Milan Janji´c
Predavanja iz Lineara algebra 2,
2014-2015 ˇskolska godina
Prirodno-matematiˇcki fakultet
Univerzitet u Banjoj Luci
Predgovor
Ovo su predavanja iz predmeta Linearna algebra 2 koja se drˇze u 2014-2015
ˇskolskoj godini studentima druge godine, opˇsteg smjera i studentima ˇcetvrte
godine, nastavniˇckog smjera. Izloˇzeni materijal se, u najve´coj mjeri, poklapa
sa vaˇze´cim udˇzbenikom s tim da je dodato poglavlje o cikliˇckim potprostorima i glavnim vektorima, ˇsto spada u tzv. geometrijsku teoriju elementarnih
djelitelja.
Osnovni cilj je jasna prezentacija programa ovog predmeta.
Sadrˇzaj
1.
Svojstvene vrijednosti operatora i matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.
Minimalni i prate´
ci polinomi matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.
ˇ
Invarijantni potprostori. Surova
teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.
Normalne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Opˇsta forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Kriterijum sliˇcnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ
4.3 Rac. i Zord.
forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
28
36
40
5.
Unitarni prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Definicija i osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ
5.2 Gram-Smit
..............................................
5.3 Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
44
51
56
6.
Kvadratne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1 Bilinearne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2 Kvadratne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1
Svojstvene vrijednosti operatora i matrica
Moˇze se re´ci da su sva naˇsa dosadaˇsnja razmatranja bazirana na sistemima
linearnih jednaˇcina i nisu zavisila od prirode polja iz kojeg se uzimaju koeficijenti sistema. Naime, rjeˇsenja sistema linearnih jednaˇcina uvijek pripadaju
polju, iz kojeg su svi koeficijenti sistema.
U ovom ´cemo dijelu vidjeti da se izuˇcavanje nekih od najznaˇcajnijih svojstava linearnih operatora dobijaju pomo´cu nelinearnih algebarskih jednaˇcina.
Poznato je, s druge strane, da rjeˇsenja nelinearnih algebarskih jednaˇcina
bitno zavise od polja, kojem pripadaju koeficijenti jednaˇcina.
Problem koji ´cemo rjeˇsavati je sljede´ci: Za dati operator koji djeluje na
prostoru Vn odrediti bazu prostora, u odnosu na koju matrica tog operatora
ima najjednostavniju mogu´cu formu. Matrice operatora u odnosu na razliˇcite
baze prostora su sliˇcne, pa se problem moˇze izraziti i jezikom matrica i glasi:
Za datu kvadratnu matricu A odrediti ,,najjednostavniju ”matricu sliˇcnu
matrici A. Drugim rijeˇcima, odrediti regularnu matricu P za koju je matrica
P −1 AP najjednostavnija mogu´ca, tj. dijagonalna. Zbog toga se postupak kojim
se dobija traˇzena matrica ˇcesto naziva dijagonalizacija. Vidje´cemo da dijagonalizacija nije uvijek mogu´ca.
Sliˇcna razmatranja u matriˇcnom raˇcunu dovela su do rang normalne forme
matrice. Naime, za datu pravougaonu matricu B formata m × n postoje regularna matrica S reda m i regularna matrica P reda n tako da je SBP rang
normalna forma matrice B. Ovaj problem je rijeˇsen u kursu Linearne algebre
1.
Problem za sliˇcne matrice, koji ovdje razmatramo, mada izgleda analogan
onom za pravougaone, je znatno teˇzi i predstavlja samu srˇz linearne algebre.
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
To je primjetno ve´c na prvi pogled, jer da bismo odredili rang normalnu formu
pravougaone matrice mi odred¯ujemo dvije regularne matrice S i P, koje ne
zavise jedna od druge. Da bi na isti naˇcin rijeˇsili problem za sliˇcne matrice
moralo bi biti S = P −1 , ˇsto se tehnikom elementarnih transformacija ne moˇze
posti´ci.
Ako se operator A moˇze dijagonalizovati, to znaˇci da postoji baza
{e1 , e2 , . . . , en } prostora V u odnosu na koju je matrica A, tog operatora, dijagonalna tj. postoje, u opˇstem sluˇcaju, kompleksni brojevi λ1 , . . . , λ, za koje
A(ei ) = λi ei , (i = 1, 2, . . . , n).
Tako na jednostavan naˇcin dolazimo do vaˇznih pojmova svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora linearnih operatora, odnosno matrica.
Definicija 1.1
Neka je Vn vektorski prostor nad poljem C, kompleksnih brojeva, a A ∈
End(Vn ). Kaˇzemo da je λ ∈ K svojstvena vrijednost operatora A, ako postoji
vektor x ̸= 0 za koji je A(x) = λx. Vektor x se naziva svojstvenim vektorom
operatora A, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ.
Skup Vλ koji se sastoji od nula vektora i svih svojstvenih vektora operatora A,
koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ je potprostor prostora Vn i naziva se
svojstveni potprostor svojstvene vrijednosti λ.
Definicija 1.2
Ako je A kompleksna matrica n-tog reda, tada λ naziva svojstvenom vrijednoˇs´cu matrice A, ako postoji vektor X = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Cn , X ̸= O,
za koji vrijedi
A · X = λ · X.
Vektor X se naziva svojstvenim vektorom matrice A.
Definicija 1.3
Dimenzija potprostora Vλ naziva se geometrijska viˇsestrukost svojstvene vrijednosti λ.
Ako je λ svojstvena vrijednost operatora, to znaˇci da postoji x ̸= 0, za koji
vrijedi (λE −A)(x) = 0, tj. vrijedi Ker (λE −A) ̸= {0}, a to znaˇci da je operator
λE − A singularan. Ako je A matrica linearnog operatora A, u odnosu na neku
bazu {e1 , . . . , en }, za singularnost operatora λE − A potrebno je i dovoljno da
2
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
vrijedi det(λEn − A) = 0. Tako dolazimo do vaˇznih pojmova, koje uvodimo
sljede´com definicijom.
Definicija 1.4
Matrica En · λ − A naziva se svojstvena matrica operatora A, a jednaˇcina (po
λ)
det(En · λ − A) = 0,
(1.1)
svojstvena jednaˇcina operatora.
Lijeva strana jednaˇcine (1.1) je polinom pn (λ), n-tog stepena po λ i naziva
se svojstveni polinom operatora. On ima oblik
pn (λ) = λn + a1 λn−1 + · · · + an .
(1.2)
Primjedba 1.5
Umjesto rijeˇci svojstveni koriste se ravnopravno i rijeˇc karakteristiˇcni ili sopstveni.
Primjedba 1.6
Odred¯ivanje svojstvenih vrijednosti datog operatora svodi se, dakle, na odred¯ivanje
korijena svojstvenog polinoma, tj. na rjeˇsavanje algebarske jednaˇcine n-tog reda
λn + a1 λn−1 + · · · + an = 0.
Rjeˇsenja te jednaˇcine zavisi od polja iz koga su koeficijenti jednaˇcine i u
kojem pripadaju rjeˇsenja jednaˇcine.
U tim razmatranjima bitnu ulogu igra Osnovna teorema algebre koja glasi:
Svaka algebarska jednaˇcina n-tog reda, nad poljem kompleksnih brojeva (ili bilo
kojim algebarski zatvorenim poljem), ima taˇcno n korijena (ako se raˇcunaju i
viˇsestrukosti).
Kako su svojstvene vrijednosti osnovni elementi pomo´cu kojih ´cemo izuˇcavati
strukturu operatora, to znaˇci da ´ce u tome bitnu ulogu igrati priroda polja nad
kojim je definisan prostor na kome operator djeluje.
Kada su svojstvene vrijednosti odred¯ene, za odred¯ivanje svojstvenih vektora
treba joˇs rijeˇsiti po x jednaˇcinu
(λE − A)(x) = 0,
3
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
koja se svodi na homogeni sistem linearnih jednaˇcina. Naime, ako su x1 , . . . , xn
komponente svojstvenog vektora x, u odnosu na bazu {e1 , . . . , en }, a A matrica operatora u odnosu na tu bazu, tada je prethodna jednaˇcina ekvivalentna
jednaˇcini
(λEn − A) · X = O,
(1.3)
pri ˇcemu je X = (x1 , . . . , xn )T .
Primjer 1.7
Odrediti svojstvene vrijednosti i pripadne svojstvene vektore sljede´cih matrica


1 −1 −1
1. A = 1 −1 0  .
1 0 −1


2−i
0
i
2. B =  0
1−i
0 .
i
0
2−i
Rjeˇsenje.
1. Vrijedi
det(A − λE3 ) = −(λ + 1)(λ2 + 1),
pa matrica A ima tri med¯usobno razliˇcite svojstvene vrijednosti λ1 =
−1, λ2 = i, λ2 = −i. Jedno rjeˇsenja jednaˇcine (A − λ1 E3 ) · X = 0, je
(0, 1, −1)T , pa je to svojstveni vektor, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = −1.
Analogno, jedno rjeˇsenja jednaˇcine (A − λ2 E3 ) · X = 0, je (1 + i, 1, 1)T , pa
je to svojstveni vektor, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = i.
Isto tako je (1 − i, 1, 1) svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = −i.
2. U ovom sluˇcaju svojstvene vrijednosti su
2, 1 − i, 2 − 2i,
a odgovaraju´ci svojstveni vektori su
(1, 0, 1)T , (0, 1, 0)T , (1, 0, −1)T .
4
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Primjer 1.8
1. Neka je O nula operatorna prostoru V. Tada je O(v) = 0, (v ∈ V ), ˇsto znaˇci
da je 0 jedina svojstvena vrijednost oovog operatotra, dok su svi nenulti
vektori n jeni svojstveni vektori. Imamo, dakle, V0 = V.
2. Ako je E identiˇcni operator na prostoru V, onda za svako v ∈ V vrijedi
E(v) = v. Ovo znaˇci da je 1 svojstvena vrijednost operatora, te da je
V1 = V.
3. Ako je A bilo koji operator, tada je 0 njegova svojstvena vrijednost ako i
samo ako je ker A ̸= {0}. U tom sluˇcaju je V0 = ker A.
Primjer 1.9
1. Dokazati da rotacija ravni za ugao ω, () < ω < π) nema realnih svojstvenih
vrijednosti.
2. Odrediti kompleksne svojstvene vrijednosti perthodne transformacije.
Rjeˇsenje.
1. Svojstvena jednaˇcina ove transformacije i ma oblik
λ − cos ω
sin ω = 0,
− sin ω
λ − cos ω odnosno, λ2 − 2 cos wλ + 1 = 0. Diskriminanta ove kvadratne jednaˇcine je
manja od nule, pa ona nema realnih rjeˇsenja.
2. Kompleksne svojstvene vrijednosti su cos ω ± i sin ω.
Primjer 1.10
Neka je P ̸= O operator projekcije. Pokazati da su 0 i 1 jedine svojstvene
vrijednosti ovog operatora, Dokazati joˇs da je V0 = ker P, V1 = im P.
Rjeˇsenje: Operator P zadovoljava uslov P 2 = P. Ako je v ̸= 0 vektor za koji
vrijedi P(v) = λv, tada je P(v) = P 2 (v) = (P(v) = P(λv) = λP(v) = λ2 v.
Dakle, P(v) = λ2 v. Zakljuˇcujemo da vrijedi λv = λ2 v, pa je λ2 − λ = 0
svojstvena jednaˇcina, pa su λ = 0 i λ = 1 svojstvene vrijednosti operatora P.
Da je V0 = Ker P vidjeli smo u prethodnom primjeru. Ako je λ = 1, a w njen
svojstveni vektor onda iz P(w) = w, ˇsto znaˇci da v ∈ ImP. Sa druge strane,
ako je w ∈ ImP, tada je w = P(v), za neki v. Slijedi P(w) = P 2 (v) = P(v) =
w, pa je w svojstveni vektor, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti 1. Dakle,
V1 = Im P.
5
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Primjer 1.11
Kvadratnu matricu A nazivamo stohastiˇckom ako joj je zbir elemenata u svakoj
vrsti jednak 1. Pokazati da je 1 svojstvena vrijednost te matrice i odrediti njen
svojstveni vektor.
Rjeˇsenje. Za vektor X = (1, 1, . . . , 1)T oˇcigledno vrijedi A · X = X, ˇsto znaˇci
da je 1 svojstvena vrijednost, a X svojstveni matrice A.
Primjer 1.12
Ako A, B ∈ Mn (K) dokazati da matrice AB i BA imaju iste svojstvene vrijednosti.
Rjeˇsenje. Pretpostavimo da je λ = 0 svojstvena vrijednost matrice AB.
To znaˇci da je matrica (λEn − AB) = AB singularna, pa je det(AB) =
det A det B = 0. To znaˇci da je i matrica BA singularna, pa je 0 i njena svojstvena vrijednost.
Pretpostavimo da λ ̸= 0 nije svojstvena vrijednost matrice AB. Tada je
matrica (λEn − AB) = λ(En − λ1 AB) invertibilna, ˇsto znaˇci da je matrica
(En − λ1 AB) invertibilna.
Tada je i (En − λ1 BA) invertibilna matrica, jer se lako provjerava da je pa
(
)−1
1
1
(En − BA)−1 = En + B En − AB
A.
λ
λ
Zbog toga λ nije svojstvena vrijednost ni matrice BA.
Obrnuto se dokazuje na isti naˇcin.
Primjedba 1.13
Napomenimo da svojstvena matrica operatora A nije jedinstvena, jer matrica
u (1.1) na zavisi samo od operatora, nego i od bazu prostora. Kako su matrice
operatora u odnosu na razli ˇcite baze sliˇcne, to znaˇci da se u definiciji 1.4
umjesto matrice A moˇze uzeti bilo koja njoj sliˇcna matrica.
U vezi sa prethodnom primjedbom, moˇze se postaviti pitanje: Da li izbor matrice operatora utiˇce na svojstvene vrijednosti tog operatora. Naime, oˇcigledno
koeficijenti svojstvene jednaˇcine (1.1) zavise od elemenata matrice A, pa bi, na
prvi pogled, proizilazilo da i svojstvene vrijednosti zavise od elemenata matrice
A. To nije sluˇcaj, ˇsto ´cemo dokazati u sljede´coj teoremi.
6
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Teorema 1.14
Ako su A i B silˇcne matrice, tada vrijedi
det(λEn − A) = det(λEn − B).
Dokaz
Ako su A i B sliˇcne matrice, postoji regularna matrica P, za koju je B =
P −1[ · A · P. Sada imamo
det(λEn − B) = det(λEn − P −1 · A · P ) =
]
−1
det P (λEn − A) · P = det(P )−1 · det(λEn − A) · det(P ) = det(λEn − A).
Prema tome vrijedi
det(λEn − B) = det(λEn − A).
Kako su izrazi i na lijevoj i na desnoj strani ove jednakosti polinomi, ta jednakost je, u stvari, jednakost polinoma. Iz jednakosti koeficijenata tih polinoma
zakljuˇcujemo da koeficijenti svojstvene jednaˇcine operatora ne zavise od izabrane baze prostora, odnosno matrice operatora u odnosu na bazu.
Primjedba 1.15
Ako je A kvadratna matrica, onda se jednaˇcina (1.1) naziva svojstvena
jednaˇcina matrice, njena se rjeˇsenja nazivaju svojstvenim vrijednostima matrice, dok se rjeˇsenja X jednaˇcine (1.3) nazivaju svojstvenim vektorima matrice.
U prethodnim razmatranjima smo dokazali da sliˇcne matrice imaju iste
svojstvene jednaˇcine, pa i iste svojstvene vrijednosti vrijednosti.
Izraˇcuna´cemo sada koeficijente svojstvenog polinoma, preko elemenata matrice A.
Teorema 1.16
Ako je (1.2) svojstveni polinom matrice A tada je
ak = (−1)k Sk , (k = 1, . . . , n),
pri ˇcemu je Sk suma svih glavinih minora reda k matrice A.
Dokaz
Na osnovu pomenute teoreme vrijedi
n−k
p(k)
k!Sn−k , (k = 0, . . . , n − 1),
n (0) = (−1)
7
(1.4)
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
pri ˇcemu je Sn−k zbir svih glavnih minora reda n−k matrice A. Sa druge strane,
(k)
direktno diferenciraju´ci pn (x) dobijamo pn (0) = k!an−k , (k = 0, . . . , n − 1),
pa imamo
k!an−k = (−1)n−k k!Sn−k , (k = 0, . . . , n − 1),
iz ˇcega slijedi tvrdnja.
Primjedba 1.17
Specijalno je a1 = −Tr (A), an = (−1)n det(A).
Posljednje jednakosti daju vezu izmed¯u svojstvenih vrijednosti matrice sa jedne,
te traga i determinante te matrice, sa druge strane.
Primjer 1.18
Odrediti vezu izmed¯u suma glavnih minora matrica A i A−1 .
Rjeˇsenje. Neka je f (λ) svojstveni polinom matrice A n-tog reda, a g(λ) svojstveni polinom matrice A−1 . Vrijedi
g(λ) = |λEn − A−1 | = |λA · A−1 − A−1 | =
1
|λA − En |.
|A|
Izvlaˇce´ci −λ iz svake vrste determinante |λA − En | dobijamo
( )
(−λ)n
1
g(λ) =
f
.
|A|
λ
Upored¯ivanjem koeficijenata polinoma na lijevoj i desnoj strani prethodne
jednakosti zakljuˇcujemo da vrijedi: Zbir glavnih minora k-tog reda matrice A−1 ,
n
n-tog reda, jednak je proizvodu (−1)
|A| sa zbirom svih glavnih minora reda n − k
matrice A.
Ako su λ1 , . . . , λn svojstvene vrijednosti matrice A, tada je na osnovu Vijetovih formula an = (−1)n λ1 · · · λn , pa vrijedi
det(A) = λ1 · · · λn .
(1.5)
Pomo´cu svojstvenih vrijednosti opisujemo strukturu operatora. Problem
je da se odredi takva baza prostora, u odnosu na koju operator ima ˇsto je
mogu´ce ,,jednostavniju”matricu. U tom smislu su najjednostavniji oni operatori
za koje se moˇze odrediti baza prostora, u odnosu na koju je matrica operatora
dijagonalna.
8
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Definicija 1.19
Za operator A ∈ End (Vn ) kaˇzemo da je proste strukture ako postoji baza
prostora Vn sastavljena od svojstvenih vektora operatora A.
Ako je A operator proste strukture, {e1 , e2 , . . . , en } baza sastavljena od svojstvenih vektora, tada je
A(ei ) = λi ei , (i = 1, 2, . . . , n).
Ovo znaˇci da je matrica operatora A u odnosu na ovu bazu dijagonalna i da
se na dijagonali nalaze svojstvene vrijednosti.
Vrijedi i obratno, ako postoji baza u odnosu na koju je matrica operatora
dijagonalna, onda je jasno da su bazni vektori svojstveni, a skalari na dijagonali
svojstvene vrijednosti.
Vrijedi dakle:
Teorema 1.20
Operator A ∈ End (Vn ) je proste strukture ako i samo ako postoji baza prostora
Vn , u odnosu na koju je matrica tog operatora dijagonalna.
Neka je A operator proste strukture, koji djeluje na prostoru Vn . Neka je
A matrica operatora A u odnosu na neku bazu (e1 , e2 , . . . , en ) i neka su
∑n
v j = i=1 pij ei , (j = 1, 2, . . . , n) svojstveni vektori, koji ˇcine bazu prostora
Vn , a λ1 , λ2 , . . . , λn odgovaraju´ce svojstvene vrijednosti. Matrica B = (pij ) je,
dakle, matrica prelaska sa baze (e1 , e2 , . . . , en ) na bazu (v 1 , v 2 , . . . , v n ). Prema
teoremi xxx P −1 AP je matrica operatora A u odnosu na bazu (v 1 , v 2 , . . . , v n ).
Sa druge strane, kako je baza (v 1 , v 2 , . . . , v n ) sastavljena od svojstvenih vektora, ta matrica je diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ). Time je dokazana
Teorema 1.21
Matrica A je matrica operatora proste strukture ako i samo ako postoji invertibilna matrica P za koju je
P −1 AP = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn )
i pri tome su λ1 , λ2 , . . . , λn svojstvene vrijednosti operatora A, dok su kolone
matrice P odgovaraju´ci svojstveni vektori.
Primjer 1.22
Ako je A matrica operatora proste strukture, izraˇcunati Ak , (k ∈ Z).
9
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Rjeˇsenje. Prema prethodnoj teoremi, postoji regularna matrica P za koju je
P −1 AP = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ).
Stepenuju´ci i lijevu i desnu stranu sa k dobijamo
P −1 Ak P = diag (λk1 , λk2 , . . . , λkn ),
iz ˇcega slijedi
Ak = P · diag (λk1 , λk2 , . . . , λkn ) · P −1 .
Napomenimo da negativni stepeni od A postoje samo u sluˇcaju λi ̸= 0, (i =
1, 2, . . . , n).
U sljede´coj teoremi ´cemo dokazati da su svojstveni vektori koji pripadaju
med¯usobno razliˇcitim svojstvenim vrijednostima linearno nezavisni.
Teorema 1.23
Ako su λ1 , λ2 , . . . , λm , u parovima razliˇcite svojstvene vrijednosti operatora A, a v 1 , v 2 , . . . , v m svojstveni vektori koji im odgovaraju, tada je skup
{v 1 , v 2 , . . . , v m } linearno nezavisan.
Drugim rijeˇcima, ako su λ1 , λ2 , . . . , λk med¯usobno razliˇcite svojstvene vrijednosti, a Vλ1 , Vλ2 , . . . , Vλk odgovaraju´ci svojstveni potprostori, tada je suma
Vλ1 + Vλ2 + . . . , Vλk direktna.
Dokaz
Neka je α1 v 1 + α2 v 2 + · · · + αm v m = 0. Oznaˇcimo sa
w1 = α1 v 1 , w2 = α2 v 2 , . . . , wm = αm v m .
Svi vektori wi , (i = 1, . . . , m) su svojstveni vektori, koji odgovaraju svojstvenim vrijednostima λi , izuzev eventualno jednog, koji je jednak nuli i koji
odgovara svojstvenoj vrijednosti nula. Prije svega vrijedi
w1 + w2 + · · · + wm = 0.
Djeluju´ci na ovu jednakost operatorom A, m − 1 puta, dobijamo jednakosti
w1
λ1 w1
λ21 w1
..
.
λm−1
w1
1
+
+
+
w2
λ2 w2
λ22 w2
..
.
+ λ2m−1 w2
+ ···
+ ···
+ ···
+
+
+
+ ···
+ λm−1
wm
m
10
wm
λm wm
λ2m wm
..
.
=0
=0
=0 .
..
.
=0
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Kada se svaki od vektora izrazi kao linearna kombinacija vektora neke baze,
onda se iz prethodnih jednaˇcina dobije n = dim (Vn ) sistema homogenih linearnih jednaˇcina. U svakom od tih sistema nepoznate su koordinate vektora wi ,
u odnosu na odred¯eni element baze.
Determinanta svakog od tih sistema je Vandermondova i jednaka je
∏
(λj − λi ) ̸= 0,
1≤i<j≤m
pa sistemi imaju samo trivijalna rjeˇsenja iz ˇcega slijedi w1 = . . . = wm = 0, pa
i α1 v 1 = α2 v 2 = . . . = αm v m = 0, ˇsto implicira
α1 = α2 = · · · = αm = 0.
Sljede´ca teorema je jednostavana posljedica prethodne.
Posljedica 1.24
Ako operator koji djeluje na prostoru Vn ima med¯usobno razliˇcite svojstve
vrijednosti, onda je on proste strukture.
Operator A, naravno, moˇze da bude proste strukture i ako mu nisu sve
svojstvene vrijednosti razliˇcite. Jednostavan primjer za to je identiˇcki operator,
koji je proste strukture, a sve su mu svojstvene vrijednosti jednake 1.
Ako je polje u kojima traˇzimo svojstvene vrijednosti polje kompleksnih brojeva, onda se na osnovu osnovne teoreme algebre svojstveni polinom moˇze napisati u obliku
pn (λ) = (λ − λ1 )µ1 · (λ − λ2 )µ2 · · · (λ − λk )µk ,
(1.6)
pri ˇcemu su λ1 , λ2 , . . . , λk sve, med¯usobno razliˇcite svojstvene vrijednosti.
Definicija 1.25
Brojevi ν1 , ν2 , . . . , νk iz jednakosti (1.6) nazivaju se algebarskim viˇsestrukostima
odgovaraju´cih svojstvenih vrijednosti.
U sljede´coj teoremi izlaˇzemo vezu izmed¯u algebarskih i geometrijskih
viˇsestrukosti svojstvenih vrijednosti.
11
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Teorema 1.26
Gemoetrijska viˇsestrukost svojstvene vrijednosti nije ve´ca od njene algebarske
viˇse strukosti.
Dokaz
Neka je k geometrijska viˇsestrukost svojstvene vrijednosti λ opeartora A.
Neka je (e1 , e2 , . . . , ek ) baza svojstvenog potprostora Vλ1 , koja je, naravno,
sastavljena od svojstvenih vektora koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti
λ. Dopunimo prethodnu bazu do baze cijelog prostora. Dobili smo bazu
(e1 , e2 , . . . , ek , ek+1 , . . . , en ) prostora Vn . Matrica operatora, u odnosu na ovu
bazu, ima oblik
(
)
D
B
S=
,
O
C
pri ˇcemu je D = diag (λ1 , λ1 , . . . , λ1 ), dijagobnalna matrica. Svojstvena matrica S ima oblik
(
)
λEk − D
B
S=
.
O
λEn−k − C
Prema tome, svojstveni polinom pn (λ) ima oblik
pn (λ) = (λ − λ1 )k qn−k (λ).
(1.7)
Porede´ci izraze (1.7) i (1.6) dobijamo tvrdnju teoreme.
Teorema 1.27
Operator A je proste strukture ako i samo ako je geometrijska viˇsestrukost
svake svojstvene vrijednosti jednaka njenoj algebarskoj viˇsestrukosti.
Dokaz
Ako je A proste strukture, onda prostor na kome djeluje ima bazu sastavljenu od svojstvenih vektora. U odnosu na tu bazu, matrica operatora A
je dijagonalna i na dijagonali se pojavljuju njene svojstvene vrijednosti. Pri
tome se odred¯ena svojstvena vrijednost pojavljuje onoliko puta kolika je njena
geometrijska viˇsestrukost. U ovom sluˇcaju, dakle, geometrijska viˇse strukost
mora biti jednaka algebarskoj. Obrnuto, neka je geometrijska viˇsestrukost
svake svojstvene vrijednosti jednaka njenoj algebarskoj viˇse strukosti i neka
su λ1 , λ2 , . . . , λk med¯usobno razliˇcite svojstvene vrijednosti. U teoremi 1.23 je
dokazana da je tada suma Vλ1 +· · ·+Vλk direktna. Iz postavljenih uslova slijedi
12
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
da je dim Vλ1 + · · · + Vλk jednaka dimenziji cijelog prostora, na kome djeluje
operator, a to znaˇci da postoji baza sastavljena od svojstvenih vektora.
U teoremi 1.14 dokazali smo da sliˇcne matrice imaju iste svojstvene jednaˇcine,
pa i iste svojstvene vrijednosti. Za obrat te tvrdnje imamo
Primjer 1.28
Pokazati da su matrice A, B ∈ Mn (K), koje imaju iste svojstvene jednaˇcine i
predstavljaju operatore proste strukture, sliˇcne.
Rjeˇsenje. Postoje invertibilne matrice S i P za koje vrijedi:
S −1 AS = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ), P −1 BP = diag (µ1 , µ2 , . . . , µn ),
pri ˇcemu su λi i µi svojstvene vridednosti datih matrica. Dovoljno je dokazati
da su matrice na desnim stranama prethodnih jednakosti sliˇcne. Kako matrice
A i B imaju iste svojstvene polinome, a samim tim i iste svojstvene vrijednosti,
to znaˇci da je (µ1 , µ2 , . . . , µn ) neka permutacija od (λ1 , λ2 , . . . , λn ).
Sa druge strane, ako je D = diag (. . . , di , . . . , dj , . . .) dijagonalna matrica
−1
onda je D1 = Eij DEij = diag (. . . , dj , . . . , di , . . .), pa, uz ˇcinjenicu da je Eij
=
Eij , slijedi da su D i D1 sliˇcne matrice. Na osnovu toga zakljuˇcujemo da su
matrice diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ) i diag (µ1 , µ2 , . . . , µn ) sliˇcne, pa su sliˇcne i matrice
A i B. U opˇstem sluˇcaju, matrice sa istim svojstvenim polinomimae moraju
biti sliˇcne, ˇsto ´cemo pokazati sljede´cim primjerom.



2 2 1
2
1 −1
Dokazati da matrice A = 1 3 1 i B =  0
2 −1 imaju iste
1 2 2
−3 −2 3
svojstvene polinome, ali nisu sliˇcne.
Primjer 1.29

Rjeˇsenje. Lako se provjerava da je f (λ) = (λ − 1)2 (λ − 5) svojstveni polinom i
jedne i druge matrice. Kako je algebarska viˇsestrukost korijena λ = 5 jednaka
1, tolika je i njegova geometrijska viˇsestrukost. Sa druge strane, algebarska
viˇsestrukost svojstvene vrijednosti λ = 1 je 2, za obje matrice. Lako se provjerava da toj vrijednosti odgovaraju dva linearno nezavisna svojstvena vektora
od B, a samo jedan od A. Prema tome B je matrica proste strukture. Ako bi
ona bila sliˇcna matrici A onda bi i A bila proste strukture, pa bi algebarska
viˇse strukost svojstvene vrijednosti λ = 1 bila jednaka njenoj geometrijskoj
viˇsestrukosti, ˇsto nije taˇcno. Dakle, matrice A i B ne mogu biti sliˇcne.
13
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
U sljede´cem poglavlju ´cemo razmatrati tzv. matriˇcne polinome. Sada ´cemo
ih samo definisati i dokazati jedan znaˇcajan rezultat vezan za svojstvene polinome i matrice.
Naime, ako je f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ K[x], a A ∈ Mm (K), tada
se izraz
f (A) = a0 An + a1 An−1 + · · · + an · Em naziva matriˇcni polinom stepena n.
Izuzetno znaˇcajnu osobinu svojstvenog polinoma daje sljede´ca
Teorema 1.30 (Hamilton-Kejlijeva)
Ako je f (x) svojstveni polinom matrice A, tada je f (A) = O.
Dokaz
Oznaˇcimo sa B asociranu matricu od xEn − A. Njeni elementi su subdeterminante, sa odred¯enim predznakom, n − 1-og reda matrice xEn − A i to su, dakle,
polinomi najviˇse n − 1-og stepena po x. Zbog toga se matrica B moˇze napisati
u obliku
B = Bn−1 xn−1 + · · · + B0 .
Kako je B asocirana matrica od En x − A, vrijedi
B · (xEn − A) = |xEn − A| · En = f (x) · En .
Ako je f (x) = xn +an−1 xn−1 +· · ·+a0 , izjednaˇcavanjem matrica uz iste stepene
x na lijevoj i desnoj strani, dobijemo
Bn−1 =
−Bn−1 · A + Bn−2 =
−Bn−2 · A + Bn−3 =
.. ..
. .
−B1 · A + B0 =
−B0 · A =
En
an−1 En
an−2 En
..
.
a1 · En
a0 · En .
Mnoˇzenjem prve od ovih jednakosti sa An , druge sa An−1 itd., pretposljednje
sa A, pa onda sabiranjem lijevih i desnih strana, dobijamo
An + an−1 · An−1 + · · · + a0 · En = 0.
14
2
Minimalni i prate´ci polinomi matrica
Ako je A ∈ Mn (K), a f (x) = ak xk + ak−1 xk−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ K[x],
tada je izraz f (A) = ak Ak + ak−1 Ak−1 + · · · + a1 A + a0 E dobro definisan.
Primjer 2.1
Neka je A ∈ Mn (K). Dokazati da postoji nenulti polinom p(x) ∈ K[x] za koji
vrijedi p(A) = O.
Rjeˇsenje. Na osnovu Hamilton-Keijlijeve teoreme traˇzeni uslov zadovoljava
svojstveni polinom matrice. Med¯utim, tvrdnja se moˇze jednostavno dokazati
i na elementaran naˇcin.
2
Naime, U skupu A0 = En , A, A2 , . . . , An prostora Mn (K) ima n2 + 1 elemenata, dok je dimenzija prostora jednaka n. Prema tome, taj je skup linearno
zavisan, tj. postoje skalari a0 , a1 , . . . , an2 koji nisu svi jednaki nuli, takvi da
vrijedi
2
a0 En + a1 A + · · · + an2 An = O.
∑n2
Prema tome, za nenulti polinom p(x) = i=0 ai xi , vrijedi P (A) = O.
Definicija 2.2
Minimalnim polinomom matrice A ∈ Mn (K) nazivamo normirani polinom
mA (x), najmanjeg stepena, za koji je mA (A) = 0.
´ POLINOMI MATRICA
GLAVA 2. MINIMALNI I PRATECI
Iz prethodnih razmatranja slijedi da minimalni polinom uvijek postoji. Postoji
jednostavan metod, ali koji zahtijeva mnogo raˇcuna, za njegovo odred¯ivanje.
Naime, prvo rijeˇsimo matriˇcnu A = x0 En , pa ako jednaˇcina ima rjeˇsenje onda
je x − x0 minimalni polinom. Ako jednaˇcina nema rjeˇsenja, onda rjeˇsavamo
jednaˇcinu A2 = x1 A + x0 En . Ako jednaˇcina ima rjeˇsenje onda je x2 − x1 x + x0
minimalni polinom. Ako jednaˇcina nema rjeˇsenja, onda se postupak nastavlja. Zbog ˇcinjenice da minimalni polinom postoji ovaj se postupak zavrˇsava u
konaˇcno mnogo koraka.
Primjer 2.3
Odrediti minimalni polinom matrice A =
(
1
3
)
2
.
4
Rjeˇsenje. Jednaˇcina A = x0 E2 ima oblik
(
) (
1 2
x0
=
3 4
0
)
0
,
x0
koja oˇcigledno nema rjeˇsenja.
Jednaˇcina A2 = x1 A + x0 En ima oblik
(
) (
7 10
x1 + x0
=
15 22
3x1
)
2x1
.
4x1 + x0
Jednaˇcina ima jedinstveno rjeˇsenje x0 = 2, x1 = 5. Dakle, x2 − 5x1 + 2 je
minimalni polinom matrice A.
U sljede´coj teoremi izloˇzi´cemo osnovne osobine minimalnog polinoma.
Teorema 2.4
1. Za polinom f (x) vrijedi f (A) = 0 ako i samo ako mA (x)|f (x). Specijalno,
minimalni polinom matrice dijeli njen svojstveni polinom.
2. Minimalni polinom mA (x) matrice A je jednoznaˇcno odred¯en matricom.
3. Minimalni polinom kvazidijagonalne matrice jednak je najmanjem zajedniˇckom sadrˇzaocu minimalnih polinoma blokova te matrice.
4. Minimalni polinomi sliˇcnih matrica su jednaki.
Dokaz
1. Neka je f (x) ∈ K[x] bilo koji polinom, a m(x) minimalni polinom matrice
A. Dijeljenjem polinoma f (x) sa mA (x) dobijamo
f (x) = q(x)mA (x) + r(x),
16
´ POLINOMI MATRICA
GLAVA 2. MINIMALNI I PRATECI
pri ˇcemu je r(x) = 0 ili je st (r(x)) < st (mA (x)). Ako je f (x) polinom za
koji je f (A) = 0, tada je
0 = f (A) = q(A)mA (A) + r(A) = r(A),
pa je r(x) = 0. To znaˇci da iz f (A) = O slijedi mA (x)|f (x), ˇsto znaˇci da je
tvrdnja 1. taˇcna. Drugi dio te tvrdnje slijedi iz Hamilton-Kelijeve teoreme.
2. Ako je uz m(x) i m1 (x) minimalni polinom matrice A, tada, prema 1.
m(x)|m1 (x) i m1 (x)|m(x) iz ˇcega slijedi da postoji α ∈ K, za koji je
m1 (x) = αm(x). Kako su oba polinoma m(x) i m1 (x) normirani to je
α = 1, pa vrijedi 2.
3. Neka je A = diag (A1 , . . . , Ak ) kvazidijagonalna matrica, a p(x) bilo koji
polinom. Na osnovu pravila za raˇcunanje sa blok matricama dobijamo
p(A) = diag (p(A1 ), . . . , p(Ak )),
iz ˇcega slijedi
p(A) = 0 ako i samo ako p(Ai ) = 0, (i = 1, . . . , k).
Iz ovoga slijedi da su blokovi Ai nule minimalnog polinoma matrice A. Na
osnovu 1. minimalni polinomi pi (x), (i = 1, . . . , k) tih blokova dijele p(x),
pa i polinom q(x) = N.z.s (p1 (x), . . . , pk (x)) dijeli p(x).
Obratno, za polinom q(x) vrijedi q(Ai ) = 0, (i = 1, . . . , k), pa je q(A) = 0,
ˇsto prema 1. znaˇci da p(x)|q(x). Jednakost p(x) = q(x) slijedi iz pretpostavke da se, dodatno, moˇze pretpostaviti da je q(x), kao ˇsto je i p(x),
normiran polinom, tj. da mu je najstariji koeficijent jednak 1.
4. Ako su matrice A i B sliˇcne, m1 (x) i m2 (x) nihovi minimalni polinomi, tada
postoji invertibilna matrica P, za koju je B = P −1 AP. Kako je P −1 Ak P =
(P −1 AP )k , (k = 1, 2, . . .), iz m1 (A) = 0, mnoˇzenjem sa P −1 slijeva, a sa
P zdesna, slijedi m1 (B) = 0, pa m2 (x)|m1 (x), na osnovu 2. Iz istih razloga
vrijedi i obratno, a kako su to normirani polinomi, imamo m1 (x) = m2 (x).
Primjedba 2.5
Kako su minimalni polinomi sliˇcnih matrica jednaki, onda se minimalni polinom
matrice noˇze definisati i kao minimalni polinom operatora, koji je u nekoj bazi
predstavljen tom matricom.
17
´ POLINOMI MATRICA
GLAVA 2. MINIMALNI I PRATECI


0 −1 1
Odrediti minimalni polinom matrice A = 1 2 −1 .
1 1
0
Primjer 2.6
Rjeˇsenje. Lako se provjerava da je λ3 − 2λ2 + λ = λ(λ − 1)2 svojstveni polinom
date matrice. Ako minimalni polinom nije jednak svojstvenom, onda ga prema
1. iz prethodne teoreme mora dijeliti. Djelitelji svojstvenog polinoma su
λ, λ − 1, λ(λ − 1), (λ − 1)2 .
lako se provjerava da matrica A anulira jedino faktor λ(λ − 1), pa je x2 − x
minimalni polinom.
U prethodnom primjeru smo pokazali da se minimalni i svojstveni polinom
mogu razlikovati. Naveˇs´cemo sada jedan vaˇzan primjer matrice kod koje se
minimalni i svojstveni polinom poklapaju.
Definicija 2.7
Matrica

0 0
1 0


F = 0 1
. .
 .. ..
0 0
···
···
···
..
.
0
0
0
..
.
−a0
−a1
−a2
..
.
···
1
−an−1




,


se naziva Frobenijusova ili prate´ca matrica polinoma
xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 ∈ K[x].
Teorema 2.8
Svaki polinom je svojstveni polinom svoje prate´ce matrice.
Dokaz
Koristi´cemo indukciju u odnosu na stepen polinoma. Tvrdnja je taˇcna za n = 2,
jer vrijedi
x
a0 2
−1 x + a1 = x + a1 x + a0 .
18
´ POLINOMI MATRICA
GLAVA 2. MINIMALNI I PRATECI
Pretpostavimo da je tvrdnja taˇcna za polinome stepena n − 1 i neka je xn +
an−1 xn−1 + · · · + a0 ∈ K[x] polinom, a F njegova prate´ca matrica. Razvijanjem
determinante det(En · x − F ) po prvoj koloni dobijamo
x
0 ···
0
a1
−1 x · · ·
0
a
2
0 −1 · · ·
0
a2
(2.1)
|xEn − F | = x + a0 ,
.
.
.
..
..
..
.
..
.
.
.
0
0 · · · −1 x + a
n−1
jer je
0
−1
0
.
..
0
0 ···
x ···
−1 · · ·
..
..
.
.
0 ···
0
0
0
..
.
a0
a1
a2
..
.
−1
x + an−1
= (−1)n−1 a0 (−1)n−1 = a0 .
Na osnovu indukcione pretpostavke determinanta na desnoj strani jednakosti
(2.1) predstavlja svojstveni polinom matrice n − 1 reda


0 0 ···
0
−a1
1 0 · · ·
0
−a2 


0 1 · · ·
0
−a3 
B=
.
. . .
.. 
.. ...
 .. ..
. 
0 0
···
1
−an−1
Na osnovu toga u (2.1) dobijamo det(xEn − A) = x(xn−1 + an−1 xn−2 + · · · +
a1 ) + a0 , tj. vrijedi
det(xEn − A) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 .
Teorema 2.9
Minimalni polinom prate´ce matrice jednak je njenom svojstvenom polinomu.
Dokaz
Neka je F prate´ca matrica polinoma f (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 . Neka
je F operator kome je F matrica, u odnosu na bazu (e1 , e2 , . . . , en ). Prema
prethodnom, minimalni polinom g(x) matrice F dijeli f (x).
19
´ POLINOMI MATRICA
GLAVA 2. MINIMALNI I PRATECI
Pretpostavimo suprotno, da je minimalni polinom g(x) stepena k < n. Tada
vrijedi g(x) = xk + bk−1 xk−1 + · · · + b0 i bar jedan bi ̸= 0.
F(e1 ) = e2 ,
F(e ) = e3 = F 2 (e1 ),
..
.
2
F(en−1 ) = en = F n−1 (e1 ).
Odavde slijedi g(F)(e1 ) = ek+1 + bk−1 ek + · · · + b0 e1 , dok je sa druge strane
g(F)(e1 ) = 0, zbog toga ˇsto je g(x) minimalni polinom matrice F. Tako dobijamo
ek+1 + bk−1 ek + · · · + b0 e1 = 0,
ˇsto je nemogu´ce, jer su vektori e1 , . . . , ek+1 linearno nezavisni.
Teorema 2.10
Neka je A operator, ˇcija je svojstvena vrijednost, a f (x) bilo koji polinom.a
da je f (λ) svojstvena vrijednost operatora f (A), kojoj odgovara isti svojstveni
vektor v.
Dokaz
Vrijedi Av = λv, A2 v = λ2 v, . . . , Ak v = λk v, . . . . Prema tome imamo
f (A)v = f (λ)v.
Vidjeli smo da su kod prate´ce matrice svojstveni i minimalni polinom jednaki.
U opˇstem sluˇcaju minimalni polinom samo dijeli svojstveni. Kod operatora
proste strukture jednostavno se moˇze uspostaviti veza izmed¯u ovih polinoma.
Vrijedi
Teorema 2.11
Ako je A operator proste strukture, λ1 , . . . , λm sve njegove razliˇcite svojstvene
vrijednosti, tada je
g(x) = (x − λ1 ) · · · (x − λm )
njegov minimalni polinom.
20
´ POLINOMI MATRICA
GLAVA 2. MINIMALNI I PRATECI
Dokaz. Operator A ima bazu sastavljenu od svojstvenih vektora. U odnosu na
tu bazu, matrica operatora ima oblik
A = diag(λ1 , . . . , λ1 ; λ2 , . . . , λ2 , λm , . . . , λm ).
Za svaki polinom f (x) vrijedi
f (A) = diag(f (λ1 ), . . . , f (λ1 ); f (λ2 ), . . . , f (λ2 ), . . . ; f (λm ), . . . , f (λm )),
na osnovu osobina operacija sa dijagonalnim matricama.
Prema tome vrijedi
f (A) = O ako i samo ako f (λi ) = 0, (i = 1, 2, . . . , m).
Zakljuˇcujemo da je minimalni polinom g(x) polinom najmanjeg mogu´ceg stepena, koga anuliraju svi λi , (i = 1, . . . , k). Kako su svi λi med¯usobno razliˇciti
zakljuˇcujemo da je g(x) = (x − λ1 ) · · · (x − λm ) traˇzeni polinom.
21
3
ˇ
Invarijantni potprostori. Surova
teorema
Ranije smo definisali invarijantne prostore, a u ovom ´cemo dijelu re´ci neˇsto
viˇse o njima. Da je S ⊂ Vn invarijantan potprostor od Vn u odnosu na operator A znaˇci da je ograniˇcenje AS operatora A na S, operator na prostoru S.
Uzmimo da je {e1 , e2 , . . . , ek } baza od S. Ova se baza moˇze dopuniti do baze
{e1 , e2 , . . . , ek , ek+1 , . . . , en } ˇcitavog prostora.
Matrica operatora A u odnosu na ovu bazu ima oblik
(
)
A11 A12
(3.1)
O A22
pri ˇcemu je A11 matrica operatora AS u odnosu na bazu {e1 , e2 , . . . , ek }.
Vrijedi i obratno, ako u odnosu na neku bazu {e1 , e2 , . . . , en } prostora V
operator A ima kvazi-trougaonu matricu (3.1), pri ˇcemu je A11 kvadratna matrica reda k, tada je potprostor generisan vektorima {e1 , e2 , . . . , ek } invarijantan.
Ako je i potprostor T generisan vektorima {ek+1 , . . . , en } takod¯e invarijantan, onda matrica operatora u odnosu na tu bazu ima oblik
(
)
A11 O
,
O
A22
(3.2)
pri ˇcemu je A11 kvadratna matrica reda k, a A22 kvadratna matrica reda n − k.
Jasno je da vrijedi i obratno.
Prethodni rezultat se moˇze interpretirati i na sljede´ci naˇcin: Matrica operatora ima oblik (3.2) ako i samo ako se prostor na kome djeluje operator moˇze
ˇ
GLAVA 3. INVARIJANTNI POTPROSTORI. SUROVA
TEOREMA
dobiti kao direktna suma invarijantnog potprostora dimenzije k i invarijantnog
potprostora dimenzije n − k.
Iz ovoga se indukcijom dobija
Teorema 3.1
Prostor Vn je direktna suma invarijantnih prostora V1 , V2 , . . . , Vs ako i samo
ako postoji baza prostora Vn , u odnosu na koju matrica tog operatora ima
oblik A = diag (A1 , A2 , . . . , As ), pri ˇcemu su A1 , A2 , . . . , As matrice suˇzenja
operatora A na potprostore V1 , . . . , Vs .
Sada ´cemo dati malo uopˇstenje tvrdnje 3. iz teoreme 2.4.
Teorema 3.2
Neka je A : Vn → Vn . Neka je prostor V suma invarijantnih potprostora
W1 , W2 , . . . , Wk (koja ne mora biti direktna). Neka su Ai , (i = 1, 2, . . . , k)
restrikcije opreatora A na potprostore Wi . Tada za minimalni polinom m(x),
operatora A vrijedi
m(x) = N.z.s.(m1 (x), . . . , mk (x)),
pri ˇcemu su mi (x) minimalni polinomi ograniˇcenja operatora A na Wi , respektivno.
Dokaz
Neka je f (x) = N.z.s.(m1 (x), . . . , mk (x)). Dakle, f (x) je viˇsekratnik svakog
od mi (x). Napiˇsimo f (x) = gi (x)mi (x), (i = 1, 2, . . . , k). Za v ∈ Wi vrijedi
f (v) = gi (v) ◦ mi (v) = gi (v) · 0 = 0, za svako i. Prema tome, f (x) se anulra na
svakom Wi , pa vrijedi mi (x)|f (x), (i = 1, 2, . . . , k).
Treba joˇs pokazati da f (x)|m(x). Jasmo je m(Wi ) = 0, (i = 1, 2, . . . , k),
iz ˇcega slijedi mi (x)|m(x). Zbog toga i f (x)|m(x), ˇcime je tvrdnja dokazana.
Nilpotentni operatoti potpuno klasifikuju ne samo operatore proste strukture,
nego i nilpotentne operatore, ˇsto pokazuje sljede´ca teorema.
Teorema 3.3
Neka je N ∈ Vn (K). Sljede´ci uslovi su ekivalentni
1. N je nilpotentan operator.
23
ˇ
GLAVA 3. INVARIJANTNI POTPROSTORI. SUROVA
TEOREMA
2. Jedina svojstvena vrijednost operatora N je 0.
3. N n = 0.
4. Minimalni polinom operatora N je oblika xk , za neki k ≤ n.
Dokaz
Dokaz se provodi po proceduri 1. ⇒ 2. ⇒ 3. ⇒ 4. ⇒ 1.
1. ⇒ 2. Ako je λ svojstvena vrijednost operatora N . Vrijedi N (x) =
λx, (x ̸= 0). Slijedi, na osnovu 1., N k (x) = λk x = 0, pa je λk = 0, jer je
x ̸= 0. Zakljuˇcujemo da je λ = 0.
2. ⇒ 3. Slijedi iz Hamilton-Keijlijeve teoreme.
2. ⇒ 3. Slijedi iz ˇcinjenice da minimalni polinom dijeli svojstveni.
Dosadaˇsnja razmatranja provedena su za operatore koji djeluju na vektorskim prostorima nad proizvoljnim poljem. U takvim prostorima je mogu´ce da
operator nema ni jedne svojstvene vrijednosti. Primjer takvog operatora je rotacija ravni za ugao ω ∈ (0, π). Sada ´cemo pretpostaviti da operator djeluje na
vektorskom prostoru nad poljem kompleksnih brojeva (ista razmatranja vrijede
i za bilo koje drugo algebarski zatvoreno polje).
ˇ
Teorema 3.4 (Surova
teorema)
Za svaki operator koji djeluje u kompleksnom vektorskom prostoru postoji baza
prostora u odnosu na koju je matrica tog operatora gornja trougaona.
Dokaz
Neka je A operator koji djeluje na kompleksnom vektorskom prostoru Vn . Iz
osnovne teorema algebre slijedi da operator A ima bar jednu svojstvenu vrijednost λ. Tada je λEn −A singularan operator, pa je njegova slika W = Im λE −A,
dimenzije bar 1. Sa druge strane, ako je w ∈ W, onda je w = (λE − A)(v), za
neki v ∈ Vn . Zato je
A(w) = λA(v) − A2 (v) = A(v)(λE − A)(v) ∈ W.
Prema tome, W je invarijantan prostor dimenzije manje od n, jer kad bi bio
dimenzije n, onda bi λE − A bio invertibilan operator.
Dokaˇzimo sada da u prostoru Vn postoji lanac invarijantnih u odnosu na
operator A invarijantnih u odnosu na A potprostora oblika
V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vn−1 ⊂ Vn ,
24
ˇ
GLAVA 3. INVARIJANTNI POTPROSTORI. SUROVA
TEOREMA
pri ˇcemu je dim Vi = i, (i = 1, 2, . . . , n). Dovoljno je dokazati da postoji prostor
Vn−1 . U stvari, Vn−1 je bilo koji potprostor od Vn koji sadrˇzi W. Dokaˇzimo
da je Vn−1 invarijantan u odnosu na operator A. Ako je v ∈ Vn−1 , onda je
v − A(v) ∈ W ⊆ Vn−1 , pa je v = v − A(v) + A(v), pa kako je v − A(v) ∈ Vn−1
slijedi da je i A(v) ∈ Vn−1 . Ako izaberemo bazu (b1 , b2 , . . . , bn ) prostora Vn ,
tako da je (b1 , b2 , . . . , bi ), (i = 1, 2, . . . , n), onda je matrica operatora A, u
odnosu na tu bazu, gornja trougaona.
Posljedica 3.5
ˇ
U uslovima Surove
teoreme vrijedi: Za svaki v ∈ Vn , vrijedi A(v) = λv + w, pri
ˇcemu je w ∈ Vn−1 .
Dokaz
Neka je v ∈ Vn proizvoljan. Tada je (λE − A)(v) = w ∈ V(n−1) . Sa druge strane,
lijeva strana je λv − A(v) pa tvrdnja vrijedi.
Svaki operator u kompleksnom vektorskom prostoru ima bar jednu svojstvenu vrijednost, tj. postoji jednodimenzionalni potprostor invarijantan u odnosu na taj operator. To za operatore koji djeluju na prostorima nad poljem
realnih brojeva ne mora biti taˇcno. Koriste´ci se pojmom kompleksifikacije prostora nad poljem realnih brojeva i pojmom kompleksifikacije operatora dokaza´cemo da svaki operator koji djeluje na realnom prostoru ima jednodimenzionalni ili dvodimenzionalni invarijantan potprostor.
Neka je Xn vektorski prostor nad poljem realnih brojeva. Oznaˇcimo sa Z
skup izraza oblika {x + iy : x, y ∈ X}. Uvedimo na Z strukturu vektorskog
prostora nad poljem kompleksnih brojeva na sljede´ci naˇcin:
(x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y1 )
(α + iβ)(x + iy) = (αx − βy) + i(αy + βx),
za svako x, x1 , x2 , y, y1 , y2 ∈ X, α, β ∈ R.
Neposredno se provjerava da je ovim operacijama skup Z postao vektorski
prostor nad poljem kompleksnih brojeva.
Neka je {x1 , . . . , xn } baza od Xn . Tada z i = xi + i0, (i = 1, . . . , n) ˇcine
∑n
bazu kompleksnog prostora Z. Zaista, ako je k=1 (αk + iβk )z i = 0, tada je
n
∑
k=1
αk xk + i
n
∑
k=1
25
βk xk = 0.
ˇ
GLAVA 3. INVARIJANTNI POTPROSTORI. SUROVA
TEOREMA
Odavde slijedi
n
∑
αk xk =
n
∑
βk xk = 0,
k=1
k=1
pa zbog linearne nezavisnosti skupa {x1 , . . . , xn } dobijamo
αk = βk = 0, (k = 1, . . . , n),
ˇsto znaˇci da je skup {z 1 , . . . , z n } linearno nezavisan. Dalje, za x, y ∈ X postoje
skalari αk′ , βk′ , (k = 1, . . . , n), za koje je
x=
n
∑
αk′ xk , y =
k=1
n
∑
βk′ xk ,
k=1
na osnovu ˇcega slijedi
x + iy =
n
∑
(αk′ + iβk′ )z k ,
k=1
ˇsto dokazuje da je skup {z , . . . , z } generator, pa i baza prostora Z. U daljem
´ce nam trebati i sljede´ci rezultat:
Ako su x + iy i x − iy linearno nezavisni (u Z), tada su x i y linearno nezavisni
(u Xn ).
Zaista, pretpostavimo da je αx + βy = 0. Tada je
1
n
(α − iβ)(x + iy) + (α + iβ)(x − iy) = 2(αx + βy) + i0 = 0,
pa je α + iβ = 0, iz ˇcega slijedi α = β = 0, ˇsto je traˇzena tvrdnja.
Neka je A operator u realnom prostoru Xn . Definiˇsimo operator A˜ na prostoru
Z sa
˜ + iy) = A(x) + iA(y), (x, y ∈ Xn ).
A(x
Lako se pokazuje da je A˜ linearan operator prostora Z. Neka je A = (aij )
matrica operatora A u odnosu na bazu {x1 , . . . , xn }. Tada je
˜ j ) = A(xj ) + i0 =
A(z
n
∑
akj xk + i0 =
k=1
n
∑
akj z k ,
k=1
ˇsto pokazuje da je A matrica i operatora A˜ u odnosu na bazu {z 1 , . . . , z n }.
Kompleksni prostor Z naziva se kompleksifikacijom prostora Xn , a operator
A˜ kompleksifikacijom operatora A.
Neka je A˜ kompleksifikacija operatora A. Matrice A i A˜ imaju iste svojstvene polinome, pa samim tim i iste svojstvene vrijednosti. Ako je λ realna
svojstvena vrijednost operatora A, tada taj operator ima jednodimenzionalni
invarijantan potprostor. Ako je λ kompleksna svojstvena vrijednost, tada je i
26
ˇ
GLAVA 3. INVARIJANTNI POTPROSTORI. SUROVA
TEOREMA
λ takod¯e svojstvena vrijednost (jer svojstveni polinom ima realne koeficijente).
˜ Neka je z = x+iy svojstveni
To su ujedno i svojstvene vrijednosti operatora A.
vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ. Tada je z = x − iy svojstveni
vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ. Kao svojstveni vektori, koji
pripadaju razliˇcitim svojstvenim vrijednostima, ta su dva vektora linearno nezavisni. Iz prethodnog slijedi da su i x i y linearno nezavisni vektori u Xn , pa
je potprostor U generisan sa ta dva vektora dvodimenzionalan.
Ako oznaˇcimo λ = a + ib, imamo
˜ + iy) = A(x) + iA(y) = (a + ib)(x + iy),
A(x
odakle dobijamo
A(x) = ax − by, A(y) = ay + bx,
ˇsto implicira da je U invarijantan potprostor. Tako je dokazana
Teorema 3.6
Svaki operator koji djeluje u realnom prostoru ima ili jednodimenzionalan ili
dvodimenzionalan invarijantan potprostor.
27
4
Normalne forme matrica
4.1 Opˇ
sta (Smitova) normalna forma
Znamo od ranije da je najjednostavnija matrica koja je ekvivalentna datoj
matrici njena rang normalna forma. U ovom ´cemo dijelu rijeˇsiti analogan problem za sliˇcne matrice. Ako govorimo o operatorima, onda je to problem da se
za dati operator, koji djeluje u konaˇcnodimenzionalnom vektorskom prostoru,
odredi baza prostora, u odnosu na koju operator ima najjednostavniju matricu. Za operatore proste strukture to je dijagonalna matrica, ˇsto smo vidjeli
u prethodnom poglavlju. Ovdje ´ce biti rijeˇsen problem za proizvoljan operator,
koji djeluje na konaˇcnodimenzionalnom vektorskom prostoru. Dio rezultata se
odnosi na vektorske prostore nad proizvoljnim poljem, dok se dio odnosi na
prostore nsd poljem kompleksnih brojeva. To ´ce naravno biti uvijek naglaˇseno.
ˇ
Na taj ´cemo naˇcin do´ci do pojma Zordanove
kanonske forme.
Matrice ˇciji su elementi polinomi iz K[x] nazivamo polinomnim matricama,
pri ˇcemu je K proizvoljno polje.
Primjer takve matrice, koji ujedno i objaˇsnjava zaˇsto se ovakve matrice
izuˇcavaju, je svojstvena matrica operatora. Polinomne matrice se mogu posmatrati kao matrice nad poljem K(x) racionalnih funkcija, pa za njih vrijede
osobine koje imaju matrice nad poljem i specijalno da se elementarnim transformacijama mogu prevesti na rang normalnu formu.
Mi ´cemo, med¯utim, vrˇsiti elementarne transformacije na tim matricama,
tako da njihovi elementi ostaju u prstenu K[x], tj. ne´cemo koristiti dijeljenje polinomima. Time ´cemo imati na raspolaganju ograniˇcen tip elementar-
ˇ
4.1. OPSTA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
nih transformacija. Vidje´cemo da se i takvim elementarnim transformacijama
svaka polinomna matrica moˇze transformisati u njoj ekvivalentnu dijagonalnu
matricu. Koristiti´cemo sljede´ce elementarne transformacije
1. Mnoˇzenje vrste ili kolone elementom a ̸= 0 polja K.
2. Mnoˇzenje jedne vrste ili kolone polinomom iz K[x] i dodavanje nekoj drugoj
vrsti ili koloni.
Primje´cujemo da med¯u elementarnim transformacijama nisu navedene zamjene
mjesta vrstama ili kolonama. To je zato ˇsto je mogu´ce zamijeniti dvije vrste
pomo´cu samo navedenih transformacija. Ako postupimo na sljede´ci naˇcin:
- j-tu vrstu dodamo i-toj.
- j-toj vrsti promijenimo znak.
- i-tu vrstu dodamo j-toj (sada je i-ta vrsta preˇsla u j-tu)
- j-tu vrstu pomnoˇzenu sa −1 dodamo i-toj,
tako smo, u stvari, zamijenili i-tu i j-tu vrstu.
Analogno se moˇze posti´ci i zamjena kolona.
Jasno je da ´ce ovakvim transformacijama elementi matrice uvijek biti iz K[x].
Pod K[x]-ekvivalentnim matricama podrazumijeva´cemo matrice koja se
jedna iz druge mogu dobiti pomo´cu konaˇcnog broja gore navadenih elementarnih transformacija.
Teorema 4.1
Polinomna matrica A(x) = ((eij (x))n×n je K[x]-ekvivalentna nekoj dijagonalnoj matrici E(x) = diag[e1 (x), . . . , en (x)], za koju vrijedi
(i)
(ii)
ei (x)|ei+1 (x), (i = 1, 2, . . . , n − 1).
Svi nenulti polinomi ei (x), (i = 1, 2, . . . , n) su normirani.
Dokaz
Moˇzemo pretpostaviti da je polinom e11 (x) normiran, jer ga moˇzemo normirati
dijeljenjem prve vrste ili kolone najstarijim koeficijentom tog polinoma. Isto
tako, to je polinom najmanjeg stepena od svih polinoma iz prve vrste i prve
kolone matrice A(x). Na osnovu Euklidovog algoritma postoje polinomi qi1 (x)
i ri1 (x) (i = 1, 2, . . . , n), za koje vrijedi
ei1 (x) = qi1 (x) · e11 (x) + ri1 (x), (i = 1, 2, . . . , n),
29
ˇ
4.1. OPSTA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
pri ˇcemu je ri1 (x) = 0 ili st(ri1 (x)) < st(e11 (x)), (i = 2, . . . , n). Mnoˇze´ci prvu
vrstu sa qi1 (x), (i = 1, 2, . . . , n) i oduzimanjem od i-te vrste matricu A(x)
prevodimo na K[x]-ekvivalentnu matricu u kojoj se, u prvoj koloni poˇcev od
drugog mjesta, nalaze sve nule ili polinomi manjeg stepena od e11 (x). Analogno
se moˇze uraditi i sa prvom vrstom. Tako se u prvoj vrsti i koloni dobiju sve nule
(osim e11 (x)) ili se negdje pojavi polinom manjeg stepena od e11 (x). U tom se
sluˇcaju, zamjenom vrsta i kolona taj polinom moˇze dovesti u gornji lijevi ugao.
Ponavljaju´ci prethodni postupak sa tom matricom na kraju dobijamo matricu
B(x), K[x]-ekvivalentnu matrici A(x), oblika


f1 (x)
0
···
0
 0
f22 (x) · · · f2n (x) 


B(x) = 
.
..
..
..
..


.
.
.
.
0
fn2 (x) · · ·
fnn (x)
Pri tome je f1 (x) normirani polinom. Produˇzavaju´ci ovaj postupak moˇzemo
prevesti matricu A(x) na, njoj K[x]-ekvivalentnu, dijagonalnu matricu C(x) =
diag[g1 (x), g2 (x), . . . , gn (x)], pri ˇcemu je svaki od polinoma gi (x) normiran, ako
nije jednak nuli.
Ako polinom g1 (x) ne dijeli g2 (x), dodaju´ci drugu kolonu matrice C(x)
prvoj, vra´camo se na poˇcetak, s tim da poslije prvog koraka u prvoj koloni
dobijamo polinom, ˇciji je stepen manji od stepena polinoma g1 (x). Zamjenom
mjesta vrsta moˇzemo taj polinom dovesti u gornji lijevi ugao i ponoviti postupak. Tako ´ce se u gornjem lijevom uglu dobiti ili 1, ili polinom e1 (x), koji dijeli
drugi polinom na dijagonali. Produˇzavaju´ci ovaj postupak dobijamo traˇzenu
matricu E(x).
Matrica E(x) naziva se opˇsta normalna forma matrice A(x), a polinomi
e1 (x), . . . , en (x) se nazivaju invarijantnim faktorima matrice A(x).
Opˇsta normalna forma diag[e1 (x), . . . , en (x)] ima sljede´ca svojstva:
1. Ako je ei (x) = 0, tada je ej (x) = 0, (j ≥ i)
2. Ako je ei (x) = α ̸= 0, tada je ej (x) = 1, (j ≤ i).
Na taj naˇcin normalna forma matrice A(x) uvijek ima oblik
E(x) = diag(1, 1, . . . , ei (x), . . . , ej (x), 0, . . . , 0),
pri ˇcemu su ek (x), (k = i, . . . , j) normirani polinomi, koji nisu konstante i pri
tome ek (x)|ek+1 (x).
Opˇsta normalna forma se dobija elementarnim transformacijama. Kao i kod
Ermitove kanonske forme dokaza´cemo da je ona svojstvo matrice i da ne zavisi
30
ˇ
4.1. OPSTA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
od elementarnih transformacija. U tom ´cemo cilju definisati pojam sistema
zajedniˇckih djelitelja minora polinomne matrice.
Neka je A(x) polinomna matrica, d1 (x) najve´ci zajedniˇcki djelitelj elemenata te matrice, d2 (x) najve´ci zajedniˇcki djelitelj minora drugog reda matrice
A(x) itd. Dakle, dk (x), (k = 1, 2, . . . , n) je najve´ci zajedniˇcki djelitelj minora
k-tog reda matrice A(x), pri ˇcemu uzimamo dk (x) = 0, k > r = rang(A).
Polinomi d1 (x), . . . , dn (x) nazivaju se sistemom zajedniˇckih djelitelja matrice
A(x).
Pokaˇzimo da se polinomi d1 (x), . . . , dn (x) ne mijenjaju elementarnim transformacijama. Jasno je da to treba dokazati samo za elementarne transformacije
tipa 2). Neka je matrica B(x) nastala iz matrice A(x) tako ˇsto je i-ta vrsta matrice A(x) pomnoˇzena polinomom g(x) dodata j-toj vrsti (i ̸= j). Neka su
dk (x) i δk (x) elementarni djelitelji k-tog reda matrica A(x) i B(x) respektivno.
Jasno je da se u ove dvije matrice razlikuju samo oni minori k-tog reda u kojima se nalazi j-ta, a ne nalazi i-ta vrsta matrice A(x). No, svaki takav minor
matrice B(x) jednak je m1 (x) + g(x)m2 (x), pri ˇcemu su m1 (x) i m2 (x) neki
minori k-tog reda matrice A(x). Zbog toga jasno dk (x)|m1 (x) + g(x)m2 (x).
Ovo znaˇci da dk (x) dijeli sve minore k-tog reda matrice B(x), iz ˇcega slijedi
dk (x)|δk (x). Kada se i-ta vrsta matrice B(x) pomnoˇzena sa −g(x) doda j-toj
vrsti, dobijemo matricu A(x). Na isti naˇcin kao u prethodnom zakljuˇcili bismo
da δk (x)|dk (x), pa kako su to normirani polinomi dobijamo δk (x) = dk (x).
Tako smo dokazali da K[x]-ekvivalentne matrice imaju isti sistem zajedniˇckih djelitelja.
Ako je E(x) = diag(e1 (x), . . . , en (x)) opˇsta normalna forma polinomne matrice A(x), tada je, oˇcigledno, di (x) = e1 (x) · · · ei (x), (i = 1, 2, . . . , n) sistem
najve´cih zajedniˇckih djelitelja te matrice, iz ˇcega slijedi
e1 (x) = d1 (x), ei (x) =
di (x)
, (i = 2, . . . , r = rang(A(x)).
di−1 (x)
(4.1)
U prethodnim jednakostima su invarijantni faktori izraˇzeni preko sistema
najve´cih zajedniˇckih djelitelja, koji ne zavise od elementarnih transformacija,
pa dakle ni invarijantni faktori ne zavise od elementarnih transformacija. Tako
je dokazana
Teorema 4.2
Opˇsta normalna forma matrice A(x) je jedinstvena.
Pored toga vrijedi: Ako je A matrica reda n, En x − A njena svojstvena
matrica, tada je dn (x) svojstveni polinom matrice A. Specijalno je svojstveni
polinom matrice A jednak proizvodu svih invarijantnih faktora.
31
ˇ
4.1. OPSTA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Svakoj od navedenih elementarnih transformacija odgovara invertibilna elementarna matrica. U skladu sa naˇcinom djelovanja elementarnih matrica dobijamo:
Ako je E(x) opˇsta normalna forma matrice A(x), postoje invertibilne matrice S(x) i P (x), za koje vrijedi
E(x) = S(x) · A(x) · P (x).
(4.2)
Matrice S(x) i P (x) se mogu na´ci postupkom koji smo koristili za
odred¯ivanje matrica S i P, u Ermitovoj kanonskoj formi.
Primjedba 4.3
S(x) i P (x) su invertibilne polinomne matrice koje su jednake proizvodu elementarnih polinomnih matrica. Kako su inverzne matrice elementarnih polinomnih matrica ponovo polinomne matrice, to su i S −1 (x) i P −1 (x) takod¯e
polinomne matrice.
Primjer 4.4
Odrediti opˇstu normalnu formu matrice
 3

2x − 6x2 + 5x − 2
2x4 − 5x3 + 2x2
−x3 + 3x2 − 3x + 2
.
A(x) =  2x2 − 6x + 4
2x3 − 5x2 + x + 2
−x2 + 3x − 2
3
2
4
3
2
4
3
2
4x − 12x + 8x
4x + −10x + 2x + 4x x − 8x + 19x − 16x + 4
Rjeˇsenje. Prvo ´cemo u gornji lijevi ugao postaviti polinom najmanjeg stepena i
normirati ga. Za to ´cemo zamijeniti prvu i drugu vrstu. pa prvu i tre´cu kolono,
pa prvu kolonu pomnoˇziti sa −1. Dobijamo matricu


x2 − 3x + 2
2x3 − 5x2 + x + 2
2x2 − 6x + 4

x3 − 3x2 + 3x − 2
2x4 − 5x3 + 2x2
2x3 − 6x2 + 5x − 2 .
4
3
2
4
3
2
−x + 7x − 16x + 14x − 4 2x − 5x + x + 2x
2x3 − 6x2 + 4x
Cio dio pri dijeljenju polinoma x3 − 3x2 + 3x − 2 sa polinomom x2 − 3x + 2 je
x. U sljede´cem koraku, dakle, elemente prve vrste mnoˇzimo sa x i oduzimamo
od odgovaraju´cih elemenata druge vrste. Dobijamo matricu


x2 − 3x + 2
2x3 − 5x2 + x + 2
2x2 − 6x + 4

.
x−2
x2 − 2x
x−2
4
3
2
4
−x + 7x − 16x + 14x − 4 2x − 5x3 + x2 + 2x 2x3 − 6x2 + 4x
32
ˇ
4.1. OPSTA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Postupaju´ci analogno sa prvom i tre´com vrstom dobijamo
 2

x − 3x + 2
2x3 − 5x2 + x + 2
2x2 − 6x + 4
 x−2
.
x2 − 2x
x−2
5
4
3
2
4
3
2
0
2x − 11x + 20x − 11x + −4x + 4 2x − 12x + 26x − 24x + 8
Zamjenom prve i druge vrste i ponavljanjem postupka dobijamo


x−2
x2 − 2x
x−2
 0
.
x3 − 2x2 − x + 2
x2 − 3x + 2
5
4
3
2
4
3
2
0
2x − 11x + 20x − 11x − 4x + 4 2x − 12x + 26x − 24x + 8
Dodaju´ci prvu kolonu pomnoˇzenu sa −x drugoj, pa onda prvu pomnoˇzenu sa
−1 tre´coj koloni dobijamo


x−2
0
0
 0
.
x3 − 2x2 − x + 2
x2 − 3x + 2
5
4
3
2
4
3
2
0
2x − 11x + 20x − 11x − 4x + 4 2x − 12x + 26x − 24x + 8
Zamjenom druge i tre´ce kolone dobijamo


x−2
0
0
 0
.
x2 − 3x + 2
x3 − 2x2 − x + 2
4
3
2
5
4
3
2
0
2x − 12x + 26x − 24x + 8 2x − 11x + 20x − 11x − 4x + 4
Cio dio pri dijeljenju polinoma 2x4 − 12x3 + 26x2 − 24x + 8 sa x2 − 3x + 2
je 2x2 − 6x + 4. Ponavljaju´ci postupak dobijamo


x−2
0
0
 0
.
x2 − 3x + 2
x3 − 2x2 − x + 2
0
0
−x4 + 6x3 − 13x2 + 12x − 4
Cio dio pri dijeljenj polinoma x3 − 2x2 − x + 2 sa polinomom x2 − 3x + 2 je
x + 1. Pomnoˇzimo drugu kolonu sa −x − 1 i dodamo tre´ceoj, pa tako dobijemo


x−2
0
0
 0
.
x2 − 3x + 2
0
4
3
2
0
0
−x + 6x − 13x + 12x − 4
Faktorizacijom polinoma i mnoˇzenjem posljednje vrste sa −1 dobijamo.


x−2
0
0
 0
,
(x − 1)(x − 2)
0
0
(x − 1)2 (x − 2)2
ˇsto je opˇsta normalna forma date matrice.
33
ˇ
4.1. OPSTA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Primjedba 4.5
Treba napomenuti da smo ovim postupkom objasnili kako se polinomna matrica
redukuje na dijagonalnu, za koju se ispostavilo da je opˇsta normalna forma.
Da bismo dobili matrice S(x) i P (x) trebalo bi, za matricu S(x) izvrˇsiti sve
elementarne transformacije koje smo vrˇsili sa vrstama date matrice izvrˇsiti na
jediniˇcnoj matrici i to istim redoslijedom. Analogno bismo dobili P (x).
Teorema 4.6
1. Neka su f (x), g(x) ∈ K[x], polinomi za koje vrijedi d(x) = (f (x), g(x)).
Tada je matrica
A(x) = diag[f (x), g(x)]
K[x]-ekvivalentna matrici
[
]
f (x)g(x)
B(x) = diag d(x),
.
d(x)
2. Neka su f1 (x), f2 (x), . . . , fk (x) ∈ K[x] u parovima relativno prosti polinomi. Tada su matrice
diag[f1 (x), . . . , fk (x)] i diag[1, 1, . . . , 1,
k
∏
fi (x)],
i=1
K[x]-ekvivalentne.
Dokaz
1. Neka su u(x), v(x) ∈ K[x] polinomi za koje vrijedi d(x) = u(x)f (x) +
v(x)g(x). Mnoˇzenjem prve kolone matrice A(x) sa u(x) i dodavanjem drugoj koloni, a zatim mnoˇzenjem druge vrste sa v(x) i dodavanjem prvoj
vrsti, dobijamo matricu
(
)
f (x) d(x)
.
0
g(x)
Zamjenom prve i druge kolone dobijamo matricu
(
)
d(x) f (x)
.
g(x)
0
g(x)
Mnoˇzenjem prve vrste sa − d(x)
i dodavanjem drugoj vrsti dobijamo matricu
(
)
d(x)
f (x)
.
O
− f (x)g(x)
d(x)
34
ˇ
4.1. OPSTA
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
(x)
Treba joˇs prvu kolonu pomnoˇziti sa − fd(x)
i dodati drugoj, i, na kraju,
promijeniti predznak u drugoj koloni, da se dobije traˇzena matrica.
2. Slijedi indukcijom iz prethodnog dijela.
Vidje´cemosada kako se iz opˇste normalne forme matrice dobija njen minimalni polinom.
Teorema 4.7
Minimalni polinom matrice jednak je njenom posljednjem invarijantnom faktoru.
Dokaz
Na osnovu relacije (4.1) vrijedi
|En · x − A| = dn−1 (x)en (x),
pri ˇcemu je dn−1 (x) najve´ci zajedniˇcki djelitelj minora n − 1-og reda svojstvene
matrice, a en (x) posljednji invarijantni faktor. Ako, sa druge strane, sa B(x)
oznaˇcimo asociranu matricu svojstvene matrice En · x − A, tada je (En · x −
A) · B(x) = |En · x − A| · En .
Elementi matrice B(x) su minori n−1-og reda matrice En ·x−A, a dn−1 (x) je
njihov najve´ci zajedniˇcki djelitelj. Zbog toga je B(x) = dn−1 (x)·C(x), pri ˇcemu
ne postoji nekonstantan polinom koji dijeli sve elemente matrice C(x). Imamo,
dakle, dn−1 (x)(En · x − A) · C(x) = dn−1 (x) · en (x) · En . Ova se jednakost moˇze
podijeliti sa dn−1 (x). To se vidi kada se izjednaˇce elementi matrica sa lijeve
strane sa odgovaraju´cim elementima desne strane. Tako dobijemo jednakost
(En · x − A) · C(x) = en (x) · En .
(4.3)
Odavde, na osnovu Hamilton - Kejlijeve teoreme slijedi en (A) = 0. Prema
tome, ako je, m(x) minimalni polinom od A, vrijedi m(x)|en (x). Ako ne bi bilo
m(x) = en (x) postojao bi polinom f (x) (bar prvog stepena) za koji je en (x) =
m(x) · f (x). Prema teoremi 4.5 postoje matriˇcni polinom Q(x) i konstantna
matrica R, tako da je m(x) · En = (En · x − A)Q(x) + R. Kako je m(A) = 0 to
je R = 0, pa uvrˇstavanjem u (4.3) dobijamo
(En · x − A) · C(x) = f (x)(En · x − A) · Q(x).
Kada se lijeva i desna strana ove jednakosti pomnoˇzi asociranom matricom
matrice En x − A, ona postaje
pn (x) · C(x) = pn (x)f (x) · Q(x),
35
ˇ
4.2. KRITERIJUM SLICNOSTI
GLAVA 4. NORMALNE FORME
gdje pn (x) svojstveni polinom, pa se, kao maloprije sa dn−1 (x), ova jednakost
moˇze podijeliti sa pn (x). Tako dobijamo jednakost
C(x) = f (x) · Q(x).
Kako ne postoji polinom koji dijeli sve elemente matrice C(x), mora biti f (x) =
a ∈ K, tj. f (x) = 1, jer su m(x) i en (x) normirani polinomi. Tako dobijamo
m(x) = en (x).
Teorema 4.8
Ako se dvije dijagonalne matrice sastoje od istih elemenata tada su te matrice
sliˇcne, bez obzira na raspored njihovih elemenata. Isto vrijedi i za kvazidijagonalne matrice i raspored blokova.
Dokaz
Ako je A = diag[. . . , di , . . . , dj , . . .], tada je Eij ·A·Eij = diag[. . . , dj , . . . , di , . . .],
−1
a kako je Eij
= Eij to su matrice A i Eij · A · Eij sliˇcne.
Analogno bi se dokazala tvrdnja za kvazidijagonalne matrice.
4.2 Kriterijum za sliˇ
cnost matrica
Svi elementi polinomne matrice A(x) se mogu pisati kao polinomi istog
stepena, ako se uz neke stepene piˇsu nule kao koeficijenti, pa se matrica A(x)
moˇze napisati u obliku
A(x) = Ak xk + Ak−1 xk−1 + · · · + A0 , (Ak ̸= 0),
pri ˇcemu su Ak , . . . , A0 matrice, ˇciji su elementi iz polja K, tj. konstantne matrice. Ovakve ´cemo izraze nazivati matriˇcnim polinomima. Na ovaj smo naˇcin
ve´c pisali svojstvenu matricu En · x − A. Ako je Ak ̸= 0, broj k se, analogno
standardnim polinomima, naziva stepenom matriˇcnog polinoma.
Matriˇcni polinomi imaju koeficijente koji pripadaju nekomutativnom prstenu
Mn (K). Zbog toga neke osobine koje vrijede za polinome ˇciji su koeficijenti iz
polja, ne vrijede za matriˇcne polinome. Radi prisustva djelitelja nule u prstenu
Mn (K) moˇze se npr. desiti da stepen proizvoda dva matriˇcna polinoma nije
jednak zbiru stepena faktora.
Znamo da je jedno od osnovnih svojstava polinoma mogu´cnost dijeljenja
sa ostatkom, tj. Euklidov algoritam. Vidje´cemo da algoritam vrijedi i u ovoj
situaciji
36
ˇ
4.2. KRITERIJUM SLICNOSTI
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Teorema 4.9
Neka su
A(x) = An xn + An−1 xn−1 + · · · + A0
,
B(x) = Bm xm + Bm−1 xm−1 + · · · + B0
matriˇcni polinomi. Ako je pri tome Bm invertibilna matrica, tada postoje jedinstveni matriˇcni polinomi Q1 (x) i R1 (x), za koje vrijedi
A(x) = Q1 (x) · B(x) + R1 (x),
(4.4)
pri ˇcemu je R1 (x) = 0 ili mu je stepen manji od stepena matriˇcnog polinoma
B(x).
Isto tako, postoje jedinstveni matriˇcni polinomi Q2 (x) i R2 (x), za koje vrijedi
A(x) = B(x) · Q2 (x) + R2 (x),
(4.5)
i pri tome je R2 (x) = 0 ili mu je stepen manji od stepena B(x).
Dokaz
Dokaz se provodi indukcijom po n. Ako je n = 0, tj. ako je A(x) = A0 i m = 0,
tj. B(x) = B0 , tada je A0 = (A0 ·B0−1 )·B0 , pa je Q1 (x) = A0 ·B0−1 , R1 (x) = O.
Ako je m > 0, uzmimo Q1 (x) = O, R1 (x) = A0 , pa tvrdnja vrijedi za n = 0.
Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za matriˇcne polinome stepena manjeg od
n i neka je A(x) matriˇcni polinom stepena n. Ako je m ≥ n moˇzemo uzeti
Q1 (x) = 0, R1 (x) = A(x), pa tvrdnja vrijedi. U sluˇcaju m ≤ n matriˇcni
−1 n−m
polinom A(x)−An ·Bm
x
B(x) je stepena manjeg od n, pa za njega tvrdnja
−1 n−m
x
B(x) = Q(x) ·
vrijedi po indukcionoj pretpostavci. Ako je A(x) − An · Bm
−1 n−m
x
, a R1 (x) =
B(x) + R(x), onda je dovoljno uzeti Q1 (x) = Q(x) + An · Bm
R(x).
ˇ se tiˇce jedinstvenosti, ako bi vrijedilo
Sto
Q1 (x) · B(x) + R1 (x) = Q2 (x) · B(x) + R2 (x),
imali bismo
[Q1 (x) − Q2 (x)] · B(x) = R2 (x) − R1 (x).
Ako bi izraz u srednjoj zagradi bio razliˇcit od nule, tada bi stepen polinoma
na lijevoj strani bio ve´ci od stepena polinoma na desnoj. Zato mora vrijediti
Q1 (x) = Q2 (x), a na osnovu toga i R1 (x) = R2 (x).
Na osnovu sljede´ce teoreme lako ´cemo izvesti kriterijum za sliˇcnost matrica.
37
ˇ
4.2. KRITERIJUM SLICNOSTI
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Teorema 4.10
Matrice En · x − A i En · x − B su K[x]- ekvivalentne ako i samo ako postoje
invertibilne konstantne matrice S i P, takve da vrijedi
En · x − A = S · (En · x − B) · P.
Dokaz
Ako postoje matrice P i S, za koje vrijedi tvrdnja, tj. ako su svojstvene matrice
ekvivalentne, one su i K[x]- ekvivalentne. Zato treba dokazati samo obratnu
tvrdnju. Pretpostavimo da su e A i B matrice ˇcije su svojstvene matrice K[x]ekvivalentne. U skladu sa prethodnim, postoje invertibilne matrice S(x) i P (x),
za koje vrijedi
En · x − A = S(x) · (En · x − B) · P (x).
Odavde slijedi
S −1 (x) · (En · x − A) = (En · x − B) · P (x).
(4.6)
Postoje matrice Q1 (x), Q2 (x) i konstantne matrice R1 i R2 , za koje vrijedi
S −1 (x) = (En · x − B)Q1 (x) + R1 ,
P (x) = Q2 (x)(En · x − A) + R2 ,
(4.7)
iz ˇcega slijedi
(En · x − B)[Q1 (x) − Q2 (x)](En · x − A) = (En · x − B)R2 − R1 (En · x − A).
Ako bi bilo Q1 (x) − Q2 (x) ̸= 0, tada bi lijeva strana prethodne jednakosti predstavljala matriˇcni polinom stepena najmanje 2, dok je desna strana
oˇcigledno matriˇcni polinom stepena najviˇse 1, a to je nemogu´ce. Zbog toga je
Q1 (x) = Q2 (x), pa dobijamo
(En · x − B)R2 = R1 (En · x − A).
(4.8)
Ova se jednakost moˇze napisati u obliku x(R2 − R1 ) = BR2 − R1 A, iz ˇcega
slijedi R2 = R1 (= R) i
BR = RA.
(4.9)
Treba joˇs dokazati da je matrica R invertibilna. U relaciji (4.7) imamo
S −1 (x) = (En · x − B)Q(x) + R,
.
P (x) = Q(x)(En · x − A) + R
Slijedi
En = (En · x − B)Q(x)S(x) + RS(x).
38
ˇ
4.2. KRITERIJUM SLICNOSTI
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Piˇsu´ci S(x) u obliku S(x) = (En · x − A)Q3 (x) + R3 dobijamo
En = (En · x − B)Q(x)S(x) + (En · xR − RA)Q3 (x) + RR3 .
Na osnovu jednakosti (4.9) odavde slijedi
En = (En · x − B)Q(x)S(x) + (En · xR − BR)Q3 (x) + RR3 ,
odnosno
En = (En · x − B)[Q(x)S(x) + RQ3 (x)] + RR3 .
Ako bi izraz u uglastoj zagradi bio razliˇcit od nule, onda bi izraz na desnoj strani
bio matriˇcni polinom stepena bar 1, a to je nemogu´ce. Zato je En = RR3 , ˇsto
p[okazuhe da je R invertibilna matrica.
Sata jednakost (4.8) ima oblik
(En · x − A) = R−1 (En · x − B)R,
ˇcime je teorema dokazana.
Iz prethodne teoreme lako slijedi sljede´ci kriterijum za sliˇcnost matrica:
Teorema 4.11
Kvadratne matrice istog reda su sliˇcne ako i samo ako su njihove svojstvene
matrice K[x]-ekvivalentne. Drugim rijeˇcima, dvije matrice su sliˇcne ako i samo
ako njihove svojstvene matrice imaju istu opˇstu normalnu formu.
Dokaz
Ako su matrice A i B sliˇcne, tada postoji invertibilna matrica P za koju je
A = P −1 BP. Odavde je En · x − A = En · x − P −1 BP = P −1 (En · x − B)P, pa
su svojstvene matrice ne samo K[x]- ekvivalentne, nego su ˇcak i sliˇcne.
Obratno, ako su svojstvene matrice K[x]-ekvivalentne, prema prethodnoj
teoremi postoji invertibilna matrice R, za koje je En ·x−A = R−1 (En ·x−B)R.
Odavde je En · x − A = En · x − R−1 BR, iz ˇcega slijedi
B = P −1 AP,
pri ˇcemu je P = R−1 , pa su matrice A i B su sliˇcne.
Iz prethodnog se moˇze dobiti i konkretan postupak za provjeru da li su dvije
date matrice A i B sliˇcne i odred¯ivanje matrice P za koju je B = P −1 · A · P.
Postupak ide ovako: Postupak ide ovako:
39
ˇ
4.3. RAC. I ZORD.
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
1. U skladu sa relacijom (4.2) odrediti matrice S1 (x), S2 (x), P1 (x) i P2 (x),
tako da je
E1 (x) = S1 (x) · (En · x − A) · P1 (x),
E2 (x) = S2 (x) · (En · x − B) · P2 (x),
pri ˇcemu je E1 (x) normalna forma svojstvene matrice od A, a E2 (x) normalna forma svojstvene matrice od B.
2. Ako je E1 (x) = E2 (x) onda su matrice A i B sliˇcne.
Na osnovu prethodne teoreme matrica P, za koju je B = P −1 · A · P, dobija
se iz jednakosti En · x − A = S(En · x − B)P. Iz 1) dobijamo
En · x − A = S1 (x)−1 S2 (x) · (En · x − B) · P2 (x)P1 (x)−1 .
3. U skladu sa relacijom (4.7), matricu P dobijamo dijeljenjem zdesna matrice
P2 (x)P1 (x)−1 matricom En · x − B.
ˇ
4.3 Racionalna i Zordanova
normalna forma
Neka je sada A konstantna matrica. Prvo ´cemo pretpostaviti da su elementi
matrice iz proizvoljnog polja K i odrediti racionalnu ili Frobenijusovu kanonsku
formu, koja je matrica sa elementima iz istog polja K.
Zatim ´cemo pretpostaviti da je K polje kompleksnih brojeva i izvesti
ˇ
,,jednostavniju”normalnu formu, koju ´cemo nazvati Zordanova
normalna forma.
Teorema 4.12
Ako je A ∈ Mn (K) proizvoljna matrica, onda je A sliˇcna matrici
F = diag(F1 , F2 , . . . , Fn ),
pri ´cemu su F1 , . . . , Fk Frobenijusove matrice.
Dokaz
Neka je E(x) = diag(e1 (x), e2 (x), . . . , en (x)) opˇsta kanonska forma svojstvene
matrice, a F = diag(F1 , F2 , . . . , Fk ), dijagonalna blok matrica ˇciji su blokovi
Fi , (i = 1, . . . , n) prate´ce matrice polinoma ei (x), (i = 1, . . . , n).
Na osnovu teoreme 2.9 je svojstveni polinom matrica Fi jednak je njenom
svojstvenom polinomu, tako da je je opˇsta kanonska forma bloka Fi jednaka
diag(1, 1, . . . , ei ).
40
ˇ
4.3. RAC. I ZORD.
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Prema tome, matrice A i F imaju iste opˇste kanonske forme, pa su sliˇcne.
Definicija 4.13
Matrica F naziva se racionalna ili Frobenijusova normalna forma matrice A.
Sada ´cemo pretpostaviti da su elementi matrice A iz polja kompleksnih brojeva
(ili iz bilo kojeg algebarski zatvorenog polja).
Teorema 4.14
ˇ
Ako je Jn (λ) Zordanov
blok reda n, tada je
diag(1, . . . , 1, (x − λ)n ,
(4.10)
njegova opˇsta normalna forma.
Dokaz
ˇ
Za svojstvenu matricu Zordanovog
bloka vrijedi

x−λ
−1
 0
x
−λ

 ..
..
En · x − Jn (λ) =  .
.

 0
0
0
0
···
−1
..
.
0
···
..
.
···
···
x−λ
0
0
0
..
.




.

−1 
x−λ
Nad¯imo prvo sistem d1 (x), . . . , dn (x) najve´cih zajedniˇckih djelitelja minora ove
matrice. Oˇcigledno je
dn (x) = det(En · x − Jn (λ)) = (x − λ)n .
Minor n − 1-og reda nastao izostavljanjem prve kolone i posljednje vrste jednak
je (−1)n−1 , pa je
d1 (x) = . . . = dn−1 (x) = 1.
Tako imamo samo jedan nekonstantan invarijantni faktor fn (x) = (x − λ)n .
ˇ
Prema tome, opˇsta normalna forma svojstvene matrice Zordanovog
bloka Jn (λ)
ima oblik (4.10).
Odavde neposredno slijedi.
41
ˇ
4.3. RAC. I ZORD.
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Posljedica 4.15
ˇ
Sliˇcni Zordanovi
blokovi moraju biti jednaki.
Definicija 4.16
ˇ
ˇ
Kvazidijagonalnu matricu ´ciji su blokovi Zordanovi
nazivamo Zordanovom
matricom.
Na osnovu teoreme 4.8 imamo
Posljedica 4.17
ˇ
Ako se dvije Zordanove
matrice sastoje od istih blokova u, eventualno,
razliˇcitom poretku, te matrice su sliˇcne.
Dokaza´cemo sada glavni rezultat ovog dijela kursa.
ˇ
Teorema 4.18 (Teorema o Zordanovoj
normalnoj formi)
ˇ
Svaka kompleksna kvadratna matrica sliˇcna je nekoj Zordanovoj
matrici, koja
je jedinstvena, do rasporeda blokova.
Dokaz
Neka je A kompleksna matrica matrica, a p(x) = (x − λ1 )ν1 · · · (x − λk )νk , njen
svojstveni polinom. Tu su λ1 , . . . , λk med¯usobno razliˇcite svojstvene vrijednosti,
a ν1 +· · ·+νk = n. Neka je E(x) = diag(e1 (x), . . . , en (x)) opˇsta kanonska forma
matrice A. Na osnovu osobina opˇste normalne forme vrijedi
ei (x) = (x − λ1 )µ1i · · · (x − λk )µki , (i = 1, . . . , n),
pri ˇcemu je i < j vrijedi
0 ≤ µsi ≤ µsj ≤ νs , (s = 1, 2, . . . , k).
Posmatrajmo tabelu
(x − λ1 )µ11 , (x − λ1 )µ12 , . . . , (x − λ1 )µ1,n ,
(x − λ2 )µ21 , (x − λ2 )µ22 , . . . , (x − λ2 )µ2,n ,
..
.
(x − λk )µk1 , (x − λk )µk2 , . . . , (x − λk )µk,n .
42
(4.11)
ˇ
4.3. RAC. I ZORD.
FORMA
GLAVA 4. NORMALNE FORME
Ova tabela ima osobinu da je proizvod polinoma u i-toj koloni jednak ei (x),
za i = 1, 2, . . . , n.
Formirajmo, uz pomo´c ove tabele sljede´cu tabelu koja se sastoji od
ˇ
Zordanovih
blokova;
Jµ11 (λ1 ), Jµ12 (λ1 ), . . . , Jµ1,n (λ1 ),
Jµ21 (λ2 ), Jµ22 (λ2 ), . . . , Jµ2,n (λ2 ),
..
.
(4.12)
Jµk1 (λk ), Jµk2 (λk ), . . . , Jµt,n (λk ).
ˇ
Posmatrajmo Zordanovu
matricu J koja se sastoji od blokova iz prethodne
tabele. Kako raspored blokova nije bitan, matricu J moˇzemo napisati u obliku
J = diag(J1 , J2 , . . . , Jn ),
Pri ˇcemu je Ji , (i = 1, 2, . . . , n) matrica koja se sastoji od blokova iz i-te kolone
tabele (4.12).
Kako su polinomi iz i-te kolone u tabeli (4.11) relativno prosti, a to su
ˇ
svojstveni polinomi Zordanovih
blokova iz bloka Ji , to, na osnovu teoreme 4.6,
znaˇci da je ei (x) opˇsta kanonska forma bloka Ji . Zakljuˇcujemo da matrice A i
J imaju iste opˇste normalne forme, pa su na osnovu teoreme 4.10 sliˇcne.
43
5
Unitarni prostori
5.1 Definicija i osnovne osobine
Poznato je da u prostoru slobodnih vektora postoje tzv. ,,metriˇcki”odnosi.
To su pojmovi intenziteta vektora, ortogonalnosti i opˇstije pojam ugla imed¯u
dva vektora. Svi su ti pojmovi vezani za pojam skalarnog proizvoda. O
tome ´cemo govoriti prvo u prostoru slobodnih vektora, gdje ti pojmovi imaju
svoju geometrijsku interpretaciju, a zatim ´cemo dati uopˇstenje na proizvoljne
konaˇcnodimenzionalne prostore nad poljem realnih ili kompleksnih brojeva.
Definisa´cemo skalarni proizvod drukˇcije u odnosu na standardnu definiciju u
algebri vektora, pa ´cemo pokazati da su te definicije ekvivalentne. Pri tome ´ce
se definicija, koju ´cemo dati, lako uopˇstiti na konaˇcnodimenzionalne realne i
kompleksne prostore.
Skalarni proizvod se u vektorskoj algebri definiˇse na sljede´ci naˇcin:
Za vektore a ̸= ⃗0 i b ̸= ⃗0 definiˇsemo skalarni proizvod a · b sa
a · b = |a| · |b| cos ^(a, b).
(5.1)
Pri tome se pod uglom ^(a, b) podrazumijeva manji od uglova koji ta dva
vektora zaklapaju, kada se dovedu u zajedniˇcki poˇcetak.
Da´cemo sada drugu definiciju skalarnog proizvoda koja ´ce biti pogodnija za
uopˇstenje na prostore sa viˇse dimenzija.
Neka je i, j, k baza prostora slobodnih vektora sastavljena od tri med¯usobno
ortogonalna jediniˇcna vektora desne orijentacije.
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
5.1. DEFINICIJA I OSOBINE
Neka su a = ax · i + ay · j + az · k , b = bx · i + by · j + bz · k vektori. Definisa´cemo
skalarni proizvod a · b sa
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz .
(5.2)
Iz ove definicije jednostavno se dobijaju osnovne osobine skalarnog proizvoda.
Za proizvoljne vektore a, b, c i proizvoljni skalar α ∈ R vrijedi
1)
2)
3)
4)
a · a = |a|2 ,
a · b = b · a,
α · (a · b) = (α · a) · b = a · (α · b),
a · (b + c) = a · b + a · c.
Zbog postojanja ortogonalnih vektora u prostoru slobodnih vektora mogu´ce
je govoriti o ortogonalnoj projekciji.
Neka je U jednodimenzionalni potprostor odred¯en vektorom u. Neka je W
potprostor generisan sa bilo koja dva nekolinearna vektora, koji su ortogonalni
na dati vektor u.
Projekciju vektora a na potprostor U, paralelno potprostoru W, nazivamo
ortogonalnom projekcijom vektora a na u.
Iz definicije slijedi da je ortogonalna projekcija vektora a na potprostor U
vektor α · u ∈ U, za koji je a = αu + w, pri ˇcemu je w ∈ W normalan na sve
vektore iz U. Oznaˇcimo sa pru a = α|u|. Tada je
pru a = |a| cos ^(u, a)
(5.3)
i ovo ´cemo nazivati skalarnom projekcijom vektora a na vektor u.
Neka je a = ax · i + ay · j + az · k. Iz ˇcinjenice da je projekcija linearno
preslikavanje slijedi
ax = pra i = |a| cos ^(a, i),
ay = pra j = |a| cos ^(a, j), .
az = pra k = |a| cos ^(a, k)
Specijalno, skalarne projekcije jediniˇcnog vektora su kosinusi smjera tog vektora. Iz toga i Pitagorinog pravila dobijamo
√
√
|a| = a · a = a2x + a2y + a2z .
(5.4)
Da iz definicije (5.1) skalarnog proizvoda slijedi taˇcnost iskaza u definiciji (5.2)
dokazuje se u vektorskoj algebri, koriˇstenjem osnovnih osobina skalarnog proizvoda.
Mi ´cemo dokazati obrat. Na osnovu (5.3) imamo
prb a = |a| cos ^(a, b).
45
5.1. DEFINICIJA I OSOBINE
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
Na osnovu (5.3) dalje imamo
prb a = ax prb i + ay prb j + az prb k = ax
bx
by
bz
a·b
+ ay ·
+ az
=
.
|b|
|b|
|b|
|b|
Odavde slijedi
a · b = |a| · |b| cos ^(a, b),
ˇsto je i trebalo dokazati.
Uopˇsti´cemo prvo skalarni proizvod na vektorske prostore nad poljem realnih
brojeva.
Neka je Xn prostor nad poljem realnih brojeva R, {e1 , . . . , en } bilo koja baza,
∑n
∑n
a x, y ∈ Xn . Neka je x = i=1 xi ei , y = i=1 yi ei . Definiˇsimo funkciju
⟨ · , ·⟩ : Xn × Xn → R,
na sljede´ci naˇcin
⟨x, y⟩ = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn .
(5.5)
Osnovne osobine ove funkcije, koje se lako dokazuju, dajemo u sljede´coj
Theorem 5.1
Za svako x, y, z ∈ Xn , α ∈ R vrijedi
1)
2)
3)
4)
⟨x, x⟩ ≥ 0, ⟨x, x⟩ = 0, ako i samo ako x = 0,
⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩,
⟨x + y, z⟩ = ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩,
α⟨x, y⟩ = ⟨α · x, y⟩.
Za vektore baze specijalno vrijedi
⟨ei , ej ⟩ = δij , (i, j = 1, . . . , n).
(5.6)
Ako je X bilo koji vektorski prostor nad poljem realnih brojeva, tada se
funkcija ⟨ · , · ⟩ : X × X → R, koja zadovoljava osobine iz prethodne teoreme
naziva skalarnim proizvodom na X. Prostor X nad R, na kome je definisan
skalarni proizvod, naziva se Euklidovim prostorom.
Vrijedi
0 ≤ ⟨x + αy, x + αy⟩ = ⟨x, x⟩ + ⟨x, αy⟩ + ⟨αy, x⟩ + ⟨αy, αy⟩,
za svaki x, y ∈ X, α ∈ R. Odavde slijedi
0 ≤ ⟨x, x⟩ + 2α⟨x, y⟩ + α2 ⟨y, y⟩.
46
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
5.1. DEFINICIJA I OSOBINE
Desna strana ove nejednakosti je kvadratni trinom po α, nenegativan za sve
vrijednost α, pa njegova diskriminanta mora biti manja ili jednaka nuli, tj.
vrijedi
⟨x, y⟩2 ≤ ⟨x, x⟩ · ⟨y, y⟩.
Ako je, specijalno, skalarni proizvod na Xn zadat relacijom (5.5) dobijamo
Theorem 5.2 (Nejednakost Koˇsi-Bunjakovskog)
Za realne brojeve
x1 , x2 , . . . , xn ; y1 , y2 , . . . , yn
vrijedi
v
v
n
u n
n
u
∑
∑
u
u∑
t
2
xk yk ≤
xk · t
yk2 .
k=1
k=1
k=1
Pojam norme u Euklidovim i unitarnim prostorima nastaje uopˇstavanjem
pojma intenziteta vektora, tj. relacije (5.4).
Definicija 5.1
Normom vektora x Euklidovog prostora X naziva´cemo realan nenegativan broj
√
⟨x, x⟩ i oznaˇcavati sa
√
||x|| = ⟨x, x⟩.
(5.7)
Pomo´cu norme nejednakost Koˇsi-Bunjakovskog moˇze se napisati u obliku
|⟨x, y⟩| ≤ ||x|| · ||y||.
Definicija 5.2
Ugao φ izmed¯u nenultih vektora x i y definisa´cemo jednakoˇs´cu
cos φ =
⟨x, y⟩
.
||x|| · ||y||
(5.8)
Ako je, specijalno, ⟨x, y⟩ = 0, za vektore kaˇzemo da su ortogonalni.
Primjedba 5.3
Napomenimo da je, na osnovu nejednakosti Koˇsi-Bunjakovskog, desna strana u
posljednjoj nejednakosti po apsolutnoj vrijednosti manja od 1, pa je to kosinus
nekog realnog ugla φ, (0 ≤ φ ≤ π).
47
5.1. DEFINICIJA I OSOBINE
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
U sljede´coj teoremi dajemo osnovne osobine norme (koje ima i intenzitet u
prostoru slobodnih vektora).
Teorema 5.4
Neka je X Euklidov prostor. Za svako x, y ∈ X, λ ∈ R vrijedi
1) ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 ako i samo ako x = 0,
2) ||λ · x|| = |λ| · ||x||,
3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Dokaz
Prve dvije osobine se jednostavno provjeravaju. Tre´ca nejednakost izvodi se na
sljede´ci naˇcin:
||x + y||2 = ⟨x + y, x + y⟩ = ⟨x, x⟩ + 2 · ⟨x, y⟩ + ⟨y, y⟩ =
= ||x||2 + 2 · ⟨x, y⟩ + ||y||2 .
Na osnovu nejednakosti Koˇsi-Bunjakovskog odavde dobijamo
||x + y||2 ≤ ||x||2 + 2 · ||x|| · ||y|| + ||y||2 ≤ (||x|| + ||y||)2 ,
ˇsto je ekvivalentno traˇzenoj nejednakosti.
Nejednakost 3) iz prethodne teoreme naziva se nejednakost trougla ili nejednakost Minkovskog.
U prostorima nad poljem kompleksnih brojeva situacija je neˇsto drukˇcija. I
ovdje je mogu´ce definisati skalarni proizvod, kao i normu i pojam ortogonalnih
vektora. Od skalarnog proizvoda traˇzimo da zadovoljava uslove iz teoreme 5.1.
Ako se on definiˇse na isti naˇcin kao u Euklidovim prostorima, bi´ce zadovoljene
sve osobine, osim prve. No baˇs ta osobina je fundamentalna i daje vezu izmed¯u
skalarnog proizvoda i norme. Mogu´ce je definisati skalarni proizvod tako da zadovoljava uslove 1), 3), 4) i modifikovan uslov 2). Time ´ce biti mogu´ce definisati
normu jednakoˇs´cu (5.7), tako da budu zadovoljeni uslove iz teoreme 5.4.
Neka je Xn prostor nad poljem kompleksnih brojeva C, {e1 , . . . , en } baza
∑n
∑n
tog prostora, a u = i=1 ui ei , v = i=1 vi ei .
Definiˇsimo funkciju ⟨ · , · ⟩ : X × X → C na sljede´ci naˇcin
⟨u, v⟩ = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn .
48
(5.9)
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
5.1. DEFINICIJA I OSOBINE
Neposredno se provjerava da ovako definisana funkcija ima sljede´ce osobine:
Za svako u, v, w ∈ Xn , α ∈ C vrijedi
1)
2)
3)
4)
⟨u, u⟩ ≥ 0, ⟨u, u⟩ = 0, ako i samo ako u = 0,
⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩,
⟨u + v, w⟩ = ⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩,
α⟨u, v⟩ = ⟨α · u, v⟩.
Neka je X vektorski prostor nad poljem C. Funkcija ⟨ · , ·⟩ : X × X → C,
koja zadovoljava uslove prethodne teoreme nazivamo skalarnim proizvodom na
X, a prostor X nazivamo unitarnim prostorom.
Primjedba 5.5
Primijetimo da ako je skalarni proizvod dat relacijom (5.9), tada bazni vektori
e1 , . . . , en zadovoljavaju, kao i kod Euklidovog prostora, uslov (5.6). Vidje´cemo
u daljem da se uvijek moˇze odrediti baza prostora, za koju su ispunjeni uslovi
(5.6). To pokazuje da se skalarni proizvod u konaˇcnodimenzionalnim prostorima
uvijek moˇze definisati jednakoˇs´cu (5.9).
Moˇze se primijetiti da je jedina razlika koju imaju skalarni proizvodi u
realnim i kompleksnim prostorima sadrˇzana u osobini 2) prethodne teoreme.
Razlika je joˇs i u sljede´coj osobini:
⟨x, αy⟩ = α⟨x, y⟩.
(5.10)
Jasno je da su Euklidovi prostori specijalan sluˇcaj unitarnih prostora, kada se
umjesto polja kompleksnih uzme polje realnih brojeva.
Dokaz nejednakosti Koˇsi-Bunjakovskog, koji smo dali za Euklidove prostore,
ne moˇze se direktno prenijeti na unitarne prostore. No, ta nejednakost ostaje
da vrijedi i u unitarnim prostorima
Theorem 5.3
Neka je X unitaran prostor, a u, v ∈ X proizvoljni. Vrijedi
√
√
|⟨u, v⟩| ≤ ⟨u, u⟩ ⟨v, v⟩.
Specijalno, za kompleksne brojeve
u1 , u2 , . . . , un ; v1 , v2 , . . . , vn
vrijedi
v
n
v
u n
n
∑
u
∑
u
u∑
u k vk ≤ t
|uk |2 · t
|vk |2 .
k=1
k=1
49
k=1
5.1. DEFINICIJA I OSOBINE
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
Dokaz
U proizvoljnom n-dimenzionalnom unitarnom prostoru vrijedi
0 ≤ ⟨u − αv, u − αv⟩ = ⟨u, u⟩ − ⟨u, αv⟩ − ⟨αv, u⟩ + ⟨αv, αv⟩,
za svaki α ∈ C. Odavde slijedi
0 ≤ ⟨u, u⟩ − α⟨v, u⟩ − α⟨u, v⟩ + αα⟨v, v⟩.
Za v = 0 oˇcigledno vrijedi jednakost, pa moˇzemo pretpostaviti da je v ̸= 0.
Traˇzena se nejednakost dobija kada su u prethodnu nejednakost stavi
α=
⟨u, v⟩
.
⟨v, v⟩
Druga nejednakost iz teoreme se dobije kada se, specijalno, skalarni proizvod
definiˇse sa (5.9).
Zbog ˇcinjenice da je ⟨x, y⟩ kompleksan broj, to se u kompleksnim prostorima
⟨x,y⟩
ne moˇze definisati pojam ugla kao u realnim prostorima, jer bi tada broj ||x||·||y||
bio kompleksan, pa ne bi mogao biti kosinus realnog ugla.
Med¯utim, i u unitarnim prostorima se moˇze definisati pojam ortogonalnosti
(normalnosti) vektora. Pri tome ´cemo ortogonalnim nazivati vektore u i v za
koje je ⟨u, v⟩ = 0. U unitarnom se prostoru, na isti naˇcin kao u Euklidovom,
moˇze uvesti pojam norme vektora i ta norma zadovoljava uslove i teoreme 5.4.
Definicija 5.6
Neka su x1 , . . . , xk vektori unitarnog prostora X. Matricu
 1 1

⟨x , x ⟩ ⟨x1 , x2 ⟩ · · · ⟨x1 , xk ⟩
 ⟨x2 , x1 ⟩ ⟨x2 , x2 ⟩ · · · ⟨x2 , xk ⟩ 



,
..
..
..
..


.
.
.
.
k
1
k
2
k
k
⟨x , x ⟩ ⟨x , x ⟩ · · · ⟨x , x ⟩
nazivamo Gramovom matricom datih vektora. Determinantu ove matrice
oznaˇcava´cemo sa G(x1 , . . . , xk ) i nazivati Gramovom determinantom.
Teorema 5.7
Neka je dat skup vektora x1 , . . . , xk unitarnog prostora X, j ∈ {1, . . . , k} fiksi∑
ran i y = xj + i̸=j λk xk . Tada je
G(x1 , . . . , xj , . . . , xk ) = G(x1 , . . . , xj−1 , y, xj+1 , . . . , xk ).
50
ˇ
5.2. GRAM-SMIT
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
Dokaz
Ako i-tu vrstu determinante G(x1 , . . . , xk ), (i ̸= j) pomnoˇzenu sa λi (ali tako
da se sa λi mnoˇze prve komponente u skalarnim proizvodima, koji ˇcine tu
vrstu) dodamo j-toj vrsti, pa zatim i-tu kolonu pomnoˇzenu sa λi (ali tako da
se sa λi mnoˇze druge komponente u skalarnim proizvodima, koji ˇcine tu kolonu)
dodamo j-toj koloni, dobi´cemo determinantu
G(x1 , . . . , xj−1 , y, xj+1 , . . . , xk ).
Kao neposrednu posljedicu ove teoreme imamo: Gramova determinanta G(x1 , . . . , xk )
jednaka je nuli ako i samo ako su vektori x1 , . . . , xk linearno zavisni.
ˇ
5.2 Gram-Smitov
postupak ortogonalizacije
Definicija 5.8
Za skup vektora {x1 , . . . , xk } unitarnog prostora X kaˇze se da je ortogonalan,
ako za i ̸= j vrijedi ⟨xi , y j ⟩ = 0. Ako su joˇs i norme vektora jednake 1, sistem
se naziva ortonormiranim.
Primjedba 5.9
Jednoˇclane skupove ´cemo, zbog jednostavnosti, takod¯e smatrati ortogonalnim.
Primjer 5.10
Vektori i, j, k ˇcine ortonormiranu bazu prostora slobodnih vektora. Ako je skalarni proizvod zadat relacijom (5.9) ili relacijom (5.5), tada jednakosti (5.6)
pokazuju da bazni vektori predstavljaju ortonormiran skup vektora.
Iz definicije Gramove matrice slijedi:
Gramova matrica nekog skupa vektora je dijagonalna ako i samo ako je taj
skup ortogonalan, a jediniˇcna ako je skup ortonormiran.
Teorema 5.11
Svaki ortogonalan podskup Y unitarnog prostora X je linearno zavisan.
51
ˇ
5.2. GRAM-SMIT
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
Dokaz
Ako je α1 · y 1 + α2 · y 2 + · · · + αk · y k = 0, za y i ∈ Y, (i = 1, . . . , k), tada
mnoˇzenjem ove jednakosti skalarno sa y j dobijamo αj ⟨y j , y j ⟩ = 0, tj. αj =
0, (j = 1, . . . , k).
Obrat ove tvrdnje nije taˇcan, jer ve´c u ravni linearno nezavisni vektori ne
moraju biti med¯usobno ortogonalni. Dokaza´cemo med¯utim da se svaki linearno
nezavisan skup vektora moˇze ortogonalizovati.
ˇ
Teorema 5.12 (Gram-Smitov
postupak ortogonalizacije)
Neka je m prirodan broj, a {x1 , . . . , xm } skup linearno nezavisnih vektora unitarnog prostora X. Tada postoji ortogonalan skup {y 1 , . . . , y m } vektora, koji
imaju sljede´cu osobinu [x1 , . . . , xi ] = [y 1 , . . . , y i ], (i = 1, . . . , m). Postoji takod¯e
i ortonormiran skup {z 1 , . . . , z m } sa istom osobinom.
Dokaz
Dokaz provodimo indukcijom u odnosu na m. Za m = 1 tvrdnja je trivijalna,
jer svaki jednoˇclani skup smatramo ortogonalnim. Neka je tvrdnja taˇcna za sve
skupove sa k ≤ m − 1 linearno nezavisnih vektora i neka je {x1 , . . . , xm } linearno nezavisan skup. Po indukcionoj pretpostavci postoji skup {y 1 , . . . , y m−1 }
med¯usobno normalnih vektora za koje je [x1 , . . . , xi ] = [y 1 , . . . , y i ], (i =
1, . . . , m − 1). Definiˇsimo vektor y m jednakoˇs´cu
y m = xm + α1 · y 1 + · · · + αm−1 · y m−1
i pokaˇzimo da je mogu´ce odrediti skalare αi tako da y m bude normalan na
sve y i , (i = 1, . . . , m − 1). U tom cilju mnoˇzimo gornju jednakost sa y i , (i =
1, . . . , m − 1) i dobijamo
0 = ⟨y m , y i ⟩ = ⟨xm , y i ⟩ + αi ⟨y i , y i ⟩.
Odavde se vidi da se za traˇzene skalare moˇze uzeti
αi = −
⟨xm , y i ⟩
, (i = 1, . . . , m − 1).
||y i ||2
Prema tome imamo
y m = xm −
m−1
∑
i=1
⟨xm , y i ⟩ i
y.
||y i ||2
Iz ove jednakosti jednostavno slijedi i
[x1 , . . . , xm ] = [y 1 , . . . , y m ],
52
(5.11)
ˇ
5.2. GRAM-SMIT
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
ˇcime je prvi dio teoreme dokazan. Za drugi dio dovoljno je uzeti
zi =
yi
, (i = 1, . . . , m).
||y i ||
Primjedba 5.13
ˇ
Ako je baza {y 1 , . . . , y n } unitarnog prostora X dobijena, Gram-Smitovim
po1
n
stupkom ortogonalizacije, iz baze {x , . . . , x } tada je matrica prelaska sa jedne
baze na drugu gornja trougaona matrica.
ˇ
Kao neposrednu posljedicu Gram-Smitovog
postupka ortogonalizacije imamo
Teorema 5.14
U svakom konaˇcnodimenzionalnom unitarnom prostoru postoji ortonormirana
baza.
Neka je {e1 , . . . , en } ortonormirana baza unitarnog prostora X, a x ∈ X
∑n
i
ze´ci sa ej , (j = 1, . . . , n) odavde
proizvoljan. Tada je x =
i=1 αi e . Mnoˇ
dobijamo
n
∑
⟨x, ej ⟩ =
αi ⟨ei , ej ⟩ = αj .
i=1
Vrijedi, dakle:
Ako je {e1 , . . . , en } ortonormirana baza prostora X i x ∈ X, tada je
x=
n
∑
⟨x, ei ⟩ei .
i=1
Skalari ⟨x, e ⟩ zovu se Furijeovi koeficijenti od x, u odnosu na bazu {e1 , . . . , en }.
Skalarni proizvod, u odnosu na ortonormiranu bazu, izraˇzava se relacijama (5.5)
i (5.9). Naime, vrijedi:
∑n
∑n
Ako je {e1 , . . . , en } baza unitarnog prostora X, x = i=1 xi ei , y = j=1 yj ej ,
tada je
n ∑
n
∑
⟨x, y⟩ =
xi y j ⟨ei , ej ⟩.
i
i=1 j=1
Ako je data baza ortonormirana, tada je
⟨x, y⟩ =
n
∑
i=1
53
xi y i .
ˇ
5.2. GRAM-SMIT
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
Primjedba 5.15
Prethodna jednakost pokazuje da se skalarni proizvod uvijek moˇze zadati relacijom (5.5) ili (5.9).
Dokaza´cemo joˇs jednu osobinu ortonormiranih baza, koja ´ce dati vezu izmed¯u ovakvih baza i ortogonalnih matrica.
Teorema 5.16
Ako su {e1 , e2 , . . . , en } i {f1 , f2 , . . . , fn } dvije ortonormirane baze unitarnog
(Euklidovog) prostora X, tada je matrica prelaska sa jedne baze na drugu
unitarna (ortogonalna).
Dokaz
Neka je Q matrica prelaska sa prve baze na drugu. Vrijedi
ei =
n
∑
qki f k , (i = 1, . . . , n),
k=1
iz ˇcega slijedi
δij = ⟨ei , ej ⟩ =
n
∑
qki qkj , (i, j = 1, 2, . . . , n),
k=1
ˇsto upravo znaˇci da je matrica Q unitarna (ortogonalna), prema teoremi ??.
Neka je Y potprostor unitarnog prostora X. Definiˇsimo skup Y ⊥ sa
Y ⊥ = {x ∈ X : ⟨x, y⟩ = 0, y ∈ Y }.
Lako se provjerava da je Y ⊥ potprostor. Pokaˇzimo joˇs da je to komplement
potprostora Y. Jasno je Y ∩ Y ⊥ = {0}. Pretpostavimo da je {e1 , . . . , en } ortonormirana baza prostora X, takva da vektori e1 , . . . , ek ˇcine bazu prostora Y.
∑k
∑n
Za svaki x ∈ X vrijedi x = i=1 αi ei + i=k+1 αi ei , pri ˇcemu je prvi sabirak
iz Y, a drugi iz Y ⊥ . Prema tome vrijedi:
Ako je Y potprostor unitarnog prostora X, tada je
X = Y ⊕ Y ⊥.
Potprostor Y ⊥ naziva se ortogonalni komplement potprostora Y.
54
ˇ
5.2. GRAM-SMIT
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
Osnovne osobine ortogonalnog komplementa dajemo u sljede´coj tvrdnji:
Ako su U i V potprostori unitarnog prostora X, vrijedi:
1)
2)
3)
Ako je U ⊂ V, tada je U ⊥ ⊃ V ⊥ .
( ⊥ )⊥
U
= U.
⊥
Iz U = V ⊥ slijedi U = V.
(5.12)
Stvarno, tvrdnja 1) je oˇcigledna, dok tvrdnja 2) slijedi iz prethodne tvrdnje,
jer je U ortogonalni komplement od U ⊥ , dok 3) slijedi iz 1) i 2).
Zbog postojanja ortogonalnih vektora mogu´ce je, u unitarnim prostorima,
definisati i pojam ortogonalne projekcije.
Definicija 5.17
Neka je X unitaran prostor, Y potprostor od X. Projekciju prostora X na
potprostor Y paralelno potprostoru Y ⊥ nazivamo ortogonalnom projekcijom.
Iz prethodne teoreme slijedi:
Ako je X unitaran prostor, a Y potprostor, tada ortogonalna projekcija
prY X postoji i jedinstvena je.
Zaista, vrijedi, u stvari, prY X = Y ⊥ , a jedinstvenost slijedi iz prethodne
tvrdnje 4).
∑n
Ako je x = i=1 ⟨x, ei ⟩ei , tada je
⟨x, x⟩ =
n ∑
n
n
n
∑
∑
∑
⟨x, ei ⟩⟨x, ej ⟩⟨ei , ej ⟩ =
⟨x, ei ⟩⟨x, ei ⟩ =
|⟨x, ei ⟩|2 ,
i=1 j=1
i=1
i=1
iz ˇcega slijedi:
(i)Ako je {e1 , . . . , em } ortonormiran skup elemenata unitarnog prostora X i
x ∈ X, tada je
⟨x, x⟩ ≥ |⟨x, e1 ⟩|2 + |⟨x, e2 ⟩|2 + · · · + |⟨x, em ⟩|2 .
(ii)Ako je {e1 , . . . , en } ortonormirana baza unitarnog prostora X i x ∈ X, tada
je
⟨x, x⟩ = |⟨x, e1 ⟩|2 + |⟨x, e2 ⟩|2 + · · · + |⟨x, en ⟩|2 .
Prethodna nejednakost zove se Beselova nejednakost, a jednakost se naziva
Parsevalova jednakost.
ˇ
Ako je skup {y 1 , . . . , y k } nastao iz skupa {x1 , . . . , xk } Gram-Smitovim
postupkom ortogonalizacije, tada je
G(x1 , . . . , xk ) = G(y 1 , y 2 , . . . , y k ).
55
5.3. OPERATORI
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
Zaista, ako je skup {y 1 , . . . , y k } nastao ortogonalizacijom iz skupa
{x1 , . . . , xk }, onda imamo
y 1 = x1 , y s+1 = xs+1 −
s
∑
⟨y i , xs+1 ⟩y i
||y i ||2
i=1
, (s = 1, 2 . . . , k),
pa, na osnovu teoreme 5.7, imamo
G(x1 , . . . , xk ) = G(y 1 , y 2 . . . , y k ).
Prethodna jednakost se moˇze zapisati u obliku
G(x1 , x2 , . . . , xk ) =
k
∏
||y i ||2 .
i=1
U Gramovoj determinanti ortogonalnog skupa vektora svi elementi van
glavne dijagonale jednaki su nuli, dok su dijagonalni elementi jednaki kvadratima normi vektora. Iz toga slijedi drugi dio tvrdnje.
Iz prethodnog se moˇze izvesti i sljede´ci rezultat:
Ako su vektori x1 , . . . , xk linearno nezavisni, tada su svi ugaoni minori Gramove
matrice (pa i sama determinanta) pozitivni.
To slijedi iz ˇcinjenice da determinante G(x1 , . . . , xk ) i G(y 1 , . . . , y k ) iz prethodne teoreme imaju iste ugaone minore, zbog toga ˇsto se druga determinanta
iz prve dobija elementarnim transformacijama tre´ceg tipa i to ,,odozgo prema
dole”i ,,slijeva nadesno”, a takve transformacije ne mijenjaju ugaone minore.
5.3 Operatori u unitarnim i Euklidovim
prostorima
Znamo da su svaka dva prostora istih dimenzija izomorfni. Za unitarne
prostore se definiˇse i tzv. Euklidov izomorfizam.
Definicija 5.18
Ako su X i Y unitarni prostori, tada se izomorfizam f : X → Y naziva Euklidovim, ako za svako x1 , x2 ∈ X vrijedi
⟨f (x1 ), f (x2 )⟩ = ⟨x1 , x2 ⟩.
Euklidovi izomorfizmi se joˇs nazivaju i izomatrijama.
56
(5.13)
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
5.3. OPERATORI
Teorema 5.19
Unitarni prostori su euklidski izomorfni ako i samo ako su iste dimenzije.
Dokaz
Zaista, neka su prostori X i Y iste dimenzije, {e1 , . . . , en } ortonormirana baza
od X, a {f 1 , . . . , f n } ortonormirana baza od Y. Preslikavanje ei → f i , (i =
1, . . . , n) se moˇze produˇziti do izomorfizma vektorskih prostora, koji je i Euklidov izomorfizam.
Definicija 5.20
Za operator A kaˇzemo da je unitaran, ako je
⟨A(x), A(y)⟩ = ⟨x, y⟩, (x, y ∈ X).
Unitaran operator u Euklidovom prostoru nazivamo ortogonalnim.
Teorema 5.21
Unitaran operator je obavezno regularan.
Dokaz
Zaista, ako je A unitaran i A(x) = 0, tada je
0 = ⟨A(x), A(x)⟩ = ⟨x, x⟩,
odakle slijedi x = 0, ˇsto znaˇci da je A injektivan, pa i sirjektivan (u
konaˇcnodimenzionalnim prostorima).
Teorema 5.22
Svako bijektivno preslikavanje unitarnog prostora, koje ˇcuva skalarni proizvod
je unitaran operator (tj. obavezno i linearno).
Dokaz
Ako je f : X → X bijektivno i vrijedi (5.13), x, y ∈ X, α, β ∈ C, za svako
u ∈ X vrijedi
⟨f (αx + βy) − αf (x) − βf (y), f (u)⟩ =
57
5.3. OPERATORI
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
= ⟨f (αx + βy), f (u)⟩ − α⟨f (x), f (u)⟩ − β⟨f (y), f (u)⟩ =
= ⟨αx + βy − αx − βy, u⟩ = 0.
Kako se u obliku f (u) moˇze dobiti svaki element prostora X, pa specijalno i
elementi baze, iz prethodnog slijedi f (αx + βy) − αf (x) − βf (y) = 0, ˇsto znaˇci
da je f linearno.
Prethodni dokaz ostaje neizmijenjen i za Euklidove prostore.
Vidje´cemo sada vezu unitarnog operatora u odnosu na ortonormiranu bazu i
i ranije definisanih unitarnih operatora i time dati karakterizaciju tih operatora
preko matrica.
Neka je {e1 , . . . , en } ortonormirana baza prostora X, a A = (aij ) matrica
unitarnog operatora A u odnosu na tu bazu. Tada za svaki i, j ∈ {1, . . . , n}
vrijedi
n
n
∑
∑
δij = ⟨ei , ej ⟩ = ⟨A(ei ), A(ej )⟩ = ⟨
aµi eµ ,
aνj eν ⟩ =
µ=1
=
n ∑
n
∑
aµi aνj ⟨eµ , eν ⟩ =
n ∑
n
∑
µ=1 ν=1
µ=1 ν=1
ν=1
aµi aνj δµν =
n
∑
aµi aµj .
µ=1
Vrijedi, dakle
Teorema 5.23
Operator A je unitaran (ortogonalan) ako i samo ako je njegova matrica A u
odnosu na ortonormiranu bazu unitarna (ortogonalna).
Primjer 5.24
Dokazati da su rotacije oko koordinatnog poˇcetka jedine ortogonalbe transformacije ravni.
(
Rjeˇsenje. Za matricu A =
ax
bx
ay
by
)
ortogonalnog operatora mora vrijediti:
a2x + a2y = b2x + b2y = 1, ax bx + ay by = 0.
bez ograniˇcenja opˇstosti moˇzemo uzeti da je
ax = cos α, ay = sin α, bx = cos β, by = sin β,
58
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
5.3. OPERATORI
pri ˇcemu moˇzemo uzati da je α ili pozitivan ili negativan ugao. Slijedi cos(β −
α) = 0, tj. β = π2 + α, pa imamo
(
)
cos α sin α
A=
.
− sin α cos α
Dakle, ortogonalna preslikavanja u prostoru R2 su rotacije. Rotacija za ugao π
je centralna simetrija.
Dajemo sada primjer ortogonalnog operatora u trodimenzionalnom prostoru.
Primjer 5.25
Pretpostavimo da A predstavlja rotaciju prostora R3 oko z-ose, za ugao ω
u pozitivnom smjeru (gledaju´ci sa vrha vektora k). Pokazati da matrica te
transformacije, u odnosu na standardnu bazu, ima oblik


cos ω − sin ω 0
A =  sin ω
cos ω 0  .
0
0
1
Rjeˇsenje. Pretpostavimo da je {i, j, k} ortonormirana baza prostora R3 . Neka
poslije rotacije A vektor i prelazi u e1 , a j u e2 , dok vektor k = e3 ostaje
nepromijenjen. Vektori i i e1 zaklapaju ugao ω, kao i vektori j i e2 . Ugao
izmed¯u e2 i i je ω + π2 , dok je ugao izmed¯u e1 i vektora j jednak π2 − ω ili
ω − π2 . Na osnovu ˇcinjenice da su komponente jediniˇcnog vektora, u odnosu na
ortonormiranu bazu, jednake kosinusima smjera tog vektora dobijamo
A(i) = e1 = cos ω · i + sin ω · j + 0 · k
A(j) = e2 = − sin ω · i + cos ω · j + 0 · k
A(k) = e3 = 0 · i + 0 · j + k,
ˇsto pokazuje da A u odnosu na standardnu bazu ima traˇzenu matricu.
Ako je a = ax (i) + ay (j) + az (i), b = bx (i) + by (j) + bz (i), tada se lako
provjerava da vrijedi
A(x) · A(a) = a · b.
U sljede´cem primjeru ´cemo opisati strukturu ortogonalnih operatora u prostoru R3 , a poslije toga i u proizvoljnim konaˇcnodimenzionalnim Euklidovim
prostorima.
Primjer 5.26
Pokazati da za svaki ortogonalni operator A u prostoru R3 postoji ortonormirana baza i realan broj ω, tako da u odnosu tu bazu matrica operatora ima
59
5.3. OPERATORI
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
jedan od sljede´cih oblika

 

cos ω − sin ω 0
cos ω − sin ω
0
 sin ω
cos ω 0  ,  sin ω
cos ω
0 ,
0
0 1
0
0 −1
Rjeˇsenje. Neka je A(i) = u, A(j) = v, i A(k) = w. Zbog ortogonalnosti operatora A u, v i w ˇcine ortonormiran skup. Ako je on desne orijentacije, imamo:
det(A − E3 ) = [(u − i) × (v − j)] · (w − k) = 0,
ˇsto znaˇci da je 1 svojstvena vrijednost operatora A.
Na isti bi se naˇcin dobilo da je −1 svojstvena vrijednost operatora, u sluˇcaju
da vektori u, v i w ˇcine triedar lijeve orijentacije. Uzimaju´ci za e3 jediniˇcni svojstveni vektor, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti 1 ili −1, a e1 i e2 jediniˇcne
vektore tako da je e1 , e2 , e3 ortonormirana baza desne orijentacije, tada matrica
operatora A u odnosu na tu bazu ima jedan od dva navedena oblika.
Prethodni primjer se moˇze dobiti kao specijalan sluˇcaj strukture unitarnih
i ortogonalnih operatora, u proizvoljnim konaˇcnodimenzionalnim prostorima,
koju ´cemo u daljem opisati.
Strukturu operatora odred¯ujemo pomo´cu svojstvenih vrijednosti, odnosno
invarijantnih potprostora. U vezi s tim je za unitarne operatore vaˇzna sljede´ca
Teorema 5.27
Neka je A unitaran operator. Ako je U invarijantan potprostor u odnosu na
taj operator, tada je i U ⊥ takod¯e invarijantan.
Dokaz
Neka je {e1 , . . . , en } ortonormirana baza od X, tako da je {e1 , . . . , ek } baza od
U, a {ek+1 , . . . , en } baza od U ⊥ . Tada za svako j ≥ k vrijedi
⟨A(ei ), A(ej )⟩ = ⟨ei , ej ⟩ = 0, (i = 1, . . . , k).
Kako je A i izomorfizam, to znaˇci da A(ei ), (i = 1, . . . , k) ˇcine bazu od U, pa
prethodne jednaˇcine znaˇce da je A(ej ) ∈ U ⊥ , (j = k + 1, . . . , n), tj. A(U ⊥ ) ⊂
U ⊥.
Razmotrimo sada posebno unitarne, a posebno ortogonalne operatore. Razlika leˇzi u ˇcinjenici da unitaran operator ima svojstvenu vrijednost u polju C,
nad kojim je i prostor na kome taj operator djeluje, dok ortogonalni operator ne mora imati svojstvene vrijednosti u polju R. Dakle, unitarni operator
60
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
5.3. OPERATORI
ima bar jednu svojstvenu vrijednost. Neka je e1 jediniˇcni vektor, koji odgovara
toj svojstvenoj vrijednosti, a U1 jednodimenzionalni invarijantni potprostor generisan vektorom e1 . Kako je, prema prethodnoj teoremi, U1⊥ invarijantan u
odnosu na A, to je ograniˇcenje A|U1⊥ ortogonalan operator, pa i on ima bar
jednu svojstvenu vrijednost, koja je oˇcigledno i svojstvena vrijednost i operatora A. Ako je e2 jediniˇcni svojstveni vektor operatora A, koji odgovara toj
svojstvenoj vrijednosti, tada je potprostor generisan svojstvenim vektorima e1
i e2 invarijantan. Prema prethodnoj teoremi i njegov ortogonalni komplement
je invarijantan.
Produˇzavaju´ci ovaj postupak dobijamo ortonormiranu bazu prostora sastavljenu od svojstvenih vektora operatora A. Prema tome vrijedi
Teorema 5.28
Za svaki unitarni operator postoji ortonormirana baza prostora, sastavljena od
svojstvenih vektora tog operatora.
Matrica operatora u odnosu na tu bazu je dijagonalna, pri ˇcemu se na
dijagonali nalaze svojstvene vrijednosti. Kako ta matrica mora biti i unitarna
to je mogu´ce samo u sluˇcaju kada su sve svojstvene vrijednosti po modulu
jednake 1. Prema tome vrijedi
Teorema 5.29
Svojstvene vrijednosti unitarnog operatora jednake su po modulu 1. Svaka unitarna matrica sliˇcna je dijagonalnoj matrici, u kojoj se po dijagonali nalaze
svojstvene vrijednosti te matrice koje su po modulu jednake 1.
Za ortogonalne operatore u proizvoljnim prostorima imamo sljede´cu situaciju:
Kao i kod unitarnih operatora svakoj realnoj svojstvenoj vrijednosti odgovara´ce
jednodimenzionalni invarijantni potprostor. Neka su λ1 , . . . , λk , (k ≤ n) sve
realne svojstvene vrijednosti, {e1 , . . . , ek } odgovaraju´ci skup ortonormiranih
svojstvenih vektora, dobijen na isti naˇcin kao u dokazu prethodne teoreme i
U = [e1 , . . . , ek ]. Ako je U ̸= X, tada je suˇzenje A na U ⊥ ortogonalan operator, koji nema realnih svojstvenih vrijednosti. Na osnovu teoreme 3.6 u U ⊥
postoji dvodimenzionalni potprostor V1 , za koji moˇzemo pretpostaviti da ima
bazu sastavljenu od ortonormiranih vektora v 1 , v 2 . Nastavljaju´ci ovaj postupak
dobijamo ortonormiranu bazu prostora, u odnosu na koju je matrica operatora
kvazidijagonalna oblika A = diag(λ1 , . . . , λk , A1 , . . . , As ). Kako, osim toga, ta
matrica mora biti ortogonalna, vrijedi |λi | = 1, (i = 1, . . . , k), dok su matrice
61
5.3. OPERATORI
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
Ai , (i = 1, . . . , s) oblika
[
Ai =
cos φi
sin φi
− sin φi
cos φi .
]
.
(5.14)
Tako je dokazana
Teorema 5.30
Za svaki ortogonalni operator Euklidovog prostora X postoji ortonormirana
baza u odnosu na koju je matrica tog operatora kvazi-dijagonalna matrica
diag(±1, . . . , ±1, A1 , . . . , Ak ),
pri ˇcemu su Ai matrice drugog reda oblika (5.14).
Vidimo da unitarni operatori, kao i ortogonalni ˇcije su sve svojstvene vrijednosti realne, pripadaju klasi operatora proste strukture. Govori´cemo o joˇs nekim
vaˇznim klasama takvih operatora. Pri tome vaˇznu ulogu igra tzv. adjungovani
operator.
Teorema 5.31
Za svaki operator A unitarnog prostora X postoji operator A∗ tog prostora za
koji vrijedi
⟨A(x), y⟩ = ⟨x, A∗ (y)⟩, (x, y ∈ X).
Dokaz
Prvo ´cemo dokazati da za fiksirano x i y jednaˇcina
⟨A(x), y⟩ = ⟨x, z⟩,
∑n
ima rjeˇsenje po z. Ako je x = i=1 ⟨x, ei ⟩ei , tada je
⟨A(x), y⟩ =
n
∑
⟨x, ei ⟩⟨A(ei ), y⟩ =
i=1
=
n
∑
i=1
⟨x, ⟨A(ei ), y⟩ei ⟩
∑n
= ⟨x,
n
∑
⟨A(ei ), y⟩ei ⟩.
i=1
⟨A(ei ), y⟩ei .
Prema tome, rjeˇsenje je z = i=1
Prethodna jednakost ukazuje
na naˇcin na koji treba definisati operator A∗ . Stavimo, za svaki y ∈ Y,
A∗ (y) =
n
∑
⟨y, A(ei )⟩ei .
i=1
62
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
5.3. OPERATORI
Linearnost A∗ slijedi iz linearnosti skalarnog proizvoda po prvoj komponenti,
a gornja razmatranja pokazuju da A∗ zadovoljava uslov teoreme.
Operator A∗ iz prethodne teoreme naziva se adjungovanim operatorom operatora A.
Pretpostavimo da u odnosu na ortonormiranu bazu {e1 , . . . , en } operator
A ima matricu A = (aij ). Tada za svaki j = 1, . . . , n vrijedi
A∗ (ej ) =
n
n
n
∑
∑
∑
⟨ej , A(ei )⟩ei =
⟨ej ,
aki ek ⟩ei =
i=1
=
i=1
n ∑
n
∑
aki ⟨ej , ek ⟩ei =
i=1 k=1
k=1
n
∑
aji ei .
i=1
Time je dokazano sljede´ce:
Ako je A matrica nekog operatora u odnosu na ortonormiranu bazu, tada je
T
A∗ = A matrica adjungovanog operatora, u odnosu na istu bazu.
Matricu A∗ nazivamo adjungovanom matricom matrice A.
Primijetimo da je adjungovana matrica u Euklidovim prostorima u stvari
transponovana matrica.
Lako se dokazuje sljede´ca
Teorema 5.32
Adjungovani operator ima sljede´ce osobine
1)
2)
3)
4)
5)
za sve A, B i svako α.
A∗ + B ∗ = (A + B)∗ ,
A∗∗ = A,
(A ◦ B)∗ = B ∗ ◦ A∗ ,
(αA)∗ = αA∗ ,
(A−1 )∗ = (A∗ )−1 ,
Da´cemo joˇs jednu osobinu adjungovanog operatora. Vrijedi
1)
2)
KerA∗ = ImA⊥ , (KerA∗ )⊥ = ImA,
ImA∗ = KerA⊥ , (ImA∗ )⊥ = KerA.
(5.15)
Dokaˇzimo da vrijedi 1). Ako je {e1 , . . . , en } ortonormirana baza prostora tada
y ∈ KerA∗ ⇔
n
∑
⟨y, A(ei )⟩ei = 0 ⇔
i=1
63
5.3. OPERATORI
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
⇔ ⟨y, A(ei )⟩ = 0, (i = 1, . . . , n) ⇔ y ∈ ImA⊥ .
Drugi dio tvrdnje (i) slijedi iz tvrdnje 5.12 2). Tvrdnja 2) se dokazuje analogno.
Ove tvrdnje obiˇcno se iskazuju u sljede´cem obliku
Teorema 5.33 (Fredholmova teorema)
Da bi nehomogena jednaˇcina
A(x) = b
imala rjeˇsenje po x potrebno je i dovoljno da vektor b bude ortogonalan na sva
rjeˇsenja homogene jednaˇcine
A∗ (y) = 0.
Dokaz
Uslov teoreme ekvivalentan je uslovu da je b ∈ ImA, a kako je, prema prethodnoj teoremi (i), ImA = (KerA∗ )⊥ tvrdnja vrijedi.
Teorema 5.34 (Fredholmova alternativa)
Ili nehomogena jednaˇcina
A(x) = b,
ima rjeˇsenje, za svako b, ili homogena jednaˇcina
A∗ (y) = 0
ima netrivijalno rjeˇsenje.
Dokaz
Ako za neki b jednaˇcina A(x) = b nema rjeˇsenje, onda ImA ̸= X, pa, opet
prema (i), KerA∗ ̸= 0.
Izloˇzi´cemo sada jednu osobinu adjungovanog operatora vezanu za invarijantne potprostore. Neka je U potprostor invarijantan u odnosu na A i neka je
y ∈ U ⊥ , tada je ⟨A(x), y⟩ = 0, za svaki x ∈ U. To znaˇci da je za svaki x ∈ U
ispunjeno ⟨x, A∗ (y)⟩ = 0, iz ˇcega slijedi A∗ (y) ∈ U ⊥ . Time je dokazana
64
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
5.3. OPERATORI
Teorema 5.35
Ako je U invarijantan potprostor u odnosu na operator A, tada je U ⊥ invarijantan u odnosu na A∗ .
Pomo´cu adjungovanog operatora mogu se opisati i unitarni i ortogonalni operatori:
Teorema 5.36
Operator A je unitaran ako i samo ako je
A−1 = A∗ ,
a ortogonalan ako i samo ako je
A−1 = AT .
Unitarni i ortogonalni operatori imaju osobinu da komutiraju sa svojim
adjungovanim operatorom.
Definicija 5.37
Operator A nazivamo normalnim, ako
A ◦ A∗ = A∗ ◦ A.
Jedna od karakterizacija ovog operatora je sljede´ca
Teorema 5.38
Operator A u unitarnom prostoru X je normalan ako i samo ako za svaki x ∈ X
vrijedi
||A(x)|| = ||A∗ (x)||.
Osim toga, ako je A normalan operator, tada je
KerA = (ImA)⊥ .
Dokaz
Neka je A normalan operator i x ∈ X, tada je
||A(x)||2 = ⟨A(x), A(x)⟩ = ⟨x, A∗ A(x)⟩ =
65
5.3. OPERATORI
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
= ⟨x, AA∗ (x)⟩ = ⟨A∗ (x), A∗ (x)⟩ = ||A∗ (x)||2 .
Obratno, ako je uslov teoreme ispunjen, onda prethodni niz jednakosti ponovo
vrijedi. Odatle, specijalno, slijedi ⟨x, A∗ A(x)⟩ = ⟨x, AA∗ (x)⟩, za svako x ∈ X,
ˇsto implicira da je A normalan operator.
Iz prvog dijela teoreme slijedi KerA = KerA∗ , a iz relacija 5.15 KerA∗ =
(ImA)⊥ .
ˇ
Za odred¯ivanje strukture unitarnih operatora nismo koristili Surovu
teoremu. Sada ´cemo iskoristiti tu teoremu da bismo opisali strukturu normalnog
operatora. Tvrdnja teoreme se za unitarne prostore moˇze joˇs i pojaˇcati. Na
osnovu teoreme 3.5 za svaki operator A u unitarnim prostorima postoji baza
{b1 , . . . , bn }, u odnosu na koju taj operator ima gornju trougaonu matricu
∑i
j
A = (αij ). To znaˇci da vrijedi A(ei ) =
j=1 αij b , (i = 1, . . . , n). Ako je
1
n
{e , . . . , e } ortonormirana baza, nastala procesom ortogonalizacije prethodne
baze, tada, prije svega vrijedi [b1 , b2 , . . . , bk ] = [e1 , e2 , . . . , ek ], (k = 1, . . . , n).
To znaˇci da vrijedi
i
∑
j=1
αij bj =
i
∑
βij ej , (i = 1, . . . , n).
j=1
Time je dokazana
Teorema 5.39
Za svaki operator u unitarnom prostoru postoji ortonormirana baza u odnosu
na koju taj operator ima gornju trougaonu matricu.
Sljede´ca teorema opisuje glavnu karakteristiku normalnih operatora.
Teorema 5.40
Operator A u unitarnom prostoru X je normalan ako i samo postoji ortonormirana baza prostora X sastavljena od svojstvenih vektora operatora.
Dokaz
ˇ
Neka je A normalan. Na osnovu Surove
teoreme postoji ortonormirana baza
u odnosu na koju operator ima gornju trougaonu matricu A = (aij ), aij =
0, (i > j). Neka je A · A∗ = (bij ), A∗ · A = (cij ). Tada je
∑n
bij = k=1 aik ajk , (i, j = 1, . . . , n)
∑n
cij = k=1 aki akj , (i, j = 1, . . . , n).
66
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
5.3. OPERATORI
Na taj naˇcin dobijamo jednakosti
n
∑
aik ajk =
k=1
n
∑
aki akj , (i, j = 1, . . . , n).
k=1
Zbog toga ˇsto je A gornja trougaona matrica za i ̸= j je ili lijeva ili desna
strana jednaka nuli, tako da vrijedi
{
n
∑
0
i=
̸ j
∑i
aik ajk =
2
|a
|
i
=j
ik
k=1
k=1
Isto tako je
n
∑
{
aki akj =
k=1
Tako dobijamo
i
∑
k=1
|aki |2 =
n
∑
0
2
k=i |aki |
∑n
i ̸= j
i=j
|aik |2 , (i = 1, . . . , n).
k=i
Odavde za i = 1 dobijamo a1j = 0, (j = 2, . . . , n), itd. Na kraju dobijamo da
je A dijagonalna matrica.
Kvadratne kompleksne matrice A i B, istog reda, nazivaju se unitarno
sliˇcne, ako postoji unitarna matrica U, za koju je B = U −1 · A · U.
Teorema 5.41
1) Svaka kompleksna matrica je unitarno sliˇcna trougaonoj matrici.
2) Svaka normalna matrica unitarno je sliˇcna dijagonalnoj matrici.
Dokaz
Neka je A kompleksna matrica reda n, a A operator u prostoru Cn , tako da
ˇ
je A njegova matrica u odnosu na ortonormiranu bazu {f 1 , . . . , f n }. Iz Surove
1
n
teoreme slijedi da postoji ortonormirana baza {e , . . . , e } u odnosu na koju je
matrica B tog operatora gornja trougaona. Na osnovu teoreme ?? je
B = U −1 · A · U,
pri ˇcemu je U matrica prelaska sa baze {f 1 , . . . , f n } na bazu {e1 , . . . , en }.
Med¯utim, na osnovu teoreme 5.16 U je unitarna matrica, pa 1) vrijedi. Tvrdnja
2) se sliˇcno dokazuje pomo´cu prethodne teoreme.
Opisa´cemo joˇs neke znaˇcajne klase normalnih operatora.
67
5.3. OPERATORI
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
Definicija 5.42
Operator A u unitarnom prostoru X nazivamo Ermitov (ili autoadjungovan),
ako je A = A∗ . Za autoadjungovan operator u Euklidovim prostorima kaˇzemo
da je simetriˇcan. Ako je A∗ = −A, onda se operator u unitarnim prostorima
naziva koso-Ermitov, a u Euklidovim prostorima naziva se koso-simetriˇcan.
Vrijedi
Teorema 5.43
Operator A je Ermitov (simetriˇcan) ako i samo ako je njegova matrica u odnosu
na bilo koju ortonormiranu bazu Ermitova (simetriˇcna).
Da´cemo primjere simetriˇcnog i kososimetriˇcnog operatora u realnom trodimenzionalnom afinom prostoru R3 .
Primjer 5.44
Pokazati da preslikavanje, koje svakoj taˇcki
M (x, y, z) ∈ R3 pridruˇzuje simetriˇcnu taˇcku M (x′ , y ′ , z ′ ) ∈ R3 , u odnosu na
ravan koja prolazi kroz koordinatni poˇcetak, u odnosu na standardnu bazu,
ima simetriˇcnu matricu


1 − 2n2x −2nx ny −2nx nz
 −2nx ny 1 − 2n2y −2ny nz  .
−2nx nz −2ny nz 1 − 2n2z
Rjeˇsenje. Pokazaˇzimo da se x′ , y ′ , z ′ mogu dobiti kao linearna kombinacija od
x, y i z. Pretpostavimo da je n = (nx , ny , nz ) jediniˇcni vektor normale na ravan,
a N (x′′ , y ′′ , z ′′ ) podnoˇzje normale spuˇstene iz taˇcke M na datu ravan. Taˇcke
M, N i M ′ leˇze na normali na ravan, povuˇcenoj kroz taˇcku M. Njena jednaˇcina
je X = x + t · nx , Y = y + t · ny , Z = z + t · nz . Poˇsto taˇcka N = (x′′ , y ′′ , z ′′ )
pripada ravni, imamo nx · x′′ + ny · y ′′ + nz · z ′′ = 0, odakle dobijamo t =
−nx · x − ny · y − nz · z. Na osnovu toga je
x′ = (1 − 2n2x ) · x −
2nx ny · y
y ′ = −2nx ny · x + (1 − 2n2y ) · y
z ′ = −2nx nz · x −
2ny nz · y
−
2nx nz · z
−
2ny nz · z
+ (1 − 2n2z ) · z.
Piˇsu´ci ove jednakosti u matriˇcnom obliku dobijamo traˇzenu matricu.
Prethodno preslikavanje je primjer simetriˇcnog preslikavanja. Da´cemo joˇs i
primjer antisimetriˇcnog operatora u trodimenzionalnom prostoru.
68
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
5.3. OPERATORI
Primjer 5.45
Pokazati da je matrica preslikavanja koje svakoj taˇcki
M (x, y, z) prostora R3 pridruˇzuje taˇcku M ′ (x′ , y ′ , z ′ ) istog prostora, tako da je
OM′ = OM × a, antisimetriˇcna. Pri tome je a proizvoljan nenulti vektor.
Rjeˇsenje. Linearnost preslikavanja slijedi iz osobina vektorskog proizvoda. Ako
je a = (ax , ay , az ), tada veza med¯u koordinatama x′ , y ′ , z ′ i x, y, z ima oblik
x ′ = az · y − ay · z
y ′ = ax · z − az · x .
z ′ = ay · x − ax · y
Prema tome matrica preslikavanja je

0
−az
 az
0
−ay ax

ay
−ax  .
0
Oˇcigledno je svaki Ermitov operator normalan. U sljede´coj tvrdnji vidje´cemo
kada vrijedi obratno.
Normalan operator je Ermitov (simetriˇcan) ako i samo ako
(5.16)
su mu sve svojstvene vrijednosti realne.
Stvarno, pokaˇzimo prvo da svaki Ermitov operator, osim ˇsto je normalan
ima i sve svojstvene vrijednosti realne. Zaista, ako je λ svojstvena vrijednost Ermitovog operatora, x njen svojstveni vektor, tada je, s jedne strane
⟨A(x), x⟩ = λ⟨x, x⟩. S druge strane je ⟨A(x), x⟩ = ⟨x, A(x)⟩ = λ⟨x, x⟩, pa je
λ = λ. To znaˇci da Ermitov (simetriˇcni) operator ima realne svojstvene vrijednosti.
Neka je A normalan operator, koji ima realne svojstvene vrijednosti. Matrica A tog operatora u odnosu na neku ortonormiranu bazu je unitarno sliˇcna
realnoj dijagonalnoj matrici D. To znaˇci da postoji unitarna matrica U za koju
T
T
T
je U −1 · A · U = D = D = U −1 · A · U, tako da je A = A .
Za koso-Ermitov operator B vrijedi ⟨A(x), x⟩ = −⟨x, A(x)⟩, pa bismo, razmatranjima sliˇcnim prethodnim, za svaku svojstvenu vrijednost λ tog operatora
dobili λ = −λ, tj. svojstvene vrijednosti su ˇcisto imaginarne. Tako dobijamo
sljede´cu karakteristiku koso-Ermitovih operatora:
Teorema 5.46
Normalan operator je koso-Ermitov (kososimetriˇcan)
(5.17)
ako i samo ako su mu sve svojstvene vrijednosti ˇcisto imaginarni brojevi.
69
5.3. OPERATORI
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
Opiˇsimo sada strukturu simetriˇcnog i kososimetriˇcnog operatora u proizvoljnim Euklidovim prostorima. Za simetriˇcni operator bitna je ˇcinjenica da
su mu sve svojstvene vrijednosti realne, ˇsto slijedi iz tvrdnje (5.16), te da ako
je U invarijantan potprostor, te je i U ⊥ invarijantan, ˇsto slijedi iz teoreme 5.35.
Rezonuju´ci na isti naˇcin kao u teoremi 5.28 dobijamo:
Za svaki simetriˇcan operator u Euklidovom prostoru postoji ortonormirana
baza prostora sastavljena od svojstvenih vektora operatora.
Izraˇzena preko matrica ova tvrdnja ima oblik:
Teorema 5.47
Za svaku realnu simetriˇcnu matricu A postoji ortogonalna matrica Q, takva da
je
Q−1 · A · Q = diag(λ1 , . . . , λn ).
Moˇze se postaviti pitanje: Kako se za datu simetriˇcnu matricu moˇze odrediti
matrica Q iz prethodne teoreme? Ako tu simetriˇcnu matricu tretiramo kao
operator u Rn , onda je Q matrica prelaska sa standardne ortonormirane baze na
ortonormiranu bazu sastavljenu od svojstvenih vektora. Ovu je matricu mogu´ce
odrediti samo u sluˇcaju kada su nam poznate svojstvene vrijednosti matrice A,
a pitanja odred¯ivanja svojstvenih vrijednosti vezana su za probleme rjeˇsivosti
algebarskih jednaˇcina. Napomenimo joˇs da u ovom sluˇcaju svaka svojstvena
vrijednost daje onoliko linearno nezavisnih svojstvenih vektora, kolika joj je
viˇsestrukost.
Strukturu koso-simetriˇcnog operatora dobi´cemo na osnovu ˇcinjenice da su
mu svojstvene vrijednosti ˇcisto imaginarni brojevi, ˇsto slijedi iz tvrdnje 5.17 i
ˇcinjenice da se, za svaki operator u Euklidovim prostorima, na osnovu teoreme
3.6, sam prostor moˇze napisati kao direktna suma med¯usobno ortogonalnih jednodimenzionalnih i dvodimenzionalnih invarijantnih potprostora. Pri tome su
jednodimenzionalni potprostori odred¯eni realnim svojstvenim vrijednostima, a
dvodimenzionalni parovima konjugovano kompleksnih svojstvenih vrijednosti.
To znaˇci da ´cemo u sluˇcaju koso simetriˇcnog operatora imati samo dvodimenzionalne potprostore. Ograniˇcenje operatora na takav potprostor je koso simetriˇ
koji u odnosu na neku ortonormiranu bazu ima matricu oblika
[ can operator
]
0 b
. Tako dobijamo tvrdnju:
−b 0
Za koso-simetriˇcan operator u Euklidovom prostoru postoji ortonormirana
baza u odnosu na koju je matrica operatora oblika
diag(B1 , . . . , Bk ),
70
(5.18)
GLAVA 5. UNITARNI PROSTORI
pri ˇcemu je
[
Bi =
0
−bi
bi
0
5.3. OPERATORI
]
, (i = 1, . . . , k).
Izraˇzena preko matrica ova tvrdnja ima oblik:
Teorema 5.48
Za svaku realnu koso-simetriˇcnu matricu B postoji ortogonalna matrica Q za
koju je matrica Q−1 · B · Q jednaka matrici iz (5.18).
Znaˇcaj Ermitovih operatora je u tome ˇsto se svi ostali operatori mogu dobiti
kao zbir Ermitovih. Neka je, naime, A bilo koji operator, H1 = 12 (A + A∗ ), a
1
H2 = 2i
(A − A∗ ). Tada je
A = H1 + iH2 .
Ermitovo razlaganje operatora, mada veoma jednostavno, moˇze biti veoma
korisno. Navedimo jedan primjer. Ako je H Ermitov operator, tada zbog
⟨H(x), x⟩ = ⟨x, H(x)⟩ = ⟨H(x), x⟩,
slijedi da za svako x ∈ X je ⟨H(x), x⟩ realan broj. Dokaˇzimo da za normalne
operatore vrijedi i obrat. Zaista, neka je A normalan operator u unitarnom
prostoru X i ⟨A(x), x⟩ realan broj, za svako x ∈ X. Dokaˇzimo da je A Ermitov
operator. Za to je dovoljno dokazati da je u Ermitovom razlaganju A = H1 +iH2
operator H2 jednak nuli.
Vrijedi ⟨A(x), x⟩ = ⟨H1 (x), x⟩ + i⟨H2 (x), x⟩, pa je ⟨H2 (x), x⟩ = 0, za svaki
x ∈ X. To specijalno znaˇci da je spektralni radijus ρ(H2 ) = 0, tj. sve svojstvene
vrijednosti operatora H2 jednake su nuli i kako je on Ermitov mora biti H2 = 0.
Tako je dokazana
Teorema 5.49
Normalan operator A je Ermitov ako i samo ako je
⟨A(x), x⟩ realan broj , (x ∈ X).
71
6
Kvadratne forme
6.1 Bilinearne funkcije
Susretali smo se i do sada sa funkcijama viˇse argumenata, koje su linearne po
svakom argumentu. Takve se funkcije nazivaju multilinearnim. Determinanta
matrice je multilinearna funkcija kolona ili vrsta te matrice. Skalarni proizvod u
Euklidovim prostorima je linearan po svakoj komponenti. Razmotri´cemo sada
problem bilinearnih funkcija uopˇste.
Znamo da je dimenzija prostora L(V, W ) jednaka proizvodu dimenzija prostora
V i W, pa vrijedi:
Ako je V konaˇcnodimenzionalan prostor, V ∗ njegov dualni prostor, tada je
dimV = dimV ∗ .
Definiˇsimo funkciju ⟨ · , · ⟩ : V × V ∗ → K, na sljede´ci naˇcin
⟨v, v ∗ ⟩ = v ∗ (v), (v ∈ V, v ∗ ∈ V ∗ ).
(6.1)
Lako se provjerava da je ova funkcija linearna po oba argumenta.
Ova funkcija se naziva kanonska bilinearna funkcija prostora V.
Definicija 6.1
Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem K, a Φ : V ×W → K funkcija
koja je linearna po oba argumenta. Tada se Φ naziva bilinearna funkcija. Ako
pored toga, za v ∈ V i svaki w ∈ W vrijedi:
Φ(v, w) = 0, ⇒ v = 0,
GLAVA 6.
KVADRATNE FORME
6.1. BILINEARNE FUNKCIJE
onda se kaˇze da je Φ nedegenerisana po prvoj komponenti. Analogno se definiˇse
nedegenerisana funkcija po drugoj komponenti. Bilinearnu funkciju nazivamo
nedegenerisanom, ako je ona nedegenerisana i po prvoj i po drugoj komponenti.
Ako se posmatraju, specijalno, vektorski prostori nad poljem kompleksnih
brojeva, onda se uslov linearnosti po drugoj komponenti zamjenjuje uslovom
Φ(u, αw1 + βw2 ) = αΦ(u, w1 ) + βΦ(u, w2 ).
Bilinearna funkcija Φ : V × V → K naziva se simetriˇcnom ako za svaki u, v ∈ V
vrijedi
Φ(u, v) = Φ(v, u).
Teorema 6.2
Kanonska bilinearna funkcija je nedegenerisana. Skalarni proizvod je nedegenerisana bilinearna funkcija.
Dokaz
Dokaza´cemo tvrdnju za kanonsku bilinearnu funkciju. Tvrdnje za skalarni proizvod su jednostavne i ne´cemo ih dokazivati.
Ako je 0 ̸= v ∈ V, postoji baza {e1 , . . . , en } prostora V za koju je e1 = v.
Preslikavanje A : V → K dato sa A(e1 ) = 1, A(ei ) = 0, (i = 2, . . . , n) se
moˇze produˇziti do linearnog funkcionala, koji oˇcigledno nije nula. To znaˇci da
iz v ∗ (v) = 0, za svaki v ∗ ∈ V ∗ dobijamo v = 0, ˇsto pokazuje da je kanonska
bilinearna funkcija nedegenerisana po prvom argumentu.
Ako je ⟨v, v ∗ ⟩ = 0, za svako v ∈ V, tada je v ∗ (v) = 0, za svako v, pa je
∗
v = 0.
To znaˇci da je funkcija nedegenerisana i po drugom argumentu.
Primjedba 6.3
Kako je skalarni proizvod nedegenerisana bilinearna funkcija, to se bilinearne
funkcije mogu smatrati prirodnim uopˇstenjem skalarnog proizvoda.
Postavlja se sljede´ce pitanje. Na koja se dva vektorska prostora nad istim
poljem moˇze definisati nedegenerisana bilinearna funkcija? Vidje´cemo da je to
mogu´ce za konaˇcnodimenzionalne prostore istih dimenzija.
Neka je dimV = dimW = n, {e1 , . . . , en } baza prostora V, a {f 1 , . . . , f n }
∑n
∑n
baza prostora W i neka su v = i=1 αi ei ∈ V i w = i=1 βi f i ∈ W proizvoljni.
73
6.1. BILINEARNE FUNKCIJE
GLAVA 6.
KVADRATNE FORME
Definiˇsimo F : V × W → K na sljede´ci naˇcin
F (u, v) =
n
∑
αi βi .
i=1
∑n
Jednostavno se provjerava da je F bilinearna funkcija. Ako za v0 = i=1 γi ei ∈
V vrijedi F (v0 , w) = 0, za svako w ∈ W, dobijamo 0 = F (v0 , f k ) = γk , (k =
1, . . . , n), pa je v0 = 0, ˇsto znaˇci da je F nedegenerisana po prvom argumentu.
Na isti naˇcin se dokazuje da je F nedegenerisana i po drugom argumentu.
Time smo dokazali da se svaka dva prostora iste dimenzije mogu povezati
nedegenerisanom bilinearnom funkcijom.
Obratno, pretpostavi´cemo da su V i W konaˇcnodimenzionalni prostori i da
je definisana nedegenerisana bilinearna funkcija Φ : V × W → K. Za fiksirano
v ∈ V definisa´cemo preslikavanje Φv : W → K na sljede´ci naˇcin
Φv (w) = Φ(v, w), (w ∈ W ).
Jasno je Φv ∈ W ∗ . Definiˇsimo sada f : V → W ∗ sa f (v) = Φv , (v ∈ V ).
Lako se provjerava da je f linearno preslikavanje. Osim toga, ako je f (v) = 0,
tj. ako je Φv = 0, tada je Φ(v, w) = 0, (w ∈ W ), pa zbog nedegenerisanosti
funkcije Φ zakljuˇcujemo da je v = 0, tako da je f injektivan homomorfizam.
Zbog toga je dim(V ) ≤ dim(W ∗ ) = dim(W ). Na isti naˇcin bi se dokazalo da
je dim(W ) ≤ dim(V ), pa je dim(V ) = dim(W ). Tako je dokazana
Teorema 6.4
Na dva konaˇcnodimenzionalna prostora mogu´ce je definisati nedegenerisanu
bilinearnu funkciju ako i samo ako prostori imaju iste dimenzije.
Ako u uslovima prethodne teoreme uzmemo W = V ∗ , tada je, zbog dimV =
dimV ∗ = dimV ∗∗ , preslikavanje f izomorfizam. Na osnovu toga vrijedi:
Za svaki konaˇcnodimenzionalan vektorski prostor V je sa
v → Φv
zadat izomorfizam prostora V na prostor V ∗∗ . Pri tomee je
Φv (w∗ ) = w∗ (v), (w∗ ∈ V ∗ ).
Definicija 6.5
Neka je Φ : Vm × Wn → K bilinearna funkcija, i neka je {e1 , . . . , em } baza od
V, a {f 1 , . . . , f n } baza od W. Tada se matrica A = (aij )m×n za koju je
aij = Φ(ei , f j ), (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n),
74
(6.2)
GLAVA 6.
KVADRATNE FORME
6.1. BILINEARNE FUNKCIJE
naziva matricom bilinearne funkcije Φ u odnosu na izabrane baze.
Time se svakoj bilinearnoj funkciji dodjeljuje matrica iz Mmn (K). Obrnuto,
neka je A = (aij ) ∈ Mmn (K) bilo koja matrica. Ako bilinearnu funkciju Φ
definiˇsemo pomo´cu relacije (6.2), onda ´ce matrica A biti matrica te bilinearne
funkcije.
U unitarnim prostorima bilinearna funkcija bi se definisala sa
Φ(x, y) =
m ∑
n
∑
αi βj aij .
i=1 j=1
Ispita´cemo kako se mijenja matrica bilinearne funkcije pri promjeni baza
prostora. Neka je {d1 , . . . , dm } neka druga baza od V, P = (pij ) matrica prelaska sa baze {d1 , . . . , dm } na bazu {e1 , . . . , em }. Tada je
Φ(di , f j ) = Φ(
m
∑
pki ek , f j ) =
k=1
m
∑
pki Φ(ek , f j ) =
k=1
m
∑
pki akj ,
k=1
(i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n).
Ovo znaˇci da je P T · A matrica bilinearne funkcije Φ u odnosu na baze
{d1 , . . . , dm } i {f 1 , . . . , f n }. Neka je sada {g 1 , . . . , g n } neka druga baza od W,
Q = (qij ) matrica prelaska sa baze {g 1 . . . . , g n } na bazu {f 1 , . . . , f n }. Tada je
Φ(di , g j ) = Φ(di ,
n
∑
qkj f k ) =
k=1
n
∑
qkj Φ(di , g k ),
k=1
(i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n),
a znaˇci da je P T · A · Q matrica bilinearne funkcije Φ u odnosu na baze
{d1 , . . . , dn } i {g 1 , . . . , g n }.
Prema tome vrijedi
Teorema 6.6
1) Neka je A matrica bilinearne funkcije Φ u odnosu na bazu {e1 , . . . , em }
prostora V i bazu {f 1 , . . . , f n } prostora W, P matrica prelaska sa baze
{d1 , . . . , dm } na bazu {e1 , . . . , em } prostora V, a Q matrica prelaska sa baze
{g 1 , . . . , g n } na bazu {f 1 , . . . , f n } prostora W, tada za matricu B bilinearne
funkcije Φ, u odnosu na baze {d1 , . . . , dm } i {g 1 , . . . , g n } vrijedi
B = P T · A · Q.
75
6.1. BILINEARNE FUNKCIJE
GLAVA 6.
KVADRATNE FORME
2) Za svaku matricu B ekvivalentnu matrici A postoje takve baze za koje je
matrica bilinearne funkcije upravo matrica B.
Ako se radi o kompleksnim prostorima, onda prethodna jednakost ima oblik
B = P T · A · Q.
Dokaz
Treba dokazati samo 2). Neka je A ∈ Mmn (K) matrica bilinearne funkcije u
odnosu na baze {e1 , . . . , em } prostora V i {f 1 , . . . , f n } prostora W, a B matrica
ekvivalentna matrici A.
Postoji regularna matrica S = (sij ) reda m i regularna matrica P = (pij )
reda n za koje je B = S · A · P. Neka je Q = S −1 i definiˇsimo linearno preslikavanje S : V → V, sa
S(ej ) =
m
∑
qji ei , (j = 1, . . . , m).
i=1
Matrica tog preslikavanja u odnosu na bazu {e1 , . . . , em } je regularna matrica
QT , pa je S izomorfizam. To znaˇci da vektori di = S(ei ), (i = 1, . . . , n) ˇcine
bazu prostora V, te da je QT matrica prelaska sa baze {d1 , . . . , dm } na bazu
{e1 , . . . , em }. Na osnovu teoreme ?? je (QT )−1 = S T matrica prelaska sa baze
{e1 , . . . , em } na bazu {d1 , . . . , dm }. Isto tako je mogu´ce na´ci bazu {g 1 , . . . , g n },
za koju je P matrica prelaska sa baze {f 1 , . . . , f n } na bazu {g 1 , . . . , g n }. Na
osnovu prve tvrdnje, matrica bilinearne funkcije u odnosu na baze {d1 , . . . , dm }
i {g 1 , . . . , g n } ima oblik
(S T )T · A · P = S · A · P = B.
Iz prethodne teoreme specijalno slijedi da za svaku bilinearnu funkciju postoje baze prostora V i W, u odnosu na koju je matrica bilinearne funkcije
Ermitova kanonska forma Ar , pri ˇcemu je r rang matrice te bilinearne funkcije.
∑n
∑m
To znaˇci da za x = k=1 αk ek ∈ V i y = k=1 βk f k ∈ W vrijedi
Φ(x, y) =
r
∑
αk βk .
(6.3)
k=1
Ove se baze nazivaju dualnim bazama prostora V i W.
Ako je r < m, tada je Φ(er+1 , y) = 0, za svaki y ∈ W, ˇsto znaˇci da je Φ
degenerisana po prvoj komponenti. Vrijedi i obrnuto, ako je Φ degenerisana po
prvoj komponenti, to znaˇci da postoji u ̸= 0, takav da je Φ(u, f j ) = 0, (j =
76
GLAVA 6.
KVADRATNE FORME
6.2. KVADRATNE FORME
∑m
1, . . . , n). Ako je u = i=1 αi ei , tada nisu svi αi jednaki 0. Sa druge strane,
iz (6.3) slijedi αi = 0, (i = 1, . . . , r), pa je r < m. Ista razmatranja vrijede
i za bilinearnu funkciju koja je degenerisana po drugoj komponenti. Time je
dokazano da vrijedi: Bilinearna funkcija Φ je nedegenerisana ako i samo ako je
njena matrica, u odnosu na bilo koje baze, regularna.
6.2 Kvadratne forme
Mi ´cemo se u ovom dijelu baviti kvadratnim formama, mada se dobar dio
rezultata, uz neznatne izmjene, moˇze dobiti i za Ermitove forme.
Definicija 6.7
Ako je Φ : Rn × Rn → R simetriˇcna bilinearna funkcija tada se preslikavanje
Ψ : Rn → R za koje je Ψ (x) = Φ(x, x), (x ∈ R), naziva kvadratnom formom.
U sluˇcaju da je Φ : Cn × Cn → C bilinearna funkcija, koja zadovoljava uslov
Φ(x, y) = Φ(y, x), (x, y ∈ C) tada se preslikavanje Ψ : Cn → C, za koje je
Ψ (x) = Φ(x, x) naziva Ermitovom formom.
Ako je {e1 , . . . , en } ortonormirana baza prostora Rn , A = (aij ) matrica
∑n
bilinearne funkcije Φ u odnosu na tu bazu, a x = i=1 xi ei proizvoljan iz Rn ,
tada je
n ∑
n
∑
Ψ (x) = Φ(x, x) =
aij xi xj .
(6.4)
i=1 j=1
Primjedba 6.8
Prethodna jednakost pokazuje da se kvadratne forme mogu shvatiti kao homogeni polinomi drugog stepena od promijenljivih x1 , . . . , xn i ta jednakost obiˇcno
sluˇzi za definiciju kvadratnih formi.
Matrica A = (aij ) definisana ovom relacijom naziva se matricom kvadratne
forme.
Uslov da je bilinearna funkcija simetriˇcna znaˇci da je aij = aji , (i, j =
1, . . . , n), tj. da je matrica kvadratne forme simetriˇcna.
Analogno bismo utvrdili da Ermitovoj formi odgovara neka Ermitova matrica.
77
6.2. KVADRATNE FORME
GLAVA 6.
KVADRATNE FORME
Ako je A matrica simetriˇcnog operatora A u odnosu na bazu {e1 , . . . , en },
tada se jednakost (6.4) moˇze pisati u obliku
Ψ (x) = ⟨A(x), x⟩.
(6.5)
Neka je {f 1 , . . . , f n } neka druga baza prostora Rn , x =
forma moˇze napisati u obliku
Ψ (x) =
n ∑
n
∑
∑n
bij yi yj .
i=1
yi f i . Tada se
(6.6)
i=1 j=1
Odredimo vezu izmed¯u x1 , . . . , xn i y1 , . . . , yn . Neka je P matrica prelaska sa
baze {f 1 , . . . , f n } na bazu {e1 , . . . , en }. Tada je
x=
n
∑
x i ei =
n
∑
i=1
yj f j =
j=1
=
n
∑
i=1
iz ˇcega slijedi
xi =
n
∑


n ∑
n
∑
yj pij ei =
j=1 i=1
n
∑

yj pij  ei ,
j=1
pij yj , (i = 1, . . . , n).
j=1
Isto tako je
yi =
n
∑
qij xj , (i = 1, . . . , n),
(6.7)
j=1
ako je Q = P −1 matrica prelaska sa baze {e1 , . . . , en } na bazu {f 1 , . . . , f n }.
Prelazak sa oblika (6.4) na (6.6) naziva se transformacija koordinata, koja
je data formulama (6.7).
Definicija 6.9
Ako je kvadratna forma zapisana u obliku
Ψ (x) =
n
∑
αi x2i .
(6.8)
i=1
kaˇzemo da je data u normalnom obliku. Ukoliko za svaki αi ̸= 0 vrijedi αi = ±1
kaˇzemo da je forma data u kanonskom obliku.
78
GLAVA 6.
KVADRATNE FORME
6.2. KVADRATNE FORME
U daljem ´cemo pokazati da se transformacijom koordinata svaka kvadratna
forma moˇze dobiti i u normalnom i u kanonskom obliku.
Ako je A = (aij ) matrica kvadratne forme u odnosu na bazu {e1 , . . . , en }, a
B = (bij ) matrica u odnosu na neku drugu bazu {f 1 , . . . , f n }, tada iz teoreme
6.6 dobijamo B = P T ·A·P, pri ˇcemu je P matrica prelaska sa baze {e1 , . . . , en }
na bazu {f 1 , . . . , f n }.
Definicija 6.10
Za realne kvadratne matrice A i B kaˇzemo da su kongruentne ako postoji
matrica P takva da je
B = P T · A · P.
Sliˇcno definiˇsemo
Definicija 6.11
Kompleksne kvadratne matrice A i B se nazivaju Ermitski kongruentne ako
postoji matrica P za koju je
B = PT · A · P.
Iz prethodnog slijedi da transformacijom koordinata matrica kvadratne forme
prelazi u kongruentnu matricu.
Pitanje svod¯ena kvadratne forme na normalni ili kanonski oblik je dakle
vezano za pitanje: Da li je svaka simetriˇcna matrica kongruentna nekoj dijagonalnoj matrici? U sljede´coj teoremi ´cemo dati pozitivan odgovor na ovo pitanje
i pored toga opisati postupak kojim se ta matrica dobija.
Teorema 6.12
Simetriˇcna matrica A je kongruentna matrici
(
B11 O
O O
)
pri ˇcemu je B11 = diag(α1 , . . . , αr ), r = rang(A) i pri tome αi ̸= 0, (i =
1, . . . , r).
79
6.2. KVADRATNE FORME
GLAVA 6.
KVADRATNE FORME
Dokaz
Teorema ´ce biti dokazana, ako dokaˇzemo da se matrica A moˇze mnoˇzenjem
zdesna matricom QT i poslije toga mnoˇzenjem slijeva matricom Q, pri ˇcemu
je Q neka od elementarnih matrica, svesti na dijagonalnu matricu, u konaˇcno
mnogo koraka. Za elementarne matrice vrijedi:
T
Eij T = Eij , Ei (α)T = Ei (α), Eij (α)
= Eji (α).
Ako je a11 = 0, neka je i0 najmanji indeks za koji je ai0 ,1 ̸= 0. Zamijenimo
prvu vrstu matrice A sa i0 -tom, a zatim prvu kolonu dobijene matrice sa i0 om. Dobijamo matricu Ei0 ,1 · A · Ei0 ,1 , koja je kongruentna matrici A i ima u
gornjem lijevom uglu nenulti elemenat. Tako, pod uslovom da u prvoj koloni ili
prvoj vrsti ima bar jedan nenulti element, moˇzemo pretpostaviti
je a11 ̸= 0.
( da )
a1i
Prelaze´ci od matrice A = A0 na matrice Ai = E1i −
· Ai−1 ·
a11
(
)
a1i
Ei1 −
, (i = 1, . . . , n), matricu A prevodimo na njoj kongruentnu maa11
tricu oblika
(
)
a11 O
O X1
Ako su svi elementi u prvoj vrsti i prvoj koloni matrice A jednaki nuli, onda
odmah imamo matricu A1 , s tim da je a11 = 0.
Ponavljaju´ci isti postupak sa matricom X1 itd. dobijamo na kraju matricu
A′ = diag(β1 , . . . , βn )
(6.9)
kongruentnu matrici A. Kako je, specijalno, matrica A′ ekvivalentna matrici
A, taˇcno r = rang(A) dijagonalnih elemenara βi je razliˇcito od nule. Sada se
zamjenom vrsta, pa onda kolona sa istim indeksima (tj. mnoˇzenjem matricom
T
Eij
(= Eij ) slijeva i matricom Eij zdesna matrica A′ prevodi na kongruentnu
matricu B.
(
)
B11 O
B = B0 =
O O
tako da je B11 = diag(α1 , . . . , αr ), r = rang(A) i αi =
̸ 0, (i = 1, . . . , r). Time
je dokazan prvi dio tvrdnje.
Prelaze´ci sa matrice B0 na matrice
)
(
)
(
1
1
· Bi−1 · Ei √
, (i = 1, . . . , r),
Bi = Ei √
|aii |
|aii |
na kraju dolazimo do matrice kongruentne matrici A oblika
)
(
C11 O
,
C=
O O
80
GLAVA 6.
KVADRATNE FORME
6.2. KVADRATNE FORME
pri ˇcemu je
C11 = diag(ε1 , . . . , εr ),
(6.10)
a
εi = ±1.
Analizom dokaza prethodne teoreme zakljuˇcujemo sljede´ce: ako je D ̸= 0
ugaoni minor matrice A, tada je broj i0 iz tog dokaza manji ili jednak redu
minora D, pa se transformacijom Ei0 ,1 · A · Ei0 ,1 minor D ne´ce promijeniti. Taj
se minor, dakle, ne´ce mijenjati ni u jednom koraku dokaza, ˇsto znaˇci da vrijedi
Teorema 6.13
1) Svi nenulti ugaoni minori matrice A jednaki su odgovaraju´cim minorima
matrice A′ iz relacije (6.9).
2) Svi ugaoni minori Dk matrice A su razliˇciti od nula ako i samo ako je r = n
i αi ̸= 0, (i = 1, . . . , n) i pri tome vrijedi
Dk = α1 · · · αk , (k = 1, . . . , n).
(6.11)
Dokaz
Treba dokazati 2). Ako su svi ugaoni minori Dk , (k = 1, . . . , n) razliˇciti od
nule, onda je u dokazu prethodne teoreme A′ = B, (n = r = rang(A)), pa je
αi ̸= 0, (i = 1, . . . , n) i prema 1) vrijedi (6.11).
Obratno, ako je r = n tada je αi ̸= 0, (i = 1, . . . , n) i prema tome vrijedi
(6.11).
Parafraziraju´ci teoremu 6.12 dobijamo
Teorema 6.14
Svaka kvadratna forma Ψ (x) se transformacijom koordinata moˇze prikazati u
normalnom obliku
Ψ (y) = α1 y12 + α2 y22 + · · · + αr zr2 ,
(6.12)
a isto tako i u kanonskom obliku
2
Ψ (z) = z12 + z22 + · · · + zs2 − zs+1
− · · · − zr2 .
Pri tome je r rang matrice kvadratne forme Ψ.
81
(6.13)
6.2. KVADRATNE FORME
GLAVA 6.
KVADRATNE FORME
Kvadratna forma se raznim transformacijama moˇze svesti na oblik (6.13).
Pokaˇzimo da je broj sabiraka sa znakom plus (pa i onih sa znakom -) invarijantan u odnosu na te transformacije. Vrijedi, naime
Teorema 6.15 (Teorema inercije)
Ako je Ψ (x) kvadratna forma, za koju vrijedi
2
Ψ (y) = y12 + y22 + · · · + yt2 − yt+1
− · · · − yr2
2
2
2
2
Ψ (z) = z1 + z2 + · · · + zs − zs+1 − · · · − zr2 ,
tada je s = t
Dokaz
∑n ∑n
Neka je Ψ (x) = i=1 j=1 aij xi xj data forma. Na osnovu relacije (6.7) promjenljive y1 , . . . , yn ; z1 , . . . , zn se mogu linearno izraziti preko x1 , . . . , xn . Pretpostavimo da je t > s.
Sistem
z1 = 0, yt+1 = 0
z2 = 0, yt+2 = 0
..
..
.
.
zs = 0,
yr = 0,
u kome ima r−t+s < r ≤ n jednaˇcina moˇzemo posmatrati kao homogeni sistem
po x1 , . . . , xn , a kako ima manje od n jednaˇcina, taj sistem ima netrivijalno
rjeˇsenje. Uvrˇstavaju´ci to rjeˇsenje u izraze za Ψ (y) i Ψ (z) dobijamo
2
− · · · − zr2 ,
Ψ = y12 + y22 + · · · + yt2 = −zs+1
iz ˇcega slijedi y1 = · · · = yt = . . . = 0, ˇsto je nemogu´ce. Na isti naˇci bismo
dokazali da ne moˇze biti s > t.
Definicija 6.16
Za kvadratnu formu Ψ (x) kaˇzemo da je pozitivno definitna ako vrijedi Ψ (x) > 0,
za svako x ̸= 0.
Ako je Ψ (x) < 0 za svaki x ̸= 0, kaˇze se da je forma negativno definisana.
Lako se zakljuˇcuje da, ako je Ψ (x) pozitivno (negativno) definitna, a Ψ (y)
dobijena iz Ψ (x) transformacijom koordinata, tada je Ψ (y) > 0, (Ψ (y) < 0), za
svako y ̸= 0.
82
GLAVA 6.
KVADRATNE FORME
6.2. KVADRATNE FORME
∑r
Neka je Ψ (x) pozitivno definitna i neka je Ψ (y) = i=1 αi yi2 njen normalni
oblik. Tada je, prije svega, r = n.
Zaista, ako bi bilo r < n, uzimaju´ci y1 = · · · = yr = 0, yr+1 = 1, yr+2 =
0, . . . , yn = 0, dobijamo y = (y1 , . . . , yn ) ̸= 0, a Ψ (y) = 0, ˇsto je nemogu´ce.
Vrijedi dalje αi > 0, (i = 1, . . . , n). Stvarno, ako bi za neki j ∈ {1, . . . , n}
vrijedilo αj ≤ 0, uzimaju´ci yj = 1, yi = 0, (i ̸= j) imali bi y = (y1 , . . . , yn ) ̸= 0
i Ψ (y) = αj ≤ 0, ˇsto je nemogu´ce.
Obratno, ako je r = n i αi > 0, (i = 1, . . . , n), tada je oˇcigledno Ψ (y) > 0,
za svaki y ̸= 0, pa je forma pozitivno definitna. Sliˇcna razmatranja vrijede i za
negativno definitne forme. Na taj naˇcin je dokazana
Teorema 6.17
Kvadratna forma Ψ je pozitivno definitna ako i samo ako njen normalni oblik
glasi
n
∑
Ψ (y) =
αi yi2 , (αi > 0, i = 1, . . . , n).
(6.14)
i=1
Analogno se pokazuje da normalni oblik forme
Ψ (y) =
n
∑
αi yi2 , (αi < 0, i = 1, . . . , n),
i=1
potreban i dovoljan uslov da forma bude negativno definisana.
Kombinuju´ci ovu teoremu i teoremu 6.13 dobijamo
Teorema 6.18 (Silvesterov kriterijum)
Neka su δ1 , . . . , δn ugaoni minori matrice kvadratne forme, tada je forma pozitivno definisana ako i samo ako je
δ1 > 0, δ2 > 0 , . . . , δn > 0.
Forma je negativno definisana ako i samo ako je
δ1 < 0, δ2 > 0, . . . , (−1)n δn > 0.
Do sada smo kvadratne forme svodili na normalni ili kanonski oblik koriste´ci se pojmom kongruentnih matrica, tj. transformacijama koordinata koje su
odred¯ene regularnim matricama. To je mogu´ce uraditi i na drugi naˇcin. Simetriˇcna matrica se moˇze svesti na kongruentnu dijagonalnu matricu i pomo´cu ortogonalne matrice. To slijedi iz teoreme 5.47. Parafraziraju´ci tu teoremu imamo
83
6.2. KVADRATNE FORME
GLAVA 6.
KVADRATNE FORME
Teorema 6.19
Neka je A simetriˇcna matrica. Tada postoji ortogonalna matrica Q, za koju je
Q−1 · A · Q = diag(λ1 , . . . , λn ),
pri ˇcemu su λ1 , . . . , λn svojstvene vrijednosti matrice A.
Kako je Q ortogonalna matrica, vrijedi Q−1 = QT , ˇsto u stvari pokazuje da
se ortogonalnom transformacijom koordinata normalni oblik kvadratne forme
moˇze dobiti u obliku
n
∑
Ψ (y) =
λi yi2 ,
i=1
pri ˇcemu su λ1 , . . . , λn svojstvene vrijednosti matrice te forme.
Primjedba 6.20
U komentaru teoreme 5.47 je reˇceno da je Q matrica prelaska sa ortonormirane
baze na bazu, sastavljenu od svojstvenih vektora. To znaˇci da je za odred¯ivanje
te matrice potrebno znati svojstvene vrijednosti matrice A, ˇsto je vezano za
problem rjeˇsavanja svojstvene jednaˇcine.
Iz prethodne teoreme slijedi joˇs jedan jednostavan kriterij za pozitivnu definitnost simetriˇcnih matrica
Teorema 6.21
Simetriˇcna matrica je pozitivno definitna ako i samo ako su joj sve svojstvene
vrijednosti pozitivne, a negativno definisana ako i samo ako su joj sve svojstvene
vrijednosti negativne.
Zavrˇsi´cemo ovo poglavlje jednim rezultatom o paru kvadratnih formi. Ako
su date dvije kvadratne forme, od kojih je jedna pozitivno definitna, onda je
uvijek mogu´ce te dvije forme ,,istovremenoˇsvesti na normalni oblik. Preciznije,
vrijedi
Teorema 6.22
Neka su A i B matrice kvadratnih formi od n promjenljivih, od kojih je druga
pozitivno definitna. Postoji regularna matrica P, za koju je
P T · A · P = diag(α1 , . . . , αn ),
P T · B · P = En .
84
GLAVA 6.
KVADRATNE FORME
6.2. KVADRATNE FORME
Dokaz
Postoji regularna matrica S za koju je S T · B · S = En . Neka je A1 = S T · A · S.
Postoji ortogonalna matrica Q za koju je QT · A1 · Q = diag(α1 , . . . , αn ). Lako
se vidi da je P = S · Q traˇzena matrica.
85
Download

Predavanja iz Lineara algebra 2, 2014