12.05.2014
KM-306 Matematiksel Modelleme
2013/2014 II. Vize Sınavı
Doç.Dr. Muzaffer BALBAŞI
KEY to SOLUTIONS
C1. a
Kabuk momentum denkliği;
Dar yarıktan akan sıvı için doğal olarak kartezyen koordinat sistemi seçilmelidir. Buna göre sıvı sadece z
yönünde aktığından, vx=0 ve vy=0 dır ve sadece vz hızı mevcuttur. vz z’den bağımsızdır ve vz=vz(x) ve basınç da
z nin bir fonksiyonudur pz=p(z). Kayma gerilimi x’in bir fonksiyonudur τxz=τzx.
y yönünde ∆x kalınlığındaki z momentumunun hızı;
Giriş – Çıkış = Birikim
Yatışkın durumda birikim terimi “0” dır. Momentum konvektif ve moleküler mekanizmayla kabuğa girip
çıkabilir. Yarığın her iki ucunda konvektif terimler;
( ρv z v zW∆x) z =0 = ( ρv z v zW∆x) z = L
Olacağından, denklikte sadece moleküler terim olan ( LWτ xz ) teriminin kalması anlamlıdır. z-momentumunun
üretimi ise basınç kuvveti ( pW∆x) ve gravitasyonel kuvvetle ( ρgWL∆x) ortaya çıkabilir. Buna göre yatışkın
durumdaki kabuk denkliği aşağıdaki hali alacaktır.
( LWτ xz ) x − ( LWτ xz ) x + ∆x + ( p0 − p L )W∆x + ρgWL∆x = 0
Yukarıdaki eşitliği LW∆x ile bölüp ∆x → 0 limit alınır ve düzenlenirse;
( LWτ xz ) x + ∆x − ( LWτ xz ) x
∆x
=
p0 − p L + ρgL
L
Eşitliğin sağ tarafı klasik olarak modifiye basınç P cinsinden yazılır
düzlemden itibaren yukada basınç P0 = p0
z =0
P = p + ρgh . Seçilen referans
ve PL = p L − ρgL z = L bize
p0 − p L + ρgL = P0 − PL ≡ ∆P eşitliğini verir.
Bu şekilde bir önceki eşitlik modifiye basınçlar cinsinden aşagıdaki durumu alır.
dτ xz ∆P
=
dx
L
∆P
dτ xz =
dx
L
∆P
∫ dτ xz = L ∫ dx
ve bu eşitliğin intagrasyonu
τ xz =
∆P
x + C1 verir.
L
12.05.2014
KM-306 Matematiksel Modelleme
2013/2014 II. Vize Sınavı
Doç.Dr. Muzaffer BALBAŞI
Kesme gerilimi
τ xz
yerine Newton viskozite yasasına göre değeri yazılırsa,
dv z ∆P
x + C1
=
dx
L
∆P 2 C1
vz = −
x + x + C2
2 µL
µ
−µ
Sınır şartları aşağıdaki gibidir.
=0
BC1 : v z
x=B
BC1 : v z
x =− B
=0
Kayma gerilimi eşitliğinde C1 sabiti yerine konduğunda iki bilinmeyenli iki denklem elde edilir.
@ x = B, 0 = −
∆P B 2 C1
+
B + C2
µ
2 µL
@ x = − B, 0 = −
∆P B 2 C1
− B + C2
µ
2 µL
Sınır şartlarına göre integrasyon sabitleri sırasıyla,
C1 = 0
∆P B 2
ve C2 =
2 µL
Kesme gerilimi integrasyon alınırsa aşağıdaki hali alır.
τ xz =
∆P
x
L
Hız eşitliğinde bu sabitler yerine yazıldığında;
2
∆P B 2   x  
vz =
1 −    olacaktır.
2 µL   B  
b.Maksimum hız ve ortalama hız aşağıdaki gibi hesaplanmış olmalıdır.
olacaktır.
12.05.2014
KM-306 Matematiksel Modelleme
2013/2014 II. Vize Sınavı
Doç.Dr. Muzaffer BALBAŞI
v z ,max = v z
x =0
=
∆P B 2
2 µL
+B
v z ,avg
1
1 ∆P B 2
=
=
v
dx
z
2 B −∫B
2 B 2 µL
+B

1
∫ 1 − B
−B
2

x 2  dx

+B
v z ,avg =
∆P B 
1

1 − 2 x 2  dx
∫

4 µL − B  B

v z ,avg =
∆P B 
1
 ∫ dx − 2
B
4 µL  − B
+B
v z ,avg =
∆P B 
2B 
2B −

4 µL 
3 
v z ,avg =
∆P B  4 B 
4 µL  3 
+B

∫ x dx
2
−B
+B
∫ v Wdx
z
v z ,avg =
−B
+B
∫ Wdx
+B
∆P B 2 2
1
=
=
= v z ,max
v
dx
z
2 B −∫B
3µL
3
−B
+B
w=
∫ ρvzWdx = ρW (2 B)vz ,avg =
−B
C2.
2∆P B 3Wρ
3µL
12.05.2014
KM-306 Matematiksel Modelleme
2013/2014 II. Vize Sınavı
Doç.Dr. Muzaffer BALBAŞI
C3.
Enerji denkliği aşağıdaki gibidir.
a. mC P
dT
= UA(Ts − T )
dt
b.
dT
UA
=
(80 − T )
dt mC P
dT
20 × 3
=
(80 − T )
dt 1 × 0.25 × 3600
dT
= 0.067(80 − T )
dt
T
20
dT
=
0
.
067
∫ dt
∫0 dt
23
− [ln(80 − T ) − ln(80 − 23)] = 0.067 × 20
− [ln(80 − T ) − ln(57)] = 1.34
(80 − T )
= −1.34
ln
57
e
ln
( 80−T )
57
= e −1.34
(80 − T )
= 0.262
57
80 − T = 57 × 0.262 = 14.93
T = 65.06 o C
c. Termometrenin zaman sabiti τ m =
m C P 1 × 0.25 × 3600
=
= 15sn için çözüm tekrarlanmalıdır.
U A
20 × 3
Download

∫ ∫