Specijalna teorija relativiteta
Krajem XIX i početkom XX veka fizika je bila u ozbiljnoj krizi jer nova Maksvelova elektrodinamika i
dokazana Njutnova klasična mehanika imale su ozbiljan suštinski sukob. Ulagani su ogromni napori da se
otklone ovi problemi ali tek je 1905.godine Albert Ajnštajn, mlad i nepoznat fizičar na briljantan način
rešio problem. Rešenje je išlo na štetu klasične mehanike a u korist Maksvelove elektrodinamike. U
svojoj osnovi razlike koje su se pojavile između ova dva viđenja sveta potiču iz osnovnog postulata cele
fizike koji glasi :
„ Zakoni fizike ne zavise od izbora inercijalnog referentnog sistema „
Inercijalni referentni sistemi su upravo oni sistemi u kojima važi prvi Njutnov zakon, sistemi koji se kreću
jedna u odnosu na drugog konstantnom brzinom, bez ubrzanja.
G ALILEJEVE TRANSFORMA CIJE
Ako posmatramo dva inercijalna referentna sistema, S i S’ sa paralelnim osama od kojih se jedan kreće u
odnosu na drugi brzinom – v.
Sa slike se vidi da vektor koji povezuje koordinatne početke se može napisati u obliku :
gde
je
vektor položaja u početnom trenutku. Radi jednostavnosti, a ne gubeći na opštosti možemo da
smatramo da su u početnom trenutku obadva koordinatna sistema bila u istoj tački. U tom slučaju se
mogu napisati sledeće jednačine :
ili u vektorskom obliku :
Galilejeve transformacije za bilo koje dve tačke u prostoru :
ovih jednačina dobijamo :
. Oduzimanjem
ili u diferencijalnom obliku :
Iz ove dve jednačine jasno sledi naše svakodnevno iskustvo da udaljenost između dve tačke je nezavisna
od toga gde ih merimo kao i da je vremenski interval takođe invarijantan u odnosu na referentni sistem.
Za potpuno opisivanje dinamike kretanja još nam trebaju brzina i ubrzanje. Iz (1.19) deriviranjem po dt
dobijamo :
Pošto je brzina konstantna sledi :
Ovo se takođe u potpunosti poklapa sa našim doživljajem stvarnosti gde ukupnu brzinu objekta koji se
kreće vidimo kao brzinu sistema u kome se kreće uvećanu za njegovu brzinu kretanja. Ako ovim
jednačinama dodamo i da važi da je masa objekta nezavisna od referentnog inercijalnog sistema onda
dobijamo potpun skup Galilejevih transformacija. Ako ovo primenimo na drugi Njutnov zakon dobićemo
i da je sila invarijantna u odnosu na inercijalni referentni sistem.
KLASIČNA ELEKTRODINAMIKA
U klasičnoj Maksvelovoj elektrodinamici stvari se menjaju. Polazeći od Maksvelovih jednačina možemo
doći do opšte talasne jednačine u vakuumu .
Čija su rešenja transverzalni elektromagnetni talasi koji se prostiru brzinom svetlosti. E sada, odmah je
vidljivo da imajći u vidu da je brzina svetlosti određena jednačinom (1.12) konstantna da ćemo imati
problem prilikom Galilejevih transformacija jer će one zahtevati da se brzina c povećava a to nije
moguće ako suštinske osobine prostora ne zavise od inercijalnog sistema što je nešto što ne možemo ni
da zamislimo, barem u ovom stanju Univerzuma u kome mi živimo.
Ako posmatramo neki inercijalni sistem S’ u kome važi talasna jednačina (1.22) tj :
i ako želimo preći u drugi inercijalni sistem pomoću jednačina (1.19) dobijamo :
Ovo nije talasna jednačina i ne postoji transformacija koja može funkciju ψ da svede na talasnu
jednačinu. Situacija je slična i kod zvučnih talasa s tim što u tom slučaj imamo preferirani referencijalni
sistem koji je u stanju mirovanja kroz koji se prostire zvučni talas i u kome važi talasna jednačina dok je u
svim drugim inercijalnim sistemima ova jednačina mnogo komplikovanija zbog kretanja sistema prenosa.
Postojale su razne ideje razrešenja ove neprijatne situacije. Prva ideja je bila da Maksvelove jednačine
ipak nisu tačne, druga da se treba uvesti pojam etra pa bi se kretanje talasa u vakuumu svelo na kretanje
zvučnih talasa kroz vazduh i treće rešenje da postoji treći princip relativnosti koji važi i za mehaniku i za
elektrodinamiku a da nije zasnovan na Galilejevim principima. Ovaj princip bi uzrokovao promenu
osnovnih zakona mehanike. Neki fizičari su bili naklonjeni prvoj, neki drugoj a Ajnštajn trećoj varijanti. Iz
tog njegovog razmišljanja je nastala jedna od najvećih teorija ljudske vrste.
Ajnštajnova specijalna teorija relativiteta je bazirana na dva jednostavna principa.
-
Zakoni fizike ne zavise od izbora inercijalnog referentnog sistema
U bilo kom inercijalnom referentnom sistemu brzina svetlosti u vakuumu je c !
Prvi fenomen je poznat još od Galilea dok drugi u potpunosti redefiniše naše shvatanje prostora i
vremena. Ono što direktno sledi iz drugog principa je to da postoji maksimalna brzina u svemiru, zatim
da vreme nije nužno identično za sve objekte koji se kreću u različitim inercijalnim sistemima, zatim da
brzina svetlosti ne zavisi od brzine izvora i ekvivalentnost mase i energije. Iako je u početku bilo veoma
malo eksperimentalnih potvrda drugog principa , vremenom, a posebno razvojem nuklearne fizike,
princip je dokazan, pa danas ne postoji ni jedan fizičar koji će postulirati bilo kakvu teoriju koja je u
sukobu sa STR (specijalnom teorijom relativiteta).
Da bi ostvario prvi zahtev morale su se izmeniti transformacije za prelazak iz jednog u drugi inercijalni
sistem. U to vreme su bile poznate transformacije koje ostavljaju Maksvelove jednačine invarijantnim
(Lorencove transformacije), pa je čak bila i poznata posledica prostornog dela tih transformacija (FitzGerardova Lorencova kontrakcija) ali je interpretacija tih izraza ostajala u domenu elektrodinamike ili
samo na kretanje u okviru zamišljenog etra, dok vremenski deo tih transformacija niko nije razumeo.
Ajnštajn je direktno odredio Lorencove transformacije iz svojih postulata i u stvari same Lorencove
transformacije izneo na nivo postulata :
-
Svi zakoni fizike moraju biti invarijantni u odnosu na Lorencove transformacije
Ako zamislimo dva inercijalna referentna sistema S i S’, koji se jedan u odnosi na drugi kreću
konstantnom brzinom v. Bez gubitka opštosti a u cilju pojednostavljenja pretpostavimo samo da se
kreću po x osi. Neka u koordinatnom početku sistema S imamo svetlosni izvor koji se uključi u trenutku
t=t’ . Aksiomi zahtevaju da posmatrači u obadva sistema vide sferni talas svetlosti koji se kreće brzinom
svetlosti c. Jednačine ovih talasa se mogu napisati kao :
Koristeći Galilejeve transformacije lako je pokazati da one ovde ne važe. Ako su prostor i vreme
homogeni i izotropni, što je osnovna pretpostavka bez koje ni inercijalni sistemi ne bi bili ekvivalentni,
transformacija mora biti linearna, jer jedino linearna transformacija obezbeđuje jednoznačno
preslikavanje između dva sistema. Pošto jednačine (1.26) i (1.27) zahtevaju da se sfera poluprečnika ct
sa centrom u koordinatnom početku sistema S uvek preslikava u sferu ct’ sa centrom u koordinatnom
početku sistema S’ i obrnuto onda kvadratne forme gornjih jednačina moraju biti proporcionalne (čak i
kada nisu jednake nuli) :
, gde je λ(v) neka konstanta skaliranja koje može postojati između sistema. Najopštije linearne
transformacije koordinata između S i S’ , imajući u vidu pretpostavku da se S’ kreće samo u smeru x ose
bi bile :
Želimo da se ove jenačine svedu na (1.19) do (1.22) kad
koeficijenti u (1.28) moraju zadovoljavati uslove.
što znači da
Pokažimo pro da je λ(v)=1. Pretpostavimo postojanje trećeg sistema S’’ koji se u odnosu na S’ kreće
brzinom –v (pa je samim tim isti kao i S) , mora da važi da je je λ(v) λ(-v)=1 a pošto u izotropnom
prostoru mora da važi da je λ(v)=λ(-v) sledi da je
tj zbog uslova jednoznačnosti sledi da je
λ(v)=1. Kako se koordinatni početak sistema S’ u sistemu S kreće konstantnom brzinom v duž x ose vredi
da je x=v t pa iz (1.28) sledi :
Uvrštavanjem u (1.27a) dobijamo :
, što mora da važi za svako x i svako t. Izjednačavanjem koeficijenata dobijamo:
Odakle dobijamo :
Tako dobijamo Lorencove transformacije :
, gde je
Vidi se da Lorencove transformacije kojima se u STR prelazi iz jednog u drugi inercijalni sistem koji se duž
x ose kreće brzinom v :
-
Ne menjaju se transverzalne brzine (nema promene duž y i z ose)
Povezuju vreme i koordinate paralelne brzini
Pri c
transformacije prelaze u Galilejeve
Uslov je da je v<c
Pri Lorencovim transformacijama vreme ne ostaje invarijantno i ovo čini ključnu razliku u odnosu na
Galilejeve transformacije. Svaki posmatrač ima svoje vreme i svoje prostorne koordinate ali prostor i
vreme drugog posmatrača u drugom inercijalnom sistemu su linearna kombinacija vremena i koordinata
prvog sistema. Jasno je da Lorencove transformacije ukidaju jaz između vremenske i prostornih
dimenzija .
Download

(PDF, 950KB)