Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 5
1
Kretanje tačke pod dejstvom centralne sile
Zakon površine
r
Neka se posmatra kretanje tačke M, mase m, na koju deluje samo centralna sila F , pri
r
čemu je centar sile u nepokretnoj tački O. Moment sile F
u odnosu na tačku O je za sve vreme kretanja tačke jednak
r r
nuli, tj. M 0 F = 0 , tako da važi zakon o održanju
momenta količine kretanja tačke. Odatle sledi
r
r
r r
r
r r
r
LO = m r × V = const . , LO = r × mV = r0 × mV0 .
r
r
Razlikuju se dva slučaja: LO = const. ≠ 0 i LO = 0 . Ako je
r
r
r
r
LO = const. ≠ 0 vektor LO je upravan na vektore r i mV ,
pa sledi da je trajektorija tačke kriva koja pripada ravni koja prolazi kroz centar sile
r
r
O, a upravna je na vektor LO . Ta ravan naziva se Laplasova ravan. Ako je LO = 0
tačka rse kreće pravolinijski. Sektorska brzina tačke može se izraziti u obliku
r
r dA 1 r r
S=
= r × V , 2S = const . , što znači da je u slučaju kretanja tačke pod dejstvom
dt 2
dA
= C , A = Ct + C1 ,
centralne sile sektorska brzina tačke konstantan vektor, pa je
dt
gde je C1 - integraciona konstanta. Dakle, pri kretanju tačke na koju deluje centralna
sila, površina koju opisuje njen vektor položaja menja se proporcionalno vremenu. Na
r
r
osnovu prethodnog sledi da je LO = 2mS , a ako se tačka na koju deluje centralna sila
r
kreće u ravni, na primer Oxy, a vektor LO je stalno upravan na tu ravan, sledi
C
LOz = 2mS z ≡ C z , odnosno S z = z . Kinetički moment tačke, izražen u prethodnom
2m
obliku naziva se integral površine. U polarno-cilindarskom koordinatnom sistemu je
r
r r
r0 p0 k
r
r
r 1
r 1
S=
r 0 0 , S = r 2ϕ& k = S z k , LOz = mr 2ϕ& .
2
2
r& rϕ& 0
( )
(
(
)
)
Diferencijalne jednačine kretanja tačke pod dejstvom centralne sile
Vr0 = r&0 = V0 cos α , V p0 = r0ϕ& 0 = V0 sin α
Iz osnovne jednačine dinamike tačke dobija se
ma r = m(&r& − rϕ& 2 ) = Fr , ma p = m( rϕ&& + 2r&ϕ& ) = F p .
1d 2
Kako je a p = rϕ&& + 2r&ϕ& =
( r ϕ& ) , diferencijalne jednačine
r dt
1d 2
kretanja tačke su m(&r& − rϕ& 2 ) = Fr ,
(r ϕ& ) = 0 .
r dt
Iz druge, od prethodnih jednačina, sledi njen prvi integral koji se može izraziti preko
r
projekcije S z sektorske brzine S na osu Oz, tj. r 2ϕ& == 2S z = 2C = const . . Na taj
način je r 2ϕ& = r02ϕ& 0 = r0V p0 = r0V0 sin α .
Tada važi da je C =
1 2
1
1
r ϕ& = r02 ϕ& 0 = r0V 0 sin α , a diferencijalne jednačine su
2
2
2
2
&
&
&
m(r − rϕ ) = Fr (r )
r 2ϕ& = 2C = const.
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 5
2
Bineova jednačina
r
r
Pretpostavlja se da je r0 × mV0 ≠ 0 , tj. da je C ≠ 0 . Izvodi po vremenu potega tačke
su
dr&
2C d ⎡
d ⎛ 1 ⎞⎤
4C 2 d 2 ⎛ 1 ⎞
dr
dr 2C
d ⎛1⎞
&
&
&
ϕ= 2
ϕ& =
r& =
= −2C
⎜ ⎟,
⎜ ⎟, r =
⎢− 2C dϕ ⎜ r ⎟⎥ = − 2
dϕ
r dϕ ⎣
r dϕ 2 ⎝ r ⎠
dϕ
dϕ r 2
dϕ ⎝ r ⎠
⎝ ⎠⎦
pa je
r 2 Fr ( r )
d2 ⎛1⎞ 1
+
=
−
,
⎜
⎟
dϕ 2 ⎝ r ⎠ r
4mC 2
što predstavlja Bineovu jednačinu, tj. diferencijalnu jednačinu kretanja tačke pod
dejstvom centralne sile.
Kretanje tačke pod dejstvom Njutnove sile opšte gravitacije
Neka se posmatra kretanje tačke mase m, koju privlači telo mase M sa centrom
privlačenja u tački O, silom koja se definiše pomoću Njutnove sile opšte gravitacije
r
r
mM r
F =−f 2
, gde je f – univerzalna gravitaciona konstanta, a r – rastojanje tačke od
r r
r
centra tela – centra privlačenja. Projekcija sile F na pravac koji prolazi kroz centar
r r
r
tela i tačku, a koji je određen jediničnim vektorom r0 ( r = rr0 ), data je sa
mM
Fr ( r ) = − f 2 . Diferencijalna jednačina kretanja posmatrane tačke je
r
d2 ⎛1⎞ 1 f M
d2 ⎛1⎞ 1 1
fM 1
+
=
=
,
,
⎜ ⎟+ = ,
⎜
⎟
dϕ 2 ⎝ r ⎠ r 4C 2
4C 2 p dϕ 2 ⎝ r ⎠ r p
1
⎛1⎞
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
a rešenje ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ = C1 cos ϕ + C2 sin ϕ , ⎜ ⎟ = ,
⎝ r ⎠p p
⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠h ⎝ r ⎠ p ⎝ r ⎠h
1
1
= C1 cos ϕ + C2 sin ϕ + ,
r
p
1 dr
1 r&
1 Vr
d ⎛1⎞
=− 2 =−
= −C1 sin ϕ + C 2 cos ϕ .
⎜ ⎟=− 2
r Vp
dϕ ⎝ r ⎠
r ϕ&
r dϕ
t 0 = 0, r0 = OM 0 , Vr0 = r&0 = V0 cos α ,
ϕ 0 = 0,
C1 =
V p0 = r0ϕ& 0 = V0 sin α ,
1
1
,
−
r0 p0
C2 = −
ctgα
,
r0
1 ⎞
ctgα
1
1 ⎛1
= ⎜⎜ − ⎟⎟ cos ϕ −
sin ϕ + ,
r0
p
r ⎝ r0 p0 ⎠
Uvođenjem novih konstanti 1 − 1 = A cos β , − ctgα = A sin β ,
r0
p
r0
1
1
ctg 2α ( p − r0 ) 2
= A cos( ϕ − β ) + , A =
, tgβ = p ctgα , a ako je
+
2
2 2
r
p
r0
r0 p
r0 − p
e
p
A = i ψ = ϕ − β , rešenje je r =
i predstavlja liniju putanje posmatrane
1 + e cosψ
p
tačke. Poteg r dostiže ekstremnu vrednost za ψ = 0 pri e ≠ −1 , odnosno za ψ = π
pri e ≠ 1 .U prvom slučaju imenilac u prethodnoj relaciji ima minimalnu vrednost, tj.
p
r ψ =0 = rmin =
, a u drugom slučaju poteg dostiže maksimalnu vrednost, tj.
1+ e
rešenje je
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 5
3
p
. Zapaža se da su potezima rmin i rmax određene dve tačke na pravcu
1− e
ψ = 0 . Ako se taj pravac usvoji za osu Ox Dekartovog pravouglog koordinatnog
sistema Oxy, linija putanje tačke može se izraziti i na sledeći način
2
x 2 + y 2 = ( p − ex ) , tj. predstavlja jednačinu konusnog preseka
u Dekartovim koordinatama. Pri tome je: tačka O - fokus (žiža)
konusnog preseka; r - fokusni poteg; Ox - fokusna osa simetrije
koja prolazi kroz najbližu tačku P konusnog preseka (perihel) i
najudaljeniju tačku konusnog preseka (afel), a usmerena je
prema perihelu; ψ - ugao između fokusne ose simetrije i potega;
p - parametar – dužina potega normalnog na fokusnoj osi
simetrije i e - ekscentricitet konusnog preseka. U slučaju kada je
e = 1 sledi y 2 = p 2 − 2 px , što predstavlja jednačinu parabole.
Kada je e > 1 izraz 1 + e cos ψ može biti jednak nuli što znači da poteg može da bude
i beskonačno veliki. Ovakvo svojstvo ima hiperbola. Kada je e < 1 vidi se da izraz
1 + e cosψ ne može da bude jednak nuli, što znači da
potezi nikada ne mogu biti beskonačno veliki. Putanje u
ovom slučaju mogu da budu samo elipse. Za e = 0 sledi
x 2 + y 2 = p 2 , što znači da je u ovom slučaju reč o
kružnici. Iz prethodnih razmatranja može se zaključiti da
oblik krive konusnog preseka zavisi samo od
ekscentriciteta e, koji iz prikazanog postupka rešavanja
diferencijalne jednačine predstavlja integracionu konstantu.
Zbog toga je potrebno odrediti zavisnost veličine e od početnih uslova.
Neka je tačka započela kretanje iz perihela P ili afela, tj. neka je u početnom trenutku
t0 = 0 ,
ψ0 = 0 ∨ ψ0 = π ,
V ( t 0 ) = V0 .
pe sinψ
Diferenciranjem, po vremenu, jednačine kretanja, dobija se r& =
ψ& .
( 1 + e cosψ ) 2
p
p
= rmin , r0 = r ψ =π =
= rmax ,
Koristeći početne vrednosti sledi r0 = r ψ =0 =
1+ e
1− e
r
r&0 = 0 , proizilazi da početna brzina tačke V0 ima samo poprečnu komponentu, tj.
r
r
r r
V0 = V p0 , tj. ∠ r0 ,V0 = 90 o . Sa tako datim početnim uslovima kretanja tačke određena
r ψ =π = rmax =
(
)
je i veličina e. U tom cilju treba najpre odrediti veličinu p, a za to je neophodna
r 2V 2
dvostruka sektorska brzina tačke 2C . Kako je 2C = r0V0 , sledi p = 0 0
fM
r0V02
− 1 . Prethodno analizirano kretanje tačke može poslužiti kao model kretanja
fM
planeta Sunčevog sistema. Pri tome uzima se da na planete deluje jedna centralna sila
iz centra Sunca, a na satelite pojedinih planeta centralna sila sa centrom u
odgovarajućoj planeti. Takva kretanja nazivaju se Keplerova.
e=
Keplerovi zakoni
Posmatrajući isključivo kretanje planeta Sunčevog sistema, Kepler je uočio određene
zakonitosti pre nego što je Njutn formulisao svoje zakone. Keplerovi zakoni glase:
1.) Sve planete se kreću po eliptičnim putanjama u čijoj se jednoj žiži nalazi Sunce.
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 5
4
2.)
Vektori položaja planeta u odnosu na Sunce opisuju za jednaka vremena,
jednake površine.
3.) Kvadrati vremena obilaženja planeta oko Sunca, odnose se kao kubovi većih
poluosa njihovih putanja.
Zapaža se da je razmatrano kretanje pod dejstvom Njutnove sile opšte gravitacije, u
saglasnosti sa I Keplerovim zakonom. Takođe se zapaža da je u dosadašnjim
razmatranjima proučen i II Keplerov zakon koji ukazuje na činjenicu da je sektorska
brzina planeta, pri kretanju planeta oko Sunca, konstantna.
Pri jednom punom obilasku planete oko Sunca vektor položaja
planete opiše površinu elipse koja je određena sa
A = abπ = CT gde je a – velika poluosa elipse, b – mala
poluosa elipse, C – sektorska brzina planete i T – vreme
1
obilaska planete oko Sunca. Kako je a = ( rmin + rmax ) ,
2
p
a=
, a rastojanje između žiža (fokusa) c elipse dato sa
1 − e2
c = a − rmin sledi c = ae . Mala poluosa elipse b može se povezati sa veličinom p
polazeći od relacije b = a 2 − c 2 , pa je b = ap . Sada je vreme obilaska planete oko
4π 2 3
a 3π 2 p
2
T
a . Ako su T1 i T2 vremena obilaženja dveju planeta
=
,
fM
C2
T22 a23
oko Sunca, a a1 i a 2 veće poluose njihovih putanja, sledi 2 = 3 .
T1
a1
Trajektorije veštačkih Zemljinih satelita
p
= rmin
Neka su početni uslovi kretanja satelita dati sa: r0 =
1+ e
r r
p
= rmax i ∠ r0 ,V0 = 90 o , odnosno da se
ili r0 =
1− e
Sunca T 2 =
(
)
2
ekscentricitet e može izraziti u obliku e = r0V0 − 1 ,gde je sa
fM Z
M Z označena masa Zemlje. Kada se satelit nalazi na površi
r
mM Z
, gde
Zemlje, tada se Njutnova sila opšte gravitacije svodi na Fr ( r ) = mg = f
R2
je R poluprečnik Zemlje i uzima se da je R ≈ 6 370 km , pa je fM Z = gR 2 , tako da je
2
intenzitet početne brzine satelita V0 = gR ( 1 + e ) .
r0
a) Trajektorija satelita biće kružnica ako je e = 0 i tada je V0 =
b) Trajektorija satelita biće elipsa ako je 0 < e < 1 i tada je V0 <
gR 2
.
r0
2 gR 2
.
r0
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 5
Ako je
gR 2
< V0 <
r0
0 < V0 <
gR 2
satelit se vraća na Zemlju (slučaj važan u balistici).
r0
5
2 gR 2
satelit se kreće po elipsi obilazeći Zemlju, a ako je
r0
c) Trajektorija satelita biće parabola ako je e = 1 i tada je V0 =
d) Trajektorija satelita biće hiperbola ako je e > 1 i tada je V0 >
2 gR 2
.
r0
2 gR 2
.
r0
Za uslove poletanja satelita u blizini Zemlje, kada je r0 = R , dobija se prva kosmička
brzina, tj. neophodan intenzitet početne brzine satelita da bi on kružio oko Zemlje
km
V1 = V0 = gR ≈ 7 ,9
. Druga kosmička brzina, tj. neophodan intenzitet početne
s
km
brzine satelita da bi on napustio orbitu oko Zemlje je V2 = V0 = 2 gR ≈ 11,2
.
s
Samo trajektorije oblika kružnice i elipse, koje se postižu početnim brzinama
km
km
određenim sa 7 ,9
≤ V0 < 11,2
mogu biti trajektorije veštačkih Zemljinih
s
s
satelita.
Dinamika relativnog kretanja tačke
Diferencijalne jednačine relativnog kretanja tačke
Kretanje tačke u odnosu na inercijalne koordinatne
siteme koji se smatraju uslovno nepokretnim naziva se
apsolutno kretanje tačke. Postoji čitav niz problema
kretanja tačke koja se kreće u odnosu na neko telo, pri
čemu se to telo kreće na proizvoljan način u odnosu na
inercijalni koordinatni sistem. Mnoge od ovih problema
pogodnije je posmatrati u odnosu na neinercijalne
koordinatne sisteme vezane za to pokretno telo. Kretanje
tačke u odnosu na takve koordinatne sisteme naziva se
relativno kretanje tačke. U odnosu na takve koordinatne
sisteme, u opštem slučaju, neće važiti osnovna jednačina dinamike tačke.
Osnovna jednačina dinamike tačke, u odnosu na inercijalni (uslovno nepokretni)
r
r r
r
koordinatni sistem Oxyz je: ma = F a + R , gde je a apsolutno ubrzanje posmatrane
ra
r
tačke, F rezultanta svih aktivnih sila koje deluju na tačku, a R reakcija veze.
Poznato je iz kinematike da važi
r
r
r r
r
r
r
r r
r
r
r
r
r
d rVr d r2 ρ && r
r
r
a = a p + a r + a cor , a p = a A + ε p × ρ + ω p × ( ω p × ρ ) , a r =
= 2 = ξ λ + η&& μ + ς&&ν
dt
dt
r
r
r
r
r
acor = 2ω p × Vr , gde je: a A - ubrzanje tačke A (pola translacije), ω p - prenosna ugaona
r
brzina (ugaona brzina tela I u odnosu na inercijalni koordinatni sistem), ε p - prenosno
ugaono ubrzanje (ugaono ubrzanje tela I u odnosu na inercijalni koordinatni sistem),
r
r
r
r
ρ = ξ λ + η μ + ς ν - vektor položaja tačke u odnosu na pokretni koordinatni sistem
r
r d r ρr
r
r
r
Aξηζ , Vr - relativna brzina tačke M , tj. Vr =
= ξ& λ + η& μ + ς&ν , pri čemu je sa
dt
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 5
6
r r r
dr
označen lokalni (relativni) izvod po vremenu, i gde su λ , μ i ν - jedinični vektori
dt
r
r
r
r
r
pokretnog koordinatnog sistema Aξηζ . Sada je ma p + ma r + ma cor = F a + R ,
r
r
r
r
r
r
r
odnosno mar = F a + R − ma p − macor . Ako se uvedu oznake − ma p = Fpin ,
r in
r
− macor = Fcor
, prethodna jednačina dobija oblik
r
r r
r in
r
.
ma r = F a + R + Fpin + Fcor
r in
r in
Vektori Fp i Fcor imaju dimenziju sile, a njihov smer je suprotan od smera vektora
r
r
r
ubrzanja a p i acor , respektivno. Vektor Fpin naziva se prenosna inercijalna sila, a
r in
vektor Fcor
- Koriolisova inercijalna sila.
Prethodna jednačina određuje kretanje tačke u odnosu na neinercijalni koordinatni
sistem Aξηζ i ona se naziva osnovna jednačina dinamike relativnog kretanja tačke.
r in
r
U opštem slučaju, prenosna inercijalna sila ima tri komponente: FpA
= − ma A r
r r
prenosna
translatorna,
prenosna
obrtna
i
F pin1 = − m ( ε × ρ )
r in
r
r
r
F p 2 = − m ( ω p × ( ω p × ρ )) - prenosna aksipetalna.
Ako je za neinercijalni (pokretni) koordinatni sistem Aξηζ izabran Dekartov
pravougli koordinatni sistem, tada je
α
α
in
in
in
in
in
&&
&&
mξ&& = Fξα + Rξ + F pinξ + Fcor
ξ , mη = Fη + Rη + F pη + Fcorη , mζ = Fζ + Rζ + F pζ + Fcorζ .
Ako je za neinercijalni (pokretni) koordinatni sistem izabran prirodni trijedar, u tački
relativne putanje, tada se dobijaju sledeće skalarne diferencijalne jednačine relativnog
kretanja tačke
Vr2
dVr
a
in
in
a
in
in
m
= Ft + Rt + Fpt , m
= Fna + Rn + F pnin + Fcor
n , 0 = Fb + Rb + F pb + Fcor b .
dt
Rk
Relativna ravnoteža tačke
Pod relativnom ravnotežom (mirovanjem) tačke podrazumeva se njeno mirovanje u
r
r
odnosu na neinercijalni koordinatni sistem. Tada je Vr = 0 , ar = 0 i
r in
r
r
Fcor
= 2ω p × Vr = 0 , pa je
r
r r
0 = F a + R + Fpin .
Ova jednačina predstavlja jednačinu relativne ravnoteže tačke.
Teorema o promeni kinetičke energije pri relativnom kretanju tačke
Diferencijalna jednačina relativnog kretanja tačke je
r
r r
r
r
r
ma r = F a + R + F pin − 2m ( ω p × Vr ) .
r
r d r ρr
r
r
Množeći skalarno, relativnom brzinom tačke Vr =
= ξ& λ + η& μ + ς&ν , levu i desnu
dt
stranu prethodne jednačine, sledi
r
r d r Vr
r r r r
r
r
r
r
r
mV r ⋅
= F a ⋅ Vr + R ⋅ Vr + F pin ⋅ Vr − 2m ( ω p × Vr ) ⋅ Vr . (7.47)
dt
r
r
r
r
r r
r r
r
r r
Kako je ( ω × Vr ) ⋅ Vr = 0 , tj. mVr ⋅ d rVr = F a ⋅ d r ρ + R ⋅ d r ρ + F pin ⋅ d r ρ . Leva strana
ove
jednačine
može
se
transformisati
na
sledeći
način
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 5
r
r
⎛1
⎞
mVr ⋅ d rVr = d r ⎜ mVr2 ⎟ = dE kr , što znači da
⎝2
⎠
energije tačke pri njenom relativnom kretanju.
predstavljaju elementarne radove odgovarajućih
znači da se ta jednačina može pisati u obliku
r
r
dE kr = δ Ar F a + δ Ar R
( )
7
predstavlja diferencijal kinetičke
Sabirci na desnoj strani jednačine
sila na relativnoj putanji tačke. To
( ) + δ A (F ) ,
r in
r
p
što predstavlja diferencijalni oblik teoreme o promeni kinetičke energije tačke pri
njenom relativnom kretanju i može se formulisati na sledeći način: diferencijal
kinetičke energije tačke, pri njenom relativnom kretanju, jednak je zbiru elementarnih
radova na relativnom pomeranju rezultante svih aktivnih sila, reakcije veze i prenosne
inercijalne sile.
Integracijom, u odgovarajućim granicama relativne brzine tačke, od Vr1 do Vr2 i u
granicama od položaja M 1 do položaja M 2 relativne putanje, tj.
Vr2
( )
()
( )
M2
r a M2
r M2
r in
⎛1
2⎞
d
mV
=
δ
A
F
+
δ
A
R
+
δ
A
F
⎜
⎟
∫ r ⎝ 2 r ⎠ M∫ r
∫ r M∫ r p ,
Vr1
M
1
1
1
dobija se
( )
()
( )
r
r
r
1
1
mVr22 − mVr12 = Ar ( M1M 2 ) F a + Ar ( M1M 2 ) R + Ar ( M1M 2 ) F pin , (7.52)
2
2
što predstavlja teoremu o promeni kinetičke energije tačke u konačnom obliku, pri
njenom relativnom kretanju, a koja se može formulisati na sledeći način: konačna
promena kinetičke energije tačke, pri njenom relativnom kretanju, na nekom
konačnom relativnom pomeranju tačke, jednaka je zbiru radova svih aktivnih sila,
reakcija veza i prenosne inercijalne sile na tom istom relativnom pomeranju tačke.
Download

Predavanje br.5