Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 7
1
Dalamberov princip za tačku
U cilju proučavanja kretanja neslobodne tačke Dalamber je formulisao princip
r
koristeći termin “izgubljene sile” P . Ova sila tački ne saopštava ubrzanje već je
potrebna da uravnoteži dejstvo veze na tačku. Njegova
formulacija principa glasi
r r
P + R = 0,
r
gde je R - dopunska sila koja je posledica postojanja veze
(reakcija veze). Pri tome je
r r
r
P + Fm = F a ,
r
r
gde je za Fm korišćen termin motorne sile, a sa F a je označena rezultanta svih
aktivnih sila koje deluju na posmatranu tačku. Kako
r r r
r
r
P + R = F a − Fm + R = 0 ,
r
r
i uzimajući da je Fm = m a , dobija se
r
r
r
F a + ( −m a ) + R = 0 .
r
Ova jednačina razlikuje se od jednačine ravnoteže sistema sučeljnih sila za član − ma
koji ima dimenziju sile i koja se naziva inercijalna sila (u Dalamberovom smislu), a
r
r
r
obeležava se sa F in , tj. F in = − ma . Sledi da je
r
r
r
F a + F in + R = 0 ,
što predstavlja savremenu formulaciju Dalamberovog principa za neslobodnu tačku,
koji glasi: ako se u svakom trenutku aktivnim silama i reakcijama veza koje deluju na
tačku pridoda sila inercije, vektorski zbir tih sila biće jednak nuli.
Odgovarajuće skalarne diferencijalne jednačine su:
X a + R x + X in = 0, X in = − ma x = −m&x&,
Y a + R y + Y in = 0,
Y in = −ma y = −m&y&,
Z a + Rz + Z in = 0 ,
Z in = −ma z = −m&z&.
Ft a + Rt + Ft in = 0,
Ft in = −mat = −m&s&,
Fna + Rn + Fnin = 0 , Fnin = −man = −m
Fba + Rb + Fbin = 0,
s& 2
,
RK
Fbin = 0.
Prethodni sistemi jednačina samo su formalno slični uslovima
ravnoteže tačke, jer je u statici reč o algebarskim jednačinama, a u ovom slučaju u
pitanju su diferencijalne jednačine.
Dalamberov princip za materijalni sistem
Neka je dat materijalni sistem koji se sastoji od n tačaka, odgovarajućih masa mi,
i=1,2,...,n. Koristeći princip oslobađanja od veza, spoljašnje i unutrašnje veze mogu
se zameniti odgovarajućim reakcijama veza. Tada materijalni sistem postaje slobodan,
r
a na i – tu reprezentativnu tačku deluju spoljašnje sile Fi s (aktivne sile i spoljašnje
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 7
2
r
reakcije veza) i unutrašnje sile Fi u . Ako se tim silama pridodaju i inercijalne
r
r
Fi in = − mi ai , tada, na osnovu Dalamberovog principa, za svaku tačku sistema važi
r
r
r
Fi s + Fi u + Fi in = 0 .
Sabiranjem jednačina koje važi za svaku tačku, dobija se
n r
n r
n r
r s r in
s
u
in
F
+
F
+
F
=
0
,
F
∑ i ∑ i ∑ i
R + FR = 0 ,
i =1
i =1
i =1
n r
n r
rs
r in
s
gde je: FR = ∑ Fi - glavni vektor spoljašnjih sila, FR = ∑ Fi in - glavni vektor sila
i =1
i =1
r
r
inercije, a glavni vektor unutrašnjih sila je FRu = ∑ Fi u = 0 . Predhodna jednačina
n
i =1
predstavlja prvu vektorsku jednačinu Dalamberovog principa za vezani sistem.
r
Ako su položaji tačaka sistema određeni vektorima položaja ri , u odnosu na pol O,
tada je
n
r
r
r r s n r r u n r r in
r
∑ i × Fi + ∑ ri × Fi + ∑ ri × Fi = 0 , M Os + M Oin = 0 ,
i =1
i =1
i =1
n
n
r
r
r r
r r
gde je: M Os = ∑ ri × Fi s - glavni moment svih spoljašnjih sila, M Ou = ∑ ri × Fi u = 0 i
i =1
i =1
n
r
r r
M Oin = ∑ ri × Fi in - glavni moment sila inercije svih tačaka sistema. Predhodna
i =1
jednačina predstavlja drugu vektorsku jednačinu Dalamberovog principa za vezani
sistem.
Ako se u izabranom polu O postavi Dekartov koordinatni sistem Oxyz, tada se
projektovanjem na ose dobija
s
in
M Ox
+ M Ox
= 0,
X Rs + X Rin = 0,
YRs + YRin = 0,
s
in
M Oy
+ M Oy
= 0,
Z Rs + Z Rin = 0,
s
in
M Oz
+ M Oz
= 0.
r
r
Poređenjem prve i druge vektorske jednačine Dalamberovog principa, FRs + FRin = 0 i
r
r
M Os + M Oin = 0 , sa jednačinama koje izražavaju teoremu o kretanju centra masa i
teoremu o promeni kinetičkog momenta u odnosu na nepokretni pol ili centar masa,
r&
r
r
r&
r
K = maC = FRs i LO = M Os , dobija se
r
r
r&
r
r
r&
r
FRin = − FRs = −maC = − K , M Oin = − M Os = − LO ,
tj., glavni vektor sila inercije sistema jednak je inercijalnoj sili centra masa, odnosno,
negativnom izvodu po vremenu količine kretanja sistema, a glavni moment sila
inercije sistema u odnosu na nepokretni pol ili centar masa jednak je negativnom
izvodu po vremenu kinetičkog momenta sistema u odnosu na isti pol.
Download

Predavanje br.7