BÖLÜM 2
• AKIŞKANLARIN STATİĞİ
(HİDROSTATİK)
•Hidrostatik duran akışkanlar ile üniform olarak hareket eden
( akışkanın hızının her yerde aynı olduğu ) akışkanların
durumunu inceler.
1
BİR NOKTADAKİ BASINÇ
•Hidrostatik basınç birim alana gelen kuvvettir.
p=
F
A
p=
dF
dA
•Duran akışkan zerreleri arasında kayma gerilmeleri olmadığından
viskoziteden bağımsızdırlar ve akışkan içindeki bir sınır yüzeye veya
bütün katı yüzeylere etkiyen basınçlar o yüzeylere diktirler.
•Duran bir akışkan içindeki bir noktaya bütün doğrultularda etkiyen
basınçlar eşittir.
y
P s ds
P x dy
dy
ds
dx
ydx dy
2
θ
x
P y dx
•Kayma kuvvetleri olmadığından cisim; yüzeylere etkiyen normal
kuvvetler ve yerçekiminin tesirindedir.
2
∑ Fx = p x dy − ps ds sin θ = 0
ds sin θ = dy
p x = ps
p x dy−p s dy =0
∑ Fy =p y dx −p s dscos θ − γ
dxdy
=0
2
dx = ds cosθ
son terim iki küçük miktarın çarpımı olduğundan ihmal edilebilecek
kadar küçüktür.
p y dx − p s dx = 0
p y = ps
p x = p y = ps
θ açısı keyfi olduğuna göre bir noktaya etkiyen bütün doğrultulardaki
basıncın eşittir.
SIKIŞMAYAN AKIŞKANLARDA STATİK BASINCIN
DEĞİŞMESİ
Şekil de görülen duran akışkan elemanının merkezi (x,y,z) deki
basınç p, akışkanın birim kütlesine etkiyen kütlesel kuvvetler :
r
r
r r
K= i X+ jY+kZ
∂p dz 

p+
dx dy
∂z 2 

Burada X,Y ve Z kütlesel kuvvet bileşenleridir
ρZdxdydz
(x,y,z)
dz
z
dy
y
dx
x
∂p dz 

p−
dx dy
∂z 2 

3
z yönünde kütlesel kuvvetler : Zdm = ρ Z dxdydz

yüzeylerdeki basınç kuvvetleri:  p−

∂p dz 
dx dy
∂z 2 
 ∂p dz 
 p+
dx dy
 ∂z 2 
,
z doğrultusundaki net kuvvet :
 ∂p dz 
 ∂p dz 
dFz = p−
dx dy− p+
dx dy+ρZdxdydz
 ∂z 2 
 ∂z 2 
dFz = ρZdxdydz −
∂p
dx dydz
∂z
x doğrultusundaki net kuvvet : dFx = ρXdxdydz −
y doğrultusundaki net kuvvet : dFy = ρYdxdydz −
∂p
dxdydz
∂x
∂p
dxdydz
∂y
Eleman üzerine etkiyen net kuvvet vektörel olarak:
→ r
r
r
d F = i dFx + jdFy +kdFz
r r r
 r ∂p r ∂p r ∂p 
= ρ i X+ jY+k Z dxdydz −  i + j +k dxdydz
 ∂x ∂y ∂z 
(
)
4
Akışkan sükunette olduğundan bileşke kuvvetler sıfırdır
r
dF = 0
r
r
∇p=ρK
(2.2)
Bir noktadaki basınç gradyanı birim hacme gelen kütlesel
kuvvetlerin bileşkesine eşittir ve aynı yöndedir.
(2.2) denkleminin bileşenleri
∂p
= ρX,
∂x
∂p
=ρY,
∂y
∂p
=ρZ
∂z
r
r
r r
yer vektörü : d s = i dx+ jdy+kdz
(2.2) denklemi yer vektörü ile skaler olarak çarpılırsa:
r r r r
∇p.d s=ρK.d s
(2.3)
r r r r r r
 r∂p r∂p r∂p r r r
 i + j +k . idx+jdy+kdz =ρ iX+jY+kZ . idx+jdy+kdz
 ∂x ∂y ∂z 
(
) (
)(
)
∂p
∂p
∂p
dx + dy + dz = ρ(Xdx+ Ydy+ Zdz )
∂x
∂y
∂z
dp = ρ ( X dx + Ydy + Zdz )
Sıkışmayan durgun akışkanlarda basınç değişiminin diferansiyel
denklemi
5
BASINCIN SABİT OLDUĞU YÜZEYLER
Şekilde s ve s+ds noktalarını içeren yüzeylerdeki basınç farkı dp, n
normal birim vektörü göstermek üzere aşağıdaki gibi yazılabilir.
r
r ∂p r r ∂p
dp = ∇ p . d s =
nd s=
ds cos θ
∂n
∂n
p+dp
Sabit bir basınç yüzeyi için dp=0
dn
θ
ds
n
∂p
dp = dscos θ = 0
∂n
p-sabit
s= ix+jy+kz
Orijin
Şekil 2.3
Buradan cosθ=0, θ=90° bulunur ki basıncın sabit olduğu yüzeyin, basınç
değişiminin en büyük olduğu doğrultuya dik olduğu görülür.
Basıncın sabit olduğu yüzeylere eş basınç yüzeyler veya potansiyel yüzey denir.
SADECE YERÇEKİMİ ALTINDA BASINCIN DEĞİŞİMİ
Kütlesel kuvvet olarak sadece yerçekiminin olması halinde;
z
p
X = 0 , Y= 0 , Z= -g
0
z1
x doğrultusunda : ∂p =0 ⇒ p=sabit
∂x
y doğrultusunda :
∂p
= 0 ⇒ p = sabit
∂y
p-sabit
h
z
Z= -g
y
x
Duran akışkandaki yatay bir x,y düzleminde basıncın sabit olduğu görülür.
6
z doğrultusunda :
∂p
=ρ Z = −ρg= − γ
∂z
veya
dp =−γ dz
integre edilirse
p= − γ z + C
Sınır şartı olarak z=z1 (serbest yüzeyde) için p=p0 (atmosfer basıncı)
C =p 0 + γ h
p= p 0 + γ(z1 −z )
Serbest su yüzeyinden aşağı doğru olan derinlik : z1-z = h gösterilirse
Hidrostatik basıncın derinlik ile değişimi
p =p 0 + γ h
(2.5)
Serbest su yüzeyinde p0 = 0 alınırsa
p = γh
(2.6)
Buradan hidrostatik basıncın sıvı derinliği ile lineer olarak arttığı
görülmektedir.
7
(2.5) ve (2.6) denklemlerinin grafiksel gösterimi Şekil de verilmiştir.
Bir kap içinde değişik özgül ağırlıklı birbirine karışmayan sıvıların
bulunması halinde basınç dağılımı şekil üzerinde gösterilmiştir
p0
p0
p0
p
h1
h
p
γ1
p 1 =p 0 +γ 1 h 1
p=γh
γ
p0
p=p 0 +γh
h
h2
γ2
p 2 =p 1 +γ 2 h 2
h
Hidrostatik Basınç’ın Derinlikle Değişimi
Sıvı yüzeyinden eşderinlikteki noktalarda basınçlar aynı olup bu
sonuç Pascal kanunu olarak adlandırılır.
Mutlak Basınç ve Rölatif Basınç (Manometre Basıncı)
Hidrostatik basınç, tam vakum (mutlak sıfır) dan olan farka göre
tanımlandığında mutlak basınç, pmut , yerel atmosfer basıncından,
patm, olan farka göre tanımlandığında ise rölatif basınç, p, olarak
adlandırılır.
Basınç ölçen manometreler genelde rölatif basıncı verdiğinden rölatif
basınca manometre basıncı da denir.
p mut = p atm + γ h
Mutlak basınç
p=γh
Rölatif basınç
8
Mutlak basınç daima pozitifdir. Rölatif basınç atmosfer basıncından
büyük ise pozitif , eğer vakum değerinde ise negatif olabilir.
Manometre basıncı
Yerel atmosfer basıncı
Negatif manometre basıncı
Vakum veya emme
Basınç
Atmosfer Basıncı
10 N/cm2
Mutlak Basınç
Mutlak Basınç
Mutlak sıfır
Atmosfer basıncı “barometrik basınç” olarak anılır, yükseklik ve
atmosferik şartlara göre değişim gösterir. Standart atmosfer basıncı
deniz seviyesindeki basınçtır ve
p atm = 760 mm Hg = 10,34 m H 2 O = 101300 Pa = 1, 013 bar
Atmosfer Basıncının Ölçülmesi
• Mutlak atmosfer basıncı civalı barometre ile ölçülür. İlk kez Toriçelli
tarafından yapılan bu deneyde içi civa ile dolu yaklaşık 1 m
uzunluktaki bir ucu kapalı cam boru ters çevrilip, yine civa dolu bir
kaba daldırılırsa cam boru içindeki civa, kaptaki civa yüzeyinden 76
cm yüksekte dengede durur. Cam borunun üst bölümünde civanın
buhar basıncı çok küçük olduğundan mutlak boşluk (p=0) vardır
Şekil de. a-a eş basınç yüzeyine etkiyen basınçların eşitliği yazılırsa;
Patm = γ c h c
Pbuhar
Patm
hc
Mutlak atmosfer basıncı yükseklik ve hava
koşularına bağlı olarak değişmeler gösterir.
Civa
9
Deniz seviyesindeki atmosfer basıncı standart atmosfer basıncı
olarak kabul edilir ve özellikleri aşağıdaki gibidir.
Özgül kütle: ρ = 1.2256 Kg/m3
Özgül ağırlık γ = 12.023 N/m3
Dinamik viskozite: µ = 0.0000178067 Ns/m2
Basınç yüksekliği hciva = 760 mm-Hg = 0.76 m-Hg = 0.76 x 13.6 =
10.33 m-H2O
Basınç P0 = 10.33 x 9810 = 101337 Pa = 101.3 kPa = 1.013 105 Pa =
1.013 bar (1 bar= 105 N/m2 )
Atmosfer basıncı yaklaşık 10 m su sütununa (mss) eşdeğerdir ve bu
basınç değeri 1 Teknik Atmosfer olarak adlandırılır. 1 Teknik Atmosfer
≅ 1 bar.
Basınç Yüksekliği:
γ’'nın sabit olduğu bazı durumlarda basıncın ona karşı gelen sıvı
sütununun yüksekliği cinsinden yazılması uygun olmaktadır
p
p=γh⇒ =h
γ
h=P/γ
m sıvı
P=γ.h
(metre sıvı sütunu)
10
Statik Durumdaki Kapalı Bir Akışkana Uygulanan Yüzeysel Kuvvetin
Etkisi:
•Kapalı bir kaptaki akışkanın bir yüzey parçasına uygulanan basınç
akışkanın her yerine aynen iletilir (Pascal Kanunu). Şekil de görülen
pistonun hemen önündeki boyları farklı iki elemanı düşünelim.
•İkisinin dengede olabilmesi için uçlarındaki kuvvetlerin eşit olması
gerekir. Elemanın boyu ne olursa olsun uygulanan basınç ağırlığının
ihmal edilmesi halinde her tarafa eşit olarak iletilmiş olur. Akışkanın
bu özeliği sayesinde küçük kuvvetlerle büyük yüklerin kaldırılması
mümkün olmaktadır.
F1
p=
F2
A2
A1
F1
F
= 2
A1 A 2
F2 = F1
,
A2
A1
11
Download

Bolum_2-A