MEHANIKA FLUIDA
Složeni cevovodi
1.zadatak. Iz dva velika otvorena rezervoara sa istim nivoima H=10 m ističe voda kroz
cevi I i II istih prečnika i dužina: d=100mm, l=15m i magistralni cevovod dužine
2L=100m, prečnika D=150mm. Zanemariti lokalne gubitke, ξtr=0,03 (za sve cevi).
a) Odrediti protoke kroz cevi I i II i magistralni cevovod.
b) Koliki je jedinični rad i korisna snaga pumpe P koju treba ugraditi u cevovod I da
bi protoci u cevi I i II bili isti.
Rešenje:
a) Bernulijeve jednačiena za nivoe vode u rezervoarima i izlazni presek magistralnog
cevovoda su:
pa
pa
l v12
L v′ 2
L v2 v2
... (1)
+ gH = + ξ tr
+ ξ tr
+ ξ tr
+
ρ
ρ
d 2
D 2
D 2
2
pa
p
l v 22
L v2 v2
... (2)
+ gH = a + ξ tr
+ ξ tr
+
ρ
ρ
d 2
D 2
2
Iz jednačine kontinuiteta imamo:
v1
d2π
D2 π
= v′
4
4
v1d 2 = v′D 2
... (3)
d2π
d2π
D2π
+ v2
=v
⇒ ( v1 + v 2 ) d 2 = vD 2
4
4
4
... (4)
v1
Od (2) oduzmemo (1) i dobijamo:
iz (3) dobijamo:
⇒
v 2 = v1
⇒
l 2 L 2 l 2
v1 + v′ = v 2
d
D
d
2
d
v′ = v1 2
D
4
dl L d  
 +    = 1, 2v1 .
l  d D  D  
Iz (4) se dobija: vD = ( v1 + 1, 2v1 ) d = 2, 2v1d
2
Dakle,

4

l 2 Ld  2 l 2
v1 +   v1 = v 2
 ⇒
d
DD
d


2
2
2
⇒
d
v = 2, 2v1   .
D




2
1, 2  D 

v 2 = 1, 2v1 =
  v 
2, 2  d 

tj.
2
1 D
v1 =
  v
2, 2  d 
2
→
(2) ⇒
2gH
v=
2
4
l v 2  1, 2   D   L  v 2
gH = ξ tr
  +  ξ tr + 1 ,
d 2  2, 2   d   D  2
4
l  1, 2   D   L 
ξ tr 
  +  ξ tr + 1
d  2, 2   d   D 
= 3,32 m/s .
Ostale brzine su:
2
v1 =
1 D
  v = 3, 4 m / s
2, 2  d 
2
1, 2  D 
v2 =
  v =1,2v1 =4,08 m/s
2, 2  d 
Traženi protoci su:
d2π
= 26, 7 l/s
4
d2π
= 32,1 l/s
Q 2 = v2
4
D2π
= 58,8 l/s
Q=v
4
Q 1 = v1
b) Sada je priključena pumpa ’’P’’. Uslov zadatka je:
d2π
d 2π
Q 1 = Q 2 ⇒ v1
⇒ v1 = v 2 .
= v2
4
4
Bernulijeva jednačina za nivoe vode u levom rezervoaru i izlazni presek magistralnog
cevovoda:
gH + YP = ξ tr
l v12
L v′ 2
L v2 v2
+ ξ tr
+ ξ tr
+
d 2
D 2
D 2
2
l v12
L v2
L v2 v2
... (1)
YP = −gH + ξ tr
+ ξ tr
+ ξ tr
+
d 2
D 2
D 2
2
Bernulijeva jednačina za nivoe vode u desnom rezervoaru i izlazni presek magistralnog
cevovoda:
l v 22
L v2 v2
... (2)
gH = ξ tr
+ ξ tr
+
d 2
D 2
2
Jednačine kontinuiteta su:
d2π
D2 π
... (3)
⇒ v1d 2 = v′D 2
v1
= v′
4
4
d2π
d2π
D2π
... (4)
⇒ vD 2 = 2v1d 2
v1
+ v1
=v
4
4
4
Iz (4) ⇒
v1 =
1 D
v 
2 d
2
4
→ (2):
gH = ξ tr
l 1  D  v2  L  v2
+  ξ tr + 1
 
d 4 d  2  D  2
v=
2gH
4
1
l D
L
ξ tr   + ξ tr + 1
4 d d 
D
=
2 ⋅ 9,81 ⋅10
4
1
15  150 
50
0, 03
+1

 + 0, 03
4
0,1  100 
0,15
2
1D
v1 =   v = 3,86 m/s ;
2 d 
d
iz (3) ⇒ v′ = v1  
D
⇒ v = 3, 43 m/s .
2
⇒ v′ = 1, 715 m/s
Dakle, v1 = v 2 = 3,86 m/s
Protok kroz pumpu je: Q 1 = v1
d2π
= 30,3 l/s
4
Jedinični rad pumpe je (v, v1, v’ u (1)): YP = 14,8 J/kg
Korisna snaga pumpe je:
PP = ρQ1YP = 448 W
2. zadatak. Voda teče iz gornjeg rezervoara u donji, kao što je prikazano na slici. Poznati
su sledeći podaci: l1=l2=l3=l4=80m, d1=d2=d4=80mm, d3=160mm, H=20m,
ξtr1=ξtr2=ξtr4=0,025, ξtr3=0,02. Koeficijent otpora ventila je ξ=20, a drugi koeficijenti otpora
se zanemaruju. Odrediti protok ako je ventil a) otvoren i b) zatvoren.
Rešenje:
a) Kada je ventil otvoren imamo iz Bernulijeve jednačine napisane za preseke 1 i 2 a za
jednu i drugu cev:
ξ tr 2
l3 
l2 v 22 v 32 
=
 ξ + ξ tr3 
d 2 2g 2g 
d3 
... (1)
Jednačina kontinuiteta je:
Q 1 = Q 2 +Q 3
... (2)
Bernulijeva jednačina za nivoe vode u rezervoarima a kroz gornju cev je:
H = ξ tr1
l1 v12
l v2
l v2
+ ξ tr 2 2 2 + ξ tr 4 4 4
d1 2g
d 2 2g
d 4 2g
... (3)
Kako je d1= d2= d4 ⇒ v1= v4, pa jednačina (3) postaje:
H = 2ξ tr1
l1 v12
l v2
+ ξ tr 2 2 2
d1 2g
d 2 2g
... (3*)
d 22 π
4Q 
⇒ v2 = 2 2 
4
d2π 
∗
 → (1) i ( 3 )
2
d π
4Q
Q3 = v3 3
⇒ v3 = 2 3 
4
d 3 π 
Q2 = v2
2
ξ tr 2
l3   4Q3 
l2  4Q 2  
 2  =  ξ + ξ tr3   2 
d2  d2π  
d3   d3 π 
2
2
l 1  4Q1 
l2 1  4Q 2 
H = 2ξ tr1 1
 2  + ξ tr 2


d1 2g  d1 π 
d 2 2g  d 22 π 
⇒
Q3 = 3, 65Q 2
⇒
2Q12 + Q 22 = 4 ⋅10−4
2
Q 1 = Q 2 +Q 3
Iz poslednjih jednačina dobija se da je: Q 1 = 13,95 l/s .
b) Kada se ventil potpuno zatvori, biće:
l v2
l v2
l v2
H = ξ tr1 1 1 + ξ tr 2 2 2 + ξ tr 4 4 4
d1 2g
d 2 2g
d 4 2g
I, s obzirom na specifičnost podataka, biće:
2
l1 v12
l 1  4Q1 
= 3ξ tr1 1


d1 2g
d1 2g  d12 π 
24ξ tr1l1Q12
⇒ Q 1 = 11,5 l/s
H=
gd15 π2
H = 3ξ tr1
Napomena: mogle su da se sračunaju brzine pa onda protoci.
3. zadatak Pumpa P transportuje jednake količine nafte (ρ =900 kg/m3) u rezervoare 2 i 3
iz rezervoara 1. Odrediti snagu pumpe i protoke kroz sve grqne cevovoda ako su poznati
sledeći podaci: H=8m, pm=0,2 bar, pv=0,1 bar, L1=50 m, L2=100 m, D=150mm, d=100mm,
ξv=5, ξtr=0,03 (za sve cevi), ξv3=30, ξk=0,5, ηp=0,8.
Rešenje:
Iz uslova jednakosti protoka u rezervoarima 2 i 3 imamo (cevi su istog prečnika):
Q2 = Q 3
⇒
v 2= v3
Bernulijeva jednačina za nivoe tečnosti 1 i nivoe 2 i 3:
2
2
pa
p + p m  L1
v  L
v
+ YP = a
+  ξ tr
+ 2ξ v + ξ u  1 +  ξ tr 2 + ξ v + ξ k + 1 2
ρ
ρ
d
 D
 2 
 2
2
2
pa
p − p v  L1
v
v  L
+ gH + YP = a
+  ξ tr
+ 2ξ v + ξ u  1 +  ξ tr 3 + ξ v3 + 1 3
ρ
ρ
d

 2  D
 2
Iz ove dve jednacine se dobija:
gH +
2
2
p  L
pm  L2
v
v
+  ξ tr
+ ξ v + ξ k + 1 2 = − v +  ξ tr 3 + ξ v3 + 1 3
ρ 
ρ 
d
d
 2
 2
... (1)
Kako je v 2 = v 3 , iz (1) se dobija:
gH +
2
p m + p v  L3
L
v
=  ξ tr
+ ξ v3 + 1 − ξ tr 2 − ξ v − ξ k − 1 2
d
d
ρ

 2
p + pv 

2  gH + m
ρ 

v 2 = v3 =
= 2, 7 m/s
L3
L2
ξ tr
+ ξ v3 − ξ tr
− ξv − ξk
d
d
Brzina v1 određuje se iz jednačine kontinuiteta:
Q1 = Q 2 + Q 3
D2 π
d2π
d2π
d2π
= v2
+ v3
= 2v 2
⇒ v1
⇒ v1D 2 = 2v 2 d 2 ⇒
4
4
4
4
Onda su protoci kroz pojedine grane:
D2 π
d2π
3
Q 1 = v1
= 0,0424 m /s; Q 2 = Q 3 = v2
= 0, 0212 m3 /s;
4
4
Jedinični rad pumpe može se dobiti iz polaznih jednačina:
YP = 191, 7 J/kg .
Potrebna snaga pumpe iznosi:
PP =
ρQ1YP
= 9,14 kW .
ηP
2
d
v1 = 2v 2   = 2, 4 m/s .
D
4. Zadatak. Za pumpno postrojenje prikazano na slici treba odrediti jedinični rad i snagu
pumpe P, kao i protoke vode u svim deonicama. Lokalne otpore zanemariti. Poznate su
sledeće veličine: d1=50mm, d2=60mm, d3=80mm, d4=40mm, d=100mm, Q3=5 l/s, H=30m,
l=20m, pm=0,6 bar, pv=0,3 bar, ρ =1000 kg/m3.
Lokalni otpori se zanemaruju.
Rešenje:
4Q
d32 π
⇒ v3 = 2 3 = 1 m/s .
d3 π
4
Sada napišemo Bernulijevu jednačinu za nivoe 1-3, 1-4 i 2-3 u rezervoarima:
pa − p v
p
l v2
l v2
2l v 2
+ YP = a + g ( H + h ) + ξ tr 1 1 + ξ tr
+ ξ tr 3 3
ρ
ρ
d1 2
d 2
d3 2
Zadatkom je dat protok Q3, pa je: Q3 = v3
pa − p v
p + pm
l v2
2l v 2
l v2
+ YP = a
+ gH + ξ tr 1 1 + ξ tr
+ ξ tr 4 4
ρ
ρ
d1 2
d 2
d4 2
(1)
(2)
pa − p v
p
l v2
l v2
2l v 2
(3)
+ YP = a + g ( H + h ) + ξ tr 2 2 + ξ tr
+ ξ tr 3 3
d2 2
d 2
d3 2
ρ
ρ
Pored ovih Bernulijevih jednačina napišimo i jednačine kontinuiteta (za mesta račvanja):
d2π
d2π
d2π
Q1 + Q 2 = Q
⇒ v1 1 + v 2 2 = v
⇒ v1d12 + v 2 d 22 = vd 2 (4)
4
4
4
d 32 π
d 24 π
d2π
+ v4
=v
Q3 + Q 4 = Q
⇒ v3
⇒ v3d 32 + v 4 d 42 = vd 2 (5)
4
4
4
l v2
pm
l v2
(6)
Iz (1) i (2) ⇒
+ ξ tr 4 4 = gh + ξ tr 3 3
ρ
d4 2
d3 2
što ustvari pretstavlja jednakost ukupnih energija na mestu račvanja deonica (l3,d3) i (l4,d4).
Iz jednačine (6) je:
l v2 
2d 4 
pm
+ ξ tr 3 3  = 1,9 m/s .
 gh −
ξ tr l4 
ρ
d3 2 
Pošto sada znamo v3 i v4 iz jednačine (5) je:
v4 =
2
2
d 
d 
v =v3  3  +v 4  4  = 0,94 m/s .
 d 
d 
l1 v12
l v2
= ξ tr 2 2
d1 2
d2 2
što ustvari pretstavlja jednakost gubitaka energije u deonicama (l1,d1) i (l2,d2).
ξ tr
Iz jednačine (1) i (3) imamo:
2
Iz (7) ⇒
ld 
v 2 =v1  1 2 
 l2 d1 
v1d12 + v1d 22
l1d 2
= vd 2 ⇒
l2 d1
Onda je: v 2 = v1
(7)
⇒
(4)
−1
 d  2  d  2 l d 
d2
1 2
v1 = v 2
= v  1  +  2 
 = 1,56 m/s
d1 + d 22
d
d
l






2 d1 
l1d 2
= 1,53 m/s .
l2 d1
Protoci su:
d2π
= 7,37 l/s;
4
d2π
d 2π
Q1 = v1 1 = 3, 06 l/s; Q 2 = v 2 2 = 4,31 l/s;
4
4
2
2
dπ
dπ
Q3 = v3 3 = 5 l/s; Q 4 = v 4 4 = 2,37 l/s;
4
4
Q=v
Jedinični rad pumpe može da se odredi iz bilo koje od jednačina (1), (2), (3) i iznosi:
YP = 557, 2 J/kg .
Snaga pumpe je:
PP =
ρQYP
= 5,13 kW
ηP
5. zadatak. Pumpa snage 3,5 kW i stepena korisnosti η=0,7 crpe vodu iz rezervoara A i B i
potiskuje u rezervoar C. Odrediti:
a) bisinu H1, ako je protok kroz pumpu 25 l/s vode;
b) protok vode kroz pumpu ako je ventil V2 zatvoren a pumpa ostvaruje isti jedinični
rad kao i u slučaju pod a).
Ostali podaci su: H=3m, l=45m, l1=35m, l2=20m, D=150mm, d=100mm, ξv=5, ξv2=7,
ξk=0,2, ξtr=0,025.
Rešenje:
Jedinični rad pumpe je:
YP =
Pη
= 98,1 J/kg .
ρQ
Iz izraza za protok imamo:
Q=v
d2π
⇒
4
v=
4Q
= 1, 41 m/s .
d2π
Napišimo sada Bernulijeve jednačina za nivoe 1-3 i 2-3 u rezervoarima:
2
2
 l
v  l
v
YP = g ( H1 + H ) +  ξ tr 1 + 2ξ k + ξ v  1 +  ξ tr + 2ξ v + ξ k + 1
 d
 2g  d
 2g
2
2
 l
v  l
v
YP = 2gH +  ξ tr 2 + ξ k + ξ v2  2 +  ξ tr + 2ξ v + ξ k + 1
 2g
 d
 2g  d
te treba zapaziti da su gubici zbog naglog suženja struje fluida zanemareni.
...
(1)
...
(2)
v 2 = 1,83 m/s .
Iz jednačine (2) je:
Sada napišemo jednačinu kontinuiteta:
d2π
d2π
D2 π
+ v2
=v
Q1 + Q 2 = Q
⇒ v1
4
4
4
⇒
vD 2 = ( v1 + v 2 ) d 2 ... (4)
v1 = 1,35 m/s .
Iz jednačine (3) je:
Iz jednačine (1) geodezijska visina H1 je:
H1 = 3, 78 m .
b) Kada je ventil V2 zatvoren, onda je Bernlijeva jednačina za nivoe 1 i 3 u
rezervoarima sledeća:
∗2
∗2
 l
v
 l
v
...
(1*)
YP = g ( H1 + H ) +  ξ tr 1 + 2ξ k + ξ v  1 +  ξ tr + 2ξ v + ξ k + 1
d
2g
d
2g




Visina H1 je određena u prethodnoj tački,
zadatkom).
Sada jednačina kontinuiteta ima oblik:
∗
1
Q =Q
∗
⇒
YP je isti kao u prethodnoj tački (dato
d2π
D2 π
v
= v∗
⇒
4
4
∗
1
D
v =v  
d
∗
1
v∗ = 0,837 m/s
Protok kroz pumpu u ovom slučaju je:
Q∗ = v ∗
D2 π
= 14,8 l/s .
4
∗
2
⇒
(1*)
Download

MEHANIKA FLUIDA Složeni cevovodi