Matematiˇcka analiza 4
Dragan S. ¯Dord¯evi´c
14.5.2014.
2
Sadrˇ
zaj
Predgovor
5
1 Integracija
ˇ
1.1 Zordanova
mera u Rn . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Mera pravougaonika u R2 . . . . . . . .
1.1.2 Mera n-intervala u Rn . . . . . . . . . .
1.1.3 Unutraˇsnja i spoljna mera . . . . . . . .
1.2 Rimanov integral . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Rimanova suma . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Darbuove sume . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Oznake i terminologija . . . . . . . . . .
1.3 Klase integrabilnih funkcija . . . . . . . . . . .
1.4 Svojstva Rimanovog integrala . . . . . . . . . .
1.5 Geometrijski i fiziˇcki smisao integrala . . . . . .
1.5.1 Interpretacija dvostrukog integrala . . .
1.5.2 Interpretacija trostrukog integrala . . . .
1.6 Specifiˇcnosti integrala u Rn za n ≥ 2 . . . . . .
1.7 Izraˇcunavanje integrala . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Sluˇcaj prostora R2 . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Sluˇcaj prostora Rn , n ≥ 3 . . . . . . . .
1.8 Smena promenljivih . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Polarna smena u ravni . . . . . . . . . .
1.8.2 Uopˇstena polarna smena . . . . . . . . .
1.8.3 Cilindriˇcna smena u trostrukom integralu
1.8.4 Sferna smena u trostrukom integralu . .
1.9 Nesvojstveni integrali . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Pojmovi u mehanici . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1 Moment inercije materijalne ravne figure
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
7
9
11
13
13
15
18
19
21
26
28
29
29
31
31
37
39
44
46
48
53
54
56
57
ˇ
SADRZAJ
4
1.10.2
1.10.3
1.10.4
1.10.5
Elipsa inercije . . . . . . . . . . . . .
Moment inercije materijalne figure .
Teˇziˇste materijalne ravne figure . . .
Teˇziˇste materijalne figure u prostoru
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Krivolinijski integrali
2.1 Krive u Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Krivolinijski integral prvog reda . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Rimanova suma i geometrijska interpretacija
krivolinijskog integrala prvog reda . . . . . . . .
2.3 Krivolinijski integral drugog reda . . . . . . . . . . . .
2.4 Grinova formula u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Sluˇcaj viˇsestruko povezanih oblasti . . . . . . .
2.4.2 Primena krivolinijskog integrala drugog reda na
ˇcunavane povrˇsine skupa u ravni . . . . . . . .
2.5 Nezavisnost integrala od putanje integracije . . . . . .
2.6 Mehaniˇcki smisao krivolinijskog integrala . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
58
60
62
63
65
. . . . 65
. . . . 71
. . .
. . .
. . .
. . .
izra. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
74
80
84
88
. 89
. 92
. 95
3 Povrˇ
sinski integrali
3.1 Povrˇsi u R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Prva kvadratna forma povrˇsi i povrˇsina povrˇsi
3.3 Povrˇsinski integrali prvog reda . . . . . . . . .
3.4 Povrˇsinski integrali drugog reda . . . . . . . .
3.5 Teorija polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Formula Gaus–Ostrogradskog . . . . . . . . .
3.7 Formula Stoksa . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
97
97
101
105
108
112
115
121
4 Parametarski integrali
4.1 Funkcija gornje granice . . . . . . . . . . . . .
4.2 Svojstveni parametarski integrali . . . . . . .
4.3 Nesvojstveni parametarski integrali . . . . . .
4.4 Gama funkcija (Ojlerov integral drugog reda)
4.5 Beta funkcija (Ojlerov integral prvog reda) . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
127
127
128
135
145
147
Literatura
153
Predgovor
Predavanja su namenjena studentima, koji polaˇzu ispit iz predmeta Matematiˇcka analiza 4.
Tekst nije kompletan, i konstantno se radi na poboljˇsanju materijala namenjenog studentima (obratiti paˇznju na datum upisan na prvoj strani).
Studenti su u obavezi da konsultuju dodatnu literaturu, koja je navedena u
spisku referenci. Obavezno posetiti bilioteku Fakulteta.
Celine koje nije neophodno nauˇciti, poˇcinju simbolom ⋆, a zavrˇsavaju
simbolom .
5
6
ˇ
SADRZAJ
Glava 1
Integracija
1.1
ˇ
Zordanova
mera u Rn
U definiciji Rimanovog1 integrala funkcije jedne realne promenljive na segmentu suˇstinski je iskoriˇs´cen pojam duˇzine (mere) intervala. U skupu R2
pojmu mere odgovara pojam povrˇsine, a u skupu R3 pojmu mere odgovara
2
ˇ
pojam zapremine nekog skupa. Izuˇcavamo samo Zordanovu
meru, te stoga
ˇ
umesto termina ”Zordanova mera“ koristi´cemo izraz ”mera“.
Neka je a, b ∈ R, a < b. Duˇzina intervala I = (a, b) (ili bilo kog intervala
[a, b), (a, b], [a, b]) jeste b − a. Dakle, jednodimenzionalna mera intervala I je
m1 (I) = b − a. Nebitno je da li krajnje taˇcke taˇcke a i b intervala I pripadaju
tom intervalu, ili ne. Time se prihvata ˇcinjenica da je duˇzina taˇcke jednaka
nuli (tj. mera jednoelemetnog skupa jednaka je nuli).
1.1.1
Mera pravougaonika u R2
Neka su a, b, c, d ∈ R, tako da vaˇzi a < b i c < d. Tada je ovim brojevima
odred¯en pravougaonik P u R2 sa koordinatama temena: A = (a, c), B =
(b, c), C = (b, d) i D = (a, d) (Slika 1). Pravougaonik P izraˇzen preko
Dekartovog3 proizvoda jeste P = (a, b) × (c, d). Mera ovog pravougaonika
1
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), nemaˇcki matematiˇcar
Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922), francuski matematiˇcar
3
Ren´e Descartes (latinski: Renatus Cartesius; 1596-1650), francuski matematiˇcar i
filozof
2
7
8
GLAVA 1. INTEGRACIJA
(povrˇsina, preciznije dvodimenzionalna mera) izraˇcunava se na slede´ci naˇcin
m2 (P ) = (b − a)(d − c).
Broj 2 u simbolu m2 oznaˇcava dimenzuju prostora, odnosno naglaˇsava da
se radi o prostoru R2 . Nije vaˇzno da li rubne stranice tog pravougaonika
pripadaju pravougaoniku, ili ne. Ovim se usvaja ˇcinjenica da je dvodimenzionalna mera duˇzi jednaka nuli. Specijalno, dvodimenzionalna mera taˇcke
jednaka je nuli.
Slika 1.
Neka su sada P1 , . . . , Pn pravougaonici u R2 , sa svojstvom da je Pi ∩ Pj
(i ̸= j) ili prazan skup, ili neki deo rubova ovih pravougaonika. Drugim
reˇcima, Pi i Pj nemaju zajedniˇckih unutraˇsnjih taˇcaka. Prirodno je sada
definisati meru unije ovih pravougaonika kao zbir njihovih mera, odnosno
(n )
n
∪
∑
m2
Pi =
m2 (Pi ).
i=1
Skupovi oblika E =
n
∪
i=1
Pi jesu elementarni skupovi (podrazumeva se da ra-
i=1
zliˇciti skupovi Pi i Pj nemaju zajedniˇckih unutraˇsnjih taˇcaka).
Ako su P , Q pravougaonici koji imaju zajedniˇckih unutraˇsnjih taˇcaka,
tada je jednostavno proveriti da se skup P ∪ Q moˇze prikazati kao unija
ˇ
1.1. ZORDANOVA
MERA U RN
9
konaˇcno mnogo pravougaonika koji uzajamno nemaju zajedniˇckih unutraˇsnjih
taˇcaka.
Potpuno analogno, ako su A i B dva elementarna skupa, tada je
A ∪ B = P1 ∪ · · · ∪ Pk ,
pri ˇcemu su P1 , . . . Pk pravougaonici koji u parovima nemaju zajedniˇckih
unutraˇsnjih taˇcaka (Slika 2). Sledi da je A ∪ B elementaran skup. Sliˇcno,
A ∩ B i A \ B takod¯e jesu elementarni skupovi.
Slika 2.
Ako su A, B uzajamno disjunktni elementarni skupovi, onda je
m2 (A ∪ B) = m2 (A) ∪ m2 (B).
Ako su A i B elementarni skupovi i A ⊂ B, onda na osnovu disjunktne
unije B = A ∪ (B \ A) sledi da je m2 (B) = m2 (A) + m2 (B \ A). Dakle,
m2 (A) ≤ m2 (B).
1.1.2
Mera n-intervala u Rn
Analogna je situacija u prostoru Rn . Neka je a1 , . . . , an ∈ R i b1 , . . . , bn ∈ Rn ,
tako da je ai < bi za svako i = 1, . . . , n. Skup
10
GLAVA 1. INTEGRACIJA
n
∏
I=
(ai , bi )(b1 − a1 ) × · · · × (bn − an )
i=1
je n-interval u R . Ako je n = 2, onda je I pravougaonik. Ako je n =
3, onda je I kvadar. Primetimo da su stranice n-intervala uvek paralelne
koordinatnim osama. n-dimenzionalna mera n-intervala I odred¯ena je sa
n
n
∏
mn (I) =
(bi − ai ) = (b1 − a1 ) · . . . · (bn − an ).
i=1
Nije vaˇzno da li delovi hiper-ravni koje ograniˇcavaju pravougaonik, pripadaju
samom pravougaoniku, ili ne: veliˇcina mn (I) se ne menja. Ako je J neki
(n − 1)-interval koji ograniˇcava n-interval I, (dakle, J pripada hiper-ravni
dimenzije n − 1), tada je mn (J) = 0. Specijalno, n-dimenzionalna mera
jednoelementnog skupa jedaka je 0.
Primetimo da ako je J bilo koji (n − 1)-interval, onda J moˇze biti posmatran kao degenerisani n-interval, odnosno aj = bj za neko j.
Ako su I1 , . . . , Ik n-intervali, koji nemaju zajedniˇckih unutraˇsnjih taˇcaka,
onda je
k
∪
E=
Ij
j=1
elementaran skup u Rn . Mera ovog elementarnog skupa E odred¯ena je sa
mn (E) =
n
∑
mn (Ij ).
j=1
Ako su E, F elementarni skupovi, tada su E ∪ F , E ∩ F i E \ F takod¯e
elementarni skupovi. Naime, svaki od ovih skupova moˇze biti prikazan kao
unija n-intervala, koji med¯usobno nemaju zajedniˇckih unutraˇsnjih taˇcaka.
Ako su E, F elementarni skupovi i E ∩ F = ∅, jednostavno je proveriti da
vaˇzi mn (E ∪ F ) = mn (E) ∪ mn (F ). Ova osobina se naziva konaˇcna aditivnost
mere mn na familiji elementarnih skupova.
Ako su A, B elementarni skupovi i A ⊂ B, na osnovu disjunktne unije
B = A ∪ (B \ A) sledi mn (B) = mn (A) + mn (B \ A) ≥ mn (A). Ova osobina
se naziva monotonost mere na familiji elementarnih skupova.
ˇ
1.1. ZORDANOVA
MERA U RN
1.1.3
11
Unutraˇ
snja i spoljna mera
Potrebno je meru definisanu u prethodnoj sekciji, proˇsiriti na opˇstiju familiju
podskupva od Rn . Neka je skup G ⊂ R2 ograniˇcen . Tada postoje elementarni
skupovi koje su sadrˇzani u G, i postoje elementarni skupovi koji sadrˇze G.
Neka je
min (G) = sup{m(A) : A ⊂ G i A je elementaran skup}
men (G) = inf{m(B) : G ⊂ B i B je elementaran skup}.
Obzirom da je G ograniˇcen skup, sledi da su min (G) i men (G) realni nenegativni brojevi.
Broj min (G) jeste unutraˇsnja mera, a broj men (G) jeste spoljna mera skupa
G. Oˇcigledno, uvek vaˇzi min (G) ≤ men (G).
Definicija 1.1.1. Ograniˇcen skup G ⊂ Rn je merljiv ako i samo ako je
min (G) = men (G). U tom sluˇcaju broj mn (G) (= min (G) = men (G)) jeste
ˇ
(n-dimenzionalna Zordanova)
mera skupa G.
ˇ
ˇ
Koristi´cemo samo Zordanovu
meru, te ubudu´ce umesto ”Zordanova
mera“
piˇsemo ”mera“.
Za svaki merljiv skup G vaˇzi mn (G) ≥ 0. Dokazujemo nekoliko osnovnih
tvrd¯enja o merljivim skupovima i meri.
Teorema 1.1.1. Neka su A i B merljivi skupovi. Tada vaˇzi:
(1) Ako je A ⊂ B, onda je mn (A) ≤ mn (B) (monotonost mere);
(2) Ako je A ⊂ Rn otvoren skup, tada je mn (A) > 0;
(3) mn (A) = 0 ako i samo ako za svako ϵ > 0 postoji elementaran skup
F , tako da je A ⊂ F i mn (F ) < ϵ (karakterizacija skupa mere nula);
(4) Unija dva skupa mere nula jeste skup mere nula;
(5) Ograniˇcen skup H ⊂ Rn je merljiv ako i samo ako je mn (∂H) = 0;
(6) Skupovi A ∪ B, A ∩ B i A \ B su merljivi;
(7) Ako je A ∩ B ⊂ ∂A ∩ ∂B, onda je mn (A ∪ B) = mn (A) + mn (B)
(aditivnost mere);
(8) Ako je A ⊂ B, tada je mn (B \ A) = mn (B) − mn (A).
Dokaz. Sve navedene osobine oˇcigledno vaˇze za n-intervale i elementarne
skupove. Dokazujemo ove osobine za proizvoljne merljive skupove.
(1) Sledi na osnovu skupovne inkluzije elementarnih figura skupova upisanih u A, a samim tim i u B.
12
GLAVA 1. INTEGRACIJA
(2) Ako je A otvoren i merljiv, onda za svako x ∈ A postoji neki otvoren
n-interval I, tako da je x ∈ I ⊂ A, te je mn (A) > 0.
(3) Sledi iz definicije infimuma.
(4) Sledi na osnovu svojstva (3).
(5)Neka je F proizvoljan otvoren elementaran skup, sadrˇzan u H i neka
je G proizvoljan zatvoren elementaran skup koji sadrˇzi H.
Oˇcigledno vaˇzi ∂H ⊂ G\F , odnosno G\F je elementaran skup koji sadrˇzi
∂H. Sa druge strane, ako je K proizvoljan elementaran skup koji sadrˇzi ∂H,
onda postoje elementarni skupovi F i G, koji zadovoljavaju F ⊂ H ⊂ G i
G \ F = K.
Pretpostavimo da je H merljiv skup i neka je ϵ > 0 proizvoljno. Postoji
elementaran skup F ⊂ H tako da je m(H) ≥ m(F ) > m(H) − ϵ/2. Takod¯e
postoji elementaran skup G ⊃ H, tako da vaˇzi mn (H) ≤ mn (G) < mn (H) +
ϵ/2. Prema tome, men (∂H) ≤ mn (G) − mn (F ) < ϵ. Na osnovu svojstva (3)
sledi da je ∂H merljiv i njegova mera je jednaka nuli.
Sada pretpostavimo da je mn (∂H) = 0. Za ϵ > 0 postoje elementarni
skupovi F i G da vaˇzi F ⊂ H ⊂ G, ∂H ⊂ G\F i mn (G)−mn (F ) < ϵ. Tada je,
na osnovu men (H) ≤ mn (G) i min (H) ≥ m(F ), ispunjeno men (H)−min (H) < ϵ.
Kako je ϵ > 0 proizvoljno, sledi da je H merljiv skup.
(6) Sledi na osnovu svojstava (4), (5) i jednostavnih skupovnih inkluzija
∂(A ∪ B) ⊂ ∂A ∪ ∂B, ∂(A ∩ B) ⊂ ∂A ∪ ∂B i ∂(A \ B) ⊂ ∂A ∪ ∂B.
(7) Sledi na osnovu svojstava (5) i (6).
(8) Sledi na osnovu (7).
Navodimo primer ograniˇcenog skupa koji nije merljiv.
Primer 1.1.1. Neka je Q1 skup svih taˇcaka skupa [0, 1]×[0, 1], ˇcije su koordinate racionalni brojevi. Skup Q1 ne sadrˇzi ni jedan netrivijalan 2-interval, ve´c
sadrˇzi samo degenerisane intervale koji se svode na jednoelementne skupove.
Stoga je mi2 (Q1 ) = 0. Skup Q1 je gust u [0, 1] × [0, 1]. Stoga ne postoji manja
elementarna figura od [0, 1] × [0, 1] koja sadrˇzi Q1 . Stoga je me2 (Q1 ) = 1.
Dakle, skup Q1 nije merljiv.
1.2. RIMANOV INTEGRAL
1.2
1.2.1
13
Rimanov integral
Rimanova suma
Neka je ∥·∥ Euklidova4 norma u prostoru Rn , odnosno ako je x = (x1 , . . . , xn ) ∈
(n
)1/2
∑
n
2
R , onda je ∥x∥ =
|xi |
. Ako je x, y ∈ Rn i y = (y1 , . . . , yn ), onda je
i=1
d(x, y) = ∥x − y∥ =
( n
∑
) 12
(xi − yi )2
i=1
Euklidovo rastojanje izmed¯u taˇcaka x i y.
Neka je G merljiv (prema tome i ograniˇcen) skup u Rn . Neka su G1 , . . . , Gk
k
∪
merljivi i uzajamno disjunktni skupovi, za koje vaˇzi G =
Gi . Tada se
i=1
familija skupova T = {G1 , . . . , Gk } naziva razbijanje skupa G. Neka je d(Gi )
dijametar skupa Gi , odnosno
d(Gi ) = sup{d(u, v) : u, v ∈ Gi },
i = 1, . . . , k.
Najve´ci od tih dijametara naziva se dijametar razbijanja T skupa G, odnosno
d(T ) = max{d(G1 ), . . . , d(Gk )}.
Nije teˇsko uoˇciti da za svaki merljiv skup G postoji neko razbijanje T .
Neka je f : G → R realna funkcija, i neka je ξi ∈ Gi proizvoljna taˇcka za
svako i = 1, 2, . . . , k. Koristimo oznaku ξ = (ξ1 , . . . , ξk ). Suma
σT (f, G, ξ) =
k
∑
f (ξi ) · mn (Gi )
(1.1)
i=1
je Rimanova integralna suma funkcije f na skupu G, koja odgovara podeli T
i izboru taˇcaka ξ = (ξ1 , . . . , ξk ).
Neka su T = {G1 , . . . , Gk } i T ′ = {E1 , . . . , El } dva razbijanja merljivog
skupa G ⊂ Rn . Razbijanje T ′ je finije od razbijanja T , u oznaci T ′ ≻ T , ako
za svako Ej ∈ T ′ postoji Gs ∈ T , tako da je Ej ⊂ Gs .
Ako su T = {G1 , . . . , Gk } i T ′ = {E1 , . . . , El } dva razbijanja merljivog
skupa G, tada postoji razbijanje T ∩T ′ , koje je finije i od T i od T ′ . Razbijanje
T ∩ T ′ je definisano kao
T ∩ T ′ = {Gs ∩ Ej : s = 1, . . . , k, j = 1, . . . , l}.
4
Euklid iz Aleksandrije, Eυκλειδηζ (oko 325. p.n.e. - 265. p.n.e.), grˇcki matematiˇcar
14
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Ako je T proizvoljno razbijanje merljivog skupa G ⊂ Rn , uvek postoji
finije razbijanje T ′ istog skupa G. Ako je, recimo, T = {G1 , . . . , Gk }, onda
se moˇze posmatrati razbijanje Tj = {Gj1 , . . . , Gjk } svakog skupa Gj , te je
T ′ = {Gij }i,j razbijanje skupa G, sa osobinom T ′ ≻ T .
Ako je T = {G1 , . . . , Gk } razbijanje merljivog skupa G, i ako je T ′ =
{E1 , . . . , El } razbijanje merljivog skupa E, tada je
T ∪ T ′ = {G1 , . . . , Gk , E1 , . . . , El }
razbijanje merljivog skupa G ∪ E.
ˇ
Cinjenica
da se svaka podela T merljivog skupa G moˇze uˇciniti finijom,
omogu´cava uvod¯enje slede´ce definicije.
Definicija 1.2.1. (Rimanov integral funkcije na skupu) Neka je G merljiv
skup u Rn , i neka je f : G∫ → R funkcija. Broj I je Rimanov integral funkcije
f na skupu G, u oznaci f , ako za svako ϵ > 0 postoji δϵ > 0, tako da za
G
svako razbijanje T = {G1 , . . . , Gk } skupa G, koje ima svojstvo d(T ) < δ, i
za svaki izbor taˇcaka ξ1 ∈ G1 , . . . , ξk ∈ Gk vaˇzi
Ako postoji integral
∫
|I − σT (f, ξ, G)| < ϵ.
f , onda je funkcija f integrabilna na skupu G (u Ri-
G
manovom smislu).
Razmatra´cemo samo Rimanov integral funkcija, te piˇsemo ”integral“ umesto
”Rimanov integral“.
Formuliˇsemo oˇcigledan ekvivalenat uslova integrabilnosti funkcije na merljivom skupu.
Teorema 1.2.1. Neka je G merljiv skup u Rn i neka je f : G → R funkcija.
Rimanov integral I funkcije f na skupu G je graniˇcna vrednost
∫
I = f = lim σT (f, G, ξ),
d(T )→0
G
ukoliko ova graniˇcna vrednost postoji nezavisno od razbijanja T skupa G i
nezavisno od izbora taˇcaka ξ.
Skup svih realnih funkcija, koje su integrabilne na merljivom skupu G ⊂
R , oznaˇcava se sa R(G).
n
1.2. RIMANOV INTEGRAL
1.2.2
15
Darbuove sume
Neka je G merljiv skup u Rn , i neka je T = {G1 , . . . , Gk } razbijanje skupa
G. Neka je f : G → R ograniˇcena funkcija.
Posmatrajmo infimum i supremum funkcije f na svakom skupu Gi :
mi = inf f (x) i Mi = sup f (x),
x∈Gi
x∈Gi
za svako i = 1, 2, . . . , k. Funkcija f je ograniˇcena, te je mi ∈ R i Mi ∈ R za
svako i.
Donja i gornja Darbuova5 suma definisane su, redom:
sT (f, G) =
k
∑
mi · mn (Gi ) i ST (f, G) =
i=1
k
∑
Mi · mn (Gi ).
i=1
Neka je σT (f, G, ξ) jedna Rimanova suma funkcije f na skupu G u odnosu
na istu podelu T . Tada oˇcigledno vaˇze nejednakosti:
sT (f, G) ≤ σT (f, G, ξ) ≤ ST (f, G).
(1.2)
Neka je T ′ = {G′1 , . . . , G′l } razbijanje skupa G sa svojstvom da za svako
j ∈ {1, . . . , l} postoji neko i ∈ {1, . . . , k} tako da je G′j ⊂ Gi , odnosno neka
je podela T ′ finija od podele T . Na osnovu G′j ⊂ Gi sledi da vaˇzi
mi ≤ m′j ≤ Mj′ ≤ Mi .
Neka je, jednostavnosti radi, Gi = G′1 ∪ · · · ∪ G′s , s ≤ l. Tada je
s (f, Gi ) =
s
∑
T′
m′t · mn (G′j ),
t=1
sT ′ (f, G) =
l
∑
m′t · mn (G′j ) =
t=1
⊂ Gi za svako t ∈ {1, . . . , s}, sledi da je
Iz
Stoga je
sT ′ (f, Gi ) =
t=1
5
m′t
·
mn (G′j )
sT ′ (f, Gi ).
i=1
G′t
s
∑
k
∑
≥ mi
m′t
s
∑
≥ mi za svako t ∈ {1, . . . , s}.
mn (G′j ) = mi · mn (Gi ).
t=1
Jean-Gaston Darboux (1842–1917), francuski matematiˇcar
16
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Sledi
s (f, G) =
n
∑
T′
s (f, Gi ) ≥
n
∑
T′
i=1
mi · mn (Gi ) = sT (f, G).
i=1
Za gornje Darubove sume moˇze se analogno pokazati suprotna nejednakost.
Dakle, dokazali smo slede´ci rezultat.
Teorema 1.2.2. Neka je G merljiv podskup od Rn , neka je f : G → R
ograniˇcena funkcija, i neka su T i T ′ dva razbijanja skupa G, tako da je
T ′ ≻ T . Tada za svaki izbor taˇcaka ξ (svaka taˇcka ξi pripada odgovaraju´cim
elementu razbijanja T ′ ) tada vaˇzi
sT (f, G) ≤ sT ′ (f, G) ≤ σT ′ (f, G, ξ) ≤ ST ′ (f, G) ≤ ST (f, G).
(1.3)
Definicija 1.2.2. Broj If = sup sT (f, G), gde je supremum uzet po svim
T
razbijanjima T skupa G, naziva se donji integral funkcije f na skupu G.
Broj I f = inf ST (f, G), gde je infimum uzet po svim razbijanjima skupa
T
T , naziva se gornji integral funkcije f na skupu G.
Na osnovu nejednakosti (1.2), sledi da vaˇzi
If ≤ I f .
Dokaza´cemo osnovnu teoremu, kojom je odred¯en ekvivalentan uslov integrabilnosti funkcije na nekom merljivom skupu.
Teorema 1.2.3. Neka je funkcija f ograniˇcena na merljivom skupu G ⊂ Rn .
Tada su slede´ca tvrd¯enja ekvivalentna:
(1) If = I f ;
(2) Za svako ϵ > 0 postoji razbijanje T skupa G, tako da vaˇzi ST (f, G) −
sT (f, G) < ϵ;
(3) Za svako ϵ > 0 postoji δ > 0, tako da za svako razbijanje T skupa G
dijametra manjeg od δ, ∫vaˇzi ST (f, G) − sT (f, G) < ϵ;
(4) Postoji integral f = I.
G
Ako vaˇzi bilo koje od prethodnih tvrd¯enja, onda je I = If = I f .
Dokaz. (1) =⇒ (2): Neka je ϵ > 0. Donji integral If je supremum donjih
Darbuovih suma. Stoga za ϵ > 0 postoji neka podela T1 , tako da za odgovaraju´cu donju Darbuovu sumu vaˇzi sT1 (f, G) > If − 2ϵ . Gornji integral I f je
1.2. RIMANOV INTEGRAL
17
infimum gornjih Darbuovih suma. Prema tome, za ϵ > 0 postoji podela T2
sa svojstvom ST2 (f, G) < I f + 2ϵ . Postoji podela T , koja je finija od podela
T1 i T2 (na primer, T = T1 ∩ T2 ). Tada je
If −
ϵ
ϵ
< sT1 (f, G) ≤ sT (f, G) ≤ If ≤ I f ≤ ST (f, G) ≤ ST2 (f, G) < I f + .
2
2
Na osnovu pretpostavke If = I f , sledi da vaˇzi ST (f, G) − sT (f, G) < ϵ.
(2) =⇒ (1): Tvrd¯enje sledi na osnovu oˇciglednih nejednakosti sT (f, G) ≤
If ≤ I f ≤ ST (f, G).
∫
(4) =⇒ (3): Pretpostavimo da postoji integral I = f . Neka je ϵ > 0.
G
Tada postoji broj δ > 0, tako da za svaku podelu T skupa G dijametra
manjeg od δ, vaˇzi
ϵ
ϵ
I − ≤ σT (f, G, ξ) < I + ,
2
2
nezavisno od izbora taˇcaka ξi ∈ Gi . U prethodnim nejednakostima se moˇze
uzeti, jedan za drugim, supremum ili infimum sume σT (f, G, ξ) po svim ξi ∈
Gi . Odatle neposredno sledi
ϵ
ϵ
I − ≤ sT (f, G) ≤ ST (f, G) ≤ I + ,
2
2
a samim tim i ST (f, G) − sT (f, G) < ϵ.
(3) =⇒ (2): Ova implikacija je trivijalna.
(3) =⇒ (4): Iz pretpostavke da vaˇzi tvrd¯enje (3) sledi da vaˇze tvrd¯enja
(1) i (2). Neka je ϵ > 0. Tada postoji δ > 0, tako da za svako razbijanje T
skupa G dijametra manjeg od δ vaˇzi ST (f, G) − sT (f, G) < ϵ. Za proizvoljan
izbor taˇcaka ξi ∈ Gi vaˇzi sT (f, G) ≤ σT (f, G, ξ) ≤ ST (f, G). Takod¯e vaˇzi i
sT (f, G) ≤ If = I f ≤ ST (f, G). Prema tome, sledi da vaˇzi |If −σT (f, G, ξ)| <
ϵ, za svaku podelu T sa osobinom da je dijametar podele T manji od δ i za
proizvoljan izbor taˇcaka ξi ∫∈ Gi . Sledi da je If jednak integralu funkcije f
na skupu G, odnosno If = G f .
⋆ (2) =⇒ (3): Ova implikacija je najinteresantnija. Neka je funkcija
f ograniˇcena konstantom M na skupu G, odnosno za svako x ∈ G neka je
|f (x)| ≤ M . Neka je ϵ > 0. Iz ˇcinjenice da vaˇzi tvrd¯enje (2) sledi da postoji
razbijanje T = {G1 , . . . , Gk } skupa G sa svojstvom ST (f, G) − sT (f, G) < ϵ.
Neka je ni = inf f (x) i Ni = sup f (x), i = 1, . . . , k. Na osnovu merljivosti
x∈Gi
x∈Gi
skupova Gi sledi da je mera njihovog ruba jednaka nuli, odnsono mn (∂Gi ) = 0
k
∪
za svako i = 1, . . . , k. Neka je Γ =
∂Gi . Tada je mn (Γ) = 0. Postoji
i=1
18
GLAVA 1. INTEGRACIJA
ϵ
elementaran skup σ, sa svojstvima Γ ⊂ σ i mn (σ) < 2M
. Ne gube´ci od
opˇstosti moˇze se pretpostaviti da je σ otvoren skup. Postoji otvoren skup
ϵ
i
σ ′ sa svojstvima: Γ ⊂ σ ′ ⊂ σ i ∂σ ′ ∩ ∂σ = ∅. Tada je mn (σ ′ ) < 2M
δ = inf{d(x, y) : x ∈ ∂σ ′ , y ∈ ∂σ} > 0. Neka je T1 = {F1 , . . . , Fl } proizvoljno
razbijanje skupa G dijametra d sa svojstvom d < δ. Tada je
ST1 (f, G) − sT1 (f, G) =
l
∑
(Mi − mi ) · m(Fi ),
i=1
pri ˇcemu je mi = inf f (x) i Mi = sup f (x), za svako i = 1, . . . , l. Neka su I
x∈Fi
x∈Fi
i J podskupovi skupa {1, . . . , l} sa svojstvima: i ∈ I ako i samo ako Fi ima
neprazan presek sa Γ, a j ∈ J ako i samo ako Fj ∩ Γ = ∅. Ako je i ∈ I, tada
vaˇzi Fi ⊂ σ. Stoga je
∑
∑
(Mi − mi ) · m(Fi ) ≤ 2M
m(Fi ) < ϵ.
i∈I
i∈I
Ako je j ∈ J, tada Fj ∩ Γ = ∅ i po konstrukciji skupa Γ sledi da mora biti
Fj ⊂ Gi za neko i. Sve takve skupove obeleˇzimo sa G1 , . . . , Gt . Takod¯e neka
je F1 , . . . , Fs1 ⊂ G1 ,. . . ,Fst−1 , . . . , Fst ⊂ Gs . Tada vaˇzi
∑
(Mj − mj ) · m(Fj ) =
si
s
∑
∑
(Mj − mj ) · m(Fj )
i=1 j=si−1
j∈J
≤
s
∑
(Ni − ni )
i=1
si
∑
m(Fj ) ≤
ST1 (f, G) − sT1 (f, G) =
(Ni − mi ) · m(Gi ) < ϵ.
i=1
j=si−1
Na kraju,
s
∑
∑
∑
(Mi − mi ) · m(Fi ) +
(Mj − mj ) · m(Fj ) < 2ϵ.
i∈I
j∈J
Time je dokazano tvrd¯enje (3). 1.2.3
Oznake i terminologija
Ako je G merljiv skup u R2 i f ∈ R(G), onda je ˇcesta oznaka
∫
∫∫
∫∫
f=
f=
f (x, y) dx dy.
G
G
G
1.3. KLASE INTEGRABILNIH FUNKCIJA
Integral
∫∫
19
f naziva se dvostruki integral funkcije f na skupu G.
G
Ako je G merljiv skup u R3 i f ∈ R(G), onda je
∫
∫∫∫
∫∫∫
f=
f=
f (x, y, z) dx dy dz.
G
Integral
∫∫∫
G
G
f je trostruki integral funkcije f na skupu G.
G
Konaˇcno, ako je G merljiv skup u Rn i f ∈ R(G), onda je
∫
∫ ∫
∫ ∫
f = · · · f = · · · f (x1 , . . . , xn ) dx1 · · · dxn .
G
| {zG}
| {zG}
n puta
n puta
∫ ∫
Integral · · · f je n-integral funkcije f na skupu G.
G
1.3
Klase integrabilnih funkcija
Neka je G ⊂ Rn proizvoljan merljiv skup. Nisu sve funkcije, koje su definisane
na skupu G, obavezno integrabilne na skupu G. Sa druge strane, ako je
G ⊂ Rn proizvoljan merljiv skup i ako je g(x) =∫ 0 za svako x ∈ G, tada
je g(ξi ) = 0 za svaku taˇcku ξi ∈ Gi . Stoga vaˇzi g(x) dx = 0. Sledi da je
G
nula-funkcija integrabilna na svakom merljivom skupu i njen integral na tom
skupu je jednak nuli.
Skup intergabilnih funkcija, pod odred¯enim uslovima, sadrˇzi sve neprekidne funkcije. Preciznije, vaˇzi slede´ca teorema.
Teorema 1.3.1. Ako je realna funkcija f definisana i neprekidna na zatvorenom
i merljivom skupu G u Rn , tada je funkcija f integrabilna na G.
Dokaz. Skup G je merljiv i stoga je ograniˇcen. Sledi da je G kompaktan
skup. Prema Kantorovoj6 teoremi, funkcija f je ravnomerno neprekidna na
skupu G. Neka je ϵ > 0. Na osnovu ravnomerne neprekidnosti funkcije f
sledi da postoji broj δ > 0, tako da za svake dve taˇcke x1 , x2 ∈ G sa svojstvom d(x1 , x2 ) < δ vaˇzi |f (x1 ) − f (x2 )| < mnϵ(G) . Neka je T = {G1 , . . . , Gk }
6
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), nemaˇcki matematiˇcar
20
GLAVA 1. INTEGRACIJA
proizvoljno razbijanje skupa G dijametra manjeg od δ. Imaju´cu u vidu standardne oznake mi i mi , sledi da vaˇzi
Mi − mi = sup f (x) − inf f (x) = sup f (x) + sup (−f (x))
x∈Gi
=
x∈Gi
sup (f (x1 ) − f (x2 )) ≤
x1 ,x2 ∈Gi
x∈Gi
x∈Gi
sup |f (x1 ) − f (x2 )| ≤
x1 ,x2 ∈Gi
ϵ
.
mn (G)
Za odgovaraju´ce Darbuove sume funkcije f na skupu G,
∫ ispunjeno je ST (f, G)−
sT (f, G) < ϵ. Prema Teoremi 1.2.3, postoji integral f .
G
Ako je G ⊂ Rn , tada je skup realnih i neprekidnih funkcija na G oznaˇcen
sa C(G). Na osnovu prethodne teoreme, ako je G merljiv i zatvoren (tj. G
je merljiv kompakt), onda je C(G) ⊂ R(G).
Teorema 1.3.2. Neka je realna funkcija f definisana i ograniˇcena na merljivom i zatvorenom skupu G ⊂ Rn , takva da je mera skupa taˇcaka prekida
funkcije f jednaka nuli. Tada je funkcija f integrabilna na skupu G.
Dokaz. Neka je M = sup |f (x)| < ∞, neka je E skup taˇcaka prekida funkcije
x∈G
f u skupu G, i neka je ϵ > 0. Na osnovu m(E) = 0, sledi da postoji otvoren
ϵ
elementaran skup F , tako da je E ⊂ F i m(F ) < 4M
. Skup G \ F je zatvoren
i merljiv. Na osnovu Teoreme 1.3.1 funkcija f je integrabilna na skupu G\F .
Prema tome, postoji razbijanje T = {G1 , . . . , Gk } skupa G \ F , za koje vaˇzi
ϵ
ST (f, G \ F ) − sT (f, G \ F ) < .
2
Neka je Gk+1 = G ∩ F . Tada je T1 = T ∪ {Gk+1 } razbijanje skupa G i vaˇzi
ϵ
m(Gk+1 ) ≤ m(F ) < 4M
. Stoga, uz prirodne oznake Mi i mi , vaˇzi
ST1 (f, G) − sT1 (f, G) ≤
≤ (Mk+1 − mk+1 ) · m(Gk+1 ) +
k
∑
(Mi − mi ) · m(Gi )
i=1
ϵ
ϵ
+ = ϵ.
≤ 2M
4M
2
Na osnovu Teoreme 1.2.3 (2) sledi da je funkcija f integrabilna na skupu
G.
1.4. SVOJSTVA RIMANOVOG INTEGRALA
1.4
21
Svojstva Rimanovog integrala
Dokazujemo osnovna svojstva Rimanovog integrala. Neka je G merljiv skup
u Rn , i neka je f : G → R funkcija definisana na G.
∫
(1) Ako je mn (G) = 0, onda je f = 0.
G
∫
Dokaz. Na osnovu mn (G) = 0 sledi σT (f, G, ξ) = 0, te je i f = 0.
G
∫
(2) 1 = mn (G), pri ˇcemu je 1 konstanta funkcija x 7→ 1 za svako x ∈ G.
G
Dokaz. Za proizvoljno razbijanje T merljivog skupa G vaˇzi
(m )
m
∑
∪
σT (f, G, ξ) =
1 · mn (Gi ) = mn
Gi = mn (G).
i=1
i=1
∫∫
Posledica 1.4.1. Ako je G merljiv skup u R2 , onda je
dx dy = m2 (G).
G
∫∫∫
Ako je V merljiv skup u R3 , onda je
dx dy dz = m3 (V ).
V
(3) Ako∫je f (x) ≥ 0 za svako x ∈ G, i ako je f integrabilna funkcija na
G, onda je f ≥ 0.
G
Dokaz sledi na osnovu nejednakosti
σT (f, G, ξ) =
n
∑
f (ξi ) · m(Gi ) ≥ 0
i=1
i definicije Rimanovog integrala.
(4) Ako su f i g integrabilne funkcije na G, i ako je α, β ∈ R, onda je
funkcija αf + βg integrabilna na G i vaˇzi
∫
∫
∫
(αf + βg) = α f + β g.
G
G
G
Dokaz ovog tvrd¯enja sledi na osnovu jednakosti
σT (αf + βg, G, ξ) = α · σT (f, G, ξ) + β · σT (f, G, ξ).
(5) Ako su f i g ∫integrabilne
funkcije na G, i ako za svako x ∈ G vaˇzi
∫
f (x) ≤ g(x), tada je f ≤ g.
G
G
22
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Dokaz sledi neposredno na osnovu (3) i (4), imaju´ci u vidu da je g −f ≥ 0
na G.
(6) Neka su A i B merljivi skupovi u Rn , A ⊂ B, i neka je f ograniˇcena
i integrabilna funkcija na B. Tada je f integrabilna funkcija na A.
Dokaz. Skup C = B \ A je merljiv. Svako razbijanje skupova A i C indukuje jedno razbijanje skupa B. Obrnuto, svako razbijanje skupa B moˇze se
uˇciniti finijijm, tako da je to razbijanje unija razbijanja skupa A i razbijanja
skupa C. Stoga, neka je T razbijanje skupa B, koje se sastoji od razbijanja
T1 skupa A i razbijanja T2 skupa C. Vaˇzi oˇcigledna nejednakost:
0 ≤ ST1 (f, A) − sT1 (f, A) ≤ ST (f, B) − sT (f, B).
Neka je ϵ > 0. Kako je f ∈ R(B), sledi da postoji razbijanje T skupa B
tako da je ST (f, B) − sT (f, B) < ϵ. Prema prethodnom, T = T1 ∪ T2 , pri
ˇcemu je T1 razbijanje skupa A, dok je T2 razbijanje skupa B \ A. Sledi da je
ST1 (f, A) − sT1 (f, A) < ϵ, te je f ∈ R(A).
(7) Neka je G0 ⊂ G i mn (G0 ) = 0. Funkcija f je integrabilna
∫
∫ na G ako i
samo ako je f integrabilna na G \ G0 ; u tom sluˇcaju je f =
f.
G
G\G0
Dokaz. Svako razbijanje skupova G0 i G \ G0 dovodi do razbijanja skupa
G. Obrnuto, ako je T razbijanje skupa G, onda postoje razbijanja: T1 skupa
G \ G0 i T2 skupa G1 , tako da T1 ∪ T2 jeste finije razbijanje of T . Dakle,
bez gubljenja opˇstosti, posmatramo razbijanje T = T1 ∪ T2 , pri ˇcemu je T1
razbijanje skupa G\G0 , a T2 je razbijanje skupa G0 . Kako je σT (f, G0 , ξ) = 0
za svaki izbor taˇcaka ξ, sledi da je σT (f, G, ξ) = σT (f, G \ G0 , ξ). Odvade
sledi rezultat, prelaskom na graniˇcnu vrednost kada d(T ) → 0.
(8) Neka su A i B merljivi skupovi u Rn sa svojstvima: mn (A ∩ B) = 0,
A ∪ B = G, i neka je funkcija f ograniˇcena na skupu G. Tada je funkcija f
integrabilna na skupu G, ako i samo ako je f integrabilna na skupovima A i
B. U tom sluˇcaju vaˇzi jednakost
∫
∫
∫
f = f + f.
(1.4)
G
A
B
Dokaz. Svako razbijanje skupova A i B proizvodi razbijanje skupa G.
Sa druge strane, svako razbijanje skupa G moˇze se uˇciniti finijim tako, da
su skupovi novog razbijanja sadrˇzani i u polaznom razbijanju skupa A i u
ˇ
polaznom razbijanju skupa skupa B. Cinjenica
mn (A ∩ B) = 0 garantuje
1.4. SVOJSTVA RIMANOVOG INTEGRALA
23
da je integral na skupu G bilo koje integrabilne funkcije jednak integralu te
iste funkcije na skupu G \ (A ∩ B). Prema tome, posmatramo razbijanje T
skupa G koje indukuje razbijanje T1 skupa A i razbijanje T2 skupa B, pri
ˇcemu zanemarujemo skup A ∩ B. Sledi oˇcigledna jednakost
σT (f, G) = σT1 (f, A) + σT2 (f, B).
Ukoliko postoje integrali
∫
f i
A
∫
(1.5)
f , tada postoji i integral
B
∫
f , te sledi
A∪B
traˇzena jednakost integrala (1.4).
Obrnuto, iz ograniˇcenosti i integrabilnosti funkcije f na skupu G, sledi
integrabilnost funkcije f na skupovima A i B.
(9) Ako su f i g ograniˇcene i integrabilne funkcije na merljivom skupu
G ⊂ Rn , tada je i f g integrabilna na skupu G.
Dokaz. Obzirom da su funkcije f i g ograniˇcene na skupu G, postoji neki
broj L > 0, tako da za svako x ∈ G vaˇzi |f (x)| ≤ L i |g(x)| ≤ L. Neka je
ϵ > 0 proizvoljan broj. Na osnovu ograniˇcenosti i integrabilnosti funkcija f
i g na skupu G, sledi da postoji razbijanje T = {G1 , . . . , Gl } skupa G, tako
da vaˇzi
ST (f, G) − sT (f, G) =
ST (g, G) − sT (g, G) =
l
∑
i=1
l
∑
(Mi − mi ) · m(Gi ) <
(Ni − ni ) · m(Gi ) <
i=1
ϵ
2L
ϵ
.
2L
Pri tome koristimo oznake:
Mi = sup f (x), mi = inf f (x),
x∈Gi
x∈Gi
Ni = sup g(x), ni = inf g(x),
x∈Gi
x∈Gi
Ki = sup f (x)g(x), ki = inf f (x)g(x).
x∈Gi
x∈Gi
Na osnovu osobina supremuma i infimuma, vaˇzi slede´ca procena:
i
24
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Ki − ki
= sup |f g| − inf |f g| ≤ sup |f | · sup |g| − inf |f | · inf |g|
Gi
Gi
Gi
Gi
Gi
Gi
= Mi Ni − mi ni = Mi Ni − mi Ni + mi Ni − mi ni
= Ni (Mi − mi ) + mi (Ni − ni ) ≤ L[(Mi − mi ) + (Ni − ni )].
Na osnovu poslednje nejednakosti, sledi da vaˇzi:
ST (f g, G) − sT (f g, G) =
l
∑
(Ki − ki ) · m(Gi )
i=1
≤ L [(ST (f, G) − sT (f, G)) + ST (g, G) − sT (g, G))] < ϵ.
Prema tome, funkcija f g je integrabilna na skupu G.
(10) Ako je funkcija f ograniˇcena i integrabilna na G, onda je funkcija
|f | takod¯e integrabilna na G i vaˇzi
∫ ∫
f ≤ |f |.
G
G
Dokaz. Neka je ϵ > 0. Na osnovu ograniˇcenosti i integrabilnosti funkcije
f na skupu G, postoji podela T = {G1 , . . . , Gl } skupa G, tako da vaˇzi nejednakost
ST (f, G) − sT (f, G) =
l
∑
(Mi − mi ) · m(Gi ) < ϵ.
i=1
Koristimo oznake
Mi = sup f (x), mi = inf f (x),
x∈Gi
x∈Gi
Ni = sup |f (x)|, ni = inf |f (x)|.
x∈Gi
x∈Gi
Na osnovu nejednakosti |f (x)| − |f (y)| ≤ |f (x) − f (y)|, sledi nejednakost
Ni − ni ≤ |Mi − mi |, za svako i = 1, . . . , l. Na osnovu ove nejednakosti
proizilazi procena
ST (|f |, G) − sT (|f |, G) ≤ ST (f, G) − sT (f, G) < ϵ.
1.4. SVOJSTVA RIMANOVOG INTEGRALA
25
Prema tome, funkcija |f | je integrabilna na skupu G.
t
t
∑
∑
Neka su sada σT1 (f, G, ξ) =
f (ξi ) · mn (Gi ) i σT2 (f, G, ξ) =
|f (ξi )| ·
i=1 ∫
i=1
∫
m(Gi ) Rimanove sume za integrale f i |f | redom. Na osnovu oˇcigledne
G
G
nejednakosti |σT1 (f, G, ξ)| ≤ σT2 (|f |, G, ξ), sledi odgovaraju´ca nejednakost integrala.
(11) (Teorema o srednjoj vrednosti interala) Neka je G merljiv skup u
n
R , f, g : G → R integrabilne funkcije, m ≤ f (x) ≤ M za svako x ∈ G, i
g(x) ≥ 0 za svako x ∈ G. Tada postoji taˇcka λ ∈ [m, M ], tako da je
∫
∫
f g = λ g.
G
G
Ako je uz to G povezan i kompaktan skup, i ako je f neprekidna funkcija
na G, tada postoje taˇcke ν, ξ ∈ G tako da je
∫
∫
∫
1
f g = f (ν) g i f (ξ) =
f.
mn (G)
G
G
G
Dokaz.
Na
∫
∫ osnovu ∫0 ≤ g i m ∫≤ f ≤ M , sledi mg ≤ f g ≤ M g, te je
m g ≤ f g ≤ M g. Ako je g = 0, onda λ moˇze biti bilo koji realan
G
G
G
G
∫
broj. Ako je g > 0, tada na osnovu prethodne procene vaˇzi
G
∫
λ= ∫
fg
G
g
∈ [m, M ].
G
Ako je G povezan i kompaktan skup i f neprekidna funkcija na G, tada
f dostiˇze svoj minimum i maksimum na G. Stoga se moˇze uzeti
m = min f (x),
x∈G
M = max f (x).
x∈G
Na osnovu povezanosti skupa G sledi da postoji ν ∈ G sa svojstvom f (ν) =
λ ∈ [m, M ].
Poslednja jednakost sledi ako se posmatra funkcija g(x) = x za svako
x ∈ G.
26
GLAVA 1. INTEGRACIJA
1.5
Geometrijski i fiziˇ
cki smisao integrala
Dokazujemo slede´ce tvrd¯enje, koje je relevantno za geometrijsko shvatanje
integrala.
Teorema 1.5.1. Neka je G ⊂ Rn merljiv skup, i neka je funkcija f ograniˇcena
i integrabilna na skupu G. Tada grafik funkcije f , odnosno skup
Γr (f ) = {(x, f (x)) : x ∈ G} ⊂ Rn+1,
jeste merljiv u Rn+1 i njegova mera jeste nula, odnosno mn+1 (Γr (f )) = 0.
Dokaz. ⋆ Neka je k ∈ N. U prostoru Rn (koji sadrˇzi G) posmatramo
hiper-ravni koje su normalne na svaku koordinatnu osu (dakle, paralelne
svim preostalim koordinatnim osama) i tu osu seku u taˇcki 21k · l, pri ˇcemu je
l ∈ Z. Na taj naˇcin se dobija 21k -mreˇza prostora Rn .
Dakle, ako je k = 1, onda postoji familija hiper-ravni, tako da je odred¯ena
potfamilija tih ravni normalna na jednu koordinatnu osu i tu osu pomenuta
potfamiliha hiper-ravni seˇce u taˇckama: 0, 1, −1, 2, −2, . . . .
Ako je k = 2, onda hiper-ravni seku koordinatnu osu (onu osu kojoj su
hiper-ravani normalne) u taˇckama 0, 21 , − 21 , 1, −1, 23 , − 32 , 2, −2, . . . .
Dakle, 21 -mreˇza je finija od 1-mreˇze, 41 -mreˇza je finija od 12 -mreˇze, i tako
redom.
Za svako k ∈ N posmatramo n-intervale odred¯ene 21k -mreˇznom, koji su
sadrˇzani u G. Neka su to skupovi {E1k , E2k , . . . , Elkk }. Tada je
k
F =
lk
∪
Eik ⊂ G,
i=1
te je i
k
mn (F ) =
lk
∑
mn (Eik ) ≤ mn (G).
i=1
Skup G je merljiv, te je
lim mn (F k ) = min (G) = mn (G).
k→∞
Neka je ϵ > 0. Postoji k ∈ N, tako da je
mn (G) − ϵ < mn (F k ) ≤ mn (G).
ˇ
1.5. GEOMETRIJSKI I FIZICKI
SMISAO INTEGRALA
27
Posmatrajmo sada skup G kao podskup prostora Rn+1 . Svaki skup Eik
je n-interval, ali je to istovremeno degenerisani n + 1-interval, koji ima 2k
temena, i temena su oznaˇcena sa T1 , . . . , T2k . Neka je ξi ∈ Eik . Kroz svako
teme posmatramo pravu paralelnu dodatoj osi, koja je n + 1 po redu (tj.
prava je paralelna koordinatnoj osi koja ne pripada polaznom prostoru Rn ).
Posmatramo duˇzi na toj pravoj, koje polaza od temena Tj , a zavrˇsavaju,
redom, u taˇckama sa vrednostima mj , f (ξj ), Mj . Ako je k dovoljno veliki
broj, onda su mj , f (ξj ), Mj istog znaka (osim ako je f (ξj ) = 0, ali ovaj
specijalan sluˇcaj ne predstavlja suˇstinksu prepreku u razmatranju). Neka je,
na primer mj , f (ξj ), Mj > 0.
Posmatrajmo (n + 1)-intervale
Kj = Ejk × (0, mj ),
Lj = Ejk × [0, Mj ].
Tada je
mn+1 (Kj ) = mn (Ejk ) · mj ,
mn+1 (Lj ) = mn (Ejk ) · Mj .
Grafik funkcije f na skupu Ej je sadrˇzan u skupu Lj \ Kj . Stoga je grafik
lk
∪
funkcije f na skupu F k sadrˇzan u skupu
(Kj \ Lj ).
j=1
(
Vaˇzi
mn+1
lk
∪
)
(Kj \ Lj )
j=1
=
kl
∑
(Mj − mj )mn (Ejk ).
j=1
Poslednja suma je razlika gornje i donje Darbuove sume funkcije f na skupu
F k . Funkcija f je integrabilna na G, pa je integrabilna i na F k .
Stoga postoji novi broj k ∈ N (ve´ci od prethodnog k), tako da je
kl
∑
(Mj − mj )mn (Ejk ) < ϵ.
j=1
Sada je
S(f, G) − s(f, G) = S(f, F k ) − s(f, F k ) + S(f, G \ F k ) − s(f, G \ F k ).
Funkcija f je ograniˇcena, te je |f | ≤ N na skupu G. Dakle, za unapred
zadani broj ϵ > 0 postoji broj k ∈ N (odnosno, postoji mreˇza 21k koja indukuje
razbijanje skupa G), tako da je
S(f, G) − s(f, G) ≤ ϵ + N ϵ.
28
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Imamo u vidu da je grafik funkcije f sadrˇzan u (n + 1)-intervalima ˇcija je
(n + 1)-mera manja od ϵ + 2M ϵ.
Sledi da je mn+1 (Γr (f )) = 0.
1.5.1
Interpretacija dvostrukog integrala
Razmotrimo dvostruki integral. Neka je G merljiv skup u R2 , i neka je
f : G → R nenegativna, ograniˇcena i integrabilna funkcija. Unutraˇsnjost
skupa G oznaˇcimo sa G◦ , a rub skupa G oznaˇcimo sa ∂G. Iz merljivosti
skupa G sledi da je m2 (∂G) = 0. Stoga je
∫∫
∫∫
f=
G
f.
G◦
Grafik Γr (f ) = {(x, y, z) : (x, y) ∈ G, z = f (x, y)} je grafik povrˇsi u R3 .
Posmatrajmo cilindar V odred¯en skupom G, skupom Γr (f ), ˇcije su izvodnice
paralelne z-osi, i sve izvodnice prolaze kroz ∂G. Na ovaj naˇcin je ograniˇcen
skup u prostoru R3 . Na osnovu prethodne teoreme, m3 (Γr (f )) = 0. Takod¯e
je m3 (G) = 0, jer je G ograniˇcen i degenerisan skup u R3 .
Procenimo meru cilindarske povrˇsi, oznaˇcene sa K. Kako je m2 (∂G) =
0, skup ∂G je pokriven elementarnim 2-intervalima ˇcija je ukupna mera
proizvoljno mala (tj. moˇze se uˇciniti manjom od bilo kog unapred zadanog
broja ϵ > 0). Stoga je cilindarska povrˇs K sadrˇzana u uniji konaˇcno mnogo
3-intervala, ˇcija se ukupna trodimenzionalna mera moˇze uˇciniti proizvoljno
malom. Stoga je m3 (K) = 0.
Dakle, m3 (V ) ne zavisi od trodimenzionalnih mera skupova G, Γr (f ), K.
Posmatrajmo proizvoljnu 21k -mreˇzu prostora R2 , koja indukuje razbijanje
T skupa G. Donje i gornje Darbuove sume funkcije f na skupu G, indukovane
razbijanjem T , sada ˇcine trodimenzionalne mere cilindara upisanih u V , i
cilindara opisanih oko V .
Funkcija f je integrabilna na G, te je
∫∫
f = m3 (V ).
G
Ukoliko bi funkcija f bila negativna na G, onda bi bilo
∫∫
G
f = −m3 (V ).
ˇ
1.6. SPECIFICNOSTI
INTEGRALA U RN ZA N ≥ 2
1.5.2
29
Interpretacija trostrukog integrala
Trostruki integral ima jednostavnu fiziˇcku interpretaciju. Neka je G merljiv
skup u R3 , koji je model nekog tela u prostoru. Pretpostavimo da je f
nenegativna, ograniˇcena i integrabilna funkcija na G, koju smatramo funkcijom raspodele gustine tela G. Posmatramo razbijanje T = {G1 , . . . , Gm }
skupa G, koje je dovoljno fino, odnosno dovoljno malog dijametra, da se
funkcija raspodele gustine f u skupu (telu) Gi neznatno razlikuje od konstante. Tada je za svako ξi ∈ Gi veliˇcina f (ξi ) · m(Gi ) pribliˇzno jednaka masi
tela Gi . Prema tome, Rimanova suma σT (f, G) pribliˇzno je jednaka masi tela
G. Oˇcigledno, greˇska u raˇcunu se smanjuje ukoliko se smanjuje i dijametar
podele T .
Dakle,
∫∫∫ pod pretpostavkom da je funkcija f raspodela gustine tela G, sledi
da je
f masa tela G.
G
1.6
Specifiˇ
cnosti integrala u Rn za n ≥ 2
Rimanov integral funkcije f na skupu G je prirodno uopˇstenje integrala na
[a, b]. Definicija integrala, kako smo do sada pokazali, zahteva uvod¯enje pojma mere u Rn . Bogatija geometrijska struktura prostora Rn u odnosu na
R donosi izvesne specifiˇcne osobine integrala, koje se ne zasnivaju samo na
razliˇcitoj interpretaciji mere.
∫b
U sluˇcaju integrala f (x) dx funkcije jedne promenljive, u samoj definiciji
a
je sadrˇzan uslov ograniˇcenosti funkcije f . U suprotnom radi se o nesvojstvenom integralu, koji se posebno razmatra.
Med¯utim, ako je G merljiv skup u Rn , n ≥ 2, i f ∈ R(G), onda funkcija
f ne mora biti obavezno ograniˇcena.
Primer 1.6.1. Neka je G = [0, 1]×{0} segment u R2 . Oˇcigledno, m2 (G) = 0.
Bilo koja realna funkcija f sa domenom G, mora biti integrabilna na G. Na
primer, neka je za svako y ∈ R:
{
1
, x ∈ (0, 1],
x
f (x, y) =
0, x = 0.
Funkcija f oˇcigledno nije ograniˇcena, ali je
∫∫
G
f = 0 (Slika 3).
30
GLAVA 1. INTEGRACIJA
O
Slika 3.
1
Definicija 1.6.1. Merljiv skup G ⊂ Rn je jednostavan, ako za svako ϵ > 0
postoji razbijanje T skupa G, tako da je d(T ) < ϵ i da je svaki skup iz T
pozitivne n-dimenzionalne mere.
Skup G u Primeru 1.6.1 nije jednostavan, jer za bilo koju podelu T skupa
G, svaki element iz G ima dvodimenzionalnu meru jedanku nuli.
Sa druge strane, mnogi skupovi zaista jesu jednostavni.
Teorema 1.6.1. Ako je G otvoren i merljiv skup u Rn , onda je G jednostavan
skup.
Dokaz. ⋆ Neka je G otvoren merljiv skup, i neka je ϵ > 0. Posmatrajmo
1
-mreˇzu prostora Rn . Ako je Ejk jedan n-interval odred¯en ovom mreˇzom,
2k
√
onda je njegov dijametar d(Ejk ) = 2n2k . Postoji k ∈ N tako da je d(Ejk ) < ϵ.
Za ovako odabrano k, posmatrajmo razbijanje T = {Ejk ∩ G : j} skupa G,
pri ˇcemu posmatramo samo neprazne skupove Ejk ∩ G.
Pretpostavimo da postoji neki Ejk ∩ G, tako da je mn (Ejk ∩ G) = 0. Tada
skup Ejk ∩ G ne sadrˇzi ni jedan otvoreni n-interval. Stoga G ima prazan
presek sa (Ejk )◦ . Prema tome, G seˇce samo rub skupa Ejk u nekoj taˇcki x.
Ako bi x bila unutraˇsnja taˇcka skupa G, onda bi skup G sekao unutraˇsnost
skupa Ejk , ˇsto je nemogu´ce. Dakle, x ∈ ∂G. Poslednja ˇcinjenica je nemogu´ca,
jer je G otvoren, pa G ne sadrˇzi ni jednu svoju rubnu taˇcku.
Sledi da je mn (Ejk ∩ G) > 0 za svaki skup Ejk ∩ G.
Ako je G merljiv podskup od Rn , i ako je skup G jednostavan, onda je
i skup G jednostavan. Stoga su i zatvorenja otvorenih merljivih skupova
takod¯e jednostavni skupovi.
Teorema 1.6.2. Ako je G merljiv i jednostavan skup u Rn , i ako je f ∈
R(G), onda je f ograniˇcena na G.
ˇ
1.7. IZRACUNAVANJE
INTEGRALA
31
Dokaz. Pretpostavimo da je f neograniˇcena na G. Za proizvoljno δ > 0
postoji razbijanje T = {G1 , . . . , Gk } skupa G, tako da je d(T ) < δ i m(Gj ) >
0 za svako j = 1, . . . , k. Funkcija f nije ograniˇcena na bar jednom elementu
iz T , recimo f nije ograniˇcena na G1 . Posmatrajmo proizvoljne taˇcke ξj ∈ Gj
za j = 1, . . . , k, i odgovaraju´cu Rimanovu sumu
σT (f, G, ξ) = f (ξ1 )mn (G1 ) +
k
∑
f (ξj )mn (Gj ).
j=2
Fiksirajmo vrednosti ξ2 , . . . , ξk . Tada za svako M > 0 moˇzemo odabrati
taˇcku ξ1 ∈ G1 , tako da je |σT (f, G, ξ)| ≥ M . Ovo je u suprotnosti sa pretpostavkom f ∈ R(G).
Sledi da je f ograniˇcena na G.
1.7
Izraˇ
cunavanje integrala
Integrale funkcija na merljivivm skupovima iz Rn izraˇcunavamo najˇceˇs´ce njihovim svodjenjem na ponovljene integrale.
Sluˇ
caj prostora R2
1.7.1
Dokaza´cemo najpre osnovne rezultate u prostoru R2 .
Teorema 1.7.1. Pretpostavimo da vaˇzi:
(1) Funkcija (x, y) 7→ f (x, y) je integrabilna u pravougaoniku Π = {(x, y) :
a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d};
∫d
(2) Za svako x ∈ [a, b] postoji integral f (x, y) dy.
c
Tada integral x 7→
∫d
f (x, y) dy definiˇse integrabilnu funkciju po x na seg-
c
mentu [a, b] i vaˇzi
∫∫
∫b
f (x, y) dx dx =
Π
a
 d

∫
∫b
∫d
 f (x, y) dy  dx ≡
dx f (x, y) dy.
c
a
c
32
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Dokaz. Odaberimo taˇcke c = y0 < y1 < y2 < · · · < yn = d i a = x0 < x1 <
x2 < · · · < xm = b sa svojstvom yi − yi−1 = h za svako i i xj − xj−1 ≤ h
za svako j. Odaberimo proizvoljne taˇcke αj ∈ [xj−1 , xj ] i βi ∈ [yi−1 , yi ]. Na
ovaj naˇcin postigli smo razbijanje segmenata [c, d] i [a, b], kao i razbijanje
pravougaonika Π manjim pravougaonicima sa temenima u taˇckama (xj , yi ).
Za proizvoljno x ∈ [a, b] vaˇzi da je
sh (x) =
n
∑
f (x, βi )(yi − yi−1 ) =
i=1
Rimanova suma integrala
n
∑
f (x, βi )h
i=1
∫d
f (x, y) dy. Takod¯e,
c
σh =
n ∑
m
∑
f (αj , βi )(xi − xi−1 )(yj − yj−1 )
i=1 j=1
=
n ∑
m
∑
f (αj , βi )(xi − xi−1 )h
i=1 j=1
je Rimanova suma koja odgovara integralu
Rimanovu sumu integrala
∫b
∫∫
f (x, y) dx dy. Posmatrajmo
Π
sh (x) dx, koja je jednaka
a
Sh =
m
∑
sh (αj )(xj − xj−1 ) = σh .
j=1
Zbog uslova xj − xj−1 ≤ h za svako j, sledi da ako dijametar podele skupa
Π teˇzi nuli, onda teˇze nuli i dijametri podele segmenata [c, d] i [a, b], a ova
ˇcinjenica se jednostavno opisuje kao h → 0. Na osnovu jednakosti dvojne i
ponovljene graniˇcne vrednosti funkcija dve promenljive, proizilazi i jednakost
integrala:


∫∫
∫b ∫d
f (x, y) dx dy =  f (x, y) dy  dx.
a
Π
c
Time je teorema dokazana.
∫∫
Primer 1.7.1. Izraˇcunati
xy dx dy, gde je Π = [0, 1] × [2, 3].
Π
ˇ
1.7. IZRACUNAVANJE
INTEGRALA
33
Reˇsenje. Funkcija (x, y) 7→ f (x, y) = xy je neprekidna, te stoga i integrabilna
na skupu Π. Na osnovu Teoreme 1.7.1, sledi
∫∫
∫1
xy dx dy =
Π
∫3
x dx
0
5
y dy = .
4
2
Definicija 1.7.1. Neka su φ i ψ neprekidne funkcije na segmentu [a, b] i za
svako x ∈ [a, b] neka vaˇzi φ(x) ≤ ψ(x). Skup
Ω = {(x, y) : φ(x) ≤ y ≤ ψ(x), a ≤ x ≤ b}
jeste elementaran skup u odnosu na y-osu (Slika 4).
Slika 4.
Teorema 1.7.2. Skup Ω u prethodnoj Definiciji 1.7.1 je merljiv u R2 .
Dokaz. Neka je I duˇz u ravni koja spaja taˇcke (a, φ(a)) i (a, ψ(a)). Neka je
J duˇz koja spaja taˇcke (b, φ(b)) i (b, ψ(b)). Tada je rub skupa Ω
∂Ω = I ∪ J ∪ Γr (φ) ∪ Γr (ψ),
gde je Γr (φ) grafik funkcije φ, a Γr (ψ) grafk funkcije ψ. Grafik integrabilne
funkcije, a samim tim i neprekidne funkcije, ima dvodimenzionalnu meru
jednaku nuli. Dakle, m2 (∂Ω) = 0, odakle proizilazi da je skup Ω merljiv u
R2 .
Teorema 1.7.3. Neka je Ω elementaran skup u odnosu na y-osu, odred¯en
Definicijom 1.7.1. Neka je (x, y) 7→ f (x, y) integrabilna funkcija na skupu Ω,
34
GLAVA 1. INTEGRACIJA
pri ˇcemu za svako x ∈ [a, b] postoji integral
ψ(x)
∫
f (x, y) dy. Tada vaˇzi slede´ca
φ(x)
formula
∫∫
∫b
f (x, y) dx dy =
a
Ω
ψ(x)
∫
dx
f (x, y) dy.
φ(x)
Dokaz. Funkcije φ i ψ su neprekidne na segmentu [a, b] i dostiˇzu, redom, svoj
minimum i maksimum na ovom segmentu. Neka je
c = min φ(x),
x∈[a,b]
d = max ψ(x).
x∈[a,b]
Oˇcigledno je Ω ⊂ Π = [a, b] × [c, d]. Skup Ω je merljiv, pa je i skup Π \ Ω
takod¯e merljiv. Neka je funkcija F definisana na skupu Π slede´ci naˇcin:
{
f (x, y), (x, y) ∈ Ω,
F (x, y) =
0,
(x, y) ∈ Π \ Ω.
Sledi
∫∫
∫∫
F (x, y) dx dy =
Π
∫∫
F (x, y) dx dy +
Ω
Π\Ω
∫∫
=
F (x, y) dx dy
f (x, y) dx dy.
Ω
Prema Teoremi 1.7.1, proizilazi da vaˇzi
∫b
∫∫
f (x, y) dx dy =
dx
a
Ω
∫d
∫b
=
F (x, y) dy
c


φ(x)
ψ(x)
∫d
∫
∫


dx  0 dy +
f (x, y) dy +
0 dy 
a
c
∫b
=
dx
a
Time je teorema dokazana.
φ(x)
ψ(x)
∫
φ(x)
f (x, y) dy.
ψ(x)
ˇ
1.7. IZRACUNAVANJE
INTEGRALA
Primer 1.7.2. Izraˇcunati integral
∫∫
35
x2 dx dy na skupu G = {(x, y) : −1 ≤
G
x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1} (Slika 5).
Slika 5.
Reˇsenje. Na osnovu Teoreme 1.7.3, vaˇzi:
∫1
∫1
∫∫
2
dx
x dx dy =
G
−1
∫1
x2 (1 − x2 ) dx =
2
x dy =
−1
x2
4
.
15
Primer 1.7.3. Neka je G skup ograniˇcen
kruˇznicama x2 + y 2 = 4 i x2 −
∫∫
2x + y 2 = 0. Prikazati dvostruki integral
f (x, y) dx dy kao dva uzastopna
G
integrala (Slika 6).
Slika 6.
Reˇsenje. Skup G je unija tri elemtarna skupa u odnosu na y-osu:
√
√
Ω1 = {(x, y) : −2 ≤ x ≤ 0, − 4 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2 }
√
√
Ω2 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, − 4 − x2 ≤ y ≤ − 2x − x2 },
√
√
Ω3 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 2x − x2 ≤ y ≤ 4 − x2 }.
36
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Prema Teoremi 1.7.3 sledi
∫∫
√
∫0
f (x, y) dx dy =
√
−2
G
f (x, y) dy +
dx
+
dx
0
√
dx
0
− 4−x2
√
∫4−x2
∫2
√
− ∫2x−x2
∫2
∫4−x2
f (x, y) dy
√
− 4−x2
f (x, y) dy.
2x−x2
Slika 7.
Primer 1.7.4. Izraˇcunati integral (Slika 7)
∫π/2
I=
∫π/2
dy
0
sin x
dx.
x
y
∫
Reˇsenje. Poznato je da neodred¯eni integral sinx x dx ne moˇze biti izraˇcunat
sin x
u konaˇcnom obliku. Vaˇzi lim
= 1, odakle sledi da je funkcija (x, y) 7→
x→0 x
sin x
ograniˇcena i neprekidna na posmatranom skupu
x
{
}
π
π} {
π
G = (x, y) : 0 ≤ y ≤ , y ≤ x ≤
= (x, y) : 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ x .
2
2
2
ˇ
1.7. IZRACUNAVANJE
INTEGRALA
37
Prema Teoremi 1.7.3, vaˇzi:
∫π/2
I=
∫π/2
dy
0
∫π/2
=
y
∫∫
sin x
dx dy =
x
∫π/2
∫x
dx
0
G
0
sin x
dy
x
0
 x 
∫
∫π/2
sin x 
dy  dx =
sin x dx = 1.
x
0
1.7.2
sin x
dx =
x
0
Sluˇ
caj prostora Rn , n ≥ 3
Nije teˇsko dokazati rezultat analogan Teoremi 1.7.1 u prostoru ve´ce dimenzije.
Teorema 1.7.4. Neka su G =
k
∏
(bi − ai ) i K =
i=1
m
∏
(di − ci ) pravougaonici,
j=1
redom, u Rk i Rm . Neka je funkcija ∫f integrabilna na pravougaoniku G × K.
Ako za svako x ∈ G postoji integral f (x, y) dy, tada vaˇzi formula
K
∫
∫
f (x, y) dx dy =
G×K
∫
dx
G
f (x, y) dy.
K
Definicija 1.7.2. Neka je G merljiv skup u Rn i neka su φ, ψ : G → R
neprekidne funkcije sa svojstvom φ(x) ≤ ψ(x) za svako x = (x1 , . . . , xn ) ∈ G.
Skup
Ω = {(x1 , . . . , xn , xn+1 ) : x ∈ G, φ(x) ≤ xn+1 ≤ ψ(x)} ⊂ Rn+1
jeste elementaran skup u odnosu na osu xn+1 .
Teorema 1.7.5. Elementaran skup Ω, odred¯en Definicijom 1.7.2 je merljiv
u prostoru Rn+1 .
Teorema 1.7.6. Neka je Ω merljiv i elementaran skup u odnosu na osu xn+1 ,
opisan u 2.21 Definiciji. Neka je (x, xn+1 ) 7→ f (x, xn+1 ) integrabilna funkcija
38
GLAVA 1. INTEGRACIJA
na Ω i neka za svako x ∈ G postoji interal
ψ(x)
∫
f (x, xn+1 ) dxn+1 . Tada vaˇzi
φ(x)
formula
∫
∫
f (x, xn+1 ) dx dxn+1 =
Ω
ψ(x)
∫
dx
f (x, xn+1 ) dxn+1 .
G
φ(x)
∫∫∫
Primer 1.7.5. Izraˇcunati trostruki integral I =
xyz dx dy dz ako je
G
skup G = [0, 1] × [2, 3] × [4, 5].
Reˇsenje. Prema Teoremi 1.7.5 vaˇzi
∫1
∫3
x dx
I=
0
∫5
y dy
2
z dz =
45
.
8
4
Primer 1.7.6. Izraˇcunati trostruki integral I =
∫∫∫
z dx dy dz na skupu Ω
Ω
ograniˇcenom ravnima x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0 (Slika 1.7.2).
Reˇsenje. Skup Ω prikazan je na slede´ci naˇcin:
Ω = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ z ≤ 1 − x − y}.
Ω je elementaran u odnosu na z-osu. Neka je G skup u ravni ograniˇcen
pravama x + y = 1, x = 0 i y = 0. Skup G je elementaran u odnosu na y-osu.
1.8. SMENA PROMENLJIVIH
39
Prema Teoremi 1.7.5 vaˇzi
1−x−y
∫
∫∫∫
∫∫
∫∫
1
z dz =
z dx dy dz =
dx dy
(1 − x − y)2 dx dy
2
Ω
G
=
1
2
∫1
0
0
G
∫1−x
∫1
∫1−x
1
2
dx (1 − x − y) dy =
dx
t2 dt
2
0
0
0
1
= .
24
1.8
Smena promenljivih
U opˇstem sluˇcaju, potrebno je integral neke funkcije izraˇcunati na skupu koji
nije elementaran u odnosu na neku koordinatnu osu. Stoga se uvodi smena
promenljivih.
Skup G (G ⊂ Rn ) je povezan ako za svake dve taˇcke A, B ∈ G, postoji
neprekidno preslikavanje γ : [a, b] → G sa svojstvom da je γ(a) = A i γ(b) =
B. Otvoren i povezan skup jeste oblast. Ako je G oblast, onda je G zatvorenje
oblasti G.
Posmatramo preslikavanja definisana na oblastima u Rn . Neka je G ⊂ Rn
oblast i neka su definisane funkcije
(ξ1 , . . . , ξn ) 7→ φ1 (ξ1 , . . . , ξn ), . . . , φn (ξ1 , . . . , ξn )
za ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ G. Tada je φ(ξ) = (φ1 (ξ1 , . . . , ξn ), . . . , φn (ξ1 , . . . , ξn )) ∈
D, gde je D neki novi skup u Rn . Preciznije, D je slika skupa G koordinatnim
∂φi
preslikavanjima φ1 , . . . , φn . Zahteva se da svi parcijalni izvodi prvog reda
∂ξj
(i, j = 1, . . . , n) budu neprekidne funkcije na G. Takod¯e, pretpostavlja se da
je jakobijan7 ovog koordinatnog preslikavanja razliˇcit od nule, odnosno
∂φ1
∂φ1 ·
·
·
∂ξ1
∂φ
n
D(φ1 , . . . , φn ) .
.
.. ̸= 0
J=
= ..
·
·
·
D(ξ1 , . . . , ξn )
∂φn
∂φn ·
·
·
∂ξ
∂ξn 1
7
Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), nemaˇcki matematiˇcar
40
GLAVA 1. INTEGRACIJA
za svako (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ G.
Tada je preslikavanje φ = (φ1 , . . . , φn ) : G → Rn regularnoa (ili dopustiva
transformacija odnosno smena). Preslikavanje φ je bijektivno iz G na D.
Osim toga, φ je otvoreno preslikavanje, odnosno φ(G) = D, pri ˇcemu je D
oblast (videti dogovaraju´ce rezultate iz predmeta Matematiˇcka analiza 3).
Formuliˇsemo bez dokaza tvrd¯enje, koje ilustruje ulogu jakobijana preslikavanja.
Teorema 1.8.1. Neka je φ : G → Rn regularno preslikavanje, pri ˇcemu je
G oblast u Rn . Neka je Π n-dimenzionalna ”kocka“ u G stranice h, kojoj
pripada taˇcka M i neka je Π′ = φ(Π). Tada je Π′ merljiv skup u Rn i
mn (Π′ )
mn (Π′ )
= lim
= |J(M )|
h→0 mn (Π)
h→0
hn
lim
i ova konverencija je ravnomerna po M . Ovde je sa J(M ) oznaˇcena vrednost
jakobijana preslikavanja φ u taˇcki M .
Sada dokazujemo vaˇznu teoremu o smeni promenljivih u viˇsestrukom integralu.
Teorema 1.8.2. Neka je G merljiva oblast u prostoru promenljivih ξ1 , . . . , ξn ,
a D neka je merljiva oblast u prostoru promenljivih x1 , . . . , xn . Neka je φ =
(φ1 , . . . , φn ) : G → D regularno preslikavanje, odnosno
x1 = φ1 (ξ1 , . . . , ξn ), . . . , xn = φn (ξ1 , . . . , ξn ),
D(φ1 , . . . , φn )
J=
̸= 0, (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ G.
D(ξ1 , . . . , ξn )
Ako je (x1 , . . . , xn ) 7→ f (x1 , . . . , xn ) neprekidna funkcija na skupu D, onda
vaˇzi jednakost
∫
f (x1 , . . . , xn ) dx1 · · · dxn =
(1.6)
∫
D
=
f (x1 (ξ1 , . . . , ξn ), . . . , xn (ξ1 , . . . , ξn ))|J|
(1.7)
G
dξ1 · · · dξn .
(1.8)
1.8. SMENA PROMENLJIVIH
41
Dokaz. Poznato je da je kompozicija neprekidnih funkcija takod¯e neprekidna
funkcija. Oblasti D i G su merljive, prema tome i ograniˇcene. Skupovi G i D
su kompaktni. Neprekidne funkcije na kompaktnim skupovima jesu integrabilne. Stoga oba integrala u (1.6) postoje. Dokazujemo njihovu jednakost.
Funkcija f je neprekidna na kompaktnom skupu D, te je stoga ograniˇcena
na D. Postoji broj L > 0, tako da za svako x ∈ D vaˇzi |f (x)| ≤ L. Jakobijan
J je neprekidno preslikavanje na kompaktu G. Stoga postoji broj K, tako
da za svako ξ ∈ G vaˇzi |J(ξ)| ≤ K.
Posmatra se podela prostora Rn promenljivih ξ1 , . . . , ξn pravama paralelnim koordinatnim osama, pri ˇcemu su susedne paralelne prave uvek na rastojanju h. Sve kocke koje imaju neprazan presek sa G oznaˇcimo sa G1 , . . . , Gl .
Skup {1, . . . , l} podelimo na dva disjunktna skupa I i J na slede´ci naˇcin:
i ∈ I ako ∪
i samo ako Gi ∩ ∂G = ∅; j ∈ J ako i samo ako Gj ∩ ∂G ̸= ∅. Sada
je ∂G ⊂
Gj .
j∈J
Neka je Di = φ(Gi ), pri ˇcemu je φ = (φ1 , . . . , φn ). Na osnovu Teoreme
1.8.1 postoje taˇcke Mi ∈ Gi , i ∈ I, tako da vaˇzi
mn (Di ) = |J(Mi )|mn (Gi ) + ϵ(h)mn (Gi ),
pri ˇcemu je lim ϵ(h) = 0 ravnomerno po Mi ∈ Gi . Neka je Ni = φ(Mi ) ∈ Di ,
h→0
i ∈ I.
Neka je ϵ > 0 proizvoljan broj. Na osnovu ˇcinjenice
m)
n (∂G) = 0 sledi da
(
∪
ϵ
se h moˇze odabrati dovoljno malo, tako da je mn
Gj < 4LK
. Tada je
j∈J
∑
ϵ
f
(N
)|J(M
)|
·
m
(G
)
i
i
n
i < .
4
j∈J
(1.9)
Oˇcigledno vaˇzi
∑
∑
∑
f (Ni )mn (Di ) =
f (Ni )|J(Mi )|mn (Gi )+
f (Ni )ϵ(h)mn (Gi ), (1.10)
i∈I
i∈I
i∈I
Obzirom da je konvergencija ϵ(h) → 0 kada h → 0 ravnomerna po Mi , sledi
ϵ
. Prema
da postoji dovoljno malo h, tako da je ispunjeno |ϵ(h)| < 4L·m(G)
tome,
∑
ϵ
ϵ
f (Ni )ϵ(h)mn (Gi ) ≤ L
mn (G) = .
(1.11)
4L · mn (G)
4
i∈I
42
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Na osnovu integrabilnosti funkcije f na skupu D sledi da postoji dovoljno
mali broj h, sa svojstvom
∫
l
∑
ϵ
f (x) dx −
f (Ni ) · mn (Di ) < .
4
i=1
(1.12)
D
Suma
l
∑
f (Ni )|J(Mi )|·mn (Gi ) je Rimanova suma koja odgovara integralu
i=1
∫
f (φ(ξ))|J(ξ)| dξ.
(1.13)
G
Preslikavanje φ : G → D je regularno, specijalno i neprekidno, te je
ograniˇceno. Postoji broj S > 0, tako da za svako ξ ∈ G vaˇzi√|φ(ξ)| ≤
S. Skupovi {G1 , . . . , Gl } ˇcine razbijanje skupa G dijametra h n (u ndimenzionalnom prostoru). Prema tome, dijametar razbijanja {Gi } teˇzi nuli
ako i samo ako h →√0. I familija {D1 , . . . , Dl } ˇcini rabijanje skupa D dijametra ne ve´ceg od Sh n. Prema tome, ako h → 0, onda i dijametar razbijanja
{Di } teˇzi nuli. Inverzno preslikavanje φ−1 : D → G je takodje regularno (i
neprekidno). Prema tome, ako dijametar razbijanja {Di } teˇzi nuli, onda i
h → 0.
Regularno preslikavanje φ : G → D je otvoreno, odnosno slika taˇcke
skupa G u taˇcke skupa D. Obzirom da je i inverzno preslikavanje regularno
(samim tim i otvoreno), sledi
∪ da φ preslikava rub skupa G na rubn skupa
√ D.
n
Prema tome, skup E =
Dj sadrˇzi rub skupa D i m(E) ≤ M h ( n)n .
j∈J
Za dato ϵ > 0 postoji dovoljno malo h, tako da vaˇzi m(E) ≤
ϵ
∑
f (Nj ) · m(Dj ) < .
4
j∈J
ϵ
.
4L
Sada je
(1.14)
1.8. SMENA PROMENLJIVIH
43
Sada dolazimo do procene:
∫
l
∑
f dx −
f (Ni )|J(Mi )| · mn (Gi ) ≤
i=1
D
∫
l
∑
f (Ni )mn (Di ) +
≤ f dx −
i=1
D
l
l
∑
∑
f (Ni )mn (Di ) −
f (Ni )|J(Mi )|mn (Gi )
+
i=1
i=1
∫
l
∑
f (Mi )m(Di ) +
≤ f dx −
i=1
D
∑
∑
+
f (Ni )m(Di ) −
f (Ni )|J(Mi )|mn (Gi )
i∈I
i∈I
∑
∑
+
f (Nj )mn (Dj ) + f (Nj )|J(Mj )|mn (Gj )
j∈J
j∈J
ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
≤ + + + =ϵ
4 4 4 4
Pri tome, prva apsolutna vrednost je manja od 4ϵ na osnovu (1.12), druga
apsolutna vrednost je manja od 4ϵ na osnovu formule (1.10) i nejednakosti
(1.11). Tre´ca apsolutna vrednost je manja od 4ϵ na osnovu nejednakosti
ˇ
(1.14). Cetvrta
apsolutna vrednost je manja od 4ϵ na osnovu nejednakosti
(1.9).
Sada, imaju´ci u vidu Rimanovu sumu integrala u (1.13), sledi traˇzena
jednakost integrala
∫
∫
f dx =
D
f (φ(ξ))|J(ξ)| dξ.
G
Prethodna teorema ima primene u mnogim konkretnim sluˇcajevima.
44
1.8.1
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Polarna smena u ravni
Dobro je poznato da svaka taˇcka P = (x, y) ̸= (0, 0) u ravni na jedinstven
naˇcin moˇze biti prikazana koriˇs´cenjem polarnog radijusa i polarnog ugla.
−→
Polarni radijus je intenzitet vektora OP , a polarni ugao je ugao koji pozitivni
−→
deo x-ose zaklapa sa vektorom OP , poˇcev od pozitivnog dela x-ose suprotno
kretanju kazaljke na ˇcasovniku (Slika 8).
Slika 8.
U ovom sluˇcaju za svaku taˇcku (x, y) ̸= (0, 0) postoje jedinstveni brojevi
r > 0 i 0 ≤ φ < 2π, tako da vaˇzi
x = r cos φ,
y = r sin φ.
Naravno, ako je x = y = 0, onda je r = 0, a φ moˇze biti bilo koji ugao.
Inverzne transformacije jesu
r=
√
x2 + y 2 ,
y
φ = arctg .
x
Jakobijan uvedenog preslikavanja jeste
cos φ −r sin φ
= r.
J =
sin φ r cos φ Oˇcigledno je J ̸= 0 zbog uslova r > 0.
1.8. SMENA PROMENLJIVIH
45
Slika 9.
Ako je skup G cela ravan sa izuzetkom koordinatnog poˇcetka, analiziramo ˇsta je skup D, odnosno domen promenljivih r i φ. Oˇcigledno, r-osa
pripada skupu G, ali ne i ostali deo ruba (Slika 9). Ovaj nedostatak ne´ce biti
presudan prilikom izraˇcunavanja viˇsestrukih integrala. Razlog leˇzi u ˇcinjenici
da je povrˇsina taˇcke ili duˇzi jednaka nuli.
Primer 1.8.1. Ispitati koju oblast u prostoru promenljivih r i φ polarna
smena preslikava na krug G : x2 + y 2 ≤ R2 . Koriste´ci ovu smenu, izraˇcunati
integral
∫∫
I=
(x2 + y 2 ) dx dy.
G
Reˇsenje. U nejednakosti x2 + y 2 ≤ R, kojom je odred¯ena unutraˇsnost kruga
zamenimo promenljive x i y preko r i φ. Proizilazi r2 ≤ R2 . Pri tome za
promenljivu φ nema nikakvih ograniˇcenja, odnosno uslovi koji opisuju skup
G u ovom primeru jesu 0 < r ≤ R i 0 ≤ φ < 2π. Drugim reˇcima, vaˇzi
D = {(r, φ) : 0 < r ≤ R, 0 ≤ φ < 2π}. Sada, koriste´ci Teoremu 1.8.2 o smeni
promenljivih, proizilazi da vaˇzi
∫∫
∫2π
(r2 cos2 φ + r2 sin2 φ)r dr dφ =
I=
D
∫R
dφ
0
0
1
r2 · r dr = R4 π.
2
46
GLAVA 1. INTEGRACIJA
U ovom primeru ignorisan je centar kruga, u koju se ne slika ni jedna taˇcka
skupa D, zbog uslova r > 0. Med¯utim, to u ovom sluˇcaju nije od presudnog
znaˇcaja za raˇcunanje integrala. Naime, integral posmatrane funkcije (x, y) 7→
f (x, y) = x2 + y 2 na skupu G moˇze se izraˇcunati kao zbir integrala na skupu
G1 i na skupu G2 . Pri tome G1 neka sadrˇzi samo centar kruga, odnosno
G1 = {(0, 0)}, a G2 = G \ G1 . Kako je mera skupa G1 jednaka nuli, to ´ce
i integral funkcije po tom skupu biti jednak nuli, i dovoljno je posmatrati
integral funkcije f na skupu G2 . Sada je slika skupa D = {(r, φ) : 0 <
r ≤ R, 0 ≤ φ < 2π} polarnom smenom jednaka skupu G2 . Kao ˇsto se vidi,
izuze´ce skupa G1 ne utiˇce na vrednost integrala. Ova ”nedoreˇcenost“ koristi
se u svim narednim primerima bez posebnog obrazloˇzenja.
1.8.2
Uopˇ
stena polarna smena
Uopˇstene polarne koordinate se koriste kada je polazni domen integracije
elipsa, a ne krug. Posmatra se preslikavanje
x = ar cos φ,
y = br sin φ,
0 ≤ φ < 2π, r > 0,
gde su a, b neke konstante razliˇcite od nule. Tada je jakobijan preslikavanja
a cos φ −ar sin φ
= abr ̸= 0.
J = b sin φ br cos φ Geometrijska interpretacija ove transforamcije sliˇcna je interpretaciji polarne
smene. Naime, ako su date vrednosti za x i y, pri ˇcemu je (x, y) ̸= (0, 0),
onda su jedinstveni r i φ odred¯eni na slede´ci naˇcin:
√
r=
x2 y 2
+ 2 > 0,
a2
b
φ = arctg
ya
∈ [0, 2π).
xb
Obrnuto, ako su poznate vrednosti r > 0 i φ ∈ [0, 2π), onda je formulama
x = ar cos φ, y = br sin φ odred¯ena jedinstvena taˇcka ravni sa izuzetkom
koordinatnog poˇcetka. Kao i u sluˇcaju polarnih koordinata, izuze´ce koordinatnog poˇcetka ne´ce predstavljati poteˇsko´ce u izraˇcunavanju integrala.
U izvesnim specijalnim sluˇcajevima koristi se uopˇstena polarna smena
x = arα cosβ φ, y = brα sinβ φ, φ ∈ [0, 2π), r > 0 (a, b, α, β ̸= 0).
1.8. SMENA PROMENLJIVIH
47
Primer 1.8.2. Izraˇcunati integral I =
∫∫ √ x2
a2
G
unutraˇsnjost elipse, odnosno G :
x2
a2
+
y2
b2
+
y2
b2
dx dy, gde je skup G
≤ 1, a, b > 0.
Reˇsenje. Uvodimo uopˇstene polarne koordinate
x = ar cos φ, y = br sin φ,
r > 0, φ ∈ [0, 2π).
Zamenom promenljvih r i φ u nejednakost koja odred¯uje unutraˇsnjost elipse,
sledi r2 ≤ 1. Obzirom da ne postoje ograniˇcenja za promenljvu φ, domen D
promenljivih r i φ dat je na slede´ci naˇcin:
D = {(r, φ) : 0 ≤ φ < 2π, 0 < r ≤ 1}.
Sada je traˇzeni integral
∫2π
I=
∫1
dφ
0
2
r · abrdr = abπ.
3
0
Primer
√
√1.8.3. Izraˇcunati povrˇsinu figure u ravni, koja je ograniˇcena krivom
x
y
4
+ 4 = 1 i pravama x = 0, y = 0, pri ˇcemu je a, b > 0 (Slika 10).
a
b
Slika 10.
Reˇsenje. Uvodimo uopˇstenu polarnu smenu
x = ar4 cos8 φ, y = br4 sin8 φ, φ ∈ [0, 2π), r > 0.
48
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Jakobijan uvedene smene je J = 32abr7 cos7 φ sin7 φ. Iz ˇcinjenice a, b > 0
sledi da mora biti x > 0 i y > 0, te se name´ce uslov φ ∈ (0, π/2). Zamenom
uopˇstenih polarnih koordinata u jednaˇcinu krive koja odred¯uje rub skupa,
dobija se jednaˇcina r = 1. Prema tome, domen promenljive r je interval
(0, 1). U ovom domenu promenljivih r i φ jakobijan preslikavanja je pozitivan.
Prema tome, traˇzena povrˇsina jednaka je slede´cem integralu:
∫π/2
∫1
ab
7
7
I = 32ab cos φ sin φ dφ r7 dr = .
70
0
1.8.3
0
Cilindriˇ
cna smena u trostrukom integralu
Cilindriˇcne koordinate u prostoru R3 predstavljaju neposredno uopˇstenje polarnih koordinata. Preciznije, u ravni promenljivih x, y uvodi se polarna
smena, a promenljiva z ostaje nepromenjena:
x = r cos φ,
y = r sin φ,
z = ξ,
pri ˇcemu je
0 ≤ φ < 2π,
r > 0,
ξ ∈ R.
Lako utvrd¯ujemo da je za ovako uzet domen promenljive (r, φ, ξ) jakobijan
preslikavanja dat na slede´ci naˇcin:
cos φ −r sin φ 0
J = sin φ r cos φ 0 = r > 0.
0
0
1
Geometrijska interpretacija ovih smena je slede´ca. Neka je P taˇcka u trodimenzionalnom prostoru sa koordinatama (x, y, z), neka je P ′ ortogonalna
projekcija taˇcke P na ravan xOy. Tada je ξ jednako z koordinati taˇcke P , r
je rastojanje taˇcke P ′ od koordinatnog poˇcetka, a φ je ugao meren od poz−−→
itivnog dela x-ose do vektora OP ′ , suprotno kretanju kazaljke na ˇcasovniku
(Slika 11).
1.8. SMENA PROMENLJIVIH
49
Slika 11.
Mogu´ce je uvesti uopˇstenu cilindriˇcnu smenu
x = ar cos φ,
y = br sin φ,
z = ξ,
r > 0, φ ∈ [0, 2π), ξ ∈ R,
za proizvoljne a, b ̸= 0. Tada je jakobijan preslikavanja J = abr.
U izvesnim sluˇcajevima uvodi se smena oblika
x = arα cosβ φ, y = brα sinβ φ, z = ξ, r > 0, φ ∈ [0, 2π), ξ ∈ R (a, b, α, β ̸= 0).
Primer 1.8.4. Na´ci zapreminu tela G, ˇcija je granica data jednaˇcinom (x2 +
y 2 + z 2 )2 = x2 + y 2 (Slika 12).
50
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Slika 12.
Reˇsenje. Uvodimo cilindriˇcne koordinate.
√ Koriste´ci ˇcinjenicu r > 0, proizilazi
2
2
da vaˇzi r + ξ = r, odnosno ξ = ± r(1 − r). Veliˇcina r(1 − r) mora biti
nenegativna, odakle sledi 0 < r ≤ 1. Za φ nema nikakvih ograniˇcenja, te
je 0 ≤ φ < 2π. Sada je oˇcigledno
√ da skup ˇcija je granica data navedenom
jednaˇcinom, dobijamo za |ξ| ≤ r(1 − r). Stoga vaˇzi
dφ
m3 (G) =
√
∫r(1−r)
∫1
∫2π
dr
0
0
−
√
r dξ
r(1−r)
∫1 √
π2
= 4π r −r2 + r dr = .
4
0
Poslednji integral se moˇze reˇsiti, na primer, Ojlerovom smenom
1
tr, odakle sledi r = 1+t
2 i t ∈ [0, +∞).
√
−r2 + r =
Primer 1.8.5. Odrediti zapreminu tela ograniˇcenog povrˇsima z = x2 + y 2 ,
x2 + y 2 = x, x2 + y 2 = 2x i z = 0 (Slika 13).
1.8. SMENA PROMENLJIVIH
51
Slika 13.
Reˇsenje. Uvodimo cilindriˇcnu smenu x = r cos φ, y = r sin φ, z = ξ, pri
ˇcemu je r > 0, ξ ∈ R i φ ∈ (−π/2, π/2). Zamenom cilindriˇcnih koordinata u
jednaˇcine povrˇsi, dolazimo do slede´cih jednaˇcina u polarnom obliku: ξ = r2 ,
r = cos φ, r = 2 cos φ, ξ = 0. Iz prve i poslednje jednaˇcine proizilaze granice
promenljive ξ: ξ ∈ (0, r2 ). Iz druge (kao i tre´ce) jednaˇcine, iz uslova r > 0
sledi uslov φ ∈ (−π/2, π/2). Na kraju, iz druge i tre´ce jednaˇcine proizilazi
uslov za promenljivu r: r ∈ (cos φ, 2 cos φ). Prema tome, traˇzena zapremina
jednaka je integralu
∫π/2
I=
2∫
cos φ
dφ
−π/2
∫r2
r dr
cos φ
dξ =
45π
.
32
0
Primer 1.8.6. Izraˇcunati zapreminu tela koje je ograniˇceno povrˇsima
x2
+
a2
y2
z2
x2
y2
z
+ 2 = 1 i 2 + 2 = , pri tome se ima u vidu deo u unutraˇsnjosti
2
b
c
a
b
c
paraboloida (a, b, c > 0) (Slika 14).
52
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Slika 14.
Reˇsenje. Uvodimo uopˇstenu cilindriˇcnu smenu: x = ar cos φ, y = br sin φ,
z = cξ, pri ˇcemu je r > 0, φ ∈ (0, 2π) i ξ ∈ R. Jakobijan ovako uvedenog preslikavanja jeste J = abcr. Skup koji je u unutraˇsnjosti elipsoida i
paraboloida, dat je sistemom nejednaˇcina u cilindriˇcnom obliku: r2 + ξ 2 ≤ 1
i r2 ≤ ξ. Zbog poslednje nejednaˇcine mora biti ξ ≥ 0, a zbog prve ne2
jednaˇ
je ξ) ≤ 1. Neka je ξ ∈ (0, 1). Tada
ξ≤
(cine
( je
) 1 − ξ ako i samo ako je
√
√
ξ ∈ 0, 5−1
. Prema tome, ako je ξ ∈ 0, 5−1
, onda je r ∈ (0, ξ). Ako
2
2
(√
)
5−1
je ξ ∈
, 1 , onda je r ∈ (0, 1 − ξ 2 ). Za φ nema nikakvih ograniˇcenja.
2
Prema tome, traˇzena zapremina jednaka je slede´cem integralu:
√

5−1
2
ξ
1−ξ
2π
1
2
∫
∫
∫
∫
∫



I = abc dφ 
dξ r dr +
dξ
r dr

0


= abcπ 

0
√
5−1
∫2
∫1
ξ 2 dξ +
0
4
abcπ.
15
Time smo doˇsli do kraja reˇsenja.
=
0
√
5−1
2
√
5−1
2


(1 − ξ 2 )2 dξ 

0
1.8. SMENA PROMENLJIVIH
1.8.4
53
Sferna smena u trostrukom integralu
Mnogi trostruki integrali izraˇcunavaju se uvod¯enjem sferne smene. Neka je
x = r cos φ sin ψ, y = r sin φ sin ψ,
r > 0, 0 ≤ φ < 2π, 0 < ψ < π.
z = r cos ψ,
Jakobijan ove smene je
cos φ sin ψ −r sin φ sin ψ r cos φ cos ψ J = sin φ sin ψ r cos φ sin ψ r sin φ cos ψ = −r2 sin ψ ̸= 0.
cos ψ
0
−r sin ψ Prema tome, |J| = r2 sin ψ. Geometrijsko tumaˇcenje ove smene je slede´ce.
Ako je P taˇcka u prostoru R3 sa koordinatama (x, y, z), neka je P ′ ortogonalna projekcija taˇcke P na Oxy ravan. Tada je r rastojanje taˇcke P od
koordinatnog poˇcetka O, φ je ugao u ravni Oxy meren poˇcev od pozitivnog
−−→
dela x-ose do vektora OP ′ suprotno kretanju kazaljke na ˇcasovniku, a ψ je
−→
ugao koji vektor OP zaklapa sa pozitivnim delom z-ose, meren poˇcev od
pozitivnog dela z-ose.
2
2
2
2
Primer 1.8.7. Izraˇcunati masu kugle
√ x + y + z ≤ a , ako je raspodela
gustine data funkcijom f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
Dokaz. Ako je skup na kome se vrˇsi integracija – kugla, onda je to karakteristiˇcan primer potrebe za uvod¯enjem sfernih koordinata. U ovom primeru
prelaskom na sferne koordinate sledi da je funkcija raspodele gustine
f (x(r, φ, ψ), y(r, φ, ψ), z(r, φ, ψ)) = r.
Zamenom sfernih koordinata u nejedanˇcinu koja u Dekartovim koordinatama
odred¯uje kuglu, sledi da je nejednaˇcina koja u sfernim koordinatama opisuje
kuglu, data kao r2 ≤ a2 , odnosno r ≤ a. Pri tome nema nikakvih dodatnih
ograniˇcenja za φ i ψ. Stoga se masa tela raˇcuna na slede´ci naˇcin:
∫2π
I=
∫π
dφ
0
∫a
r3 sin ψdr = a4 π.
dψ
0
0
54
1.9
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Nesvojstveni integrali
Od interesa je razmatrati nesvojstvene integrale. Integral moˇze biti nesvojstven u dva sluˇcaja. Mogu´ce je da domen integracije jeste neograniˇcen skup,
ili je funkcija neograniˇcena u okolini neke taˇcke ruba domena.
Neka je G oblast u Rm , m ≥ 2. Niz otvorenih i izmerljivih skupova (Gn )n
∞
∪
Gk i Gn ⊂ Gn+1 za
je monotoni pokrivaˇc otvorenog skupa G, ako je G =
k=1
svako n ∈ N.
Definicija 1.9.1. Neka je f funkcija definisana na otvorenom skupu G, tako
da je f integrabilna na svakom merljivom (prema tome i ograniˇcenom) podskupu od G. Ako postoji graniˇcna vrednost
∫
lim
f (x) dx = I
n→∞
Gn
za svaki monotoni pokrivaˇc (Gn )n skupa G, onda je I nesvojstven viˇsestruki
integral funkcije f na skupu G, u oznaci
∫
∫
I = f ≡ f (x) dx.
G
G
Vaˇzno je uoˇciti da uvedena definicija vaˇ
zi samo u sluˇ
caju m ≥ 2.
Naime, Definicija 1.9.1 na pravoj ne poklapa se sa ranijim pojmom nesvojstvenog integrala funkcije jedne promenljive, ve´c je specijalnija. Razlog leˇzi u
ˇcinjenici da je monotoni pokrivaˇc u Definiciji 1.9.1 proizvoljan, dok u sluˇcaju
funkcija jedne promenljive to nije bio sluˇcaj. Na primer, za funkcije jedne
promenljive posmatrana je graniˇcna vrednost oblika
∫+∞
∫n
f (x) dx = lim
f (x) dx
n→+∞
a
(1.15)
a
i radi se o specijalnom monotonom pokrivanju intervala (a, +∞) skupovima
oblika Gn = (a, n), n ∈ N.
Ovo je suˇstinska razlika u integraciji funkcija viˇse promenljivih u odnosu
na integraciju funkcija jedne promenljive.
Navodimo i primer kojim ilustrujemo prethodna razmatranja.
1.9. NESVOJSTVENI INTEGRALI
Primer 1.9.1. Pokazati da je integral
55
+∞
∫
f (x) dx, gde je
0
(−1)n+1
, x ∈ [n − 1, n), n ∈ N,
n
konvergentan integral u nesvojstvenom smislu na pravoj (odnosno u smislu
graniˇcne vrednosti (1.15) ), ali nije konvergentan u smislu Definicije 1.9.1.
f (x) =
Reˇsenje. Prema Koˇsijevom kriterijumu, navedeni integral kovergira u smislu
∑ (−1)n+1
graniˇcne vrednosti (1.15), ako i samo ako konvergira red
. Narn
avno, pomenuti red je uslovno konvergentan, i stoga integral postoji u smislu
graniˇcne vrednosti (1.15).
Sa druge strane, prema Rimanovoj teoremi, postoji neki raspored ˇclanova
∑ (−1)n+1
reda
, tako da je suma novog reda jednaka +∞. Neka je to red
n
∑
an sa novim rasporedom ˇclanova. Ovom redu odgovara novi monotoni
pokriˇcac skupa (0, +∞). Raˇcunaju´ci graniˇcnu vrednost integrala po novom
monotonom pokrivaˇcu, sledi da je vrednost integrala u smislu 2.41 Definicije
jednaka +∞. Prema tome, funkcija nije integrabilna u smislu Definicije 1.9.1.
U ovom primeru eventualno prihvatanje mogu´cih graniˇcnih vrednosti +∞
ili −∞ nije od posebnog znaˇcaja, stoga ˇsto promena monotonog pokrivaˇca
dovodi do promene graniˇcne vrednosti.
Slede´ci vaˇzan rezultat je oˇcekivan i posledica je proizvoljnog izbora monotonog pokrivaˇca otvorenog skupa G.
Teorema 1.9.1. Funkcija f je integrabilna na otvorenom skupu G ⊂ Rm ,
m ≥ 2, ako i samo ako je |f | integrabilna na G.
Teorema 1.9.1 je suˇstinski razliˇcita od odgovaraju´ceg rezultata za integrale funkcija jedne promenljive. U sluˇcaju nesvojstvenog integrala funkcije
jedne promenljive, iz apsolutne konvergencije integrala sledi obiˇcna konvergencija ovog integrala, dok obrnuto ne vaˇzi.
Na kraju, navodimo oˇcekivano tvrd¯enje za nenegativne funkcije.
Teorema 1.9.2. Ako je f nenegativna funkcija na otvorenom skupu
G ⊂
∫
Rm , tada za svaki monotoni pokrivaˇc (Gn )n skupa G postoji lim
f (x) dx
n→∞ G
kao konaˇcan broj, ili je ova graniˇcna vrednost jednaka +∞.
Primer 1.9.2. Ispitati konvergenciju i odrediti vrednost integrala
∫∫
2
2
I=
e−(x +y ) dx dy.
R2
n
56
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Reˇsenje. Funkcija f (x, y) = e−(x +y ) je nenegativna i stoga je integral konvergentan, ili je njegova vrednost +∞. Skupovi Gn = {(x, y) : x2 + y 2 < n2 }
ˇcine monotoni pokrivaˇc ravni R2 . Sledi da vaˇzi (koriˇs´cenjem smene x =
r cos φ, y = r sin φ)
2
∫∫
In =
e
−(x2 +y 2 )
2
∫2π
dx dy =
∫n
0
Gn
re−r dr = π(1 − e−n )
2
dφ
2
0
i
I = lim In = π.
n→∞
Prema tome, polazni integral je konvergentan i njegova vrednost je jednaka
π.
Primer 1.9.3. Dokazati da vaˇzi
+∞
∫
e−x dx =
2
√
π (Gausov integral8 ; Ojler9 -
−∞
Puasonov10 integral).
Reˇsenje. Neka je Fn = (−n, n)×(−n, n) monotoni pokrivaˇc skupa R2 . Prema
prethodnom primeru je
∫∫
π = lim
e
n→∞
−(x2 +y 2 )
Fn
∫+n
∫+n
2
−x2
dx dy = lim
e
dx e−y dy
 +n
2
∫
2
= lim  e−x dx .
n→∞
−n
−n
n→∞
−n
Prema tome,
+∞
∫
e−x dx =
2
√
π.
−∞
1.10
Pojmovi u mehanici
⋆
U ovoj sekciji povezujemo integrale i razne pojmove u mehanici.
8
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), nemaˇcki matematiˇcar i fiziˇcar
Leonhard Euler (1707-1783), ˇsvajcerski matematiˇcar i fiziˇcar
10
Sim´eon Denis Poisson (1781-1840), francuski matematiˇcar, geometar i fiziˇcar
9
1.10. POJMOVI U MEHANICI
1.10.1
57
Moment inercije materijalne ravne figure
Neka je M materijalna taˇcka mase m i neka je O proizvoljna taˇcka prostora.
Moment inercije materijalne taˇcke M u odnosu na taˇcku O jeste veliˇcina
I = mr2 , gde je r rastojanje izmed¯u taˇcaka O i M .
Ako je dat sistem materijalnih taˇcaka M1 , . . . , Mn , ˇcije su mase redom jednake m1 , . . . , mn , onda je moment inercije ovog sistema materijalnih taˇcaka
n
∑
mi ri2 , gde je ri rastojanje taˇcke Mi od taˇcke O.
jednak I =
i=1
Neka je G materijalna ravna figura pozitivne mase. Smatramo da je
figura u ravni Oxz. Neka je funkcija (x, y) 7→ f (x, y) gustine raspodele
mase ravne figure G. Funkcija f je nenegativna i neprekidna na G. Neka je
T = {G1 , . . . , Gn } proizvoljno razbijanje skupa G i neka su Mi = (xi , yi ) ∈
Gi proizvoljne taˇcke. Elementaran moment inercije na delu Gi u odnosu
na koordinatni poˇcetak O jeste proizvod kvadrata rastojanja taˇcke Mi od
koordinatnog poˇcetka i mase tela Gi . Masa tela Gi jednaka je proizvodu
gustine i povrˇsine (degenerisane dvodimenzionalne zapremine). Prema tome,
∆Ii = (x2i +yi2 )f (xi , yi )·m2 (Gi ). Po analogiji sa sistemom od konaˇcno mnogo
materijalnih taˇcaka, moment inercije tela G u odnosu na koordinatni poˇcetak
pribliˇzno je jednak sumi
n
∑
(x2i + yi2 )f (xi , yi ) · m2 (Gi ).
i=1
Odstupanje od taˇcnog momenta inercije je utoliko manje ukoliko je dijametar
podele manji. Obzirom da je prethodna suma u stvari Rimanova suma
funkcije (x, y) 7→ (x2 + y 2 )f (x, y) na skupu G, sledi da je moment inercije
tela G u odnosu na koordinatni poˇcetak jednak
∫∫
IO =
(x2 + y 2 )f (x, y) dx dy.
G
Moment inercije u odnosu na koordinatni poˇcetak naziva se i polarni moment
inercije.
Analogno se moˇze definisati moment inercije materijalne ravne figure u
odnosu na bilo koju koordinatnu osu. Tada se koristi kvadrat rastojanja od
te koordinatne ose. Integrali
∫∫
∫∫
2
Ix =
y f (x, y) dx dy i Iy =
x2 f (x, y) dx dy
G
G
58
GLAVA 1. INTEGRACIJA
jesu momenti inercije ravne figure G u odnosu na x- i y-koordinatne ose
redom.
Primer 1.10.1. Na´ci moment inercije ravne materijalne figure G u odnosu
na obe ose i koordinatni poˇcetak, ako je G ograniˇcena krivama y 2 = x − 1,
x = 2 i y = 0, u delu ravni y ≥ 0, a gustina raspodele mase data je funkcijom
f (x, y) = y.
Reˇsenje. Presek krivih koje ograniˇcavaju oblast G jesu taˇcke A(1, 0), B(2, 0)
i C(2, 1). Momenti inercije tela G u odnosu na koordinantne ose jesu
∫1
Iy =
∫2
y dy
0
17
x dx = , Ix =
24
∫1
2
∫2
3
y dy
0
y 2 +1
dx =
1
,
12
y 2 +1
a moment inercije u odnosu na koordinantni poˇcetak jeste
IO = Ix + Iy =
1.10.2
19
.
24
Elipsa inercije
Neka je G ravno telo u koordinatnoj ravni Oxy, ˇcija je gustina raspodele
mase data nenegativnom neprekidnom funkcijom (x, y) 7→ f (x, y) na skupu
G. Neka je ℓ prava koja prolazi kroz koordinatni poˇcetak i zaklapa ugao φ
sa pozitivnim delom x-ose. Tada je jednaˇcina prave ℓ data kao y = x tg φ,
odnosno
x sin φ − y cos φ = 0.
Neka je M (x, y) proizvoljna taˇcka ravni. Lako se proverava da je rastojanje
taˇcke M od prave ℓ jednako
r = |x sin φ − y cos φ|.
1.10. POJMOVI U MEHANICI
59
Moment inercije tela G u odnosu na pravu ℓ jednak je
∫∫
Iℓ =
(x sin φ − y cos φ)2 f (x, y) dx dy
∫∫
G
∫∫
x f (x, y) dx dy − 2 sin φ cos φ
2
2
= sin φ
G
∫∫
xyf (x, y) dx dy
G
y 2 f (x, y) dx dy
+ cos2 φ
G
= Iy sin2 φ − 2Ixy sin φ cos φ + Ix cos2 φ,
∫∫
uz prirodnu oznaku Ixy =
xyf (x, y) dx dy. Veliˇcina Iℓ definisana je inG
tegralom nenegativne funkcije, te je Iℓ > 0 (osim u ekstremnim sluˇcajevima
koji sada nisu od interesa). Stoga se prethodna formula moˇze zapisati u
obliku
(
)2
)(
)
)2
(
(
cos φ
cos φ
sin φ
sin φ
√
1 = Ix √
− 2Ixy √
+ Iy √
.
(1.16)
Iℓ
Iℓ
Iℓ
Iℓ
Uoˇcimo na pravoj ℓ taˇcku A(x, y), koja je na rastojanju od O jednakom
1
√ . Poloˇzaj taˇcke A uslovljen je pravom ℓ, odnosno uslovljen je uglom
Iℓ
φ. Traˇzimo geometrijsko mesto svih takvih taˇcaka A u zavisnosti od ugla
φ. Drugim reˇcima, rotiramo pravu ℓ oko koordinatnog poˇcetka i pratimo
kretanje taˇcke A. Oˇcigledno, koordinate (x, y) taˇcke A zadovoljavaju uslove:
cos φ
sin φ
x= √ , y= √ .
Iℓ
Iℓ
Na osnovu jednakosti 1.16 sledi rezultat
1 = x2 Ix − 2xyIxy + y 2 Iy .
(1.17)
ˇ
Veliˇcine Ix , Iy i Ixy ne zavise od ugla φ, ve´c samo koordinate (x, y) takce
A. Prema tome geometrijsko mesto svih taˇcaka A(x, y), koje se dobija
promenom ugla φ, jeste kriva drugog reda, ˇcija je jednaˇcina data formulom
1.17.Formulom
∫∫
⟨s, t⟩ =
s(x, y)t(x, y)f (x, y) dx dy
G
60
GLAVA 1. INTEGRACIJA
definisan je skalarni proizvod u skupu C(G) svih neprekidnih funkcija na
13
ˇ
kompatu G. Na osnovu nejednakosti Koˇsi11 -Bunjakovskog12 -Svarca
:
|⟨s, t⟩| ≤ ∥s∥ · ∥t∥,
pri ˇcemu je (videti 1.32 Primer iz prve glave)

 21
∫∫
∥s∥ = 
(s(x, y))2 f (x, y) dx dy  .
G
Na osnovu ove nejednakosti sledi procena
2 


∫ ∫
∫∫
∫∫
x2 f (x, y) dx dy 
y 2 f (x, y) dx dy ,
xyf (x, y) dx dy ≤
G
G
G
koja se kra´ce moˇze zapisaiti
2
Ix Iy − Ixy
> 0.
Prema tome, diskrimanta krive (2.49.2) je pozitivna i ta kriva je elipsa. Kriva
(2.49.2) je elipsa inercije materijalnog ravnog tela G.
1.10.3
Moment inercije materijalne figure
Neka je M (x, y, z) taˇcka u prostoru mase m. Tada su momenti inercije taˇcke
M u odnosu na sve tri koordinatne ose i koordinatni poˇcetak dati formulama:
Ix = (y 2 + z 2 )m, Iy = (x2 + z 2 )m, Iz = (x2 + y 2 )m,
IO = (x2 + y 2 + z 2 )m.
Neka je dat konaˇcan sistem taˇcaka M1 (x1 , y1 , z1 ), . . . , Mn (xn , yn , zn ), ˇcije
su mase redom m1 , . . . , mn . Kvadrati njihovih rastojanja od, na primer, ose
Ox jesu y12 + z12 , . . . , yn2 + zn2 . Tada je moment inercije ovog sistema taˇcaka u
odnosu na x-osu jednak
Ix =
n
∑
(yi2 + zi2 )mi .
i=1
11
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), francuski matematiˇcar
Viktor Yakovych Bunyakovsky (1804-1889), ukrajinsko-ruski matematiˇcar)
13
Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921), nemaˇcki matematiˇcar
12
1.10. POJMOVI U MEHANICI
61
Neka je telo G predstavljena kao merljiva oblast u prostoru. Gustina
raspodele tela G data je funkcijom f (x, y, z) koja je nenegativna i neprekidna
na G. Po analogiji sa ranijim razmatranjima, momenti inercije oblasti G u
odnosu na koordinatne ose i kordinatni poˇcetak jesu redom:
∫∫∫
Ix =
(y 2 + z 2 )f (x, y, z) dx dy dz,
∫G
∫∫
(x2 + z 2 )f (x, y, z) dx dy dz
Iy =
∫G
∫∫
(x2 + y 2 )f (x, y, z) dx dy dz
Iz =
∫G
∫∫
(x2 + y 2 + z 2 )f (x, y, z) dx dy dz.
IO =
G
Primer 1.10.2. Dato je telo oblika valjka visine 2h, polupreˇcnika osnove
R, konstantne gustine c. Izraˇcunati moment inercije valjka u odnosu na osu
valjka, kao i na pravu koja polovi osu valjka i normalna je na nju.
Reˇsenje. Jednostavnosti radi, neka je srediˇste valjka koordinatni poˇcetak, a
osa valjka neka je na z-osi. Sada treba izraˇcunati moment inercije valjka u
odnosu na z-osu i u odnosu na bilo koju pravu u ravni Oxy, koja prolazi kroz
koordinatni poˇcetak: na primer u odnosu na x-osu. Tada je
∫∫∫
Iz = c
(x2 + y 2 ) dx dy dz.
G
Uvedimo cilindriˇcne koordinate: z = r cos φ, y = r sin φ, z = ξ. Tada je
domen novih promenljivih r ∈ (0, R), ξ ∈ (−h, h) i φ ∈ (0, 2π). Stoga je
∫2π
Iz = c
∫h
−h
∫2π
Ix = c
0
∫R
dφ
0
= cπhR
∫h
r dr
(r2 sin2 φ + ξ 2 ) dξ
−h
0
(
2
r3 dr = πchR4 .
dξ
dφ
0
Takod¯e je
∫R
2
2h
R2
+
3
2
)
.
62
1.10.4
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Teˇ
ziˇ
ste materijalne ravne figure
Neka je dat konaˇcan sistem taˇcaka Pi (xi , yi ), ˇcije su mase jednake mi , i =
1, . . . , n. Tada teˇziˇste T (xt , yt ) ovog sistema taˇcaka ima slede´ce koordinate:
n
∑
xt =
n
∑
x i mi
i=1
n
∑
,
yt =
mi
yi mi
i=1
n
∑
i=1
.
mi
i=1
Neka je G ravna figura, odnosno merljiva oblast u R2 , i neka je data
gustina raspodele mase tela G funkcijom f (x, y), koja je nenegativna i neprekidna
na G. Neka je T = {G1 , . . . , Gn } razbijanje skupa G i neka su Mi (xi , yi ) ∈ Gi
proizvoljne taˇcke. Tada su pribliˇzne koordinate teˇzista T (xt , yt ) tela G date
na slede´ci naˇcin:
n
∑
xt ∼
n
∑
xi f (xi , yi ) · m(Gi )
i=1
n
∑
,
f (xi , yi ) · m(Gi )
yt ∼
yi f (xi , yi ) · m(Gi )
i=1
n
∑
i=1
.
f (xi , yi ) · m(Gi )
i=1
Prelaskom na graniˇcnu vrednost kada dijametar podele teˇzi nuli, sledi da su
koordinate teˇziˇsta precizno:
∫∫
∫∫
xf (x, y) dx dy
yf (x, y) dx dy
G
G
xt = ∫∫
, yt = ∫∫
.
f (x, y) dx dy
f (x, y) dx dy
G
G
∫∫
Izrazi
My =
∫∫
xf (x, y) dx dy,
G
Mx =
yf (x, y) dx dy
G
nazivaju se statiˇcki momenti ravne figure G u odnosu na ose Oy i Ox redom.
Veliˇcina
∫∫
f (x, y) dx dy
G
je, naravno, masa ravnog tela G.
1.10. POJMOVI U MEHANICI
63
Primer 1.10.3. Izraˇcunati koordinate teˇziˇsta tela oblika ˇcetvrtine elipse
2
x2
+ yb2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, ako je gustina raspodele mase data sa f (x, y) = 1.
a2
Reˇsenje. Prema ranije datim formulama, vaˇzi
∫a
xt =
dx
0
∫a
0
1.10.5
b
a
√
a2 −x2
∫
x dy
0
√
b
a2 −x2
a
dx
∫
=
4a
3π
i yt =
4b
.
3π
dy
0
Teˇ
ziˇ
ste materijalne figure u prostoru
Neka je telo u prostoru predstavljeno kao oblast G u R3 . Gustina raspodele
mase tela G data je nenegativnom i neprekidnom funkcijom f (x, y, z) na
skupu G. Tada su koordinate teˇziˇsta tela T (xt , yt , zt ) date formulama
∫∫∫
∫∫∫
xf (x, y, z) dx dy dz
yf (x, y, z) dx dy dz
G
G
xt = ∫∫∫
, yt = ∫∫∫
f (x, y, z) dx dy dz
f (x, y, z) dx dy dz
G
G
∫∫∫
zf (x, y, z) dx dy dz
G
∫∫∫
zt =
.
f (x, y, z) dx dy dz
G
Izrazi
∫∫∫
Myz =
∫∫∫
xf (x, y, z) dx dy dz,
∫ G∫ ∫
Mxy =
Mxz =
yf (x, y, z) dx dy dz,
G
zf (x, y, z) dx dy dz
G
nazivaju se statiˇcki momenti ravne figure G u odnosu na ravni Oyz, Oxz i
Oxy redom.
Primer 1.10.4. Dato je telo oblika polulopte G polupreˇcnika R i konstantne
gustine c. Odrediti teˇziˇste tela G.
64
GLAVA 1. INTEGRACIJA
Reˇsenje. Bez gubljenja
opˇstosti, pretpostavimo da je telo G ograniˇceno po√
2
lusferom z =
R − x2 − y 2 i Oxy ravni. Oˇcigledno su poznate koordinate xt = 0 i yt = 0. Prelaskom na sferne koordinate: x = r cos φ sin ψ,
y = R sin φ sin ψ, z = r cos ψ, uz uslove r ∈ (0, R), φ ∈ (0, 2π), ψ ∈ (0, π/2),
sledi da vaˇzi
∫
∫2π ∫R 3 π/2
dφ r dr sin ψ cos ψ dψ
3
0
0
zt = 0
= R.
2 3
8
R π
3
Glava 2
Krivolinijski integrali
2.1
Krive u Rn
Kriva u prostoru Rn je neprekidno preslikavanje γ : [a, b] → Rn , pri ˇcemu je
a, b ∈ R i a < b.
Skup γ ∗ = {γ(t) : t ∈ [a, b]} je grafik krive γ.
Imaju´ci u vidu da je neprekidna slika kompaktnog skupa uvek kompaktan
skup, odnosno [a, b] je kompakt u R i γ je neprekidno preslikavanje na [a, b],
proizilazi da je γ ∗ kompaktan skup u Rn .
Ako je γ : [a, b] → Rn kriva, tada postoje koordinatne funkcije x1 , . . . , xn :
[a, b] → Rn , tako da za svako t ∈ [a, b] vaˇzi γ(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)). Koristi
se i oznaka γ = (x1 , . . . , xn ). Podse´camo da je neprekidnost funkcije γ na [a, b]
ekvivalentna neprekidnosti svih koordinatnih funkcija x1 , . . . , xn na [a, b].
Kriva γ je uvek orijentisama u smislu rasta parametra. Dakle, za svako
t1 , t2 ∈ [a, b] i t1 < t2 , vaˇzi da je kriva γ orijentisana od taˇcke γ(t1 ) ka taˇcki
γ(t2 ). Specijalno, γ(a) je poˇcetak krive γ, dok je γ(b) kraj krive γ, i kriva γ
je orijentisana od taˇcke γ(a) ka taˇcki γ(b).
Ako postoje taˇcke t1 , t2 ∈ [a, b], tako da je t1 ̸= t2 i γ(t1 ) = γ(t2 ) = T ,
onda je T taˇcka samopreseka krive γ. Izuzetno, ako je γ(a) = γ(b) = T , onda
je T istovremeno poˇcetak i kraj krive γ, ali nije taˇcka samopreseka.
Ako je γ(a) = γ(b), onda je γ zatvorena kriva.
Kriva γ je prosta, ako ova kriva nema taˇcaka samopreseka.
Neka je P : a = t1 < t1 < · · · < tk = b proizvoljna podela segmenta [a, b].
65
66
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
Tada je
ℓ(γP ) =
k
∑
∥γ(tj ) − γ(tj−1 )∥
j=1
duˇzina poligonalne linije γP ˇcija su temena γ(t0 ), γ(t1 ), . . . , γ(tk ) u skupu γ ∗ ,
i ova temena su odred¯ena podelom P. U upotrebi je termin: poligonalna
linija γP je upisana u krivu γ. Neka je d(P) = max |tj − tj−1 | dijametar
j
podele P.
Ako podeli P pridruˇzimo nekoliko podeonih taˇcaka, dobijamo finiju podelu
P ′ , u oznaci P ′ ≻ P. Oˇcidgledno je d(P) ≥ d(P ′ ). Finijoj podeli odgovara
nova poligonalna linija γP ′ , ˇcija je duˇzina ℓ(γP ′ ). Na osnovu oˇcigledne geometrijske nejednakosti trougla, sledi da je ℓ(γP ) ≤ ℓ(γP ′ ) (Vidi Sliku 15).
Slika 15.
Dakle, finije podele segmenta [a, b] proizvode poligonalne linije ve´ce duˇzine,
koje su upisane u krivu γ.
Kriva γ je rektificijabilna (odnosno, kriva γ ima duˇzinu), ako postoji pozitivan broj M tako da je
k
∑
∥γ(tj ) − γ(tj−1 )∥ ≤ M
j=1
za sve podele P : a = t0 < t1 < · · · < tk = b segmenta [a, b]. Ako je γ
rektificijabilna kriva, onda je
ℓ(γ) = sup
P
k
∑
∥γ(tj ) − γ(tj−1 )∥
j=1
duˇzina krive γ, pri ˇcemu je supremum uzet po svim podelama P segmenta
[a, b].
Rektificijabilne krive se nazivaju joˇs i krive ograniˇcene varijacije, pri ˇcemu
je totalna varijacija krive (na segmentu [a, b]) upravo jednaka duˇzini krive.
2.1. KRIVE U RN
67
Ako je γ rektificijabilna kriva, imaju´ci u vidu da su duˇzine poligonalnih
linija nenegeativne, dolazimo do jednakosti:
lim
d(P)→0
k
∑
∥γ(tj ) − γ(tj−1 )∥ = sup
P
j=1
Pri tome,
lim
d(P)→0
k
∑
k
∑
∥γ(tj ) − γ(tj−1 )∥.
j=1
∥γ(tj ) − γ(tj−1 )∥ = A ∈ R,
j=1
ako i samo ako za svako ϵ > 0 postoji δ > 0, tako da za svaku podelu P
segmenta [a, b] vaˇzi implikacija
k
∑
d(P) < δ =⇒ ∥γ(tj ) − γ(tj−1 )∥ − A < ϵ.
j=1
Kriva (funkcija) γ = (x1 , . . . , xn ) je diferencijabilna, ako i samo ako su
sve koordinatne funkcije x1 , . . . , xn diferencijabilne. U tom sluˇcaju je γ ′ =
(x′1 , . . . , x′n ). Ako je γ ′ (t) ̸= 0 za neko t ∈ [a, b], onda je γ ′ (t) je tangenta
krive γ u taˇcki γ(t).
Kriva (funikcija) γ je neprekidno diferencijabilna, ako i samo ako γ ′ postoji i γ ′ je neprekidna funkcija. Ekvivalentno, γ je neprekdino diferencijabilna
ako i samo ako su sve funkcije x1 , . . . , xn neprekidno diferencijabilne.
Kriva γ je glatka, ako je γ ′ neprekidna funkcija na [a, b] i γ ′ (t) ̸= 0 za
svako t ∈ [a, b]. Imaju´ci u vidu da je γ ′ (t) ̸= 0 vektor tangente krive γ u
taˇcki γ(t), proizilazi da je kriva γ je glatka, ako i samo ako je vektor tangente
krive γ razliˇcit od nula-vektra u svakoj taˇcki, i osim toga ”kretanje vektora
tangente“ je neprekidno.
Ekvivalentno, γ = (x1 , . . . , xn ) je glatka kriva, ako i samo ako su sve
funkcije x1 , . . . , xn neprekidno diferencijabilne na [a, b], i pri tome je
√
∥γ ′ (t)∥ = (x′1 (t))1 + · · · + (x′n (t))2 ̸= 0, za svako t ∈ [a, b].
Teorema 2.1.1. Neka je γ : [a, b] → Rn glatka kriva. Tada je γ rektificijabilna kriva i njena duˇzina je
∫b
′
∥γ (t)∥dt =
ℓ(γ) =
a
∫b √
a
(x′1 (t))2 + · · · + (x′n (t))2 dt.
68
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
∫b
Dokaz. Funkcije x′1 , . . . , x′n su neprekidne na [a, b], te postoji integral ∥γ ′ (t)∥dt.
a
Neka je P = a = t0 < t1 < · · · < tk = b proizvoljna podela segmenta [a, b].
Tada vaˇzi
∫b
∫b √
′
∥γ (t)∥dt =
(x′1 (t))2 + · · · + (x′n (t))2 dt
a
= lim
k
∑
d(P)→0
√(
j=1
= lim
d(P)→0
k √
∑
a
x1 (tj ) − x1 (tj−1 )
tj − tj−1
)2
(
+ ··· +
xk (tj ) − xk (tj−1 )
tj − tj−1
)2
(tj − tj−1 )
(x1 (tj ) − x1 (tj−1 ))2 + · · · + (x1 (tj ) − x1 (tj−1 ))2
j=1
= ℓ(γ).
Time je dokazana teorema.
Kriva γ je deo po deo glatka, ako postoji podela P : a = s1 < s1 < · · · <
sm = b segmenta [a, b], tako da je kriva γ glatka na svakom od segmenata
[sj−1 , sj ], j = 1, . . . , m. U ovom sluˇcaju leva tangenta krive γ u taˇcki sj na
segmentu [sj−1 , sj ] ne mora biti jednaka desnoj tangenti krive γ u taˇcki sj na
segmentu [sj , sj+1 ]. Dakle, jedine taˇcke koje remete neprekidnost tangente
γ ′ jesu s1 , . . . , sm−1 .
Deo po deo glatka kriva naziva se putanja.
Ako je γ prosta zatvorena putanja u ravni, tada je γ kontura u ravni.
Teorema 2.1.2. Ako je γ deo po deo glatka kriva u Rn , tada je γ rektificijabilna. Takod¯e
∫b
ℓ(γ) =
∫b √
∥γ (t)∥dt =
(x′1 (t))2 + · · · + (x′n (t))2 dt,
′
a
a
pri ˇcemu zanemarujemo konaˇcno mnogo taˇcaka sj u kojima ne postoji γ ′ (sj ).
Dokaz. Neka je a = s0 < s1 < · · · < sm = b, tako da je γ glatka na svakom
segmentu [sj−1 , sj ]. Tada je γ rektificijabilna na [sj−1 , sj ]. Jednostavno sledi
da je duˇzina krive γ (na segmentu [a, b]) jednaka zbiru duˇzina krive γ na
svakom od segmenata [sj−1 , sj ]. Formula za izraˇcunavanje duˇzine krive sledi
sj
m ∫
∫b
∑
na osnovu ∥γ ′ (t)∥dt =
∥γ ′ (t)∥dt.
a
j=1 sj−1
2.1. KRIVE U RN
69
Definicija 2.1.1. Neka je a, b, c, d ∈ R tako da je a < b i c < d. Preslikavanje
µ : [a, b] → [c, d] je difeomorfizam, ako je µ strogo monotona bijekcija, i pri
tome su µ i µ−1 neprekidno diferencijabilne funkcije.
Definicija 2.1.2. Neka su γ1 : [a, b] → Rn i γ2 : [c, d] → Rn dve putanje.
Putanje γ1 i γ2 su medjusobno ekvivalentne i iste orijentacije, ako postoji
strogo rastu´ci difeomorfizam µ : [a, b] → [c, d], tako da je γ1 = γ2 ◦ µ. U tom
sluˇcaju koristimo oznaku γ1 ≡ γ2 .
Slede´ce tvrd¯enje je oˇcigledno.
Teorema 2.1.3. Ako je γ1 ≡ γ2 , onda je γ1∗ = γ2∗ .
Teorema 2.1.4. Relacija ≡ je relacija ekvivalencije na skupu svih putanja
u Rn .
Dokaz. Neka su γ1 : [a, b] → Rn , γ2 : [c, d) → Rn i γ3 : [e, f ] → Rn putanje.
Identiˇcko preslikavanje id : [a, b] → [a, b] je strogo rastu´ci difeomorfizam,
te na osnovu γ1 = γ1 ◦ id sledi γ1 ≡ γ1 , odnosno ≃ je refleksivna relacija.
Neka je γ1 ≡ γ2 i neka je µ : [a, b] → [c, ] strogo rastu´ci difeomorfizam
tako da vaˇzi γ1 = γ2 ◦ µ. Tada je µ−1 : [c, d] → [a, b] takod¯e strogo rastu´ci
difeomorfizam i γ2 = γ1 ◦ µ−1 . Sledi da je γ2 ≡ γ1 . Time dokazujemo
simetriˇcnost relacije ≡.
Neka je γ1 ≡ γ2 , γ2 ≡ γ3 , i neka su µ : [a, b] → [c, d], ν : [c, d] → [e, f ]
strogo rastu´ci difeomorfizmi, tako da je γ1 = γ2 ◦ µ i γ2 = γ3 ◦ ν. Tada je
ν ◦ µ : [a, b] → [e, f ] strogo rastu´ci difeomorfizam i γ1 = γ3 ◦ (ν ◦ µ). Sledi
γ1 ≡ γ3 . Time je dokazana tranzitivnost relacije ≡.
Ako su [a, b] i [c, d] dva netrivijalna segmenta realne prave (a < b i c < d),
tada postoji strogo rastu´ci difeomorfizam µ : [a, b] → [c, d]. Jednostavno je
d−c
d−c
proveriti da linearni preslikavanje µ(t) = b−a
t + c − a b−a
ispunjava traˇzene
uslove.
Definicija 2.1.3. Neka su γ1 [a, b] → Rn i γ2 : [c, d] → Rn dve putanje, i neka
je µ : [a, b] → [c, d] strogo opadaju´ci difeomorfizam. Ako je γ1 = γ2 ◦ µ, tada
su γ1 i γ2 ekvivalentne i suprotnih orijentacija. Oznaka je γ1 ≡ −γ2 ≡ γ2− .
Teorema 2.1.5. Neka su γ1 : [a, b] → Rn , γ2 : [c, d] → Rn i γ3 [e, f ] → Rn
putanje.
(1) Ako je γ1 ≡ −γ2 , tada je γ2 ≡ −γ1 ;
(2) Ako je γ1 ≡ −γ2 i γ2 ≡ −γ3 , tada je γ1 ≡ γ3 .
70
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
Dokaz. (1) Neka je γ1 ≡ −γ2 i neka je µ : [a, b] → [c, d] strogo opadaju´ci
difeomorfizam tako da vaˇzi γ1 = γ2 ◦ µ. Tada je µ−1 : [c, d] → [a, b] strogo
opadaju´ci difeomorfizam i vaˇzi γ2 = γ1 ◦ µ−1 . Stoga je γ2 ≡ −γ1 .
(2) Neka je, uz uslove (1), ν : [c, d] → [e, f ] strogo opadaju´ci difeomorfizam tako da je γ2 = γ3 ◦ ν. Tada je ν ◦ µ : [a, b] → [e, f ] strogo rastu´ci
difeomorfizam i vaˇzi γ1 = γ3 ◦ (ν ◦ µ). Stoga je γ1 ≡ γ3 .
Neka je γ1 : [a, b] → Rn putanja. Posmatramo preslikavanje µ : [a, b] →
[a, b] definisano sa µ(t) = a+b−t. Tada je µ strogo opadaju´ci difeomorfizam.
Ako je γ2 : [a, b] → Rn putanja definisana kao γ2 (t) = γ1 (s + b − t) = γ1 ◦ µ,
tada je γ2 ≡ −γ1 .
Na kraju, ˇcesto se koristi ”sabiranje“ putanja koje se ”nastavljaju“. Neka
su γ1 : [a, b] → Rn i γ2 : [c, d] → Rn dve putanje, tako da je γ1 (b) = γ2 (c).
Neka je e > b. Postoji strogo rastu´ci difeomorfizam µ : [b, e] → [c, d]. Neka
je γ2′ : [b, e] → Rn putanja odred¯ena kao γ2′ (t) = γ2 (µ(t). Tada je γ2′ ≡ γ2 .
Definiˇsemo putanju γ : [a, e] → Rn na slede´ci naˇcin:
{
γ1 (t),
t ∈ [a, b],
γ(t) =
′
γ2 (t) = γ2 (µ(t)), t ∈ [b, e].
Tada je putanja γ jednaka zbiru putanja γ1 i γ2 , u oznaci γ = γ1 + γ2 (vidi
Sliku 16).
Slika 16.
ˇ
Na kraju formuliˇsemo Zordanovu
teoremu o prostim zatvorenim krivama
u ravni.
ˇ
Teorema 2.1.6. (Zordan)
Neka je γ prosta zatvorena kriva u ravni R2 . Tada
postoje uzajamno disjunktne oblasti G0γ i G∞
zi:
γ , tako da vaˇ
(1) G0γ je ograniˇcena oblast, G∞
je
neograniˇ
c
ena
oblast
u R2 ;
γ
∗
(2) ∂G0γ = ∂G∞
γ = γ ;
∞
2
0
(3) R = Gγ ∪ Gγ ∪ γ ∗ .
Dokaz ove teoreme prevazilazi okvire rukopisa iz matematiˇcke analize na
ˇ
uobiˇcajenom nivou. Zordanova
teorema moˇze biti dokazana, izmed¯u ostalog, koriˇs´cenjem Brauerove teoreme o fiksnoj taˇcki, ili metodama algebarske
topologije.
2.2. KRIVOLINIJSKI INTEGRAL PRVOG REDA
71
Skup G0γ je ograniˇcena oblast odred¯ena konturom γ, ili kontura γ ograniˇcava
oblast G0γ . Sa druge strane, G∞
cena oblast odred¯ena konturom
γ je neograniˇ
γ.
Intuitivno, kontura γ je orijentisana pozitivno, ako pri obilastku konture
γ u smeru orinetacije, oblast Gγ0 ostaje sa leve strane konture.
Precizna definicija pozitivne orijentacije konture uvodi se primenom homotopije: kruˇznica γ1 (t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] neprekidnom transformacijom u ravni R2 moˇze biti prevedena u krivu γ. Pri tome, pozitivna orijentacija kruˇcnice (u smeru rasta parametra t) postaje pozitivna orijentacija
konture γ. Ovakva nepekidna transformacija je homotopna ekvivalencija, i
izuˇcava se detaljno u okviru topologije.
Ako je γ kontura u ravni, onda je njena pozitivna orijenacija oznaˇcena sa
γ + , dok je negativna orijentacija oznaˇcena sa γ − .
2.2
Krivolinijski integral prvog reda
Definicija 2.2.1. Neka je γ = (x1 , . . . , xn ) : [a, b] → Rn putanja, i neka je
f : γ ∗ → R funkcija. Ako je funkcija (f ◦ γ) · ∥γ ′ ∥ integrabilna u Rimanovom
smislu na [a, b], tada je funkcija f integrabilna na γ, i krivolinijski integral
prvog reda funkcije f po putanji γ definisan je kao
∫
∫
f=
γ
∫b
f ds =
γ
(f ◦ γ)(t) ∥γ ′ (t)∥ dt
a
∫b
=
f (x1 (t), . . . , xn (t))
√
(x′1 (t))2 + · · · (x′n (t))2 dt.
a
U prethodnoj formuli javalju se izvodi x′j , koji su neprekidne funkcije
svuda na [a, b], osim evenutalno u konaˇcno mnogo taˇcaka. Taˇcke u kojima izvodi x′j ne postoje, jednostavno zanemarimo u prethodnoj definiciji krivolinijskog integrala prvog reda. Jasno je da zanemarivanje konaˇcno
mnogo taˇcaka ne utiˇce na vrednost integrala.
Na primer, ako je funkcija∫ f neprekidna na γ ∗ osim eventualno u konaˇcno
mnogo taˇcaka, onda postoji f .
γ
72
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
Teorema 2.2.1. Neka su γ1 : [a, b] → Rn i γ2 : [c, d] → Rn dve putanje, tako
da je γ1 ≡ γ2 , ili γ1 ≡ −γ2 . Ako je f : γ1∗ → R funkcija koja je integrabilna
na γ1 , tada je f integrabilna i na γ2 i
∫
∫
f = f.
γ1
γ2
Dokaz. Neka je γ1 = γ2 ◦ µ, pri ˇcemu je µ : [a, b] → [c, d] strogo rastu´ci
difeomorfizam. Tada je µ′ ≥ 0 na [a, b]. Vaˇzi:
∫
∫b
f=
γ1
f (γ1 (t))∥γ1′ (t)∥dt
∫b
=
a
∫b
=
f (γ2 (µ(t)))∥γ2′ (µ(t))µ′ (t)∥dt
a
f (γ2 (µ(t)))∥γ2′ (µ(t))∥µ′ (t)dt
a
∫d
=
f (γ2 (s))∥γ2′ (s)∥ds
∫
=
c
f.
γ2
Pretpostavimo sada da je µ strogo opadaju´ci difeomorfizam. Tada je
µ′ ≤ 0 na [a, b], i stoga je
∫
∫b
f=
γ1
f (γ1 (t))∥γ1′ (t)∥dt =
a
∫b
=
a
∫b
f (γ2 (µ(t)))∥γ2′ (µ(t))µ′ (t)∥dt
a
f (γ2 (µ(t)))∥γ2′ (µ(t))∥(−µ′ (t))dt
∫c
=−
d
f (γ2 (s))∥γ2′ (s)∥ds
∫
=
f.
γ2
Time je teorema dokazana.
Formuliˇsemo slede´ce oˇcigledno svojstvo krivolinijskih integrala.
2.2. KRIVOLINIJSKI INTEGRAL PRVOG REDA
73
Teorema 2.2.2. Krivolinijski integral prvog reda je linearan u odnosu na
funkciju. Drugim reˇcima, ako su f i g integrabilne funkcije na putanji γ u
Rn , i ako je α, β ∈ R, tada je αf +βg takod¯e integrabilna na γ, i vaˇzi formula
∫
∫
∫
(αf + βg)ds = α f ds + β gds.
γ
γ
γ
Dokaz. Sledi na osnovu
∫
∫
∫b
∫b
α f + β g = α f (γ(t)∥γ ′ (t)∥dt + β g(γ(t)∥γ ′ (t)∥dt
γ
γ
a
a
∫b
=
∫
′
(αf (γ(t)) + βg(γ(t))∥γ (t)∥dt =
a
(αf + βg).
γ
Na kraju, formuliˇsemo tvrd¯enje o aditivnosti integrala u odnosu na putanju
integracije.
Teorema 2.2.3. Neka je funkcija f integrabilna na putanjama γ1 i γ2 u Rn .
Tada je f integrabilna i na putanji γ1 + γ2 , pri ˇcemu vaˇzi formula
∫
∫
∫
f = f + f.
γ1 +γ2
γ1
γ2
Dokaz. Neka su γ1 : [a, b] → Rn i γ2 : [c, d] → Rn putanje. Neka je e > b.
Postoji rastu´ci difeomorfizam µ : [b, e] → [c, d] tako da je γ2′ : [b, e] → Rn
odred¯ena sa γ3 = γ2 ◦ µ. Tada je γ3 ≡ γ2 . Neka je f integrabilna na γ1 i na
γ2 . Tada je f integrabilna na γ3 . Neka je γ = γ1 + γ2 (videti odeljak o zbiru
putanja). Tada je γ|[a,b] = γ1 i γ|[b,e] = γ3 . Vaˇzi:
∫
∫
f+
γ1
∫
f =
γ2
∫
f+
γ1
∫b
=
∫b
f=
γ3
(f (γ1 (t))∥γ1′ (t)∥dt
a
(f (γ(t))∥γ ′ (t)∥dt +
a
∫e
=
(f (γ3 (t))∥γ3′ (t)∥dt
(f (γ(t))∥γ ′ (t)∥dt
∫
(f (γ(t))∥γ (t)∥dt =
a
+
b
∫e
b
′
∫e
f.
γ1 +γ2
74
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
Time je tvrd¯enje dokazano.
Teorema 2.2.4. Neka je γ putanja u Rn . Tada je
∫
1=
γ
∫
ds = ℓ(γ).
γ
Dokaz. Sledi na osnovu definicije krivolinijskog interala prvog reda, kao i
dokazane formule za izraˇcunavanje duˇzine putanje:
∫b
∫
1=
γ
∥γ ′ (t)∥dt = ℓ(γ).
a
Primer 2.2.1. Izraˇcunati duˇzinu kruˇznice polupreˇcnika r > 0.
Dokaz. Dovoljno je posmatrati kruˇznicu u ravni polupreˇcnika r sa centrom u
kooridnatnom poˇcetku. Parametarske jednaˇcine ove kruˇcnice su x = r cos t,
y = r sin t, t ∈ [0, 2π]. Prema dokazanoj formuli, duˇzina kruˇznice je
ℓ=
∫2π √
r2 sin2 t + r2 cos2 tdt = 2rπ.
0
2.2.1
Rimanova suma i geometrijska interpretacija
krivolinijskog integrala prvog reda
Razmatramo krivolinijski integral prvog reda kao graniˇcnu vrednost odgovaraju´cih Rimanovih suma.
Pretpostavimo da je γ = (x1 , . . . , xn ) : [a, b] → Rn putanja, i neka je
f : γ ∗ → R funkcija integrabilna na γ. Neka je a = t0 < t1 < · · · < tk = b
proizvoljno razbijanje segmenta [a, b], i neka su ηj ∈ [tj−1 , tj ] (j = 1, . . . , k)
proizvoljne taˇcke u tim segmentima. Oznaˇcimo sa ℓj duˇzina putanje γ izmed¯u
taˇcaka γ(tj−1 ) i γ(tj ). Ova duˇzina postoji, jer je po pretpostavci γ putanja
u Rn , a samim tim postoji ℓ(γ). Primetimo da je ξj = γ(ηj ) na pomenutom
delu putanje γ izmed¯u γ(tj−1 ) i γ(tj ). Neka je ξ = (ξ1 , . . . , ξk ). Posmatrajmo
integralnu sumu
k
∑
S(f, γ, P, ξ) =
f (ξj )ℓj .
(2.1)
j=1
2.2. KRIVOLINIJSKI INTEGRAL PRVOG REDA
75
Imaju´ci u vidu da je duˇzina ℓk pribliˇzno jednaka
∥γ(tj ) − γ(tj−1 )∥ =
√
(x1 (tj ) − x1 (tj−1 ))2 + · · · + (xn (tj ) − xn (tj−1 ))2 ,
sledi da je
k
√
∑
S(f, γ, P, ξ)≈
f (γ(ηj )) (x1 (tj ) − x1 (tj−1 ))2 + · · · + (xn (tj ) − xn (tj−1 ))2
j=1
=
k
∑
j=1
√(
f (γ(ηj ))
∆x1
tj − tj−1
)2
(
+ ··· +
∆xn
tj − tj−1
)2
·(tj − tj−1 ),
pri ˇcemu je ∆xi = xi (tj ) − xi (tj−1 ) za i = 1, . . . , n. Greˇska u aproksimaciji
se smanjuje ukoliko je d(P) → 0.
Sledi da je
∫
lim S(f, γ, P, ξ) = f,
d(P)→0
γ
pri ˇcemu ova graniˇcna vrednost postoji nezavisno od podele P i nezavisno
od izbora taˇcaka ξ.
Na osnovu svega izloˇzenog, do krivolinijskog integrala prvog reda funkcije
f po putanji γ, moˇze se do´ci razmatranjem graniˇcnih vrednosti odgovaraju´cih
Rimanovih suma (2.1).
U cilju dobijanja geometrijske interpretacije krivolinijskog integrala prvog
reda, neka je γ : [a, b] → R2 , pri ˇcemu je R2 prostor promenljivih x i y. Neka
je z = f (x, y) neprekidna funkcija definisana na γ ∗ . Pretpostavimo da je
f ≥ 0 na γ ∗ i da je f integrabilna na γ. Tada je Rimanova suma (2.1)
jednaka pribliˇzno povrˇsini cilindarske povrˇsi C u prostoru R3 promenljivih
x, y, z, pri ˇcemu je cilindarska povrˇs odred¯ena na slede´ci naˇcin: generatrisa
povrˇsi C je putanja γ, izvodnice povrˇsi C su paralelne z-osi, dok je ”gornja
granica“ povrˇsi C grafik krive f ◦ γ (videti Sliku 17).
Slika 17.
76
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
Specijalno, ako je f = 1 na γ ∗ , onda je integral
∫
ds = ℓ(γ) jednak duˇzini
γ
krive γ, a ovaj zakljuˇcak smo izveli i ranije.
Primer 2.2.2. Izraˇcunati integral
∫
y 2 |x|ds, ako je kriva γ polovina kruˇznice
γ
x2 + y 2 = 1, y ≥ 0.
Reˇsenje. U ovom zadatku, kao i u svim narednim zadacima, ako se posebno
ne naglasi, treba uzek uzimati takvu parametarsku reprezentaciju krive, da
je posmatrani grafik krive opisan taˇcno jednom.
Na primer, krug x2 + y 2 = 1 moˇze biti opisan prametarskim jednaˇcinama
x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, 2π], kao i jednaˇcinama x = cos t, y = sin t,
t ∈ [0, 4π]. Prvom reprezentacijom svaka taˇcka grafika opisana je taˇcno
jednom, osim taˇcke (1, 0) koja je i poˇcetak i kraj krive, te je stoga opisana
dva puta. U drugom sluˇcaju je svaka taˇcka grafika krive opisana po dva puta,
a poˇcetna odnosno krajnja taˇcka je opisana tri puta. Prva reperezentacija
daje prostu krivu γ, a druga daje krivu γ1 , koja ima taˇcke samopreseka. Ako
se drugaˇcije ne zahteva, pod kruˇznicom se podrazumeva prosta kriva, data
prvom reprezentacijom.
2.2. KRIVOLINIJSKI INTEGRAL PRVOG REDA
77
Vratimo se sada konkretnom problemu. Polukruˇznica u ovom zadatku
opisana je parametrskim jednaˇcinama: x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, π]. Sada
je traˇzeni integral
∫
∫π
y 2 |x|ds =
I=
γ
sin2 t| cos t|dt.
0
Funkcija cos t menja znak na segmentu [0, π], i stoga se ovaj segment deli na
dva dela. Prethodni integral postaje:
∫π/2
∫π
2
I=
sin2 t cos t dt −
sin2 t cos t dt = .
3
0
π/2
2
2
Primer 2.2.3. Neka je dat deo eliptiˇckog cilindra x5 + y9 = 1, y ≥ 0, z ≥ 0,
i neka je data ravan z = y. Na´ci povrˇsinu dela cilindra izmed¯u ravni Oxy i
ravni z = y.
Reˇsenje. Neka je γ presek cilindra sa ravni xOy, odnosno deo elipse
1, y ≥ 0. Treba izraˇcunati integral
∫
I = yds.
x2
5
2
+ y9 =
γ
Parametarske jednaˇcine dela elipse jesu x =
Povrˇsina traˇzenog dela cilindra jeste je
∫π
I=
3 sin t
√
√
5 cos t, y = 3 sin t, t ∈ [0, π].
5 sin2 t + 9 cos2 t dt.
0
Smenom cos t = u proizilazi da vaˇzi
∫−1√
∫1 √
15
I = −3
4u2 + 5 du = 6
4u2 + 5 du = 9 +
ln 5.
4
1
0
78
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
Primer 2.2.4. Izraˇcunati krivolinijski integral prvog reda
∫
xy ds, ako je γ
γ
data kao presek sfere x2 + y 2 + z 2 = 2 i ravni x + y + z = 0.
Reˇsenje. Iz jednaˇcine ravni neposredno sledi z = −x − y. Zamenom ovog
izraza u jednaˇcinu sfere, dolazimo do jednaˇcine
x2 + xy + y 2 = 1.
(2.2)
Dobijena kriva je kruˇznica u ravni x + y + z = 0.
Dokaza´cemo da svaka kriva drugog reda oblika
Ax2 + 2Bxy + Cy 2 = D
(2.3)
gde je B ̸= 0, ima ekvivalentan oblik
λ(y − αx)2 + µ(y − βx)2 = D,
(2.4)
pri ˇcemu je αβ = −1. Sluˇcaj B = 0 je samo kada je kriva ve´c u elementarnom
obliku.
Jednostavnim upored¯ivanjem koeficijenata dolazi se do sistema jednaˇcina
λα2 + µβ 2 − A = 0
λα + µβ + B = 0
λ + µ − C = 0.
Poslednji sistem jednaˇcina se moˇze shvatiti kao homogeni sistem jednaˇcina sa
netrivijalnim reˇsenjem (λ, µ, −1), odakle sledi da determinanta tog sistema
mora biti jednaka nuli, odnosno
2 2
α β
A α β −B = 0.
1 1 C Prva kolona se pomnoˇzi sa −1 i doda drugoj koloni, te se dobija
2 2
α β − α2 A α β − α −B = 0.
1
0
C Uslov αβ = −1 garantuje α ̸= β, te se druga kolona podeli sa β − α i dobija
se
2
α α + β A = 0.
α
1
−B
1
0
C 2.2. KRIVOLINIJSKI INTEGRAL PRVOG REDA
79
Druga kolona se pomnoˇzi sa −α i doda prvoj, pri ˇcemu se uzima u obzir
αβ = −1. Dobija se jednaˇcina
1 α + β A = 0.
0
1
−B
1
0
C C −A
Poslednja jednaˇcina daje uslov α + β =
, uz pretpostavku B ̸= 0.
B
Zajedno sa pretpostavkom αβ = −1, dolazi se do vrednosti za α i β. Zatim
se jednostavno odred¯uju λ i µ.
U ovom konkretnom sluˇcaju (2.2) je A = C = 1 i B = 12 . Stoga je
α + β = 0, ˇsto zajedno sa αβ = −1 daje α = 1,β = −1. Zatim sledi λ = 41 i
µ = 43 . Ekvivalentan oblik krive (2.2) je
(
y−x
2
(√
)2
+
3
(y + x)
2
)2
= 1.
Stoga se uvodi smena promenljivih
√
√
y−x
3
3
u=
, v=
y + x, w =
z,
2
2
2
a inverzne transformacije su
√
√
v − 3u
3u + v
2
√
√
x=
, y=
, z = √ w.
3
3
3
Kruˇznica u novim koordinatama je data sistemom jednaˇcina:
u2 + v 2 = 1, w = −v.
Stoga se uvode cilindriˇcne koordinate, u kojima je jednaˇcina kruˇcnice data
sa:
u = cos φ, v = sin φ, w = − sin φ, φ ∈ [0, 2π].
Vra´canjem na polazne koordinate x, y i z, sledi da je jednaˇcina kruˇznice:
√
√
sin φ − 3 cos φ
3 cos φ + sin φ
2
√
√
x=
, y =
, z = − √ sin φ,
3
3
3
φ ∈ [0, 2π].
80
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
Polazni integral je
∫
I=
1
xy ds =
3
γ
∫2π
√
2
2
(sin φ − 3 cos φ) (x′φ )2 + (yφ′ )2 + (zφ′ )2 dφ
0
√ ∫2π
√
2π
2
2
=
(sin2 φ − 3 cos2 φ) dφ = −
.
3
3
0
2.3
Krivolinijski integral drugog reda
U ovoj lekciji definiˇsemo krivolinijski integral koji zavisi od orijentacije putanje.
Neka je G oblast u R3 . Vektorsko polje je svako preslikavanje iz G u R3 . Ako
ovo preslikavanje oznaˇcimo sa F : G → R3 , onda postoje koordinatne funkcije
P, Q, R : G → R, tako da vaˇzi F = (P, Q, R).
Vektorsko polje F je ravno, ako postoji koordinatni sitetm u R3 u odnosu
na koji je R = 0. Specijalno, ako postoji koordinanti sistem u R3 tako da je
Q = 0 i R = 0, onda polje F = (P, 0, 0) jeste skalarno polje.
Podsetimo da je polje F je neprekidno, ako i samo ako je F neprekidna
funkcija, odnosno ako i samo ako su realne funkcije P, Q, R neprekidne. Polje
F je diferencijabilno, ako i samo ako su funkcije P, Q, R diferencijabilne.
Polje F je neprekidno diferencijabilno, ako i samo ako su funkcije P, Q, R
neprekidno diferencijabilne.
Neka je γ : [a, b] → R3 putanja u R3 , pri ˇcemu je A = γ(a) poˇcetak, γ, a
B = γ(b) kraj putanje γ. Putanja γ orijentisana od taˇcke A ka taˇcki B. Ako
je γ = (x, y, z), onda je γ ′ = (x′ , y ′ , z ′ ) i dγ = γ ′ (t)dt = ( dx, dy, dz).
Skalarni proizvod vektora F i dγ jeste:
F · dγ = ⟨F, dγ⟩ = P dx + Q dy + R dz.
Krivolinijski integral drugog reda neprekidnog vektorskog polja F po ori-
2.3. KRIVOLINIJSKI INTEGRAL DRUGOG REDA
81
jentisanoj putanji γ (od taˇcke A ka taˇcki B), definisan je kao
∫
∫
∫
F ≡ ⟨F, γ⟩ ≡ P dx + Q dy + R dz
γ
γ
γ
∫b
∫b
⟨(F ◦ γ)(t), dγ(t)⟩ ≡
:=
a
∫b
≡
⟨(F ◦ γ)(t), γ ′ (t)⟩dt
a
[P (x(t), y(t), z(t))x′ (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y ′ (t)
a
+ R(x(t), y(t), z(t))z ′ (t)]dt.
Integral na desnoj strani je odred¯eni integral neprekidne funkcije jedne realne
promenljive, te stoga krivolinijski integral drugog reda neprekidnog polja F
po putanji γ uvek postoji. I u ovom sluˇcaju zanemarujemo taˇcke u kojima
izvodi x′ , y ′ , z ′ ne postoje.
Integral moˇze biti definisan i opˇstije. Naime, dovoljno je pretpostaviti
da postoje Rimanovi integrali funkcija P · x′ , Q · y ′ i R · z ′ na [a, b]. U tom
sluˇcaju je F integrabilno vektorsko polje po orijentisanoj putanji γ.
Teorema 2.3.1. Ako su γ1 i γ2 ekvivalentne putanje iste orijentacije, odnosno
γ1 ≡ γ2 , i ako je F integrabilno polje na γ1 , tada je F integrabilno i na γ2 ,
pri ˇcemu vaˇzi
∫
∫
F=
γ1
F.
γ2
Dokaz. Neka su γ1 : [a, b] → R3 i γ2 : [c, d] → R3 putanje, i neka je µ :
[a, b] → [c, d] strogo rastu´ci difeomorfizam (tj. µ′ ≥ 0) tako da je γ1 = γ2 ◦ µ.
Neka je F vektorsko polje integrabilno na γ1∗ . Tada je, koriˇs´cenjem smene
s = µ(t):
∫b
∫
⟨(F ◦
F=
γ1 )(t), γ1′ (t)⟩dt
∫b
=
a
a
γ1
∫d
=
c
⟨(F(γ2 (µ(t))), (γ2′ (µ(t))µ′ (t)⟩dt
⟨F(γ2 (s)), γ2′ (s)⟩ds
∫
=
F.
γ2
82
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
Teorema 2.3.2. Ako su γ1 i γ2 ekvivalentne putanje suprotnih orijentacija,
odnosno ako je γ1 ≡ −γ2 , i ako je vektorsko polje F integrabilno na γ1 , onda
je F integrabilno na γ2 i vaˇzi
∫
∫
F = − F.
γ1
γ2
Dokaz. Neka su date putanje γ1 : [a, b] → R3 , γ2 : [c, d] → R3 , i neka je
µ : [a, b] → [c, d] opadaju´ci difeomorfizam (µ′ ≤ 0) tako da je γ1 = γ2 ◦ µ.
Neka je F vektorsko polje definisano na γ1∗ . Tada je
∫
∫b
F=
γ1
⟨(F(γ1 (t)), γ1′ (t)⟩dt
∫b
=
a
⟨(F(γ2 (µ(t))), (γ2′ (µ(t))⟩µ′ (t)dt
a
∫d
=−
⟨F(γ2 (s)), γ2′ (s))⟩ds
∫
=−
c
F.
γ2
Posledica 2.3.1. Krivolinijski integral drugog reda menja znak ukoliko se
promeni orijendtacije putanje.
Formuliˇsemo slede´ci jednostavan rezultat, koji se moˇze dokazati analogno
odgovaraju´cem rezultatu za krivolinijske integrale drugog reda.
Teorema 2.3.3. Ako su γ1 i γ2 orijentisane putanje koje se mogu nastaviti
u smislu orijentacije, i ako je vektorsko polje F integrabilno na γ1 i γ2 , tada
je vektorsko polje F integrabilno na γ1 + γ2 i vaˇzi
∫
∫
∫
F = F + F.
γ1 +γ2
γ1
γ2
Ako su vektorska polja F i G integrabilna na orijenitsanoj putanji γ, i
ako je α, β ∈ R, tada je αF + βG polje integrabilno na putanji γ i vaˇzi
∫
∫
∫
αF + βG = α F + β G.
γ
γ
γ
Drugim reˇcima, krivolinijski integral drugog reda je aditivan u odnosu na
krivu i linearan u odnosu na vektorsko polje.
2.3. KRIVOLINIJSKI INTEGRAL DRUGOG REDA
83
Na kraju, navodimo primere koji ilustruju prezentovane rezultate.
∫
Primer 2.3.1. Izraˇcunati y dx − x dy, gde je kriva γ suma kruˇznog luka
γ
2
2
x + y = 1 od taˇcke A(1, 0) do taˇcke B(0, 1) i duˇzi od B do A (Slika 18).
B
A
Slika 18.
Reˇsenje. Jednaˇcina orijentisanog luka AB jeste x = cos t, y = sin t, t ∈
[0, π/2]. Sada je
∫
∫π/2
π
y dx − x dy = [− sin2 t − cos2 t]dt = − .
2
I1 =
γ1
0
Jednaˇcina orijentisane duˇzi BA jeste x + y = 1, odnosno x = t, y = 1 − t,
t ∈ [0, 1]. Stoga je
∫
∫1
[(1 − t) − t(−1)]dt = 1.
y dx − x dy =
I2 =
γ2
0
Na kraju, traˇzeni integral je I = I1 + I2 = − π2 + 1.
∫
Primer 2.3.2. Izraˇcunati integral y 2 dx+z 2 dy+x2 dz, gde je γ Vivijanijeva
γ
kriva: x + y + z = a , x + y 2 = ax, z ≥ 0, pozitivno orijentisana,
posmatrana odozgo.
)2
(
2
Reˇsenje. Ekvivalentan oblik jednaˇcina cilindra je x − a2 +y 2 = a4 . Uvodimo
cilindriˇcne koordinate x = a2 +r cos φ, y = r sin φ, z = ξ. Sada jednaˇcina cilindra u novim koordinatama glasi r = a/2. Zamenom ovih uslova u jednaˇcinu
2
2
2
2
2
84
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
sfrere, dobijamo
jeste
x=
a2
2
cos φ + ξ 2 =
a2
.
2
Na osnovu uslova ξ ≥ 0, jednaˇcina krive
a
a √
a a
+ cos φ, y = sin φ, z = √
1 − cos φ, φ ∈ [0, 2π].
2 2
2
2
Iz ˇcinjenice da je z rastu´ca funkcija po φ ∈ [0, π] i opadaju´ca funkcija po φ ∈
[π, 2π], sledi da je orijentacija krive upravo ona traˇzena: pri rastu parametra
φ gornji deo sfere ostaje sa leve strane krive. Sada je traˇzeni integral jednak:
a3
I=−
8
∫2π
a3
sin3 φ dφ +
4
0
a3
+ √
8 2
∫2π
(1 − cos φ) cos φ dφ
0
∫2π
0
sin φ
dφ.
(1 + cos φ)2 √
1 − cos φ
Jednostavnom smenom φ = ψ + π, uz koriˇs´cenje jednakosti sin(ψ + π) =
− sin ψ i cos(ψ+π) = − cos ψ, prvi i tre´ci integral se redom svode na integrale
∫π
∫π
−
sin3 ψ dψ
i
−π
−π
− sin ψ
(1 − cos ψ)2 √
dψ.
1 + cos ψ
Oba integrala su jednaka nuli, iz razloga ˇsto je domen integracije simetriˇcan
u odnosu na koordinatni poˇcetak, a funkcije koje se integrale jesu neparne.
Stoga je
∫2π
a3 π
a3
(1 − cos φ) cos φ dφ = −
I=
.
4
4
0
2.4
Grinova formula u ravni
Oblast V u ravni R2 je prosto povezana, ako za svaku konturu γ u skupu
V vaˇzi G0γ ⊂ V . Ekvivalentno, V je prosto povezana oblast, ako je svaka
kontura u V homotopno ekvivalentna taˇcki u V . Ako oblast V nije prosto
povezana, onda je oblast V viˇsestruko povezana.
2.4. GRINOVA FORMULA U RAVNI
85
Neka je γ + pozitivno orijentisana kontura u ravni R, koja ograniˇcava
oblast G0γ . Dokaza´cemo vezu izmed¯u krivolinijskih integrala drugog reda
vektorskog polja F po konturi, i dvostrukog integrala odred¯ene funkcije po
oblasti G0γ .
Oblast V u R2 je elementarna u odnosu na koordinatne ose, ako postoje
deo po deo neprekidno diferencijabilne funkcije f, g : [a, b] → R i h, k :
[c, d] → R, tako da je f < g na [a, b], kao i h < k na [c, d], i pri tome je (Slika
19):
V = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b], f (x) < y < g(x)}
= {(x, y) ∈ R2 : y ∈ [c, d], h(y) < x < k(y)}.
g
d
C
D
k
G
h
A
B
c
f
b
a
Slika 19.
Teorema 2.4.1. (Grinova formula) Neka je V prosto povezana oblast u R2 ,
i neka je F = (P, Q) : V → R2 neprekidno diferencijabilno vektorsko polje.
Ako je γ + pozitivno orijentisana kontura u V , tako da je G0γ elementarna
oblast u odnosu na koordinatne ose, tada je G0γ merljiv skup u R2 i
]
∫
∫
∫∫ [
∂Q(x, y) ∂P (x, y)
F ≡ P dx + Qdz =
−
dx dy.
∂x
∂y
γ+
γ+
G0γ
Dokaz. Polje F = (P, Q) je neprekidno diferencijabilno,
∫
∫ te su funkcije P, Q
neprekidno diferencijabilne u V . Stoga postoji F = P dx + Qdy.
γ
G0γ
γ
elementarna oblast u odnosu na koordinatne ose. Oblast V je
Neka je
prosto povezana, te je G0γ ⊂ V . Koristimo oznake iz definicije elementarne
oblasti u odnosu na koordinatne ose, kao i Sliku 19. Uoˇcimo taˇcke A(a, f (a)),
86
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
B(b, f (b)), C(b, g(b)) i D(a, g(a)). Parametarska jednaˇcina putanje y = f (x)
jeste x = t, y = f (t), t ∈ [a, b]. Oˇcigledno, kriva f je prosta putanja,
orijentisana od taˇcke A ka taˇcki B, i grafik ove krive je f ∗ . Kriva g je putanja
od taˇcke D ka taˇcki C i njen grafik je g ∗ . Neka je g1 (x) = g(a + b − x). Tada
je kriva g1 putanja od taˇcke C ka taˇcki D, i vaˇzi g1∗ = g ∗ . Posmatramo
orijentisanu duˇz BC od taˇcke B ka taˇcki C, kao i orijentisanu duˇz DA od
taˇcke D ka taˇcki A. Podrazumevamo da su posmatrane duˇzi proste putanje.
Tada je γ = f + BC + g1 + DA, kao i ∂G0γ = γ ∗ .
Funkcije f i g su neprekidne na [a, b], te su njihovi grafici mere 0 u R2 .
Duˇzi BC i DA su takod¯e mere 0 u R2 . Sledi da je m2 (γ ∗ ) = 0, te je skup
G0γ merljiv u R2 . Funkcije P i Q su neprekidno diferencijabilne u skupu V i
∫∫ [ ∂Q(x,y) ∂P (x,y) ]
G0γ ⊂ V . Stoga postoji dvostruki integral
− ∂y
dxdy.
∂x
G0γ
Sada je
∫∫
∂P
dx dy =
∂y
∫b
dx
a
G0γ
∫g(x)
∂P
dy =
∂y
f (x)
∫
=−
−g
[P (x, g(x)) − P (x, f (x))] dx
a
∫
P dx −
∫b
P dx.
f
Na duˇzi DA je x = a, odakle sledi dx = 0. Takod¯e, na duˇzi BC je x = b i
dx = 0. Znaˇci,
∫
∫
P dx = 0,
P dx = 0.
DA
Stoga je
∫∫
G
BC
∫
∫
∫
∫
∂P
dx dy = − P dx −
P dx −
P dx −
P dx
∂y
AB
BC
CD
DA
∫
= − P dx.
(2.5)
(2.6)
γ+
Sliˇcno se dobija
∫
∫∫
Q dy =
γ+
∂Q
dx dy.
∂x
G
Sabiranjem poslednje dve jednakosti sledi tvrd¯enje teoreme.
Teorema moˇze biti dokazana i u opˇstijem sluˇcaju.
(2.7)
2.4. GRINOVA FORMULA U RAVNI
87
Teorema 2.4.2. Neka je V prosto povezana oblast u R2 , i neka je F =
(P, Q) : V → R2 neprekidno diferencijabilno vektorsko polje. Neka je γ
kontura u V , tako da postoje oblasti G1 , . . . , Gk sa slede´cim svojstvima:
(1) Oblasti G1 , . . . , Gk su elementarne u odnosu na kooridnatne ose;
(2) Gi ∩ Gj = ∅ za i ̸= j;
(3) G0γ = G1 ∪ · · · ∪ Gk .
Tada je skup G0γ merljiv u R2 i vaˇzi Grinova formula:
∫∫ [
∫
∫
F≡
γ+
P dx + Qdz =
γ+
]
∂Q(x, y) ∂P (x, y)
−
dx dy.
∂x
∂y
G0γ
Dokaz. Prema uslovima teoreme, svaki skup Gj je merljiv, stoga su merljvii
skupovi Gj , merljiv je skup G0γ , te je na kraju merljiv i skup G0γ . Svaki skup
Gj je elementaran, te je ∂Gj rub neke konture γj . Stoga moˇze biti primenjena
Grinova formila na konturu γj i skup Gj , odnosno
∫∫ [
∫
P dx + Qdz =
γj+
]
∂Q(x, y) ∂P (x, y)
−
dx dy.
∂x
∂y
Gj
Kako je m2 (∂Gj ) = 0, sledi da je
∫∫ [
G0γ
]
]
k ∫∫ [
∑
∂Q(x, y) ∂P (x, y)
∂Q(x, y) ∂P (x, y)
−
dxdy =
−
dxdy.
∂x
∂y
∂x
∂y
j=1
Gj
Sa druge strane,
k ∫
∑
j=1
γj+
∫
P dx + Qdy =
P dx + Qdy.
γ+
Naime, u poslednjoj sumi se oˇcigledno javlja integracija po γ + . Ako se,
recimo, oblasti Gi i Gj dodiriju po putanji α, onda je α orijentisana u jednom
smeru u odnosu na Gi , i u suprotnom smeru u odnosu
∫ ∫ na Gj . Stoga se u
poslednjoj sumi krivolinijskih integrala javi zbir +
= 0. Dakle, svi
α
−α
integrali po zajedniˇckim putanjama za Gi i Gj se anuliraju (Slika 20).
88
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
G1
G2
Slika 20.
2.4.1
Sluˇ
caj viˇ
sestruko povezanih oblasti
Grinova formula za prosto povezane oblasti moˇze se proˇsiriti na sluˇcaj viˇsestruko povezanih oblasti.
Naime, neka je Γ = γ + γ1 + · · · + γk cikl, pri ˇcemu su γ, γ1 , . . . γk konture
u R2 . Pretpostavimo da je Γ jednostavan cikl, odnosno sve konture γ1 , . . . , γk
nalaze se unuta konture γ, i svaka kontura γi je van svake konture γj (Slika
21).
G1
G2
B
A
G3
Slika 21.
Neka je G oblast koja je unutar konture γ i van svih kontura γj . Tada
2.4. GRINOVA FORMULA U RAVNI
89
su G0γj ”ˇsupljine“ u oblasti G. Dakle, ∂G0γj = γj∗ za svako j, i ∂G = γ ∗ ∪
γ1∗ ∪ · · · ∪ γk∗ = Γ∗ . Pretpostavimo da su konture γ, γ1 , . . . , γk orijentisane
pozitivno u odnosu na oblast G. Tada je Γ+ = γ + + γ1− + · · · + γk− .
Jednostavno je ”podeliti“ oblast G duˇzima (razrezima), tako da je G unija
ovih duˇzi i uzajamno disjunktnih prosto povezanih oblasti Gl . Rub oblasti
Gl je grafik neke konture Γl . Uvedimo dodatnu pretpostavku da se na oblast
Gl moˇze primeniti Teorema 2.4.2. Neka je F = (P, Q) vektorsko polje, koje je
neprekidno diferencijabilno u nekoj okolini oblasti G. Tada
se na svaku oblast
∫
∫∫ [ ∂Q ∂P ]
Gl moˇze primeniti Grinova formula: P dx + Qdy =
− ∂y dxdy.
∂x
Γ
G
l
l
∫∫
∑ ∫∫
Tada je, oˇcigledno,
= l .
G ∫
Gl
∫
∑
.
Naime,
u poslenjoj sumi krivolinijskih inteTakod¯e je i
=
l
Γ
Γl
grala javlja se integracija po Γ. Primetimo da svaka duˇz (recimo AB) koja
ograniˇcava razliˇcite skupove Gl i Gt , ima jednu pozitivnu orijentaciju za skup
Gl , i suprotnu pozitivnu orijentaciju za skup
G
∫
∫ t . Prema tome, poslednja suma
krivolinijskih integrala sadrˇzi sabirak
+
= 0. Dakle, anuliraju se svi
AB
BA
integrali osim po ciklu Γ.
2.4.2
Primena krivolinijskog integrala drugog reda na
izraˇ
cunavane povrˇ
sine skupa u ravni
Neka je G oblast u R2 ograniˇcena pozitivno orijentisanim ciklom Γ, tako da se
na skup G i cikl γ moˇze primeniti Grinova formula. Uoˇcimo neprekidno diferencijabilno vektorsko polje F = (P, Q) na skupu G, za koje vaˇzi Q(x, y) = x
i P (x, y) = −y. Na osnovu Grinove formule sledi:
∫
∫∫
1
−y dx + x dy =
dx dy = m2 (G).
2
γ+
G
Ovim je pokazano da se povrˇsina merljive oblasti G, na koju se primenjuje
Grinova formila, moˇze izraˇcunati po formuli
∫
1
m2 (G) =
−y dx + x dy.
2
∂G+
Primer 2.4.1. Na´ci povrˇsinu skupa ograniˇcenog lemniskatom (x2 + y 2 )2 =
a2 (x2 − y 2 ) (Slika 22).
90
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
-a
a
O
Slika 22.
Reˇsenje. Traˇzimo jednaˇcinu lemniskate u polarnom obliku: x = r cos t, y =
r sin t, r > 0, t ∈ [0, 2π]. Jednaˇcina lemniskate jeste r2 = a2 cos 2t. Kako je
r2 > 0, sledi da mora biti |t| < π4 ili 3π
< t < 5π
. Prema tome, parametarske
4
4
jednaˇcine lemniskate jesu
√
√
x = ±a cos 2t cos t, y = ±a cos 2t sin t,
π
π
3π
5π
− < t < , ili
<t<
.
4
4
4
4
Kako je cos t > 0 za svako t ∈ (−π/4, π/4), sledi da je jednaˇcinama
( π π)
√
√
(2.8)
x = a cos 2t cos t, y = a cos 2t sin t, t ∈ − ,
4 4
odred¯en deo lemniskate u desnoj poluravni (x ≥ 0). Obzirom da je x(t+π) =
−x(t) i y(t + π) = −y(t) sledi da je lemniskata simetriˇcna u odnosu na
koordinatni poˇcetak. Na osnovu ˇcinjenice x(−t) = x(t) i y(−t) = −y(t) sledi
da je lemniskata simetriˇcna u odnosu na x-osu.
Da bi izraˇcunali povrˇsinu unije dve oblasti ograniˇcenih lemniskatom (jedna
je u levoj, a druga je u desnoj poluravni), dovoljno je izraˇcunati povrˇsinu dela
oblasti u prvom kvadrantu (x ≥ 0, y ≥ 0). Povrˇsina unije tih oblasti je
∫
P = 2 −y dx + x dy,
γ
gde je γ = γ1 +γ2 , γ1 je deo x-ose od (0, 0) do (a, 0), a γ2 je deo lemniskate od
taˇcke (a, 0) do taˇcke (0, 0) u prvom kvadrantu. Obzirom da je uvek x, y ≥ 0,
sledi da je t ∈ (0, π/4). Parametarske jednaˇcine krive γ1 su
x = t, y = 0, t ∈ [0, a],
∫
te je dy = y ′ dt = 0 i I1 = −y dx + x dy = 0. Kriva γ2 odred¯ena je naveγ1
(
)
denim parametarskim jednaˇcinama (2.8) za t ∈ 0, π4 (naime, x je opadaju´ca
funkcija po t). Takod¯e je
−a sin t
(3 cos2 − sin2 t),
x′ = √
cos 2t
a cos t
y′ = √
(cos2 t − 3 sin2 t).
cos 2t
2.4. GRINOVA FORMULA U RAVNI
91
Na kraju vaˇzi
∫
∫π/4
−y dx + x dy = 2a
(cos4 t − sin4 t)dt = a2 .
2
I2 = 2
γ2
0
Prema tome, povrˇsina unije dveju oblasti ograniˇcenih lemniskatom jednaka
a2 .
Primer 2.4.2. Na´ci povrˇsinu skupa ograniˇcenog Dekartovim listom (Slika
23)
3at
3at2
x=
,
y
=
, 0 ≤ t < +∞.
1 + t3
1 + t3
1.5
1.0
0.5
Slika 23.
Reˇsenje. Data putanja x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β] je simetriˇcna u odnosu
na pravu y = x ako i samo ako za svako t1 ∈ [α, β] postoji t2 ∈ [α, β] tako da
vaˇzi x(t1 ) + x(t2 ) = y(t1 ) + y(t2 ). Oˇcigledno, u ovom sluˇcaju to postiˇzemo
izborom t1 ∈ (0, 1] i t2 = t−1
∈ [1, +∞). Stoga se moˇzemo ograniˇciti na
1
izraˇcunavanje povrˇsine polovine lista, za koji je 0 < t ≤ 1. Druga kriva, koja
ograniˇcava polovinu Dekartoovg lista, jeste γ1 : y = x, x ∈ (0, 3a/2).
Vaˇzi jednakost
(
y)
x dy − y dx = (x2 + y 2 )d arctg
.
x
y
Koriste´ci ˇcinjenicu = t, sledi da vaˇzi
x
9a2 t2 (1 + t2 ) (
y)
x dy − y dx =
d arctg
(1 + t3 )2
x
(
)
2 2
1
9a t
2
dt = −3a d
.
=
(1 + t3 )2
1 + t3
0.5
1.0
1.5
92
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
Sada je polovina povrˇsine Dekartovog lista jednaka
1
m(G) =
2
∫
3a2
−y dx + x dy = −
2
γ
jer je
∫
∫1 (
d
1
1 + t3
)
=
3a2
,
4
0
−y dx + x dy = 0 za γ1 : y = x, x ∈ (0, 3a/2). Na kraju, povrˇsina
γ1
ograniˇcena Dekartovim listom je
2.5
3a2
.
2
Nezavisnost krivolinijskog integrala
drugog reda od putanje integracije
(sluˇ
caj u ravni)
Neka je u oblasti G ⊂ R2 dato neprekidno vektorsko polje F = (P, Q). Polje
F je potencijalno, ako postoji neprekidno diferencijabilna funkcija U (x, y) na
skupu G, tako da je
dU (x, y) = P (x, y) dx + Q(x, y) dy.
U tom sluˇcaju je skalarno polje U potencijal vektorskog polja F.
Neka je γ = γ(t),
∫ t ∈ [a, b], putanja u oblasti G. Interesuje nas kada
vrednost integrala P dx + Q dy ne zavisi od putanje integracije, ve´c samo
γ
od poˇcetne i krajnje taˇcaka te krive. Odgovor na ovo pitanje daje slede´ca
teorema.
Teorema 2.5.1. Neka je G oblast u R2 i neka je F = (P, Q) neprekidno
vektorsko
∫ polje u oblasti G. Slede´ca tvrd¯enja su ekvivalentna:
(1) P dx + Qdy = 0 za proizvoljnu poligonalnu konturu L u oblasti G.
∫L
(2) P dx + Q dy ne zavisi od poligonalne putanje ℓ koja spaja taˇcku A i
ℓ
taˇcku B, ve´c samo od taˇcaka A i B.
(3) Polje
F = (P, Q) je potencijalno.
∫
(4) P dx + Qdy = 0 za svaku konturu Γ u G.
Γ
2.5. NEZAVISNOST INTEGRALA OD PUTANJE INTEGRACIJE
93
Ako vaˇzi bilo koje prethodno tvrd¯enje i ako je U potencijal vektorskog polja
F = (P, Q), tada vaˇzi
∫
P dx + Q dy = U (B) − U (A),
(2.9)
γ
pri ˇcemu je γ putaja u oblasti G, tako da je A poˇcetak, a B kraj krive γ.
Dokaz. (1) =⇒ (2): Neka su A i B dve proizvoljne taˇcke oblasti G, ℓ1 i ℓ2
neka su poligonalne putanje u oblasti G, ˇciji je poˇcetak taˇcka A, a kraj taˇcka
B. Pretpostavimo da ove putanje nemaju taˇcke preseka. Tada poligonalna
putanja
L = ℓ1 + ℓ−
2 jeste poligonalna kontura u ravni. Prema pretpostavci,
∫
P dx + Q dy = 0, odnosno
L
∫
∫
P dx + Qdy =
ℓ1
P dx + Qdy.
ℓ2
Ako ove poligonalne putanje imaju zajedniˇckih taˇcaka, onda one imaju konaˇcno
mnogo zajedniˇckih taˇcaka. Jednostavno je dokazati tvrd¯enje i u ovom sluˇcaju.
(2) =⇒ (3): Neka su (x0 , y0 ), (x, y) ∈ G proizvoljne taˇcke, i neka je ℓ
proizvoljna poligonalna
putanja u G koja spaja ove dve taˇcke. Definiˇsemo
∫
funkciju U (x, y) = P dx + Q dy. Funkcija U zavisi od izbora taˇcak (x0 , y0 )
ℓ
i (x, y), ali, po pretpostavci, ne zavisi od izbora poligonalne putanje ℓ.
Dokaza´cemo da je U potencijal polja F = (P, Q). Pretpostavimo da je rastojanje izmed¯u taˇcaka (x, y) i (x + ∆x, y) malo, tako da se ove dve taˇcke mogu
spojiti jednom duˇzi T koja pripada skupu G. Tada, na osnovu aditivnosti
integrala u odnosu na putanju integracije, vaˇzi
U (x + ∆x, y) − U (x, y)
1
=
∆x
∆x
∫
P dx + Q dy.
T
Duˇz T je paralelna y-osi, pa je na njoj dy = 0. Prema tome, vaˇzi
1
U (x + ∆x, y) − U (x, y)
=
∆x
∆x
x+∆x
∫
P (t, y)dt.
x
94
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
Funkcija P je neprekidna, te prema Teoremi o srednjoj vrednosti integrala,
x+∆x
∫
1
postoji broj ξ izmed¯u x i x + ∆x, tako da vaˇzi ∆x
P (t, y)dt = P (ξ, y).
x
Prelaskom na graniˇcnu vrednost kada ∆x → 0, proizilazi da vaˇzi
∂U (x, y)
U (x + ∆x, y) − U (x, y)
= lim
= P (x, y).
∆x→0
∂x
∆x
Analogno se dokazuje
∂U (x, y)
= Q(x, y). Samim tim, U je potencijal polja
∂y
F.
(3) =⇒ (4): Neka je dU = P dx + Q dy, pri ˇcemu su P i Q neprekidne
funkcije. Neka je Γ proizvoljna kontura u G, ˇcija je parametarska jednaˇcina
data sa x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b]. Tada je
∫b
∫
P dx + Q dy =
[P (x(t), y(t))x′ (t) + Q(x(t), y(t))y ′ (t)]dt
a
Γ
∫b
d(U (x(t), y(t)) = U (x(b), y(b)) − U (x(a), y(a)) = 0.
=
a
(4) =⇒ (1): Ova implikacija je trivijalna.
Tvrd¯enje (2.9) sledi na osnovu poslednje formule, pri ˇcemu umesto konture Γ razmatramo proizvoljnu putanju γ.
Teorema 2.5.2. Neka je oblast G prosto povezana i neka je F = (P, Q)
neprekidno diferencijabilno polje u oblasti G. Tada je polje F potencijalno
ako i samo ako vaˇzi
∂P (x, y)
∂Q(x, y)
=
∂y
∂x
za svako (x, y) ∈ G.
(2.10)
Dokaz. Ako je polje potencijalno i dU = P dx + Q dy, na osnovu neprekidne
diferencijabilnosti funkcija P i Q sledi
∂ 2U
∂ 2U
∂P
∂Q
=
=
=
.
∂x
∂x∂y
∂y∂x
∂y
U ovom delu dokaza se ne korsiti prosta povezanost oblasti G.
ˇ
2.6. MEHANICKI
SMISAO KRIVOLINIJSKOG INTEGRALA
95
Obrnuto, neka vaˇzi (2.10) i neka je γ proizvoljna kontura u G. Tada
kontura γ ograniˇcava oblast G1 . Obzirom da je G prosto povezana oblast,
vaˇzi G1 ⊂ G. Primenom Grinove formule na oblast G1 , sledi
∫∫ (
∫
P dx + Q dy =
γ
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
)
dx dy = 0.
G1
Prema prethodnoj teoremi sledi da je polje F potencijalno.
2.6
Mehaniˇ
cki smisao krivolinijskog integrala
drugog reda (rad sile)
Neka materijalna taˇcka M pod dejstvom konstantne sile F pred¯e put ∆s.
Obzirom da je sila konstanta, materijalna taˇcka se kre´ce po duˇzi, koja je
−
→
→
−
paralelna jediniˇcnom vektoru l . Tada je rad sile F jednak A = ⟨F, l ⟩∆s.
U opˇstem sluˇcaju, neka je sila promenljiva, odnosno dato je neprekidno
vektorsko polje F = (P, Q, R) u oblasti G, G ⊂ R3 . Neka je trajektorija
kretanja materijalne taˇcke data putanjom γ = γ(t), t ∈ [a, b] u oblasti G.
Podelimo segment [a, b] taˇckama (ti )i : a = t0 < t1 < · · · < tn = b. Neka je
ℓj duˇzinu putanje of taˇcke γ(tj−1 ) do γ(tj ). Neka se materijalna taˇcka kre´ce
od γ(tj−1 ) do γ(tj ) i neka je u isto vreme vektorsko polje aproksimirano konstanom silom F(x(tj ), y(tj ), z(tj )). Tada je pred¯eni put ℓj pribliˇzno jednak
pred¯enom putu po tangenti i stoga je rad na ovom delu putanje pribliˇzno
jednak Aj ≈ ⟨F(x(tj ), y(tj ), z(tj )), γ ′ (tj )⟩∆tj , gde je ∆tj = tj − tj−1 . Sada je
rad sile (vektorskog polja) F pribliˇzno jednak
A≈
n
∑
⟨F(x(tj ), y(tj ), z(tj ), γ ′ (tj )⟩∆tj .
j=1
Aproksimacija je taˇcnija, ukoliko je dijametar podele segmenta [a, b] manji.
Stoga je rad sile F duˇz konture γ dat kao krivolinijski integral drugog reda:
∫
∫b
⟨F, dγ⟩ =
A=
γ
a
⟨F(x(t), y(t), z(t)), γ ′ (t)⟩dt.
96
GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI
γ
, gde je γ = (x, y, z), pri ˇcemu se
|γ|3
taˇcka kre´ce po putanji γAB koja spaja taˇcke A i B, i pri tome putanja ne
prolazi kroz koordinatni poˇcetak.
Primer 2.6.1. Na´ci rad sile F = −
Reˇsenje. Kriva γ data je jednaˇcinom γ = γ(t), t ∈ [a, b]. Na osnovu
prethodne formule, rad sile se izraˇcunava na slede´ci naˇcin:
∫
∫b
⟨F, dγ⟩ = −
A=
γAB
a
∫b
=−
⟨(x, y, z), (x′ , y ′ z ′ )⟩
dt
(x2 + y 2 + z 2 )3/2
xx′ + yy ′ + zz ′
dt
(x2 + y 2 + z 2 )3/2
a
Ako se kra´ce oznaˇci u2 = x2 + y 2 + z 2 , tada je
∫b
A=−
a
u du
=
u3
∫b ( )
1
1
1
1
1
d
=
−
=
−
.
u
u(b) u(a)
|γ(b)| |γ(a)|
a
Glava 3
Povrˇ
sinski integrali
3.1
Povrˇ
si u R3
Definicija 3.1.1. Povrˇs u R3 je neprekidno preslikavanje S : G → R3 , pri
ˇcemu je G ograniˇcena oblast u R2 . Promenljive u i v jesu parametri povrˇsi
S.
Skup S∗ = {S(u, v) : (u, v) ∈ G} je slika (grafik) povrˇsi S.
Povrˇs S : G → R3 , je neprekidno diferencijabilna, ako su koordinatne
funkcije (u, v) 7→ x(u, v), (u, v) 7→ y(u, v) i (u, v) 7→ z(u, v) neprekidno
diferencijabilne funkcije.
Ako je G ograniˇcena oblast u R2 , (u, v) ∈ G, i ako je D = (x, y) : G → R
neprekidno diferencijabilno preslikavanje, tada je Jakobijan preslikavanja D
definisan kao
∂x ∂x ∂v J(D) = ∂u
∂y
∂y .
∂u
∂v
Oˇcigledno je J(D) : G → R neprekidno preslikavanje.
Definicija 3.1.2. Neka je G oblast u R2 , i neka je D : G → R neprekidno
diferencijabilno preslikavanje. Preslikavanje D je regularno, ako je J(D) ̸= 0
na G.
Teorema 3.1.1. Ako je G oblast u R2 , i ako je D : G → R2 regularno
preslikavanje, tada je D(G) otvoren skup u R2 .
Definicija 3.1.3. Ako je D : G → D(G) regularno preslikavanjnje, koje je
invertibilno, i ako je D−1 : D(G) → G takod¯e regularno preslikavanje, tada
je D regularan difeomorfizam (iz G na D(G)).
97
ˇ
GLAVA 3. POVRSINSKI
INTEGRALI
98
Definicija 3.1.4. Neka su G1 , G2 ograniˇcene oblasti u R2 , i neka su S1 :
G1 → R2 i S2 : G2 → R2 neprekidno diferencijabilne povrˇsi. Povrˇsi S1
i S2 su ekvivalentne, u oznaci S1 ∼ S2 , ako postoji obostrano regularan
difeomorfizam D : G1 → G2 , tako da je S1 = S2 ◦ D.
Teorema 3.1.2. Relacija ∼ je relacija ekvivalencije u skupu svih povrˇsi prostora R3 . Ako je S1 ∼ S2 , onda je S∗1 = S∗2 .
Definicija 3.1.5. (uproˇs´cena definicija) Neka je G ograniˇcena oblast u R2 i
neka je S : G → R∩3 povrˇs. Skup ρS = S(∂G) je prividni rub povrˇsi S.
Skup rS =
ρS1 je rub povrˇsi S, pri ˇcemu je presek uzet po svim
S1 ∼S
povrˇsima S1 koje su ekvivalentne povrˇsi S.
Definicija 3.1.6. Skup S◦ = S∗ \ rS je unutraˇsnost povrˇsi.
Primer 3.1.1. Neka je je povrˇs S odred¯ena jednaˇcinama
x = R cos u sin v, y = R sin u sin v, z = R cos v,
pri ˇcemu je
(u, v) ∈ G = [0, 2π] × [0, π],
odnosno S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Tada je S sfera polupreˇcnika R
sa centrom u koordinatnom poˇcetku.
Taˇcka A = S(0, 0) = (0, 0, 1) ima svojstvo A ∈ ρS. Med¯utim, ako se
posmatra ekvivalentna povrˇs S1 data kao
x = R cos u sin v, y = R sin u sin v, z = R cos v,
pri ˇcemu je
(u, v) ∈ G1 = [−π, π] × [−π/2, π/2],
tada A ∈
/ ρS1 .
Dakle, A nije rubna taˇcka povrˇsi S, te je A ∈ S◦ .
Lako je utvrditi da povrˇs S nema rubnih taˇcaka.
Pretpostavimo da je G ograniˇcena oblast u R2 , i neka je S : G → R3
neprekidno diferencijailna povrˇs. Neka je (u0 , v0 ) ∈ G proizvoljna taˇcka.
Ako fiksiramo samo jednu koordinatu, recimo koordinatu v0 , tada funckija
u 7→ S(u, v0 ), u ∈ [a, b], predstavlja krivu (putanju) na povrˇsi S. Sliˇcno,
v 7→ S(u0 , v), v ∈ [c, d], predstavlja takod¯e krivu (putanju) na povrˇsi S. Obe
ove krive prolaze kroz taˇcku M0 = S(u0 , v0 ). Ove krive se nazivaju koordinatne linije povrˇsi. Tangentni vektori ovih krivih u taˇcki M0 jesu Su (u0 , v0 )
i Sv (u0 , v0 ).
ˇ U R3
3.1. POVRSI
99
Definicija 3.1.7. Taˇcka M0 = S(u0 , v0 ) je neosobena taˇcka povrˇsi S, ako
su tangentni vektori Su (u0 , v0 ) i Sv (u0 , v0 ) nekolinearni. Ako su pomenuti
tangentni vektori kolinearni, onda je M0 osobena taˇcka povrˇsi.
Neka je ρ : [a, b] → G neprekidno diferenciajbilno preslikavanje, odnosno
kriva (putanja) u skupu G. Tada je t 7→ S(ρ(t)), t ∈ [a, b], neprekidno diferencijabilno preslikavanje (kao kompozicija neprekidno diferencijabilnih preslikavanja), kojim je odred¯ena kriva Γ na povrˇsi S, odnosno Γ(t) = S(ρ(t)),
t ∈ [a, b].
Ako postoji t0 ∈ [a, b] tako da je ρ(t0 ) = (u0 , v0 ), tada je Γ kriva na povrˇsi
S kroz taˇcku M0 .
Tangenta krive Γ u taˇcki M0 jeste dΓ(t0 ) = Γt (t0 )dt. Diferencijal vektorske funkcije Γ u taˇcki t0 jeste
dΓ = Su (u0 , v0 )du(t0 )+Sv (u0 , v0 )dv(t0 ) = Su (u0 , v0 )u′ (t0 )dt+Sv (u0 , v0 )v ′ (t0 )dt
. Primetimo da vaˇzi invarijantnost forme diferencijala prvog reda u odnosu
na smenu promenljivih.
Dakle, vektor Γt (t0 ) jeste linearna kombinacija vektora Su (u0 , v0 ) i Sv (u0 , v0 ),
ako je ako je M0 neosobena taˇcka povrˇsi S.
Definicija 3.1.8. Ravan T kroz taˇcku M0 povrˇsi S je tangentna ravan povrˇsi
S, ako tangentni vektor svake krive na povrˇsi, koja prolazi kroz taˇcku M0 ,
pripada ravni T .
Ako je M0 neosobena taˇcka povrˇsi S, tada se svaki tangentni vektor bilo
koje krive na povrˇsi S kroz taˇcku M0 , moˇze prikazati kao linearna kombinacija vektora Su (u0 , v0 ) i Sv (u0 , v0 ). Prema tome, Su (u0 , v0 ) i Sv (u0 , v0 )
su dva linearno nezavisna vektora tangentne ravni T u neosobenoj taˇcki M0
povrˇsi S. Normala ravni T data je kao vektorski proizvod tangentnih vektora
koordinatnih linija, odnosno
i j k
N = Su × Sv = xu yu zu .
xv yv zv Vekor N je vektor normale povrˇsi S u taˇcki M0 .
Jednaˇcina ravni T data je sa (r − r0 ) · N = 0, odnosno
(r − r0 ) · (ru × rv ) = [r − r0 , ru , rv ] = 0,
100
ˇ
GLAVA 3. POVRSINSKI
INTEGRALI
gde je sa r oznaˇcen radijus vektor proizvoljne taˇcke na ravni, a r0 = S(M0 ).
Drugi zapis jednaˇcine ravni jeste
x − x0 y − y0 z − z0 xu
= 0.
y
z
u
u
xv
yv
zv Povrˇs S moˇze biti data ekslicitno, na primer z = f (x, y), (x, y) ∈ G.
Ovako zadate povrˇsi se svode na prethodni sluˇcaj oˇciglednom smenom x = u,
y = v, z = f (u, v). Ako je funkcija (x, y) 7→ f (x, y) neprekidno diferencijabilna, onda je vektor normale povrˇsi
i j k N = 1 0 fx .
0 1 fy Jednaˇcina tangente ravni data je sa
x − x0 y − y0 z − z0 1
= 0.
0
f
x
0
1
fy Povrˇs moˇze biti zadana i implicitno, jednaˇcinom
F (x, y, z) = 0.
Ako prethodna jednaˇcina imlplicitno odred¯uje z kao funkciju od x i y, odnosno
z = f (x, y), i ako je F (x, y, z) neprekidno diferencijabilna funkcija, dobro je
poznato da vaˇzi
Fy
Fx
fx = − , fy = − .
Fz
Fz
Lako je proveriti da je tangentna ravan data jednaˇcinom:
(x − x0 )Fx + (y − y0 )Fy + (z − z0 )Fz = 0.
Definicija 3.1.9. Prava L, koja prolazi kroz taˇcku M0 povrˇsi S i pri tom
je normalna na tangentnu ravan povrˇsi u taˇcki M0 , jeste normala povrˇsi S u
taˇcki M0 .
3.2.
ˇ I POVRSINA
ˇ
ˇ 101
PRVA KVADRATNA FORMA POVRSI
POVRSI
Vektor paralelnosti normale L jeste N. Prema tome, jednaˇcina normale
L jeste:
x − x0
y − y0
z − z0
yu zu = xu zu = xu yu .
− y v zv xv yv xv zv Ako je povrˇs data eksplicitno x = u, y = v i z = f (u, v), tada je jednaˇcina
normale L:
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
.
fx
fy
−1
Konaˇcno, ako je povrˇs data implicitno jednaˇcinom F (x, y, z) = 0, tada je
jednaˇcina normale L
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
.
Fx
Fy
Fz
Definicija 3.1.10. Neprekidno diferencijabilna povrˇs je glatka, ako nema
osobenih taˇcaka.
Neka je G ograniˇcena oblast u R2 , i neka je S : G → R3 povrˇs. Pretpostavimo da
∪npostoje olasti G1 , . . . , Gn sa slede´cim osobinama:
(1) G = j=1 Gj ;
(2) Gi ∩ Gj = ∅ za i ̸= j.
Za svako j ∈ {1, . . . , n} neka je Sj restrikcija od S na Gj , odnosno
Sj (u, v) = S(u, v) za (u, v) ∈ Gj . Tada je Sj deo povrˇsi S. Familija
{S1 , . . . , Sn } je razbijanje povrˇsi S.
Definicija 3.1.11. Neka je, pod prethodno opisanim uslovima, S neprekidno
preslikavanje na G, i S neprekidno diferencijabilno preslikavanje na svakom
skupu Gj , j = 1, . . . , n. Tada je S deo po deo glatka povrˇs.
Pod uslovima prethodne definicije, glatkost povrˇsi je eventualno naruˇsena
u taˇckama ∂Gj , j = 1, . . . , n.
3.2
Prva kvadratna forma povrˇ
si i povrˇ
sina
povrˇ
si
U ovoj lekciji pretpostavljamo da je G ograniˇcena oblast u R2 . Neka je
S : G → R3 glatka povrˇs, i M = S(u, v) neka je jedna taˇcka na povrˇsi
102
ˇ
GLAVA 3. POVRSINSKI
INTEGRALI
S. Koriste´ci oznake iz prethodne lekcije, izraˇcunavamo intenzitet vektora
dS = Su du + Sv dv:
|dS|2 = dS · dS = Su · Su du2 + 2Su · Sv dudv + Sˇ · Sv dv 2 ,
ili, uz oznake E = Su · Su , F = Su · Sv , G = Sv · Sv ,
|dS|2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 .
(3.1)
Koeficijenti E, F, G se izraˇcunavaju na slede´ci naˇcin:
E = (xu )2 + (yu )2 + (zu )2 ,
F = xu xv + yu yv + zu zv ,
G = (xv )2 + (yv )2 + (zv )2 .
Definicija 3.2.1. Ako je S glatka povrˇs, onda je izraz (3.1) prva kvadratna
(fundamentalna) forma povrˇsi S.
Pokaza´cemo kako se raˇcuna povrˇsina povrˇsi. Podelimo ravan R2 , kojoj
pripada skup G, pravama paralelnim koordinatnim osama promenljvih u i v.
Neka je rastojanje izmed¯u susednih pravih jednako h. Pretpostavimo da je
G merljiva oblast, odnosno postoji m2 (G). Taˇcka A ∈ G neka je presek dve
med¯usobno normalne prave i neka je M = S(A). Uoˇcimo tangentne vektore
Su i Sv u taˇcki M . Tada povrˇsini jednog kvadrata u skupu G pribliˇzno
odgovara povrˇsina jednog krivolinijskog kvadrata na povrˇsi (za glatke povrˇsi
ovo je dobra aproksimacija povrˇsine). Ako je A = (u0 , v0 ), onda su ostale
taˇcke kvadrata u ravni date kao B = (u0 + h, v0 ), C = (u0 + h, v0 + h) i D =
(u0 , v0 + h). Pored uvedene oznake M = S(A), neka je N = S(B), P = S(C)
i Q = S(D). Posmatramo Tejlorove razvoje funckija jedne promenljive:
x(u, v0 ) = x(u0 , v0 ) + xu (u0 , v0 )h + o(h),
a sliˇcno i za funkcije y(u, v0 ) i z(u, v0 ). Kra´ce, u vektorskom obliku zapisano,
vaˇzi
S(u, v0 ) = S(u0 , v0 ) + Su (u0 , v0 )h + o(h).
Takod¯e je
S(u0 , v) = S(u0 , v0 ) + Sv (u0 , v0 )h + o(h).
Krivolijinskom kvadratu M N P Q pridruˇzimo paralelogram u tangentnoj ravni,
odred¯en vektorima Su h i Sv h. Tada je povrˇsina krivolinijskog kvadrata pribliˇzno jednaka povrˇsini paralelograma, odnosno
∆ = |Su h × Sv h|P = |Su × Sv |P h2 = |Su × Sv |P m2 (E),
3.2.
ˇ I POVRSINA
ˇ
ˇ 103
PRVA KVADRATNA FORMA POVRSI
POVRSI
pri ˇcemu je sa E oznaˇcen kvadrat ABCD. Ako su kvadrati unutar skupa G
oznaˇceni sa Ei , i = 1, . . . , n, tada je povrˇsina svih krivolinijskih kvadrata na
povrˇsi S pribliˇzno jednaka
n
∑
∆i =
i=1
n
∑
|Su × Sv |Pi m2 (Ei ).
i=1
Graniˇcna vrednost ove sume kada h → 0, jednaka je povrˇsini povrˇsi S. Na
osnovu definicije dvostrukog Rimanovog integrala funkcije dve promenljive
po skupu G, sledi da vaˇzi
∫∫
n
n
∑
∑
m(S) = lim
∆i = lim
|Su × Sv |Pi m2 (Ei ) =
|Su × Sv |dudv.
h→0
i=1
h→0
i=1
G
Sada treba prona´ci pogodniji oblik za izraˇcunavanje |Su × Sv |Pi .
Neka je φ ugao koji zaklapaju vektori Su i Sv u taˇcki Pi . Tada je dobro
poznato da vaˇzi
|Su × Sv | = |Su ||Sv | sin φ,
Su · Sv = |Su ||Sv | cos φ,
odakle sledi
|Su × Sv |2 = |Su |2 |Sv |2 − (Su · Sv )2 = EG − F 2 .
Prema tome, povrˇsina povrˇsi S data je formulom
∫∫ √
EG − F 2 du dv.
m(S) =
G
Specijalno, ako je povrˇs data eksplicitno, z = f (x, y), tada je
∫∫ √
m(S) =
1 + fx2 + fy2 dx dy.
G
Nastavljamo sa prouˇcavanjem glatkih povrˇsi. Vektor normale glatke povrˇsi
S, ˇcija je reprezentacija data sa S = S(u, v), (u, v) ∈ G, jeste N = Su × Sv .
Neka je n jediniˇcni vektor normale, odnosno
n=
Su × Sv
.
|Su × Sv |
ˇ
GLAVA 3. POVRSINSKI
INTEGRALI
104
Definicija 3.2.2. Ako je jediniˇcni vektor normale glatke povrˇsi neprekidna
funkcija parametara u i v, onda je taj vektor orijentacija glatke povrˇsi.
Ako je povrˇs S glatka i ima taˇcaka samopreseka, onda u tim taˇckama
povrˇs S ima po dve normale i time je naruˇsena neprekidnost vektora normale
u zavisnosti od parametara povrˇsi.
Sa druge strane, ako je n orijentacija neke povrˇsi, moˇse se odabrati i
druga orijentacija −n.
Definicija 3.2.3. Glatka povrˇs je orijentisana, ako je na toj povrˇsi izabrana
jedna od mogu´cih dveju orijentacija.
Definicija 3.2.4. Taˇcka M0 = S(u0 , v0 ) povrˇsi S je konusna taˇcka, ako
je funkcija S neprekidno diferencijabilna u prstenu P ((u0 , v0 ); 0, R), ali ova
funkcija nije neprekidno diferencijabilma u disku D((u0 , v0 ); R).
Primer 3.2.1. Konus je dat jednaˇcinom z 2 = √
x2 +y 2 , gde je, na primer, x2 +
y 2 ≤ 1. Povrˇs konusa jeste skup S∗ = {(x, y, x2 + y 2 ) : (x, y) ∈ D(0; 1)},
gde je D(0; 1) jediniˇcni disk u ravni sa centrom u koordinatnom
poˇcetku.
(
)
Tangentni vektori koordinatnih linija dati su sa Sx = 1, 0, √ x2 2 i Sy =
x +y
(
)
0, 1, √ 2y 2 za svako (x, y) ∈ D(0; 1) \ {(0, 0)}. Vektori normale u tim
x +y
taˇckama jesu
i j
k y
x
√ x2 2 i− √
j + k.
N = Sx × Sy = 1 0
x +y = − √
2 + y2
2 + y2
y
x
x
0 1 √ 2 2 x +y
√
Oˇcigledno vaˇzi |N| = 2. Prema tome, svaka taˇcka povrˇsi S, osim vrha
konusa, jeste neosobena taˇcka, dok je vrh konusa konusna taˇcka povrˇsi S.
Takod¯e je jediniˇ
( cni vektor normale jedne)od mogu´cih orijentacija povrˇsi S
dat kao n =
−√
x
, − √ y2 2 , √12
2(x2 +y 2 )
2(x +y )
.
U mnogim primenama koriste se povrˇsi sa konaˇcno mnogo konusnih taˇcaka.
Na primer, neka su S(ui , vi ), i = 1, . . . , k, sve konusne taˇcke povrˇsi S, i
neka je povrˇs S glatka u svim ostalim taˇckama, odnosno glatka u skupu
G1 = G \ {(u1 , v1 ), . . . , (uk , vk )}. Svaka neprekidna jediniˇcna normala povrˇsi
na skupu G1 jeste orijentacija povrˇsi S.
ˇ
3.3. POVRSINSKI
INTEGRALI PRVOG REDA
105
Ukoliko se na povrˇsi moˇze izabrati jedna od dveju orijentacija, onda je
povrˇs dvostrana. Ukoliko se to ne moˇze uraditi, povrˇs je jednostrana.
Primer povrˇsi koja se ne moˇze orijentisati jeste Mebijusova traka. Neka je
pravougaonik Π u prostoru sa temenima redom A, B, C i D. Pretpostavimo
da je pravougaonik Π transformisan u prostoru, tako da se teme A poklopi
sa temenom C, a teme B se poklopi sa temenom D. Tako dobijena povrˇs u
prostoru jeste Mebijusova traka. Lako je proveriti da je ovako dobijena povrˇs
jednostrana.
Postoje povrˇsi koje imaju rub, a takod¯e postoje povrˇsi koje nemaju rub.
Rub povrˇsi u primenama bi´ce uvek kontura. Od posebnog je interesa je orijentisati rub orijentisane povrˇsi, glatke u unutraˇsnjosti, sa izuzatkom eventualno konaˇcno mnogo konusnih taˇcaka.
Neka je rub oblasti G grafik neke konture γ = γ(t), t ∈ [a, b]. Pretpostavimo da je kontura γ orijentisana pozitivno u odnosu na oblast G,
odnosno prilikom kretanja po konturi u smeru rasta parametra, oblast G ostaje sa leve strane. Neka je S glatka povrˇs sa rubom, sa izuzetkom konaˇcno
mnogo konusnih taˇcaka. U ovom sluˇcaju rub povrˇsi S jeste grafik deo po deo
glatke krive Γ(t) = S(γ(t)), t ∈ [a, b]. Takod¯e pretpostavimo da se povrˇs S
moˇze orijentisati izborom neprekidnog jediniˇcnog vektora normale.
Rub Γ povrˇsi S jeste orijentisan saglasno izboru vektora normale povrˇsi
S, ako pri kretanju krivom Γ u smeru rasta parametra, orijentisana strana
povrˇsi S ostaje sa leve strane.
Postupak orijentacije povrˇsi i ruba moˇze se shvatiti i obrnuto: kriva γ
je pozitivno orijentisana u odnosu na oblast G, kriva Γ = S ◦ γ je orijentisana saglasno orijentaciji krive γ, a na povrˇsi S izabrana je orijentacija
Su (t) × Sv (t)
n=
.
|Su (t) × Sv (t)|
3.3
Povrˇ
sinski integrali prvog reda
Neka je G ograniˇcena ∪
merljiva oblast u R2 , i neka je S : G → R3 glatka
povrˇs. Neka je G = ki=1 Gi razbijanje skupa G na pravama paralelnim
koordinatnim osama, a Si = S|Gi , i = 1, . . . , k, neka su odgovaraju´ci delovi
povrˇsi S. Neka su ξ i ∈ Si proizvoljne taˇcke, a m(Si ) povrˇsine delova povrˇsi
Si , i = 1, . . . , k.
Na kraju pretpostavimo da je data funkcija f : S∗ → R.
Posmatrajmo sumu
ˇ
GLAVA 3. POVRSINSKI
INTEGRALI
106
k
∑
f (ξi )m(Si ).
(3.2)
i=1
Ranije je pokazano kako se izraˇcunava povrˇsina povrˇsi na osnovu prve kvadratne
forme. Stoga nije teˇsko proveriti da je upravo napisana suma (3.2) zapravo
Rimanova integralna suma dvostrukog integrala
∫∫
∫∫
∫∫
√
2
f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) EG − F du dv =
f≡
f dS (3.3)
G
S
S
gde su E, F, G koeficijenti prve kvadratne forme povrˇsi S. Dodatna pretpostavka, naravno, jeste da pomenuti integral postoji.
Integral (3.3) jeste povrˇsinski integral prvog reda funkcije f (x, y, z) po
povrˇsi S. Ako navedeni integral postoji, onda je realna funkcija f integrabilna
na S.
Na primer, ako je f neprekidna funkcija na S, tada je f integrabilna na
S. Naime, u ovom sluˇcaju integralimo neprekidnu funkciju na kompaktnom
merljivom skupu G.
Ne gubimo od opˇstosti ako pretpostavimo da je S deo po deo glatka. Na
taj naˇcin izvodi, koji se javljaju u koeficijentima E, F, G ne´ce biti definisani
na nekom skupu u ravni, a mera ovog skupa je nula. Ova pretpostavka ne
utiˇce na vrednost integrala.
Svojstva povrˇsinskog integrala prvog reda analogna su svojstvima krivolinijksog integrala prvog reda. Preciznije, povrˇsinski integral prvog reda ne zavisi od parametarske reprezentacije povrˇsi S, a takod¯e ne zavisi od orijentacije
povrˇsi.
∫∫ dS
Primer 3.3.1. Izraˇcunati povrˇsinski integral prvog reda
, ako je S
(1+z)2
polusfera x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0.
S
Reˇsenje. Jednaˇcina gornje polusfere u sfernim koordinatama je
x = cos φ sin ψ, y = sin φ sin ψ, z = cos ψ, φ ∈ [0, 2π), ψ ∈ [0, π/2].
Koeficijenti prve kvadratne forme ove povrˇsi jesu
E = (xφ )2 + (yφ )2 + (zφ )2 = sin2 ψ, F = xφ xψ + yφ yψ + zφ zψ = 0,
G = (xψ )2 + (yψ )2 + (zψ )2 = 1.
ˇ
3.3. POVRSINSKI
INTEGRALI PRVOG REDA
107
Prema tome, traˇzeni integral jeste:
∫2π
I=
∫π/2
dφ
0
sin ψ
dψ = π.
(1 + cos ψ)2
0
∫∫
Primer 3.3.2. Izraˇcunati povrˇsinski integral prvog reda I = (xy + yz +
S
√
zx)dS, gde je S deo konusa z = x2 + y 2 , koji je ograniˇcen cilindrom x2 +
y 2 = 2x.
Reˇsenje. Uvodimo cilindriˇcne koordinate:
x = r cos φ, y = r sin φ, z = ξ, φ ∈ [−π, π), r > 0, ξ ∈ R.
Jednaˇcina konusa u cilindriˇcnim koordinatama je ξ = r. Unutraˇsnjost cilindra dobija se na osnovu nejednaˇcine x2 + y 2 ≤ 2x, odakle sledi r ≤ 2 cos φ i
φ ∈ (−π/2, π/2). Parametarske jednaˇcine povrˇsi jesu
x = r cos φ, y = r sin φ, z = r, φ ∈ (−π/2, π/2), r ∈ (0, 2 cos φ).
Koeficijenti prve kvadratne forme ove povrˇsi su
E = (xr )2 + (yr )2 + (zr )2 = 2, F = xr xφ + yr yφ + zr zφ = 0,
G = (xφ )2 + (yφ )2 + (zφ )2 = r2 .
Traˇzeni integral je jednak
π/2
2∫
cos φ (
)
√ ∫
1
3
I= 2
sin 2φ + sin φ + cos φ dr
dφ
r
2
−π/2
0
π/2
∫π/2
√ ∫
√
=4 2
sin φ cos5 φ dφ + 4 2
sin φ cos4 φ dφ
−π/2
√
+4 2
−π/2
∫π/2
cos5 φ dφ.
−π/2
Prva dva integrala su jednaka nuli, jer se integrale neparne funkcije na segmentu
√ simetriˇcnom u odnosu na koordinatni poˇcetak. Prema tome, I =
64 2
.
15
ˇ
GLAVA 3. POVRSINSKI
INTEGRALI
108
3.4
Povrˇ
sinski integrali drugog reda
U ovoj lekciji definiˇsemo integrale koji zavise od orinetacije povrˇsi.
Neka je G ograniˇcena i merljiva oblast u R2 . Neka je povrˇs S : G → R3 deo
po deo glatka i orijentisana nekim vektorom normale n. Ovako orijentisana
+
povrˇs oznaˇcava
∪k se sa S . Kao u prethodnom delu, posmatra se razbijanje
oblasti G = i=1 Gi i odgovaraju´ci delovi povrˇsi Sj = S|Gj . Neka su date
proizvoljne taˇcke ξ i ∈ Si , i = 1, . . . , k. Sa ∠(n, k) oznvaˇcava se ugao koji
vektor normale n zaklapa sa pozitivnim delom z-ose. Neka je funkcija f :
S∗ → R definisana S. Posmatra se suma
k
∑
f (ξ i ) cos ∠(n, k) m(Si ).
i=1
Prethodna suma je Rimanova integralna suma koja odovara integralu
∫∫
√
P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) cos ∠(n, k) EG − F 2 du dv =
∫∫
D
f cos ∠(n, k) dS,
=
S
u sluˇcaju da ovaj integral postoji. Ukoliko navedeni integral postoji, funkcija
f je integrabilna na S u odnosu na z-osu.
Koristimo oznaku
∫∫
∫∫
f dx dy =
f cos ∠(n, k) dS
S+
S
i ovaj integral jeste povrˇsinski integral drugog reda (u odnosu na z-osu)
funkcije f (x, y, z) po orijentisanoj povrˇsi S + .
Ako je f neprekidna funkcija na S∗ , onda navedeni dvojni integrla postoji,
jer je funckija koja se integrali neprekidna na merljivom i kompaktnom skupu
G, sa izuzetkom, eventualno, nekog skupa koji je mere nula.
Ovako definisan integral ne zavisi od parametarske reprezentacije povrˇsi
S. Na osnovu oˇcigledne jednakosti
cos ∠(−n, k) = − cos ∠(n, k),
ˇ
3.4. POVRSINSKI
INTEGRALI DRUGOG REDA
109
sledi da povrˇsinski integral menja znak ako se promeni orijentacija povrˇsi.
Neka je S − povrˇs orijentisana vektorom −n. Tada vaˇzi
∫∫
∫∫
f dx dy = −
f dx dy.
S−
S+
Analogno se definiˇsu integrali u odnosu na preostale ose:
∫∫
∫∫
f dy dz =
f cos ∠(n, i) dS,
∫∫
S+
∫∫
f cos ∠(n, j) dS.
f dz dx =
S+
S
S
Neka je a = (P, Q, R) neprekidno vektorsko polje definisano na deo po
deo glatkoj i orijentisanoj povrˇsi S, odnosno funkcije P , Q i R su definisane
i neprekidne na S∗ . Tada je
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
a=
P dy dz +
Q dz dx +
R dx dy.
S+
S+
S+
S+
Potrebno je na´ci efikasan naˇcin za izraˇcunavanje kosinusa uglova koje normala
n zaklapa sa pozitivnim smerovima koordinatnih osa. Kako je n jediniˇcni
vektor normale, odnosno
Su × Sv
n=
,
|Su × Sv |
onda vaˇzi
i j k
n·k
Su × Sv
k
xu yu zu cos ∠(n, k) =
=
·k=
|n||k|
|Su × Sv |
|Su × Sv | xv yv zv xu yu D(x, y)
1
= √ 1
·
.
=
|Su × Sv | xv yv
EG − F 2 D(u, v)
Nedostatak ove formule je u tome ˇsto zamena mesta promenljvim u i
v dovodi do promene znaka poslednje determinante. Stoga se zahteva da
ugao izmed¯u vektora n i k pripada segmentu [0, π/2], ˇcime se obezbed¯uje
cos ∠(n, k) ≥ 0. Prema tome, uz uslov ∠(n, k) ∈ [0, π/2], vaˇzi formula
D(x, y) 1
.
·
cos ∠(n, k) = √
EG − F 2 D(u, v) ˇ
GLAVA 3. POVRSINSKI
INTEGRALI
110
Konaˇcno, vaˇze formule
∫∫
∫∫
D(x, y) dudv,
R
R dx dy =
D(u, v) S+
∠(n, k) ∈ [0, π/2].
G
Analogno
D(y, z) dudv,
P dy dz =
P
D(u, v) G
S+
∫∫
∫∫
D(x, z) dudv,
Q dz dx =
Q
D(u, v) ∫∫
∫∫
S+
∠(n, i) ∈ [0, π/2],
∠(n, j) ∈ [0, π/2].
G
Primer 3.4.1. Izraˇcunati povrˇsinski integral
∫∫
z dx dy + y dz dx + x dy dz,
S+
gde je S spoljaˇsnja strana sfere x2 + y 2 + z 2 = R2 .
Reˇsenje. Uvod¯enjem sfernih koordinata lako se utvrd¯uje da su parametarske
jednaˇcine sfere date kao
x = R cos φ sin ψ, y = R sin φ sin ψ, z = R cos ψ,
φ ∈ [0, 2π], ψ ∈ [0, π].
∫∫
Neka je I1 =
z dx dy. Prema pretpostavci zadatka, orijentisana je spoljna
S+
strane sfere. Ukoliko se neka taˇcka nalazi na gornjoj polusferi (z ≥ 0), tada
vektor normale sfere u toj taˇcki zaklapa oˇstar ugao (odnosno najviˇse π/2) sa
pozitivnim smerom z-ose. Ukoliko se taˇcka nalazi na donjoj poluferi, tada
vektor normale sfere u posmatranoj taˇcki zaklapa tup ugao sa pozitivinim
smerom z-ose. Prema tome,
∫∫
∫∫
I1 =
z dx dy −
z dx dy,
S+
1
S−
2
−
pri ˇcemu je S+
1 gornja polusfera orijentisana spolja, a S2 je donja polusfera
orijentisana unutra. Gornja polusfera se dobija iz parametarskih jednaˇcina
sfere za ψ ∈ [0, π/2], a donja polusfera se dobija za ψ ∈ [π/2, π]. Vaˇzi
D(x, y) R2
D(φ, ψ) = 2 | sin 2ψ|.
ˇ
3.4. POVRSINSKI
INTEGRALI DRUGOG REDA
111
Ako je ψ ∈ [0, π/2], tada je sin 2ψ > 0 i vaˇzi
∫∫
I11 =
∫2π
z dx dy =
∫π/2
2
dφ R3 sin ψ cos2 ψ dψ = R3 π.
3
0
S1+
0
Ako je ψ ∈ (π/2, π), tada je sin 2ψ < 0 i
∫∫
I12 = −
∫2π
z dx dy = −
S2−
∫π
dφ
0
2
R3 cos2 ψ(− sin ψ) dψ = R3 π.
3
π/2
4
Prema tome I1 = R3 π. U ovom zadatku promenljive x, y i z mogu
3
promeniti mesta, uzimaju´ci ubzir i podintegralnu funkciju i domen integracije. Prema tome, svi preostali integrali jednaki su integralu I1 :
∫∫
∫∫
4
y dx dz =
x dy dz = I1 = R3 π.
3
S+
S+
Konaˇcan rezultat jeste I = 4R3 π.
Primer 3.4.2. Izraˇcunati integral
∫∫
yz dx dy + xz dy dz + xy dx dz, ako je
S+
S+ spoljna strana tela ograniˇcenog povrˇsima x2 + y 2 = R2 , x = 0, y = 0,
z = 0, z = a, R, a > 0.
Reˇsenje. Povrˇs S se moˇze prikazati kao unija S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 ,
pri ˇcemu je S1 deo povrˇsi koji pripada cilindru, S2 je deo koji pripada ravni
z = 0, S3 je deo koji pripada ravni z = a, S4 je deo koji pripada razni x = 0
i S5 je deo koji pripada ravni y = 0.
Parametarske jednaˇcine povrˇsi S1 jesu
x = R cos φ, y = R sin φ, z = ξ, φ ∈ [0, π/2], ξ ∈ [0, a].
Normala, kojom je orijentisana spoljna strana cilindra uvek je normalna na
D(x, y)
z-osu. Stoga je
= 0. Takod¯e je
D(φ, ξ)
D(y, z) D(x, z) D(φ, ξ) = R sin φ, D(φ, ξ) = R cos φ.
ˇ
GLAVA 3. POVRSINSKI
INTEGRALI
112
Sada je
∫∫
I1 =
1
1
yz dx dy + xz dy dzxy dx dz = R2 a2 π + aR3 .
8
3
S+
1
Povrˇs S2 leˇzi u ravni z = 0, te je dz = 0 i
∫∫
yz dx dy + xz dy dz +
S+
2
xy dx dz = 0.
∫∫
Povrˇs S3 leˇzi u ravni z = a, a > 0, te je dz = 0 i
yz dx dy + xz dy dz +
S+
3
∫∫
xy dx dz = a y dx dy. Parametarske jednaˇcine povrˇsi S3 jesu
S3+
x = r cos φ, y = r sin φ, z = a, φ ∈ [0, π/2], r ∈ [0, R].
D(x, y) = r. Normala na S+
Sada je 3 zaklapa ugao 0 sa pozitivnim smerom
D(r, φ) z-ose, te je
∫∫
∫R
∫π/2
1
a
y dx dy = a sin φdφ r2 dr = aR3 .
3
S+
3
0
0
∫∫
Povrˇs S4 leˇzi u ravni x = 0, te je i dx = 0. Prema tome,
yz dx dy +
S+
4
∫∫
xz dy dz + xy dx dz = 0. Analogno,
yz dx dy + xz dy dz + xy dx dz = 0.
S+
5
Na kraju, traˇzeni integral jednak je sumi svih prethodnih integrala: I =
2 3 1 2 2
aR + a R π.
3
8
3.5
Teorija polja
Skalarno polje je funkcija U (x1 , . . . , xn ), koja je definisana u nekoj oblasti G,
G ⊂ Rn . Skalrano polje je, dakle, preslikavanje U : G → R, gde je G oblast
u Rn .
Ako je G ⊂ R3 oblast i P , Q i R funkcije definisane u oblasti G, tada
je a = (P, Q, R) vektorsko polje definisano u oblasti G. Vektorsko polje je,
dakle, preslikavanje a : G → R3 , gde je G oblast u R3 .
3.5. TEORIJA POLJA
113
Svakom skalarnom polju U pridruˇzuje se gradijent, odnosno vektor
grad U = Ux i + Uy j + Uz k.
Gradijent skalarnog polja ne zavisi od koordinatnog sistema i pokazuje pravac
najbrˇzeg rasta skalarnog polja U . Ako je ⃗l vektor koji zaklapa redom uglove
α, β, γ sa vektorima i, j, k, tada je izvod diferenijcabilne funkcije U u pravcu
vektora ⃗l odred¯en kao
∂U
= Ux cos α + Uy cos β + Uz cos γ = ⃗l · grad U.
∂⃗l
Kako je ⃗l jediniˇcni vektor, onda je ∂U
projekcija vektora grad U na pravac
∂⃗l
vektora ⃗l. Ova veliˇcina je utoliko ve´ca ukoliko je ugao koji grad U zaklapa
sa ⃗l manji.
Definicija 3.5.1. Neka je vektorsko polje a definisano u oblasti G ⊂ R3 .
Ako u oblasti G postoji neprekidno diferencijabilno skalarno polje U tako da
vaˇzi
a = grad U,
tada je U potencijal vektorskog polja a. U tom sluˇcaju, ako je a = (P, Q, R),
onda vaˇzi
P = Ux , Q = Uy , R = Uz .
Ekvivalentno, U je potencijal vektorskog polja a = (P, Q, R) ako je dU =
P dx + Q dy + R dz.
Definicija 3.5.2. Neka je a = (P, Q, R) neprekidno diferencijabilno vektorsko polje, definisano u oblasti G. Veliˇcina
div a =
∂P
∂Q ∂R
+
+
∂x
∂y
∂z
jeste divergencija vektorskog polja a.
Simobliˇcki operator ∇ definisan je kao
∂
∂
∂
i+
j+ k=
∇=
∂x
∂y
∂z
(
a skra´ceno se piˇse
div a = ∇ · a.
∂ ∂ ∂
, ,
∂x ∂y ∂z
)
,
ˇ
GLAVA 3. POVRSINSKI
INTEGRALI
114
Definicija 3.5.3. Ako je a = (P, Q, R) neprekidno diferencijabilno vektorsko
polje, definisano u oblasti G ⊂ R3 , onda vektor definisan kao
i
j
k
∂ ∂ ∂
rot a = ∇ × a = ∂x ∂y ∂z P Q R
jeste rotor vektorskog polja a.
Definicija 3.5.4. Neka je γ deo po deo glatka kriva zatvorena kriva (kontura)
u oblasti G ⊂ R3 i neka je neprekidno vektorsko polje a = (P, Q, R) definisano
u oblasti G. Ako postoji krivolinijski integral
∫
P dx + Q dy + R dz,
γ
onda vrednost tog krivolinijskog integrala jeste cirkulacija vektorskog polja
a duˇz konture γ.
Ako je dr = ( dx, dy, dz), onda je
∫
∫
P dx + Q dy + R dz = a · dr
γ
γ
∫
=
(P cos α + Q cos β + R cos γ) ds
γ
∫
a · t ds,
=
γ
gde je t = (cos α, cos β, cos γ) jediniˇcni vektor tangente krive γ. Prema tome,
vaˇzi
∫
∫
P dx + Q dy + R dz = |a| cos ∠(a, t) ds.
γ
γ
Dokaza´cemo kasnije da je vektorsko polje je potencijalno u oblasti G, ako
je cirkulacija tog polja po ma kojoj konturi γ u G jednaka nuli.
Definicija 3.5.5. Neka je vektorsko polje a definisano i neprekidno u oblasti
G ⊂ R3 i neka je S deo po deo glatka zatvorena povrˇs u oblasti G. Neka je
3.6. FORMULA GAUS–OSTROGRADSKOG
115
n jediniˇcni vektor normale koji odred¯uje orijentaciju povrˇsi S. Integral
∫∫
a · n dS
S
naziva se protok ili fluks vektorskog polja a po povrˇsi S.
Uz oznaku dS = ndS, vaˇzi
∫∫
∫∫
∫∫
a · n dS =
a dS =
(P cos α + Q cos β + R cos γ) dS.
S
S
S
Definicija 3.5.6. Vektorsko polje a je solenoidno u oblasti G ako je protok
tog polja po ma kojoj deo po deo glatkoj zatvorenoj povrˇsi u G jednak nuli.
3.6
Formula Gaus–Ostrogradskog
Neka je G merljiva oblast u R2 . Na skupu G neka su definisane deo po
deo glatke povrˇsi: S1 = {r1 = r1 (u, v) : (u, v) ∈ G} i S2 = {r2 = r2 (u, v) :
(u, v) ∈ G}. Pretpostavimo da za svako (u, v) ∈ G vaˇzi: r1 (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z1 (u, v))
i r2 (u, v) = r2 (x(u, v), y(u, v), z2 (u.v)) i z1 (u, v) ≤ z2 (u, v). Time je obezbed¯eno
da se povrˇs S1 i S2 nalaze jedna ispod druge. Na taj naˇcin je mogu´ce formirati
nepravilan ”cilindar“, ’ˇcije su ”baze“ povrˇsi S1 i S2 , a izvodnice su paralelne
z-osi. Omotaˇc cilindra je povrˇs koju oznaˇcavamo sa S3 . Dobijena povrˇs
S = S1 + S2 + S3 je elementarna povrˇs u odnosu na z-osu, a ”cilindar“ je
elementarna oblast u odnosu na z-osu. Povrˇs S neka je orijentisana spolja
(u odnosu na cilindar). Analogno se mogu razmatrati povrˇsi elementarne u
odnosu na bilo koju osu.
Teorema 3.6.1. (Gaus–Ostrogradski) Neka su funkcije P , Q i R definisane
i neprekidne zajedno sa parcijalnim izvodima ∂P
, ∂Q
i ∂R
u zatvorenju G
∂z
∂y
∂z
3
oblasti G ⊂ R . Pretpostavimo da se oblast G moˇze prikazati kao unija
elementarnih oblasti u odnosu na sve tri ose. Neka je S + rub oblasti G
orijentisan spolja u odnosu na G. Tada vaˇzi formula
)
∫∫∫ (
∫∫
∂Q ∂R
∂P
+
+
dx dy dz =
P dy dz + Q dz dx + R dx dy
∂x
∂y
∂z
G
S+
∫∫
=
(P cos α + Q cos β + R cos γ)dS.
S
ˇ
GLAVA 3. POVRSINSKI
INTEGRALI
116
Drugim reˇcima, ako je a = (P, Q, R) vektorsko polje, tada vaˇzi
∫∫∫
∫∫
div a dx dy dz =
a dS.
G
S
Prema tome, trojni integral divergencije vektorskog polja a u merljivoj oblasti
G jednak je protoku tog polja kroz rub oblasti G (koja je deo po deo glatka
povrˇs).
Dokaz. Teoremu dokazujemo u sluˇcaju kada je G elementarna oblast u
odnosu na sve tri ose. Neka je skup G elementaran u odnosu na z-osu.
Tada postoje povrˇsi S1 i S2 , tako da je S1 ”ispod“ S2 . Omotaˇc cilindra
je povrˇs S3 . Neka je D projekcija povrˇsi S1 (i S2 ) na Oxy ravan. Postoje
neprekidno diferencijabilne funkcije φ1 (x, y) i φ2 (x, y) na skupu D, tako da
je Si = {(x, y, φi (x, y)) : (x, y) ∈ D}, i = 1, 2, pri ˇcemu je φ1 (x, y) < φ2 (x, y)
za svako (x, y) ∈ D. Svaka normala na povrˇs S3 je normala na z osu i stoga
je
∫∫
R dx dy = 0.
S3+
Sada vaˇzi
∫∫∫
φ∫
2 (x,y)
∫∫
∂R
∂R
dx dy dz =
dx dy
dz
∂z
∂z
G
D
φ1 (x,y)
∫∫
∫∫
=
R(x, y, φ2 (x, y)) dx dy −
R(x, y, φ1 (x, y)) dx dy
∫D∫
=
∫∫
R dx dy +
S2+
odnosno
∫D∫
R dx dy +
S1+
∫∫∫
G
∂R
dx dy dz =
∂z
R dx dy,
S3+
∫∫
R dx dy.
S+
Koriste´ci elementarnost u odnosu na preostale dve ose, lako se pokazuje da
vaˇzi
∫∫∫
∫∫
∂Q
dx dy dz =
Q dz dx
∂y
G
S+
3.6. FORMULA GAUS–OSTROGRADSKOG
∫∫∫
i
∂P
dx dy dz =
∂x
117
∫∫
P dx dy.
S+
G
Sabiranjem ovih jednakosti dobija se traˇzena formula.
Ako je oblast G unija konaˇcno mnogo oblasti elementarnih u odnosu na
sve tri koordinatne ose, onda treba primeniti upravo pokazanu formulu na
sve elementarne oblasti, a na kraju sabrati dobijene integrale.
Formula Gausa–Ostrogradskog moˇze biti dokazana i za oblasti opˇstije od
unije elementarnih oblasti. Teoremu navodimo bez dokaza.
Teorema 3.6.2. (Gaus–Ostrogradski) Neka je vektorsko polje a = (P, Q, R)
neprekidno zajedno sa izvodima ∂P
, ∂Q , ∂R
u zatvorenju G neke oblasti G ⊂
∂x ∂y
∂z
3
R . Neka je rub oblasti G spolja orijentisana deo po deo glatka zatvorena
povrˇs S. Tada vaˇzi formula
∫∫∫
∫∫
div a dx dy dz =
adS.
Primer 3.6.1. Izraˇcunati integral I =
∫∫
S
−x2 z dy dz + y dz dx + 2 dx dy, ako
S+
je S + spolja orijentisan omotaˇc skupa G, G je deo elipsoida 4x2 +y 2 +4z 2 = 4
u prvom oktantu.
Reˇsenje. Prema formuli Gaus–Ostrogradskog, vaˇzi
∫∫∫
I=
(−2xz + 1) dx dy dz.
G
Deo elipsoida je dat sa: x2 +
sfernu smenu:
( y )2
2
+ z 2 = 22 , x, y, z ≥ 0. Uvodimo uopˇstenu
x = r cos φ sin ψ, y = 2r sin φ sin ψ, z = r cos ψ,
φ ∈ (0, π/2), ψ ∈ (0, π/2), r ∈ (0, 1), |J| = 2r2 sin ψ.
Traˇzeni integral jednak je
∫π/2 ∫π/2 ∫1
π
4
I = 2 dφ dψ (−2r2 cos φ sin ψ cos ψ + 1)r2 sin ψdr = − .
3 15
0
0
0
ˇ
GLAVA 3. POVRSINSKI
INTEGRALI
118
Primer 3.6.2. Izraˇcunati integral
∫∫
(y − z) dy dz + (z − x) dx dz + (x −
S+
y) dx dy, gde je S + spoljna strana konusa x2 + y 2 = z 2 , 0 ≤ z ≤ h.
Reˇsenje. Dati konus nije rub ni jednog skupa u R3 . Stoga, zatvorimo ovaj
konus delom ravni z = h, koja je unutar konusa. Deo ravni oznaˇcimo sa S1 ,
a dobijeni skup u R3 (kupu) oznaˇcimo sa G. Tada je S2 = S + S1 rub skupa
G. Prema formuli Gaus–Ostrogradskog, vaˇzi
∫∫
(y − z) dy dz + (z − x) dx dz + (x − y) dx dy =
S2+
∫∫∫
=
(Px + Qy + Rz ) dx dy dz = 0.
G
Prema tome,
∫∫
(y − z) dy dz + (z − x) dx dz + (x − y) dx dy
I=
S+
∫∫
=−
(y − z) dy dz + (z − x) dx dz + (x − y) dx dy.
S1+
Poslednji integral se izraˇcunava po definiciji. Na povrˇsi S1 je z = h, odakle
sledi dz = 0 i
∫
I = − (x − y) dx dy.
S1+
Parametarske jednaˇcine povrˇsi S1 su
x = r cos φ, y = r sin φ, z = h, r ∈ (0, h), φ ∈ (0, 2π).
D(x, y) D(r, φ) = r
Sledi
i
∫2π
I=−
∫h
r2 (cos φ − sin φ)dr = 0.
dφ
0
0
3.6. FORMULA GAUS–OSTROGRADSKOG
119
Merljiva oblast G ⊂ R3 je dopustiva, ako se u njoj moˇze primeniti formula Gaus-Ostrogradskog za proizvoljno neprekidno diferencijabilno vektorsko polje na skupu G. Neka je G dopustiva oblast u R3 i rub oblasti
G je S = rG je deo po deo glatka povrˇs. Posmatra se vektorsko polje
a = (x, y, z) na skupu G. Na osnovu formule Gausa–Ostrogradskog sledi
formula za izraˇcunavanje zapremine oblasti G:
∫∫
1
x dy dz + y dz dx + z dx dy.
(3.4)
m(G) =
3
S
Neka su f i g ograniˇcene i integrabilne funkcije na merljivom skupu G,
tako da je A ≤ f (x) ≤ B i g(x) ≥ 0 za svako x ∈ G. Tada oˇcigledno vaˇze
nejednakosti:
∫
∫
∫
gdx ≤
A
G
f gdx ≤ B
G
gdx.
G
Postoji neki broj C ∈ [A, B] tako da vaˇzi
∫
∫
f gdx = C g dx.
G
G
U sluˇcaju kada je f neprekidna funkcija na prosto povezanom kompaktu G,
tada f dostiˇze svoj minimum i maksimu na G. Postoje taˇcke x1 , x2 ∈ G,
tako da je
A = min f (x) = f (x1 ),
B = max f (x) = f (x2 ).
x∈G
x∈G
Obzirom da je G prosto povezan, sledi da postoji kontura γ: x = x(t),
t ∈ [a, b], tako da je x(a) = A, x(b) = B i γ ⊂ G. Iz neprekidnosti realne
funkcije t 7→ f (x(t)) na segmentu [a, b] i A ≤ C ≤ B, sledi da postoji taˇcka
t0 ∈ [a, b], tako da je f (x(t0 )) = C. Ako je x(t0 ) = ξ 0 , onda vaˇzi
∫
∫
f gdx = f (ξ 0 ) gdx.
(3.5)
G
G
Poslednji rezultat se naziva teorema o srednjoj vrednosti za viˇsestruke integrale.
120
ˇ
GLAVA 3. POVRSINSKI
INTEGRALI
Neka je sada G dopustiva oblast u R3 i a neprekidno diferencijabilno
vektorsko polje u G. Neka je M0 ∈ G. Tada postoji kugla sa centrom u
M0 polupreˇcnika d, koja je sadrˇzana u skupu G. Rub kugle Kd je spolja
orijentisana sfera Sd . Prema teoremi o srednjoj vrednosti za integrale, sledi
da postoji neka taˇcka M ∈ Kd tako da vaˇzi
∫∫
a · dS
div a(M ) =
Sd
m(Kd )
.
Ako d → 0, zbog neprekidnosti funkcije polja a sledi
∫∫
a · dS
div a(M0 ) = lim
d→0
Sd
m(Kd )
.
(3.6)
U prethodnoj formuli se umesto kugle Kd moˇze uzeti bilo koja dopustiva
oblast D, sa svojstvom M0 ∈ D ⊂ G i dijametar oblasti D teˇzi nuli:
∫∫
a · dS
rD
div a(M0 ) =
lim
.
(3.7)
diam(D)→0 m(D)
Na ovaj naˇcin se pokazuje da je pojam divergencije vektorskog polja mogu´ce
uvesti pomo´cu graniˇcnih vrednosti oblika (3.7).
Oblast G je zapreminski prosto povezana, ako za svaku deo po deo glatku
povrˇs S bez ruba, koja je sadrˇzana u G, sledi da je i oblast D, koju ograniˇcava
povrˇs S, sadrˇzana u G, odnsono D ⊂ G. Na primer, oblast koja se nalazi
izmed¯u dve koncentriˇcne sfere nije zapreminski jednostruko povezana.
Teorema 3.6.3. Neka je vektorsko polje a neprekidno diferencijabilno u zapreminski jednostruko povezanoj oblasti G. Polje a je solenoidno, ako i samo
ako div a(M ) = 0 za svako M ∈ G.
Dokaz. Neka je polje a solenoidno, odnosno protok vektorskog polja a po
ma kojoj deo po deo glatkoj zatvorenoj povrˇsi S (S ⊂ G) jeste nula. Neka
je M0 ∈ G proizvoljna taˇcka, neka je Kd kugla sa centrom u M0 i Kd ⊂ G.
Prema fomruli (3.6) sledi da je div(M0 ) = 0. U ovom delu se ne pretpostavlja
zapreminksa povezanost oglasti G.
Neka je div M = 0 za svako M ∈ G. Neka je S proizvoljna deo po deo
glatka zatvorena povrˇs u G. Tada povrˇs S ograniˇcava oblast D. Oblast je G
zapreminski jednostruko povezana, te je D ⊂ G. Primenom formule Gaus–
Ostrogradskog na oblast D i povrˇs S sledi da je protok polja a kroz povrˇs S
jendak nuli. Prema tome, polje a je solenoidno.
3.7. FORMULA STOKSA
3.7
121
Formula Stoksa
Neka je D merljiva oblast u R2 promenljivih u i v. Rub oblasti D je pozitivno
orijentisana (u odnosu na D) kontura γ: u = u(t), v = v(t), t ∈ [a, b]. Na
skupu D definisana je neprekidno diferencijabilna (ili deo po deo glatka) povrˇs
S = {r = r(u, v) : (u, v) ∈ D}. Rub povrˇsi S je kontura Γ: x = x(u(t), v(t)),
y = y(u(t), v(t)), t ∈ [a, b], koja je orijentisana saglasno orijentaciji krive
γ. Povrˇs S je orijentisana saglasno orijentaciji krive γ, odnosno jediniˇcni
×rv
vektor normale povrˇsi je n = |rruu ×r
. Vektorsko polje a = (P, Q, R) neka je
v|
neprekidno diferencijabilno na povrˇsi S.
Teorema 3.7.1. (Stoks) Pod prethodno navednim uslovima, vaˇzi formula
∫
∫∫
a · dr =
Γ+
rot a dS,
S
odnosno cirkulacija vektorskog polja a duˇz konture Γ jednaka je protoku tog
polja kroz ma koju do po deo glatku povrˇs S, ˇciji je rub kriva γ, a povrˇs je
orijentisana saglasno orijentaciji krive Γ.
Drugim reˇcima, vaˇzi
∫
Γ+
∫ ∫ cos α cos β cos γ ∂
∂
∂ P dx + Q dy + R dz =
∂y
∂z dS,
∂x
P
Q
R S
gde su α, β, γ uglovi koje vektor normale n zaklapa sa pozitivnim delovima x,
y i z koordinatnih osa.
Dokaz. Podse´camo da je γ pozitivno orijentisana kontura koja ograniˇcava
ˇ
GLAVA 3. POVRSINSKI
INTEGRALI
122
oblast D. Tada da vaˇzi
∫
P dx =
Γ+
∫b
=
P [x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))]x′t (u(t), v(t))dt
a
∫b
P · (xu ut + xv vt ) dt
=
∫a
P · (xu du + xv dv).
=
γ+
Primenom Grinove formule na poslednji izraz, sledi
)
(
)]
∫
∫ [ (
∂
∂x
∂
∂x
P dx =
P
−
P
dudv
∂u
∂v
∂v
∂u
D
γ+
∫
= [(Px xu + Py yu + Pz zu ) xv
D
+P xuv − (Px xv + Py yv + Pz zv ) xu − P xvu ] dudv
]
∫∫ [
D(z, x)
D(x, y)
=
Pz
− Py
dudv
D(u, v)
D(u, v)
∫D∫
∫∫
=
Pz dz dx −
Py dx dy
+
S+
∫S ∫
(Pz cos β − Py cos γ) dS.
=
S
Analogno se dokazuju formule
∫
∫∫
Q dy =
(Qx cos γ − Qz cos α) dS
Γ+
∫S∫
∫
(Ry cos α − Rx cos β) dS.
R dz =
γ+
S
3.7. FORMULA STOKSA
123
Sabiranjem polsednje tri jednakosti dobija se traˇzeni rezultat.
Primer 3.7.1. Data je sfera x2 + y 2 + z 2 = 1 i paraboloid z = x2 + y 2 .
Presek sfere i paraboloida je kontura γ. Dato je vektorsko polje a = (y, x2 , z).
Proveriti formulu Stoksa.
Reˇsenje. Uvodimo cinlindriˇcne koordinate:
x = r cos φ, y = r sin φ, z = ξ, r > 0, φ ∈ (0, 2π), ξ ∈ R.
Zbog uslova z ≥ 0 sledi ξ ≥ 0. U novim kordinatama jednaˇcina sfere je
r2 + ξ 2 = 1, a jednaˇcina elipsoida je r2 = ξ.
Kontura γ je presek sfere i paraboloida, odakle sledi da se ξ za konturu
γ√dobija kao poziitvno reˇsenje jednaˇcine ξ 2 + ξ − 1 = 0. Prema tome, ξ =
5−1
. Parametarske jednaˇcine konture γ su
2
√√
√√
√
5−1
5−1
5−1
x=
cos φ, y =
sin φ, z =
, φ ∈ [0, 2π].
2
2
2
√
5−1
Sledi da je γ kruˇzica u ravni z =
, pozitivno orijentisana posmatrana
2
odozgo. Stoga je
∫
I1 = y dx + x2 dy + z dz
γ+
(√
)3/2 ∫2π
√
∫2π
5−1
5
−
1
(− sin2 φ)dφ +
=
cos3 φdφ
2
2
0
0
√
5−1
= −π
.
2
Neka je S1 deo paraboloida koji je unutar sfere. Orijentisana je gornja
strana paraboloida, kako bi bila u skladu sa orijentacijojm konture γ. Sada
je
cos α cos β cos γ ∂
∂
∂ ∂y
∂z = (2x − 1) cos γ.
∂x
y
x2
z ˇ
GLAVA 3. POVRSINSKI
INTEGRALI
124
Parametarske jednaˇcine povrˇsi S1 jesu
 √

√
5−1 
.
x = r cos φ, y = r sin φ, z = r2 , φ ∈ [0, 2π], r ∈ 0,
2
Prema tome,
∫∫
∫ ∫ cos α cos β cos γ ∂
∂
∂ (2x − 1) cos γ dS.
I2 =
∂y
∂z dS =
∂x
2
y
x
z
S1
S1
D(x, y) = r.
cos γ = D(r, φ) Vaˇzi
Sada je
√√
∫2π
I2 =
∫
dφ
0
5−1
2
√
5−1
r(2r cos φ − 1)dr = −π
.
2
0
Neka je S3 deo sfere unutar paraboloida. Orijentisana je gornja strana
sfere, kako bi bila u skladu sa orijentacijom krive γ + . Parametarske jednaˇcine
povrˇsi S2 jesu:
x = cos φ sin ψ, y = sin φ sin ψ, z = cos ψ, φ ∈ [0, 2π], ψ ∈ [0, ψ0 ],
gde je ψ0 ∈ [0, π/2] takav broj sa svojstvom sin2 ψ0 = cos ψ0 . Broj ψ0 se
dobija iz uslova preseka sfere i paraboloida. Sada je
D(x, y) = sin ψ cos ψ.
cos γ = D(φ, ψ) Vaˇzi
∫ ∫ cos α cos β cos γ ∂
∂
∂ I3 =
∂y
∂z dS
∂x
2
y
x
z S
∫ 3∫
=
(2x − 1) cos γdS
S3
∫2π
=
0
∫ψ0
dφ (2 cos φ sin ψ − 1) sin ψ cos ψ dψ
0
= −π sin2 ψ0 = −π cos ψ0 .
3.7. FORMULA STOKSA
125
Uslov sin2 ψ0 = cos ψ0 je ispunjen ako√i samo ako vaˇzi cos2 ψ0 +cos ψ0 −1 = 0,
5−1
. Na kraju,
odnosno ako i samo ako je cos ψ0 =
2
√
5−1
.
I3 = −π
2
Vaˇzi I1 = I2 = I3 , ˇcime je pokazano da vaˇzi formula Stoksa.
∫
Primer 3.7.2. Izraˇcunati integral I = (y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz,
γ
ako je γ presek cilindra x2 + y 2 = 1 i ravni x + z = 1, orijentisana pozitivno
posmatrano sa pozitivnog dela x-ose.
Reˇsenje. Uvod¯enjem cilindriˇcnih koordinata, lako se proverava da je jednaˇcina
krive, sa traˇzenom orijentacijom, data kao
x = r cos φ, y = r sin φ, z = 1 − r cos φ, φ ∈ (0, 2π), r ∈ (0, 1).
cos α cos β cos γ ∂
∂
∂ ∂x
∂y
∂z
= −2(cos α + cos β + cos γ).
y − z z − x x − y Vaˇzi
Pri tome je
cos α = cos γ = r, cos β = 0.
Prema Stoksovoj formuli, vaˇzi
∫2π
∫
(cos α + cos β + cos γ)dS = −2
I = (−2)
2rdr = −4π.
dφ
0
S
∫1
0
Neka je u oblasti G ⊂ R3 definisano neprekidno diferencijabilno vektorsko
polje a, neka je M0 ∈ G i neka je n jediniˇcni vektor. Ravan π neka sadrˇzi
M0 i normalna je na n. U ravni π neka je S merljiva oblast koja sadrˇzi M0 ,
S ⊂ G, tako da je rub oblasti S u ravni π kontura γ. Pretpostavimo da je γ
orijentisana pozitivno u odnosu na onu stranu oblasti S koja je orijentisana
vektorom n. Na osnovu Stoksove formule vaˇzi
∫
∫∫
a · dr =
(rot a · n)dS.
γ+
S
ˇ
GLAVA 3. POVRSINSKI
INTEGRALI
126
Primenom formule o srednjoj vrednosti integrala, sledi da vaˇzi
∫∫
(rot a · n)dS = (rot a · n)(M ) · m(S),
S
gde je S ∈ M i m(S) je povrˇsina oblasti S. Prelaskom na graniˇcnu vrednost
kada dijametar oblasti S teˇzi nuli i koriste´ci neprekidnost funkcije rot a · n,
sledi formula
∫
a · dr
rotn a(M0 ) =
lim
diam(S)→0
γ+
m(S)
.
(3.8)
Ovde je rot a · n = rotn a projekcija rotora vektorskog polja a na jediniˇcni
vektor n. Prethodna formula omogu´cava definiciju rotora vektorskog polja
preko graniˇcne vrednosti oblika (3.8).
Povrˇs S je dopustiva, ako je rub povrˇsi S neka kontura, tako da se za
proizvoljno neprekidno diferencijabilno vektorsko polje na povrˇsi S moˇze primeniti Stoksova formula. Oblast G ⊂ R3 je povrˇsinski jednostruko povezana,
ako za svaku konturu γ ⊂ G postoji dopustiva povrˇs S tako da je S ⊂ G i
rS = γ. Na primer, torus nije jednostruko povrˇsinski povezana oblast. Moˇze
se pokazati da je svaka konveksna oblast povrˇsinski jednostruko povezana.
Teorema 3.7.2. Neka je vektorsko polje a neprekidno diferencijabilno u
povrˇsinski jednostruko povezanoj oblasti G ⊂ R3 . Tada su slede´ca tvrd¯enja
ekvivalentna:
∫
(1) a · dr = 0 za svaku konturu γ sadrˇzanu u G.
γ+
(2) Polje a je potencijalno, odnosno postoji potencijal U (x, y, z) polja a
.U tom sluˇcaju je
∫
adr = U (B) − U (A),
(AB)
gde je (AB) bilo koja kriva u G koja spaja A i B.
(3) rotν a(M ) = 0 za svaku taˇcku M ∈ G, odnosno polje a je bezvrtloˇzno.
Dokaz. Ekvivalencija tvrd¯enja (1) i (2) dokazuje se na potpuno isti naˇcin
kao u dvodimenzionalnom sluˇcaju. Implikacija (1) =⇒ (3) sledi na osnovu
formule (3.8). Implikacija (3) =⇒ (1) sledi na osnovu Stoksove formule.
Glava 4
Parametarski integrali
4.1
Funkcija gornje granice
Neka je data funkcija f : [a, b] → R. Definiˇsemo funkciju gornje granice
integrala na slede´ci naˇcin:
∫x
F (x) = f (t)dt,
a
za one vrednosti x ∈ [a, b] za koje postoji prethodni integral. Dokazujemo
vaˇzan rezultat o neprekidnosti i diferencijabilnosti funkcije F .
Teorema 4.1.1. (1) Ako je funkcija f integrabilna na [a, b], onda je funkcija
F neprekidna na [a, b].
(2) Ako je funkcija f neprekidna na [a, b], onda je funkcija F diferencijabilna na [a, b] i F ′ (x) = f (x) za svako x ∈ [a, b].
Dokaz. (1) Pretpostavimo da je f integrabilna na [a, b]. Tada je funkcija f
ograniˇcena na [a, b], te postoji M > 0, tako da za svako t ∈ [a, b] vaˇzi |f (t)| ≤
M . Neka je x ∈ [a, b], i neka je ∆x realan broj, tako da je x + ∆x ∈ [a, b].
Tada je
x+∆x
x+∆x
∫
∫
∫x
f (t)dt
f (t)dt − f (t)dt = |F (x + ∆x) − F (x)| = x
a
a
x+∆x x+∆x
∫
∫
|f (t)|dt ≤ M ≤ dt = M · |∆x| .
x
x
127
128
GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI
Sledi lim f (x + ∆x) = f (x), te je funkcija f neprekidna u taˇcki x. Kako je
∆x→0
x ∈ [a, b] proizvoljna taˇcka, proizilazi da je f neprekidna na [a, b].
(2) Pretpostavimo da je f neprekidna, samim tim i integrabilna na [a, b].
Neka je x ∈ [a, b], i neka je ∆x realan broj tako da je x + ∆x ∈ [a, b]. Neka
je ϵ > 0 proizvoljan broj. Na osnovu neprekidnosti funkcije f u taˇcki x, sledi
da postoji δ > 0, tako da ako je |t − x| < δ, odna je |f (t) − f (x)| < ϵ. Neka
je, dakle, |∆x| < δ. Tada je
x+∆x
x+∆x
∫
∫
F (x + ∆x) − F (x)
1
1
f (t)dt −
f (x)dt
− f (x) = ∆x
∆x
∆x
x
x
x+∆x
∫
1 ≤
|f (t) − f (x)|dt ≤ ϵ.
|∆x| x
Proizilazi da je funkcija F diferencijabilna u taˇcki x, kao i F ′ (x) = f (x).
4.2
Svojstveni parametarski integrali
Neka je X ⊂ Rn , i neka je Y ⊂ Rm . Funkcija f : X × Y → R je funkcija
dve promenljive, i to x ∈ X i y ∈ Y . Pretpostavimo da je∫X merljiv skup
u Rn , i pretpostavimo da za svako y ∈ Y postoji integral f (x, y)dx. Pri
X
tome, izraz dx u prethodnon integralu oznaˇcava da se integrali u domenu
promenljive x = (x1 , . . . , xn ), odnosno dx ≡ dx1 · · · dxn . Tada prethodni
integral jeste funkcija promenljive y, odnosno
∫
I(y) = f (x, y)dx
(4.1)
X
je svojstveni parametarski integral, pri ˇcemu je, naravno, y ∈ Y parametar.
U mnogim primenama parametarskih integrala, od interesa je prona´ci
naˇcin za izraˇcunavanje graniˇcne vrednost, izvoda ili integrala nekog parametarskog integrala. Preciznije, potrebno je utvrditi pod kojim uslovima
integral moˇze zameniti mesto sa graniˇcnom vrednoˇs´cu, izvodom ili integralom
funkcije.
Prvo razmatramo graniˇcnu vrednost funkcije F definisane formulom (4.1).
Neka je y0 je taˇcka nagomilavanja skupa Y . Funkcija (x, y) 7→ f (x, y) je
4.2. SVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI
129
definisana na skupu X × Y , a funkcija x 7→ φ(x) neka je definisana na skupu
X.
Funkcija f (x, y) ravnomerno konvergira ka funkciji φ(x) na skupu X (ili
po x ∈ X) kada y → y0 , ako:
(∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ X)(∀y ∈ Y )(∥y − y0 ∥ < δ =⇒ |f (x, y) − φ(x)| < ϵ.
x∈X
Oznaka je f (x, y) ⇒ φ(x), y → y0 .
x∈X
Ako je f (x, y) ⇒ φ(x), y → y0 , onda je lim f (x, y) = φ(x) za svako
y→y0
x ∈ X. Obrnuta implikacija ne vaˇzi u opˇstem sluˇcaju.
Teorema 4.2.1. Neka je X ⊂ Rn merljiv skup, Y ⊂∫ Rm , i neka je funkcija
f : X × Y takva, da za svako y ∈ Y postoji integral f (x, y)dx. Neka je y0
X
taˇcka nagomilavanja skupa Y . Ako funkcija f (x, y) ravnomerno konvergira
ka funkciji φ(x) po x ∈ X kada y → y0 , tada je φ(x) integrabilna funkcija
na skupu X i vaˇzi
∫
∫
∫
lim
f (x, y)dx =
lim f (x, y)dx = φ(x)dx.
y→y0
y→y0
X
X
X
Dokaz. Skup X je merljiv, te je mn (X) < ∞. Neka je ϵ > 0. Na osnovu
x∈X
f (x, y) ⇒ φ(x) kada y → y0 , sledi da postoji δ > 0, tako da za svako
x ∈ X i svako y ∈ Y vaˇzi implikacija:
ϵ
∥y − y0 ∥ < δ =⇒ |f (x, y) − φ(x)| <
.
3 · mn (X)
Neka je stoga y ∈ Y∫ i ∥y − y0 ∥ < δ.
Postoji integral f (x, y)dx. Stoga postoji podela T = {Gj }kj=1 skupa X,
X
tako da se gornja i donja Darbuova suma funkcije f (u odnosu na podelu T ,
kao i u odnosu na odabranu taˇcku y) razlikuju za manje od 3ϵ . Neka je (za
ve´c odabrano y ∈ Y ) i svako j ∈ {1, . . . , k}:
mφj = inf φ(x), Mjφ = sup φ(x), mfj = inf f (x, y), Mjf = sup f (x, y).
x∈X
x∈X
x∈X
U skladu sa uvedenim oznakama, vaˇzi
k
∑
x∈X
(Mjf − mfj )mn (Gj ) < 3ϵ .
j=1
130
GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI
Procenjujemo razliku gornje i donje Darbuove sume funkcije φ u odnosu
na podelu T :
k
k
k
∑
∑
∑
φ
φ
φ
f
(M
−
m
)m
(G
)
≤
|M
−
M
|m
(G
)
+
(Mjf − mfj )mn (Gj )
n
j n
j
j
j
j
j
j=1
j=1
+
k
∑
j=1
|mfj − mφj |mn (Gj )
j=1
∑
∑
ϵ
ϵ
ϵ
mn (Gj ) + +
mn (Gj ) = ϵ.
3 · mn (X) j=1
3 3 · mn (X) j=1
k
≤
k
Na taj naˇcin je dokazana integrabilnost funkcije φ na skupu X.
Joˇs jednom, neka je y ∈ Y i ∥y − y0 ∥ < δ. Tada vaˇzi procena
∫
∫
∫
f (x, y)dx − φ(x)dx ≤ |f (x, y) − φ(x)| dx ≤ ϵ .
3
X
X
X
Time je dokazano tvrd¯enje teoreme.
U nekim situacijama korisno je primeniti Teoremu Dinija1 za utvrd¯ivanje
ravnomerne konvergencije niza funkcija.
Teorema 4.2.2. (Dini) Neka je K kompaktan skup u Rm , neka je (fn )n niz
realnih neprekidnih funkcija koje su definisane na K, i neka je f : K → R
takod¯e realna neprekidna funkcija na K. Pretpostavimo da vaˇze slede´ca dva
uslova:
(1) fn (x) ≤ fn+1 (x) za svako x ∈ K i svako n ∈ N;
(2) lim fn (x) = f (x) za svako x ∈ K.
n→∞
x∈K
Tada je fn ⇒ f kada n → ∞.
Dokaz. Neka je ϵ > 0, i za svako n ∈ N neka je gn = f − fn . Funkcije fn
i f su neprekidne, te su i funkcije gn neprekidne. Skup E = (−epsilon, +ϵ)
je otvoren u R, pa je skup Fn = gn−1 (E) = {x ∈ K : f (x) − fn (x) < ϵ}
otvoren u Rm . Niz (fn )n je rastu´ci, te je niz (gn )n opadaju´ci. Prema tome,
mora biti Fn ⊂ Fn+1 . Na osnovu lim fn (x) = f (x) za svako x ∈ K, sledi da
n→∞
1
Ulisse Dini (1845-1918), italijanski matematiˇcar
4.2. SVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI
je K ⊂
∞
∪
131
Fn . Skup K je kompaktan, pa proizilazi da prethodno otvoreno
n=1
pokrivanje skupa K moˇze biti svedeno na konaˇcno pokrivanje. Dakle, K ⊂
F1 ∪· · ·∪Fl = Fl . Neka je sada n ≥ l i x ∈ K. Tada je x ∈ Fl i f (x)−fn (x) <
x∈K
ϵ. Time je dokazano fn ⇒ f .
Teorema Dinija moˇze biti dokazana analogno u sluˇcaju opadaju´ceg niza
funkcija.
Dokazujemo rezultat o neprekidnosti funkcije F .
Teorema 4.2.3. Neka je X ⊂ Rn kompaktan i merljiv, i neka je Y ⊂ Rm
kompaktan skup. Ako je funkcija (x, y) 7→ f (x, y) neprekidna na X × Y ,
tada funkcija F postoji i ona je ravnomerno neprekidna na Y .
Dokaz. Za svako y ∈ Y funkcija x 7→ f (x, y) je neprekidna na kompaktnom
i merljivom skupu X, te je ova funkcija integrabilna na X. Stoga postoji
funkcija F . Prema pretpostavkama teoreme, skup X × Y mora biti kompaktan. Funkcija f je neprekidna na kompaktu X × Y , te je funkcija f
ravnomerno neprekidna na ovom skupu. Skup X je merljiv, te je mn (X) <
∞. Neka je ϵ > 0. Postoji δ > 0, tako da za svako x ∈ X i svako y1 , y2 ∈ Y
vaˇzi implikacija:
d(x, y1 ) − d(x, y2 ) < δ =⇒ |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| <
ϵ
.
mn (X)
Imaju´ci u vidu osobine Eukolidove metrike u Rn+m , prethodna implikacija je
ekvivalentna slede´coj:
∥y1 − y2 ∥ < δ =⇒ |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| < ϵ.
Neka je stoga ∥y1 − y2 ∥ < δ. Tada je
∫
∫
|F (y1 ) − F (y2 )| = f (x, y1 ) − f (x, y2 )dx ≤ |f (x, y1 ) − f (x, y2 )|dx
X
X
ϵ
.
≤
mn (X)
Time je dokazana ravnomerna neprekidnost funkcije F na skupu Y .
Jednostavno je dokazati rezultat za integraljenje svojstvenog parametarskog integrala.
132
GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI
Teorema 4.2.4. Ako je funkcija f (x, y) neprekidna na skupu K = X × Y ,
gde su X ⊂ Rn i Y ⊂ Rm merljivi i kompaktni skupovi, onda je
∫
∫
∫
∫
dy f (x, y)dx = dx f (x, y)dy.
Y
X
X
Y
Dokaz. Pod uslovima teoreme, skup K je merljiv i kompaktan u Rn+m .
Prema
Fubinijevoj teoremi, oba posmatrana integrala su jednaka integralu
∫∫
f (x, y)dxdy.
K
Na kraju, ispitujemo uslove diferencijabilnosti svojstvenog parametarskog
integrala.
Teorema 4.2.5. Neka je X merljiv kompakt u Rn , neka je Y = [c, d] ⊂ R, i
neka je data neprekidna funkcija f : X × Y → R, tako da je parcijalni
izvod
∫
∂f (x,y)
neprekidan
na
skupu
K
=
X
×Y
.
Tada
je
funkcija
F
(y)
=
f
(x,
y)dx
∂y
X
neprekidno diferencijabilna po y ∈ [c, d], i pri tome je
d
F (y) =
dy
′
∫
∫
f (x, y)dx =
X
∂f (x, y)
dx,
∂y
y ∈ [c, d].
X
Dokaz. Neka je y ∈ [c, d] proizvoljna taˇcka. Primenimo prethodnu teoremu
na funkciju ∂f
na merljivom kompaktu K1 = X × [c, y]. Sada vaˇzi
∂y
∫y
∫
dη
c
∂f (x, η)
dx =
∂y
∫
dx
∫
X
X
∫y
∂f (x, η)
dη
∂y
c
f (x, y)dx − C1 ,
=
(4.2)
(4.3)
X
gde je C1 =
∫
f (x, c)dx. Skup K je kompaktan, a funkcija
X
na K. Stoga je
∂f
∂y
∂f
∂y
je neprekidna
ravnomerno neprekidna na K. Prema tome, funkcija
∫
φ(η) =
X
∂f (x, η)
dx
∂y
4.2. SVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI
133
je (ravnomerno) neprekidna po η ∈ [c, d]. Sledi
d
dy
∫y
∫
φ(η)dη = φ(y) =
c
∂f (x, η)
dx.
∂y
X
Sada formula (4.3) postaje
∫y
∫
φ(η)dη + C1 =
c
f (x, y)dx.
X
Na kraju, vaˇzi
d
dy
∫
d
f (x, y)dx =
dy
∫y
∫
φ(η)dη = φ(y) =
c
X
∂f (x, η)
dx.
∂y
X
Slede´ci rezultat je posebno interesantan za primene.
(x,y)
Teorema 4.2.6. Neka su f (x, y) i ∂f∂y
neprekidne funkcije na skupu [a, b]×
[c, d]. Neka su α(y) i β(y) diferencijabine funkcije na [c, d]. Tada je funkcija
β(y)
∫
F (y) =
f (x, y)dx
α(y)
diferencijabilna na [c, d] i pri tome vaˇzi formula
′
β(y)
∫
F (y) =
∂f (x, y)
dx + β ′ (y)f (β(y), y) − α′ (y)f (α(y), y).
∂y
α(y)
Specijalno, ako su α i β neprekidno diferencijabilne, onda je i F neprekidno
diferencijabilna.
134
GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI
Dokaz. Neka je y, y + ∆y ∈ [c, d]. Tada je


β(y+∆y)
β(y)
∫
∫
F (y + ∆y) − F (y)
1 

=
f (x, y + ∆y)dx −
f (x, y)dx

∆y
∆y
α(y+∆y)
β(y)
∫
=
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
1
dx +
∆y
∆y
α(y)
α(y
β(y+∆y)
∫
f (x, y + ∆y)dx
β(y)
1
−
∆y
α(y+∆y)
∫
f (x, y + ∆y)dx.
α(y)
Funkcije f i ∂f
su neprekidne, te na osnovu Lagranˇzove teoreme o srednjoj
∂y
vrednosti sledi da postoji taˇcka ξ1 izmed¯u y i y + ∆y, tako da je
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
∂f (x, ξ1 )
=
.
∆y
∂y
Funkcija
∂f (x,y)
∂y
je neprekidna, pa je onda
β(y)
∫
lim
∆y→0
α(y)
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
dx =
∆y
∫
β(y)
α(y)
∂f (x, y)
dx.
∂y
Funkcija f je neprekidna, pa na osnovu Teoreme o srednjoj vrednosti za
integrale, postoji ξ2 izmed¯u β(y) i β(y + ∆y), tako da vaˇzi
1
∆y
β(y+∆y)
∫
f (x, y + ∆y)dx = f (ξ2 , y)
β(y + ∆y) − β(y)
.
∆y
β(y)
Funkcija β je neprekidna, te ξ2 → β(y) kada ∆y → 0. Funkcija f je
neprekidna, a funkcija β je diferencijabilna, i stoga je
1
lim
∆y→0 ∆y
β(y+∆y)
∫
f (x, y + ∆y)dx = β ′ (y)f (β(y), y)).
β(y)
4.3. NESVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI
135
Analogno,
1
lim
∆y→0 ∆y
α(y+∆y)
∫
f (x, y + ∆y)dx = α′ (y)f (α(y), y)).
α(y)
Time je teorema dokazana.
4.3
Nesvojstveni parametarski integrali
Prametarski integral je nesvojstven, ako je domen integracije neograniˇcen
skup, ili je funkcija neograniˇcena u okolini neke taˇcke domena integracije.
Jednostavnosti radi, pretpostavljamo da su promenljive x i y realne, odnosno
njihovi domeni jesu intervali na realnoj pravoj.
Neka su ispunjeni slede´ci uslovi:
(1) −∞ < a < b ≤ +∞;
(2) funkcija f (x, y) definisana je na skupu taˇcka (x, y), gde je x ∈ [a, b),
a y ∈ Y (Y ⊂ R) je neki skup parametara;
(3) Za svako ξ ∈ [a, b) i svako y ∈ Y postoji Rimanov integral
∫ξ
f (x, y)dx;
a
(4) Za svako y ∈ Y integral
∫b
f (x, y)dx konvergira kao nesvojstveni inte-
a
gral, odnosno za svako y ∈ Y je definisana funkcija
∫ξ
∫b
F (y) ≡
f (x, y)dx.
f (x, y)dx = lim
ξ→b−0
a
a
Ako su ispunjeni svi uslovi (1)–)4), tada nesvojstveni integral F (y) =
∫b
f (x, y)
a
konvergira na skupu Y . Pri tome je taˇcka b nesvojstvena (singularna) taˇcka
tog integrala.
136
GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI
Definicija 4.3.1. Pretpostavimo da nesvojstveni integral
∫b
f (x, y)dx kon-
a
vergira na skupu Y . Nesvojstveni integral konvergira ravnomerno po parametru y ∈ Y , ako za svako ϵ > 0 postoji neko b′ ∈ [a, b), tako da za svako
ξ ∈ [b′ , b) i svako y ∈ Y vaˇzi
b
∫
f (x, y)dx < ϵ.
ξ
U definiciji obiˇcne konvergencije nesvojstvenog integrala taˇcka b′ se bira
u zavisnosti od prethodno odabrane taˇcke y ∈ Y . Prema tome, kada je u
pitanju obiˇcna konvergencija nesvojstvenog integrala, onda vaˇzi
∫b
lim
ξ→b−0
 b

∫
∫ξ
f (x, y)dy = lim  f (x, y)dx − f (x, y)dx = 0.
ξ→b−0
a
ξ
a
Sa druge strane, u definicije ravnomerne konvergencije nesvojstvenog integrala zahteva se postojanje taˇcke b′ nezavisno od izbora taˇcke y ∈ Y . Stoga,
iz ravnomerne konvergencije nesvojstvenog integrala sledi obiˇcna konvergencija tog integrala. Obrnuto tvrd¯enje u opˇstem sluˇcaju ne vaˇzi.
Ako su i taˇcka a i taˇcka b nesvojstvene taˇcke integrala F (y), i ako pri
tome nema drugih nesvojstvenih taˇcaka na intervalu (a, b), onda se ispitivanje
∫b
obiˇcne i ravnomerne konvergencije integrala f (x, y)dx svodi na istovremeno
ispitivanje konvergencije dva integrala
∫c
a
f (x, y)dx i
a
∫d
c
c < b.
Primer 4.3.1. Dokazati da integral
∫+∞
e−x cos xy dx
0
konvergira ravnomerno po parametru y ∈ (−∞, +∞).
f (x, y)dx, gde je a <
4.3. NESVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI
137
Dokaz. Za proizvoljan broj ϵ > 0 neka je b′ = ln 2ϵ . Neka su ξ ∈ [b′ , +∞) i
y ∈ R proizvoljni. Tada je
+∞
∫
∫+∞
ϵ
−x
−x
−ξ
−b′
e cos xy dy ≤
< ϵ.
e
dx
=
e
≤
e
=
2
ξ
ξ
Time je tvrd¯enje dokazano.
∫b
Ako integral f (x, y)dx konvergira na skupu Y , ali ne konvergira ravnoa
merno po parametru y ∈ Y , onda integral
∫b
f (x, y)dx konvergira neravno-
a
merno po parametru y ∈ Y . U tom sluˇcaju postoji neko ϵ > 0, tako da za
svako b′ ∈ [a, b) postoje ξ ∈ [b′ , b) i y ∈ Y , za koje vaˇzi nejednakost
b
∫
f (x, y)dx ≥ ϵ.
ξ
Primer 4.3.2. Dokazati da integral I(y) =
+∞
∫
ye−xy dx konvergira neravno-
0
merno po parametru y ∈ [0, +∞).
Dokaz. Oˇcigledno je I(0) = 0. Ako je y > 0, koriˇs´cenjem smene xy = t
proizilazi da je I(y) = 1. Odavde sledi konvergencija integrala I(y) na skupu
[0, +∞). Dokaza´cemo da konvergencija nije ravnomerna. Neka je ϵ = e−1 .
Za svako b′ ∈ (0 + ∞) neka je ξ = b′ i y = 1/b′ i
∫+∞
∫+∞
∫+∞
∫+∞
1
e−t dt = .
ye−xy dx =
ye−xy dx =
e−t dt =
e
ξ
b′
b′ y
1
Sledi da integral I(y) ne konvergira ravnomerno po parametru y na skupu
[0, +∞).
Dokazujemo Vajerˇstrasov2 kriterijuma za utvrd¯ivanje ravnomerne konvergencije nesvojstvenog integrala.
2
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), nemaˇcki matematiˇcar
138
GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI
Teorema 4.3.1. (Vajerˇstras) Pretpsotavimo da su ispunjeni slede´ci uslovi:
(1) Za svako y ∈ Y i svako b′ ∈ (a, b) funkcija f (x, y) integrabilna po
x ∈ [a, b′ ];
(2) Postoji funkcija φ : [a, b) → R takva da za svako y ∈ Y i svako
x ∈ [a, b) vaˇzi nejednakost |f (x, y)| ≤ φ(x);
∫b
(3) Nesvojstveni integral φ(x)dx konvergira.
Tada integral
∫b
a
f (x, y)dx konvergira ravnomerno po parametru y ∈ Y .
a
Dokaz. Na osnovu konvergencije integrala
∫b
φ(x)dx sledi da za svako ϵ > 0
a
postoji neki broj b′ ∈ [a, b), takav da za svako ξ ∈ [b′ , b) vaˇzi nejednakost
∫b
0 ≤ φ(x)dx < ϵ. Za svako ξ ∈ [b′ , b) i svako y ∈ Y vaˇzi nejednakost
ξ
b
∫
∫b
∫b
f (x, y)dx ≤ |f (x, y)|dx ≤ φ(x)dx < ϵ.
ξ
ξ
ξ
Ovim je pokazana ravnomerna konvergencija integrala
∫b
f (x, y)dx po parametru
a
y ∈Y.
Primer 4.3.3. Dokazati da integral
∫+∞
cos xy
dx
1 + x2
0
konvergira ravnomerno po parametru y ∈ (−∞, +∞).
Dokaz. Na osnovu nejednakosti
| cos xy|
1+x2
≤
1
1+x2
i identiteta
+∞
∫
0
dx
1+x2
=
π
,
2
prema kriterijumu Vajerˇstrasa polazni integral konvergira ravnomerno po
parametru y ∈ (−∞, +∞).
Teorema 4.3.2. Pretpostavimo da vaˇzi:
(1) Funkcija f (x, y) je neprekidna na skupu [a, b) × [c, d];
4.3. NESVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI
(2) Integral
Tada
∫b
∫b
139
f (x, y)dx konvergira ravnomerno po parametru y ∈ [c, d].
a
f (x, y)dx jeste neprekidna funkcija parametra y ∈ [c, d].
a
Dokaz. Neka je ϵ > 0 proizvoljan. Na osnovu ravnomerne konvergencije
∫b
integrala f (x, y)dx po y ∈ [c, d], sledi da postoji b′ ∈ [a, b) takav da za
a
svako y ∈ [c, d] vaˇzi nejednakost
b
∫
f (x, y)dx < ϵ .
2
′
b
Integral
∫b′
f (x, y)dx je svojstven, i stoga je ovaj integral neprekidna funkcija
a
parametra y na [c, d]. Neka je y0 ∈ [c, d]. Postoji δ > 0 takav da za svako
y ∈ [c, d] za koje je |y − y0 | < δ, vaˇzi
b′
∫
∫b′
f (x, y)dx − f (x, y0 )dx < ϵ .
2
a
a
Za svako y ∈ [c, d] za koje je |y − y0 | < δ sledi da vaˇzi
b
b′
∫
∫
∫b
∫b′
f (x, y)dx − f (x, y0 )dx ≤ f (x, y)dx − f (x, y0 )dx
a
a
a
a
b
b
∫
∫
+ f (x, y)dx + f (x, y0 )dx < ϵ.
′
′
b
Stoga, integral
b
∫b
a
f (x, y)dx je neprekidna funkcija parametra y u proizvoljnoj
taˇcki y0 ∈ [c, d].
Sada dokazujemo teoremu o integrabilnosti nesvojstvenog parametarskog
integrala.
140
GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI
Teorema 4.3.3. Pretpostavimo da vaˇzi:
(1) Funkcija f (x, y) je neprekidna na skupu [a, b) × [c, d];
∫b
(2) Integral f (x, y)dx konvergira ravnomerno po parametru y ∈ [c, d].
a
Tada vaˇzi formula
∫d
∫b
dy
c
Dokaz. Integral
∫b
∫b
f (x, y)dx =
a
∫d
dx
a
f (x, y)dy.
c
f (x, y)dx je ravnomerno konvergentan po parametru y ∈
a
[c, d], te je ovim integralom definisana neprekidna funkcija po y ∈ [c, d].
∫d ∫b
Stoga postoji integral dy f (x, y)dx. Na osnovu ravnomerne konvergencije
integrala
∫b
c
a
f (x, y)dx po y ∈ [c, d], za svako ϵ > 0 postoji neko b′ ∈ [a, b) tako
a
da za svako ξ ∈ (b′ , b) i svako y ∈ [c, d] vaˇzi nejednakost
b
∫
f (x, y)dx < ϵ .
d−c
ξ
Na osnovu Fubinijeve teoreme o promeni redosleda integracije za svojstvene
integrale, vaˇzi jednakost
∫d
∫ξ
dy
c
f (x, y)dx =
a
∫d
∫ξ
dx
a
f (x, y)dy.
c
Vaˇzi slede´ca procena:
d
d
∫
∫
∫b
∫b
∫d ∫ξ
dy f (x, y)dx − dy f (x, y)dx = dy f (x, y)dx
c
c
a
c
a
ξ


∫d ∫b
∫d
ϵ
≤  f (x, y)dx dy <
dy = ϵ.
d−c
c
ξ
c
4.3. NESVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI
141
Odavde sledi
∫ξ
lim
∫d
dx
ξ→b−0
∫b
f (x, y)dy =
a
c
∫d
dx
a
f (x, y)dy.
c
Time je teorema dokazana.
Dokaza´cemo teoremu o diferencijabilnosti nesvojstvenog parametarskog
integrala.
Teorema 4.3.4. Pretpostavimo da vaˇzi:
(x,y)
(1) Funkcije f (x, y) i ∂f∂y
su neprekidne na skupu [a, b) × [c, d];
∫b (x,y)
(2) Integral ∂f∂y
dx konvergira ravnomerno po parametru y ∈ [c, d];
a
(3) Za svako y ∈ [c, d] nesvojstveni integral
Tada je F (y) =
y ∈ [c, d] i vaˇzi
∫b
∫b
f (x, y) dx konvergira za.
a
f (x, y)dx neprekidno diferencijabilna funkcija po promenljivoj
a
d
dy
∫b
∫b
f (x, y)dx =
a
∂f (x, y)
dx.
∂y
a
Dokaz. Za proizvoljno y ∈ [c, d] posmatrajmo ravnomerno konvergentan
∫b (x,η)
dx po parametru η ∈ [c, y]. Prema prethodnoj teoremi o
integral ∂f∂η
a
integraciji ravnomerno konvergentnog integrala po parametru η, sledi da vaˇzi
∫y
∫b
dη
c
∂f (x, η)
dx =
∂η
a
∫b
∫y
dx
a
∂f (x, η)
dη =
∂η
c
f (x, y)dx + C1 ,
(4.4)
a
∫b
∫b
gde je C1 = − f (x, c)dx. Integral φ(η) =
a
∫b
a
∂f (x,η)
dx
∂η
je ravnomerno konver-
gentan i definiˇse neprekidnu funkciju φ(η) na [c, y]. Tada je na osnovu osobine
∫y
svojstvenog integrala φ(η)dη neprekidno diferencijabilna funkcija po y na
c
[c, d]. Tada je i druga strana jednakosti (4.4), odnosno integral
∫b
a
f (x, y)dx
142
GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI
neprekidno diferencijabilna funkcija po y na [c, d]. Sada, diferenciranjem
jednakosti (4.4) po y, sledi tvrd¯enje teoreme.
Primer 4.3.4. Izraˇcunati integrale Laplasa
∫+∞
I1 (a) =
cos ax
dx,
1 + x2
∫+∞
I2 (a) =
0
x sin ax
dx,
1 + x2
a ∈ R.
0
Reˇsenje. Izraˇcuna´cemo integral I1 (a). Vaˇzi oˇcigledna formula
∫+∞
2
e−y(1+x ) dy.
1
=
1 + x2
0
Stoga je
∫+∞ ∫+∞
2
I1 (a) =
dx
e−y(1+x ) cos ax dy.
0
0
Posmatra se pomo´cna funkcija
∫+∞ ∫+∞
2
dx
e−y−(b+y)x cos ax dy,
L(a, b) =
0
b > 0.
(4.5)
0
Podintegralna funkcija f (x, y) = e−y−(b+y)x cos ax je neprekidna za x, y ∈
[0, +∞). Na osnovu nejednakosti
2
−y−(b+y)x2 e
≤ min{e−y , e−bx },
2
a prema Vajerˇstrasovom kriterijumu, integrali
∫+∞
2
e−y−(b+y)x cos ax dy,
∫+∞
2
e−y−(b+y)x cos ax dx
0
0
su ravnomerno konvergentni (prvi ravnomerno konvergentan po x, a drugi
po y). Na osnovu nejednakosti
∫+∞
∫+∞
∫+∞ ∫+∞
2
−y−bx2 −yx2 )
e−bx dx
cos ax dx ≤
e−y dy,
dx
e
0
0
0
0
4.3. NESVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI
143
sledi da je integral, kojim je definisana funkcija L(a, b) konvergentan. Prema
tome, mogu´ce je promeniti redosled integracije u (4.5) i dobija se
=
L(a, b) =
+∞
+∞
∫ −y
∫
2
2
at
e−y dy e−(b+y)x cos ax dx = √eb+y dy e−t cos √b+y
dt.
+∞
∫
+∞
∫
0
0
Neka je J(c) =
0
+∞
∫
e−x cos cx dx. Tada funkcija J(c) zadovoljava difer2
encijalnu jednaˇcinu J ′ (c) + 2c J(c) = 0, te je J(c) =
sledi
L(a, b) =
(4.7)
0
0
∫+∞
(4.6)
1
√
J
b+y
(
a
√
b+y
)
√
e dy = πek
−y
π −c2 /4
e
.
2
Sada, iz (4.6)
∫+∞
2
2
2
e−(a /(4t )+t ) dt.
√
0
Integral
√
k
∫+∞
2 cos ax
e−bx
dx
1 + x2
0
je ravnomerno konvergentan po b ≥ 0, stoga je L(a, b) neprekidna funkcija
po b. Prema tome, vaˇzi
√
I1 (a) = lim L(a, b) = π
b→0+
∫+∞
2
2
2
e−(a /(4t )+t ) dt.
0
Preostaje da se izraˇcuna integral
∫+∞
2
2
2
K(µ) =
e−(y +µ /y ) dy.
0
Funkcija µ 7→ K(µ) je parna, pa je dovoljno odrediti ovu funkciju za µ > 0.
Funkcija K(µ)√zadovoljava diferencijalnu jednaˇcinu K ′ (µ) = −2K(µ), pa je
stoga K(µ) = 2π e−2µ . Konaˇcno,
( )
√
|a|
π
I1 (a) = πK
= e−|a| , a ∈ R.
2
2
144
GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI
Dokazujemo Abelov3 i Dirilleov4 kriterijum za utvrd¯ivanje ravnomerne
konvergencije nesvojstvenih parametarskih integrala.
Teorema 4.3.5. (Abel) Pretpostavimo da vaˇzi:
+∞
∫
(1) Integral
f (x, y)dx ravnomerno konvergira po y ∈ Y ;
a
(2) Funkcija g(x, y) je monotona po x;
(3) Postoji L > tako da za svako x ∈ (a, +∞) i svako y ∈ Y vaˇzi
|g(x, y)| ≤ L.
+∞
∫
Tada je integral
f (x, y)g(x, y) dx ravnomerno konvergentan po y ∈ Y .
0
Dokaz.
Teorema 4.3.6. (Dirihle) Pretpostavimo da je ispunjeno:
t (1) Postoji
broj L > 0 tako da za svako y ∈ Y i svako t ≥ a vaˇzi
∫
f (x, y)dx ≤ L;
a
(2) Funkcija g(x, y) je monotona po x;
y∈Y
(3) g(x, y) ⇒ 0 kada x → +∞.
+∞
∫
Tada integral
f (x, y)g(x, y)dx konvergira ravnomerno po y ∈ Y .
a
Primer 4.3.5. Izraˇcunati Dirihleov integral
+∞
∫
0
Reˇsenje. Neka je I =
+∞
∫
0
sin αx
dx
x
iJ=
+∞
∫
0
sin x
dx.
x
sin αx −kx
e dx,
x
k ≥ 0. Podintegralna
funkcija integrala J, kao i njen parcijalni izvod po α, jesu neprekidne funkcije
po x ≥ 0 i α ≥ 0. Integral J je ravnomerno konvrgentan na osnovu Abelovog
kriterijuma. Izvodni integral od J po α je ravnomerno konvergentan na
osnovu Vajerˇstrasovog kriterijuma. Prema tome,
dJ
=
dα
∫+∞
e−kx cos αxdx =
α2
k
.
+ k2
0
3
4
Niels Henrik Abel (1802-1829), norveˇski matematiˇcar
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), nemaˇcki matematiˇcar
4.4. GAMA FUNKCIJA (OJLEROV INTEGRAL DRUGOG REDA) 145
Integracijom po α proizilazi da vaˇzi J = arctg αk + C. Ovde je C = 0, ˇsto se
lako proverava za α = 0. Integral J ravnomerno konvergira po k ≥ 0. Prema
tome, J je neprekidna funkcija po k. Sledi I = lim J. Za α > 0 je
k→0+
I = lim J = lim arctg
k→0+
k→0+
α
π
= .
k
2
Za α = 1 dobija se vrednost Dirihleovog integrala I = π2 .
4.4
Gama funkcija (Ojlerov integral drugog
reda)
Gama funkcija Ojlera, u oznaci Γ(x), definisana je kao nesvojstveni parametarski integral sa dve nesvojstvene taˇcke na slede´ci naˇcin:
∫+∞
tx−1 e−t dt,
Γ(x) =
x > 0.
(4.8)
0
Nesvojstvene taˇcke su t = 0 (funkcija je neograniˇcena u okolini ove taˇcke za
svako x > 0) i t = +∞.
Predstavimo ovaj integral kao sumu dva integrala na slede´ci naˇcin:
∫1
Γ(x) =
t
0
∫+∞
e dt +
tx−1 e−t dt.
x−1 −t
1
Pokaza´cemo da oba ova integrala konvergiraju ravnomerno po parametru
x na svakom ograniˇcenom segmentu [a, b], gde je 0 < a < b < +∞.
Neka je 0 < a < 1, b > 1 i x ∈ [a, b]. Tada je 0 ≤ tx−1 ≤ ta−1 za 0 ≤ t ≤ 1
∫1
∫1
i ta−1 dt = a−1 . Prema Vajerˇstrasovom kriterijumu, integral tx−1 e−t dt
0
0
ravnomerno konvergira po parametru x ∈ [a, b].
Analogno, ako je t ≥ 1, onda je 0 ≤ tx−1 e−t ≤ tb−1 e−t i
+∞
∫
tb−1 e−t dt kon-
1
vergira (ovo je lako proveriti uzastopnom primenom parcijalne integracije).
+∞
∫ x−1 −t
Na osnovu Vajerˇstrasovog kriterijuma, sledi da je integral
t e dx ravnomerno
1
146
GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI
konvergentan po parametru x ∈ [a, b]. Ovim je pokazano da je gama funkcija
definisana ravnomerno konvergentnim integralom po parametru x na svakom
segmentu [a, b] za koji vaˇzi 0 < a < b < +∞.
Funkcija f (x, t) = tx−1 e−t je neprekidna za t > 0 i x > 0, te na osnovu
ranijih rezultata gama funkcija x 7→ Γ(x) je neprekidna po x na svakom
segmentu [a, b]ı[0, +∞). Prema tome, Γ(x) je neprekidna funkcija za svako
x > 0.
Ako je x > 0, onda je funkcija Γ(x) neprekidno diferencijabilna, pri ˇcemu
vaˇzi
′
∫1
Γ (x) =
t
x−1 −t
e
∫+∞
∫+∞
x−1 −t
ln t dt +
t e ln t dt =
tx−1 ln t e−t dt.
0
1
0
Diferenciranje pod znakom integrala je dopuˇsteno jer oba integrala u prethodnoj formuli ravnomerno konvergiraju po x ∈ [a, b]. Indukcijom se pokazuje da
za x > 0 funkcija x 7→ Γ(x) jeste beskonaˇcno puta diferencijabilna, preciznije
(n)
Γ
∫+∞
tx−1 e−t (ln t)n dt,
(x) =
n = 0, 1, 2, . . .
0
Vaˇzi Γ(1) = Γ(2) = 1, te na osnovu Rolove teoreme sledi da postoji neko
ξ ∈ [1, 2] tako da je Γ′ (ξ) = 0. Takod¯e je Γ′′ (x) > 0 za svako x > 0.
Stoga je x 7→ Γ(x) funkcija konveksna prema gore sa jedinstvenim pozitivnim
minimumom.
Nije teˇsko pokazati da formula kojom je definisana gama funkcija ima
smisla i za kompleksne brojeve z za koje je Re z > 0. Prema tome, Γ(z) je
regularna funkcija kompleksne promenljive z u desnoj poluravni. Detaljnije
o funkcijama kompleksne promenljive u narednoj glavi.
Parcijalnom integracijom u = tx−1 , dv = e−t dt, proizilazi formula
∫+∞
tx e−t dt = x · Γ(x).
Γ(x + 1) =
(4.9)
0
Ovo je osnovno funkcionalno svojstvo gama funkcije. Specijalno, ako je n
prirodan broj, onda je
Γ(n + 1) = n · Γ(n) = · · · = n! .
4.5. BETA FUNKCIJA (OJLEROV INTEGRAL PRVOG REDA)
147
Iz formule (4.9) sledi da vaˇzi
Γ(x) =
Γ(x + 1)
→ +∞ kada x → 0 + .
x
Stoga je y-osa vertikalna asimptota gama funkcije. Takod¯e Γ(x) → +∞ kada
x → +∞.
Uvod¯enjem smene t = − ln z u formulu (4.8), sledi da vaˇzi
)x−1
∫1 (
1
Γ(x) =
ln
dz.
z
0
Niz funkcija fn (z) = n(1 − z 1/n ) monotono raste i ravnomerno konvergira
funkciji f (z) = − ln z na svakom intervalu sadrˇzanom u skupu (0, 1). Prema
tome vaˇzi
)x−1
∫1 (
∫1
1
(4.10)
ln
dz = lim nx−1 (1 − z 1/n )x−1 dx.
n→∞
z
0
4.5
0
Beta funkcija (Ojlerov integral prvog reda)
Beta funkcija definisana je kao integral koji zavisi od dva parametra:
∫1
tx−1 (1 − t)y−1 dt.
B(x, y) =
(4.11)
0
Ovaj integral ima dve nesvojstvene taˇcke, t = 0 i t = 1. Naime, funkcija
f (x, y) = tx−1 (1 − t)y−1 je neograniˇcena u okolini bilo koje od ovih dveju
taˇcaka. Ako je
∫1/2
∫1
x−1
y−1
B(x, y) =
t (1 − t) dt + tx−1 (1 − t)y−1 dt,
0
1/2
lako je proveriti da prvi integral konvegira za x > 0, a drugi za y > 0. Prema
tome, beta funkcija je definisana za x > 0 i y > 0.
148
GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI
Jednostavno je dokazati ravnomernu konvergenciju integrala
∫1/2
tx−1 ln t dt
0
za x ≥ x1 > 0. Takod¯e, integral
∫1
tx−1 (1 − t)y−1 ln(1 − t)dt
1/2
je ravnomerno konvergentan za y ≥ y1 > 0 i svako x > 0. Na osnovu
prethodnog sledi da je beta funkcija diferencijabilna za x > 0 i y > 0 i vaˇzi
formula
∂ n+m B
=
∂xn ∂y m
∫1
tx−1 (1 − t)y−1 lnn t lnm (1 − t)dt,
n, m = 0, 1, 2, . . .
0
Koriˇs´cenjem smene τ = 1 − t u (4.11), sledi da je B(x, y) = B(y, x).
Vaˇzi formula
∫+∞
B(x, y) =
ux−1
du =
(1 + u)x+y
0
∫1
ux−1 + uy−1
du.
(1 + u)x+y
0
Prva formula proizilazi iz definicije beta funkcije i smene t = u/(1−u). Da
bi pokazali drugu formulu, treba dobijeni integral razdvojiti na dva integrala,
prvi na segmentu [0, 1], a drugi na segmentu [1, +∞). Kod drugog integrala
primeniti smenu v = 1/u.
Iz prethodne formule za x + y = 1 sledi
∫+∞
B(x, 1 − x) =
0
Specijalno, B(1/2, 1/2) = π.
π
ux−1
du =
.
1+u
sin πx
4.5. BETA FUNKCIJA (OJLEROV INTEGRAL PRVOG REDA)
Primenom parcijalne integracije na (4.11) sledi da vaˇzi
1
B(x, y) =
a
∫1
(1 − t)
y−1
y−1
d(t ) =
x
0
=
∫1
(1 − x)y−2 tx dt
x
0
y−1
x
∫1
tx−1 (t − 1 + 1)(1 − t)y−2 dt
0
y−1
y−1
=
B(x, y − 1) −
B(x, y).
x
x
Prema tome, vaˇzi rekurenta relacija
B(x, y) =
y−1
B(x, y − 1),
x+y−1
y > 1.
x−1
B(x − 1, y),
x+y−1
x > 1.
Analogno, vaˇzi i formula
B(x, y) =
Ako je n ∈ N, na osnovu prethodnog, vaˇzi
B(x, n) =
n−1
n−2
1
···
B(x, 1).
x+n−1x+n−2
x+1
Obzirom da je B(x, 1) = x1 , onda je
B(x, n) =
1 · 2 · · · (n − 1)
.
x(x + 1) · · · (x + n − 1)
Specijalno, ako je m ∈ N, tada je
B(m, n) =
(m − 1)!(n − 1)!
.
(m + n − 1)!
Uvod¯enjem smene z = y n u integralu (4.10), sledi formula
∫1
y n−1 (1 − y)x−1 dx = lim nx B(n, a).
Γ(x) = lim nx
n→∞
n→∞
0
149
150
GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI
Zamenom vrednosti za beta funkciju, sledi formula Gaus-Ojlera
Γ(x) = lim nx
n→∞
(n − 1)!
.
x(x + 1) · · · (x + n − 1)
Iz Gaus-Ojlerove formule sledi formula
Γ(x)Γ(1 − x) =
1
1
lim
,
1
2
2
2
n→∞
x
(1 − x /1 )(1 − x /2 ) · · · (1 − x2 /(n − 1)2 )
ili, za x ∈ (0, 1):
1∏
1
π
(
Γ(x)Γ(1 − x) =
.
2) =
x
x n=1 1 − n2
sin πx
+∞
Poslednja formula naziva se formula dopune.
U integralu (4.8) uvede se smena t = sz, gde je s > 0. Tada se dobija
jednakost
Γ(x)
=
sx
∫+∞
z x−1 e−sz dz.
0
U ovoj formuli zameni se x sa x + y, a s se zameni sa s + 1. Tada se dobija
jednakost
Γ(x + y)
=
(1 + s)x+y
∫+∞
z x+y−1 e−(1+s)z dz.
0
Poslednja jednakost se pomnoˇzi sa sx−1 i integrali po s u granicama od 0 do
+∞. Dobija se jednakost
∫+∞
Γ(x + y)
0
sx−1 ds
=
(1 + s)x+y
∫+∞
∫+∞
z x−1 dz
z x+y−1 e−(1+s)z dz.
0
0
4.5. BETA FUNKCIJA (OJLEROV INTEGRAL PRVOG REDA)
151
Na kraju, sledi
∫+∞
∫+∞
x+y−1 −z
G(x + y)B(x, y) =
z
e dz
sx−1 e−sz dz
0
0
∫+∞
Γ(x)
=
z x+y−1 e−y a dz
z
0
∫+∞
= Γ(x)
z y−1 e−z dz = Γ(x)Γ(y).
0
Prema tome, veza izmed¯u beta i gama funkcije jeste:
B(x, y) =
Γ(x)Γ(y)
.
Γ(x + y)
(4.12)
Primer 4.5.1. Dokazati da vaˇze formule
(
)
(
)
√
1
1
π
1
B(x, x) = 2x−1 B
,x
i Γ(x)Γ x +
= 2x−1 Γ(2x).
2
2
2
2
Reˇsenje. Vaˇzi slede´ca oˇcigledna jednakost
∫1 (
B(x, x) =
1
−
4
(
1
−t
2
∫1/2(
)2 )x−1
dt = 2
0
Uvod¯enjem smene
1
−
4
(
1
−t
2
)2 )x−1
0
1
2
B(x, x) =
−t=
1
√
s/2, sledi
∫1
s
22x−1
−1/2
(1 − s)
x−1
ds =
1
22x−1
0
Koriste´ci Γ(1/2) = π i formulu (5.19.1), sledi da vaˇzi
(
)
√
1
π
Γ(x)Γ x +
= 2x−1 Γ(2x).
2
2
Poslednja formula naziva se formula Lagranˇza.
(
B
)
1
,x .
2
dt
152
GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI
Primer 4.5.2. Izraˇcunati integral I =
+∞
∫
0
y 2 dy
.
1+y 4
Reˇsenje. Smenom y 4 = t proizilazi da vaˇzi
)
(
t−1/4
1
3 3
dt = B
,
1+t
4
4 4
0
( )
(
)
1
3
3
1
π
π
= Γ
·Γ 1−
=
= √ .
4
4
4
4 sin(π/4)
2 2
1
I=
4
∫+∞
Literatura
[1] D. Adnad¯evi´c, Z. Kadelburg, Matematiˇcka analiza, Tom I, II, Zavod
za udˇzbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1991.
[2] T. M. Apostol, Mathematical Analysis, Addison Wesley Publ. Co.,
London, 1974.
[3] M. Aˇsi´c, J. Vukmirovi´c, Zbirka zadataka iz analize II, Nauˇcna knjiga,
Beograd, 1975.
[4] K. R. Davidson, A. P. Donsig, Real analysis with real applications,
Prentice Hall, New Jersey, 2002.
[5] B. N. Demidoviˇc, Sbornik zadaˇc i upraznenii po matematiˇceskomu
analizu, Nauka, Moskva, 1977.
[6] R. Dimitrijevi´c, Analiza realnih funkcija viˇse promenljivih, Niˇs, 1999.
[7] R. Dimitrijevi´c, J. Manojlovi´c, Analiza realnih funkcija viˇse
promenljivih: zbirka zadataka, Niˇs, 2004.
[8] D. S. ¯Dord¯evi´c, Matematika II za studente fizike, prvi deo, Univerzitet
u Niˇsu, Prirodno-matematiˇcki fakultet, 2004.
[9] G. M. Fihtengolc, Kurs differencialnogo i integralnogo isˇcislenia, Tom
I, II, III, Nauka, Moskva, 1966.
[10] V. A. Ilin, V. A. Sadovniˇcii, B. H. Sendov, Matematiˇceskii analiz,
Nauka, Moskva, 1979.
[11] L. D. Kudrjavcev, Kurs matematiˇceskogo analiza, Tom I, II, Viˇsaja
ˇskola, Moskva, 1981.
153
154
LITERATURA
[12] I. I. Ljaˇsko, A. K. Bojarˇcuk, Ja. G. Gai, G. P. Golovaˇc, Spravoˇcnoe
posobie po matematiˇceskomu analizu, Tom I, II, Viˇsa ˇskola, Kiev,
1979.
[13] I. I. Ljaˇsko, V. F. Emeljanov, A. K. Bojarˇcuk, Osnovi klassiˇceskogo i
sovremennogo matematiˇceskogo analiza, Viˇsa ˇskola, Kiev, 1988.
[14] S. Mardeˇsi´c, Matematiˇcka analiza u n-dimenzionalnom realnom prosˇ
toru, Prvi dio, Skolska
knjiga, Zagreb, 1974.
[15] P. Miliˇci´c, M. Uˇs´cumli´c, Zbirka zadataka iz viˇse matematike II,
Grad¯evinska knjiga, Beograd, 1971.
[16] S. M. Nikolskii, Kurs matematiˇceskogo analiza, Tom I, II, Nauka,
Moskva, 1975.
[17] D. Periˇsi´c, S. Pilipovi´c, M. Stojanovi´c, Funkcije viˇse promenljivih.
Diferencijalni i integralni raˇcun, Univerzitet u Novom Sadu, Prirodno
matematiˇcki fakultet, 1997.
ˇ
[18] Ter-Krikorov, M. I. Sabunin,
Kurs matematiˇceskogo analiza, Nauka,
Moskva, 1988.
[19] V. A. Zoriˇc, Matematiˇceskii analiz, Tom I, II, Nauka, Moskva, 1984.
Download

Predavanja