Maxwell’s Equations”, Cambridge University Press, 2008.
6. http://sr.wikipedia.org
7. http://sh.wikipedia.org
8. http://en.wikipedia.org
9. www.fizika.info
10. www.pmf.ac.me
Animacije
1.
2.
3.
4.
5.
6.
http://phet.colorado.edu/simulations/index.php?cat=All_Sims
http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Faradays_Electromagnetic_Lab
http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Faradays_Law
http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Radio_Waves_and_Electromagnetic_Fields
http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester2/menu_semester2.html
http://courses.science.fau.edu/~rjordan/phy2044/rev_notes.htm
19 
Download

Maksvelove jednacine.pdf