Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 1
1
Opšte teoreme i zakoni dinamike sistema
Količina kretanja tačke
r
Pod količinom kretanja tačke ( K ) podrazumeva se vektorska veličina koja je jednaka
r
r
r
proizvodu mase m tačke i njene brzine V , tj. K = m V .
Količina kretanja materijalnog sistema
Neka materijalni sistem čini n tačaka, čije su mase mi , i=1,2,...,n. Količina kretanja
r
materijalnog sistema je tada K =
n
∑
i =1
r
Ki =
n
∑
i =1
r
m iV i .
n
r
r
Imajući u vidu relaciju za određivanje položaja centra masa mrC = ∑ mi ri , tada je
i =1
r
r
n
n
r
r
drC
dri
r
r⎞
r
d
d⎛
d
(mrC ) = ⎜ ∑ mi ri ⎟ = ∑ (mi ri ) , m
= ∑ mi
, mVC = ∑ miVi ,
dt
dt ⎝ i =1
dt
dt
i =1
i =1
⎠ i =1 dt
r
r
r
K = mVC = K C
Impuls sile
1.) Elementarni impuls sile: Pod elementarnim impulsom sile
r
dI podrazumeva se veličina koja je jednaka proizvodu sile
r
F koja deluje na tačku i infinitezimalno malog intervala
r r
vremena dt , tj. dI = Fdt .
2.) Impuls sile (ukupni impuls sile): Ako tačka pod dejstvom
r
sile F pređe iz položaja M 0 u kome se našla u trenutku t 0
n
n
u položaj M, koji odgovara trenutku t, tada je u datom intervalu vremena ( t 0 ,t)
r
r t r
impuls sile F određen sa I = ∫ Fdt .
t0
Teorema o promeni količine kretanja materijalnog sistema
Diferencijalna jednačina kretanja i-te reprezentativne materijalne tačke je
r
r
rs ru
r
r
r
dVi
dK i
d
= Fi + Fi ,
mi
miVi =
= Fi s + Fi u ,
dt
dt
dt
r
n r
n
dK
d⎛ n r ⎞ n r
odakle se sumiranjem, za sve tačke, dobija ∑ i = ⎜ ∑ K i ⎟ = ∑ Fi s + ∑ Fi u .
dt ⎝ i =1 ⎠ i =1
i =1
i =1 dt
r
n r
n
r
r
r
r
dK
= FRs , tj.: izvod po vremenu
Kako je ∑ Fi s = FRs i ∑ Fi u = FRu = 0 , tada je
dt
i =1
i =1
količine kretanja materijalnog sistema jednak je glavnom vektoru spoljašnjih sila koje
deluju na materijalni sistem. Projektovanjem članova prethodne relacije na ose
izabranog koordinatnog sistema, npr. Oxyz, dobijaju se teoreme o promeni količine
kretanja materijalnog sistema u odnosu na ose, tj.
K& x = X Rs , K& y = YRs , K& z = Z Rs .
(
)
Ako se teorema o promeni količine kretanja materijalnog sistema, u diferencijalnom
r r
obliku, napiše kao dK = FRs dt , integracijom se dobija
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 1
2
t1
r
r
r
r
K1 − K 0 = ∫ FRs dt = I Rs ,
t0
što predstavlja teoremu o promeni količine kretanja materijalnog sistema, u
(konačnom) integralnom obliku, koja glasi: promena količine kretanja materijalnog
sistema u konačnom intervalu vremana jednak je impulsu glavnog vektora spoljašnjih
sila koje deluju na materijalni sistem, u istom intervalu vremena. Odgovarajuće
skalarne jednačine su
t1
t1
t1
K x1 − K x0 = ∫ X dt = I , K y1 − K y0 = ∫ Y dt = I , K z1 − K z0 = ∫ Z Rs dt = I Rs z .
s
R
s
R
s
Rx
t0
s
Ry
t0
t0
Zakon o održanju količine kretanja materijalnog sistema i zakon o održanju
položaja centra masa
Ako na materijalni sistem deluje takav sistem spoljašnjih sila da njegov glavni vektor
r
jednak nuli, tj. FRs = 0 , tada iz teoreme o promeni količine kretanja sledi zakon o
održanju količine kretanja materijalnog sistema, u obliku
r
r
r
r
dK = 0 , K = const. , ili K1 = K 0 = const.
U specijalnom slučaju kada je i brzina centra masa materijalnog sistema u nekom
trenutku jednaka nuli, tada iz zakona o održanju količine kretanja materijalnog
sistema sledi
r r
r
r
r
K = K C = mVC = mr&C = 0 ,
rC = const.
tj. u tom slučaju ne menja se položaj centra masa materijalnog sistema.
Često se dešava da za neku od osa inercijalnog koordinatnog sistema (npr. osu Ox)
važi X Rs = 0 . Tada važi zakon o održanju količine kretanja za osu, tj. K x = const. U
specijalnom slučaju, ako je u i nekom trenutku t 0 zadovoljeno K x (t 0 ) = 0 , tada je
K x = 0 , tj.
n
K x = ∑ mi x& i =
i =1
n
d⎛ n
⎞
⎜ ∑ mi xi ⎟ = 0 , ∑ mi xi = const. , xC = const. ,
dt ⎝ i =1
i =1
⎠
n
∑ m x (t
i =1
i
i
n
0
) = ∑ mi xi (t1 ) .
i =1
Moment količine kretanja tačke
Moment količine kretanja (kinetički moment) tačke, u odnosu na neki pol O je
r
r
r r r
LO = r × K = r × mV ,
r
r
gde je r - vektor položaja tačke u odnosu na pol O, a K njena količina kretanja.
Moment količine kretanja tačke, u odnosu na neku osu Ou je projekcija na tu osu
r
kinetičkog momenta LO .
Moment količine kretanja materijalnog sistema
Moment količine kretanja (kinetički moment) materijalnog
sitema, u odnosu na neki pol O je glavni vektor momenata
količine kretanja tačaka sistema određenih u odnosu na isti
pol
r
LO =
n
∑
i =1
r
LO i =
n
∑
i =1
r
M
O
r
(K i) =
n
∑
i =1
r
r
ri × m i V i .
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 1
3
Moment količine kretanja materijalnog sistema u odnosu na neku osu koja prolazi
r
kroz pol O je projekcija na tu osu kinetičkog momenta LO u odnosu na taj pol O
r r
Lu = LO ⋅ u . Kako je
r
LO =
r
r
ri × m i V i =
n
∑
i =1
r
i
x
r
j
y
r
k
z
m i x& i
m i y& i
m i z& i
n
∑
i =1
,
tada je
n
r r
L x = L O ⋅ i = ∑ m i ( y i z& i − z i y& i ) , ...,
i =1
n
r r
L z = LO ⋅ k = ∑ mi ( xi y& i − y i x& i ) .
i =1
U slučaju obrtanja materijalnog sistema oko nepokretne ose,
npr. ose Oz, važi x i = rzi cos ϕ , y i = rzi sin ϕ i ϕ& = ω z , pa je
n
n
n
i =1
i =1
i =1
L z = ∑ mi ( xi y& i − y i x& i ) = ∑ mi ω z rz2i (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) = ω z ∑ mi rz2i = J z ω z .
Do istog rezultata se dolazi i kada je u pitanju kruto telo.
Veza između momenta količine kretanja materijalnog sistema u odnosu na
nepokretni pol i središte masa sistema
Uočimo dva koordinatna sistema: Oxyz – Dekartov inercijalni koordinatni sistem, i
Cx1 y1 z1 - Dekartov translatorno pokretni koordinatni sistem
smešten u središtu masa. Položaj proizvoljne tačke
r
r r
materijalnog sistema određen je sa ri = rC + ρ i , pa je
r drri
r
r
Vi =
= VC + V MCi .
dt
Sada je
r
LO =
n
∑
i =1
=
r
r
ri × m i V i =
r
(rrC + ρr i )× m i ⎛⎜ V C
∑
⎝
i =1
r
n
r
r
dρi
⎛ r
rC × m i V C + ∑ ⎜ rC × m i
dt
i =1 ⎝
r
n
n
r
dρ i ⎞
r
⎛r
+ ∑ ρ i × miVC + ∑ ⎜ ρ i × mi
⎟.
∑ (
n
i =1
n
)
(
)
r
dρi ⎞
+
⎟ =
dt ⎠
⎞
⎟+
⎠
dt ⎠
r
r
r
dρi ⎞
r
r
⎛ r
Imajući u vidu da je ∑ rC × m iV C = rC × K , ∑ ⎜ rC × m i
⎟ = 0 ,
dt ⎠
i =1
i =1 ⎝
r
n
n
n
r
dρ i ⎞ rr
r
r r
⎛r
ρ i × m i VC = ∑ m i ρ i × VC = 0 , ∑ ⎜ ρ i × m i
⎟ = LC , dobija se
∑
dt ⎠
i =1
i =1
i =1 ⎝
r
r r
r r
r
LO = rC × K + LrC = OC × K + LrC
i =1
n
(
)
(
(
)
i =1
⎝
n
)
Veza između kinetičkih momenata u odnosu na dva nepokretna
pola
Neka su kinetički momenti u odnosu na nepokretne polove O i O1
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 1
4
r
r r
r
r r
određeni
sa
i
LO1 = O1C × K + LrC .
Sada
je
LO = OC × K + LrC
r
r
r
LO1 = LO + (O1C − OC ) × K . Kako je O1C = O1O + OC , dobija se relacija koja
r
r
r
pokazuje promenu kinetičkog momenta pri promeni pola, tj. LO1 = LO + O1O × K .
r
Ako materijalni sistem vrši translatorno kretanje, tada je LrC = 0 , pa je kinetički
r
r
moment takvog materijalnog sistema LO = OC × K .
Teorema o promeni kinetičkog momenta materijalnog sistema u odnosu na
nepokretni pol i nepokretnu osu
Za i-tu tačku materijalnog sistema važi
r
r
r
r r
r&
r r d
r r
r&
r r r&
r
LiO = r&i × miVi + ri ×
miVi , r&i × miVi = Vi × miVi = 0 , LiO = ri × Fi , LiO = M O Fi ,
dt
r
rs ru
r&
r r
r r
gde je Fi = Fi + Fi , pa je LiO = M O Fi s + M O Fi u . Sabirajući prethodnu relaciju,
za svaku od n tačaka materijalnog sistema, dobija se
r&
r
r
r
LO = M Os + M Ou . Imajući u vidu da je glavni moment unutrašnjih sila M Ou = 0 , sledi
r&
r
LO = M Os ,
tj. izvod po vremenu kinetičkog momenta materijalnog sistema, određenog u odnosu
na nepokretni pol, jednak je glavnom momentu svih spoljašnjih sila koje deluju na
sistem u odnosu na isti nepokretni pol.
Projektujući članove prethodne relacije na ose nepokretnog koordinatnog sistema,
npr. Oxyz, dobijaju se izrazi koji predstavljaju teoremu o promeni kinetičkog
momenta u odnosu na nepokretnu osu
s
s
s
, L& Oy = M Oy
, L& Oz = M Oz
.
L& Ox = M Ox
(
( )
)
( )
( )
Zakon o održanju kinetičkog momenta materijalnog sistema u odnosu na
nepokretni pol i nepokretnu osu
r&
r
Ako za sve vreme kretanja materijalnog sistema važi da je M Os = 0 , tada je LO = 0 , tj
r
LO = const.
Dakle, ako je za sve vreme kretanja materijalnog sistema glavni moment spoljašnjih
sila u odnosu na nepokretni pol jednak nuli, tada je kinetički moment u odnosu na isti
pol konstantan.
Ako na materijalni sistem deluje takav sistem sila da za neku nepomičnu osu Ou važi
s
da je M Ou
= 0 , tada je L& Ou = 0 , tj. LOu = const. , što predstavlja zakon o održanju
kinetičkog momenta u odnosu na nepokretnu osu.
r
r
U posebnom slučaju, kada je M Os = 0 , a u nekom trenutku t 0 je LO (t 0 ) = 0 , tada je
r
LO = 0 , što predstavlja specijalni slučaj zakona o održanju kinetičkog momenta u
s
odnosu na nepokretni pol. Ako za za neku nepomičnu osu Ou važi da je M Ou
= 0, a u
nekom trenutku t 0 je LOu (t 0 ) = 0 , tada je u svakom trenutku LOu = 0 .
Teorema o promeni kinetičkog momenta materijalnog sistema u odnosu na
pokretni pol i pokretnu osu
r
Neka je sa ri određen položaj i-te materijalne tačke u odnosu na pol O nepokretnog
r
koordinatnog sistema Oxyz i neka je sa ρ i određen položaj te tačke u odnosu na
n
n
r
r
r
r r
r
r r
r r
pokretni pol A.Tada važi ri = rA + ρ i i L A = ∑ ρ i × miVi , tj. L A = ∑ (ri − rA ) × miVi .
i =1
i =1
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 1
5
Diferenciranjem po vremenu dobija se
n r
n r
n
r
r
r&
r&
r r
L A = ∑ Vi × miVi − ∑ V A × miVi + ∑ (ri − rA ) × miVi .
i =1
i =1
i =1
Prvi član u prethodnom izrazu jednak je nuli, a kako je
r
K =
n
∑
i =1
r
m iV i i
(
)
n
n
n
r&
rs ru
rs
r
r
r rs
r r
r
(
)
r
−
r
×
m
V
=
ρ
×
m
a
=
ρ
×
F
+
F
=
ρ
×
F
=
M
∑ i A i i ∑ i i i ∑ i i i ∑ i i
A,
n
i =1
i =1
i =1
i =1
dobija se teorema o promeni kinetičkog momenta materijalnog sistema u odnosu na
pokretni pol, u obliku
r&
r
r
r
L A + V A × mVC = M As .
Izrazi za teoreme o promeni kinetičkog momenta u odnosu na nepokretni i pokretni
r
r
pol razlikuju se za član V A × mVC . Ove dve teoreme imaće isti oblik ako je:
r
1. V A = 0 , tj. i pol A je nepokretan,
r
2. VC = 0 , tj. pol A je pokretan, a centar masa nepokretan,
r r
3. V A || VC , tj. brzine oba pola su paralelne
r
r&
4. A ≡ C , tj. za pokretni pol se usvaja središte masa C, i tada je LC = M Cs .
r
r
U specijalnom slučaju, kada je M Cs = 0 , sledi da je LC = const. , što predstavlja zakon
o održanju kinetičkog momenta u odnosu na središte masa. Ravan koja je u tom
r
r
slučaju upravna na LC i nepokretna, naziva se Laplasova ravan. Ako je M Cs = 0 i ako
r
su u nekom trenutku sve tačke sistema mirovale tada je za sve vreme kretanja LC = 0 .
r&
r
r
r
Projektovanjem članova izraza L A + V A × mVC = M As na pokretnu osu Ap, dobija se
teorema o promeni kinetičkog momenta materijalnog sistema u odnosu na pokretnu
osu, u obliku
r&
r r
r
r
s
L Ar Ap + Ω × L A Ap + V A × mVC Ap = M Ap
,
r
gde je Ω - ugaona brzina pokretne ose.
( )
(
)
(
)
Kinetička energija materijalnog sistema
Kinetička energija tačke je pozitivna skalarna veličina koja se definiše kao
1
Ek = mV 2 , gde je m - masa tačke, a V intenzitet njene brzine. Kinetička energija
2
materijalnog sistema predstavlja zbir kinetičkih energija pojedinih tačaka, tj.
n
r r
1 n
1 n
E K = ∑ E K i = ∑ m i Vi 2 = ∑ m i Vi ⋅ Vi .
2 i =1
2 i =1
i =1
Kinetička energija krutog tela, koje je podeljeno na elementarne deliće masa dm je
1
E K = ∫ V 2 dm .
2V
Kenigova teorema
Neka se kretanje materijalnog sistema posmatra u odnosu na nepokretni koordinatni
sistem Oxyz. Uvođenjem translatorno pokretnog koordinatnog sistema Cx1 y1 z1 ,
(
)
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 1
6
r
r r
položaj i-te tačke određen je sa ri = rC + ρ i . Apsolutna
r r r
r
brzina tačke je Vi = r&i = VC + V ri , pa je kinetička energija
r r
r
r
r
r
1 n
1 n
E K = ∑ mi Vi ⋅ Vi = ∑ mi VC + Vri ⋅ VC + Vri ,
2 i =1
2 i =1
n
n
r r
r r
1
1
1 n
E K = ∑ miVC2 + 2 ∑ miVC ⋅ Vri + ∑ mi Vri ⋅ Vri ,
2 i =1
2 i =1
2 i =1
r
n
n
n
n
r r r 1
dρ i
1
1
1 2
1
2
2
mi = mVC , ∑ miVC ⋅ Vri =VC ∑ mi
=0 ,
∑ m i VC = 2 VC ∑
2 i =1
2 i =1
2 i =1
2
dt
i =1
r r
1 n
1 n
1
1 n
mi Vri ⋅ Vri = ∑ miVri2 , E K = mVC2 + ∑ miVri2
∑
2 i =1
2 i =1
2
2 i =1
1
E K = mVC2 + E K rel ,
2
što predstavlja Kenigovu teoremu: Kinetička energija materijalnog sistema jednaka je
zbiru kinetičke energije centra masa, kao da je u njemu skoncentrisana masa celog
sistema, i kinetičke energije relativnog kretanja materijalnog sistema u odnosu na
centar masa.
(
)
(
)(
)
(
(
)
)
Kinetička energija tela koje se kreće translatorno
r r
U slučaju translatornog kretanja tela važi da je Vi = VC pa je kinetička energija
1
1
E K = V 2 ∫ dm = mV 2 . Isti izraz može se dobiti i iz Kenigove teoreme. U slučaju
2 V
2
r
1
1
translatornog kretanja tela je V r = 0 , pa je E K = mVC2 = mV 2 .
2
2
Kinetička energija tela koje se obrće oko nepokretne ose
Neka se telo obrće oko nepokretne ose Oz. Brzina uočenog elementa mase dm je
V = rz ω z , gde je rz - rastojanje uočenog elementa od ose obrtanja, a ω z - ugaona
brzina tela. Tada je
1
1
1
1
2
E K = ∫ V 2 dm = ∫ (rz ω z ) dm = ω z2 ∫ rz2 dm = J z ω z2 .
2V
2V
2 V
2
Kinetička energija tela koje vrši ravno kretanje
1
Koristeći Kenigovu teoremu E K = mVC2 + E K rel , i uočavajuću delić mase tela, važi
2
N
1
E K rel = ∑ ΔmiV ri2 . Kako je brzina uočenog delića V ri = ρ i ω , gde je ρ i rastojanje
2 i =1
delića od centra masa, a ω ugaona brzina tela, dobija se
N
1 N
1
2
E K rel = ∑ Δmi (ρ i ω ) = ω 2 ∑ Δmi ρ i2 .
2 i =1
2
i =1
1
Graničnim procesom kada N → ∞ , sledi E K rel = J Cξ ω 2 , gde je sa J Cξ označen
2
aksijalni moment inercije tela za pokretnu osu koja prolazi kroz centar masa i upravna
je na ravan kretanja tela. Tada je
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 1
7
1
1
mVC2 + J Cξ ω 2 .
2
2
Kinetička energija tela koje se obrće oko nepokretne tačke
r r r
r r
r
Brzina uočenog delića tela, mase Δmi , je Vi = ω × ri = ω (ω 0 × ri ) , gde je ω - trenutna
r
ugaona brzina tela, ri - vektor položaja uočenog delića tela, u odnosu na nepokretnu
r
tačku, a ω 0 - jedinični vektor trenutne ose obrtanja Op. Kinetička energija delića tela
r r 2
1
r
r 2
je ΔE K i = ω 2 (ω 0 × ri ) Δmi . Uvođenjem oznake (ω 0 × ri ) = d p2i , gde je d pi 2
rastojanje delića od trenutne ose obrtanja, uzimajući da N → ∞ , dobija se
N
N
N
1
1
1
1
E K = lim ∑ ΔE K i = lim ∑ ω 2 d p2i Δmi = ω 2 lim ∑ d p2i Δmi = ω 2 ∫ d 2 dm = J O p ω 2
N →∞
N →∞
N →∞
2
2 V
2
i =1
i =1 2
i =1
EK =
gde je J O p - promenljivi moment inercije tela u odnosu na trenutnu osu obrtanja Op.
Kinetička energija tela koje vrši opšte kretanje
Opšte kretanje tela može se razložiti na prenosno translatorno i relativno kretanje koje
predstavlja obrtanje oko trenutne ose obrtanja. Koristeći Kenigovu teoremu, tj. da je
1
kinetička energija E K = mVC2 + E K rel , i uzimajući u obzir da je relativno kretanje
2
obrtanje oko nepokretne tačke, pri čemu je u tom slučaju izraz za kinetičku energiju
1
E K = J C p ω 2 , tada je kinetička energija tela koje vrši opšte kretanje
2
1
1
E K = mVC2 + J C p ω 2 .
2
2
Elementarni rad sile
r
Neka se tačka M kreće pod dejstvom sile F po putanji proizvoljnog oblika. Rad sile
r
r
F na elementarnom pomeranju dr tačke ili elementarni
r
rad sile δ A jednak je skalarnom proizvodu sile F i
elementarne (beskonačno male) promene vektora položaja
te tačke, tj.
r r
r r
r r
δ A = F ⋅ dr , δ A = F ⋅ V dt , δ A = V ⋅ dI ,
r
r r
r
r dr
dr = ds = t ds , δ A = F ⋅ t ds .
ds
Iz prethodnih razmatranja vidi se da je
⎧> 0 , 0 ≤ α ≤ 90 o
⎪
δ A ⎨= 0 , α = 90 o
⎪< 0 , 90 o < α ≤ 180 o .
⎩
r
r
Ako se F i dr izraze u odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem Oxyz
r r
r
r
r r
r
r
F = Xi + Yj + Zk , dr = dxi + dyj + dzk , tada je elementarni rad sile
δ A = Xdx + Ydy + Zdz .
Rad sile
Ukupni rad sile, ili samo rad sile, koja deluje na tačku, predstavlja rad sile pri
konačnom pomeranju tačke po putanji. U cilju određivanja rada sile posmatra se
r
kretanje tačke M pod dejstvom sile F , po putanji proizvoljnog oblika. Ako se deo
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 1
8
putanje tačke između dva njena proizvoljna položaja M 1 i M 2 izdeli se na n delova,
dobija se poligonalna linija. Analogno definiciji elementarnog
r
rada sile može se uvesti mera dejstva sile Fi , pri malom
konačnom pomeranju tačke iz položaja M i u položaj M i +1 , koja
r r
r
je određena sa Fi ⋅ Δri , ( i = 1,2 ,..., n ) , gde je Fi - sila koja
r
deluje na tačku M kada se ona nađe u položaju M i i gde je Δri r
priraštaj vektora položaja r tačke između njenih položaja M i i M i +1 . Ukupna mera
r
dejstva sile F , pri pomeranju tačke M iz položaja M1 u položaj M 2 , duž poligonalne
n r
r
linije, je ∑ Fi Δri . Graničnim prelazom, tj. n → ∞ dolazi se do
i =1
r r
r
AM1M 2 = lim ∑ Fi ⋅ Δri , koja predstavlja rad sile F , na njenoj putanji između tačaka
n →∞
i =1
r
M 1 i M 2 . Ova granična vrednost naziva se krivolinijski integral. Dakle, rad sile F
M2
r r
obeležava se sa A ili AM 1M 2 i određen je sa A = AM1M 2 = ∫ F ⋅ dr .
n
M1
Ako je za izračunavanje rada sile izabran Dekartov koordinatni sistem Oxyz, tada je
A=
M2
∫ ( Xdx + Ydy + Zdz ) ,
M1
t2
A = ∫ ( Xx& + Yy& + Zz& ) dt .
t1
U opštem slučaju rešenje prethodnih krivolinijskih integrala zavisi i od oblika putanje
i od dužine luka po kome se kreće tačka. Samo u posebnom slučaju rad sile ne zavisi
ni od oblika putanje tačke, niti od njenog pređenog puta, već samo od koordinata
početnog i krajnjeg položaja tačke. Da bi to bilo ispunjeno, linearni diferencijalni
izraz Xdx + Ydy + Zdz mora da bude totalni diferencijal neke skalarne funkcije
položaja tačke f ( x , y , z ) , što znači da se X, Y i Z mogu predstaviti kao parcijalni
izvodi te funkcije. Sile koje ispunjavaju te uslove zovu se konzervativne i rad takvih
sila zavisi samo od početnog i krajnjeg položaja tačke na putanji. Svaka sila koja je
funkcija položaja ne mora da ispunjava te zahteve koji se nazivaju uslovi
konzervativnosti.
Snaga sile
Snaga sile je veličina koja karakteriše promenu po vremenu rada sile. U cilju
r
definisanja snage sile posmatra se tačka na koju deluje sila F , koja izvrši rad ΔA za
konačan interval vremena Δ t , pri pomeranju tačke iz položaja M 1 , u kome se
nalazila u trenutku t1 u položaj M 2 koji odgovara trenutku t 2 . Srednja snaga te sile,
r
ΔA
za posmatrani interval vremena, određena je sa Psr =
. Snaga sile F , u trenutku t,
Δt
predstavlja graničnu vrednost srednje snage sile kada posmatrani interval vremena
ΔA δ A
teži nuli, tj. P = lim
. Dakle, snaga sile u datom trenutku jednaka je odnosu
=
Δ t →0 Δ t
dt
elementarnog rada sile i intervala vremena u kome je taj rad izvršen i predstavlja
brzinu vršenja rada u tom trenutku.
Download

Predavanje br.1