MEHANIKA FLUIDA
Isticanje kroz male otvore
1.zadatak. Rezervoar oblika obrtnog paraboloida napunjen je vodom i prazni se kroz tri
jednaka otvora. Odrediti vreme pražnjenja rezervoara (integralnu reprezentaciju), ako su
dati podaci: h, b, d i µ.
Rešenje:
Kada se pražnjenje vrši kroz sva tri otvora, jednačina isticanja glasi:
( 2Q1 + Q 2 ) dt = −A(z)dz ,
gde su: A(z) = r π ,
2
a iz jednačine paraboloida imamo:
r2 z
=
b2 h
⇒ r2 =
b2
b2
z ⇒ A(z)= πz .
h
h
h
d2π

,
Q1 = µa 2g  z −  ; Q 2 = µa 2gz; a=
3
4

pa se zamenom dobija:


 

h
b2
h
b2

 2µa 2g  z −  + µa 2gz  dt=- πzdz ⇒ µa 2g  2  z −  + z  dt=- πzdz
3
h
3
h

 



b2 π
z
4b 2
z
dt = −
dz ⇒ dt = − 2
dz
µah 2g
µd h 2g
h
h


2 z −  + z
2 z−  + z
3
3


t1 = −
4b 2
µd 2 h 2g
h/3
∫
z
dz .
h

2 z−  + z
3

Posle ovog vremena (t1) pražnjenje se obavlja samo kroz otvor na dnu sa protokom Q2, pa
imamo da je:
4b 2
t2 = − 2
µd h 2g
0
∫
h /3
h
4b 2
2h
zdz = 2
 
µd h 2g 3  3 
Ukupno pražnjenje rezervoara je: t = t1 + t 2
3/ 2
8b 2
h
=
 
2
3µd h 2g  3 
3/ 2
.
2.zadatak. Sud koji se sastoji od cilindra i kupe
prazni se kroz prikazani prosti cevovod. Za
vreme pražnjenja u sudu iznad vode deluje
konstantan natpritisak pm. Odrediti vreme
pražnjenja rezervoara, ako su poznati podaci: D,
d, h, H1, H2, L, ρ, ξu, ξk, ξv i λ.
Rešenje:
Bernulijeva jednačina za preseke 0-0 i 1-1 ima
oblik:
pm
v2 
L 
+ gz =  ξ u + 2ξ k + ξ v + λ + 1
ρ
2 
d 
Onda je: Q1 = µ
⇒

d2π
p 
2g  z + m  , gde je µ =
4
ρg 

v2 =
p

2g  m + z 
ρ


L
ξ u + 2ξ k + ξ v + λ + 1
d
.
1
.
L
ξ u + 2ξ k + ξ v + λ + 1
d
Pražnjenje cilindričnog dela suda je određeno jednačinom:
D2π
D2
dz
.
−
dz = Q1dt ⇒ dt = − 2
4
µd 2g
pm
z+
ρg
Integracijom se dobija da je:
t1 = −
H2 + h
D2
µd
2
2g
pm
p
dz
D2 
= 2
− H2 + h + m
 H1 + H 2 + h +
ρg
ρg
µd 2g 
p
z+ m
ρg
∫
H1 + H 2 + h
Posle ovog vremena (t1) obavlja se pražnjenje dela rezervoara oblika kupe: dt 2 = −
gde iz sličnosti trouglova imamo da je:
dt 2 = −
D2π
2
(y − h)
4H 2 2

 .

r 2π
dy ,
Q2
r
y−H
D
=
⇒ r=
(y − h) .
D/2
H2
2H 2
dy

d2π
p 
µ
2g  y + m 
4
ρg 

D2
t2 = −
µH 2 2 d 2 2g
=−
h
∫
H2 + h
D2
H 2 2µd 2 2g
(y − h)
(y − h)
2

pm 
 y + ρg 


dy
2

pm 
 y + ρg 


dy .
5/ 2
5/ 2
3/ 2
 2 

pm 
p m   4 
pm 
D2
t2 = −
  H 2 + h +
 −h +
  −  H 2 + h +
 −
ρg 
ρg   3 
ρg 
µH 2 2 d 2 2g  5 

3/ 2


p  
p 
p 
p
p  
−  h + m    h + m  + 2  h + m   H 2 + h + m − h + m 
ρg   
ρg 
ρg  
ρg
ρg  


Ukupno vreme pražnjenje rezervoara je: t = t1 + t 2 .
3.zadatak. U cilindričnom sudu mase m, može da se kreće klip bez trenja. Odrediti vreme
za koje će se sud isprazniti kroz pet malih otvora oštrih ivica. Dati su podaci: D, d, Do, H,
ρ i µ.
Rešenje:
Na početku treba odrediti visinu h do koje je sud napunjen tečnošću. Iz jednačine
ravnoteže suda imamo da je:
π
4m
.
mg = ρgh ( D 2 − d 2 ) ⇒ h =
4
ρπ ( D 2 − d 2 )
Prvo se prazni širi deo suda, pri čemu je, zbog dinamičke ravnoteže suda, visina h=const.
Diferencijalna jednačina pražnjenja šireg dela suda glasi:
5µ
t1 = −
d o2 π
D2π
2g ( h + z )dt1 = −
dz
4
4
D2
5µd o2 2g
0
∫
H
dz
2D 2
=
h + z 5µd o2 2g
(
)
h+H − h .
Za pražnjenje užeg dela suda imamo jednačinu:
5µ
t2 = −
d o2 π
d2π
2gy ⋅ dt 2 = −
dy
4
4
d2
5µd o2 2g
0
∫
H
dz
2d 2
=
y 5µd o2 2g
Ukupno vreme pražnjenje rezervoara je: t = t1 + t 2 .
h.
4.zadatak. Cilindrični sud napunjen tečnišću gustine ρ, zatvoren je klipom sa gornje
strane. Masa klipa je m. Odrediti vreme za koje se sud isprazni kroz tri jednak otvora
prikazana na slici. Dati su podaci: D1, D2, H, h, d i µ. (Dati integralnu preprezentaciju.)
Rešenje:
Vreme pražnjenja suda sastoji se od dva vremena, vremena pražnjenja kroz sva tri otvora i
vremena pražnjenja kroz donji otvor.
Kada se sud prazni kroz sva tri otvora, tada klip na tečnost deluje konstantnim natpritiskom
pm =
4mg
.
D12 π
Onda je diferencijalna jednačina pražnjenja suda:
5µ
 p

d2π
pm
D2π
2g  2 m + z − h +
+ z  dt1 = − 1 dz
4
ρg
4
 ρg

t1 = −
D12
5µd 2 2g
h
∫
H+h
1
p
p
2 m +z−h + m +z
ρg
ρg
dz .
Posle vremena t1 pražnjenje je samo kroz donji otvor. Ako se zanemari isticanje kroz
gornje otvore, kada je tečnost neposredno pri površi klipa, dobija se jednačina:
µ
t2 = −
d2π
D2π
2gy ⋅ dt 2 = − 2 dy
4
4
D 22
µd 2 2g
0
∫
h
2D 2
1
dy = 2 2
h.
y
µd 2g
Ukupno vreme pražnjenje rezervoara je: t = t1 + t 2 .
5.zadatak. Hidraulički akumulator napunjen uljem gustine ρ, sastoji se od cilindra, klipa
mase m i opruge krutosti c. Opruga hidrauličkog akumulatora prethodno je sabijena za
vrednost b>H. Odrediti vreme pražnjenja hidrauličkog akumulatora. Dati su podaci: D, d,
H, L, b, ρ, m, µ i c.
Rešenje:
Radi jednostavnijeg pisanja uvodimo oznake:
A=
D2π
4
i
a=
d2π
.
4
Klip deluje na tečnost konstantnim natpritiskom:
pm =
4mg mg
.
=
D2π
A
Sila u opruzi zavisi od trenutnog položaja klipa, pa je pritisak od opruge:
pc =
Fc c
c
c
=  b − ( H − z )  = ( b − H ) + z .
A A
A
A
Onda je diferencijalna jednačina pražnjenja suda:
p

p
µa 2g  c + m + z dt = − Adz
 ρg ρg

t=−
A
µa 2g
0
∫
H
dz
 c

mg
c
+
+ 1 z
(b − H) + 
ρgA ρgA
 ρgA 
Download

∫ ∫