T.C.
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
POISSON DENKLEMİ VE ÇÖZÜMLERİ
MURAT AYTİN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
DANIŞMAN
YRD. DOÇ. DR. CENGİZ DANE
Edirne
2011
i
ÖZET
Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemler, Uygulamalı Matematiğin bir dalı olup
Temel Bilimlerden Mühendisliğin tüm alanlarında geniş uygulaması vardır.
Fizik ve mühendislik alanında karşılaşılan diferansiyel denklemler, Laplace,
Poisson, Helmholtz veya dalga, Schrödinger gibi denklemlerdir. Bu tip denklemlerin
ortak özellikleri; doğrusal, ikinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemler olmalarıdır.
Bu denklemlerin çözümlerinde seriler, değişkenlerin ayrılması, Green fonksiyonları ve
integral dönüşümler sıkça kullanılır. Analitik tekniklerin yetersiz olduğu durumlarda
sayısal yöntemlere başvurulur.
Bu çalışmanın I. Bölümünde Diferansiyel Denklemler ile ilgili genel kısa bilgiler
verilmiş, Kısmi Diferansiyel Denklemlerle ilgili genel kavramların yanısıra, Laplace,
Poisson, Difüzyon, Helmholtz, Dalga Denklemleri kısaca tanıtılmıştır.
II. Bölümde Genel Koordinatlar, Ortogonal Koordinat Sistemleri, Özel
Ortogonal Koordinatlar tanıtılarak, Gradyenti, Diverjans, Rotasyonel ve Laplasyen
ifadeleri verilmiş, Bessel ve Legendre Fonksiyonlarının temel özellikleri kısaca
tanıtılmıştır.
III. Bölümde Poisson Denklemi tanıtılarak Silindirik ve Küresel Koordinatlarda
yapılan bazı özel çözümleri gözden geçirilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Özel Ortogonal Koordinatlar, Poisson Denklemi, Green
Fonksiyonu.
ii
SUMMARY
Partial Differential Equations, a branch of applied Mathematics, have many
applications in every branch of engineering in basic science.
Differential Equations that faced in Physics and Engineering are equations as
Laplace, Poisson, Helmholtz or wave, Schrödinger equations. Common features of this
kind of equations are linear and partial differential equations from second degree.
Series, differentiation of variables, Green Functions and integral transformations are
often used in solving these equations. In some situations, analytical techniques are
inadequate so numerical methods are used.
In this study, in Part I,
general and short information about Differential
Equations are given, and in addition to general concepts about Partial Differential
Equations, Laplace, Poisson, Diffusion, Helmholtz, Wave Equations are shortly
introduced.
In Part II, general coordinates, Orthogonal Coordinate Systems, Special
orthogonal coordinates are introduced and Gradient, Divergence, Rotational and
Laplacian expressions are given and basic features of Bessel and Legendre Functions
are shortly introduced.
In Part III, Poisson Equation is introduced and special solutions which are
applied in Cylinder and Spherical Coordinates are looked over.
Key Words: Special Orthogonal Coordinates, Poisson Equations, Green
Function.
iii
ÖNSÖZ
Tez çalışmam boyunca her türlü yardımını esirgemeyen ve çalışmamın ortaya
çıkmasında emeği geçen hocam Yrd.Doç.Dr.Cengiz DANE’ye teşekkürlerimi sunarım.
Hem yardımları hem de manevi destekleriyle yanımda olan başta Prof.Dr. Hülya
İŞCAN olmak üzere tüm Matematik Bölümüne şükranlarımı sunarım.
Ayrıca en başından beri beni destekleyen ve daima yanımda olan sevgili eşime,
anneme ve ablama en içten teşekkürlerimi sunarım.
iv
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET
i
SUMMARY
ii
ÖNSÖZ
iii
I.
II.
BÖLÜM / ÖN BİLGİLER
1.1 .
Giriş
1
1.2 .
Genel Bilgiler
2
BÖLÜM / ORTOGONAL KOORDİNATLAR VE
ÖZEL
2.1 .
III.
KOORDİNATLAR
Genel Koordinatlar
10
2.2 . Ortogonal Koordinat Sistemleri
16
2.3 .
Özel Ortogonal Koordinat Sistemleri
22
2.3.1. Kartezyen Koordinatlar
22
2.3.2. Dairesel Silindirik Koordinatlar
25
2.3.3. Küresel Koordinatlar
28
2.4 .
Legendre Denklemi ve Polinomları
31
2.5 .
Bessel Denklemi
39
2.6 .
Dirac Delta Fonksiyonu
42
BÖLÜM / POISSON DENKLEMİ VE ÇÖZÜMÜ
3.1 .
Poisson Denklemi
44
3.2 . Poisson Denkleminin Silindirik koordinatlarda çözümü
50
3.3 . Poisson Denkleminin Küresel koordinatlarda çözümü
61
TARTIŞMA
75
SİMGELER DİZİNİ
76
KAYNAKLAR
77
ÖZGEÇMİŞ
79
1
I. BÖLÜM
1.1. Giriş
Doğa sistemlerinin matematiksel modellerle ifade edilmesi söz konusu olduğunda
genellikle diferansiyel denklem veya diferansiyel denklem sistemleriyle karşılaşırız.
Matematiksel modelleme yöntemi; genel olarak, bir gerçek problemin matematik
formüllerle ifade edilmesi, yani bir matematiksel modelin kurulması, ortaya çıkan
problemin çözümü ve analizi, matematiksel sonuçların, orijinal gerçek olay açısından
yorumu, şeklinde özetlenir.
Bir doğa olayının yapısı ile kısmi diferansiyel oluşturmak, uygulamalı
matematiğin güç konularından biri ve aynı zamanda analizin klasik bir dalıdır.
Diferansiyel Denklemlerin, Mühendislik Bilimlerinden Sosyal Bilimlere kadar
geniş bir uygulama alanı vardır.
Matematik modellerle ifade edilen ve diferansiyel denklemlere dönüştürülen
olayların analizi, bu olayları temsil eden diferansiyel denklemlerin çözümü olan
fonksiyonların incelenmesi ile yapılır. Eğer basit hareketleri temsil eden diferansiyel
denklemler ya da denklem sistemleri ile karşı karşıyaysak bunlar genellikle lineer
denklemlerdir ve genel çözümü analitik fonksiyonlardan oluşan bir uzay oluştururlar.
Analitik çözümün bulunması demek ele alınan sistemin tamamen bilinmesi demektir.
Eğer doğa olayını temsil eden diferansiyel denklemler non-lineer ise genellikle bu tip
denklemlerin analitik çözümü azdır veya yoktur. Bu denklemlerin çözümleri nümerik
yöntemlerle yaklaşık olarak hesaplanır.[1,2,3,4]
Örneğin, Matematik, Fizik ve Uygulamalı Bilimlerde karşılaşılan Laplace,
Poisson, Difüzyon ve Dalga Denklemleri gibi denklemler benzer karakterlere sahip
denklemlerdir. Bu denklemler
∇ 2U + k 2U = 0 formunda yazılan ve Helmholtz
Denklemi olarak bilinen ve çözümlerini inceleyebildiğimiz bir özel denkleme
dönüştürülebilen denklemlerdir. [20,21,22,23]
2
Bu çalışmada
r
∇ 2φ = − f (r ) Poisson Denkleminin Küresel ve Silindirik
Koordinatlarda çözümleri incelenmiştir. Ayrıca koordinat sistemleri, Legendre ve
Bessel Fonksiyonları ile ilgili özet bilgi verilmiştir.
1.2. Genel Bilgiler
Bağımsız değişkenleri, bu değişkenlerin fonksiyonlarını ve bu fonksiyonların
türevlerini içeren bağıntılara diferansiyel denklem denir.
Tek bir değişkene bağlı bir fonksiyonun bu bağımsız değişkene göre türevlerini
içeren bir denkleme
“Bayağı (Adi) Diferansiyel Denklem” , iki
yada daha çok
bağımsız değişkene bağlı bir fonksiyonun bu bağımsız değişkenlere göre türevlerini
içeren bir denkleme “Kısmi Diferansiyel Denklem” denir.[1]
Bir diferansiyel denklemde en yüksek türevin mertebesine diferansiyel
denklemin “Mertebesi” veya “Basamağı”, denklemdeki en yüksek mertebeli türevin
cebirsel derecesine denklemin “Derecesi” denir.
Diferansiyel denklemlerin; genel, özel ve tekil olmak üzere üç tür çözümünden
bahsedilebilir. n. Mertebeden bir diferansiyel denklemin genel çözümünde n tane keyfi
sabit vardır. Genel çözümlerde sabitlere özel değerler verilerek özel çözümler elde
edilir. Bazen diferansiyel denklemi sağlayan ancak genel çözümlerden elde edilemeyen
bir veya birkaç çözüm ile karşılaşılabilir. Bu çözümlere de tekil çözümler denir.
U bağımlı, x ,y bağımsız değişkenlerine bağlı bir Kısmi Diferansiyel Denklem
genel olarak,
F (x, y, U ,U x ,U y ,U xx ,U xy ,U yy ,) = 0
(1.2.1)
şeklinde ifade edilir.
n bağımsız ve bir bağımlı değişkene sahip kısmi türevli denklemlerin genel
şekli, x = ( x1 , x 2 ,..., x n ),
(
U = U (x ) olmak üzere,
)
F x1 , x 2 ,..., x n ,U ,U x1 ,...,U xn ,U x1x1 ,U x1 x2 ,... = 0
(1.2.2)
3
formundadır.
Bir Kısmi Diferansiyel Denklemdeki bağımlı değişken ve bunların denklemdeki
tüm kısmi türevleri birinci dereceden ve denklemi, bağımlı değişken ile onun türevleri
parantezinde yazdığımızda katsayılar yalnızca bağımsız değişkenlerin fonksiyonu
oluyorsa bu denkleme “Lineer Kısmi Diferansiyel Denklem” denir.
İki bağımsız değişkenli birinci dereceden bir lineer denklem,
P( x, y )U x + Q( x, y )U y + R( x, y )U = S ( x, y )
(1.2.3)
biçiminde, ikinci mertebeden bir lineer denklem,
A( x, y )U xx + B( x, y )U xy + C ( x, y )U yy + D( x, y )U x + E ( x, y )U y + F ( x, y )U = G ( x, y )
(1.2.4)
şeklinde ifade edilir.
Eğer bir Kısmi Diferansiyel Denklem, o denklemde bulunan en yüksek mertebeli
kısmi türevlere göre lineer ise, denkleme “Yarı Lineer Kısmi Diferansiyel Denklem”
denir.
Birinci mertebeden iki bağımsız değişkenli yarı lineer denklem,
P( x, y,U )U x + Q( x, y,U )U y = R( x, y, U )
(1.2.5)
biçiminde, ikinci mertebeden yarı lineer denklem de,
A(x, y,U ,U x ,U y )U xx + B( x, y,U ,U x ,U y )U xy + C ( x, y,U ,U x ,U y )U yy + D( x, y, U , U x ,U y ) = 0
(1.2.6)
şeklinde gösterilir.
Bir kısmi türevli denklem yarı lineer ise ve denklemde görülen en yüksek
mertebeli türevlerin katsayıları sadece bağımsız değişkenlerin bir fonksiyonu ise
denkleme “hemen hemen Lineer Kısmi Diferansiyel Denklem” denir.
İkinci mertebeden iki bağımsız değişkenli hemen hemen lineer denklem,
4
A( x, y )U xx + B( x, y )U xy + C ( x, y )U yy + D( x, y,U ,U x , U y ) = 0
(1.2.7)
şeklindedir.
Bazen bir diferansiyel denklemin keyfi sabitlerini içeren genel çözümünü
bulmak yeterlidir. Bazı durumlarda ise diferansiyel denklemin belirli koşulları sağlayan
çözümlerinin bulunması gerekir. Bu koşullar genellikle problemin yapısında vardır veya
doğrudan denklemle birlikte verilir. Eğer koşullar yalnız bir noktayı kapsayan koşullar
ise sınır koşulları olarak adlandırılır.
Başlangıç koşullarına bağlı olarak çözülen problemlere başlangıç değer problemi
yada Cauchy problemi, sınır koşullarına bağlı olarak çözülen problemlere sınır değer
problemi, sınır koşullarının yanı sıra başlangıç koşulları da verilirse, bu koşullara göre
verilen problemlere başlangıç sınır değer problemi denir.
İkinci mertebeden Lineer Kısmi Diferansiyel Denklemler üç temel bölümde
sınıflandırılır.
AU xx + BU xy + CU yy + DU x + EU y + FU = 0
(1.2.8)
Karakteristik denkleminin, sol tarafını dx , dy diferansiyelleri cinsinden bir kuadratik
form gibi düşünürsek,
Q(dx, dy ) = A(dy ) − B(dx )(dy ) + C (dx )
2
2
(1.2.9)
elde edilir. Bu formun belirlediği geometrik eğriler yardımıyla ikinci mertebeden kısmi
diferansiyel denklemleri sınıflara ayırmak mümkündür.
Lineer denklemler için; belirli bir ( x, y ) noktasında A,B,C katsayıları sabit
değerler alır.
Q (dx, dy ) = 1 olsun. Bu durumda verilen ( x, y ) noktası ile ilgili olarak Q=1 kuadratik
denklemi dx − dy düzleminde konikleri belirler. Yani x − y düzlemindeki her noktaya
karşılık dx − dy düzleminde bir konik eğri bulunur. Bu durumda koniğin cinsi
Q(dx, dy ) ’nin katsayılarına bağlıdır.
Buna göre,
5
i) B 2 − 4 AC > 0 ise kökler reel ve farklıdır ve Q=1 denklemi bir hiperbol
belirler.
ii) B 2 − 4 AC = 0 ise kökler reel ve çakışıktır ve Q=1 denklemi bir parabol
belirler.
iii) B 2 − 4 AC < 0 ise kökler eşlenik kompleks sayılardır ve Q=1 denklemi bir
elips belirler.
Böylece (1.2.8) Kısmi Diferansiyel Denklemi,
B 2 − 4 AC > 0 ise Hiperbolik, B 2 − 4 AC = 0 ise Parabolik, B 2 − 4 AC < 0 ise Eliptik
olarak sınıflandırılır.[5,6,7,14]
∇ 2U + k 2U = 0 Helmholtz Denkleminde U ( x, y, z ) merkezi orijinde bulunan ve
kenar uzunluğu a ve orijindeki değeri
U 0 = U (0,0,0)
(1.2.10)
olan küp içinde tanımlı bir skaler alan olsun. Küpün içindeki bir noktada bu skaler
alanın ortalama değeri
1
U ( x, y , z ) = 3
a
a/2 a/2 a/2
∫ ∫ ∫ U (x, y, z )dxdydz
(1.2.11)
−a / 2 −a / 2 −a / 2
ifadesi ile verilir. U ( x, y, z ), x0 = (0,0,0) noktası civarında kuvvet serisine açılır ve
serinin yüksek mertebeden terimleri ihmal edilerek bulunan açılım (1.2.11) de
kullanılırsa
U (x, y, z ) = U (0,0,0 ) +
a 2 ⎧ ∂ 2U ( x, y, z ) ∂ 2U (x, y, z ) ∂ 2U ( x, y, z ) ⎫
+
+
⎨
⎬ x =0 (1.2.12)
24 ⎩
∂x 2
∂y 2
∂z 2
⎭ y =0
z =0
veya
6
U ( x, y , z ) = U 0 +
a2 2
(∇ U )0
24
(1.2.13)
bulunur. Bu ifade kısaca
U (x, y, z ) − U (0,0,0) =
a2 2
{∇ U ( x, y, z)}0
24
(1.2.14)
veya
(∇ U )
2
0
=
24
(U − U 0 )
a2
(1.2.15)
formunda yazılır. Çünkü çok değişkenli fonksiyonlar için
f ( x0 + h, y 0 + h,..., t 0 + l ) = f ( x0 , y 0 ,..., t 0 ) +
r
1⎛ ∂
∂
∂ ⎞
⎜⎜ h + k + ... + l ⎟⎟ f ( x0 , y 0 ,..., t 0 ) + Rn
∑
∂y
∂t ⎠
r =1 r!⎝ ∂x
n
(1.2.16)
(h = x − x0 , k = y − y 0 ,..., l = t − t 0 )
şeklinde
alınan
Taylor
Teoremi
(x0 , y 0 , z 0 ) = (0,0,0)
noktasında
U ( x, y , z )
fonksiyonuna uygulanırsa
⎛ ∂U ⎞
⎛ ∂U ⎞
⎛ ∂U ⎞
⎟⎟ y + ⎜
U ( x, y , z ) = U 0 + ⎜
⎟ x + ⎜⎜
⎟ z
⎝ ∂z ⎠ 0
⎝ ∂x ⎠ 0
⎝ ∂y ⎠ 0
+
1 ⎡⎛ ∂ 2U ⎞ 2 ⎛ ∂ 2U ⎞ 2 ⎛ ∂ 2U ⎞ 2 ⎤
⎟ x + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ y + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ z ⎥
⎢⎜
2 ⎣⎢⎜⎝ ∂x 2 ⎟⎠ 0
⎝ ∂y ⎠ 0
⎝ ∂z ⎠ 0 ⎦⎥
(1.2.17)
⎛ ∂ 2U ⎞
⎛ ∂ 2U ⎞
⎛ ∂ 2U ⎞
⎟⎟ xy + ⎜⎜
⎟⎟ yz + ⎜⎜
⎟⎟ xz + ...
+ ⎜⎜
⎝ ∂x∂y ⎠ 0
⎝ ∂y∂z ⎠ 0
⎝ ∂x∂z ⎠ 0
ifadesi elde edilir. (1.2.17) değerinin (1.2.11)’de yerine konulması ile tek kuvvette olan
ifadeler sıfır ve çift kuvvetten ifadeler
7
1
a3
1
a3
1
a3
a
2
a
2
∫ ∫
a
a
−
−
2
2
a
2
a
2
a
2
a 2 ⎛ ∂ 2U ⎞
1 ⎛ ∂ 2U ⎞ 2
⎜
⎟
∫a 2 ⎜⎝ ∂x 2 ⎟⎠ x dxdydz = 24 ⎜⎜⎝ ∂x 2 ⎟⎟⎠ ;
0
0
−
(1.2.18)
2
a
2
∫ ∫
1 ⎛ ∂ 2U ⎞ 2
a 2 ⎛ ∂ 2U ⎞
⎜
⎟
⎜⎜ 2 ⎟⎟ ;
=
y
dxdydz
∫a 2 ⎜⎝ ∂y 2 ⎟⎠
24
⎝ ∂y ⎠ 0
0
a
2
a
2
(1.2.19)
a
a
−
−
−
2
2
2
a
2
∫ ∫
1 ⎛ ∂ 2U ⎞ 2
a 2 ⎛ ∂ 2U ⎞
⎜
⎟
⎜⎜ 2 ⎟⎟ ;
=
z
dxdydz
∫a 2 ⎜⎝ ∂z 2 ⎟⎠
24
⎝ ∂z ⎠ 0
0
(1.2.20)
a
a
−
−
−
2
2
2
şeklini alır. (1.2.18), (1.2.19), (1.2.20) kullanılır ve yüksek mertebeden türevler ihmal
edilirse (1.2.11)’den (1.2.15) ifadesi bulunur. (1.2.15) ifadesi U ( x, y, z ) skaler alanının
bir ( x, y, z ) noktasındaki U ( x, y, z ) ortalama değeri ile U (0,0,0) başlangıç değeri
arasındaki
farkının,
bu
skaler
alanın
başlangıç
noktasındaki
laplasyeni
ile
belirleneceğini ifade eder.
(1.2.15) ifadesinin sağ tarafında bulunan U − U 0 farkının şekline göre
uygulamalı bilimlerde çok kullanılan kısmi türevli denklemler elde edilir.
Bunlardan bazıları;
1- Eğer U ( x, y, z ) skaler alanının bir noktadaki değeri bu nokta civarındaki
ortalama değerine eşit ise (1.2.15)’den Laplace Denklemi adı verilen
∇ 2U = 0
(1.2.21)
denklemi elde edilir. Buna göre bir skaler alanın, bir noktadaki değeri bu nokta
civarındaki ortalama değerine eşit ise bu skaler alan bu noktada (1.2.21) denklemini
gerçekler.
2- U ( x, y, z ) skaler alanın bir noktadaki değeri ile bu nokta komşuluğundaki
r
ortalama değeri arasındaki fark, bir başka h(r ) skaler alanına eşit ise (1.2.15) denklemi
8
r
∇ 2U = h(r )
(1.2.22)
r
şeklini alır. Bu denklem, ε 0 bir sabit ve ρ (r ) başka bir skaler alan olmak üzere
∇ 2U = −
1
ε0
r
ρ (r )
(1.2.23)
şeklinde yazıldığında Poisson Denklemi olarak bilinen denklem elde edilir.
r
(1.2.23) denkleminde ρ (r ) fonksiyonu sıfıra eşit ise denklem Laplace
Denklemine dönüşür. Bu denklemin Mühendislik ve Fizikte geniş bir kullanım alanı
vardır.
3- Genellikle (1.2.21) ve (1.2.23) denklemlerini gerçekleyen skaler alanlar
U ( x, y, z, t ) biçiminde de olabilir. Bu durumda alanın bir noktadaki değeri, o nokta
komşuluğunda yer alan başka bir noktadaki ortalama değerden farklı değerler alır.
Kararlı durumlarda bu fark, zaman sürecinde dengelenir. Bu durum,
(U − U ) ≈ ∂U ( x, y, z, t )
0
∂t
(1.2.24)
şeklinde ifade edilir.
∇ 2U 0 ≈ (U − U 0 )
(1.2.25)
şeklinde ifade edildiği göz önüne alınırsa, (1.2.24) ve (1.2.25) ifadelerinden
∇ 2U 0 ≈
∂U ( x, y, z , t )
∂t
veya, α bir orantı katsayısı olmak üzere
(1.2.26)
9
∇ 2U ( x, y, z , t ) ≈
1 ∂U ( x, y, z , t )
α
∂t
(1.2.27)
denklemi elde edilir. Bu denklem Difüzyon Denklemi olarak bilinir.(1.2.27)
denklemindeki α katsayısına geçirgenlik katsayısı denir.
4- Skaler alanın zamana bağlı olduğu durumlarda (U − U 0 ) farkı, fonksiyonun
ivmesiyle orantılı ise bu durum,
(U − U ) ≈ ∂ U
2
0
∂t 2
(1.2.28)
biçiminde ifade edilir. Aynı zamanda (U − U 0 ) farkının ∇ 2U 0 ’la orantılı olmasından
dolayı,
∇ 2U 0 ≈
∂ 2U
∂t 2
(1.2.29)
dır. (1.2.29) ifadesi, c bir orantı sabiti olmak üzere
1 ∂ 2U
∇U= 2
c ∂t 2
2
(1.2.30)
biçiminde ifade edilse, Dalga Denklemi olarak bilinen denklem elde edilir.[3,5,6,7,8,14]
10
II. BÖLÜM
2.1. Genel Koordinatlar
(x, y, z ) bir noktanın kartezyen koordinatları olmak üzere,
f1 ( x, y, z ), f 2 (x, y, z ), f 3 ( x, y, z ) verilmiş bir bölgede x,y,z nin sürekli fonksiyonları
olsun.
u1 = f 1 ( x, y, z ), u 2 = f 2 ( x, y, z ), u 3 = f 3 ( x, y, z )
(2.1.1)
denklemleri de x,y,z ye göre çözülerek
x = g1 (u1 , u 2 , u 3 ),
y = g 2 (u1 , u 2 , u 3 ), z = g 3 (u1 , u 2 , u 3 )
(2.1.2)
şeklinde yazılabilsin. Ayrıca g1 , g 2 , g 3 ’de, u1 , u 2 , u 3 ün fonksiyonları olsun. O zaman
bölge içindeki kartezyen koordinatları (x, y, z ) olan her P noktasına bir (u1 , u 2 , u 3 )
değer takımı karşılık gelir. Bu
u1 , u 2 , u 3 fonksiyonlarına P noktasının eğrisel
koordinatları, (2.1.1) ve (2.1.2) denklemlerine koordinat dönüşümü denklemleri denir.
Her (x, y, z ) değer takımına tek bir (u1 , u 2 , u 3 ) değer takımı karşı gelmesi için
u1 , u 2 , u 3 ’ü x,y,z’nin sürekli ve türevi alınabilen fonksiyonları kabul ediyoruz.
c1 , c 2 , c3 birer sabit olmak üzere her P noktasından koordinat yüzeyleri denilen
u1 = c1 , u 2 = c 2 , u 3 = c3
(2.1.3)
yüzeyleri geçer. Bu üç yüzey ikişer ikişer koordinat eğrileri denilen üç eğri boyunca
kesişirler. Şekil (2.1.1)
11
Her koordinat yüzeyi üzerinde bir koordinat sabit, diğer ikisi değişkendir.
Örneğin u1 = c1 yüzeyi üzerinde her yerde u1 sabit, u 2 ile u 3 noktadan noktaya değişir.
Bir yüzey sabit olan koordinatın adı ile adlandırılır.
Şekil (2.1.1)
Şekil (2.1.2)
r
r r
r
Başlangıç noktası değişken P( x, y, z ) noktasına birleştiren r = xi + yj + zk yer
vektörü (2.1.2) yardımı ile u1 , u 2 , u 3 değişkenlerinin fonksiyonu olarak
r r
r = r (u1 , u 2 , u 3 )
(2.1.4)
r
şeklinde yazılır. r fonksiyonunun u1 e göre kısmi türevi, u 2 ve u 3 sabit tutularak, yani P
r
∂r
, u1 eğrisine P noktasında teğet
noktası u1 eğrisi üzerinde değiştirilerek elde edilir.
∂u1
olan bir vektördür. Buna göre u1 ’in P noktasındaki teğeti doğrultusundaki birim vektörü
→
e 1 ile gösterilirse,
r
∂r
→
∂u
e 1 = r1
∂r
∂u1
olur. Eğer
(2.1.5)
12
r
∂r
= h1
∂u1
(2.1.6)
ile gösterilirse
→
→
∂r
= h1 e1
∂u1
(2.1.7)
→
→
elde edilir. Benzer şekilde e2 ve e3 sırasıyla u 2 ve u 3 eğrilerinin P noktasındaki
teğetleri yönündeki birim vektörleri gösterirse
r
∂r
= h2
∂u 2
r
∂r
= h3
∂u 31
(2.1.8)
olmak üzere
→
→
∂r
= h2 e2
∂u 2
→
→
∂r
,
= h3 e3
∂u 3
(2.1.9)
→
→
→
şeklinde yazılır. h1 , h2 , h3 büyüklükleri metrik katsayılar olarak adlandırılır. e1 , e2 , e3
birim vektörlerinin yönleri sırasıyla artan u1 , u 2 , u 3 yönlerindedir. Şekil (2.1.2)
→
∇ u1 , P noktasında u1 = c1
yüzeyinin normali doğrultusunda bir vektördür.
→
u1 = c1 yüzeyi normali doğrultusundaki birim vektörünü E 1 ile gösterirsek,
r
∇u1
E1 = r
∇u1
→
(2.1.10)
13
yazılabilir. Benzer şekilde u 2 = c 2 ve u 3 = c3 yüzeylerinin normalleri doğrultusundaki
→
→
birim vektörleri E 2 ve E 3 ile gösterilirse
r
∇u 2
E2 = r
∇u 2
→
r
∇u 3
E3 = r
∇u 3
→
ve
→
→
(2.1.11)
→
→
→
→
yazılır. Gerek e1 , e2 , e3 birim vektörlerinin, gerekse E 1 , E 2 , E 3 birim vektörlerinin
yönleri bu vektör takımları bir sağ el vektör sistemi meydana getirecek şekilde seçilir.
Eğrisel sistemin her keyfi P noktasında, u1 , u 2 , u 3 koordinat eğrilerinin teğetleri
→
→
→
yönünde olan ( e1 , e2 , e3 ) diğeri u1 = c1 , u 2 = c 2 ,
→
→
u 3 = c3 koordinat yüzeylerinin
→
normalleri yönünde olan ( E 1 , E 2 , E 3 ) gibi iki sağ el birim vektör takımı vardır. Genel
→
→
→
→
→
→
olarak ( e1 , e2 , e3 ) ile ( E 1 , E 2 , E 3 ) vektör takımları birbirinden farklıdır. Ancak eğrisel
koordinat sistemi ortogonal olursa bu iki vektör takımı özdeş olur.
→
Her keyfi A vektörü a1 , a 2 , a3 veya A1 , A2 , A3 bileşenler olmak üzere
→
r
r
r
A = a1e1 + a 2 e2 + a3 e3
(2.1.12)
r
r
r
A = A1 E1 + A2 E 2 + A3 E3
(2.1.13)
→
→
→
→
→
→
→
Şeklinde ( e1 , e2 , e3 ) veya ( E 1 , E 2 , E 3 ) vektör takımları ayrı ayrı üç boyutlu uzayın
genel olarak birbirinden farklı iki bazını oluştururlar.
→
Keyfi bir A vektörünü genel olarak büyüklükleri birim olmayan
→
→
→
∂r ∂r ∂r
,
,
∂u1 ∂u 2 ∂u 3
(2.1.14)
14
veya
→
→
→
∇ u1 , ∇ u 2 , ∇ u 3
(2.1.15)
baz vektörleri cinsinden yazmak mümkündür. (2.1.14) ve (2.1.15) baz vektörlerine
→
üniter baz vektörleri denir. A vektörü bu baz vektörleri cinsinden
→
→
→
→
→
→
∂r
∂r
∂r
+ c2
+ c3
A = c1
= c1 α 1 + c 2 α 2 + c3 α 3
∂u1
∂u 2
∂u 3
→
→
→
→
→
→
→
(2.1.16)
→
A = C1 ∇ u1 + C 2 ∇ u 2 + C 3 ∇ u 3 = C1 β1 + C 2 β 2 + C 3 β 3
(2.1.17)
şeklinde yazılabilir. Burada
→
∂r
α1 =
∂u1
→
r
→
β 1 = ∇ u1
→
∂r
α2 =
∂u 2
→
r
→
β 2 = ∇ u2
→
∂r
α3 =
∂u 3
→
→
→
β 3 = ∇ u3
→
(2.1.18)
(2.1.19)
→
dır. C1 , C 2 , C 3 bileşenlerine A vektörünün kovaryant, c1 , c 2 , c3 bileşenlerine de A
vektörünün kontravaryant bileşenleri denir.
Kartezyen koordinatlarda yay uzunluğu denklemini;
ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2
r
şeklinde ifade edilir. Eğrisel koordinatlarda dr
(2.1.20)
15
→
→
→
∂r
∂r
∂r
dr=
du1 +
du 2 +
du 3 = α 1 du1 + α 2 du 2 + α 3 du 3
∂u1
∂u 2
∂u 3
→
(2.1.21)
şeklinde ifade edilir.
→
d r nin bu değerinden
3
3
ds 2 = ∑∑ g ij du i du j
(2.1.22)
i =1 j =1
elde edilir. Burada
→
→
g ij = α i α j
(2.1.23)
dir. g ij ye metrik katsayılar denir g ij = g ji dir, yani g ij simetriktir. (2.1.23) bağıntısı,
temel kuadratik form veya metrik form olarak adlandırılır.
Eğer i ile j nin farklı değerleri için g ij = 0 ise o zaman koordinat sistemi
ortogonaldir. Ortogonal koordinat sistemleri için i = 1,2,3 olmak üzere
→
→
∂ r ∂ r ⎛ ∂x
g ii =
=⎜
∂u i ∂u i ⎜⎝ ∂u i
⎞ ⎛ ∂y
⎟⎟ + ⎜⎜
⎠ ⎝ ∂u i
⎞ ⎛ ∂z
⎟⎟ + ⎜⎜
⎠ ⎝ ∂u i
⎞
⎟⎟ = hi 2
⎠
(2.1.24)
dir. Bu bağıntı h1 , h2 , h3 metrik katsayıların hesaplanmasında kullanılır.[9,10,11,14]
16
2.2. Ortogonal Koordinat Sistemleri
Eğer koordinat eğrileri her P( x, y, z ) noktasında birbirine dik ise u1 , u 2 , u 3
eğrisel koordinatları ortogonaldir denir.
→
→
→
e1 , e2 , e3 (2.1.5) de tanımlanan birim vektörler ve s1 , s 2 , s 3 ; u1 , u 2 , u 3 ün pozitif
yönde koordinat eğrileri boyunca ölçülen yay uzunluklarını göstermek üzere
(ds )2 = (ds1 )2 + (ds 2 )2 + (ds3 ) 2
(2.2.1)
dir. Bu ifade h1 , h2 , h3 metrik katsayıları cinsinden
ds 2 = h1 (du1 ) + h2 (du 2 ) + h3 (du 3 ) 2
2
2
2
2
2
(2.2.2)
şeklinde yazılır. Ayrıca ortogonal koordinat sistemleri için J jakobiyeni
→
→
→
∂r ∂r ∂r
J=
∂u1 ∂u 2 ∂u 3
→
→
⎛ →
⎞
∂r ⎜ ∂r ∂r ⎟
=
x
∂u1 ⎜⎜ ∂u 2 ∂u 3 ⎟⎟
⎝
⎠
→
→
⎛ →
⎞
= h1 e 1 ⎜ h2 e 2 xh3 e 3 ⎟
⎝
⎠
(2.2.3)
→
⎛→ → ⎞
= h1 h2 h3 .e1 ⎜ e 2 x e 3 ⎟
⎝
⎠
= h1 h2 h3
→
⎛→ →
⎞
dir. ⎜ ∇ u1 , ∇ u 2 , ∇ u 3 ⎟
⎝
⎠
ile
→
⎛ → →
⎞
⎜∂r ∂r ∂r ⎟
⎜⎜ ∂u , ∂u , ∂u ⎟⎟ vektör takımı ters vektör sistemler
2
3
⎝ 1
⎠
olduğundan ortogonal koordinat sistemleri için
17
→
→
⎛ →
⎞
1⎜ ∂r ∂r ⎟
1
=
x
∇u1 = ⎜
⎟
J ⎜ ∂u 2 ∂u 3 ⎟ h1 h2 h3
⎝
⎠
→
⎡ →
⎤ e1
h
e
xh
e
2
2
3
3⎥ =
⎢⎣
⎦ h1
→
⎛ →
⎞
1⎜∂r ∂r ⎟
1
=
x
∇u 2 = ⎜
J ⎜ ∂u 3 ∂u1 ⎟⎟ h1 h2 h3
⎝
⎠
→
⎡ →
⎤ e2
h
e
xh
e
3
3
1
1
⎢⎣
⎥⎦ = h
2
→
⎛ →
⎞
1⎜∂r ∂r ⎟
1
=
x
∇u 3 = ⎜
J ⎜ ∂u1 ∂u 2 ⎟⎟ h1 h2 h3
⎝
⎠
→
⎡ →
⎤ e3
h
e
xh
e
1
1
2
2
⎢⎣
⎥⎦ = h
3
→
→
→
(2.2.4)
→
(2.2.5)
→
(2.2.6)
ve
→
→
→
→
→
→
e1 = h2 h3 ∇ u 2 xu 3
e2 = h3 h1 ∇ u 3 xu1
(2.2.7)
e3 = h1 h2 ∇ u1 xu 2
bağıntıları bulunur.
Bir f skaler fonksiyonunun Gradyenti bir vektördür. Gradyent vektörünün
→
→
→
( e1 , e2 , e3 ) bazındaki bileşenleri f1 , f 2 , f 3 ise
→
→
→
→
∇ f = f 1 e1 + f 2 e2 + f 3 e3
(2.2.8)
şeklinde ifade edilir.
→
→
→
→
→
→
∂r
∂r
∂r
du1 +
du 2 +
du 3 = h1e1 du1 + h2 e2 du 2 + h3 e3 du 3
dr=
∂u1
∂u 2
∂u 3
→
ve
(2.2.9)
18
→
→
df = ∇. f .d r
(2.2.10)
olduğu göz önüne alınırsa (2.2.8) ve (2.2.9) bağıntıları kullanılarak
df = h1 f1 du1 + h2 f 2 du 2 + h3 f 3 du 3
(2.2.11)
elde edilir, diğer taraftan f fonksiyonu ( u1 , u 2 , u 3 ) eğrisel koordinatlarının bir skaler
fonksiyonu olduğu dikkate alınarak
→
→
→
∂r
∂r
∂r
df =
du1 +
du 2 +
du 3
∂u1
∂u 2
∂u 3
(2.2.12)
yazılır. (2.2.4), (2.2.5), (2.2.6) ve (2.2.12) bağıntılarından
fi =
1 ∂f
hi ∂u i
i=1,2,3
(2.2.13)
elde edilir. Bu değerler (2.2.1) bağıntısıyla yerine konulursa f in gradyenti
→
→
→
e ∂f
e ∂f
e ∂f
∇f = 1
+ 2
+ 3
h1 ∂u1 h2 ∂u 2 h3 ∂u 3
→
(2.2.14)
→
şeklinde elde edilir. Buradan da ∇ işlemcisinin dik eğrisel koordinatlardaki ifadesi
→
→
→
e ∂
e ∂
e ∂
∇= 1
+ 2
+ 3
h1 ∂u1 h2 ∂u 2 h3 ∂u 3
→
olarak bulunur.
Eğrisel koordinatlardaki bilişenleri A1 , A2 , A3 olan
(2.2.15)
19
→
r
r
r
A = A1e1 + A2 e2 + A3 e3
(2.2.16)
vektör fonksiyonunun diverjansını hesaplamak için (2.2.14) bağıntısı kullanılarak
→
→
r
r
r
∇ f = ∇( A1e1 + A2 e2 + A3 e3 )
(2.2.17)
den
→
r
∇( A1e1 ) =
∂
1
( A1h2 h3 )
h1 h2 h3 ∂u1
→
r
∇( A2 e2 ) =
∂
1
( A2 h3 h1 )
h1h2 h3 ∂u 2
→
r
∇( A3 e3 ) =
∂
1
( A3 h1h2 )
h1 h2 h3 ∂u 3
(2.2.18)
bulunur. A1 = A2 = A3 = 1 özel değeri için (2.2.18) bağıntıları
→ →
∇ e1 =
1
∂
(h2 h3 )
h1h2 h3 ∂u1
→ →
1
∂
(h3 h1 )
h1 h2 h3 ∂u 2
→ →
∂
1
(h1h2 )
h1 h2 h3 ∂u 3
∇ e2 =
∇ e3 =
→
şeklini alır. Böylece keyfi bir A vektörünün eğrisel koordinatlardaki diverjansı
(2.2.19)
20
→ →
∇A=
⎤
1 ⎡ ∂
( A1h2 h3 ) + ∂ ( A2 h3 h1 ) + ∂ ( A3 h1h2 )⎥
⎢
h1 h2 h3 ⎣ ∂u1
∂u 2
∂u 3
⎦
(2.2.20)
→
formunda elde edilir. Benzer şekilde keyfi bir A vektörünün rotasyoneli için (2.2.4),
(2.2.5),(2.2.6) bağıntılarından
r
r
e3 ∂
e2 ∂
r
( A1h1 ) +
( A1h1 )
∇ x( A1e1 ) =
h1 h2 ∂u 2
h1 h3 ∂u 3
→
r
r
e3 ∂
e1 ∂
r
( A2 h2 ) −
( A2 h2 )
∇ x( A2 e2 ) =
h2 h3 ∂u 3
h1 h2 ∂u 2
→
(2.2.21)
r
r
e2 ∂
e1 ∂
r
( A3 h3 ) −
( A3 h3 )
∇ x( A3 e3 ) =
h3 h1 ∂u1
h3 h2 ∂u 3
→
→
elde edilir. Böylece A vektörünün ortogonal eğrisel koordinatlardaki rotasyoneli;
→
→
∇x A =
1
h1 h2 h3
→
→
→
h1 e1
h2 e2
h3 e3
∂
∂u1
∂
∂u 2
∂
∂u 3
A1 h1
A2 h2
A3 h3
(2.2.22)
şeklinde de yazabiliriz. (2.2.15) ifadesinden yararlanarak f skaler fonksiyonun ortogonal
eğrisel koordinatlardaki Laplasyeninin ifadesi
∇2 f =
1
h1 h2 h3
⎡ ∂ ⎛ h2 h3 ∂f ⎞
∂
⎟⎟ +
⎜⎜
⎢
⎣ ∂u1 ⎝ h1 ∂u1 ⎠ ∂u 2
⎛ h3 h1 ∂f ⎞ ∂ ⎛ h1 h2 ∂f ⎞⎤
⎜⎜
⎟⎟⎥
⎟⎟ +
⎜⎜
⎝ h2 ∂u 2 ⎠ ∂u1 ⎝ h3 ∂u 3 ⎠⎦
olarak elde edilir.
Ortogonal eğrisel koordinat sisteminde hacim elemanı,
(2.2.23)
21
dV = h1 .h2 .h3 .du1 du 2 du 3
(2.2.24)
yüzey elemanı,
dS = h1 .h2 .du1 du 2
şeklidedir.[9,10,11,16]
(2.2.25)
22
2.3. Özel Ortogonal Koordinat Sistemleri
2.3.1. Kartezyen koordinatlar
Şekil (2.3.1.1)
Kartezyen koordinatlar;
u1 = x
− ∞ < x < +∞
u2 = y
− ∞ < y < +∞
u3 = z
− ∞ < z < +∞
(2.3.1.1)
şeklinde ifade edilir. Kartezyen koordinat sisteminde herhangi bir P(x,y,z) noktasının
yer vektörü,
r
r r
r
r = xi + yj + zk
(2.3.1.2)
olarak yazılır. Metrik ve metrik katsayılar
→
∂r
=1
h1 =
∂x
dir.
→
∂r
=1
h2 =
∂y
→
∂r
= 1 g ij = δ ij
h3 =
∂z
i, j = 1,2,3
(2.3.1.3)
23
Bu koordinat sisteminde,
→
∇ (nabla ) operatörü,
r
∂ r ∂ r ∂ r
∇= i +
j+ k
∂x
∂y
∂z
(2.3.1.4)
şeklinde verilir.
→
f = f ( x, y, z ) bir skaler fonksiyon ve E de kartezyen koordinatlardaki skaler
bileşenleri E X , EY , E Z olan bir vektör olmak üzere
f fonksiyonun Gradyenti;
r
∂f r ∂f r ∂f r
gradf = ∇f =
i+
j+ k
∂x
∂y
∂z
(2.3.1.5)
→
E vektörünün Diverjansı;
→
r → ∂E
∂E
∂E
div E = ∇ E = x + y + z
∂x
∂y
∂z
(2.3.1.6)
→
E vektörünün Rotasyoneli;
i
r →
∂
Rot E = ∇x E =
∂x
Ex
→
j
∂
∂y
Ey
k
∂
∂z
Ez
(2.3.1.7)
f fonksiyonunun Laplasyeni,
∇2 f =
∂2 f ∂2 f ∂2 f
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
olarak ifade edilir.
Yay elemanı,
(2.3.1.8)
24
(ds )2 = (dx )2 + (dy )2 + (dz ) 2
(2.3.1.9)
Hacim elemanı,
dV = dxdydz
(2.3.1.10)
Alan elemanı,
dA = dxdy
dir.
(2.3.1.11)
25
2.3.2. Dairesel silindirik koordinatlar
Şekil (2.3.2.1)
P ( x, y, z ) noktasının xy düzlemindeki izdüşümü P ′(u1 , u 2 , u 3 ) olsun.
u1 = r
0≤r≤∞
u2 = θ
0 ≤ θ < 2π
u3 = z
−∞ < z < ∞
(2.3.2.1)
koordinatlarına P noktasının silindirik koordinatları denir. Kartezyen koordinatlar
silindirik koordinatlara,
x = r cos θ
y = r sin θ
(2.3.2.2)
z=z
bağıntıları ile bağlıdır.
Bu koordinatlar ile Kartezyen Koordinatlar arasında
⎛ y⎞
r = x 2 + y 2 , θ = arctan⎜ ⎟ , z = z
⎝x⎠
(2.3.2.3)
26
bağıntıları vardır.
P ( x, y, z ) noktasının
r
r r
r
r = xi + yj + zk
yer vektörünün silindirik koordinatlardaki
ifadesi,
r
r
r
r
r = r. cos θ .i + r. sin θ . j + zk
(2.3.2.4)
olmak üzere metrik katsayılar ve r ,θ , z nin artan yöndeki birim vektörleri
r
∂r
h1 =
=1
∂r
r
∂r
h2 =
=r
∂θ
r
∂r
h3 =
=1
∂z
(2.3.2.5)
ve
→
→
Λ
r
r
e1 = er = r = cos θ .i + sin θ . j
→
→
Λ
r
r
e2 = eθ = θ = − sin θ .i + cos θ . j
(2.3.2.6)
→
→
Λ
r
e3 = e z = z = k
dir.
Bu koordinat sisteminde
→
∇
(nabla ) operatörü,
→
∇=
∂ r 1 ∂ r
∂ r
er +
eθ + e z
∂z
∂r
r ∂y
(2.3.2.7)
şeklindedir.
→
f = f ( x, y, z ) bir skaler fonksiyon ve E de kartezyen koordinatlardaki skaler
bileşenleri E r , Eθ , E z olan bir vektör olmak üzere
f fonksiyonun Gradyenti;
r
∂f → ∂f → ∂f →
gradf = ∇f =
er + eθ + e z
∂x
∂y
∂z
(2.3.2.8)
27
→
E vektörünün Diverjansı;
→
r → ∂E
1 ∂Eθ ∂E z
div E = ∇ E = r +
+
∂z
∂r r ∂θ
(2.3.2.9)
→
E vektörünün Rotasyoneli;
→
er
→
r →
∂
Rot E = ∇x E =
∂r
Er
→
r.eθ
∂
∂θ
ρ .Eθ
→
ez
∂
∂z
Ez
(2.3.2.10)
f fonksiyonunun Laplasyeni,
∇2 f =
1 ∂ ⎛ ∂f ⎞ 1 ∂ 2 f ∂ 2 f
+
=0
⎜r ⎟ +
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂θ 2 ∂z 2
(2.3.2.11)
∇2 f =
∂ 2 f 1 ∂f
1 ∂2 f ∂2 f
+
+
+
∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂z 2
(2.3.2.12)
veya
olarak ifade edilir.
Yay elemanı,
(ds )2 = (dr )2 + r 2 (dθ )2 + (dz ) 2
(2.3.2.13)
Hacim elemanı,
dV = rdrdθdz
(2.3.2.14)
Alan elemanı,
dA = rdrdθ
dır.
(2.3.2.15)
28
2.3.3. Küresel koordinatlar
Şekil (2.3.3.1)
Bir P ( x, y, z ) noktasının küresel koordinatları, r; P noktasının başlangıç noktasına
→
→
→
uzaklığı, θ ; OP = r vektörünün Z ekseni ile yaptığı açı, φ ; r vektörünün xy düzlemi
üzerindeki izdüşümünün ox ekseni ile yaptığı açı olmak üzere,
u1 = r
0≤r≤∞
u2 = θ
0 <θ <π
u3 = φ
0 ≤ φ < 2π
(2.3.3.1)
koordinatlarına küresel koordinatlar denir. Kartezyen koordinatlar küresel koordinatlara,
x = r cos φ sin θ
y = r sin φ sin θ
z = r cos θ
bağıntıları ile bağlıdır.
Bu koordinatlar ile Kartezyen Koordinatlar arasında
(2.3.3.2)
29
r=
x2 + y2 + z 2
⎛ y⎞
⎝x⎠
φ = tan −1 ⎜ ⎟
(2.3.3.3)
⎛ x2 + y2 ⎞
⎟ = arccos⎛⎜ z ⎞⎟
θ = arctan⎜
⎜
⎟
z
⎝r⎠
⎝
⎠
bağıntıları vardır.
r
r r
r
P ( x, y, z ) noktasının r = xi + yj + zk yer vektörünün küresel koordinatlardaki ifadesi,
r
r
r
r
r = r cos φ sin θ .i + r sin φ sin θ . j + r cos θ .k
(2.3.3.4)
dir. metrik katsayılar ve r ,θ , φ nin artan yöndeki birim vektörleri
r
∂r
h1 =
=1
∂r
r
∂r
h2 =
=r
∂φ
r
∂r
h3 =
= r. sin φ
∂θ
(2.3.3.5)
ve
→
→
Λ
r
r
r
e1 = er = r = sin θ cos φ .i + sin θ sin φ . j + cos θ .k
→
→
Λ
r
r
r
e2 = eθ = θ = cos θ cos φ .i + cos θ sin φ . j − sin θ .k
(2.3.3.6)
→
→
Λ
r
r
e3 = e z = z = −r sin θ sin φ .i + r sin θ cos φ . j
dir.
Bu koordinat sisteminde
→
∇
(nabla ) operatörü,
→
∇=
1
∂ r 1 ∂ r
∂ r
er +
eθ +
eφ
∂r
r ∂θ
r. sin θ ∂φ
(2.3.3.7)
30
f ( x, y, z ) skaler fonksiyon ve
→
E de kartezyen koordinatlardaki skaler
bileşenleri E r , Eθ , Eφ olan bir vektör olmak üzere
f fonksiyonun Gradyenti;
r
1 ∂f →
∂f → 1 ∂f →
gradf = ∇f =
er +
eθ +
eφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
(2.3.3.8)
→
E vektörünün Diverjansı;
→
r → ∂E
∂E
2
cot θ
1 ∂Eφ
div E = ∇ E = r + E r θ +
Er +
r
r
r sin θ ∂φ
∂r
∂θ
(2.3.3.9)
→
E vektörünün Rotasyoneli;
→
er
→
r →
∂
1
Rot E = ∇x E = 2
r sin θ ∂r
Er
→
r.eθ
∂
∂θ
r.Eθ
→
eφ
∂
∂φ
r sin θEφ
(2.3.3.10)
f fonksiyonunun Laplasyeni,
∇2 f =
1 ∂ 2 f cot θ ∂f
1
∂ 2 f 2 ∂f
∂2 f
+
+
+
+
∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2
r 2 ∂θ r 2 sin 2 θ ∂φ 2
(2.3.3.11)
olarak ifade edilir.
Yay elemanı,
(ds )2 = (dr )2 + r 2 (dθ )2 + r 2 sin 2 θ (dφ ) 2
(2.3.3.12)
Hacim elemanı,
dV = r 2 sin θdrdθdφ
(2.3.3.13)
Alan elemanı,
dA = rdrdθdφ
olur.[5,9,10,11]
(2.3.3.14)
31
2.4. Legendre Denklemi ve Polinomları
∇ 2 Ψ ( x, y , z ) + k 2 Ψ ( x, y , z ) = 0
(2.4.1)
denklemini göz önüne alalım. Bu denklem; doğrusal, ikinci mertebeden kısmi türevli bir
diferansiyel denklemdir. Denklemin çözümlerinde seri çözümler, değişkenlerin
ayrılması, Green fonksiyonları ve integral dönüşümler en çok kullanılan yöntemlerdir.
Denklemin çözümünde analitik tekniklerin başarısız olduğu durumlarda ise sayısal
yöntemlere başvurulur.
(2.4.1) denklemi küresel koordinatlarda ve k parametresinin sadece radyal
koordinat r’ye bağlı olduğu durumlarda değişkenlerin ayrılması yöntemi kullanarak
çözülür. İlk etapta Ψ (r , θ , φ ) çözümünün r ve (θ , φ ) değişkenlerine bağımlılığını:
Ψ (r , θ , φ ) = R(r )Y (θ , φ )
(2.4.2)
şeklinde ayrılır. Bu (2.4.1) denkleminde yerine konulursa
1 ∂ ⎡ 2 ∂
(R(r )Y (θ , φ ))⎤⎥ + 2 1 ∂ ⎛⎜ sin θ ∂ (R(r )Y (θ , φ ))⎞⎟
r
2
⎢
∂θ
r ∂r ⎣ ∂r
⎠
⎦ r sin θ ∂θ ⎝
(2.4.3)
+
1
∂2
( R (r )Y (θ , φ )) + k 2 (r ) R(r )Y (θ , φ ) = 0
2
2
2
r sin θ ∂φ
bulunur. Bu denklemi
r2
R(r )Y (θ , φ )
ile çarpıp, r bağımlılığı sol ve (θ , φ ) bağımlılığı da sağ tarafta toplanırsa,
(2.4.4)
32
1 ∂ ⎡ 2 ∂
⎤
r
R (r )⎥ + k 2 (r )r 2
⎢
R(r ) ∂r ⎣ ∂r
⎦
=−
1
1
∂
sin θ Y (θ , φ ) ∂θ
(2.4.5)
1
∂ 2Y (θ , φ )
∂
⎤
⎡
(
)
θ
θ
φ
sin
,
+
Y
⎥⎦ sin 2 θY (θ , φ ) ∂φ 2
⎢⎣
∂θ
elde edilir. r ve (θ , φ ) birbirlerinden bağımsız değerler alabildiklerinden, bu denklem
tüm r ve (θ , φ ) değerleri için sağlanması ancak her iki tarafınında aynı sabite eşit olması
ile mümkündür. Bu sabite ayrılma sabiti denir ve λ ile gösterilirse, (2.4.5) denklemi
∂ ⎡ 2 ∂R (r ) ⎤
+ r 2 k 2 ( r ) R ( r ) − λR ( r ) = 0
r
∂r ⎢⎣
∂r ⎥⎦
(2.4.6)
1 ∂ ⎡
1 ∂ 2Y (θ , φ )
∂Y (θ , φ ) ⎤
sin
+
+ λY (θ , φ ) = 0
θ
sin θ ∂θ ⎢⎣
∂θ ⎥⎦ sin 2 θ ∂φ 2
(2.4.7)
ve
şeklinde iki ayrı denkleme indirgenir. R(r ) ’nin sağladığı (2.4.6) denklemi, sıradan bir
diferansiyel denklemdir. İkinci denklemde ise,
Y (θ , φ ) = Θ(θ )Φ (φ )
(2.4.8)
şeklinde tekrar ayrılabilir bir çözüm dener ve ayrılma sabitine m 2 denerek
sin θ d ⎡
1 d 2 Φ (φ )
dΘ ⎤
2
sin
sin
+
=
−
= m2
θ
λ
θ
dθ ⎥⎦
Φ (φ ) ∂φ 2
Θ(θ ) dθ ⎢⎣
yazılabilir. Buradan Θ(θ ) ve Φ (φ ) için çözülmesi gereken denklemler,
(2.4.9)
33
sin 2 θ
d 2 Θ(θ )
dΘ(θ )
+ cos θ sin θ
+ λ sin 2 θ − m 2 Θ(θ ) = 0
2
dθ
dθ
[
]
(2.4.10)
ve
d 2 Φ (φ )
+ m 2 Φ (φ ) = 0
2
dφ
(2.4.11)
olarak bulunurlar. Görüldüğü gibi, kısmi türevli bir diferansiyel denklem olan (2.4.1)
denklemi, küresel simetrik problemlerde değişkenlerin ayrılması yöntemi ile, (2.4.6),
(2.4.10) ve (2.4.11)’ de verilen üç sıradan diferansiyel denkleme dönüşmüştür.
(2.4.1)
denkleminin
ayrılabilir
olması,
küresel
kutupsal
koordinatların
kullanılması ile yakından ilgilidir. Bu koordinat sistemi, simetrileri tam olarak
yansıtmaktadır. Aynı problem kartezyen koordinatlarda çözme denenseydi, çözüm
Ψ ( x, y, z ) = X ( x )Y ( y )Z ( z )
şeklinde değişkenlerine ayrılamayacaktı. Verilen kısmi türevli bir diferansiyel
denklemin değişkenlerin ayrılması yöntemi ile çözülüp çözülemeyeceği, denklemin
simetrileri ile yakından ilgilidir. Kısmi türevli bir diferansiyel denklem değişkenlerine
ayrılamıyorsa,
ayrılabileceği bir koordinat sisteminin var olup olmadığını kontrol
etmek diferansiyel denklemin simetrilerini araştırmakla mümkündür.
Böyle bir
koordinat sistemi var ise, onu da sistemin simetrilerinin türeticileri yardımı ile
oluşturmak mümkündür.
Bu denklemlerden (2.4.11)’nin genel çözümü
Φ (φ ) = Ae imφ + Be − imφ
(2.4.12)
dir. m üzerinde henüz bir sıralama yoktur ancak
Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ )
(2.4.13)
olarak verilen periyodik sınır şartı kullanılırsa 0,±1,±2,... gibi tamsayı değerleri alması
gerektiği görülür. (2.4.10) denklemi
34
(θ ∈ [0, π ], x ∈ [− 1,1])
x = cos θ
(2.4.14)
gibi yeni bir bağımsız değişken tanımlanarak
(1 − x ) d dxZ ( x) − 2 x dZdx( x) + ⎡⎢λ − (1 −m x
2
2
2
2
⎣
2
⎤
⎥ Z ( x) = 0
)⎦
(2.4.15)
şeklinde yazılır. m=0 için bu denkleme Legendre denklemi ve m ≠ 0 içinde Asosiye
Legendre denklemi denir.
Legendre Denkleminin Frobenius Yöntemi ile seri çözümü yapılırsa, m = 0 için
(1 − x ) d dxZ ( x) − 2 x dZdx( x) + λZ ( x) = 0
2
2
2
(2.4.16)
şeklinde verilen Legendre denkleminin x = ±1 noktalarında iki tane düzenli tekilliği
vardır. Bu noktalar (2.4.16) denkleminin tanım aralığı olan [− 1,1] aralığının uç noktaları
olduğundan,
x=0
(2.4.17)
civarında
∞
Z ( x) = ∑ a k x k +α
k =0
şeklinde bir seri çözüm aranır. (2.4.18)’ü (2.4.16)’da yerine yazılarak,
(2.4.18)
35
∞
∑a
k =0
k
(α + k )(α + k − 1) x α + k − 2
∞
− ∑ x α + k [(α + k )(α + k − 1) + 2(α + k ) − λ ]a k = 0
(2.4.19)
k =0
bulunur. Buradan birinci seriyi,
∞
a 0α (α − 1) x α − 2 + a1 (α + 1)αx α −1 + ∑ a k ′ (k ′ + α )(k ′ + α − 1)x k ′+α − 2
(2.4.20)
k ′= 2
şeklinde yazılır ve k ′ değişkeni
k′ = k + 2
(2.4.21)
olarak yeniden tanımlanırsa, (2.4.19) denklemi
a 0α (α − 1) x α − 2 + a1 (α + 1)αx α −1
∞
+ ∑ x k +α [a k + 2 (k + 2 + α )(k + 1 + α ) − a k (k + α )(k + 1 + α ) − λ ] = 0
k ′= 2
(2.4.22)
şeklini alır. Kuvvet serilerin teknik özelliği kullanılırsa bu denklemi bütün x
noktalarında sağlamak, ancak x’in bütün kuvvetlerinin katsayılarının aynı anda sıfıra
eşit olması ile mümkün olacağından, (2.4.18) seri çözümünün katsayıları arasında
a 0α (α − 1) = 0
(2.4.23)
a1α (α + 1) = 0
(2.4.24)
a k + 2 [(k + α )(k + α + 1) − λ ]
=
(k + 1 + α )(k + α + 2)
ak
k = 0,1,2...
(2.4.25)
36
ilişkileri bulunur. Burada x’in en küçük kuvvetinin katsayısının sıfıra eşitlenmesinden
elde edilen denkleme indis denklemi denir. İndis denkleminde a 0 ≠ 0 olduğu
varsayılırsa α değerleri
α =0
ve
α =1
olarak bulunur. (2.4.25)
(2.4.26)
denklemi ise, seri çözümlerdeki katsayılar arasındaki
tekrarlama bağıntısını verir. α = 1 için tekrarlama bağıntısı
ak +2 = ak
(k + 1)(k + 2) − λ
(k + 2)(k + 3)
k = 0,1,2...
(2.4.27)
olur. α = 1 için (2.4.24) denklemi
a1 = 0
(2.4.28)
verildiğinden, sıfırdan farklı katsayıları (2.4.27) denklemi yardımıyla bulunur ve a = 1
değeri için seri çözümü
(2 + λ ) x 3 + (2 + λ )(12 − λ ) x 5 + ...⎤
⎡
Z 1 ( x) = a 0 ⎢ x +
⎥⎦
6
120
⎣
(2.4.29)
olur. Aynı şekilde α = 0 değeri için seri çözümü (2.4.23) ve (2.4.24)’den
a0 ≠ 0
ve
a1 ≠ 0
(2.4.30)
elde edilir. Tekrarlama bağıntıları ise,
ak +2 = ak
k (k + 1) − λ
(k + 1)(k + 2)
k = 0,1,2...
(2.4.31)
37
olur. Buradan sıfırdan farklı katsayılar bulunursa α = 0 için seri çözüm
⎡ ⎛λ ⎞
⎤
⎛ λ ⎞⎛ 6 − λ ⎞ 4
Z 2 ( x) = a 0 ⎢1 − ⎜ ⎟ x 2 + ⎜ ⎟⎜
⎟ x + ...⎥
⎝ 2 ⎠⎝ 12 ⎠
⎣ ⎝2⎠
⎦
(2 − λ ) x 3 + (2 − λ )(12 − λ ) x 5 + ...⎤
⎡
+ a1 ⎢ x +
⎥⎦
6
120
⎣
(2.4.32)
şeklinde olur. Legendre denklemi ikinci mertebeden, sıradan, doğrusal bir diferansiyel
denklem olduğundan, iki tane bağımsız çözümü vardır. Görüldüğü gibi a0 ve a1
birbirinden bağımsız keyfi değerler alacağından
α = 0 için bulunan çözüm α = 1
çözümünü de içermekte olup iki bağımsız çözümü bir arada vermektedir. Dolayısıyla,
Legendre denkleminin sonsuz seri olarak genel çözümü; iki birbirinden bağımsız
çözümün lineer birleşimi olarak
⎡ ⎛λ ⎞
⎤
⎛ λ ⎞⎛ 6 − λ ⎞ 4
Z ( x) = C 0 ⎢1 − ⎜ ⎟ x 2 + ⎜ ⎟⎜
⎟ x + ...⎥
⎝ 2 ⎠⎝ 12 ⎠
⎣ ⎝2⎠
⎦
(2 − λ ) x 3 + (2 − λ )(12 − λ ) x 5 + ...⎤
⎡
+ C1 ⎢ x +
⎥⎦
6
120
⎣
(2.4.33)
şeklinde verilir. Burada C 0 ve C1 integral sabitleridir. Bu serilere Legendre serileri adı
verilir.
Legendre serilerinin x < 1 değerleri için yakınsaklığı oran testi ile kolayca görülür.
Ancak, x = ±1 değerinde nasıl davrandıklarını anlamak için tekrarlama bağıntısına
k → ∞ limitinde bakılırsa,
ak +2
→1
ak
(2.4.34)
bulunur. Bu; her iki serinin de yeteri kadar büyük k değerinden sonra,
(
)
Z ( x) = .... + a k x k 1 + x 2 + x 4 + ...
(2.4.35)
38
şeklinde ifade edilir. Parantez içindeki serinin toplamı ise,
1
1− x2
(2.4.36)
dir. λ değerleri
λ = l (l + 1)
l = 0,1,2...
(2.4.37)
olarak parametrize edilirse, verilen bir l değeri için Legendre serilerinden birisi sonlu
sayıda terimden sonra biter. Diğer serininde önündeki katsayı sıfır alınırsa Legendre
denkleminin Pl ( x) olarak gösterilen polinom çözümleri de elde edilir.
Yani
Z ( x) = Pl ( x) ’dir, l nin bazı değerleri için
P0 = 1
P1 = x
(
)
P2 =
1
3x 2 + 1
2
P3 =
1 3
5 x − 3x
5
(
(2.4.38)
)
bulunur.
Genelde Legendre polinomları
⎡l ⎤
⎢2⎥
⎣ ⎦
(−1) n (2l − 2n)! l − 2 n
x
l
n = 0 2 n!(l − n)!(l − 2n )!
Pl ( x) = ∑
(2.4.39)
⎡l ⎤
olarak yazılabilir. Burada ⎢ ⎥ en büyük tamsayı değeridir.
⎣2⎦
Legendre polinomlarının başka bir tanımı da
Pl ( x) =
l
1 dl 2
(
x − 1)
l
l
2 l! dx
şeklinde Rodrigez formülü yardımı ile verilen tanımıdır.[3,12,13,19]
(2.5.40)
39
2.5. Bessel Denklemi
Silindirik koordinatlarda Laplace denklemini
→
2
∇ Ψ (r , φ , z ) = 0
(2.5.1)
olarak yazılır ve
Ψ (r , φ , z ) = R(r )Φ (φ ) Z ( z )
(2.5.2)
şeklinde ayrılabilir bir çözüm aranırsa, çözülmesi gereken denklemleri,
d 2 Z ( z)
− k 2 Z ( z) = 0
2
dz
(2.5.3)
d 2 Φ (φ )
+ m 2 Φ (φ ) = 0
2
dφ
(2.5.4)
d 2 R(r ) 1 dR(r )
m2
2
+
+ (k − 2 ) R(r ) = 0
r dr
dr 2
r
(2.5.5)
olarak bulunur. Birinci ve ikinci denklemlerin çözümleri
Z ( z ) = c1e ikz + c 2 e −ikz
(2.5.6)
Φ (φ ) = c1e imφ + ce −imφ
(2.5.7)
dır. (2.5.5) denklemi Bessel denklemi olarak bilinir ve genelde
x = kr , R(r ) = J m ( x)
(2.5.8)
40
dönüşümü ile
J m′′ ( x ) +
⎛ m2
1
J m′ ( x ) + ⎜⎜1 − 2
x
x
⎝
⎞
⎟⎟ J m ( x ) = 0
⎠
(2.5.9)
şeklinde yazılır. Bu denklemin çözümleri olan J m ( x ) fonksiyonları ise, Bessel
fonksiyonları olarak bilinir. Bessel denkleminin seri çözümü
∞
J m ( x) = ∑
r =0
(− 1)r
⎛ x⎞
⎜ ⎟
r!Γ(m + r + 1) ⎝ 2 ⎠
m+ 2r
(2.5.10)
olarak bulunur. Bessel denkleminin ikinci çözümü ise,
∞
J − m ( x) = ∑
r =0
(− 1)r
⎛ x⎞
⎜ ⎟
r!Γ(− m + r + 1) ⎝ 2 ⎠
−m+2r
(2.5.11)
dir. Ancak bu çözüm sadece m’nin tamsayıdan farklı değerler aldığı zaman birinci
çözümden bağımsızdır.Bu durumda, genel çözüm iki çözümün lineer birleşimi olarak
verilir. m’nin tamsayı değerler aldığı zaman ise, iki çözüm birbirine
J − m ( x) = (−1) m J m ( x)
(2.5.12)
ilişkisi ile bağlıdır. Bu durumda ikinci bağımsız çözüm
N m ( x) =
cos mπJ m ( x) − J − m ( x)
sin mπ
şeklinde tanımlanan Neumann fonksiyonudur.
Bazı durumlarda yararlı olan bir başka çözüm seti de
(2.5.13)
41
H m(1) ( x) = J m ( x) + iN m ( x)
(2.5.14)
H m( 2) ( x) = J m ( x) − iN m ( x)
(2.5.15)
olarak tanımlanan Hankel fonksiyonlarıdır.
J m (x) fonksiyonları x → 0 limitinde m ≥ 0 için sonludur ve
1
⎛ x⎞
⎜ ⎟
Γ(m + 1) ⎝ 2 ⎠
lim J m ( x) →
x →0
m
(2.5.15)
şeklini alırlar. Diğer fonksiyonların tümü x → 0 limitinde sonsuzdurlar.
x → ∞ limitinde ise,
J m ( x) →
2
mπ π ⎞
⎛
cos⎜ x −
− ⎟
2
4⎠
πx
⎝
(2.5.16)
N m ( x) →
2
mπ π ⎞
⎛
sin ⎜ x −
− ⎟
2
4⎠
πx ⎝
(2.5.17)
H m(1) ( x) →
⎡⎛
mπ π ⎞⎤
2
exp ⎢i⎜ x −
− ⎟⎥
2
4 ⎠⎦
πx
⎣⎝
(2.5.18)
H m( 2) ( x) →
⎡ ⎛
2
mπ π ⎞⎤
exp ⎢− i⎜ x −
− ⎟⎥
2
4 ⎠⎦
πx
⎣ ⎝
(2.5.19)
fonksiyonlarına dönüşürler. Eğer Bessel fonksiyonlarının değişkeni sanal olarak
alınırsa, modifiye (değiştirilmiş) Bessel fonksiyonu olarak bilinen
I m ( x) =
J m (ix)
im
(2.5.20)
42
ve
K m ( x) =
πi
2
(i ) m H m(1) (ix)
(2.5.21)
fonksiyonları ile karşılaşılır. Bu fonksiyonlar,
m2
d 2 R( x) 1 dR( x)
+
−
(
1
−
) R( x) = 0
x dx
x2
dx 2
(2.5.22)
denklemini sağlar.
Bessel fonksiyonlarının seri tanımı kullanılarak
J m −1 ( x) + J m +1 ( x) =
2m
J m ( x)
x
(2.5.23)
J m −1 ( x) − J m +1 ( x) = 2 J m′ ( x)
(2.5.24)
J m −1 ( x) =
m
J m ( x) + J m′ ( x)
x
(2.5.25)
J m +1 ( x) =
m
J m ( x) − J m′ ( x)
x
(2.5.26)
ve
tekrarlama bağıntıları elde edilir. N n , H m(1) , H m( 2) fonksiyonları da aynı tekrarlama
bağıntılarını sağlar.[12,19]
2.6. Dirac Delta Fonksiyonu
Dirac delta fonksiyonu tek boyutta
43
⎧∞,
⎩0,
δ ( x − x0 ) = ⎨
x = x0 ⎫
⎬
x ≠ x0 ⎭
(2.6.1)
şeklinde tanımlıdır. Bu gösterime uyacak bütün matematik temsillerine delta fonksiyonu
veya delta fonksiyonunun temsili denir. Delta fonksiyonu n boyuta genellenebilir.
r r
r
r
Gösterimi ise δ n ( x − x0 ) şeklindedir. Burada x ve x0 n boyutlu vektörleridir. Diğer
taraftan n boyutta delta fonksiyonu bir boyuttaki delta fonksiyonlarının çarpımı
r r
şeklinde de yazılabilir. Örneğin δ 3 ( x − x0 )
r
r
δ 3 ( x − x0 ) = δ ( x − x0 )δ ( y − y 0 )δ ( z − z 0 )
(2.6.2)
şeklinde yazılabilir. Dirac-Delta fonksiyonu basamak fonksiyonunun türevidir. Yani
δ ( x) =
dθ ( x)
dx
(2.6.3)
dir. Burada basamak fonksiyonu θ (x) ile gösterilir ve
x ≥ x0
⎧1,
⎩0,
θ ( x) = ⎨
x < x0
(2.6.4)
şeklinde verilir. xi , U(x) fonksiyonunun kökleri olmak üzere Delta fonksiyonu
∞
∫ f ( x)δ ( x − x
0
)dx = f ( x0 )
(2.6.5)
−∞
δ (kx) =
1
δ ( x)
k
δ (u ( x) ) = ∑
i
δ ( x − xi )
u ′( xi )
özelliklerini sağlar.[3,4,12,24]
(2.6.6)
(2.6.7)
44
III. BÖLÜM
3.1. Poisson Denklemi
Poisson Denklemi homojen olmayan kısmi türevli bir diferansiyel denklemdir.
Sadece uzay koordinatlarına bağlı bir φ ( x, y, z ) skaler alanına Laplace operatörü
r
uygulandığında yine bir skaler alan elde edilir, yani f (r ) skaler alan olmak üzere
r
∇ 2φ = − f ( r )
(3.1.1)
olmaktadır.
r
f (r ) = 0 olması Laplace denklemi olarak adlandırılan homojen hali temsil etmektedir.
Adi türevli diferansiyel denklemlerin çözümlerinin bulunmasında kullanılan,
homojen denklemin genel çözümünden hareketle homojen olmayan denklemlerin genel
çözümünü bulmaya olanak sağlayan çoğu yöntem temel olarak kısmi türevli
diferansiyel denklemler için de geçerlidir. Örneğin Green Fonksiyonu Yöntemi kısmi
türevli diferansiyel denklemlerin çözümünde de benzer şekilde kullanılabilir.
Hatırlanacağı gibi
y ′′ + p( x) y ′ + q( x) y = − f ( x)
(3.1.2)
diferansiyel denkleminin y (x) fonksiyonunun kendisinin ya da türevlerinin veya her
ikisinin birden ilgili aralığının sınırlarında verilen koşullara uyan herhangi bir x ′
(x ′ ∈ [a, b])
özel değerindeki çözümü
b
y ( x ′) = ∫ g ( x / x ′) f ( x)e −{I ( x′) − I ( x )}dx
a
45
+ {g (b / x ′) y ′(b) − g ′(b / x ′) y (b)}e −{I ( x′) − I ( b )}
(3.1.3)
+ {g (a / x ′) y ′(a) − g ′(a / x ′) y (a)}e −{I ( x′) − I ( a )}
ifadesi ile veriliyor.Buradaki I(x) fonksiyonu
x
I ( x) = ∫ p ( z )dz
(3.1.4)
x′
( )
ile verilen bir fonksiyon , g x ′ fonksiyonu ise Green Fonksiyonu olarak adlandırılan
x
ve
g ′′ + p( x) g ′ + q( x) g = −δ ( x − x ′)
(3.1.5)
diferansiyel denkleminin genel çözümü olan aşağıdaki ifadeyi gerçekleyen bir
fonksiyondur.
( )
( )
g x ′ = c1 g1 ( x ) + c2 g 2 ( x ) + G x ′
x
x
(3.1.6)
Burada g1 ( x), g 2 ( x) (3.1.5) diferansiyel denkleminin homojen kısmının lineer bağımsız
herhangi iki çözümü, c1 , c 2 keyfi sabitler olmak üzere c1 g 1 ( x ) + c 2 g 2 ( x ) ifadesi (3.1.5)
( )
diferansiyel denkleminin homojen kısmının genel çözümüdür. G x ′
x
homojen
olmayan (3.15.) diferansiyel denkleminin
− g1 ( x< )g 2 ( x > )
Gx ′ =
x
W {g1 , g 2 ; x ′}
( )
(3.1.7)
İfadesini gerçekleyen bir özel çözümdür. Burada x< ; x ′ den küçük olan x değerleri,
x > ; x ′ den büyük olan x değerleri anlamında kullanılmaktadır. W {g1 , g 2 ; x ′} ise
46
W =
g 2 ( x ′)
g 2′ ( x ′)
g 1 ( x ′)
g 1′ ( x ′)
(3.1.8)
eşitliğini sağlayan Wronskian determinantını göstermektedir. Genelde
G0 ( x ) = c1 g1 ( x) + c 2 g 2 ( x)
ve
(3.1.9)
( )
Gd = G x ′
x
(3.1.10)
eşitliklerini kullanarak (3.16) eşitliği için
( )
G d x ′ = G0 + G d
x
(3.1.11)
ifadesi de kullanılır. (3.1.1) Poisson denkleminin çözümü de (3.1.3) dekine benzer
olarak (3.1.11) tipinde bir Green fonksiyonu yardımıyla bulunabilir.
r
A bir vektör alanı olmak üzere üç boyuttaki diverjans teoremi
n
rr r
r r
∇
.
A
.
dv
=
A
.
n
.
d
s
=
∑
∫
∫
∫ nk Ak dS = ∫ An dS
V
S k =1
S
(3.1.12)
S
r
şeklinde ifade edilir. Burada n , S yüzeyinin birim normal vektörüdür. φ ve ϕ iki skaler
alan olmak üzere
r
r
A = φ∇ϕ
(3.1.13)
eşitliği kullanılarak
(
)
( )( )
rr
r
r r
∇A = ∇ φ∇ϕ = φ∇ 2ϕ + ∇φ ∇ϕ
(3.1.14)
47
rr
r
r
∂ϕ
A.n = (φ∇ ϕ )n = φ
∂n
(3.1.15)
ifadeleri elde edilir. Burada
∂
, S üzerindeki normal türevdir. (3.1.14) ve (3.1.15)
∂n
ifadeleri (3.1.12) eşitliğinde yerine yazılırsa Birinci Green Özdeşliği denilen
∂ϕ r
∫ {φ∇ ϕ + (∇φ )(∇ϕ )}dv = ∫ φ ∂n ds
r
2
r
S
(3.1.16)
S
ifadesi elde edilir. Bu ifadede φ yerine ϕ ve ϕ yerine de φ yazılırsa
∫ {ϕ∇ φ + (∇ϕ )(∇φ )}dv = ∫ ϕ ∂n ds
r
2
∂φ r
r
S
(3.1.17)
S
bulunur. (3.1.16) eşitliği ile (3.1.17) eşitliği taraf tarafa çıkarıldığında İkinci Green
Özdeşliği denilen
⎛ ∂ϕ
∂φ ⎞ r
∫ (φ∇ ϕ − ϕ∇ φ )dv = ∫ ⎜⎝φ ∂n − ϕ ∂n ⎟⎠ ds
2
2
S
(3.1.18)
S
ifadesi elde edilir. (3.1.18) ifadesinde
φ =φ,
( )
ψ = G r r′
(3.1.19)
→
r
alınırsa r = ( x, y, z ) d 3 r = dV olmak üzere
∫ {φ∇ G (r r ′) − G (r r ′)∇ φ }d
2
S
2
3
( ) ( )
⎧ ∂G r
⎫
r
⎪
r ′ − G r ∂φ ⎪ dsr
r = ∫ ⎨φ
r ′ ∂n ⎬
∂n
S ⎪
⎪⎭
⎩
(3.1.20)
48
r r
eşitliği elde edilir. Üç boyutlu delta fonksiyonu δ (r − r ′) , Poisson denklemine ait Green
( )
( )
r r
fonksiyonu G r ′ olmak üzere ∇ 2 G r ′ = −δ (r − r ′) ve
r
r
r
∇ 2φ = − f (r )
ifadeleri
(3.1.20) denkleminde yerine yazılırsa
∫{
V
( ) ( )
⎧ ∂G r
r r
r 3r
∂φ ⎫⎪ r
⎪
′
r
r
r
′
−G ′
φ [− δ (r − r )] − G r ′ [− f (r )] d r = ∫ ⎨φ
ds
r ∂n ⎬
∂n
S ⎪
⎪
⎩
⎭
( )
}
(3.1.21)
veya
r
r
r
3
∫ φ [− δ (r − r ′)]d r + ∫
V
V
( ) ( )
r
rr
⎧
∂
G
r
r ∂φ ⎫⎪ r
r 3r
⎪
′
r
r
r
r
− G r′
G ′ f (r )d r = ∫ ⎨φ
ds (3.1.22)
r
r ∂n ⎬
∂
n
S ⎪
⎪
⎩
⎭
( )
ifadesi elde edilir. (3.1.22) eşitliğin sol tarafındaki ilk integral de δ fonksiyonuna ait
b
∫ f ( x)δ ( x − x )dx = f ( x )
0
(3.1.23)
0
a
r
r r
özelliği kullanılırsa yani f ( x) = φ (r ) ve δ ( x − x0 ) = δ (r − r ′) olarak alınırsa
r
r
∫ φ [− δ (r − r ′)]d
3
r
r
r = −φ (r ′)
(3.1.24)
V
bulunur. Bu ifade (3.1.22) eşitliğinde yerine yazıldığında
( ) ( )
r
⎧ ∂G r r
⎫
r
r
r
r
⎪
r ′ − G rr r ∂φ ⎪ dsr
− φ (r ′) + ∫ G r r′ f (r )d 3 r = ∫ ⎨φ
r
r ′ ∂n ⎬
∂n
V
S ⎪
⎪⎭
⎩
(3.1.25)
r r
r ∂φ ⎫ r
⎧ ∂G (r / r ′)
ds
− G r r′
r ∂n ⎬⎭
n
∂
⎩
S
(3.1.26)
( )
veya
(r )
r
r
r
φ (r ′) = ∫ G r rr′ f (r )d 3 r − ∫ ⎨φ
V
ya da
( )
49
( )⎫⎪ dsr
r
rr
⎧
∂
G
r
r
r
r
r
∂φ
⎪
r′
−φ
φ (r ′) = ∫ G r rr′ f (r )d 3 r + ∫ ⎨G r rr′
∂n
∂n
V
S ⎪
⎩
( )
( )
⎬
⎪⎭
(3.1.27)
ifadesi (3.1.2) denkleminin aranan çözümü olarak elde edilir.Burada sağdaki iki yüzey
integrali sınır koşullarına bağlı integrallerdir.Bu integraller Dirichlet koşullarının
Neumann veya Cauchy koşulları oluşlarına göre hesap edilebilirler.Bu koşullar φ ,
( )
∂φ
∂n
r
veya her ikisine ilişkin koşullar olmalarına rağmen G r r′ Green fonksiyonunda
r
∇ 2φ = 0 denkleminin çözümü olan φ ’ye ait sınır koşullarını sağlarlar.Burada Poisson
r
denkleminin çözümünün r ′ keyfi noktasında elde edilebilmesi için (3.1.27) ifadesindeki
yüzey ve hacim integrali içinde bulunan ve
r r
∇ 2G = δ (r − r ′)
(3.1.28)
( )
r
kısmi diferansiyel denklemini sağlayan G r r′
r
Green fonksiyonunun belirlenmesi
r
∂φ
ifadeleri ∇ 2φ = 0
gerekmektedir. Yüzey integrali içindeki φ (r ) ’ye ait terimler
∂n
Laplace denkleminin çözümünden bulunabilir.
r
G r r′ ’nin bulunmasında birçok yöntem kullanılmakla birlikte biz burada en
r
( )
çok kullanılan Değişkenlerin Öz Fonksiyon Açılımlarından Yararlanma Yöntemini ele
r
r
alacağız. G r r′ Green fonksiyonun çözümü olan G0 (r ) , ∇ 2 G = 0 ’ı zaten
r
r
r
G g r r′ ’nin
Gd r r′ ’nin
bulunması
bulunmasına
sağladığından
r
r
( )
( )
indirgenir.[3,7,8,11,13,20,24,25]
( )
50
3.2. Poisson Denkleminin Silindirik Koordinatlarda çözümü:
Silindirik koordinatlarda
x = r cos θ ,
y = r sin θ , z = z , 0 < r < ∞ , − π ≤ θ ≤ +π , − ∞ < z < +∞
y
r = x 2 + y 2 , θ = arctan , z = z ,
x
ve
J =r
r r
r r
dir. Bu koordinat sisteminde r = r (r ,θ , z ) ve r ′ = r (r ′,θ ′, z′) noktaları için
r
r
δ (r − r ′) =
δ (r − r ′)δ (θ − θ ′)δ ( z − z ′)
J
=
δ (r − r ′)δ (θ − θ ′)δ ( z − z ′)
r
(3.2.1)
r r
şeklinde yazılabildiğinden ∇ 2 G = −δ (r − r ′) denklemi
∇ 2G = −
δ (r − r ′)δ (θ − θ ′)δ (ϕ − ϕ ′)
r
denklemine dönüşür. ∇ 2 G = 0 ’dan
G hesaplanır. Laplace denkleminin
(3.2.2)
çözümü;
silindirik koordinatlardaki ifadesi olan,
∂ 2 G 1 ∂G 1 ∂ 2 G ∂ 2 G
+
+
+
=0
∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂z 2
(3.2.3)
denkleminde,
G (r , θ , z ) = R(r )Q(θ ) Z ( z )
dönüşümü yapılıp, (3.2.3) denkleminde yerine yazılırsa
(3.2.4)
51
QZ
∂ 2 R QZ ∂R RZ ∂ 2 Q
∂2Z
+
RQ
+
+
=0
r ∂r r 2 ∂θ 2
∂r 2
∂z 2
denklemi elde edilir. (3.2.5) denklemi
(3.2.5)
1
ile çarpılırsa,
RZQ
1 ∂ 2 R 1 ∂R
1 ∂ 2Q 1 ∂ 2 Z
+
+
+
=0
R ∂r 2 Rr ∂r r 2 Q ∂θ 2 Z ∂z 2
(3.2.6)
denklemine ulaşılır.(3.2.6) denkleminden
∂2Z
− Zk 2 = 0
2
∂z
(3.2.7)
∂ 2Q
+ n 2Q = 0
2
∂θ
(3.2.8)
∂ 2 R 1 ∂R ⎛ 2 n 2 ⎞
+
+ ⎜ k − 2 ⎟⎟ R = 0
r ⎠
∂r 2 r ∂r ⎜⎝
(3.2.9)
denklemleri bulunur. (3.2.7) ve (3.2.8) denklemlerinin çözümleri sırasıyla;
Z = e ± kz
(3.2.10)
Q = e ± inθ
(3.2.11)
olarak hesaplanır. (3.2.9) denkleminde x = k .r değişken dönüşümü yapılırsa,
∂2R
∂R
+x
x
+ (x 2 − n 2 )R = 0
2
∂r
∂r
2
Bessel denklemi elde edilir. Bu denklemin,
(3.2.12)
52
∞
R ( x) = ∑ a j x a + j
(3.2.13)
j =0
şeklinde bir seri çözümü için (3.2.12) denkleminden, a 0 ≠ 0 olmak üzere,
(α
2
)
− n2 = 0
(3.2.14)
indis denklemini ve
[(α + j )
2
]
− n 2 a j + a j −2 = 0
(3.2.15)
katsayılar bağıntısı elde edelir. İndis denkleminin kökleri α = m n olarak hesaplanır ve
(3.2.15)’te α = n değeri yazılırsa, j ≥ 2 olmak üzere,
aj =
− a j −2
(3.2.16)
j ( 2n + j )
ifadesi bulunur. (3.2.16) ifadesinde; a1 = 0 olduğundan, tek kuvvetler sıfır olur ve çift
kuvvetler içinde
a 2 j = (− 1)
j
a 0 Γ(n + 1)
2 j!Γ(n + j + 1)
değeri elde edelir. Bu durumda, a 0 =
∞
R ( x) = ∑ (− 1)
j =0
ya da
(3.2.17)
2j
j
1
seçilerek,
2 Γ(n + 1)
n
1
⎛ x⎞
⎜ ⎟
j!Γ(n + j + 1) ⎝ 2 ⎠
n+2 j
(3.2.18)
53
∞
J n ( x ) = ∑ (− 1)
1
⎛x⎞
⎜ ⎟
j!Γ(n + j + 1) ⎝ 2 ⎠
j
j =0
n+ 2 j
(3.2.19)
Birinci çeşit Bessel Fonksiyonuna ulaşılır. Ayrıca α = − n için,
∞
J − n ( x ) = ∑ (− 1)
j =0
j
1
⎛ x⎞
⎜ ⎟
j!Γ( j − n + 1) ⎝ 2 ⎠
2 j −n
(3.2.20)
bulunur. Eğer n tamsayı ise (3.2.19) ve (3.2.20) çözümleri lineer bağımlıdır. Bu
durumda
J − n ( x) = (− 1) J n ( x)
n
(3.2.21)
dir. Denklemin çözümü için ikinci bir lineer bağımsız çözüm bulmamız gerekir.Bu
durum için
N n ( x) =
J n ( x) cos nπ − J − n ( x)
sin nπ
(3.2.22)
şeklindeki 2. çeşit Bessel fonksiyonu bulunur. Böylece denklemin genel çözümü,
y = c1 J n ( x) + c 2 N n ( x)
(3.2.23)
olur. (3.2.10) ,(3.2.11),(3.2.23)’den (3.2.3) denkleminin çözümü olarak
(
G (r , θ , z ) ≈ Ae inθ + Be −inθ
) (Ce
elde edilir. Bu durumda G çözümü için
kz
+ De − kz
) [EJ
n
(kr ) + FN n (kr )]
(3.2.24)
54
+∞ +∞
G =
∑ ∫R
n = −∞ − ∞
n
( kr ) e i ( n θ + kz ) dk
(3.2.25)
açılımı kullanılabilir. Burada G , e i ( nθ + kz ) öz fonksiyonları cinsinden seriye açılmaktadır.
(3.2.1) ifadesinin de aynı öz fonksiyonları cinsinden seriye açılımıyla
δ (r − r ′)δ (θ − θ ′)δ ( z − z′)
r
+∞ +∞
δ (r − r ′)
n =−∞−∞
r
∑∫
=
Cn (k )ei ( nθ +kz ) dk
(3.2.26)
ifadesi elde edilir. Bu denklemdeki Cn (k ) sabit terimlerinin belirlenmesi için (3.2.26)
eşitliğinin her iki yanı
e −i ( mθ + hz )
(3.2.27)
ifadesi ile çarpılıp θ
+π
+∞
=−
z = −∞
∫ ∫
θ π
ve z
e −i ( mθ + hz )
üzerinden integral alınırsa,
δ (r − r ′)δ (θ − θ ′)δ ( z − z ′)
r
+π
=
+∞
∫ ∫
θ π
(3.2.28)
+∞ +∞
δ (r − r ′)
n = −∞ − ∞
r
e − i ( mθ + hz )
= − z = −∞
dzdθ
∑∫
Cn (k )ei ( nθ + kz ) dkdzdθ
veya
δ (r − r ′)
r
+π
∫e
θ π
−imθ
δ (θ − θ ′)dθ
=−
+∞
∫e
−ihz
δ ( z − z′)dz
(3.2.29)
z =−∞
=
δ (r − r ′)
r
+∞
+π
z = −∞
θ = −π
−i ( k − h ) z
dz
∫e
− i ( n − m )θ
dθ
∫e
+∞ +∞
∑ ∫C
n = −∞ − ∞
n
(k )dk
elde edilir. Bu eşitliğin sol tarafında Dirac Delta fonksiyonu, sağ tarafında ise
55
+π
∫πe
i ( n − m )θ
dθ = 2πδ nm
(3.2.30)
dz = 2πδ (k − h)
(3.2.31)
−
ve
+∞
∫e
i ( k − h )θ
−∞
olduğu göz önüne alınır ve δ
b
∫ f ( x)δ ( x − x )dx = f ( x )
fonksiyonuna ait
0
0
özelliği
a
kullanılırsa (3.2.29) denklemi
δ (r − r ′)
r
e −ihz′ e −imθ ′ =
δ (r − r ′)
r
δ (k − h)4π 2δ nm
∞
∞
∑ ∫ C (k )dk
n = −∞ − ∞
n
(3.2.32)
şeklinde düzenlenir. (3.2.32) ifadesinde
C n (k ) =
1
4π
2
e −i ( nθ ′+ kz′)
(3.2.33)
olarak bulunur. (3.2.33) ifadesi (3.2.26) denkleminde yerine yazılırsa
δ (r − r ′)δ (θ − θ ′)δ ( z − z′)
r
=
+∞ +∞
δ (r − r ′)
n = −∞−∞
r
1
4π
2
∑∫
e −i ( nθ ′+kz′) ei ( nθ +kz ) dk
(3.2.34)
veya
δ (r − r ′)δ (θ − θ ′)δ ( z − z ′)
r
=
1
4π
2
+∞ +∞
δ (r − r ′)
n = −∞ − ∞
r
∑∫
e [n (θ −θ ′ )+ k ( z − z′ )]i dk
elde edilir. Diğer taraftan (3.2.2) ve (3.2.25) ifadelerini kullanarak, Rn (kr ) ’nin
belirlenmesini sağlayan ifade
∇ 2G =
⎡ d 2 Rn 1 dRn ⎛ 2 n 2 ⎞ ⎤ i ( nθ + kz )
dk
∑ ∫ ⎢ 2 + r dr − ⎜⎜ k + r 2 ⎟⎟ Rn ⎥e
n = −∞ − ∞ ⎣ dr
⎝
⎠ ⎦
+ ∞ +∞
(3.2.35)
56
olarak bulunur. (3.2.35) , (3.2.21) ve (3.2.34) eşitliklerinden ise
⎡ d 2 Rn 1 dRn ⎛ 2 n 2 ⎞ ⎤ i ( nθ + kz )
dk
∑ ∫ ⎢ 2 + r dr − ⎜⎜ k + r 2 ⎟⎟ Rn ⎥e
n = −∞ − ∞ ⎣ dr
⎝
⎠ ⎦
+ ∞ +∞
=−
1
4π
2
+∞ +∞
δ (r − r ′)
n = −∞ − ∞
r
∑∫
(3.2.36)
e − i ( nθ ′ + kz ′) ei ( nθ + kz ) dk
ifadesi elde edilir. Bu eşitlikten e i ( nθ + kz ) ‘nin katsayıları birbirine eşitlersek
d 2 Rn 1 dRn ⎛ 2 n 2 ⎞
1 δ (r − r ′) − i ( nθ ′ + kz ′)
+
− ⎜⎜ k + 2 ⎟⎟ Rn = − 2
e
2
dr
r dr ⎝
r ⎠
r
4π
(3.2.37)
diferansiyel denklemi elde edilir. r ≠ r ′ iken δ (r − r ′) = 0 olduğundan (3.2.37)
denklemi Modifiye Bessel denklemi olur. k ≠ 0 için denklemin lineer bağımsız iki
çözümü
Rn (kr ) = A.I n (kr ) ,
Rn (kr ) = B.K n (kr )
(3.2.38)
dir. Burada A ve B iki keyfi sabit , I n (kr ) ve K n (kr ) sırasıyla birinci ve ikinci çeşit
Bessel fonksiyonlarıdır. Bu fonksiyonlar r = 0 ve r = ∞ ‘da bulunmadığında Green
fonksiyonu r = 0 ve r = ∞ da daima sonlu kalacağından lineer bağımsız iki çözüm
Rn (kr ) = AI n (kr )
Rn (kr ) = BK n (kr )
0 ≤ r < r′
r′ < r < ∞
(3.2.39)
(3.2.40)
şeklinde yazılabilir. (3.2.39) ve (3.2.40) çözümlerin r = r ′ deki sürekliliğinden A ve B
sabitleri için
57
AI n (kr ′) = BK n (kr ′)
(3.2.41)
bağıntısı bulunur. A ve B nin belirlenmesine ilişkin ikinci bağıntının belirlenmesi için
(3.2.37) eşitliğinin her iki yanının ε > 0 olmak üzere
r ye göre
r = r′ − ε
den
r = r ′ + ε ye kadar integrali alınır. Böylece
r ′+ε
′
′
r +ε
r +ε
⎛ d 2 Rn 1 dRn ⎞
⎛ 2 n2 ⎞
1 δ (r − r ′) − i ( nθ ′ + kz ′)
⎜
⎟
⎜
⎟
e
dr
∫
⎜ dr 2 + r dr ⎟dr − ∫ ⎜ k + r 2 ⎟Rn dr = ∫ − 4π 2
r
⎠
⎠
r ′ −ε ⎝
r ′ −ε ⎝
r ′ −ε
(3.2.42)
ya
r ′+ε
′
′
r +ε
r +ε
⎛ 2 n2 ⎞
1 d ⎛ dRn ⎞
1 δ (r − r ′) − i ( nθ ′ + kz ′)
⎜
⎟
−
+
=
−
r
dr
k
R
dr
e
dr
⎟
⎜
n
2
2
∫
∫
∫
⎜
⎟
π
r
dr
dr
r
r
4
⎠
⎝
⎠
r ′ −ε
r ′ −ε ⎝
r ′ −ε
(3.2.43)
yada
r ′ +ε
∫
r ′ −ε
r ′ +ε
⎛
n2
d ⎛ dRn ⎞
⎜r
⎟dr − ∫ ⎜⎜ k 2 + 2
dr ⎝ dr ⎠
r
r ′ −ε ⎝
r ′ +ε
⎞
1
⎟⎟rRn dr = − ∫
δ (r − r ′)e −i ( nθ ′+ kz′) dr
2
⎠
r ′ −ε 4π
elde edilir. (3.2.44) eşitliğinin sağ tarafındaki integralde δ
(3.2.44)
fonksiyonuna ait
b
∫ f ( x)δ ( x − x )dx = f ( x )
0
0
özelliği kullanılırsa
a
r ′+ε
1
∫ε − 4π
2
δ (r − r ′)e −i ( nθ ′+kz′) dr = −
r ′−
bulunur. Bu ifade ile
1
4π
2
e −i ( nθ ′+kz′)
(3.2.45)
58
r ′+ε
d ⎛ dRn ⎞
dR
⎟dr = r n
⎜r
∫
dr ⎝ dr ⎠
dr
r ′ −ε
r′ + ε
(3.2.46)
r +ε
ifadesi (3.2.44) eşitliğinde yerlerine yazılırsa
dR
r n
dr
r′ + ε
r ′+ε
−
r′ − ε
⎛ 2 n2 ⎞
1
⎜⎜ k + 2 ⎟⎟rRn dr = − 2 e − i ( nθ ′ + kz ′)
∫
r ⎠
4π
r ′ −ε ⎝
(3.2.47)
bulunur. ε → 0 iken (3.2.47) ifadesinin limiti alındığında (3.2.47) eşitliğinin sol
tarafındaki ikinci integral alt ve üst sınırları ε → 0 için aynı olduğundan ve Rl
m
in
r = r ′ noktasındaki sürekliliğinden dolayı sıfır olur. Böylece
dR (kr )
lim(kr ) n
ε →0
d (kr )
r = r′ + ε
=−
r = r′ − ε
1
4π
2
e −i ( nθ ′+ kz′)
(3.2.48)
ifadesi elde edilir. Üst sınır yerine yazılırken (3.2.40) ifadesi, alt sınır yerine yazılırken
de (3.2.39) ifadesi ve x = (kr ′) dönüşümü kullanıldığında,
dR (kr )
lim(kr ) n
ε →0
d (kr )
r = r′ + ε
=B
r = r′ − ε
dI ( x)
dK n ( x)
−A n
dx
dx
(3.2.49)
bulunur. Böylece (3.2.48) ve (3.2.49) denklemleri bir arada yazılırsa sabitleri belirlemek
için ikinci bağıntı
AI n′ ( x) − BK n′ ( x) =
1
4π
2
e −i ( nθ ′+ kz′)
şeklinde elde edilir. (3.2.41) ve (3.2.50) denklemleri
(3.2.50)
59
0
⎤
⎡ I n ( x ) − K n ( x ) ⎤ ⎡ A⎤ ⎡
1
⎢
⎥
=
′
′
i
n
θ
k
z
−
(
+
)
⎢ xI ′ ( x) − xK ′ ( x)⎥ ⎢ B ⎥
e
⎥⎦
n
⎣ n
⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ 4π 2
(3.2.51)
şeklinde homojen olmayan lineer denklem sistemi oluştururlar. Bu sistemin
determinantı
Δ=
I n ( x)
xI n′ ( x)
− K n ( x)
= − x(I n K n′ − I n′ K n )
− xK n′ ( x)
(3.2.52)
dir. Bu ifade Wronskian determinantı kullanılarak
Δ = − xW {I n , K n ; x}
(3.2.53)
şeklinde yazılabilir. Wronskian için Abel formülü;
x
W {y1 , y2 ; x} = W {y1 , y2 ; x0 }e
ifadesinde p ( z ) =
1
z
∫
− P ( z ) dz
x0
(3.2.54)
yazılarak
x0
x
(3.2.55)
xW {y1 , y2 ; x} = x0W {y1 , y2 ; x0 }
(3.2.56)
W {y1 , y 2 ; x} = W {y1 , y 2 ; x0 }
veya
elde edilir. Bu formülün sağ ve sol tarafları farklı değişkenlere bağlı olduğundan ayrı
ayrı bir sabite eşit olmalıdır. Böylece
60
xW {y1 , y2 ; x} = sabit
(3.2.57)
bulunur. Buradaki sabitin belirlenmesi için x → 0 veya x → ∞ özel noktalarından biri
kullanılabilir. x → ∞ özel noktasında
I n (kr ) =
K n (kr ) =
π
ex
2πx
1
2πx
(3.2.58)
e−x
(3.2.59)
dır. Bu (3.2.58) ve (3.2.59) özel değerleri (3.2.52) de yerine yazılırsa
⎡ π .e x d ⎛ e − x ⎞ d ⎛ π .e x ⎞ e − x ⎤
⎜⎜
⎟⎟ − ⎜⎜
⎟⎟
x(I n K n′ − I n′ K n ) = x ⎢
⎥
⎣ 2πx dx ⎝ 2πx ⎠ dx ⎝ 2πx ⎠ 2πx ⎦
⎡ πe x ⎛ − x
1 ⎞ 1
1 ⎞ 1 ⎤
e− x ⎛ x
−x
= x⎢
−
⎜ − e 2πx − e 2π
⎟
⎜ e 2πx − e x 2π
⎟
⎥
2 x ⎠ 2πx
2 x ⎠ 2πx ⎦
2πx ⎝
⎣ 2πx ⎝
(3.2.60)
1
1
1 ⎤
⎡ 1
= x ⎢−
− 2−
+ 2 ⎥ = −1
2x 2x ⎦
⎣ 2x 2x
veya
x(I n K n′ − I n′ K n ) = −1
(3.2.61)
elde edilir. Buradan da I n ve K n in Wronskian determinantı
W {I n , K n ; x} = −
1
x
olur. Bu ifade (3.2.53) eşitliğinde yerine yazılırsa
(3.2.62)
61
Δ = − xW {I n , K n ; x} = 1
(3.2.63)
bulunur. (3.2.42) ve (3.2.52) ifadelerinin oluşturduğu denklem sisteminin çözümleri
A = K n (kr ′)
B = I n (kr ′)
1
4π
1
4π
2
2
e −i ( nθ ′+ kz′)
(3.2.64)
e −i ( nθ ′+ kz′)
(3.2.65)
olarak elde edilir. Bu ifadeler (3.2.39) ve (3.2.40) denklemlerinde yerlerine yazılırsa
Rn = I n (kr ) K n (kr ′)
Rn = K n (kr ) I n (kr ′)
1
4π
2
e − i ( nθ ′ + kz ′)
0 ≤ r < r′
(3.2.66)
2
e − i ( nθ ′ + kz ′)
r′ ≤ r < ∞
(3.2.67)
1
4π
çözümü bulunur.Bu iki çözüm r< ve r> gösterimi kullanılarak
Rn = I n (kr< ) K n (kr>′ )
1
4π
2
e − i ( nθ ′ + kz ′)
(3.2.68)
şeklinde tek çözümüne dönüşür. Rn in bu değeri (3.2.25) denkleminde yerine yazılarak
silindirik koordinatlarda Green Fonksiyonu,
G (r , r ′ / θ ,θ ′ / z , z′) =
+∞ +∞
1
4π
2
∑ ∫I
n = −∞ − ∞
n
(kr< ) K n (kr> )ein (θ −θ ′) eik ( z − z ′) dk
(3.2.69)
n
(kr< ) K n (kr> )ein (θ −θ ′) cos k ( z − z′)dk
(3.2.70)
veya
G (r , r ′ / θ ,θ ′ / z , z′) =
+∞ +∞
1
4π
2
∑ ∫I
n = −∞ − ∞
62
veya
+∞
1 ⎧
⎡1
G (r , r ′ / θ ,θ ′ / z, z′) = 2 ⎨ ∫ cos k ( z − z′)dk ⎢ I 0 (kr< ) K 0 (kr> )
π ⎩− ∞
⎣2
∞
+ ∑ I n (kr< ) K n (kr> ) cos n(θ − θ ′)
(3.2.71)
n =1
şeklinde elde edilir.[3,7,8,11,12,13,20,24]
3.3. Poisson Denkleminin Küresel Koordinatlarda çözümü:
Küresel koordinatlarda
x = r cos φ sin θ ,
y = r sin φ sin θ , z = r cos θ ,
0 ≤ r < ∞ , − 0 < θ < π , − 0 < φ < 2π
ve
⎛ x2 + y2 ⎞
⎛ y⎞
⎟ = arccos⎛⎜ z ⎞⎟ ,
r = x 2 + y 2 , φ = arctan⎜ ⎟ , θ = arctan⎜
⎜
⎟
z
⎝ x⎠
⎝r⎠
⎝
⎠
J = r 2 sin θ
r r
r r
olduğundan r = r (r ,θ , ϕ ) ve r ′ = r (r ′,θ ′, ϕ ′) için
r
r
δ (r − r ′) =
δ (r − r ′)δ (θ − θ ′)δ (ϕ − ϕ ′)
J
(3.3.1)
r r
dir. Bu ifade ∇ 2 G = −δ (r − r ′) denkleminde yerine yazılırsa
∇ 2G = −
δ (r − r ′)δ (θ − θ ′)δ (ϕ − ϕ ′)
r 2 sin θ
(3.3.2)
63
denklemine ulaşılır. Denklemi çözmek için önce ∇ 2 G = 0 ’dan G’yi hesaplayalım.
Laplace denkleminin küresel koordinatlardaki ifadesi,
1 ∂2
1
1
∂ ⎛
∂G ⎞
∂ 2G
(
)
+
sin
θ
rG
+
=0
⎜
⎟
r ∂r 2
∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2
r 2 sin θ ∂θ ⎝
idi. G (r ,θ , ϕ ) =
(3.3.3)
U (r )
P(θ )Q(ϕ ) olarak alınır ve (3.3.3) denkleminde yerine yazılırsa,
r
∂P ⎞
d 2U
UQ d ⎛
UP d 2 Q
=0
PQ 2 + 2
⎜ sin θ
⎟+
∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ dϕ 2
dr
r sin θ dθ ⎝
(3.3.4)
r 2 sin 2 θ
ifadesi elde edilir. (3.3.4) denklemi
ile çarpılırsa,
UPQ
⎡ 1 d 2U
d ⎛
1
∂P ⎞⎤ 1 d 2 Q
r 2 sin θ ⎢
θ
sin
=0
+
⎜
⎟⎥ +
2
2
2
U
d
Q
θ
θ
∂
dr
P
r
θ
d
ϕ
.
sin
⎝
⎠
⎦
⎣
(3.3.5)
⎡ 1 d 2U
d ⎛
1
1 d 2Q
∂P ⎞⎤
r 2 sin θ ⎢
θ
=
−
sin
+
⎜
⎟
⎥
2
Q dϕ 2
∂θ ⎠⎦
P.r 2 sin θ dθ ⎝
⎣U dr
(3.3.6)
ve
elde edilir. (3.3.6) denkleminin sol yanı sadece r ve θ değişkenlerinin ve sağ yanıda
sadece ϕ değişkeninin bir fonksiyonudur. Bu nedenle (3.3.6) denkleminin her iki
yanında aynı sabite eşit olmalıdır. (3.3.6) denkleminde
1 d 2Q
= −m
Q dϕ 2
alınarak çözülürse,
(3.3.7)
64
Q = e ± imϕ
(3.3.8)
genel çözümünü elde edilir. (3.3.8) değeri (3.3.5) denkleminde yerine yazılıp sin 2 θ ’ya
bölünürse,
r2
d ⎛
m2
∂P ⎞
1 d 2U
1
θ
sin
−
=0
+
⎜
⎟
U dr 2 P sin θ dθ ⎝
∂θ ⎠ sin 2 θ
r2
1 d 2U
= l (l + 1)
U dr 2
(3.3.9)
ve
(3.3.10)
alınmak suretiyle
d 2U l (l + 1)
−
U =0
dr 2
r2
(3.3.11)
denklemi elde edilir. (3.3.11) denkleminin genel çözümü
U = A.r l +1 + B.r − l
(3.3.12)
olarak hesaplanır. Bu durumda (3.3.9) denklemi
m2 ⎤
1 d ⎛
∂P ⎞ ⎡
⎜ sin θ
⎟ − ⎢l (l + 1) −
⎥P = 0
sin θ dθ ⎝
∂θ ⎠ ⎣
sin 2 θ ⎦
(3.3.13)
şeklinde yazılır. Bu denklemde x = cos θ dönüşümü yapılırsa;
d
dx d
d
=
= − sin θ
dθ dθ dx
dx
(3.3.14)
65
olacağından, (3.3.13) denklemi
⎛
m2
d ⎛
2 dP ⎞
⎜
⎜ 1− x
⎟ + l (l + 1) −
dx ⎠ ⎜⎝
dx ⎝
1− x2
(
)
⎞
⎟⎟ P = 0
⎠
(3.3.15)
şekline dönüşür. (3.3.15) denklemi m 2 = 0 için,
(
)
d ⎛
2 dP ⎞
⎜ 1− x
⎟ + l (l + 1)P = 0
dx ⎝
dx ⎠
(3.3.16)
Legendre denklemidir. Bu denklem
∞
P ( x) = ∑ a j x α + j
(3.3.17)
j =0
şeklinde bir kuvvet serisi yardımı ile çözülür. (3.3.17) ifadesinin birinci ve ikinci
türevleri alınıp (3.3.16) denkleminde yerine yazılırsa a 0 ≠ 0 için
α (α − 1) = 0
(3.3.18)
indis denklemini,
(α +
j + 2)(α + j + 1)a j + 2 − [(α + j )(α + j + 1) − l (l + 1)]a j = 0
(3.3.19)
katsayılar bağıntısı elde edilir. İndis denkleminin kökleri α = 0 ve α = 1 ’dir.
(3.3.19)’da α = 0 değerini yerine yazılırsa, j ≥ 0 olmak üzere,
a j+2 =
( j − l )( j + l + 1)
aj
( j + 1)( j + 2)
ifadesi bulunur. (3.3.20) ifadesi kullanılarak denklemin genel çözümü
(3.3.20)
66
∞
⎧
l (l − 2)...(l − 2 j + 2)(l + 1)(l + 3)...(l + 2 j − 1) 2 j ⎫
x ⎬
y = a 0 ⎨1 + ∑ (−1) j
(
2
)!
j
=1
j
⎩
⎭
∞
⎧
(l − 1)(l − 3)...(l − 2 j + 1)(l + 2)(l + 4)...(l + 2 j ) 2 j +1 ⎫
+ a1 ⎨ x + ∑ (−1) j
x ⎬
(2 j + 1)!
j =1
⎩
⎭
(3.3.21)
olarak elde edilir. (3.3.21) ifadesinden
⎡l ⎤
⎢2⎥
⎣ ⎦
Pl ( x) = ∑ (−1) r
r =0
(2l − 2r )!
2 r!(l − r )!(l − 2r )!
l
x l −2 r
(3.3.22)
Legendre denkleminin çözümü olan Legendre Polinomuna ulaşılır. (3.3.15) denklemine
Birleşik Legendre denklemi denir. Seri çözümü yapıldığında
Pl m ( x) = Pl m (cos θ )
(3.3.23)
Birleşik Legendre Polinomları bulunur. Böylece ∇ 2 G = 0 denkleminin
∞
+l
G (r , θ , ϕ ) = ∑ ∑ Rl (r ) Pl (cos θ )e imϕ
m
m
(3.3.24)
l =0 m =− l
şeklinde bir genel çözümü elde edilir.
Burada
Pl
m
(cos θ )e imϕ açısal
kısımlara,
m
Rl (r )
radyal kısımlara ait çözümleri
belirtmektedirler. m yerine m kullanılmasının nedeni Rlm nin r = 0
ve
r=∞
r r
m
da daima sonlu olmasını sağlamaktır. δ (r − r ′) ’nin Pl (cos θ )e imϕ öz fonksiyonları
cinsinden değeri (3.3.2) ve (3.3.24)’ten
δ (r − r ′)δ (θ − θ ′)δ (ϕ − ϕ ′) ∞ + l m
m
= ∑ ∑ Cl (r ) Pl (cos θ )e imϕ
r 2 sin θ
l =0 m = − l
(3.3.25)
67
olarak elde edilir. Burada
Cl
m
‘ler
(3.3.2) denkleminin Pl
fonksiyonları cinsinden açılım sabitleridir. C l
m
m
(cos θ )e imϕ
öz
‘lerin hesaplanabilmesi için eşitliğin
her iki yanı
Pλ (cosθ )e − iμϕ sin θdθdϕ
μ
(3.3.26)
ile çarpılıp ve θ ve ϕ ye göre birim küre üzerinden integrali alınırsa
2π
δ (r − r ′)δ (θ − θ ′)δ (ϕ − ϕ ′) μ
Pλ (cos θ )e −iμϕ sin θdθ dϕ
2
θ
r
sin
=0
π
∫ ∫
ϕ θ
=0
∞
+l
=∑∑
2π π
∫ ∫C
l =0 m =− l
m
l
(r ) Pl (cos θ ) Pλ (cos θ )e imϕ e −iμϕ sin θdθdϕ
m
m
(3.3.27)
0 0
veya
δ (r − r ′)
r2
π
∫
θ =0
∞
2π
δ (θ − θ ′)Pλ μ (cos θ )dθ ∫ δ (ϕ − ϕ ′)e −iμϕ dϕ
ϕ =0
+l
=∑∑
2π π
∫ ∫C
Pl (cos θ ) Pλ (cos θ )e imϕ e −iμϕ sin θdθdϕ
m
(3.3.28)
∫ f ( x)δ ( x − x )dx = f ( x )
özelliği kullanılarak (3.3.28) eşitliğinin
l =0 m =− l
m
l
m
0 0
b
ifadesi elde edilir.
0
0
a
sol tarafındaki integraller
π
μ
μ
∫θ δ (θ − θ ′)Pλ (cos θ )dθ = Pλ (cosθ ′)
=0
ve
(3.3.29)
68
2π
∫ δ (ϕ − ϕ ′)e
ϕ
−iμϕ
dϕ = e −iμϕ ′
(3.3.30)
=0
olarak bulunur. Bu durumda (3.3.28)’in sol tarafı
δ (r − r ′)
r
2
μ
e −iμϕ ′ Pλ (cos θ ′)
(3.3.31)
şekline dönüşür. (3.3.28)’in sağ tarafı düzenlenirse
2π
π
∞
l
− i ( m − μ )ϕ
dϕ ∫ Pl (cos θ ) Pλ (cos θ ) sin θdθ ∑ ∑ C l
∫e
μ
m
0
m
(3.3.32)
l =0 m = −l
0
elde edilir. Bu ifadede
2π
∫e
− i ( m − μ )ϕ
dϕ = 2πδ mμ
(3.3.33)
0
eşitiği kullanılır ve x = cos θ dönüşümü yapılırsa,
1
∞
l
2πδ mμ ∫ Pl ( x) Pλ ( x)dx ∑ ∑ C l
μ
m
m
(3.3.34)
l =0 m = − l
−1
m
sonucuna ulaşılır.(3.3.31) ve (3.3.32) sonuçları ile Pl ’lerin ortogonallik özelliğinden
δ (r − r ′)
r
2
∞
+l
Pl (cos θ ′)e −iμϕ ′ = ∑ ∑ C l
m
olarak bulunur. (3.3.35) ifadesinden
l =0 m = −l
m
4π (l + m )!
δ lλ δ mμ
2l + 1 (l − m )!
(3.3.35)
69
Cl
m
=
δ (r − r ′) (l − m )!
m
(2l + 1) Pl (cos θ ′)e −imϕ ′
2
(l + m )!
4πr
(3.3.36)
m
değeri elde edilir. C l ’in bu değeri (3.3.25) denkleminde yerine yazılırsa
δ (r − r ′)δ (θ − θ ′)δ (ϕ − ϕ ′)
=
r 2 sin θ
∞
+l
=∑∑
l =0 m = −l
δ (r − r ′) (l − m )!
m
m
(2l + 1) Pl (cosθ ′) Pl (cosθ )e − imϕ ′eiμϕ
2
4πr (l + m )!
(3.3.37)
olur. ∇ 2G için (3.3.2) eşitliğindeki G ’nin radyal kısmı
m
1 d ⎛⎜ 2 dRl
r
∇G=
r dr ⎜⎝
dr
2
⎞ ⎛ l + 1⎞ m
⎟ − ⎜ 2 ⎟ Rl
⎟ ⎝ r ⎠
⎠
(3.3.38)
şeklinde bir diferansiyel denklemdir. Diğer taraftan (3.3.38) ifadesi ile (3.3.37) ifadesi
(3.3.2) denkleminde yerine yazılırsa
⎡ 1 d ⎛ 2 dRl m
∑
∑ ⎢ r 2 dr ⎜⎜ r dr
l = 0 m = −l ⎢
⎝
⎣
∞
+l
⎞ l (l + 1) m ⎤ m
⎟−
Rl ⎥ Pl (cosθ )eimϕ
2
⎟
r
⎥⎦
⎠
∞ +l
⎛ 1 ⎞ δ (r − r ′) (l − m )!
(2l + 1)Pl m (cos θ ′) Pl m (cos θ )e im (ϕ −ϕ ′)
= ∑ ∑⎜−
⎟
2
(
)
+
π
4 ⎠ r
l m!
l = 0 m = − l⎝
eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte Pl
m
(cos θ )e imϕ
(3.3.39)
ifadesinin katsayıları eşit alındığında Rl
m
için
m
1 d ⎛⎜ 2 dRl
r
dr
r 2 dr ⎜⎝
⎞ l (l + 1) m
δ (r − r ′) (l − m )!
m
⎟−
Rl = −
(2l + 1) Pl (cos θ ′)e −imϕ ′
2
2
⎟
r
4π .r (l + m )!
⎠
(3.3.40)
70
bulunur. r ≠ r ′ iken δ (r − r ′) = 0 olduğundan (3.3.40) denklemi
m
m
m
2
⎤ l (l + 1) m
1 d ⎛⎜ 2 dRl ⎞⎟ l (l + 1) m
1 ⎡ dRl
2 d Rl
−
=
2
+
r
R
r
r
Rl
⎢
⎥−
l
dr ⎟⎠
dr
r 2 dr ⎜⎝
r2
r 2 ⎢⎣
dr 2 ⎥⎦
r2
d 2 Rl
2 dRl
=
+
r dr
dr 2
m
m
−
l (l + 1) m
Rl = 0
r2
(3.3.41)
şekline dönüşür. Bu denklem r 2 ile çarpılırsa,
d 2 Rl
dRl
+ r2
dr
dr 2
m
2r
m
− l (l + 1) Rl
m
=0
(3.3.42)
diferansiyel denklemi bulunur. Bu bir Cauchy-Euler diferansiyel denklemi olup
r = e w dönüşümü ile
d 2 Rl
dR
m
+ l − l (l + 1) Rl = 0
2
dw
dw
m
m
(3.3.43)
şeklinde yazılır. (3.3.43) denkleminin iki lineer bağımsız çözümü e wl ve e − w(l +1) dir.
Böylece r ≠ r ′ için (3.3.40) diferansiyel denkleminin iki lineer bağımsız çözümü
Rl
m
= Ar l , Rl
m
= Br − (l +1)
(3.3.45)
olur. Burada A ve B belirlenmesi gereken sabitlerdir. r = 0 ve r = ∞ ’da Green
foksiyonu sonlu kaldığından r ′ ∈ [0, ∞) olmak üzere bu iki çözümü
Rl (r ) = Ar l
,
0 ≤ r < r′
(3.3.46)
Rl (r ) = Br − ( l +1)
,
r′ < r < ∞
(3.3.47)
m
m
71
şeklinde yazabiliriz. Diğer taraftan (3.3.46) ve (3.3.47) fonksiyonlarının
r = r′
noktasında sürekli olmaları koşulu
A(r ′)l = B(r ′) − ( l +1)
(3.3.48)
şeklinde A ve B sabitlerinin bulunmasına ilişkin bir koşul verir. Diğer bir koşulu
bulmak için;
Q=
(2l + 1) (l − m )! P m (cosθ ′)e−imϕ ′
(l + m )!
4π
(3.3.49)
l
olmak üzere (3.3.40) ifadesi
m
1 d ⎛⎜ 2 dRl
r
r 2 dr ⎜⎝
dr
⎞ l (l + 1) m
δ (r − r ′)
⎟−
Rl = −Q
2
⎟
r
r2
⎠
(3.3.50)
şeklinde yazılır ve r 2 ile çarpılırsa
d ⎛⎜ 2 dRl
r
dr ⎜⎝
dr
m
⎞
⎟ − l (l + 1) Rl m = −Qδ (r − r ′)
⎟
⎠
(3.3.51)
denklemi elde edilir. Böylece A ve B sabitlerinin bulunmasında kullanılacak diğer bir
denklem de (3.3.51) ifadesinin ε > 0 olmak üzere r ye göre r = r ′ − ε den r = r ′ + ε
ye kadar integralinin alınmasıyla elde edilir. Gerçekten ;
r ′+ε
∫
r ′ −ε
d ⎛⎜ 2 dRl
r
dr ⎜⎝
dr
m
r ′+ε
r ′+ε
⎞
⎟dr − l (l + 1) Rl m dr = − Qδ (r − r ′)dr
∫
∫
⎟
r ′ −ε
r ′ −ε
⎠
(3.3.52)
b
eşitliğinin sağ tarafındaki integralde
∫ f ( x)δ ( x − x )dx = f ( x )
0
a
0
özelliği kullanılırsa
72
r ′ +ε
∫ε Qδ (r − r ′)dr = Q
(3.3.53)
r ′−
bulunur. (3.3.53) ve
d ⎛⎜ 2 dRl
∫
⎜ r dr
dr
r ′ −ε
⎝
r ′+ε
m
m
⎞
⎟dr = r 2 dRl
⎟
dr
⎠
r ′+ε
(3.3.54)
r ′ −ε
ifadesi (3.3.52) eşitliğinde yerine yazılırsa
d ⎛⎜ 2 dRl
r
dr ⎜⎝
dr
r ′+ε
m
∫
r ′−ε
r ′+ε
⎞
⎟dr − l (l + 1) Rl m dr = −Q
∫
⎟
r ′−ε
⎠
(3.3.55)
olur. ε → 0 iken (3.3.55) ifadesinin limiti alındığında eşitliğinin sol tarafındaki ikinci
integral alt ve üst sınırları ε → 0 için aynı olacağından ve Rl
m
in r = r ′ noktasındaki
sürekliliğinden dolayı sıfır olur. Böylece
m
dRl (r )
lim r
ε →0
dr
r = r′ + ε
= −Q
2
(3.3.56)
r = r′ − ε
ifadesi elde edilir. Alt sınır yerine yazılırken (3.3.46) ifadesini, üst sınır yerine
yazılırken de (3.3.47) ifadesini alarak limit hesaplanırsa
m
dRl (r )
lim r
ε →0
dr
r = r′ + ε
= lim B (−l − 1)(r ′ + ε ) −l − lim Al (r ′ + ε ) l +1
2
r = r′ − ε
ε →0
ε →0
−l
= B(−l − 1)(r ′) − Al (r ′) l +1 = −Q
ve
73
[
] [
]
⎡ d B (r ′) − ( l +1) d A(r ′)l ⎤
−
= −Q
⎢
dr ′
dr ′ ⎥⎦
⎣
(3.3.57)
Al (r ′)l +1 + B(l + 1)(r ′) − l = Q
(3.3.58)
veya
şeklinde A ve B’ye bağlı ikinci bir denklem bulunur. Böylece (3.3.48) ve (3.3.58)
eşitliklerinden A ve B sabitleri
A=
Q
(r ′) − ( l +1)
2l + 1
(3.3.59)
B=
Q
(r ′)l
2l + 1
(3.3.60)
olarak bulunur. Bu değerler (3.3.46) ve (3.3.47) çözümlerinde yerlerine yazılırsa
Rl (r ) =
Q
rl
2l + 1 (r ′)l +1
; 0 ≤ r < r′
(3.3.61)
Rl (r ) =
Q (r ′)l
2l + 1 (r )l +1
; 0 ≤ r < r′
(3.3.62)
m
m
çözümleri elde edilir. Bu çözümler
r<
;
r < r′
r>
;
r′ < r
olmak üzere (3.3.61) ve (3.3.62)
74
Rl (r ) =
m
Q (r< ) l
2l + 1 (r> ) l +1
(3.3.63)
şeklinde birleştirilebilir. Böylece (3.3.63) ve (3.3.49) ifadeleri (3.3.24) denkleminde
r r
yerine yazılırsa G (r / r ′) Green fonksiyonu için
G=
1
4π
(r< )l (l − m )! m
m
Pl (cosθ )Pl (cosθ ′)eim (ϕ −ϕ ′)
∑
∑
l +1
(l + m )!
l = 0 m = − l ( r> )
∞
+l
(3.3.64)
ifadesi elde edilir. Bazen (3.3.64) gösterimi yerine
G ( r , r ′ / θ ,θ ′ / ϕ , ϕ ) =
+
1
4π
(r )
∑∑ (r ) [P (cosθ )P (cosθ ′)
∞
∞
l = 0 m =1
<
>
l
l +1
l
l
⎤
2(l − m )! m
m
Pl (cosθ )Pl (cosθ ′)cos m(ϕ − ϕ ′)⎥
(l + m )!
⎦
ifadesi de kullanılır.[3,4,6,8,9,13,14,18,20,24,25]
(3.3.65)
75
TARTIŞMA
Hemen hemen tüm doğa yasaları diferansiyel denklemlerle ifade edilebilirler. Bu
nedenle diferansiyel denklemlerin matematiğin yanı sıra tüm uygulamalı bilimler de
geniş bir kullanım alanı vardır.
Derleme olarak yapılan bu çalışmada ortogonal ve özel ortogonal koordinat
sistemleri ile silindirik ve küresel koordinatlar, Legendre ve Bessel denklemleri ile
Dirac Delta fonksiyonu kısaca gözden geçirilerek Poisson Denklemi ve bu denklemin
silindirik ve küresel koordinatlarda yapılan çözümleri incelenmiştir.
76
SİMGELER DİZİNİ
jm
: Bessel Fonksiyonu
δ
: Dirac Delta Fonksiyonu
G
: Green Fonksiyonu
Hm
: Henkel Fonksiyonu
J
: Jakobi Determinantı
Pl
: Legendre Polinomları
g ij
: Metrik katsayılar
I m , K m , Rn
: Modifiye Bessel Fonksiyonları
Nm
: Neumann Fonksiyonu
W
: Wronskian Determinantı
77
KAYNAKLAR
1- Güngör, F., 2000, Diferansiyel Denklemler, Basım Yayım Dağıtım A.Ş., İstanbul.
2-
Edwards, H.C.,Penney, D.E., 2006 , Bilgisayar Destekli ve Matematiksel
Modellemeli Diferansiyel Denklemler ve Sınır Değer Problemi, Çeviri editörü
Prof. Dr. Ömer Akın Palme Yayıncılık, Ankara.
3-
Bayın, S.,2004, Fen ve Mühendislik Bilimlerinde Matematik Yöntemler, Ders
Kitapları Anonim Şirketi, Ankara.
4- Hasanov, E.,Uzungören, G., Büyükaksoy, A., 2002 Diferansiyel Denklemler
Teorisi, Papatya Yayıncılık Eğitim Bilgisayar Sis. San. ve Tic. A.Ş., İstanbul.
5- Çağlayan, M., Çelebi, O., 2002, Kısmi Diferansiyel Denklemler, Vipaş A.Ş. Uludağ
Üniversitesi Güçlendirme Vakfı.
6- Edwards Henry C., Penny David E., 2008, Differantial Equations and Boundary
Value Problems. Pearson Education, Inc New Jersey 07458.
7- Anar,İ.E.,2005,Kısmi Diferansiyel Denklemler Palme Yayın dağıtım,pazarlama iç ve
dış LTD.ŞTİ, Ankara.
8- Boos, Mary L., 1983, Mathematical Methods in the Physical Sciences. by John
Wiley and Sons, Inc. Canada.
9- Baran, A.,1995, Fizikte Matematik Metodllar. T.Ü. Fen Ed. Fak. Fizik Böl. Ders
notları, Edirne.
10- Moon, P., Spencer, D.E.,1988, Eleven Coordinate Systems and The Vektor
Helmholtz Equation. Newyork Spinger Verlog.
11- Moon P., Spencer, D.E., Field Theory Handbook Including Coordinate Systems
Differantial Equations and Their Solutions, Berlin.
12- Bell W.W., 1968, Special Functions for Scientists and Engineers,D. Van
Nostrand Company LTD, London.
13- Karaoğlu,B., Fizik ve Mühendislikte Matematik Yöntemler, Bilgi Tek
Yayıncılık, İstanbul.
14- Bitsadze, A.V.,1980, Equations of Mathematical Physics, Mir Publishers,
Moscow.
78
15- Bitsadze, A.V., Kalenizhenko, D.F., A Collection of Problems on the Equations
of Mathematical Physics. Mir Publishens, Moscow.
16- Morse, P.M. and Feshbach,H.,1953, Tables of Separable Coordinates in Three
Dimensions Methods of Theoretical Physics, Mc Graw-Hill New York.
17- Snedon, I. N., 1957, Elements of Partical Differantial Equations, Mac Graw-Hill,
New York- Toronto-London.
18- Habernian, R.,1987, Elemantary Applied Partial Differantial Equations, PrenticeHall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersy 07632.
19- Gradshteyn, I.S., Ryzhik, I.M., 1980, Table of Integrals, Series and Products,
Academic Pres Inc., Orlando-London-San Diego.
20- Carslaw, H.S., Jacger J.C., 1973, Conductivity of Heat in Solids, Oxford Un. Press.
21- Jacson, J.D., 1962, Classical Electrodynamics, John Wiley and Sons.
22- Koca K., 2001, Kısmi Türevli Denklemler, Gündüz Eğitim ve Yayıncılık, Ankara.
23- Taylor, R.C., Zaferitos, C.D.,1996, Fizik Ve Mühendislikte Modern Fizik, Arte
Bilgi Tek, Ankara.
24- Caurant, R., and Hilbert, D.,1950 , Methods of Mathematical Physics. Newyork
Inerscience Publisher.
25- Vladiminov. V.S., 1971, Equations of Mathematical Physics, Marcel Peker Inc.,
Newyork.
79
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Murat AYTİN
Doğum Yeri
: Meriç / EDİRNE
Doğum Tarihi
: 28.02.1979
Medeni Hali
: Evli
Eğitim ve Akademik Durumu
İlkokul
: Meriç Merkez Büyük Doğanca İlköğretim Okulu
Ortaokul
: Meriç Merkez Büyük Doğanca İlköğretim Okulu
Lise
: Meriç Lisesi
Lisans
: Trakya Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü
Yabancı Dil
: İngilizce
İş Tecrübesi
2001 yılında Edirne Meriç Şehit Öğretmen Aydın Yılmaz İlköğretim Okulu’nda
Matematik Öğretmeni olarak atandım. İsteğim üzerine 2003 yılında Edirne Uzunköprü
Safvet Buzcu İlköğretim Okulu’na atandım. 2004-2005 yılları arasında askerlik görevini
Şanlıurfa Viranşehir Işıldar Köyü İlköğretim Okulu’nda Matematik öğretmeni olarak
tamamladım. 2007 yılı şubat ayında Iğdır Endüstri Meslek ve Teknik Lisesine eş
durumu özrü ile atandım. Aynı yıl Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme sınavı ile Iğdır
M.E.V. Anadolu Lisesine atandım. 2009 yılında zorunlu hizmetin tamamlanması ile
İstanbul Selimpaşa İMKB Anadolu OTM Lisesine atandım. Halen bu görevi
sürdürmekteyim.
Download

x - Trakya Üniversitesi