Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 6
1
Sferno kretanje tela (Obrtanje tela oko nepokretne tačke)
Sferno kretanje tela ili obrtanje tela oko nepokretne tačke je takvo kretanje tela koje ima jednu
nepokretnu tačku. Položaj tela u prostoru može biti jednoznačno određen položajem triju njegovih
tačaka koje ne pripadaju istoj pravoj. Kada je u pitanju telo koje vrši sferno kretanje, treba zapaziti da
su od šest koordinata tačaka A i B nezavisne samo tri zbog postojanja tri
relacije koje se mogu uspostaviti između koordinata tih tačaka, a koje govore o
nepromenljivosti dužina OA , OB i AB . Dakle, telo koje vrši sferno kretanje
ima 6-3 nezavisnih koordinata, tj. tri stepena slobode kretanja. Jedan od
postupaka za analizu sfernog kretanja tela je Ojlerov postupak.
Ojlerov postupak podrazumeva korišćenje dva Dekartova pravougla
koordinatna sistema: Oxyz –nepokretan i Oξηζ - pokretan sistem, kruto vezan
za posmatrano telo. Kretanje tela tada je u potpunosti opisano kretanjem
pokretnog u odnosu na nepokretni koordinatni sistem. Neka se u početnom trenutku oba koordinatna
sistema poklapaju ( Ox ≡ Oξ o , Oy ≡ Oη o i Oz ≡ Oς o ).
Polazeći od tog početnog položaja, do proizvoljnog položaja
pokretnog koordinatnog sistema dolazi se ako se izvrše tri
nezavisna obrtanja.
1)
Prvo se izvrši obrtanje koordinatnog sistema Oξηζ
oko ose Oz ≡ Oζ o za ugao ψ - ugao precesije. Na taj
način, pokretni koordinatni sistem iz položaja
Oξ oηoζ o prelazi u položaj Oξ1η1ζ 1 .
2)
Sledeće obrtanje koordinatnog sistema Oξηζ vrši se
oko ose Oξ1 ≡ Oξ 2 ≡ ON , kao nepokretne, za ugao θ
- ugao nutacije. Na taj način, pokretni koordinatni
sistem prelazi u položaj Oξ 2η 2ζ 2 . Osa ON oko koje je izvršena ova rotacija naziva se čvorna
osa.
3)
Poslednje obrtanje vrši se oko ose Oζ 2 ≡ Oζ za ugao ϕ - ugao sopstvene rotacije.
Na taj način dobija se proizvoljni položaj pokretnog koordinatnog sistema Oξηζ . Smatraće se da su
Ojlerovi uglovi pozitivni ako se uočena obrtanja posmatrana sa pozitivnih krajeva osa Oz , ON i Oζ
vide kao matematički pozitivna. U toku obrtanja tela oko nepokretne tačke menjaju se Ojlerovi uglovi
ψ , θ i ϕ . Jednačine
ψ = ψ ( t ) , θ = θ ( t ) , ϕ = ϕ( t )
nazivaju se konačne jednačine sfernog kretanja tela.
Brzina tačke tela pri sfernom kretanju. Vektor trenutne ugaone brzine. Jednačina trenutne ose
obrtanja
r
Vektor brzine V tačke M tela koje vrši sferno kretanje može se odrediti korišćenjem vektora položaja
r r
r
r
r uočene tačke, koji je izražen preko komponenata paralelnih jediničnim vektorima λ , µ i ν
pokretnog koordinatnog sistema Oξηζ , tj.
r
r
r
r
r = ξ λ +η µ + ζ ν ,
r&
r r
r
r
V = r& = ξ λ + η µ& + ζ ν& .
r
Osim toga, vektor brzine V tačke M tela može se izraziti i u obliku
r
r
r
r
V = Vξ λ + Vη µ + Vζ ν ,
r
r r r
r r r
r r r
V = (V ⋅ λ ) λ + (V ⋅ µ ) µ + (V ⋅ν ) ν ,
r& r
r
r r r
r r
V = ( ξ λ ⋅ λ + η µ& ⋅ λ + ζ ν& ⋅ λ ) λ +
r& r
r r r
r r
+ ( ξ λ ⋅ µ + η µ& ⋅ µ + ζ ν& ⋅ µ ) µ +
r& r
r r r
r r
+ ( ξ λ ⋅ν + η µ& ⋅ν + ζ ν& ⋅ν )ν .
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 6
r r
r& r
µ ⋅ µ = 1,
r r
λ ⋅ µ = 0,
r& r
r r
r r
Ako se uvedu oznake
ν ⋅ν = 1,
µ ⋅ν = 0 ,
r r
µ& ⋅ µ = 0,
r r
r r
µ& ⋅ν = −ν& ⋅ µ ,
λ ⋅ λ = 0,
λ ⋅ µ = − µ& ⋅ λ ,
r r
r r
ν ⋅ λ = 0.
r r
ν& ⋅ν = 0,
r& r
r r
ν& ⋅ λ = −λ ⋅ν .
r r
λ ⋅ λ = 1,
2
r& r
r
r
r r
V = (ν& ⋅ λ ζ − λ ⋅ µ η ) λ +
r& r
r r
r
+ (λ ⋅ µ ξ − µ& ⋅ν ζ ) µ +
r
r
r
r r
+ ( µ& ⋅ν η − ν& ⋅ λ ξ )ν .
r r
r& r
r r
ν& ⋅ λ = ωη , λ ⋅ µ = ωζ , µ& ⋅ν = ωξ ,
tada je
r
r
V = (ωη ζ − ωζ η ) λ +
r
+ (ωζ ξ − ωξ ζ ) µ +
r
+ (ωξ η − ωη ξ )ν ,
r
r
λ
r r
V = r& = ω ξ
ξ
Ako se pođe od uslova
r
λ
r r r
V = ω × r = ωξ
ξ
r
µ
ωη
η
r
ν
ωζ ,
ζ
r
r
r
r
r
r
r
ω = ω ξ λ + ωη µ + ω ζ ν , V = ω × r .
r
µ ν
ω η ω ζ = 0 , ωη ζ − ωζ η = 0 , ωζ ξ − ωξ ζ = 0 , ωξ η − ωη ξ = 0 ,
η ζ
ξ
η
ζ ,
=
=
ωξ ωη ωζ
-trenutna osa obrtanja i obeležava sa OΩ .
r
Vodeći računa o kolinearnosti vektora ω i trenutne ose obrtanja, zaključuje
se da je trenutni raspored brzina tačaka tela koje vrši sferno kretanje isti kao da se
telo obrće oko, u tom trenutku nepokretne trenutne ose. Ovo zapažanje može se uzeti
r
kao osnova za uvođenje naziva za vektor ω - vektor trenutne ugaone brzine.
Ojlerove kinematičke jednačine
Za određivanje trenutne ugaone brzine tela koje vrši sferno kretanje polazi se od toga da se položaj tela
može odrediti pomoću tri Ojlerova ugla. Tada je položaj tela poznat u svakom trenutku ako su poznate
konačne jednačine sfernog kretanja tela ψ = ψ ( t ) ,
θ =θ(t ),
ϕ = ϕ ( t ) . Neka su uočena dva
položaja tela koje vrši sferno kretanje, koji odgovaraju trenucima t i t + ∆t na sledeći način:
t
:
θ
ψ
ϕ
t + ∆t : ψ + ∆ψ
θ + ∆θ
ϕ + ∆ϕ
Odgovarajuće srednje ugaone brzine za dati interval vremena određene su izrazima ∆ψ , ∆θ , ∆ϕ .
∆t ∆t ∆t
Granične vrednosti ovih srednjih ugaonih brzina predstavljaju odgovarajuće trenutne ugaone brzine:
- lim ∆ψ = dψ = ψ& - ugaona brzina precesije,
∆ t → 0 ∆t
dt
∆
θ
d
θ & - ugaona brzina nutacije,
- lim
=
=θ
∆ t → 0 ∆t
dt
- lim ∆ϕ = dϕ = ϕ& - ugaona brzina sopstvene rotacije.
∆t →0 ∆t
dt
rr
r
r
rr
rr
r
Vektori ugaonih brzina precesije ω p = ψ& k , nutacije ω n = θ& n i sopstvene rotacije ω sr = ϕ& ν usmereni
r r r
su duž osa Oz , ON i Oζ , čiji su jedinični vektori k , n i ν , respektivno. Imajući u vidu da se ove ose
r
seku u jednoj tački, vektor trenutne ugaone brzine ω , tela koje vrši sferno kretanje, može se pisati u
obliku
r
r
r r
r
r
r
ω = ω p + ω n + ω sr = ψ& k + θ& n + ϕ& ν .
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 6
3
Kako je
r
r
r
r
k = sin θ sin ϕ λ + sin θ cos ϕ µ + cos θ ν ,
r
r
r
r
n = cos ϕ λ − sin ϕ µ + 0 ν .
dobija se
r
r
ω = (ψ& sin θ sin ϕ + θ& cos ϕ )λ +
r
+ ( ψ& sin θ cos ϕ − θ& sin ϕ )µ +
r
+ ( ψ& cos θ + ϕ& )ν .
r
r
ωξ = ω ⋅ λ = ψ& sin θ sin ϕ + θ& cos ϕ ,
r r
ωη = ω ⋅ µ = ψ& sin θ cos ϕ − θ& sin ϕ ,
r r
ωζ = ω ⋅ν = ψ& cosθ + ϕ& .
ω = ωξ2 + ωη2 + ωζ2 = ψ& 2 + θ& 2 + ϕ& 2 + 2ψ&ϕ& cos θ ,
ωξ
ω
r r
, cos ∠( ωr , µr ) = η ,
cos ∠( ω , λ ) =
ω
r r ωζ .
cos ∠( ω ,ν ) =
ω r
r
r
r
n = cosψ i + sinψ j + 0 k ,
r
r
ω
r
r
ν = sin θ sinψ i − sinθ cosψ j + cos θ k .
r
r
&
ω = ( θ cosψ + ϕ& sin θ sinψ )i +
r
+ ( θ& sinψ − ϕ& sin θ cosψ ) j +
r
+ (ψ& + ϕ& cos θ )k .
r r
r r
r r
ω x = ω ⋅ i = θ& cosψ + ϕ& sinθ sinψ , ω y = ω ⋅ j = θ& sinψ − ϕ& sinθ cosψ , ω z = ω ⋅ k = ψ& + ϕ& cos θ .
ω = ω x2 + ω y2 + ω z2 = ψ& 2 + θ& 2 + ϕ& 2 + 2ψ&ϕ& cosθ ,
r r ωy ,
r r
r r
ω
ω
cos ∠( ω , i ) = x . cos ∠( ω , j ) =
cos ∠( ω , k ) = z .
ω
ω
ω
Trenutno ugaono ubrzanje tela koje vrši sferno kretanje
r
Neka je poznat vektor trenutne ugaone brzine ω tela koje vrši sferno kretanje. Vektor trenutnog
r
ugaonog ubrzanja ε tela koje vrši sferno kretanje određen je kao
r
r
r
∆ω dω r& .
=
=ω
ε = lim
∆t →0 ∆t
dt
r
Ako se sa ω o označi jedinični vektor trenutne ose obrtanja OΩ , tada se može pisati da je
r
r
ω = ωω o ,
r
gde je sa ω označen intenzitet vektora ω . Tada sledi
r r d
r
r
r
ε = ω& = ( ωω o ) = ω& ω o + ωω& o ,
dt
r r r
ε = ε1 + ε 2 .
r
r
r
Pri tome je ε1 = ω& ω o - komponenta trenutnog ugaonog ubrzanja ε koja
govori o promeni intenziteta vektora trenutne ugaone brzine i pravca je ose
r
r
OΩ . Pri analizi komponente ε 2 treba zapaziti da je vektor ω o konstantnog
intenziteta i da je kraj ovog vektora, tačka A, na trenutnoj osi obrtanja OΩ .
r
Njegov izvod po vremenu predstavlja brzinu u A , tačke A koja je određena sa
r
dω 0 r& .
r
uA =
= ω0
dt
r
r
r
Ako je sa ω1 označena ugaona brzina obrtanja vektora ω o , brzina kraja vektora ω o može se odrediti
r
r r
kao ω& 0 = ω 1 × ω 0 , tj.
r
r r
r r
ε 2 = ω (ω1 × ω o ) = ω1 × ω .
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 6
4
Projekcije vektora trenutnog ugaonog ubrzanja tela koje vrši sferno kretanje na ose pokretnog i
nepokretnog Dekartovog koordinatnog sistema
r
r
r
r
ω = ω ξ λ + ωη µ + ωζ ν ,
r
r&
r r
r
r
r
r
ε = ω& = ω& ξ λ + ω& η µ + ω& ζν + ωξ λ + ωη µ& + ωζν& ,
r& r r
r r r
r r r
λ =ω ×λ ,
µ& = ω × µ , ν& = ω ×ν ,
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
ε = ω& ξ λ + ω& η µ + ω& ζ ν + ωξ ( ω × λ ) + ωη ( ω × µ ) + ωζ ( ω ×ν ) ,
r
r
r
r
r
ε = ω& ξ λ + ω& η µ + ω& ζ ν + ω × ( ωξ λ + ωη µ + ωζ ν ) ,
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
ε = ω& ξ λ + ω& η µ + ω& ζ ν + ω × ω ,
r
r
r
ω = ω xi + ω y j + ω z k ,
r r
r
r
r
ε = ω& ξ λ + ω& η µ + ω& ζ ν .
r
r
r
r
ε = ω& = ω& x i + ω& y j + ω& z k , ε = ε x i + ε y j + ε z k .
Projekcije brzine tačke tela koje vrši sferno kretanje na ose pokretnog i nepokretnog Dekartovog
koordinatnog sistema
Polazeći od izraza za brzinu tačke tela koje vrši sferno kretanje može se intenzitet
brzine V, proizvoljne tačke M tela, odrediti u obliku
r r
V = ω r sin ∠( ω , r ) = ω r sin γ = ω hω ,
gde je hω = MK = r sin γ rastojanje tačke M od trenutne ose obrtanja. Pravac
r
r r
vektora V normalan je na ω i r (a time i na hω ), a orijentisan je na onu stranu
r
r
odakle se obrtanje vektora ω , najkraćim putem, do poklapanja sa vektorom r
vidi kao matematički pozitivno.
r
Ako se vektor brzine V određuje preko njegovih projekcija Vξ , Vη i Vζ , na ose
pokretnog koordinatnog sistema Oξηζ , tj.
r
r
r
r
V = Vξ λ + Vη µ + Vζ ν ,
tada sledi da je
r r
Vξ = V ⋅ λ = ωη ζ − ω ζ η ,
r r
Vη = V ⋅ µ = ω ζ ξ − ω ξ ζ ,
r r
Vζ = V ⋅ν = ω ξ η − ω η ξ .
r r V
r r V
r r V
V = Vξ2 + Vη2 + Vζ2 , cos ∠( V , λ ) = ξ , cos ∠( V , µ ) = η , cos ∠( V ,ν ) = ζ .
V
V
V
r
Na isti način može se odrediti intenzitet, pravac i smer vektora brzine V , tačke tela koje vrši sferno
kretanje, preko projekcija Vx , V y i Vz na ose nepokretnog koordinatnog sistema Oxyz,
r r
r
r
r
Vx = V ⋅ i = ω y z − ω z y ,
i
j
k
r r
r
r
r
r r
V = Vx i + V y j + Vz k , V = ωr × rr = ω ω ω ,
Vy = V ⋅ j = ω z x − ω x z ,
x
y
z
r r
x
y
z
V = V ⋅ k = ω y − ω x.
z
x
y
r r V
r r V
r r V
V = Vx2 + Vy2 + Vz2 , cos ∠( V , i ) = x , cos ∠( V , j ) = y , cos ∠( V , k ) = z .
V
V
V
Jednačina trenutne ose obrtanja, tela koje vrši sferno kretanje, u odnosu na ose nepokretnog
koordinatnog sistema Oxyz je
r
r
r
i
j
k
r r r
ωz x −ωxz = 0,
ωx y −ωyx = 0 ,
V = ω × r = ω ω ω = 0 ,ω y z − ω z y = 0 ,
x
x
y
y
z
z
x
ωx
=
y
ωy
=
z .
ωz
Ubrzanje tačke tela koje vrši sferno kretanje
Ubrzanje proizvoljne tačke M tela koje vrši sferno kretanje je
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 6
5
r r r r
r r& d r r
a = V = ( ω × r ) = ω& × r + ω × r& ,
dt
r r r r
r r
a = ε × r + ω ×(ω × r ) .
r r
aε = ε r sin ∠( ε , r ) = ε r sin δ = ε hε ,
gde je hε = r sin δ rastojanje tačke M od pravca vektora
trenutnog ugaonog ubrzanja. Ova komponenta ubrzanja tačke
tela koje vrši sferno kretanje naziva se obrtno ubrzanje.
r r
r
r r r r r
aε = ( ε1 + ε 2 ) × r = ε1 × r + ε 2 × r ,
r
r r r r r r r
aε = ω&ωo × r + ( ω1 × ω ) × r = aε1 + aε 2 .
r r
r
Pri tome je aε = ε1r sin ∠( ε1 , r ) . Pravac vektora aε normalan
r
r
je na ravan koju obrazuju vektori ε1 i r , a smer je određen
r
datim vektorskim proizvodom. Intenzitet vektora aε dat je sa
r
r
r r
aε = ε 2 r sin ∠( ε 2 , r ) ,pravac je normalan na ravan koju obrazuju vektori ε 2 i r , a smer neposredno
sledi iz datog vektorskog proizvoda.
r
r r
Intenzitet druge komponente ubrzanja ω × ( ω × r ) tačke tela koje vrši sferno kretanje, koja će biti
r
označena sa aω , određen je izrazom
r r
aω = ωV sin ∠( ω ,V ) = ωV sin 90o = hωω 2 ,
r
gde je hω = MK = r sin γ rastojanje tačke M od trenutne ose obrtanja OΩ . Pravac vektora aω
r r
r
normalan je na ravan koju obrazuju ω i V i upravan je na trenutnu osu obrtanja OΩ . Smer vektora aω
r
r
je onaj odakle se rotacija vektora ω najkraćim putem do poklapanja sa vektorom V vidi kao
matematički pozitivna, tj. uvek je usmeren ka osi obrtanja. Ova komponenta ubrzanja tačke tela koje
r
r
vrši sferno kretanje naziva se aksipetalno ubrzanje. Kada su poznate komponente aε i aω , intenzitet
vektora ubrzanja proizvoljne tačke tela koje vrši sferno kretanje određen je npr. na osnovu kosinusne
teoreme sa
r r
a = aε2 + aω2 + 2aε aω cos ∠( aε , aω ) .
1
1
2
2
Opšte kretanje tela
Jednačine opšteg kretanja slobodnog tela
Opšte kretanje slobodnog tela je takvo kretanje pri kome telo može
da zauzme proizvoljan položaj u prostoru. Slobodno telo koje vrši
opšte kretanje ima šest stepeni slobode kretanja, odnosno njegov
položaj određen je sa šest generalisanih koordinata. Konačne
jednačine opšteg kretanja slobodnog krutog tela date su u obliku
xO = f1( t ) , yO = f 2 ( t ) , zO = f 3 ( t ) ,
1
1
1
ψ = f 4 ( t ) , θ = f5 ( t ) , ϕ = f 6 ( t ) .
Pretpostavlja se da su funkcije fi (i=1,2,3, …, 6) neprekidne,
jednoznačne i najmanje dva puta diferencijabilne.
Brzina tačke tela koje vrši opšte kretanje
Za proizvoljnu tačku M tela važi
r
r
r
rM = rO + ρ M ,
1
r
r
gde je sa rO određen položaj proizvoljno izabranog pola translacije O1 i gde je sa ρ M određen položaj
1
tačke M u odnosu na pol O1 . Tada je
rO
r
r
r
r
r
r
r r
r
r
r r
r
r
VM = r&M = r&O1 + ρ& M , VM = VO1 + VMO1 , VM 1 = ω × ρ M = ω × O1M , VM = VO1 + ω × ρ M .
Ubrzanje tačke tela koje vrši opšte kretanje
Ubrzanje proizvoljne tačke M posmatranog tela je
r&
r
r r
r r
aM = VO1 + ω& × ρ M + ω × ρ& M .
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 6
-
6
r&
r
VO1 = aO1 - ubrzanje pola translacije,
r r
r r
r
ω& × ρ M = ε × ρ M = aε - obrtno ubrzanje tačke M,
r
r r
r
r
r r
r
ω × ρ& M = ω × VMO1 = ω × ( ω × ρ M ) = aω - aksipetalno ubrzanje tačke M,
r
r
r r
r
r
aM = aO + aε + aω = aO + aMO1 .
1
1
Složeno kretanje tačke
Relativno, prenosno i apsolutno kretanje tačke
Za proučavanje složenog kretanja tačke potrebno je neko
pokretno telo I i tačka M koja se kreće po njemu. Kretanje
tačke M u odnosu na nepokretan koordinatni sistem Oxyz
naziva se apsolutno kretanje i određeno je parametarskim
jednačinama kretanja
x = x( t ) ,
y = y( t ) ,
z = z( t ) ,
r
r r
r
ili r = xi + yj + zk . Brzina i ubrzanje tačke M u odnosu na
koordinatni sistem Oxyz naziva se apsolutna brzina, odnosno
apsolutno ubrzanje tačke M. Kretanje tačke M u odnosu na
pokretni koordinatni sistem O1ξης , naziva se relativno
kretanje i određeno je sledećim parametarskim jednačinama
ξ = ξ ( t ) , η = η( t ) , ς = ς ( t ) ,
što se može izraziti u sledećem vektorskom obliku
r
r
r
r
ρ = ξλ + ηµ + ςν .
Kretanje tačke tela I, sa kojom se u datom trenutku poklapa
tačka M, naziva se prenosno kretanje. Prenosna brzina i
prenosno ubrzanje tačke su brzina i ubrzanje one tačke tela I
sa kojom se posmatrana tačka poklapa u datom trenutku.
Brzina tačke pri složenom kretanju (apsolutna brzina tačke)
Položaj tačke M u odnosu na nepokretni koordinatni sistem Oxyz određen je sa
r
r r
r
r r
r
r = ro1 + ρ = ro1 + ξλ + ηµ + ςν ,
r
r
gde je ro = OO1 a ρ = O1M . Tada je
1
r r r
r
V = r& = r&o1 + ρ& ,
r
r&
r
r
r
r
r
ρ& = ξ&λ + η&µ + ς&ν + ξλ + ηµ& + ςν& .
r
Prva tri člana na desnoj strani prethodnog izraza karakterišu brzinu promene vektora ρ u odnosu na
r
pokretni koordinatni sistem O1ξης . Taj deo izvoda po vremenu ρ& predstavlja lokalni (relativni) izvod
r
po vremenu vektora ρ& , odnosno relativnu brzinu tačke M, tako da važi
r
r d ρr
r
r
Vr = r = ξ&λ + η&µ + ς&ν .
dt
r
r
Preostala tri člana u izrazu za ρ& karakterišu promenu vektora ρ koja je posledica kretanja
koordinatnog sistema O1ξης u odnosu na koordinatni sistem Oxyz. Izvodi po vremenu jediničnih
r r r
vektora λ , µ i ν određeni su na sledeći način
r r
r r r
r r r
λ& = ω × λ , µ& = ω × µ , ν& = ω × ν ,
r
gde je ω vektor trenutne ugaone brzine obrtanja tela I oko uslovno nepokretne tačke O1 . Zamenom
ovih relacija dobija se
r
r r r
r
r r
r r
r r
r
r r
ρ& = Vr + ξ ( ω × λ ) + η( ω × µ ) + ς ( ω ×ν ) , ρ& = Vr + ω × ( ξλ + ηµ + ςν ) ,
r
r d ρ r r r r r
ρ& = r + ω × ρ = Vr + ω × ρ .
dt
r r
r r r
Apsolutna brzina tačke M može se sada izraziti kao V = Vo + ω × ρ + Vr . Ako se tačka M ne kreće po
1
r
telu I, tada je Vr = 0 i prethodni izraz svodi se tada na prenosnu brzinu tačke M
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 6
7
r
r
r r
V p = Vo1 + ω × ρ .
Prethodnim izrazom određena je brzina one tačke tela I, koje vrši opšte kretanje, sa kojom se u datom
trenutku poklapa tačka M. Iz svega prethodnog proizilazi da je apsolutna brzina tačke M jednaka zbiru
prenosne i relativne brzine, tj.
r r
r
V = V p + Vr .
Intenzitet, pravac i smer apsolutne brzine određen je, npr. projekcijama na ose Dekartovog pravouglog
koordinatnog sistema Oxyz, tj.
Vx = V px + Vrx ,
Vy = V py + Vry ,
V z = V pz + Vrz .
r r
V
V = V x2 + V y2 + V z2 , cos ∠( V , i ) = x ,
V
r r
Vy
,
cos ∠( V , j ) =
V
r r
V
cos ∠( V , k ) = z .
V
Ubrzanje tačke pri složenom kretanju (apsolutno ubrzanje tačke )
Izraz za apsolutno ubrzanje tačke M koja se kreće po telu I nalazi se određivanjem izvoda po vremenu
izraza za apsolutnu brzinu tačke M, tj.
r r& r&
r r r r r&
a = V = Vo1 + ω& × ρ + ω × ρ& + Vr ,
r
r r
r
pri čemu je V&o = ao - ubrzanje pola translacije, ω& = ε - prenosno ugaono ubrzanje tj. ugaono ubrzanje
1
1
tela I. Analogno izrazu za brzinu može se pisati
r
r
r
r& d rVr r r r r r r d rVr d r2 ρr
r
r
,
Vr =
= 2 = ξ&&λ + η&&µ + ς&&ν .
+ ω × Vr = ar + ω × Vr ar =
dt
dt
dt
r
r
Relativno ubrzanje ar tačke M govori o promeni relativne brzine Vr usled relativnog kretanja. Kada
koordinatni sistem O1ξης miruje, tj. kada se telo I ne kreće, sledi da je
r r
a = ar .
Na osnovu prethodno rečenog, izraz za apsolutno ubrzanje tačke M moguće je napisati u obliku
r r r
r r r
r r r
r r
r
r r r r
r r
r
r r
a = a o1 + ε × ρ + ω × ( Vr + ω × ρ ) + a r + ω × Vr , a = a o1 + ε × ρ + ω × ( ω × ρ ) + a r + 2ω × Vr .
r
r
Kada tačka M ne vrši relativno kretanje, tj. Vr = 0 i ar = 0 , prethodni izraz svodi se na prenosno
ubrzanje tačke M
r r r
r
r
r r
r r r r
r
r
a p = ao1 + ε × ρ + ω × ( ω × ρ ) , a p = ao1 + ε × ρ + ω × VMO1 .
r r
r
Izraz 2ω × Vr naziva se Koriolisovo ubrzanje tačke M, obeležava se sa acor , tj.
r
r
r
a cor = 2ω × Vr .
r
r r
Intenzitet vektora acor određen je sa a cor = 2ωVr sin ∠( ω ,Vr ) . Očigledno je da je Koriolisovo ubrzanje
r
acor jednako nuli u sledećim slučajevima:
1) ω = 0 , tj. kada se telo po kome se kreće tačka, kreće translatorno; 2) Vr = 0 , tj. kada se tačka ne
r
kreće relativno; 3) ωr Vr , tj. kada su vektori trenutne ugaone brzine tela po kome se kreće tačka i
relativne brzine tačke paralelni.
r
Pravac vektora Koriolisovog ubrzanja acor upravan je na ravan koju obrazuju
r r
vektori trenutne ugaone brzine tela po kome se kreće tačka ω ≡ ω p i relativne
r
r
brzine tačke Vr , a smer je takav da se posmatrano sa kraja vektora acor obrtanje
r
r
vektora ω najkraćim putem do poklapanja sa vektorom Vr , vidi kao matematički
pozitivno. Na osnovu prethodnog proizilazi da je apsolutno ubrzanje tačke M
jednako zbiru prenosnog, relativnog i Koriolisovog ubrzanja, tj.
r r
r r
a = a p + ar + acor .
Intenzitet, pravac i smer vektora apsolutnog ubrzanja tačke M može se odrediti pomoću
projekcija na ose nepokretnog Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema Oxyz, tj.
a x = a px + a rx + a corx , a y = a py + a ry + a cory , a z = a pz + a rz + acorz .
a
rr
r r
r r
a
a
a = ax2 + a y2 + az2 ,
cos ∠( a ,i ) = x , cos ∠( a , j ) = y , cos ∠( a ,k ) = z .
a
a
a
Download

Sferno kretanje tela (Obrtanje tela oko nepokretne tačke)