Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 10 i 11
1
Elementi analitičke mehanike
Generalisane koordinate
Ako se posmatra sistem od n materijalnih tačaka, čiji položaj je određen sa 3n
Dekartovih koordinata x i , yi i z i (i=1,2,...,n) i ako na sistem deluje k holonomnih,
nestacionarnih, zadržavajućih veza f α ( xi , yi , z i , t ) = 0 , ( α =1,2,...,k), tada je položaj
sistema određen sa s = 3n − k nezavisnih koordinata. Nezavisni parametri koji u
potpunosti određuju položaj materijalnog sistema u prostoru nazivaju se generalisane
koordinate, a njihov broj jednak je broju stepeni slobode sistema. Generalisane
koordinate obeležavaju se sa q j (j=1,2,...,s). Njihove dimenzije mogu biti različite:
dužina, ugao, površina,... Postoje jednoznačne veze između generalisanih koordinata i
r r
r
nekih drugih, npr. Dekartovih: ri = ri (q1 , q 2 ,..., q s , t ) = ri (q j , t ) (i=1,2,...,n) (j=1,2,...,s),
tj. xi = xi (q j , t ) , y i = y i (q j , t ), z i = z i (q j , t ). Zamenom prethodnih jednačina u
jednačine veza moraju se dobiti identiteti, tj. f α ( xi (q j , t ), y i (q j , t ), z i (q j , t ), t ) ≡ 0 ,
( α =1,2,...,k). Ukoliko se ne bi dobili identiteti, to bi značilo da generalisane
koordinate - q j (j=1,2,...,s) nisu međusobno nezavisne.
Generalisane brzine
Pod konfiguracijom materijalnog sistema podrazumeva se ukupnost položaja i oblika
koje materijalni sistem zauzima u prostoru tokom kretanja. Neka je konfiguracija
materijalnog sistema određena generalisanim koordinatama q j (j=1,2,...,s). Kretanje
tog sistema određeno je jednačinama kretanja q1 = q1 (t ) , q 2 = q 2 (t ) ,..., q s = q s (t ) .
Pod generalisanom brzinom podrazumeva se izvod generalisane koordinate po
dq j
vremenu, tj. q& j =
.
dt
Ako je materijalni sistem izložen dejstvu holonomnih nestacionarnih veza, tada je
brzina i-te tačke određena sa
r
r
r
r
r
s
r r ∂rr
∂r
∂r
∂r
∂r
∂r
Vi = r&i = i q&1 + i q& 2 + L + i q& s + i = ∑ i q& j + i ,
∂q1
∂q 2
∂q s
∂t
∂t
j =1 ∂q j
∂xi
∂x
q& j + i . U
∂t
j =1 ∂q j
r
s
r
∂r
slučaju holonomnih stacionarnih veza izraz za brzinu tačke je Vi = ∑ i q& j . Izvod
j =1 ∂q j
brzine, po generalisanoj brzini, na osnovu prethodnih izraza, jednak je izvodu vektora
položaja po generalisanoj koordinati, tj.
r
r
∂ri
∂Vi
.
=
∂q& j ∂q j
r
Izvod brzine Vi po generalisanoj koordinati q j je
r
r
r
r
r
r
∂ 2 ri
∂ 2 ri
∂ 2 ri
∂ 2 ri
∂Vi
∂ ⎛ dri ⎞
.
q& s +
q& 2 + L +
q&1 +
=
⎜
⎟=
∂t∂q j
∂q s ∂q j
∂q 2 ∂q j
∂q j ∂q j ⎝ dt ⎠ ∂q1∂q j
s
a odgovarajuće projekcije na ose Dekartovog sistema su npr. x& i = ∑
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 10 i 11
2
r
∂ri
Sa druge strane, parcijalni izvod
zavisi od generalisanih koordinata i vremena, tj.
∂q j
r
r
∂ri
= f i (q1 , q2 ,..., q s , t ) , tako da sledi
∂q j
r
r
r
r
r
∂ 2 ri
∂ 2 ri
∂ 2 ri
∂ 2 ri
d ⎛⎜ ∂ri ⎞⎟
,
q& s +
q& 2 + L +
q&1 +
=
dt ⎜⎝ ∂q j ⎟⎠ ∂q1∂q j
∂t∂q j
∂q s ∂q j
∂q 2 ∂q j
∂
d
odakle sledi zaključak o komutativnosti operatora
i
, tj.
dt ∂q j
r
r
r
∂Vi
∂ ⎛ dri ⎞ d ⎛⎜ ∂ri ⎞⎟
.
=
⎜
⎟=
∂q j ∂q j ⎝ dt ⎠ dt ⎜⎝ ∂q j ⎟⎠
Varijacija koordinata
Neka je data funkcija q = q (t ) . Ako se formira funkcija q (t ) = q (t ) + εη (t ) , gde je ε proizvoljno mala veličina, a η (t ) diferencijabilna funkcija,
tada razlika q (t ) − q (t ) predstavlja promenu oblika funkcije
q (t ) nezavisnu od vremena i naziva se varijacija funkcije
q (t ) , označava se sa δq , tj.
δq = q (t ) − q (t ) = εη (t ) .
Iz prethodne definicije uočava se da se vreme ne menja, tj.
δt = 0 , zbog čega se ove varijacije nazivaju izohrone
(sinhrone). Na osnovu prethodnog sledi da je δq& = q& (t ) − q& (t ) . Imajući u vidu da je
d
δq = q& (t ) − q& (t ) , sledi zaključak o komutativnosti diferenciranja i variranja, tj.
dt
d
⎛ dq ⎞
δ ⎜ ⎟ = δq& = (δq ) .
dt
⎝ dt ⎠
Ako se pri promeni funkcije q (t ) vrši i promena argumenta t funkcije, takva varijacija
se naziva ukupna ili asinhrona i označava se sa δ * q . Kada se nezavisno promenljiva t
promeni za δt , funkcija q (t ) dobija priraštaj q& δt , a ukupna varijacija je tada
δ * q = δq + q& δt ,
i za nju ne važi komutativnost variranja i diferenciranja
⎛ dq ⎞ d
δ * ⎜ ⎟ ≠ δ *q .
⎝ dt ⎠ dt
Virtualna pomeranja holonomnog sistema
Stvarno pomeranje materijalnog sistema predstavlja promenu koordinata sistema po
stvarnim putanjama zavisno od dejstva aktivnih sila i veza kojima je podvrgnut
sistem. Ova pomeranja određena su
r
diferencijalima koordinata dri . Moguće
ili virtualno pomeranje materijalnog
sistema je svako zamišljeno beskonačno
malo pomeranje njegovih tačaka, koje u
datom trenutku dopuštaju veze. Ako se
tačka kreće po holonomnoj, stacionarnoj,
r
zadržavajućoj vezi f ( x, y , z ) = 0 , virtualnih pomeranja δr tačke, u trenutku t, ima ∞
mnogo i sva ta pomeranja pripadaju tangetnoj ravni na tu površ. Samo jedno od njih
( )
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 10 i 11
3
r
će biti i stvarno pomeranje dr . Ako se tačka kreće po holonomnoj, nestacionarnoj,
r
zadržavajućoj vezi f ( x, y , z , t ) = 0 , virtualno pomeranje δr , koje se određuje pri
r
zaustavljanju vremena, i dalje pripada tangencijalnoj ravni, a stvarno pomeranje dr
r
ne poklapa se ni sa jednim od virtualnih pomeranja δr . Ako je kretanje tačke zadato u
r r
vektorskom obliku r = r (t ) , tada pri stvarnom pomeranju tačke, vektor pomeranja
r
r
r
r
r r
r
dr je diferencijal funkcije r = r (t ) , tj. dr = dx i + dy j + dz k . Varijacija pomeranja
r r
r
δr je varijacija funkcije r = r (t ) , tj. elementarna promena oblika funkcije pri
r
r
r
r
konstantnoj vrednosti argumenta t. Analogno sa prehodnim je δr = δx i + δy j + δz k .
Neka se tačka M u nekom trenutku t nalazi u položaju M ( x, y , z ) , na vezi
f ( x, y , z ) = 0 . Ako se tački zada virtualno pomeranje tada će se ona naći u položaju
M ( x + δx, y + δy, z + δz ) na vezi, tj. f ( x + δx, y + δy , z + δz ) = 0 . Razvijanjem ove
funkcije u Tejlorov red i zadržavajući se na linearnim članovima varijacija, dobija se
∂f
∂f
∂f
∂f
∂f
∂f
r
δx + δy + δz = 0 , gradf ⋅ δr = 0 .
f ( x, y, z ) + δx + δy + δz = 0 ,
∂z
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
Za istu vezu, i stvarno pomeranje, je
∂f
∂f
∂f
∂f
∂f
∂f
r
f ( x, y, z ) + dx + dy + dz = 0 ,
dx + dy + dz = 0 , gradf ⋅ dr = 0 .
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
Ponavljajući prethodni postupak za nestacionarnu vezu f ( x, y , z ,t ) = 0 , dobija se
∂f
∂f
∂f
r
δx + δy + δz = 0 i gradf ⋅ δr = 0 , tj. nestacionarnost veze ne utiče na uslove
∂x
∂y
∂z
koji moraju da zadovolje varijacije. Za slučaj stvarnog pomeranja, koordinate tačke
moraju da zadovolje relaciju f ( x + dx , y + dy , z + dz , t + dt ) = 0 , tj.
∂f
∂f
r
∂f
∂f
∂f
dx + dy + dz + dt = 0 , gradf ⋅ dr = − dt ,
∂z
∂t
∂y
∂x
∂t
r
odakle se zaključuje da stvarno pomeranje dr nije u tangencijalnoj ravni i ne poklapa
se sa virtualnim pomeranjima.
Virtualno pomeranje materijalnog sistema može biti izraženo i preko generalisanih
koordinata. U tom slučaju, vektor položaja i-te materijalne tačke sistema je
r r
r
ri = ri (q1 , q 2 ,..., q s , t ) = ri (q j , t ) (i=1,2,...,n) (j=1,2,...,s). Tada je
r
r
r
r
r
r
r
∂ri
∂ri
∂ri
∂ri
∂ri
r ∂ri
r ∂ri
dri =
dq1 +
dq2 + L +
dqs +
dt , δri =
δq1 +
δq 2 + L +
δq s ,
∂q1
∂q 2
∂q s
∂t
∂q s
∂q1
∂q 2
r
s
∂ri
r
δri = ∑
δq j ,
j =1 ∂q j
a odgovarajuće projekcije na ose npr. Dekartovog sistema su
s
s
s
∂x
∂y
∂z
δxi = ∑ i δq j , δyi = ∑ i δq j , δz i = ∑ i δq j .
j =1 ∂q j
j =1 ∂q j
j =1 ∂q j
Rad sila na virtualnom pomeranju sistema
r
Neka je Fi rezultanta svih sila koje deluju na i-tu tačku materijalnog sistema. Rad te
r
sile na virtualnom pomeranju δri tačke u određenom položaju sistema, koji zauzima u
posmatranom trenutku, je
r r
δAi = Fi ⋅ δri .
Rad svih sila, koje deluju na n tačaka materijalnog sistema, na virtualnom pomeranju
sistema je
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 10 i 11
n
n
i =1
i =1
r
4
r
δA = ∑ δAi = ∑ Fi ⋅ δri .
Idealne veze
Veze kod kojih je zbira radova reakcija veza na virtualnom pomeranju jednak nuli,
r
nazivaju se idealne veze. Ako su FNi reakcije veza koje deluju na i-tu tačku sistema, a
r
δri odgovarajuća virtualna pomeranja, tada važi
n r
r
FNi ⋅ δri = 0 .
∑
i =1
r
r
r
Ako se tačka nalazi na realnoj vezi tada je ukupna reakcija veze FW = FN + Fμ , pa je
r
r r
r r r r r
δAi = FW ⋅ δri = FN ⋅ δri + Fμ ⋅ δri = Fμ ⋅ δri .
Generalisane sile
Posmatra se materijalni sistem od n tačaka koji je podvrgnut dejstvu k idealnih,
stacionarnih, holonomnih, zadržavajućih veza. Ovaj sistem ima s = 3n − k stepeni
r
s
∂ri
r
δq j , je
slobode. Rad sila na virtualnom pomeranju, korišćenjem izraza δri = ∑
j =1 ∂q j
r
r
n
n r
n r
s
s ⎛ n r
∂ri
∂ri ⎞⎟
r
⎜
δA = ∑ δAi = ∑ Fi ⋅ δri = ∑ Fi ⋅ ∑
δq j = ∑ ⎜ ∑ Fi ⋅
δq j .
∂q j ⎟⎠
i =1
i =1
i =1
j =1 ∂q j
j =1 ⎝ i =1
r
n r
∂ri
Uvođenjem oznake Q j = ∑ Fi ⋅
, virtualni rad je
∂q j
i =1
s
δA = ∑ Q j δq j = Q1 δq1 + Q2 δq 2 + L + Qs δq s ,
j =1
a koeficijenti Q j ( j = 1,2, K , s ) uz varijacije generalisanih koordinata nazivaju se
generalisane sile. U odnosu na Dekartov koordinatni sistem, izraz kojim se definiše
generalisana sila, ima oblik
n ⎛
∂x
∂y
∂z ⎞
Q j = ∑ ⎜ X i i + Yi i + Z i i ⎟ .
⎜ ∂q
∂q j
∂q j ⎟⎠
i =1 ⎝
j
Generalisane sile moguće je odrediti na više načina.
r
n r
n ⎛
∂ri
∂x
∂y
∂z
1. Direktnom primenom izraza Q j = ∑ Fi ⋅
= ∑ ⎜ X i i + Yi i + Z i i
⎜
∂q j i =1 ⎝ ∂q j
∂q j
∂q j
i =1
⎞
⎟.
⎟
⎠
2. Ako se sistemu zadaju takva virtualna pomeranja pri čemu su varijacije svih
koordinata, osim jedne, jednake nuli. Neka je npr. δq1 ≠ 0 , δq 2 = δq3 = L = δq s = 0 .
Tada je δA = Q1 δq1 , odakle se dobija generalisana sila Q1 . Na isti način određuju se i
ostale generalisane sile.
3. Ako na sistem deluju konzervativne sile tada je izraz za potencijalnu energiju
sistema E p ( xi , y i , z i ) (i=1,2,...,n), tj. E p ( q j ) = E P ( q1 , q 2 ,K , q s ) . Kako je δA = −δE p ,
tada je
s
∂E p
j =1
∂q j
δA = −∑
pa je Q j = −
∂E p
∂q j
.
δq j = −
∂E p
∂q1
δq1 −
∂E p
∂q 2
δq 2 − L −
∂E p
∂q s
δq s ,
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 10 i 11
5
Lagranžev princip virtualnih pomeranja. Opšta jednačina statike
Def. Ako se materijalni sistem, izložen dejstvu idealnih, holonomnih i stacionarnih
veza nalazi u ravnoteži, rad svih aktivnih sila na virtualnom pomeranju sistema jednak
n r
r
je nuli, tj. ∑ Fi a ⋅ δri = 0 .
i =1
Potrebnost: Neka su sve tačke sistema u ravnoteži. Na i-tu tačku sistema deluje
r
r
r
r
aktivna sila Fi a i reakcija idealne veze N i , a važi Fi a + N i = 0 . Rad ovih sila na
r
r r r
virtualnom pomeranju je Fi a ⋅ δri + N i ⋅ δri = 0 . S obzirom prethodna relacija treba da
n r
r n r r
važi za sve tačke sistema, tada je ∑ Fi a ⋅ δri + ∑ N i ⋅ δri = 0 . Imajući u vidu da za
i =1
i =1
n
r r
idealne veze važi da je ∑ N i ⋅ δri = 0 , dobija se
n
ra
∑F
i =1
i =1
i
r
⋅ δri = 0 .
r
r
Dovoljnost: Polazeći od ∑ Fi a ⋅ δri = 0 , treba pokazati da je ispunjen uslov
i =1
ra r
Fi + N i = 0 . Ako se uvede suprotna pretpostavka, tj. da za samo jednu tačku sistema
r
r
r
r
r
važi Fi a + N i ≠ 0 , pa je tada mi ai = Fi a + N i ≠ 0 . To znači da će sistem iz stanja
mirovanja preći u kretanje. U ovom slučaju veze su stacionarne pa će se stvarno
r
pomeranje poklopiti sa jednim od virtualnih. Zbog kretanja u smeru rezultante sila Fi a
n
r
r
r
r
i N i , ove sile će izvršiti pozitivan rad, tj. ∑ Fi a + N i ⋅ δri > 0 . Kako su veze idealne,
n
i =1
(
)
ra
r
⋅ δri > 0 , što je suprotno polaznom uslovu, pa je pretpostavka pogrešna,
i =1
r
r
tj. za svaku tačku sistema mora da važi Fi a + N i = 0 .
Ovaj princip može se izraziti i u generalisanim koordinatama. S obzirom da za sistem
n
tada je
∑F
i
s
sa s stepeni slobode važi δA = ∑ Q j δq j , onda je uslov ravnoteže
j =1
s
∑Q
j =1
a
j
δq j = 0 .
Varijacije generalisanih kordinata δq j međusobno su nezavisne, pa da bi bila
zadovoljena prethodna relacija mora biti Q1a = Q2a = L Qsa = 0 . Za konzervativni
∂E p
∂E p ∂E p
=
=L=
= 0 . Ovaj princip može se
sistem uslovi ravnoteže su
∂q s
∂q1
∂q2
primeniti i kada materijalni sistem čiji je broj stepeni slobode jednak nuli.
Lagranž-Dalamberov princip. Opšta jednačina dinamike
Def. Zbir virtualnih radova svih aktivnih sila koje deluju na mehanički sistem i svih
uslovno pridodatih sila inercije jednak je nuli.
Za i-tu tačku materijalnog sistema, primenom Dalamberovog principa, važi
r
r
r
Fi a + N i + Fi in = 0 . Saopštavajući sistemu virtualno pomeranje i koristeći Lagranžev
princip, dobija se
n
r
r
r
r
∑ Fi a + N i + Fiin ⋅ δri = 0 .
i =1
(
)
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 10 i 11
r
r
Kako je Fi in = − mi ai , a veze idealne, tj.
r r
∑ N i ⋅ δri = 0 , tada je
n
i =1
Ovaj princip, izražen u Dekartovim koordinatama ima oblik
∑ [(X
n
i =1
a
i
)
(
)
(
∑ (F
n
i =1
ra
i
6
)
r
r
− mi ai ⋅ δri = 0 .
) ]
− mi &x&i δxi + Yi a − mi &y&i δyi + Z ia − mi &z&i δz i = 0 ,
r
s
∂ri
r
δq j , je
a u generalisanim koordinatama, koristeći δri = ∑
j =1 ∂q j
r
r
n
s ⎛ n r
n r
r a r in s ∂rri
∂ri
∂ri ⎞⎟
a
in
⎜
Fi + Fi ⋅ ∑
δq j = 0 , ∑ ∑ Fi ⋅
δq j = 0 .
+ ∑ Fi ⋅
∑
⎜
∂q j i =1
∂q j ⎟⎠
i =1
j =1 ∂q j
j =1 ⎝ i =1
r
r
n r
n r
∂ri
∂ri
in
in
a
a
, Q j = ∑ Fi ⋅
, tada
Ako se uvedu oznake Q j = ∑ Fi ⋅
∂q j
∂q j
i =1
i =1
(
∑ (Q
s
j =1
a
j
)
je
)
+ Q inj δq j = 0 , tj. Q aj + Q inj = 0 , (j=1,2,...,s).
Lagranževe jednačine II vrste
r r
1 n
Kinetička energija materijalnog sistema je E K = ∑ miVi ⋅ Vi = E K (q j , q& j , t ) , pa je
2 i =1
r
r
r
n
n
r ∂rri
r ∂Vi
∂E K
∂Vi
∂ri
∂E K
= ∑ miVi ⋅
. Kako je
, sledi
.
= ∑ m i Vi ⋅
=
∂q& j
∂q j
∂q& j
∂q& j
∂q& j ∂q j
i =1
i =1
Diferenciranjem prethodnog izraza po vremenu, dobija se
r
r
n
r d ⎛ ∂rri ⎞
dVi ∂ri
d ⎜⎛ ∂E K ⎟⎞ n
⎟.
= ∑ mi
⋅
+ ∑ miVi ⋅ ⎜
dt ⎜⎝ ∂q& j ⎟⎠ i =1
dt ∂q j i =1
dt ⎜⎝ ∂q j ⎟⎠
r
dVi r a r
= Fi + N i , a već je pokazano da važi
Osnovna jednačina kretanja tačke je mi
dt
r
r
d ⎜⎛ ∂ri ⎟⎞ ∂Vi
, pa je
=
dt ⎜⎝ ∂q j ⎟⎠ ∂q j
r
r
n
r ∂Vi
d ⎛⎜ ∂E K ⎞⎟ n r a r ∂ri
.
= ∑ Fi + N i ⋅
+ ∑ miVi ⋅
dt ⎜⎝ ∂q& j ⎟⎠ i =1
∂q j i =1
∂q j
Prvi član na desnoj strani prethodnog izraza predstavlja zbir odgovarajućih
generalisanih sila
r
r
n r
n r
∂ri
∂ri
a
Fi ⋅
+ ∑ Ni ⋅
= Q aj + Q jN ,
∑
∂q j i =1
∂q j
i =1
a drugi član je parcijalni izvod kinetičke energije po generalisanoj koordinati, tj.
r
n
r ∂Vi
∂E K
∂E
d ⎛⎜ ∂E K ⎞⎟
, pa je sada
= Q aj + Q jN + K . U slučaju stacionarnih
= ∑ m i Vi ⋅
⎜
⎟
dt ⎝ ∂q& j ⎠
∂q j
∂q j
∂q j
i =1
r
r
r
s r
s r
∂Vi
∂ri
∂Vi
N
idealnih veza je Q j = ∑ N i ⋅
= ∑ Ni ⋅
= 0 , jer je pravac vektora
∂q j
∂q& j
∂q& j
j =1
j =1
r
r
r
određen pravcem vektora Vi , pri čemu je Vi ⊥ N i . Tada su Lagranževe jednačine II
vrste
(
)
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 10 i 11
d ⎛⎜ ∂E K
dt ⎜⎝ ∂q& j
7
⎞ ∂E K
⎟−
= Q aj .
⎟ ∂q
j
⎠
Za sisteme koji su izloženi dejstvu konzervativnih sila je Q j = −
∂E p
∂q j
, pa prethodna
jednačina postaje
⎞ ∂E K
∂E p
⎟−
.
=−
⎟ ∂q
∂q j
j
⎠
U slučaju stacionarnih konzervativnih sistema važi da je E p = E p (q j ) , pa se dobija
d ⎛⎜ ∂E K
dt ⎜⎝ ∂q& j
d ⎛⎜ ∂ (E K − E p ) ⎞⎟ ∂ (E K − E p )
−
=0,
⎟
∂
dt ⎜⎝
q
∂q& j
j
⎠
d ⎛⎜ ∂L
dt ⎜⎝ ∂q& j
⎞ ∂L
⎟−
= 0,
⎟ ∂q
j
⎠
gde je L = E K − E p - Lagranževa funkcija ili kinetički potencijal.
Ako Lagranževa funkcija L = E K − E p ne zavisi od neke od generalisanih koordinata,
d ∂E K
= 0 , pa je
dt ∂q& r
∂E K
= Cr = const. ,
∂q& r
što predstavlja prvi integral jedne od diferencijalnih jednačina kretanja i naziva se
ciklični integral. U tom slučaju generalisana koordinata qr naziva se ciklična
koordinata.
Kinetička energija sistema izražena u generalisanim koordinatama
Kako je
r r
1 n
E K = ∑ miVi ⋅ Vi = E K (q j , q& j , t ) ,
2 i =1
r
r
r
r
r
s
r r ∂rri
∂ri
∂ri
∂ri
∂ri
∂ri
&
q& s +
=∑
q& j +
Vi = ri =
q&1 +
q& 2 + L +
,
∂q1
∂q2
∂q s
∂t
∂t
j =1 ∂q j
tada je
r
r
r
r 2
⎛ ∂ri
∂ri
∂ri
∂ri ⎞
1 n
1 n
2
⎟ =
E K = ∑ miVi = ∑ mi ⎜⎜
q&1 +
q& 2 + L +
q& s +
∂q 2
∂q s
∂t ⎟⎠
2 i =1
2 i =1 ⎝ ∂q1
2
r
r r
r
r
⎡⎛ ∂rr ⎞ 2
⎛ ∂ri
⎞
∂ri ∂ri
∂ri ∂ri
1 n
i
⎜
⎟
⎟
⎜
&
&
&
&
⎢
+
+
m
q
+
q
+
+
q
q
L
2
L
2
q& s −1q& s +
∑ i
1
1 2
⎜ ∂q s ⎟
∂
∂
q
q
∂
∂
2 i =1 ⎢⎜⎝ ∂q1 ⎟⎠
q
q
1
2
−
1
s
s
s
⎝
⎠
⎣
r r
r 2
r r
∂ri ∂ri
∂ri ∂ri
⎛ ∂ri ⎞ ⎤
2
q&1 + L + 2
q& s + ⎜ ⎟ ⎥ .
∂q1 ∂t
∂q s ∂t
⎝ ∂t ⎠ ⎥⎦
Uvođenjem oznaka, za j=1,2,...,s i k=1,2,...,s,
r r
r r
r 2
n
n
n
∂ri ∂ri
∂ri ∂ri
⎛ ∂ri ⎞
a jk = a kj = ∑ mi
, bk = ∑ mi
, c 0 = ∑ mi ⎜ ⎟
∂q j ∂q k
∂q k ∂t
⎝ ∂t ⎠
i =1
i =1
i =1
izraz za kinetičku energiju može se napisati kao
s
1
1 s s
E K = ∑∑ a jk q& j q& k + ∑ bk q& k + c0 .
2 j =1 k =1
2
k =1
npr. od koordinate q r , tada je
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 10 i 11
8
Koeficijenti a jk = a kj nazivaju se inercioni koeficijenti (koeficijenti metričkog
tenzora).
r
∂r
U slučaju stacionarnog sistema je i = 0 , odakle sledi da je bk = 0 i c 0 = 0 . Tada je
∂t
kinetička energija određena sa
1 s s
E K = ∑∑ a jk q& j q& k .
2 j =1 k =1
Download

Predavanje br.10 i br.11