Milan Janji´c
Predavanja iz Lineara algebra 2,
2014-2015 ˇskolska godina
Prirodno-matematiˇcki fakultet
Univerzitet u Banjoj Luci
Predgovor
Ovo su predavanja iz predmeta Linearna algebra 2 koja se drˇze u 2014-2015
ˇskolskoj godini studentima druge godine, opˇsteg smjera i studentima ˇcetvrte
godine, nastavniˇckog smjera. Izloˇzeni materijal se, u najve´coj mjeri, poklapa
sa vaˇze´cim udˇzbenikom s tim da je dodato poglavlje o cikliˇckim potprostorima i glavnim vektorima, ˇsto spada u tzv. geometrijsku teoriju elementarnih
djelitelja.
Osnovni cilj je jasna i jednostavna prezentacija programa ovog predmeta.
Sadrˇzaj
1.
Svojstvene vrijednosti operatora i matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
Svojstvene vrijednosti operatora i matrica
Moˇze se re´ci da su sva naˇsa dosadaˇsnja razmatranja bazirana na sistemima
linearnih jednaˇcina i nisu zavisila od prirode polja iz kojeg se uzimaju koeficijenti sistema. Naime, rjeˇsenja sistema linearnih jednaˇcina uvijek pripadaju
polju, iz kojeg su svi koeficijenti sistema.
U ovom ´cemo dijelu vidjeti da se izuˇcavanje nekih od najznaˇcajnijih svojstava linearnih operatora dobijaju pomo´cu nelinearnih algebarskih jednaˇcina.
Poznato je, s druge strane, da rjeˇsenja nelinearnih algebarskih jednaˇcina
bitno zavise od polja, kojem pripadaju koeficijenti jednaˇcina.
Problem koji ´cemo rjeˇsavati je sljede´ci: Za dati operator koji djeluje na
prostoru Vn odrediti bazu prostora, u odnosu na koju matrica tog operatora
ima najjednostavniju mogu´cu formu. Matrice operatora u odnosu na razliˇcite
baze prostora su sliˇcne, pa se problem moˇze izraziti i jezikom matrica i glasi:
Za datu kvadratnu matricu A odrediti ,,najjednostavniju ”matricu sliˇcnu
matrici A. Drugim rijeˇcima, odrediti regularnu matricu P za koju je matrica
P −1 AP najjednostavnija mogu´ca, tj. dijagonalna. Zbog toga se postupak kojim
se dobija traˇzena matrica ˇcesto naziva dijagonalizacija. Vidje´cemo da dijagonalizacija nije uvijek mogu´ca.
Sliˇcna razmatranja u matriˇcnom raˇcunu dovela su do rang normalne forme
matrice. Naime, za datu pravougaonu matricu B formata m × n postoje regularna matrica S reda m i regularna matrica P reda n tako da je SBP rang
normalna forma matrice B. Ovaj problem je rijeˇsen u kursu Linearne algebre
1.
Problem za sliˇcne matrice, koji ovdje razmatramo, mada izgleda analogan
onom za pravougaone, je znatno teˇzi i predstavlja samu srˇz linearne algebre.
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
To je primjetno ve´c na prvi pogled, jer da bismo odredili rang normalnu formu
pravougaone matrice mi odred¯ujemo dvije regularne matrice S i P, koje ne
zavise jedna od druge. Da bi na isti naˇcin rijeˇsili problem za sliˇcne matrice
moralo bi biti S = P −1 , ˇsto se tehnikom elementarnih transformacija ne moˇze
posti´ci.
Ako se operator A moˇze dijagonalizovati, to znaˇci da postoji baza
{e1 , e2 , . . . , en } prostora V u odnosu na koju je matrica A, tog operatora, dijagonalna tj. postoje, u opˇstem sluˇcaju, kompleksni brojevi λ1 , . . . , λ, za koje
A(ei ) = λi ei , (i = 1, 2, . . . , n).
Tako na jednostavan naˇcin dolazimo do vaˇznih pojmova svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora linearnih operatora, odnosno matrica.
Definicija 1.1
Neka je Vn vektorski prostor nad poljem C, kompleksnih brojeva, a A ∈
End(Vn ). Kaˇzemo da je λ ∈ K svojstvena vrijednost operatora A, ako postoji
vektor x ̸= 0 za koji je A(x) = λx. Vektor x se naziva svojstvenim vektorom
operatora A, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ.
Skup Vλ koji se sastoji od nula vektora i svih svojstvenih vektora operatora A,
koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ je potprostor prostora Vn i naziva se
svojstveni potprostor svojstvene vrijednosti λ.
Definicija 1.2
Ako je A kompleksna matrica n-tog reda, tada λ naziva svojstvenom vrijednoˇs´cu matrice A, ako postoji vektor X = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Cn , X ̸= O,
za koji vrijedi
A · X = λ · X.
Vektor X se naziva svojstvenim vektorom matrice A.
Definicija 1.3
Dimenzija potprostora Vλ naziva se geometrijska viˇsestrukost svojstvene vrijednosti λ.
Ako je λ svojstvena vrijednost operatora, to znaˇci da postoji x ̸= 0, za koji
vrijedi (λE −A)(x) = 0, tj. vrijedi Ker (λE −A) ̸= {0}, a to znaˇci da je operator
λE − A singularan. Ako je A matrica linearnog operatora A, u odnosu na neku
bazu {e1 , . . . , en }, za singularnost operatora λE − A potrebno je i dovoljno da
2
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
vrijedi det(λEn − A) = 0. Tako dolazimo do vaˇznih pojmova, koje uvodimo
sljede´com definicijom.
Definicija 1.4
Matrica En · λ − A naziva se svojstvena matrica operatora A, a jednaˇcina (po
λ)
det(En · λ − A) = 0,
(1.1)
svojstvena jednaˇcina operatora.
Lijeva strana jednaˇcine (1.1) je polinom pn (λ), n-tog stepena po λ i naziva
se svojstveni polinom operatora. On ima oblik
pn (λ) = λn + a1 λn−1 + · · · + an .
(1.2)
Primjedba 1.5
Umjesto rijeˇci svojstveni koriste se ravnopravno i rijeˇc karakteristiˇcni ili sopstveni.
Primjedba 1.6
Odred¯ivanje svojstvenih vrijednosti datog operatora svodi se, dakle, na odred¯ivanje
korijena svojstvenog polinoma, tj. na rjeˇsavanje algebarske jednaˇcine n-tog reda
λn + a1 λn−1 + · · · + an = 0.
Rjeˇsenja te jednaˇcine zavisi od polja iz koga su koeficijenti jednaˇcine i u
kojem pripadaju rjeˇsenja jednaˇcine.
U tim razmatranjima bitnu ulogu igra Osnovna teorema algebre koja glasi:
Svaka algebarska jednaˇcina n-tog reda, nad poljem kompleksnih brojeva (ili bilo
kojim algebarski zatvorenim poljem), ima taˇcno n korijena (ako se raˇcunaju i
viˇsestrukosti).
Kako su svojstvene vrijednosti osnovni elementi pomo´cu kojih ´cemo izuˇcavati
strukturu operatora, to znaˇci da ´ce u tome bitnu ulogu igrati priroda polja nad
kojim je definisan prostor na kome operator djeluje.
Kada su svojstvene vrijednosti odred¯ene, za odred¯ivanje svojstvenih vektora
treba joˇs rijeˇsiti po x jednaˇcinu
(λE − A)(x) = 0,
3
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
koja se svodi na homogeni sistem linearnih jednaˇcina. Naime, ako su x1 , . . . , xn
komponente svojstvenog vektora x, u odnosu na bazu {e1 , . . . , en }, a A matrica operatora u odnosu na tu bazu, tada je prethodna jednaˇcina ekvivalentna
jednaˇcini
(λEn − A) · X = O,
(1.3)
pri ˇcemu je X = (x1 , . . . , xn )T .
Primjer 1.7
Odrediti svojstvene vrijednosti i pripadne svojstvene vektore sljede´cih matrica


1 −1 −1
1. A = 1 −1 0  .
1 0 −1


2−i
0
i
2. B =  0
1−i
0 .
i
0
2−i
Rjeˇsenje.
1. Vrijedi
det(A − λE3 ) = −(λ + 1)(λ2 + 1),
pa matrica A ima tri med¯usobno razliˇcite svojstvene vrijednosti λ1 =
−1, λ2 = i, λ2 = −i. Jedno rjeˇsenja jednaˇcine (A − λ1 E3 ) · X = 0, je
(0, 1, −1)T , pa je to svojstveni vektor, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = −1.
Analogno, jedno rjeˇsenja jednaˇcine (A − λ2 E3 ) · X = 0, je (1 + i, 1, 1)T , pa
je to svojstveni vektor, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = i.
Isto tako je (1 − i, 1, 1) svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = −i.
2. U ovom sluˇcaju svojstvene vrijednosti su
2, 1 − i, 2 − 2i,
a odgovaraju´ci svojstveni vektori su
(1, 0, 1)T , (0, 1, 0)T , (1, 0, −1)T .
4
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Primjer 1.8
1. Neka je O nula operatorna prostoru V. Tada je O(v) = 0, (v ∈ V ), ˇsto znaˇci
da je 0 jedina svojstvena vrijednost oovog operatotra, dok su svi nenulti
vektori n jeni svojstveni vektori. Imamo, dakle, V0 = V.
2. Ako je E identiˇcni operator na prostoru V, onda za svako v ∈ V vrijedi
E(v) = v. Ovo znaˇci da je 1 svojstvena vrijednost operatora, te da je
V1 = V.
3. Ako je A bilo koji operator, tada je 0 njegova svojstvena vrijednost ako i
samo ako je ker A ̸= {0}. U tom sluˇcaju je V0 = ker A.
Primjer 1.9
1. Dokazati da rotacija ravni za ugao ω, () < ω < π) nema realnih svojstvenih
vrijednosti.
2. Odrediti kompleksne svojstvene vrijednosti perthodne transformacije.
Rjeˇsenje.
1. Svojstvena jednaˇcina ove transformacije i ma oblik
λ − cos ω
sin ω = 0,
− sin ω
λ − cos ω odnosno, λ2 − 2 cos wλ + 1 = 0. Diskriminanta ove kvadratne jednaˇcine je
manja od nule, pa ona nema realnih rjeˇsenja.
2. Kompleksne svojstvene vrijednosti su cos ω ± i sin ω.
Primjer 1.10
Neka je P ̸= O operator projekcije. Pokazati da su 0 i 1 jedine svojstvene
vrijednosti ovog operatora, Dokazati joˇs da je V0 = ker P, V1 = im P.
Rjeˇsenje: Operator P zadovoljava uslov P 2 = P. Ako je v ̸= 0 vektor za koji
vrijedi P(v) = λv, tada je P(v) = P 2 (v) = (P(v) = P(λv) = λP(v) = λ2 v.
Dakle, P(v) = λ2 v. Zakljuˇcujemo da vrijedi λv = λ2 v, pa je λ2 − λ = 0
svojstvena jednaˇcina, pa su λ = 0 i λ = 1 svojstvene vrijednosti operatora P.
Da je V0 = Ker P vidjeli smo u prethodnom primjeru. Ako je λ = 1, a w njen
svojstveni vektor onda iz P(w) = w, ˇsto znaˇci da v ∈ ImP. Sa druge strane,
ako je w ∈ ImP, tada je w = P(v), za neki v. Slijedi P(w) = P 2 (v) = P(v) =
w, pa je w svojstveni vektor, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti 1. Dakle,
V1 = Im P.
5
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Primjer 1.11
Kvadratnu matricu A nazivamo stohastiˇckom ako joj je zbir elemenata u svakoj
vrsti jednak 1. Pokazati da je 1 svojstvena vrijednost te matrice i odrediti njen
svojstveni vektor.
Rjeˇsenje. Za vektor X = (1, 1, . . . , 1)T oˇcigledno vrijedi A · X = X, ˇsto znaˇci
da je 1 svojstvena vrijednost, a X svojstveni matrice A.
Primjer 1.12
Ako A, B ∈ Mn (K) dokazati da matrice AB i BA imaju iste svojstvene vrijednosti.
Rjeˇsenje. Pretpostavimo da je λ = 0 svojstvena vrijednost matrice AB.
To znaˇci da je matrica (λEn − AB) = AB singularna, pa je det(AB) =
det A det B = 0. To znaˇci da je i matrica BA singularna, pa je 0 i njena svojstvena vrijednost.
Pretpostavimo da λ ̸= 0 nije svojstvena vrijednost matrice AB. Tada je
matrica (λEn − AB) = λ(En − λ1 AB) invertibilna, ˇsto znaˇci da je matrica
(En − λ1 AB) invertibilna. Iz LA1 znamo da je i matrica (En − λ1 BA) invertibilna,
pa λ nije svojstvena vrijednost ni matrice BA.
Obrnuto se dokazuje na isti naˇcin.
Primjedba 1.13
Napomenimo da svojstvena matrica operatora A nije jedinstvena, jer matrica
u (1.1) na zavisi samo od operatora, nego i od bazu prostora. Kako su matrice
operatora u odnosu na razli ˇcite baze sliˇcne, to znaˇci da se u definiciji 1.4
umjesto matrice A moˇze uzeti bilo koja njoj sliˇcna matrica.
U vezi sa prethodnom primjedbom, moˇze se postaviti pitanje: Da li izbor matrice operatora utiˇce na svojstvene vrijednosti tog operatora. Naime, oˇcigledno
koeficijenti svojstvene jednaˇcine (1.1) zavise od elemenata matrice A, pa bi, na
prvi pogled, proizilazilo da i svojstvene vrijednosti zavise od elemenata matrice
A. To nije sluˇcaj, ˇsto ´cemo dokazati u sljede´coj teoremi.
Teorema 1.14
Ako su A i B silˇcne matrice, tada vrijedi
det(λEn − A) = det(λEn − B).
6
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Dokaz
Ako su A i B sliˇcne matrice, pa postoji regularna matrica P, za koju je B =
P −1[ · A · P. Prema tome
det(λEn − B) = det(λEn − P −1 · A · P ) =
] imamo −1
−1
det P (λEn − A) · P = det(P ) · det(λEn − A) · det(P ) = det(λEn − A).
Prema tome vrijedi
det(λEn − B) = det(λEn − A).
Kako su izrazi i na lijevoj i na desnoj strani ove jednakosti polinomi, ta jednakost je, u stvari, jednakost polinoma. Iz jednakosti koeficijenata tih polinoma
zakljuˇcujemo da koeficijenti svojstvene jednaˇcine operatora ne zavise od izabrane baze prostora, odnosno matrice operatora u odnosu na bazu.
Primjedba 1.15
Ako je A kvadratna matrica, onda se jednaˇcina (1.1) naziva svojstvena
jednaˇcina matrice, njena se rjeˇsenja nazivaju svojstvenim vrijednostima matrice, dok se rjeˇsenja X jednaˇcine (1.3) nazivaju svojstvenim vektorima matrice.
U prethodnim razmatranjima smo dokazali da sliˇcne matrice imaju iste
svojstvene jednaˇcine, pa i iste svojstvene vrijednosti vrijednosti.
U sljede´coj teoremi izraˇcuna´cemo koeficijente svojstvenog polinoma, preko
elemenata matrice A.
Teorema 1.16
Ako je (1.2) svojstveni polinom matrice A tada je
ak = (−1)k Sk , (k = 1, . . . , n),
(1.4)
pri ˇcemu je Sk suma svih glavinih minora reda k matrice A.
Dokaz
Iz LA1 znamo da vrijedi
n−k
p(k)
k!Sn−k , (k = 0, . . . , n − 1),
n (0) = (−1)
pri ˇcemu je Sn−k zbir svih glavnih minora reda n−k matrice A. Sa druge strane,
(k)
direktno diferenciraju´ci pn (x) dobijamo pn (0) = k!an−k , (k = 0, . . . , n − 1),
pa imamo
k!an−k = (−1)n−k k!Sn−k , (k = 0, . . . , n − 1),
iz ˇcega slijedi tvrdnja.
7
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Primjedba 1.17
Specijalno je a1 = −Tr (A), an = (−1)n det(A).
Posljednje jednakosti daju vezu izmed¯u svojstvenih vrijednosti matrice sa jedne,
te traga i determinante te matrice, sa druge strane.
Primjer 1.18
Odrediti vezu izmed¯u suma glavnih minora matrica A i A−1 .
Rjeˇsenje. Neka je f (λ) svojstveni polinom matrice A n-tog reda, a g(λ) svojstveni polinom matrice A−1 . Vrijedi
g(λ) = |λEn − A−1 | = |λA · A−1 − A−1 | =
1
|λA − En |.
|A|
Izvlaˇce´ci −λ iz svake vrste determinante |λA − En | dobijamo
( )
(−λ)n
1
g(λ) =
f
.
|A|
λ
Upored¯ivanjem koeficijenata polinoma na lijevoj i desnoj strani prethodne
jednakosti zakljuˇcujemo da vrijedi: Zbir glavnih minora k-tog reda matrice A−1 ,
n
n-tog reda, jednak je proizvodu (−1)
|A| sa zbirom svih glavnih minora reda n − k
matrice A.
Ako su λ1 , . . . , λn svojstvene vrijednosti matrice A, tada je na osnovu Vijetovih formula an = (−1)n λ1 · · · λn , pa vrijedi
det(A) = λ1 · · · λn .
(1.5)
Pomo´cu svojstvenih vrijednosti opisujemo strukturu operatora. Problem
je da se odredi takva baza prostora, u odnosu na koju operator ima ˇsto je
mogu´ce ,,jednostavniju”matricu. U tom smislu su najjednostavniji oni operatori
za koje se moˇze odrediti baza prostora, u odnosu na koju je matrica operatora
dijagonalna.
Definicija 1.19
Za operator A ∈ End (Vn ) kaˇzemo da je proste strukture ako postoji baza
prostora Vn sastavljena od svojstvenih vektora operatora A.
Ako je A operator proste strukture, {e1 , e2 , . . . , en } baza sastavljena od svojstvenih vektora, tada je
A(ei ) = λi ei , (i = 1, 2, . . . , n).
8
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Ovo znaˇci da je matrica operatora A u odnosu na ovu bazu dijagonalna i da
se na dijagonali nalaze svojstvene vrijednosti.
Vrijedi i obratno, ako postoji baza u odnosu na koju je matrica operatora
dijagonalna, onda je jasno da su bazni vektori svojstveni, a skalari na dijagonali
svojstvene vrijednosti.
Vrijedi dakle:
Teorema 1.20
Operator A ∈ End (Vn ) je proste strukture ako i samo ako postoji baza prostora
Vn , u odnosu na koju je matrica tog operatora dijagonalna.
Neka je A operator proste strukture, koji djeluje na prostoru Vn . Neka je
A matrica operatora A u odnosu na neku bazu (e1 , e2 , . . . , en ) i neka su
∑n
v j = i=1 pij ei , (j = 1, 2, . . . , n) svojstveni vektori, koji ˇcine bazu prostora
Vn , a λ1 , λ2 , . . . , λn odgovaraju´ce svojstvene vrijednosti. Matrica B = (pij ) je,
dakle, matrica prelaska sa baze (e1 , e2 , . . . , en ) na bazu (v 1 , v 2 , . . . , v n ). Iz LA1
znamo P −1 AP je matrica operatora A u odnosu na bazu (v 1 , v 2 , . . . , v n ). Sa
druge strane, kako je baza (v 1 , v 2 , . . . , v n ) sastavljena od svojstvenih vektora,
ta matrica je diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ). Time je dokazana
Teorema 1.21
Matrica A je matrica operatora proste strukture ako i samo ako postoji invertibilna matrica P za koju je
P −1 AP = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn )
i pri tome su λ1 , λ2 , . . . , λn svojstvene vrijednosti operatora A, dok su kolone
matrice P odgovaraju´ci svojstveni vektori.
Primjer 1.22
Ako je A matrica operatora proste strukture, izraˇcunati Ak , (k ∈ Z).
Rjeˇsenje. Prema prethodnoj teoremi, postoji regularna matrica P za koju je
P −1 AP = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ).
Stepenuju´ci i lijevu i desnu stranu sa k dobijamo
P −1 Ak P = diag (λk1 , λk2 , . . . , λkn ),
9
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
iz ˇcega slijedi
Ak = P · diag (λk1 , λk2 , . . . , λkn ) · P −1 .
Napomenimo da negativni stepeni od A postoje samo u sluˇcaju λi ̸= 0, (i =
1, 2, . . . , n).
U sljede´coj teoremi ´cemo dokazati da su svojstveni vektori koji pripadaju
med¯usobno razliˇcitim svojstvenim vrijednostima linearno nezavisni.
Teorema 1.23
Ako su λ1 , λ2 , . . . , λm , u parovima razliˇcite svojstvene vrijednosti operatora A, a v 1 , v 2 , . . . , v m svojstveni vektori koji im odgovaraju, tada je skup
{v 1 , v 2 , . . . , v m } linearno nezavisan.
Drugim rijeˇcima, ako su λ1 , λ2 , . . . , λk med¯usobno razliˇcite svojstvene vrijednosti, a Vλ1 , Vλ2 , . . . , Vλk odgovaraju´ci svojstveni potprostori, tada je suma
Vλ1 + Vλ2 + . . . , Vλk direktna.
Dokaz
Neka je α1 v 1 + α2 v 2 + · · · + αm v m = 0. Oznaˇcimo sa
w1 = α1 v 1 , w2 = α2 v 2 , . . . , wm = αm v m .
Svi vektori wi , (i = 1, . . . , m) su svojstveni vektori, koji odgovaraju svojstvenim vrijednostima λi , izuzev eventualno jednog, koji je jednak nuli i koji
odgovara svojstvenoj vrijednosti nula. Prije svega vrijedi
w1 + w2 + · · · + wm = 0.
Djeluju´ci na ovu jednakost operatorom A, m − 1 puta, dobijamo jednakosti
w1
λ1 w1
λ21 w1
..
.
λm−1
w1
1
+
+
+
w2
λ2 w2
λ22 w2
..
.
+ λ2m−1 w2
+ ···
+ ···
+ ···
+
+
+
+ ···
+ λm−1
wm
m
wm
λm wm
λ2m wm
..
.
=0
=0
=0 .
..
.
=0
Kada se svaki od vektora izrazi kao linearna kombinacija vektora neke baze,
onda se jednaˇcina dobije n = dim (Vn ) sistema homogenih linearnih jednaˇcina.
U svakom od tih sistema nepoznate su koordinate vektora wi , u odnosu na
odred¯eni element baze.
Determinanta svakog od tih sistema je Vandermondova i jednaka je
∏
(λj − λi ) ̸= 0,
1≤i<j≤m
10
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
pa sistemi imaju samo trivijalna rjeˇsenja iz ˇcega slijedi w1 = . . . = wm = 0, pa
i α1 v 1 = α2 v 2 = . . . = αm v m = 0, ˇsto implicira
α1 = α2 = · · · = αm = 0.
Sljede´ca teorema je jednostavana posljedica prethodne.
Posljedica 1.24
Ako operator koji djeluje na prostoru Vn ima med¯usobno razliˇcite svojstve
vrijednosti, onda je on proste strukture.
Operator A, naravno, moˇze da bude proste strukture i ako mu nisu sve
svojstvene vrijednosti razliˇcite. Jednostavan primjer za to je identiˇcki operator,
koji je proste strukture, a sve su mu svojstvene vrijednosti jednake 1.
Ako je polje u kojima traˇzimo svojstvene vrijednosti polje kompleksnih brojeva, onda se na osnovu osnovne teoreme algebre svojstveni polinom moˇze napisati u obliku
pn (λ) = (λ − λ1 )µ1 · (λ − λ2 )µ2 · · · (λ − λk )µk ,
(1.6)
pri ˇcemu su λ1 , λ2 , . . . , λk sve, med¯usobno razliˇcite svojstvene vrijednosti.
Definicija 1.25
Brojevi ν1 , ν2 , . . . , νk iz jednakosti (1.6) nazivaju se algebarskim viˇsestrukostima
odgovaraju´cih svojstvenih vrijednosti.
U sljede´coj teoremi izlaˇzemo vezu izmed¯u algebarskih i geometrijskih
viˇsestrukosti svojstvenih vrijednosti.
Teorema 1.26
Gemoetrijska viˇsestrukost svojstvene vrijednosti nije ve´ca od njene algebarske
viˇse strukosti.
Dokaz
Neka je k geometrijska viˇsestrukost svojstvene vrijednosti λ opeartora A.
Neka je (e1 , e2 , . . . , ek ) baza svojstvenog potprostora Vλ1 , koja je, naravno,
sastavljena od svojstvenih vektora koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti
11
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
λ. Dopunimo prethodnu bazu do baze cijelog prostora. Dobili smo bazu
(e1 , e2 , . . . , ek , ek+1 , . . . , en ) prostora Vn . Matrica operatora, u odnosu na ovu
bazu, ima oblik
(
)
D
B
S=
,
O
C
pri ˇcemu je D = diag (λ1 , λ1 , . . . , λ1 ), dijagobnalna matrica. Svojstvena matrica S ima oblik
(
)
λEk − D
B
S=
.
O
λEn−k − C
Prema tome, svojstveni polinom pn (λ) ima oblik
pn (λ) = (λ − λ1 )k qn−k (λ).
(1.7)
Porede´ci izraze (1.7) i (1.6) dobijamo tvrdnju teoreme.
Teorema 1.27
Operator A je proste strukture ako i samo ako je geometrijska viˇsestrukost
svake svojstvene vrijednosti jednaka njenoj algebarskoj viˇsestrukosti.
Dokaz
Ako je A proste strukture, onda prostor na kome djeluje ima bazu sastavljenu od svojstvenih vektora. U odnosu na tu bazu, matrica operatora A
je dijagonalna i na dijagonali se pojavljuju njene svojstvene vrijednosti. Pri
tome se odred¯ena svojstvena vrijednost pojavljuje onoliko puta kolika je njena
geometrijska viˇsestrukost. U ovom sluˇcaju, dakle, geometrijska viˇse strukost
mora biti jednaka algebarskoj. Obrnuto, neka je geometrijska viˇsestrukost
svake svojstvene vrijednosti jednaka njenoj algebarskoj viˇse strukosti i neka
su λ1 , λ2 , . . . , λk med¯usobno razliˇcite svojstvene vrijednosti. U teoremi 1.23 je
dokazana da je tada suma Vλ1 +· · ·+Vλk direktna. Iz postavljenih uslova slijedi
da je dim Vλ1 + · · · + Vλk jednaka dimenziji cijelog prostora, na kome djeluje
operator, a to znaˇci da postoji baza sastavljena od svojstvenih vektora.
U teoremi 1.14 dokazali smo da sliˇcne matrice imaju iste svojstvene jednaˇcine,
pa i iste svojstvene vrijednosti. Za obrat te tvrdnje imamo
Primjer 1.28
Pokazati da su matrice A, B ∈ Mn (K), koje imaju iste svojstvene jednaˇcine i
predstavljaju operatore proste strukture, sliˇcne.
12
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Rjeˇsenje. Postoje invertibilne matrice S i P za koje vrijedi:
S −1 AS = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ), P −1 BP = diag (µ1 , µ2 , . . . , µn ),
pri ˇcemu su λi i µi svojstvene vridednosti datih matrica. Dovoljno je dokazati
da su matrice na desnim stranama prethodnih jednakosti sliˇcne. Kako matrice
A i B imaju iste svojstvene polinome, a samim tim i iste svojstvene vrijednosti,
to znaˇci da je (µ1 , µ2 , . . . , µn ) neka permutacija od (λ1 , λ2 , . . . , λn ).
Sa druge strane, ako je D = diag (. . . , di , . . . , dj , . . .) dijagonalna matrica
−1
onda je D1 = Eij DEij = diag (. . . , dj , . . . , di , . . .), pa, uz ˇcinjenicu da je Eij
=
Eij , slijedi da su D i D1 sliˇcne matrice. Na osnovu toga zakljuˇcujemo da su
matrice diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ) i diag (µ1 , µ2 , . . . , µn ) sliˇcne, pa su sliˇcne i matrice
A i B. U opˇstem sluˇcaju, matrice sa istim svojstvenim polinomimae moraju
biti sliˇcne, ˇsto ´cemo pokazati sljede´cim primjerom.



2 2 1
2
1 −1
Dokazati da matrice A = 1 3 1 i B =  0
2 −1 imaju iste
1 2 2
−3 −2 3
svojstvene polinome, ali nisu sliˇcne.
Primjer 1.29

Rjeˇsenje. Lako se provjerava da je f (λ) = (λ − 1)2 (λ − 5) svojstveni polinom i
jedne i druge matrice. Kako je algebarska viˇsestrukost korijena λ = 5 jednaka
1, tolika je i njegova geometrijska viˇsestrukost. Sa druge strane, algebarska
viˇsestrukost svojstvene vrijednosti λ = 1 je 2, za obje matrice. Lako se provjerava da toj vrijednosti odgovaraju dva linearno nezavisna svojstvena vektora
od B, a samo jedan od A. Prema tome B je matrica proste strukture. Ako bi
ona bila sliˇcna matrici A onda bi i A bila proste strukture, pa bi algebarska
viˇse strukost svojstvene vrijednosti λ = 1 bila jednaka njenoj geometrijskoj
viˇsestrukosti, ˇsto nije taˇcno. Dakle, matrice A i B ne mogu biti sliˇcne.
U sljede´cem poglavlju ´cemo razmatrati tzv. matriˇcne polinome. Sada ´cemo
ih samo definisati i dokazati jedan znaˇcajan rezultat vezan za svojstvene polinome i matrice.
Naime, ako je f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ K[x], a A ∈ Mm (K), tada
se izraz
f (A) = a0 An + a1 An−1 + · · · + an · Em naziva matriˇcni polinom stepena n.
Izuzetno znaˇcajnu osobinu svojstvenog polinoma daje sljede´ca
Teorema 1.30 (Hamilton-Kejlijeva)
Ako je f (x) svojstveni polinom matrice A, tada je f (A) = O.
13
GLAVA 1. SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI OPERATORA I MATRICA
Dokaz
Oznaˇcimo sa B asociranu matricu od xEn − A. Njeni elementi su subdeterminante, sa odred¯enim predznakom, n − 1-og reda matrice xEn − A i to su, dakle,
polinomi najviˇse n − 1-og stepena po x. Zbog toga se matrica B moˇze napisati
u obliku
B = Bn−1 xn−1 + · · · + B0 .
Kako je B asocirana matrica od En x − A, vrijedi
B · (xEn − A) = |xEn − A| · En = f (x) · En .
Ako je f (x) = xn +an−1 xn−1 +· · ·+a0 , izjednaˇcavanjem matrica uz iste stepene
x na lijevoj i desnoj strani, dobijemo
Bn−1 =
−Bn−1 · A + Bn−2 =
−Bn−2 · A + Bn−3 =
.. ..
. .
−B1 · A + B0 =
−B0 · A =
En
an−1 En
an−2 En
..
.
a1 · En
a0 · En .
Mnoˇzenjem prve od ovih jednakosti sa An , druge sa An−1 itd., pretposljednje
sa A, pa onda sabiranjem lijevih i desnih strana, dobijamo
An + an−1 · An−1 + · · · + a0 · En = 0.
U nastavku nas oˇ
cekuju veoma zanimljive stvari kao: minimalni
ˇ
polinomi, Frobenijusove matrice, Surova
teorema itd. itd. itd.
14
Download

Predavanja iz Lineara algebra 2, 2014