MEHANIKA FLUIDA
Zakon o količini kretanja
1.zadatak. Odrediti intenzitet sile kojom mlaz vode deluje na razdelnu račvu cevovoda
hidroelektrane koja je učvršćena betonskim blokom (v.sl.). Prečnik dovodnog cevovoda je
D=3m, prečnici grana koje dovode vodu u turbine iznose po d=2m, a ugao nagiba prema
osi glavnog cevovoda je α=60o. Apsolutni pritisak na ulazu u račvu cevovoda je
p1=398kPa, a ukupni protok kroz dovodni cevovod je Q1=35 m3/s. Masa vode u račvi
iznosi m=111 t. Protok se deli ravnomerno na svaku turbinu. Gubitke strujne energije
zanemariti. Projekcija račve je data u hidrauličkoj ravni. Raspored brzina u poprečnim
presecima je ravnomeran. Atmosferski pritisak je pa=103 kPa.
Rešenje:
Primenimo zakon o količini kretanja na fluidni prostor 1-1, 2-2, 3-3.
G
G G G G G
G
G
G
(1)
ρ ( Q 2 v 2 + Q3 v3 − Q1v1 ) = FR = P1 + P2 + P3 + G + R
G
G G G
gde su: P1 , P2 , P3 - sile pritiska u presecima 1-1, 2-2, 3-3, G - spoljašnja (gravitaciona) sila
G
koja deluje na masu vode u razdelnoj račvi, R - sila kojom razdelna račva deluje
na vodu; Q1 , Q 2 , Q3 - odgovarajući protoci vode u presecima,
G
Kako voda deluje na zidove račve između preseka 1-1, 2-2, 3-3 silom N suprotnog smera
G
a istog pravca i intenziteta sa silom R (zakon akcije i reakcije), to je:
G
G G G G G
G
G
G
N = −R = P1 + P2 + P3 + G + ρQ1v1 − ρQ 2 v 2 − ρQ3 v3
(2)
Bernulijeve jednačine za preseke 1-1 i 2-2, kao i 1-1 i 3-3 glase:
Jednačina kontinuiteta je:
v12 p a + p m1 v 22 p a + p m2
,
+
=
+
2
ρ
2
ρ
(3)
v12 p a + p m1 v32 p a + p m3
.
+
=
+
2
ρ
2
ρ
(4)
Q 1 = Q 2 +Q 3
(5)
Kako je Q 2 = Q 3 (protok se ravnomerno deli prema turbinama, prema uslovu zadatka),
sleduje da je: v 2 = v 3 , a iz jednačina (3) i (4) dobija se da je:
p m2 = p m3
1
Q1 = 17,5 m 3 / s .
2
Na osnovu Q1 i Q2 sračunavamo srednje brzine strujanja vode kroz preseke 1-1, 2-2, 3-3 i
one su:
4Q
4Q
v1 = 2 1 = 4,95 m/s ; v2 = v3 = 2 2 = 5,57 m/s ;
Dπ
dπ
Q 2 = Q3 =
Natpritisak u preseku 1-1 iznosi:
p m1 = p1 − p a = 398 − 103 = 295 kPa=295000 Pa .
Iz jednačine (3) ⇒
p m2 = p m3 = p m1 +
ρ 2
( v1 − v22 ) = 291738 Pa
2
Onda su sledeće sile pritiska u presecima 1-1, 2-2, 3-3 sledeće:
D2 π
P1 = p m1
= 2085232 N
4
d2π
= 916524 N
P2 = P3 = p m2
4
Sada da ove veličine napišemo u vektorskom obliku:
G
G
G
G
G
G
G
G
P1 = P1 i ,
P2 = − P2 cos α i + P2 sin α j , P3 = −P3 cos α i + P3 sin α j ,
G
G
G
G
G
G
G = Gk ,
N = Nx i + N y j + Nz k
G
G
G
G
G
G
G
G
v1 = v1 i ,
v 2 = v 2 cos α i − v 2 sin α j ,
v3 = v3 cos α i − v3 sin α j .
G
Zamenom ovih zapisa u jednačini (2) dobija se da su projekcije sile N date izrazima:
N x = P1 − ( P2 + P3 ) cos α + ρQ1v1 − ρQ 2 v 2 cos α − ρQ3 v3 cos α = 1244483 N
N y = ( P2 + P3 + ρQ 2 v 2 + ρQ3 v3 ) sin α = 1756298 N
N z = −G = − mg = 1088910 N
Intenzitet sile N kojom mlaz vode deluje na račvu je:
N = N 2x + N 2y + N 2z = 2412270 N
2. zadatak. Horizontalna cev prolazi jednim delom, na kome je prečnik smanjen sa
vrednosti D1=1,5m na D2=1m, kroz betonski blok kao što je prikazano na slici. Odrediti
natpritisak u preseku 1 cevi, kroz koju protiče voda protokom Q=1,8 m3/s, pod uslovom da
horizontalna sila koju prima blok ne bude veća od R=5·105 N.
Rešenje:
G G G G
G
G
- Napišimo zakon o količini kretanja za preseke 1 i 2: ρ ( Q 2 v 2 − Q1v1 ) = P1 + P2 + G + R 1
Gravitaciona sila se zanemaruje, a Q1 = Q 2 = Q .
G G
G G
G G
Sila kojom tečnost deluje na blok je: R = R 1 = P1 + P2 + ρQ ( v1 − v 2 ) ,
G G
G G
G G
G
G
gde su: P1 = P1 i , P2 = − P2 i , v1 = v1 i , v 2 = v 2 i , P1 = p m1A1 , P2 = p m2 A 2 .
R = p m1A1 − p m2 A 2 + ρQ ( v1 − v 2 ) .
- Jednačina kontinuiteta je Q = v1A1 = v 2 A 2
- Bernulijeva jednačina za preseke 1-1 i 2-2 je:
v12 p a + p m1 v 22 p a + p m2
+
=
+
2
2
ρ
ρ
p m2 = p m1 +
Sada je sila R:
⇒
v12 p m1 v 22 p m2
+
=
+
ρ
ρ
2
2
ρ 2
ρQ 2  1
1 
2
v
−
v
=
p
+
(
 2− 2
1
2)
m1
2
2  A1 A 2 
 1
Q Q 
ρ
1 
R = p m1A1 − p m1A 2 − Q 2 A 2  2 − 2  + ρQ 
−

2
 A1 A 2 
 A1 A 2 
 1
1
1 A2 
R = ρQ 2 
−
−
+ p m1 ( A1 − A 2 )
2 
 A1 2A 2 2 A1 
 1
1
1 A2 
R − ρQ 2 
−
−
2 
 A1 2A 2 2 A1  .
p m1 =
A1 − A 2
Površine poprečnih preseka cevi su:
A1 =
D12 π
D2π
= 1, 765 m 2 i A 2 = 2 = 0, 785 m 2 .
4
4
Unošenjem ovih vrednosti u izraz z pm1 dobija se da je: p m1 = 5,1 bar .
3. zadatak Kroz difuzor prikazan na slici, sa manjim poprečnim presekom A1=0,05m2 i
većim A2=0,4m2, struji voda protokom Q1=0,1 m3/s u otvoreni rezervoar sa stalnim
nivoom na visini h=2m.
a) Odrediti silu koja isteže zakivke, koji spajaju difuzor sa rezervoarom.
b) Za slučaj da se rezervoar zatvori, a iznad slobodne površine održava vakuum, sila u
zakivcima se smanjuje. Odrediti pri kolikom vakuumu sila iščezava.
Rešenje:
a) - Napišimo zakon o količini kretanja za preseke 1 i 2, pri čemu je Q1 = Q 2 = Q :
G G G
G G G
G
G
G G
ρ ( Q 2 v 2 − Q1v1 ) = P1 + P2 + R 1 ⇒
ρQ ( v 2 − v1 ) = P1 + P2 + R 1
Sila kojom tečnost deluje na difuzor je:
G
G
G G
G G
R = − R 1 = P1 + P2 + ρQ ( v1 − v 2 ) ,
G
G G
G
G G
G G
G
G
gde su: P1 = − P1 i = − p m1A1 i , P2 = P2 i = p m2 A 2 i , v1 = − v1 i , v 2 = − v 2 i .
G
G
R =  − p m1A1 + p m2 A 2 + ρQ ( v 2 − v 2 )  i
R = ρQ ( v 2 − v1 ) − p m1A1 + p m2 A 2
- Bernulijeva jednačina za preseke 1 i 2:
v12 p1 v 22 p 2
+ =
+
2 ρ
2 ρ
- Bernulijeva jednačina za preseke 1 i 0:
p1 v12 p a
v2
+
= + gh + 2
ρ 2
ρ
2
Iz (1) i (2) ⇒ p 2 = p a + ρgh ⇒
Iz (1)
⇒
p1 = p 2 +
p m 2 = ρgh
ρ 2
( v2 − v12 ) ⇒
2
(1)
(2)
(3)
p m1 = p m 2 +
ρ 2
ρ  v2 
v 2 − v12 ) = p m 2 + v 22  1 − 12  .
(
2
2  v2 
Q
Q
i v2 =
.
A1
A2
Zamenom u izrazu za silu kojom tečnost deluje na difuzor doboja se:

 Q Q
ρ 2 1
1 
−
R = ρQ 
 + p m 2 A 2 −  p m2 + Q  2 − 2   A1
2  A 2 A1  
 A 2 A1 

- Jednačina kontinuiteta glasi: Q = v1A1 = v 2 A 2
⇒
v1 =
 1
1 
1 
ρ 2 1
R = ρQ 2 
−
 + p m2 ( A 2 − A1 ) − Q  2 − 2  A1
2  A 2 A1 
 A 2 A1 
 1
A 
1
R = ρQ 2 
−
− 12  + p m 2 ( A 2 − A1 )
 A 2 2A1 2A 2 
 1
A 
1
R = ρQ 2 
−
− 12  + ρgh ( A 2 − A1 )
 A 2 2A1 2A 2 
Zamenom brojnih vrednosti dobija se da je: R = 6788,52 N .
b) Stavljajući u poslednjem izrazu da je R=0, dobija se da je:
 1
A 
1
ρQ 2 
−
− 12 
 A 2 2A1 2A 2  ≈ 223 Pa
p m2 =
A1 − A 2
A kako je p v = ρgh − p m 2
⇒
p v = ρgh − p m 2 ≈ 0,194 bar .
4. Zadatak. Slobodan mlaz idealne tečnosti protoka Qo, udara u ravnu ploču pod uglom
α=60o (v.sl.). Odrediti odnos protoka Q2/Q1, delova mlaza tečnosti na koje se on podeli
posle udara razdvaja.
Rešenje:
Napišimo zakon o količini kretanja za fluidni prostor 0-1-2:
G G G G
G
G
G
ρQ 2 v 2 + ρQ1v1 − ρQ 0 v 0 = P0 + P1 + P2 + R 1
G
G
G
G
G
R = − R 1 = ρQ 0 v 0 − ρQ 2 v 2 − ρQ1v1 ,
G G
G G
G
G
G
gde je: v1 = − v1 i , v 2 = v 2 i , v1 = v 0 cos α i − v 0 sin α j .
Zamenom u poslednjoj jednačini, dobija se:
G
G
G
G
G
R = ρQ 0 v 0 cos α i − ρQ 0 v 0 sin α j − ρQ 2 v 2 i + ρQ1v1 i
G
G
G
R = ( ρQ 0 v0 cos α + ρQ1v1 − ρQ 2 v 2 ) i − ρQ 0 v 0 sin α j
Pošto je fluid idealan ⇒ Rx=0, tj.
ρQ 0 v 0 cos α + ρQ1v1 − ρQ 2 v 2 = 0
Iz Bernulijeve jednačine za 0 i 1
⇒
v1=v0
Iz Bernulijeve jednačine za 0 i 2
⇒
v2=v0
(1)
Dobija se da je:
v1=v2=v0
(2)
- Iz jednačine kontinuiteta dobija se: Q 0 = Q1 + Q 2 (3)
Zamenom (2), (3) u (1) dobijamo:
1
3
1
Q1 − Q 2 = 0
( Q1 + Q 2 ) + Q1 − Q 2 = 0 ⇒
2
2
2
Sila kojom tečnost deluje na ploču je:
R = R y = −ρQ 0 v 0 sin α .
⇒
Q2
=3.
Q1
5. zadatak. Iz rezervoara u kome vlada konstantan natpritisak pm=8bar ističe voda kroz
vertikalnu zakrivljenu cev, na koju se nadovezuje mlaznik dužine l=200 mm. Ostali podaci
su prema slici a=500mm, D=150mm, d=50mm.
a) Zanemarujući masu vode u cevi, mlazniku i rezervoaru, odrediti silu i moment,
prouzrokovane isticanjem tečnosti, koji opterećuju zakivke A i B.
b) Koliko će iznositi opterećenje zakivka B, ako se mlaznik ukloni?
Rešenje:
Opterećenje zakivka A dobija se iz zakona o količini kretanja za zapreminu (1) i (2):
G
G
G G
G G
R A = ρQ ( v1 − v 2 ) + P1 + P2 , P2 = 0
Skalarni oblik ove jednačine je:
D2 π
.
4
Primenom Bernulijeve jednačine i jednačine kontinuiteta za odgovarajuće preseke:
D2 π
d2π
v12 p m1 v 22
v
=
v
i
.
+
=
+ gl
1
2
4
4
2
ρ
2
dobija se:
 1 D2 
1
D2 π
+
ρ
R A = ρQv1 − ρQv 2 1 −
g
l.
2 
2
4
 2d 
Sa druge strane, Bernulijeva jednačina za neki presek u rezervoaru u kome voda miruje (3)
i mlazni presek (2):
p m v 22
=
+ g(a + l) ,
2
ρ
R A = ρQ ( v1 − v 2 ) + p m1
dobija se da je:
p

v 2 = 2  m − g(a + l)  = 39, 4 m/s .
 ρ

d2π
d2
Q
=
v
= 77,3 l/s .
Onda je: v1 = v 2 2 = 4,38 m/s ;
2
4
D
Onda je sila koja opterećuje (na istezanje) zakivke A:
R A = 10898,91 N .
Pišući jednačinu za zakon o količini kretanja za zapreminu 3, 3, imamo:
G
G G
G
G G
R B = ρQ ( v3 − v 2 ) + P3 + P2 , P2 = 0 ,
pa su projekcije ove sile na ose x i y:
D2π
,
R By = ρQv 2 .
4
Iz jednačine kontinuiteta je v3 = v1 = 4,38 m/s ,
a iz Bernulijeve jednačine je:
p m p m3 v32
⇒
p m3 = 7,902 bar .
=
+
ρ
ρ
2
Onda je:
R Bx = 1711,845 N , R By = 3050,91 N .
G
Pored sile R B , zakivci su opterećeni i momentom koji se izračunava iz zakona o momentu
količine kretanja:
G
G G G G
G G
∫ ρ ( r × v ) v, dA = r × P3 − M
R Bx = ρQv3 + p m3
(
) (
)
A
G
G
M - traženi moment; r - radijus vektor u odnosu na težište preseka (3).
G
G
Poslednja jednačina, s obzirom da vrzina v3 i sile P3 prolaze kroz težište preseka (3),
svodi se na jednačinu:
M = 1525, 455 Nm .
ρQv 2 a = M
⇒
Smerovi ovog momenta je kao i smer kazaljke na satu.
b) Ako se mlaznik ukloni, biće:
R Bx = ρQv3 + p m3
Iz jednačine kontinuiteta je v 3 = v1 ,
a iz Bernulijeve jednačine je:
p m v12
=
+ ga ,
2
ρ
dobija se: p m3 = ρga , Q = v1
D2π
,
4
R By = ρQv1 .
p m p m3 v32
=
+ ,
2
ρ
ρ
D2 π
,
4
pa se zamenom dobija da su:
Q = 700 l/s .
v1 = v3 = 39,5 m/s , p m3 = 4905 Pa ,
Dobija se da je:
R Bx = 27752, 49 N , R By = 27664, 2 N ,
M = aR By = 13832,1 Nm
Download

MEHANIKA FLUIDA Zakon o količini kretanja