BÖLÜM 6
• GERÇEK AKIŞKANLARIN
HAREKETİ
•Gerçek akışkanın davranışı viskoziteden dolayı meydana gelen
ilave etkiler nedeniyle ideal akışkan akımlarına göre daha karmaşık
yapıdadır.
•Gerçek akışkanlar hareket ederken akışkan partikülleri arasında ve
katı sınır üzerinde sürtünme, kayma gerilmeleri meydana gelir.
•Akımın meydana gelebilmesi için bu direnç kuvvetlerine karşı iş
yapılması gerekir ve bu iş için kullanılması gereken fazla enerji ısıya
dönüşerek kullanılmayan enerji olarak açığa çıkar.
•Viskozitenin varlığı akışkan akımlarında fiziksel olarak birbirinden
farklı iki akım rejiminin oluşmasını sağlar.
1
Laminer ve Türbülanslı Akımlar
•Gerçek akışkanların hareketinde iki farklı modun varlığı Osborne
Reynolds’un borulardaki su akımında yaptığı boya deneyleri sonucu
ortaya çıkmıştır.
•Bunlar Laminer akım ve Türbülanslı akımdır.
•Reynolds’un deneylerinde laminer akım için boyanın bozulmadan ip
gibi bir yörünge çizmekte
•Türbülanslı akımda ise boyanın tamamen akım alanına dağıldığı,
akıma dik doğrultuda momentum transferlerinin, yani çalkantılar
oluşmaktadır
Boya
İnce tüp
Cam boru
Vana
Reynolds Boya Deneyi
2
Akımın iki modunu ayırmada niceliksel bir büyüklük olarak boyutsuz
Reynolds sayısı kullanılır. Gerçek akışkanlar üzerine gelen kuvvetler;
Basınç kuvveti : FP
Ağırlık kuvveti : FG
Sürtünme kuvveti : FV
Yüzeysel Gerilim kuvveti : Fσ
Elastisite kuvveti : FE
Atalet kuvveti : FI = FP + FG + FV + Fσ + FE
FI = m ⋅ a = ρL3
L
T
2
=ρ
L4
T
2
= ρV 2 L2
Sürtünme kuvveti = FV
FV = µ
du
V
A = µ L2 = µVL
dy
L
Ataletkuvveti
ρV 2 L2 ρVL
=
=
Sürtünmekuveti
µVL
µ
Reynolds Sayısı → Re =
ρVL VL
=
µ
υ
(6.1)
V = Akım Hızı
L = Karakteristik Boyut
υ= Kinematik Viskozite
Akışkanlar bu kuvvetler altında iki şekilde hareket ederler.
1- Laminer Akım (Tabakalı Akım)
2- Türbülanslı Akım (Çalkantılı Akım)
3
•Boru akımlarında Reynolds sayısının büyüklüğüne bağlı olarak
laminer akım ve türbülanslı akım sınırları:
Re=<2000
: Laminer Akım
2000< Re < 4000
: Laminer-Türbülans Geçiş Bölgesi
4000=<Re
: Türbülanslı Akım
•Türbülanslı akım içindeki bir noktada hızın x doğrultusunda zamanla
değişimi ölçülürse bir ortalama etrafında devamlı salındığı görülür.
Hızın ortalama değeri : (u)
Çalkantı hız bileşeni : (u ′)
: u ( t ) = u ± u ′( t )
Toplam hız
u
u
u’
u’
u’
a) Kararlı Akım
t
a) Kararsız Akım
t
4
•Ortalamanın tanımına göre verilen u(t) eğrisinin altında kalan alan
yatayının altında kalan dikdörtgen alanına eşit olmalıdır.
•Bir boyutlu akım alanında y ve z doğrultusunda net kütle taşınımı
olmadığı için: v = w = 0
•x doğrultusundaki u hızının
u(t)
′
u
(
t
)
u
çalkantı bileşeninin zamansal
u
ortalama değeri : ( u )
u
t
u′ =
1
T
v(t)
v= 0
v
w
∫ u ′( t )dt =
0
1
T
T
∫ ( u ( t ) − u ) dt = u − u = 0
0
u ( t ) = u ± u ′( t )
v( t ) = v ± v ′( t )
w ( t ) = w ± w ′( t )
t
w= 0
T
w(t)
t
Bir çalkantı bileşeninin zamana göre ortalaması her ne kadar sıfırsa da
u ′ 2 , u ′v ′, u ′w ′gibi iki çalkantı bileşeninin çarpımının zamansal ortalama
değeri sıfır olmaz.
Hız sapıncının kareler ortalamasının karekökü (k.o.k.) u ′ 2 türbülansın
şiddeti hakkında bir fikir vermektedir. Buna göre türbülansın rölatif
şiddeti aşağıdaki ifade ile tanımlanır.
I=
u ′2
u


 Uc Boyutlu akim icin I =


(u
'2
)
+ v '2 + w '2 / 3 

V


5
Sürtünmeli Akışkanlarda Hareket Denklemleri
•Gerçek akışkanların akımında akışkan elemanına etkiyen başlıca
kuvvetler ağırlık ve yüzeysel kuvvetlerdir.
•Yüzeysel kuvvetler: Basınç ve Sürtünme kuvvetleri
•Bileşkesi yüzeye dik değildir.
• Basınç ve sürtünme kuvvetleri yere ve yöne göre değişmeler gösterir
σzz
τzy
τzx
τxz
τxy
σxx
z
y
τyz
τyx
σyy
•Akışkan
elemanının
yüzeysel
kuvvetleri üç boyutlu akışkan akımı
için 18 gerilme bileşeninden oluşur.
Sonsuz küçük bir eleman için bu 9
bileşen 6 adet birbirinden bağımsız
bileşen ile tariflenebilir
(τxy=τyx , τyz=τzy , τzx=τxz)
x
Terimlerin birim hacıma gelen kuvvetler olarak alınmasıyla
gerilmeler cinsinden hareketin üç doğrultudaki diferansiyel
denklemleri:
∂τ yx ∂τ zx
 ∂u
∂σ
∂u
∂u ∂u 
ρ  u
+v
+w
+  = ρ X + x +
+
∂y
∂z ∂t 
∂x
∂y
∂z
 ∂x
∂τ xy ∂σ y
∂τ zy
 ∂v
∂v
∂v ∂v 
ρ  u
+v
+w
+  = ρ Y +
+
++
∂y
∂z ∂t 
∂x
∂y
∂z
 ∂x
 ∂w
∂w
∂w ∂w
ρ  u
+v
+w
+
∂y
∂z
∂t
 ∂x
∂τ yz ∂ σ z
∂τ

 = ρ Z + xz +
+
∂x
∂y
∂z

Bu ifadelerin vektör tansör formu
r
r r
dV
ρ
= ρ K + ∇.T
dt
[ ]
6
s
Sıkışamaz akışkanda ρ=sabit olduğundan divV = 0 (süreklilik şartı) olur
∂p
du
= ρX −
+ µ∇ 2 u
dt
∂x
ρ
y ve z doğrultularında
ρ
ρ
∂p
dv
= ρY−
+ µ∇ 2 v
dt
∂y
∂p
dw
= ρZ−
+ µ∇ 2 w
dt
∂z
Navier-Stokes denklemleri elde edilir.
Stokes varsayımına dayanan bu ifadelerde viskoz gerilme ile
deformasyon hızı doğru orantılıdır.
Türbülans Kayma Gerilmesi
Türbülanslı kayma gerilmesinin (çalkantı gerilmesinin) elde
edilmesinde İmpuls-Momentum yöntemi kullanılabilir. Türbülanslı
akımın her noktasında akım doğrultusunda +u’ ve –u’ ve düşey
doğrultuda +v’ ve –v’ hız çalkalanmaları mevcuttur. Türbülans kayma
gerilmesi bu çalkantı bileşenleri tarafından meydana getirilir
y
v’
Akım tabakaları
τ’
-u’ u’
-v’
u
7
Türbülans kayma gerilmesi Şekilde gösterilen kontrol hacmindeki
momentumun korunumu yaklaşımı ile açıklanabilir. Y eksenine dik dA
yüzeyinden birim zamanda geçen kütlenin meydana getirdiği
momentum değişimi;
∑ Fx
T
= ρ Q (u 2 − u 1 )
T − (T + dT ) = u (ρ v ′ dA) − ( u + u ′) (ρ v ′ dA) v'
dT = ρ u ′ v ′ dA
y
dT / dA = τ ′
u + u′
τ
dA
T+dT
u
x
τ′ = ρ u ′ v ′
Türbülans
kayma gerilmesi
Türbülans kayma gerilmesinin bir zaman aralığındaki ortalama değeri;
τ′ = ρ u ′ v′
Toplam kayma gerilmesi ise akışkanın viskozitesi nedeni ile
tabakalar arasındaki sürtünme değerleri dikkate alınarak
τ =µ
du
+ ρ u ′v′
dy
Akım alanında bir kesitteki kayma gerilmesi dağılımı deneysel olarak
Şekil de gösterildiği gibi elde edilmiştir.
µ
τ′ = ρ u ′ v ′
u
du
dy
τ=µ
du
+ ρ u ′ v′
dy
τ0
8
Hız Dağılım Faktörleri
Kinetik Enerji Düzeltme Faktörü
Gerçek akımlarda viskoz ve türbülans kayma gerilmelerinin varlığı
akımda hız profilini etkileyerek ideal akımlardaki üniform hız
kabulünden uzaklaştırır. Sonuçta katı sınırda sıfır olan eğrisel bir hız
dağılımı elde edilir. Bu nedenle ortalama hız değeri ile bulunan akımın
kinetik enerjisi hız profili üzerinde integrasyonla bulunacak
karşıtlarından küçük kalmaktadır.
2
2
∫ ρ dQ
V
A
Q
dQ
dA
u
∫u
3
u
V
> ρQ
2
2
dA = α V 3
A
α=
1
3
∫u
AV A
3
dA
Orantı sabiti α ya kinetik enerji düzeltme faktörü denir.
Bernoulli eşitliğinde kinetik enerji yüksekliğinin α ile çarpılarak
gerçek akım durumuna uygulanması gerekir.
α kinetik enerji düzeltme faktörü hız profilinin üniformluluktan
uzaklaşma oranında büyür.
Laminer boru akımları için α=2
Türbülanslı akımlarda ise bu sabit α=1.02-1.15
Düzensiz kesitteki açık kanal akımlarında α=1.1-1.8
Pratik mühendislik problemlerinde α=1
9
Momentum Düzeltme Faktörü
Bir kesitteki hız dağılımı üniform değil ise oluşan momentum transferi
ortalama hız ile hesaplanan momentumdan büyük olacaktır.
∫ ρ dQ u > ρ Q V
A
∫
u 2 dA > β AV 2
A
β=
1
AV
2
∫u
2
dA
A
Böylece bir kesitteki gerçek akım için momentum ifadesi;
dM
= βρQ V
dt
Burada β ya momentum düzeltme faktörü adı verilir.
Türbülanslı boru akımlarında β=1.005 - 1.05
Açık kanallarda β=1.01-1.3
Sınır Tabakası
Sınır Tabakasının Gelişimi
Lam iner
sınır taba kası
Geç iş
bölgesi
T ür bülanslı
sınır ta baka sı
0.99U
U
U
U
Viskoz
a lt ta baka
δ
x
U serbest akım hızını gösterdiğine göre hız dağılımında 0.99U nun
meydana geldiği noktanın katı sınırdan uzaklığı sınır tabakası kalınlığı
δ olarak kabul edilir.
10
Sınır tabakası akımının laminerden türbülanslıya geçişi için aşağıdaki
şekilde tanımlanan Reynolds sayıları bir ölçü olarak kullanılmaktadır.
Ux
Uδ
ve Re δ =
ν
ν
Yapılan deneyler bu geçişteki kritik Reynolds sayısının düzlem
levhalar üzerindeki akım için Rex=500000 ve Reδ=4000, ve boru
akımı için Rex=600000 ve Reδ=5000 olduğunu göstermektedir.
Re x =
Tam Gelişmiş Türbülanslı Sınır Tabakasının Bileşimi
Umak
(a) İç Bölge: Katı sınıra yakın
toplam sınır tabakası kalınlığının
U=0.99Umak
%60 ını oluşturur. Üç kısımdan
Dış
meydana gelir:
Bölge Türbülanslı
h δ
•Viskoz Alt Tabaka : Viskoz kayma
bölge
gerilmelerinin akıma direnç
İç
gösterdiği % (1-1.5) δ kalınlıklı
Bölge
çok ince tabakadır.
Viskoz alt Geçiş
•Geçiş
Bölgesi:Viskoz alt tabaka
Bölgesi
tabaka
ile türbülanslı bölge arasıdır.
•Türbülanslı Bölge: Toplam kayma
(b) Dış Bölge: Türbülans
gerilmesi içinde türbülans kayma
gerilmeleri hakimdir, ancak
gerilmesinin hakim olduğu
türbülansın şiddeti
bölgedir.
türbülanslı iç bölge kadar
yüksek değildir
11
Sınır Tabakasının Ayrılması
Sınır tabakasının üst sınırı
Ayrılma noktası
Ayrılma bölgesi
•Akım çizgilerine uyarlanmış cisimlerin profil tasarımı öyle
yapılmalıdır ki sınır tabakasının ayrılması mümkün olduğunca cismin
mansabına doğru kaysın.
•Akımı minimum düzeyde rahatsız eden, akım çizgilerine uyarlanmış
profillere hidrodinamik (veya aerodinamik) profil denir.
•Akım çizgileri cismin arka kısmına doğru genişlediğinden akım hızı
azalır, buna bağlı olarak basınç tekrar büyür. Sınır tabakasının
ayrılma bölgesindeki cisim yüzeyinde ayrılma noktasındaki basıncın
hakimiyeti söz konusudur.
U
P
τ0
wake
12
Akımda Batmış Cisimlere Gelen Kuvvetler
Akım içine yerleştirilmiş bir cisme katı sınır kayma (sürtünme)
gerilmeleri ve cismin yüzeyindeki basınç dağılımından kaynaklanan
akım düzlemindeki kuvvetin iki bileşeni vardır: itki kuvveti ve
kaldırma kuvveti (veya yanal kuvvet).
İtki Kuvveti : Akım yönünde etkiyen kuvvettir. Akım içine
yerleştirilmiş simetrik bir cisme kayma ve basınç gerilmelerinden
kaynaklanan sürtünme itkisi, FDs, ve basınç itkisi, FDp, adı altında
iki kuvvetin toplamından oluşan bir itki kuvveti, FD, etkir. Bu
kuvvetler aşağıdaki ampirik formda ifade edilebilirler:
(
FD = C D s + C D p
) ρ 2U
2
FD = CD
A
CDs sürtünme itki katsayısı
CDp basınç itki katsayısı
ρ U2
A
2
CDs+CDp=CD , CD itki katsayısı
Dar cisim
Geniş cisim
Tablo 6.1 Bazı cisimler için CD değerleri
Cisim
Re
CD
104– 1.5×105
1.2
2:1
4×104
0.6
8:1
2×105
0.2
3.5×104
2.0
104
1.6
Dairesel silindir
Eliptik silindir
Kare silindir
105
1.0
Küre
104
0.7
Küp
104
1.1
Üçgen silindir
30o
-
105
13
Kaldırma Kuvveti (Yanal Kuvvet) : Akıma dik doğrultudaki
kuvvettir. Düşey olarak etkimesi halinde kaldırma kuvveti, yatay
olarak etkimesi halinde yanal kuvvet olarak adlandırılır. Bu
kuvvetler akım doğrultusuna göre simetrik olmayan cisimlerde veya
akıma belli bir açıyla yerleştirilmiş cisimler üzerinde meydana gelir
FL
FD
c
FL = C L
ρU 2
A
2
α
Kanat genişliği, c ve uzunluğu, L
ise denklemde A=cL şeklindedir.
14
Download

Bolum_6