Milan Janji´c
Predavanja iz Lineara algebra 2,
2014-2015 ˇskolska godina
Prirodno-matematiˇcki fakultet
Univerzitet u Banjoj Luci
Predgovor
Ovo su predavanja iz predmeta Linearna algebra 2 koja se drˇze u 2014-2015
ˇskolskoj godini studentima druge godine, opˇsteg smjera i studentima ˇcetvrte
godine, nastavniˇckog smjera. Izloˇzeni materijal se, u najve´coj mjeri, poklapa
sa vaˇze´cim udˇzbenikom s tim da je dodato poglavlje o cikliˇckim potprostorima i glavnim vektorima, ˇsto spada u tzv. geometrijsku teoriju elementarnih
djelitelja.
Osnovni cilj je jasna prezentacija programa ovog predmeta.
Sadrˇzaj
1.
Svojstvene vrijednosti operatora i matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.
Minimalni i prate´
ci polinomi matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.
ˇ
Invarijantni potprostori. Surova
teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.
Normalne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Opˇsta forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Kriterijum sliˇcnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ
4.3 Racionalna i Zordanova
forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
28
36
40
1
Svojstvene vrijednosti operatora i matrica
Moˇze se re´ci da su sva naˇsa dosadaˇsnja razmatranja bazirana na sistemima
linearnih jednaˇcina i nisu zavisila od prirode polja iz kojeg se uzimaju koeficijenti sistema. Naime, rjeˇsenja sistema linearnih jednaˇcina uvijek pripadaju
polju, iz kojeg su svi koeficijenti sistema.
U ovom ´cemo dijelu vidjeti da se izuˇcavanje nekih od najznaˇcajnijih svojstava linearnih operatora dobijaju pomo´cu nelinearnih algebarskih jednaˇcina.
Poznato je, s druge strane, da rjeˇsenja nelinearnih algebarskih jednaˇcina
bitno zavise od polja, kojem pripadaju koeficijenti jednaˇcina.
Problem koji ´cemo rjeˇsavati je sljede´ci: Za dati operator koji djeluje na
prostoru Vn odrediti bazu prostora, u odnosu na koju matrica tog operatora
ima najjednostavniju mogu´cu formu. Matrice operatora u odnosu na razliˇcite
baze prostora su sliˇcne, pa se problem moˇze izraziti i jezikom matrica i glasi:
Za datu kvadratnu matricu A odrediti ,,najjednostavniju ”matricu sliˇcnu
matrici A. Drugim rijeˇcima, odrediti regularnu matricu P za koju je matrica
P −1 AP najjednostavnija mogu´ca, tj. dijagonalna. Zbog toga se postupak kojim
se dobija traˇzena matrica ˇcesto naziva dijagonalizacija. Vidje´cemo da dijagonalizacija nije uvijek mogu´ca.
Sliˇcna razmatranja u matriˇcnom raˇcunu dovela su do rang normalne forme
matrice. Naime, za datu pravougaonu matricu B formata m × n postoje regularna matrica S reda m i regularna matrica P reda n tako da je SBP rang
normalna forma matrice B. Ovaj problem je rijeˇsen u kursu Linearne algebre
1.
Problem za sliˇcne matrice, koji ovdje razmatramo, mada izgleda analogan
onom za pravougaone, je znatno teˇzi i predstavlja samu srˇz linearne algebre.
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
To je primjetno ve´c na prvi pogled, jer da bismo odredili rang normalnu formu
pravougaone matrice mi odred¯ujemo dvije regularne matrice S i P, koje ne
zavise jedna od druge. Da bi na isti naˇcin rijeˇsili problem za sliˇcne matrice
moralo bi biti S = P −1 , ˇsto se tehnikom elementarnih transformacija ne moˇze
posti´ci.
Ako se operator A moˇze dijagonalizovati, to znaˇci da postoji baza
{e1 , e2 , . . . , en } prostora V u odnosu na koju je matrica A, tog operatora, dijagonalna tj. postoje, u opˇstem sluˇcaju, kompleksni brojevi λ1 , . . . , λ, za koje
A(ei ) = λi ei , (i = 1, 2, . . . , n).
Tako na jednostavan naˇcin dolazimo do vaˇznih pojmova svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora linearnih operatora, odnosno matrica.
Definicija 1.1
Neka je Vn vektorski prostor nad poljem C, kompleksnih brojeva, a A ∈
End(Vn ). Kaˇzemo da je λ ∈ K svojstvena vrijednost operatora A, ako postoji
vektor x ̸= 0 za koji je A(x) = λx. Vektor x se naziva svojstvenim vektorom
operatora A, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ.
Skup Vλ koji se sastoji od nula vektora i svih svojstvenih vektora operatora A,
koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ je potprostor prostora Vn i naziva se
svojstveni potprostor svojstvene vrijednosti λ.
Definicija 1.2
Ako je A kompleksna matrica n-tog reda, tada λ naziva svojstvenom vrijednoˇs´cu matrice A, ako postoji vektor X = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Cn , X ̸= O,
za koji vrijedi
A · X = λ · X.
Vektor X se naziva svojstvenim vektorom matrice A.
Definicija 1.3
Dimenzija potprostora Vλ naziva se geometrijska viˇsestrukost svojstvene vrijednosti λ.
Ako je λ svojstvena vrijednost operatora, to znaˇci da postoji x ̸= 0, za koji
vrijedi (λE −A)(x) = 0, tj. vrijedi Ker (λE −A) ̸= {0}, a to znaˇci da je operator
λE − A singularan. Ako je A matrica linearnog operatora A, u odnosu na neku
bazu {e1 , . . . , en }, za singularnost operatora λE − A potrebno je i dovoljno da
2
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
vrijedi det(λEn − A) = 0. Tako dolazimo do vaˇznih pojmova, koje uvodimo
sljede´com definicijom.
Definicija 1.4
Matrica En · λ − A naziva se svojstvena matrica operatora A, a jednaˇcina (po
λ)
det(En · λ − A) = 0,
(1.1)
svojstvena jednaˇcina operatora.
Lijeva strana jednaˇcine (1.1) je polinom pn (λ), n-tog stepena po λ i naziva
se svojstveni polinom operatora. On ima oblik
pn (λ) = λn + a1 λn−1 + · · · + an .
(1.2)
Primjedba 1.5
Umjesto rijeˇci svojstveni koriste se ravnopravno i rijeˇc karakteristiˇcni ili sopstveni.
Primjedba 1.6
Odred¯ivanje svojstvenih vrijednosti datog operatora svodi se, dakle, na odred¯ivanje
korijena svojstvenog polinoma, tj. na rjeˇsavanje algebarske jednaˇcine n-tog reda
λn + a1 λn−1 + · · · + an = 0.
Rjeˇsenja te jednaˇcine zavisi od polja iz koga su koeficijenti jednaˇcine i u
kojem pripadaju rjeˇsenja jednaˇcine.
U tim razmatranjima bitnu ulogu igra Osnovna teorema algebre koja glasi:
Svaka algebarska jednaˇcina n-tog reda, nad poljem kompleksnih brojeva (ili bilo
kojim algebarski zatvorenim poljem), ima taˇcno n korijena (ako se raˇcunaju i
viˇsestrukosti).
Kako su svojstvene vrijednosti osnovni elementi pomo´cu kojih ´cemo izuˇcavati
strukturu operatora, to znaˇci da ´ce u tome bitnu ulogu igrati priroda polja nad
kojim je definisan prostor na kome operator djeluje.
Kada su svojstvene vrijednosti odred¯ene, za odred¯ivanje svojstvenih vektora
treba joˇs rijeˇsiti po x jednaˇcinu
(λE − A)(x) = 0,
3
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
koja se svodi na homogeni sistem linearnih jednaˇcina. Naime, ako su x1 , . . . , xn
komponente svojstvenog vektora x, u odnosu na bazu {e1 , . . . , en }, a A matrica operatora u odnosu na tu bazu, tada je prethodna jednaˇcina ekvivalentna
jednaˇcini
(λEn − A) · X = O,
(1.3)
pri ˇcemu je X = (x1 , . . . , xn )T .
Primjer 1.7
Odrediti svojstvene vrijednosti i pripadne svojstvene vektore sljede´cih matrica


1 −1 −1
1. A = 1 −1 0  .
1 0 −1


2−i
0
i
2. B =  0
1−i
0 .
i
0
2−i
Rjeˇsenje.
1. Vrijedi
det(A − λE3 ) = −(λ + 1)(λ2 + 1),
pa matrica A ima tri med¯usobno razliˇcite svojstvene vrijednosti λ1 =
−1, λ2 = i, λ2 = −i. Jedno rjeˇsenja jednaˇcine (A − λ1 E3 ) · X = 0, je
(0, 1, −1)T , pa je to svojstveni vektor, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = −1.
Analogno, jedno rjeˇsenja jednaˇcine (A − λ2 E3 ) · X = 0, je (1 + i, 1, 1)T , pa
je to svojstveni vektor, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = i.
Isto tako je (1 − i, 1, 1) svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = −i.
2. U ovom sluˇcaju svojstvene vrijednosti su
2, 1 − i, 2 − 2i,
a odgovaraju´ci svojstveni vektori su
(1, 0, 1)T , (0, 1, 0)T , (1, 0, −1)T .
4
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Primjer 1.8
1. Neka je O nula operatorna prostoru V. Tada je O(v) = 0, (v ∈ V ), ˇsto znaˇci
da je 0 jedina svojstvena vrijednost oovog operatotra, dok su svi nenulti
vektori n jeni svojstveni vektori. Imamo, dakle, V0 = V.
2. Ako je E identiˇcni operator na prostoru V, onda za svako v ∈ V vrijedi
E(v) = v. Ovo znaˇci da je 1 svojstvena vrijednost operatora, te da je
V1 = V.
3. Ako je A bilo koji operator, tada je 0 njegova svojstvena vrijednost ako i
samo ako je ker A ̸= {0}. U tom sluˇcaju je V0 = ker A.
Primjer 1.9
1. Dokazati da rotacija ravni za ugao ω, () < ω < π) nema realnih svojstvenih
vrijednosti.
2. Odrediti kompleksne svojstvene vrijednosti perthodne transformacije.
Rjeˇsenje.
1. Svojstvena jednaˇcina ove transformacije i ma oblik
λ − cos ω
sin ω = 0,
− sin ω
λ − cos ω odnosno, λ2 − 2 cos wλ + 1 = 0. Diskriminanta ove kvadratne jednaˇcine je
manja od nule, pa ona nema realnih rjeˇsenja.
2. Kompleksne svojstvene vrijednosti su cos ω ± i sin ω.
Primjer 1.10
Neka je P ̸= O operator projekcije. Pokazati da su 0 i 1 jedine svojstvene
vrijednosti ovog operatora, Dokazati joˇs da je V0 = ker P, V1 = im P.
Rjeˇsenje: Operator P zadovoljava uslov P 2 = P. Ako je v ̸= 0 vektor za koji
vrijedi P(v) = λv, tada je P(v) = P 2 (v) = (P(v) = P(λv) = λP(v) = λ2 v.
Dakle, P(v) = λ2 v. Zakljuˇcujemo da vrijedi λv = λ2 v, pa je λ2 − λ = 0
svojstvena jednaˇcina, pa su λ = 0 i λ = 1 svojstvene vrijednosti operatora P.
Da je V0 = Ker P vidjeli smo u prethodnom primjeru. Ako je λ = 1, a w njen
svojstveni vektor onda iz P(w) = w, ˇsto znaˇci da v ∈ ImP. Sa druge strane,
ako je w ∈ ImP, tada je w = P(v), za neki v. Slijedi P(w) = P 2 (v) = P(v) =
w, pa je w svojstveni vektor, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti 1. Dakle,
V1 = Im P.
5
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Primjer 1.11
Kvadratnu matricu A nazivamo stohastiˇckom ako joj je zbir elemenata u svakoj
vrsti jednak 1. Pokazati da je 1 svojstvena vrijednost te matrice i odrediti njen
svojstveni vektor.
Rjeˇsenje. Za vektor X = (1, 1, . . . , 1)T oˇcigledno vrijedi A · X = X, ˇsto znaˇci
da je 1 svojstvena vrijednost, a X svojstveni matrice A.
Primjer 1.12
Ako A, B ∈ Mn (K) dokazati da matrice AB i BA imaju iste svojstvene vrijednosti.
Rjeˇsenje. Pretpostavimo da je λ = 0 svojstvena vrijednost matrice AB.
To znaˇci da je matrica (λEn − AB) = AB singularna, pa je det(AB) =
det A det B = 0. To znaˇci da je i matrica BA singularna, pa je 0 i njena svojstvena vrijednost.
Pretpostavimo da λ ̸= 0 nije svojstvena vrijednost matrice AB. Tada je
matrica (λEn − AB) = λ(En − λ1 AB) invertibilna, ˇsto znaˇci da je matrica
(En − λ1 AB) invertibilna.
Tada je i (En − λ1 BA) invertibilna matrica, jer se lako provjerava da je pa
(
)−1
1
1
(En − BA)−1 = En + B En − AB
A.
λ
λ
Zbog toga λ nije svojstvena vrijednost ni matrice BA.
Obrnuto se dokazuje na isti naˇcin.
Primjedba 1.13
Napomenimo da svojstvena matrica operatora A nije jedinstvena, jer matrica
u (1.1) na zavisi samo od operatora, nego i od bazu prostora. Kako su matrice
operatora u odnosu na razli ˇcite baze sliˇcne, to znaˇci da se u definiciji 1.4
umjesto matrice A moˇze uzeti bilo koja njoj sliˇcna matrica.
U vezi sa prethodnom primjedbom, moˇze se postaviti pitanje: Da li izbor matrice operatora utiˇce na svojstvene vrijednosti tog operatora. Naime, oˇcigledno
koeficijenti svojstvene jednaˇcine (1.1) zavise od elemenata matrice A, pa bi, na
prvi pogled, proizilazilo da i svojstvene vrijednosti zavise od elemenata matrice
A. To nije sluˇcaj, ˇsto ´cemo dokazati u sljede´coj teoremi.
6
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Teorema 1.14
Ako su A i B silˇcne matrice, tada vrijedi
det(λEn − A) = det(λEn − B).
Dokaz
Ako su A i B sliˇcne matrice, postoji regularna matrica P, za koju je B =
P −1[ · A · P. Sada imamo
det(λEn − B) = det(λEn − P −1 · A · P ) =
]
−1
det P (λEn − A) · P = det(P )−1 · det(λEn − A) · det(P ) = det(λEn − A).
Prema tome vrijedi
det(λEn − B) = det(λEn − A).
Kako su izrazi i na lijevoj i na desnoj strani ove jednakosti polinomi, ta jednakost je, u stvari, jednakost polinoma. Iz jednakosti koeficijenata tih polinoma
zakljuˇcujemo da koeficijenti svojstvene jednaˇcine operatora ne zavise od izabrane baze prostora, odnosno matrice operatora u odnosu na bazu.
Primjedba 1.15
Ako je A kvadratna matrica, onda se jednaˇcina (1.1) naziva svojstvena
jednaˇcina matrice, njena se rjeˇsenja nazivaju svojstvenim vrijednostima matrice, dok se rjeˇsenja X jednaˇcine (1.3) nazivaju svojstvenim vektorima matrice.
U prethodnim razmatranjima smo dokazali da sliˇcne matrice imaju iste
svojstvene jednaˇcine, pa i iste svojstvene vrijednosti vrijednosti.
Izraˇcuna´cemo sada koeficijente svojstvenog polinoma, preko elemenata matrice A.
Teorema 1.16
Ako je (1.2) svojstveni polinom matrice A tada je
ak = (−1)k Sk , (k = 1, . . . , n),
pri ˇcemu je Sk suma svih glavinih minora reda k matrice A.
Dokaz
Na osnovu pomenute teoreme vrijedi
n−k
p(k)
k!Sn−k , (k = 0, . . . , n − 1),
n (0) = (−1)
7
(1.4)
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
pri ˇcemu je Sn−k zbir svih glavnih minora reda n−k matrice A. Sa druge strane,
(k)
direktno diferenciraju´ci pn (x) dobijamo pn (0) = k!an−k , (k = 0, . . . , n − 1),
pa imamo
k!an−k = (−1)n−k k!Sn−k , (k = 0, . . . , n − 1),
iz ˇcega slijedi tvrdnja.
Primjedba 1.17
Specijalno je a1 = −Tr (A), an = (−1)n det(A).
Posljednje jednakosti daju vezu izmed¯u svojstvenih vrijednosti matrice sa jedne,
te traga i determinante te matrice, sa druge strane.
Primjer 1.18
Odrediti vezu izmed¯u suma glavnih minora matrica A i A−1 .
Rjeˇsenje. Neka je f (λ) svojstveni polinom matrice A n-tog reda, a g(λ) svojstveni polinom matrice A−1 . Vrijedi
g(λ) = |λEn − A−1 | = |λA · A−1 − A−1 | =
1
|λA − En |.
|A|
Izvlaˇce´ci −λ iz svake vrste determinante |λA − En | dobijamo
( )
(−λ)n
1
g(λ) =
f
.
|A|
λ
Upored¯ivanjem koeficijenata polinoma na lijevoj i desnoj strani prethodne
jednakosti zakljuˇcujemo da vrijedi: Zbir glavnih minora k-tog reda matrice A−1 ,
n
n-tog reda, jednak je proizvodu (−1)
|A| sa zbirom svih glavnih minora reda n − k
matrice A.
Ako su λ1 , . . . , λn svojstvene vrijednosti matrice A, tada je na osnovu Vijetovih formula an = (−1)n λ1 · · · λn , pa vrijedi
det(A) = λ1 · · · λn .
(1.5)
Pomo´cu svojstvenih vrijednosti opisujemo strukturu operatora. Problem
je da se odredi takva baza prostora, u odnosu na koju operator ima ˇsto je
mogu´ce ,,jednostavniju”matricu. U tom smislu su najjednostavniji oni operatori
za koje se moˇze odrediti baza prostora, u odnosu na koju je matrica operatora
dijagonalna.
8
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Definicija 1.19
Za operator A ∈ End (Vn ) kaˇzemo da je proste strukture ako postoji baza
prostora Vn sastavljena od svojstvenih vektora operatora A.
Ako je A operator proste strukture, {e1 , e2 , . . . , en } baza sastavljena od svojstvenih vektora, tada je
A(ei ) = λi ei , (i = 1, 2, . . . , n).
Ovo znaˇci da je matrica operatora A u odnosu na ovu bazu dijagonalna i da
se na dijagonali nalaze svojstvene vrijednosti.
Vrijedi i obratno, ako postoji baza u odnosu na koju je matrica operatora
dijagonalna, onda je jasno da su bazni vektori svojstveni, a skalari na dijagonali
svojstvene vrijednosti.
Vrijedi dakle:
Teorema 1.20
Operator A ∈ End (Vn ) je proste strukture ako i samo ako postoji baza prostora
Vn , u odnosu na koju je matrica tog operatora dijagonalna.
Neka je A operator proste strukture, koji djeluje na prostoru Vn . Neka je
A matrica operatora A u odnosu na neku bazu (e1 , e2 , . . . , en ) i neka su
∑n
v j = i=1 pij ei , (j = 1, 2, . . . , n) svojstveni vektori, koji ˇcine bazu prostora
Vn , a λ1 , λ2 , . . . , λn odgovaraju´ce svojstvene vrijednosti. Matrica B = (pij ) je,
dakle, matrica prelaska sa baze (e1 , e2 , . . . , en ) na bazu (v 1 , v 2 , . . . , v n ). Prema
teoremi xxx P −1 AP je matrica operatora A u odnosu na bazu (v 1 , v 2 , . . . , v n ).
Sa druge strane, kako je baza (v 1 , v 2 , . . . , v n ) sastavljena od svojstvenih vektora, ta matrica je diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ). Time je dokazana
Teorema 1.21
Matrica A je matrica operatora proste strukture ako i samo ako postoji invertibilna matrica P za koju je
P −1 AP = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn )
i pri tome su λ1 , λ2 , . . . , λn svojstvene vrijednosti operatora A, dok su kolone
matrice P odgovaraju´ci svojstveni vektori.
Primjer 1.22
Ako je A matrica operatora proste strukture, izraˇcunati Ak , (k ∈ Z).
9
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Rjeˇsenje. Prema prethodnoj teoremi, postoji regularna matrica P za koju je
P −1 AP = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ).
Stepenuju´ci i lijevu i desnu stranu sa k dobijamo
P −1 Ak P = diag (λk1 , λk2 , . . . , λkn ),
iz ˇcega slijedi
Ak = P · diag (λk1 , λk2 , . . . , λkn ) · P −1 .
Napomenimo da negativni stepeni od A postoje samo u sluˇcaju λi ̸= 0, (i =
1, 2, . . . , n).
U sljede´coj teoremi ´cemo dokazati da su svojstveni vektori koji pripadaju
med¯usobno razliˇcitim svojstvenim vrijednostima linearno nezavisni.
Teorema 1.23
Ako su λ1 , λ2 , . . . , λm , u parovima razliˇcite svojstvene vrijednosti operatora A, a v 1 , v 2 , . . . , v m svojstveni vektori koji im odgovaraju, tada je skup
{v 1 , v 2 , . . . , v m } linearno nezavisan.
Drugim rijeˇcima, ako su λ1 , λ2 , . . . , λk med¯usobno razliˇcite svojstvene vrijednosti, a Vλ1 , Vλ2 , . . . , Vλk odgovaraju´ci svojstveni potprostori, tada je suma
Vλ1 + Vλ2 + . . . , Vλk direktna.
Dokaz
Neka je α1 v 1 + α2 v 2 + · · · + αm v m = 0. Oznaˇcimo sa
w1 = α1 v 1 , w2 = α2 v 2 , . . . , wm = αm v m .
Svi vektori wi , (i = 1, . . . , m) su svojstveni vektori, koji odgovaraju svojstvenim vrijednostima λi , izuzev eventualno jednog, koji je jednak nuli i koji
odgovara svojstvenoj vrijednosti nula. Prije svega vrijedi
w1 + w2 + · · · + wm = 0.
Djeluju´ci na ovu jednakost operatorom A, m − 1 puta, dobijamo jednakosti
w1
λ1 w1
λ21 w1
..
.
λm−1
w1
1
+
+
+
w2
λ2 w2
λ22 w2
..
.
+ λ2m−1 w2
+ ···
+ ···
+ ···
+
+
+
+ ···
+ λm−1
wm
m
10
wm
λm wm
λ2m wm
..
.
=0
=0
=0 .
..
.
=0
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Kada se svaki od vektora izrazi kao linearna kombinacija vektora neke baze,
onda se iz prethodnih jednaˇcina dobije n = dim (Vn ) sistema homogenih linearnih jednaˇcina. U svakom od tih sistema nepoznate su koordinate vektora wi ,
u odnosu na odred¯eni element baze.
Determinanta svakog od tih sistema je Vandermondova i jednaka je
∏
(λj − λi ) ̸= 0,
1≤i<j≤m
pa sistemi imaju samo trivijalna rjeˇsenja iz ˇcega slijedi w1 = . . . = wm = 0, pa
i α1 v 1 = α2 v 2 = . . . = αm v m = 0, ˇsto implicira
α1 = α2 = · · · = αm = 0.
Sljede´ca teorema je jednostavana posljedica prethodne.
Posljedica 1.24
Ako operator koji djeluje na prostoru Vn ima med¯usobno razliˇcite svojstve
vrijednosti, onda je on proste strukture.
Operator A, naravno, moˇze da bude proste strukture i ako mu nisu sve
svojstvene vrijednosti razliˇcite. Jednostavan primjer za to je identiˇcki operator,
koji je proste strukture, a sve su mu svojstvene vrijednosti jednake 1.
Ako je polje u kojima traˇzimo svojstvene vrijednosti polje kompleksnih brojeva, onda se na osnovu osnovne teoreme algebre svojstveni polinom moˇze napisati u obliku
pn (λ) = (λ − λ1 )µ1 · (λ − λ2 )µ2 · · · (λ − λk )µk ,
(1.6)
pri ˇcemu su λ1 , λ2 , . . . , λk sve, med¯usobno razliˇcite svojstvene vrijednosti.
Definicija 1.25
Brojevi ν1 , ν2 , . . . , νk iz jednakosti (1.6) nazivaju se algebarskim viˇsestrukostima
odgovaraju´cih svojstvenih vrijednosti.
U sljede´coj teoremi izlaˇzemo vezu izmed¯u algebarskih i geometrijskih
viˇsestrukosti svojstvenih vrijednosti.
11
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Teorema 1.26
Gemoetrijska viˇsestrukost svojstvene vrijednosti nije ve´ca od njene algebarske
viˇse strukosti.
Dokaz
Neka je k geometrijska viˇsestrukost svojstvene vrijednosti λ opeartora A.
Neka je (e1 , e2 , . . . , ek ) baza svojstvenog potprostora Vλ1 , koja je, naravno,
sastavljena od svojstvenih vektora koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti
λ. Dopunimo prethodnu bazu do baze cijelog prostora. Dobili smo bazu
(e1 , e2 , . . . , ek , ek+1 , . . . , en ) prostora Vn . Matrica operatora, u odnosu na ovu
bazu, ima oblik
(
)
D
B
S=
,
O
C
pri ˇcemu je D = diag (λ1 , λ1 , . . . , λ1 ), dijagobnalna matrica. Svojstvena matrica S ima oblik
(
)
λEk − D
B
S=
.
O
λEn−k − C
Prema tome, svojstveni polinom pn (λ) ima oblik
pn (λ) = (λ − λ1 )k qn−k (λ).
(1.7)
Porede´ci izraze (1.7) i (1.6) dobijamo tvrdnju teoreme.
Teorema 1.27
Operator A je proste strukture ako i samo ako je geometrijska viˇsestrukost
svake svojstvene vrijednosti jednaka njenoj algebarskoj viˇsestrukosti.
Dokaz
Ako je A proste strukture, onda prostor na kome djeluje ima bazu sastavljenu od svojstvenih vektora. U odnosu na tu bazu, matrica operatora A
je dijagonalna i na dijagonali se pojavljuju njene svojstvene vrijednosti. Pri
tome se odred¯ena svojstvena vrijednost pojavljuje onoliko puta kolika je njena
geometrijska viˇsestrukost. U ovom sluˇcaju, dakle, geometrijska viˇse strukost
mora biti jednaka algebarskoj. Obrnuto, neka je geometrijska viˇsestrukost
svake svojstvene vrijednosti jednaka njenoj algebarskoj viˇse strukosti i neka
su λ1 , λ2 , . . . , λk med¯usobno razliˇcite svojstvene vrijednosti. U teoremi 1.23 je
dokazana da je tada suma Vλ1 +· · ·+Vλk direktna. Iz postavljenih uslova slijedi
12
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
da je dim Vλ1 + · · · + Vλk jednaka dimenziji cijelog prostora, na kome djeluje
operator, a to znaˇci da postoji baza sastavljena od svojstvenih vektora.
U teoremi 1.14 dokazali smo da sliˇcne matrice imaju iste svojstvene jednaˇcine,
pa i iste svojstvene vrijednosti. Za obrat te tvrdnje imamo
Primjer 1.28
Pokazati da su matrice A, B ∈ Mn (K), koje imaju iste svojstvene jednaˇcine i
predstavljaju operatore proste strukture, sliˇcne.
Rjeˇsenje. Postoje invertibilne matrice S i P za koje vrijedi:
S −1 AS = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ), P −1 BP = diag (µ1 , µ2 , . . . , µn ),
pri ˇcemu su λi i µi svojstvene vridednosti datih matrica. Dovoljno je dokazati
da su matrice na desnim stranama prethodnih jednakosti sliˇcne. Kako matrice
A i B imaju iste svojstvene polinome, a samim tim i iste svojstvene vrijednosti,
to znaˇci da je (µ1 , µ2 , . . . , µn ) neka permutacija od (λ1 , λ2 , . . . , λn ).
Sa druge strane, ako je D = diag (. . . , di , . . . , dj , . . .) dijagonalna matrica
−1
onda je D1 = Eij DEij = diag (. . . , dj , . . . , di , . . .), pa, uz ˇcinjenicu da je Eij
=
Eij , slijedi da su D i D1 sliˇcne matrice. Na osnovu toga zakljuˇcujemo da su
matrice diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ) i diag (µ1 , µ2 , . . . , µn ) sliˇcne, pa su sliˇcne i matrice
A i B. U opˇstem sluˇcaju, matrice sa istim svojstvenim polinomimae moraju
biti sliˇcne, ˇsto ´cemo pokazati sljede´cim primjerom.



2 2 1
2
1 −1
Dokazati da matrice A = 1 3 1 i B =  0
2 −1 imaju iste
1 2 2
−3 −2 3
svojstvene polinome, ali nisu sliˇcne.
Primjer 1.29

Rjeˇsenje. Lako se provjerava da je f (λ) = (λ − 1)2 (λ − 5) svojstveni polinom i
jedne i druge matrice. Kako je algebarska viˇsestrukost korijena λ = 5 jednaka
1, tolika je i njegova geometrijska viˇsestrukost. Sa druge strane, algebarska
viˇsestrukost svojstvene vrijednosti λ = 1 je 2, za obje matrice. Lako se provjerava da toj vrijednosti odgovaraju dva linearno nezavisna svojstvena vektora
od B, a samo jedan od A. Prema tome B je matrica proste strukture. Ako bi
ona bila sliˇcna matrici A onda bi i A bila proste strukture, pa bi algebarska
viˇse strukost svojstvene vrijednosti λ = 1 bila jednaka njenoj geometrijskoj
viˇsestrukosti, ˇsto nije taˇcno. Dakle, matrice A i B ne mogu biti sliˇcne.
13
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
U sljede´cem poglavlju ´cemo razmatrati tzv. matriˇcne polinome. Sada ´cemo
ih samo definisati i dokazati jedan znaˇcajan rezultat vezan za svojstvene polinome i matrice.
Naime, ako je f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ K[x], a A ∈ Mm (K), tada
se izraz
f (A) = a0 An + a1 An−1 + · · · + an · Em naziva matriˇcni polinom stepena n.
Izuzetno znaˇcajnu osobinu svojstvenog polinoma daje sljede´ca
Teorema 1.30 (Hamilton-Kejlijeva)
Ako je f (x) svojstveni polinom matrice A, tada je f (A) = O.
Dokaz
Oznaˇcimo sa B asociranu matricu od xEn − A. Njeni elementi su subdeterminante, sa odred¯enim predznakom, n − 1-og reda matrice xEn − A i to su, dakle,
polinomi najviˇse n − 1-og stepena po x. Zbog toga se matrica B moˇze napisati
u obliku
B = Bn−1 xn−1 + · · · + B0 .
Kako je B asocirana matrica od En x − A, vrijedi
B · (xEn − A) = |xEn − A| · En = f (x) · En .
Ako je f (x) = xn +an−1 xn−1 +· · ·+a0 , izjednaˇcavanjem matrica uz iste stepene
x na lijevoj i desnoj strani, dobijemo
Bn−1 =
−Bn−1 · A + Bn−2 =
−Bn−2 · A + Bn−3 =
.. ..
. .
−B1 · A + B0 =
−B0 · A =
En
an−1 En
an−2 En
..
.
a1 · En
a0 · En .
Mnoˇzenjem prve od ovih jednakosti sa An , druge sa An−1 itd., pretposljednje
sa A, pa onda sabiranjem lijevih i desnih strana, dobijamo
An + an−1 · An−1 + · · · + a0 · En = 0.
14
2
Minimalni i prate´ci polinomi matrica
Ako je A ∈ Mn (K), a f (x) = ak xk + ak−1 xk−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ K[x],
tada je izraz f (A) = ak Ak + ak−1 Ak−1 + · · · + a1 A + a0 E dobro definisan.
Primjer 2.1
Neka je A ∈ Mn (K). Dokazati da postoji nenulti polinom p(x) ∈ K[x] za koji
vrijedi p(A) = O.
Rjeˇsenje. Na osnovu Hamilton-Keijlijeve teoreme traˇzeni uslov zadovoljava
svojstveni polinom matrice. Med¯utim, tvrdnja se moˇze jednostavno dokazati
i na elementaran naˇcin.
2
Naime, U skupu A0 = En , A, A2 , . . . , An prostora Mn (K) ima n2 + 1 elemenata, dok je dimenzija prostora jednaka n. Prema tome, taj je skup linearno
zavisan, tj. postoje skalari a0 , a1 , . . . , an2 koji nisu svi jednaki nuli, takvi da
vrijedi
2
a0 En + a1 A + · · · + an2 An = O.
∑n2
Prema tome, za nenulti polinom p(x) = i=0 ai xi , vrijedi P (A) = O.
Definicija 2.2
Minimalnim polinomom matrice A ∈ Mn (K) nazivamo normirani polinom
mA (x), najmanjeg stepena, za koji je mA (A) = 0.
´ POLINOMI MATRICA
GLAVA 2. MINIMALNI I PRATECI
Iz prethodnih razmatranja slijedi da minimalni polinom uvijek postoji. Postoji
jednostavan metod, ali koji zahtijeva mnogo raˇcuna, za njegovo odred¯ivanje.
Naime, prvo rijeˇsimo matriˇcnu A = x0 En , pa ako jednaˇcina ima rjeˇsenje onda
je x − x0 minimalni polinom. Ako jednaˇcina nema rjeˇsenja, onda rjeˇsavamo
jednaˇcinu A2 = x1 A + x0 En . Ako jednaˇcina ima rjeˇsenje onda je x2 − x1 x + x0
minimalni polinom. Ako jednaˇcina nema rjeˇsenja, onda se postupak nastavlja. Zbog ˇcinjenice da minimalni polinom postoji ovaj se postupak zavrˇsava u
konaˇcno mnogo koraka.
Primjer 2.3
Odrediti minimalni polinom matrice A =
(
1
3
)
2
.
4
Rjeˇsenje. Jednaˇcina A = x0 E2 ima oblik
(
) (
1 2
x0
=
3 4
0
)
0
,
x0
koja oˇcigledno nema rjeˇsenja.
Jednaˇcina A2 = x1 A + x0 En ima oblik
(
) (
7 10
x1 + x0
=
15 22
3x1
)
2x1
.
4x1 + x0
Jednaˇcina ima jedinstveno rjeˇsenje x0 = 2, x1 = 5. Dakle, x2 − 5x1 + 2 je
minimalni polinom matrice A.
U sljede´coj teoremi izloˇzi´cemo osnovne osobine minimalnog polinoma.
Teorema 2.4
1. Za polinom f (x) vrijedi f (A) = 0 ako i samo ako mA (x)|f (x). Specijalno,
minimalni polinom matrice dijeli njen svojstveni polinom.
2. Minimalni polinom mA (x) matrice A je jednoznaˇcno odred¯en matricom.
3. Minimalni polinom kvazidijagonalne matrice jednak je najmanjem zajedniˇckom sadrˇzaocu minimalnih polinoma blokova te matrice.
4. Minimalni polinomi sliˇcnih matrica su jednaki.
Dokaz
1. Neka je f (x) ∈ K[x] bilo koji polinom, a m(x) minimalni polinom matrice
A. Dijeljenjem polinoma f (x) sa mA (x) dobijamo
f (x) = q(x)mA (x) + r(x),
16
´ POLINOMI MATRICA
GLAVA 2. MINIMALNI I PRATECI
pri ˇcemu je r(x) = 0 ili je st (r(x)) < st (mA (x)). Ako je f (x) polinom za
koji je f (A) = 0, tada je
0 = f (A) = q(A)mA (A) + r(A) = r(A),
pa je r(x) = 0. To znaˇci da iz f (A) = O slijedi mA (x)|f (x), ˇsto znaˇci da je
tvrdnja 1. taˇcna. Drugi dio te tvrdnje slijedi iz Hamilton-Kelijeve teoreme.
2. Ako je uz m(x) i m1 (x) minimalni polinom matrice A, tada, prema 1.
m(x)|m1 (x) i m1 (x)|m(x) iz ˇcega slijedi da postoji α ∈ K, za koji je
m1 (x) = αm(x). Kako su oba polinoma m(x) i m1 (x) normirani to je
α = 1, pa vrijedi 2.
3. Neka je A = diag (A1 , . . . , Ak ) kvazidijagonalna matrica, a p(x) bilo koji
polinom. Na osnovu pravila za raˇcunanje sa blok matricama dobijamo
p(A) = diag (p(A1 ), . . . , p(Ak )),
iz ˇcega slijedi
p(A) = 0 ako i samo ako p(Ai ) = 0, (i = 1, . . . , k).
Iz ovoga slijedi da su blokovi Ai nule minimalnog polinoma matrice A. Na
osnovu 1. minimalni polinomi pi (x), (i = 1, . . . , k) tih blokova dijele p(x),
pa i polinom q(x) = N.z.s (p1 (x), . . . , pk (x)) dijeli p(x).
Obratno, za polinom q(x) vrijedi q(Ai ) = 0, (i = 1, . . . , k), pa je q(A) = 0,
ˇsto prema 1. znaˇci da p(x)|q(x). Jednakost p(x) = q(x) slijedi iz pretpostavke da se, dodatno, moˇze pretpostaviti da je q(x), kao ˇsto je i p(x),
normiran polinom, tj. da mu je najstariji koeficijent jednak 1.
4. Ako su matrice A i B sliˇcne, m1 (x) i m2 (x) nihovi minimalni polinomi, tada
postoji invertibilna matrica P, za koju je B = P −1 AP. Kako je P −1 Ak P =
(P −1 AP )k , (k = 1, 2, . . .), iz m1 (A) = 0, mnoˇzenjem sa P −1 slijeva, a sa
P zdesna, slijedi m1 (B) = 0, pa m2 (x)|m1 (x), na osnovu 2. Iz istih razloga
vrijedi i obratno, a kako su to normirani polinomi, imamo m1 (x) = m2 (x).
Primjedba 2.5
Kako su minimalni polinomi sliˇcnih matrica jednaki, onda se minimalni polinom
matrice noˇze definisati i kao minimalni polinom operatora, koji je u nekoj bazi
predstavljen tom matricom.
17
´ POLINOMI MATRICA
GLAVA 2. MINIMALNI I PRATECI


0 −1 1
Odrediti minimalni polinom matrice A = 1 2 −1 .
1 1
0
Primjer 2.6
Rjeˇsenje. Lako se provjerava da je λ3 − 2λ2 + λ = λ(λ − 1)2 svojstveni polinom
date matrice. Ako minimalni polinom nije jednak svojstvenom, onda ga prema
1. iz prethodne teoreme mora dijeliti. Djelitelji svojstvenog polinoma su
λ, λ − 1, λ(λ − 1), (λ − 1)2 .
lako se provjerava da matrica A anulira jedino faktor λ(λ − 1), pa je x2 − x
minimalni polinom.
U prethodnom primjeru smo pokazali da se minimalni i svojstveni polinom
mogu razlikovati. Naveˇs´cemo sada jedan vaˇzan primjer matrice kod koje se
minimalni i svojstveni polinom poklapaju.
Definicija 2.7
Matrica

0 0
1 0


F = 0 1
. .
 .. ..
0 0
···
···
···
..
.
0
0
0
..
.
−a0
−a1
−a2
..
.
···
1
−an−1




,


se naziva Frobenijusova ili prate´ca matrica polinoma
xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 ∈ K[x].
Teorema 2.8
Svaki polinom je svojstveni polinom svoje prate´ce matrice.
Dokaz
Koristi´cemo indukciju u odnosu na stepen polinoma. Tvrdnja je taˇcna za n = 2,
jer vrijedi
x
a0 2
−1 x + a1 = x + a1 x + a0 .
18
´ POLINOMI MATRICA
GLAVA 2. MINIMALNI I PRATECI
Pretpostavimo da je tvrdnja taˇcna za polinome stepena n − 1 i neka je xn +
an−1 xn−1 + · · · + a0 ∈ K[x] polinom, a F njegova prate´ca matrica. Razvijanjem
determinante det(En · x − F ) po prvoj koloni dobijamo
x
0 ···
0
a1
−1 x · · ·
0
a
2
0 −1 · · ·
0
a2
(2.1)
|xEn − F | = x + a0 ,
.
.
.
..
..
..
.
..
.
.
.
0
0 · · · −1 x + a
n−1
jer je
0
−1
0
.
..
0
0 ···
x ···
−1 · · ·
..
..
.
.
0 ···
0
0
0
..
.
a0
a1
a2
..
.
−1
x + an−1
= (−1)n−1 a0 (−1)n−1 = a0 .
Na osnovu indukcione pretpostavke determinanta na desnoj strani jednakosti
(2.1) predstavlja svojstveni polinom matrice n − 1 reda


0 0 ···
0
−a1
1 0 · · ·
0
−a2 


0 1 · · ·
0
−a3 
B=
.
. . .
.. 
.. ...
 .. ..
. 
0 0
···
1
−an−1
Na osnovu toga u (2.1) dobijamo det(xEn − A) = x(xn−1 + an−1 xn−2 + · · · +
a1 ) + a0 , tj. vrijedi
det(xEn − A) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 .
Teorema 2.9
Minimalni polinom prate´ce matrice jednak je njenom svojstvenom polinomu.
Dokaz
Neka je F prate´ca matrica polinoma f (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 . Neka
je F operator kome je F matrica, u odnosu na bazu (e1 , e2 , . . . , en ). Prema
prethodnom, minimalni polinom g(x) matrice F dijeli f (x).
19
´ POLINOMI MATRICA
GLAVA 2. MINIMALNI I PRATECI
Pretpostavimo suprotno, da je minimalni polinom g(x) stepena k < n. Tada
vrijedi g(x) = xk + bk−1 xk−1 + · · · + b0 i bar jedan bi ̸= 0.
F(e1 ) = e2 ,
F(e ) = e3 = F 2 (e1 ),
..
.
2
F(en−1 ) = en = F n−1 (e1 ).
Odavde slijedi g(F)(e1 ) = ek+1 + bk−1 ek + · · · + b0 e1 , dok je sa druge strane
g(F)(e1 ) = 0, zbog toga ˇsto je g(x) minimalni polinom matrice F. Tako dobijamo
ek+1 + bk−1 ek + · · · + b0 e1 = 0,
ˇsto je nemogu´ce, jer su vektori e1 , . . . , ek+1 linearno nezavisni.
Teorema 2.10
Neka je A operator, ˇcija je svojstvena vrijednost, a f (x) bilo koji polinom.a
da je f (λ) svojstvena vrijednost operatora f (A), kojoj odgovara isti svojstveni
vektor v.
Dokaz
Vrijedi Av = λv, A2 v = λ2 v, . . . , Ak v = λk v, . . . . Prema tome imamo
f (A)v = f (λ)v.
Vidjeli smo da su kod prate´ce matrice svojstveni i minimalni polinom jednaki.
U opˇstem sluˇcaju minimalni polinom samo dijeli svojstveni. Kod operatora
proste strukture jednostavno se moˇze uspostaviti veza izmed¯u ovih polinoma.
Vrijedi
Teorema 2.11
Ako je A operator proste strukture, λ1 , . . . , λm sve njegove razliˇcite svojstvene
vrijednosti, tada je
g(x) = (x − λ1 ) · · · (x − λm )
njegov minimalni polinom.
20
´ POLINOMI MATRICA
GLAVA 2. MINIMALNI I PRATECI
Dokaz. Operator A ima bazu sastavljenu od svojstvenih vektora. U odnosu na
tu bazu, matrica operatora ima oblik
A = diag(λ1 , . . . , λ1 ; λ2 , . . . , λ2 , λm , . . . , λm ).
Za svaki polinom f (x) vrijedi
f (A) = diag(f (λ1 ), . . . , f (λ1 ); f (λ2 ), . . . , f (λ2 ), . . . ; f (λm ), . . . , f (λm )),
na osnovu osobina operacija sa dijagonalnim matricama.
Prema tome vrijedi
f (A) = O ako i samo ako f (λi ) = 0, (i = 1, 2, . . . , m).
Zakljuˇcujemo da je minimalni polinom g(x) polinom najmanjeg mogu´ceg stepena, koga anuliraju svi λi , (i = 1, . . . , k). Kako su svi λi med¯usobno razliˇciti
zakljuˇcujemo da je g(x) = (x − λ1 ) · · · (x − λm ) traˇzeni polinom.
21
3
ˇ
Invarijantni potprostori. Surova
teorema
Ranije smo definisali invarijantne prostore, a u ovom ´cemo dijelu re´ci neˇsto
viˇse o njima. Da je S ⊂ Vn invarijantan potprostor od Vn u odnosu na operator A znaˇci da je ograniˇcenje AS operatora A na S, operator na prostoru S.
Uzmimo da je {e1 , e2 , . . . , ek } baza od S. Ova se baza moˇze dopuniti do baze
{e1 , e2 , . . . , ek , ek+1 , . . . , en } ˇcitavog prostora.
Matrica operatora A u odnosu na ovu bazu ima oblik
(
)
A11 A12
(3.1)
O A22
pri ˇcemu je A11 matrica operatora AS u odnosu na bazu {e1 , e2 , . . . , ek }.
Vrijedi i obratno, ako u odnosu na neku bazu {e1 , e2 , . . . , en } prostora V
operator A ima kvazi-trougaonu matricu (3.1), pri ˇcemu je A11 kvadratna matrica reda k, tada je potprostor generisan vektorima {e1 , e2 , . . . , ek } invarijantan.
Ako je i potprostor T generisan vektorima {ek+1 , . . . , en } takod¯e invarijantan, onda matrica operatora u odnosu na tu bazu ima oblik
(
)
A11 O
,
O
A22
(3.2)
pri ˇcemu je A11 kvadratna matrica reda k, a A22 kvadratna matrica reda n − k.
Jasno je da vrijedi i obratno.
Prethodni rezultat se moˇze interpretirati i na sljede´ci naˇcin: Matrica operatora ima oblik (3.2) ako i samo ako se prostor na kome djeluje operator moˇze
ˇ
GLAVA 3. INVARIJANTNI POTPROSTORI. SUROVA
TEOREMA
dobiti kao direktna suma invarijantnog potprostora dimenzije k i invarijantnog
potprostora dimenzije n − k.
Iz ovoga se indukcijom dobija
Teorema 3.1
Prostor Vn je direktna suma invarijantnih prostora V1 , V2 , . . . , Vs ako i samo
ako postoji baza prostora Vn , u odnosu na koju matrica tog operatora ima
oblik A = diag (A1 , A2 , . . . , As ), pri ˇcemu su A1 , A2 , . . . , As matrice suˇzenja
operatora A na potprostore V1 , . . . , Vs .
Sada ´cemo dati malo uopˇstenje tvrdnje 3. iz teoreme 2.4.
Teorema 3.2
Neka je A : Vn → Vn . Neka je prostor V suma invarijantnih potprostora
W1 , W2 , . . . , Wk (koja ne mora biti direktna). Neka su Ai , (i = 1, 2, . . . , k)
restrikcije opreatora A na potprostore Wi . Tada za minimalni polinom m(x),
operatora A vrijedi
m(x) = N.z.s.(m1 (x), . . . , mk (x)),
pri ˇcemu su mi (x) minimalni polinomi ograniˇcenja operatora A na Wi , respektivno.
Dokaz
Neka je f (x) = N.z.s.(m1 (x), . . . , mk (x)). Dakle, f (x) je viˇsekratnik svakog
od mi (x). Napiˇsimo f (x) = gi (x)mi (x), (i = 1, 2, . . . , k). Za v ∈ Wi vrijedi
f (v) = gi (v) ◦ mi (v) = gi (v) · 0 = 0, za svako i. Prema tome, f (x) se anulra na
svakom Wi , pa vrijedi mi (x)|f (x), (i = 1, 2, . . . , k).
Treba joˇs pokazati da f (x)|m(x). Jasmo je m(Wi ) = 0, (i = 1, 2, . . . , k),
iz ˇcega slijedi mi (x)|m(x). Zbog toga i f (x)|m(x), ˇcime je tvrdnja dokazana.
Nilpotentni operatoti potpuno klasifikuju ne samo operatore proste strukture,
nego i nilpotentne operatore, ˇsto pokazuje sljede´ca teorema.
Teorema 3.3
Neka je N ∈ Vn (K). Sljede´ci uslovi su ekivalentni
1. N je nilpotentan operator.
23
ˇ
GLAVA 3. INVARIJANTNI POTPROSTORI. SUROVA
TEOREMA
2. Jedina svojstvena vrijednost operatora N je 0.
3. N n = 0.
4. Minimalni polinom operatora N je oblika xk , za neki k ≤ n.
Dokaz
Dokaz se provodi po proceduri 1. ⇒ 2. ⇒ 3. ⇒ 4. ⇒ 1.
1. ⇒ 2. Ako je λ svojstvena vrijednost operatora N . Vrijedi N (x) =
λx, (x ̸= 0). Slijedi, na osnovu 1., N k (x) = λk x = 0, pa je λk = 0, jer je
x ̸= 0. Zakljuˇcujemo da je λ = 0.
2. ⇒ 3. Slijedi iz Hamilton-Keijlijeve teoreme.
2. ⇒ 3. Slijedi iz ˇcinjenice da minimalni polinom dijeli svojstveni.
Dosadaˇsnja razmatranja provedena su za operatore koji djeluju na vektorskim prostorima nad proizvoljnim poljem. U takvim prostorima je mogu´ce da
operator nema ni jedne svojstvene vrijednosti. Primjer takvog operatora je rotacija ravni za ugao ω ∈ (0, π). Sada ´cemo pretpostaviti da operator djeluje na
vektorskom prostoru nad poljem kompleksnih brojeva (ista razmatranja vrijede
i za bilo koje drugo algebarski zatvoreno polje).
ˇ
Teorema 3.4 (Surova
teorema)
Za svaki operator koji djeluje u kompleksnom vektorskom prostoru postoji baza
prostora u odnosu na koju je matrica tog operatora gornja trougaona.
Dokaz
Neka je A operator koji djeluje na kompleksnom vektorskom prostoru Vn . Iz
osnovne teorema algebre slijedi da operator A ima bar jednu svojstvenu vrijednost λ. Tada je λEn −A singularan operator, pa je njegova slika W = Im λE −A,
dimenzije bar 1. Sa druge strane, ako je w ∈ W, onda je w = (λE − A)(v), za
neki v ∈ Vn . Zato je
A(w) = λA(v) − A2 (v) = A(v)(λE − A)(v) ∈ W.
Prema tome, W je invarijantan prostor dimenzije manje od n, jer kad bi bio
dimenzije n, onda bi λE − A bio invertibilan operator.
Dokaˇzimo sada da u prostoru Vn postoji lanac invarijantnih u odnosu na
operator A invarijantnih u odnosu na A potprostora oblika
V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vn−1 ⊂ Vn ,
24
ˇ
GLAVA 3. INVARIJANTNI POTPROSTORI. SUROVA
TEOREMA
pri ˇcemu je dim Vi = i, (i = 1, 2, . . . , n). Dovoljno je dokazati da postoji prostor
Vn−1 . U stvari, Vn−1 je bilo koji potprostor od Vn koji sadrˇzi W. Dokaˇzimo
da je Vn−1 invarijantan u odnosu na operator A. Ako je v ∈ Vn−1 , onda je
v − A(v) ∈ W ⊆ Vn−1 , pa je v = v − A(v) + A(v), pa kako je v − A(v) ∈ Vn−1
slijedi da je i A(v) ∈ Vn−1 . Ako izaberemo bazu (b1 , b2 , . . . , bn ) prostora Vn ,
tako da je (b1 , b2 , . . . , bi ), (i = 1, 2, . . . , n), onda je matrica operatora A, u
odnosu na tu bazu, gornja trougaona.
Posljedica 3.5
ˇ
U uslovima Surove
teoreme vrijedi: Za svaki v ∈ Vn , vrijedi A(v) = λv + w, pri
ˇcemu je w ∈ Vn−1 .
Dokaz
Neka je v ∈ Vn proizvoljan. Tada je (λE − A)(v) = w ∈ V(n−1) . Sa druge strane,
lijeva strana je λv − A(v) pa tvrdnja vrijedi.
Svaki operator u kompleksnom vektorskom prostoru ima bar jednu svojstvenu vrijednost, tj. postoji jednodimenzionalni potprostor invarijantan u odnosu na taj operator. To za operatore koji djeluju na prostorima nad poljem
realnih brojeva ne mora biti taˇcno. Koriste´ci se pojmom kompleksifikacije prostora nad poljem realnih brojeva i pojmom kompleksifikacije operatora dokaza´cemo da svaki operator koji djeluje na realnom prostoru ima jednodimenzionalni ili dvodimenzionalni invarijantan potprostor.
Neka je Xn vektorski prostor nad poljem realnih brojeva. Oznaˇcimo sa Z
skup izraza oblika {x + iy : x, y ∈ X}. Uvedimo na Z strukturu vektorskog
prostora nad poljem kompleksnih brojeva na sljede´ci naˇcin:
(x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y1 )
(α + iβ)(x + iy) = (αx − βy) + i(αy + βx),
za svako x, x1 , x2 , y, y1 , y2 ∈ X, α, β ∈ R.
Neposredno se provjerava da je ovim operacijama skup Z postao vektorski
prostor nad poljem kompleksnih brojeva.
Neka je {x1 , . . . , xn } baza od Xn . Tada z i = xi + i0, (i = 1, . . . , n) ˇcine
∑n
bazu kompleksnog prostora Z. Zaista, ako je k=1 (αk + iβk )z i = 0, tada je
n
∑
k=1
αk xk + i
n
∑
k=1
25
βk xk = 0.
ˇ
GLAVA 3. INVARIJANTNI POTPROSTORI. SUROVA
TEOREMA
Odavde slijedi
n
∑
αk xk =
n
∑
βk xk = 0,
k=1
k=1
pa zbog linearne nezavisnosti skupa {x1 , . . . , xn } dobijamo
αk = βk = 0, (k = 1, . . . , n),
ˇsto znaˇci da je skup {z 1 , . . . , z n } linearno nezavisan. Dalje, za x, y ∈ X postoje
skalari αk′ , βk′ , (k = 1, . . . , n), za koje je
x=
n
∑
αk′ xk , y =
k=1
n
∑
βk′ xk ,
k=1
na osnovu ˇcega slijedi
x + iy =
n
∑
(αk′ + iβk′ )z k ,
k=1
ˇsto dokazuje da je skup {z , . . . , z } generator, pa i baza prostora Z. U daljem
´ce nam trebati i sljede´ci rezultat:
Ako su x + iy i x − iy linearno nezavisni (u Z), tada su x i y linearno nezavisni
(u Xn ).
Zaista, pretpostavimo da je αx + βy = 0. Tada je
1
n
(α − iβ)(x + iy) + (α + iβ)(x − iy) = 2(αx + βy) + i0 = 0,
pa je α + iβ = 0, iz ˇcega slijedi α = β = 0, ˇsto je traˇzena tvrdnja.
Neka je A operator u realnom prostoru Xn . Definiˇsimo operator A˜ na prostoru
Z sa
˜ + iy) = A(x) + iA(y), (x, y ∈ Xn ).
A(x
Lako se pokazuje da je A˜ linearan operator prostora Z. Neka je A = (aij )
matrica operatora A u odnosu na bazu {x1 , . . . , xn }. Tada je
˜ j ) = A(xj ) + i0 =
A(z
n
∑
akj xk + i0 =
k=1
n
∑
akj z k ,
k=1
ˇsto pokazuje da je A matrica i operatora A˜ u odnosu na bazu {z 1 , . . . , z n }.
Kompleksni prostor Z naziva se kompleksifikacijom prostora Xn , a operator
A˜ kompleksifikacijom operatora A.
Neka je A˜ kompleksifikacija operatora A. Matrice A i A˜ imaju iste svojstvene polinome, pa samim tim i iste svojstvene vrijednosti. Ako je λ realna
svojstvena vrijednost operatora A, tada taj operator ima jednodimenzionalni
invarijantan potprostor. Ako je λ kompleksna svojstvena vrijednost, tada je i
26
ˇ
GLAVA 3. INVARIJANTNI POTPROSTORI. SUROVA
TEOREMA
λ takod¯e svojstvena vrijednost (jer svojstveni polinom ima realne koeficijente).
˜ Neka je z = x+iy svojstveni
To su ujedno i svojstvene vrijednosti operatora A.
vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ. Tada je z = x − iy svojstveni
vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ. Kao svojstveni vektori, koji
pripadaju razliˇcitim svojstvenim vrijednostima, ta su dva vektora linearno nezavisni. Iz prethodnog slijedi da su i x i y linearno nezavisni vektori u Xn , pa
je potprostor U generisan sa ta dva vektora dvodimenzionalan.
Ako oznaˇcimo λ = a + ib, imamo
˜ + iy) = A(x) + iA(y) = (a + ib)(x + iy),
A(x
odakle dobijamo
A(x) = ax − by, A(y) = ay + bx,
ˇsto implicira da je U invarijantan potprostor. Tako je dokazana
Teorema 3.6
Svaki operator koji djeluje u realnom prostoru ima ili jednodimenzionalan ili
dvodimenzionalan invarijantan potprostor.
27
4
Normalne forme matrica
4.1 Opˇ
sta (Smitova) normalna forma
Znamo od ranije da je najjednostavnija matrica koja je ekvivalentna datoj
matrici njena rang normalna forma. U ovom ´cemo dijelu rijeˇsiti analogan problem za sliˇcne matrice. Ako govorimo o operatorima, onda je to problem da se
za dati operator, koji djeluje u konaˇcnodimenzionalnom vektorskom prostoru,
odredi baza prostora, u odnosu na koju operator ima najjednostavniju matricu. Za operatore proste strukture to je dijagonalna matrica, ˇsto smo vidjeli
u prethodnom poglavlju. Ovdje ´ce biti rijeˇsen problem za proizvoljan operator,
koji djeluje na konaˇcnodimenzionalnom vektorskom prostoru. Dio rezultata se
odnosi na vektorske prostore nad proizvoljnim poljem, dok se dio odnosi na
prostore nsd poljem kompleksnih brojeva. To ´ce naravno biti uvijek naglaˇseno.
ˇ
Na taj ´cemo naˇcin do´ci do pojma Zordanove
kanonske forme.
Matrice ˇciji su elementi polinomi iz K[x] nazivamo polinomnim matricama,
pri ˇcemu je K proizvoljno polje.
Primjer takve matrice, koji ujedno i objaˇsnjava zaˇsto se ovakve matrice
izuˇcavaju, je svojstvena matrica operatora. Polinomne matrice se mogu posmatrati kao matrice nad poljem K(x) racionalnih funkcija, pa za njih vrijede
osobine koje imaju matrice nad poljem i specijalno da se elementarnim transformacijama mogu prevesti na rang normalnu formu.
Mi ´cemo, med¯utim, vrˇsiti elementarne transformacije na tim matricama,
tako da njihovi elementi ostaju u prstenu K[x], tj. ne´cemo koristiti dijeljenje polinomima. Time ´cemo imati na raspolaganju ograniˇcen tip elementar-
ˇ
4.1. OPSTA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
nih transformacija. Vidje´cemo da se i takvim elementarnim transformacijama
svaka polinomna matrica moˇze transformisati u njoj ekvivalentnu dijagonalnu
matricu. Koristiti´cemo sljede´ce elementarne transformacije
1. Mnoˇzenje vrste ili kolone elementom a ̸= 0 polja K.
2. Mnoˇzenje jedne vrste ili kolone polinomom iz K[x] i dodavanje nekoj drugoj
vrsti ili koloni.
Primje´cujemo da med¯u elementarnim transformacijama nisu navedene zamjene
mjesta vrstama ili kolonama. To je zato ˇsto je mogu´ce zamijeniti dvije vrste
pomo´cu samo navedenih transformacija. Ako postupimo na sljede´ci naˇcin:
- j-tu vrstu dodamo i-toj.
- j-toj vrsti promijenimo znak.
- i-tu vrstu dodamo j-toj (sada je i-ta vrsta preˇsla u j-tu)
- j-tu vrstu pomnoˇzenu sa −1 dodamo i-toj,
tako smo, u stvari, zamijenili i-tu i j-tu vrstu.
Analogno se moˇze posti´ci i zamjena kolona.
Jasno je da ´ce ovakvim transformacijama elementi matrice uvijek biti iz K[x].
Pod K[x]-ekvivalentnim matricama podrazumijeva´cemo matrice koja se
jedna iz druge mogu dobiti pomo´cu konaˇcnog broja gore navadenih elementarnih transformacija.
Teorema 4.1
Polinomna matrica A(x) = ((eij (x))n×n je K[x]-ekvivalentna nekoj dijagonalnoj matrici E(x) = diag[e1 (x), . . . , en (x)], za koju vrijedi
(i)
(ii)
ei (x)|ei+1 (x), (i = 1, 2, . . . , n − 1).
Svi nenulti polinomi ei (x), (i = 1, 2, . . . , n) su normirani.
Dokaz
Moˇzemo pretpostaviti da je polinom e11 (x) normiran, jer ga moˇzemo normirati
dijeljenjem prve vrste ili kolone najstarijim koeficijentom tog polinoma. Isto
tako, to je polinom najmanjeg stepena od svih polinoma iz prve vrste i prve
kolone matrice A(x). Na osnovu Euklidovog algoritma postoje polinomi qi1 (x)
i ri1 (x) (i = 1, 2, . . . , n), za koje vrijedi
ei1 (x) = qi1 (x) · e11 (x) + ri1 (x), (i = 1, 2, . . . , n),
29
ˇ
4.1. OPSTA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
pri ˇcemu je ri1 (x) = 0 ili st(ri1 (x)) < st(e11 (x)), (i = 2, . . . , n). Mnoˇze´ci prvu
vrstu sa qi1 (x), (i = 1, 2, . . . , n) i oduzimanjem od i-te vrste matricu A(x)
prevodimo na K[x]-ekvivalentnu matricu u kojoj se, u prvoj koloni poˇcev od
drugog mjesta, nalaze sve nule ili polinomi manjeg stepena od e11 (x). Analogno
se moˇze uraditi i sa prvom vrstom. Tako se u prvoj vrsti i koloni dobiju sve nule
(osim e11 (x)) ili se negdje pojavi polinom manjeg stepena od e11 (x). U tom se
sluˇcaju, zamjenom vrsta i kolona taj polinom moˇze dovesti u gornji lijevi ugao.
Ponavljaju´ci prethodni postupak sa tom matricom na kraju dobijamo matricu
B(x), K[x]-ekvivalentnu matrici A(x), oblika


f1 (x)
0
···
0
 0
f22 (x) · · · f2n (x) 


B(x) = 
.
..
..
..
..


.
.
.
.
0
fn2 (x) · · ·
fnn (x)
Pri tome je f1 (x) normirani polinom. Produˇzavaju´ci ovaj postupak moˇzemo
prevesti matricu A(x) na, njoj K[x]-ekvivalentnu, dijagonalnu matricu C(x) =
diag[g1 (x), g2 (x), . . . , gn (x)], pri ˇcemu je svaki od polinoma gi (x) normiran, ako
nije jednak nuli.
Ako polinom g1 (x) ne dijeli g2 (x), dodaju´ci drugu kolonu matrice C(x)
prvoj, vra´camo se na poˇcetak, s tim da poslije prvog koraka u prvoj koloni
dobijamo polinom, ˇciji je stepen manji od stepena polinoma g1 (x). Zamjenom
mjesta vrsta moˇzemo taj polinom dovesti u gornji lijevi ugao i ponoviti postupak. Tako ´ce se u gornjem lijevom uglu dobiti ili 1, ili polinom e1 (x), koji dijeli
drugi polinom na dijagonali. Produˇzavaju´ci ovaj postupak dobijamo traˇzenu
matricu E(x).
Matrica E(x) naziva se opˇsta normalna forma matrice A(x), a polinomi
e1 (x), . . . , en (x) se nazivaju invarijantnim faktorima matrice A(x).
Opˇsta normalna forma diag[e1 (x), . . . , en (x)] ima sljede´ca svojstva:
1. Ako je ei (x) = 0, tada je ej (x) = 0, (j ≥ i)
2. Ako je ei (x) = α ̸= 0, tada je ej (x) = 1, (j ≤ i).
Na taj naˇcin normalna forma matrice A(x) uvijek ima oblik
E(x) = diag(1, 1, . . . , ei (x), . . . , ej (x), 0, . . . , 0),
pri ˇcemu su ek (x), (k = i, . . . , j) normirani polinomi, koji nisu konstante i pri
tome ek (x)|ek+1 (x).
Opˇsta normalna forma se dobija elementarnim transformacijama. Kao i kod
Ermitove kanonske forme dokaza´cemo da je ona svojstvo matrice i da ne zavisi
30
ˇ
4.1. OPSTA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
od elementarnih transformacija. U tom ´cemo cilju definisati pojam sistema
zajedniˇckih djelitelja minora polinomne matrice.
Neka je A(x) polinomna matrica, d1 (x) najve´ci zajedniˇcki djelitelj elemenata te matrice, d2 (x) najve´ci zajedniˇcki djelitelj minora drugog reda matrice
A(x) itd. Dakle, dk (x), (k = 1, 2, . . . , n) je najve´ci zajedniˇcki djelitelj minora
k-tog reda matrice A(x), pri ˇcemu uzimamo dk (x) = 0, k > r = rang(A).
Polinomi d1 (x), . . . , dn (x) nazivaju se sistemom zajedniˇckih djelitelja matrice
A(x).
Pokaˇzimo da se polinomi d1 (x), . . . , dn (x) ne mijenjaju elementarnim transformacijama. Jasno je da to treba dokazati samo za elementarne transformacije
tipa 2). Neka je matrica B(x) nastala iz matrice A(x) tako ˇsto je i-ta vrsta matrice A(x) pomnoˇzena polinomom g(x) dodata j-toj vrsti (i ̸= j). Neka su
dk (x) i δk (x) elementarni djelitelji k-tog reda matrica A(x) i B(x) respektivno.
Jasno je da se u ove dvije matrice razlikuju samo oni minori k-tog reda u kojima se nalazi j-ta, a ne nalazi i-ta vrsta matrice A(x). No, svaki takav minor
matrice B(x) jednak je m1 (x) + g(x)m2 (x), pri ˇcemu su m1 (x) i m2 (x) neki
minori k-tog reda matrice A(x). Zbog toga jasno dk (x)|m1 (x) + g(x)m2 (x).
Ovo znaˇci da dk (x) dijeli sve minore k-tog reda matrice B(x), iz ˇcega slijedi
dk (x)|δk (x). Kada se i-ta vrsta matrice B(x) pomnoˇzena sa −g(x) doda j-toj
vrsti, dobijemo matricu A(x). Na isti naˇcin kao u prethodnom zakljuˇcili bismo
da δk (x)|dk (x), pa kako su to normirani polinomi dobijamo δk (x) = dk (x).
Tako smo dokazali da K[x]-ekvivalentne matrice imaju isti sistem zajedniˇckih djelitelja.
Ako je E(x) = diag(e1 (x), . . . , en (x)) opˇsta normalna forma polinomne matrice A(x), tada je, oˇcigledno, di (x) = e1 (x) · · · ei (x), (i = 1, 2, . . . , n) sistem
najve´cih zajedniˇckih djelitelja te matrice, iz ˇcega slijedi
e1 (x) = d1 (x), ei (x) =
di (x)
, (i = 2, . . . , r = rang(A(x)).
di−1 (x)
(4.1)
U prethodnim jednakostima su invarijantni faktori izraˇzeni preko sistema
najve´cih zajedniˇckih djelitelja, koji ne zavise od elementarnih transformacija,
pa dakle ni invarijantni faktori ne zavise od elementarnih transformacija. Tako
je dokazana
Teorema 4.2
Opˇsta normalna forma matrice A(x) je jedinstvena.
Pored toga vrijedi: Ako je A matrica reda n, En x − A njena svojstvena
matrica, tada je dn (x) svojstveni polinom matrice A. Specijalno je svojstveni
polinom matrice A jednak proizvodu svih invarijantnih faktora.
31
ˇ
4.1. OPSTA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Svakoj od navedenih elementarnih transformacija odgovara invertibilna elementarna matrica. U skladu sa naˇcinom djelovanja elementarnih matrica dobijamo:
Ako je E(x) opˇsta normalna forma matrice A(x), postoje invertibilne matrice S(x) i P (x), za koje vrijedi
E(x) = S(x) · A(x) · P (x).
(4.2)
Matrice S(x) i P (x) se mogu na´ci postupkom koji smo koristili za
odred¯ivanje matrica S i P, u Ermitovoj kanonskoj formi.
Primjedba 4.3
S(x) i P (x) su invertibilne polinomne matrice koje su jednake proizvodu elementarnih polinomnih matrica. Kako su inverzne matrice elementarnih polinomnih matrica ponovo polinomne matrice, to su i S −1 (x) i P −1 (x) takod¯e
polinomne matrice.
Primjer 4.4
Odrediti opˇstu normalnu formu matrice
 3

2x − 6x2 + 5x − 2
2x4 − 5x3 + 2x2
−x3 + 3x2 − 3x + 2
.
A(x) =  2x2 − 6x + 4
2x3 − 5x2 + x + 2
−x2 + 3x − 2
3
2
4
3
2
4
3
2
4x − 12x + 8x
4x + −10x + 2x + 4x x − 8x + 19x − 16x + 4
Rjeˇsenje. Prvo ´cemo u gornji lijevi ugao postaviti polinom najmanjeg stepena i
normirati ga. Za to ´cemo zamijeniti prvu i drugu vrstu. pa prvu i tre´cu kolono,
pa prvu kolonu pomnoˇziti sa −1. Dobijamo matricu


x2 − 3x + 2
2x3 − 5x2 + x + 2
2x2 − 6x + 4

x3 − 3x2 + 3x − 2
2x4 − 5x3 + 2x2
2x3 − 6x2 + 5x − 2 .
4
3
2
4
3
2
−x + 7x − 16x + 14x − 4 2x − 5x + x + 2x
2x3 − 6x2 + 4x
Cio dio pri dijeljenju polinoma x3 − 3x2 + 3x − 2 sa polinomom x2 − 3x + 2 je
x. U sljede´cem koraku, dakle, elemente prve vrste mnoˇzimo sa x i oduzimamo
od odgovaraju´cih elemenata druge vrste. Dobijamo matricu


x2 − 3x + 2
2x3 − 5x2 + x + 2
2x2 − 6x + 4

.
x−2
x2 − 2x
x−2
4
3
2
4
−x + 7x − 16x + 14x − 4 2x − 5x3 + x2 + 2x 2x3 − 6x2 + 4x
32
ˇ
4.1. OPSTA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Postupaju´ci analogno sa prvom i tre´com vrstom dobijamo
 2

x − 3x + 2
2x3 − 5x2 + x + 2
2x2 − 6x + 4
 x−2
.
x2 − 2x
x−2
5
4
3
2
4
3
2
0
2x − 11x + 20x − 11x + −4x + 4 2x − 12x + 26x − 24x + 8
Zamjenom prve i druge vrste i ponavljanjem postupka dobijamo


x−2
x2 − 2x
x−2
 0
.
x3 − 2x2 − x + 2
x2 − 3x + 2
5
4
3
2
4
3
2
0
2x − 11x + 20x − 11x − 4x + 4 2x − 12x + 26x − 24x + 8
Dodaju´ci prvu kolonu pomnoˇzenu sa −x drugoj, pa onda prvu pomnoˇzenu sa
−1 tre´coj koloni dobijamo


x−2
0
0
 0
.
x3 − 2x2 − x + 2
x2 − 3x + 2
5
4
3
2
4
3
2
0
2x − 11x + 20x − 11x − 4x + 4 2x − 12x + 26x − 24x + 8
Zamjenom druge i tre´ce kolone dobijamo


x−2
0
0
 0
.
x2 − 3x + 2
x3 − 2x2 − x + 2
4
3
2
5
4
3
2
0
2x − 12x + 26x − 24x + 8 2x − 11x + 20x − 11x − 4x + 4
Cio dio pri dijeljenju polinoma 2x4 − 12x3 + 26x2 − 24x + 8 sa x2 − 3x + 2
je 2x2 − 6x + 4. Ponavljaju´ci postupak dobijamo


x−2
0
0
 0
.
x2 − 3x + 2
x3 − 2x2 − x + 2
0
0
−x4 + 6x3 − 13x2 + 12x − 4
Cio dio pri dijeljenj polinoma x3 − 2x2 − x + 2 sa polinomom x2 − 3x + 2 je
x + 1. Pomnoˇzimo drugu kolonu sa −x − 1 i dodamo tre´ceoj, pa tako dobijemo


x−2
0
0
 0
.
x2 − 3x + 2
0
4
3
2
0
0
−x + 6x − 13x + 12x − 4
Faktorizacijom polinoma i mnoˇzenjem posljednje vrste sa −1 dobijamo.


x−2
0
0
 0
,
(x − 1)(x − 2)
0
0
(x − 1)2 (x − 2)2
ˇsto je opˇsta normalna forma date matrice.
33
ˇ
4.1. OPSTA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Primjedba 4.5
Treba napomenuti da smo ovim postupkom objasnili kako se polinomna matrica
redukuje na dijagonalnu, za koju se ispostavilo da je opˇsta normalna forma.
Da bismo dobili matrice S(x) i P (x) trebalo bi, za matricu S(x) izvrˇsiti sve
elementarne transformacije koje smo vrˇsili sa vrstama date matrice izvrˇsiti na
jediniˇcnoj matrici i to istim redoslijedom. Analogno bismo dobili P (x).
Teorema 4.6
1. Neka su f (x), g(x) ∈ K[x], polinomi za koje vrijedi d(x) = (f (x), g(x)).
Tada je matrica
A(x) = diag[f (x), g(x)]
K[x]-ekvivalentna matrici
[
]
f (x)g(x)
B(x) = diag d(x),
.
d(x)
2. Neka su f1 (x), f2 (x), . . . , fk (x) ∈ K[x] u parovima relativno prosti polinomi. Tada su matrice
diag[f1 (x), . . . , fk (x)] i diag[1, 1, . . . , 1,
k
∏
fi (x)],
i=1
K[x]-ekvivalentne.
Dokaz
1. Neka su u(x), v(x) ∈ K[x] polinomi za koje vrijedi d(x) = u(x)f (x) +
v(x)g(x). Mnoˇzenjem prve kolone matrice A(x) sa u(x) i dodavanjem drugoj koloni, a zatim mnoˇzenjem druge vrste sa v(x) i dodavanjem prvoj
vrsti, dobijamo matricu
(
)
f (x) d(x)
.
0
g(x)
Zamjenom prve i druge kolone dobijamo matricu
(
)
d(x) f (x)
.
g(x)
0
g(x)
Mnoˇzenjem prve vrste sa − d(x)
i dodavanjem drugoj vrsti dobijamo matricu
(
)
d(x)
f (x)
.
O
− f (x)g(x)
d(x)
34
ˇ
4.1. OPSTA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
(x)
Treba joˇs prvu kolonu pomnoˇziti sa − fd(x)
i dodati drugoj, i, na kraju,
promijeniti predznak u drugoj koloni, da se dobije traˇzena matrica.
2. Slijedi indukcijom iz prethodnog dijela.
Vidje´cemosada kako se iz opˇste normalne forme matrice dobija njen minimalni polinom.
Teorema 4.7
Minimalni polinom matrice jednak je njenom posljednjem invarijantnom faktoru.
Dokaz
Na osnovu relacije (4.1) vrijedi
|En · x − A| = dn−1 (x)en (x),
pri ˇcemu je dn−1 (x) najve´ci zajedniˇcki djelitelj minora n − 1-og reda svojstvene
matrice, a en (x) posljednji invarijantni faktor. Ako, sa druge strane, sa B(x)
oznaˇcimo asociranu matricu svojstvene matrice En · x − A, tada je (En · x −
A) · B(x) = |En · x − A| · En .
Elementi matrice B(x) su minori n−1-og reda matrice En ·x−A, a dn−1 (x) je
njihov najve´ci zajedniˇcki djelitelj. Zbog toga je B(x) = dn−1 (x)·C(x), pri ˇcemu
ne postoji nekonstantan polinom koji dijeli sve elemente matrice C(x). Imamo,
dakle, dn−1 (x)(En · x − A) · C(x) = dn−1 (x) · en (x) · En . Ova se jednakost moˇze
podijeliti sa dn−1 (x). To se vidi kada se izjednaˇce elementi matrica sa lijeve
strane sa odgovaraju´cim elementima desne strane. Tako dobijemo jednakost
(En · x − A) · C(x) = en (x) · En .
(4.3)
Odavde, na osnovu Hamilton - Kejlijeve teoreme slijedi en (A) = 0. Prema
tome, ako je, m(x) minimalni polinom od A, vrijedi m(x)|en (x). Ako ne bi bilo
m(x) = en (x) postojao bi polinom f (x) (bar prvog stepena) za koji je en (x) =
m(x) · f (x). Prema teoremi 4.5 postoje matriˇcni polinom Q(x) i konstantna
matrica R, tako da je m(x) · En = (En · x − A)Q(x) + R. Kako je m(A) = 0 to
je R = 0, pa uvrˇstavanjem u (4.3) dobijamo
(En · x − A) · C(x) = f (x)(En · x − A) · Q(x).
Kada se lijeva i desna strana ove jednakosti pomnoˇzi asociranom matricom
matrice En x − A, ona postaje
pn (x) · C(x) = pn (x)f (x) · Q(x),
35
ˇ
4.2. KRITERIJUM SLICNOSTI
GLAVA 4. NORMALNE FORME
gdje pn (x) svojstveni polinom, pa se, kao maloprije sa dn−1 (x), ova jednakost
moˇze podijeliti sa pn (x). Tako dobijamo jednakost
C(x) = f (x) · Q(x).
Kako ne postoji polinom koji dijeli sve elemente matrice C(x), mora biti f (x) =
a ∈ K, tj. f (x) = 1, jer su m(x) i en (x) normirani polinomi. Tako dobijamo
m(x) = en (x).
Teorema 4.8
Ako se dvije dijagonalne matrice sastoje od istih elemenata tada su te matrice
sliˇcne, bez obzira na raspored njihovih elemenata. Isto vrijedi i za kvazidijagonalne matrice i raspored blokova.
Dokaz
Ako je A = diag[. . . , di , . . . , dj , . . .], tada je Eij ·A·Eij = diag[. . . , dj , . . . , di , . . .],
−1
a kako je Eij
= Eij to su matrice A i Eij · A · Eij sliˇcne.
Analogno bi se dokazala tvrdnja za kvazidijagonalne matrice.
4.2 Kriterijum za sliˇ
cnost matrica
Svi elementi polinomne matrice A(x) se mogu pisati kao polinomi istog
stepena, ako se uz neke stepene piˇsu nule kao koeficijenti, pa se matrica A(x)
moˇze napisati u obliku
A(x) = Ak xk + Ak−1 xk−1 + · · · + A0 , (Ak ̸= 0),
pri ˇcemu su Ak , . . . , A0 matrice, ˇciji su elementi iz polja K, tj. konstantne matrice. Ovakve ´cemo izraze nazivati matriˇcnim polinomima. Na ovaj smo naˇcin
ve´c pisali svojstvenu matricu En · x − A. Ako je Ak ̸= 0, broj k se, analogno
standardnim polinomima, naziva stepenom matriˇcnog polinoma.
Matriˇcni polinomi imaju koeficijente koji pripadaju nekomutativnom prstenu
Mn (K). Zbog toga neke osobine koje vrijede za polinome ˇciji su koeficijenti iz
polja, ne vrijede za matriˇcne polinome. Radi prisustva djelitelja nule u prstenu
Mn (K) moˇze se npr. desiti da stepen proizvoda dva matriˇcna polinoma nije
jednak zbiru stepena faktora.
Znamo da je jedno od osnovnih svojstava polinoma mogu´cnost dijeljenja
sa ostatkom, tj. Euklidov algoritam. Vidje´cemo da algoritam vrijedi i u ovoj
situaciji
36
ˇ
4.2. KRITERIJUM SLICNOSTI
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Teorema 4.9
Neka su
A(x) = An xn + An−1 xn−1 + · · · + A0
,
B(x) = Bm xm + Bm−1 xm−1 + · · · + B0
matriˇcni polinomi. Ako je pri tome Bm invertibilna matrica, tada postoje jedinstveni matriˇcni polinomi Q1 (x) i R1 (x), za koje vrijedi
A(x) = Q1 (x) · B(x) + R1 (x),
(4.4)
pri ˇcemu je R1 (x) = 0 ili mu je stepen manji od stepena matriˇcnog polinoma
B(x).
Isto tako, postoje jedinstveni matriˇcni polinomi Q2 (x) i R2 (x), za koje vrijedi
A(x) = B(x) · Q2 (x) + R2 (x),
(4.5)
i pri tome je R2 (x) = 0 ili mu je stepen manji od stepena B(x).
Dokaz
Dokaz se provodi indukcijom po n. Ako je n = 0, tj. ako je A(x) = A0 i m = 0,
tj. B(x) = B0 , tada je A0 = (A0 ·B0−1 )·B0 , pa je Q1 (x) = A0 ·B0−1 , R1 (x) = O.
Ako je m > 0, uzmimo Q1 (x) = O, R1 (x) = A0 , pa tvrdnja vrijedi za n = 0.
Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za matriˇcne polinome stepena manjeg od
n i neka je A(x) matriˇcni polinom stepena n. Ako je m ≥ n moˇzemo uzeti
Q1 (x) = 0, R1 (x) = A(x), pa tvrdnja vrijedi. U sluˇcaju m ≤ n matriˇcni
−1 n−m
polinom A(x)−An ·Bm
x
B(x) je stepena manjeg od n, pa za njega tvrdnja
−1 n−m
x
B(x) = Q(x) ·
vrijedi po indukcionoj pretpostavci. Ako je A(x) − An · Bm
−1 n−m
x
, a R1 (x) =
B(x) + R(x), onda je dovoljno uzeti Q1 (x) = Q(x) + An · Bm
R(x).
ˇ se tiˇce jedinstvenosti, ako bi vrijedilo
Sto
Q1 (x) · B(x) + R1 (x) = Q2 (x) · B(x) + R2 (x),
imali bismo
[Q1 (x) − Q2 (x)] · B(x) = R2 (x) − R1 (x).
Ako bi izraz u srednjoj zagradi bio razliˇcit od nule, tada bi stepen polinoma
na lijevoj strani bio ve´ci od stepena polinoma na desnoj. Zato mora vrijediti
Q1 (x) = Q2 (x), a na osnovu toga i R1 (x) = R2 (x).
Na osnovu sljede´ce teoreme lako ´cemo izvesti kriterijum za sliˇcnost matrica.
37
ˇ
4.2. KRITERIJUM SLICNOSTI
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Teorema 4.10
Matrice En · x − A i En · x − B su K[x]- ekvivalentne ako i samo ako postoje
invertibilne konstantne matrice S i P, takve da vrijedi
En · x − A = S · (En · x − B) · P.
Dokaz
Ako postoje matrice P i S, za koje vrijedi tvrdnja, tj. ako su svojstvene matrice
ekvivalentne, one su i K[x]- ekvivalentne. Zato treba dokazati samo obratnu
tvrdnju. Pretpostavimo da su e A i B matrice ˇcije su svojstvene matrice K[x]ekvivalentne. U skladu sa prethodnim, postoje invertibilne matrice S(x) i P (x),
za koje vrijedi
En · x − A = S(x) · (En · x − B) · P (x).
Odavde slijedi
S −1 (x) · (En · x − A) = (En · x − B) · P (x).
(4.6)
Postoje matrice Q1 (x), Q2 (x) i konstantne matrice R1 i R2 , za koje vrijedi
S −1 (x) = (En · x − B)Q1 (x) + R1 ,
P (x) = Q2 (x)(En · x − A) + R2 ,
(4.7)
iz ˇcega slijedi
(En · x − B)[Q1 (x) − Q2 (x)](En · x − A) = (En · x − B)R2 − R1 (En · x − A).
Ako bi bilo Q1 (x) − Q2 (x) ̸= 0, tada bi lijeva strana prethodne jednakosti predstavljala matriˇcni polinom stepena najmanje 2, dok je desna strana
oˇcigledno matriˇcni polinom stepena najviˇse 1, a to je nemogu´ce. Zbog toga je
Q1 (x) = Q2 (x), pa dobijamo
(En · x − B)R2 = R1 (En · x − A).
(4.8)
Ova se jednakost moˇze napisati u obliku x(R2 − R1 ) = BR2 − R1 A, iz ˇcega
slijedi R2 = R1 (= R) i
BR = RA.
(4.9)
Treba joˇs dokazati da je matrica R invertibilna. U relaciji (4.7) imamo
S −1 (x) = (En · x − B)Q(x) + R,
.
P (x) = Q(x)(En · x − A) + R
Slijedi
En = (En · x − B)Q(x)S(x) + RS(x).
38
ˇ
4.2. KRITERIJUM SLICNOSTI
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Piˇsu´ci S(x) u obliku S(x) = (En · x − A)Q3 (x) + R3 dobijamo
En = (En · x − B)Q(x)S(x) + (En · xR − RA)Q3 (x) + RR3 .
Na osnovu jednakosti (4.9) odavde slijedi
En = (En · x − B)Q(x)S(x) + (En · xR − BR)Q3 (x) + RR3 ,
odnosno
En = (En · x − B)[Q(x)S(x) + RQ3 (x)] + RR3 .
Ako bi izraz u uglastoj zagradi bio razliˇcit od nule, onda bi izraz na desnoj strani
bio matriˇcni polinom stepena bar 1, a to je nemogu´ce. Zato je En = RR3 , ˇsto
p[okazuhe da je R invertibilna matrica.
Sata jednakost (4.8) ima oblik
(En · x − A) = R−1 (En · x − B)R,
ˇcime je teorema dokazana.
Iz prethodne teoreme lako slijedi sljede´ci kriterijum za sliˇcnost matrica:
Teorema 4.11
Kvadratne matrice istog reda su sliˇcne ako i samo ako su njihove svojstvene
matrice K[x]-ekvivalentne. Drugim rijeˇcima, dvije matrice su sliˇcne ako i samo
ako njihove svojstvene matrice imaju istu opˇstu normalnu formu.
Dokaz
Ako su matrice A i B sliˇcne, tada postoji invertibilna matrica P za koju je
A = P −1 BP. Odavde je En · x − A = En · x − P −1 BP = P −1 (En · x − B)P, pa
su svojstvene matrice ne samo K[x]- ekvivalentne, nego su ˇcak i sliˇcne.
Obratno, ako su svojstvene matrice K[x]-ekvivalentne, prema prethodnoj
teoremi postoji invertibilna matrice R, za koje je En ·x−A = R−1 (En ·x−B)R.
Odavde je En · x − A = En · x − R−1 BR, iz ˇcega slijedi
B = P −1 AP,
pri ˇcemu je P = R−1 , pa su matrice A i B su sliˇcne.
Iz prethodnog se moˇze dobiti i konkretan postupak za provjeru da li su dvije
date matrice A i B sliˇcne i odred¯ivanje matrice P za koju je B = P −1 · A · P.
Postupak ide ovako: Postupak ide ovako:
39
ˇ
4.3. RACIONALNA I ZORDANOVA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
1. U skladu sa relacijom (4.2) odrediti matrice S1 (x), S2 (x), P1 (x) i P2 (x),
tako da je
E1 (x) = S1 (x) · (En · x − A) · P1 (x),
E2 (x) = S2 (x) · (En · x − B) · P2 (x),
pri ˇcemu je E1 (x) normalna forma svojstvene matrice od A, a E2 (x) normalna forma svojstvene matrice od B.
2. Ako je E1 (x) = E2 (x) onda su matrice A i B sliˇcne.
Na osnovu prethodne teoreme matrica P, za koju je B = P −1 · A · P, dobija
se iz jednakosti En · x − A = S(En · x − B)P. Iz 1) dobijamo
En · x − A = S1 (x)−1 S2 (x) · (En · x − B) · P2 (x)P1 (x)−1 .
3. U skladu sa relacijom (4.7), matricu P dobijamo dijeljenjem zdesna matrice
P2 (x)P1 (x)−1 matricom En · x − B.
ˇ
4.3 Racionalna i Zordanova
normalna forma
Neka je sada A konstantna matrica. Prvo ´cemo pretpostaviti da su elementi
matrice iz proizvoljnog polja K i odrediti racionalnu ili Frobenijusovu kanonsku
formu, koja je matrica sa elementima iz istog polja K.
Zatim ´cemo pretpostaviti da je K polje kompleksnih brojeva i izvesti
ˇ
,,jednostavniju”normalnu formu, koju ´cemo nazvati Zordanova
normalna forma.
Teorema 4.12
Ako je A ∈ Mn (K) proizvoljna matrica, onda je A sliˇcna matrici
F = diag(F1 , F2 , . . . , Fn ),
pri ´cemu su F1 , . . . , Fk Frobenijusove matrice.
Dokaz
Neka je E(x) = diag(e1 (x), e2 (x), . . . , en (x)) opˇsta kanonska forma svojstvene
matrice, a F = diag(F1 , F2 , . . . , Fk ), dijagonalna blok matrica ˇciji su blokovi
Fi , (i = 1, . . . , n) prate´ce matrice polinoma ei (x), (i = 1, . . . , n).
Na osnovu teoreme 2.9 je svojstveni polinom matrica Fi jednak je njenom
svojstvenom polinomu, tako da je je opˇsta kanonska forma bloka Fi jednaka
diag(1, 1, . . . , ei ).
40
ˇ
GLAVA 4. NORMALNE FORME
4.3. RACIONALNA I ZORDANOVA
FORMA
Prema tome, matrice A i F imaju iste opˇste kanonske forme, pa su sliˇcne.
Definicija 4.13
Matrica F naziva se racionalna ili Frobenijusova normalna forma matrice A.
Sada ´cemo pretpostaviti da su elementi matrice A iz polja kompleksnih brojeva
(ili iz bilo kojeg algebarski zatvorenog polja).
Teorema 4.14
ˇ
Ako je Jn (λ) Zordanov
blok reda n, tada je
diag(1, . . . , 1, (x − λ)n ,
(4.10)
njegova opˇsta normalna forma.
Dokaz
ˇ
Za svojstvenu matricu Zordanovog
bloka vrijedi

x−λ
−1
 0
x
−λ

 ..
..
En · x − Jn (λ) =  .
.

 0
0
0
0
···
−1
..
.
0
···
..
.
···
···
x−λ
0
0
0
..
.




.

−1 
x−λ
Nad¯imo prvo sistem d1 (x), . . . , dn (x) najve´cih zajedniˇckih djelitelja minora ove
matrice. Oˇcigledno je
dn (x) = det(En · x − Jn (λ)) = (x − λ)n .
Minor n − 1-og reda nastao izostavljanjem prve kolone i posljednje vrste jednak
je (−1)n−1 , pa je
d1 (x) = . . . = dn−1 (x) = 1.
Tako imamo samo jedan nekonstantan invarijantni faktor fn (x) = (x − λ)n .
ˇ
Prema tome, opˇsta normalna forma svojstvene matrice Zordanovog
bloka Jn (λ)
ima oblik (4.10).
Odavde neposredno slijedi.
41
ˇ
4.3. RACIONALNA I ZORDANOVA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Posljedica 4.15
ˇ
Sliˇcni Zordanovi
blokovi moraju biti jednaki.
Definicija 4.16
ˇ
ˇ
Kvazidijagonalnu matricu ´ciji su blokovi Zordanovi
nazivamo Zordanovom
matricom.
Na osnovu teoreme 4.8 imamo
Posljedica 4.17
ˇ
Ako se dvije Zordanove
matrice sastoje od istih blokova u, eventualno,
razliˇcitom poretku, te matrice su sliˇcne.
Dokaza´cemo sada glavni rezultat ovog dijela kursa.
ˇ
Teorema 4.18 (Teorema o Zordanovoj
normalnoj formi)
ˇ
Svaka kompleksna kvadratna matrica sliˇcna je nekoj Zordanovoj
matrici, koja
je jedinstvena, do rasporeda blokova.
Dokaz
Neka je A kompleksna matrica matrica, a p(x) = (x − λ1 )ν1 · · · (x − λk )νk , njen
svojstveni polinom. Tu su λ1 , . . . , λk med¯usobno razliˇcite svojstvene vrijednosti,
a ν1 +· · ·+νk = n. Neka je E(x) = diag(e1 (x), . . . , en (x)) opˇsta kanonska forma
matrice A. Na osnovu osobina opˇste normalne forme vrijedi
ei (x) = (x − λ1 )µ1i · · · (x − λk )µki , (i = 1, . . . , n),
pri ˇcemu je i < j vrijedi
0 ≤ µsi ≤ µsj ≤ νs , (s = 1, 2, . . . , k).
Posmatrajmo tabelu
(x − λ1 )µ11 , (x − λ1 )µ12 , . . . , (x − λ1 )µ1,n ,
(x − λ2 )µ21 , (x − λ2 )µ22 , . . . , (x − λ2 )µ2,n ,
..
.
(x − λk )µk1 , (x − λk )µk2 , . . . , (x − λk )µk,n .
42
(4.11)
ˇ
GLAVA 4. NORMALNE FORME
4.3. RACIONALNA I ZORDANOVA
FORMA
Ova tabela ima osobinu da je proizvod polinoma u i-toj koloni jednak ei (x),
za i = 1, 2, . . . , n.
Formirajmo, uz pomo´c ove tabele sljede´cu tabelu koja se sastoji od
ˇ
Zordanovih
blokova;
Jµ11 (λ1 ), Jµ12 (λ1 ), . . . , Jµ1,n (λ1 ),
Jµ21 (λ2 ), Jµ22 (λ2 ), . . . , Jµ2,n (λ2 ),
..
.
(4.12)
Jµk1 (λk ), Jµk2 (λk ), . . . , Jµt,n (λk ).
ˇ
Posmatrajmo Zordanovu
matricu J koja se sastoji od blokova iz prethodne
tabele. Kako raspored blokova nije bitan, matricu J moˇzemo napisati u obliku
J = diag(J1 , J2 , . . . , Jn ),
Pri ˇcemu je Ji , (i = 1, 2, . . . , n) matrica koja se sastoji od blokova iz i-te kolone
tabele (4.12).
Kako su polinomi iz i-te kolone u tabeli (4.11) relativno prosti, a to su
ˇ
svojstveni polinomi Zordanovih
blokova iz bloka Ji , to, na osnovu teoreme 4.6,
znaˇci da je ei (x) opˇsta kanonska forma bloka Ji . Zakljuˇcujemo da matrice A i
J imaju iste opˇste normalne forme, pa su na osnovu teoreme 4.10 sliˇcne.
43
Download

Predavanja iz Lineara algebra 2, 2014