SR19
IMK-14 – Istraživanje i razvoj, 18(2012)1, SR19 - 23
UDK 621 ISSN 0354-6829
Stabilnost rezervoara vagon-cisterne pri podužnom udaru
1
Dragan Petrović1,* – Milan Bižić1
Mašinski fakultet Kraljevo, Univerzitet u Kragujevcu, Dositejeva 19, 36000 Kraljevo, Srbija
Koristeći principe nelinearne dinamike i teorije elastičnosti u radu je izložena metodologija određivanja dinamičkih
parametara vagona pri sudaru. Dat je opšti izraz oscilovanja rezervoara vagon-cisterne, koji je opisan preko spregnutih
nelinearnih diferencijalnih jednačina. Izveden je izraz za određivanje promene hidrodinamičkog pritiska na dance
rezervoara pri sudaru vagona, pri čemu je usvojen model u kome promena pritiska odgovara rasprostiranju elastičnih
talasa napona i deformacija u gredi izloženoj udarom. Pored toga, formiran je matematički model kojim je simuliran
proces sudara dva vagona, gde je posmatran uticaj pomeranja tereta.
Ključne reči: Stabilnost, rezervoar, vagon cisterna, podužni udar.
0 UVOD
Cisterna vagona (slika 1) izraĎena je u obliku
kružnog cilindra poluprečnika R, konstantne debljine h, i
dužine l. Ona se za donje postolje vagona obično oslanja
po ivicama, tako da oslonci na jednom od krajeva najčešće
imaju slobodu pomeranja u pravcu podužne ose. Na ovaj
način rezervoar je zaštićen od dejstva horizontalnih
aksijalnih sila koje se pri sudaru vagona prenose sa
odbojnika na donje postolje. Pri sudaru, značajna
opterećenja rezervoara nastaju od dejstva tečnosti na dno
cisterne.
w – ugib rezervoara vagon-cisterne
wo – početni ugib rezervoara vagon-cisterne
 – funkcija napona
 – specifična težina materijala
g – ubrzanje zemljine teže
t – vreme
q – poprečno opterećenje ljuske
S obzirom na to da tačnih metoda integracije
gornjih jednačina još nema, tražićemo njihova približna
rešenja u obliku reda. Uzmimo element srednje površine
rezervoara i koordinatne ose, kao što je prikazano na slici
2, i neka u opštem slučaju dejstvuju, sledeća opterećenja:
q – poprečno opterećenje koje je normalno na srednju
površ,
px – pritisno ili istežuće opterećenje koje deluje duž pravca
x,
py – pritisno ili istežuće opterećenje koje deluje duž pravca
y.
Py
Slika 1. Vagon-cisterna
Iznenadno dejstvo podužnog opterećenja izaziva
radijalne oscilacije rezervoara pri čemu će, ako je
opterećenje p manje od neke odreĎene vrednosti, te
oscilacije biti bez porasta amplitude oko položaja
ravnoteže, i obrnuto, ako je opterećenje p veće od te
vrednosti, tada amplituda ugiba raste sa vremenom, pa
prema tome, cisterna gubi stabilnost. Znači, vrednosti
opterećenja pri kojima ugib veoma brzo teži beskonačnosti
jesu kritične vrednosti. Zadatak se sastoji u tome da se
odredi to kritično opterećenje od koga nastaje
neograničeni porast amplitude ugiba. Za analizu ćemo
koristiti opšte jednačine kretanja cilindrične ljuske date
izrazima [2]:
D 4
q γ 2 w
 (w  wo )  L(w,Φ)   2k Φ  
h
h g t 2
(1)
1 4
1
1 2
 Φ    L(w,w)  L(wo ,wo ) 
(w  wo ) (2)
E
2
R x 2
gde su:
D – cilindrična krutost ljuske
4 – dvostruki Laplasov operator
Px
x
y
z
Slika 2. Opterećenja rezervoara vagon-cisterne
Eksperimentalnim ispitivanjima primećeno je da
ugibi rezervoara ka centru i od centra krivine nisu isti.
Ugibi usmereni ka centru krivine veći su od ugiba
usmerenih od centra krivine. Zato ćemo za pretpostavljena
pomeranja w usvojiti izraz:
mπx
ny
mπx 

w  f(t)   sin
 sin  ψ  sin2

l
R
l 

gde su:
f(t) – amplituda ugiba,
l – dužina cilindra,
R – poluprečnik cilindra,
m – broj polutalasa po dužini cilindra,
n – broj talasa po radijusu,
*Kontakt adresa autora: Mašinski fakultet Kraljevo, Dositejeva 19, 36000 Kraljevo, Srbija, [email protected]
(3)
SR20
IMK-14 – Istraživanje i razvoj
 – korekcija amplitude (vremenska funkcija).
U zavisnosti od forme oscilovanja rezervoara
menjaju se i parametri m i n (slika 3). Na osnovu toga,
konstruktivnim izmenama (npr. ugradnjom obruča na
rezervoar) možemo uticati na broj talasa.
3
Eα 4 β 2
ρ fψ  ψf  2ψf 
f  f0  f 
2 
4
2R  α 2  β 2 



Eα 4 β 4
Eα 4 β 4
 f 2  f 2 fψ 


0
 2  α 2  β 2 2 2  9α 2  β 2 2 


p (t )
Eh 2 α 2
q
 f  f0  ψ   α 2 px ( t ) fψ  y 
2
h
R
3 1  ν 


m=1
n=1
m=3
n=2
Slika 3. Različite forme oscilovanja rezervoara
Osim toga smatraćemo da rezervoar ima početne
ugibe, odnosno nepravilnosti koje su istog karaktera kao i
ukupni ugib w:
mπx
ny
mπx 

wo  f o (t)   sin
 sin  ψ  sin2

l
R
l 


2  f  fo  ψ 
E  β2 2
2
  f  fo  
 0
8R  2
R

Pri sudaru vagon-cisterni koje su napunjene
tečnošću dolazi do hidrauličkog udara tečnosti na dance
rezervoara. Ponašanje rezervoara cisterne pri tome može
biti potpuno različito od ponašanja pri statičkom
opterećenju. Uzrok su sile inercije koje nastaju u veoma
kratkom vremenskom intervalu. Konstrukcija ne uspeva da
dobije pomeranja koja odgovaraju brzim promenama
opterećenja. Takvo zakašnjenje prouzrokuje naglo
deformisanje konstrukcije.
Pri istraživanju veličine hidrauličkog pritiska na
dance vagon-cisterne koristiće se model koji je predložio
Ojler 2, a koji se sastoji u tome da se brzina kretanja
čestica tečnosti posmatra kao funkcija vremena t i
koordinata x, y i z zapremine u kojoj se tečnost kreće.
Iz ukupne zapremine tečnosti izdvojimo
elementarni paralelopiped čije su stranice dx, dy i dz (slika
4). Sa vx, vy i vz označene su brzine čestica tečnosti u tom
paralelopipedu koje odgovaraju osama x, y i z. Brzine
čestica su funkcije koordinata i vremena.
f v z 
z

( f v z )
z
f v y
(4)
Usvajajući da su:
f v x 
f v x
mπ
n
α
i β ,
l
R

( f v x )
x
dz
i rešavajući jednačine (1) i (2) primenom metode BubnovGalerkina [1,2] dobijamo sistem spregnutih nelinearnih
diferencijalnih jednačina drugog reda. Ovaj sistem može
se rešiti primenom metode Runge-Kuta, ali je potrebno
prethodno odrediti promenu opterećenja, odnosno pritisak
na dance rezervoara vagon cisterne px , pri podužnom
hidrauličkom udaru [2].
2

h2  α 2  β 2  
α4
E f  f 
ρf  

0
2 2
 2 2
12  1  ν 2  
 R α  β 



1
1
 f 2  f 2 fψ 2 
 Eα 4 β 4 

2
2
0
2
2
2
2
  α  β   9α  β  




(5.1)
E
Eα 4 β 2
  α 4  β 4  f 2  f02  f 
ψ  2 f 2  ff0  f02  
2
16
R α2  β 2 
  α 2 px  β 2 p y  f 
(5.2)
1 ODREĐIVANJE PRITISKA TEČNOSTI NA DANCE
REZERVOARA PRI PODUŽNOM UDARU
n=0
m=2


f v y 
( f v y )
y
y
dy
dx
x
f v z
Slika 4. Elementarna zapremina fluida
Projekcijom komponenata sa gornje slike na osu x,
dobija se:





 ρ f vx  ( ρ f vx )  ρ f vx  dydzdt  ( ρ f vx )dxdydzdt

x

x




gde je: ρ f  ρ f ( x, y,z,t ) – gustina fluida.
Na isti način može se naći priraštaj komponenata
duž y i z ose, tako da je ukupna promena mase
elementarnog fluida za vreme dt jednaka:
Eβ 2
 f  f0  ψf  0
4R
Petrović, D – Bižić, M.
SR21
IMK-14 – Istraživanje i razvoj




 x ( ρ f vx )  y ( ρ f v y )  z ( ρ f vz ) dxdydzdt


(6)
S druge strane, promena mase elementarnog fluida
može se iskazati i kroz promenu njene gustine:

ρ f
t
dxdydzdt ;
Izjednačavanjem ova dva izraza, dobijaju se
jednačine neprekidnosti (kompatibilnosti) sredine:



 ( ρ f vx )  ( ρ f v y )  ( ρ f v z )  0
t x
y
z
(7)
Pri formiranju jednačina kretanja postupiće se na
isti način uz napomenu da se zanemaruju unutrašnje sile
trenja i sile usled temperaturnih uticaja. Posebno su za
ovaj rad interesantne jednačine kretanja elementarnog
fluida u pravcu ose x. Razlika sila koja deluje na ravan
dydz jednaka je:
Pri konstantnoj gustini fluida, jednačine (7), postaju:

0

(9)
Može se dokazati [1] da je veličina:
cf 
p
– brzina zvuka u fluidu;
ρ f
(10)
tada jednačina kompatibilnosti dobija oblik:
 v v y vz 
1 p
 ρf  x 

0
2
c f t
z 
 x y
(11)
Ako se usvoji da je potencijal brzine jednak nekoj
funkciji  , onda se brzine čestica fluida mogu izraziti na
sledeći način:
vx 
φ
φ
φ
, vy 
, vz 
z
x
y
(12)
Zamenom izraza za brzine u jednačine (8), dobija se:
p  ρf
φ
t
(15)
Svaka funkcija f ( x  c f t ) može biti njeno rešenje [1].
Ako se posmatra samo talas rasprostiranja, može se pisati:
φ  f ( x  c f t ) , pa je:
vx 
φ
 f '( x  cf t )
x
(16)
Iz jednačine (13) je:
pxd   ρ f
φ
 ρf cf f ' ( x  cf t )
t
(17)
pxd  ρ f c f vx
Uz pretpostavku da se promena gustine tečnosti
zanemaruje, dinamičke jednačine idealne tečnosti mogu se
napisati kao:
v y p
v p
v p
(8)
ρf x 
 0 , ρf
0

 0 , ρf z 
t y
t x
t z
 v v y vz
 ρf  x 

t
 x y z
Prethodna jednačina po svojoj strukturi odgovara
jednačini kojom je opisano rasprostiranje talasa napona i
deformacije u gredi izloženoj udarom [1]. Posmatrajući
talasno kretanje duž pravca ose x, može se pisati:
Konačno, zamenom izraza za brzinu vx (16) u
prethodnu jednačinu, dobija se da je dinamički pritisak na
dance rezervoara vagon-cisterne, pri podužnom udaru,
jednak:
 p 
 dx  dydz , gde je: p  p( x, y, z) – pritisak.
 x 
dv
Sila inercije u pravcu ose x je:  ρ f dxdydz x .
dt
ρ f
(14)
2φ 2 2φ
 cf 2  0
t 2
x
znak minus je u slučaju smanjenja zapremine.
ρ f
2φ 2 2
 cf  φ  0
t 2
(13)
dance
Za izračunavanje ukupne sile pritiska tečnosti na
rezervoara pxu , pri sudaru cisterni, treba
hidrodinamičkoj sili dodati hidrostatičku pxs .
pxu  pxd  pxs
(19)
Realne tečnosti se od idealnih koje su uzete u
modelu, razlikuju po silama unutrašnjeg trenja i silama
trenja izmeĎu tečnosti i zidova rezervoara. Pored toga, u
ovom modelu je uvedena pretpostavka da je tečnost
nestišljiva. Za problematiku koja se ovde izučava može se
smatrati da su navedeni uticaji zanemarljivi.
U cilju odreĎivanja veličine hidrauličkog udara o
dno rezervoara vagon-cisterne, potrebno je podrobno
proučiti proces sudara dva vagona [4]. Promena brzine
tečnosti vx, koja nastaje pri udaru, odrediće se prema
modelu (slika 5) koji je formiran na osnovu teorijskih i
eksperimentalnih saznanja. Razmotrimo slučaj sudara dva
vagona mase m1 i m2 koji su natovareni teretima mase m3 i
m4, pri čemu dolazi do relativnog pomeranja masa po
vagonu za x3, odnosno x4. Neka su izmeĎu konstrukcije
vagona i tereta elastične veze krutosti c3 i c4. Osim toga
neka se relativnom pomeranju masa m3 i m4 suprotstavljaju
sile otpora suvog trenja ( 3m3g, 4m4g) i sile otpora
viskoznog trenja koje su proporcionalne prvom stepenu
brzine relativnog pomeranja tereta β3 x3 i β4 x4 . TakoĎe se
kretanju prvog i drugog vagona suprotstavljaju sile trenja
kotrljanja 1g(m1+m3) i 2g(m2+m4).
 3
c3
Kada se ovako definisan pritisak uvrsti u jednačinu
kompatibilnosti (11) imamo da je:
(18)
x3
x4
m3
 3g m3 m1
cns1
v1
c1
 1 g(m 1 + m 3)
x2
x1

4 g m4
m4
m2
4
c4
v2
c2
cns2
 2 g(m 2+ m 4 )
Slika 5. Sudar vagona pri čemu postoji pomeranje tereta
Stabilnost rezervoara vagon-cisterne pri podužnom udaru
SR22
IMK-14 – Istraživanje i razvoj
OdreĎivanjem kinetičke i potencijalne energije, kao i
funkcije rasipanja (disipacije) i primenom Lagranževih
jednačina druge vrste dobija se:
 m1  m3  x1  m3 x3  cx1  cx2  μ1( m1  m3 )g  signx1  0
 m2  m4  x2  m4 x4  cx2  cx1  μ2 ( m2  m4 )g  signx2  0
m3 x3  m3 x1  β3 x3  c3 x3  μ3 m3 g  signx3  0
(20)
m4 x4  m4 x2  β4 x4  c4 x4  μ4 m4 g  signx4  0
Ovako definisan sistem diferencijalnih jednačina
uzima u obzir pomeranje tereta tokom sudara vagona i
pogodan je za rešavanje numeričkim putem. Pri rešavanju
ovog sistema diferencijalnih jednačina korišćena je
standardna metoda Runge-Kuta IV reda.
2 ODREĐIVANJE DINAMIČKIH PARAMETARA PRI
PODUŽNOM HIDRAULIČKOM UDARU
Proračunska shema rezervoara vagon-cisterne
sastoji se od zatvorene cilindrične ljuske koja na krajevima
ima membranske pregrade (danca), koje su apsolutno krute
u svojoj ravni. Teorijski i eksperimentalno posmatrano [5]
najveći naponi nastaju u zoni prelaska od cilindra ka
dancetu. MeĎutim, u eksploataciji je vrlo retka pojava
pukotina na posmatranom mestu bez obzira na velike
napone koji se dobijaju proračunom i koji su evidentni pri
ispitivanju. Ovo se može objasniti time da su naponi, na
prelazu izmeĎu cilindra ka dancetu, čija vrednost prelazi
granicu elastičnosti, ograničeni poljem napona koji imaju
znatno nižu vrednost, pa shodno Sen-Venanovom principu
mogu se smatrati lokalnog karaktera. Ova razmatranja
važe dok su naponi u cilindričnom delu znatno manji od
napona na prelasku cilindričnog dela ka dancu. Najveće
povećanje napona na rezervoaru, a samim tim i pojavu
pukotina može izazvati hidraulički udar tečnosti koji
nastaje pri sudaru vagona.
U ovom radu razmatran je sudar vagon-cisterne
(slika 1) i vagon cisterne Uah/Ra. Tehnički podaci ovih
vagona dati su u [1].
Analizom
rezultata
dobijenih
numeričkom
simulacijom jednačina (20) može se zaključiti da rezervoar
vagon-cisterne gubi stabilnost pri brzini sudara v=19,5 m/s
(slika 6). Ovo se odnosi, na rezervoar koji nema početnih
ugiba. Dijagrami promene amplitude f ugiba w u
zavisnosti od toga da li ima ili nema početnih ugiba dati su
na slici 7. Iz dijagrama se uočava da će pri postojanju
početnih ugiba rezervoar vagon-cisterne ranije izgubiti
stabilnost.
Slika 7. Promena amplitude ugiba rezervoara
Pri udarnom dinamičkom opterećenju, takoĎe je
izvršena analiza uticaja oblika oscilovanja na pojavu
gubitka stabilnosti, a rezultati su prikazani na slici 8. Iz
dijagrama se može zaključiti da se pri dinamičkom dejstvu
opterećenja koja nastaje pri sudaru vagona brzinom 19,5
m/s, kritično opterećenje dobija pri broju polutalasa m=1 i
n=4. Pored toga vrednost minimalnog kritičnog
opterećenja koje rezervoar može izdržati daleko je veća pri
dinamičkom u odnosu na statičko opterećenje.
Slika 8. Uticaj oblika oscilovanja na amplitudu ugiba
rezervoara za m=1
UporeĎujući prethodni dijagram sa dijagramom
promene brzine fluida (slika 6) i analizirajući vremenski
trenutak gubitka stabilnost može se zaključiti da nagli rast
amplitude ugiba rezervoara f nastaje tek u fazi
rasterećenja, odnosno kada opterećenje ima znatno niže
vrednosti u odnosu na svoje maksimalne vrednosti.
Slika 9. Izgled deformisanog rezervoara vagon-cisterne
Slika 6. Promena brzine fluida pri sudaru
Petrović, D – Bižić, M.
SR23
IMK-14 – Istraživanje i razvoj
Maksimalno opterećenje rezervoara nastaje u
intervalu do 0.2 s (slika 6), a gubitak stabilnosti nastaje u
intervalu nakon 0.2 sec (slika 8).
Izgled deformisanog rezervoara vagon-cisterne pri
gubitku stabilnosti dat je na slici 9.
LITERATURA
[1]
[2]
3 ZAKLJUČAK
[3]
Primenom principa nelinearne dinamike ploča i
ljuski formiran je matematički model oscilovanja
rezervoara i uz odgovarajuće početne i granične uslove
može se primeniti na sve vrste vagon-cisterni. Formirani
model oscilovanja rezervoara vagon-cisterne primenjen je
pri proračunu realne konstrukcije, pri čemu su odreĎena
kritična opterećenja pri statičkom i dinamičkom dejstvu
sila, kao i uticaj oblika oscilovanja i početnih ugiba na
stabilnost konstrukcije.
[4]
[5]
Volmir A. S., ''Nelinearnaja dinamika plastinok i
oboloček'', Izdateljstvo «Nauka», Moskva, 1972.
Petrović D., ''Stabilnost noseće strukture vagona pri
sudaru'', Doktorska disertacija, Mašinski fakultet
Kraljevo, 2000.
Veršinski S. V., Danilov V. N., Čelnokov I., I.,
''Dinamika vagona'', Izdateljstvo «Transport»,
Moskva, 1978.
Dragan Petrovic, Milan Bizic, Mirko Djelosevic,
''Determination of dynamic sizes during the process
of impact of railway wagons'', Archive of Applied
Mechanics, 82:205–213, DOI: 10.1007/s00419011-0549-5, 2011.
Marković S., Lišanin R., Grajić J., ''Proračun
železničkih vozila – skripta'', Mašinski fakultet
Beograd, 1976.
Stabilnost rezervoara vagon-cisterne pri podužnom udaru
Download

Stabilnost rezervoara vagon-cisterne pri podužnom udaru