TEORIJSKA MEHANIKA
Lagranˇzeva i Hamiltonova mehanika
Voja Radovanovi´c
Fiziˇcki fakultet
Univerzitet u Beogradu
Beograd, 2014.
2
Contents
1 Uvod
7
2 Njutnova mehanika
2.1 Elementi kinematike taˇcke . . . . . . . . . . . . .
2.2 Njutnovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Apsolutnost prostora i vremena u nerelativistiˇckoj
2.4 Galilejeve transformacije . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Sistemi sa konaˇcno mnogo ˇcestica . . . . . . . . .
2.6 Rad sile i neki tipovi sila . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Osnovne teoreme mehanike i zakoni odrˇzanja . . .
2.8 Prinudno kretanje . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Diferencijalne jednaˇcine kretanja sistema bez veza
2.10 Reakcije veza. Idealni sistemi . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
14
15
15
17
18
20
22
25
25
Lagranˇ
zeve jednaˇ
cine kretanja
3.1 Varijacioni raˇcun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ
3.2 Cestica
u polju konzervativne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Generalisane koordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Hamiltonov princip. Lagranˇzeve jednaˇcine. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Kovarijantnost Lagranˇzevih jednaˇcina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Matematiˇcko klatno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Virtuelna pomeranja i virtuelni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Lagranˇzeve jednaˇcine za sisteme sa nepotencijalnim silama . . . . . . . . . .
3.9 Generalisano potencijalne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Lagranˇzeve jednaˇcine sa mnoˇziteljima veza . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Kinetiˇcka energija sistema ˇcestica u nezavisnim generalisanim koordinatama
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
29
32
33
35
39
40
42
44
47
48
50
4 Zakoni odrˇ
zanja i simetrija
4.1 Izotropnost i homogenost prostora; Zakon odrˇzanja impulsa i momenta impulsa
4.2 Homogenost vremena i zakon odrˇzanja energije . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 *Neterina teorema u analitiˇckoj mehanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
53
56
59
3
3
. . . . . .
. . . . . .
mehanici
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
CONTENTS
5 Male oscilacije
5.1 Jednaˇcine kretanja . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Primer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Normalne mode i svojstveni problem . . . . .
5.4 Longitudinalne oscilacije lanca taˇckastih masa
5.5 Transverzalne oscilacije lanca taˇckastih masa
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6 Centralno kretanje
6.1 Kretanje u polju centralne sile. Lagranˇzeve jednaˇcine .
6.2 Prvi integrali kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Kvalitativna analiza centralnog kretanja . . . . . . . .
6.4 Keplerov problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Runge-Lencov vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Problem dva tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Rasejanje ˇcestice na centralno simetriˇcnom potencijalu
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
65
66
68
70
71
74
.
.
.
.
.
.
.
77
77
79
80
81
86
87
88
7 Kretanje krutog tela
7.1 Definicija krutog tela . . . . . . . . . . . . .
7.2 Rotacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Vektori, tenzori u euklidskom prostoru . . .
ˇ
7.4 Salova
teorema . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Koriolisova teorema . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Ugaona brzina krutog tela . . . . . . . . . .
7.7 Ugaona brzina i matrica rotacije . . . . . . .
7.8 Komponente ugaone brzine u sistemu krutog
7.9 Brzina taˇcke krutog tela . . . . . . . . . . .
7.10 Impuls krutog tela . . . . . . . . . . . . . .
7.11 Moment impulsa krutog tela. Tenzor inercije
7.12 Kinetiˇcka energija krutog tela . . . . . . . .
7.13 Kretanje krutog tela oko nepokretne taˇcke .
7.14 Lagranˇzev metod za kruto telo . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
tela i u laboratorijskom sistemu
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
91
91
92
96
97
97
98
99
101
103
104
104
109
111
114
8 Relativno kretanje
8.1 Veza izmedju brzina ˇcestice u dva sistema .
8.2 Veza izmedju ubrzanja ˇcestice u dva sistema
8.3 Dinamika relativnog kretanja . . . . . . . .
8.4 Fukoovo klatno . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
121
121
121
122
123
.
.
.
.
.
127
127
128
129
130
131
9 Hamiltonov formalizam
9.1 Hamiltonijan . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Hamiltonove jednaˇcine kretanja . . . . . .
9.3 Fazni prostor . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Hamiltonove jednaˇcine i varijacioni princip
9.5 Poasonove zagrade . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
CONTENTS
10 Kanonske transformacije
10.1 Primer kanonskih transformacija . . . . . . . .
10.2 Infinitezimalne kanonske transformacije . . . .
10.3 Direktna provera . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Invarijantnost Poasonove zagrade . . . . . . .
10.5 Simplektiˇcke transformacije . . . . . . . . . .
10.6 Hamilton-Jakobijeva jednaˇcina . . . . . . . . .
10.7 Hamiltonova karakteristiˇcna funkcija . . . . .
10.8 Integrabilni sistemi; Promenljive dejstvo-ugao
10.9 Keplerov problem . . . . . . . . . . . . . . . .
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
135
138
139
140
141
142
145
147
148
150
6
CONTENTS
Chapter 1
Uvod
Mehanika je grana fizike koja izuˇcava kretanja tela. Nerelativistiˇcka mehanika, koju ´cemo
izuˇcavati na ovom kursu, prouˇcava kretanje tela brzinom mnogo manjom od brzine svetlosti
koju. Pored toga pretpostavi´cemo da je kretanja tela klasiˇcno, tj. da su kvantni efekti zanemarljivi.
Osnovni principi klasiˇcne i nerelativistiˇcke mehanike su sadrˇzani u Njutnovim zakonima.
Ve´c smo rekli da ako ho´cemo da ukljuˇcimo kvantne i relativistiˇcke fenomene moramo da napustimo Njutnovu mehaniku. Ali pored toga metodi Njutnove mehanike nam ne´ce pomo´ci u
razumevanju moderne fizike. Jedan od osnovnih svojstava fiziˇckih sistema je njihova simetrija.
Ona nam daje puno informacija o sistemu, npr. zakone odrˇzanja. Simetrija sistema u Njutnovoj mehanici nije transparentna. Hamilton, Lagranˇz, Ojler, Jakobi i mnogi drugi fiziˇcari
su Njutnove zakone dinamike prepisali na drugi naˇcin, moˇzemo slobodno re´ci drugim jezikom.
Tako je nastala Analitiˇcka mehanika u kojoj se mehaniˇcko kretanje ˇcestica opisuje Lagranˇzevim
odnosno Hamiltonovim formalizmom. Pri reˇsavanju mehaniˇckih problema oba formalizma imaju
preimu´cstvo nad Njutnovim metodom. Jednaˇcine kretanja sistema ˇcestica se u okviru analitiˇcke
mehanike lakˇse dobijaju. To se posebno odnosi na sisteme sa vezama. Medjutim znaˇcaj analitiˇcke
mehanike daleko prevazilazi samu analitiˇcku mehaniku. Osnovni koncepti kvantne fizike imaju
svoj analogon u analitiˇckoj mehanici, tako da je ona osnova celokupne teorijske fizike. Dakle
ako ho´cete da razumete kvantnu mehaniku, relativnost, elektrodinamiku i interakcije izmedju
ˇcestica generalno, statistiˇcku mehaniku, potreban vam je formalizam odnosno jezik analitiˇcke
mehanike.
Osnovni dinamiˇcki zakoni se u analitiˇckoj mehanici dobijaju varijacionim principom. Njemu
je ovde posve´cena posebna paˇznja. Takodje jedan od centralnih koncepata u fizici je simetrija
fiziˇckih sistema i zakoni odrˇzanja fiziˇckih veliˇcina koji slede iz simetrije. Simetrija se u formalizmu
analitiˇcke mehanike vidi direktno.
7
8
CHAPTER 1. UVOD
Chapter 2
Njutnova mehanika
2.1
Elementi kinematike taˇ
cke
Ve´c smo rekli da se mehanika bavi prouˇcavanjem kretanja tela. Da bi opisali kretanje jednog tela
moramo uvesti drugo, tzv. referentno telo u odnosu na koje posmatramo kretanje. Referentno
telo je najˇceˇs´ce nepokretno i apsolutno kruto. Telo je apsolutno kruto ukoliko se rastojanje
izmedju ma koje dve njegove taˇcke ne menja. Za referentno telo veza´cemo koordinatni sistem
koji nazivamo referentnim sistemom. Proizvoljnu taˇcku apsolutno krutog tela izabra´cemo za
koordinatni poˇcetak referentnog sistema, dok ose Dekarovog koordinatnog sistema se uvode
konstrukcijom tri medjusobno ortogonalna pravca kroz taˇcke A, B i C na slici. Na ovaj naˇcin
ˇ
smo konstruisali referentni sistem. Cesticu
(materijalnu taˇcku) definiˇsemo kao bezdimenzioni
objekat. To je telo ˇcije dimenzije u datoj situaciji zanemarujemo. Kada posmatramo kretanje
Zemlje oko Sunca, Zemlju smatramo materijalnom taˇckom jer je preˇcnik Zemlje zanemarljiv u
odnosu na rastojanje izmedju Sunca i Zemlje. Sa druge strane ako analiziramo rotaciju Zemlje
oko svoje ose onda je ne moˇzemo aproksimirati taˇckom.
Poloˇzaj ˇcestice u svakom trenutku vremena odredjen je njenim radijus vektorom (vektorom
poloˇzaja):
r = r(t) .
(2.1.1)
Ova jednaˇcina se joˇs naziva i jednaˇcinom kretanja ˇcestice. U Dekartovim koordinatama zakon
Figure 2.1:
9
10
CHAPTER 2. NJUTNOVA MEHANIKA
Figure 2.2:
kretanja je
r = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3 ,
(2.1.2)
gde su ei , i = 1, 2, 3 ortovi Dekartovog sistema. Jednaˇcine
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
(2.1.3)
nazivaju se konaˇcnim jednaˇcinama kretanja ˇcestice. One predsavljaju parametarski oblik trajektorije ˇcestice. Put koji ˇcestica predje za vreme t je
Z t
Z tp
s=
ds =
(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 .
(2.1.4)
0
0
Brzina materijalne taˇcke je data sa
r(t + 4t) − r(t)
dr
=
= r˙
4t→0
4t
dt
v(t) = lim
(2.1.5)
i jednaka je vremenskom izvodu radijus vektora ˇcestice. U Dekartovim koordinatama brzina
ˇcestice je
v = xe
˙ 1 + ye
˙ 2 + ze
˙ 3,
(2.1.6)
dok je intenzitet brzine dat sa
v=
p
x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 .
(2.1.7)
Lako se vidi da je
ds = |dr|
p
=
(dx)2 + (dy)2 + (dz)2
p
=
x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 dt = vdt
(2.1.8)
Dakle intenzitet brzine ˇcestice je
ds
.
dt
(2.1.9)
dr ds
dr
=
= vτ ,
dt
ds dt
(2.1.10)
v=
Vektor brzine je
v=
gde je τ = dr
ort tangente na trajektoriju ˇcestice u datoj taˇcki. Brzina je dakle tangenta na
ds
putanju ˇcestice. Ubrzanje ˇcestice se definiˇse kao izvod brzine po vremenu
ˇ
2.1. ELEMENTI KINEMATIKE TACKE
11
Figure 2.3:
v(t + 4t) − v(t)
dv
=
= v˙ = ¨r.
4t→0
4t
dt
a = lim
(2.1.11)
U Dekartovim koordinatama ubrzanje taˇcke je
a = x¨e1 + y¨e2 + z¨e3 .
(2.1.12)
Prirodni trijedar ˇcine tangenta, normala i binormala. Njihove ortove obeleˇzava´cemo sa τ , n i
b . Ort tangente smo ranije definisali. On je funkcija puta τ = τ (s) jer put moˇzemo uzeti za
parametar koji parametrizuje trajektoriju ˇcestice. Diferenciranjem izraza τ 2 = 1 po s dobijamo
τ·
Vektor
dτ
ds
dτ
=0.
ds
(2.1.13)
je ortogonalan na ort tangente. Normiranjem ovog vektora dobijamo ort normale
dτ
dτ
n = ds = ρ
.
ds
dτ
ds
(2.1.14)
Veliˇcina
dτ −1
ρ= ds
je polupreˇcnik krivine krive u datoj taˇcki. Ort binormale je definisan sa
b=τ ×n .
(2.1.15)
(2.1.16)
Sada moˇzemo da izrazimo ubrzanje ˇcestice u prirodnom trijedru:
dv
dτ
d
(vτ ) =
τ +v
dt
dt
dt
dτ ds
v2
= vτ
˙ +v
= vτ
˙ + n.
ds dt
ρ
a =
Ubrzanje ˇcestice ima dve komponente: tangencijalnu at = vτ
˙ i normalnu
an =
v2
n.
ρ
(2.1.17)
12
CHAPTER 2. NJUTNOVA MEHANIKA
Figure 2.4:
Figure 2.5:
Lako se vidi da je
at =
dv
a·v
=a·τ =
dt
v
(2.1.18)
|v × a|2
.
v2
(2.1.19)
i
a2n =
Ubrzanje leˇzi u ravni koju odredjuju tangenta i normala. Ova ravan se naziva oskulatorna
ravan. Intenzitet ubrzanja je
q
a = a2n + a2t .
(2.1.20)
Pored Dekartovih koordinata za opisivanje poloˇzaja ˇcestice mogu se koristiti i neke druge
koordinate q1 , q2 , q3 . Ove koordinate se nazivaju generalisanim koordinatama i definisane su
relacijama
q1 = q1 (x, y, z)
q2 = q2 (x, y, z)
q3 = q3 (x, y, z) .
(2.1.21)
Ove relacije moraju biti invertibilne; potreban i dovaljan uslov za to je da jakobijan transfor-
ˇ
2.1. ELEMENTI KINEMATIKE TACKE
13
macije bude razliˇcit od nule
∂(x, y, z)
6= 0 .
∂(q1 , q2 , q3 )
Cilindriˇcne koordinate ρ, ϕ, z definisane su sa
J=
x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
z = z,
(2.1.22)
(2.1.23)
gde je ρ > 0, 0 ≤ ϕ < 2π, −∞ < z < ∞ . Jakobijan je J = ρ. Ortovi cilindriˇcnog koordinatnog
sistema su
eρ = cos ϕex + sin ϕey
eϕ = − sin ϕex + cos ϕey
ez = ez .
(2.1.24)
Diferenciranjem otrova po vremenu dobijamo
deρ
= ϕe
˙ ϕ,
dt
deϕ
= −ϕe
˙ ρ.
dt
(2.1.25)
Radijus vektor ˇcestice je r = ρeρ + zez . Brzinu ˇcestice u cinindriˇcnim koordinatama dobijamo
jednostavno
d
(ρeρ + zez )
dt
= ρe
˙ ρ + ρe˙ρ + ze
˙ z
= ρe
˙ ρ + ρϕe
˙ ϕ + ze
˙ z.
v =
(2.1.26)
Joˇs jednim diferenciranjem po vremenu dobijamo ubrzanje
a = (¨
ρ − ρϕ˙ 2 )eρ +
1d 2
(ρ ϕ)e
˙ ϕ + z¨ez .
ρ dt
(2.1.27)
Sferne koordinate r, θ, ϕ definisane su sa
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos θ ,
(2.1.28)
gde je r > 0, 0 < θ < π, 0 ≤ ϕ < 2π, .
Jakobijan je J = r2 sin θ. Ortovi sfernog koordinatnog sistema mogu se razloˇziti po Dekartovoj bazi:
er = sin θ cos ϕex + sin θ sin ϕey + cos θez
eθ = cos θ cos ϕex + cos θ cos ϕey − sin θez
eϕ = − sin ϕex + cos ϕey .
(2.1.29)
14
CHAPTER 2. NJUTNOVA MEHANIKA
Figure 2.6:
Njihovi vremenski izvodi su
˙ θ + ϕ˙ sin θeϕ
e˙ r = θe
˙ r + ϕ˙ cos θeϕ
e˙ θ = −θe
e˙ ϕ = −ϕe
˙ ρ = −ϕ(sin
˙
θeρ + cos θeθ ) .
(2.1.30)
Komponente brzine ˇcestice u sfernim koordinatama dobijamo diferenciranjem radijus vektora
r = rer . Rezultat je
˙ θ + ϕr
v = re
˙ r + rθe
˙ sin θeϕ .
(2.1.31)
Ubrzanje je
a = (¨
r − rθ˙2 − rϕ˙ 2 sin2 θ)er
1 d r2 θ˙ − rϕ˙ 2 sin θ cos θ eθ
+
r dt
1 d 2 2 +
r sin θϕ˙ eϕ .
r sin θ dt
2.2
(2.1.32)
Njutnovi zakoni
Njutnova mehanika je zasnovana na principima koji su generalizacija velikog broja eksperimenata. Prvi Njutnov zakon je zakon inercije. Ako na telo ne deluju druga tela onda ono ili miruje
ili se kre´ce ravnomerno pravoliniski. Jednaˇcina kretanja takvog tela je
r(t) = r0 + v0 t ,
gde su r0 i v0 konstantni vektori. Sistemi reference u kojima vaˇzi zakon inercije su inercijalni
sistemima. Ako se nalazite u autobusu koji naglo zakoˇci (usporava) vi ´cete krenuti unapred. Na
vas ne deluju druga tela a vi menjate svoje stanje kretanja. Ovakav sistem je neinercijalan.
ˇ
2.3. APSOLUTNOST PROSTORA I VREMENA U NERELATIVISTICKOJ
MEHANICI 15
Sila koja deluje na telo je proporcionalna sa promenom impulsa tela, tj.
dp
= F,
dt
gde je p = mv impuls ˇcestice, a F sila koja deluje na ˇcesticu. Ovo je drugi Njutnov zakon. On
uvodi dva nova pojma u fiziku: silu i masu. Sila je mera interakcije izmedju tela, dok je masa
tela mera njegove inertnosti i njegove gravitacione interakcije sa drugim telima.
Ukoliko je masa ˇcestice konstantna drugi Njutnov zakon je
ma = F .
Ovo je osnovna jednaˇcina mehanike.
Tre´ci Njutnov zakon je zakon akcije i reakcije. Neka je Fαβ sila kojom ˇcestica indeksa α
deluje na ˇcesticu indeksa β, a Fβα sila kojom ˇcestica indeksa β deluje na ˇcesticu indeksa α onda
po zakonu akcije i reakcije je
Fαβ = −Fβα .
(2.2.33)
Njutnovi zakoni vaˇze u inercijalnim sistemima. Ako je sistem S inercijalan onda je i svaki drugi
sistem koji se kre´ce konstantnom brzinom u odnosu na njega takodje inercijalan.
2.3
Apsolutnost prostora i vremena u nerelativistiˇ
ckoj
mehanici
Dogadjaj je fiziˇcka pojava koja se desila u nekom trenutku vremena t i na nekom mestu, tj. u taˇcki
x, y, z. Primeri dogadjaja su npr. paljenje sijalice, stizanje voza u stanicu. Neka se dogadjaji 1
i 2 deˇsavaju u trenucima t1 odnosno t2 u taˇckama ˇcije su koordinate x1 , y1 , z1 odnosno x2 , y2 , z2 .
Ove veliˇcine je izmerio posmatraˇc u sistemu S svojim satom i lenjirima. Posmatraˇc iz drugog
sistema S 0 , koji se npr. kre´ce u odnosu na sistem S, ovim dogadjajima pridruˇzuje druge brojeve
t01 , x01 , y10 , z10 odnosno t02 , x02 , y20 , z20 .
U Njutnovoj mehanici prostor i vreme su apsolutni. Apsolutnost vremena znaˇci da je vremenski interval izmedju dogadjaja 1 i 2 isti za oba posmatraˇca tj.
t2 − t1 = t02 − t01 .
(2.3.34)
Apsolutnost prostora ogleda se u tome da je rastojanje izmedju istovremenih dogadjaja isto u
svim sistemima. Drugim reˇcima ako je t1 = t2 tada je
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 = (x02 − x01 )2 + (y20 − y10 )2 + (z20 − z10 )2 .
2.4
(2.3.35)
Galilejeve transformacije
ˇ
Zelimo
da nadjemo transformacije izmedju koordinata nekog dogadjaja u dva inercijalna sistema. Te transformacije se nazivaju Galilejevim transformacijama. Sada ´cemo razmatrati jednu
16
CHAPTER 2. NJUTNOVA MEHANIKA
Figure 2.7:
specifiˇcnu Galilejevu transformaciju. Neka se inercijalni sistem S 0 kre´ce konstantnom brzinom
V u odnosu na inercijalni sistem S. Uze´cemo da su se ova dva sistema poklapala u poˇcetnom
trenutku. Veza izmedju koordinata jednog dogadjaja u ova dva sistema je
r0 = r − Vt
t0 = t .
(2.4.36)
Ako se sistem S 0 kre´ce duˇz zajedeniˇcke x ose tada prethodne jednaˇcine postaju
x0
y0
z0
t0
=
=
=
=
x−Vt
y
z
t.
(2.4.37)
Diferenciranjem (2.4.36) po vremenu dobijamo klasiˇcni zakon sabiranja brzina
v0 = v − V .
(2.4.38)
U prethodnoj formuli v i v0 su brzine ˇcestice u odnosu na sistem S odnosno S 0 . Joˇs jedno
diferenciranje po vremenu vodi nas do
a0 = a .
(2.4.39)
Ubrzanje je isto u oba inercijalna sistema. Drugi Njutnov zakon
ma = F
(2.4.40)
je invarijantan na Galilejeve transformacije, tj. u sistemu S 0 on ima isti oblik kao i u sistemu S
ma0 = F .
U osnovi Galilejevih transformacija su apsolutnost vremena i prostora.
(2.4.41)
ˇ
ˇ
2.5. SISTEMI SA KONACNO
MNOGO CESTICA
17
U prethodnom izlaganju videli smo da svaki sistem koji se kre´ce konstantnom brzinom u
odnosu na inercijalni sistem je takodje inercijalan. Ovakve transformacije se nazivaju specijalnim
Galilejevim transformacijama ili bustovima. Medjutim, to nije jedini naˇcin da se iz jednog
inercijalnog sistema dobije drugi. Postoji deset linearno nezavisnih naˇcina da se to uˇcini. To su:
rotacije sistema, prostorna translacija, vremenska translacija i ve´c spomenuti bustovi.
Prelazak iz sistema S u sistem S 0 rotacijom je transformacija koordinata r0 = Rr, gde je R
3 × 3 ortogonalna matrica jediniˇcne determinante. O matricama rotacije bi´ce viˇse reˇci u sedmoj
glavi. Translacija za konstantni vektor c je r0 = r+c. Vremenska translacija je t0 = t+τ. Postoje
tri nezavisne rotacije, tri translacije, jedna vremenska translacija i tri busta. Ukupno deset. Ove
transformacije su Galilejeve transformacije. Dakle, proizvoljna Galilejeva transformacija je
r0 = Rr + Vt + c
t0 = t + τ .
2.5
(2.4.42)
Sistemi sa konaˇ
cno mnogo ˇ
cestica
Prethodnu diskusiju ´cemo generalisati na viˇseˇcestiˇcne sisteme. Masu ˇcestice indeksa α obeleˇzi´cemo
sa mα , radijus vektor sa rα itd. Sila interakcije izmedju α-te i β-te ˇcestice zavisi od njihovog
relativnog radijus vektora i relativne brzine
Fαβ = Fαβ (rα − rβ , vα − vβ ) .
(2.5.43)
Prethodni izraz se naziva zakonom sile.
Sistem ˇcestica je izolovan ako na svaku ˇcesticu sistema deluju samo ˇcestice iz tog sistema.
Drugim reˇcima spoljaˇsnje sile su jednake nuli. Iz zakona sile sledi da je sila koja deluje na ˇcesticu
indeksa α
X
Fβα
Fα =
β6=α
= Fα (r1 , . . . , rN , v1 , . . . , vN ) .
(2.5.44)
Uzeli smo da se sistem sastoji od N ˇcestica. Ako na ˇcestice sistema deluju spoljaˇsnje sile, tj.
tela izvan sistema onda je sistem neizolovan. Podsistem izolovanog sistema je neizolovan. Neka
se podsistem sastoji od s < N ˇcestica. Za ˇcestice izvan podsistema, kojih ima N − s, znamo
poloˇzaje i brzine ˇcestica kao funkcije vremena
rα = rα (t), vα = vα (t), α = s + 1, . . . , N .
(2.5.45)
Zamenom u (2.5.44) dobijamo
˜ α (r1 , . . . , rs , v1 , . . . , vs , t)
Fα = F
(2.5.46)
gde se vremenska zavisnost pojavljuje zbog jednaˇcina (2.5.45). Pojava argumenta t u prethodnoj
jednaˇcini ukazuje na neizolovanost inercijalnog sistema.
18
CHAPTER 2. NJUTNOVA MEHANIKA
Jednaˇcine kretanja sistema ˇcestica su
X
mα¨rα =
Fβα + F(ext)
, α = 1, . . . , N .
α
(2.5.47)
β6=α
U prethodnom izrazu sila koja deluje na ˇcesticu indeksa α je zbir unutraˇsnjih (prvi sabirak sa
desne strane) i spoljaˇsnjih (drugi sabirak) sila. Sabiranjem jednaˇcina kretanja dobijamo
X
XX
X
mα¨rα =
Fβα +
F(ext)
.
(2.5.48)
α
α
α
β6=α
Primenom zakona akcije i reakcije unutraˇsnje sile se krate u prethodnom izrazu pa dobijamo
X
X
F(ext)
.
(2.5.49)
mα¨rα =
α
α
α
Ako uvedemo radijus vektor centra mase sa
rcm
P
m α rα
= Pα
α mα
onda (2.5.49) postaje
M¨rcm =
X
(2.5.50)
F(ext)
.
α
(2.5.51)
α
M je ukupna masa sistema. Ovo je vrlo vaˇzna formula: centar mase sistema se kre´ce pod
dejstvom ukupne spoljnje sile sistema.
2.6
Rad sile i neki tipovi sila
Elementarni rad je definisan sa
d0 A =
N
X
Fα · drα .
(2.6.52)
α=1
0
Prim u prethodnom izrazu smo stavili jer d A u opˇstem sluˇcaju nije totalni diferencijal1 . Sila
koja deluje na ˇcesticu sa indeksom α je konzervativna ako moˇze da se napiˇse u obliku
Fα = −∇α U (r1 , . . . , rN ) ≡ −
1
∂U
,
∂rα
(2.6.53)
Da bi izraz
P dx + Qdy + Rdz
bio totalni diferencijal potrebno je i dovoljno da vaˇzi
∂Q
∂P
=
∂y
∂x
∂R
∂P
=
∂z
∂x
∂Q
∂R
=
.
∂z
∂y
Pokaˇzite da ako je sila F = ax2 ex + bxyey + cz 2 ez gde su a, b, c konstante elementarni rad nije totalni diferencijal.
2.6. RAD SILE I NEKI TIPOVI SILA
19
gde je U = U (r1 , . . . , rN ) potencijalna energija sistema. Elementarni rad ovakvih sila je totalni
diferencijal:
d0 A =
N
X
Fα · drα = −
α=1
N X
= −
α=1
N
X
∇α U · drα
α=1
∂U
∂U
∂U
dxα +
dyα +
dzα
∂xα
∂yα
∂zα
= −dU .
(2.6.54)
Iz prethodnog se vidi da rad sila na premeˇstanju sistema iz konfiguracije 1 u konfiguraciju 2 je
Z (2)
A=−
dU = −(U2 − U1 ) .
(2.6.55)
(1)
Vidimo da je rad jednak negativnoj promeni potencijalne energije. On zavisi samo od poˇcetne
i krajnje konfiguracije. Ako se poˇcetna i krajnja konfiguracija poklapaju onda je rad konzervativnih sila nula
I
A = − dU = 0 .
(2.6.56)
Neka se ˇcestica mase M nalazi u koordinatnom poˇcetku. Sila kojom ona deluje na drugu
ˇcesticu mase m koja se nalazi u taˇcki sa radijus vektorom r je data Njutnovim zakonom gravitacije
F = −γ
Mm
r.
r3
(2.6.57)
Rotor ove sile je nula, rotF = 0 pa je ona konzervativna. Potencijalna (gravitaciona) energija je
Z
U = − F · dr
Z
r · dr
= γmM
r3
Z
dr
= γmM
r2
mM
= −γ
+C .
(2.6.58)
r
Ako izaberemo da je potencijal U = 0 kad r → ∞ integraciona konstanta C jednaka je nuli.
Prethodni rezultat se lako generaliˇse na sluˇcaj sistema taˇckastih masa. Potencijalna energija
sistema je
1X
1 X mα mβ
.
(2.6.59)
U=
Uαβ = −
γ
2 α6=β
2 α6=β |rα − rβ |
Drugi primer konzervativne sile je elastiˇcna sila F = −kr. Lako se vidi da je
ex ey ez ∂ ∂ ∂
rotF = −k ∂x ∂y ∂z = 0.
x y z
(2.6.60)
20
CHAPTER 2. NJUTNOVA MEHANIKA
Potencijalna (elastiˇcna) energija je
Z
U =k
1
r · dr = kr2 .
2
Potencijalne sile su oblika
Fα = −∇α U (r1 , . . . , rN , t) .
(2.6.61)
Potencijal je funkcija vektora poloˇzaja ˇcestica u sistemu ali i vremena. Konzervativne sile su
specijalni sluˇcaj potencijalnih ukoliko potencijalne energija ne zavisi eksplicitno od vremena.
Elementarni rad potencijalnih sila nije totalni diferencijal:
0
dA =
N
X
Fα ·
α=1
N X
drα = −
N
X
∇α U · drα
α=1
∂U
∂U
∂U
dxα +
dyα +
dzα
∂xα
∂yα
∂zα
= −
α=1
∂U
dt .
(2.6.62)
∂t
Sile koje nisu potencijalne nazivaju se nepotencijalnim. Primer takvih sila su giroskopske
sile, koje su linearne i homogene funkcije brzina ˇcestica ˇcije je rad jednak nuli. Primeri takve
sile je sila kojom magnetno polje deluje na ˇcesticu u kretanje F = qv × B. Lako se vidi da
je dA = 0. Drugi primer za nepotencijalne sile su disipativne sile. Kod njih je rad negativan.
Primer je sila oblika F = −kv gde je k > 0.
= −dU +
2.7
Osnovne teoreme mehanike i zakoni odrˇ
zanja
Teorema kinetiˇ
cke energije i zakon odrˇ
zanja mehaniˇ
cke energije
Kinetiˇcka energija sistema ˇcestica je
1X
T =
mα vα2 .
2 α=1
N
(2.7.1)
Elementarni rad sila koje deluju na ˇcestice sistema je
d0 A =
N
X
α=1
N
X
Fα · drα =
N
X
α=1
mα
dvα
· drα
dt
N
X
mα vα2 =
mα vα dvα = d
2
α=1
α=1
= dT
(2.7.2)
Dakle, elementarni rad jednak je promeni kinetiˇcke energije sistema
d0 A = dT .
(2.7.3)
ˇ
2.7. OSNOVNE TEOREME MEHANIKE I ZAKONI ODRZANJA
21
Poslednji izraz je teorema kinetiˇcke energije. Uze´cemo da su sile u sistemu potencijalne, tada
d0 A
dU
∂U
=−
+
dt
dt
∂t
(2.7.4)
d(T + U )
∂U
=
.
dt
∂t
(2.7.5)
pa je
Ako su sile konzervativne tj.
∂U
=0
∂t
dobijamo
d(T + U )
=0.
(2.7.6)
dt
Ukupna mehaniˇcka energija sistema je oˇcuvana ako su sile u sistemu konzervativne. Mehaniˇcka
energija je integral kretanja. To je zakon odrˇzanja mehaniˇcke energije.
Teorema impulsa i zakon odrˇ
zanja impulsa
P
Ukupni mehaniˇcki impuls sistema ˇcestica je P = α mα vα . Potraˇzimo njegov vremenski izvod
X
dP X
=
mα v˙ α =
Fα .
dt
α=1
α=1
N
N
(2.7.7)
Primenom zakona akcije i reakcije u gornjoj sumi ostaju samo spoljaˇsnje sile
dP X ext
=
Fα .
dt
α=1
N
(2.7.8)
To je teorema impulsa za sistem ˇcestica. Ukoliko je ukupna spoljna sila jednaka nuli onda je
ukupni impuls sistema konstanta (integral) kretanja
dP
= 0 ⇒ P = const.
dt
(2.7.9)
To je zakon odrˇzanja impulsa.
Teorema momenta impulsa i zakon odrˇ
zanja momenta impulsa
Moment impulsa sistema ˇcestica je
L=
X
mα rα × vα .
(2.7.10)
α
Moment impulsa zavisi od izbora pola. Izvod momenta impulsa L po vremenu se lako nalazi:
X
X
dL X
=
mα vα × vα +
m α r α × aα =
rα × Fα = M
dt
α
α
α
(2.7.11)
22
CHAPTER 2. NJUTNOVA MEHANIKA
Dakle
dL
=M
(2.7.12)
dt
gde je M ukupni moment sila. Ovo je teorema momenta impulsa za sistem ˇcestica (naravno u
inercijalnom sistemu reference). Sile ponovo moˇzemo podeliti na unutraˇsnje i spoljaˇsnje pa je
moment sile
X
X
X
rα × F α =
rα × Fβα +
rα × Fext
(2.7.13)
M=
α .
α
α6=β
α
Ako predpostavimo da su unutraˇsnje sile centralne onda je
X
α6=β
1X
1X
rα × Fβα +
rα × Fβα
2 α6=β
2 α6=β
1X
1X
=
rα × Fβα −
rβ × Fαβ
2 α6=β
2 α6=β
1X
=
(rα − rβ ) × Fβα = 0 .
2 α6=β
rα × Fβα =
(2.7.14)
Ukoliko su unutraˇsnje sile centralne onda je njihov ukupni moment sile jednak nuli. Dakle,
teorema momenta impulsa u sluˇcaju unutraˇsnjih centralnih sila je
dL
= Mext .
dt
(2.7.15)
Ako je moment spoljaˇsnjih sila jednak nuli i ako su unutraˇsnje sile centralne onda iz (2.7.15)
sledi
dL
= 0 ⇒ L = const.
(2.7.16)
dt
Ovo je tzv. zakon odrˇzanja momenta impulsa.
2.8
Prinudno kretanje
Kretanja mogu biti prinudna (vezana) ili bez veza2 . Kretanje je prinudno ako postoje izvesna
ograniˇcenja na poloˇzaje i brzine ˇcestica. Ova ograniˇcenja izraˇzavamo (ne)jednakostima koja
zavise od poloˇzaja i brzina ˇcestica i eventualno vremena.
Naveˇs´cemo nekoliko primera vezanih kretanja.
1. Kretanje ˇcestice po povrˇsini sfere polupreˇcnika R (slika 2.8) je vezano kretanje jer koordinate
ˇcestice x, y i z moraju zadovoljavati jednaˇcinu
f1 ≡ x2 + y 2 + z 2 − R2 = 0 .
(2.8.17)
Ova jednaˇcina se naziva jednaˇcinom veze.
2
Kretanja bez veza se nazivaju i slobodnim kretanjima, mada ´cemo ovaj termin izbegavati jer se u literaturi
ˇcesto pojam slobodnog kretanja odnosi na kretanje ˇcestica na koje ne deluju sile.
2.8. PRINUDNO KRETANJE
23
Figure 2.8: Kretanje ˇcestice po povrˇsini sfere.
Figure 2.9: Matematiˇcko klatno
2. Kretanje molekula gasa koji se nalazi u sudu je takodje primer prinudnog kretanja jer molekuli
ne mogu da napuste sud. Ukoliko je sud sfera polupreˇcnika R onda koordinate svake ˇcestice
zadovoljavaju nejednakost
f2 ≡ x2 + y 2 + z 2 − R2 < 0 .
(2.8.18)
3. Slede´ci primer je matematiˇcko klatno prikazano na slici 2.8. Ako je duˇzina klatna l onda
postoje dve jednaˇcine veze
f3 ≡ x2 + y 2 − l2 = 0
f4 ≡ z = 0 .
(2.8.19)
4. Neka su dve male kuglice vezane za krajeve tankog ˇstapa zanemarljive mase. Neka je duˇzina
ˇstapa l. Ako sa x1 , y1 , z1 obeleˇzimo dekartove koordinate prve a sa x2 , y2 , z2 druge ˇcestice onda
jednaˇcina veze ima oblik
f5 ≡ (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 − l2 = 0 .
(2.8.20)
24
CHAPTER 2. NJUTNOVA MEHANIKA
Figure 2.10: Disk koji se kotrlja bez proklizavanja
5. Neka se disk polupreˇcnika R kotrlja bez klizanja u xy ravni kao ˇsto je prikazano na slici 2.8.
Sa ϕ obeleˇzi´cemo ugao rotacije diska a sa θ ugao koji osa diska gradi sa pozitivnim delom y ose.
Da bi opisali poloˇzaj diska pored θ i ϕ uveˇcemo koordinate centa mase diska x, y. Kako nema
klizanja to je brzina centra mase diska data sa
v = Rϕ˙
(2.8.21)
f6 ≡ x˙ − R cos θϕ˙ = 0
f7 ≡ y˙ − R sin θϕ˙ = 0 .
(2.8.22)
Sa druge strane je
Gornje jednaˇcine su takodje jednaˇcine veza.
6. Neka se ˇcestica kre´ce u ravni koja ravnomerno rotira oko z ose ugaonom brzinom ω (slika
2.8). Ako se u poˇcetnom trenutku ta ravan poklapala sa xOz ravni jednaˇcina veze je
f8 ≡ y − x tan(ωt) = 0 .
(2.8.23)
Ukoliko jednaˇcine veza imaju oblik
f (r1 , . . . , rN , t) = 0
(2.8.24)
takve se veze nazivaju holonomnim. Dakle, holonomne veze su izraˇzene jednakostima i zavise
od koordinata ˇcestica i vremena. Veze koje nemaju prethodni oblik nazivaju se neholonomnim.
Veze f1 , f3 , f4 , f5 , f8 su holonomne, dok je veza f2 neholonomna. Veza koja pored koordinata
zavisi i od brzina
f (r1 , . . . rN , v1 , . . . , vn ) = 0
(2.8.25)
je takodje neholonomna. Takve su veze f6 i f7 . Sistemi kod kojih su prisutne samo holonomne
veze nazivaju se holonomnim sistemima.
Veze mogu biti zadrˇzavaju´ce i nezadrˇzavaju´ce. Ukoliko je veza izraˇzena nejednakostima ona
je nezadrˇzavaju´ca. Primer takve veze je veza f2 .
Ako se u jednaˇcini veze vreme ne pojavljuje eksplicitno ona se naziva stacionarnom. U
suprotnom je nestacionarna. Veza f8 je nestacionarna, dok su veze f1 , f2 , . . . , f7 stacionarne.
ˇ
2.9. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
KRETANJA SISTEMA BEZ VEZA
25
Figure 2.11:
2.9
Diferencijalne jednaˇ
cine kretanja sistema bez veza
Neka u sistemu ˇcestica ne postoje nikakva ograniˇcenja na poloˇzaje i brzine ˇcestica. Jednaˇcine
kretanja takvog N -ˇcestiˇcnog sistema su
mα¨rα = Fα (r1 , . . . , rN , v1 , . . . , vN , t), α = 1, . . . , N .
(2.9.26)
Projektovanjem gornjih vektorskih jednaˇcina na ortove Dekartovog sistema dobijamo 3N diferencijalnih jednaˇcina drugog reda
mα x¨α = Fαx
mα y¨α = Fαy
mα z¨α = Fαz .
(2.9.27)
Ukoliko znamo sve sile i poˇcetne uslove
(0)
(0)
xα (t = 0) = x(0)
α , yα (t = 0) = yα , zα (t = 0) = zα
(0)
(0)
x˙ α (t = 0) = x˙ (0)
α , y˙ α (t = 0) = y˙ α , z˙α (t = 0) = z˙α
(2.9.28)
onda gornji sistem diferencilanih jednaˇcina ima jedinstveno reˇsenje. Ova jednoznaˇcna evolucija
sistema naziva se principom mehaniˇcke kauzalnosti. Pri reˇsavanju gornjeg sistema diferencijalnih
jednaˇcina javlja se 6N integracionih konstanti koje se odredjuju iz poˇcetnih uslova.
2.10
Reakcije veza. Idealni sistemi
Sile koje se javljaju usled postojanja veza nazivaju se silama reakcije. Kada se telo kre´ce po
strmoj ravni na njega deluju: sila zemljine teˇze mg, sila normalne reakcije podloge i sila trenja.
Sila zemljine teˇze je aktivna sila dok su druge dve posledica toga ˇsto se telo kre´ce po ravni tj.
posledica veze. One su sile reakcije veza. Aktivne sile koje deluju na ˇcesticu su posledica njene
26
CHAPTER 2. NJUTNOVA MEHANIKA
Figure 2.12:
interakcije sa drugim telima, dok su sile reakcije veza sile kojima ’veza deluje’ na ˇcesticu. One
su takodje mera interakcije ˇcestice sa ˇcesticama veze ali nas ne interesuje mikroskopska priroda
ove inteakcije. Sile reakcije veza nisu poznate unapred.
Jednaˇcine kretanja ˇcestica sistema su
mα¨rα = Fα + Rα , α = 1, . . . , N .
(2.10.29)
Sa Fα odnosno sa Rα obeleˇzili smo ukupnu aktivnu silu odnosno silu reakcije veza koje deluju
na ˇcesticu indeksa α.
Sile reakcije mogu biti idealne i neidealne. Idealna sila reakcije koja deluje na ˇcesticu je
normalna na vezu. Normalna reakcija podloge u prethodnom primeru je primer ovakve sile. Sila
zatezanja konca kod matematiˇckog klatna je takodje idealna sila reakcije. Idealni sistemi su
sistemi kod kojih su sve sile reakcije idealne. Neka se ˇcestica kre´ce po povrˇsi f (x, y, z, t) = 0.
Gradijent funkcije f (x, y, z, t) je ortogonalan na povrˇsinu f (x, y, z, t) = 0. Idealna sila reakcije
veze je onda oblika
R(id) = λ∇f ,
gde je λ tzv. Lagranˇzev mnoˇzitelj. U sluˇcaju sistema od N ˇcestica sa k idealnih veza sila reakcije
koja deluje na ˇcesticu indeksa α je
Rα (id) =
k
X
λa ∇α fa .
(2.10.30)
a=1
Drugi Njutnov zakon za idealne sisteme ˇcestica ima oblik
mα¨rα = Fα +
k
X
λa ∇α fa , α = 1, . . . , N .
(2.10.31)
a=1
Ove jednaˇcine nazivaju se jednaˇcinama sa mnoˇziteljima veza.
ˇ
Primer: Cestica
mase m kre´ce se u vertikalnoj ravni u polju zemljine teˇze i spojena je sa
tankim nesistegljivim koncem duˇzine l sa centrom O (slika 2.10). Sastaviti jednaˇcine kretanja i
odrediti mnoˇzitelje i reakcije veza. Neka je v(0) = v0 eϕ i ϕ(t = 0) = 0.
2.10. REAKCIJE VEZA. IDEALNI SISTEMI
27
Reˇsenje: Jednaˇcine veza su
f1 ≡ ρ − l = 0
f2 ≡ z = 0 .
(2.10.32)
∇f1 = eρ
∇f2 = ez .
(2.10.33)
Dalje je
Jednaˇcina kretanja je
ma = mg + λ1 ∇f1 + λ2 ∇f2 .
(2.10.34)
Projektovanjem prethodne jednaˇcine na ose cilindriˇcnog koordinatnog sistema imamo
m(¨
ρ − ρϕ˙ 2 ) = mg cos ϕ + λ1
1d 2
m
(ρ ϕ)
˙ = −mg sin ϕ
ρ dt
m¨
z = λ2 .
(2.10.35)
Diferenciranjem jednaˇcina veza dva puta po vremenu dobijamo ρ¨ = 0 i z¨ = 0 ˇsto zamenom u
jednaˇcine (2.10.35) daje λ2 = 0 i
−mlϕ˙ 2 = mg cos ϕ + λ1
lϕ¨ = −g sin ϕ .
(2.10.36)
Iz druge jednaˇcine uz
ϕ¨ = ϕ˙
imamo
dϕ˙
dϕ
v2
g
g
ϕ˙ 2 = 2 cos ϕ + 20 − 2
l
l
l
odakle sledi
λ1 = −3mg cos ϕ + 2mg −
Sila reakcije veze je
R=
ˇsto je sila zatezanja konca.
− 3mg cos ϕ + 2mg −
(2.10.37)
mv02
.
l
(2.10.38)
mv02 eρ
l
(2.10.39)
28
CHAPTER 2. NJUTNOVA MEHANIKA
Chapter 3
Lagranˇ
zeve jednaˇ
cine kretanja
3.1
Varijacioni raˇ
cun
Realna funkcija realne promenljive y : R → R je preslikavanje iz skupa realnih brojeva u skup
realnih brojeva. Funkcional je preslikavanje iz skupa funkcija u skup R; dakle funkcional svakoj
funkciji pridruˇzuje broj. Neka je f = f (y(x), y 0 (x), x) zadata funkcija koja zavisi od funkcije
y = y(x), njenog prvog izvoda i nezavisno promenljive x. Tada je
Z b
I[y(x)] =
f (y(x), y 0 (x), x)dx
(3.1.1)
a
funkcional koji funkciju y = y(x) preslikava u broj. Zadatak varijacionog raˇcuna je da u skupu
funkcija y = y(x) nadje one za koje funkcional I ima stacionarnu (ekstremnu) vrednost. Uze´cemo
joˇs da su vrednosti funkcija y(x) fiksirane u taˇckama x = a odnosno x = b. Ako na primer
funkcional I ima minimalnu vrednost za funkciju y = y(x) onda je za funkcije koje su u okolini
funkcije y(x) njegova vrednosti ve´ca od te minimalne vrednosti. Sliˇcno se definiˇse i maksimum.
Ako je funkcija y = y(x) extremna funkcija onda funkcija koja je u njenoj okolini
y˜(x) = y(x) + δy(x) ,
(3.1.2)
gde je δy(a) = δy(b) = 0. Obe funkcije su prikazane na slici 3.1. δy(x) je tzv. varijacija funkcije.
Za funkciju y˜(x) kaˇze se da je ”okolna” ili ”varirana”. Varijacija, odnosno odstupanje funkcije
je malo, tj.
|δy|
1.
|y|
Potraˇzimo sada varijaciju funkcionala, δI. Ona je razlika vrednosti funkcionala na variranoj i
pravoj trajktoriji
δI[y] = I[˜
y (x)] − I[y(x)] =
Z b
Z b
0
=
f (˜
y (x), y˜ (x), x)dx −
f (y(x), y 0 (x), x)dx
a
a
gde se zadrˇzavamo na linearnom ˇclanu po δy(x).
29
(3.1.3)
30
CHAPTER 3.
ˇ
ˇ
LAGRANZEVE
JEDNACINE
KRETANJA
Figure 3.1:
Figure 3.2:
ˇ
3.1. VARIJACIONI RACUN
31
Iz (3.1.2) sledi
y˜0 (x) = y 0 (x) +
d
δy(x) .
dx
Razvijaju´ci funkciju f u red imamo
Z
Z b d
0
δI =
f y(x) + δy(x), y (x) +
δy(x), x dx −
f y(x), y (x), x dx
dx
a
a
Z b h
i Z b
∂f
∂f d
0
=
dx f (y(x), y (x), x) +
δy + 0 (δy(x)) −
f (y(x), y 0 (x), x)dx
∂y
∂y
dx
a
a
Z b h
i
∂f
∂f d
=
dx
δy + 0 (δy(x)) .
(3.1.4)
∂y
∂y dx
a
b
Kako je
to je
0
∂f d
d ∂f d ∂f (δy(x))
=
δy
−
δy(x)
∂y 0 dx
dx ∂y 0
dx ∂y 0
(3.1.5)
x=b Z b h ∂f
∂f
d ∂f i
δI = 0 δy(x)
−
δydx .
+
∂y
∂y dx ∂y 0
x=a
a
(3.1.6)
Zbog δy(a) = δy(b) = 0 prvi ˇclan prethodnog izraza je nula pa je
Z
δI =
b
dx
a
∂f
∂y
−
d ∂f δy .
dx ∂y 0
(3.1.7)
Da bi funkcional I = I[y(x)] imao extremum za funkciju y = y(x) potrebno je da δI = 0. Kako
je δy(x) proizvoljno to odavde sledi
∂f
d ∂f −
=0.
∂y dx ∂y 0
Ovo je tzv. Ojlerova jednaˇcina. Ona odredjuje ekstremnu funkciju y = y(x).
Primer: Na´ci najkra´ce rastojanje izmedju dve taˇcke (a,c) i (b,d) u ravni.
Rastojanje l je funkcional
Z bp
l=
1 + y 02 dx
a
Funkcija f je data sa
f=
p
1 + y 02
pa je
∂f
=0
∂y
∂f
y0
p
=
.
∂y 0
1 + y 02
(3.1.8)
(3.1.9)
32
CHAPTER 3.
Ojlerova jednaˇcina je
ˇ
ˇ
LAGRANZEVE
JEDNACINE
KRETANJA
d
y0
p
=0
dx
1 + y 02
odakle sledi
y0
p
=C ,
1 + y 02
√
gde je C konstanta. Iz poslednjeg izraza sledi da je y 0 = C/ 1 − C 2 = A gde je A takodje
konstanta. Iz y 0 = A sledi
y = Ax + B ,
(3.1.10)
dakle najkra´ce rastojanje izmedju dve taˇcke je prava. Konstante A i B odredjuju se iz graniˇcnih
uslova
c−d
c(a − b)
A=
,B =
.
a−b
a(c − d)
3.2
ˇ
Cestica
u polju konzervativne sile
Razmotrimo kretanje slobodne jednodimenzione ˇcestice pod dejstvom konzervativne sile F =
d
− dx
U (x)ex u vremenskom intervalu (ti , tf ). Lagranˇzijan je definisan sa
L=T −U =
mx˙ 2
− U (x) ,
2
(3.2.11)
tj. on je razlika kinetiˇcke i potencijalne energije. Lagranˇzijan zavisi od trajektorije ˇcestice
x = x(t) i njenog prvog izvoda. Definisa´cemo joˇs jednu veliˇcinu, dejstvo sa
Z tf
S=
L(x, x)dt
˙
.
(3.2.12)
ti
Dejstvo je funkcional jer trajektorije preslikava u realne brojeve. Jedna od ovih trajektorija je
prava trajektorija, tj. trajektorija po kojoj se ˇcestica kre´ce. Varijacija dejstva je (infinitezimalna)
razlika dejstva na pravom putu x = x(t) i variranom x˜(t) = x(t) + δx(t) pri ˇcemu je δx(ti ) =
δx(tf ) = 0.
Dejstvo na variranom putu je
S[˜
x(t)] = S[x + δx]
Z tf h
i
d(δx) 2
1 − U (x + δx) .
=
dt m x˙ +
2
dt
ti
Kako je
i
d(δx)
d(δx) 2
= x˙ 2 + 2x˙
+ o(δx2 )
x˙ +
dt
δt
U (x + δx) = U (x) + U 0 (x)δx + o(δx2 )
(3.2.13)
3.3. GENERALISANE KOORDINATE
Z
imamo
tf
S[x + δx] = S[x] +
ti
Varijacija dejstva1 je linearna po δx
Z
δS =
tf
ti
33
d
dt mx˙ (δx) − U 0 (x)δx + o(δx2 ) .
dt
d
dt mx˙ (δx) − U 0 (x)δx .
dt
(3.2.14)
(3.2.15)
Da bi prethodni izraz napisali u obliku
Z
tf
δS =
dt[....]δx
ti
izvrˇsi´cemo parcijalnu integraciju u prvom ˇclanu
Z tf
tf Z tf
d
dt mx˙ (δx) = mxδx
˙ −
dt m¨
xδx .
dt
ti
ti
ti
Prvi sabirak u prethodnom izrazu je nula zbog graniˇcnih uslova pa je varijacija dejstva
Z tf 0
δS =
dt − m¨
x − U (x) δx .
(3.2.16)
ti
Za pravu trajektoriju je m¨
x = −U 0 (x) pa je dejstvo stacionarno tj. δS = 0. Dakle, slobodna ˇcestica u polju konzervativne sile kre´ce se po trajektoriji za koju dejstvo ima stacionarnu
vrednost. Ovo je Hamiltonov princip. U slede´coj lekciji uveˇs´cemo generalisane koordinate a u
narednoj ´cemo generalisati Hamiltonov princip na sisteme sa viˇse stepeni slobode.
3.3
Generalisane koordinate
Neka se sistem sastoji od N ˇcestica i neka je kretanje ˇcestica u sistemu ograniˇceno sa k holonomnih veza
f1 (x1 , y1 , z1 . . . , xN , yN , zN , t) = 0
...
fk (x1 , y1 , z1 . . . , xN , yN , zN , t) = 0 .
(3.3.17)
Zbog postojanja ovih veza 3N Dekartovih koordinata nisu medjusobno nezavisne; njih k moˇzemo
izraziti preko preostalih 3N − k koordinata. Tih 3N − k koordinata je dovoljno da se u svakom
trenutku vremena potpuno opiˇse poloˇzaj svake ˇcestice u sistemu (konfiguracija sistema). Nezavisnih koordinata je n = 3N − k i ovaj broj je broj stepeni slobode sistema. Umesto n Dekartovih
moˇzemo koristiti i neke druge, proizvoljne koordinate, q1 , . . . , qn . Zva´cemo ih generalisanim koordinatama. Kao ˇsto smo rekli, poloˇzaj svake ˇcestice u sistemu moˇze se izraziti preko generalisanih
koordinata i vremena
rα = rα (q1 , . . . , qn , t),
α = 1, . . . , N .
(3.3.18)
1
Preciznije ovo je prva varijacija
34
CHAPTER 3.
ˇ
ˇ
LAGRANZEVE
JEDNACINE
KRETANJA
Figure 3.3: Dvostruko matematiˇcko klatno
Generalisane koordinate nisu jednoznaˇcno odredjene. Ako su veze stacionarne onda se generalisane koordinate mogu izabrati tako da se u izrazu (3.3.18) vreme ne pojavljuje eksplicitno.
Sada ´cemo u primerima iz lekcije ’Prinudno kretanje’ odrediti broj stepeni slobode i izabrati
generalisane koordinate.
U primeru 1. postoji jedna holonomna veza f1 pa je broj stepeni slobode n = 3 − 1 = 2.
Generalisane koordinate su θ, ϕ. U primeru 3. postoje dve holonomne veze pa je broj stepeni
slobode,
n = 3 · 1 − 2 = 1.
Generelisana koordinata je ϕ. Navedimo joˇs jedan primer. To je dvostruko matematiˇcko klatno
prikazano na slici 3.3. Veze su
f1
f2
f3
f4
≡
≡
≡
≡
x21 + y12 − l12 = 0
z1 = 0
z2 = 0
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 − l22 = 0 .
(3.3.19)
pa je broj stepeni slobode n = 3 · 2 − 4 = 2. Za genereralisane koordinate moˇzemo uzeti ϕ1 , ϕ2 .
Za sistem dve ˇcestice koje se nalaze na krajevima krutog ˇstapa duˇzine l broj stepeni slobode
je n = 2 · 3 − 1 = 5.
U holonomnim vezama (3.3.17) Dekartove koordinate se mogu izraziti preko generalisanih
koordinata pa veze onda imaju oblik
fa (q1 , . . . , qn , t) = 0, a = 1, . . . k .
(3.3.20)
f (q1 , . . . , qn , q˙1 , . . . , q˙n ) = 0
(3.3.21)
Veza
je neholonomna jer nema oblik (3.3.20). Recimo na kraju da postoje veze koje zavise od generalisanih brzina a koje nakon integracije postaju holonomne. Ovakve veze se nazivaju pseudoneholonomne. Primer ovakve veze je
xx˙ + y y˙ + z z˙ = 0 .
ˇ
ˇ
3.4. HAMILTONOV PRINCIP. LAGRANZEVE
JEDNACINE.
35
Integracijom gornje jednaˇcine dobijamo holonomnu vezu x2 +y 2 +z 2 = C 2 , gde je C integraciona
konstanta. Da bi veza
n
X
fi (q, t)dqi + g(q, t)dt = 0
(3.3.22)
i=1
bila pseudo-neholonomna potrebno je da je leva strana gornjeg izraza totalni diferencijal.
3.4
Hamiltonov princip. Lagranˇ
zeve jednaˇ
cine.
Neka je broj ˇcestica u sistemu N , a broj holonomnih veza k tada je broj stepeni slobode ovog
sistema n = 3N − k. Kao ˇsto smo rekli poloˇzaj svake ˇcestice u trenutku t je odredjen sa n
koordinata, q1 , . . . , qn
rα = rα (q1 , . . . , qn , t),
α = 1, . . . , N .
(3.4.23)
Prostor dozvoljenih vrednosti generalisanih koordinata je konfiguracioni prostor. Taˇcke u tom
prostoru su (q1 , · · · , qn ) i on je oˇcigledno n−dimenzionalan. Svaka taˇcka u konfiguracionom
prostoru reprezentuje stanje sistema. Poˇsto se ˇcestice mehaniˇckog sistema kre´cu to taˇcka u
konfiguracionom prostoru opisuje krivu koju ´cemo zvati trajektorijom qi = qi (t), i = 1, . . . n.
Ona ne opisuje direktno kretanje svake ˇcestice ponaosob ve´c sistema kao celine. Na osnovu
trajektorije sistema u konfiguracionom prostoru moˇze se reprodukovati kretanje pojedinaˇcnih
ˇcestica.
Razmotrimo kretanje sistema od nekog poˇcetnog trenutka ti do finalnog trenutka tf . Pret(f )
(f )
(i)
(i)
postavimo dalje da je poˇcetna konfiguracija sistema (q1 , · · · , qn ), a finalna (q1 , · · · , qn ).
Postoji beskonaˇcno puno mogu´cih trajektorija u konfiguracionom prostoru po kojima sistem
moˇze da evoluira iz poˇcetne do finalne konfiguracije. Medjutim, samo jedna od ovih trajektorija
zadovoljava jednaˇcine kretanja i ona je prava trajektorija q1 = q1 (t), · · · , qn = qn (t). Varirana
trajektorija je u okolini prave trajektorije
q˜i (t) = qi (t) + δqi (t), i = 1, · · · , n
gde su varijacije δqi (t) male, tj
|δqi (t)|
1.
|qi (t)|
(3.4.24)
(3.4.25)
Koordinate q˜i (t), moraju pripadati skupu dozvoljenih vrednosti koordinata. Na slici 3.4 smo
nacrtali obe trajektorije.
Dejstvo je definisano sa
Z tf
S=
L(q, q,
˙ t)dt
(3.4.26)
ti
gde je L = L(q1 , . . . , qn , q˙1 , . . . , q˙n ) = L(q, q,
˙ t) tzv. Lagranˇzijan. On je funkcija generalisanih koordinata, generalisanih brzina i vremena. Radi jednostavnost nezavisno promenljive lagranˇzijana
pisa´cmo u skra´cenom obliku L = L(q, q,
˙ t) . Ne postoji pravilo po kome se za proizvoljan sistem
definiˇse Lagranˇzijan.
36
CHAPTER 3.
ˇ
ˇ
LAGRANZEVE
JEDNACINE
KRETANJA
Figure 3.4: Prava i varirana trajektorij
Hamiltonov princip koji ´cemo sada prezentovati izdvaja iz skupa trajektorija onu po kojoj
sistem evoluira. Hamiltonov princip glasi: Trajektorija po kojoj se sistem ”kre´ce” u konfiguracionom prostoru je ona za koju je dejstvo stacionarno (bilo maksimum, minimum ili sedlena
taˇcka), tj.
δS = 0 .
(3.4.27)
U ve´cini fiziˇckih primera ekstremum dejstva je minimum a ne maksimum dejstva. Znaju´ci zakon
kretanja
q1 = q1 (t), . . . , qn = qn (t)
primenom (3.4.23) moˇzemo da odredimo kretanje svake ˇcestice u sistemu.
Dejstvo izraˇcunato na okolnoj trajektoriji je
Z tf
d˜
qi
S[˜
qi ] =
dtL(˜
qi ,
, t)
dt
ti
Z tf h
n i
X
∂L d(δqi ) ∂L
+ o((δqi )2 ) ,
δqi +
=
dt L(qi , q˙i , t) +
∂qi
∂ q˙i dt
ti
i=1
gde smo u drugom redu razvili lagranˇzijan oko prave trajektorije. Varijacija dejstva je
δS = S[˜
qi ] − S[qi ]
Z tf X
n ∂L
∂L d(δqi ) =
dt
δqi +
∂qi
∂ q˙i dt
ti
i=1
Z tf X
n h
n
X
∂L
d ∂L i
∂L tf
dt
δqi +
−
δqi
=
∂ q˙i
∂qi dt ∂ q˙i
ti
ti
i=1
i=1
Z tf X
n h
∂L
d ∂L i
=
dt
−
δqi .
∂qi dt ∂ q˙i
ti
i=1
Prvi ˇclan u tre´cem redu je nula jer su varijacije koordinata u poˇcetnom i krajnjem trenutku
vremena jednake nuli, tj. δqi (ti ) = δqi (tf ) = 0 . Po Hamiltonovom principu sistem se kre´ce
ˇ
ˇ
3.4. HAMILTONOV PRINCIP. LAGRANZEVE
JEDNACINE.
37
Figure 3.5:
po trajektoriji za koju je varijacija dejstva jednaka nuli. Kako su poˇcetni, ti i krajnji trenutak,
tf (ti < tf ) proizvoljni sledi
n h
X
∂L
d ∂L i
−
δqi = 0 .
∂q
dt
∂
q
˙
i
i
i=1
Varijacije δqi su nezavisne2 pa na kraju dobijamo
d ∂L ∂L
−
=0,
dt ∂ q˙i
∂qi
i = 1, . . . , n .
(3.4.29)
Ovo su Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja. Dobili smo sistem od n− diferencijalnih jednaˇcina drugog
reda. Da bi ga reˇsili potrebno je da znamo 2n poˇcetnih uslova: qi (ti ), q˙i (ti ) .
Za jednu veliku klasu mehaniˇckih sistema Lagranˇzijan je razlika kinetiˇcke i potencijalne
energije
L(qi , q˙i , t) = T − U .
(3.4.30)
To su sistemi sa potencijalnim silama koji su ili bez veza ili sa idealnim vezama.
Primer: Blok mase M nalazi se na horizontalnoj ravni po kojoj moˇze da se kre´ce bez trenja.
Blok je oprugom konstante elestiˇcnosti k vezan za zid kao na slici. Nominalna duˇzina opruge je
l0 . Za blok je lakim, neistegljivim koncem duˇzine l vezana mala kuglica mase m. Na´ci lagranˇzijan
i sastaviti Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja.
Reˇsenje: Sistem ima dva stepena slobode; za generalisane koordinate uze´cemo x i ϕ. Dekarove
koordinate taˇcke A su
xA = x + l sin ϕ, yA = l cos ϕ .
(3.4.31)
Diferenciranjem po vremenu dobijamo
2
x˙ A = x˙ + l cos ϕϕ˙
y˙ A = −l sin ϕϕ˙
(3.4.32)
A1 δq1 + · · · + An δqn = 0 .
(3.4.28)
Neka je
Medjusobna nezavisnost varijacija δqi znaˇci da moˇzemo izabrati δq1 6= 0, δq2 = . . . δqn = 0 ˇsto zamenom u 3.4.28
daje A1 = 0. Dalje bi uzeli δq2 6= 0, δq1 = δq3 = . . . δqn = 0 ˇsto bi dovelo do A2 = 0, itd. Dakle dobijamo da je
A1 = · · · = An = 0.
38
CHAPTER 3.
ˇ
ˇ
LAGRANZEVE
JEDNACINE
KRETANJA
pa je
vA2 = x˙ 2A + y˙ A2 = x˙ 2 + l2 ϕ˙ 2 + 2lϕ˙ x˙ cos ϕ .
(3.4.33)
Lagranˇzijan sistema je
L=
M x˙ 2 m 2
k
+ (x + l2 ϕ˙ 2 + 2lϕ˙ x˙ cos ϕ) + mg cos ϕ − (x − l0 )2 .
2
2
2
(3.4.34)
Zamenom
∂L
= −k(x − l0 )
∂x
∂L
= (M + m)x˙ + mlϕ˙ cos ϕ
∂ x˙
u
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂ x˙
∂x
(3.4.35)
(3.4.36)
dobijamo Lagranˇzevu jednaˇcinu
(M + m)¨
x + ml
d
(cos ϕϕ)
˙ + k(x − l0 ) = 0 .
dt
(3.4.37)
Analogno zamenom
∂L
= −mlϕ˙ x˙ sin ϕ − mg sin ϕ
∂ϕ
∂L
= ml2 ϕ˙ + mlx˙ cos ϕ
∂ ϕ˙
(3.4.38)
u jednaˇcinu za ϕ dobijamo drugu Lagranˇzevu jednaˇcinu
ml2 ϕ¨ + ml¨
x cos ϕ + mg sin ϕ = 0 .
(3.4.39)
Iz ovog primera vidimo da za nalaˇzenje jednaˇcina kretanja nismo morali da crtamo sile koje
deluju u sistemu kao u Njutnovoj mehanici. Sva informacija o sistemu je sadrˇzana u lagranˇzijanu.
Pored toga u okviru Lagranˇzevog metoda jednostavnije je raditi sa silama reakcija veza, ako su
one idealne naravno. U ovom primeru sile reakcije veze su sila zatezanja konca i sila reakcije
podloge i njih je lako odrediti. Medjutim ako se ˇcestica glatko kre´ce po nekoj zadatoj krivoj
onda nije lako odrediti silu reakcije veze.
Lagranˇzeve jednaˇcine za razliku od Njutnovih vaˇze i u neinercijalnim sistemima. O tome ´ce
biti viˇse reˇci kasnije.
Nejednoznaˇ
cnost lagranˇ
zijana
Lagranˇzijan nije jednoznaˇcno odredjen. Neka je F = F (q, t) funkcija generalisanih koordinata i
vremena. Lagranˇzijanu L = L(q, q,
˙ t) moˇzemo dodati vremenski izvod funkcije F i pri tome oba
lagranˇzijana daju iste jednaˇcine kretanja. Dakle, lagranˇzijan
L0 = L +
dF
dt
ˇ
ˇ
3.5. KOVARIJANTNOST LAGRANZEVIH
JEDNACINA
39
opisuje istu fiziku kao i lagranˇzijan L.
R Jednaˇcine kretanja
R 0 su odredjene stacionarnoˇs´cu dejstva. Potrebno je da pokaˇzemo da iz
δ Ldt = 0 sledi δ L dt = 0 . Ovaj uslov znaˇci da je varijacija dodatnog ˇclana jednaka nuli tj.
Z
tf
δ
ti
n
tf X
∂F tf
dF (t, q) = δF (q(t), t) =
δqi = 0 .
∂qi
ti
ti
i=1
(3.4.40)
Rezultat sledi iz ˇcinjenice da su varijacije koordinata u krajnjim taˇckama jednake su nuli, tj.
δqi (ti ) = δqi (tf ) = 0 . Primetimo da funkcija F ne moˇze da zavisi od genralisanih brzina. Takva
zavisnost bi variranjem dala ˇclanove proporcionalane sa δ q˙i koji nisu jednaki nuli jer varijacija
generalisane brzine na granici nije nula.
3.5
Kovarijantnost Lagranˇ
zevih jednaˇ
cina
Ve´c smo ranije rekli da generalisane koordinate nisu jednoznaˇcno odredjene. Sa koordinata
q1 , . . . , qn moˇzemo pre´ci na nove koordinate Q1 , . . . , Qn . Pokaza´cemo da Lagranˇzeve jednaˇcine
vaˇze u bilo kom sistemu koordinata, tj. one imaju isti oblik u svim koordinatnim sistemima.
Koordinatna transformacija, tj. prelazak na druge koordinate je
Qi = Qi (q1 , . . . , qn , t) , i = 1, . . . n .
(3.5.41)
Pretpostavi´cemo da je ova veza invertibilna. Novi lagranˇzijan, L0 je dobijen iz starog smenom
promenljivih
˙ t) = L(q(Q, t), q(Q,
˙ t), t) .
L0 (Q, Q,
˙
Q,
(3.5.42)
Lagranˇzeve jednaˇcine u Q koordinatama su
d ∂L0 ∂L0
−
=0.
dt ∂ Q˙ i
∂Qi
(3.5.43)
Iz (3.5.42) sledi
X d ∂L ∂ q˙j d ∂L0 =
dt ∂ Q˙ i
dt ∂ q˙j ∂ Q˙ i
j
X d ∂L ∂qj =
dt ∂ q˙j ∂Qi
j
X h ∂L ∂ q˙j
∂qj d ∂L i
+
.
=
∂ q˙j ∂Qi ∂Qi dt ∂ q˙j
j
(3.5.44)
U drugom koraku koristili smo pravilo ’poniˇstenje taˇcaka’
∂qj
∂ q˙j
=
.
˙
∂Qk
∂ Qk
(3.5.45)
40
CHAPTER 3.
Ono se odmah vidi iz
q˙j =
Sliˇcno je
ˇ
ˇ
LAGRANZEVE
JEDNACINE
KRETANJA
X ∂qj
∂qj
Q˙ k +
.
∂Qk
∂t
j
X h ∂L ∂qj
∂L0
∂L ∂ q˙j i
=
+
.
∂Qi
∂qj ∂Qi ∂ q˙j ∂Qi
j
(3.5.46)
(3.5.47)
Oduzimanjem (3.5.44) i (3.5.47) dobijamo
X ∂qj h d ∂L ∂L i
d ∂L0 ∂L0
−
=
−
dt ∂ Q˙ i
∂Qi
∂Q
dt
∂
q
˙
∂qj
i
j
j
(3.5.48)
∂q
Poˇsto je matrica ∂Qji nesingularna to iz Lagranˇzevih jednaˇcina u q koordinatama slede lagranˇzeve jednaˇcine u Q koordinatama. Dakle, Lagranˇzeve jednaˇcine imaju isti oblik u svim
koordinatama, tj. one su kovarijantne.
Kovarijantnost Lagranˇzevih jednaˇcina se moˇze videti iz slede´ce jednostavne analize. Lagranˇzeve jednaˇcine slede iz Hamiltonovog principa koji od svih trajektorija u konfiguracionom
prostoru po kojima sistem moˇze da se kre´ce izdvaja jednu, pravu trajektoriju. Dakle Hamiltonov
princip odredjuje trajektoriju kretanja i zbog toga on je geometrijski princip. Koordinate koje
koristimo da parametrizujemo trajektoriju su proizvoljne.
3.6
Matematiˇ
cko klatno
Kuglica mase m koja se kre´ce u vertikalnoj ravni po krugu polupreˇcnika l u polju Zemljine teˇze je
matematiˇcko klatno, vidi sliku 2.10. Sistem ima jedan stepen slobode, generalisana koordinata
je ϕ. Lagranˇzijan je
ml2 ϕ˙ 2
L=
+ mgl(cos ϕ − 1) .
(3.6.49)
2
Jednaˇcina kretanja se lako dobija iz lagranˇzijana
ϕ¨ +
g
sin ϕ = 0 .
l
(3.6.50)
Dobili smo difrencijalnu jednaˇcinu drugog reda koju ne´cemo reˇsavati ve´c ´cemo po´ci od integrala
kretanja. Naime, gravitaciona sila je konzervativna pa je energija
ml2 ϕ˙ 2
E=
+ mgl(1 − cos ϕ)
2
(3.6.51)
integral kretanja. Preciznije ona je tzv. prvi inegral kretanja jer zavisi od generelisane koordinate
i generalisane brzine, tj. dobijena je jednom integracijom jednaˇcina kretanja. Iz (3.6.51) sledi
s
E 2g ϕ˙ = ±
cos ϕ − 1 +
.
(3.6.52)
l
mgl
ˇ
3.6. MATEMATICKO
KLATNO
41
q
2E
Neka su poˇcetni uslovi dati sa ϕ(t = 0) = 0 i ϕ(t
˙ = 0) = ml
ce
2 . Ukoliko je E < 2mgl klatno ´
se najviˇse otkloniti za ugao ϕ0 , kada je kinetiˇcka energija jednaka nuli pa je
E = mgl(1 − cos ϕ0 ) .
(3.6.53)
U ovom sluˇcaju kretanje klatna je periodiˇcno i kuglica se kre´ce u intervalu uglova −ϕ0 ≤ ϕ ≤ ϕ0 .
Ovakvo kretanje se naziva libracijom ili oscilovanjem. Iz (3.6.52) sledi
r
2g
ϕ˙ = ±
(cos ϕ − cos ϕ0 ) .
(3.6.54)
l
Period kretanja klatna obeleˇzi´cemo sa T . Za t = T /4 je ϕ = ϕ0 pa je
s Z
Z T /4
ϕ0
l
dϕ
√
=
dt
2g 0
cos ϕ − cos ϕ0
0
s
odnosno
T =4
l
2g
Z
ϕ0
√
0
dϕ
.
cos ϕ − cos ϕ0
(3.6.55)
(3.6.56)
Smenom sin ϕ2 = sin ϕ20 sin θ = k sin θ gornji integral postaje
Z
π/2
T =4
0
p
dθ
1 − k 2 sin2 θ
.
Gornji integral se ne moˇze izraziti preko elementarnih funkcija. On je
s
l
T =4
K(k) ,
g
(3.6.57)
(3.6.58)
gde je K(k) tzv. eliptiˇcki integral prve vrste.
Ukoliko je k 2 1 gornju podintegralnu funkciju moˇzemo razloˇziti u red
p
1
1 − k 2 sin2 θ
=1+
3
k2
sin2 θ + k 4 sin4 θ + . . .
2
8
i inegraliti ˇclan po ˇclan. Tako dobijamo da je period oscilovanja dat sa
s
11 4
1
l
1 + ϕ20 +
ϕ0 + . . . .
T = 2π
g
16
3072
(3.6.59)
(3.6.60)
Period oscilovanja zavisi od amplitude θ0 i naravno od duˇzine klatna. U najniˇzoj aproksimaciji
θ0 ≈ 0 dobijamo poznat rezultat za period oscilovanja klatna
s
l
T = 2π
.
(3.6.61)
g
42
ˇ
ˇ
LAGRANZEVE
JEDNACINE
KRETANJA
CHAPTER 3.
Ukoliko je E > 2mgl ugao ϕ raste neograniˇceno, klatno opisuje krug za krugom. Ovakvo
kretanje se zove ’rotacija’. Graniˇcni sluˇcaj izmedju prethodna dva, kada je E = 2mgl, je tre´ci
tip kretanja klatna. Klatno ´ce uspeti da dostigne poloˇzaj ϕ = π ali mu za to treba beskonaˇcno
puno vremena jer se kre´ce sve sporije i sporije. Za E = 2mgl jednaˇcina (3.6.54) postaje
r
dϕ
g
=2
dt .
(3.6.62)
l
cos ϕ2
Primenom
Z
π x
dx
= − ln tan
−
cos x
4
2
uz poˇcetni uslov ϕ(t = 0) = 0 dobijamo
√g ϕ = π − 4 arctan e− l t .
(3.6.63)
(3.6.64)
Kretanje je asimptotsko, ˇcestica taˇcku ϕ = π dostiˇze za beskonaˇcno vreme.
3.7
Virtuelna pomeranja i virtuelni rad
Kao ˇsto smo rekli poloˇzaj svake ˇcestice u sistemu, rα , (α = 1, . . . , N ) jednoznaˇcno je odredjen
sa generealisanim koordinatama:
rα = rα (q1 , . . . , qn , t) .
(3.7.65)
Pri prelasku sa jedne trajektorije q1 (t), . . . , qn (t) na variranu
q1 (t) + δq1 (t), . . . , qn (t) + δqn (t)
vektor poloˇzaja ˇcestice, rα promeni se za
δrα = rα (q1 + δq1 , . . . , qn + δqn , t) − rα (q1 , . . . , qn , t) .
(3.7.66)
Pri varijaciji vektora poloˇzaja oba radijus vektora sa desne strane izraza (3.7.66) su u istom
trenutku vremena. Lako se vidi da je
δrα =
n
X
∂rα
i=1
∂qi
δqi .
(3.7.67)
Varijacije vektora poloˇzaja ˇcestica nazivaju se joˇs i virtuelnim pomeranjima. To su proizvoljne,
infinitezimalne promene poloˇzaja ˇcestica sistema koje su u skladu sa vezama. Virtuelna pomeranja se razlikuju od stvarne promene poloˇzaja ˇcestica
drα = ra (t + dt) − rα (t)
n
X
∂rα
∂rα
dqi +
dt
=
∂q
∂t
i
i=1
= vα (t)dt .
(3.7.68)
3.7. VIRTUELNA POMERANJA I VIRTUELNI RAD
43
Stvarno pomeranje drα izvrˇseno je u vremenskom intervalu (t, t + dt), dok je pri virtuelnim
pomeranjima vreme fiksirano (zamrznuto). Ukoliko je pomeranje ˇcestice indeksa α izvrˇseno
za vreme dt ali drα 6= vα dt takvo pomeranje se naziva mogu´cim. Ako su veze stacionarne
onda se generalisane koordinate mogu tako izabrati da se u zakonu (3.3.18) vreme ne pojavljuje
eksplicitno. U tom sluˇcaju virtuelna pomeranja se poklapaju sa mogu´cim.
Rad sila u sistema na virtuelnim pomeranjima ˇcestica definiˇse se analogno radu na stvarnim
pomeranjima
N
X
δA =
Fα · δrα .
(3.7.69)
α=1
Pokaza´cemo da je rad idealnih sila reakcije na virtuelnim pomeranjima jednak nuli. To se vidi
direktno:
δA =
=
=
N
X
R(id)
α · δrα
α=1
N X
k
X
α=1 a=1
N X
k
X
λa ∇α fa · δrα
λa ∇α fa ·
n
X
∂rα
α=1 a=1
i=1
∂qi
δqi .
(3.7.70)
Primenili smo izraze (2.10.30) i (3.7.67). Ako dalje iskoristimo
N
X
∇α fa
α=1
∂rα
∂fa
=
∂qi
∂qi
(3.7.71)
dobijamo
δA =
=
n X
k
X
i=1 a=1
k
X
λa
∂fa
δqi
∂qi
λa δfa .
(3.7.72)
a=1
ˇ
Jednaˇcine veza fa = 0 daju δfa = 0. Dakle δA = 0 . Cesto
se za definiciju idealnih sila
reakcije uzima upravo ovaj uslov. Naime sile reakcije su idealne ako je njihov rad na virtuelnim
pomeranjima jednak nuli, tj. ukoliko je
N
X
α=1
R(id)
α · δrα = 0 .
(3.7.73)
44
3.8
CHAPTER 3.
ˇ
ˇ
LAGRANZEVE
JEDNACINE
KRETANJA
Lagranˇ
zeve jednaˇ
cine za sisteme sa nepotencijalnim
silama
U ovoj lekciji izveˇs´cemo Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja kada su u sistemu prisutne nepotencijalne
sile. Takodje pretpostavi´cemo da pored idealnih reakcija imamo i neidealne.
Definiˇsimo funkcional I sa
Z tf
Z tf X
N
mα vα2
dtT =
dt
(3.8.74)
I=
2
ti
ti
α=1
koja je kao ˇsto vidimo integral kinetiˇcke energije. Potraˇzimo varijaciju ove veliˇcine, tj. infinitezimalnu promenu pri prelasku sa jedne trajektoriju na drugu koja je u njenoj okolini:
Z tf X
Z tf X
N
N
˜ α2
mα v
mα vα2
δI =
dt
−
dt
2
2
ti
ti
α=1
α=1
Z tf X
N
1 2
2
=
dt
mα (vα + δvα ) − vα
2
ti
α=1
Z tf X
N
(3.8.75)
=
dt
mα r˙ α δ r˙ α .
ti
α=1
˜ α = vα + δvα obeleˇzili smo brzinu ˇcestice indeksa α na variranoj trajektoriji. U (3.8.75)
Sa v
koristili smo
dr d
α
δvα = δ
= (δrα ) ,
(3.8.76)
dt
dt
tj. da varijacija i vremenski izvod komutiraju. Pokaˇzimo to. Diferenciranjem po vremenu izraza
(3.7.65) dobijamo brzinu ˇcestice indeksa α
vα =
n
X
∂rα
i=1
∂qi
q˙i +
∂rα
.
∂t
(3.8.77)
Varijacija brzine je
n h ∂r X
∂rα ∂rα i
α
δ
q˙i +
δ q˙i + δ
∂qi
∂qi
∂t
i=1
X ∂rα
X ∂ 2 rα
X ∂ 2 rα
q˙i δqj +
δ(q˙i ) +
δqi .
=
∂qj ∂qi
∂qi
∂t∂qi
i
i
ij
δvα =
(3.8.78)
Sa druge strane je
d X ∂rα d
(δrα ) =
δqi
dt
dt i ∂qi
X ∂ 2 rα
X ∂rα
X ∂ 2 rα
=
q˙i δqj +
δ(q˙i ) +
δqi .
∂q
∂q
∂q
∂t∂q
j
i
i
i
ij
i
i
(3.8.79)
ˇ
ˇ
3.8. LAGRANZEVE
JEDNACINE
ZA SISTEME SA NEPOTENCIJALNIM SILAMA
45
Ovim smo pokazali (3.8.76). Primenom parcijalne integracije izraz za varijaciju δI postaje
Z
tf
δI =
dt
ti
Z
tf
= −
N
X
mα
α=1
N
X
dt
ti
Z
tf
= −
dt
ti
d
dt
r˙ α · δrα − ¨rα · δrα
mα¨rα · δrα +
α=1
N X
N
X
tf
mα r˙ α δrα ti
α=1
(Fα + Rα ) · δrα .
α=1
Drugi sabirak u drugom redu je jednak nuli. U narednom redu primenili smo drugi Njutnov
zakon. Podintegralni izraz u poslednjem redu je rad aktivnih sila i sila reakcije koje deluju u
sistemu na virtuelnim pomeranjima
N
X
δA =
(Fα + Rα ) · δrα
(3.8.80)
α=1
koji se uz (3.7.67) moˇze transformisati u
δA =
=
N
X
α=1
n
X
(Fα + Rα ) ·
n
X
∂rα
ι=1
∂qi
δqi
(Qi + Ri )δqi ,
(3.8.81)
i=1
gde smo uveli generalisane aktivne sile sa
Qi =
N
X
Fα ·
∂rα
∂qi
(3.8.82)
Rα ·
∂rα
.
∂qi
(3.8.83)
α=1
i analogno generalisane sile reakcije
Ri =
N
X
α=1
Dakle,
Z
δI = −
tf
dt
ti
n
X
(Qi + Ri )δqi .
(3.8.84)
i=1
Sa druge strane poˇsto je kinetiˇcka energija funkcija generalisanih koordinata, generalisanih brzina
i vremena to je, po analogiji sa variranjem dejstva, varijacija funkcionala I data sa
Z tf X
n h
d ∂T i
∂T
−
δqi .
(3.8.85)
δI =
dt
∂qi dt ∂ q˙i
ti
i=1
46
CHAPTER 3.
ˇ
ˇ
LAGRANZEVE
JEDNACINE
KRETANJA
Izjednaˇcavaju´ci (3.8.84) sa (3.8.85) dobijamo
Z tf X
n h
i
∂T
d ∂T dt
−
+ Qi + Ri δqi = 0 .
∂qi dt ∂ q˙i
ti
i=1
Kako su varijacije δqi nezavisne to dobijamo
d ∂T ∂T
−
= Qi + Ri .
dt ∂ q˙i
∂qi
(3.8.86)
(3.8.87)
Ovo su Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja.
Aktivne sile u sistemu se mogu podeliti na potencijalne i nepotencijalne
.
= −∇α U + F(np)
+ F(np)
Fα = F(pot)
α
α
α
(3.8.88)
Generalisana aktivna sila je
Qi =
N X
− ∇α U +
F(np)
α
α=1
= −
∂r
α
·
∂qi
∂U
(np)
+ Qi .
∂qi
(3.8.89)
(id)
(neid)
. Rad idealnih sila na vituelnim
Sile reakcije su suma idealnih i neidealnih sila Rα = Rα +Rα
pomeranjima je jednak nuli.
Zamenjuju´ci izraze za generalisane sile u (3.8.87) dobijamo
d ∂L? ∂L?
(np)
−
= Qi + R(neid)
,
(3.8.90)
ι
dt ∂ q˙i
∂qi
gde je
L? = T − U .
(3.8.91)
Ova veliˇcina nije Lagranˇzijan sistema. Dobili smo Lagranˇzeve jednaˇcine za holonomne sisteme
kod kojih pored potencijalnih postoje i nepotencijalne sile interakcije.
Primer: Telo osciluje na opruzi konstante elastiˇcnosti k i nalazi se u viskoznoj teˇcnosti. Sila
otpora je F = −bv gde je b konstanta.
Sistem ima jedan stepen slobode. Funkcija L? 3 je
L? = T − U
mx˙ 2 kx2
=
−
.
2
2
(3.8.92)
Generalisana nepotencijalna sila je
Q = −bx˙
(3.8.93)
m¨
x = −kx − bx˙ .
(3.8.94)
pa je jednaˇcina kretanja
3
Ovo nije Lagranˇzijan sistema.
3.9. GENERALISANO POTENCIJALNE SILE
3.9
47
Generalisano potencijalne sile
Generalisano potencijalne sile su vaˇzan sluˇcaj nepotencijalnih sila. Za silu ´cemo re´ci da je
generalisano potencijalna ako je
d ∂U ∂U
Qi =
−
,
(3.9.95)
dt ∂ q˙i
∂qi
gde je U = U (qi , q˙i , t) generalisani potencijal. Zamenom (3.9.95) u (3.8.87) dobijamo
d ∂L ∂L
−
=0,
dt ∂ q˙i
∂qi
(3.9.96)
gde je L = T − U . Lorencova sila F = q(E + v × B) je primer generalisano potencijalne sile.
Generalisani potencijal je
U = qφ(t, r) − qv · A(t, r) ,
(3.9.97)
gde su φ i A potencijali elektromagnetnog polja. Podsetimo se da su polja odredjena sa
∂A
− ∇φ
∂t
B = rotA .
E = −
Nadjimo sada
d ∂U ∂U
−
.
dt ∂ x˙
∂x
(3.9.98)
(3.9.99)
Lako se vidi da je
∂U
∂x
∂U
∂ x˙
Dalje je
Fx = −q
Koriste´ci
= q
∂A
∂φ
∂Ay
∂Az x
− q vx
+ vy
+ vz
∂x
∂x
∂x
∂x
= −qAx
∂A
∂φ
∂Ay
∂Az dAx
x
−q
+ q vx
+ vy
+ vz
.
dt
∂x
∂x
∂x
∂x
dAx
∂Ax
∂Ax
∂Ax
∂Ax
=
+ vx
+ vy
+ vz
dt
∂t
∂x
∂y
∂z
(3.9.100)
(3.9.101)
dobijamo
∂A
∂φ x
Fx = q −
−
∂t
∂x
∂A
∂A
∂Ax ∂Ax z
y
−
+ qvz
−
+ qvy
∂x
∂y
∂x
∂z
= qEx + q(vy (rotB)z − vz (rotB)y )
= qEx + q(v × B)x .
Sliˇcno vaˇzi i za y i z komponentu.
(3.9.102)
48
3.10
CHAPTER 3.
ˇ
ˇ
LAGRANZEVE
JEDNACINE
KRETANJA
Lagranˇ
zeve jednaˇ
cine sa mnoˇ
ziteljima veza
Razmatrajmo sistem od N ˇcestica sa konzervativnim silama i idealnim reakcijama veza. Ve´c
smo rekli da je lagranˇzijan takvog sistema L = T − U . On je funkcija nezavisnih generalisanih
koordinata q1 , . . . , qn i generalisanih brzina q˙1 , . . . , q˙n . Jednaˇcine kretanja smo dobili iz uslova
stacionarnosti dejstva (3.4.26). Koordinate q1 , . . . , qn su nezavisne generalisane koordinate pa
holonomne veze koje postoje u sistemu nisu od znaˇcaja jer smo eliminisali zavisne koordinate.
Medjutim, ˇcesto je poˇzeljno da koristimo sve koordinate q1 , . . . , q3N , a ne samo podskup nezavisnih generalisanih koordinata. To je korisno u situaciji kada ho´cemo da simetriju sistema ’vidimo’
ekspilicitno.
Lagranˇzijan ´cemo napisati kao funkciju svih 3N koordinata i odgovaraju´cih brzina. Varijacija
dejstva je
Z tf X
3N h
d ∂L i
∂L
δS =
dt
−
δqi = 0.
(3.10.103)
∂qi dt ∂ q˙i
ti
i=1
Primetimo da se sumiranje po indeksu i u prethodnoj formuli vrˇsi od 1 do 3N . Iz Hamiltonovog
principa, δS = 0 sledi
3N h
X
∂L
d ∂L i
−
δqi = 0
(3.10.104)
∂q
dt
∂
q
˙
i
i
i=1
ali iz prethodnog izraza ne moˇzemo da zakljuˇcimo da su izrazi u velikoj zagradi jednak nuli jer
varijacije δqi nisi nezavisne; k njih su zavisne od preostalih n = 3N − k. Treba da izvrˇsimo
variranje dejstva ali uz uslove, a to su jednaˇcine veza fa (q, t) = 0 u teoriji. Problem je analogan
problemu u matematiˇckoj analizi kada odredjujemo ekstremum funkcije viˇse promenljivih F =
F (x, y, z) ali uz neki zadat uslov G(x, y, z) = 0.
Jasno je da je variranjem veza dobijamo
δfa =
3N
X
∂fa
i=1
∂qi
δqi = 0 .
(3.10.105)
Mnoˇze´ci prethodni izraz sa neodredjenim Lagranˇzevim mnoˇziteljima λa = λa (t) i sumiranjem
po a = 1, . . . , k dobijamo
k X
3N
X
∂fa
λa
δqi = 0 .
(3.10.106)
∂q
i
a=1 i=1
Sabiranjem (3.10.104) i (3.10.106) dobijamo
3N h
X
∂L
i=1
∂qi
d ∂L X ∂fa i
+
λa
δqi = 0.
dt ∂ q˙i
∂q
i
a=1
k
−
(3.10.107)
Varijacije koordinata δqi , i = 1, . . . , 3N podeli´cemo u dva skupa: nezavisne varijacije koordinata
δqi , . . . , δqn kojih ima n i preostalih k zavisnih varijacija δqn+1 , . . . , δq3N . Mnoˇzitelja ima k, isto
onoliko koliko ima zavisnih koordinata. Njih ´cemo odredti iz zahteva da su izrazi u zagradama
u (3.10.107) uz zavisne varijacije koordinata jednaki nuli. Onda su preostale samo nezavisne
ˇ
ˇ
ˇ
3.10. LAGRANZEVE
JEDNACINE
SA MNOZITELJIMA
VEZA
49
varijacije koordinata. Izrazi u zagradama koji mnoˇze varijacija nezavisnih koordinata su jednaki
nuli. Dakle u svakom sluˇcaju dobijamo
d ∂L ∂L X ∂fa
−
=
.
λa
dt ∂ q˙i
∂qi
∂q
i
a=1
k
(3.10.108)
Jednaˇcine (3.10.108) su Lagranˇzeve jednaˇcine sa mnoˇziteljima veza. Izraz na desnoj strani
jednaˇcine (3.10.108) oznaˇci´cemo sa Ri , tj.
Ri =
k
X
λa
a=1
∂fa
.
∂qi
(3.10.109)
To su generalisane sile reakcije holonomnih veza.
Gornju proceduru moˇzemo pojednostaviti na slede´ci naˇcin. Uvedimo modifikovani lagranˇzijan
˜ =L+
L
k
X
λa fa ,
(3.10.110)
a=1
P
gde smo obiˇcnom lagranˇzijanu dodali ˇclan sa mnoˇziteljima veza ka=1 λa fa . Odgovaraju´ce dejstvo
je
Z t2 h
k
i
X
S=
L(q, q,
˙ t) +
λa fa (q) dt .
(3.10.111)
t1
a=1
gde generalisane koordinate qi , i = 1, . . . , 3N i mnoˇzitelje veza tretiramo kao nezavisne varijable.
Variracija modifikovanog dejstva (3.10.111) je
Z
t2
δS =
t1
k
k
3N i
hX
X
d ∂L X ∂fa ∂L
−
+
λa
δqi +
fa δλa .
dt
∂qi dt ∂ q˙i
∂qi
a=1
a=1
i=1
(3.10.112)
Hamiltonov princip δS = 0 daje slede´ce jednaˇcine
3N h
X
∂L
i=1
∂qi
d ∂L X ∂fa i
+
λa
δqi = 0 ,
dt ∂ q˙i
∂q
i
a=1
k
−
fa = 0, a = 1, . . . , k .
(3.10.113)
(3.10.114)
Prva jednaˇcina je ista kao (3.10.107), dok naredne jednaˇcine su jednaˇcine veza. Primenjuju´ci
logiku opisanu u prvom delu ove lekcije iz prve jednaˇcine (3.10.113) dobijamo Lagranˇzeve
jednaˇcine sa mnoˇziteljima veza (3.10.108).
Vratimo se ponovo na primer iz lekcije o idealnim reakcijama. Kao ˇsto smo rekli veze su
f1 = ρ − l = 0 i f2 = z = 0. Modifikovani lagranˇzijan je
˜ = 1 m(ρ˙ 2 + ρ2 ϕ˙ 2 + z˙ 2 ) + mgρ cos ϕ + λ1 f1 + λ2 f2 .
L
2
(3.10.115)
50
ˇ
ˇ
LAGRANZEVE
JEDNACINE
KRETANJA
CHAPTER 3.
Variranjem po ρ, ϕ, z dobijamo jednaˇcine
m¨
ρ − mρϕ˙ 2 − mg cos ϕ = λ1
d 2 m
ρ ϕ˙ + mgρ sin ϕ = 0
dt
m¨
z = λ2 .
(3.10.116)
Variranje po mnoˇziteljima daje jednaˇcine veza ρ = l i z = 0. Iste jednaˇcine dobili smo ranije
kada smo lagranˇzeve jednaˇcine sa mnoˇziteljima veza izeli vektorskim metodom. Prednost nad
vektorskim metodom je oˇcigledna.
ˇ
ˇ
Primer 2: Cestica
mase m kre´ce se bez trenja po paraboloidu z = Aρ2 . Cestica
se nalazi u
gravitacionom polju g = −ge3 . Na´ce jednaˇcine kretanja ˇcestice i reakcije veza.
3.11
Kinetiˇ
cka energija sistema ˇ
cestica u nezavisnim generalisanim koordinatama
Razmatramo holonomansistem od N ˇcestica. Diferenciranjem (3.3.18) po vremenu dobijamo
brzinu ˇcestice indeksa α
n
∂rα X ∂rα
vα = r˙ α =
+
q˙i .
(3.11.117)
∂t
∂q
i
i=1
Zamenom gornjeg izraza u kinetiˇcku energija sistema ˇcestica
1X
T =
mα r˙ 2α
2 α=1
N
(3.11.118)
dobijamo
∂r
X ∂rα 2
1X
α
T =
mα
+
q˙i
2 α=1
∂t
∂qi
i=1
N
n
n
N
N
∂r 2 X
X
1X
∂rα ∂rα
α
mα
+
q˙i
mα
=
2 α=1
∂t
∂t ∂qi
α=1
i=1
n
N
X
1X
∂rα ∂rα
.
+
q˙i q˙j
mα
2 i=1
∂qi ∂qj
α=1
(3.11.119)
Ovaj izraz ´cemo prepisati u obliku
T = T0 +
X
i
Ni q˙i +
1X
Mij q˙i q˙j ,
2 ij
(3.11.120)
ˇ
ˇ
3.11. KINETICKA
ENERGIJA SISTEMA CESTICA
U NEZAVISNIM GENERALISANIM KOORDINATAMA
gde je
∂r 2
1X
α
=
mα
2 α=1
∂t
N
T0
Ni =
Mij =
N
X
α=1
N
X
α=1
mα
∂rα ∂rα
∂t ∂qi
mα
∂rα ∂rα
.
∂qi ∂qj
(3.11.121)
Iz (3.11.120) vidimo da je kinetiˇcka energija kvadratna funkcija po generalisanim brzinama. Prvi
ˇclan u (3.11.120) je konstantan, drugi linearan a tre´ci kvadratiˇcan po generealisanim brzinama.
Ako su veze u sistemu stacionarne generalisane koordinate se mogu izabrati tako da je ∂r∂tα = 0,
pa u izrazu za kinetiˇcku energiju preostaje samo kvadratni ˇclan
T =
1X
Mij q˙i q˙j .
2 ij
Matrica Mij = Mij (q) se ˇcesto nazva maesnom matricom.
(3.11.122)
52
CHAPTER 3.
ˇ
ˇ
LAGRANZEVE
JEDNACINE
KRETANJA
Chapter 4
Zakoni odrˇ
zanja i simetrija
4.1
Izotropnost i homogenost prostora; Zakon odrˇ
zanja
impulsa i momenta impulsa
Razmatra´cemo sistem ˇcestica bez veza koji je izolovan i uze´cemo da su sile u sistemu konzervativne. Za generalisane koordinate izabra´cemo dekartove koordinate: x1 , y1 , z1 , . . . , zN . Lagranˇzijan za ovakav sistem je
1X
1X
Uαβ (|rα − rβ |) ,
L=
mα r˙ 2α −
2 α=1
2 αβ
N
(4.1.1)
gde je Uαβ potencijalna energija interakcije ˇcestica indeksa α i β. Lagranˇzeve jednaˇcine su
d ∂L ∂L
−
=0.
dt ∂vα
∂rα
(4.1.2)
Generalisani impuls pi konjugovan (pridruˇzen) koordinati qi je definisan sa
pi =
∂L
.
∂ q˙i
(4.1.3)
Generalisani impulsi se u opˇstem sluˇcaju ne poklapaju sa obiˇcnim impulsima; ˇcak ne moraju
imati dimenziju impulsa. U naˇsem sluˇcaju, kada su generalisane koordinate dekartove generalisani impulsi
∂L
= mα vα
(4.1.4)
pα =
∂ r˙ α
se poklapaju sa obiˇcnim implusima.
U inercijalnim izolovanim sistemima prostor je homogen i izotropan. Homogenost prostora
znaˇci da su sve taˇcke u prostoru ravnopravne. Ceo sistem moˇzemo translirati za proizvoljan
vektor a da se pri tome dinamika sistema ne promeni. Dakle, homogenost prostora je invarijantnost na prostorne translacije. Sistem vezan za disk koji rotira oko svoje ose je neinercijalni.
U njemu prostor nije homogen, tj. taˇcke prostora nisu ravnopravne. Ako stavimo malo telo u
53
ˇ
CHAPTER 4. ZAKONI ODRZANJA
I SIMETRIJA
54
centar diska sa nultom poˇcetnom brzinom telo ´ce mirovati. Ukoliko isto telo stavimo na nekom
rastojanju od ose rotacije opet sa nultom poˇcetnom brzinom telo ´ce poˇceti da se kre´ce (uz uslov
da je centrifugalna sila ve´ca od sile trenja). Ovakav prostor je nehomogen.
Prvo ´cemo analizirati translacije. Pri infinitezimalnim translacijama za radijus vektor
ˇcestice sa indeksom α prelazi u r0α prema
rα → r0α = rα + .
(4.1.5)
Poˇsto je konstantan vektor to je brzina ˇcestice nepromenjena vα0 = vα .
Invarijantnost teorije na neke transformacije znaˇci da je dejstvo nepromenjeno pri tim transformacijama. Medjutim, u ovoj i narednoj lekciji dovoljno je da posmatramo samo lagranˇzijan,
jer mera integracije dt je nepromenjena.
Sada ´cemo eksplicitno proveriti invarijantnost lagranˇzijana (4.1.1) pri translacijama. Ve´c
smo rekli da se brzina ˇcestica ne menja pri translacijama, pa je kinetiˇcka energija nepromenjena.
Dalje se lako vidi da je
|r0α − r0β | = |rα + − rβ − | = |rα − rβ |
pa je i potencijalna energija invarijantna pri translacijama. Dakle lagranˇzijan (4.1.1) jeste
translaciono invarijantan.
Generalno promena Lagranˇzijana L(rα , vα , t) pri infinitezimalnoj translaciji (4.1.5) je
δL = L(rα + , vα , t) − L(rα , vα , t)
X ∂L
= ·
∂rα
α
d X ∂L = ·
dt α ∂vα
d X
mα vα
= ·
dt α
= ·
dP
.
dt
(4.1.6)
Lagraˇzijan smo razvili po infinitezimalno malom parametru i primenili Lagranˇzeve jednaˇcine
kretanja (4.1.2). Na kraju smo dobili ukupni impuls sistema pod vremenskim izvodom. Ve´c smo
rekli da je promena lagranˇzijana (4.1.1) jednaka nuli, δL = 0 pa kako je konstantan proizvoljan
vektor to je
dP
= 0 ⇒ P = const.
(4.1.7)
dt
Ovo je zakon odrˇzanja impulsa. Odrˇzanje impulsa sistema je posledica translacione simetrije
Lagranˇzijana. Naglasimo joˇs jednom da odrˇzanje impulsa vaˇzi u inercijalnim sistemima koji su
izolovani.
Ako su svi pravci u sistemu ravnopravni prostor je izotropan. Preciznije, ako zatvoren (izolovan) sistem zarotiramo oko bilo koje ose za proizvoljan ugao dinamika sistema se ne´ce promeni;
kaˇzemo da je sistem invarijantan na rotacije.
ˇ
4.1. IZOTROPNOST I HOMOGENOST PROSTORA; ZAKON ODRZANJA
IMPULSA I MOMENTA IMPULS
Figure 4.1:
Pri rotaciji za mali konstantan ugao δϕ = δϕn, gde je n ort, vektor rα prelazi u
rα → r0α = rα + δrα
= rα + δϕ × rα .
(4.1.8)
Intenzitet vektora δrα je δϕ|rα | sin θ, gde je θ ugao izmedju verktora rα i n. Diferenciranjem
(4.1.8) po vremenu dobijamo zakon transformacije brzine ˇcestice pri rotacijama
vα → vα + δϕ × vα .
(4.1.9)
Sada ´cemo na´ci promenu Lagranˇzijana:
δL = L(rα + δϕ × rα , vα + δϕ × vα , t) − L(rα , vα , t)
N h
X
∂L
∂L i
=
(δϕ × rα ) ·
+ (δϕ × vα ) ·
∂rα
∂vα
α=1
= δϕ ·
= δϕ ·
N X
α=1
N X
α=1
rα ×
∂L ∂L
+ vα ×
∂rα
∂vα
d ∂L ∂L + vα ×
rα ×
dt ∂vα
∂vα
d X
∂L rα ×
= δϕ ·
dt α=1
∂vα
(4.1.10)
d X
= δϕ ·
ra × pα
dt α=1
(4.1.11)
N
N
= δϕ ·
dL
,
dt
(4.1.12)
gde smo u tre´cem redu koristili osobinu cikliˇcnosti kod meˇsovitog proizvoda, u narednom Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja. Na kraju vidimo da je promena lagranˇzijana proporcionalna izvodu
momenta impulsa sistema po vremenu.
56
ˇ
CHAPTER 4. ZAKONI ODRZANJA
I SIMETRIJA
Lagranˇzijan (4.1.2) jeste rotaciono invarijantan. Rastojanje izmedju taˇcaka u kojima su
ˇcestice indeksa α i β je nepromenjeno pri rotacijama:
|rα0 − r0β | = |rα − rβ + δϕ × (rα − rβ )|
q
=
|rα − rβ |2 + (δϕ × (rα − rβ )) · (rα − rβ )
= |rα − rβ |
(4.1.13)
jer je drugi ˇclan pod korenom u drugom redu jednak nuli. Odavde sledi da se potencijalna energija
ne menja pri rotacijama. Dalje vidimo da se kvadrat brzine ˇcestica ne manja pri rotacijama:
vα02 = (vα + δϕ × vα )2
= vα2 + 2vα · (δϕ × vα )
= vα2 .
(4.1.14)
Onda je kinetiˇcka energija invarijantna na rotacije. Ovim smo pokazali da je lagranˇzijan (4.1.1)
rotaciono invarijantan, tj. da je δL = 0. Ponovimo joˇs jednom da smo razmatrali infinitezimalne
rotacije, tj. zadˇzavali smo samo linearne ˇclanove po malom uglu rotacije.
Rotaciona invarijantnost lagranˇzijana znaˇci da je
dL
=0,
dt
(4.1.15)
tj. moment impulsa sistema je integral kretanja. Dobili smo zakon odrˇzanja momenta impulsa
sistema. Da rezimiramo: Impuls i moment impulsa su veliˇcine koje su oˇcuvane pri prostornim
translacijama odnosno rotacijama sistema.
4.2
Homogenost vremena i zakon odrˇ
zanja energije
Vremenska translacija je transformacija oblika
t → t + δt ,
(4.2.16)
gde je δt konstanta. Izraˇcunajmo promenu lagranˇzijana L(q, q,
˙ t) holonomnog sistema pri vremenskoj translaciji za δt:
δL = L(q, q,
˙ t + δt) − L(q, q,
˙ t)
∂L
= δt
.
∂t
(4.2.17)
Invarijantnost znaˇci da je δL = 0 odnosno
∂L
=0.
∂t
(4.2.18)
Dakle, ako Lagranˇzijan eksplicitno ne zavisi od vremena dinamika sistema se ne menja pri
vremenskim translacijama za δt. Kaˇzemo da je sistem invarijantan na vremenske translacije,
ˇ
4.2. HOMOGENOST VREMENA I ZAKON ODRZANJA
ENERGIJE
57
tj. one su simetrija sistema, odnosno vreme je homogeno u takvim sistemima. Diferenciranjem
Lagranˇzijana po vremenu, uz uslov (4.2.18) dobijamo
n X
dL
∂L
∂L =
q˙i +
q¨i
dt
∂q
∂
q
˙
i
i
i=1
n X
d ∂L ∂L =
q˙i +
q¨i
dt ∂ q˙i
∂ q˙i
i=1
n
d X ∂L =
q˙i
dt i=1 ∂ q˙i
n
d X
pi q˙i
=
dt i=1
(4.2.19)
Primenili smo Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja i definiciju generalisanog impulsa. Iz poslednje
relacije vidimo da je
d X
pi q˙i − L = 0.
dt i=1
n
(4.2.20)
Veliˇcina u zagradi
E=
n
X
pi q˙i − L
(4.2.21)
i=1
je integral (konstanta) kretanja. Ona se naziva generalisanom energijom ili funkcijom energije.
Vidimo da je oˇcuvana samo ako Lagranˇzijan ne zavisi eksplicitno od vremena.
Dalje ´cemo uzeti da je sistem idealan i da su sile konzervativne. Lagranˇzijan je
L = T − U (q) .
(4.2.22)
Ako su veze stacionarne tada je kinetiˇcka energija
T =
1X
Mij q˙i q˙j .
2 ij
(4.2.23)
ˇ
CHAPTER 4. ZAKONI ODRZANJA
I SIMETRIJA
58
Generalisani impulsi su1
∂L
∂T
=
∂ q˙k
∂ q˙k
n
∂ q˙
1X
∂ q˙j i
=
Mij
q˙j +
q˙i
2 i,j=1
∂ q˙k
∂ q˙k
pk =
n
1X
=
Mij δik q˙j + δjk q˙i
2 i,j=1
1 X
Mki + Mik q˙i .
=
2 i=1
n
Iz Mij = Mji sledi
pk =
X
Mki q˙i
(4.2.25)
(4.2.26)
i
pa je generalisana energija
E =
=
=
n
X
i=1
n
X
pi q˙i − L
Aij q˙i q˙j −
i,j=1
n
X
n
1X
Aij q˙i q˙j + U
2 i,j=1
1
Aij q˙i q˙j + U
2 i,j=1
= T +U =E
(4.2.27)
Generalisana energija se poklapa sa ukupnom mehaniˇckom energijom E ukoliko su veze stacionarne, holonomne i idealne a sile u sistemu konzervativne.
Svi zakoni odrˇzanja su posledica neke simetrije.
Primer: Kuglica mase m moˇze da se kre´ce bez trenja po kruˇznom ramu od ˇzice radijusa R. Ram
je postavljen vertikalno i rotira konstantnom ugaonom brzinom ω oko vertikalne ose. Odrediti
generealisanu energiju kuglice i pokazati da se ona ne poklapa sa mehaniˇckom energijom.
Reˇsenje: Kretanje kuglice je odredjeno sa dve veze r = R i ϕ = ωt. Druga veza je nestacionarna.
Generalisana koordinata je sferni ugao θ. Lagranˇzijan je
m 2 ˙2
2 2
2
(4.2.28)
L=
R θ + R ω sin θ − mgR cos θ .
2
Generalisani impuls je
∂L
pθ =
(4.2.29)
= mR2 θ˙ .
∂ θ˙
1
Kronekerova delta je definisana sa
(
1, za i = j
δij =
0, za i 6= j .
(4.2.24)
ˇ
4.3. *NETERINA TEOREMA U ANALITICKOJ
MEHANICI
59
Generalisana energija je
E = pθ θ˙ − L
m 2 ˙2
=
R θ − R2 ω 2 sin2 θ + mgR cos θ .
2
Mehaniˇcka energija kuglice je
E=
m 2 ˙2
R θ + R2 ω 2 sin2 θ + mgR cos θ
2
(4.2.30)
(4.2.31)
i ona se ne poklapa sa generalisanom energijom jer u sistemu postoji nestacionarna veza. Generalisana energija je integral kretanja, dok ukupna mehaniˇcka energija to nije.
4.3
*Neterina teorema u analitiˇ
ckoj mehanici
U ovoj lekciji ´cemo generalnije ispitati svojstva simetrije mehaniˇckih sistema. Sistem je opisan
lagranˇzijanom odnosno dejstvom
Z t2
S=
L(q(t), q(t),
˙
t)dt .
(4.3.32)
t1
Ispitivanje simetrije sistema svodi se na ispitivanje ponaˇsanja dejstva pri transformacijama
simetrije. Pri kontinulanim2 transformacijama generalisane koordinate i vreme prelaze u nove,
primovane koordinate i vreme prema t → t0 (t), qi (t) → qi0 (t0 ). Mi ´cemo se ograniˇciti na infinitezimalne transformacije:
t → t0 = t + δt(t)
qi (t) → qi0 (t0 ) = qi (t) + δqi (t) .
(4.3.33)
Sa δt(t) oznaˇcili smo infinitezimalnu promenu vremena koja moˇze da zavisi od t, a sa δqi (t)
promene generalisanih koordinata.
Potraˇzimo promenu dejstva pri transformacijama (4.3.33). Dejstvo se menja zbog promene
koordinata i vremena. Takodje granice integracije se menjaju. Donja granica integracije nakon
smene postaje t01 = t0 (t1 ) odnosno infinitezimalno t01 = t1 + δt(t1 ). Sliˇcno vaˇzi i za gornju granicu
integracije. Promenu dejstva obeleˇzi´cemo sa δS i ona je razlika dejstva posle i pre transformacije:
δS = S 0 − S
Z
Z t02
0 0
0 0
0
0
L(q (t ), q˙ (t ), t )dt −
=
t01
t2
L(q(t), q(t),
˙
t)dt .
(4.3.34)
t1
U novom dejstvu S 0 napravi´cemo smenu promenljive: sa integracije po t0 pre´ci´cemo na integraciju
po t. Jasno je da je
d(δt) (4.3.35)
dt0 = dt 1 +
dt
2
Transformacije mogu biti neprekidne (kontinualne) i diskretne.
ˇ
CHAPTER 4. ZAKONI ODRZANJA
I SIMETRIJA
60
kao i da je
L(q 0 (t0 ), q˙0 (t0 ), t0 ) = L(q 0 (t + δt), q˙0 (t + δt), t + δt)
dL(q 0 (t), q˙0 (t), t)
= L(q 0 (t), q˙0 (t), t) +
δt
dt
dL(q(t), q(t),
˙
t)
= L(q 0 (t), q˙0 (t), t) +
δt .
dt
(4.3.36)
Pri prelazu iz drugog u tre´ci red uklonili smo primove na koordinatama i brzinama od kojih
zavisi lagranˇzijan u drugom sabirku jer radimo u prvom redu po malim veliˇcinama. Taj ˇclan je
infinitezimalno mala veliˇcina prvog reda zbog δt. Transformisano dejstvo je
S
0
Z
d(δt) dL dt 1 +
δt
L(q 0 (t), q˙0 (t), t) +
dt
dt
t1
Z t2 d(Lδt) 0
0
=
dt L(q (t), q˙ (t), t) +
,
dt
t1
t2
=
(4.3.37)
s taˇcnoˇs´cu do prvog reda po malim veliˇcinama.
Ako uvedemo varijaciju forme koordinata sa
δ0 qi (t) = qi0 (t) − qi (t)
onda je
L(q 0 (t), q˙0 (t), t) = L(q(t), q(t),
˙
t) +
X ∂L
i
Primenom Lagranˇzevih jednaˇcina
∂qi
δ0 qi +
X ∂L dqi .
δ0
∂
q
˙
dt
i
i
∂L
d ∂L =
∂qi
dt ∂ q˙i
imamo
L(q 0 (t), q˙0 (t), t) = L(q(t), q(t),
˙
t) +
(4.3.38)
(4.3.39)
d X ∂L
δ0 qi
dt i ∂ q˙i
(4.3.40)
Prema tome infinitezimalna promena dejstva je
Z
t2
δS =
t1
i
hd
d X ∂L
(Lδt) +
δ0 qi
dt
dt
dt i ∂ q˙i
(4.3.41)
odnosno
Z
i
X ∂L
dh
Lδt +
δ0 qi
dt
∂ q˙i
t1
i
h
it2
X ∂L
= Lδt +
δ0 qi .
∂ q˙i
t1
i
δS =
t2
dt
(4.3.42)
ˇ
4.3. *NETERINA TEOREMA U ANALITICKOJ
MEHANICI
61
Ako se dejstvo ne menja pri transformacijama (4.3.33), tj. ako je δS = 0 onda kaˇzemo da su te
transformacije simetrija naˇseg modela. Onda iz (4.3.42) sledi da je veliˇcina
Q = Lδt +
X ∂L
i
∂ q˙i
δ0 qi
(4.3.43)
konstanta kretanja. Dakle, svaka kontinualna transformacija na koju je dejstvo invarijantno daje
veliˇcine koje su konstante kretanja. Ovaj iskaz je Neterina teorema.
Varijacija forme koordinate δ0 qi (t) je povezana sa totalnom varijacijom koordinate δqi (t).
Lako se vidi
δqi (t) =
=
=
=
qi0 (t0 ) − qi (t)
qi0 (t0 ) − qi (t0 ) + qi (t0 ) − qi (t)
δ0 qi (t0 ) + qi (t + δt) − qi (t)
δ0 qi (t) + δtq˙i (t) .
(4.3.44)
Gornja formula je taˇcna u linearnom redu po varijacijama δt i δqi , zato je δ0 qi (t0 ) = δ0 qi (t).
Generalnije, dejstvo je invarijantno ukoliko je promena lagranˇzijana izvod po vremenu neke
funkcije
Z t2
t2
dδF
δS =
= δF .
(4.3.45)
dt
dt
t1
t1
Promena dejstva, tj. δF se nalazi eksplicitno zamenom transformacije (4.3.33) u dejstvo. Ako
je δF 6= 0 onda je veliˇcina
X ∂L
Q = Lδt +
δ0 qi − δF
(4.3.46)
∂
q
˙
i
i
konstanta kretanja.
Primer 1. Vremenske translacije su definisane sa
t0 = t + τ
qi0 (t0 ) = qi (t) ,
(4.3.47)
gde je τ konstanta. Ako Lagranˇzijan ne zavisi ekspicitno od vremena onda je
δS = 0 ,
tj. δF = 0. Iz δqi (t) = 0 sledi δ0 qi (t) = −τ q˙i (t). Oˇcuvana veliˇcina prema (4.3.46) je
X
X ∂L
Q = Lτ −
q˙i
τ = −τ
pi q˙i − L .
∂ q˙i
i
i
(4.3.48)
(4.3.49)
Konstantu −τ moˇzemo ignorisati pa je oˇcuvana veliˇcina generalisana energija.
Primer 2. Lagranˇzijan slobodnog izolovanog sistema ˇcestica koje intereaguju centralnim konzervativnim silama je
N
N
1 X
1X
L=
mα r˙ 2α −
Vαβ (|rα − rβ |) .
(4.3.50)
2 α=1
2 αβ=1
ˇ
CHAPTER 4. ZAKONI ODRZANJA
I SIMETRIJA
62
On je invarijantan na rotacije
t0 = t
r0α = rα + δθ × rα .
(4.3.51)
Opet je δF = 0. Oˇcuvana veliˇcina je
N
N
X
X
∂L
δ0 r α =
mα r˙ α · (δθ × rα )
˙
∂
r
α
α=1
α
= δθ ·
N
X
mα rα × r˙ α
α
= δθ · L .
(4.3.52)
Ugao rotacije δθ je konstantan pa je moment impulsa L konstanta kretanja. Rotaciona simetrija
daje moment impulsa kao oˇcuvanu veliˇcinu.
Primer 3. Pokazati da je Lagranˇzijan iz Primera 2 invarijantan na translacije
t0 = t
r0α = rα + ,
(4.3.53)
gde je konstantan vektor i da je ˇcuvana veliˇcina impuls sistema.
Primer 4. Ispitati da li je model iz Primera 2 invarijantan na Galilejev bust. Pokaˇzite da je
veliˇcina mrc − tP konstanta kretanja.
Galilejev bust je zadat sa
t0 = t
r0α = rα − δVt .
(4.3.54)
Uzeli smo da je brzina δV kojom se kre´ce sistem S 0 infinitezimalano mala. Promena dejstva je
Z
i
h1 X
1X
Uαβ (|rα − rβ |)
δS =
dt
mα (˙rα − δV)2 −
2 α
2 αβ
Z
h1 X
i
1X
−
dt
Uαβ (|rα − rβ |)
mα r˙ 2α −
2 α
2 αβ
Z
X
= − dt
mα r˙ α · δV
Z
=
α
dt
d
dt
−
X
mα rα · δV .
(4.3.55)
α
U gornjoj formuli promenu dejstva smo naˇsli u linarnom redu po brzini δV. Vidimo da je
promena dejstva integral od izvoda veliˇcine
X
δF = −
mα rα · δV
(4.3.56)
α
ˇ
4.3. *NETERINA TEOREMA U ANALITICKOJ
MEHANICI
63
po vremenu. Dakle Galilejev bust je transformacija simetrije naˇseg dejstva. Dalje je δt = 0 i
δrα = −δVt pa je
N
N
X
X
∂L
Q =
δ0 rα +
mα rα · δV
˙
∂
r
α
α=1
α=1
= −
=
N
X
mα r˙ α · δVt +
mrc − tP · δV
α=1
N
X
mα rα · δV
α=1
(4.3.57)
integral kretanja. Kako je δV proizvoljno to je veliˇcina mrc − tP konstanta kretanja.
U prethodna ˇcetiri primera analizirali smo vremenske translacije, rotacije, prostorne translacije
i bustove. Ove transformacije ˇcine Galilejeve transformacije. Vidimo da zbog invarijantnosti
dejstva na Galilejeve transformacija energija, impuls, moment impulsa i veliˇcina mrc − tP su
konstante kretanja.
Primer5. Lagranˇzijan ˇcestice u gravitacionom polju je
1
L = m(x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) − mgz .
2
(4.3.58)
Pokazati da je ovaj Lagranˇzijan nije invarijantan na proizvoljne translacije
x → x + 1
y → y + 2
z → z + 3 ,
(4.3.59)
ali da jeste invarijantan na translacije u xy ravni, tj. kad je 3 = 0.
Dakle, ako imate nepoznat sistem i ˇzelite da vidite ˇsta mu je energija, impuls ili momont impulsa
potrebno je da pogledate njegovo ponaˇsanje pri vremenskim translacijama, prostornoj translaciji
i rotacijama. Sliˇcno vaˇzi i za druge veliˇcine.
64
ˇ
CHAPTER 4. ZAKONI ODRZANJA
I SIMETRIJA
Chapter 5
Male oscilacije
Razmatra´cemo idealne holonomne sisteme ˇcestica sa stacionarnim vezama i uze´cemo da su sile u
sistemu konzervativne. Generalisane koordinate su q1 , . . . , qn . Intuitivno je jasno da je mehaniˇcki
sistem u ravnoteˇzi ukoliko proizvoljno dugo ostaje u toj inicijalnoj konfiguraciji. Preciznije, kon(0)
(0)
figuracija (q1 , . . . , qn ) je ravnoteˇzna ukoliko sistem proizvoljno dugo ostaje u toj konfiguraciji
poˇsto ga u poˇcetnom trenutku postavimo u tu konfiguraciju i ukoliko su poˇcetne generalisane
brzine jednake nuli. Dakle, ako su poˇcetni uslovi
(0)
qi (t = 0) = qi , q˙i (t = 0) = 0
(5.0.1)
onda su jednaˇcine kretanja ravnoteˇzne konfiguracije
(0)
qi (t) = qi
.
(5.0.2)
ˇ
Cestice
u ravnoteˇznoj konfiguraciji miruju.
Kako su veze u sistemu stacionarne to kinetiˇcka energija sadrˇzi samo kvadratan ˇclan po
generalisanim brzinama pa je lagranˇzijan ovakvih sistema
L=
1X
Mij q˙i q˙j − U (q1 , . . . qn ) .
2 ij
(5.0.3)
Lako se vidi da
n
∂L
1 X ∂Mij
∂U
=
q˙i q˙j −
∂ql
2 i,j=1 ∂ql
∂ql
n
X
∂L
=
Mlj q˙j
∂ q˙l
j=1
(5.0.4)
pa Lagranˇzeve jednaˇcine imaju oblik
n
X
j=1
Mlj q¨j +
n
X
∂Mlj
j=1
∂qk
q˙k q˙j −
n
1 X ∂Mij
∂U
q˙i q˙j +
=0.
2 i,j=1 ∂ql
∂ql
65
(5.0.5)
66
CHAPTER 5. MALE OSCILACIJE
U ravnoteˇznoj konfiguraciji vaˇzi (5.0.2) ˇsto zamenom u jednaˇcine kretanja daje
∂U =0.
∂ql 0
(5.0.6)
Dakle, ako vaˇze prethodni uslovi (za svako l = 1, . . . , n) konfiguracija (5.0.2) je ravnoteˇzna. Iz
(5.0.6) vidimo da su sve generalisane sile u ravnoteˇznoj konfiguraciji jednake nuli.
(0)
(0)
U ravnoteˇznoj konfiguraciji (q1 , . . . , qn ) potencijalna energija moˇze imati minimuim, maksimumu ili sedlenu taˇcku. Ukoliko ravnoteˇzna konfiguracija odgovara minimumu potencijala onda
kad malo izvedemo sistem iz ravnoteˇze on ´ce da ostane u okolini ove ravnoteˇzne konfiguracije.
Za ovakvu ravnoteˇzu kaˇzemo da je stabilna. Sa druge strane ako je je ravnoteˇzna konfiguracija
maksimum ili sedlena taˇcka potencijla sistem ´ce mo´ci da predje u konfiguraciju koja je daleko
od poloˇzaja ravnoteˇze. U ovom sluˇcaju radi se o nestabilnoj ravnoteˇzi. Ovo razmatranje je
posledica zakona odrˇzanja energije. Sistem moˇze da se nadje samo u onoj oblasti potencijala
koji je ispod nivoa energije.
Moˇzemo da zakljuˇcimo da ako potencijalna energija U (q1 , . . . , qn ) ima minimum u taˇcki
(0)
(0)
(q1 , . . . , qn ) onda je ta taˇcka stabilna ravnoteˇzna konfiguracija. Ovaj iskaz je poznat pod
imenom Leˇzan-Diriˇsleova teorema.
Potencijalna energija klatna mase m i duˇzine l je U = mgl(1 − cos ϕ). Stacionarne taˇcke
potencijala se dobijaju iz
∂U
= mgl sin ϕ = 0 .
(5.0.7)
∂ϕ
Konfiguracije ϕ = 0 i ϕ = π su ravnoteˇzne. U ϕ = 0 potencijalna energija ima minimum pa je
ona stabilna. Za ϕ = π ravnoteˇza je nestabilna.
5.1
Jednaˇ
cine kretanja
U ovoj lekciji analizira´cemo kretanje sistema oko poloˇzaja stabilne ravnoteˇze. Uveˇs´cemo smenu
koordinata
(0)
qi (t) = qi + ηi (t) ,
(5.1.8)
gde su ηi mala odstupanja od stabilnog ravnoteˇznog poloˇzaja. Zadatak nam je da linearizujemo
teoriju po malim odstupanjima na nivou jednaˇcina kretanja. To znaˇci da lagranˇzijan treba da
razvijemo do kvadratnog ˇclana po malim odstupanjima. Potencijalnu energiju i koeficijente Mij
´cemo razviti u red oko ravnoteˇzne konfiguracije
(0)
U (q1 , . . . , qn ) = U (q1 , . . . , qn(0) ) +
(0)
n
1 X ∂ 2 U ∂U η
+
l
ηi ηj + O(η 3 )
∂ql 0
2 i,j=1 ∂qi ∂qj 0
Mij (q1 , . . . , qn ) = Mij (q1 , . . . , qn(0) ) + O(η) ≡ mij + O(η),
(5.1.9)
Prvi ˇclan u razvoju potencijalne energije je konstanta koju ´cemo odbaciti jer ne utiˇce na jednaˇcine
kretnja, drugi je nula zbog uslova (5.0.6). U tre´cem ˇclanu koeficijente ´cemo obeleˇziti sa kij =
ˇ
5.1. JEDNACINE
KRETANJA
67
∂2U ∂qi ∂qj 0
. Jasno je da je mij = mji i kij = kji . Lagranˇzijan u ovoj aproksimaciji onda postaje
n
1 X
L=
mij η˙ i η˙ j − kij ηi ηj .
2 i,j=1
(5.1.10)
Parcijalni izvodi lagranˇzijana po generalisanim brzinama su
n
∂L
1 X
∂ η˙ i
∂ η˙ j =
mij
η˙ j + mij
η˙ i
∂ η˙ l
2 i,j=1
∂ η˙ l
∂ η˙ l
=
n
1 X
mij δil η˙ j + mij δjl η˙ i
2 i,j=1
=
X
1 X
mlj η˙ j +
mjl η˙ j
2 j=1
j=1
n
=
n
X
n
mjl η˙ j .
(5.1.11)
j=1
Sliˇcno je i
n
X
∂L
=−
kjl ηj .
∂ηl
j=1
Zamenom (5.1.11) i (5.1.12) u Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂ η˙ l
∂ηl
dobijamo jednaˇcine
n X
mlj η¨j + klj ηj = 0,
l = 1, . . . , n.
(5.1.12)
(5.1.13)
(5.1.14)
j=1
Pretpostavimo reˇsenje prethodnih jednaˇcina u obliku
ηj = Aj cos(ωt + ϕ) ,
(5.1.15)
gde je ω frekvenca a Aj su amplitude. Zamenom u jednaˇcine kretanja dobijamo sistem homogenih
jednaˇcina po amplitudama
n
X
(−mlj ω 2 + klj )Aj = 0 .
(5.1.16)
j=1
Da bi ovaj sistem imao netrivijalna reˇsenja potrebno je i dovoljno da mu determinanta bude
jednaka nuli, tj.
k11 − ω 2 m11 . . . k1n − ω 2 m1n =0.
(5.1.17)
2
2
kn1 − ω mn1 . . . knn − ω mnn 68
CHAPTER 5. MALE OSCILACIJE
Leva strana prethodne jednaˇcine je polinom n−tog stepena po ω 2 . Nule tog polinoma su karakteristiˇcne frekvence ω1 , . . . , ωn . Iz fiziˇckih razloga je jasno da su one realne. Partikularno reˇsenje
(5.1.15) opisuje oscilatorno kretanje sistema kao celine sa frekvencom ω. Sada smo videli da
postoji n mogu´cih frekvenci. Za frekvencu ωk partikularno reˇsenje je
(k)
ηj
(k)
= Aj cos(ωk t + ϕk ) .
(k)
Amplitude Aj , j = 1, . . . , n za fiksnu frekvencu ωk nisu medjusobno nezavisne. Njihov odnos
se dobija zamenom frekvence u homogen sistem jednaˇcina (5.1.16).
Prema tome opˇste reˇsenje jednaˇcina kretanja je superpozicija partikularnih reˇsenja
ηi =
n
X
(k)
Ck Ai cos(ωk t + ϕk ) .
(5.1.18)
k=1
Ako uvedemo tzv. normalne koordinate (mode) sa
Qk = Ck cos(ωk t + ϕk )
onda imamo
ηi =
n
X
(k)
Ai Qk .
(5.1.19)
(5.1.20)
k=1
Male oscilacije idealnog holonomnog sistema sa stacionarnim vezama i konzervativnim silama oko
poloˇzaja stabilne ravnoteˇze predstavljaju superpoziciju ˇcisto harmonijskog oscilovanja sistema
kao celine. Normalne koordinate zadovoljavaju slede´ce jednaˇcine
¨ k + ω 2 Qk = 0 , k = 1, . . . , n .
Q
k
(5.1.21)
Vidimo da su ove jednaˇcine dekuplovane. Dakle, polazni sistem u pogodno izabranim generalisanim koordinatama smo predstavili kao sistem neintereaguju´cih oscilatora. Kasnije ´cemo
pokazati da se lagranˇzijan moˇze prepisati kao zbir lagranˇzijana harmonijskih oscilatora bez medjusobne interakcije
n
1X
L=
(αi Q˙ 2i − βi Q2i ) .
(5.1.22)
2 i=1
5.2
Primer
Dve ˇcestice masa m vezane su sa oprugama konstanti elastiˇcnosti k i nominalne duˇzine l kao na
slici. Na´ci sopstvene frekvence oscilovanja.
Sistem ima dva stepena slobode. Generalisane koordinate su x1 i x2 . Potencijalna energija
je
1
1
1
(5.2.23)
U = kx21 + k(x2 − x1 )2 + kx22
2
2
2
5.2. PRIMER
69
Figure 5.1:
pa je lagranˇzijan
L = T −U
1
1
1
1
1
=
mx˙ 21 + mx˙ 22 − kx21 − k(x2 − x1 )2 − kx22 .
2
2
2
2
2
(5.2.24)
Iz lagranˇzijana vidimo da je on zbir lagranˇzijana dva slobodna oscilatora ali da postoji i interakcioni ˇclan, kx2 x1 . Iz
∂U
= 0
∂x1
∂U
= 0.
∂x2
(5.2.25)
sledi da je taˇcka x1 = x2 = 0 ravnoteˇzni poloˇzaj. Jednaˇcine kretanja su
m¨
x1 + 2kx1 − kx2 = 0
m¨
x2 + 2kx2 − kx1 = 0 .
(5.2.26)
Zamenom
x1 = A1 cos(ωt + ϕ)
x2 = A2 cos(ωt + ϕ)
(5.2.27)
u jednaˇcine kretanja dobijamo homogen sistem
(−mω 2 + 2k)A1 − kA2 = 0
−kA1 + (−mω 2 + 2k)A2 = 0 .
Iz
−mω 2 + 2k
−k
=0.
2
−k
−mω + 2k sledi da su karakteristiˇcne frekvence
ω1 =
r
3k
, ω2 =
m
r
k
.
m
(5.2.28)
(5.2.29)
(5.2.30)
70
CHAPTER 5. MALE OSCILACIJE
Za ω = ω1 iz (5.2.29) sledi
(1)
(1)
A1 = −A2 = A
dok za ω = ω2 sledi
(2)
(2)
(5.2.31)
A1 = A2 = B .
(5.2.32)
x1 = AC1 cos(ω1 t + ϕ1 ) + BC2 cos(ω2 t + ϕ2 )
x2 = −AC1 cos(ω1 t + ϕ1 ) + BC2 cos(ω2 t + ϕ2 )
(5.2.33)
x1 = AQ1 + BQ2
x2 = −AQ1 + BQ2 ,
(5.2.34)
Opˇste reˇsenje je
odnosno
gde su Qi normalne koordinate. Kretanje sistema kao celine je superpozicija dva oscilatorna
kretanja: jednog sa frekvencom ω1 (ˇcestice osciluju sa suprotnom fazom) i ω2 (ˇcestice oscuiluju
u fazi). Ako izaberemo A = B = √12 onda se preostale konstante C1 , C2 , ϕ1 , ϕ2 odredjuju iz
poˇcetnih uslova. Ako ove vrednosti za A i B zamenimo u (5.2.34) lagranˇzijan (5.2.24) postaje
1
k
1
L = mQ˙ 21 + mQ˙ 22 − (3Q21 + Q22 ) .
2
2
2
(5.2.35)
Vidimo da je on zbir lagranˇzijana dva slobodna oscilatora (bez interakcionog ˇclana).
5.3
Normalne mode i svojstveni problem
Ve´c smo naglasili da lagranˇzijan (5.1.10) sadrˇzi meˇsovite ˇclanave. Pokaˇzimo sada da je mogu´ce
smenom koordinata tj. prelaskom na normalne koordinate dovesti ovaj lagranˇzijan u oblik gde
su meˇsoviti ˇclanovi odsutni.
Obeleˇzimo matrice ˇciji su elementi mij odnosno kij sa M odnosno K. Lagranˇzijan (5.1.10)
postaje
1
1
L = η˙ T M η˙ − η T Kη ,
(5.3.36)
2
2
gde je η = (η1 , . . . , ηn )T . Kako je M simetriˇcna matrica to ´cemo je ortogonalnom matricom
S dijagonalizovati S T Md S = M . Dijagonalnu matricu smo obeleˇzili sa Md . Kinetiˇcki ˇclan u
lagranˇzijanu postaje
1
1
1
˙ T Md (S η)
˙ = x˙ T Md x˙ ,
(5.3.37)
T = η˙ T M η˙ = (S η)
2
2
2
gde smo uveli nove koordinata x = Sη. Matrica Md ima nenegativne realne brojeve na dijagonali
jer je kinetiˇcka energija sistema nenegativna. To znaˇci da postoji
√ kvadratni koren iz matrice Md .
Zato moˇzemo uvesti nove generalisane koordinate y sa y = Md x u kojima kinetiˇcka energija
ima prost oblik
n
1 T
1X 2
T = y˙ y˙ =
(5.3.38)
y˙ .
2
2 i=1 i
ˇ
5.4. LONGITUDINALNE OSCILACIJE LANCA TACKASTIH
MASA
Veza izmedju η i y koordinata je y =
71
√
Md Sη . Pri ovoj smeni koordinata potencijal postaje
p
p
1
1
U = η T Kη = y T ( Md )−1 SKS −1 ( Md )−1 y .
(5.3.39)
2
2
√
√
Matrica M = ( Md )−1 SKS −1 ( Md )−1 je simetriˇcna pa je moˇzemo dijagonalizovati ortogonalnom matricom R: Vd = RMRT . Matrica Vd ima nenulte elemente samo na dijagonali. Potencijal
postaje
1
1
1
U = y T RT Vd Ry = (Ry)T Vd (Ry) = QT Vd Q ,
(5.3.40)
2
2
2
√
gde smo uveli nove koordinate Q = Ry = R Md Sη . Poslednja ortogonalna transformacija R
deluje trivijalno u kinetiˇckom ˇclanu. Dakle na kraju smo dobili
1 ˙T ˙ 1 T
Q Q − Q Vd Q
2
2
n
1 X ˙2
=
Qi − ωi2 Q2i .
2 i=1
L =
(5.3.41)
Lagranˇzijan je suma medjusobno neintereaguju´cih lagranˇzijana harmonijskih oscilatora; Qi su
normalne koordinate.
U primeru oscilovanja dve taˇckaste mase matrice koeficijenata u lagranˇzijanu su
m 0
M=
(5.3.42)
0 m
2k −k
.
(5.3.43)
K=
−k 2k
Masena matrica M je dijagonalna pa je S = I; matrica M je
2k
k
−m
m
M=
.
k
2k
−m
m
Svojstvene vrednosi ove matrice su ω12 =
5.4
3k
m
i ω22 =
(5.3.44)
k
.
m
Longitudinalne oscilacije lanca taˇ
ckastih masa
Neka je N taˇckastih ˇcestica masa m spojeno oprugama konstanti elastiˇcnosti k kao na slici 5.4.
Pretpostavimo da je rastojanje izmedju susednih ˇcestica a i neka su tada opruge nedeformisane.
Sa ηi obeleˇzi´cemo odstupanje i− ˇcestice od poloˇzaja ravnoteˇze. Lagranˇzijan ovakvog sistema je
1 X 2 1X
η˙ i −
L= m
k(ηi+1 − ηi )2 .
2 i=0
2 i=0
N
N
(5.4.45)
Uzeli smo η0 = ηN +1 = 0, ˇsto su graniˇcni uslovi. Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja se lako
dobijaju
m¨
ηl + k(2ηl − ηl+1 − ηl−1 ) = 0, l = 0, . . . , N + 1 .
(5.4.46)
72
CHAPTER 5. MALE OSCILACIJE
Figure 5.2: Lanac taˇckastih masa
Reˇsenje prethodnog sistema jednaˇcina pretpostavi´cemo u obliku
ηl = Al cos(ωt + ϕ) .
(5.4.47)
Zamenom (5.4.47) u sistem jednaˇcina (5.4.46) dobijamo
2−
mω 2 Al − Al+1 − Al−1 = 0 .
k
(5.4.48)
Dobili smo sistem homogenih linearnih jednaˇcina za amplitude. Jedan naˇcin da nadjemo karakteristiˇcne frekvence je da nadjemo determinantu ovog sistema jednaˇcina i da je izjednaˇcimo sa
nulom. Medjutim mi ´cemo krenuti drugim putem. Reˇsenje jednaˇcina (5.4.48) traˇzi´cemo u obliku
Al = Aei(lθ−δ) ,
(5.4.49)
gde su A, θ i δ realne neodredjene konstante. Zamenom u (5.4.48) dobijamo
mω 2 = 2 cos θ
2−
k
(5.4.50)
odakle je
4k
θ
sin2 .
(5.4.51)
m
2
takodje partikularno reˇsenje jednaˇcina (5.4.48) . Dakle
ω2 =
Odmah vidimo da je i Be−i(lθ+δ)
Al = Aei(lθ−δ) + Be−i(lθ+δ)
(5.4.52)
je opˇste reˇsenje za amplitude Al . Graniˇcni uslov A0 = 0 daje B = −A, dok uslov AN +1 = 0 daje
sin(N + 1)θ = 0 odnosno
nπ
θn =
.
(5.4.53)
N +1
U prethodnoj formuli indeks n bi mogao da bude bilo koji ceo broj. Mi ´cemo uzeti n = 1, . . . , N
jer za n = N + 1, N + 2, . . . ne dobijamo nove uslove. Karakteristiˇcne frekvence oscilovanja su
r
nπ k
sin
.
(5.4.54)
ωn = 2
m
2(N + 1)
Indeks n prebrojava modove oscilovanja; vidimo da postoji N modova oscilovanja. Uzimanjem
δ = π/2 partikularno reˇsenje za amplitudu Al je dato sa
lnπ (n)
.
(5.4.55)
Al = 2A sin
N +1
ˇ
5.4. LONGITUDINALNE OSCILACIJE LANCA TACKASTIH
MASA
73
Opˇste reˇsenje jednaˇcina kretanja je
ηl =
N
X
A(n) sin
n=1
lnπ cos(ωn t + ϕn ) ,
N +1
(5.4.56)
gde se amlitude A(n) i faze ϕn odredjuju iz 2n poˇcetnih uslova.
Kontinulani limes. Talasna jednaˇ
cina
Uzmimo sada da je broj ˇcestica u lancu veliki, tj. N → ∞, a da rastojanje izmedju ˇcestica a teˇzi
nuli ali tako da je (N + 1)a = L, gde je L ukupna duˇzina lanca. Dalje ´cemo uzeti da m → 0 ali
tako da je odnos m/a = µ konstantan i jednak masi po jedinici duˇzine lanca. Orjentiˇsimo osu x
duˇz lanca tako da je x = la. U ovom limesu veliˇcina ηl (t) postaje η(t, x), tj. elongacija ˇcestice
lanca u taˇcki x u trenutku t. Jednaˇcine (5.4.46) ´cemo prepisati na slede´ci naˇcin
η − η
m
ηl − ηl−1 l+1
l
η¨l − k
−
=0
(5.4.57)
a
a
a
odnosno
∂η ∂x ∂η ∂x −
∂ 2η
x
x−a
=0.
(5.4.58)
−
ka
∂t2
a
U limesu a → 0 izraz u velikoj zagradi je drugi parcijalni izvod elongacije η(t, x) po koordinati
x pa dobijamo
∂ 2η Y ∂ 2η
−
=0,
(5.4.59)
∂t2
µ ∂x2
gde je Y = ka Jungov moduo. Dobili smo talasnu jednaˇcinu. Fazna brzina longitudinalnih
talasa u ˇzici data je sa
s
Y
v=
.
(5.4.60)
µ
µ
Reˇsimo gornju talasnu jednaˇcinu uz graniˇcne uslove η(t, x = 0) = η(t, x = L) = 0.
Partikularno reˇsenje talasne jednaˇcine traˇzi´cemo u obliku proizvoda dve funkcije
η = T (t)X(x)
od kojih jedna zavisi od vremena a druga od x. Zamenom u talasnu jednaˇcinu dobijamo
2
1 ∂ 2T
2 1 ∂ X
=
v
.
T ∂t2
X ∂x2
(5.4.61)
Leva strana gornje jednaˇcine je funkcija vremena, a desna x koordinate. Obe funkcije moraju
biti konstante i obeleˇzi´cemo ih sa −ω 2 , pa dobijamo
d2 T
+ ω2T = 0
dt2
d2 X ω 2
+ 2X = 0 .
dx2
v
(5.4.62)
74
CHAPTER 5. MALE OSCILACIJE
Reˇsenja za funkcije T (t) i X(x) su onda
T (t) = A cos(ωt + ϕ)
X(x) = E cos(kx) + F sin(kx) ,
(5.4.63)
gde je ω = kv tzv. disperziona relacija. k je talasni broj. Graniˇcni uslovi η(t, x = 0) = η(t, x =
L) = 0 daju E = 0 i diskretizuju talasni broj k = nπ/L, n = 1, 2, . . . . Partikularno reˇsenje
talasne jednaˇcine dato je sa
nπ η(t, x) = C cos(ωn t + ϕ) sin
x ,
(5.4.64)
L
gde je
s
Y nπ
.
µ L
ωn = vkn =
(5.4.65)
Ovo reˇsenje je stoje´ci talas.
Kontinualni limes u (5.4.54) daje
r
ω=2
k
πna
sin
≈
m
2L
r
s
k πna
nπ
→
m L
L
Y
.
µ
(5.4.66)
Dobili smo rezultat (5.4.65).
Pokazali smo da jednaˇcina kretanja i disperziona relacija u diskretnom sluˇcaju prelaze u
talasnu jednaˇcinu odnosno u uslov (5.4.65) uzimanjem kontinualnog limesa. Kinetiˇcka energija
u kontinualnom limesu postaje
1X
1
T =
mη˙ i2 →
2 i=0
2
N
Z
0
L
dx ∂η 2 1
m
=
a ∂t
2
Z
L
dxµ
0
∂η 2
∂t
.
(5.4.67)
Potencijana energija na sliˇcan naˇcin postaje
1
U= Y
2
pa je lagranˇzijan
1
L=
2
Z
0
L
Z
L
dx
0
∂η 2
∂x
h ∂η 2
∂η 2 i
dx µ
−Y
.
∂t
∂x
(5.4.68)
(5.4.69)
Variranjem ovog lagranˇzijana dobijamo jednaˇcinu (5.4.59).
5.5
Transverzalne oscilacije lanca taˇ
ckastih masa
U ovoj lekciji razmatra´cemo transverzalne oscilacije lanca taˇckastih masa. Neka su N kuglica,
svaka mase m spojene nitima zanemarljive mase. Rastojanje izmedju susednih kuglica je a. Sila
ˇ
5.5. TRANSVERZALNE OSCILACIJE LANCA TACKASTIH
MASA
75
Figure 5.3: Transverzalne oscilacije lanca taˇckastih masa
ˇ
zatezanja u niti je konstantna i iznosi T . Cestice
se izvedu iz ravnoteˇznih poloˇzaja u pravcu
normalnom na strunu kao ˇsto je prikazano na slici 5.5. Elongaciju i−te kuglice obeleˇzi´cemo sa
ψi (t). Na i−tu kuglicu deluje transverzalna sila
Fi = −T p
ψi − ψi+1
+p
.
(ψi − ψi−1 )2 + a2
(ψi − ψi+1 )2 + a2
ψi − ψi−1
(5.5.70)
Kao i u prethodnoj lekciji uzimamo ψ0 = ψN +1 = 0. U aproksimaciji malih oscilacija |ψi −
ψi−1 | a gornji izraz za silu postaje
T
Fi = − (2ψi − ψi−1 − ψi+1 ) .
a
(5.5.71)
Ova sila je konzervtivna i moˇzemo uvesti potencijalnu energiju sa
T X
(ψi+1 − ψi )2 .
U=
2a i=0
N
(5.5.72)
∂U
Lako se proverava da je Fi = − ∂ψ
. Lagranˇzijan ovog sistema je
i
T X
1 X ˙2
ψi −
L= m
(ψi+1 − ψi )2 .
2 i=0
2a i=0
N
Lagranˇzeve jednaˇcine kretanaja
su
N
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂ ψ˙ i
∂ψi
(5.5.73)
(5.5.74)
T
(2ψl − ψl+1 − ψl−1 ) = 0, l = 1, . . . , N .
(5.5.75)
a
Ove jednaˇcine su ekvivalentne sa jednaˇcinama kretanja (5.4.46) za sluˇcaj longitudinalnih oscilacija do na zamenu k → T /a. Reˇsenje jednaˇcina kretanja je analogno sa sluˇcajem longitudinalnih oscilacija. Sopstvene frekvence su
r
nπ
T
sin
, n = 1, . . . N
(5.5.76)
ωn = 2
ma
2(N + 1)
mψ¨l +
76
CHAPTER 5. MALE OSCILACIJE
Reˇsenje jednaˇcina kretanja je superpozicija transverzalnih oscilacija sistema sa frekvencama
ω1 , . . . , ωN i dato je sa
N
lnπ X
ψl =
cos(ωn t + ϕn ) .
(5.5.77)
A(n) sin
N
+
1
n=1
gde se amlitude A(n) i faze ϕn odredjuju iz poˇcetnih uslova.
Kontinualni limit. Transverzalne oscilacije strune
Analogno longitudinalnim oscilacijama i ovde ´cemo napraviti kontinualni limes. Uze´cemo da je
broj ˇcestica u niti N veliki ali tako da je (N + 1)a = L; masa ˇcestice m mala, tj. teˇzi nuli ali tako
da m/a = µ konaˇcna veliˇcina koja pretstavlja masu ˇzice po jednici duˇzine. U ovom limesu model
taˇckastih masa opisan u prethodnoj sekciji postaje model transverzalnih oscilacija ˇzice koja je
fiksirana na krajevima i zategnuta stalnom silom zatezanja T . Elongacije i−te ˇcestice ψi (t)
prelaze u polje ψ(t, x). Jednaˇcine (5.4.46) u kontinualnom limesu prelaze u talasnu jednaˇcinu
∂ 2ψ T ∂ 2ψ
−
=0,
∂t2
µ ∂x2
(5.5.78)
potpuno analogno kao u sluˇcaju longitudinalnih oscilacija. Iz talasne jednaˇcine vidimo da je
brzina transverzalnih oscilacija u ˇzici data sa
s
T
v=
.
(5.5.79)
µ
Naredni zadatak je da nadjemo reˇsenje talasne jednaˇcine (5.5.78) uz granˇcne uslove ψ(t, x =
0) = ψ(t, x = L) = 0. Partikularna reˇsenja su data sa
ψ(t, x) = A cos(ωn t + ϕ) sin(
nπx
),
L
(5.5.80)
gde su sopstvene frekvence talasa u ˇzici
s
ωn = kn v =
Ova reˇsenja su stoje´ci talasi odnosno harmonici.
nπ
L
T
.
µ
(5.5.81)
Chapter 6
Centralno kretanje
6.1
Kretanje u polju centralne sile. Lagranˇ
zeve jednaˇ
cine
Centralno kretanje je kretanje ˇcestice pod dejstvom centralne sile koja je usmerena ka jednoj
taˇcki koju zovemo centrom sile. Centralna sila ima oblik
r
F = f (r) .
r
Vidimo da intenzitet centralne sile zavisi od rastojanja r. Lako se vidi da je rotF = 0 ˇsto znaˇci
da je centralna sila konzervativna; moˇzemo je napisati u obliku
F = −∇U (r) = −
Potencijalna energija U je
dU r
.
dr r
(6.1.1)
Z
U =−
f (r)dr .
(6.1.2)
Moment impulsa ˇcestice, L = r × p je integral kretanja za ˇcesticu koja se kre´ce u polju centralne
sile jer je
dL
f (r)
=r×
r=0.
(6.1.3)
dt
r
Sektorska brzina predstavlja povrˇsinu koju radijus vektor prebriˇse u jedinici vremena
vs =
dS
1 r × dr
1
L
=
= (r × v) =
.
dt
2 dt
2
2m
(6.1.4)
Vidimo da je sektorska brzina kolinearna sa momentom impulsa ˇcestice. Kako je moment impulsa
ˇcestice konstanta kretanja to je i sektorska brzina konstana kretanja. Ovo znaˇci da radjus vektor
ˇcestice prebriˇse za ista vremena jednake povrˇsine. Ovaj iskaz je poznat kao drugi Keplerov zakon.
Lako se pokazuje da je radijus vektor ˇcestice ortogonalan na vektor momenta impulsa:
L · r = (r × p) · r = 0 .
77
(6.1.5)
78
CHAPTER 6. CENTRALNO KRETANJE
Ovo znaˇci da se ˇcestica kre´ce u ravni ortogonalnoj na moment impulsa koji je kao ˇsto smo
ve´c rekli konstantan vektor. Ako je moment impulsa duˇz z ose ˇcestica se kre´ce u xy ravni.
Centralno kretanje ima dva stepena slobode. Uze´cemo da su polarne koordinate ρ, ϕ generalisane
koordinate.
Lagranˇzijan je
1
L = m(ρ˙ 2 + ρ2 ϕ˙ 2 ) − U (ρ) .
(6.1.6)
2
Da bi izveli jednaˇcine kretanja potrebno je da nadjemo odgovaraju´ce parcijalne izvode lagranˇzijana (6.1.6):
∂L
∂ ϕ˙
∂L
∂ϕ
∂L
∂ρ
∂L
∂ρ
= mρ2 ϕ˙
= 0
= mρ˙
= mρϕ˙ 2 − U 0 (ρ) .
(6.1.7)
Jednaˇcine kretanja su
m¨
ρ − mρϕ˙ 2 + U 0 (ρ) = 0
d
(mρ2 ϕ)
˙ = 0.
dt
(6.1.8)
Lagranˇzijan (6.1.6) ne zavisi od ϕ koordinate. Koordinate od kojih Lagranˇzijan ne zavisi nazivaju
se cikliˇcnim koordinatama. Iz jednaˇcina kretanja sledi da su odgovaraju´ci generalisani impulsi
konstante kretanja. Konkretno u naˇsem sluˇcaju iz druge lagranˇzeve jednaˇcina u (6.1.8) sledi da
je generalisani impuls pridruˇzen (kaˇze se joˇs i konjugovan) ϕ koordinati konstanta kretanja:
pϕ =
∂L
= mρ2 ϕ˙ = const. .
∂ ϕ˙
(6.1.9)
Moment impulsa ˇcestice je
L = mr × v = ρeρ × (ρe
˙ ρ + ρϕe
˙ ϕ ) = mρ2 ϕez = pϕ ez .
(6.1.10)
Dakle generalisani impuls pϕ jednak je projekciji momenta impulsa na z osu, pϕ = Lz .
Vratimo se sada na jednaˇcine kretanja. Lako se vidi da je
Lz d 1 dρ dϕ
=−
dϕ dt
m dϕ ρ
(6.1.11)
d dρ L2 d2 1 = − 2z 2 2
.
dt dt
m ρ dϕ ρ
(6.1.12)
ρ˙ =
ρ¨ =
6.2. PRVI INTEGRALI KRETANJA
79
Zamenom u prvu jednaˇcinu u (6.1.8) dobijamo diferencijalnu jednaˇcinu
d2 1 1
mρ2
+ = − 2 f (ρ)
dϕ2 ρ
ρ
Lz
(6.1.13)
ˇcijim reˇsavanjem odredjujemo trajektoriju ˇcestice u eksplicitnom obliku ρ = ρ(ϕ). Ova jednaˇcina
je poznata pod imenom Bineova formula.
6.2
Prvi integrali kretanja
Za ˇcesticu koja se kre´ce u polju centralne sile energija i moment impulsa su integrali kretanja.
U prethodnoj lekciji smo to videli na osnovu oblika centralne sile. U Lagranˇzevom formalizmu
konzervacija ovih veliˇcina se vidi direktno iz lagranˇzijana. Lagranˇzijan (6.1.6) ne zavisi eksplicitno od vremena, tj. invarijantan je na vremenske translacije pa je energija konstanta kretanja.
Pored toga lagranˇzijan (6.1.6) je rotaciono invarijantan pa je moment impulsa oˇcuvan.
Energija ˇcestice je
1
E = m(ρ˙ 2 + ρ2 ϕ˙ 2 ) + U (ρ) ,
(6.2.14)
2
dok je moment impulsa
mρ2 ϕ˙ = Lz .
(6.2.15)
Ako izrazimo ϕ˙ iz (6.2.15) i zamenimo u (6.2.14) dobijamo
1 2
mρ˙ + Ueff (ρ) = E ,
2
(6.2.16)
L2z
2mρ2
(6.2.17)
gde je
Ueff (ρ) = U (ρ) +
tzv. efektivni potencijal. Jednaˇcina (6.2.16) daje
r 2
E − Ueff (ρ)
ρ˙ =
m
ˇsto je diferencijalna jednaˇcina koja razdvaja promeljive pa je
r Z
m
dρ
p
t=
.
2
E − Ueff (ρ)
(6.2.18)
(6.2.19)
Prethodna jednaˇcina daje zavisnost radijalne koordinate od vremena, ρ = ρ(t). Zamenom ovog
reˇsenja u jednaˇcinu (6.2.15) dobijamo
Z
Lz
dt
ϕ=
.
(6.2.20)
2
m
ρ (t)
Jednaˇcinu trajektorije naˇsli smo u parametarskom obliku.
80
CHAPTER 6. CENTRALNO KRETANJE
Figure 6.1: Efektivni potencijal za odbojnu silu proporcionalnu sa 1/r2
Ako podelimo jednaˇcine (6.2.18) i (6.2.15) dobijamo
dρ
ρ2 p
=
2m(E − Ueff (ρ)) .
dϕ
Lz
Dobijana jednaˇcina razdvaja promenljive, integracija daje
Z
dρ
p
ϕ = Lz
.
2
ρ 2m(E − Ueff (ρ))
(6.2.21)
(6.2.22)
Dobili smo jednaˇcinu trajektorije ˇcestice u eksplicitnom obliku, ρ = ρ(ϕ). Gornji izrazi za
jednaˇcine kretanja ˇcestice bilo u parametarskom ili eksplicitnom obliku date su u integralnom
obliku, kaˇze se joˇs da je reˇsenje dato u kvadraturama.
Jednaˇcina trajektorije ˇcestice u polju centralne sile moˇze se na´ci iz Bineove formule, ˇsto smo
prezentovali u prethodnoj lekciji. Pored toga jednaˇcina kretanja moˇze biti dobijena iz prvih
integrala kretanja.
6.3
Kvalitativna analiza centralnog kretanja
Uvodjenjem efektivnog potencija kretanje ˇcestice u polju centralne sile sveli na kvazijednodimenziono kretanje u efektivnom potencijalu. Kretanje je mogu´ce za vrednosti radijalne koordinate
kada je E > Ueff (ρ), jer bi u suprotnom ρ˙ bilo imaginarno. Analizira´cemo dva sluˇcaja. Prvo
´cemo uzeti da je potencijal odbojan i da je oblika U = αρ , gde je α > 0. Tada je efektivni
potencijal
L2z
α
(6.3.23)
Ueff (ρ) = +
ρ 2mρ2
pozitivan i prikazan na slici 6.3
Ako je energija ˇcestice E > 0 onda vidimo da je kretanje mogu´ce u oblasti ρ ≥ ρ1 . Ovakvo
kretanje je infinitno, ˇcestica moˇze da ode u beskonaˇcnost a sa druge strane moˇze da se pribliˇzi
centru sile do rastojanja ρ1 .
6.4. KEPLEROV PROBLEM
81
Figure 6.2: Efektivni potencijal za privlaˇcnu silu proporcionalnu sa 1/r2 ; Sluˇcaj E > 0
Figure 6.3: Efektivni potencijal za privlaˇcnu silu proporcionalnu sa 1/r2 ; Sluˇcaj E < 0
Drugi sluˇcaj je privlaˇcan potencijal oblika U = − αρ , α > 0. Ukoliko je energija ˇcestice E pozitivna, ona se kre´ce u oblasti ρ > ρ1 na slici 6.3. Kretanje je infinintno jer ˇcestica moˇze beskonaˇcno
da se udalji od centra sile. Ukoliko je E = 0 ˇcestica takodje moˇze da ode u beskonaˇcnost. Ako
je 0 < E < (Ueff )min ˇcestica se kre´ce u ograniˇcenoj oblasti ρ2 < ρ < ρ5 . Taˇcke ρ2 i ρ5 se nazivaju
povratnim taˇckama. Za ovakvo kretanje kaˇzemo da je finitno ili vezano. Ako je E = (Ueff )min
onda je ρ = ρ3 ; ˇcestica se kre´ce po krugu polupreˇcnika ρ3 . Ako je (Ueff )min > E kretanje nije
mogu´ce.
6.4
Keplerov problem
Keplerov problem je nalaˇzenje jednaˇcina kretanja ˇcestice mase m u polju centralne sile koja je
obrnuto proporcionalna kvadratu rastojanja
F=
k
eρ ,
ρ2
(6.4.24)
82
CHAPTER 6. CENTRALNO KRETANJE
gde je k konstanta. Ovo je vrlo vaˇzan sluˇcaj u fizici. Njutnova sila gravitacije je primer ovakve
qQ
sile. Tada je k = −γM m; M je masa ˇcestice u koordinatnom poˇcetku. Ako je k = 4πε
dobijamo
0
Kulonovu silu izmedju nealektrisanja q i Q.
Bineova formula (6.1.13) u ovom sluˇcaju postaje
d2 1 1
mk
+
=
−
.
dϕ2 ρ
ρ
L2z
(6.4.25)
Ako uvedemo u = 1/ρ onda prethodna jednaˇcina postaje
mk
d2 u
+
u
=
−
.
dϕ2
L2z
(6.4.26)
Ovo je nehomogena diferencijalna jednaˇcina sa konstantnim koeficijentima. Reˇsenje ove jednaˇcine
je zbir homogenog i partikularnog reˇsenja
u = uh + up .
(6.4.27)
uh = A cos ϕ + B sin ϕ ,
(6.4.28)
Homogeno reˇsenje je
gde su A i B konstante. Partikularno reˇsenje je konstanta up = C koju lako odredjujemo iz
diferencijalne jednaˇcine. Rezultat je
mk
up = − 2 .
(6.4.29)
Lz
Dakle
1
mk
= A cos ϕ + B sin ϕ − 2 .
ρ
Lz
Izabra´cemo koordinatni sistem tako da je rastojanje ρ minimalno za ϕ = 0, tj.
dρ =0.
dϕ ϕ=0
(6.4.30)
(6.4.31)
Odavde je B = 0. Dakle, u polarnim koordinatama jednaˇcina trajektorije je
ρ=
1
A cos ϕ −
mk
L2z
.
(6.4.32)
Konstantu A izrazi´cemo u funkciji energije ˇcestice koja je data sa (6.2.14). Vezu izmedju A i E
je najednostavnije odrediti ako energiju sraˇcunamo za ϕ = 0 tj. ρ|
˙ ϕ=0 = 0. Odavde je
E=
s
odnosno
A=
L2z A2 mk 2
−
2m
2L2z
mk 2 2m E
+
.
L2z
2L2z
(6.4.33)
(6.4.34)
6.4. KEPLEROV PROBLEM
83
Jednaˇcina trajektorije je
ρ=
k
− |k|
p
,
+ ε cos ϕ
(6.4.35)
gde su parametri p i dati sa
L2
p = z ,ε =
m|k|
r
1+
2L2z E
.
mk 2
(6.4.36)
Privlaˇ
can potencijal
Analizirajmo prvo sluˇcaj privlaˇcnog potencijala, kada je k negativno. Jednaˇcina trajektorije
(6.4.35) je
p
ρ=
.
(6.4.37)
1 + ε cos ϕ
U dekartovim koordinatama ona postaje
(1 − ε2 )x2 + 2pεx + y 2 = p2 .
(6.4.38)
2
Za ε = 0, ˇsto odgovara minimalnoj energiji ˇcestice Emin = − mk
, gornja jednaˇcina postaje
2L2z
2
2
2
jednaˇcina kruga x + y = p .
Pretpostavimo sada da je 0 < ε < 1, odnosno Emin < E < 0. Tada jednaˇcina (6.4.38) postaje
x+
pε 2
y2
p2
+
=
.
1 − ε2
1 − ε2
(1 − ε2 )2
(6.4.39)
Posle jednostavne algebre dobijamo standardni oblik jednaˇcine elipse u dekartovim koordinatama
(x + xc )2 y 2
+ 2 =1,
a2
b
(6.4.40)
gde su poluose elipse
a=
p
k
p
Lz
=
, b= √
=√
.
2
2
1−ε
2E
−2mE
1−ε
(6.4.41)
pε
.
1 − ε2
(6.4.42)
|Lz |
πab
=
,
τ
2m
(6.4.43)
xc je dato sa
xc =
√
pε
sto znaˇci da je jedna
Ekscentritet elipse je c = a2 − b2 = 1−ε
2 . Odmah vidimo da je xc = c, ˇ
ˇziˇza elipse u koordinatnom poˇcetku, tj. u centru sile. U sluˇcaju eliptiˇcnog kretanja planeta
naˇseg sunˇcevog sistema Sunce se nalazi u jednoj u ˇziˇzi elipse. Ovo je tzv. Prvi Keplerov zakon.
Lako se vidi da u ovom sluˇcaju povratne taˇcke odgovaraju uglovima ϕ = 0, π i one su
p
p
odnosno ρmax = 1−ε
.
ρmin = 1+ε
Sektorska brzina u sluˇcaju eliptiˇcke orbite je
vs =
84
CHAPTER 6. CENTRALNO KRETANJE
Figure 6.4: Trajektorija ˇcestice za Emin < E < 0.
Figure 6.5: Trajektorija ˇcestice nulte energije–parabola
gde je τ period kretanja.
Kvadiranjem dobijamo
τ 2 = 4m2 π 2
a2 p2
p
= 4m2 π 2 a3 2 .
2
2
(1 − ε )Lz
Lz
(6.4.44)
Zamenom vrednosti p u poslednji izraz konaˇcno dobijamo
τ2 =
4mπ 2 3
a .
|k|
(6.4.45)
Kvadrat perioda obilaska planeta oko Sunca proporcionalan je tre´cem stepenu velike poluose
elipse. Ovo je tre´ci Keplerov zakon.
Dalje ´cemo analizirati sluˇcaj ε = 1 tj. E = 0. Trajektororija ˇcestice
y 2 = p2 − 2px
(6.4.46)
je parabola prikazana na slici 6.4.
Konaˇcno ukoliko je energija ˇcestice pozitivna, tj. ako je ε > 1 jednaˇcina (6.4.38) postaje
(x − xc )2 y 2
− 2 =1,
a2
b
(6.4.47)
6.4. KEPLEROV PROBLEM
85
Figure 6.6: Trajektorija ˇcestice pozitivne energije–hiperbola
Figure 6.7: Trajektorija ˇcestice u odbojnompotencijalu–hiperbola
gde su
a=
ε2
p
p
, b= √
2
−1
ε −1
(6.4.48)
ˇ
i xc = ε2pε−1 . Dobili smo jednaˇcinu hiperbole. Cestica
se u ovom sluˇcaju kre´ce po grani hiperbole
prikazanom na slici 6.4.++
Odbojan potencijal
Ukoliko je sila odbojna, k > 0 jednaˇcina trajektorije u polarnim koordinatama je
ρ=
p
.
−1 + ε cos ϕ
(6.4.49)
ˇ
U dekartovim koordinatama to je jednaˇcina hiperbole (6.4.47). Cestica
se sada kre´ce po drugoj
grani hiperbole.
86
CHAPTER 6. CENTRALNO KRETANJE
6.5
Runge-Lencov vektor
U prethodnoj lekciji analizirali smo Keplerov problem, tj. kretanju ˇcestice u potencijau U = kr .
Videli smo da su energija i moment impulsa ˇcestice konstante kretanja. Medjutim postoji joˇs
jedna konstanta kretanja, tzv. Runge-Lencov vektor koji je definisan sa
R = p × L + mk
r
.
r
(6.5.50)
Diferenciranjem (6.5.50) po vremenu dobijamo
˙ = p˙ × L + mk r˙ − mk r r˙
R
r
r2
r
r˙
r
= km 3 × (r × r˙ ) + mk − mk 2 r˙ .
r
r
r
(6.5.51)
˙ = 0, dakle Runge-Lenov vektor
Razvijanjem dvostukog vektorskog prizvoda lako se vidi da je R
je integral kretanja. Runge-Lencov vektor je ortogonalan na moment impulsa, R · L = 0, pa leˇzi
u ravni kretanja. Skalarni proizvod Runge-Lencovog vektora i vektora poloˇzaja ˇcestice je
R · r = r · (p × L) + mkr .
(6.5.52)
Kako je r · (p × L) = L2 to imamo
r · R = L2 + mkr .
(6.5.53)
Ako ugao izmdju Runge-Lencovog vektora i vektora poloˇzaja obeleˇzimo sa ϕ to gornja jednaˇcina
posle preuredjenja postaje
r=
L2
m|k|
k
R
− |k|
+ m|k|
cos ϕ
.
(6.5.54)
Dobili smo jednaˇcinu trajektorije ˇcetice iz koje vidimo da je R = m|k| odnosno
R2 = m2 k 2 + 2mL2 E .
(6.5.55)
U Keplerovom problemu posmatramo kretanje jedne ˇcesice, tj. imamo tri stepena slobode.
Jednaˇcina kretanja sadrˇzi ˇsest integracionih konstanti. (npr. poˇcetni poloˇzaj i poˇcetna brzina).
Kod konzervativnih sistema, zbog vremenske translacione invarijantnosti, poˇcetni trenutak je
proizvoljan pa je broj nezavisnih integrala kretanja pet1 . Kod Keplerovog kretanja konstante
kretanja su: energija, moment impulsa i Runge-Lencov vektor. To je ukupno sedam skalarnih
komponenti, dakle dve viˇse nego ˇsto treba. Izmedju ovih sedam veliˇcina postoje dve relacije.
Jedna je da je projekcija Runge-Lencovog vektora na pravac momenta impulsa nula, a druga je
relacija (6.5.55). Dakle imamo pet nezavisnih integrala kretanja.
1
Generalno, za zatvoren sistem sa n stepeni slobode postoji 2n interala kretanja; ukoliko je sistem konzervativan taj broj je 2n − 1.
6.6. PROBLEM DVA TELA
6.6
87
Problem dva tela
U ovoj lekciji razmatra´cemo kretanje dve izolovane ˇcestice masa m1 i m2 koje medjusobno
intereaguju centralnom silom. Potencijalna energija je funkcija rastojanja izmedju ˇcestica U =
U (|r2 − r1 |). Sila koja deluje na prvu ˇcesticu je F21 = −∇1 U (|r2 − r1 |), dok je sila koja deluje
na drugu ˇcesticu F12 = −∇2 U (|r2 − r1 |).
Lagranˇzijan je
m1 r˙ 21 m2 r˙ 22
L=
+
− U (|r2 − r1 |) .
(6.6.56)
2
2
Sa promenljivih r1 i r2 pre´ci´cemo na nove promenljive date sa
m 1 r1 + m 2 r2
,
m1 + m2
r = r 2 − r1 .
rc =
(6.6.57)
rc je radijus vektor centra mase, a r relativan radijus vektor jedne ˇcestice u odnosu na drugu.
Invertovanjem gornjih jednaˇcina sledi
m2
r,
m1 + m2
m1
= rc +
r.
m1 + m2
r 1 = rc −
r2
(6.6.58)
Nakon smene promenljivih lagranˇzijan je
L=
(m1 + m2 )˙r2c µ˙r2
+
− U (|r|) ,
2
2
gde je
µ=
(6.6.59)
m1 m2
m1 + m2
rekukovana masa.
U novim promenljivama lagranˇzijan je zbir dva nezavisna lagranˇzijana; prvi sadrˇzi samo
koordinate centra mase a drugi varijable r i r˙ . Radijus vektor centra mase je cikliˇcna koordinata
pa je r˙ c konstanta kretanja. Jednaˇcine kretanja u novim promenljivama su
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂ r˙ c
∂rc
d ∂L ∂L
−
=0
(6.6.60)
dt ∂ r˙
∂r
odnosno
(m1 + m2 )¨rc = 0
µ¨r = −∇U (r) .
(6.6.61)
Razdvajanje promenljivih vidimo i na nivou jednaˇcina kretanja. U jednoj jednaˇcini figuriˇse
ˇ
centar mase ˇcestica a u drugoj relativan radijus vektor. Cestica
mase µ je fiktivna, tzv relativna
88
CHAPTER 6. CENTRALNO KRETANJE
Figure 6.8: Trajektorija ˇcestice u potencijalu U (r)
ˇcestica. Iz prve jednaˇcine vidimo da se centar mase kre´ce konstantnom brzinom ili miruje, a
druga da se relativna ˇcestica kre´ce pod dejstvom sile −∇U (r). Ako predjemo u sistem centra
mase problem dva tela sveli smo na kretanje jedne fiktivne tzv. relativne ˇcestice.
Pri kretanju Zemlje oko Sunca moˇzemo zanemariti uticaj drugih tela. U sistemu centra mase
kretanje je ekvivalentno kretanju relativne ˇcestice. Konstanta k u ovom sluˇcaju je k = γmM ,
gde smo sa m obeleˇzili masu Zemlje a sa M masu Sunca. U tre´cem Keplerovom zakonu potrebno
je da m zamenimo sa µ. Na kraju dobijamo tre´ci Keplerov zakon.
τ2 =
6.7
4mπ 2
a3 .
γ(m + M )
(6.6.62)
Rasejanje ˇ
cestice na centralno simetriˇ
cnom potencijalu
Neka je zadat sferno simetriˇcni potencijal U (r) i neka on teˇzi nuli na velikim rastojanjima, tj.
U (r → ∞) → 0. Razmatra´cemo kretanje ˇcestice ili snopa ˇcestica u ovom potencijalu koje
ˇ
dolaze iz beskonaˇcnsti. Cestica
moˇze zavisno od vrednosti energije i momenta impulsa da bude
rasejana ili zahva´cena. Ukoliko je minimalno rastojanje do kojeg ˇcestica moˇze da se pribliˇzi
centru sile razliˇcito od nule ˇcestica se rasejava. Ona naime dolazi iz beskonaˇcnosti, pribliˇzava se
centru do minimalnog rastojanja i zatim nastavlja da se udaljava. Trajektorija ˇcestice ima dve
asimptote, kao ˇsto se vidi sa slike 6.7. Ugao izmedju ove dve asimptote, θ zva´cmo uglom rasejanja.
Promena pravca kretanja ˇcestice je rasejanje. Ako ˇcestica moˇze da dodje do centra sile govorimo
o zahvatu. Mi ´cemo u ovoj lekciji analizirati rasejanje. Rasejanja se intenzivno koriste u skoro
svim granama fizike jer pruˇzaju znaˇcajnu informaciju o sistemu. U atomskoj, nuklearnoj fizici
kao i u fizici ˇcestica ˇcestice mete se bombarduju projektilima, dok u spektroskopiji se analizira
rasejanje elektromagnetnog polja poznatih karakteristika na meti koja se ispituje.
Neka je brzina ˇcestice na velikom rastojanju od centra sile jednaka v0 . Rastojanje izmedju
pravca brzine ˇcestice v0 i z− ose je b je tzv. parametar sudara. Energija ˇcestice E = mv02 /2
i njen moment impulsa L = mv0 b su konstante kretanja. Trajektorija ˇcestice je simetriˇcna u
odnosu na pravac OP . Ovaj pravac je inaˇce pravac x−ose koordinatnog sistema u kojem smo
u prethodnim lekcijama analizirali kretanje ˇcestice u centralnom potencijalu. Ugao izmedju
ˇ
ˇ
6.7. RASEJANJE CESTICE
NA CENTRALNO SIMETRICNOM
POTENCIJALU
89
asimptota i pravca OP obeleˇzi´emo sa ϕ0 , ˇsto je maksimalna vrednost azimutalnog ugla. Na slici
6.7 prikazan je sluˇcaj rasejanja u sluˇcaju odbojnog potencijala. Vidimo da je 2ϕ0 + θ = π. U
sluˇcaju privlaˇcnog potencijala bilo bi 2ϕ0 − θ = π, tako da generalno vaˇzi θ = |π − 2ϕ0 |. Uglu
ϕ0 odgovara beskonaˇcna udaljenost od centra sile, pa primenom (6.2.22) dobijamo
Z ∞
dr
q
ϕ0 = mv0 b
.
(6.7.63)
mv 2 b2
rmin 2
r 2m(E − U (r)) − 2r02
Ugao rasejanjaje onda je dat sa
Z
θ = π − 2mv0 b
∞
dr
q
r2 2m(E − U (r)) −
rmin
.
2
mv02 b
2r2
(6.7.64)
Dakle za ˇcesticu koja dolazi iz beskonaˇcnosti sa datom brzinom ugao skretanja je komletno
odredjen parametrom sudara. Neka sada imamo umesto jedne ˇcestice monoenergetski snop
ˇ
ˇcestica. Cestice
u snopu ´ce se rasejavati u funkciji parametra sudara. Broj ˇcestica koji u jedinici
vremena prodje kroz povrˇs normalnu na pravac kretanja ˇcestica je fluks odnosno intenzitet
snopa. Ako obraˇcunamo ovaj fluks po jedinici povrˇsine onda se ova veliˇcina naziva gustinom
fluksa. Dakle, gustina fluksa, n0 snopa je broj ˇcestica snopa koji u jedinici vremena prodje kroz
jediniˇcnu povrˇsinu normalnu na pravac kretanja ˇcestica. Broj ˇcestica u jedinici vremena koje se
raseju u pravcu orta n u prostorni ugao dΩ obeleˇzi´cemo sa dn. Podrazumevamo da daleko od
centra sile imamo detektor koji broji ove ˇcestice. Diferencijalni efikasni presek je koliˇcnik broja
rasejanih ˇcestica u prostorni ugao dΩ u jedinici vremena i gustine fluksa upadnih ˇcestica, tj.
dσ =
dn
n0
(6.7.65)
Kako je trajektorija ˇcestica jednoznaˇcno odredjena znamo da ´ce se ˇcestice u prstenu sa slike 6.7
izmedju b i b + db upadnog snopa rasejati u segmentu (θ, θ + dθ). Broj rasejanih ˇcestica u jedinici
vremena je onda dn = n0 2πbdb. Prema tome presek za rasjanje je
b db dΩ
dσ = 2πbdb = 2πbdb
=
(6.7.66)
dΩ .
dΩ
sin θ dθ
Prostori ugao je odredjen sa dΩ = sin θdθdφ. Kako zbog geomertije problema niˇsta ne zavisi od
azimutalnog ugla φ po njemu ´cemo integraliti pa je dΩ = 2π sin θdθ.
Prema tome dobili smo
dσ
b db =
(6.7.67)
.
dΩ
sin θ dθ
Apsolutna vrednost u formuli za diferencjalni efektivni presek je prisutna jer je funkcija b =
b(θ) opadaju´ca, a presek za rasejanjeje pozitivan. Integracijom diferencijalnog preseka po svim
pravcima dobijamo totalni presek za rasejanje
Z
dσ
dΩ .
(6.7.68)
σ=
dΩ
Presek za rasejanje ima dimenzije povrˇsine.
90
CHAPTER 6. CENTRALNO KRETANJE
Figure 6.9:
Radefordovo rasejanje
Vaˇzan primer rasejanja na potencijalu je rasejanje na Kulonovom potencijalu, poznatom kao
Radefordovo rasejanje. Ernest Radeford je alfa ˇcesticama bombardovao tanke listi´ce zlata i na
osnovu tih rezultata doˇsao je do zakljuˇcaka o strukuri atoma. Interakcija izmedju alfa ˇcestica i
jezgra atoma je Kulonova.
Neka je naelektrisanje projektila q dok je naelektrisanje mete koja je nepokretna i nalazi se
qQ
u centru Q. Potencijal je oblika U = k/r, gde je k = 4πε
. Jednaˇcina trajektorije naelektrisanja
0
q je
p
r= k
,
(6.7.69)
− |k| + cos ϕ
iz koje vidimo da je
cos ϕ0 =
k
.
|k|
(6.7.70)
Korise´ci vezu izmedju ugla rasejanja i ϕ0 dobijamo
θ
1
= .
2
(6.7.71)
m2 v04 b2
θ
= 2 − 1 =
.
2
k2
(6.7.72)
k
θ b = 2 cot .
mv0
2
(6.7.73)
sin
Iz ove formule sledi
cot2
odakle je
Primenom (6.7.67) dobijamo efikasni presek za rasejanje
k 2 1
dσ
=
dΩ
2mv02 sin4
koji je poznat kao Radefordov presek.
θ
2
,
(6.7.74)
Chapter 7
Kretanje krutog tela
7.1
Definicija krutog tela
Apsolutno kruto telo je telo kod koga se rastojanje izmedju bilo koje dve taˇcke ne menja. Poloˇzaj
krutog tela je potpuno odredjen sa tri taˇcke A, B i C koje ne leˇze na jednoj pravoj. Dekartove
koordinate te tri taˇcke su A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ) i C(x3 , y3 , z3 ). Nepromenljivost rastojanja
izmedju njih daje tri jednaˇcine veze:
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 = AB 2
(x3 − x1 )2 + (y3 − y1 )2 + (z3 − z1 )2 = AC 2
(x2 − x3 )2 + (y2 − y3 )2 + (z2 − z3 )2 = BC 2 .
(7.1.1)
Kruto telo je odredjeno sa 3 · 3 − 3 = 6 stepeni slobode. Naravno kretanje krutog tela moˇze
biti ograniˇceno dopunskim vezama. Kruto telo koje rotira oko fiksne ose ima samo jedan stepen
slobode. Za kruto telo veza´cemo koordinatni sistem S 0 , tzv. sopstveni sistem. Koordinatni
poˇcetak tog sistema je pol i on je proizvoljno izabran. Kretanje krutog tela u inercijalnom
sistemu S ekvivalentno je kretanju saopstvenog sistema krutog tela.
Figure 7.1:
91
92
CHAPTER 7. KRETANJE KRUTOG TELA
Figure 7.2:
7.2
Rotacije
Neka su S i S 0 dva koordinatna sistema ˇciji se koordinatni poˇceci poklapaju. Transformacija koja
jedan sistem prevodi u drugi je rotacija. Ovaj iskaz je poznat pod nazivom Ojlerova teorema.
Uveˇs´cemo dva skupa bazisnih vektora. Vektori {ei , i = 1, 2, 3} su usmereni duˇz x, y odnosno z
ose sistema S, dok su ortovi primovanog sistema e0i , i = 1, 2, 3 usmerei duˇz Dekartovih koordinata
x0 , y 0 i z 0 . Primovane ortove moˇzemo razviti po bazisu {ei } sistema S:
e0i
=
3
X
Rij ej .
(7.2.2)
j=1
Koeficijenti Rij ˇcine jednu 3 × 3 matricu


R11 R12 R13
R = R21 R22 R23  .
R31 R32 R33
Bazisni vektori su ortonormirani tj. ei · ej = δij i e0i · e0j = δij . Mnoˇzenjem (7.2.2) skalarno sa ek
dobijamo
Rik = ek · e0i = cos ](ek , e0i ) ,
(7.2.3)
pa se koeficijenti Rik nazivaju i kosinusima pravaca. Primenom relacija ortonormiranosti i (7.2.2)
imamo
3 X
3
X
Ril Rjk el · ek
δij = e0i · e0j =
l=1 k=1
=
=
3 X
3
X
Ril Rjk δlk =
l=1 k=1
3
X
3
X
Rik Rjk
k=1
Rik (RT )kj
k=1
= (RRT )ij .
(7.2.4)
7.2. ROTACIJE
93
Figure 7.3: Rotacija za ugao ϕ oko z−ose
Matrica R nije proizvoljna realna 3 × 3 matrica ve´c zadovoljava uslov
RRT = RT R = I .
(7.2.5)
Ovakve matrice se nazivaju ortogonalnim matricama. One ˇcine grupu O(3). Uzimanjem determinante od (7.2.5) dobijamo da determinanta matrice R moˇze biti ili 1 ili −1. Transformacije
(7.2.5) za koje je det R = 1 su rotacije. One ˇcine podgrupu specijalnih (S) ortogonalnih matrica
(O) matrica ortogonalne grupe. Ova podgrupa se obeleˇzava sa SO(3). Slovo S u prethodnoj
oznaci oznaˇcava da je determinanta ovih matrica 1. Proizvoljna realna 3 × 3 matrica ima devet
koeficijenata. Ortogonalnost matrice R (7.2.5) name´ce ˇsest uslova na ovih devet koeficijenata,
pa su samo tri koeficijenta nezavisna. Rotacije su odredjene sa tri parametra.
Razmatrajmo jedan prosti primer. Neka je sistem S 0 dobijen rotacijom sistema S oko e3 ose
za ugao ϕ. Sa slike 7.2 je jasno da je
e01 = cos ϕe1 + sin ϕe2
e02 = − sin ϕe1 + cos ϕe2
e03 = e3
pa je matrica R u ovom sluˇcaju

cos ϕ sin ϕ 0
Re3 (ϕ) = − sin ϕ cos ϕ 0 .
0
0
1
(7.2.6)

(7.2.7)
Lako se vidi da je ovo ortogonalna matrica jediniˇcne determinante.
Proizvoljan vektor poloˇzaja r moˇze biti razloˇzen bilo u sistemu S bilo u sistemu S 0
r=
3
X
i=1
xi e i =
3
X
x0i e0i .
(7.2.8)
i=1
Dekartove projekcije vektora r u sistemu S su x1 , x2 , x3 a u primovanom sistemu su x01 , x02 , x03 .
Vektor r je nepromenjen. Promenom bazisa, tj. prelaskom iz jednog u drugi sistem projekcije
vektora se menjaju. Ovakva interpretacija transformacije je pasivna. Sada ´cemo lako na´ci zakon
promene koordinata. Zamenom (7.2.2) u (7.2.8) dobijamo
3 X
3
X
i=1 j=1
x0i Rij ej =
3
X
j=1
xj e j
(7.2.9)
94
odakle sledi
CHAPTER 7. KRETANJE KRUTOG TELA
3
X
x0i Rij = xj .
(7.2.10)
i=1
−1
Mnoˇzenjem prethodne relacije sa Rjk
i sumiranjem po j dobijamo
x0i =
3
X
((RT )−1 )ij xj
(7.2.11)
j=1
ˇsto zbog uslova ortogonalnosti matrice R postaje
x0i
=
3
X
Rij xj .
(7.2.12)
j=1
Dakle koordinate se transformiˇsu na isti naˇcin kao i bazisni vektori.
Duˇzina vektora r je ista u oba sistema, tj
3
X
(x0i )2
=
i=1
3
X
(xi )2 .
(7.2.13)
i=1
Uslov ortogonalnosti matrice R izveli smo iz uslova ortonormiranosti bazisa. Medjutim moˇzemo
ga dobiti iz uslova da je duˇzina vektora ista u oba sistema, tj. iz relacije (7.2.13). Rotacije su
linearne transformacije koordinata
3
X
0
xi =
Rij xj
(7.2.14)
j=1
za koje vaˇzi uslov (7.2.13). Uslov (7.2.13) moˇzemo prepisati u matriˇcnom obliku kao
gde je
rTS rS = rTS 0 rS 0 ,
(7.2.15)
 
x1

r S = x2 
x3
(7.2.16)
 0
x1

= x02 
x03
(7.2.17)
vektor r u sistemu S a
rS 0
isti vektor u sistemu S 0 . Veza izmedju koordinata je
rS 0 = RrS .
(7.2.18)
Transformiˇsu´ci desnu stranu izraza (7.2.15) dobijamo
rTS 0 rS 0 = rTS RT RrS = rTS rS
(7.2.19)
7.2. ROTACIJE
95
odakle sledi uslov ortogonalnosti
RT R = I .
(7.2.20)
U sluˇcaju rotacije oko z ose za ugao ϕ imamo
 
 0 
x1
cos ϕ sin ϕ 0
x1
x02  = − sin ϕ cos ϕ 0 x2  .
x03
0
0
1
x3
U prethodnom izrazu primovane i neprimovane x-koordinate su koordinate vektora r u dva
sistema.
Transformacija


−1 0
0
P =  0 −1 0 
0
0 −1
zadovoljava uslov ortogonalnosti (7.2.2) ali njena determinanta je −1. Ona na koordinate deluje
prema
x01 = −x1 , x02 = −x2 , x03 = −x3 .
(7.2.21)
Transformacija P nije rotacija ve´c inverzija prostora. Kao ˇsto smo ranije rekli ortogonalne
matrice jediniˇcne determinante su rotacije. Ortogonalne transformacije ˇcija determinanta je −1
sadrˇze inverziju prostora.
Do sada smo rotacije razmatrali kao pasivne transformacije. Vektor poloˇzaja je fiksiran;
koordinatni sistem smo rotirali i zbog toga su se komponente vektora menjale. Potpuno je
ekvivalentno da koordinatni sistem drˇzimo fiksnim a da rotacija deluje na vektor transformiˇsu´ci
ga u primovani vektor
r0 = Rr .
(7.2.22)
Ovo je tzv. aktivna transformacija. Jasno je da je rotacija koordinatnog sistema oko neke
ose za ugao ϕ (pasivna rotacija) odgovara rotaciji vektora oko iste ose za ugao −ϕ u fiksnom
koordinatnom sistemu (aktivna rotacija). Aktivne rotacija ˇcesticu ’pomeri’ iz jednog poloˇzaja u
drugi; one aktivno deluju na objekte.
Parametrizovanje matrice rotacije. Ojlerovi uglovi
Proizvoljnu rotaciju Rn (ϕ) moˇzemo zadati sa uglom rotacije ϕ i osom oko koje telo rotira. Osu
zadajemo ortom n, a ugao rotacije sa dve komponente orta n. Broj parametara je tri, kao ˇsto
smo rekli ranije. Medjutim ˇceˇs´ce se za paramete rotacije uzimaju Ojlerovi uglovi ψ, θ, ϕ. Sada
´cemo definisati Ojlerove uglove. Na slici 7.2 su nacrtana dva sistema S i S 0 . Presek ravni xOy
i x0 Oy 0 je linija OA, koja se naziva ˇcvornom linijom. Da bi sistem S prebacili u sistem S 0 treba
da izvrˇsimo tri sukcesivne rotacije:
• Rotacija oko orta e3 za ugao ϕ. Nakon ove rotacije x osa ´ce se poklopiti sa ˇcvornom linijom.
Matrica ove rotacije je


cos ϕ sin ϕ 0
Re3 (ϕ) = − sin ϕ cos ϕ 0 .
0
0
1
96
CHAPTER 7. KRETANJE KRUTOG TELA
Figure 7.4: Ojlerovi uglovi
• Rotacijom oko orta n za ugao θ. Ova transformacija je


1
0
0
Rn (θ) = 0 cos θ sin θ  .
0 − sin θ cos θ
• Rotacijom oko e03 za ugao ψ. Matrica ove rotacije je


cos ψ sin ψ 0
Re03 (ψ) = − sin ψ cos ψ 0 .
0
0
1
Dakle rotacija koja sistem S transformiˇse u S 0 je
R(θ, ϕ, ψ) = Re03 (ψ)Rn (θ)Re3 (ϕ) .
(7.2.23)
Posle duˇzeg ali pravolinijskog raˇcuna dobijamo


cos ψ cos ϕ − cos θ sin ϕ sin ψ
sin ϕ cos ψ + cos θ sin ψ cos ϕ sin θ sin ψ
R = − cos ϕ sin ψ − cos θ cos ψ sin ϕ − sin ψ sin ϕ + cos θ cos ψ cos ϕ sin θ cos ψ  . (7.2.24)
sin θ sin ϕ
− sin θ cos ϕ
cos θ
7.3
Vektori, tenzori u euklidskom prostoru
Tenzori su velˇcine definisane zakonom transformacije pri rotacijama u euklidskom prostoru.
Rotacija koordinatnog sistema je ortogonalna transformacija jediniˇcne determinate koja povezuje
bazisne Dekartove ortove prema (7.2.2). Skalari su veliˇcine koje se ne transormiˇsu, tj. imaju
istu vrednost u oba sistema
F 0 (x0 ) = F (x) .
(7.3.25)
Sa F 0 (x0 ) obeleˇzili smo vrliˇcinu u sistemu S 0 . Vektor V = V(x) , tj. njegove Dekartove projekcije
pri rotaciji se menjaju prema
3
X
Rij Vj ,
(7.3.26)
Vi0 =
j=1
ˇ
7.4. SALOVA
TEOREMA
97
gde su Vi odnosno Vi0 projekcije vektora na ose sistema S odnosno S 0 . To je definicija vektora.
Vektor je tenzor sa jenim indeksom. Na isti ovaj naˇcin se transformiˇsu Dekartove koordinate
radijus vektora, ˇsto se vidi iz (7.2.12). Zato je radijus vektor ˇcestice vektor. Tenzor drugog reda
Tij ima dva indeksa i on je tenzor ako se pri rotacijama transformiˇse prema
Tij0 =
3 X
3
X
Rik Rjl Tkl .
(7.3.27)
k=1 l=1
Uskoro ´cemo uvesti tenzor inercije i pokazati da je on stvarno tenzor.
7.4
ˇ
Salova
teorema
Kretanje krutog tela moˇze biti predstavljeno kao kombinacija jedne translacije i jedne rotacije.
ˇ
Ovo je tzv. Salova
teorema. Ovo ne znaˇci da se kruto telo stvarno kre´ce tako da prvo translira
za vektor a a zatim rotira oko ose n za odgovaraju´ci ugao ve´c da se njegov krajnji poloˇzaj iz
poˇcetnog dobija sa jednom trasnslacijom i jednom rotacijom.
7.5
Koriolisova teorema
Uze´cemo da je S nepokretni sistema, a S 0 sistem koji rotira i neka se koordinatni poˇceci oba
sistema poklapaju. Dekartova baza sistema S je ei , i = 1, 2, 3 a u sistemu S 0 je e0i . Neka je
A = A(t) vektorska funkcija koja zavisi od vremena. Vektor A moˇzemo razloˇziti po bazi sistema
S kao i po S 0 :
3
3
X
X
A(t) =
Ai (t)ei =
A0i (t)e0i (t) ,
(7.5.28)
i=1
i=1
gde su Ai (t) odnosno A0i (t) koordinate vektora A u bazi S odnosno S 0 . Vremenski izvod vektora
A u sistemu S 0 je
3
X
dA0i 0
dA =
ei .
(7.5.29)
dt S 0
dt
i=1
Diferenciranjem u sistemu S dobijamo
3
3
X
dA dA0i 0 X 0 de0i e +
A
=
.
dt S
dt i i=1 i dt S
i=1
Kako je
de0i = ω × e0i
dt S
(7.5.30)
(7.5.31)
to je
dA dA =
+ω×A .
dt S
dt S 0
Dobijeni rezultat je Koriolisova teorema.
(7.5.32)
98
CHAPTER 7. KRETANJE KRUTOG TELA
Figure 7.5:
7.6
Ugaona brzina krutog tela
Neka kruto telo za vreme dt rotira za infinitezimalno mali ugao dϕ oko ose odredjene ortom n.
Ova osa je tzv. trenutna osa rotacije. Smer orta n odredjuje se na osnovu pravila desne ruke.
Vektor poloˇzaja r(t) proizvoljne taˇcka krutog tela za vreme dt predje u poloˇzaj r + dr. Jasno je
da je dr = dϕ × r, gde je dϕ = dϕn infinitezimalni ugao rotacije.
Ako izraz za dr podelimo sa dt dobijamo
r˙ = ω × r .
(7.6.33)
Veliˇcina
dϕ
(7.6.34)
dt
je ugaona brzina rotacije krutog tela. Rezultat (7.6.33) se moˇze dobiti primenom Korioloisove
teoreme
dr dr =
(7.6.35)
+ω×r .
dt S
dt S 0
Izvod vektora r po vremenu u sistemu krutog tela je nula.
U prethodnoj analizi razmatrali smo infinitezimalne rotacije kao aktivne transformacije jer
vektor r prelazi u r + dr. Infinitezimalne rotacije opisujemo vektorom. Pri rotaciji za mali ugao
dϕ1 radijus vektor r prelazi u
r → r1 = r + dϕ1 × r.
(7.6.36)
ω=
Ako sada izvrˇsimo drugu rotaciju za infinitezimalni ugao dϕ2 onda po istom pravilu vektor r1
prelazi u
r1 + dϕ2 × r1 = r + dϕ1 × r + dϕ2 × (r + dϕ1 × r) .
(7.6.37)
Zadrˇzavaju´ci samo infinitezimale prvog reda dobijamo rezultat ove dve sukcesivne infinitezimalne
rotacije
r + (dϕ1 + dϕ2 ) × r .
(7.6.38)
Dakle ukupni efekat dve infinitezimalne rotacije dϕ1 i dϕ2 je kao da smo napravili rotaciju za
ugao dϕ1 + dϕ2 . Pored toga infinitezimalne rotacije komutiraju. Ako neko telo zarotiramo oko
ose n za ugao π/3 ovu rotaciju ne moˇzemo opisati vektorom πn/3. Konaˇcne rotacije opisujemo
matricama. Mnoˇzenje matrica je nekomutativno. Ako kutiju rotiramo oko z ose za 900 a zatim
oko y ose ponovo za 900 kutija ´ce pe´ci u poloˇzaj prikazan na slici 7.6. Ukoliko sada prvo rotiramo
oko y za 900 a potom oko z ose ponovo za 900 kutja prelazi u poloˇzaj prikazan na slici 7.6. Vidimo
da krajnji poloˇzaji kutije u ova dva sluˇcaja nisu isti. Ovaj primer jasno pokazuje da konaˇcne
rotacije ne komutiraju.
7.7. UGAONA BRZINA I MATRICA ROTACIJE
99
Figure 7.6:
Figure 7.7:
7.7
Ugaona brzina i matrica rotacije
U prehodnoj lekciji ugaonu brzinu smo dobili razmatranjem infinitezimalnih rotacija i tada smo
umesto matrica rotacije koristili vektor rotacije. Definicija je na neki naˇcin fiziˇcka jer je ugaona
brzina definisana u limesu dt → 0 ˇsto odgovara infinitezimalno maloj rotaciji. Medjutim u ovoj
lekciji ´cemo ugaonu brzinu dobiti iz matrice rotacije.
Neka je S nepokretan laboratorijski sistem i neka sistem S 0 rotira. Koordinatni poˇceci ova
dva sistema se poklapaju. Kao ˇsto smo rekli bazisni vektori sistema S 0 su linearne kombinacije
neprimovanih ortova
3
X
0
ei (t) =
Rij (t)ej .
(7.7.39)
j=1
Diferenciranjem po vremenu gornje jednaˇcine imamo
de0i (t) X ˙
=
Rij (t)ej .
dt
j=1
3
(7.7.40)
Kako je
ej =
3
X
(RT )jm (t)e0m
(7.7.41)
m=1
to dobijamo
de0i (t) X X ˙
=
Rij (t)(RT )jm (t)e0m
dt
j=1 m=1
3
3
(7.7.42)
100
odnosno
CHAPTER 7. KRETANJE KRUTOG TELA
3
de0i (t) X ˙ T
=
(RR )im e0m .
dt
m=1
(7.7.43)
T
˙
Uvedimo matricu Ω(t) = R(t)R
(t). Diferenciranjem jednakosti RRT = I po vremenu dobijamo
T
˙
R(t)R
(t) = −R(t)R˙ T (t). Dalje je
˙ T = −RR˙ T = −(RR
˙ T )T
RR
(7.7.44)
odakle zakljuˇcujemo da je matrrica Ω antisimetriˇcna, ΩT = −Ω. Dijagonalni elementi antisimetriˇcne matrice su jednaki nuli pa ona ima ukupno tri nezavisne realne komponente. Od njih
moˇzemo napraviti vektor1 :
1X
ωi0 =
εijk Ωjk ,
(7.7.45)
2 j,k
tj. ω10 = Ω23 , ω20 = Ω31 i ω30 = Ω12 . Iz (7.7.45) sledi
Ωij =
3
X
0
ijm ωm
.
(7.7.46)
m=1
Zamenom ovog izraza u
3
de0i (t) X
=
Ωim (t)e0m (t)
dt
m=1
(7.7.47)
3
3
de0i (t) X X
=
imj e0m (t)ωj0 .
dt
m=1 j=1
(7.7.48)
dobija se
Sa druge strane vektorski proizvod ugaone brzine i ortova rotiraju´ceg sistema je
ω×
e0i
=
=
3
X
(ω × e0i )m e0m
m=1
3 X
3
X
mji ωj0 e0m .
(7.7.49)
m=1 j=1
Prema tome dobili smo
de0i (t)
= ω × e0i ,
dt
(7.7.50)
ˇ
ijk je simbol Levi–Civita.
On je definisan sa 123 = 1. Svaka transpozicija indeksa daje jedno minus, npr.
213 = −1, 231 = 1. Ukoliko se neki indeks ponavlja ovaj simbol je jednak nuli. i−ta Dekartova komponenta
vektorskog proizvoda vektora A i B je
(A × B)i = ijk Aj Bk .
1
7.8. KOMPONENTE UGAONE BRZINE U SISTEMU KRUTOG TELA I U LABORATORIJSKOM SISTEMU
ˇsto je poznat rezultat: ωi0 su projekcije ugaone brzine u pokretnom sistemu, tj. u sistemu krutog
tela. Recept za njihovo nalaˇzenje je prost. Prvo formirati antisimetriˇcnu matricu Ω koriste´ci
matricu rotacije, a zatim iz nje proˇcitati projekcije ugaone brzine u sistemu S 0 .
Primer: Matrica rotacije oko z ose data je sa (7.2.7). Odrediti ugaonu brzinu.
Matrica Ω je data sa



−ϕ˙ sin ϕ ϕ˙ cos ϕ 0
cos ϕ − sin ϕ 0
˙ T = −ϕ˙ cos ϕ −ϕ˙ sin ϕ 0  sin ϕ cos ϕ 0
Ω = RR
0
0
0
0
0
1


0 ϕ˙ 0
= −ϕ˙ 0 0
(7.7.51)
0 0 0
odakle je ω = ϕe
˙ z.
7.8
Komponente ugaone brzine u sistemu krutog tela i u
laboratorijskom sistemu
Dekartove ortove sopstvenog sistema krutog tela obeleˇzi´cemo sa ei , i = 1, 2, 3 a laboratorijskog
˜i , i = 1, 2, 3. Poloˇzaj sopstvenog sistema S u odnosu na sistem
(ovaj sistem je inercijalan) sa e
S˜ odredjen je sa tri Ojlerova ugla. Proizvoljna infinitezimalna rotacija krutog tela je za ugao
dψe3 + dϕ˜
e3 + dθn pa je ugaona brzina
˙ 3 + ϕ˜
˙ .
ω = ψe
˙ e3 + θn
(7.8.52)
Da bi naˇsli komponente ugaone brzine u sopstvenom sistemu krutog tela potrebno je da vektore
˜3 razvijemo po sopstvenom bazisu krutog tela. Jasno je da je
nie
n = cos ψe1 − sin ψe2 .
(7.8.53)
Formulu (7.2.12) prepisa´cemo u obliku
xi =
3
X
Rij x˜j
(7.8.54)
j=1
˜ Uze´cemo
jer smo malo promenili notaciju. xi i x˜i su projekcije vektora u sistemu S odnosno S.
˜
da je taj vektor e˜3 . Njegove koordinate u sistemu S su x˜1 = 0, x˜2 = 0, x˜3 = 1. U sistemu S
kordinate ovog vektora su
 
0

R 0 ,
(7.8.55)
1
gde je matrica R data sa (7.2.24). Rezultat ovog mnoˇzenja je


sin ψ sin θ
cos ψ sin θ .
cos θ
(7.8.56)
102
CHAPTER 7. KRETANJE KRUTOG TELA
Dakle
˜3 = sin ψ sin θe1 + cos ψ sin θe2 + cos θe3 .
e
(7.8.57)
Konaˇcno dobijamo
˙ 1 + (cos ψ sin θϕ˙ − sin ψ θ)e
˙ 2 + (cos θϕ˙ + ψ)e
˙ 3.
ω = (sin ψ sin θϕ˙ + cos ψ θ)e
(7.8.58)
Analogno se mogu na´ci projekcije ugaone brzine u laboratorijskom sistemu. Potrebno je vektore
e3 i n razloˇziti u bazisu ei , i = 1, 2, 3. Konaˇcno se dobija
˙ e1 + (− cos ϕ sin θψ˙ + sin ϕθ)˜
˙ e2 + (cos θψ˙ + ϕ)˜
ω = (sin ϕ sin θψ˙ + cos ϕθ)˜
˙ e3 .
(7.8.59)
Komponente ugaone brzine moˇzemo odrediti i direktno iz matrice rotacije
R = Re03 (ψ)Rn (θ)Re3 (ϕ).
Napomenimo da je u novim oznakama veza izmedju ortova laboratorijskog sistema i sistema
krutog tela data sa
3
X
ei (t) =
Rij (t)˜
ej .
j=1
Matrica Ω je data sa
˙ T = R˙ e0 RT0 + Re0 R˙ n RnT RT0 + Re0 Rn R˙ e3 ReT RnT RT0 .
Ω = RR
e3
e3
e3
3
3
3
3
(7.8.60)
Posle malo duˇzeg ali jednostavnog raˇcuna dobija se


0
ϕ˙ cos θ + ψ˙
− cos ψ sin θϕ˙ + sin ψ θ˙
Ω=
− cos θϕ˙ − ψ˙
0
sin ψ sin θϕ˙ + cos ψ θ˙  .
cos ψ sin θϕ˙ − sin ψ θ˙ − sin ψ sin θϕ˙ − cos ψ θ˙
0
(7.8.61)
Iz matrice Ω se dobijaju projekcije ugaone brzine u sistemu krutog tela:
ω1 = Ω23 = sin ψ sin θϕ˙ + cos ψ θ˙
ω2 = Ω31 = cos ψ sin θϕ˙ − sin ψ θ˙
ω3 = Ω12 = cos θϕ˙ + ψ˙ .
(7.8.62)
Odredimo sada projekcije ugaone brzine u nepokrtetnom laboratorijskom sistemu. Komponente matrice Ω se transformiˇsu po tenzorskom zakonu pri rotacijama, tj.
˜ mn ,
Ωij = Rim Rjn Ω
gde smo sa tildom obeleˇzili komponente tenzora u laboratorijskom sistemu. Iz ove relacije uz
˙ T je
Ω = RR
˜ ij = RT RT Ωmn = RT RT R˙ mp Rnp = (RT R)
˙ ij .
Ω
(7.8.63)
im jn
im jn
ˇ
7.9. BRZINA TACKE
KRUTOG TELA
103
Figure 7.8:
Nakon jednostavnog raˇcuna dobijamo


0
ϕ˙ + cos θψ˙
cos ϕ sin θψ˙ − sin ϕθ˙
˜ =
Ω
− cos θψ˙ − ϕ˙
0
sin ϕ sin θψ˙ + cos ϕθ˙  .
− cos ϕ sin θψ˙ + sin ϕθ˙ − sin ϕ sin θψ˙ − cos ϕθ˙
0
(7.8.64)
Projekcije ugaone brzine u nepokretnom sistemu su
˜ 23 = sin ϕ sin θψ˙ + cos ϕθ˙
ω
˜1 = Ω
˜ 31 = − cos ϕ sin θψ˙ + sin ϕθ˙
ω
˜2 = Ω
˜ 12 = cos θψ˙ + ϕ˙ .
ω
˜3 = Ω
7.9
(7.8.65)
Brzina taˇ
cke krutog tela
Radijus vektor Rα taˇcke krutog tela indeksa α u laboratorijskom inercijalnom sistemu je
Rα = R0 + rα ,
(7.9.66)
gde je R0 vektor poloˇzaja pola sopstvenog koordinatnog sistema krutog tela a rα radijus vektor
taˇcke indeksa α u sopstvenom sistemu krutog tela. Diferenciranjem gornje formule po vremenu
dobijamo
Vα = V0 + ω × rα ,
(7.9.67)
gde je V0 brzina pola a ω trenutna ugaona brzina rotacije krutog tela. Pokaˇzimo sada da je
ugaona brzina krutog tela nezavisna od izbora pola. Neka je A pol drugog koordinatnog sistema
i neka je a radijus vektor taˇcke A u odnosu na pol O. Tada je brzina taˇcke krutog tela indeksa
α
(7.9.68)
Vα = VA + ω A × r0α ,
gde je ω A ugaona brzina vezana za pol A. Zamenom r0α = rα − a u prethodni izraz dobijamo
Vα = VA + ω × (rα − a)
(7.9.69)
104
CHAPTER 7. KRETANJE KRUTOG TELA
odnosno
Vα = V0 + ω A × rα ,
(7.9.70)
V0 = VA + ω A × (−a) .
(7.9.71)
jer je
Poredjenjem (7.9.67) sa (7.9.70) sledi
ωA = ω .
(7.9.72)
Ugaona brzina je karakteristika tela koje rotira i nije vezana za neku specijalnu taˇcku, pol
koordinatnog sistema niti za sam sistem.
7.10
Impuls krutog tela
Da bi odredili impuls krutog tela izdeli´cemo ga na deli´ce. Impuls krutog tela je zbir impulsa
pojedinih deli´ca
X
P=
mα Vα ,
(7.10.73)
α
gde je Vα brzina taˇcke indeksa α u laboratorijskom sistemu. Kod krutog tela masa je neprekidno
rasporedjena i ukupni impuls je integral
Z
P = dmV .
(7.10.74)
Medjutim, mi ´cemo umesto integrala pisati sumu, tj. smatra´cemo da je kruto telo diskretan
skup deli´ca. To nam pojednostavljuje raˇcun, a krajnji rezultati ne´ce zavisti od naˇseg izbora.
Impuls krutog tela se lako dobija
X
X
P =
mα Vα =
mα (V0 + ω × rα )
α
α
= m(V0 + ω × rc )
= mVc ,
(7.10.75)
gde je Vc brzina centra mase. Impuls krutog tela jednak je impulsu centra mase krutog tela u
kome se nalazi mase tela.
7.11
Moment impulsa krutog tela. Tenzor inercije
U ovoj lekciji odredi´cemo angularni moment tj. moment impulsa krutog tela u laboratorijskom
sistemu. To je ukupni moment impulsa krutog tela i on je suma momenata impulsa njegovih
pojedinaˇcnih deli´ca
X
X
L=
Lα =
mα Rα × Vα .
(7.11.76)
α
α
7.11. MOMENT IMPULSA KRUTOG TELA. TENZOR INERCIJE
105
Zamenom (7.9.67) i (7.9.66) u prethodni izraz imamo
X
L =
mα (R0 + rα ) × (V0 + ω × rα )
α
=
X
mα R0 × V0 +
α
+
X
X
mα R0 × (ω × rα )
α
mα rα × V0 +
α
X
mα rα × (ω × rα ) .
(7.11.77)
α
P
U prvom ˇclanu ´cemo iskoristiti da je α mα = m masa krutog tela; a u drugom i tre´cem
´cemo uvesti radujus vektor centra mase tela u odnosu na sopstveni sistem
X
mrc =
mα r α .
(7.11.78)
α
Tako dolazimo do
L = mR0 × V0 + mR0 × (ω × rc ) + mrc × V0 +
X
mα ra × (ω × rα ) .
(7.11.79)
α
Kako je brzina centra mase u laboratorijskom sistemu
Vc = V0 + ω × rc
to je
L = mR0 × Vc + mrc × V0 +
X
mα rα × (ω × rα ) .
(7.11.80)
(7.11.81)
α
Prva dva ˇclana se odnose na translatorno kretanje krutog tela a zadnji na rotaciono kretanje.
Poslednji ˇclan je moment impulsa krutog tela u odnosu na pol sopstvenog koordinatnog sistema.
To je rotacioni ili unutraˇsnji moment impulsa.
Ako izaberemo da se pol sopstvenog sistema poklapa sa centrom mase krutog tela (rc = 0)
tada je moment impusa krutog tela
X
L = mRc × Vc +
mα rα × (ω × rα ) .
(7.11.82)
α
Prvi sabirak je moment impulsa centra mase krutog tela pod uslovom da je sva masa krutog tela
skoncentrisana u toj taˇcki. Rotacioni (unutraˇsnji) moment impulsa2 je
X
Lrot =
mα rα × (ω × rα )
(7.11.83)
α
Razvijaju´ci dvostruki vektorski proizvod3 dobijamo
X
Lrot =
mα [r2α ω − (ω · rα )rα ] .
α
2
3
Moment impulsa krutog tela u odnosu na centar mase naziva se sopstvenim momentom impulsa.
a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c
(7.11.84)
106
CHAPTER 7. KRETANJE KRUTOG TELA
Dekartove komponente unutraˇsnjeg momenta impulsa krutog tela su
(Lrot )i =
3 X
X
mα [rα2 δij − xαi xαj ]ωj ,
(7.11.85)
α
k=1
gde su sa xαi obeleˇzene koordinate vektora rα u sistemu krutog tela. Zadnja relacija je oblika
(Lrot )i =
3
X
Iik ωk ,
(7.11.86)
k=1
gde je
Iij =
X
mα [rα2 δij − xαi xαj ]
(7.11.87)
α
tenzor inercije. Npr.
I11 =
X
mα [yα2 + zα2 ]
α
I12 =
X
mα [−xα yα ] .
(7.11.88)
α
U sluˇcaju neprekidne raspodele mase gornje formule se lako generalizuju. Komponente tenzora
inercije su
Z
Iik =
d3 rρ(r)[r2 δik − xi xk ] .
(7.11.89)
V
Komponente tenzora inercije su napisane u sistemu krutog tela. Jednaˇcinu (7.11.86) moˇzemo
ˆ , gde smo sa Iˆ obeleˇzili tenzor inercije.
prepisati u obliku Lrot = Iω
Nadjimo sada kako se kompomnete tenzora inercije tarnsformiˇsu pri rotacijama. Pri rotaciji
koordinatnog sistema koordinate vektora poloˇzaja se transformiˇsu prema (7.2.12). Primenom
ove formule imamo
X
0
Iik
=
mα [rα02 δik − x0αi x0αk ]
α
=
X
mα [rα2 δik − Rij Rkm xαj xαm ] ,
(7.11.90)
α
0
gde su Iik i Iik
komponetne tenzora inercije u polaznom i u sistemu koji je dobijen rotacijom iz
polaznog. Primenom δik = Rij Rjm δkm lako dolazimo do
0
= Rij Rkm Ijm .
Iik
(7.11.91)
ˆ T .
Iˆ0 = RIR
(7.11.92)
Gornju formulu prepisa´cemo u obliku
Veliˇcina koja se na ovakav naˇcin transformiˇse pri rotacijama naziva se tenzorom drugag reda.
Ovim smo pokazali da je tenzor inercije doista tenzor.
7.11. MOMENT IMPULSA KRUTOG TELA. TENZOR INERCIJE
107
Tenzor inercije je simetriˇcan Iik = Iki . Njegovi dijagonali elementi su momenti a vandijagonalni proizvodi inercije. Svaki simetriˇcan realan tenzor moˇzemo dijagonalizovati, tj. moˇzemo
rotacijom (ortogonalnom transformacijom) pre´ci u koordinatni sistem u kojem je tenzor dijagonalan


I1 0 0
 0 I2 0  .
(7.11.93)
0 0 I3
Dijagonalni elementi I1 , I2 i I3 se nazivaju glavni momenti inercije, a sistem u kojem je tenzor
inercije dijagonalan je sistem glavnih osa inercije.
Kada kruto telo rotira oko fiksne ose, odredjene ortom n zgodno je uvesti moment inercije
ˆ . Primenom gornje definicije
krutog tela u odnosu na ovu osu. On je definisan sa In = nT In
imamo
In =
3
X
ni Iij nj
i,j=1
=
X
mα (ra2 − (n · ra )2 )
α
=
X
2
mα rα⊥
,
(7.11.94)
α
gde je rα⊥ normalno rastojanje deli´ca indeksa α u odnosu na osu rotacije.
Primer 1: Valjak polupreˇcnika osnove R i visine h ima masu m koja je ravnomerno rasporedjena. Na´ci tenzor inercije valjka o odnosu na sistem ˇciji je koordinatni poˇcetak u centru mase
valjka a z−osa je usmerena duˇz ose simetrije valjka.
Reˇsenje: Komponente tenzora inercije se odredjuju direktno primenom (7.11.89); 11 komponenta
tenzora inercije je
Z
I11
m
=
dm(y + z ) = 2
R πh
m 2 h2 =
R +
.
4
3
2
Z
Z
R
2
Z
2π
dρρ
h/2
dz(ρ2 sin2 ϕ + z 2 )
dϕ
0
−h/2
0
(7.11.95)
Sliˇcno se dobijaju i preostale komponente tenzora inercije. Rezultat je
 
I=

m
4
R2 +
0
0
h2
3

m
4
0
R2 +
0
h2
3
0

0 
 .
(7.11.96)
mR2
2
Primer 2: Na´ci komponente tenzora inercije tanke homogene kvadratne ploˇce stranice a. Koordinatni poˇcetak je u temenu kvadata, x i y ose su usmerene duˇz stranica kvadrata.
108
CHAPTER 7. KRETANJE KRUTOG TELA
Figure 7.9:
Reˇsenje: Primenom (7.11.89) imamo
Z
Z a
m a
ma2
I11 = 2
dx
dyy 2 =
a 0
3
Z a Z0 a
m
ma2
dyx2 =
I22 = 2
dx
a 0
3
Z0 a
Z a
m
ma2
I12 = I21 = − 2
dxx
dyy = −
a
4
0
Z a Z 0a
2
m
2ma
I33 = 2
.
dx
dy(x2 + y 2 ) =
a 0
3
0
Ostali matriˇci elementi su jednaki nuli. Tenzor inercije je

 ma2
2
− ma
0
3
4
2
ma2
I = − ma
0  .
4
3
2ma2
0
0
3
Svojstvene vrednosti gornje matrice se nalaze iz
ma2
ma2
3 −2 λ −2 4
ma
− ma
−λ
4
3
0
0
pa su glavni momenti inercije
0
0
2ma2
3
=0
− λ
(7.11.97)
(7.11.98)
(7.11.99)
2 2ma2
ma2
, 7ma
, 3
12
12
. Glavni pravci inercije su
 
   
1
−1
0
1   1    
√
1 , √
1 , 0 .
2 0
2
0
1
(7.11.100)
Ovaj koordinatni sistem je dobijen rotacijom za 450 iz polaznog. Tenzor inercije u bazisu glavnih
pravaca inercije ima dijagonalan oblik

 ma2
0
0
12
2
(7.11.101)
Id =  0 7ma
0  .
12
2ma2
0
0
3
ˇ
7.12. KINETICKA
ENERGIJA KRUTOG TELA
109
Figure 7.10:
ˇ
Stajnerova
teorema
Odredimo kako se tenzor inercije menja ako transliramo koordinatni sistem za neki fiksni vektor
a. U novom sistemu komponente tenzora inercije i sve druge veliˇcine obeleˇzi´cemo primom.
Komponente tenzora inercije u sistemu S 0 su
X
Iij0 =
mα [rα02 δij − x0αi x0αj ]
α
=
X
mα [(rα − a)2 δij − (xαi − ai )(xαj − aj )]
α
= Iij + m(a2 δij − ai aj ) + m(−2rc · aδij + aj xci + ai xcj ) ,
(7.11.102)
gde su Iij komponente tenzora inercije u polaznom sistemu. Takodje uveli smo vektor poloˇzaja
centra mase rc i njegove dekartove koordinate xci , i = 1, 2, 3. Ako se pol polaznog sistema nalazi
u centru mase krutog tela onda se prethodni izraz uproˇs´cava
Iij0 = Iij
(cm)
+ m(a2 δij − ai aj ) .
(7.11.103)
ˇ
Ovaj rezultat poznat je kao Stajnerova
teorema.
7.12
Kinetiˇ
cka energija krutog tela
Kinetiˇcka energija krutog tela je suma kinetiˇckih energija njegovih deli´ca
1X
T =
mα Vα2
2 α
1X
=
mα (V0 + ω × rα )2
2 α
X
1X
1
mα V0 · (ω × rα ) +
=
mV02 +
mα (ω × rα )2
2
2
α
α
=
1
mV02 + mV0 · (ω × rc ) + Trot ,
2
(7.12.104)
110
CHAPTER 7. KRETANJE KRUTOG TELA
gde je V0 brzina pola u laboratorijskom sistemu, rc radijus vektor centra mase u sopstvenom
sistemu krutog tela, a
1X
Trot =
mα (ω × rα )2
(7.12.105)
2 α
kinetiˇcka energija rotacije krutog tela. Nju ´cemo dalje transformisati prema
1X
mα (ω × rα ) · (ω × rα )
2 α
1X
mα ω · (rα × (ω × rα ))
=
2 α
Trot =
1
ω · Lrot
2
3
1X
Iij ωi ωj .
=
2 i,j=1
=
(7.12.106)
Poslednji izraz moˇzemo prepisati u obliku
1
ˆ .
Trot = ω T Iω
2
(7.12.107)
Ako izaberemo da se pol sopstvenog koordinatnog sistema poklapa sa centrom mase krutog tela
onda je kinetiˇcka energija krutog tela
3
1
1X
T = mVc2 +
Iij ωi ωj .
2
2 i,j=1
(7.12.108)
Dakle, kinetiˇcka energija krutog tela je zbir kinetiˇcke energije translacije i rotacije. Kinetiˇcka
energija translacije odgovara kinetiˇckoj energiji centra mase kao da je sva masa krutog tela u
njegovom centru mase. Drugi sabirak, kinetiˇcka energija rotacije predstavlja kinetiˇcku energiju
rotacije krutog tela oko ose koja prolazi kroz centar mase tela.
Ako kruto telo rotira oko fiksne ose ugaonom brzinom ω = ωn kinetiˇcka energija rotacije je
1
Trot = In ω 2 .
2
(7.12.109)
Primer: Unutar cilindra radijusa R kotrlja se bez klizanja valjak radijusa r. Masa valjka je
m. Odrediti kinetiˇcku energiju valjka.
Reˇsenje: Kinetiˇcka energija valjka je
1
1
T = mvc2 + Iω 2 ,
2
2
(7.12.110)
gde je vc brzina centra mase valjka, ω njegova ugaona brzina a I moment inercije valjka u
odnosu na osu simetrije valjka. Ugao izmedju vertikale i prave koja prolazi kroz centar valjka i
cilnidra obeleˇzi´cemo sa ϕ. Brzina taˇcaka na omotaˇcu valjka koji su u kontaktu sa cilindrom je
ˇ
7.13. KRETANJE KRUTOG TELA OKO NEPOKRETNE TACKE
111
Figure 7.11:
nula jer nema proklizavanja. Ove taˇcke ˇcine trenutnu osu rotaciju valjka. Iz gornjeg uslova i
vc = (R − r)ϕ˙ sledi
R−r
ω=
ϕ˙
(7.12.111)
r
pa je
3
T = m(R − r)2 ϕ˙ 2 .
(7.12.112)
4
7.13
Kretanje krutog tela oko nepokretne taˇ
cke
Razmatrajmo kretanje krutog tela ukoliko je jedna taˇcka krutog tela nepokretna. Kao ˇsto smo
ve´c pokazali ukupni moment impulsa krutog tela je
L = mR0 × Vc + mrc × V0 + Lrot .
(7.13.113)
Za pol sistema krutog tela (koji ´cemo obeleˇziti sa S) izabra´cemo nepokretnu taˇcku krutog tela,
tj. V0 = 0. Ako uzmemo da se pol laboratorijskog (nepokretnog) sistema poklapa sa polom
sistema krutog tela onda je i R0 = 0 pa su prva dva ˇclana u izrazu za moment impulsa jednaki
nuli . Prema tome moment impulsa u laboratorijskom sistemu sadrˇzi samo poslednji ˇclan L =
ˆ Teorema momenta imupulsa u ovom sistemu je
Lrot = Iω.
dL
=M,
(7.13.114)
dt
gde je M moment sile u odnosu na nepokretnu taˇcku krutog tela. Diferenciranje po vremenu je
˜ Primenom Koriolisove teoreme (7.5.32) dobijamo
u laboratorijskom sistemu S.
dLrot (7.13.115)
+ ω × Lrot = M .
dt S
Izraz (7.13.115) je Ojlerova jednaˇcina. Projektovanjem jednaˇcine (7.13.115) na glavne ose
inercije sopstvenog sistema krutog tela dobijamo
I1 ω˙ 1 + (I3 − I2 )ω2 ω3 = M1
I2 ω˙ 2 + (I1 − I3 )ω1 ω3 = M2
I3 ω˙ 3 + (I2 − I1 )ω2 ω1 = M3 ,
(7.13.116)
gde su I1 , I2 i I3 glavni momenti inercije krutog tela, M1 , M2 i M3 odnosno ω1 , ω2 i ω3 projekcije
momenta sile u odnosu na nepokretnu taˇcku odnosno ugaone brzine na glavne pravce inercije
krutog tela. Diferenciranje po vremenu je u sistemu krutog tela.
112
CHAPTER 7. KRETANJE KRUTOG TELA
Kretanje slobodne simetriˇ
cne ˇ
cigre oko nepokretne taˇ
cke
Simetriˇcna ˇcigra je je kruto telo za koje vaˇzi I1 = I2 6= I3 . Osa simetrije ˇcigre je z− osa. Dalje
´cemo uzeti da je moment sile koji deluje na ˇcigru jednak nuli. Jednaˇcine (7.13.116) imaju oblik
I1 ω˙ 1 + (I3 − I1 )ω2 ω3 = 0
I1 ω˙ 2 + (I1 − I3 )ω1 ω3 = 0
I3 ω˙ 3 = 0 .
(7.13.117)
Iz zadnje jednaˇcine vidimo da je ω3 = A, gde je A konstanta. Diferenciranjem druge jednaˇcine
gornjeg sistema po vremenu uz primenu prve jednaˇcine dobijamo
I − I 2
3
1
ω
¨ 2 + A2
ω2 = 0 .
(7.13.118)
I1
Reˇsenje ove jednaˇcine je
ω2 = C cos(Ωt + ϕ) ,
(7.13.119)
gde su C i ϕ integracione konstante, a
Ω=
|I3 − I1 |A
.
I1
(7.13.120)
Iz druge jednaˇcine sistema (7.13.117) sledi
ω1 = ±C sin(Ωt + ϕ) ,
(7.13.121)
gde se gornji znak odnosi na sluˇcaj I3 > I1 , a donji na I3 < I1 . Dakle, vrh vektora ugaone
brzine ima konstantnu projekciju A na z−osu i opisuje krug polupreˇcnika C u xy−ravni. Vektor
ugaone brzine opisuje konus ˇcija se osa poklapa sa osom simetrije krutog tela. Ovakvo kretanje
vektora ugaone brzine naziva se precesijom; Ω je ugaona brzina precesije.
Vektor momenta impulsa L je konstantan u laboratorijskom sistemu jer je taj sistem inercijalan. Uzmimo da je L = L˜
e3 . Primenom ω ×e3 = ω2 e1 −ω1 e2 lako se vidi da je L·(ω ×e3 ) = 0.
Vektori moment impulsa, ugaona brzina i e3 leˇze u jednoj ravni. Vektor momenta impulsa u
sopstvenom sistemu krutog tela je
L = I1 ω1 e1 + I1 ω2 e2 + I3 ω3 e3 .
(7.13.122)
˜3
Sa druge strane u laboratorijskom sistemu moment impulsa je L = L˜
e3 . Komponente vektor e
u bazisu krutog tela su date sa (7.8.57). Primenom ove formule dobijamo
L = L(sin ψ sin θe1 + cos ψ sin θe2 + cos θe3 ) .
(7.13.123)
Poredjenjem sa (7.13.122) dobijamo
I3 A
= cos θ0
L
L
ϕ˙ =
I1
I3 ψ˙ = A 1 −
= −Ω .
I1
cos θ =
(7.13.124)
ˇ
7.13. KRETANJE KRUTOG TELA OKO NEPOKRETNE TACKE
113
Figure 7.12:
Uzeli smo da je I3 > I1 . Iz prve jednaˇcine sledi da je θ konstantan ugao. Iz gornjih jednaˇcina se
vidi da su konaˇcne jednaˇcine kretanja date sa
θ(t) = θ0
L
ϕ(t) =
t + ϕ0
I1
ψ(t) = −Ωt + ψ0 ,
(7.13.125)
gde su ψ0 i ϕ0 konstante odredjene poˇcetnim uslovima. Primenom (7.8.59) dobijamo vektor
ugaone brzine u laboratorijskom sistemu
r
L L L A2 I I3 I3 I32 A2 3
˜
˜
˜3 . (7.13.126)
ω = A 1−
1−
1 − 2 sin
t e1 − cos
t e2 +
+
e
I1
L
I1
I1
I1
L
I1
Vektor ugaone brzine precesira oko vektora momenta impulsa, tj z˜−ose opisuju´ci pri tome tzv.
prostorni konus. Takodje vektor ugaone brzine precesira oko z−ose tj. oko ose simetrije krutog
tela opiusuju´ci pri tome takodje konus. Ovo je ilustrovano na slici 7.13. Neka je α ugao izmedju
z˜ ose i ugaone brzine, a β ugao izmedju vektora ugaone brzine i ose simetrije krutog tela. Lako
se vidi da su oba ugla konstantna
ϕ˙ + ψ˙ cos θ0
ω
˜3
=
ω
ω
˙
ω3
ψ + ϕ˙ cos θ0
cos β =
=
ω
ω
cos α =
(7.13.127)
jer su sve veliˇcine sa desnih strana jednakosti konstantne.
Naˇsa Zemlja je primer simetriˇcne ˇcigre, jer je malo spljoˇstena na polovima. Za Zemlju je
1
I3 − I1
=
.
I1
300
(7.13.128)
114
CHAPTER 7. KRETANJE KRUTOG TELA
Kako je moment sile koji deluje na Zemlju zanemarljiv moˇzemo primeniti prethodnu analizu.
Vektor ugaone brzine rotacije Zemlje precesira oko njene ose simetrije. Iz ω3 = dan−1 sledi da
je ugaona brzina ove precesije
1
Ω=
dan−1 .
(7.13.129)
300
Period ove precesije je oko 300 dana. Eksperimentalni rezultat je ve´ci i iznosi oko 435 dana.
Glavni razlog za ovo neslaganje leˇzi u ˇcinjenici da Zemlja nije kruto telo.
Primer: Planeta sfernog oblika mase M i radijusa R rotira stalnom ugaonom brzinom ω
oko ose simetrije. Iznenada je pogodi asteroid mase αM i ˇcvrsto se slepi sa sferom u taˇcki pod
uglom θ prema osi rotacije. Novonastalo telo nije viˇse rotaciono simetriˇcno. Na´ci ugaonu brzinu
precesije ose simetrije novonastalog tela.
Reˇsenje: Centar mase planete posle sudara sa asteroidom je udaljen od centra planete za
αR
d=
1+α
i nalazi se duˇz pravca koji spaja asteroid sa centrom. Neka je z osa postavljena duˇz ovog pravca.
Tenzor inercije u sistemu centra mase je

2
α
+ 1+α
0
0
5
2
α
+ 1+α
0 .
(7.13.130)
I = M R2  0
5
2
0
0
5
Ugaona brzina precesije je
Ω=
7.14
5α
ω cos θ .
2 + 7α
Lagranˇ
zev metod za kruto telo
Ako ne postoje nikakva druga ograniˇcenja na kretanje krutog tela sem uslova da je rastojanje
izmedju ma koje dve taˇcke tela nepromenjeno, kruto telo ima ˇsest stepeni slobode. Za generalisane koordinate izabra´cemo koordinate pola sopstvenog sistema krutog tela i Ojlerove uglove:
X0 , Y0 , Z0 , θ, ϕ, ψ. Lagranˇzeve jednaˇcine su oblika
d ∂T ∂T
−
= Qi ,
(7.14.131)
dt ∂ q˙i
∂qi
gde su Qi generalisane sile. Polaze´ci od izraza (7.9.66) vidimo da je virtuelno pomeranje deli´ca
krutog tela indeksa α dato sa
δRα = δR0 + δφ × rα .
(7.14.132)
Kruto telo je idealan sistem pa je rad aktivnih sila na virtuelnim pomeranjima dat sa
X
δA =
Fα · δRα
α
=
X
Fα · δR0 + δφ ·
α
= F · δR0 + δφ · M ,
X
rα × F α
α
(7.14.133)
ˇ
7.14. LAGRANZEV
METOD ZA KRUTO TELO
115
Figure 7.13: Fiziˇcko klatno
gde su F i M ukupna sila odnosno moment sile koji deluje na kruto telo. Moment sile se raˇcuna u
odnosu na pol sopstvenog sistema krutog tela. Kako je δφ = δψe3 +δϕ˜
e3 +δθn to su generalisane
sile
˜ 1 · F , Q y = Fy = e
˜2 · F, Qz = Fz = e
˜3 · F
Qx = Fx = e
˜ 3 , Q ψ = M · e3 .
Qθ = M · n, Qϕ = M · e
(7.14.134)
Generalisane sile Qx , Qy i Qz su Dekartove projekcije u laboratorijskom sistemu ukupne spoljaˇsnje
sile koja deluje na kruto telo. Da bi se formirale Lagranˇzeve jednaˇcine potrebno je da kinetiˇcku
energiji krutog tela izrazimo preko generalisanih koordinata. Ako je spoljaˇsnja sila koja deluje
na kruto telo potencijalna moˇzemo je izraziti preko potencijala,
F=−
∂U
.
∂R0
(7.14.135)
Lagranˇzeve jednaˇcine onda imaju standardni oblik gde je L = T − U .
Fiziˇ
cko klatno
Razmotrimo kruto telo koje rotira oko fiksne ose u gravitacionom polju, slika 7.14 . Uze´cemo
da je ta osa z−osa. Sistem ima jedan stepen slobode, ugao rotacije ϕ oko z− ose. Kinetiˇcka
energija krutog tela u nepokretnom sistemu OXY Z je
1
T = I33 ϕ˙ 2 .
2
Potencijalna gravitaciona energija je
Z
U = − dmgr cos ϕ = −mga cos ϕ .
(7.14.136)
(7.14.137)
Radijus vektor centra mase krutog tela je a. Lagranˇzijan je prema tome
Jednaˇcina kretanja je
1
L = T − U = I33 ϕ˙ 2 + mga cos ϕ .
2
(7.14.138)
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂ ϕ˙
∂ϕ
(7.14.139)
116
CHAPTER 7. KRETANJE KRUTOG TELA
Figure 7.14:
odnosno
mga
sin ϕ = 0 .
I33
Za male uglove ϕ vaˇzi sin ϕ = ϕ pa se jednaˇcina kretanja svodi na
mga
ϕ¨ +
ϕ=0.
I33
Kruto telo osciluje (fiziˇcko klatno) frekvencom
r
mga
.
ω=
I33
ϕ¨ +
(7.14.140)
(7.14.141)
(7.14.142)
Simetriˇ
cna ˇ
cigra u gravitacionom polju
U ovoj lekciji analizira´cemo kretanje simetriˇcne ˇcigre u gravitacionom polju. Uze´cemo da je
taˇcka O nepokretna i da je ona pol laboratorijskog sistema kao i sistema vezanog za ˇcigru, kao
ˇsto je prikazano na slici 7.14. Primenom (7.8.58) lako se dobija kinetiˇcku energiju ˇcigre
1
T = Trot = (I1 ω12 + I1 ω1 22 + I3 ω32 )
2
1
1
˙ 2.
I1 (ϕ˙ 2 sin2 θ + θ˙2 ) + I3 (ϕ˙ cos θ + ψ)
(7.14.143)
=
2
2
Potencijalna gravitaciona energija je
U = mga cos θ
(7.14.144)
pa je lagranˇzijan dat sa
1
1
˙ 2 − mga cos θ .
L = I1 (ϕ˙ 2 sin2 θ + θ˙2 ) + I3 (ϕ˙ cos θ + ψ)
(7.14.145)
2
2
U ovom sluˇcaju postoje tri integrala kretanja. Uglovi ψ i ϕ su cikliˇcne koordinate jer lagranˇzijan
ne zavisi od njih. Konjugovani generalisani impulsi su konstante kretanja
∂L
˙ cos θ = A
= I1 ϕ˙ sin2 θ + I3 (ϕ˙ cos θ + ψ)
pϕ =
∂ ϕ˙
∂L
˙ =B .
pψ =
(7.14.146)
= I3 (ϕ˙ cos θ + ψ)
∂ ψ˙
ˇ
7.14. LAGRANZEV
METOD ZA KRUTO TELO
117
Figure 7.15:
Kako lagranˇzijan ne zavisi ekspilicitno od vremena to je energija konstanta kretanja
1
1
˙ 2 + mga cos θ
E = I1 (ϕ˙ 2 sin2 θ + θ˙2 ) + I3 (ϕ˙ cos θ + ψ)
(7.14.147)
2
2
Ako iz (7.14.146) izrazimo ϕ˙ i ψ˙ i zamenimo u (7.14.147) dobijamo
1 ˙2
I1 θ + Ueff (θ) = E ,
2
(7.14.148)
gde je efektivni potencijal
Ueff (θ) =
A2
(B − A cos θ)2
+
+ mga cos θ .
2I3
2I1 sin2 θ
(7.14.149)
Kretanje ˇcigre je mogu´ce za one uglove θ za koje je E > Ueff (θ). Efektivni potencijal je prikazan
na slici, vidimo da su θ = 0 i θ = π vertikalne asimptote funkcije Ueff (θ) . Za energiju E ve´cu
od minimuma efektivnog potencijala mogu´ce vrednosti ugla θ leˇze u intervalu θ1 ≤ θ ≤ θ2 . Osa
simetrije ˇcigre opisuje krivu prikazanu na slici. Oscilovanje ose simetrije naziva se nutacijom.
Kretanje ˇcigre je pseudoregularna precesija; kombinacija precesije sa nutacijom.
ˇ
Primer 1 Stap
duˇzine l i mase m naslonjen je sa svoja dva kraja na vertikani odnosno horˇ
izontlni zid kao na slici 7.14. Stap
moˇze da klizi bez trenja po zidovima u vertikalnoj ravni. U
poˇcetnom trenutku ˇstap miruje i zaklapa ugao θ0 sa horizontalom.
a) Napisati jednaˇcine veza.
b) Na´ci lagranˇzijan i Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja uzimaju´ci ugao θ kao nezavistan stepen slobode.
c) Na´ci zavisnost θ = θ(t) u integralnom obliku.
˜ koriste´ci koordinate centra mase i ugao θ kao promenljive. U lad) Sastaviti Lagranˇzijan L
granˇzijan ukljuˇciti veze. Na´ci odgovaraju´ce jednaˇcine kretanja.
e) Izraziti Lagranˇzeve mnoˇzitelje preko ugla θ i odrediti pri kojoj vrednosti ugla θ se gornji kraj
ˇstapa odvaja od zida.
Reˇsenje:
a) Koordinate centra mase ˇstapa obeleˇzi´cemo sa (x, y). Jednaˇcine veza su:
l
cos θ = 0
2
l
≡ y − sin θ = 0 .
2
f1 ≡ x −
f2
(7.14.150)
118
CHAPTER 7. KRETANJE KRUTOG TELA
Figure 7.16:
Figure 7.17:
ˇ
7.14. LAGRANZEV
METOD ZA KRUTO TELO
119
b) Kinetiˇcka energija ˇstapa je
1
1
T = m(x˙ 2 + y˙ 2 ) + I θ˙2 ,
2
2
1
gde je I = 12
ml2 . Zamenom x i y iz jednaˇcina veza dobijamo
T =
(7.14.151)
ml2 ˙2
θ
6
(7.14.152)
Potencijalna energija ˇstapa je U = 21 mgl sin θ, tako da je laranˇzijan dat sa
L=
ml2 ˙2 mlg
θ −
sin θ .
6
2
(7.14.153)
3g
θ¨ = − cos θ .
2l
(7.14.154)
dθ˙
θ¨ = θ˙
dθ
(7.14.155)
Lagranˇzeva jednaˇcina kretanja je
c) Primenom
jednaˇcina kretaja postaje
3g
θ˙2 = − (sin θ − sin θ0 ) .
l
Interacijom gornje jednaˇcine dobijamo
Z
θ
t=−
θ0
q
dθ
3g
(sin θ0
l
− sin θ)
(7.14.156)
.
(7.14.157)
d) Koordinate x, y i θ tretira´cemo kao nezavisne promenljive. Lagranˇzijan je
1
ml2 ˙2
l
l
2
2
˜
L = m(x˙ + y˙ ) +
θ − mgy + λ1 x − cos θ + λ2 y − sin θ ,
2
24
2
2
(7.14.158)
gde smo ˇclanove sa vezama dodali u lagranˇzijan. Jednaˇcina kretanja su
m¨
x − λ1 = 0
m¨
y + mg − λ2 = 0
l
l
1
ml2 θ¨ − λ1 sin θ + λ2 cos θ = 0 .
12
2
2
(7.14.159)
Variranje po Lagranˇzevim mnoˇziteljima daje jednaˇcine veza iz kojih sledi
l
l
x¨ = − θ¨ sin θ − θ˙2 cos θ
2
2
l¨
l
y¨ =
θ cos θ − θ˙2 sin θ .
2
2
(7.14.160)
120
CHAPTER 7. KRETANJE KRUTOG TELA
Pokazati da eliminacijom x i y koordinata iz jednaˇcina kretanja dobijamo jednaˇcinu kretanja
nadjenu u delu b).
e) Lagranˇzevi mnoˇzitelji su
λ1 = m¨
x
λ2 = m¨
y + mg
(7.14.161)
odakle dobijamo
mg 1
3 sin θ0 − sin θ cos θ
2
2
3mg 1
=
− 2 sin θ0 sin θ + 3 sin2 θ .
4 3
λ1 = −
λ2
(7.14.162)
Generalisane sile reakcije su
∂f1
∂f2
+ λ2
∂x
∂x
∂f2
∂f1
+ λ2
= λ1
∂y
∂y
∂f1
∂f2
= λ1
+ λ2
∂θ
∂θ
Rx = λ1
Ry
Rθ
(7.14.163)
odakle konkretno dobijamo
Rx = λ1
Ry = λ2
l
Rθ = (λ1 sin θ − λ2 cos θ) .
2
(7.14.164)
Uslov odvajanja gornjeg dela ˇstapa je λ1 = 0 ˇsto daje kritiˇcni ugao θk
sin θk =
2
sin θ0 .
3
(7.14.165)
Chapter 8
Relativno kretanje
8.1
Veza izmedju brzina ˇ
cestice u dva sistema
Neka je S fiksiran inercijalni sistem, dok se sistem S 0 kre´ce u odnosu na sistem S. Primovani
sistem je neinercijalan; njegovo kretanje je u opˇstem sluˇcaju kombinacija translatornog i rotacionog kretanja. Posmatra´cemo kretanje ˇcestice iz oba referentna sistema. Radijus vektor ˇcestice
u sistemu S je r, dok je r 0 radijus vektor ˇcestice u neinercijalnom sistemu. Veza izmedju ovih
vektora je
r(t) = r0 (t) + r 0 (t),
(8.1.1)
gde je r0 radijus vektor koordinatnog poˇcetka sistema S 0 . Diferenciranjem gornje jednaˇcine po
vremenu u sistemu S daje
dr dr0 dr 0 (8.1.2)
=
+
.
dt S
dt S
dt S
Primenom Koriolisove teoreme
dr 0 dr 0 (8.1.3)
=
+ ω × r0 ,
dt S
dt S 0
gde je ω ugaona brzina rotacije sistema S 0 , dobijamo
v = v0 + v0 + ω × r 0 ,
(8.1.4)
0
brzina ˇcestice u fiksnom sistemu; v0 = dr
brzina ˇcestice u sistemu S 0 . Brzina
gde je v = dr
dt dt 0
S
S
0
v0 = dr
je brzina pola sistema S 0 u sistemu S. Relacija (8.1.4) je veza izmedju brzina ˇcestice
dt S
u odnosu na inercijalni i pokretni sistem.
8.2
Veza izmedju ubrzanja ˇ
cestice u dva sistema
Diferencirajmo izraz (8.1.4) po vremenu u fiksnom sistemu
dv0 dv0 dω dr 0 dv =
+
+
× r0 + ω ×
dt S
dt S
dt S
dt S
dt S
dr 0 dv0 dv0 0
0
0
˙
=
+
+ω×v +ω×r +ω×
+ω×r .
dt S
dt S 0
dt S 0
121
(8.2.5)
122
CHAPTER 8. RELATIVNO KRETANJE
dv ,
dt S
Primenili smo Koriolisovu teoremu. Ubrzanje ˇcestice u sistemu S je a =
a u sistemu S 0 je
0
a0 = dv
, dok je a0 ubrzanje pola sistema S 0 . Prema tome veza izmedju ubrzanja je
dt 0
S
a = a0 + a0 + 2ω × v0 + ω˙ × r 0 + ω × (ω × r 0 ) .
(8.2.6)
ˇ
Clan
acor = 2ω × v0 je Koriolisovo ubrzanje, dok je acf = ω × (ω × r 0 ) centrifugalno ubrzanje.
8.3
Dinamika relativnog kretanja
Neka se ˇcestica kre´ce u potencijalu V (r) za posmatraˇca u inercijanom sistemu sistemu S. Lagranˇzijan je dat sa
1
L = mv2 − V (r) .
(8.3.7)
2
Ve´c smo ranije rekli da je Hamiltonov princip nezavistan od izbora koordinatnog sistema; drugim
reˇcima Lagranˇzeve jednaˇcine vaˇze u proizvoljnom sistemu koordinata. To znaˇci da smenom
promenljivih
v = v0 + v0 + ω × r 0
r = r0 + r0
(8.3.8)
u lagranˇzijanu (8.3.7) prelazimo u neinercijalni sistem. Tako dobijamo lagranˇzijan u sistemu S 0
1 L = m v02 + v02 + (ω × r0 )2 + 2v0 · v0 + 2v0 · (ω × r0 ) + 2v0 · (ω × r0 ) − U (r 0 ) , (8.3.9)
2
gde je V (r0 + r0 ) = U (r 0 ) . Dalje ´cemo transformisati tri ˇclana u lagranˇzijanu (8.3.9) koja sadrˇze
brzinu pola primovanog sistema:
v02 + 2v0 · v0 + 2v0 · (ω × r0 ) = 2v0 · (v − v0 ) + v02
d
= v0 · (r0 + 2r 0 )
dt
S
d
0
v0 · (r0 + 2r ) − a0 · (r0 + 2r 0 ) .
=
dt
S
(8.3.10)
U zadnjem redu dobili smo ˇclan koji je totalni vremenski izvod funkcije koja zavisi od primovanih
koordinata. Ovaj ˇclan ´cemo odbaciti jer takvi ˇclanovi ne utiˇci na jednaˇcine kretanja. Dakle
lagranˇzijan postaje
1 02
0 2
0
0
0
(8.3.11)
L = m v + (ω × r ) + 2v · (ω × r ) − a0 · r0 − 2a0 · r − U (r 0 ) .
2
Ranije smo pokazali da je
(ω × r0 )2 = r 0 ω 2 − (r 0 · ω)2
3
3
X
X
ωi ωj x0i x0j .
= ω2
x2i −
2
i=1
i,j=1
(8.3.12)
8.4. FUKOOVO KLATNO
123
Sliˇcno je i
v0 · (ω × r0 ) =
3
X
i=1
vi0 (ω × r0 )i =
3
X
x0i (v0 × ω)i .
(8.3.13)
i=1
Primenom gornjih formula lako se nalaze parcijalni izvodi lagranˇzijana po Dekartovim koordinatama ˇcestice u primovanom sistemu odnosno po odgovaraju´cim brzinama:
∂L
= mvi0 + m(ω × r0 )i
0
∂vi
∂U
∂L
= mω 2 x0i − m(ω · r 0 )ωi0 + m(v0 × ω)i − ma0i − 0 .
0
∂xi
∂xi
Lagranˇzeve jednaˇcine
d ∂L ∂L
− 0 =0
dt ∂ x˙ 0i
∂xi
(8.3.14)
(8.3.15)
onda postaju
ma0 = ma0 − m(ω˙ × r 0 ) + 2mv0 × ω + mω × (r 0 × ω) −
∂U
.
∂r 0
(8.3.16)
Dobili smo jednaˇcinu kretanja ˇcestice u neinercijalnom sistemu. Ovaj rezultat je poznat iz kursa
∂U
Opˇste fizike. Na ˇcesticu u neinercijalnom sistemu pored prave sile − ∂r
0 deluju i tzv. inercijalne
odnosno fiktivne sile. Inercijalne sile nisu uzrokovane interakcijom sa drugim telima ve´c su
posledica neinercijalnosti koordinatnog sistema. Sila
Fcor = 2mv0 × ω
naziva se Koriolisovom silom i deluje na ˇcesticu koja se kre´ce brzinom v0 u odnosu na sistem
koji rorira ugaonom brzinom ω. Inercijalna sila
Fcf = −mω × (ω × r 0 ) = −m((ω · r 0 )ω − ω 2 r 0 )
(8.3.17)
se naziva centrifugalnom silom. Ako pored stvarnih sila dodamo joˇs i inercijane sile onda drugi
Njutnov zakon zadrˇzava istu formu kao u inercijanim sistemima. Ovo znaˇci da je neinercijalnost
sistem poniˇstena uvodjenjem inercijalnih sila.
8.4
Fukoovo klatno
U inercijalnom sistemu klatno osciluje u jednoj ravni. U ovoj lekciji analizira´cemo kretanje
klatna u sistemu vezanom za Zemlju. Vide´cemo da usled Koriolisove sile u sistemu vezanom
za Zemlju ravan oscilovanja klatna rotira. Neka je klatno uˇcvrˇs´ceno u taˇcki P koja je na z osi.
Koordinatni poˇcetak je na povrˇsini Zemlje, a osa z je radijalnog pravca. Pretpostavi´cemo da je
duˇzina klatna l velika i da su oscilacije male. Jednaˇcina veze je
x2 + y 2 + (z − l)2 = l2 .
(8.4.18)
124
CHAPTER 8. RELATIVNO KRETANJE
Poˇsto je z malo, tj. z 2 x2 + y 2 u jednaˇcini veze zanemari´cemo ˇclan z 2 . Veza je onda
z=
1 2
(x + y 2 ) .
2l
(8.4.19)
U ovom sluˇcaju lagranˇzijan (8.3.11) postaje
1
L = m˙r2 + mω · (r × v) − mgz .
2
(8.4.20)
Ugaona brzina rotacije Zemlje,
ω=
2π
= 7, 27 · 10−5 s−1
3600s
je mala, pa smo kvadratni ˇclan po ugaonoj brzini u lagranˇzijanu zanemarili. Dalje ´cemo zanemariti ˇclanove u lagranˇzijanu proporcionalne sa z odnosno z˙ pa je lagranˇzijan dat sa
1
mg 2
L = m(x˙ 2 + y˙ 2 ) + mωz (xy˙ − y x)
˙ −
(x + y 2 ) ,
2
2l
(8.4.21)
gde je ωz = ω sin ϕ. Ugao ϕ je geografska ˇsirina taˇcke u kojoj se nalazi klatno. Lagranˇzeve
jednaˇcine kretanja su
g
x¨ = 2ωz y˙ − x
l
g
y¨ = −2ωz x˙ − y .
l
(8.4.22)
Uvedimo novu promenljivu ξ = x + iy. Mnoˇzenjem druge Lagranˇzeve jednaˇcine sa i i sabiranjem
sa prvom dobijamo
g
ξ¨ + 2iωz ξ˙ + ξ = 0 .
(8.4.23)
l
Zamenom ξ = eiBt dobijamo dva reˇsenja za konstantu B:
r
g
B1,2 = ωz ± ωz2 +
l
(8.4.24)
pa je reˇsenje jednaˇcine (8.4.23)
ξ = A1 eiB1 t + A2 eiB2 t ,
(8.4.25)
gde su A1,2 integracione konstante. Neka su poˇcetni uslovi x(t = 0) = x0 , y(t = 0) = 0, x(t
˙ =
0) = y(t
˙ = 0) = 0. Reˇsenje jednaˇcina kretanja je
x0 0
0
0
ω
cos(ω
t)
cos(ω
t)
+
ω
sin(ω
t)
sin(ω
t)
z
z
z
ω0 x0
0
0
0
ωz cos(ωz t) sin(ω t) − ω sin(ωz t) cos(ω t) ,
y =
ω0
x =
(8.4.26)
8.4. FUKOOVO KLATNO
125
p
gde je ω 0 = ωz2 + g/l. Ako je duˇzina klatna l = 20m onda je ω 0 = 0, 7s−1 . Vidimo da je
ωz2 g/l pa jednaˇcine kretanja moˇzemo aproksimirati
r g x = x0 cos(ωz t) cos
t
l
r
g y = −x0 sin(ωz t) cos
t .
(8.4.27)
l
Kada Zemlja ne bi rotira klatno bi oscilovalo u Oxz ravni. Usled rotacije Zemlje ravan oscilovanja
rotira u smeru kazaljke na satu ugaonom brzinom ωz .
126
CHAPTER 8. RELATIVNO KRETANJE
Chapter 9
Hamiltonov formalizam
9.1
Hamiltonijan
Ranije smo uveli generalisanu energiju (funkciju energije) sa (4.2.21). Ona je funkcija generelisanih
koordinata i generalisanih brzina jer su impulsi funkcije koordinata i brzina. Hamiltonijan je
numeriˇcki jednak generalisanoj energiji
H=
n
X
pi q˙i − L(q, q,
˙ t) ,
(9.1.1)
i=1
ali generalisane brzine moraju biti izraˇzene preko generalisanih impulsa i koordinata. Veza
izmedju generalisanih impulsa i brzina se dobija iz sistema jednaˇcina
pi =
∂L
.
∂ q˙i
(9.1.2)
Da bi se iz gornjeg sistem generalisane brziname izrazile preko generealisanih koordinata i generalisanih impulsa potrebno je da vaˇzi
det
∂ 2L 6= 0 .
∂ q˙i ∂ q˙j
(9.1.3)
Dakle Hamiltonijan je funkcija generalisanih koordinata i generalisanih impulsa
H = H(q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn , t)
ˇsto ´cemo mi kra´ce pisati kao H(q, p, t). Prelazak sa lagranˇzijana na hamiltonijan je Leˇzandrova
transformacija.
Nadjimo hamiltonijan harmonijskog oscilatora, mase m i konstante elastiˇcnosti k. Lagranˇzijan je
1
1
(9.1.4)
L = mx˙ 2 − kx2 .
2
2
127
128
CHAPTER 9. HAMILTONOV FORMALIZAM
Generalisani impuls je px =
∂L
∂ x˙
= mx˙ odakle je x˙ = px /m. Hamiltonijan je
H = px x˙ − L
1
1
= px x˙ − mx˙ 2 + kx2
2
2
1 2
p2x
=
+ kx ,
2m 2
(9.1.5)
gde smo u poslednjem koraku eliminisali generalisanu brinu x.
˙
9.2
Hamiltonove jednaˇ
cine kretanja
Kao ˇsto smo rekli hamiltonijan je
H(q, p, t) =
n
X
pi q˙i − L(q, q,
˙ t) .
(9.2.6)
i=1
Diferenciranjem desne strane jednaˇcine (9.2.6) dobija se
dH =
n X
pi dq˙i + q˙i dpi −
i=1
∂L
∂L ∂L
dqi −
dq˙i −
dt .
∂qi
∂ q˙i
∂t
U ovom izrazu pojavljuju se diferencijali impulsa, koordinata, brzina i vremena. Generalisani
impulsi su definisani prema (9.1.2) tako da se ˇclanovi uz dq˙i krate. Na taj naˇcin se eliminiˇsu
generalisane brzine kao nezavisno promenljive. Primenom Lagranˇzevih jednaˇcina
∂L
= p˙i
∂qi
dobijamo
dH =
n
X
(q˙i dpi − p˙i dqi ) −
i=1
(9.2.7)
∂L
dt .
∂t
(9.2.8)
Hamiltonijan je dakle funkcija generalisanih koordinata, impulsa i vremena pa vaˇzi
dH =
∂H ∂H
dpi +
dqi +
dt
∂pi
∂qi
∂t
n X
∂H
i=1
(9.2.9)
Poredjenjem (9.2.9) i (9.2.8) dobijamo
∂H
∂pi
∂H
= −
∂qi
q˙i =
p˙i
(9.2.10)
9.3. FAZNI PROSTOR
129
i
∂L
∂H
=−
(9.2.11)
∂t
∂t
Jednaˇcine (9.2.10) su Hamiltonove ili kanonske jednaˇcine kretanja. One ˇcine sistem od 2n
diferencijalnih jednaˇcina prvog reda koji je ekvivalentan sa n Lagranˇzevih jednaˇcina koje su
diferencijalne jednaˇcine drugog reda. Da bi naˇsli reˇsenje Hamiltonovih jednaˇcina potrebno je da
znamo 2n poˇcetnih uslova:
pi (t = 0) = p0i , qi (t = 0) = q0i .
(9.2.12)
ˇ
ˇ
Primer: Cestica
mase m se kre´ce po povrˇsini vertikalnog cilindra polupreˇcnika R. Cestica
je spojena oprugom konstante elastiˇcnosti k i nominalne duˇzine l sa taˇckom O na osi simetrije
cilindra. Uzeti da je osa simetrije z osa, a da ja O koordinatni poˇcetak. Na ˇcesticu deluje i
gravitaciona sila. Na´ci hamiltonijan i kanonske jednaˇcine kretanja.
Reˇsenje: Sistem ima dva stepena slobode, generalisane koordinate su ϕ i z. Lagranˇzijan je
1
1 √
L = m(R2 ϕ˙ 2 + z˙ 2 ) − mgz − k( R2 + z 2 − l)2 .
2
2
(9.2.13)
Generalisani impulsi su:
∂L
= mR2 ϕ˙
∂ ϕ˙
∂L
=
= mz˙ .
∂ z˙
pϕ =
pz
(9.2.14)
Hamiltonijan je
p2ϕ
p2z
1 √ 2
H = pϕ ϕ˙ + pz z˙ − L =
+
+
mgz
+
k( R + z 2 − l)2 .
2mR2 2m
2
(9.2.15)
Hamiltonove jednaˇcine su
p˙z = −mg + √
p˙ϕ = 0
pz
z˙ =
m
pϕ
ϕ˙ =
.
mR2
9.3
√
z
( R2 + z 2 − l)
R2 + z 2
(9.2.16)
Fazni prostor
Generalisane koordinate i impulsi su tzv. fazne promenljive. Fazni prostor je 2n− dimenzionalan.
Koordinate taˇcke u ovom prostoru su (q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) . Fazna taˇcka kompletno odredjuje
stanje sistema u datom trenutku vremena. Naime iz brojeva (q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) se kompletno
moˇze odrediti poloˇzaji i brzine odnosno impulsi svake ˇcestice u sistemu. Pri evoluciji sistema
fazna taˇcka opisuje faznu trajektoriju koja je naravno odredjena Hamiltonovim jednaˇcinama i
poˇcetnim uslovima.
130
9.4
CHAPTER 9. HAMILTONOV FORMALIZAM
Hamiltonove jednaˇ
cine i varijacioni princip
Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja izveli smo iz principa najmanjeg dejstva u konfiguracionom prostoru. Sada ´cemo pokazati da se variranjem dejstva u faznom prostoru mogu dobiti Hamiltonove
jednaˇcine. Prethodno ´cemo lagranˇzijan izraziti preko hamiltonijana
Z tf
Z tf X
n
SH =
L(qi , q˙i , t)dt =
dt
pi q˙i − H(qi , pi , t) .
(9.4.17)
ti
ti
i=1
Variranjem fazne trajektorije podrazumeva da koordinate i impulse variramo nezavisno:
qi (t) → q˜i (t) = qi (t) + δqi (t)
pi (t) → p˜i (t) = pi (t) + δpi (t) .
(9.4.18)
Varijacija dejstva je infinitezimalna promena dejstva pri prelasku sa jedne na drugu infinitezimalno blisku trajektoriju u faznom prostoru
n Z tf
X
∂H
∂H δSH =
dt δpi q˙i + pi δ q˙i −
δqi −
δpi
∂q
∂p
i
i
t
i
i=1
n Z tf
n
tf
h
X
∂H i X
∂H =
δqi + q˙i −
δpi +
pi δqi .
(9.4.19)
dt − p˙i −
∂qi
∂pi
ti
i=1 ti
i=1
Ako zahtevamo da su varijacije generalisanih koordinata na krajevima vremenskog intervala
jednake nuli, tj. δqi (ti ) = δqi (tf ) = 0 onda poslednji ˇclan u (9.4.19) iˇsˇcezava. Primetimo da nije
neophodno da sliˇcno pretpostavimo i za varijacije generalisanih impulsa. Varijacije generalisanih
koordinata i impulsa su nezavisne pa iz principa najmanjeg dejstva, δSH = 0 sledi
∂H
∂pi
∂H
= −
.
∂qi
q˙i =
p˙i
(9.4.20)
Dobili smo Hamiltonove jednaˇcine kretanja.
Ranije smo rekli da je lagranˇzijan L(q, q,
˙ t) odredjen do na vremenski izvod funkcije koja zavisi
od generalisanih koordinata i vremena. Lagranˇzijan u dejstvu (9.4.17) takodje nije jednoznaˇcno
odredjen. Doda´cemo mu ˇclan
dF (q, p, t)
.
(9.4.21)
dt
Funkcija F zavisi pored koordinata i od generalisanih impulsa. Uze´cemo da su varijacije i
generalisanih koordinata i generalisanih impulsa u ti i tf jednake nuli
δqi (ti ) = δqi (tf ) = δpi (ti ) = δpi (tf ) = 0 .
Tada je
Z
tf
δ
ti
n
dF (q, p, t) X ∂F tf ∂F tf =0.
dt
=
δqi +
δpi dt
∂qi
∂pi
ti
ti
i=1
(9.4.22)
(9.4.23)
9.5. POASONOVE ZAGRADE
Dakle ˇclan
131
Z
tf
dt
ti
dF (q, p, t)
dt
(9.4.24)
koji bi dodali na SH ne utiˇce na jednaˇcine kretanja.
9.5
Poasonove zagrade
Neka su f = f (q, p, t) i g = g(q, p, t) dve funkcije faznih promenljivih i vremena. Poasonova
zagrada je definisana sa
n X
∂f ∂g
∂f ∂g {f, g} =
−
.
(9.5.25)
∂qi ∂pi ∂pi ∂qi
i=1
Osobine Poasonovih zagrada:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
{f, g} = −{g, f }
{f, C} = 0
{f1 + f2 , g} = {f1 , g} + {f2 , g}
{cf, g} = c{f, g}
{f1 f2 , g} = f1 {f2 , g} + {f2 , g}f1
{{f1 , f2 }, f3 } + {{f2 , f3 }, f1 } + {{f3 , f1 }, f2 } = 0 .
(9.5.26)
Prva osobina je antisimetriˇcnost Poasonove zagrade; tre´ce i ˇcetvrta su linearnost. Peta osobina
je ’Lajbnicovo pravilo’ dok je poslednja Jakobijev identitet. Sve osobine se dokazuju primenom
definicije Poasonove zagrade.
Nadjimo Poasonovu zagradu izmedju koordinata i impulsa. Po definiciji imamao
{qm , pl } =
n X
∂qm ∂pl
i=1
=
n
X
∂qm ∂pl −
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
δmi δli = δml .
(9.5.27)
i=1
Takodje lako se pokazuje da vaˇzi {qm , ql } = {pm , pl } = 0 . Poasonove zagrade izmedju generalisanih koordinata i impulsa
{qm , pl } = δml
{qm , ql } = 0
{pm , pl } = 0
(9.5.28)
nazivaju se fundamentalnim Poasonovim zagradama i one su od izuzetne vaˇznosti u kvantnoj
mehanici.
132
CHAPTER 9. HAMILTONOV FORMALIZAM
Izvod po vremenu funkcije f (q, p, t) je
df
dt
n
∂f X ∂f
∂f =
+
q˙i +
p˙i
∂t
∂q
∂p
i
i
i=1
n X
∂f
∂f ∂H
∂f ∂H =
+
−
∂t
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i=1
=
∂f
+ {f, H} ,
∂t
(9.5.29)
gde smo u drugom koraku primenili Hamiltonove jednaˇcine.
Potreban i dovoljan uslov da funkcija f (q, p, t) bude integral kretanja je
∂f
+ {f, H} = 0 .
∂t
(9.5.30)
Ako funkcija f ne zavisi eksplicitno od vremena, tj. ako je f = f (q, p) potreban i dovoljan uslov
da funkcija f bude konstanta kretanja je da
{H, f } = 0 .
(9.5.31)
Hamiltonijan je integral kretanja ukoliko eksplicitno ne zavisi od vremena.
Ako su f (q, p) i g(q, p) konstante kretanja onda je i njihova Poasonova zagrada takodje konstanta kretanja. Ovaj iskaz je poznat pod nazivom Poasonova teorema. Ona se lako proverava.
Naime
{{f, g}, H} = −{{g, H}, f } − {{H, f }, g} = 0 .
(9.5.32)
Primenili smo Jakobijev identitet a zatim ˇcinjenicu da su f i g konstante kretanja. Poasonova
teorema vaˇzi i za funkcije faznih promenljivih koje zavise od vremena, ˇsto se lako proverava.
Lako se vidi da je
n X
∂pi ∂H
∂pi ∂H ∂H
{pi , H} =
−
=−
∂ql ∂pl
∂pl ∂ql
∂qi
l=1
n X
∂qi ∂H
∂qi ∂H ∂H
{qi , H} =
−
=
.
∂q
∂p
∂p
l ∂pl
l ∂ql
i
i=l
(9.5.33)
Primenom gornjih rezultata Hamiltonove jednaˇcine (9.2.10) se mogu prepisati u obliku
q˙i = {qi , H}
p˙i = {pi , H} .
Vremensku evoluciju sistema generiˇse hamiltonijan preko Poasonove zagrade.
Primer: Moment impulsa je definisan sa L = r × p.
a) Na´ci Poasonove zagrade izmedju komponenti angularnog momenta {Li , Lj }.
b) Na´ci {Li , L2 }.
(9.5.34)
9.5. POASONOVE ZAGRADE
133
c) Pokazati {xi , Lj } = εijk xk i {pi , Lj } = εijk pk .
Reˇsenje:
a) Nadjimo npr. Poasonovu zagradu izmedju L1 i L2 :
{L1 , L2 } = {x2 p3 − x3 p2 , x3 p1 − x1 p2 }
= x2 {p3 , x3 }p1 + p2 {x3 , p3 }x1
= −x2 p1 + p2 x1 = L3 ,
(9.5.35)
gde smo primenili fundamentalne Poasonove zagrade. Ostale Poasonove zagrade se proveravaju
sliˇcno. Kompletan rezultat je {Li , Lj } = εijk Lk . Preostali delovi se proveravaju analogno.
134
CHAPTER 9. HAMILTONOV FORMALIZAM
Chapter 10
Kanonske transformacije
Ranije smo pokazali da su Lagranˇzeve jednaˇcine kovarijantne pri nesingularnim transformacijama
koordinata
qi → Qi = Qi (q1 , . . . , qn , t) .
(10.0.1)
Sada ´cemo videti pod kakvim uslovima transformacije faznih koordinata ne menjaju fiziku.
Prelaz sa koordinata (q, p) na nove koordinate (Q, P ) dat je sa
qi → Qi = Qi (q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn , t)
pi → Pi = Pi (q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn , t).
(10.0.2)
Nove fazne koordinate su funkcije starih koordinata (q, p) i vremena. Relacije (10.0.2) moraju biti
invertibilne, tj. stare fazne promenljive moˇzemo izraziti u funkciji novih i vremena. Da´cemo tri
ekvivalentne definicije kanonskih transformacija. Prva je da je transformacija (10.0.2) kanonska
ako ona ˇcuva strukturu Hamiltonovih jednaˇcina i to vaˇzi za sve hamiltonijane sa n stepeni
slobode. Hamiltonove jednaˇcine u kanonskim (q, p) koordinatama su
∂H
∂pi
∂H
= −
∂qi
q˙i =
p˙i
(10.0.3)
Transformacija (10.0.2) je kanonska ukoliko u novim kanonskim koordinatama Hamiltonove
jednaˇcine takodje vaˇze:
∂H 0
Q˙ i =
∂Pi
∂H 0
P˙i = −
.
∂Qi
(10.0.4)
Da bi to pokazali potrebno je da nadjemo novi hamiltonijan sistema H 0 = H 0 (Q, P, t). Vide´cemo
da novi hamiltonijan nije dobijen samo prostom smenom promenljivih u hamiltonijanu H(q, p, t).
135
136
CHAPTER 10. KANONSKE TRANSFORMACIJE
Hamiltonove jednaˇcine u (q, p) koordinatama dobijene su iz principa minimalnog dejstva
Z
tf
δSqp =
n
X
dt
pi q˙i − H(q, p, t) = 0 ,
ti
(10.0.5)
i=1
dok se analogne jednaˇcine u (Q, P ) promenljivima dobijaju iz
Z
tf
δSQP =
n
X
0
˙
Pi Qi − H (Q, P, t) = 0 .
dt
ti
(10.0.6)
i=1
Jednaˇcine kretanja dobijene iz (10.0.5) i (10.0.6) bi´ce ekvivalentne ukoliko se podintegralni izrazi
u (10.0.5) i (10.0.6) razlikuju do na vremenski izvod neke funkcije F tj.
n
X
pi q˙i − H(q, p, t) =
i=1
n
X
i=1
dF
Pi Q˙ i − H 0 (Q, P, t) +
.
dt
(10.0.7)
Funkcija F se naziva generiˇsu´com funkcijom kanonske transformacije i njene varijacije u t = ti
i t = tf moraju biti jednaki nuli. Ona moˇze da zavisi od starih i novih faznih promenljivih i
od vremena, tj. od 4n + 1 promenljive. Izmedju kanonskih promenljivih postoji 2n veza datih
sa (10.0.2) pa prema tome generiˇsu´ca funkcija je funkcija 2n faznih promenljivih i vremena.
Izaberimo za poˇcetak da generiˇsu´ca funkcija zavisi od starih i novih generalisanih koordinata,
tj. F1 = F1 (q, Q, t) pa je
dF1
∂F1 X ∂F1
∂F1 ˙ =
+
q˙l +
Ql .
dt
∂t
∂ql
∂Ql
l=1
n
(10.0.8)
Zamenom (10.0.8) u (10.0.7) i grupisanjem ˇclanova dobijamo
n X
l=1
X
∂F1 ∂F1 ∂F1 Pl +
dt = 0 .
dqi −
dQi + H 0 − H −
∂ql
∂Q
∂t
l
l=1
n
pl −
(10.0.9)
Kako su qi , Qi i t nezavisne promenljive to dobijamo
∂F1
∂qi
∂F1
= −
∂Qi
∂F1
= H+
.
∂t
pi =
(10.0.10)
Pi
(10.0.11)
H0
(10.0.12)
Kada znamo funkciju F1 (q, Q, t) onda iz (10.0.10) i (10.0.11) moˇzemo da odredimo transformacije
izmedju starih i novih kanonskih promenljivih. Preciznije, iz jednaˇcina (10.0.10) ukoliko je
∂ 2F 1 6= 0
∂qi ∂Qj
(10.0.13)
137
dobijamo jednaˇcine Qk = Qk (q, p, t). Zamenom dobijenih transformacija u (10.0.11) dobijamo
Pk = Pk (q, p, t). Dobili smo eksplicitan oblik kanonske transformacije. Novi hamiltonijan je
odredjen sa (10.0.12). Vidimo da ukoliko generiˇsu´ca funkcija ne zavisi eksplicitno od vremena
novi hamiltonijan je dobijen iz starog smenom promenljivih
H 0 = H(q(Q, P ), p(Q, P )) .
(10.0.14)
Prethodno izvodjenje za generiˇsu´cu funkciju prvog tipa F1 = F1 (q, Q, t) pokazuje da je
dF1 =
n
X
(pi dqi − Pi dQi ) + (H 0 − H)dt
(10.0.15)
i=1
totalni diferencijal. Izaberimo sada da su nezavisne kanonske promenljive stare koordinate i
ˇ
novi impulsi, (q, P ). Ovo se postiˇze Leˇzandrovom transformacijom generatrise prvog tipa. Clan
Pi dQi u (10.0.15) prepisa´cemo u obliku
Pi dQi = d(Pi Qi ) − Qi dPi .
(10.0.16)
Tako (10.0.15) postaje
d(F1 +
n
X
Qi Pi ) =
i=1
n
X
(pi dqi + Qi dPi ) + (H 0 − H)dt
i=1
odnosno uvode´ci generiˇsu´cu funkciju drugog tipa F2 = F1 +
dF2 =
n
X
Pn
i=1
(10.0.17)
Qi Pi imamo
(pi dqi + Qi dPi ) + (H 0 − H)dt .
(10.0.18)
i=1
Funkcija F2 = F2 (q, P, t) je funkcija starih generalisanih koordinata, novih impulsa i vremena i
vaˇzi
∂F2
(10.0.19)
pi =
∂qi
∂F2
Qi =
(10.0.20)
∂Pi
∂F2
H0 = H +
.
(10.0.21)
∂t
Generatrisa tre´ceg tipa je funkcija starih impulsa pi i novih generalisanih koordinata Qi ,
F3 = F3 (p, Q, t). Da bi to postigli treba da
pi dqi = d(pi qi ) − qi dpi
(10.0.22)
zamenimo u (10.0.15). Tako dobijamo
n
X
d F1 −
qi pi = dF3 (p, Q, t)
i=1
=
n
X
i=1
(−qi dpi − Pi dQi ) + (H 0 − H)dt
(10.0.23)
138
CHAPTER 10. KANONSKE TRANSFORMACIJE
odakle je
∂F3
∂pi
∂F3
Pi = −
∂Qi
∂F3
H0 = H +
.
∂t
ˇ
Cetvrti
tip generiˇsu´ce funkcije kanonskih transformacija je
qi = −
F4 = F4 (p, P, t) = F2 (q, P, t) −
(10.0.24)
(10.0.25)
(10.0.26)
n
X
q i pi
(10.0.27)
i=1
pa je
dF4 =
n
X
(Qi dPi − qi dpi ) + (H 0 − H)dt .
(10.0.28)
i=1
Iz zadnjeg izraza dobijamo
∂F4
(10.0.29)
∂pi
∂F4
Qi =
(10.0.30)
∂Pi
∂F4
H0 = H +
.
(10.0.31)
∂t
Da bi ispitali da li je neka transformacija kanonska ili nije moramo na´ci funkcije generatrise ili
ˇ
pokazati da one ne postoje. Cudna
definicija! Vide´cemo uskoro da postoje jednostavniji naˇcini
za proveru kanoniˇcnosti transformacije faznih koordinata. Jedan od njih je pomo´cu Poasonovih
zagrada.
qi = −
10.1
Primer kanonskih transformacija
Hamiltonijan harmonijskog oscilatora je
p2
mω 2 q 2
+
.
2m
2
Nadjimo kanonsku transformaciju odredjenu generiˇsu´com funkcijom prvog tipa
1
F1 (q, θ) = mωq 2 cot θ .
2
Nova generalisana koordinata je obeleˇzena sa θ umesto sa Q kao ranije. Novi impuls
P obeleˇzi´cemo sa I. Razlog za ovakvu notaciju bi´ce jasan kasnije. Dalje je
∂F1
= mωq cot θ
p =
∂q
∂F1
mωq 2
I = −
=
.
∂θ
2 sin2 θ
H=
(10.1.32)
(10.1.33)
umesto sa
(10.1.34)
(10.1.35)
10.2. INFINITEZIMALNE KANONSKE TRANSFORMACIJE
139
Odavde je
r
2I
sin θ
mω
√
p =
2mωI cos θ ,
q =
(10.1.36)
odnosno
mωq
θ = arctan
p
1
I =
p2 + (mω)2 q 2 .
2mω
(10.1.37)
Transformacija (q, p) → (θ, I) ne zavisi eksplicitno od vremena. Novi hamiltonijan se dobija iz
starog smenom promenljivih, tj. prelaskom sa (q, p) na (θ, I) promenljive:
H 0 = ωI .
(10.1.38)
Hamiltonove jednaˇcine kretanja u (θ, I) koordinatama su
0
∂H
I˙ = −
=0
∂θ
0
˙θ = ∂H = ω
∂I
(10.1.39)
odakle je I = α i θ = ωt + β, gde su α i β konstante. Dakle u novim koordinatama jednaˇcine
kretanja se trivijalno reˇsavaju. Nova generalisana koordinata θ je cikliˇcna, odgovaraju´ci kanonski
konjugovan impuls je konstantan. Novi impuls I naziva se akcijom, a nova koordinata uglom.
(θ, I) su tzv. ugao-akcija promenljive. U ovim koordinatama fazne linije su prave sa konstantnim
I, dok 0 ≤ θ < 2π . Lako se vidi da je
Z
Z
2π
dθ cos2 θ = 2πI.
pdq = 2I
(10.1.40)
0
Ovaj jednostavan primer je motivacija za generalizaciju na sisteme sa viˇse stepeni slobode.
10.2
Infinitezimalne kanonske transformacije
Transformacija koja je generisana generatrisom drugog tipa F2 =
formacija jer je
∂F2
= Pi
∂qi
∂F2
=
= qi .
∂Pi
Pn
i=1 qi Pi
je jediniˇcna trans-
pi =
Qi
(10.2.41)
140
CHAPTER 10. KANONSKE TRANSFORMACIJE
Generiˇsu´ca funkcija kanonske transformacije koja je infinitezimalno bliska jediniˇcnoj transformaciji je
n
X
F2 =
qi Pi + G(q, P, t) ,
(10.2.42)
i=1
gde je infinitezimalni parametar, a G(q, P, t) generator transformacije. Primenom (10.0.19) i
(10.0.20) dobijamo
∂G(q, P, t)
∂qi
∂G(q, P, t)
= qi + ∂Pi
pi = Pi + Qi
(10.2.43)
pa je
∂G(q, p, t)
∂pi
∂G(q, p, t)
Pi = pi − .
∂qi
Qi = qi + (10.2.44)
U poslednjem koraku iskoristili smo G(q, P, t) = G(q, p, t) + o() jer se impulsi pi i Pi razlikuju
do na term reda .
Ako izaberemo da je generator kanonske transformacije hamiltonijan G(q, p, t) = H(q, p, t)
imamo
∂H
= qi + q˙i
∂pi
∂H
= pi + p˙i .
Pi = pi − ∂qi
Qi = qi + (10.2.45)
U zadnjem koraku primenili smo Hamiltonove jednaˇcine kretanja. Iz dobijenog izraza je jasno da
je = dt. Zakljuˇcujemo da je hamiltonijan generator kretanja u vremenu. Ovim smo pokazali
da je evolucija sistema
qi (t) → Qi = qi (t + δt), pi (t) → Pi = pi (t + δt)
(10.2.46)
knonska transformacija.
10.3
Direktna provera
Kanonske transformacije smo definisali kao transformacije faznih promenljivih (10.0.2) koje
ne menjaju Hamiltonove jednaˇcine kretanja. Potreban i dovoljan uslov da ove transformacije
budu kanonske je egzistencija generiˇsu´ce funkcije F . U ovoj lekciji da´cemo joˇs jedan kriterijum
kanoniˇcnosti neke transformacije. Razmatra´cemo vremenski nezavisne transformacije
qi → Qi = Qi (q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn )
pi → Pi = Pi (q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ).
(10.3.47)
10.4. INVARIJANTNOST POASONOVE ZAGRADE
141
Transformacija (10.3.47) je kanonska ukoliko su izrazi
n
X
i=1
n
X
(pi dqi − Pi dQi ),
(qi dpi + Pi dQi ),
i=1
n
X
i=1
n
X
(pi dqi + Qi dPi )
(−qi dpi + Qi dPi ) .
(10.3.48)
i=1
totalni diferencijali. Pod tim uslovima postoje generiˇsu´ce funkcije. Ovo je direktni naˇcin da
proverimo da li je vremenski nezavisna transformacija kanonska.
Neka je transformacija (q, p) → (Q, P ) data sa
r
2P
q =
sin Q
mω
√
p =
2mωP cos Q .
(10.3.49)
Odavde je
p = mωq cot Q
mωq 2
.
P =
2 sin2 Q
(10.3.50)
Da bi izraz pdq − P dQ bio totalni diferencijal mora da vaˇziti
∂p ∂P =−
,
∂Q q
∂q Q
(10.3.51)
ˇsto se lako proveravava. Ostali uslovi se proveravaju sliˇcno. Gornji kriterijum vaˇzi i za vremenski
zavisne transformacije. O tome ´ce biti reˇci kasnije.
10.4
Invarijantnost Poasonove zagrade
Da bi transformacija (10.0.2) bila kanonska potrebno je i dovoljno da su fundamentalne Poasonove zagrade nepromenjene pri ovim transformacijama. Dakle, iz
{qi , pj } = δij , {qi , qj } = 0, {pi , pj } = 0
(10.4.52)
{Qi , Pj }|qp = δij , {Qi , Qj }|qp = 0, {Pi , Pj }|qp = 0 .
(10.4.53)
treba da sledi
Poasonove zagrade izmedju novih koordinata i impulsa su definsane prema
{Qi , Pj }|qp =
n X
∂Qi ∂Pj
l=1
i analogno za ostale.
∂ql ∂pl
−
∂Qi ∂Pj ∂pl ∂ql
(10.4.54)
142
CHAPTER 10. KANONSKE TRANSFORMACIJE
ˇ
Dakle kanonske transformacije ne menjaju Poasonove zagrade. Cesto
se kanonske transformacije definiˇsu upravo na ovaj naˇcin: kao transformacije faznog prostora koje ne menjaju
fundamentalne Paosonove zagrade. Odavde sledi da su Poasonove zagrade izmedju proizvoljnih
funkcija na faznom prostoru nepromenjene pri kanonskim transformacijama, tj.
{f, g}P Q = {f, g}pq .
(10.4.55)
Ekvivaletnost izmedju ove definicije i one sa poˇcetka lekcije o kanonskim transformacijama
pokaza´cemo u narednoj lekciji. Uveˇs´cemo malo formalizma a dokaz ´ce biti jednostavan.
Primer: Odrediti parametre α i β tako da je transformacija
Q = q α cos(βp)
P = q α sin(βp)
(10.4.56)
kanonska. Na´ci funkciju generatrisu F3 (p, Q, t) u tom sluˇcaju.
Reˇsenje: Poasonova zagrada izmedju nove koordinate i novog impulsa je
{Q, P } = {q α cos(βp), q α sin(βp)} = αβq 2α−1 = 1
(10.4.57)
odakle je α = 21 , β = 2 . Primenom (10.0.24) i (10.0.25) imamo
Q2
∂F3
=− 2
∂p
cos (2p)
∂F3
−P =
= −Q tan(2p) .
∂Q
−q =
(10.4.58)
Iz prve jednaˇcine sledi
F3 = −
Q2
tan(2p) + f (Q, t)
2
(10.4.59)
Q2
tan(2p) .
2
(10.4.60)
Iz druge jednaˇcine dobijamo f = 0 pa je
F3 = −
10.5
Simplektiˇ
cke transformacije
Hamiltonove jednaˇcine kretanja (9.2.10) prepisa´cemo u matriˇcnom obliku
∂H q˙i
∂pi
=
p˙i
− ∂H
∂qi
∂H 0 1
∂qi
=
.
∂H
−1 0
∂pi
(10.5.61)
ˇ
10.5. SIMPLEKTICKE
TRANSFORMACIJE
143
gde je 1 jediniˇcna n × n matrica. Neka je η kolona sastavljena od 2n elemenata
η = (q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn )T .
Definiˇsimo 2n × 2n matricu sa
J=
0 1
−1 0
(10.5.62)
.
(10.5.63)
Ova matrica je antisimetriˇcna, J T = −J. Hamiltonove jednaˇcine u kompaktnoj notaciji su
η˙ = J
∂H
,
∂η
(10.5.64)
odnosno
η˙ a = Jab
∂H
,
∂ηb
(10.5.65)
gde je η1 = q1 , . . . , ηn = qn , ηn+1 = p1 , . . . , η2n = pn . Indeksi a, b uzimaju vrednosti 1, 2, . . . , 2n.
Fundamentalne Poasonove zagrade (9.5.28) u kompaktnoj formi su
{qi , qj } {qi , pj }
{ηa , ηb } =
{pi , qj } {pi , pj }
0 δij
=
−δij 0
= Jab .
(10.5.66)
Poasonovu zagradu izmedju dve funkcije na faznom prostoru definisali smo sa (9.5.25). I nju
´cemo prepisati u kompaktnoj notaciji:
n X
∂f ∂g
∂f ∂g {f, g} =
−
∂qi ∂pi ∂pi ∂qi
i=1
n X
∂f ∂g
∂f ∂g =
−
∂ηi ∂ηi+n ∂ηi+n ∂ηi
i=1
2n X
2n
X
∂g
∂f
Jab
.
=
∂ηa
∂ηb
a=1 b=1
(10.5.67)
Razmatrajmo vremenski nezavisne transformacije faznih promenljivih
ηa → ξa = ξa (η1 , . . . , ηn ) .
Ova transformacija je kanonska ukoliko Hamiltonove jednaˇcine sa hamiltonijanom H(η) pres-
144
CHAPTER 10. KANONSKE TRANSFORMACIJE
likava ponovo u Hamiltonove jednaˇcine sa hamiltonijanom H(η(ξ)) = H 0 (ξ) tj.
ξ˙a =
=
=
2n
X
∂ξa dηb
∂ηb
b=1
2n X
2n
X
dt
∂ξa ∂H(η)
Jbc
∂ηb
∂ηc
b=1 c=1
2n X
2n X
2n
X
∂ξa ∂ξd ∂H 0 (ξ)
Jbc
.
∂ηb ∂ηc ∂ξd
b=1 c=1 d=1
(10.5.68)
Ako uvedemo Jakobijevu matricu transformacije M sa
∂ξa
∂ηb
Mab =
onda imamo
ξ˙a =
2n
X
(10.5.69)
(M JM T )ad
d=1
∂H
.
∂ξd
(10.5.70)
Sada je oˇcigledno da invarjantnost Hamiltonovih jednaˇcina znaˇci da mora vaˇziti
M JM T = J .
(10.5.71)
Matrice M formata 2n × 2n koje zadovoljavaju gornji uslov nazivaju se simplektiˇcke matrice.
Skup tih matrica obeleˇzava se sa Sp(2n, R). To su kanonske transformacije. Ukoliko je Jakobijeva
matrica M zadovoljava gornji uslov transformacija je kanonska. Matriˇcni elementi matrice M
su
!
∂Q
∂Q
M=
i
i
∂qj
∂Pi
∂qj
∂pj
∂Pi
∂pj
.
(10.5.72)
Invarijantnost Poasonovih zagrada pri kananskim transformacijama se lako vidi:
{f, g}η =
=
=
=
2n X
2n
X
a=1 b=1
2n X
2n
X
a=1 b=1
2n X
2n
X
a=1 b=1
2n X
2n
X
a=1 b=1
Jab
∂f ∂g
∂ηa ∂ηb
∂f ∂ξc
∂ξd ∂g
Jab
∂ξc ∂ηa
∂ηb ∂ξd
∂f
∂g
(M JM T )bd
∂ξc
∂ξd
∂f
∂g
Jbd
∂ξc ∂ξd
= {f, g}ξ .
(10.5.73)
ˇ
10.6. HAMILTON-JAKOBIJEVA JEDNACINA
145
Dakle vrednost Poasonove zagrade ne zavisi od toga koje kanonske koordinate koristimo.
Postoje tri ekvivalentna naˇcina da definiˇsemo kanonske transformacije. Prvi je da su to
transformacije koje ne menjaju kanonsku strukturu jednaˇcina kretanja, tj. ne menjaju formu
Hamiltonovih jednaˇcin za sve dinamiˇcke sisteme. Drugi je da su to transformacije pri kojima su
Poasonove zagrade nepromenjene. Tre´ci naˇcin je da su to transformacije za koje je Jakobijeva
∂ξ
matrica M = ∂η
simpletiˇcka.
Simplektiˇcke matrice, odnosno kanonske transformacije ˇcine grupu. Ako su M1 i M2 simplektiˇcke matrice onda je
M1 M2 J(M1 M2 )T = M1 M2 JM2T M1T = M1 JM1T = J
(10.5.74)
pa zakljuˇcujemo da je i M1 M2 simplektiˇcka. Ovim smo pokazali zatvorenost. Mnoˇzenje matrica
je asocijativno. Jediniˇcna matrica jeste kanonska transformacija i ona je jediniˇcni element. Iz
M JM T = J sledi det M = ±1. Ovo znaˇci da za svaku simplektiˇcku matricu M postoji inverzna
M −1 = −JM T J i ona zadovoljava uslov simplektiˇcnosti.
U ovoj i prethodnoj lekciji razmatrali smo samo vremenski nezavisne kanonske transformacije.
Postavlja se pitanje u kojoj meri kriterijumi kanoniˇcnosti koje smo uveli za vremenski nezavisne
transformacije vaˇze za vremenski zavisne transformacije.
Vremenski zavisna kanonska transformacija (10.0.2) u kompaktnoj notaciji je
ηa → ξa = ξa (η1 , . . . , ηn , t) ,
(10.5.75)
gde je η = (q1 , . . . , qn , p1 . . . , pn )T i ξ = (Q1 , . . . , Qn , P1 , . . . , Pn )T . Transformaciju (10.0.2)
odnosno (10.5.75) moˇzemo ostvariti u dva koraka, tj. ona je proizvod odnosno uzastopna primena
dve transformacije. Prva je transformacija
ηa → ξa = ξa (η1 , . . . , ηn , t0 ) ,
(10.5.76)
za neko fiksno t = t0 . Drugi korak je vremenska evolucija od t0 do t. Ukoliko je transformacija
u prvom koraku kanonska onda ´ce i ukupna transformacija biti kanonska jer je hamiltonovska
evolucija u drugom koraku kanonska transformacija. Ovaj iskaz sledi iz ˇcinjenice da kanonske
transformacije ˇcine grupu. Dakle vremenski zavisna transformacija je kanonska ukoliko je ona
kanonska za fiksno t. Kriteriumi kanoniˇcnosti preko invarijantnosti Poasonove zagrade ili preko
uslova simplektiˇcnosti Jakobijeve matrice su potrebni i dovoljni uslovi kanoniˇcnosti transformacije (10.0.2) odnosno (10.5.75).
10.6
Hamilton-Jakobijeva jednaˇ
cina
Razmotrimo jednu specijalnu vremenski zavisnu kanonsku transformaciju koja vrednosti generalisanih koordinata i impulsa (q, p) u trenutku t prebacije u njihove vrednosti u poˇcetnom
trenutku t0 , tj, Qi = qi (t0 ), Pi = pi (t0 ). Kako je P˙i = 0 i Q˙ i = 0 novi hamiltonijan je konstanta
i moˇze se izabrati da je jednak nuli.
Ovo je motivacija da definiˇsemo kanonsku transformacije koja hamiltonijan sistema transformiˇse u nulu. Transformisane koordinate i impulsi su zbog Hamiltonovih jednaˇcina konstantni. Ovakvu transformaciju moˇze da generiˇse funkcija drugog tipa, koju ´cemo obeleˇziti
146
CHAPTER 10. KANONSKE TRANSFORMACIJE
sa S = S(qi , Pk , t). Ona se naziva Hamiltonovom glavnom funkcijom. Novi generalisani impulsi
su Pk = αk , gde su αk konstante. Te konstante ne moraju biti poˇcetni impulsi ve´c su to najˇceˇs´ce
konstante kretanja.
Jednaˇcina (10.0.21) postaje
∂S ∂S
H qi , p i =
=0.
(10.6.77)
,t +
∂qi
∂t
Ovo je Hamilton-Jakobijeva jednaˇcina. To je parcijalna diferencijalna jednaˇcina prvog reda po
n + 1 promenljivoj: q1 , . . . , qn , t. Hamiltonova glavna funkcija
S = S(q1 , . . . , qn , t, α1 , . . . , αn ) + αn+1
zavisi od vremena, n generalisanih koordinata i n+1 integracione konstante. Aditivnu konstanta
αn+1 moˇzemo odbaciti jer je nevaˇzna. Nove koordinate
Qk =
∂S(qk , αk )
= βk
∂αk
(10.6.78)
su takodje konstantne jer je prema Hamiltonovim jednaˇcinama Q˙ i = 0. Ukoliko je
∂ 2S 6= 0
det
∂qi ∂αj
iz gornjeg skupa jednaˇcina dobijamo
qk = qk (αi , βi , t) , k = 1, . . . , n .
(10.6.79)
Zamenom (10.6.79) u
pk =
∂S(q, α)
∂qk
(10.6.80)
dobijamo
pk = pk (αi , βi , t) , k = 1, . . . , n .
(10.6.81)
Jednaˇcine (10.6.79) i (10.6.81) odreduju evoluciju sistema u faznom prostoru.
Generatrisa S nije nov objekat. Potraˇzimo njen vremenski izvod:
X
dS
∂S X ∂S dqi =
+
= H(qi , pi , t) +
pi q˙i .
dt
∂t
∂qi dt
p=∂S/∂q
i=1
i=1
n
n
(10.6.82)
U drugom koraku primenili smo Hamilton-Jakobijevu jednaˇcinu. U krajnjem rezultatu generalisani impulsi su eliminisani preko generalisanih koordinata i brzina pa na kraju dobijamo
lagranˇzijan L(q, q,
˙ t). Integracijom (10.6.82) po vremenu od t0 do t dobijamo
Z t
S=
L(q, q,
˙ t)dt .
(10.6.83)
t0
Ovo pokazuje fiziˇcki smisao generatrise S. Ona je dejstvo izraˇcunato na pravoj trajektoriji
sistema. Dejstvo je generiˇsu´ca funkcija kanonoske transformacije koja transformiˇse sistem od
jednog do drugog trenutka vremena.
ˇ
10.7. HAMILTONOVA KARAKTERISTICNA
FUNKCIJA
147
Primer: Za ˇcesticu mase m u gravitacionm polju na´ci glavnu Hamiltonovu funkciju.
Reˇsenje: Hamiltonijan ˇcestice je
H=
Hamilton-Jakobijeva jednaˇcina je
1 h ∂S 2
2m
∂x
+
p2x + p2y + p2z
+ mgz .
2m
∂S 2
∂y
+
∂S 2 i
∂z
+ mgz +
(10.6.84)
∂S
=0
∂t
(10.6.85)
i reˇsava´cemo je metodom separacije varijabli. Pretpostavi´cemo reˇsenje u obliku
S = S1 (x) + S2 (y) + S3 (z) − Et .
(10.6.86)
Zamenom (10.6.86) u (10.6.85) dobijamo sistem jednaˇcina
√
dS1
= ± 2mα1
dx
√
dS2
= ± 2mα2
dy
p
dS3
= ± 2m(α3 − mgz)
dz
uz α1 + α2 + α3 = E. Glavna Hamiltonova funkcija je
r
√
√
8
S = ± 2mα1 x ± 2mα2 y ±
(α3 − mgz)3/2 − (α1 + α2 + α3 )t .
9mg 2
Primenom
βi =
∂S
, i = 1, 2, 3
∂αi
(10.6.87)
(10.6.88)
(10.6.89)
dobijamo
r
2α1
x = ±
(t + β1 )
m
r
2α2
y = ±
(t + β2 )
m
α3
g
z =
− (t + β3 )2 .
mg 2
10.7
(10.6.90)
Hamiltonova karakteristiˇ
cna funkcija
Kada hamiltonijan ne zavisi eksplicitno od vremena Hamiltonova glavna funkcija ima oblik
S(q, α, t) = W (q, α) − E(α)t .
(10.7.91)
148
CHAPTER 10. KANONSKE TRANSFORMACIJE
Funkcija W (q, α) se naziva Hamiltonovom karakteristiˇcnom funkcijom. Hamilton-Jakobijeva
jednaˇcina tada ima vremenski nezavisan oblik
∂W H qi , p i =
= E(α) .
∂qi
(10.7.92)
Napomenimo da ako hamiltonijan ne zavisi eksplicitno od vremena on je konstanta kretanja
ali ne mora da bude jednak energiji. Interesantno je da Hamiltonova karakteristiˇcna funkcija je
takodje generatrisa kanonske transformacija za sisteme sa vremenski nezavisnim hamiltonijanom.
Novi hamiltonijan je konstantan
H 0 = H = E(α1 , . . . , αn ) .
(10.7.93)
Nove generalisane koordinate Qi su cikliˇcne pa iz
0
∂H
=0
P˙i = −
∂Qi
(10.7.94)
sledi da su novi kanonski impulsi konstante kretanja Pi = αi . Sa druge strane je
∂H 0
∂E(α)
Q˙ i =
=
= vi (α) ,
∂αi
∂αi
(10.7.95)
gde je vi = vi (α1 , . . . , αn ). Integracija gornje jednaˇcine daje
Qi (t) = β0i + vi (α)(t − t0 ) ,
(10.7.96)
ˇ
gde su β0i i t0 konstante. Cesto
se uzima da je prva integraciona konstanta α1 = H 0 = E. Tada
je
(
t + β1 , za i = 1
Qi =
(10.7.97)
βi ,
za i 6= 1 .
Na ovaj naˇcin smo reˇsili jednaˇcine kretanja u koordintama (Q, P ).
10.8
Integrabilni sistemi; Promenljive dejstvo-ugao
Sistem sa n− stepeni slobode je integrabilan ako postoji n−konstanti kretanja. Jednodimenzioni
konzervativni sistemi su uvek integrabilni jer je energija konstanta kretanja. Integrabilni sistemi
su retki, ve´cina sistema u prirodi je neintegrabilna.
Konzervativni sistem je separabilan ukoliko je Hamiltonova karakteristiˇcna funkcija suma
n-ˇclanova od kojih svaki zavisi samo od jedne generalisane koordinate, tj.
W (q1 , . . . , qn , α1 , . . . , αn ) = W1 (q1 , α1 , . . . , αn ) + · · · + Wn (qn , α1 , . . . , αn ) .
(10.8.98)
Kod kompletno integrabilnih sistema Hamilton–Jakobijeva jednaˇcina moˇze biti reˇsena separacijom varijabli.
10.8. INTEGRABILNI SISTEMI; PROMENLJIVE DEJSTVO-UGAO
149
Dalje ´cemo pretpostaviti da je kretanje separabilnih sistema periodiˇcno. Kretanje pri kojima
su svi parovi (qi (t), pi (t)) periodiˇcne funkcije sa periodom Ti za svako i = 1, . . . , n naziva se
oscilatornim kretanjem. Periodi za razliˇcite parove konjugovanih koordinata mogu biti razliˇciti.
Fazne linije su u tom sluˇcaju zatvorene linije u (qi , pi )− ravnima. Drugu klasu periodiˇcnih
kretanja predstavljaju tzv. rotacije. To su kretanja kod kojih su pi (qi ) periodiˇcne funkcije,
tj. pi (qi + q0 ) = pi (qi ) . Kretanje je ograniˇceno u oblasti koordinata unutar nekog intervala i
ponavlja se.
Kretanje matematiˇckog klatna u faznom prostoru u sluˇcaju E < 2mgl je oscilatorno, a za
E > 2mgl rotaciono. Graniˇcni sluˇcaj, E = 2mgl je tzv. ’separatix’.
Za kompletno integrabilne i separabilne sisteme moˇzemo definisati kanonsku transformaciju
od starih faznih promenljivih (q, p) u nove fazne promenljive (θ, I) ˇcija je generatrisa Hamitonova
karakteristiˇcna funkcija. Definiˇsimo n novih impulsa
I
Ik = pk dqk ,
(10.8.99)
gde se integrali po periodu kretanja u ravni (qk , pk ). Ove varijable se nazivaju varijablama
dejstva (akcije). Primenom (10.0.19) imamo
pk =
∂W (q1 , . . . , qn , α1 , . . . , αn )
∂Wk (qk , α1 , . . . , αn )
=
.
∂qk
∂qk
(10.8.100)
Impuls pk zavisi samo od k−te koordinate qk i konstanti α1 , . . . , αn . Zamenom (10.8.100) u
definiciju Ik vidimo da ove veliˇcine zavise samo od konstanti, tj.
Ik = Ik (α1 , . . . , αn ) ,
(10.8.101)
pa su prema tome i one konstante kretanja. Pretpostavi´cemo da su relacije (10.8.101) invertibilne, tj. konstante αk , k = 1, . . . , n moˇzemo da izrazimo preko promenljivih I1 , . . . , In , tj.
αk = αk (I1 , . . . , In ) .
(10.8.102)
Zamenom gornjih relacija u Hamiltonovu karakteristiˇcnu funkciju W (q1 , . . . , qn , α1 , . . . , αn ) dobijamo novu Hamiltonovu karakteristiˇcnu funkciju
˜ =W
˜ (q1 , . . . , qn , I1 , . . . , In ) =
W
n
X
˜ k (qk , I1 , . . . , In ) .
W
(10.8.103)
k=1
U daljem ne´cemo pisati tildu u oznaci Hamiltonove karakteristiˇcne funkcije. Koordinate konjugovane varijablama dejstva obeleˇzili smo sa θi i zovemo ih uglovima. Primenom (10.0.20)
dobijamo
∂Wi (qi , I1 , . . . , In )
,
(10.8.104)
θi =
∂Ii
jer je Hamiltonova karakteristiˇcna funkcija generatrisa kanonske transformacije (qi , pi ) → (θi , Ii ).
Novi hamiltonijan H 0 = E(I1 , . . . , In ) ne zavisi od uglova pa Hamitonove jednaˇcine u novim
150
CHAPTER 10. KANONSKE TRANSFORMACIJE
koordinatama su
0
∂H (I)
I˙i = −
=0
∂θi
∂H 0 (I)
θ˙i =
= ωi (I1 , . . . , In ) .
∂Ii
(10.8.105)
Veliˇcine ωi (I1 , . . . , In ) se nazivaju frekvencama i one su konstante. U novim faznim promenljivim
integracija Hamiltonovih jednaˇcina je jednostavna. Reˇsavanjem zadnje jednaˇcine dobijamo
θi (t) = θi0 + ωi (t − t0 ) =
=
n
X
∂Wi (qi , I1 , . . . , In )
i=1
n
X
i=1
∂
∂Ii
Z
∂Ii
qi
pi (qi , I)dqi .
(10.8.106)
q0i
θ0i su integracione konstante. Izmena ugla za vreme od jednog ciklusa se lako nalazi
I
I
∂W I ∂ 2 W
i
dθi =
d
=
dqi
∂Ii
Ci
Ci
Ci ∂Ii ∂qi
I
∂
∂W
=
dqi
∂Ii
∂qi
I
∂
pi dqi
=
∂Ii
∂Ii
=1.
(10.8.107)
=
∂Ii
Sa druge strane promena ugla za vreme od jednog perioda Ti je ωi Ti . Ovo omogu´cava odredjivanje perioda.
10.9
Keplerov problem
Razmotrimo kretanje ˇcestice mase m u ravni xOy pod dejstvom privlaˇcnog potencijala − γm
.
r
Hamiltonijan je dat sa
p2ϕ
p2
mγ
H= r +
−
.
(10.9.108)
2
2m 2mr
r
Hamilton–Jakobijeva jednaˇcina je
1 ∂S 2 γm ∂S
1 ∂S 2
+
−
+
=0.
2m ∂r
2mr2 ∂ϕ
r
∂t
(10.9.109)
Reˇsenje Hamilton-Jakobijeve jednaˇcine traˇzi´cemo metodom separacije varijabli:
S = Wr (r) + Wϕ (ϕ) − Et .
(10.9.110)
10.9. KEPLEROV PROBLEM
151
Zamenom ovog oblika u Hamilton-Jakobijevu jednaˇcinu dobijamo
dWϕ
= αϕ
dϕ
dW 2
αϕ 2m2 γ
r
= 2mE − 2 +
(10.9.111)
dr
r
r
odakle se lako nalaze Wϕ i Wr . Konaˇcno, glavna Hamiltonova funkcija je
r
Z
2m2 γ αϕ2
S = −Et + αϕ ϕ ± dr 2mE +
− 2 .
(10.9.112)
r
r
Vidimo da su E i ϕ cikliˇcne koordinate. Hamiltonova karakteristiˇcna funkcija
r
Z
2m2 γ αϕ2
W = αϕ ϕ ± dr 2mE +
− 2
(10.9.113)
r
r
je generatrisa kanonske transformacije. Nadjimo promenljive dejstvo–ugao u ovom sluˇcaju.
I
Iϕ = pϕ dϕ = 2παϕ
(10.9.114)
I
r
Z
2m2 γ αϕ2
− 2
(10.9.115)
r
r
Uzmimo da je energija ˇcestice negativna, E < 0. Kretanje u tom sluˇcaju je periodiˇcno i potrebno
je da odredimo kako radijalna koordinata r varira za vreme od jednog perioda. Nule polinoma
2
α2
2mE + 2mr γ − r2ϕ su minimalno i maksimalno rastojanje. Lako se dobija da su one
r
mγ
γ 2 m2 2Eαϕ2
r1 = −
+
+
E
m
r E
2
2
2Eαϕ2
mγ
γ m
r2 = −
−
+
.
(10.9.116)
E
E
m
Jasno je da je r1 < r2 . U jednom ciklusu radijalna koordinata varira od r1 do r2 i obrnuto. Dakle
Z r2 r
Z r1 r
2m2 γ αϕ2
2m2 γ αϕ2
Ir =
− 2 −
− 2
dr 2mE +
dr 2mE +
r
r
r
r
r1
r2
Z r2 r
2m2 γ αϕ2
= 2
dr 2mE +
− 2
r
r
r1
Z r2 p
√
dr
=
−8mE
−r2 + (r1 + r2 )r − r1 r2
(10.9.117)
r
r1
Ir =
pr dr = ±
dr
2mE +
Ovaj integral je tabliˇcni. Krajnji rezultat je
r 2γ 2 m3
Ir = 2π
−
− 2αϕ .
E
odakle je
8π 2 γ 2 m3
E=−
.
(Ir + 2Iϕ )2
(10.9.118)
(10.9.119)
152
CHAPTER 10. KANONSKE TRANSFORMACIJE
Bibliography
[1] H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, Addison Wesley (2002)
[2] L. Landau and Lifˇsic, Mehanika, Mir Moskva (1988)
[3] Dj. Muˇsicki, Teorijska mehanika, PMF Beograd (1987)
[4] L. Hand and J. Finch, Analitical Mechanics, CUP (1987)
[5] D. Tong, Classical Dynamics, lecture notes, DAMTP, University of Cambridge
[6] J. Marion and S.T. Thornton, Classical Dinamics of Particles and Sistems, Ft. Worth,
TX:Saunders (1995)
[7] F. Scheeck, Mechanics: From Newton’s Laws to Deterministic Chaos, Berlin, Springer
(1990)
[8] J. M. Finn, Classical Mechanics, Infinity Science Press LLC, New York (2008)
[9] M. Chaichian, I. Merches and A.Tureanu, Mechanics-An Intensive Course, Springer, Berlin
(2012)
153
Download

TEORIJSKA MEHANIKA Lagranzeva i Hamiltonova mehanika