dr Fedor Skuban
Fizika
I godina studija na Tehnološkom fakultetu u Novom Sadu
Departman za fiziku, PMF Novi Sad
1
Mehanika
Sadržaj
Elementi vektorskog računa
Fizičke veličine. SI sistem jedinica
Osnovni pojmovi kinematike
Brzina
Ubrzanje
Pravolinijsko kretanje
Slobodno padanje
Vertikalni hitac
Horizontalni hitac
Kosi hitac
Kinematika rotacionog kretanja.
Kružno kretanje
Ugaona brzina
Ugaono ubrzanje
Krivolinijsko kretanje. Kružno kretanje.
Ravnomerno kružno kretanje
Jednako-ubrzano kružno kretanje
Dinamika. Sila, masa i količina kretanja
Njutnovi zakoni kretanja. I Njutnov zakon
II Njutnov zakon
III Njutnov zakon
Neki tipovi sila u mehanici
4
8
14
17
19
21
25
27
29
32
35
36
37
40
42
44
47
49
51
52
53
Gravitaciona sila. Njutnov zakon univerzalne
gravitacije
Težina tela
Sila normalne reakcije podloge
Sila trenja
Sila elastičnosti
Sile kod kružnog kretanja
Rad i energija
Energija
Kinetička energija
Potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija
Konzervativna i nekonzervativna polja
Konzervativne i nekonzervativne sile
Potencijalna energija opruge
Zakon održanja energije
Snaga
Impuls sile i količina kretanja
Zakon održanja količine kretanja
Sudari
Elastičan sudar
Neelastičan sudar
54
57
59
61
65
70
74
77
78
80
82
86
87
88
91
94
95
97
100
102
103
2
Sadržaj
Dinamika rotacionog kretanja krutog tela
105
Moment sile
108
Moment inercije
111
Moment inercije i Štajnerova teorema
114
Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja 115
Kinetička energija i rad kod rotacionog kretanja 117
Moment količine kretanja.
118
Zakon održanja momenta količine kretanja.
121
Statika čvrstog tela
124
Uslovi ravnoteže čvrstog tela
125
Vrste ravnoteže. Stabilnost.
127
Oscilacije i talasi
128
Oscilacije
129
Oscilovanje tela obešenog o elastičnu oprugu
130
Matematičko klatno
133
Fizičko klatno
135
Prigušene harmonijske oscilacije
136
Prinudne harmonijske oscilacije
139
Talasno kretanje. Prostiranje talasa
u elastičnoj sredini.
141
Jednačina progresivnog talasa
Brzina širenja talasa
Energija talasa
Osnovne osobine talasnog kretanja
Stojeći talasi
Zvuk
Jačina zvuka
Doplerov efekat
Mehanika fluida. Statika fluida.
Pritisak
Hidrostatički pritisak
Potisak. Arhimedov zakon.
Površinski napon
Osobine gasova. Atmosferski pritisak.
Dinamika fluida
Jednačina kontinuiteta
Bernulijeva jednačina
Toričelijeva teorema
Viskoznost
146
148
150
151
156
160
162
164
168
169
172
174
176
178
180
181
183
185
186
3
Elementi vektorskog računa
sabiranje i oduzimanje vektora; razlaganje na komponente
Sabiranje
Oduzimanje
Ax = A cos θ⎫⎪
2
2
⎬ A = Ax + Ay
Ay = A sin θ ⎪⎭
4
Projekcije vektora na pravac
5
Skalarni i vektorski proizvod vektora
Skalarni proizvod dva vektora je skalar.
r r r r
r r
r r
a ⋅ b =| a | ⋅ | b | cos ∠( a , b ) = a ⋅ b cos ∠( a , b )
Vektorski proizvod dva vektora je vektor koji je normalan na ravan koju
oni čine, a smer mu je određen pravilom desnog zavrtnja. Intenzitet je
brojno jednak površini paralelograma konstruisanog iznad vektora a i b.
r r r r
r r r
a × b =| a | ⋅ | b | sin ∠( a , b ) ⋅ co
r r
r r
| a × b |= a ⋅ b sin ∠(a , b )
6
Trigonometrijske funkcije
‰
Trigonometrijske funkcije koje su najčešće korišćene su sinus, kosinus i
tangens i povezuju dužine stranica pravouglog trougla sa odgovarajućim
uglovima.
‰
Pitagorina teorema povezuje dužine stranica pravouglog trougla.
x2 + y2 = r 2
7
Fizičke veličine. SI sistem jedinica.
ƒ Potreba da se brojem izražavaju osobine ili opisuju prirodne pojave
nametnula je potrebu uvođenja fizičkih veličina i jedinica fizičkih veličina.
ƒ Fizičkim veličinama se kvantitativno opisuju osobine tela, stanja i
procesa.
ƒ Skalarne veličine su potpuno određene svojom brojnom vrednošću, dok su
vektorske veličine definisane joši pravcem i smerom.
ƒ 1960. godine je na međunarodnom nivou dogovoreno da se koristi
jedinstveni sistem fizičkih jedinica u svetu, tzv. SI sistem (međunarodni
sistem jedinica), koji sadrži 7 osnovnih veličina i njihovih jedinica, dok su
sve ostale jedinice (jedinice ostalih fizičkih veličina) izvedene od osnovnih
(iako imaju druge nazive, mogu se nedvosmisleno izraziti preko nekih od
pomenutih sedam osnovnih jedinica).
8
Fizičke veličine. SI sistem jedinica.
Osnovne fizičke veličine:
naziv veličine
masa
najčešća oznaka
veličine
m
jedinica
oznaka jedinice
kilogram
kg
dužina
l, s, r
metar
m
vreme
t
sekund
s
temperatura
T
kelvin
K
jačina električne
struje
I
amper
A
jačina svetlosti
J
kandela
cd
količina supstance
n
mol
mol
9
Fizičke veličine. SI sistem jedinica.
ƒ 1 m je dužina puta koju u vakuumu pređe
svetlost za 1/299 792 458 deo sekunde.
ƒ 1 kg je masa etalona u obliku cilindra visine
39 mm i prečnika 39 mm od legure 90% Pt 10% Ir, koji se čuva u Međunarodnom birou
za težine i mere u Sevru, Francuska.
ƒ 1 s je vreme trajanja 9 192 631 770 oscilacija
elektrona između dva hiperfina nivoa u atomu
Cs.
ƒ 1 K je termodinamička temperatura koja je jednaka 1/273.16 delu
termodinamičke temperature trojne tačke vode.
ƒ 1 A je jačina vremenski stalne električne struje koja, prolazeći kroz dva prava,
paralelna provodnika beskonačne dužine i zanemarljivog poprečnog preseka,
koja se nalaze u vakuumu na rastojanju od 1 m, prouzrokuje između njih
elektrodinamičku (privlačnu ili odbojnu) silu od 2⋅10−7 N po metru dužine.
10
Fizičke veličine. SI sistem jedinica.
ƒ 1 cd je svetlosna jačina koju u određenom pravcu emituje izvor svetlosti u vidu
monohromatskog zračenja frekvencije 540⋅1012 Hz i čija je izračena snaga u tom
pravcu 1/683 deo W po steradijanu.
ƒ 1 mol je količina materije sistema koji sadrži toliko elementarnih jedinki koliko
ima atoma u 0.012 kg izotopa ugljenika 12C (Avogadrov broj).
11
Fizičke veličine
ƒ Izvedene fizičke veličine - skup fizičkih veličina koje su funkcije osnovnih ili
osnovnih i već izvedenih veličina, a dobijaju se na osnovu formule ili relacije.
ƒ Primeri:
brzina
v=dx/dt [m/s]
ubrzanje
a=dv/dt [m/s2],
sila
F=m⋅a [N=kgm/s2],
pritisak
p=F/S [Pa=N/m2]
gradijent brzine dv/dz [s−1=1/s]
koeficijent dinamičke viskoznosti η=F/(S⋅(dv/dz)) [Pas=Ns/m2=kg/sm]
ƒ Mogu biti i bezdimenzione:
apsolutni indeks prelamanja
Poasonov broj
n=c/v
μ=(Δd/d)/(Δl/l)
ƒ Izuzetak su jedinice za:
ugao u ravni
[rad]
prostorni ugao
[sr]
12
Fizičke veličine
‰
Jedinice fizičkih veličina se vrlo često ne koriste u svom osnovnom
obliku, već višestruko umanjene ili uvećane. Milimetar, nanosekunda
ili mikrofarad su jedinice koje sadrže prefikse mili-, nano- i mikro- i
predstavljaju umnoške osnovne jedinice (metar, sekunda, Farad)
zasnovane na različitim eksponentima broja 10.
red veličine prefiks
oznaka
red veličine prefiks
10−12
piko-
p
101
oznaka
deka-
10−9
nano-
n
102
hekto-
h
10−6
mikro-
μ
103
kilo-
k
10−3
mili-
m
106
mega-
M
10−2
centi-
c
109
giga-
G
10−1
deci-
d
1012
tera-
T
da
13
KINEMATIKA
Osnovni pojmovi kinematike
ƒ Mehaničko kretanje tela je promena
položaja tog tela u odnosu na bilo koje
drugo telo.
ƒ Za određivanje položaja koriste se
referentni sistemi, najčešće Dekartov
pravougli koordinatni sistem.
ƒ Referentni sistemi su vezani za
“posmatrača” događaja. Mogu se
kretati (ravnomerno ili ubrzano) ili
mirovati.
ƒ
Referentni sistemi koji miruju ili se ravnomerno kreću su tzv. inercijalni referentni
sistemi, a oni koji se ubrzano kreću nazivaju se neinercijalni referntni sistemi.
14
Osnovni pojmovi kinematike
r
ƒ Vektor položaja r je vektor koji spaja koordinatni početak i datu tačku, a usmeren je ka
datoj tački.
ƒ Materijalna tačka je telo zanemarljivih
dimenzija, ali konačne mase. U kinematici nas
nanje interesuju dimenzije pokretnih tela, a
više samo njihovo kretanje i veličine koje ga
karakterišu.
ƒ Linija koju materijalna tačka opisuje tokom
kretanja (skup uzastopnih položaja) predstavlja njenu putanju. Ili, to je skup tačaka
kroz koje prolazi tokom svog kretanja.
15
Osnovni pojmovi kinematike
ƒ Deo putanje Δs koji telo pređe za vreme Δt
između dve tačke (npr. M1 i M2) je pređeni put.
To je rastojanje između krajnjeg i početnog
položaja tela mereno duž putanje.
Δs
Δs = s2 − s1
r
ƒ Vektor pomeraja Δrje vektor koji spaja početni i
krajnji položaj tačke u kretanju.
r r
v
Δr = r (t + Δt ) − r (t )
ƒ Svako kretanje se može smatrati kao
kombinacija translacije i rotacije.
Translacija – svaka prava ili ravan
ostaje sama sebi paralelna.
Rotacija - sve tačke se kreću po
koncentričnim krugovima čiji centri
su na istoj pravoj - osa rotacije.
16
Vrste kretanja. Brzina.
ƒ Brzinom se, u opštem smislu, karakteriše pređeni put u jedinici vremena.
ƒ Srednja putna brzina je količnik ukupnog pređenog puta Δs za neko vreme Δt i
vremena kretanja Δt.
vs =
ƒ
Δs
Δt
Jedinica je [m/s].
ƒ Srednja vektorska brzina je količnik vektora
pomeraja i vremena u toku kojeg je pomeraj
napravljen.
Δs
r r
r
r
Δr r (t + Δt ) − r (t )
vsv =
=
Δt
Δt
17
Trenutna brzina
Trenutna brzina (brzina pokretne tačke u datom
trenutku t) je srednja vektorska brzina u beskonačno
malom intervalu vremena.
Vektor trenutne brzine ima pravac tangente na
putanju.
r
r Δr
v=
, Δt → 0
Δt
r
r
r
Δr dr
v = lim
=
Δt → 0 Δt
dt
Intenzitet trenutne brzine se, na osnovu činjenice
da je dužina pomeraja jednaka pređenom putu Δs u
slučaju da Δt→0, definiše kao:
r
r
| Δr |
Δ s ds
| v |≡ v = lim
= lim
=
Δt → 0 Δt
Δt → 0 Δt
dt
18
Ubrzanje
Ubrzanje je veličina koja karakteriše promenu
brzine u jedinici vremena.
Srednje ubrzanje je količnik promene brzine i
vremenskog intervala u toku kojeg je ta promena
načinjena.
Trenutno ubrzanje je granična vrednost
srednjeg ubrzanja kada vremenski interval Δt→0.
Jedinica za ubrzanje je [m/s2].
Vektor trenutnog ubrzanja ima pravac vektora
r
promene brzine Δv .
r r r
r Δv v2 − v1
=
as =
Δt t 2 − t1
r
r
r v (t + Δt ) − v (t )
as =
Δt
r
r Δv
a=
, Δt → 0
Δt
r
r
r
Δv dv
a = lim
=
Δt →0 Δt
dt
Intenzitet trenutnog ubrzanja se definiše kao:
r
r
| Δv |
Δv d v
| a |≡ a = lim
= lim
=
Δt →0 Δt
Δt → 0 Δt
dt
dv d ⎛ dr ⎞ d 2 r
= ⎜ ⎟=
a=
dt dt ⎝ dt ⎠ dt 2
*
⇒
r
r d 2r
a= 2
dt
19
* Čita se: drugi izvod vektora pomeraja po vremenu.
Ubrzanje
Ubrzanje može biti pozitivno (vektor brzine i vektor ubrzanja imaju isti smer) ili
negativno (tzv. usporenje – vektor brzine i vektor ubrzanja imaju suprotne smerove).
Ubrzanje postoji i kada nema promene intenziteta vektora brzine. Dovoljno je da
vektor brzine v menja pravac u prostoru.
20
Jednodimenzionalno (pravolinijsko) kretanje –
ravnomerno kretanje
Kretanje kod kojeg je putanja prava linija je pravolinijsko. Vektori brzine i
ubrzanja (ako je a≠0) se poklapaju sa pravcem kretanja, a intenziteti trenutnih ovih
veličina su:
v=
ds
dt
a=
dv d 2 s
=
dt dt 2
Pravolinijsko kretanje može biti ravnomerno ili promenljivo (najjednostavniji
slučaj: jednako-ubrzano).
Ravnomerno (uniformno) pravolinijsko kretanje je ono u kome se brzina ne
menja ni po intenzitetu ni po pravcu u toku vremena. Njen intenzitet je ravan
količniku pređenog puta i vremena.
r
a =0 ⇒
v=
s
= const.
t
21
Pravolinijsko kretanje – ravnomerno kretanje
Zakon položaja je funkcija promene položaja tela (materijalne tačke) sa
vremenom, x=f(t).
U slučaju pravolinijskog ravnomernog kretanja zakon položaja glasi *:
x = x0 + vt
ili prosto (ako uzmemo da je početni položaj (kordinata) tela x0=0):
x = vt
* Kod pravolinijskog kretanja koordinatnu osu (recimo x-osu) na
kojoj se prati položaj tela usmeravamo duž pravca kretanja.
22
Pravolinijsko kretanje – jednako-ubrzano kretanje
r
Kretanje po pravoj liniji pri kojem je ubrzanje konstantno (a = const.) je jednako-ubrzano pravolinijsko kretanje. Ubrzanje može biti pozitivno ili negativno
(usporenje; intenzitet brzine se smanjuje u toku vremena).
Zakon brzine je funkcija koja pokazuje zavisnost brzine od vremena, v=f(t).
Za slučaj da je početna brzina (brzina u trenutku t=0 s) v0≠0, zakon brzine glasi:
v = v0 + at
Zakon položaja u slučaju pravolinijskog jednako-ubrzanog kretanja glasi:
x = x0 + v0t +
at 2
2
x0 = 0 ⇒
za
x = v0 t +
at 2
2
23
Pravolinijsko kretanje – jednako-ubrzano kretanje
Veza između krajnje i početne brzine i pređenog puta x je:
v 2 = v02 + 2ax
Srednja brzina kod jednako-ubrzanog pravolinijskog kretanja je:
r
a = const.
vs =
v0 + v
2
v = v0 + at
x = x0 + v0t +
at 2
2
24
Primeri pravolinijskog jednako-ubrzanog kretanja
Slobodno padanje
Slobodno padanje je pravolinijsko (jednodimenzionalno) i jednako-ubrzano
kretanje tela u polju sile Zemljine teže bez početne brzine (v0=0).
Intenzitet ubrzanja tela približno iznosi a ≡ g = 9.81 m/s2 i pod izvesnim uslovima
se može smatrati konstantnom veličinom (u blizini površine Zemlje, uz zanemarivanje sile otpora vazduha, ...). Smer ubrzanja je ka površini Zemlje (tačnije ka
centru Zemlje).
Intenzitet brzine, položaj tela na vertikalnoj yosi i pređeni put (računajući od mesta gde se telo
pušta da slobodno pada):
v = gt
y = h−
gt 2
2
s=
gt 2
2
25
Slobodno padanje
Kada nema drugih uticaja, već deluje samo sila
Zemljine teže na ubrzanje tela, tada sva tela
padaju jednako – ako su istovremeno puštena da
padaju, istovremeno i stižu do površine.
Brzina pri udaru o zemlju pri slobodnom padu sa visine h:
v = 2 gh
26
Vertikalni hitac
Vertikalni hitac je jednodimenzionalno (pravolinijsko) i jednako-ubrzano kretanje tela u polju sile Zemljine teže sa nekom početnom brzinom (v0≠0) – telo
je bačeno u vertikalnom pravcu (naviše ili naniže nekom početnom brzinom).
Intenzitet ubrzanja tela je takođe g = 9.81 m/s2, a smer ubrzanja je ka površini
Zemlje (tačnije ka centru Zemlje).
Smer brzine, međutim, može biti i suprotan od
smera ubrzanja – kada se telo baca naviše
(vertikalni hitac naviše), brzina je u početku
usmerena u pozitivnom smeru y-ose duž koje se
posmatra položaj bačenog tela – telo usporava
dok ne dostigne maksimalnu visinu, a zatim
slobodno pada.
Kod vertikalnog hica naniže, brzina tela i
ubrzanje uvek imaju isti smer.
27
Vertikalni hitac
Zakon brzine, zakon položaja i pređeni put
Hitac naniže
v = v0 + gt
y = h − v0 t −
gt 2
2
s = v0t +
gt 2
2
gt 2
2
s = v0t −
gt 2
2
Hitac naviše
v = v0 − gt
y = h + v0t −
Maksimalna visina koju dostiže telo u
vertikalnom hicu naviše:
H = h+
U momentu pada na zemlju je y=0;
u najvišoj tački putanje je intenzitet brzine v=0.
v02
2g
28
Dvodimenzionalno (krivolinijsko) kretanje
u polju sile Zemljine teže – Horizontalni hitac
Horizontalni hitac je dvodimenzionalno (krivolinijsko) i složeno kretanje tela u
polju sile Zemljine teže sa nekom početnom brzinom (v0≠0) – telo je bačeno u
horizontalnom pravcu sa neke visine.
U slučaju dvodimenzionalnog kretanja (po krivolinijskoj putanji),
brzina tela se u svakom momentu
može razložiti na dve komponente
– duž x- i duž y-ose koordinatnog
sistema vezanog za posmatrača
(obično je to Zemljina površina).
29
Horizontalni hitac
Kretanje duž x-ose je ravnomerno – brzina je
konstantna.
Kretanje duž y-ose je jednako-ubrzano – brzina
raste (slobodno padanje; ubrzanje je g).
* h – je visina sa koje je bačeno telo po putanji horizontalnog hica.
vx = v0
v y = − gt
x = v0 t
y = h−
gt 2
2
30
Horizontalni hitac
Putanja je parabola.
Zakon (jednačina) putanje, (zavisnost y-koordinate položaja
tela koje se kreće po putanji horizontalnog hica od x-koordinate):
U momentu pada na zemlju je y=0 ⇒
domet xD, brzina vD, ugao putanje αD.
xD = v0
y = h−
gx 2
2v02
v = vx2 + v 2y
2h
g
31
Kosi hitac
Kosi hitac je dvodimenzionalno (krivolinijsko) i složeno kretanje tela u polju
sile Zemljine teže sa nekom početnom brzinom (v0≠0) – telo je bačeno pod
nekim uglom u odnosu na horizontalni pravac. Kretanje se može opisati kao
superpozicija dva kretanja duž x- i y-koordinatne ose.
Duž x-ose kretanje je ravnomerno – brzina je konstantna.
Duž y-ose kretanje je jednako-promenljivo – ako je ugao izbacivanja pozitivan
(vertikalni hitac naviše), brzina duž y-ose prvo opada, a nakon dostizanja maksimalne
visine, brzina menja smer i raste po intenzitetu; u slučaju negativnog ugla, brzina duž yose stalno raste, kao kod slobodnog padanja.
32
Kosi hitac
Putanja je parabola.
Vremenska promena komponenti
brzina i koordinata tela:
vx = v0 x
⇒
vx = v0 cos α
v y = v0 y − gt ⇒ v y = v0 sin α − gt
x = v0 x t ⇒
y = y 0 + v0 y t −
x = v0t cos α
gt 2
2
⇒
y = y0 + v0t sin α −
gt 2
2
Zakon (jednačina) putanje y=f(x) ima oblik:
* y0 – je visina sa koje je bačeno telo po putanji kosog hica.
y = y0 + x tgα −
g
x2
2v cos 2 α
2
0
33
Kosi hitac
U najvišoj tački putanje je vy=0 (v=vx) ⇒
maksimalna visina ymax. Pod uslovom da je y0=0:
y max =
v02
sin 2 α
2g
U momentu pada na zemlju je y=0 ⇒ domet xD,
brzina vD, ugao putanje αD:
xD =
v02
sin 2α
g
Domet zavisi od početne brzine tela (v0) i
od ugla α pod kojim je ispaljen projektil po
putanji kosog hica.
* Pretpostavlja se da je otpor vazduha zanemarljiv.
34
Kinematika rotacionog kretanja. Kružno kretanje.
ƒ Položaj materijalne tačke pri kretanju po kružnici dat je radijus-vektorom, koji
polazi od centra kružne putanje, a završava na mestu materijalne tačke.
ƒ Ugaoni pomeraj Δθ je ugao između početnog (θ0) i krajnjeg (θ) položaja
radijus-vektora. Uglovi se izražavaju u radijanima (rad).
ƒ Ugaoni pomeraj Δθ je vektor čiji pravac se poklapa sa pravcem ose rotacije, a
smer je određen pravilom desnog zavrtnja.
θ[ rad] =
s
r
→ Δθ =
Δs
r
θ
Δθ = θ − θ 0
Δt = t − t 0
θ0
* Ugao od 1 rad je onaj za koji je odgovarajuća dužina luka na kružnici
jednaka njenom poluprečniku (s=r), θ=s/r=1 rad.
35
Ugaona brzina ω
Srednja ugaona brzina ωs je količnik ugaonog pomeraja i
vremena u toku kojeg je taj ugao opisan. Jedinica je [rad/s].
Trenutna ugaona brzina ω je jednaka srednjoj ugaonoj
brzini kada vremenski interval Δt→0. Ugaona brzina je
pozitivna, ako se θ povećava, a negativna, ako se θ smanjuje.
ωs =
Δθ
Δt
Δθ dθ
=
Δt → 0 Δt
dt
ω = lim
Ugaona brzina je vektor čiji se pravac poklapa sa pravcem
ose rotacije – normalan je na ravan rotacije. Smer vektora je
određen pravilom desnog zavrtnja.
36
Ugaono ubrzanje α
Ugaono ubrzanje je posledica ubrzanog kretanja materijalne tačke po kružnici (povećanje ili smanjenje intenziteta
periferne brzine v), odnosno promene intenziteta ugaone
brzine ω.
Srednje ugaono ubrzanje αs je količnik promene
ugaone brzine i vremenskog intervala u toku kojeg je
došlo do te promene.
αs =
Δω
Δt
α = lim
Δt →0
Δω dω
=
dt
Δt
α=
Jedinica je [rad/s2] ili samo [s−2] .
d 2θ
dt 2
Trenutno ugaono ubrzanje α je srednje ugaono
ubrzanje za graničan slučaj kada Δt→0.
r
Ugaono ubrzanje α je vektor čiji se pravac poklapa sa
pravcem ose rotacije, dakle normalan je na ravan
r
kružnice i kolinearan sa vektorom ugaone brzine ω.
37
Veza između linearnih i ugaonih veličina
Veza između intenziteta periferne brzine v kretanja materijalne tačke (tela) po
kružnici i intenziteta ugaone brzine ω radijus vektora te materijalne tačke:
ω=
Δθ Δs / r Δs v
=
=
=
Δt
Δt
r Δt r
r
⇒
v = ωr
r v r
v = ω× r
r
v
Vektor periferne
r brzine leži u ravni kružnice, kao i radijus-vektor r , a vektor
ugaone brzine ω je normalan na ravan kružnice.
38
Veza između linearnih i ugaonih veličina
Slično tome, veza između intenziteta ubrzanja a materijalne tačke koja se kreće
po kružnici (dakle, periferna brzina v se menja po intenzitetu) i intenziteta ugaonog
ubrzanja α dobija se na sledeći način:
aτ =
Δω
Δv r Δω
=
=r
= rα ⇒
Δt
Δt
Δt
aτ = r α
Pošto je ubrzanje ovde posledica promene intenziteta periferne brzine, vektor ove
r
veličine ( aτ ) ima pravac tangente na kružnu putanju (kao i periferna brzina) – iz tog
razloga nosi naziv tangencijalno ubrzanje.
Oznaka aτ ističe da ovo ubrzanje treba razlikovati od tzv. normalnog
(centripetalnog ubrzanja) koje je posledica promene pravca periferne brzine.
r dv r
a τ = vo
dt
r
* vo je jedinični vektor periferne brzine.
39
Krivolinijsko kretanje. Kružno kretanje.
ƒ Svako krivolinijsko kretanje se može predstaviti
kao kretanje po kružnici, pri čemu se poluprečnik
kružnice menja u toku kretanja.
ƒ Položaj materijalne tačke pri kretanju po kružnici
je dat radijus-vektorom.
ƒ Svako krivolinijsko kretanje je i ubrzano kretanje,
jer se brzina menja barem po pravcu.
40
Normalno i tangencijalno ubrzanje kod kružnog kretanja
U opštem slučaju, vektor ubrzanja ima dve komponente:
− normalno (centripetalno) ubrzanje, koje je normalno na tangentu u
posmatranoj tački, i
− tangencijalno ubrzanje, koje ima pravac tangente na putanju.
Kod ravnomernog krivolinijskog kretanja (intenzitet brzine se ne menja, već
samo pravac) vektor ubrzanja ima pravac normalan na tangentu putanje, tj.
usmeren je ka centru krivine putanje i radi se o normalnom (centripetalnom)
ubrzanju.
41
Ravnomerno (uniformno) kružno kretanje
Periferna brzina v ima stalan intenzitet, v=const.
Ugaona brzina ω takođe ima konstantni intenzitet, ω=const .
v=
s
t
ω=
θ
t
pun krug θ = 2π rad
ω=
2π
= 2πν
T
1⎞
⎛
⎜ν = ⎟
T⎠
⎝
Ravnomerno kružno kretanje je periodično, a
period rotacije T je vreme potrebno da radijusvektor opiše pun krug od 2π rad.
Frekvencija ili učestanost obrtanja ν (ili f)
obrnuto je srazmerna periodu obrtanja T.
42
Ravnomerno kružno kretanje
Zbog neprekidne promene pravca brzine v, postoji normalno ubrzanje
intenziteta an, usmereno uvek ka centru rotacije, suprotno od radijus vektora.
Na osnovu sličnosti trouglova i definicije normalnog ubrzanja an i periferne
brzine v, sledi:
Δv v Δr
Δv Δr
v
Intenzitet normalnog
Vektor normalnog
=
⇒ Δv = Δr ⇒
=
ubrzanja:
ubrzanja:
v
r
r
Δt r Δt
an =
Δv
Δt
v=
Δr
Δt
v = ωr
⇒
an =
v2
= rω2
r
r
v2 r
an = − r0
r
43
Jednako-ubrzano kružno kretanje
Ako se menja i intenzitet brzine, a ne samo pravac, promena brzine ima dve
komponente, a takođe i ubrzanje koje je opisuje:
r
r
r
Δv = Δvn + Δvτ
r r r
a = an + aτ
Promena brzine u pravcu normale (brzina promene pravca) definiše normalno
ubrzanje, a u pravcu tangente (brzina promene intenziteta) - tangencijalno
ubrzanje.
44
Jednako-ubrzano kružno kretanje
Najprostiji oblik neravnomernog kružnog kretanja je jednako-ubrzano (ili
jednako-usporeno) kretanje u toku kojeg se, pored pravca, i intenzitet periferne
brzine (pa tako i ugaone brzine) menjaju pravilno u toku vremena. Drugim
rečima, tangencijalno ubrzanje aτ ima konstantni intenzitet.
Tangencijalno ubrzanje aτ je vektor kolinearan tangenti na kružnicu.
dv d ( ω r )
dω
aτ = rα
=
=r
dt
dt
dt
r r r
a = an + aτ
a = an2 + aτ2
aτ =
r dv r
aτ = vo
dt
r
* vo je jedinični
vektor periferne brzine.
2
⎛ v2 ⎞
2
a = ⎜⎜ ⎟⎟ + (r α )
⎝ r ⎠
ƒ Kretanje po krivoj liniji je, praktično,
stalno kretanje po kružnim putanjama,
čiji se poluprečnici stalno menjaju, a
takođe i brzina i ubrzanja tela koje se
kreće.
45
Jednako-ubrzano kružno kretanje
Pri jednako-ubrzanom kružnom kretanju mogu se definisati izrazi analogni
onim kod jednako-ubrzanog pravolinijskog kretanja.
v = v0 ± a t
ω = ω0 ± α t
θ = θ0 + ω0 t ±
αt2
2
ω2 = ω02 ± 2α θ
x = x0 + v0 t ±
at2
2
v 2 = v02 ± 2a x
46
Dinamika.
Sila, masa i količina kretanja.
ƒ Dinamika je deo mehanike koji se bavi uzrocima promene kretanja tela.
ƒ Inertnost je prirodna tendencija tela da ostane u stanju mirovanja ili
ravnomernog kretanja
k t j po pravojj liniji
li iji i jedna
j d je
j od
d osnovnih
ih osobina
bi
tela. Masa tela je kvantitativna mera inertnosti.
ƒ Inercija se odnosi na mirovanje ili kretanje tela bez obzira na njihovu
masu, a inertnost je opiranje promeni stanja kretanja.
ƒ Brzina je osnovna kinematička veličina koja karakteriše telo u kretanju.
tela pa se masa,
masa kao njena
ƒ Pri promeni brzine dolazi do izražaja inercija tela,
mera, i brzina javljaju zajedno u novoj, kompleksnijoj veličini koja bolje
opisuje kretanje. To je količina kretanja k – skalarni proizvod mase i
brzine tela (jedinica za količinu kretanja je [kgm/s]):
r
r
k = m⋅v
47
Sila, masa i količina kretanja.
ƒ Do promene stanja kretanja (brzine) može doći samo pri interakciji
tela sa drugim telima.
ƒ Sila (jedinica je Njutn, [N]) je kvantitativna mera interakcije
(međusobnog delovanja) tela
tela, tj
tj. izražava intenzitet interakcije
interakcije.
ƒ Sile mogu biti kontaktne, kada pri
interakciji postoji dodir između
tela, i bezkontaktne, kada se interakcija ostvaruje na daljinu, tj. putem fizičkog polja (gravitaciona,
g
, jjaka ili slaelektrična,, magnetna,
ba nuklearna sila).
48
Njutnovi zakoni kretanja – I Njutnov zakon
Slika prikazuje različit uticaj
sile trenja na kretanje istog
po različitim p
podlogama
g
tela p
– postoji, dakle, interakcija
između kotrljajućeg tela i
podloge – podloga utiče na
promenu stanja kretanja.
ƒ I Njutnov
j
zakon - zakon inercije
j
Svako telo zadržava stanje mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja sve dok drugo telo svojim delovanjem to stanje
ne promeni, tj. dok ne interaguje sa drugim telom.
* Isak Njutn, engleski fizičar i matematičar (1642-1727).
49
Matematički izraz I Njutnovog zakona
Ukoliko je :
r
r
F =0 ⇒ a=0
r
r
v = const. ⇒ mv = const.
U odsustvu spoljašnjih sila, a kada se
vrši posmatranje u inercijalnom referentnom sistemu, telo koje miruje ostaje u
stanju mirovanja, a telo koje se kreće
nastavlja kretanje sa konstantnom brzinom i to po pravoj liniji (nepromenjena
količina kretanja).
ƒ Ovaj zakon važi samo u tzv. inercijalnim referentnim sistemima, koji ili
miruju ili se ravnomerno kreću po pravoj liniji.
* Inercijalni
referentni sistem je koordinatni sistem u kojem se ili u odnosu na
koji se posmatra kretanje nekog tela.
**
Postoje neinercijalni referentni sistemi koji se kreću ubrzano i tela čije se
kretanje posmatra u takvim sistemima trpe delovanje dodatnih (fiktivnih) tzv.
inercijalnih sila, koji su posledica neravnomernog kretanja referentnog sistema.
50
II Njutnov zakon - osnovni zakon dinamike
ƒ Ako na telo mase m deluje spoljašnja sila F, ubrzanje a koje pri
tome telo dobija direktno je srazmerno (rezultantnoj) sili koja na
njega deluje, a obrnuto srazmerno masi.
r
r
r
r
r F
r
⇒
F = ma
a=
∑ F = ma
m
ƒ Brzina promene količine kretanja tela proporcionalna je sili koja na
njega deluje i vrši se u pravcu sile.
r
r d
j uzrok kretanja
j tela,, već jje uzrok
r
r ƒ Sila nije
dv
F = ( mv ) = m
= ma
promeni stanja kretanja, koja se meri ubrdt
dt
zanjem – ona menja količinu kretanja tela.
ƒ Masa u ovim izrazima je inercijalna masa i predstavlja meru odupiranja
tela promeni stanja kretanja – ona je kvantitativna mera inertnosti tela.
51
III Njutnov zakon - zakon akcije i reakcije
r
r
F12 = − F21
r
r
m1a1 = − m2 a2
ƒ Ako jedno telo deluje na drugo nekom silom, onda i drugo telo
deluje na prvo silom istog intenziteta i pravca, a suprotnog
smera.
ƒ Svako delovanje (akcija) stvara uvek suprotno po smeru i jednako
po intenzitetu protivdelovanje (reakciju), tj. delovanja dva tela
jedno na drugo su jednaka i suprotnog smera.
52
Neki tipovi sila u mehanici
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Gravitaciona sila
Sil potiska
Sila
ti k
Sila normalne reakcije podloge
Sila zatezanja
Elastična sila opruge
Sila trenja
53
Gravitaciona sila. Njutnov zakon univerzalne gravitacije.
Keplerovi zakoni.
ƒ I Keplerov zakon:
planete se kreću oko Sunca po eliptičnim
putanjama u čijoj zajedničkoj žiži je
Sunce.
ƒ II Keplerov zakon:
radijus-vektor bilo koje planete za isto
vreme prebriše istu površinu – sektorska
brzina planete je konstantna.
ΔS
= const.
Δt
ƒ III Keplerov zakon:
odnos kvadrata perioda obilaska planeta oko Sunca i
trećeg stepena srednjeg rastojanja (ili duže poluose) od
Sunca je konstantna veličina.
* Johanes Kepler (1571-1630),
* Isak Njutn (1642-1727)
T2
= const.
a3
54
Njutnov zakon gravitacije (1686.)
ƒ Na osnovu rezultata astronomskih posmatranja J. Keplera, Njutn je
pretpostavio postojanje privlačne sile između Sunca i planeta koja
zakrivljuje njihovu putanju i koja je usmerena prema izvoru delovanja
sile (Suncu).
ƒ Njutn je takođe pretpostavio (radi jednostavnosti) da se planete kreću po
približno kružnim putanjama, poluprečnika R.
ƒ Ubrzanje koje ima planeta usled sile koja zakrivljuje njenu putanju je
normalno (centripetalno) ubrzanje an.
T=
2 Rπ
v
F = man = m
T 2 = k ⋅ R3 ⇒
4π 2
= v2
k⋅R
M m
v 2 4π 2 m
m
=
⋅ 2 = k ′ ⋅ 2 = γ S2
R
R
R
k R
ƒ Sila koja održava planete na njihovoj putanji
zavisi od mase Sunca MS i od mase planete m.
55
Njutnov zakon gravitacije (1686.)
ƒ Svoje zaključke o sili privlačenja između Sunca i planeta Njutn je uopštio
na sva materijalna tela, tj. ona koja imaju osobinu mase.
ƒ Zakon univerzalne gravitacije:
Bilo koje dve materijalne tačke međusobno se privlače
gravitacionom silom: pravac te sile prolazi kroz materijalne tačke,
intenzitet je srazmeran masama materijalnih tačaka, a obrnuto
srazmeran kvadratu rastojanja između njih.
F =γ
r
m m r
F = − γ 1 2 2 ro
r
m1 m2
r2
γ = 6.672 ⋅10 −11
Nm 2
kg 2
γ - gravitaciona konstanta
r
ro - jedinični vektor usmeren od m1 ka m2
56
Težina tela
ƒ Težina Q nekog objekta na ili iznad površine Zemlje (ili iznad nekog drugog
svemirskog tela) je sila kojom telo deluje na horizontalnu podlogu na koju je
postavljeno, odnosno sila kojom telo zateže konopac o koji je okačeno da
visi. Težina tela je mera gravitacione sile kojom Zemlja (ili dato svemirsko
t l ) deluje na objekat.
telo
objekat
Q=γ
mMZ
r2
Izraz za težinu na osnovu II Njutnovog
zakona dinamike (gde su sila i ubrzanje
srazmerni) ima oblik:
r
r
Q = mg
r=RZ - na površini Zemlje
r=R
RZ+h - na visini
i i i h iznad
i d
površine Zemlje
57
Težina tela
ƒ U slučaju da se zanemari rotacija Zemlje i njena nehomogenost i
odstupanje od pravilnog sfernog oblika, težina Q objekta mase m na
površini Zemlje (ili blizu površine, r≈RZ) jednaka je gravitacionoj sili:
mMZ ⎫
RZ2 ⎪⎬ ⇒ g = γ M Z
RZ2
⎪
Q = mg
⎭
Q=γ
Iz II Njutnovog zakona
ƒ Ubrzanje g sile Zemljine teže na njenoj površini.
p
sa ppovećanjem
j rastojanja
j j od centra Zemlje.
j
ƒ Ono opada
VAŽNO:
ƒ Sila Zemljine teže (gravitaciono privlačenje od strane Zemlje) deluje na
telo, a težina tela deluje na podlogu (ili na neko drugo telo).
58
Sila normalne reakcije podloge - normalna sila FN
ƒ U mnogim situacijama telo je u kontaktu sa nekom
podlogom (površinom), a sila reakcije površine na
silu težine kojom telo pritiska podlogu je upravo
normalna sila FN.
ƒ Tačnije, komponenta sile reakcije podloge koja je
normalna na površinu predstavlja normalnu silu FN.
59
Sila normalne reakcije podloge - normalna sila FN
ƒ Telo na strmoj ravni (slučaj kretanja bez prisutne sile trenja između tela
i strme ravni).
ƒ
Za proučavanje kretanja tela po strmoj ravni pravi se dijagram sila u kome se sile i njihove
komponente predstavljaju u x-y koordinatnom sistemu.
60
Sila trenja
ƒ Trenje je posledica delovanja međumolekularnih sila između dodirnih
površina tela i podloge na kojoj se telo nalazi (spoljašnje trenje), ili
između sastavnih delova unutar nekog sistema (unutrašnje trenje).
ƒ Sila trenja deluje na dodirnoj površini između tela i usmerena je
nasuprott smeru kretanja
k t j tela
t l u odnosu
d
na površinu.
ši
ƒ U opštem slučaju, postoji statička sila trenja (trenje mirovanja), i
kinetička sila trenja (ona se još deli na trenje klizanja i trenje kotrljanja).
ƒ Sila trenja kotrljanja je znatno slabija
od sile trenja klizanja.
61
Statička sila trenja (trenje mirovanja)
ƒ Sila trenja mirovanja jednaka je po intenzitetu i pravcu, a suprotna po
smeru (u odnosu na moguće kretanje) rezultantnoj spoljašnjoj sili koja
deluje na telo u pravcu paralelnom podlozi.
ƒ Statička sila trenja Fs može imati vrednosti od 0 do neke maksimalne
d ti Fsmax.
vrednosti
max
Fs ≤ Fs
= μ s FN
max
ƒ Maksimalna vrednost statičke sile trenja Fs
je srazmerna sili normalne reakcije podloge
FN na kojoj se telo nalazi.
μs – koeficijent statičkog trenja (zavisi od
prirode
i d dodirnih
d di ih površina)
ši )
FN – normalna sila, kojom podloga deluje na
površinu tela sa kojim je u kontaktu i zaklapa
prav ugao sa površinom
62
Kinetička sila trenja (trenje klizanja)
ƒ Kinetička sila trenja deluje u pravcu tangente na dodirnu površinu
između tela i podloge po kojoj se kreće i uvek je usmerena nasuprot
relativnoj brzini tela. Pod određenim uslovima, približno važi sledeće:
− nezavisna je od veličine dodirne površine između tela i podloge;
− nezavisna je od brzine kretanja (klizanja), ukoliko je brzina mala;
− proporcionalna je veličini normalne sile FN.
ƒ Po intenzitetu je nešto manja od maksimalne sile statičkog trenja.
Fk = μ k FN
μk – koeficijent kinetičkog trenja (zavisi od
prirode dodirnih površina).
FN – normalna sila *, kojom podloga deluje
na površinu tela sa kojim je u kontaktu i
zaklapa prav ugao sa površinom.
* Na grafiku je normalna sila FN obeležena sa N.
63
Kinetička sila trenja (trenje klizanja)
ƒ U oblasti statičkog trenja sa
porastom vučne sile F povećava
se i statička sila trenja sve do
neke maksimalne vrednosti fs,max,
nakon čega telo počinje svoje
kretanje, a na njega deluje sada
kinetička sila trenja (nešto manja
po vrednosti od fs,max) – oblast
kinetičkog trenja.
64
Sila elastičnosti. Elastičnost čvrstih tela
ƒ Svako telo pod uticajem spoljašnjih dejstava, osim položaja, menja i svoj
oblik. Sila elastičnosti tela deluje unutar njih i teži da vrati deformisanim
telima prvobitni oblik.
ƒ Elastične sile u telima su posledica međuatomskih sila – pod uticajem
spoljašnjih sila menjaju
menjaj se međusobna
međ sobna rastojanja i položaji atoma,
atoma a
međuatomske sile se tome suprotstavljaju.
ƒ Teorijski, postoje savršeno elastična i savršeno plastična tela.
ƒ Elastična deformacija se ispoljava u dva osnovna oblika: kao deformacija
istezanja i deformacija smicanja.
Elastična deformacija istezanja
ƒ Istezanje (ili sabijanje) nastaje pri
normalnom delovanju sile na površinu.
ƒ Napon je količnik sile i površine na koju
ta sila deluje:
σ=
F
S
65
Elastična deformacija istezanja
ƒ Hukov zakon elastične deformacije istezanja povezuje
napon sile i relativnu deformaciju izduženja:
E - Jangov modul elastičnosti
F
Δl
=E
S
l
ƒ U izvesnim g
granicama važi:
F = k Δl
ƒ Granica do koje važi Hukov zakon je granica proporcionalnosti, a granica
do koje telo još uvek ne ostaje trajno deformisano je granica elastičnosti.
66
Zapreminska elastična deformacija
ƒ U fizici materijala se može zapaziti da se
deformacija na predmetu dešava ne samo kod
jedne njegove dimenzije, već ceo predmet trpi
dimenzionalne promene.
ƒ Iz tog razloga se elastične osobine materijala od
kojeg je načinjen neki predmet izražavaju preko
koeficijenta stišljivosti K ili preko zapreminskog koeficijenta (modula) elastičnosti B.
ƒ Zapreminski koeficijent elastičnost B je koeficijent proporcionalnosti koji
povezuje promenu (povećanje) pritiska Δp koji se vrši sa svih strana na
predmet i relativnu p
p
promenu ((smanjenje)
j j ) zapremine
p
izazvanu datom
promenom pritiska.
ΔF
ΔV
= Δp = − B
S
V
ƒ
Recipročna vrednost zapreminskog
modula elastičnosti je stišljivost K.
K=
Znak “−” je zbog
smanjenja zapremine.
1
B
67
Elastična deformacija smicanja
ƒ Smicanje je oblik deformacije koji nastaje pri tangencijalnom
delovanju sile na površinu tela.
68
Elastična deformacija smicanja
ƒ Tangencijalna sila izaziva pomeranje (smicanje) slojeva (atomskih ravni)
u čvrstom telu jednih u odnosu na druge za neki mali iznos, a ukupan
efekat delovanja sile je odstupanje gornje ivice predmeta za Δx u odnosu
na prvobitni položaj.
ƒ Relativna deformacija se izražava preko ugla α (tgα≈α),
koji predstavlja odnos apsolutnog pomeranja gornje ivice
predmeta i dimenzija deformisanog predmeta:
α=
Δx
l
ƒ Hukov zakon elastične deformacije smicanja:
G - modul smicanja
Δx
F
=G
l
S
69
Sile kod kružnog kretanja - centripetalna sila
ƒ Prilikom kretanja po kružnici, tela se kreću ubrzano - njihova brzina se
svakako menja po pravcu, a može i po intenzitetu.
ƒ Pri ravnomernom kretanju po kružnici,
tela karakteriše samo normalno ubrzanje
an - posledica promene pravca brzine.
ƒ Prema II Njutnovom zakonu, ako se tela
ubrzavaju, znači da na njih deluje neka
sila F koja je uzročnik promene stanja
kretanja (koje rse opisuje vektorom količine kretanja k ), tj. koja je uzrok pomenutog
t ubrzanja.
b
j
an =
v2
= rω 2
r
70
Sile kod kružnog kretanja - centripetalna sila
ƒ Sila koja uzrokuje normalno (centripetalno) ubrzanje i zakrivljuje putanju
tela naziva se centripetalna sila Fc (gravitaciona kod planeta, sila
zatezanja kanapa, …).
ƒ Centripetalna sila je uvek usmerena ka centru kružne putanje tela
tela.
Fc =
mv 2
r
r
mv 2 r
Fc = −
ro
r
71
Sile kod kružnog kretanja - centrifugalna sila
ƒ Prema III Njutnovom zakonu (akcije i reakcije), tela koja se kreću po
zakrivljenoj putanji osećaju, pored delovanja centripetalne, i dejstvo sile
reakcije na nju, koja je istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera - to je
centrifugalna sila Fcf.
r
mv 2 r
Fcf =
ro
r
Fcf =
mv 2
r
ƒ Centrifugalna sila je ravnotežna sila centripetalnoj i omogućava da telo
ostane na zakrivljenoj putanji tokom svog kretanja.
72
Sile kod kružnog kretanja – tangencijalna sila
ƒ Pri neravnomernom kretanju po kružnici, osim centripetalne sile Fcp
koja zakrivljuje putanju tela i uzrokuje centripetalno ubrzanje an (tj. promenu pravca brzine), mora postojati i tangencijalna sila Fτ koja uzrokuje
promenu intenziteta periferne brzine (tj. tangencijalno ubrzanje aτ).
r r
r
F = Fcp + Fτ
r r r
a = an + aτ
ƒ Vektorski zbir centripetalne i tangencijalne sile daje
ukupnu silu F koja deluje na telo koje se
neravnomerno kreće po kružnoj putanji.
73
Rad i energija
ƒ Ako na telo duž puta njegovog pomeranja deluje sila
konstantnog intenziteta, pravca i smera, ukupan rad
te sile prilikom pomeranja tela je proizvod pređenog
puta tela i komponente sile paralelne sa putem (tzv.
aktivna komponenta sile).
A = F ⋅ Δx
r
F = const.
ƒ Ako se pravac sile ne poklapa sa pravcem pomeranja tela,
tela već zaklapa ugao θ sa njim,
njim samo
komponenta sile F koja ima pravac pomeranja
tela (Fx) može vršiti rad.
Fy = F sin θ (komponenta koja ne vrši rad)
Fx = F cos θ (aktivna komponenta)
74
Rad i energija
r
ƒ Rad je skalarna veličina, skalarni proizvod vektora sile F i vektora
r
pređenog puta Δx koji telo pri tome prelazi. Jedinica za rad je džul ([J]=[Nm]).
r r
A = F ⋅ Δx = F Δx cos θ
r r
θ = ∠( F , Δx )
ƒ Ako na telo deluje sila pod oštrim (tupim) uglom u odnosu na pravac duž
kog se kreće telo, rad sile je pozitivan (negativan).
ƒ Ako sila deluje pod pravim uglom u odnosu na pravac kretanja, ili ako
telo miruje, rad sile je jednak nuli.
75
Rad i energija
ƒ Ako sila nije konstantna po intenzitetu, već se menja duž puta pomeranja, rad se izražava u diferencijalnom obliku, a njegova ukupna vrednost
se nalazi preko integralnog računa (sabiranjem doprinosa ukupnom radu na
beskonačno malim delovima puta) – to je površina ispod krive zavisnosti F=f(x).
dA = ( F cos θ) dx
elementarni rad
duž puta dx
x2
A = ∫ dA = ∫ F cos θ dx
x1
ƒ Ako se osim intenziteta menja i smer sile
tokom pomeranja tela duž puta Δx, neophodno
je poznavati i smer sile kao funkciju pomeraja
F=f(α(x)), što komplikuje integraciju, tj. nalaženje izvršenog rada.
76
Energija
ƒ Fizička veličina koja karakteriše sposobnost tela, ili sistema tela
da izvrše rad naziva se energijom.
ƒ Iz toga proizilazi činjenica:
rad jje p
proces kojim
j se vrši p
prenošenje
j energije
g j među telima.
ΔE = E f − Ei ≡ A
ƒ Razlika između krajnjeg i početnog stanja tela u pogledu sadržaja
energije (ΔE) jednaka je radu A izvršenom prilikom promene tog stanja.
ƒ E
Energija
ij je
j veličina
liči koja
k j karakteriše
k kt iš stanje
t j tela,
t l dok
d k je
j radd veličina
liči
koja karakteriše promenu tog stanja. Jedinica za energiju je džul ([J]).
ƒ Kaže se da telo poseduje energiju, a rad je proces prenosa ili pretvaranja
jednog oblika energije u drugi.
77
Kinetička energija
ƒ Primer: pomeranje tela po horizontalnoj ravni bez trenja pod uticajem neke
rezultantne sile F koja izaziva promenu stanja kretanja (količine kretanja
Δk=mΔv), tj. promenu intenziteta brzine od neke vrednosti v1 do vrednosti v2.
x2
A = ∫ F dx
F = ma = m
x1
x2
A = ∫ mv
x1
dv
dv dx
dv
=m
= mv
dx
dt
dx dt
v
2
⎛ v 2 v 2 ⎞ mv 2 mv 2
dv
dx = m ∫ v dv = m⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟ = 2 − 1
dx
2
2
⎝2 2⎠
v1
ƒ Kinetička energija
g j translatornog
g kretanja:
j
Ek =
mv 2
2
ƒ Kinetička energija tela pri njegovom translatornom kretanju srazmerna je
masi m tela i kvadratu njegove brzine v.
78
Kinetička energija
Teorema o radu i energiji:
ƒ Kada spoljašnja sila F vrši rad A nad nekim telom, pri čemu se menja
samo intenzitet brzine kretanja tela, njegova kinetička energija Ek se
menja, a ta promena je upravo jednaka radu.
ƒ Rad A sile F na pomeranju nekog tela je razlika između početne i krajnje
kinetičke energije Ek tela.
mv22 mv12
−
A = Ek 2 − E k 1 =
2
2
A = ΔEk
ƒ Teorema o radu i energiji ukazuje na to da će se intenzitet brzine tela
povećati ako je izvršen rad nad telom od strane spoljašnjih sila pozitivan,
jer je u tom slučaju krajnja kinetička energija tela veća od početne.
Nasuprot tome, intenzitet brzine tela se smanjuje, ako je izvršeni rad nad
telom negativan.
79
Potencijalna energija
ƒ Potencijalna energija je drugi oblik energije koji može posedovati
telo, ali samo ako je ono sastavni deo nekog sistema tela.
ƒ Pod sistemom tela se podrazumeva skup od dva ili više tela koja
mogu
g međusobno interagovati,
g
, delovati jjedno na drugo
g nekom
silom.
ƒ Ako dva tela u sistemu međusobno interaguju putem sile, tada rad
koji izvrši sila pri delovanju jednog tela na drugo uzrokuje
pretvaranje kinetičke (ili nekih drugih oblika) energije koju
poseduju tela u druge oblike energije.
ƒ Ako
k se menja
j međusobni raspored tela u posmatranom sistemu
i
–
menja se i njihova potencijalna energija.
ƒ Potencijalna energija je, dakle, pojam vezan za sistem tela zato što
zavisi od fizičkog položaja jednog tela u odnosu na drugo.
80
Potencijalna energija
U opštem slučaju:
ƒ Potencijalna energija predstavlja sposobnost tela da izvrši rad
zahvaljujući položaju u kome se nalazi.
ƒ To je rad koji telo akumulira dospevajući u neku tačku polja sila.
ƒ Postoje i sistemi u kojima je jedno telo znatno masivnije od drugih, tako
da se može smatrati da miruje (tj. njegova kinetička energija se zanemaruje), a da
se ukupna kinetička sistema odnosi na preostala tela u sistemu.
Npr. ako u sistemu “planeta Zemlja − lopta” lopta pada na površinu, tada se smatra da
jedino lopta poseduje kinetičku energiju.
81
Gravitaciona potencijalna energija
ƒ PRIMER: U sistemu “Zemlja−lopta” izvrši se rad nad loptom pri njenom
pomeranju sa visine ya u odnosu na površinu Zemlje na veću visinu yb.
ƒ Pošto je lopta mirovala i pre i nakon izvršenog rada nad njom, ne dolazi
do promene njene kinetičke energije, već se radi o promeni nekog drugog
oblika energije usled promene položaja.
ƒ Kada se lopta pusti na visini yb, ona slobodno pada ka površini Zemlje (ka
položaju ya) pod uticajem gravitacione sile privlačenja od strane Zemlje.
ƒ Dakle, u položaju na visini yb lopta poseduje
mogućnost (potencijal) da promeni svoje stanje
k t j tj.
kretanja,
tj da
d promenii svoju
j kinetičku
ki tičk energiju.
ij
yb
ya
82
Gravitaciona potencijalna energija
ƒ Prilikom slobodnog padanja sa visine yb, jedina sila koja deluje na loptu je gravitaciona sila (jednaka sili težine), i to u pravcu kretanja ka mestu na visini ya.
ƒ Pri tome se, usled promene položaja u gravitacionom polju Zemlje, promenila
(smanjila) i potencijalna energija lopte, dok se kinetička energija povećala (brzina
lopte raste).
ƒ Rad A koji je izvršila gravitaciona sila Zemlje (njen intenzitet iznosi F=mg) na
privlačenju (premeštanju) lopte za rastojanje h=yb−ya jednak je smanjenju potencijalne energije za iznos ΔEp=mgh.
r
r
F = mg
h = yb − y a
yb
A = (mg cos 0°)( yb − ya )
A = mgh ⇒
A = −(E pa − E pb ) = −ΔE p
ƒ Isti rad se izvrši i kada se telo težine Q=mg podigne sa
mesta na visini ya na visinu yb, čime se poveća njegova
gravitaciona potencijalna energija za iznos ΔEp=mgh.
ya
83
Gravitaciona potencijalna energija
ƒ Gravitaciona potencijalna energija – energija koju poseduje telo
mase m kada se nalazi u gravitacionom polju drugog tela.
ƒ Pošto je gravitaciona sila najslabija od osnovnih interakcija u prirodi, i
gravitaciona
it i
potencijalna
t ij l energija
ij nekog
k tela
t l ima
i
značaj
č j samo ako
k se ono
nalazi u jakom gravitacionom polju – polju nekog masivnog nebeskog
tela, kao što je Zemlja.
U opštem slučaju:
‰
Gravitaciona potencijalna energija koju poseduje neko telo u
gravitacionom polju Zemlje je rad (Ep=A) koji na telu mase m izvrši
Zemljino gravitaciono polje privlačeći ga iz beskonačnosti u neku
tačku na rastojanju r od centra Zemlje.
84
Gravitaciona potencijalna energija
ƒ Uobičajeno je, međutim, da se vrednost gravitacione potencijalne energije koju tela poseduju u Zemljinom gravitacionom polju računa u
odnosu na neki referentni (nulti) nivo – položaj u kome se (prema sopstvenom izboru) smatra da je potencijalna energija tela jednaka nuli.
E p = mgh
ƒ Vrednost gravitacione potencijalne energije u nekom položaju tela u
polju gravitacije, dakle, zavisi od izbora referentnog (nultog) nivoa.
ƒ Sa druge strane, rad gravitacione sile (sile Zemljine teže) ne zavisi od
izbora referentnog (nultog) nivoa potencijalne energije.
85
Konzervativna i nekonzervativna polja
ƒ Izvršen rad na pomeranju tela u gravitacionom polju ne zavisi od oblika putanje, već
samo od početne i krajnje tačke položaja tela
u tom polju,
polju tj.
tj od njihove visinske razlike
(vertikalnog rastojanja).
A = mg ( yb − ya )
yb
ya
ƒ Sva polja sila u kojima izvršen rad sile zavisi samo od početnog i
krajnjeg položaja tela (a ne i od oblika putanje) su konzervativna
(potencijalna) polja.
ƒ Sila je konzervativna (potencijalna), ako njen rad na pomeranju
tela zavisi samo od početnog i krajnjeg položaja tela u polju sila, a
ne i od oblika putanje duž koje se vrši pomeranje
86
Konzervativne i nekonzervativne sile
ƒ Rad konzervativnih sila na pomeranju tela po zatvorenoj putanji
jednak je nuli, jer se početni i krajnji položaj tela poklapaju.
ƒ U realnim situacijama, na tela
simultano deluju i konzervativne sile (kao sila gravitacije) i
nekonzervativne sile (kinetička
sila trenja, otpor vazduha, …),
čiji se rad delimično pretvara u
druge oblike.
oblike
ƒ Nekonzervativne sile uzrokuju
promenu mehaničke energije
sistema.
87
Potencijalna energija deformisane opruge
ƒ Potencijalna energija elastične deformacije
ƒ Deformisana opruga sposobna je da izvrši rad na račun elastičnih sila Fe
koje teže da je vrate u prvobitno stanje, a koje su posledica spoljašnjih sila
Fi koje su dovele do deformacije.
ƒ Prema Hukovom zakonu, veličina izduženja
(sabijanja) opruge x je srazmerna spoljašnjoj sili
Fi koja je izazvala deformaciju.
r
r
Fi = kx
ƒ Suprotno spoljašnjoj sili Fi usmerena je elastična
(restituciona) sila Fe koja se javlja u deformisa
deformisanoj opruzi i ona je uvek suprotnog smera od
smera porasta deformacije x.
r
r
r
Fe ( x) = − Fi = −kx
k – je koeficijent elastičnosti opruge, zavisi od materijala i oblika.
88
Potencijalna energija deformisane opruge
ƒ U deformisanom stanju opruga poseduje izvesnu potencijalnu energiju –
sposobna je da pod uticajem elastičnih sila izvrši neki rad prilikom
vraćanja u nedeformisani oblik.
0
0
x2
A = ∫ Fe dx = − k ∫ x dx = −k
2
a
a
A = −(E p 2 − E p1 ) = −ΔE p = k
0
a
⎛
a2 ⎞
= −⎜⎜ 0 − k ⎟⎟
2⎠
⎝
a2
2
ƒ Pri vršenju rada, elastična sila smanjuje potencijalnu energiju deformisane
opruge za iznos ΔEp=ka2/2 i menja se stanje kretanja opruge (povećava
kinetička energija) – vrši se pretvaranje energije iz jednog u drugi oblik.
ƒ Rad je, u ovom slučaju, pozitivan, jer sila deluje u smeru pomeranja tela.
89
Potencijalna energija deformisane opruge
ƒ Nakon prolaska kroz ravnotežni položaj (x=0),
sistem “opruga-telo” nastavlja kretanje, a elastična sila ga usporava.
ƒ Smanjenje kinetičke energija odgovara povećapoveća
nju elastične potencijalne energije opruge.
ƒ Rad je, u ovom slučaju, negativan, jer elastična
sila ima suprotan smer od smera kretanja tela.
ƒ U opštem slučaju, potencijalna energija
deformisane opruge je:
Ep = k
x2
2
90
Zakon održanja energije
Zakon održanja mehaničke energije
ƒ Ukupna mehanička energija E (kinetička i potencijalna) zatvorenog
(izolovanog) sistema tela, između kojih deluju samo konzervativne
il ostaje
t j nepromenjena
j
(k
t t )
sile,
(konstantna).
ƒ U zatvorenom sistemu u kojem ne deluju
nekonzervativne sile (npr. sila trenja, otpor
vazduha, itd.), zbir kinetičke i potencijalne
energije, tj. ukupna mehanička energija je
konstantna, tj. ne menja se u toku vremena.
E = Ek + E p = const.
91
Zakon održanja energije
ƒ Primer: slobodno padanje tela sa visine h.
E = E p = mgh
E=
mv x2
m
+ mg (h − x) = 2 gx + mg (h − x) = mghh
2
2
E = Ek =
mv 2 m
= 2 gh = mgh
2
2
Ek1 + E p1 = Ek2 + E p2
Ek + E p = const.
Promena mehaničke energije u ovom slučaju jednaka je nuli:
Δ ( Ek + E p ) = 0
92
Zakon održanja energije – zatvoren i otvoren sistem
ƒ Energija može prelaziti iz jednog u drugi oblik i prenositi se sa
jednog na drugo telo, ali ukupna energija u zatvorenom sistemu
tela u kome ne deluju nekonzervativne sile ostaje konstantna.
E = Ek + E p = const.
ƒ U opštem slučaju, za otvoren sistem tela u kome, osim međusobnih
sila interakcije, deluju i spoljašnje nekonzervativne sile, rad
spoljašnjih nekonzervativnih sila Ank bio bi jednak promeni ukupne
mehaničke energije .
Ank = ΔE = Δ( Ek + E p ) ≠ 0
ƒ Energija se ne može stvoriti niti nestati, već samo promeniti oblik iz
jednog u drugi.
93
Snaga
ƒ Srednja snaga (brzina vršenja rada) je količnik rada A i vremenskog
intervala Δt za koji je rad izvršen prilikom pomeranja tela duž puta Δx pod
uticajem sile F. Jedinica za snagu je vat ([W]=[J/s]).
Ps =
A
Δt
ƒ Trenutna snaga je srednja snaga u
beskonačno malom intervalu vremena:
Ps =
ΔA
Δt →0 Δt
P = lim
F Δx
= F vs
Δt
P=
dA
dt
ƒ Ako sila nije konstanta, analizira se u kratkom intervalu vremena dt, za
koji sila deluje na putu dx.
dx
ƒ Snaga je skalarna veličina, skalarni proizvod vektora sile i vektora brzine
pomeranja i u opštem slučaju važi:
r dxr
r r
P=F⋅
P = F ⋅v
dt
94
Impuls sile i količina kretanja
ƒ Na osnovu II Njutnovog zakona, proizvod trenutne sile F
i vremenskog intervala dt u toku kojeg sila deluje na telo
jednak je promeni količine kretanja dk u tom intervalu
vremena.
r
r
r
r
r
r
dv dk
F = ma = m
=
⇒ Fd t = d k
dt dt
ƒ Ukupna promena količine kretanja Δk izazvana delovanjem
promenljive sile F u toku konačnog intervala vremena Δt:
r t2 r
r
Δk = ∫ Fdt = F Δt
t1
Za slučaj konstantne sile:
r t2 r
v
F = const.
r
Δk = ∫ Fdt =F ⋅ Δt
t1
95
Impuls sile i količina kretanja
r
r
ƒ Impuls sile p je integral proizvoda sile F i vremena dt u rkojem ta sila deluje i jednak je ukupnoj promeni količine kretanja tela Δk u toku intervala
vremena Δt=t2−t1.
t
r
r 2 r
p = ∫ Fdt = Δk
t1
ƒ Teorema o impulsu i količini kretanja:
r
Kada na telo deluje
j rezultantna sila F u toku konačnog
g vremenskog
g interr
vala Δt, impuls p ove rezultantne sile je jednak ukupnoj promeni količine
r
kretanja Δk koju ta sila uzrokuje u toku vremena Δt.
r
r
p = Δk
96
Zakon održanja količine kretanja - zatvoren sistem
ƒ Zatvoren sistem - nema delovanja spoljašnjih sila, već samo međusobnih sila interakcije f.
r
r
f1 = − f 2
r r
r
r
d
(m1v1 + m2 v2 ) = f1 + f 2 = 0
dt
r
r
m1v1 + m2v2 = const.
r n
r
k = ∑ mi vi = const.
r
Δk = 0
i =1
ƒ Ukupna količina kretanja zatvorenog
sistema ne menja se tokom vremena, tj.
ostaje konstantna.
97
Zakon održanja količine kretanja - otvoren sistem
ƒ Otvoren sistem - osim delovanja međusobnih sila interakcije f, na tela
deluju i spoljašnje sile F.
r
r
f1 = − f 2
(
) (
)
r r
r r
r r
r
r
d
(m1v1 + m2 v2 ) = f1 + f 2 + F1 + F2 = F1 + F2
dt
n r
n r
r
r
r
d n r
⎛ n r ⎞
ki = ∑ Fi = FR = const. ⇒ Δ⎜ ∑ ki (t ) ⎟ = Δk = ∫ ∑ Fi dt = FR Δt
∑
dt i =1
i =1
i =1
⎠
⎝ i =1
Impuls rezultujuće sile p.
p
r v
r
Δk = FR Δt = p
ƒ Promena ukupne količine kretanja Δk otvorenog sistema jednaka
je impulsu spoljašnje rezultantne sile FRΔt =p
98
Primeri zakona održanja količine kretanja
r
mv = 0
r
r
m1v1 + m2 v2 = 0
⇒
r
m r
v1 = − 2 v2
m1
m1v1 = (m1 + m2 )v2
⇒
v1 =
m1 + m2
v2
m1
99
Sudari
ƒ Sudar je kratkotrajna uzajamna interakcija između tela bez uticaja
spoljašnjih sila, u kojoj se više ili manje ispoljavaju elastične osobine tela.
ƒ Nakon sudara, brzine tela se menjaju, u opštem slučaju, i po intenzitetu i
po pravcu, a deo energije se može pretvoriti u toplotu.
ƒ Sudari dvaju tela mogu biti jednodimenzionalni (kada se tela i pre i
nakon sudara kreću po istoj pravoj liniji) i dvodimenzionalni.
ƒ Poseban slučaj predstavlja centralni sudar kod kojeg se tela pre sudara
kreću po pravcu koji prolazi kroz centre (težišta) tela .
100
Sudari
ƒ Elastičan sudar sudar je slučaj sudara u kome se ukupna
kinetička energija tela pre i posle sudara ne menja.
ƒ Neelastičan sudar je onaj u kome deo kinetičke energije
tela u toku sudara prelazi u druge oblike energije
(potencijalnu, toplotnu, …).
- u savršeno neelastičnom sudaru tela nakon sudara ostaju zajedno;
- u ostalim slučajevima, kada se deo kinetičke energije transformiše u druge oblike
(deformacija tela koja učestvuju u sudaru sudaru, toplota, …), a tela ne ostaju
101
spojena, reč je samo o neelastičnom sudaru u širem smislu reči.
Elastičan sudar
ƒ Zakon održanja količine kretanja
ƒ Zakon održanja kinetičke energije
m1v1 + m2 v2 = m1v1′ + m2 v2′
1
1
1
1
m1v12 + m2 v22 = m1v1′2 + m2 v′22
2
2
2
2
102
Neelastičan sudar
ƒ Deformacije koje nastaju na telima u sudaru su trajne.
ƒ Zakon održanja kinetičke energije u neelastičnom sudaru ne važi, jer se
deo te energije pretvara u neki drugi vid.
m1v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v
103
Neelastičan sudar
ƒ Primer savršeno neelastičnog sudara: Balističko klatno
ƒ Zakon održanja količine kretanja
m1v1 A = (m1 + m2 )vB
ƒ Deo kinetičke energije projektila je potrošen na deformaciju masivnog (drvenog) bloka.
104
Dinamika rotacionog kretanja krutog tela.
Delovanje sila i momenata sila na kruto telo
ƒ Čvrsto (kruto) telo je sistem čvrsto povezanih materijalnih tačaka (masa
Δm1, Δm2, …, Δmi, …, Δmn) koje imaju svaka svoju težinu (ΔQ1, ΔQ2, …, ΔQi, …,
ΔQn), čiji zbir predstavlja ukupnu težinu tela Q.
ƒ Napadna tačka rezultante svih ovih sila težine koje
deluju na pojedinačne materijalne tačke je težište tela.
ƒ Bez obzira na položaj tela, ona ostaje na istom mestu,
kao da je sva masa skoncentrisana u jednoj tački, tzv.
centru mase tela C.
Težište (tačka “cg”)
105
Delovanje sila i momenata sila na kruto telo.
ƒ Centar mase je tačka koja reprezentuje prosečan
položaj ukupne mase tela.
ƒ Centar mase je tačka karakteristična za čvrsto telo
izloženo delovanju spoljašnje sile,
sile koja se kreće na
isti način kao što se bi se kretala i materijalna tačka
(mase jednake masi datog tela) pod dejstvom te iste
rezultantne spoljašnje sile.
ƒ U homogenom gravitacionom polju se težište i
centar mase poklapaju.
ƒ U primeru, napadna tačka rezultantne sile na slikama (a) i (b)
se ne poklapa sa centrom mase – tela (spojena šipkom zanemarljive mase) pod uticajem sile započinju rotaciono kretanje.
ƒ Kada je napadna tačka sile u centru mase, kao na slici (c) –
sistem tela ne rotira, već se kreće translatorno.
106
Delovanje sila i momenata sila na kruto telo
ƒ Svako kretanje krutog (čvrstog) tela može se
predstaviti kao kombinacija translatornog i
otac o og kretanja.
eta ja.
rotacionog
ƒ Kod translatornog kretanja prave koje spajaju tačke
u telu u toku kretanja ostaju same sebi paralelne.
ƒ Kod rotacionog kretanja tačke u telu se kreću po
koncentričnim kružnicama različitih poluprečnika.
ƒ Na složeno kretanje krutog tela deluju sile i
momenti
ti sila.
il
107
Moment sile
ƒ U primeru na slici na vrata koja mogu rotirati oko vertikalne ose deluje se
silom F istog intenziteta i u istoj napadnoj tački.
ƒ Razlika je u pravcima delovanja sile u odnosu na vektor položaja (radijus
p
vektor)) napadne
tačke sile.
ƒ Najlakše je zarotirati vrata kada radijus vektor napadne tačke sile i vektor
sile zaklapaju prav ugao, a rotacije vrata nema kada se pravci ova dva
vektora poklapaju.
108
Moment sile
ƒ Moment M sile F je vektorski proizvod
radijus vektora r napadne tačke sile i
vektora sile F. Jedinica za moment sile je [Nm].
M = rF sin θ
r r
θ = ∠(r , F )
r r r
M = r×F
M = Ft r = F d
ƒ Samo tangencijalna komponenta sile (Ft) uzrokuje rotaciono kretanje
krutog tela.
109
Moment sile
ƒ Tangencijalna komponenta sile Ft koja stvara
moment sile M odgovoran za rotaciju krutog tela,
ujedno daje tangencijalno ubrzanje at telu, čime se
ugaona brzina ω stalno povećava. Drugim rečima,
kruto telo ima neko ugaono ubrzanje α.
ƒ Za ugaono ubrzanje α krutog tela odgovorni su
momenti sila.
ƒ Na veličinu ugaonog ubrzanja α, međutim, utiču ne
samo momenti sila, već i masa tela, tačnije raspored
ed masa
s u krutom
u o telu
e u u od
odnosu
osu na osu rotacije.
o c je.
ƒ Tako je u dinamici rotacionog kretanja definisan
tzv. moment inercije I, veličina koja opisuje uticaj
rasporeda masa u krutom telu na rotaciju, tj. na
ugaono ubrzanje.
110
Moment inercije
ƒ Za svaku materijalnu tačku u telu mase Δmi koja se nalazi na rastojanju
ri od ose rotacije, moment inercije Ii je definisan preko:
I i = Δmi ri 2
ƒ Sumiranjem momenata inercije Ii za sve
materijalne tačke koje čine kruto telo, dobija se
moment inercije I tela u odnosu na datu osu
rotacije. Jedinica za moment inercije je [kgm2].
I = ∑ I i = ∑ Δmi ri 2
i
ili
i
I = ∑ ρΔVi ri 2 = ρ∑ ri 2 ΔVi
i
i
111
Moment inercije
ƒ Moment inercije I je veličina analogna masi u dinamici translatornog
kretanja.
ƒ Moment inercije je skalarna veličina, mera inertnosti tela pri
rotacionom kretanju.
j
ƒ Masa je nezavisna osobina tela, a moment inercije zavisi od izbora ose
rotacije u odnosu na koju se posmatra raspored mase u telu.
Moment inercije za materijalnu tačku
I = m r2
Moment inercije za kruto telo
I = ∑ Δmi ri 2
i
M
I = ∫ r 2 dm
0
V
ili I = ρ∫ r 2 dV
0
112
Moment inercije za razna geometrijski pravilna tela
113
Moment inercije i Štajnerova teorema
(teorema paralelnih osa)
ƒ Ako telo u odnosu na osu rotacije koja prolazi kroz njen centar
masa ima moment inercije I0, tada će u odnosu na bilo koju drugu
paralelnu osu, na rastojanju d od pomenute ose, imati moment
i
inercije
ij I definisan
d fi i
relacijom:
l ij
ƒ Primer
I = I 0 + md 2
Moment inercije I0 je u odnosu na
osu koja prolazi kroz centar mase.
I=
mR 2
3
+ mR 2 = mR 2
2
2
Moment inercije I je u odnosu na osu
koja je paralelna osi rotacije kroz centar
mase i na rastojanju d od nje.
114
Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja
ƒ Za ugaono ubrzanje α krutog tela odgovorni su momenti sila.
ƒ Prema II Njutnovom zakonu, tangencijalna komponenta sile Ft koja
uzrokuje tangencijalno at i ugaono ubrzanje α i čija je napadna tačka na
rastojanju r od ose rotacije (krak sile)), stvara moment sile M koji se može
izraziti u obliku koji sadrži informaciju o rasporedu masa u odnosu na
osu rotacije, tj. veličinu momenta inercije I krutog tela:
ƒ Primer rotacije materijalne tačke:
at = r α
Ft = m at = m r α
M = r Ft = mr 2 α
r r
θ = ∠( r , F )
M = rF sin θ
II Njutnov zakon za rotaciju materijalne
tačke oko nepokretne ose
M =Iα
115
Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja
ƒ U krutom telu se delovanje unutrašnjih sila fij=−fji međusobno poništava.
ƒ Samo tangencijalne komponente spoljašnjih sila Fti koje deluju na pojedine deliće
mase Δmi krutog tela uzrokuju rotaciono kretanje.
ƒ Momenti Mi takvih spoljašnjih sila se sabiraju, čime se dobija rezultantni moment
lj jih sila,
il kkoji
ji uzrokuje
k j ugaono ubrzanje
b
j α.
M spoljašnjih
ƒ Primer rotacije krutog tela:
ati = ri α
M = rF sin θ
Fti = Δmi ati = Δmi ri α
r r
θ = ∠(r , F )
M = ∑ M i = ∑ ri Fti = ∑ Δmi ri 2 α = Iα
i
i
II Njutnov zakon za rotaciju
krutog tela oko nepokretne ose
i
M =Iα
116
Kinetička energija i rad kod rotacionog kretanja
ƒ Pri rotaciji krutog tela
(bez translatornog kretanja):
vi = ri ω
Eki =
Δmi vi2 Δmi ri 2 ω2
=
2
2
ƒ Vrši se sumiranje kinetičkih energija za
svaki delić krutog tela:
EkR =
I ω2
2
ƒ Pri složenom kretanju krutog tela ukupna kinetička energija je suma
kinetičkih energija translatornog kretanja centra mase i rotacionog
kretanja tela:
Ek =
ƒ Ako se pri rotaciji telo obrne za ugao θ (u [rad]) pod
uticajem momenta sile M, izvršeni rad je dat preko:
mvc2 I ω2
+
2
2
A=M θ
117
Moment količine kretanja L
ƒ Moment količine kretanja L materijalne tačke oko nepokretne ose
rotacije je vektorski proizvod njenog vektora položaja r i vektora njene
količine kretanja k:
r r r r
r
L = r ×k = r ×mv
L = r k sin θ = m r v sin θ
r r
∠(r , v ) = 90°
v = rω
L = m r 2ω
L = Iω
118
Moment količine kretanja L
ƒ Moment količine kretanja L krutog tela oko nepokretne ose rotacije
dobija se sumiranjem momenata količine kretanja za sve materijalne tačke
koje čine telo:
L = ∑ Li = ∑ ri × Δmi vi = ∑ Δmi ri vi = ∑ Δmi ri 2 ω = Iω
i
i
i
i
L = Iω
119
Moment količine kretanja L
ƒ Vremenska promena momenta količine kretanja L materijalne tačke oko
nepokretne ose rotacije:
r
r
r
r
dL r
r r d(mv )
dL dr
=M
= × mv + r ×
dt
dt dt
dt
r
r
M - ukupni moment spoljašnjih sila
r r r
dL r
= v × mv + r × F = 0 + M
dt
v - periferna brzina materijalne tačke
0
r
r
∠(v , (mv )) = 0°
‰
usled delovanja momenta sile M
Ovo jje drugi
g oblik II Njutnovog
j
g zakona za rotaciono kretanje
j – analogija
g j sa silom koja
j je
j jednaka
j
r
r
brzini promene količine kretanja kod translatornog kretanja tela:
r r
dk d (mv )
=
= ma = F
dt
dt
ƒ Vremenska promena momenta količine kretanja L krutog tela oko
nepokretne ose rotacije:
r
r
dL d ( Iω)
dω
=
=I
= Iα = M
dt
dt
dt
120
Zakon održanja momenta količine kretanja
Zakon održanja momenta količine kretanja u izolovanom sistemu:
ƒ Ako je rezultanta momenata spoljašnjih sila, koje deluju na kruto telo i
uzrokuju njegovo rotaciono kretanje, jednaka nuli (M=0), tj. ako je sistem
izolovan, ugaono ubrzanje je jednako nuli (α=0 ⇒ ω=const.), a moment
količine kretanja L ima konstantnu vrednost (konstantni intenzitet i pravac):
r
r
dL r
= M = Iα
dt
‰
za
r
M =0 ⇒
r
dL
=0
dt
r
L = const.
Analogija sa I Njutnovim zakonom dinamike, prema kome tela zadržavaju svoje stanje kretanja
(mirovanja ili pravolinijskog ravnomernog kretanja) ukoliko je rezultatntna sila koja na njega deluje
r
jednaka nuli:
r
r
r
r
ukoliko je F = 0 ⇒ a = 0 ⇒ v = const. ⇒
d k d ( mv )
dk
=
=0
dt
dt
r
mv = const.
ƒ Ako kruto telo rotira oko nepokretne ose rotacije, moment količine kretar
r
nja L se može predstaviti i kao:
L = Iω
r
Zakon održanja momenta količine kretanja je: Iω = const.
121
Primeri zakona održanja momenta količine kretanja
ƒ Rotacija čigre
ƒ Rotacija balističkih projektila
ƒ Prandtlova stolica
122
Analogne veličine i jednačine koje važe kod translatornog i rotacionog kretanja
translatorno kretanje
ugaoni pomeraj, θ
pomeraj, x
brzina, v
ubrzanje, a
r
r dx
v=
dt
r
r dv
a=
dt
ugaona brzina, ω
ugaono ubrzanje, α
masa, m
količina
kretanja, k
sila, F
rotaciono kretanje
dθ
dt
r
r dω
α=
dt
ω=
moment inercije, I
r
r
k = mv
r
r
F = ma
moment količine
kretanja, L
r
r d (mvr ) dk
=
F=
dt
dt
mv 2
2
kinetička
energija, Ek
Ek =
snaga, P
r r
P = F ⋅v
moment sile, M
r
r
L = Iω
r
r
r
r r d( Iα) dL
M = Iα M =
=
dt
dt
Iω2
2
rotaciona kinetička
energija, EkR
EkR =
snaga, P
r r
P = M ⋅ω
123
Statika čvrstog tela
ƒ Primer delovanja sila na kruto telo:
a) delovanje jedne sile izaziva samo pomeranje tela na jednu stranu;
b) delovanje dve sile istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera daju rezultantnu
silu koja je jednaka nuli – telo je i u translatornoj i u rotacionoj ravnoteži;
l
j ddve sile
il iistog iintenziteta
i
i suprotnog smera, čiji
iji se pravcii ne poklapaju
kl j
c)) ddelovanje
daju rezultantni moment, pod čijim uticajem telo počinje rotaciju – telo nije u
rotacionoj ravnoteži.
124
Uslovi ravnoteže čvrstog tela
ƒ Za ravnotežu je neophodno da se poništavaju ne samo spoljašnje sile, već i
momenti spoljašnjih sila.
Uslovi ravnoteže čvrstog (krutog) tela:
ƒ Rezultantna spoljašnja sila koja deluje na telo treba da je jednaka nuli.
ƒ Rezultantni moment spoljašnjih sila oko bilo koje ose rotacije treba da je jednak
nuli.
r
F
∑ i =0
r
M
∑ i =0
r
a=0
r
v = const.
r
α=0
r
ω = const.
i
i
ƒ Uslovi ravnoteže za sve pravce koordinatnog sistema:
r
r
r
∑ Fxi = 0 ∑ Fyi = 0 ∑ Fzi = 0
i
r
∑ M xi = 0
i
i
r
∑ M yi = 0
i
i
r
∑M
zi
=0
i
125
Uslovi ravnoteže čvrstog tela
Primeri:
126
Vrste ravnoteže. Stabilnost.
ƒ Postoji: a) stabilna,
b) labilna,
c) indiferentna
ravnoteža.
ž
ƒ Primer lenjir okačen o konac:
a) težište C je ispod tačke vešanja;
b) težište C je iznad tačke vešanja;
c) težište C i tačka vešanja se poklapaju.
ƒ Prema veličini potencijalne energije koju telo poseduje u gravitacionom polju Zemlje:
127
Oscilacije i talasi
ƒ Svako kretanje koje se po određenom pravilu ponavlja u toku
vremena je periodično ili oscilatorno kretanje.
ƒ Ukoliko su sila koja teži da vrati oscilatorni sistem u ravnotežno stanje,
pa
tome i ubrzanje
p prema
p
j koje
j sistem ima,, direktno srazmerni rastojanju
j j
od njega i usmereni ka njemu, tada se radi o jednostavnom harmonijskom
kretanju.
Primer:
telo vezano za učvršćenu oprugu
– može da se kreće u vertikalnoj
ili u horizontalnoj ravni (po
glatkoj površini, bez trenja)
128
Oscilacije
Osnovne osobine harmonijskog oscilovanja:
ƒ Period oscilovanja T je vreme za koje telo izvrši jednu oscilaciju.
ƒ Frekvencija oscilovanja ν (ili f) je broj oscilacija u jedinici vremena.
ƒ Elongacija x je proizvoljno rastojanje od ravnotežnog položaja.
ƒ Amplituda
A li d A je
j maksimalna
k i l elongacija.
l
ij
ƒ Kod harmonijskih oscilacija promenljiva veličina (elongacija) se menja po
sinusnom ili kosinusnom zakonu u funkciji vremena.
129
Oscilacije
Osnovne osobine harmonijskog oscilovanja:
ƒ Kružna frekvencija ω je povezana sa frekvencijom f (ν) i periodom T.
1
2π
f =
ω = 2πf =
T
T
ƒ Pri kretanju materijalne tačke po kružnici ravnomernom perifernom brzinom v i
njen radijus vektor (vektor položaja) se obrće ravnomernom ugaonom brzinom ω.
ƒ y-koordinata položaja materijalne tačke koja se ravnomerno kreće po kružnici
menja se po sinusnom (kosinusnom) zakonu, odnosno projekcija radijus-vektora
na y-koordinatnu osu menja svoj intenzitet po sinusnom (kosinusnom) zakonu u
funkciji vremena. T je vreme potrebno materijalnoj tački da obiđe pun krug.
130
Primeri harmonijskih oscilacija
ƒ Oscilovanje tela obešenog o elastičnu oprugu
ƒ Sila koja vraća telo i oprugu ka ravnotežnom položaju je elastična sila deformisane
opruge i (prema Hukovom zakonu za elastične deformacije istezanja) srazmerna je
veličini deformacije). Znak "−" znači suprotan smer sile F od vektora položaja x tela
p g
vezanogg za oprugu.
r
r
F = −k x
k − koeficijent elastičnosti
opruge
ƒ Iz II Njutnovog zakona sledi jednačina kretanja:
Smena:
k
= ω02
m
F = ma = m
d2 x
dt 2
m
d2 x
+ kx = 0
dt 2
ƒ Rešenje ove diferencijalne jednačine ima oblik:
x = A sin(ω0t + α)
131
Oscilovanje tela obešenog o elastičnu oprugu
ƒ Elongacija x je sinusna (ili kosinusna) funkcija vremena:
ω0 − kružna frekvencija oscilatornog kretanja
α − početna faza, opisuje početni položaj sistema
(ω0t+α) – faza oscilovanja
x = A sin(ω0t + α)
ƒ Period oscilovanja T zavisi od osobina opruge (koeficijent elastičnosti k) i od mase m tela okačenog na nju:
T=
m
2π
= 2π
k
ω0
132
Energija tela koje osciluje na elastičnoj opruzi
ƒ Energija tela koje osciluje na elastičnoj opruzi je zbir kinetičke energije
tela i potencijalne energije elastične deformacije opruge.
S obzirom da važi:
x = A sin(
i ( ω0 t + α )
v=
k
= ω02
m
dx
= Aω0 cos(ω0t + α)
dt
E=
1 2 1 2
mv + kx
2
2
E=
1
1
mA2 ω02 = kA2 = const.
2
2
ƒ Zbir kinetičke i elastične potencijalne energije pri harmonijskom
oscilovanju, ukoliko nema gubitaka, je konstantan.
133
Matematičko klatno
ƒ Matematičko klatno je materijalna tačka koja se u polju Zemljine teže
kreće na stalnom rastojanju od date tačke (tačke oslonca).
sin ϕ =
Ft x
=
Q l
⇒ Ft = −
mg x
l
Ft = ma = m
d2s
dt 2
dt
"−" znači suprotan smer sile Ft od vektora položaja x.
ƒ Jednačina kretanja:
m
d 2 s mgx
+
=0
dt 2
l
x – horizontalno rastojanje od ravnotežnog položaja
s – lučno rastojanje od ravnoteže (pređeni put)
134
Matematičko klatno
m
d 2 s mgx
+
=0
dt 2
l
Za male uglove ϕ, x ≈ s. Smena:
g
= ω02
l
d2 x
+ ω02 x = 0
dt 2
ƒ Rešenje jednačine je da je elongacija x sinusna
(ili kosinusna) funkcija vremena t oblika:
x = x0 sin(ω0t + α)
ƒ Period oscilovanja T, za slučaj malih amplituda
oscilovanja, zavisi od dužine klatna l i ubrzanja
sile Zemljine teže g:
T=
2π
l
= 2π
ω0
g
135
Fizičko klatno
ƒ Fizičko klatno je kruto telo koje se u polju sile Zemljine teže može
slobodno kretati oko nepokretne horizontalne ose, a koja ne prolazi kroz
njegov centar mase (težište).
r r
d 2θ
M = Iα
α= 2
M = − d × Q = − d mg sin θ
dt
− d mg sin θ = I
d 2 θ mgd
+
sin θ = 0
dt 2
I
d 2θ
dt 2
Za malo θ, sinθ≈θ. Takođe se uvodi smena:
d – je rastojanje centra mase (CM) od ose rotacije.
rotacije
ƒ Jednačina kretanja:
mgd
= ω02
I
d 2θ
+ ω02 θ = 0
dt 2
Period oscilovanja:
Rešenje jednačine je oblika: θ = θ0 sin(ω0t + ϕ)
T = 2π
I
mgd
136
Prigušene harmonijske oscilacije
ƒ Na svaki realni oscilatorni sistem deluje sila trenja.
ƒ Prigušeno oscilovanje je oscilovanje u kojem
veličina amplitude opada sa vremenom.
ƒ Sila otpora je srazmerna brzini kretanja tela:
r
r
F = −b v
b - koeficijent srazmernosti - konstanta prigušenja
ƒ Jednačina kretanja za slučaj oscilovanja tela mase m okačenog na oprugu
k fi ij t elastičnosti
koeficijenta
l tič ti k kada
k d na njega
j
d l j otpor
deluje
t
sredine
di okarakterisan
k kt i
konstantom b:
m
d2 x
dx
+ b + kx = 0
2
dt
dt
137
Prigušene harmonijske oscilacije
ƒ Rešenje jednačine je elongacija x koja se u toku vremena menja po
sinusnom (ili kosinusnom) zakonu.
x(t ) = x0 (t ) sin(ω′0t + α)
ω'0 - sopstvena kružna frekvencija amortizovane oscilacije
ƒ Amplituda x0(t) u toku vremena opada do nulte vrednosti prema
eksponencijalnoj funkciji.
x0 (t ) = x0 e
−
b
t
2m
138
Prigušene harmonijske oscilacije
ƒ U zavisnosti od veličine prigušenja
b (tj. otpora sredine), oscilovanje
može imati sledeće oblike:
1.
Neprigušeno oscilovanje
2.
Malo prigušenje (kvaziperiodično oscilovanje)
3.
Srednje prigušenje (kvaziperiodično oscilovanje)
4.
Kritično prigušenje
5.
Aperiodično prigušenje
139
Prinudne harmonijske oscilacije. Rezonancija.
ƒ Prinudno oscilovanje je oscilovanje u kojem osim elastične sile postoji još
jedna spoljašnja sila koja pojačava oscilovanje.
ƒ Ako je prinudna sila harmonijska (menja se po sinusnom zakonu sa frekvencijom
ω) i ω≠ω0 ( ω0 je sopstvena frekvencija oscilovanja sistema bez prisustva prinudne sile)
u realnom slučaju, kada postoji i neka sila trenja koja deluje na oscilatorni
sistem, rešenje jednačine oscilovanja:
m
d2 x
dx
+ b + kx = F0 sin ωt
2
dt
dt
ima oblik:
x(t ) = x0 sin ωt
ƒ Telo mase m osciluje istom frekvencijom ω kojom se menja i periodična
sila, ali sa modifikovanom amplitudom x0, čija veličina se ne menja u
140
toku vremena.
Prinudne harmonijske oscilacije. Rezonancija.
ƒ Ako frekvencija prinudne sile F teži sopstvenoj kružnoj frekvenciji
oscilatora (ω→ω0), amplituda x0 prinudnog oscilovanja teži visokim
vrednostima (u slučaju kada nema trenja, u beskonačnost). Nastupa stanje
rezonancije.
j
141
Talasno kretanje - Prostiranje talasa u elastičnoj sredini
ƒ Mehanički talas (talasno kretanje) je širenje oscilatornog poremećaja u
elastičnoj materijalnoj sredini.
ƒ Pri prostiranju talasa, ne premeštaju se delići sredine. Oni osciluju oko
ravnotežnih položaja, a prenosi se energija talasa.
Za postojanje mehaničkog talasa neophodno je postojanje:
• izvora talasnog poremećaja,
• materijalne sredine kroz koju se poremećaj prenosi, i
• nekog fizičkog mehanizma preko kojeg elementi materijalne sredine
utiču jedan na drugi.
142
Prostiranje talasa u elastičnoj sredini
ƒ Kod transverzalnih talasa delići elastične sredine osciluju normalno
na pravac prostiranja talasa. Javljaju se samo u sredinama gde
postoje elastične sile smicanja - čvrsta tela.
143
Prostiranje talasa u elastičnoj sredini
ƒ Kod longitudinalnih talasa delići sredine osciluju duž pravca prostiranja
talasa (zgušnjavanje i razređivanje).
144
Prostiranje talasa u elastičnoj sredini
ƒ Sinusoidalni talas postoji kada svaka tačka elastične sredine u kojoj se
prostire talas vrši harmonijske oscilacije oko ravnotežnog položaja sa
elongacijom:
yi = yi 0 sin(ωt + φi )
ƒ Rastojanje između dva najbliža delića koji osciluju u istoj fazi (ili im se
faze razlikuju za 2π) je talasna dužina λ.
ƒ Talasni poremećaj prelazi put od jedne
talasne dužine dok delići sredine izvrše
jednu oscilaciju (za vreme T), pa je
brzina prostiranja talasa (fazna brzina):
c=
λ
= λν
T
145
Prostiranje talasa u elastičnoj sredini
ƒ Površina koja spaja tačke do kojih je stigao talasni poremećaj je talasni
front.
ƒ U homogenoj i izotropnoj sredini talasni front ima oblik sfere.
ƒ Ak
Ako je
j talasni
t l i front
f t ravan, rečč je
j o ravnom talasu.
t l
N velikoj
Na
lik j udaljenosti
d lj
ti od
d
izvora talasa i sferni talas ima ravan talasni front.
ƒ Hajgensov princip: Svaka tačka elastične sredine do koje je stigao talasni
front može se smatrati novim izvorom talasa.
146
Jednačina progresivnog talasa
ƒ Progresivni talas je talas koji se u celoj elastičnoj sredini prostire bez
promene pravca ili smera.
ƒ Prostiranjem talasa u nekoj elastičnoj sredini u stanje oscilovanja se
dovode sve tačke te sredine i njihova elongacija se opisuje sinusnom (ili
k i
kosinusnom)
) funkcijom
f k ij
za harmonijsko
h
ij k kretanje.
k
j
ƒ Zbog kašnjenja u oscilovanju udaljenijih delića sredine u odnosu na izvor
talasa, definiše se jednačina koja opisuje vremensku i prostornu zavisnost
elongacije delića elastične sredine - jednačina progresivnog talasa:
y = y0 sin(ωt − φ)
ƒ Ovo je tzv. talasna funkcija, koja opisuje elongaciju proizvoljnog delića
materijalne sredine, na rastojanju x od izvora talasa u proizvoljnom
trenutku t.
ƒ Početna faza talasa:
φ=
2π
x
λ
147
Jednačina progresivnog talasa
ƒ Razlika u fazi za dve tačke elastične sredine: Δφ = φ 2 − φ1 =
ƒ Delići osciluju u fazi:
Δφ = k 2π
rastojanje između tačaka elastične
sredine koje su u fazi:
Δx = x2 − x1 = k λ
ili
2π
( x2 − x1 )
λ
ƒ Delići osciluju u suprotnim fazama:
Δφ = ( 2k − 1) π
ili
Δx = x2 − x1 = (2k − 1)
λ
2
rastojanje između tačaka elastične
sredine koje su u suprotnim fazama
148
Brzina širenja talasa
ƒ Brzina prostiranja mehaničkih talasa zavisi od elastičnih osobina
materijalne sredine kroz koju se prostire.
ƒ Za trasverzalni talas koji se prostire kroz zategnutu žicu (F - sila zatezanja
žice; μ=m/L - linijska masa žice),
žice) brzina talasa je:
c=
F
μ
ƒ U opštem slučaju, za trasverzalni talas koji se prostire kroz čvrsti materijal
(G - modul smicanja materijala; ρ - gustina materijala), brzina talasa je:
c=
G
ρ
149
Brzina širenja talasa
ƒ Za longitudinalni talas koji se prostire kroz čvrsto telo (E - Jangov modul
elastičnosti; ρ - gustina tela), brzina talasa je:
c=
E
ρ
ƒ Za longitudinalni talas koji se prostire kroz tečnost (K − koeficijent stišljivosti
tečnosti; B − zapreminski koeficijent elastičnosti; ρ − gustina tečnosti), brzina talasa je:
c=
1
Kρ
1
=B
K
c=
B
ρ
ƒ Za longitudinalni talas koji se prostire kroz gas (κ - adijabatska konstanta; p pritisak gasa; ρ - gustina gasa), brzina talasa je:
κ=
cp
c=
cV
κp
ρ
150
Energija talasa
ƒ Elongacija i brzina kretanja čestica (mase m) sredine:
y = y0 sin ωt
E = Ek max =
v=
2
m vmax
2
dy
= y0 ω cos ωt
dt
E=
1
mω2 y02
2
ƒ Gustina energije u talasa (n je koncentracija čestica elastične sredine, tj. broj u
jedinici zapremine):
1
u = nE = ρω2 y02
2
151
Osnovne osobine talasnog kretanja. Odbijanje talasa
ƒ Ravan talas na granici dve sredine u kojima su brzine prostiranja talasa
različite delimično se odbija, a delimično prelama.
ƒ Odbijanje (refleksija) talasa se objašnjava pomoću Hajgensovog principa:
Svaka tačka na granici dve elastične sredine do koje je stigao talasni front
može se smatrati novim izvorom talasa.
ƒ Novi talasni front (odbijenog talasa) čini zajednička tangenta na sferne
talasne frontove koji potiču od tačaka na granici dve sredine.
ƒ Upadni ugao jednak je uglu odbijanja.
ƒ Pravci upadnog i odbojnog talasa leže u istoj ravni.
152
Prelamanje talasa
ƒ Prelamanje (refrakcija) talasa se dešava na granici dve sredine u kojima se
talas prostire različitim brzinama.
ƒ Prema Hajgensovom principu, talasni front prelomljenog talasa menja
pravac kretanja.
ƒ Novi talasni front (prelomljenog talasa) čini zajednička tangenta na sferne
talasne frontove koji potiču od tačaka na granici dve sredine.
ƒ Ako se prelamaju talasi koji sadrže komponente različite frekvencije,
dolazi do disperzije - svaka komponenta se prelama pod različitim uglom.
sin α c1
=
sin β c2
153
Difrakcija talasa
ƒ Difrakcija talasa je pojava širenja talasa iza prepreka sa pukotinom,
odnosno savijanja talasa na preprekama. Talasi skreću sa prvobitnog
pravca u istoj elastičnoj sredini.
dužina
ƒ Dimenzije pukotine treba da su istog reda veličine kao i talasna dužina.
ƒ Prema Hajgensovom principu, svaka tačka pukotine je novi izvor talasa.
154
Interferencija talasa
ƒ Interferencija talasa je pojava slaganja (superpozicije) talasa koji se prostiru
u istoj sredini.
ƒ Interferencija se javlja samo ako postoji stalna fazna razlika između talasa
j interferiraju
j ((koherentni talasi).
)
koji
ƒ Interferencija je konstruktivna, ako se amplitude sabiraju (talasi u fazi), a
destruktivna ako se poništavaju (talasi u suprotnim fazama).
155
Interferencija talasa
ƒ Posmatramo interferenciju talasa u datoj tački difraktovanih sa dve pukotine imaju iste amplitude, frekvencije i talasne dužine, a različite faze u toj tački.
2π ⎞
⎛
y1 = y0 sin ⎜ ωt −
x1 ⎟
λ ⎠
⎝
2π ⎞
⎛
y2 = y0 sin ⎜ ωt −
x2 ⎟
λ ⎠
⎝
φi =
Δφ = φ 2 − φ1 =
2π
xi
λ
2π
2π
( x2 − x1 ) =
Δx
λ
λ
konst. int.
⎧kλ
⎪
Δx = ⎨
λ
⎪⎩(2k − 1) 2 dest. int.
ƒ U datoj tački rezultantno oscilovanje čestice elastične sredine ima amplitudu koja
zavisi ne samo od amplitude talasa koji interferiraju, već i od fazne razlike Δφ,
odnosno od razlike u pređenim putevima Δx talasa od pojedinih izvora.
156
Mehanika fluida. Statika fluida.
ƒ Fluidi: tečnosti ("stalna" zapremina i promenljiv oblik) i gasovi (promenljivi i zapremina i oblik).
ƒ Statika (proučava ravnotežu) i dinamika (proučava kretanje) fluida.
ƒ Slabije međumolekulske sile u poređenju sa čvrstim telima uzrokuju
promenljivost oblika (i zapremine).
ƒ Delovanje sile na tečnosti uzrokuje promenu oblika, a samo u maloj meri
i zapremine (stišljivost). U većini idealnih slučajeva smatra se da je i
zapremina stalna, nepromenljiva (tj. njena promena je zanemarljiva).
ƒ Delovanje sile na gasove uzrokuje promenu i oblika i zapremine.
157
Pritisak
ƒ Pomeranje fluida izazivaju sile koje deluju na izvesnu njihovu površinu
(zbog toga što nemaju stalan oblik). Zato je uvedena fizička veličina
pritisak (skalarna veličina) koja predstavlja odnos normalne sile F koja
deluje na površinu nekog tela S. Jedinica za pritisak je Paskal ([Pa]=[N/m2]).
p=
F
S
158
Pritisak
ƒ Pritisak u tečnosti (fluidu) može da potiče ili od težine same tečnosti ili od
delovanja spoljašnje sile.
⎧⎪ A1 = F1 x1 = p1S1 x1
⎨
⎪⎩ A2 = F2 x2 = p2 S 2 x2
A2 = A1
S 2 x2 = S1 x1
p1 = p2
ƒ Paskalov zakon: Pritisak koji se spolja vrši na neku tečnost (ili, u opštem
slučaju, na fluid) prenosi se kroz nju nesmanjenim intenzitetom na sve strane
podjednako.
ƒ Moguće je menjati intenzitet, pravac i smer delovanja sile pomoću tečnosti
u zatvorenom sudu.
159
Pritisak
ƒ Hidraulična presa - ilustracija primene Paskalovog zakona
F2 = F1
S2
S1
160
Hidrostatički pritisak
ƒ U tečnostima postoji pritisak koji je posledica delovanja gravitacione sile
na sve čestice (molekule) tečnosti. Svaki delić tečnosti svojom težinom vrši
pritisak na deliće ispod njega.
ƒ Ovaj pritisak raste sa dubinom.
∑F = 0
i
p2 S − p1S − Q = 0
i
p2 S − p1S − ρShg = 0
p2 = p1 + ρgh
ili:
p=
Q mg ρVg ρShg
=
=
=
= ρgh
S
S
S
S
ƒ Hidrostatički pritisak stuba tečnosti gustine ρ i visine h:
p = ρgh
161
Hidrostatički pritisak
ƒ Pritisak u fluidu zavisi samo od dubine h, a ne i od ukupne količine
ili težine fluida (tečnosti) u sudu.
ƒ Ako se iznad slobodne površine tečnosti nalazi atmosfera, tada je ukupan
pritisak na dubini h jednak zbiru atmosferskog p0 i hidrostatičkog ρgh:
puk = p0 + ρgh
162
Potisak. Arhimedov zakon.
ƒ Na sva tela potopljena u tečnost deluje sila suprotnog smera od gravitacione, koja teži da istisne telo iz tečnosti - sila potiska.
ƒ Sila potiska je posledica činjenice da hidrostatički pritisak raste sa dubinom,
tj. njen uzrok je razlika u hidrostatičkim pritiscima koji na uronjeno telo
deluju na njegovoj gornjoj i donjoj strani.
Fp = F2 − F1 = p2 S − p1S
Fp = [ p0 + ρg ( h + x) − ( p0 − ρgx)] S
Fp = ρghS
Fp = ρgV = m f g
x - dubina na mestu
gornje površine
ƒ Sila potiska je jednaka težini
istisnute tečnosti (fluida).
ƒ Tela jednake zapremine trpe
delovanje jednakih sila potiska.
163
Potisak. Arhimedov zakon.
ƒ Svako telo uronjeno u tečnost prividno gubi od svoje težine toliko
koliko teži istisnuta tečnost - Arhimedov zakon.
ƒ Efektivna težina tela (gustine ρt)
potopljenog u tečnost (fluid, gustine ρf):
ρt > ρ f
⇒ Q > Fp
telo tone
ρt = ρ f
⇒ Q = Fp
telo lebdi
ρt < ρ f
⇒ Q < Fp
telo pliva
Qef = Q − Fp = (ρt − ρ f ) g V
164
Površinski napon
ƒ Površinski napon je pojava narušavanja ravnoteže privlačnih
međumolekulskih sila u površinskom (tj. graničnom) sloju u tečnostima.
ƒ Usled postojanja površinskog napona, tečnosti teže da smanje svoju
slobodnu površinu.
ƒ Koeficijent površinskog napona je rad na dovođenju molekula tečnosti
na površinu koji je potrebno izvršiti za jedinično povećanje slobodne
površine tečnosti.
γ=
ΔA
ΔS
165
Površinski napon
ƒ U zavisnosti od materijala sa kojim se graniči tečnost, razlikuju se slučajevi
kada tečnost kvasi (jače athezione sile), odnosno ne kvasi (jače kohezione
sile) sud u kome se nalazi.
ƒ Kapilarnost je pojava da se tečnost u uskim
kapilarnim cevima ne ponaša po principu
spojenih sudova, već zauzima viši ili niži nivo u
odnosu na nivo u spoljašnjem sudu.
166
Osobine gasova. Atmosferski pritisak
ƒ U gasovima su međumolekulske sile slabe, a potencijalna energija koja
teži da ih drži na okupu je manja od njihove kinetičke energije.
ƒ Nemaju stalan oblik ni zapreminu.
ƒ Pritisak u zatvorenim gasovima se prenosi podjednako u svim pravcima važi Paskalov zakon.
ƒ I u gasovima deluje sila potiska, ali je ona, zbog njihove male gustine,
relativno mala.
ƒ Pritisak koji vrše gasovi
atmosfere na sva tela na
Zemlji naziva se
atmosferski pritisak.
p0 = ρ g ( y2 − y1 ) = ρ g h
ƒ Toričelijev ogled →
167
Atmosferski pritisak
ƒ Sa povećanjem nadmorske visine, atmosferski pritisak opada.
p0, ρ0 - pritisak i gustina vazduha na površini Zemlje.
Uz pretpostavku da se temperatura atmosfere ne menja sa visinom, može
se izvesti tzv. barometarska formula:
⎛ ρ gh ⎞
p = p0 exp⎜⎜ − 0 ⎟⎟
p0 ⎠
⎝
168
Dinamika fluida
ƒ Pod uticajem sile fluidi (tečnosti i gasovi) se kreću, a pravac i smer
kretanja zavisi od smera i pravca delovanja sile i oblika prostora.
ƒ Pojedini delovi fluida se mogu kretati različitim brzinama jedni u odnosu
na druge.
ƒ Strujna linija je zamišljena linija duž koje se kreću čestice fluida - kriva
linija kod koje je tangenta u svakoj tački kolinearna sa vektorom brzine.
ƒ Brzina čestica se duž strujne linije menja po intenzitetu i pravcu.
ƒ Strujna cev je deo fluida ograničen strujnim linijama, a broj čestica unutar
strujne cevi je stalan.
169
Dinamika fluida
ƒ Stacionarno kretanje je kretanje kod kojeg se raspored strujnih linija ne
menja u toku vremena (brzina mala i nema prepreka na putu fluida) –
brzina u svakoj tački ostaje konstantna u toku vremena.
ƒ Turbulentno kretanje je složeno kretanje, u kome se formiraju vrtlozi (brzo
proticanje i brze promene brzine delića fluida pri nailasku na prepreke).
ƒ Idealni fluid je:
- nestišljivi fluid (stalna gustina)
- koji se kreće bez trenja (neviskozni fluid)
- koji se kreće stacionarno (laminarno, slojevito)
- koji se kreće bez vrtloga.
ƒ U realnim fluidima uvek postoji trenje (posledica međumolekularnih sila).
170
Jednačina kontinuiteta.
ƒ Zbog osobine nestišljivosti, zapremine proteklog fluida na dva različita
preseka strujne cevi su jednake.
V1 = S1 v1Δt
V2 = S 2 v2 Δt
V1 = V2
S v = const.
S1v1 = S 2v2
⇒
← Jednačina kontinuiteta
171
Jednačina kontinuiteta.
ƒ U opštem, tj. realnom slučaju, kada je fluid stišljiv (ima različitu zapreminu, pa tako i gustinu u različitim delovima strujne cevi), uzima se da je
maseni protok fluida na dva različita preseka strujne cevi jednak (kolika
masa fluida prođe kroz jedan poprečni presek strujne cevi, tolika masa mora proći u jedinici
vremena i kroz bilo koji drugi poprečni presek).
Δm1
= ρ1S1 v1
Δt
Δm1 Δm2
=
Δt
Δt
Δm2
= ρ 2 S 2 v2
Δt
⇒ ρ1S1v1 = ρ 2 S 2 v2
ρ S v = const.
← Jednačina kontinuiteta
Protok fluida
ƒ Protok fluida je protekla količina (zapremina) fluida kroz strujnu cev u
jedinici vremena:
Q=
V
=Sv
t
Qm =
m ρV
=
= ρS v
t
t
172
Bernulijeva jednačina
ƒ Strujanje tečnosti (fluida) je posledica delovanja spoljašnjih sila.
ƒ Rad spoljašnjih sila menja kinetičku i potencijalnu energiju tečnosti.
ƒ Neka je Δm masa potisnutog (nestišljivog) fluida za vreme Δt u bilo kom preseku
strujne cevi:
V1 = V2 =
Δm
ρ
Δm = ρS1v1Δt = ρS 2 v2 Δt
ΔEk =
Δm v22 Δm v12
−
2
2
ΔE p = Δmgh2 − Δmgh1
173
*Danijel Bernuli (1700-1782), švajcarski fizičar i matematičar.
Bernulijeva jednačina
ƒ Na osnovu zakona održanja energije, promena ukupne energije fluida ΔE
je jednaka radu spoljašnjih sila ΔA:
⎛ Δm v22
⎞ ⎛ Δm v12
⎞
ΔE = ⎜⎜
+ Δmgh2 ⎟⎟ − ⎜⎜
+ Δmgh1 ⎟⎟
2
2
⎝
⎠ ⎝
⎠
V1 = V2 ≡ V
ΔA = F1l 1 − F2l 2 = p1S1l 1 − p2 S 2 l 2 = p1V1 − p2V2 = ( p1 − p2 )V
ƒ Znak "−" je zbog suprotnog smera sile F2 u
odnosu na smer kretanja fluida.
p1 +
ρ v12
ρ v2
+ ρgh1 = p2 + 2 + ρgh2
2
2
ρ v2
p+
+ ρgh = const.
2
Bernulijeva jednačina ↑
ƒ Kod stacionarnog strujanja nestišljivog fluida zbir statičkog p,
visinskog ρgh i dinamičkog ρv2/2 pritiska duž strujne cevi je stalan.
ƒ Ili: suma pritiska p, kinetičke energije po jedinici zapremine ρv2/2 i potencijalne
energije po jedinici zapremine ρgh nestišljivog fluida ima konstantnu vrednost duž
strujne cevi.
174
Isticanje tečnosti kroz male otvore. Toričelijeva teorema.
p1 = p2 ≡ p0
h1 = H
h2 = 0
v2 >> v1 v1 ≈ 0
v2 ≡ v
p0 +
ρ v12
ρ v2
+ ρgH = p0 + 2
2
2
v = 2 gH
ƒ Toričelijeva teorema: brzina isticanja tečnosti iz širokog i otvorenog prema
atmosferi suda kroz mali otvor, koji se nalazi na vertikalnom rastojanju H
od nivoa slobodne površine, jednaka je brzini slobodnog pada tela sa iste
visine.
175
Viskoznost
ƒ Viskoznost je pojava unutrašnjeg trenja koje se javlja između slojeva
tečnosti pri laminarnom (slojevitom) kretanju.
ƒ Prema Njutnovom zakonu za viskoznost, sila
viskoznog trenja F je srazmerna dodirnoj
površini između slojeva S, a obrnuto
srazmerna gradijentu brzine dv/dz (promena
brzine duž pravca normalnog na brzinu
kretanja):
F = ηS
dv
dz
ƒ η - koeficijent dinamičke viskoznosti (u [Pas])
ƒ ν - koeficijent kinematičke viskoznosti (u
[m2/s]).
ν=
η
ρ
ƒ Sa porastom temperature viskoznost tečnosti opada, a gasova raste.
176
Download

Fizika - Departman za fiziku