UNIVERZITET U TUZLI
ˇ
PRIRODNO-MATEMATICKI
FAKULTET
Nermin Okiˇci´c
Uvod u funkcionalnu analizu
- Skripta -
Tuzla, 2014.
Sadrˇ
zaj
1 Metriˇ
cki prostori
1.1 Metrika i metriˇcki prostor . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Konvergencija u metriˇckim prostorima . . . . . . . . .
1.3 Kompletnost metriˇckih prostora . . . . . . . . . . . . .
1.4 Banachov stav o fiksnoj taˇcki . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Separabilnost metriˇckih prostora . . . . . . . . . . . .
1.6 Kompaktnost metriˇckih prostora . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Neprekidne funkcije na kompaktnim skupovima
1.6.2 Specijalni kriteriji relativne kompaktnosti . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
16
19
29
41
44
47
48
2 Banachovi prostori
2.1 Linearni vektorski prostori . . . . . . . .
2.2 Normirani prostori . . . . . . . . . . . .
2.3 Konvergencija u normiranim prostorima
2.4 Banachovi prostori . . . . . . . . . . . .
2.5 Kompaktnost u Banachovim prostorima
2.6 Konveksnost u normiranim prostorima .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
52
52
60
61
66
72
75
3 Linearani operatori
3.1 Ograniˇcenost i neprekidnost
3.2 Inverzni operator . . . . . .
3.3 O joˇs dva principa . . . . .
3.4 Zatvoreni operator . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
77
88
92
97
4 Linearni funkcionali
4.1 Geometrijski smisao linearnih funkcionala . . . .
4.2 Hahn-Banachov teorem . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Reprezentacije ograniˇcenih linearnih funkcionala
4.3.1 Konaˇcnodimenzionalni prostori . . . . . .
4.3.2 Reprezentacije na Banachovim prostorima
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
105
106
110
116
116
119
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Konjugovani prostori i konjugovani operator
134
5.1 Konjugovani prostori i refleksivnost . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2 Konjugovani operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
i
Sadrˇzaj
6 Spektar linearnog operatora
146
6.1 Definicija spektra operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.2 Spektralni radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7 Hilbertovi prostori
7.1 Skalarni produkt. Hilbertovi prostori. . . . . .
7.2 Ortogonalnost i ortogonalni komplement . . . .
7.3 Ortonormirani sistemi . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Linearni funkcionali na Hilbertovim prostorima
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
158
158
168
173
185
Bibliografija
187
Dodatak A Prostori u funkcionalnoj analizi
188
Dodatak B Grˇ
cki alfabet
189
ii
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Predgovor
Funkcionalna analiza predstavlja alat za rjeˇsavanje raznih oblika jednaˇcina,
prevashodno onih u kojima se nepoznata pojavljuje kao funkcija. Naprimjer,
ˇzelimo na´ci takvu funkciju f = f (x), koja za svako x ∈ [0, 1] zadovoljava
jednaˇcinu
Z
x
f (x) −
0
sin(x − t)f (t)dt = cos x .
Ovo je primjer linearne jednaˇcine po nepoznatoj f u kojoj je lijeva strana
funkcija funkcije f za koju kaˇzemo da je funkcional koji djeluje na funkciju
f . Naravno, moˇzemo posmatrati i jednaˇcinu oblika
Z x
sin(x − t)f 2 (t)dt = cos x ,
f (x) −
0
u kojoj sada lijeva strana definiˇse nelinearan funkcional.
Veliki broj jednaˇcina u analizi i linearnoj algebri rjeˇsavamo na naˇcin da
pronademo rjeˇsenje kao broj ili skup brojeva koji uvrˇsteni u neku datu
funkciju ˇcine je nulom ili joj odreduju maksimalnu ili minimalnu vrijednost. Zbog toga u analizi i linearnoj algebri izuˇcavamo sve vrste funkcija
definisanih na Rn i Cn , tj. na konaˇcnodimenzionalnim linearnim vektorskim
prostorima nad realnim ili kompleksnim poljem skalara. Ve´cina stvari u tim
izuˇcavanjima su bile olakˇsane ˇcinjenicom da je ograniˇcen zatvoren skup u Rn
i Cn kompaktan, tako da je ograniˇcen niz uvijek imao konvergentan podniz.
Druga olakˇsavaju´ca okolnost je bila ta da je linearno preslikavanje u tim
prostorima uvijek neprekidno.
U beskonaˇcnodimenzionalnim sluˇcajevima stvari izgledaju ”neˇsto” drugaˇcije. Za rjeˇsavanje jednaˇcine, npr. gornje integralne jednaˇcine, kao prvo
nam treba neki ”zgodan” normiran prostor u kome ´cemo traˇziti rjeˇsenje.
Vidjet ´cemo da su mogu´ci mnogi razliˇciti naˇcini definisanja norme funkcije,
koji ´ce voditi ka razliˇcitim funkcionalnim prostorima koji ´ce imati ili nemati
neke korisne osobine kao ˇsto su separabilnost, kompletnost, kompaktnost,
refleksivnost i dr. Na ovaj naˇcin uvest ´cemo novu teoriju, funkcionalnu
analizu, ali ”samo” linearni sluˇcaj, u kojoj su analiza i linearna algebra
spojene na jednom viˇsem nivou.
1
1
Metriˇ
cki prostori
1.1
Metrika i metriˇ
cki prostor . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Konvergencija u metriˇ
ckim prostorima . . . . .
16
1.3
Kompletnost metriˇ
ckih prostora . . . . . . . . .
19
1.4
Banachov stav o fiksnoj taˇ
cki . . . . . . . . . . .
29
1.5
Separabilnost metriˇ
ckih prostora . . . . . . . . .
41
1.6
Kompaktnost metriˇ
ckih prostora . . . . . . . . .
44
1.6.1
Neprekidne funkcije na kompaktnim skupovima . . 47
1.6.2
Specijalni kriteriji relativne kompaktnosti . . . . . 48
Graniˇcni proces jedan je od najvaˇznijih pojmova matematiˇcke analize. Fakat na kome poˇciva ovaj pojam jeste da smo u mogu´cnosti mjeriti rastojanje
ˇ viˇse, veliki broj pojmova
izmedu proizvoljne dvije taˇcke realne prave. Sta
analize nije vezan za algebarska svojstva skupa nego upravo za koncept udaljenosti. Ovo nas navodi na izuˇcavanje skupova u kojima je mogu´ce mjeriti
rastojanje izmedu taˇcaka, tj. vodi nas ka konceptu ”metriˇckog prostora”,
fundamentalnog pojma moderne matematike.
1.1
Metrika i metriˇ
cki prostor
Definicija 1.1. Neka je X proizvoljan neprazan skup. Za funkciju d : X ×
X → R kaˇzemo da je metrika ili metriˇcka funkcija na X, ako zadovoljava
sljede´ca ˇcetiri uslova, za proizvoljne x, y i z iz X:
M1. d(x, y) ≥ 0,
M2. d(x, y) = 0 ako i samo ako x = y,
M3. d(x, y) = d(y, x),
M4. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Tada kaˇzemo da je skup X snabdjeven metrikom d i nazivamo ga metriˇcki
prostor. Elemente skupa X nazivamo taˇckama, a realan broj d(x, y) nazivamo rastojanjem izmedu taˇcaka x i y.
2
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Dakle, metriˇcki prostor je uredeni par (X, d), koga ˇcine skup X i na njemu
uvedena metrika d. Kratko´ce radi, umjesto oznake (X, d), mi ´cemo za metriˇcki prostor skoro uvijek koristiti jednostavno oznaku X, kad god je jasno
o kojoj je metrici rijeˇc. U svojim radovima iz 1906 Frechet 1 koristi pojmove metrike i metriˇckih prostora, ali formalno uvodenje pojma metriˇckog
prostora je uradio Hausdorff.2
Uslovi M1.-M4. nazivaju se aksiomi metrike, a pojedinaˇcno to su pozitivna
definitnost (M1.), strogost (M2.), simetriˇcnost (M3.) i nejednakost trougla
(M4.).
Ukoliko uslov M 2. zamijenimo slabijim uslovom
x = y onda d(x, y) = 0 ,
za d kaˇzemo da je pseudometrika. Ukoliko se iz spiska aksioma ispusti uslov
M 3., za d kaˇzemo da je kvazimetrika. Ako uslov M 4. zamjenimo sa uslovom
d(x, y) ≤ max{d(x, z), d(z, y)} ,
d nazivamo ultrametrikom.
Neke vaˇznije osobine metriˇcke funkcije dajemo sljede´cim lemama.
Lema 1.1. U svakom metriˇckom prostoru (X, d) vrijedi pravilo mnogougla,
tj. za proizvoljne x1 , x2 , ..., xn ∈ X (n ≥ 3), vrijedi
d(x1 , xn ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + · · · + d(xn−1 , xn ) .
Dokaz : Dokaz se izvodi matematiˇckom indukcijom po n ∈ N. ♣
b
x3
x2
b
b
b
xn−1
b
x1
xn
b
Slika 1.1: Pravilo mnogougla
Lema 1.2. Za proizvoljne tri taˇcke x, y i z, metriˇckog prostora (X, d), vrijedi
nejednakost
|d(x, y) − d(x, z)| ≤ d(y, z) .
Ako aksiom M4. interpretiramo da je zbir dvije stranice trougla uvijek ve´ci
ili jednak od tre´ce stranice, onda gornju tvrdnju moˇzemo interpretirati kao,
apsolutna vrijednost razlike duˇzina dvije stranice trougla uvijek je manja ili
jednaka od tre´ce stranice.
1
2
Maurice Frechet 1878-1973, francuski matematiˇcar
Felix Hausdorff 1868-1942, njemaˇcki matematiˇcar
3
1.1. Metrika i metriˇcki prostor
Lema 1.3. Za proizvoljne ˇcetiri taˇcke x, y, z i t, metriˇckog prostora (X, d),
vrijedi nejednakost
|d(x, z) − d(y, t)| ≤ d(x, y) + d(z, t) .
Prije nego ˇsto navedemo neke znaˇcajnije primjere metriˇckih prostora, navedimo dvije vaˇzne nejednakosti. Za njihovo dokazivanje neophodan nam je
sljede´ci pomo´cni stav koji predstavlja poznatu Youngovu nejednakost.
Lema 1.4. Neka su a, b ∈ R+ ∪ {0}, p > 1 i broj q odreden tako da vrijedi
1
1
p + q = 1. Tada vrijedi
ap bq
ab ≤
+
.
p
q
Dokaz : Neka je 0 < m < 1. Posmatrajmo funkcije oblika f (x) = xm ,
definisane za x ≥ 0. Kako je f ′′ (x) = m(m−1)xm−2 ≤ 0 za svako x ≥ 0, to je
za proizvoljno 0 < m < 1, funkcija f (x) konveksna na dole, ˇsto geometrijski
znaˇci da se njen graf nalazi ispod tangente u odgovaraju´coj taˇcki.
t
f (x)
1
b
b
x=1
Jednaˇcina tangenta na posmatranu krivu u taˇcki x = 1 je y = m(x − 1) + 1,
pa na osnovu reˇcenog vrijedi
xm ≤ m(x − 1) + 1 .
Stavimo li u gornju nejednakost da je x =
dobijamo traˇzenu nejednakost. ♣
ap
bq
i m = 1p , nakon kra´ceg raˇcuna
Teorem 1.5 (Nejednakost H¨
oldera 3 ). Neka su ai i bi (i = 1, 2, ..., n)
proizvoljni realni ili kompleksni brojevi i neka je za realan broj p > 1, broj q
definisan sa 1p + 1q = 1. Tada za svako n ∈ N vrijedi,
n
X
i=1
3
|ai bi | ≤
n
X
i=1
!1
p
|ai |p
Otto H¨
older 1859-1937, njemaˇcki matematiˇcar
4
n
X
i=1
!1
q
|bi |q
.
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
ai
bi
′
1 i bi = P
1 (i =
n
p p
q q
|a
|
|b
|
j=1 j
j=1 j
Dokaz : Oznaˇcimo sa a′i = Pn
1, 2, ..., n). Oˇcigledno vrijedi
n
X
i=1
|a′i |p =
n
X
i=1
|b′i |q = 1 .
(1.1)
Za svako i ∈ {1, 2, ..., n}, za brojeve |a′i | i |b′i | vrijedi Lema 1.4, tj.
|a′i b′i | ≤
|a′i |p |b′i |q
+
,
p
q
(1.2)
gdje p i q zadovoljavaju uslove teoreme. Sumiranjem po i = 1, 2, ..., n lijeve
i desne strane u (1.2), dobijamo
n
X
i=1
|a′i b′i |
≤
Pn
′ p
i=1 |ai |
p
+
Pn
′ q
i=1 |bi |
q
.
Sada na osnovu (1.1) slijedi
n
X
i=1
|a′i b′i | ≤ 1 .
(1.3)
S druge strane je
n
X
i=1
|a′i b′i |
=
Pn
Pn
i=1 |ai bi |
j=1 |aj
|p
1 P
p
n
j=1 |bj
|q
1 .
(1.4)
q
Iz (1.3) i (1.4) imamo traˇzenu nejednakost. ♣
Pozitivni realni brojevi p i q koji zadovoljavaju uslov p1 + 1q = 1, nazivaju
se konjugovani ili spregnuti brojevi, a specijalno ako je p = q = 2, gornja
nejednakost se naziva Cauchy-Schwarzova nejednakost.
Teorem 1.6 (Nejednakost Minkowskog 4 ). Neka su ai i bi (i = 1, 2, ..., n)
proizvoljni realni ili kompleksni brojevi i neka je p ≥ 1. Tada za svako n ∈ N
vrijedi,
!1
!1
!1
n
n
n
p
p
p
X
X
X
|ai + bi |p
≤
|ai |p
+
|bi |p
.
i=1
4
i=1
Hermann Minkowski 1864-1909, njemaˇcki matematiˇcar
5
i=1
1.1. Metrika i metriˇcki prostor
Dokaz :
n
X
i=1
n
X
|ai + bi |p =
i=1
n
X
≤
i=1
|ai + bi ||ai + bi |p−1
|ai ||ai + bi |p−1 +
n
X
i=1
|bi ||ai + bi |p−1 .
Primjenjuju´ci H¨
olderovu nejednakost na obje gornje sume na desnoj strani
nejednakosti, dobijamo nejdnakost

!1
!1  n
!1
n
n
n
p
p
q
X
X
X
X
p
p
p
(p−1)q


|ai + bi | ≤
|ai |
+
|bi |
|ai + bi |
.
i=1
i=1
i=1
i=1
Dijele´ci ovu nejednakost sa izrazom u drugoj zagradi desne strane i koriste´ci
ˇcinjenicu da je (p − 1)q = p i 1 − 1q = 1p , dobijamo traˇzenu nejednakost. ♣
Vrijede i opˇstije tvrdnje od gore navedenih, a odnose se na beskonaˇcne
sume.
Teorem 1.7. Neka su (an )n∈N i (bn )n∈N nizovi realnih ili kompleksnih bro∞
∞
X
X
p
jeva, takvi da su redovi
|ai | i
|bi |q konvergentni, za 1 < p < +∞ i
1
p
+
1
q
= 1. Tada je i red
i=1
∞
X
i=1
∞
X
i=1
i=1
|ai bi | konvergentan i vrijedi
|ai bi | ≤
∞
X
i=1
!1
p
|ai |p
∞
X
i=1
!1
q
|bi |q
.
Teorem 1.8. Neka su (an )n∈N i (bn )n∈N nizovi realnih ili kompleksnih bro∞
∞
X
X
p
jeva, takvi da su redovi
|ai | i
|bi |p konvergentni, za 1 ≤ p < +∞.
Tada je i red
∞
X
i=1
i=1
|ai + bi |p konvergentan i vrijedi
∞
X
i=1
i=1
!1
∞
X
p
|ai + bi |p
≤
i=1
!1
∞
X
p
|ai |p
+
i=1
!1
p
|bi |p
.
Obje ove nejednakosti imaju i svoj integralni oblik. Naime, vrijedi
Z
a
b
|x(t)y(t)|dt ≤
Z
a
b
p
|x(t)| dt
6
p1 Z
a
b
q
|y(t)| dt
1q
,
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
odnosno
Z
b
a
|x(t) + y(t)|p dt
1p
≤
Z
b
a
|x(t)|p dt
p1
+
Z
b
a
|y(t)|p dt
p1
,
naravno pod odredenim uslovima o integrabilnosti funkcija x i y. Navedimo
sada neke znaˇcajnije metriˇcke prostore.
Primjer 1.1. Neka je X proizvoljan skup i neka je za x, y ∈ X zadato
0 ; x=y ,
d(x, y) =
1 ; x 6= y .
Funkcija d jeste metrika i (X, d) nazivamo diskretni metriˇcki prostor. ♦
Primjer 1.2. Skup realnih brojeva R sa rastojanjem
d(x, y) = |x − y| ,
predstavlja dobro nam poznati Euklidov prostor realne prave. ♦
Primjer 1.3. Sa Rn oznaˇcavamo skup svih uredenih n-torki realnih brojeva
x = (x1 , x2 , ..., xn ). Metriku moˇzemo uvesti sa
1. d2 (x, y) =
n
X
(xi − yi )2
i=1
2. dp (x, y) =
n
X
(xi − yi )p
i=1
!1
2
!1
.
p
(p ≥ 1).
3. d∞ (x, y) = max |xi − yi |
1≤i≤n
Ovim primjerom opravdavamo ˇcinjenicu da je nekada neophodno koristiti
definiciju metriˇckog prostora kao uredenog para jer kao ˇsto vidimo, na istom
skupu se mogu zadati razliˇcite metrike. ♦
Primjer 1.4. Skup svih konvergentnih nizova oznaˇcavamo sa c, tj.
n
o
c = x = (xn )n∈N | (∀n ∈ N)xn ∈ R(C) , ∃ lim xn ∈ R(C) ,
n→∞
i ako uvedemo
d(x, y) = sup |xn − yn | ,
n∈N
gdje su x = (xn )n∈N i y = (yn )n∈N proizvoljni nizovi iz c, on postaje metriˇcki
prostor. ♦
7
1.1. Metrika i metriˇcki prostor
Primjer 1.5. Skup svih nula-nizova oznaˇcavamo sa c0 , tj.
n
o
c0 = x = (xn )n∈N | lim xn = 0 ,
n→∞
i na njemu moˇzemo zadati metriku sa
d(x, y) = sup |xn − yn | ,
n∈N
gdje su x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ c0 proizvoljni. ♦
Primjer 1.6. Za proizvoljno 1 ≤ p < +∞, sa lp (Φ) oznaˇcavamo skup svih
nizova (realnih ili kompleksnih) sumabilnih
sa stepenom p, tj. beskonaˇcnih
X
p
nizova x = (xn )n∈N , za koje vaˇzi
|xn | < ∞. Standardna metrika na
n∈N
datom skupu zadata je sa
d(x, y) =
X
n∈N
!1
p
p
|xn − yn |
.
♦
Primjer 1.7. Sa l∞ oznaˇcavamo skup svih ograniˇcenih nizova, tj.
l∞ = x = (xn )n∈N | sup |xn | < +∞ .
n∈N
Standardna metrika na ovom skupu je data sa
d(x, y) = sup |xn − yn | .
n∈N
♦
Primjer 1.8. Za Ω ⊆ C, sa B(Ω) oznaˇcavamo skup svih ograniˇcenih kompleksnih funkcija na Ω. Metriku na ovom skupu definiˇsemo sa
d(f, g) = sup |f (t) − g(t)| .
t∈Ω
Ako specijalno izaberemo da je Ω = [a, b] ⊂ R, dobijamo prostor B[a, b],
ograniˇcenih kompleksnih funkcija realne varijable. Ako je opet specijalno
Ω = N, dobijamo prostor ograniˇcenih nizova B(N) = l∞ . ♦
Primjer 1.9. Gornji primjer moˇzemo i dalje generalizovati. Naime, neka je
X neprazan skup i (Y, dY ) metriˇcki prostor. Sa B(X, Y ) oznaˇcavamo skup
svih ograniˇcenih preslikavanja sa domenom X i kodomenom Y . Metriku na
ovom skupu moˇzemo uvesti na sljede´ci naˇcin,
D(f, g) = sup dY (f (x), g(x)) ,
x∈X
8
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
gdje su f, g ∈ B(X, Y ) proizvoljne. Za ispitivanje osobina metrike, u ovom
primjeru nam treba pojam ograniˇcenosti skupa, koga ´cemo neˇsto kasnije
definisati. ♦
Primjer 1.10. Za Ω ⊆ R, sa C(Ω) oznaˇcavamo skup svih neprekidnih realnih
funkcija na Ω. Metriku na ovom skupu definiˇsemo sa
d(f, g) = sup |f (t) − g(t)| .
t∈Ω
Specijalno, ako je Ω = [a, b] dobijamo prostor neprekidnih funkcija na segmentu, C[a, b], na kome je metrika data sa
d(f, g) = max |f (t) − g(t)| .
a≤t≤b
f
d(f, g)
g
1
Slika 1.2: Uobiˇcajena metrika na C[a, b]
♦
Primjer 1.11. Na skupu C[a, b] metriku moˇzemo uvesti i sa
d(f, g) =
Z
b
a
2
|f (t) − g(t)| dt
12
,
i tada imamo prostor neprekidnih funkcija sa tzv. kvadratnom metrikom.
♦
Primjer 1.12. Neka je k ∈ N. Sa C k [a, b] oznaˇcavamo skup svih k-puta
neprekidno diferencijabilnih funkcija definisanih na [a, b]. Metriku na ovom
skupu uvodimo sa,
d(f, g) = sup max{|f (t) − g(t)|, |f ′ (t) − g′ (t)|, . . . , |f (k) (t) − g(k) (t)|} ,
t∈[a,b]
gdje su f, g ∈ C k [a, b]. ♦
9
1.1. Metrika i metriˇcki prostor
Primjer 1.13. Skup Lebesgue integrabilnih funkcija sa p-tim stepenom (1 ≤
p < +∞) nad oblasti Ω, oznaˇcavamo sa Lp (Ω) i metrika je data sa
Z
1
p
p
d(x, y) =
|x(t) − y(t)| dt
.
♦
Ω
Primjer 1.14. Neka je na skupu R2 zadata funkcija
x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 , d(x, y) = |x2 − y2 | .
(y1 , y2 )
b
(x1 , x2 ) (y1 , y2 )
b
d(x, y)
b
b
(x1 , x2 )
d(x, y) = 0
Nije teˇsko provjeriti da funkcija d zadovoljava uslove M1, M3 i M4, ali ne
i uslov M2. Naime, sve taˇcke iz R2 sa istim drugim koordinatama imaju
”udaljenost” nula i pri tome ne moraju obavezno biti iste. Dakle d nije
metrika, ali je zadovoljen uslov: x = y ⇒ d(x, y) = 0, pa je (R2 , d) primjer
pseudometriˇckog prostora. ♦
Neka je sada (X, d) proizvoljan metriˇcki prostor i neka je Y ⊂ X. Kako
d : X × X → R, moˇzemo posmatrati njenu restrikciju d|Y ×Y , koja tada
predstavlja metriku na skupu Y . Za nju kaˇzemo da je indukovana metrikom
d, a time smo dobili novi metriˇcki prostor (Y, d|Y ×Y ), ili jednostavno (Y, d),
koga nazivamo metriˇcki potprostor metriˇckog prostora (X, d). Naprimjer,
moˇzemo razmiˇsljati o bilo kom segmentu, recimo [0, 1] kao metriˇckom potprostoru od R, pri tome podrazumijevaju´ci da rastojanje izmedu bilo koja
dva elemnta x, y iz [0, 1] raˇcunamo kao da su oni iz R, tj. d(x, y) = |x − y|.
Naravno da bi mogli o [0, 1] razmiˇsljati i kao o potprostoru od R2 . Pri
tome bi smo to radili tako ˇsto bi [0, 1] identifikovali sa {0} × [0, 1] (ili sa
[0, 1] × {0}, p
ili sa [0, 1] × {25}), a onda bi rastojanje izmedu x i y raˇcunali
sa d(x, y) = (x − y)2 + (0 − 0)2 = |x − y|.
Primjer 1.15. Za −∞ < a < b < +∞, sa B[a, b] smo oznaˇcili skup ograniˇcenih
funkcija na [a, b]. Kako je svaka neprekidna funkcija na segmentu i ograniˇcena,
to onda vaˇzi C[a, b] ⊂ B[a, b], pa bi prostor C[a, b] mogli posmatrati kao metriˇcki potprostor od B[a, b], sa indukovanom metrikom
d(f, g) = sup |f (t) − g(t)| .
t∈[a,b]
10
♦
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Primjer 1.16. Sa C 1 [a, b] oznaˇcavamo skup neprekidno diferencijabilnih funkcija definisanih na [a, b]. Kako je diferencijabilna funkcija i neprekidna,
prema prethodnom primjeru onda imamo da je C 1 [a, b] ⊂ B[a, b], tj. mogli bi C 1 [a, b] posmatrati kao metriˇcki potprostor od B[a, b]. Medutim, to
u ovom sluˇcaju ne´cemo raditi tako, za ˇsta imamo dobre razloge koje ´cemo
upoznati u narednim izlaganjima. Standardnu metriku na C 1 [a, b] zadajemo
sa
D(f, g) = d(f, g) + d(f ′ , g′ ) ,
gdje su f, g ∈ C 1 [a, b], a d je standardna metrika na B[a, b]. ♦
Sa pojmom metriˇcke funkcije sada smo u mogu´cnosti mjeriti i rastojanja
izmedu razliˇcitih objekata, ali i definisati nove pojmove.
Definicija 1.2. Neka je x taˇcka metriˇckog prostora (X, d) i neka je A ⊆ X.
Udaljenost taˇcke x od skupa A definisana je sa
d(x, A) = inf{d(x, y)| y ∈ A} .
U gornjoj definiciji treba razlikovati prvo i drugo pojavljivanje oznake d.
Naime, drugo pojavljivanje jeste metriˇcka funkcija na X, a prvo je nova
oznaka pojma koga definiˇsemo. Gornja definicija je korektna jer ako je A
neprazan skup, onda je i skup {d(x, y)| y ∈ A} neprazan i oˇcigledno zbog
osobine M1, ograniˇcen odozdo, pa infimum postoji. Jasno je da ako x ∈ A
onda je d(x, A) = 0. Medutim, ako je d(x, A) = 0 ne mora biti x ∈ A, ˇsto
pokazuje primjer x = 0 i A = (0, 1).
Lema 1.9. Za proizvoljan neprazan podskup A i proizvoljne taˇcke x i y
metriˇckog prostora (X, d) vrijedi
|d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y) .
Dokaz : Neka je ε > 0 proizvoljan realan broj. Oznaˇcimo sa a = d(x, A)
i sa b = d(y, A). Na osnovu definicije infimuma skupa, postoji t ∈ A, takav
da je d(y, t) ≤ b + ε. Sada na osnovu Leme 1.3, za svako s ∈ A imamo
d(x, s) − b ≤ d(x, s) − d(y, t) + ε ≤ d(x, y) + d(s, t) + ε .
(1.5)
Oznaˇcimo sa
M = {d(x, s) − b| s ∈ A} , N = {d(x, y) + d(s, t) + ε| s ∈ A} .
Jasno je, na osnovu (1.5), da vrijedi inf M ≤ inf N . Ako u 1.5 stavimo s = t,
vidimo da je broj d(x, y)+ε u skupu N , pa onda vrijedi i inf M ≤ d(x, y)+ε.
Kako ovo vrijedi za proizvoljno ε > 0 to onda vrijedi i
a − b ≤ d(x, y) .
11
1.1. Metrika i metriˇcki prostor
Gornje razmatranje moˇzemo u potpunosti iskoristiti zamjenjuju´ci mjesta
taˇckama x i y, te vrijedi i
b − a ≤ d(x, y) ,
ˇcime je iskazana tvrdnja dokazana. ♣
Definicija 1.3. Neka su A i B neprazni podskupovi metriˇckog prostora
(X, d). Rastojanje izmedju skupova A i B definiˇsemo sa
d(A, B) = inf{d(x, y)| x ∈ A, y ∈ B} .
Korektnost i ove definicije objaˇsnjavamo na isti naˇcin kao maloprije. Ako se
skupovi sijeku, jasno je da vrijedi d(A, B) = 0. Medutim, ako je d(A, B) = 0
to ne znaˇci da je presjek skupova neprazan. Naprimjer, ako je A = (0, 1), a
B = (1, 2), tada je d(A, B) = 0 i A ∩ B = ∅. Ovo nam govori da definisano
rastojanje izmedu skupova nije metrika na particiji od X. Rastojanje izmedu
dva skupa moˇzemo okarakterisati preko rastojanja taˇcke od skupa.
Lema 1.10. Neka je X metriˇcki prostor. Za proizvoljne A, B ⊆ X vrijedi
d(A, B) = inf d(a, B) = inf d(b, A) .
a∈A
b∈B
Dokaz : Neka su a ∈ A i b ∈ B proizvoljni. Tada vrijedi
d(a, b) ≥ inf d(a, b) = d(a, B) ≥ inf d(a, B) .
a∈A
b∈B
Odavde onda imamo da je
inf
a∈A,b∈B
d(a, b) = d(A, B) ≥ inf d(a, B) .
a∈A
Pretpostavimo da je inf d(a, B) < d(A, B). Tada bi morao postojati a ∈ A,
a∈A
takav da je d(a, B) < d(A, B). Ovo opet znaˇci da je inf d(a, b) < d(A, B), pa
b∈B
bi opet morao postojati b ∈ B takav da je d(a, b) < d(A, B), ˇsto je oˇcigledna
kontradikcija. ♣
Definicija 1.4. Za skup A, podskup metriˇckog prostora (X, d), kaˇzemo da
je ograniˇcen ili omeden ako je skup rastojanja medu taˇckama tog skupa
ograniˇcen skup, tj.
(∃C > 0)(∀x, y ∈ A) 0 ≤ d(x, y) ≤ C .
Primjer 1.17. Jediniˇcni krug K((0, 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1} je
ograniˇcen skup u (R2 , d2 ).
12
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
d(X1 , X2 ) ≤ 2.
X1
b
Rastojanje proizvoljne dvije taˇcke iz kruga
K((0, 0), 1) manje je od preˇcnika kruga.
b
X2
♦
Definicija 1.5. Neka je A podskup metriˇckog prostora (X, d). Nenegativan
broj
diamA = sup{d(x, y)| x, y ∈ A} ,
nazivamo dijametrom skupa A.
Jasno je da ako vrijedi diamA = ∞, da je tada skup A neograniˇcen, ˇsto
iskazujemo tvrdnjom,
Lema 1.11. Skup je ograniˇcen ako i samo ako mu je dijametar konaˇcan.
Teorem 1.12. Za proizvoljna dva podskupa A i B metriˇckog prostora (X, d)
vrijedi
diam(A ∪ B) ≤ diamA + diamB + d(A, B) .
Kao direktnu posljedicu gornjeg tvrdenja imamo
Posljedica 1.13. Unija konaˇcno mnogo ograniˇcenih skupova je ograniˇcen
skup.
Definicija 1.6. Neka je (X, d) metriˇcki prostor. Za proizvoljno a ∈ X i za
proizvoljno r > 0 skup
B(a, r) = {x ∈ X| d(a, x) < r}
nazivamo otvorena kugla u X sa centrom u taˇcki a, polupreˇcnika r.
Skup
K(x, r) = {x ∈ X| d(a, x) ≤ r}
nazivamo zatvorena kugla centra a i polupreˇcnika r, a skup
S(x, r) = {x ∈ X| d(a, x) = r}
nazivamo sfera centra u a, polupreˇcnika r.
Lema 1.14. Otvorena kugla u metriˇckom prostoru ima sljede´ce osobine:
1. x ∈ B(x, r).
13
1.1. Metrika i metriˇcki prostor
2. B(x, r1 ) ∩ B(x, r2 ) = B(x, min{r1 , r2 }).
3. y ∈ B(x, r) ⇒ B(y, r − d(x, y)) ⊆ B(x, r).
Definicija 1.7. Za skup G podskup metriˇckog prostora (X, d), kaˇzemo da je
otvoren ako vrijedi
(∀x ∈ G)(∃ε > 0) B(x, ε) ⊆ G .
Definicija 1.8. Neka je (X, d) metriˇcki prostor i A ⊆ X. Za taˇcku a ∈
A kaˇzemo da je unutraˇsnja taˇcka skupa A ako postoji ε > 0 takav da je
B(a, ε) ⊆ A.
X
G
b
x B(x, ε)
Prema Definiciji 1.7, skup je otvoren ako i samo ako su sve njegove taˇcke
unutraˇsnje.
Teorem 1.15. Neka je (X, d) metriˇcki prostor. Kolekcija
podskupova od X ima sljede´ce osobine.
τ
svih otvorenih
1. ∅, X ∈ τ .
2. U, V ∈ τ onda U ∩ V ∈ τ .
3. (∀i ∈ I)Oi ∈ τ ⇒ ∪i∈I Oi ∈ τ .
4. (∀x, y ∈ X, x 6= y)(∃U, V ∈ τ )(x ∈ U ∧ y ∈ V ∧ U ∩ V = ∅).
Familija τ koja zadovoljava osobine 1., 2. i 3. naziva se topologija na X,
a ako zadovoljava joˇs i osobinu 4., naziva se Hausdorffova topologija na X.
Definicija 1.9. Skup je zatvoren u metriˇckom prostoru (X, d) ako je njegov
komplement u odnosu na X otvoren skup.
Definicija 1.10. Neka je (X, d) metriˇcki prostor i neka je A ⊆ X. Najmanji
u smislu inkluzije, zatvoreni skup koji sadrˇzi skup A, nazivamo zatvorenje
ili adherencija skupa A i oznaˇcavamo ga sa A.
Nije teˇsko vidjeti da vrijedi
\
A = {F ⊆ X| F zatvoren i A ⊆ F }.
14
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Lema 1.16. Neka su A i B proizvoljni podskupovi metriˇckog prostora X.
Vrijedi,
1. A ⊆ A.
2. Zatvorenje skupa je zatvoren skup.
3. (A) = A
4. A ⊂ B ⇒ A ⊆ B.
5. A ∪ B = A ∪ B.
Definicija 1.11. Neka je (X, d) metriˇcki prostor i neka je A ⊆ X. Najve´ci
u smislu inkluzije, otvoreni skup koji je sadrˇzan u skup A, nazivamo unutraˇsnjost ili interior skupa A i oznaˇcavamo ga sa Ao .
ˇ
Cinjenicu
iz gornje definicije moˇzemo zapisati sa
[
Ao = {O ⊆ X| O otvoren i O ⊆ A} ,
i pri tome su taˇcke skupa Ao upravo unutraˇsnje taˇcke skupa A.
Lema 1.17. Neka su A i B proizvoljni podskupovi metriˇckog prostora X.
Vrijedi,
1. Ao ⊆ A.
2. Unutraˇsnjost skupa je otvoren skup.
3. (Ao )o = Ao
4. A ⊂ B ⇒ Ao ⊆ B o .
5. (A ∩ B)o = Ao ∩ B o .
Definicija 1.12. Neka su (X, dX ) i (Y, dY ) metriˇcki prostori. Za preslikavanje f : X → Y kaˇzemo da je neprekidno u taˇcki x0 ∈ X ako
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ X)(dX (x0 , x) < δ ⇒ dY (f (x0 ), f (x)) < ε) .
Preslikavanje je neprekidno na X ako je neprekidno u svakoj taˇcki x ∈ X.
Teorem 1.18. Neka su (X, dX ) i (Y, dY ) metriˇcki prostori i f : X → Y .
Sljede´ca tvrdenja su ekvivalentna.
1. f je neprekidna na X.
2. (∀x ∈ X)(∀ε > 0)(∃δ > 0) f (B(x, δ)) ⊆ B(f (x), ε).
3. Za svaki otvoreni skup V ⊆ Y je f −1 (V ) otvoren skup u X.
15
1.1. Metrika i metriˇcki prostor
Dokaz : (1. ⇔ 2.)
Neka je f neprekidna funkcija. Neka je x0 ∈ X proizvoljan. Tada vrijedi
(∀ε > 0)(∃δ > 0) (d(x, x0 ) < δ ⇒ d(f (x), f (x0 )) < ε) .
Drugaˇcije reˇceno, vrijedi
(∀ε > 0)(∃δ > 0) (x ∈ B(x0 , δ) ⇒ f (x) ∈ B(f (x0 ), ε)) ,
odnosno
(∀ε > 0)(∃δ > 0) (f (x) ∈ f (B(x0 , δ))) ⇒ f (x) ∈ B(f (x0 ), ε) ,
ili u skupovnom obliku ovo znaˇci
f (B(x0 , δ))) ⊆ B(f (x0 ), ε) .
(2. ⇒ 3.)
Neka vrijedi iskaz 2. i neka je V proizvoljan neprazan otvoren skup u Y .
Neka je x ∈ f −1 (V ) proizvoljan. To znaˇci da je f (x) ∈ V , a zbog otvorenosti
skupa V , postoji ε > 0, takav da je B(f (x), ε) ⊆ V . Na osnovu 2., za takav
ε postoji δ > 0, tako da vrijedi
f (B(x, δ)) ⊆ B(f (x), ε) ⊆ V .
Primjenimo li poznate nam stvari iz preslikavanja, imamo
B(x, δ) ⊆ f −1 ◦ f (B(x, δ)) ⊆ f −1 (V ) .
Dakle za proizvoljan x ∈ f (V ), postoji kugla B(x, δ) ⊆ f −1 (V ), pa je f −1 (V )
otvoren skup.
(3. ⇒ 2.)
Neka su x ∈ X i ε > 0 proizvoljni. Tada je B(f (x), ε) otvoren skup i
f (x) ∈ B(f (x), ε). Na osnovu 3. je onda i f −1 (B(f (x), ε)) otvoren skup.
Osim toga je x = f −1 ◦ f (x) ∈ f −1 (B(f (x), ε)), pa zbog otvorenosti, postoji
δ > 0, takav da je B(x, δ) ⊆ f −1 (B(f (x), ε)). Iz posljednjeg onda imamo
f (B(x, δ)) ⊆ B(f (x), ε) .
♣
Definicija 1.13. Neka su (X, dX ) i (Y, dY ) metriˇcki prostori i neka je f :
X → Y . Za preslikavanje f kaˇzemo da je izometrija iz X u Y ako je
injektivno preslikavanje i ako vrijedi
(∀x′ , x′′ ∈ X) dY (f (x′ ), f (x′′ )) = dX (x′ , x′′ ) .
Ako postoji izometrija iz X u Y , kaˇzemo da se X moˇze izometriˇcki smjestiti
ili uloˇziti u Y . Sa stanoviˇsta teorije metriˇckih prostora, tj. ako nas interesuje
samo odnos izmedu objekata (udaljenost), a ne i vrsta objekata, onda ne
pravimo razliku izmedu prostora X i njegove izometriˇcke slike f (X) ⊆ Y i
prosto piˇsemo X ⊆ Y .
16
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
1.2
Konvergencija u metriˇ
ckim prostorima
Definicija 1.14. Neka je (X, d) metriˇcki prostor. Za niz (xn )n∈N ⊂ X
kaˇzemo da konvergira ka x0 ∈ X, ako vrijedi
d(xn , x0 ) → 0 , (n → ∞) .
ˇ
Cinjenicu
da niz (xn )n∈N konvergira ka taˇcki x0 , uobiˇcajeno zapisujemo sa
xn → x0 , n → ∞ ili
lim xn = x0 .
n→∞
Gore definisanu konvergenciju nazivamo konvergencija po metrici jer kao ˇsto
´cemo vidjeti, izuˇcavat ´cemo i neke druge vrste konvergencija.
Lema 1.19. Neka je (xn )n∈N niz u metriˇckom prostoru (X, d). Sljede´ca dva
tvrdenja su ekvivalentna.
1. lim xn = x0 .
n→∞
2. Za svako ε > 0, postoji samo konaˇcno mnogo ˇclanova niza (xn )n∈N
koji se nalaze van kugle B(x0 , ε).
Primjer 1.18. Primjetimo da ´ce u metriˇckom prostoru sa diskretnom metrikom konvergentni nizovi biti samo oni nizovi koji su poˇcev od nekog indeksa
konstantni nizovi. ♦
Primjer 1.19. Posmatrajmo prostor C[1, 2] sa standardnom ”maksimum”
1
metrikom. Njemu pripadaju funkcije fn (x) = (1 + xn ) n (n ∈ N) i f (x) = x.
Za proizvoljno x ∈ [1, 2] i proizvoljno n ∈ N vrijedi,
√
√
1
1
n
n
0 ≤ fn (x)−f (x) = (1+xn ) n −x ≤ (xn +xn ) n −x = x( 2−1) ≤ 2( 2−1) .
Dakle,
√
n
d(fn , f ) = max |fn (x) − f (x)| ≤ 2( 2 − 1) → 0 , (n → ∞) ,
x∈[1,2]
ˇsto znaˇci da je niz (fn )n∈N konvergentan ka funkciji f po metrici d.
Posmatrajmo sada kvadratnu metriku d2 na C[1, 2],
f, g ∈ C[1, 2] , d2 (f, g) =
Z
2
2
|f (x) − g(x)| dx
1
12
.
Kako generalno vrijedi,
d2 (f, g) =
Z
2
1
|f (x) − g(x)|2 dx
= d(f, g)
Z
1
2
dx
12
12
≤
Z
= d(f, g) ,
17
1
2
( max |f (t) − g(t)|)2 dx
t∈[1,2]
12
1.2. Konvergencija u metriˇckim prostorima
to ´ce posmatrani niz biti konvergentan i u metrici d2 . Kako dati funkcionalni niz nije konstantan, prema prethodnom primjeru ovaj niz ne´ce biti
konvergentan u diskretnoj metrici.
Ovim primjerom samo potvrdujemo ˇcinjenicu da konvergencija ovisi o izboru
metrike na datom skupu tojest, konvergentan niz u jednoj metrici moˇze biti
divergentan u nekoj drugoj metrici. ♦
Pomo´cu konvergencije sada moˇzemo okarakterisati zatvorene skupove, a
time i zatvorenje skupa u metriˇckom prostoru.
Lema 1.20. Neka je F ⊆ X zatvoren skup i neka je (xn )n∈N ⊂ F takav da
lim xn = x0 . Tada x0 ∈ F .
n→∞
Definicija 1.15. Neka je (X, d) metriˇcki prostor. Taˇcku x ∈ A ⊆ X nazivamo izolovanom taˇckom skupa A ako postoji okolina taˇcke x u kojoj osim
taˇcke x nema drugih taˇcaka iz skupa A.
Definicija 1.16. Taˇcka x ∈ X je taˇcka nagomilavanja skupa A ako se u
svakoj okolini taˇcke x nalazi bar jedna taˇcka skupa A razliˇcita od x.
Skup svih taˇcaka nagomilavanja skupa A nazivamo izvodni skup i oznaˇcavamo
ga sa A′ .
Lema 1.21. Neka je A proizvoljan podskup metriˇckog prostora (X, d). Tada
vrijedi,
A = {x ∈ X | (∃(xn )n∈N ⊂ A) lim xn = x} .
n→∞
Kao posljedicu gornje leme imamo
Posljedica 1.22. Svaka adherentna taˇcka skupa A je ili taˇcka nagomilavanja ili izolovana taˇcka.
Sada moˇzemo dati kompletnu karakterizaciju zatvorenja nekog skupa. Naime, za proizvoljan skup A, taˇcke skupa A su:
• izolovane taˇcke skupa A,
• taˇcke nagomilavanja skupa A koje pripadaju skupu A i
• taˇcke nagomilavanja skupa A koje ne pripadaju skupu A.
Drugaˇcije reˇceno vrijedi,
A = A ∪ A′ .
Na osnovu definicije rastojanja taˇcke od skupa, sada imamo jednu interesantnu karakterizaciju adherencije skupa.
Lema 1.23. Neka je X metriˇcki prostor i A ⊆ X proizvoljan podskup. Tada
vrijedi
A = {x ∈ X| d(x, A) = 0} .
18
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Dokaz : Ako je x ∈ A = A ∪ A′ tada, ako x ∈ A, jasno d(x, A) = 0. Neka
je x ∈ A′ . Za proizvoljno ε > 0, postoji a ∈ A, takav da je a ∈ B(x, ε), tj.
d(x, a) < ε. Ovo opet znaˇci da je d(x, A) = 0.
Obratno, neke je za neko x ∈ X, d(x, A) = 0. To znaˇci, na osnovu definicije
infimuma, da za svako ε > 0, postoji a ∈ A, takav da je d(x, a) < ε. Ovo
opet znaˇci da je B(x, ε) ∩ A 6= ∅, tj. x ∈ A ∪ A′ = A. ♣
Teorem 1.24. Konvergentan niz moˇze konvergirati samo jednoj taˇcki.
Dokaz : Neka je (xn )n∈N ⊂ X za koga vrijedi xn → x′ i xn → x′′ (n → ∞).
Na osnovu relacije trougla imamo
0 ≤ d(x′ , x′′ ) ≤ d(x′ , xn ) + d(xn , x′′ ) ,
za proizvoljno n ∈ N. Desna strana teˇzi 0 kada n → ∞, pa oˇcigledno mora
vrijediti d(x′ , x′′ ) = 0, odnosno x′ = x′′ . ♣
Teorem 1.25. Svaki konvergentan niz je ograniˇcen.
Dokaz : Neka je (xn )n∈N ⊂ X i neka xn → x0 (n → ∞). Uzimaju´ci da je
ε = 1, imamo da postoji n0 ∈ N, takav da za svako n ≥ n0 , vrijedi
d(xn , x0 ) < 1 .
Oznaˇcimo sa R′ = max{d(x0 , x1 ), d(x0 , x2 ), ..., d(x0 , xn0 −1 )}. Neka je sada
R = R′ + 1. Tada oˇcigledno vrijedi
(∀n ∈ N) xn ∈ B(x0 , R) ,
tj. niz je ograniˇcen. ♣
Sada sa pojmom konvergencije moˇzemo iskazati joˇs jednu vaˇznu osobinu
metrike.
Teorem 1.26. Metriˇcka funkcija je neprekidna funkcija svojih argumenata.
Dokaz : Neka je (X, d) proizvoljan metriˇcki prostor i neka su (xn )n∈N ,
(yn )n∈N ⊂ X, takvi da xn → x0 i yn → y0 (n → ∞). Koriste´ci Lemu 1.3,
imamo
|d(xn , yn ) − d(x0 , y0 )| ≤ d(yn , y0 ) + d(xn , x0 ) → 0 (n → ∞) ,
tj.
lim d(xn , yn ) = d(x0 , y0 ) .
n→∞
19
♣
1.3. Kompletnost metriˇckih prostora
1.3
Kompletnost metriˇ
ckih prostora
Definicija 1.17. Neka je (X, d) metriˇcki prostor. Za niz (xn )n∈N ⊂ X
kaˇzemo da je Cauchyjev niz ako vrijedi
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n, m ∈ N)(n, m ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) < ε) .
Drugaˇcije reˇceno, niz je Cauchyjev ako vrijedi
lim d(xn , xm ) = 0 .
n,m→∞
Primjer 1.20. Posmatrajmo niz (fn )n∈N ⊂ C[0, 1], zadat sa fn (t) = tn (n ∈
N, t ∈ [0, 1]).
Za proizvoljno fiksno t ∈ [0, 1) i za n, m ∈ N (neka je npr. n < m) imamo
fn (t) − fm (t) = tn − tm = tn (1 − tm−n ) ≤ tn .
Puˇstaju´ci da n teˇzi u beskonaˇcnost, desna strana teˇzi ka 0, pa zbog proizvoljnosti t ∈ [0, 1), zakljuˇcujemo
d(fn , fm ) = max |fn (t) − fm (t)| → 0 , (n, m → ∞) .
t∈[0,1]
(Oˇcigledno je gornje taˇcno i za t = 1) Dakle, posmatrani niz je Cauchyjev.
♦
Primjer 1.21. Posmatrajmo numeriˇcki red
∞
X
1
. Formirajmo niz njegovih
n
n=1
parcijalnih suma
(sn )n∈N =
n
X
1
k=1
k
!
.
n∈N
Neka su m, n ∈ N razliˇciti i neka je n < m, tada vrijedi
sm − sn =
1
1
1
+
+ ··· +
.
n+1 n+2
m
Ako specijalno uzmemo da je m = 2n, vrijedit ´ce aproksimacija
s2n − sn =
1
1
1
1
1
+
+ ··· +
≥n·
= ,
n+1 n+2
2n
2n
2
ˇsto nam govori da niz (sn )n∈N nije Cauchyjev niz. ♦
Teorem 1.27. Svaki Cauchyjev niz je ograniˇcen.
20
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Dokaz : Neka je (xn )n∈N Cauchyjev niz. Na osnovu definicije Cauchyjevog
niza, stavljaju´ci n = n0 imamo
(∀ε > 0)(∀m ≥ n0 ) d(xm , xn0 ) < ε .
Ovo znaˇci da se svi ˇclanovi niza, osim njih konaˇcno mnogo, nalaze u kugli
B(xn0 , ε). Oznaˇcimo sa
R = max{d(x1 , xn0 ), d(x2 , xn0 ), ..., d(xn0 −1 , xn0 )} .
Jasno je sada da za svako n ∈ N vrijedi xn ∈ B(xn0 , R + ε), tj. niz je
ograniˇcen. ♣
Teorem 1.28. Svaki konvergentan niz je Cauchyjev.
Dokaz : Neka je (xn )n∈N konvergentan niz i neka xn → x (n → ∞). Neka
je ε > 0 proizvoljno. Na osnovu definicije konvergencije imamo
ε
(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N) (n ≥ n0 ⇒ d(xn , x) < ) .
2
Neka su sada m, n ∈ N i neka je m, n ≥ n0 . Tada je
d(xn , xm ) ≤ d(xn , x) + d(x, xm ) < ε ,
a ovo znaˇci da je niz Cauchyjev. ♣
Da Cauchyjev niz ne mora biti konvergentan,√dovoljno je posmatrati niz
(xn )n∈N ⊂ Q, gdje je xn decimalni zapis broja 2 na n
√ decimala.
Jasno je da niz nije konvergentan u Q, tj. xn → 2 ∈
/ Q. Medutim,
1
oˇcigledno je za n > m, d(xn , xm ) ≤ 10n → 0 kada n, m → ∞, tj. niz je
Cauchyjev.
Definicija 1.18. Za metriˇcki prostor u kome je svaki Cauchyjev niz konvergentan kaˇzemo da je kompletan ili potpun metriˇcki prostor.
Iz matematiˇcke analize su nam poznati Cauchyjevi principi konvergencije
nizova i redova. Taj princip za nizove se sada moˇze iskazati ovako:
Svaki realan Cauchyjev niz je konvergentan ,
a to nije niˇsta drugo nego ˇcinjenica da je skup realnih brojeva sa uobiˇcajenom
metrikom, kompletan metriˇcki prostor.
Ispitivati osobinu kompletnosti po definiciji za neki metriˇcki prostor nije
baˇs praktiˇcan naˇcin, pa otuda navodimo jednu karakterizaciju ove osobine.
Teorem 1.29. Metriˇcki prostor (X, d) je kompletan ako i samo ako presjek
proizvoljnog monotono opadaju´ceg niza zatvorenih kugli, ˇciji niz dijametara
teˇzi ka 0, sadrˇzi taˇcno jednu taˇcku.
21
1.3. Kompletnost metriˇckih prostora
Dokaz : (⇒)
Neka je X kompletan metriˇcki prostor. Posmatrajmo proizvoljan niz zatvorenih kugli Kn = K(xn , rn ) koji zadovoljava osobine
• (∀n ∈ N) Kn ⊇ Kn+1 ,
• rn → 0 (n → ∞).
Neka su m, n ∈ N i neka je m > n. Tada je Km = K(xm , rm ) ⊂ Kn =
K(xn , rn ), pa oˇcigledno vrijedi d(xm , xn ) < rn . Kako rn → 0, jasno je
da niz centara posmatranih kugli predstavlja Cauchyjev niz u X, a zbog
kompletnosti on je i konvergentan. Dakle,
lim xn = x .
n→∞
T
Pokaˇzimo sada da x ∈ n∈N Kn .
Za proizvoljno k ∈ N sve taˇcke niza (xn )n∈N , osim njih konaˇcno mnogo, leˇze
u kugli Kk , pa je x taˇcka nagomilavanja skupa Kk . Kako je Kk zatvoren
skup, to on sadrˇzi sve svoje taˇcke nagomilavanja. Dakle vrijedi,
(∀k ∈ N) x ∈ Kk ,
T
tj. x ∈ n∈N Kn .
Ako bi postojala i neka taˇcka x′ sa istom osobinom, tada bi imali 0 ≤
d(x, x′ ) ≤ rn , a kako rn → 0, moralo bi biti x = x′ , ˇcime je jedinstvenost
pokazana.
(⇐)
Pretpostavimo da X nije kompletan metriˇcki prostor. To znaˇci da u njemu
postoji niz (xn )n∈N koji jeste Cauchyjev ali nije konvergentan.
Kako je to Cauchyjev niz, to onda za svako i ∈ N, postoji ni ∈ N, takav da
vrijedi
1
(∀m > ni )d(xm , xni ) < i , (i = 1, 2, ...) .
2
Za ovako odabrane ni (i ∈ N), posmatrajmo zatvorene kugle
1
Ki = K xni , i−1 .
2
Oˇcigledno niz polupreˇcnika ovih kugli teˇzi ka 0.
Ako je x ∈ Ki+1 , tada je
d(x, xni ) ≤ d(x, xni+1 ) + d(xni+1 , xni )
1
1
1
1
<
+ i+1 < 2 i = i−1 ,
i
2
2
2
2
tj. x ∈ Ki . Dakle, Ki+1 ⊂ Ki , za proizvoljno i ∈ N.
Na ovaj naˇcin smo formirali monotono opadaju´ci niz zatvorenih kugli ˇciji
22
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
niz dijametara teˇzi ka 0. Pretpostavimo sada da postoji x ∈
1
bi znaˇcilo da za proizvoljno i ∈ N vrijedi d(x, xni ) < 2i−1
.
Neka je sada za fiksno i ∈ N, m > ni proizvoljan. Onda je
d(xm , x) ≤ d(x, xni ) + d(xni , xm ) <
T
i∈N Ki .
Ovo
1
1
3
+
= i ,
2i−1 2i
2
a ovo bi predstavljalo konvergenciju
naˇseg polaznog niza, ˇsto bi bila kontraT
dikcija. Dakle, mora biti i∈N Ki = ∅.
Kontrapozicijom imamo traˇzeno tvrdenje. ♣
Teorem 1.30. Svaki zatvoren potprostor kompletnog metriˇckog prostora je
kompletan metriˇcki prostor za sebe.
Dokaz : Neka je A zatvoren podskup kompletnog metriˇckog prostora (X, d).
Neka je (xn )n∈N ⊂ A Cauchyjev niz (u metriˇckom potprostoru (A, d)). Tada
je taj niz Cauchyjev i u X, pa zbog kompletnosti on je i konvergentan,
tj. xn → x0 ∈ X (n → ∞). Taˇcka x0 je tada ili taˇcka nagomilavanja
skupa {xn |n ∈ N}, ili se beskonaˇcno mnogo puta pojavljuje kao element
niza (xn )n∈N . U prvom sluˇcaju zbog zatvorenosti skupa A zakljuˇcujemo da
x0 ∈ A, a u drugom sluˇcaju, zbog (xn )n∈N ⊂ A, ponovo zakljuˇcujemo da
x0 ∈ A. ♣
Primjer 1.22. Neka je 1 ≤ p < ∞. Prostor lp je kompletan metriˇcki prostor.
Neka je (xn )n∈N proizvoljan Cauchyjev niz u lp . Tada za proizvoljan ε > 0
postoji n0 ∈ N, tako da je za n, m ≥ n0 , s obzirom na metriku u lp ,
d(xn , xm ) =
∞
X
i=1
!1
p
|ξin
−
ξim |p
ε
< √
.
p
4
(1.6)
Posmatramo li samo jedan sabirak sume iz (1.6), imamo da za proizvoljno
i ∈ N vrjedi
ε
|ξin − ξim | ≤ d(xn , xm ) < √
,
p
4
pa zakljuˇcujemo da za proizvoljno i ∈ N, niz (ξin )n∈N je Cauchyjev niz i to
u R, a zbog kompletnosti R, on je i konvergentan niz. Neka je
ξin → ξi , (n → ∞) ; i ∈ N .
Posmatrajmo sada na ovaj naˇcin konstruisan niz x = (ξi )i∈N .
Polazni niz (xn )n∈N je kao Cauchyjev, ograniˇcen niz, pa vrijedi
(∀n ∈ N) d(xn , 0) =
23
∞
X
i=1
!1
p
|ξin |p
≤R,
1.3. Kompletnost metriˇckih prostora
tj. sadrˇzan je u nekoj kugli centra 0 polupreˇcnika R. Tim prije je onda
N
X
|ξin |p ≤ Rp . Zbog konaˇcne sume, sada puˇstaju´ci da n → ∞, dobijamo
i=1
N
X
i=1
|ξi |p ≤ Rp . Dakle, niz parcijalnih suma reda
X
n∈N
|ξn |p je ograniˇcen, a
zbog monotonosti onda zakljuˇcujemo da je dati red konvergentan, odnosno
X
|ξn |p < ∞ ,
n∈N
ˇsto znaˇci da je niz x ∈ lp .
Iz (1.6) takode imamo da za n, m ≥ n0 i za proizvoljno k ∈ N vrijedi
k
X
i=1
|ξin − ξim |p <
εp
.
4
Drˇze´ci n ˇcvrstim i puˇstaju´ci da m → ∞, slijedi
k
X
i=1
|ξin − ξi |p ≤
εp
εp
<
.
4
2
Rezonuju´ci sliˇcno kao malo prije, sada imamo da za n ≥ n0 vrijedi
∞
X
i=1
|ξin − ξi |p ≤
εp
< εp .
2
Ovo u stvari znaˇci da za proizvoljno ε > 0, postoji n0 ∈ N, tako da za svaki
prirodan broj n ≥ n0 , vrijedi d(xn , x) < ε. Dakle, niz (xn )n∈N je konvergentan u lp , pa zbog njegove proizvoljnosti imamo kompletnost prostora.
♦
Definicija 1.19. Za skup A ⊆ X kaˇzemo da je gust u skupu B ⊆ X ako
vrijedi B ⊆ A.
Ako je A = X, onda kaˇzemo da je A svuda gust u X.
Drugaˇcije reˇceno, skup A je gust u skupu B ako se u svakoj okolini proizvoljne taˇcke iz B nalazi bar jedna taˇcka skupa A.
Primjer 1.23. Skup Q je svuda gust u R. Ova ˇcinjenica nam je poznata joˇs
iz matematiˇcke analize, a oslanja se na stav da izmedu svaka dva razliˇcita
realna broja, postoji racionalan broj. ♦
Primjer 1.24. U prostoru C[a, b], skup funkcija
f0 (t) = 1, f1 (t) = t, f2 (t) = t2 , ... , fn (t) = tn , ...
24
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
je svuda gust skup. I ova ˇcinjenica je poznata iz matematiˇcke analize. Ona
je bazirana na ˇcinjenici da se svaka neprekidna funkcija moˇze razloˇziti u red,
tj.
∞
X
f (k)(t0 ) n
t ,
f ∈ C[a, b] , f (t) =
k!
k=0
a to je ustvari Taylorov teorem. ♦
Definicija 1.20. Skup A ⊆ X je nigdje gust skup u X ako njegova adherencija ne sadrˇzi niti jednu kuglu.
Skup A je nigdje gust ako A nema unutraˇsnjih taˇcaka.
Primjer 1.25. Skup N je nigdje gust u R. ♦
ˇ
Cinjenica
da metriˇcki prostor nije kompletan, kao ˇsto ´cemo vidjeti, nije
puno oteˇzavaju´ca. Naime vrijedi
Teorem 1.31. (Teorem o kompletiranju)
Za svaki metriˇcki prostor X, postoji kompletan metriˇcki prostor X, takav
da je
1. X ⊆ X (tj. X se moˇze izometriˇcki smjestiti u X).
2. X je svuda gust u X.
Dokaz : Oznaˇcimo sa X1 skup svih Cauchyjevih nizova prostora X. Na
X1 uvedimo relaciju
def
(xn )n∈N ∼ (yn )n∈N ⇔ d(xn , yn ) → 0 , (n → ∞) .
Lahko se pokazuje da za ovako uvedenu relaciju vrijede osobine
• (∀(xn )n∈N ∈ X1 )(xn )n∈N ∼ (xn )n∈N .
• (∀(xn )n∈N , (yn )n∈N ∈ X1 )(xn )n∈N ∼ (yn )n∈N ⇒ (yn )n∈N ∼ (xn )n∈N .
• (∀(xn )n∈N , (yn )n∈N , (zn )n∈N ∈ X1 )(xn )n∈N ∼ (yn )n∈N ∧ (yn )n∈N ∼
(zn )n∈N ⇒ (xn )n∈N ∼ (zn )n∈N .
Dakle, uvedena relacija je relacija ekvivalencije na X1 , te ona razbija skup
X1 na klase ekvivalencije. Oznaˇcimo koliˇcniˇcki skup sa X1 /∼ = X, ˇcije
elemente ´cemo oznaˇcavati slovima ξ, η, ζ i sliˇcno.
Definiˇsimo za proizvoljne ξ, η ∈ X, sljede´cu funkciju,
d(ξ, η) = lim d(xn , yn ) ,
n→∞
(1.7)
gdje su (xn )n∈N ∈ ξ i (yn )n∈N ∈ η. Ispitati korektnost gornje definicije znaˇci
pokazati da limes na desnoj strani postoji i konaˇcan je i da on ne ovisi o
25
1.3. Kompletnost metriˇckih prostora
izboru predstavnika klasa ekvivalencije.
Neka su (xn )n∈N ∈ ξ i (yn )n∈N ∈ η. Na osnovu nejednakosti trougla i na
osnovu Leme 1.3 imamo
|d(xn , yn ) − d(xm , ym )| ≤ |d(xn , yn ) − d(xm , yn )| + |d(xm , yn ) − d(xm , ym )|
≤ d(xn , xm ) + d(yn , ym ) .
Kako radimo sa Cauchyjevim nizovima, to desna strana teˇzi ka 0 kada pustimo da n, m → ∞. Ovo znaˇci da je niz (d(xn , yn ))n∈N Cauchyjev, a kako
se on nalazi u R, on je i konvergentan, a to znaˇci da limes postoji.
Neka su sada (x′n )n∈N ∈ ξ i (yn′ )n∈N ∈ η) drugi predstavnici klasa. Tada je
d(x′n , yn′ ) ≤ d(x′n , xn ) + d(xn , yn ) + d(yn′ , yn ) .
Kako su (x′n ), (xn ) i (yn′ ), (yn ) iz istih klasa, zakljuˇcujemo,
d(x′n , yn′ ) ≤ d(xn , yn ) .
(1.8)
Na isti naˇcin se pokazuje da mora biti
d(xn , yn ) ≤ d(x′n , yn′ ) .
(1.9)
Sad iz (1.8) i (1.9), zakljuˇcujemo da je vrijednost limesa neovisna o izboru
predstavnika klase ekvivalencije.
Za vjeˇzbu ostavljamo da se pokaˇze da novouvedena funkcija d zadovoljava
sljede´ce osobine:
1. d(ξ, η) ≥ 0 , ξ, η ∈ X.
2. d(ξ, η) = 0 ⇔ ξ = η.
3. Za proizvoljne ξ, η ∈ X, d(ξ, η) = d(η, ξ).
4. Za proizvoljne ξ, η, ζ ∈ X, d(ξ, ζ) ≤ d(ξ, η) + d(η, ζ).
Gornje osobine znaˇce da je ustvari d metrika na skupu X.
Neka je sada x ∈ X proizvoljan. Oznaˇcimo sa ξx onu klasu ekvivalencije
koja u sebi sadrˇzi konstantni niz (x, x, ..., x, ...). Na ovaj naˇcin smo definisali
jedno preslikavanje f : X → X, zadato sa f (x) = ξx .
Za proizvoljne x, y ∈ X sada imamo
d(f (x), f (y)) = d(ξx , ξy ) = lim d(x, y) = d(x, y) ,
n→∞
a ovo ustvari znaˇci da je f izometrija, pa na osnovu ranije reˇcenog, piˇsemo
X ⊆ X.
Pokaˇzimo joˇs drugu traˇzenu osobinu, tj. da je X svuda gust u X. Neka
je ξ ∈ X proizvoljan i neka je (xn )n∈N ∈ ξ proizvoljan predstavnik te klase.
Neka je ε > 0 proizvoljan, pa kako je (xn )n∈N Cauchyjev niz, postoji n0 ∈ N,
26
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
takav da je za proizvoljne prirodne n, m ≥ n0 , d(xn , xm ) < 2ε . Za n ≥ n0 ,
posmatrajmo klase ξxn . Imamo
ε
d(ξxn , ξ) = lim d(xn , xm ) ≤ < ε .
m→∞
2
Dakle, za svako ε > 0, postoji n0 ∈ N, tako da je za proizvoljno prirodno
n ≥ n0 zadovoljena relacija d(ξxn , ξ) < ε. Ali ovo ne znaˇci niˇsta drugo do
ˇcinjenicu da ξxn → ξ (n → ∞).
Kako je f (xn ) = ξxn i f je izometrija, ne pravimo razliku izmedu elemenata
xn i ξxn . Zakljuˇcujemo da za (xn )n∈N ∈ ξ, vrijedi
xn → ξ , (n → ∞) ,
a ovo znaˇci da je X svuda gust u X.
Ostaje nam joˇs pokazati da je X kompletan prostor.
Neka je (ξn )n∈N proizvoljan Cauchyjev niz u X. Kako je X svuda gust u X
(tj. f (X) zaista svuda gust u X) to vrijedi
(∀n ∈ N)(∃zn ∈ X)d(zn , ξn ) <
1
.
n
(1.10)
Za ovako konstruisan niz imamo
d(zn , zm ) ≤ d(zn , ξn ) + d(ξn , ξm ) + d(ξm , zm )
1
1
<
+ d(ξn , ξm ) +
.
n
m
Kako je (ξn )n∈N Cauchyjev niz, to onda imamo
d(zn , zm ) → 0 , (n, m → ∞) ,
odnosno, (zn )n∈N je Cauchyjev niz u X. Neka je sada ξ0 ona klasa ekvivalencije u X koja sadrˇzi niz (zn )n∈N . Prema ranije pokazanom vrijedi
d(ξzn , ξ0 ) → 0 , (n → ∞) ,
tj.
Na osnovu toga je
d(zn , ξ0 ) → 0 , (n → ∞) .
(1.11)
0 ≤ d(ξn , ξ0 ) ≤ d(ξn , zn ) + d(zn , ξ0 ) ,
a onda na osnovu (1.10) i (1.11) imamo
d(ξn , ξ0 ) → 0 , (n → ∞) .
Dakle, Cauchyjev niz (ξn ) je konvergentan, i zbog proizvoljnosti, X je kopletan metriˇcki prostor. ♣
Ideju kompletiranja prostora lijepo moˇzemo vidjeti u proˇsirenju skupa racionalnih brojeva na skup realnih brojeva.
27
1.3. Kompletnost metriˇckih prostora
Definicija 1.21. Za skup M podskup metriˇckog prostora X, kaˇzemo da je
skup prve kategorije u X ako se on moˇze predstaviti kao prebrojiva unija
nigdje gustih skupova.
Skup koji nije prve kategorije je skup druge kategorije.
Konaˇcna unija nigdje gustih skupova je i sama nigdje gust skup, ali to nije
taˇcno za prebrojivu uniju. Naime, Q se moˇze predstaviti kao prebrojiva
unija nigdje gustih skupova (singltona) ali je to ipak svuda gust skup u R.
Teorem 1.32 (Baireov teorem). Kompletan metriˇcki prostor je skup
druge kategorije u sebi.
Dokaz : Pretpostavimo da tvrdenje nije taˇcno, tj. da postoji kompletan
metriˇcki prostor X koji je prve kategorije odnosno, koga moˇzemo predstaviti
kao prebrojivu uniju nigdje gustih skupova,
X=
∞
[
i=1
Xi , Xi (i ∈ N) nigdje gusti skupovi.
Posmatrajmo proizvoljnu zatvorenu kuglu K0 = K(x0 , r0 ) (r0 > 0) u X.
Kako je X1 nigdje gust, to postoji kugla K1 = K(x1 , r1 ), takva da vrijedi
K1 ⊂ K0 , X1 ∩ K1 = ∅ , r1 <
r0
.
2
Kako je i X2 nigdje gust skup, postoji zatvorena kugla K2 = K(x2 , r2 ),
takva da je
r1
K2 ⊂ K1 , X2 ∩ K2 = ∅ , r2 <
.
2
Nastavljaju´ci ovaj postupak konstriusali bismo niz zatvorenih kugli (Kn )n∈N ,
za koje bi vrjedilo
• Ki+1 ⊂ Ki , i ∈ N.
• Xi ∩ Ki = ∅, i ∈ N.
• ri <
ri−1
2
<
r0
.
2i
Posmatrajmo sada niz (xi )i∈N , napravljen od centara definisanih kugli Ki
(i ∈ N). Za proizvoljne m, n ∈ N, neka je npr. m > n, vrijedi
xm ∈ Km ⊂ Kn , xn ∈ Kn ,
tj. xn , xm ∈ Kn , a to onda znaˇci
d(xn , xm ) ≤ 2rn < 2
r0
r0
= n−1 .
n
2
2
iz ovoga imamo oˇciglednu tvrdnju
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n, m ∈ N)(n, m ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) < ε) ,
28
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
tj. niz (xn ) je Cauchyjev, a kako on leˇzi u kompletnom metriˇckom prostoru
X, on je i konvergentan. Dakle,
(∃x0 ∈ X) xn → x0 (n → ∞) .
Zbog prve osobine posmatranih kugli imamo da je taˇcka x0 , taˇcka nagomilavanja svake od kugli Kn (n ∈ N), a zbog njihove zatvorenosti je onda
x0 ∈ Kn za svako n ∈ N. Zbog toga i zbog druge osobine onda imamo da
x0 ne pripada niti jednom Xn (n ∈ N), a to znaˇci da
/
x0 ∈
∞
[
Xi = X ,
i=1
ˇsto je u suprotnosti sa ranije utvrdenom ˇcinjenicom da je x0 ∈ X. Dakle, X
jeste skup druge kategorije. ♣
1.4
Banachov stav o fiksnoj taˇ
cki
Definicija 1.22. Neka je f : X → X proizvoljno preslikavanje. Za taˇcku
x ∈ X kaˇzemo da je fiksna taˇcka preslikavanja f , ako vrijedi f (x) = x.
Primjer 1.26. Za preslikavanje f : R → R, zadato sa f (x) = x3 , taˇcke x = 1,
x = 0 i x = −1 imaju osobinu f (1) = 1, f (0) = 0 i f (−1) = −1, tj. one su
fiksne taˇcke posmatranog preslikavanja. ♦
Primjer 1.27. Posmatrajmo preslikavanje A : C[0, 1] → C[0, 1], zadato sa
Af (x) = f (0) +
Z
x
f (t)dt .
0
Za funkciju f (x) = ex ∈ C[0, 1], vrijedi
0
Af (x) = e +
Z
0
x
et dt = 1 + ex − 1 = ex ,
tj. f (x) = ex je fiksna taˇcka preslikavanja A. ♦
Definicija 1.23. Za preslikavanje f : X → X kaˇzemo da je kontraktivno,
ako postoji konstanta q ∈ [0, 1), takva da za proizvoljne x, y ∈ X vrijedi
d(f (x), f (y)) ≤ q d(x, y) .
Broj q nazivamo konstanta kontraktivnosti.
29
1.4. Banachov stav o fiksnoj taˇcki
Primjer 1.28. Funkcija f : R+ → R+ , zadata sa f (x) = arctan x, na osnovu
Lagrangeove teoreme zadovoljava
| arctan x − arctan y| =
1
|x − y| ,
1 + ξ2
za neko ξ ∈ R+ i za proizvoljne x, y ∈ R. Stavimo da je q =
q ∈ [0, 1) i ako posmatramo standardnu metriku na R, imamo
1
1+ξ 2 ,
jasno
d(f (x), f (y)) ≤ q d(x, y) ,
tj. preslikavanje f je kontraktivno. ♦
Osobina kontraktivnosti je oˇcigledno jaˇca od osobine neprekidnosti presliˇ viˇse, jaˇca je i od uniformne neprekidnosti.
kavanja. Sta
Teorem 1.33. Ako je f : X → X kontraktivno preslikavanje, tada je f
uniformno neprekidno preslikavanje.
Dokaz : Neka je (X, d) metriˇcki prostor i f : X → X kontraktivno preslikavanje sa konstantom kontrakcije q. Za proizvoljno ε > 0, izaberimo δ = εq .
Neka su sada x′ , x′′ ∈ X takvi da je d(x′ , x′′ ) < δ. Sada imamo
d(f (x′ ), f (x′′ )) ≤ qd(x′ , x′′ ) < qδ = ε ,
ˇsto znaˇci da je f uniformno neprekidno preslikavanje. ♣
Nije teˇsko pokazati da za kontraktivna preslikavanja vrijedi tvrdenje,
Lema 1.34. Neka je f : X → X kontraktivno preslikavanje sa konstantom
kontrakcije q. Tada je za proizvoljno n ∈ N preslikavanje f n kontrakcija sa
konstantom kontrakcije q n .
Medutim, ako je za neko n ∈ N f n kontrakcija, jasno je da je tada f n i
neprekidno preslikavanje, ali tada ne mora biti i f neprekidna. Zaista, neka
je f : [0, 1] → [0, 1] zadata sa
0 ; 0 ≤ x ≤ 12
f (x) =
1
1
2 ; 2 <x≤1
Tada je f (f (x)) = 0 i oˇcigledno kontrakcija, ali polazna funkcija f je prekidna.
U ovoj sekciji mi ´cemo se baviti jednim od najvaˇznijih i najprimjenljivijih
teorema o fiksnoj taˇcki. Rijeˇc je o Banachovom teoremu koji predstavlja
Banachov5 doktorski rad raden 1920, a objavljen 1922. godine.
5
Stefan Banach, 1892-1945, poljski matematiˇcar
30
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Teorem 1.35. (Banachov stav o fiksnoj taˇ
cki)
Neka je A : X → X kontraktivno preslikavanje kompletnog metriˇckog prostora u samog sebe. Tada postoji taˇcno jedna fiksna taˇcka posmatranog preslikavanja.
Dokaz : Neka je x0 ∈ X proizvoljan. Definiˇsimo sada niz (xn )n∈N na
sljede´ci naˇcin:
xn = Axn−1 = An x0 , n ∈ N .
Kako A : X → X, jasno je da za proizvoljan prirodan broj n je xn ∈ X, tj.
(xn )n∈N ⊂ X.
Neka je sada n ∈ N proizvoljan. Na osnovu kontraktivnosti preslikavanja
vrijedi
d(xn , xn−1 ) = d(Axn−1 , Axn−2 ) ≤ qd(xn−1 , xn−2 ) .
Ponavljaju´ci gornji postupak, zakljuˇcujemo da vrijedi
d(xn , xn−1 ) ≤ q n−1 d(x1 , x0 ) .
(1.12)
Neka je sada m > n (m, n ∈ N). Koriste´ci nejednakost trougla i (1.12)
imamo
d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + · · · + d(xm−1 , xm )
≤ q n + q n+1 + · · · + q m−1 d(x0 , x1 )
1 − q m−n
d(x0 , x1 )
1−q
qn
d(x0 , x1 ) .
1−q
= qn
≤
Na osnovu gornjeg oˇcigledno vrijedi
d(xn , xm ) → 0 , (n, m → ∞) ,
a ˇsto u stvari znaˇci da je niz (xn )n∈N Cauchyjev. Kako se on nalazi u
kompletnom metriˇckom prostoru, on je onda i konvergentan, pa stavimo da
je xn → x ∈ X (n → ∞). Sada imamo
0 ≤ d(x, Ax) = lim d(xn+1 , Ax) = lim d(Axn , Ax) .
n→∞
n→∞
Zbog kontraktivnosti preslikavanja i konvergencije niza dalje je
0 ≤ d(x, Ax) ≤ q lim d(xn , x) = 0 .
n→∞
Dakle, mora biti d(x, Ax) = 0, a ˇsto zbog osobine metrike znaˇci da je Ax = x,
tj. x je fiksna taˇcka preslikavanja.
Neka je i x ∈ X neka druga fiksna taˇcka preslikavanja A. Tada bi bilo
d(x, x) = d(Ax, Ax) ≤ qd(x, x) ,
31
1.4. Banachov stav o fiksnoj taˇcki
a ovo je zbog q ∈ [0, 1) mogu´ce samo ako je d(x, x) = 0, tj. ako je x = x.
Time smo pokazali i jedinstvenost fiksne taˇcke posmatranog preslikavanja.
♣
Primjedba 1.4.1. Pretpostavka o kontraktivnosti, tj. uslov da je q < 1, je
fundamentalna za Teorem 1.35. Zaista, za preslikavanje f : R → R, zadato
sa f (x) = x + 1, za x 6= y imamo
|f (x) − f (y)| = |x − y| ,
tj. kostanta je q = 1, a ovo preslikavanje nema fiksnu taˇcku.
Za preslikavanje A : X → X koje zadovoljava uslov
d(Ax, Ay) ≤ d(x, y) ,
kaˇzemo da je neekspanzivno preslikavanje.
Primjedba 1.4.2. Takode ni uslov da je d(f (x), f (y)) < d(x, y) ne moˇze
figurisati u Teoremi 1.35. To moˇzemo vidjeti posmatraju´ci preslikavanje
f : R → R, zadato sa f (x) = ln(1 + ex ). Neka je x 6= y i ne umanjuju´ci
opˇstost, pretpostavimo da je x > y. Tada je
|f (x) − f (y)| = | ln(1 + ex ) − ln(1 + ey )| = |x − y + ln
1 + e−x
| < |x − y| .
1 + e−y
Pretpostavka o postojanju fiksne taˇcke bi znaˇcila postojanje x ∈ R, takvog
da je ln(1 + ex ) = x, ili ˇsto je ekvivalentno da vrijedi 1 + ex = ex , a ovo je
oˇcigledno nemogu´ce.
Pretpostavka d(f (x), f (y)) < d(x, y) moˇze obezbjediti postojanje i jedinstvenost fiksne taˇcke preslikavanja, ali uslovi na domen preslikavanja moraju biti
jaˇci od kompletnosti, ˇsto ´cemo vidjeti u narednim izlaganjima.
Vaˇznost Banachovog teorema o fiksnoj taˇcki je velika. Medutim, treba
ista´ci i vrijednost samog dokaza ovog teorema jer nam on daje princip raznih
iterativnih metoda. Primjetimo da ako u nejednakosti
d(xn , xm ) ≤
qn
d(x0 , x1 )
1−q
pustimo da m → ∞, dobijamo
d(xn , x) ≤
qn
d(x0 , x1 ) ,
1−q
(1.13)
ˇsto u stvari predstavlja procjenu greˇske koja se pravi ako se umjesto taˇcnog
rjeˇsenja x, jednaˇcine Ax = x, uzme ”n-to pribliˇzno rjeˇsenje” xn te jednaˇcine.
Procjenu greˇske moˇzemo izvrˇsiti na razne naˇcine.
32
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Teorem 1.36. Neka je A kontraktivno preslikavanje kompletnog metriˇckog
prostora u samog sebe, sa konstantom kontraktivnosti q i fiksnom taˇckom x.
Tada vrijedi:
1. d(xn , x) ≤
qn
d(x0 , Ax0 ),
1−q
2. d(xn , x) ≤ qd(xn−1 , x),
3. d(xn , x) ≤
q
d(xn−1 , xn ) .
1−q
Kao ˇsto imamo u narednom tvrdenju, ne mora samo preslikavanje biti
kontraktivno da bi se obezbijedila egzistencija i jedinstvenost fiksne taˇcke.
Teorem 1.37. Neka je X kompletan metriˇcki prostor i neka A : X → X.
Ako postoji n ∈ N takav da je An kontraktivno preslikavanje, tada preslikavanje A ima taˇcno jednu fiksnu taˇcku.
Dokaz : Kako je An (za neko n ∈ N) kontraktivno preslikavanje kompletnog prostora u samog sebe, postoji jedinstvena fiksna taˇcka tog preslikavanja, tj.
(∃1 x ∈ X) An x = x .
Ali tada imamo
A(An x) = An+1 x = An (Ax) = Ax ,
ˇsto u stvari znaˇci da je i Ax fiksna taˇcka preslikavanja An . Zbog jedinstvenosti, zakljuˇcujemo da mora vaˇziti
Ax = x ,
odnosno, x je fiksna taˇcka preslikavanja A.
Ako bi postojala joˇs neka fiksna taˇcka preslikavanja A, npr. x, tada bi
imali
An x = An−1 (Ax) = An−1 x = An−2 (Ax) = An−2 x = · · · = Ax = x .
Dakle, x bi bila fiksna taˇcka i preslikavanja An , a to bi znaˇcilo da mora biti
x = x. ♣
Primjer 1.29. Posmatrajmo preslikavanje f (x) = e−x koje nije kontrakcija
na R. Zaista, recimo za x = −2 i y = 0 je d(f (x), f (y)) = |f (−2) − f (0)| ≈
6.38 > | − 2 − 0| = d(x, y).
−x
Medutim, posmatrajmo preslikavanje g(x) = f 2 (x) = e−e . Za proizvoljne
x, y ∈ R, na osnovu Lagrangeove teoreme, za neko t izmedu x i y je
g(x) − g(y) = g′ (t)(x − y) ,
33
1.4. Banachov stav o fiksnoj taˇcki
−t
−t
pri ˇcemu je |g′ (t)| = |e−e e−t | = |e−(t+e ) | < e−1 (jer je t + e−t ≥ 1), pa
zakljuˇcujemo da je f 2 kontraktivno preslikavanje sa konstantom kontrakcije
q = e−1 < 1.
Prema gornjoj posljedici ipak postoji jedinstvena fiksna taˇcka preslikavanja f (x) = e−x tojest, postoji jedinstveno x0 ∈ R takvo da je ex0 = x0 ,
koje sada moˇzemo dobiti primjenjuju´ci iterativni postupak izloˇzen dokazom
Banachovog teorema, poˇcev sa bilo kojom realnom vrijednoˇs´cu. ♦
Nekada preslikavanje nije kontraktivno na ˇcitavom kompletnom prostoru,
ali jeste na nekom njegovom dijelu. Sljede´ce tvrdenje nam obezbjeduje jedinstvenost fiksne taˇcke i u takvim sluˇcajevima i direktna je posljedica Banachovog teorema o fiksnoj taˇcki.
Posljedica 1.38. Neka je F zatvoren podskup kompletnog metriˇckog prostora X. Ako je A : F → F kontraktivno preslikavanje, onda preslikavanje A
ima taˇcno jednu fiksnu taˇcku koja pripada F .
Sljede´cim tvrdenjem koje predstavlja lokalnu verziju Banachovog teorema,
pokazujemo da se i kompletnost domena moˇze izbje´ci.
Lema 1.39. Neka je (X, d) kompletan metriˇcki prostor i neka je A : B(x0 , r) →
X kontraktivno preslikavanje koje zadovoljava uslov
d(Ax0 , x0 ) < (1 − q)r ,
gdje je q konstanta kontraktivnosti. Tada preslikavanje A ima jedinstvenu
fiksnu taˇcku.
Dokaz : Neka su zadovoljeni uslovi leme. Tada postoji 0 ≤ r0 < r takav da
je d(Ax0 , x0 ) ≤ (1 − q)r0 . Posmatrajmo sada skup B(x0 , r0 ), tj. zatvorenje
kugle B(x0 , r0 ). Za x ∈ B(x0 , r0 ) tada imamo
d(Ax, x0 ) ≤ d(Ax, Ax0 ) + d(Ax0 , x0 )
≤ qd(x, x0 ) + (1 − q)r0 ≤ r0 .
Ovo znaˇci da A : B(x0 , r0 ) → B(x0 , r0 ), pa na osnovu navedene posljedice
zakljuˇcujemo da A ima jedinstvenu fiksnu taˇcku na B(x0 , r0 ) ⊆ B(x0 , r).
Jedinstvenost te fiksne taˇcke na ˇcitavom B(x0 , r) se pokazuje na standardan
naˇcin. ♣
U posljednjih pedesetak godina teorija fiksne taˇcke je doˇzivjela veliki napredak. Pri tome su date i mnoge generalizacije Banachovog principa kontrakcije. Kompletnosti radi dat ´cemo jedan od tih rezultata.
Teorem 1.40. Neka je (X, d) kompletan metriˇcki prostor i neka je A : X →
X. Neka za proizvoljne rezliˇcite x, y ∈ X vrijedi
d(Ax, Ay) ≤ f (d(x, y)) ,
34
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
gdje je f : [0, +∞) → [0, +∞) monotona i neopadaju´ca (ne obavezno neprekidna) funkcija koja zadovoljava uslov
lim f n (t) = 0 ,
n→∞
za svako fiksno t > 0. Tada preslikavanje A ima jedinstvenu fiksnu taˇcku
x∗ ∈ X za koju vrijedi
lim An x = x∗ ,
n→∞
za proizvoljno x ∈ X.
Da je Banachov princip kontrakcije specijalan sluˇcaj gornjeg teorema, lahko
se vidi biraju´ci f (t) = q t, gdje je 0 ≤ q < 1.
Pokaˇzimo sada neke primjene Banachovog teorema o fiksnoj taˇcki.
1. Neka je y = f (x) funkcija definisana na segementu [a, b]. Pitanje, da li
postoji x0 ∈ [a, b] takav da je f (x0 ) = x0 je oˇcigledno pitanje egzistencije fiksne taˇcke ovog preslikavanja. Da bi zadovoljili prvi uslov teoreme (preciznije,
posljedice) zahtijevamo da f : [a, b] → [a, b]. Uslov kontraktivnosti moˇzemo
dobiti na nekoliko naˇcina. Jedan je, zahtjev da je funkcija f Lipschizova na
[a, b], tj. da vrijedi
|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y| , x, y ∈ [a, b] ,
i naravno pri tome zahtijevamo da je L < 1. Sada imamo ispunjene sve
uslove teoreme o fiksnoj taˇcki, pa postoji jedinstveno x0 ∈ [a, b], takav da je
f (x0 ) = x0 .
Uslov kontraktivnosti imamo i ako je ispunjeno |f ′ (x)| ≤ K < 1 jer na
osnovu Lagrangeove teoreme je
|f (x) − f (y)| = |f ′ (ξ)||x − y| , ξ ∈ [x, y] .
−2
2
2
2
1
1
1
−1
−1
1
2
−2
−1
−1
1
2
−2
−1
−1
1
Na gornjoj slici lijevo i u sredini imamo sluˇcaj kada je |f ′ (x)| < 1, a desno
je situacija kada je |f ′ (x)| ≥ 1, gdje i pored oˇciglednog postojanja fiksne
taˇcke, itereativni metod ne konvergira.
2. Koriste´ci gornji primjer, lahko sada moˇzemo prona´ci uslove za postojanje
rjeˇsenja jednaˇcine F (x) = 0, na nekom segmentu [a, b], pri ˇcemu je F (a) < 0
i F (b) > 0. Pretpostavimo da vrijedi 0 < k ≤ F ′ (x) ≤ K, za proizvoljno
x ∈ [a, b]. Posmatrajmo funkciju
f (x) = x − λF (x) .
35
2
1.4. Banachov stav o fiksnoj taˇcki
Oˇcigledno da je postojanje fiksne taˇcke funkcije f , ekvivalentno postojanju
rjeˇsenja polazne jednaˇcine. Kako je sada f ′ (x) = 1 − λF ′ (x), to onda vrijedi
1 − λK ≤ f ′ (x) ≤ 1 − λk ,
pri ˇcemu nam parametar λ oˇcigledno moˇze posluˇziti da pomo´cu njega namjestimo kontraktivnost preslikavanja f .
Primjer 1.30. Standardna procedura za nalaˇzenje rjeˇsenja jednaˇcine g(x) =
0 u R, gdje je g diferencijabilna funkcija, jeste poznati Newtonov iterativni
postupak: startuju´ci sa proizvoljnim x0 , izraˇcunavamo niz po rekurentnoj
formuli
g(xn )
xn+1 = xn − ′
, n∈N.
g (xn )
Ova rekurzivna formula odgovara funkciji f (x) = x − gg(x)
ci
′ (x) , koja iteriraju´
je iz taˇcke x = x0 , definiˇse niz f (xn−1 ) = xn (n ∈ N). Oˇcigledno ´ce rjeˇsenje
jednaˇcine g(x) = 0, dovoditi do jednakosti f (x) = x, fiksne taˇcke preslikavanja f .
√
Iskoristimo sada Newtonov metod za procjenu vrijednosti broja 3. Uzet
´cemo da je g(x) = x2 − 3 i traˇziti pozitivno rjeˇsenje jednaˇcine g(x) = 0.
Newtonova rekurzivna formula nam daje
x2n − 3
1
3
=
xn+1 = xn −
xn +
.
2xn
2
xn
√
Kao ˇsto smo rekli, pozitivno rjeˇsenje jednaˇcine g(x) = 0 ( 3) ´ce biti fiksna
taˇcka preslikavanja
1
3
f (x) =
x+
.
2
x
Narednom tabelom date su tri iteracije preslikavanja f za tri razliˇcite startne
vrijednosti x0 :
n
0
1
2
3
4
5
xn
1.5
1.75
1.7321428571
1.7320508100
1.7320508075
1.7320508075
xn
1.9
1.7394736842
1.7320666454
1.7320508076
1.7320508075
1.7320508075
xn
10
5.15
2.8662621359
1.9564607317
1.7449209391
1.7320982711
√
Sva tri dobijena niza bi konvergirala ka vrijednosti 3 ≈ 1.7320508075688.
Da bi smo opravdali koriˇstenje Banachovog teorema o fiksnoj taˇcki na ovaj
problem, trebamo odrediti kompletan metriˇcki prostor na kome ´ce funkcija
f biti kontrakcija. Ako uzmemo da je to (0, +∞), na kome je funkcija
definisana, naˇzalost nemamo kompletnost. Za bilo koje t > 0 zatvoreni
36
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
interval Xt = [t, +∞) jeste kompletan (i naˇsa funkcija jeste definisana na
njemu), ali moramo obezbjediti da f : Xt → Xt i naravno kontraktivnost.
Nije teˇ
ima minimum
na cijelom (0, +∞) u taˇcki
√sko provjeriti da funkcija f √
√
x =√ 3 i da je taj minimum f ( 3) = 3. Zbog toga
√ ´ce za proizvoljno
t ≤ 3 vrijediti da ˇcim je x ≥ t, onda ´ce biti f (x) ≥ 3 ≥ t, ˇsto znaˇci da
´ce za ovakav izbor t-a vrijediti f (Xt ) ⊆ Xt .
Da bi f bila kontrakcija na Xt , uzmimo proizvoljne x, y ∈ Xt i posmatrajmo
x−y
f (x) − f (y) =
2
3
1−
xy
.
3
a − xy
. Naˇs zahtjev o kontraktivnosti
3 se sada svodi na zahtjev da bude 1 + xy < 1, a ˇsto ´ce biti ostvareno ako je
q
1 − t32 > −1. Posljednje nam daje uslov da treba biti t > 32 . Dakle, uslovi
za q
primjenu Banachovog teorema za preslikavanje f ´ce biti zadovoljeni ako
√
3
<
t
≤
3. Tada f : Xt → Xt i vrijedi |f (x) − f (y)| ≤ 12 |x − y|,
je
2
za proizvoljne x, y ∈ Xt . Sada primjenom iterativnog postupka izloˇzenog
u dokazu Banachovog teorema dolazimo do fikesne taˇcke tog preslikavanja
tojest, do pribliˇznog rjeˇsenja. Koliko iteracija treba napraviti da se dode do
zadate taˇcnosti zavisi od konstante kontraktivnosti, ali i od startne vrijednosti ˇsto se moˇze lijepo vidjeti u gornjoj tabeli. Naime za startne vrijednosti
x0 = 1.5 i x0 = 1.9, ve´c u petoj iteraciji se dostiˇze taˇcnost na desetu decimalu, ˇsto baˇs i nije sluˇcaj za startnu vrijednost x0 = 10 (suviˇse daleko od
taˇcne vrijednosti) gdje je u petoj iteraciji taˇcnost samo na ˇcetvrtoj decimali.
♦
Kako su x, y ≥ t to vrijedi 1 −
3
≤
t2
3. Posmatrajmo konaˇcan linearan sistem algebarskih jednaˇcina
n
X
aij xj = bi , i = 1, 2, ..., n .
(1.14)
j=1
Postavlja se pitanje, pod kojim uslovima ´ce dati sistem imati taˇcno jedno
rjeˇsenje?
Jednostavnom transformacijom sistem (1.14) transformiˇsemo u ekvivalentan
sistem
n
X
xi =
(1 − aij )xj + bi , i = 1, 2, ..., n .
j=1
Definiˇsimo sada preslikavanje A : Rn → Rn , zadato gornjim sistemom, na
sljede´ci naˇcin
x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , Ax = y ∈ Rn ,
37
1.4. Banachov stav o fiksnoj taˇcki
gdje koordinate taˇcke y dobijamo iz
n
X
yi =
a′ij xj + bi , i = 1, 2, ..., n ,
j=1
gdje je a′ij = δij − aij (i, j = 1, 2, ..., n), a δij je Cronecerova delta. Oˇcigledno
je da traˇziti rjeˇsenje sistema (1.14) znaˇci isto ˇsto i zahtijevati da definisano
preslikavanje ima fiksnu taˇcku, tj. svodi se na nalaˇzenje x ∈ Rn , takvog
da je Ax = x. Kako A slika kompletan prostor u samog sebe, za primjenu
Banachovog stava potrebno nam je da je to preslikavanje kontrakcija.
Neka je na Rn definisana metrika
d(x, y) = max |xi − yi | , x, y ∈ Rn .
1≤i≤n
Sada za proizvoljne x′ , x′′ ∈ Rn imamo
′
′′
d(Ax , Ax ) =
max
|yi′
max
n
X
1≤i≤n
≤
1≤i≤n
≤
1≤i≤n
max
−
j=1
n
X
j=1
yi′′ |
= max |
1≤i≤n
n
X
j=1
a′ij (x′j − x′′j )|
|a′ij ||x′j − x′′j | ≤ max
1≤i≤n
n
X
j=1
|aij | max |x′j − x′′j |
1≤j≤n
|a′ij |d(x′ , x′′ )
Jasno je sada da uslov
n
X
j=1
|a′ij | ≤ k < 1 , i = 1, 2, ..., n ,
predstavlja uslov kontraktivnosti preslikavanja A.
Neka je na Rn zadata metrika
d(x, y) =
n
X
i=1
|xi − yi | , x, y ∈ Rn .
Sada za proizvoljne x′ , x′′ ∈ Rn imamo
d(Ax′ , Ax′′ ) =
≤
≤
n X
n
X
′
′′
′
′
′′ |yi − yi | =
a
(x
−
x
)
ij
j
j
i=1
i=1 j=1
n
X
n X
n
X
i=1 j=1
n
X
i=1
|a′ij ||x′j − x′′j |
|a′ij |d(x′ , x′′ ) .
38
(1.15)
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Uslov kontraktivnosti je sada
n
X
i=1
|a′ij | ≤ k < 1 , j = 1, 2, ..., n .
(1.16)
Posmatrajmo sada novu metriku na Rn ,
n
X
d(x, y) =
i=1
!1
2
2
|xi − yi |
.
Za x′ , x′′ ∈ Rn je
n
X
d(Ax′ , Ax′′ ) =
i=1
≤
!1
2
|yi′ − yi′′ |2
n X
n
X
2  12
′
′
′′ 

=
a
(x
−
x
)
ij
j
j
i=1 j=1

n X
n
X
′ ′′
a′2
ij d(x , x ) .
i=1 j=1
Sada je uslov kontraktivnosti zadat sa
n X
n
X
i=1 j=1
a′2
ij ≤ k < 1 .
(1.17)
Svaki od uslova (1.15), (1.16) i (1.17) je dakle uslov kontraktivnosti preslikavanja A te na osnovu teorema o fiksnoj taˇcki, postoji jedinstveno rjeˇsenje
jednaˇcine Ax = x, a to je kako smo vidjeli, rjeˇsenje i sistema (1.14).
Sada iterativnim postupkom
(k+1)
xi
=
n
X
(k)
a′ij xj + bi , i = 1, 2, ...., n ,
j=1
kre´cu´ci od proizvoljne taˇcke x0 = (x01 , x02 , ..., x0n ), dobijamo niz taˇcaka x(k) ∈
Rn koji ´ce konvergirati ka rjeˇsenju sitema (1.14).
Napomenimo ovdje da je svaki od uslova (1.15), (1.16) i (1.17), ekvivalentan
uslovu
a11 − 1
a
...
a
12
1n
a21
a22 − 1 ...
a2n 6= 0 .
...
...
...
...
an1
an2
... ann − 1 4. Neka je f (x, y) neprekidna funkcija u xy-ravni. Pod kojim uslovima ´ce
diferencijalna jednaˇcina prvog reda
y ′ = f (x, y) , sa uslovom y(x0 ) = y0 ,
39
(1.18)
1.4. Banachov stav o fiksnoj taˇcki
imati taˇcno jedno neprekidno rjeˇsenje? Kako se ˇzelimo posluˇziti Banachovim teoremom o fiksnoj taˇcki, ideja je definisati neko preslikavanje kojeg ´ce
fiksna taˇcka biti rjeˇsenje postavljenog problema. U tom cilju posmatrajmo
integralnu jednaˇcinu
Z x
φ(x) =
f (t, φ(t))dt + y0 .
(1.19)
x0
Jasno je da svako rjeˇsenje integralne jednaˇcine (1.19) predstavlja i rjeˇsenje
jednaˇcine (1.18) i obratno. Zato posmatrajmo preslikavanje definisano sa
Z x
f (t, φ(t))dt + y0 .
Aφ(x) =
x0
Oˇcigledno je za neprekidnu funkciju φ i Aφ neprekidna funkcija, pa za neko
δ > 0 (ˇciji izbor najvjerovatnije nije proizvoljan) imamo A : C[x0 , x0 + δ] →
C[x0 , x0 + δ]. Kako je svaki prostor C[a, b] kompletan, sa standardnom
metrikom definisanom sa
φ, ψ ∈ C[a, b] , d(φ, ψ) = max |φ(t) − ψ(t)| ,
a≤t≤b
to A dakle, preslikava kompletan prostor u samog sebe.
Ostaje nam na´ci uslove pod kojim je definisano preslikavanje kontraktivno.
U tom cilju, za proizvoljne φ, ψ ∈ C[x0 , x0 + δ], posmatrajmo
d(Aφ, Aψ) =
max
|Aφ(x) − Aψ(x)|
Z x
Z x
=
max f (t, φ(t))dt + y0 −
f (t, ψ(t))dt − y0 x0 ≤x≤x0 +δ x0
x0
Z x
=
max (f (t, φ(t)) − f (t, ψ(t)))dt
x0 ≤x≤x0 +δ x0
Z x
≤
max
|f (t, φ(t)) − f (t, ψ(t))|dt .
x0 ≤x≤x0 +δ
x0 ≤x≤x0 +δ
x0
Da bi doˇsli do uslova kontraktivnosti, sada se logiˇcno name´ce problem nekakvog uslova na funkciju f . Ako je, npr. funkcija f Lipschitzova po drugoj
varijabli u oblasti u kojoj je posmatramo, tj. ako je zadovoljen uslov
|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L|y1 − y2 | ,
tada iz gornjeg imamo
d(Aφ, Aψ) ≤
max
x0 ≤x≤x0 +δ
Z
x
x0
L|φ(t)) − ψ(t)|dt ,
pa uzimaju´ci maksimum od |φ(t) − ψ(t)| za x0 ≤ t ≤ x0 + δ, imamo
Z x
d(Aφ, Aψ) ≤ Ld(φ, ψ) max
dt ,
x0 ≤x≤x0 +δ
40
x0
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
odnosno,
d(Aφ, Aψ) ≤ Lδd(φ, ψ) .
Kao ˇsto smo spomenuli na poˇcetku, δ sada moˇzemo izabrati tako da je Lδ <
1, a sa tim uslovom naˇse preslikavanje A ´ce biti kontrakcija, pa na osnovu
svega reˇcenog, postojat ´ce jedinstvena fiksna taˇcka tog preslikavanja. Dakle,
postoji jedinstvena funkcija yδ ∈ C[x0 , x0 + δ], koja je rjeˇsenje problema
(1.18) na segmentu [x0 , x0 + δ].
|
|
|
x0 − δ x0 x0 + δ
Slika 1.3: Formiranje rjeˇsenja Cauchyjevog problema
Sada sliˇcnim rezonovanjem moˇzemo pokazati da ´ce i na segmentu [x0 +
δ, x0 + 2δ] postojati jedinstveno rjeˇsenje problema y ′ = f (x, y) sa uslovom
y(x0 + δ) = yδ (x0 + δ). Naravno da ovo razmiˇsljanje moˇzemo primjenjivati,
produˇzavaju´ci interval i na jednu i na drugu stranu od x0 , pa zakljuˇcujemo
da ´ce postojati jedinstveno neprekidno rjeˇsenje problema (1.18) na ˇcitavoj
realnoj pravoj (Slika 1.3).
1.5
Separabilnost metriˇ
ckih prostora
Definicija 1.24. Za metriˇcki prostor kaˇzemo da je separabilan ako u njemu
postoji najviˇse prebrojiv svuda gust skup.
Primjer 1.31. Realna prava sa uobiˇcajenom metrikom je primjer separabilnog prostora, jer je Q = R i Q je prebrojiv skup.
Rn je takode separabilan za proizvoljno n ∈ N. Zaista, neka je x =
(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn proizvoljna. Kako je Q svuda gust u R, to za proizvoljno ε > 0 i za svako i = 1, 2, ..., n, postoji qi ∈ Q, tako da vaˇzi
ε
|xi − qi | < √ .
n
Posmatrajmo sada ovako konstruisanu taˇcku q = (q1 , q2 , ..., qn ) ∈ Qn . Vrijedi,
!1
!1
n
n
2
X
X
ε2 2
2
d(x, q) =
|xi − qi |
<
=ε.
n
i=1
i=1
Dakle, Qn je svuda gust skup u Rn , a kako je on i prebrojiv skup, to je Rn
separabilan. ♦
41
1.5. Separabilnost metriˇckih prostora
Primjer 1.32. Separabilni su i prostori lp (1 ≤ p < ∞), c, c0 ali prostor l∞
nije separabilan.
Da pokaˇzemo neseparabilnost prostora l∞ , posmatrajmo skup svih nizova
ˇcije su koordinate zapisane samo sa 0 i 1,
A = {(ξn )n∈N | ξn ∈ {0, 1}, ∀n ∈ N} .
Ovakvih nizova ima kontinum mnogo (interpretiramo ih kao binarne zapise
realnih brojeva iz [0, 1] ) i pri tome je oˇcigledno A ⊂ l∞ . Za proizvoljne
x, y ∈ A, vrijedi
d(x, y) = sup |xi − yi | = 1 .
(1.20)
n∈N
Pretpostavimo sada da u l∞ postoji svuda gust skup. To bi znaˇcilo da u
proizvoljnoj okolini proizvoljne taˇcke iz l∞ , mora postojati bar jedna taˇcka
iz tog svuda gustog skupa. Ali to bi onda moralo vrijediti i za taˇcke skupa
A. Medutim, zbog (1.20), u kugli B(x, r), gdje je x ∈ A i r < 1, osim taˇcke
x nema drugih taˇcaka iz A. Dakle da bi svaku taˇcku ”dobro aproksimirali”,
u svakoj ovakvoj kugli bi morala biti bar jedna taˇcka iz svuda gustog skupa.
To bi opet znaˇcilo da taˇcaka u svuda gustom skupu mora biti bar onoliko
koliko ima ovakvih kugli, a ovih opet ima koliko ima taˇcaka u A, tj. kontinum
mnogo. Dakle, ako bi i postojao svuda gust skup u l∞ on ne bi mogao biti
najviˇse prebrojiv, pa l∞ nije separabilan prostor. ♦
Primjer 1.33. Prostor C[a, b] je separabilan, a tu tvrdnju imamo iz poznatog
Weierstrassovog teorema:
Za svaku neprekidnu funkciju f definisanu na segmentu [a, b] i za svako
ε > 0, postoji polinom pε , takav da vrijedi
|x(t) − pε (t)| < ε , a ≤ t ≤ b .
♦
Definicija 1.25. Za familiju (Bi )i∈I otvorenih skupova u metriˇckom prostoru X kaˇzemo da je baza, ako se svaki otvoren skup u X moˇze prikazati
kao unija nekih elemenata date familije.
Jasno je da u svakom metriˇckom prostoru gornju osobinu ima familija svih
otvorenih kugli (B(x, r))x∈X, r>0 . Medutim, takva baza je ”ogromna” po
broju elemenata, a nama bi bilo u interesu da je ona ˇsto manja po broju
svojih elemenata.
Definicija 1.26. Za metriˇcki prostor kaˇzemo da zadovoljava drugi aksiom
prebrojivosti ako u njemu postoji baza sa najviˇse prebrojivo mnogo elemenata.
Teorem 1.41. Metriˇcki prostor je separabilan ako i samo ako zadovoljava
drugi aksiom prebrojivosti.
42
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Dokaz : Neka je X separabilan metriˇcki prostor i neka je A = {xn |n ∈ N}
najviˇse prebrojiv svuda gust skup taˇcaka u X. Za proizvoljne n, m ∈ N,
1
). Neka je sada G proizvoljan
posmatrajmo sve mogu´ce kugle oblika B(xn , m
otvoren skup u X i neka je x ∈ G takode proizvoljan. Zbog otvorenosti skupa
1
G, postoji m = m(x) ∈ N, takav da je B(x, m
) ⊆ G. Kako je A svuda gust
1
. Posmatrajmo sada
u X, postoji xn(x) ∈ A, takav da je d(xn(x) , x) < 3m
1
1
kuglu B(xn(x) , 2m ). Jasno je da vrijedi x ∈ B(xn(x) , 2m ) ⊆ G, pa nije teˇsko
zakljuˇciti da vrijedi i
[ 1
G=
B xn(x) ,
,
2m(x)
x∈G
1
))n,m∈N baza u X i to najviˇse prebrojiva,
a ovo znaˇci da je familija (B(xn , m
pa X zadovoljava drugi aksiom prebrojivosti.
Neka je sada (Bi )i∈N najviˇse prebrojiva baza u X. Ako iz svakog Bi izaberemo po jednu taˇcku xi (i ∈ N) i od tih taˇcaka formiramo skup A, jasno je
da je A najviˇse prebrojiv skup. Po pretpostavci, svaki se otvoren skup moˇze
prikazati kao unija elemenata baze, tako da se u proizvoljnom otvorenom
skupu nalazi bar jedna taˇcka skupa A, a to ne znaˇci niˇsta drugo nego da je
A svuda gust u X, pa je X separabilan metriˇcki prostor. ♣
Definicija 1.27. Za familiju (Gi )i∈I kaˇzemo da je pokrivaˇc skupa M ako
vrijedi
(∀x ∈ M )(∃i ∈ I)x ∈ Gi .
Ukoliko je svaki Gi (i ∈ I) otvoren skup govorimo o otvorenom pokrivaˇcu, a
ako je I najviˇse prebrojiv skup govorimo o najviˇse prebrojivom pokrivanju.
Teorem 1.42. (teorem Lindel¨
ofa)
Ako je X separabilan metriˇcki prostor, onda se iz svakog otvorenog pokrivaˇca
za X moˇze izdvojiti najviˇse prebrojiv potpokrivaˇc.
Dokaz : Neka je X separabilan metriˇcki prostor, tada postoji najviˇse prebrojiva baza (Bi )i∈N u X. Neka je (Gi )i∈I otvoreni pokrivaˇc od X, tj.
(∀x ∈ X)(∃i = i(x) ∈ I) x ∈ Gi(x) .
Kako je svaki Gi(x) otvoren skup, to postoji element baze Bn(x) , takav da je
x ∈ Bn(x) ⊆ Gi(x) .
(1.21)
Jasno je sada da razliˇcitim skupovima Bn(x) moˇzemo pridruˇziti razliˇcite
odgovaraju´ce Gn(x) koji zadovoljavaju (1.21). Pri tome oˇcigledno vrijedi
[
[
Bn(x) ⊆
Gn(x) .
X⊆
n∈N
n∈N
Dakle (Gn(x) )n∈N je najviˇse prebrojiv pokrivaˇc od X. ♣
43
1.6. Kompaktnost metriˇckih prostora
1.6
Kompaktnost metriˇ
ckih prostora
Definicija 1.28. Za metriˇcki prostor kaˇzemo da je kompaktan ako se iz
svakog njegovog niza moˇze izdvojiti konvergentan podniz.
Definicija 1.29. Neka je M podskup metriˇckog prostora X. Za skup M
kaˇzemo da je relativno kompaktan ako se iz svakog niza u M moˇze izdvojiti
konvergentan podniz, tj.
(∀(xn )n∈N ⊆ M )(∃(xnk )k∈N ⊂ (xn )n∈N ) xnk → x0 , (k → ∞) , x0 ∈ X .
Ako je x0 ∈ M , kaˇzemo da je M kompaktan skup.
Jasna je razlika izmedju kompaktnosti i relativne kompaktnosti, tj. relativna kompaktnost i zatvorenost skupa ekvivalentne su kompaktnosti skupa.
Teorem 1.43. Svaki kompaktan metriˇcki prostor je i kompletan.
Dokaz : Neka je X kompaktan metriˇcki prostor i neka je (xn )n∈N proizvoljan Cauchyjev niz u X. Zbog kompaktnosti, postoji podniz (xnk ) naˇseg
niza koji je konvergentan, xnk → x0 ∈ X (k → ∞). Sada imamo
d(xn , x0 ) ≤ d(xn , xnk ) + d(xnk , x0 ) .
Prvi sabirak na desnoj strani moˇzemo uˇciniti proizvoljno malim jer je niz
Cauchyjev, a drugi takode, zbog konvergencije podniza. Dakle,
d(xn , x0 ) → 0 , (n → ∞) ,
tj. niz (xn )n∈N je konvergentan, pa zbog proizvoljnosti niza, prostor X je
kompletan. ♣
Teorem 1.44. Svaki kompaktan skup je zatvoren.
Dokaz : Neka je M kompaktan skup i neka je (xn )n∈N ⊂ M , takav da xn →
x0 kada n → ∞. Zbog kompaktnosti skupa, postoji (xnk )k∈N ⊂ (xn )n∈N ,
takav da xnk → x′ (k → ∞) i pri tome je x′ ∈ M . Zbog jedinstvenosti taˇcke
konvergencije, zakljuˇcujemo da je x0 = x′ , odnosno x0 ∈ M , pa dakle M
sadrˇzi sve svoje taˇcke nagomilavanje te je kao takav, zatvoren skup. ♣
Teorem 1.45. Svaki relativno kompaktan skup je ograniˇcen.
Dokaz : Neka je M relativno kompaktan podskup metriˇckog prostora X.
Pretpostavimo da M nije ograniˇcen. M nije prazan, pa postoji x0 ∈ M .
Kako M nije ograniˇcen, to M nije sadrˇzan u kugli B(x0 , 1), te zakljuˇcujemo
da postoji x1 ∈ M , takav da x1 ∈
/ B(x0 , 1) odnosno, d(x0 , x1 ) ≥ 1.
Oznaˇcimo sa r = d(x0 , x1 ) + 1, pa opet zbog neograniˇcenosti rezonujemo
44
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
da M nije sadrˇzan ni u kugli B(x0 , r), tj. postoji x2 ∈ M takav da je
d(x0 , x2 ) ≥ r ≥ 1. Kako je
1 + d(x0 , x1 ) = r ≤ d(x0 , x2 ) ≤ d(x0 , x1 ) + d(x1 , x2 ) ,
zakljuˇcujemo da je d(x1 , x2 ) ≥ 1. Jasno je da sada ovaj postupak moˇzemo
produˇziti i na taj naˇcin formirati niz (xn ) sa osobinom da za proizvoljne
n, m ∈ N vrijedi, d(xn , xm ) ≥ 1. Ovo znaˇci da se iz datog niza ne moˇze
izdvojiti niti jedan konvergentan podniz, a to se opet kosi sa pretpostavkom
o relativnoj kompaktnosti skupa M . Dakle, M mora biti ograniˇcen skup. ♣
Definicija 1.30. Neka su M i N podskupovi metriˇckog prostora X. Neka
je ε > 0 fiksiran realan broj. Za skup N kaˇzemo da je ε-mreˇza skupa M ako
za svako x ∈ M , postoji y ∈ N , tako da je d(x, y) < ε.
Ako je N kompaktan skup, kaˇzemo da je N kompaktna ε-mreˇza, a ako je
konaˇcan skup, kaˇzemo da je konaˇcna ε-mreˇza.
Lema 1.46. Skup N je ε-mreˇza (ε > 0) skupa M ako i samo ako vrijedi
[
B(x, ε) .
M⊆
x∈N
Teorem 1.47. Potreban uslov za relativnu kompaktnost skupa M ⊆ X jeste
da za svako ε > 0, postoji konaˇcna ε-mreˇza skupa M . Ako je metriˇcki
prostor X kompletan, gornji uslov je i dovoljan.
Dokaz : Neka je M relativno kompaktan skup. Pretpostavimo da za neko
ε0 > 0 ne postoji konaˇcna ε0 -mreˇza skupa M . Kako M nije prazan, to za
proizvoljno x0 ∈ M skup {x0 } nije ε0 -mreˇza skupa M , pa postoji x1 ∈ M ,
takav da je d(x0 , x1 ) ≥ ε0 . Medutim, ni skup {x0 , x1 } nije ε0 -mreˇza za M ,
pa postoji x2 ∈ M , takav da je d(x0 , x2 ) ≥ ε0 i d(x1 , x2 ) ≥ ε0 . Nastavljaju´ci
gornje rasudivanje, dolazimo do niza (xn )n∈N ⊂ M , kod koga za proizvoljne
n, m ∈ N vrijedi, d(xn , xm ) ≥ ε0 . Ali tada se iz niza (xn ) nemoˇze izdvojiti
niti jedan konvergentan podniz, ˇsto je suprotno pretpostavci o relativnoj
kompaktnosti skupa M . Dakle, za svako ε > 0, skup M ima konaˇcnu εmreˇzu.
Neka je sada X kompletan metriˇcki prostor i neka M ⊆ X ima konaˇcnu
ε-mreˇzu za svako ε > 0. Uzmimo proizvoljan niz (xn ) ⊂ M . Neka je
N1 = {y11 , y12 , ..., y1n1 } konaˇcna 1-mreˇza skupa M . Na osnovu Leme 1.46
vrijedi
n1
[
M⊆
B(y1i , 1) .
i=1
Tim prije je i naˇs niz sadrˇzan u gornjoj uniji kugli, a zbog konaˇcnog broja
tih kugli, postoji medu njima kugla, oznaˇcimo je sa B1 , koja u sebi sadrˇzi
beskonaˇcan podniz (xnk ) niza (xn ).
45
1.6. Kompaktnost metriˇckih prostora
Neka je sada N2 = {y21 , y22 , ..., y2n2 } 12 -mreˇza skupa M . Ali to je onda
1
za i za naˇs podniz (xnk ) ⊂ B1 , te postoji kugla B2 = B(y2i , 12 ) (i ∈
2 -mreˇ
{1, 2, ..., n2 }), koja u sebi sadrˇzi beskonaˇcno mnogo ˇclanova niza (xnk ).
Nastavljaju´ci ovaj postupak dolazimo do niza kugli (Bi )i∈N sa sljede´cim
osobinama:
• Polupreˇcnik kugle Bi je
1
i
(i ∈ N).
• U svakoj kugli Bi (i ∈ N) ima beskonaˇcno mnogo ˇclanova niza (xn ).
ˇ
• Clanovi
niza koji se nalaze u kugli Bi , sadrˇzani su i u svakoj kuglu Bj
za j ≤ i.
Iz svake kugle Bi izaberimo po jedan element naˇseg niza (xn ) i oznaˇcimo
ga sa zi (i ∈ N). Oˇcigledno je niz (zn ) podniz niza (xn ). Osim toga, za
proizvoljne n, m ∈ N (neka je npr. m ≤ n) imamo da zn , zm ∈ Bm , a zbog
prve osobine ovih kugli, imamo
d(zn , zm ) <
2
→ 0 , (n, m → ∞) .
m
Dakle, niz (zn ) je Cauchyjev, pa zbog kompletnosti prostora on mora biti i
konvergentan.
Iz proizvoljnog niza u M izdvojili smo konvergentan podniz, te je M relativno kompaktan skup. ♣
Sada se lahko dokazuje joˇs jedna karakterizacija relativne kompaktnosti.
Posljedica 1.48. Neka je M podskup kompletnog metriˇckog prostora X.
Ako za svako ε > 0 postoji kompaktna ε-mreˇza skupa M tada je M relativno
kompaktan skup.
Teorem 1.49. Svaki kompaktan metriˇcki prostor je separabilan.
Dokaz : Zbog kompaktnosti prostora X, za svako n ∈ N, postoji konaˇcna
Nn za X. Posmatrajmo skup
1
za
n -mreˇ
N=
[
Nn .
n∈N
Kao prvo N je najviˇse prebrojiv, kao prebrojiva unija konaˇcnih skupova.
Neka je x ∈ X proizvoljan. Za proizvoljno ε > 0, postoji n ∈ N, takav
da je n1 < ε, a tada moˇzemo na´ci element y iz n1 -mreˇze Nn , takav da je
d(x, y) < n1 < ε, pa je oˇcigledno N i svuda gust u X, tj. X je separabilan
prostor. ♣
46
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
1.6.1
Neprekidne funkcije na kompaktnim skupovima
Teorem 1.50. Neprekidna funkcija na kompaktnom skupu je ograniˇcena i
dostiˇze svoju najve´cu i najmanju vrijednost.
Dokaz : Neka je M kompaktan skup i neka je f ∈ C(M ). Ako pretpostavimo da f nije ograniˇcena, to bi znaˇcilo da postoji (xn )n∈N ⊂ M , takav
da
(1.22)
f (xn ) → +∞ , (n → ∞)
(ili eventualno f (xn ) → −∞). Kako je M kompaktan, postoji podniz
(xnk )k∈N takav da xnk → x0 ∈ M (k → ∞), a onda zbog neprekidnosti
funkcije imamo
f (xnk ) → f (x0 ) < +∞ , (k → ∞) .
S druge strane, zbog (1.22) moralo bi biti
f (xnk ) → +∞ , (k → ∞) ,
a to je oˇcigledna kontradikcija. Dakle, f je ograniˇcena funkcija.
Sada zbog ograniˇcenosti funkcije imamo da je
r = sup f (x) < +∞ .
x∈M
Na osnovu definicije supremuma, postoji niz (yn )n∈N ⊂ M , takav da je
(∀n ∈ N) f (yn ) > r −
1
,
n
a ovo znaˇci da f (yn ) → r (n → ∞). Ponovo zbog kompaktnosti skupa M ,
postoji (ynk ) ⊂ (yn ), takav da ynk → y0 ∈ M (k → ∞). Ali tada bi imali
f (ynk ) → f (y0 ) , (k → ∞) ,
odnosno, zakljuˇcujemo f (y0 ) = r. Dakle, funkcija dostiˇze svoju najve´cu
vrijednost.
Na analogan naˇcin se pokazuje da funkcija dostiˇze i najmanju vrijednost,
ˇcime je teorem dokazan. ♣
Teorem 1.51. Neprekidna funkcija na kompaktnom skupu je i uniformno
neprekidna.
Dokaz : Neka je M kompaktan skup i neka je f neprekidna funkcija definisana na M . Pretpostavimo da f nije uniformno neprekidna funkcija.
Negacijom definicije uniformne neprekidnosti to bi znaˇcilo
1
′
′′
′
′′
′
′′
(∃ε0 > 0)(∀n ∈ N)(∃xn , xn ) d(xn , xn ) < ∧ |f (xn ) − f (xn )| ≥ ε0 ) .
n
(1.23)
47
1.6. Kompaktnost metriˇckih prostora
Na ovaj naˇcin su formirana dva niza (x′n ) i (x′′n ) u M iz kojih zbog kompaktnosti moˇzemo izdvojiti konvergentne podnozove, tj. postoji (x′nk ) ⊂ (x′n ),
takav da xnk → x′0 (k → ∞). Kako je
d(x′nk , x′′nk ) <
1
→ 0 , (k → ∞) ,
nk
zakljuˇcujemo da tada mora vrijediti i x′′nk → x′0 (k → ∞). Medutim, to bi
zbog neprekidnosti funkcije f znaˇcilo
|f (x′nk ) − f (x′′nk )| → 0 , (k → ∞) ,
ˇsto je suprotno pretpostavci (1.23). ♣
U poglavlju o fiksnoj taˇcki smo u Primjedbi 1.4.2 napomenuli da za egzistenciju i jedinstvenost fiksne taˇcke preslikavanja, uslov kontraktivnosti
moˇzemo oslabiti, ali zato uslov na domen preslikavanja moramo pojaˇcati. O
tome govori sljede´ce tvrdenje.
Teorem 1.52. Neka je (X, d) kompaktan metriˇcki prostor i neka preslikavanje A : X → X zadovoljava osobinu
(∀x, y ∈ X , x 6= y) d(Ax, Ay) < d(x, y) .
Tada preslikavanje A ima jedinstvenu fiksnu taˇcku.
Dokaz : Posmatrajmo preslikavanje f : X → R, zadato sa f (x) = d(x, Ax).
Ovo je neprekidno preslikavanje definisano na kompaktnom skupu, te na
osnovu Teoreme 1.50, ona dostiˇze svoj minimum u nekoj taˇcki x0 ∈ X.
Sada je jasno da mora biti x0 = Ax0 , tj. x0 je fiksna taˇcka preslikavanja A
jer u suprotnom bi imali
d(A(Ax0 ), Ax0 ) < d(Ax0 , x0 ) ,
ˇsto bi bilo u suprotnosti sa minimalnoˇs´cu preslikavanja f .
Ako pretpostavimo da postoji i x1 ∈ X, takav da je Ax1 = x1 , tada bi bilo
d(x0 , x1 ) = d(Ax0 , Ax1 ) < d(x0 , x1 ) ,
ˇsto je oˇcigledno nemogu´ce. ♣
1.6.2
Specijalni kriteriji relativne kompaktnosti
Iako smo dali nekoliko karakterizacija kompaktnosti na proizvoljnim metriˇckim prostorima, od velikog su interesa ˇsto bolje karakterizacije, a njih
moˇzemo dati na konkretnim metriˇckim prostorima. Ovdje ´cemo dati jednu
vaˇznu karakterizaciju relativne kompaktnosti na prostoru neprekidnih funkcija, poznati Arzela-Ascollijev stav, koja je odigrala veliku ulogu u razvoju
topologije i funkcionalne analize. Kao prvo definiˇsimo sljede´ce pojmove.
48
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Definicija 1.31. Neka je E ⊂ C(X). Za E kaˇzemo da je skup podjednako
ograniˇcenih funkcija ako postoji konstanta M > 0, takva da za proizvoljno
x ∈ X i za proizvoljnu funkciju f ∈ E vrijedi
|f (x)| ≤ M .
Definicija 1.32. Za Skup E ⊂ C(X) kaˇzemo da je skup podjednako neprekidnih funkcija ako vrijedi
(∀ε > 0)(∃δ = δ(ε) > 0)(∀f ∈ E)(∀x′ , x′′ ∈ X)(d(x′ , x′′ ) < δ ⇒ d(f (x′ ), f (x′′ )) < ε) .
Teorem 1.53. (Arzela-Ascolli)
Neka je X kompaktan skup i C(X) prostor neprekidnih funkcija na X, sa
standardnom metrikom. Skup E ⊂ C(X) je relativno kompaktan ako i samo
ako je on skup podjednako ograniˇcenih i podjednako neprekidnih funkcija.
Dokaz : Neka je E relativno kompaktan podskup metriˇckog prostora C(X).
Kao takav, on je i ograniˇcen, pa postoje f0 ∈ C(X) i r > 0, takvi da je
E ⊆ B(f0 , r). Ovo znaˇci da za proizvoljno f ∈ E vrijedi
d(f, f0 ) = max |f (x) − f0 (x)| < r .
x∈X
(1.24)
Neka je sada f ∈ E proizvoljna i neka je x ∈ X takode proizvoljno.
|f (x)| ≤ |f (x) − f0 (x)| + |f0 (x)|
≤ d(f, f0 ) + max |f0 (x)|
x∈X
≤ r + max |f0 (x)| .
x∈X
Kako je f0 neprekidna funkcija, ona dostiˇze svoju maksimalnu vrijednost,
te stavljaju´ci da je M = r + maxx∈X |f0 (x)| imamo,
|f (x)| ≤ M ,
za svaku funkciju f ∈ E i za svako x ∈ X, a to znaˇci da je E skup podjednako
ograniˇcenih funkcija.
Skup E je relativno kompaktan skup pa za proizvoljno ε > 0 postoji
konaˇcna 3ε -mreˇza za E i neke je ˇcine funkcije f1 , f2 , ..., fn (fi ∈ C(X),
i = 1, 2, ..., n). Kako je svaka od funkcija fi (i = 1, 2, ..., n) neprekidna
na X, a time i uniformno neprekidna (na kompaktnom skupu), to za proizvoljan ε > 0, postoji δ = δ(ε) > 0, tako da za proizvoljne x′ , x′′ ∈ X, ˇcim
je d(x′ , x′′ ) < δ, onda je
|fi (x′ ) − fi (x′′ )| <
ε
, i = 1, 2, ..., n .
3
Gornja ˇcinjenica vrijedi za sve funkcije fi (i = 1, 2, .., n), tj. postoje´ci δ je
vaˇze´ci za sve funkcije, a to je opravdano ˇcinjenicom da ovih funkcija ima
49
1.6. Kompaktnost metriˇckih prostora
konaˇcno mnogo.
Neka je sada f ∈ E proizvoljna i izaberimo iz 3ε -mreˇze njoj odgovaraju´cu
funkciju fi0 za koju vrijedi d(f, fi0 ) < 3ε . Neka su sada x′ , x′′ ∈ X, takve da
je d(x′ , x′′ ) < δ. Sada imamo
|f (x′ ) − f (x′′ )| ≤ |f (x′ ) − fi0 (x′ )| + |fi0 (x′ ) − fi0 (x′′ )| + |fi0 (x′′ ) − f (x′′ )|
≤ d(f, fi0 ) + |fi0 (x′ ) − fi0 (x′′ )| + d(f, fi0 )
ε ε ε
+ + =ε.
<
3 3 3
Dakle, skup E je skup podjednako neprekidnih funkcija, a time smo pokazali
neophodnost uslova.
Dokaˇzimo sada i dovoljnost uslova, tj. neka je E skup podjednako ograniˇcenih
i podjednako neprekidnih funkcija i dokaˇzimo njegovu relativnu kompaktnost. Ako je skup E konaˇcan, tvrdnja trivijalno vrijedi. Pretpostavimo zato
da je E beskonaˇcan skup. Neka je (fi )i∈N proizvoljan niz u E.
Zbog pretpostavljene kompaktnosti skupa X imamo njegovu separabilnost
i neka je {x1 , x2 , ..., xn , ...} prebrojiv svuda gust skup u X. Kako je E skup
podjednako ograniˇcenih funkcija, to je niz (fi (x1 ))i∈N ograniˇcen skup, a kao
takav on sadrˇzi konvergentan podniz (fik (x1 ))k∈N . Oznaˇcimo ga jednostav(1)
nosti radi sa (fi )i∈N i taj niz je konvergentan u taˇcki x = x1 . Ako sada
(1)
posmatramo niz (fi (x2 ))i∈N , on je opet ograniˇcen, pa i iz njega moˇzemo
(2)
izdvojiti konvergentan podniz (fi )i∈N koji je konvergentan u taˇcki x = x2 ,
(1)
a kako je on podniz niza (fi )i∈N , on je konvergentan i u taˇcki x = x1 . Ako
nastavimo ovaj postupak, dobit ´cemo niz nizova
(1)
(2)
(3)
(m)
(fi ), (fi ), (fi ), ..., (fi
), ...
koji imaju sljede´ce osobine:
• Svaki od njih je podniz polaznog niza (fi )i∈N .
• Poˇcev od drugog, svaki od njih je podniz niza koji je prije njega.
• m-ti niz je konvergentan u taˇckama x = x1 , x2 , ..., xm .
Dijagonalnim postupkom formirajmo sada niz (φi (x))i∈N , tj.
(i)
φi (x) = fi (x) , i = 1, 2, ...
Jasno je da je novoformirani niz podniz naˇseg polaznog niza. Osim toga,
kako je on, posmatraju´ci ga od m-tog ˇclana (m ∈ N), podniz m-tog niza
(m)
(fi )i∈N , on je konvergentan u svim taˇckama svuda gustog skupa {x1 , x2 , ..., xn , ...}.
Neka je sada ε > 0 proizvoljan. E je skup podjednako neprekidnih funkcija,
onda postoji δ(ε) > 0, takav da za sve x′ , x′′ ∈ X i za svaku funkciju f ∈ E
vrijedi
d(x′ , x′′ ) < δ ⇒ |f (x′ ) − f (x′′ )| < ε .
(1.25)
50
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Za ovakav δ, formirajmo konaˇcnu δ-mreˇzu skupa X (X je kompaktan). Neka
je ˇcine elementi {y1 , y2 , ..., yk }. Ne gube´ci na opˇstosti, moˇzemo smatrati da
su taˇcke naˇse δ-mreˇze neke od taˇcaka svuda gustog skupa {x1 , x2 , ..., xn , ...}.
Dakle, niz (φi )i∈N je konvergentan u svakoj od taˇcaka y1 , y2 , ..., yk , a time
je i Cauchyjev, tj. postoji n = n(ε) ∈ N, takav da za proizvoljne i, j ≥ n
vrijedi
ε
|φi (ys ) − φj (ys )| < , s = 1, 2, ..., k .
(1.26)
3
Neka je sada x ∈ X proizvoljan. Iz δ-mreˇze izaberimo yi0 takav da je
d(x, yi0 ) < δ. Sada za i, j ≥ n imamo
|φi (x) − φj (x)| ≤ |φi (x) − φi (yi0 )| + |φi (yi0 ) − φj (yi0 )| + |φj (yi0 ) − φj (x)| .
Zbog (1.25) i (1.26) imamo
|φi (x) − φj (x)| <
ε ε ε
+ + =ε.
3 3 3
Dakle, za proizvoljno ε > 0, postoji n ∈ N, tako da za sve i, j ∈ N, i, j ≥ n,
vrijedi
|φi (x) − φj (x)| < ε .
Ovo znaˇci da je niz (φi ) Cauchyjev, a time i konvergentan u svim taˇckama
x ∈ X, tj. on je uniformno konvergentan. Kako su pri tome sve funkcije
φi (i ∈ N) neprekidne, zakljuˇcujemo da niz (φi ) konvergira ka neprekidnoj
funkciji φ0 i to u smislu metrike u C(X).
Iz proizvoljnog niza (fi ) ⊂ E, izdvojili smo konvergentan podniz (φi ), ˇsto
znaˇci da je skup E relativno kompaktan skup, time je dokaz teoreme zavrˇsen.
♣
51
2
Banachovi prostori
2.1
2.1
Linearni vektorski prostori . . . . . . . . . . . . .
52
2.2
Normirani prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.3
Konvergencija u normiranim prostorima . . . .
61
2.4
Banachovi prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.5
Kompaktnost u Banachovim prostorima . . . . .
72
2.6
Konveksnost u normiranim prostorima . . . . .
75
Linearni vektorski prostori
Definicija 2.1. Neka je Φ ili skup realnih (R) ili skup kompleksnih (C)
brojeva. Neprazan apstraktan skup V , snabdjeven sa dvije binarne operacije
” + ” : V × V → V (sabiranje) i ” · ” : Φ × V → V (mnoˇzenje skalarom) je
(realan ili kompleksan) linearan vektorski prostor ako i samo ako su za sve
a, b ∈ Φ i sve u, v, w ∈ V zadovoljeni sljede´ci uslovi:
1. u + v ∈ V (zatvorenost operacije sabiranja)
2. u + v = v + u (komutativnost sabiranja)
3. u + (v + w) = (u + v) + w (asocijativnost sabiranja)
4. (∃0 ∈ V )(∀u ∈ V ) 0 + u = u (egzistencija neutralnog elementa za
sabiranje)
5. (∀u ∈ V )(∃u∗ ∈ V ) u + u∗ = 0 (egzistencija inverznog elementa za
sabiranje)
6. a · u ∈ V (zatvorenost operacije mnoˇzenja sa skalarom)
7. a(bu) = (ab)u (asocijativnost mnoˇzenja sa skalarom)
8. (∃1 ∈ Φ)(∀u ∈ V ) 1 · u = u (egzistencija neutralnog elementa za
mnoˇzenje skalarom)
9. a · (u + v) = a · u + a · v (distributivnost mnoˇzenja skalarom u odnosu
na sabiranje)
52
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
10. (a + b) · u = a · u + b · u (distributivnost u odnosu na sabiranje skalara)
Elemente skupa Φ nazivamo skalarima, a elemente skupa V nazivamo vektorima. Mnoˇzenje skalarom, a · u, uobiˇcajeno zapisujemo sa au, a za izraz
u + (−v) koristimo kra´ci zapis sa u − v. Gornja definicija radi sa proizvoljnim apstraktnim skupom V , ne uzimaju´ci u obzir o kakvoj vrsti elemenata
je rijeˇc. Tako skup V moˇze biti skup realnih brojeva, ali takode moˇze biti
skup beskonaˇcnih nizova, skup integrabilnih funkcija, skup matrica i sl. Iz
konteksta ´ce uvijek biti jasno sa kakvim objektima radimo i u daljem, kad
god kaˇzemo ”prostor”, podrazumijevamo linearan vektorski prostor. U ispitivanju da li je V linearan vektorski prostor, prije ispitivanja svih gornjih
deset osobina, uobiˇcajeno je prvo ispitati
• Da li V sadrˇzi nula element?
• Da li je V zatvoren u odnosu na operacije sabiranja i mnoˇzenja skalarom?
Ukoliko je odgovor negativan na jedno od ovih pitanja, V nije linearan vektorski prostor.
Primjer 2.1. Za 1 ≤ p < +∞, posmatrajmo prostor lp (Φ), svih sa p-tim
stepenom sumabilnih nizova u Φ (realnih za Φ = R ili kompleksnih za Φ =
C),
(
)
X
p
lp (Φ) = x = (xn )n∈N | xn ∈ Φ (n ∈ N),
|xn | < +∞ .
n∈N
Za x, y ∈ lp (Φ) i λ ∈ Φ, neka je
def
def
x + y = (xn + yn )n∈N , λx = (λxn )n∈N .
Lahko se provjerava da sa ovako definisanim operacijama lp (Φ) zaista jeste
linearan vektorski prostor. Jedino nije jasna zatvorenost operacije ”+”, a
to obrazlaˇzemo sljede´cim rasudivanjem.
!
n
n
∞
∞
X
X
X
X
p
p
p
p
p
p
p
|xn + yn | ≤
2 (|xn | + |yn | ) ≤ 2
(|xn | +
|yn | ) < +∞ .
i=1
i=1
i=1
i=1
Na isti naˇcin moˇzemo i na l∞ (Φ) definisati operacije sabiranja i mnoˇzenja
skalarom, sa ˇcime je i l∞ (Φ) linearan vektorski prostor. ♦
Definicija 2.2. Neka je V lienearan vektorski prostor. Za skup W ⊆ V
kaˇzemo da je potprostor prostora V ako vrijedi
1. (∀u, v ∈ W ) u + v ∈ W .
53
2.1. Linearni vektorski prostori
2. (∀a ∈ Φ)(∀u ∈ W ) au ∈ W .
Drugaˇcije reˇceno, W ⊆ V je potprostor ako je on sam za sebe linearana
vektorski prostor. Za skup W u tom sluˇcaju kaˇzemo da je i lineal ili linearna
mnogostrukost u V .
Primjer 2.2. Neka je C[0, 1] skup realnih, na [0, 1] definisanih i neprekidnih
funkcija i neka je L1 (0, 1) skup realnih funkcija definisanih na (0, 1), sa
osobinom
Z 1
|f (t)|dt < +∞ , f ∈ L1 (0, 1) .
0
Na oba skupa moˇzemo uvesti operacije
def
def
(f + g)(t) = f (t) + g(t) , (λf )(t) = λf (t) ,
sa kojima oni postaju linearni vektorski prostori.
Neka je sada f ∈ C[0, 1]. Zbog neprekidnosti funkcije na ograniˇcenom i
zatvorenom skupu, ona dostiˇze svoj maksimum, tj. postoji M > 0, takav
da je |f (t)| ≤ M , za sve t ∈ [0, 1], a time je i
Z
0
1
|f (t)|dt ≤ M < +∞ ,
odnosno f ∈ L1 (0, 1).
Posmatrajmo sada funkciju f (t) = t−1/2 koja nije neprekidna na [0, 1], ali
Z
1
0
|t−1/2 |dt = 2t1/2 |10 = 2 < +∞ ,
tj. f ∈ L1 (0, 1). Dakle, C[0, 1] je strogi potprostor prostora L1 (0, 1). ♦
Lema 2.1. Ako su W1 , W2 , ..., Wn potprostori vektorskog prostora V , tada
je i W1 ∩ W2 ∩ · · · ∩ Wn vektorski potprostor od V .
Sa unijom potprostora stvari su malo drugaˇcije. Naime, ako su W1 i W2
potprostori prostora V , njihova unija ne mora biti potprostor.
Primjer 2.3. U prostoru R2 posmatrajmo vektore x = (1, 1) i y = (−1, 1).
Skupovi
W1 = {αx| α ∈ R} , W2 = {βy| β ∈ R} ,
oˇcigledno su potprostori od R2 . Medutim, za α, β ∈ R \ {0}, vektor z =
αx + βy ∈
/ W1 ∪ W2 .
♦
54
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
z
W2
W1
αx
βy
Slika 2.1: Unija potprostora ne mora biti potprostor.
Definicija 2.3. Neka je V linearan prostor, v1 , v2 , ..., vn vektori iz V i
a1 , a2 , ..., an skalari iz Φ. Vektor
v=
n
X
ai vi ,
i=1
nazivamo linearnom kombinacijom vektora v1 , v2 , ..., vn , sa koeficijentima
a1 , a2 , ..., an .
Ako je S ⊆ V , V linearan prostor, skup
( n
)
X
L(S) =
λi xi | λi ∈ Φ, xi ∈ S, i = 1, 2, ..., n ,
i=1
nazivamo lienealom nad S ili linealom generisanim skupom S. Primje´cujemo
da su u lineal ukljuˇcene samo konaˇcne linearne kombinacije, ˇsto je opravdano
time da radimo sa apstraktnim linearnim vektorskim prostorima, u njemu
definisanim operacijama i postavljenim aksiomama, bez dodatnih struktura.
Za posmatranje beskonaˇcnih linearnih kombinacija potrebna nam je konvergencija koja nam nije dostupna u linearnim vektorskim prostorima.
Lema 2.2. Neka je S podskup linearnog prostora V . Skup L(S) je najmanji
lineal u V koji sadrˇzi skup S.
Dokaz : Kako je L(S) skup svih konaˇcnih linearnih kombinacija elemenata
iz S, jasno je da vrijedi S ⊆ L(S).
Neka je L lineal koji sadrˇzi S. Kako vrijedi
(∀x, y ∈ L)(∀λ, µ ∈ Φ) λx + µy ∈ L ,
jasno je da to vrijedi i za svaku konaˇcnu linearnu kombinaciju elemenata iz
Φ i L, tj. L(S) ⊆ L. ♣
Primjetimo ovdje da svaki lineal u sebi sadrˇzi nula element, a to znaˇci da
je nula element sadrˇzan u svakom linearnom vektorskom prostoru. Zato definicija disjunktnosti vektorskih prostora nije ista kao disjunktnost skupova,
tj. za linearne prostore W1 i W2 kaˇzemo da su disjunktni ako vrijedi
W1 ∩ W2 = {0} .
55
2.1. Linearni vektorski prostori
Za lineale vrijede sljede´ca tvrdenja ˇciji dokazi su ostavljena ˇcitaocu za
vjeˇzbu.
Lema 2.3. Neka su W i W1 podskupovi linearnog prostora V . Tada vrijedi:
1. W ⊆ L(W ).
2. Ako je W ⊆ W1 , onda je L(W ) ⊆ L(W1 ).
3. L(L(W )) = L(W ).
4. Ako je W = ∅, onda je L(W ) = {0}.
5. Ako je W ⊆ W1 ⊆ L(W ), onda je L(W ) = L(W1 ).
Definicija 2.4. Neka su W1 i W2 potprostori linearnog prostora V . Skup
W1 + W2 = L(W1 ∪ W2 ) nazivamo sumom potprostora W1 i W2 .
Za V kaˇzemo da je direktna suma potprostora W1 i W2 ako vrijedi
1. V = L(W1 ∪ W2 ) i
2. W1 i W2 su disjunktni.
Direktnu sumu oznaˇcavamo sa V = W1 ⊕W2 i tada kaˇzemo da je W1 direktni
komplement od W2 i obrnuto.
Lema 2.4. Linearani prostor V je direktna suma potprostora W1 i W2 ako
i samo ako se svaki element z ∈ V na jedinstven naˇcin moˇze prikazati kao
z = x + y, gdje je x ∈ W1 , a y ∈ W2 .
I Definicija 2.4 i Lema 2.4 mogu se produˇziti na konaˇcnu i prebrojivu
familiju potprostora.
Definicija 2.5. Neka je V linearan vektorski prostor. Za vektore x1 , x2 , ..., xn
∈ V kaˇzemo da su linearno zavisni ako postoji netrivijalna kombinacija elemenata λ1 , λ2 , ..., λn ∈ Φ, takva da vaˇzi
n
X
λi xi = 0 .
i=1
(pod netrivijalnom kombinacijom podrazumijevamo da je bar jedan od λi
(i ∈ {1, 2, ..., n}) razliˇcit od nule).
U suprotnom kaˇzemo da su vektori x1 , x2 , ..., xn linearno nezavisni.
Za beskonaˇcan skup vektora kaˇzemo da su linearno nezavisni, ako je proizvoljna konaˇcna kolekcija tih vektora linearno nezavisna.
Lema 2.5. Neka je V linearan vektorski prostor i neka je B ⊂ V skup
linearno nezavisnih vektora. Neka je za neko x ∈ V skup B ∪ {x} linearno
zavisan, tada x ∈ L(B).
56
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Definicija 2.6. Neka je V linearan vektorski prostor. Skup linearno nezavisnih vektora B ⊂ V nazivamo algebarskom ili Hamelovom bazom prostora
V , ako vrijedi L(B) = V .
Na osnovu definicije baze i Leme 2.5, jasno je da ako je B baza vektorskog
prostora V , da je to maksimalan skup linearno nezavisnih vektora prostora
V u smislu brojnosti. Ovo znaˇci da dodavanjem bilo kog vektora baznom
skupu vektora, on postaje skup linearno zavisnih vektora. Kao posljedicu
ovoga imamo da u prostoru koji ima algebarsku bazu, za svaki x ∈ V vrijedi
X
x=
φα xα ,
xα ∈B
za neke φα ∈ Φ.
Jasno je da jedan vektorski prostor moˇze imati viˇse baza, tj. svaki skup
linearno nezavisnih vektora koji generiˇsu ˇcitav prostor, je baza prostora.
O postojanju bar jedne baze u vektorskom prostoru govori nam sljede´ce
tvrdenje. Za njen dokaz treba´ce nam Zornova lema, jedan od ekvivalenata
Aksiome izbora.
Lema 2.6 (Zornova lema).
Ako svaki lanac nepraznog, parcijalno uredenog skupa ima gornje ograniˇcenje,
tada taj skup ima najmanje jedan maksimalan element.
Teorem 2.7. Svaki linearan vektorski prostor ima bazu.
Dokaz : Neka je V linearan prostor i neka je B familija svih podskupova
od V ˇciji su elementi linearno nezavisni. Kako prazan skup pripada B onda
ta familija nije prazna. Lahko se provjerava da je B parcijalno uredena
inkluzijom. Neka je (Bi )i∈I proizvoljan lanac u B. Posmatrajmo
[
B− =
Bi .
i∈I
B − je linearno nezavisan skup jer je proizvoljna kolekcija elemenata iz B −
sadrˇzana u nekom Bi , a ovaj je linearno nezavisan skup. Jasno je takode
da za proizvoljno i ∈ I vrijedi Bi ⊆ B − , te je B − gornje ograniˇcenje posmatranog lanca. Na osnovu Zornove leme, postoji maksimalan element B ∗ ,
familije B.
Pretpostavimo da sada postoji element v ∈ V takav da v ∈
/ B ∗ . To onda
∗
znaˇci da je skup B ∪ {v} linearno zavisan, a na osnovu Leme 2.5 onda
imamo v ∈ L(B ∗ ). Ovo znaˇci da je L(B ∗ ) = V , tj. B ∗ je baza prostora V .
♣
Ako je B baza prostora V i ako je card(B) = n ∈ N, kaˇzemo da je
V konaˇcnodimenzionalan prostor dimenzije n. Ukoliko je card(B) = ℵ0 ,
kaˇzemo da je prostor beskonaˇcnodimenzionalan.
57
2.1. Linearni vektorski prostori
Primjer 2.4. U prostorima lp (Φ) = lp (1 ≤ p < +∞) vektori
en = (0, 0, 0, . . . , 1, 0, . . .) ; n ∈ N ,
|
{z
}
n−ˇ
clanova
su linearno nezavisni vektori i kako ih ima beskonaˇcno mnogo, prostori lp su
beskonaˇcnodimenzionalni.
Hamelovu bazu u prostoru c (konvergentnih nizova) ˇcine vektori
e1 = (1, 1, 1, ..., 1, ..) , en = (0, 0, 0, ...,
1
|{z}
, 0, ...) n ∈ N, n > 2 .
(n−1)−to mjesto
♦
Primjer 2.5. Na prostoru C[0, 1] posmatrajmo funkcije fn definisane sa
fn (t) =
1



b
; t ∈ [0, 1] \ [2−n − 2−(n+2) , 2−n + 2−(n+2) ]
t − 2−n + 2−(n+2) ;
t ∈ [2−n − 2−(n+2) , 2−n ]
−n
−(n+2)
2 +2
−t ;
t ∈ [2−n , 2−n + 2−(n+2) ]
0
2n+2
2n+2
f1
1
|
|
b
3
8
5
8
1
f2
b
|
1
b
|
3 5
16 16
1
fn
b
|
|
3
5
2n+2 2n+2
b
1
Slika 2.2: Linearno nezavisne funkcije u C[0, 1]
Kako su intervali In = [2−n − 2−(n+2) , 2−n + 2−(n+2) ] (n ∈ N), na kojima
je fn 6= 0, medusobno disjunktni, lagano se pokazuje linearna nezavisnost
vektora {fn | n ∈ N}, pa je i C[0, 1] beskonaˇcnodimenzionalan prostor. ♦
Joˇs u dokazu teorema o kompletiranju, imali smo priliku vidjeti kako na
koliˇcniˇckom skupu moˇzemo raditi kao na bilo kom drugom skupu: definisati operacije, metriku i sl. Uvedimo sada koliˇcniˇcki prostor kao linearan
vektorski prostor.
Neka je X proizvoljan linearan vektorski prostor i neka je V neki njegov
potprostor. Uvedimo na X relaciju
def
x, y ∈ X , x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ V .
58
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Trivijalno se pokazuje da je ovako uvedena relacija refleksivna, simetriˇcna i
tranzitivna, a time relacija ekvivalencije. Dakle, ovako uvedenom relacijom
prostor X moˇzemo razbiti na klase ekvivalencija, a skup svih klasa ekvivalencija nazivamo koliˇcniˇckim skupom, i za razliku od ranije koriˇstene oznake,
ovdje ´cemo taj skup iz praktiˇcnih razloga oznaˇcavati sa X/V .
U svakom koliˇcniˇckom skupu moˇzemo uvesti operacije sabiranja i mnoˇzenja
skalarom. Zaista, neka su ξ i η proizvoljne dvije klase iz X/V . Izaberimo
po jedan element iz svake od tih klasa, npr. x ∈ ξ i y ∈ η. Neka je ζ ona
klasa ekvivalencije koja sadrˇzi element x + y. Stavimo sada da je
ζ = ξ +η .
Analogno, za a ∈ Φ, neka je θ ona klasa koja sadrˇzi element ax. Mnoˇzenje
skalarom onda uvodimo sa
θ = aξ .
Lahko se provjerava da ovako uvedene operacije ne ovise od izbora predstavnika klasa i da zadovoljavaju aksiome vektorskog prosora. Time smo na
skupu X/V definisali unutraˇsnju i spoljaˇsnju kompoziciju, ˇcime on sam za
sebe postaje jedan linearan vektorski prostor.
Definicija 2.7. Neka je X proizvoljan linearan vektorski prostor i V njegov potprostor. Dimenziju koliˇcniˇckog prostora X/V nazivamo kodimenzija
potprostora V u prostoru X.
Dokaz sljede´ce jednostavne tvrdnje ostavljen je ˇcitaocu za vjeˇzbu.
Lema 2.8. Ako je X konaˇcnodimenzionalan linearan vektorski prostor dimenzije n, a V njegov potprostor dimenzije k, onda je koliˇcniˇcki prostor
dimenzije n − k.
Sljede´ca tvrdnja je neˇsto opˇstijeg karaktera.
Teorem 2.9. Neka potprostor V ⊂ X ima kodimenziju n. Tada u X postoje elementi x1 , x2 , ..., xn , takvi da za svako x ∈ X, postoji jedinstvena
reprezentacija
x = a1 x1 + a2 x2 + · · · an xn + y ,
gdje su a1 , a2 , ..., an ∈ Φ i y ∈ V .
Dokaz : Neka je kodimenzija potprostora V u X jednaka n, tj. dimenzija
koliˇcniˇckog prostora X/V je n, pa u njemu postoje linearno nezavisni vektori
ξ1 , ξ2 , ..., ξn , koji ˇcine bazu tog prostora. Iz svake od klasa ξi izaberimo po
jednog predstavnika xi , te klase.
Neka je sada x ∈ X proizvoljan i neka je ξ ona klasa ekvivalencije koja ga
sadrˇzi. Zbog baze, postoje jedinstveni λ1 , λ2 , ..., λn ∈ Φ, takvi da je
ξ = λ1 ξ1 + λ2 ξ2 + · · · + λn ξn .
59
2.2. Normirani prostori
Sada zakljuˇcujemo da i x i λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λn xn pripadaju istoj klasi,
a to znaˇci da se ova dva elementa razlikuju do na element iz skupa V , tj.
vrijedi
x = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λn xn + y , y ∈ V .
Dokaz jedinstvenosti ostaje ˇcitaocu za vjeˇzbu. ♣
Definicija 2.8. Neka je L proizvoljan potprostor linearnog vektorskog prostora X, kodimenzije 1. Za potprostor L tada kaˇzemo da je hiperpovrˇs u
prostoru X.
Hiperpovrˇs u jednodimenzionalnom prostoru je taˇcka, u dvodimenzionalnom prostoru je prava, u trodimenzionalnom prostoru to je ravan itd. Generalno, u n-dimenzionalnom prostoru, hiperpovrˇs je generisana nedegenerisanom linearnom jednaˇcinom
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b ,
gdje nedegenerisanost znaˇci da nisu svi ai (i ∈ {1, 2, ..., n}) istovremeno
jednaki 0.
2.2
Normirani prostori
Definicija 2.9. Neka je X linearan vektorski prostor na kome je definisana
funkcija || · || : X → R+ ∪ {0}, sa sljede´cim osobinama:
1. (∀x ∈ X) ||x|| ≥ 0,
2. ||x|| = 0, ako i samo ako x = 0,
3. (∀λ ∈ Φ)(∀x ∈ X) ||λx|| = |λ| ||x||,
4. (∀x, y ∈ X) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Tada za funkciju ||·|| kaˇzemo da je norma na X, a za X kaˇzemo da je
normiran linearan vektorski prostor.
Ako je na X definisana norma ||·||, izraz ”||x||” ˇcitamo ”norma vektora x”.
Lema 2.10. Neka je X normiran linearan vektorski prostor. Tada za proizvoljne x, y ∈ X vrijedi
| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y|| .
Dokaz : Neka su x, y ∈ X proizvoljni. Iz relacije trougla imamo
||x|| = ||x − y + y|| ≤ ||x − y|| + ||y|| ,
60
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
odnosno,
||x|| − ||y|| ≤ ||x − y|| .
(2.1)
Prostom zamjenom uloga x i y, dobijamo
||y|| − ||x|| ≤ ||x − y|| ,
ili
− ||x − y|| ≤ ||x|| − ||y|| .
(2.2)
Iz (2.1) i (2.2) dobijamo traˇzenu nejednakost. ♣
Primjer 2.6. Primjeri normi na nekim poznatim nam skupovima:
1. Za x ∈ c ili x ∈ c0 , ||x|| = sup |xn |.
n∈N
2. Za x ∈ lp (1 ≤ p < ∞), ||x|| =
∞
X
i=1
!1
p
|xi |p
.
3. Za x ∈ l∞ , ||x|| = sup |xn |.
n∈N
4. Za x ∈ C[a, b], ||x|| = max |x(t)|.
a≤t≤b
5. Za x ∈ Lp (Ω) (1 ≤ p < ∞), ||x|| =
Z
p
Ω
|x(t)| dt
1
p
.
♦
Definiˇsimo sada pomo´cu norme, funkciju d : X × X → R+ ∪ {0}, na sljede´ci
naˇcin
d(x, y) = ||x − y|| , x, y ∈ X .
Nije teˇsko provjeriti da ovako definisana funkcija zadovoljava sve uslove Definicije 1.1, pa je na ovaj naˇcin uvedena metrika na X, za koju kaˇzemo da
je inducirana normom u datom prostoru. Samim tim imamo da je svaki
normiran linearan vektorski prostor ujedno i metriˇcki prostor, te sve ˇsto je
reˇceno za metriˇcke prostore vrijedi i za normirane prostore.
Takode vrijede i nejednakosti H¨oldera i Minkowskog, a one u normiranim
prostorima glase
Lema 2.11 (Nejednakost H¨
oldera).
Za x ∈ lp i y ∈ lq , gdje su 1 < p, q < +∞ konjugovani brojevi, vrijedi
∞
X
n=1
|xn yn | ≤ ||x||lp ||y||lq .
61
2.3. Konvergencija u normiranim prostorima
Lema 2.12 (Nejednakost Minkowskog).
Neka su x, y ∈ lp (1 ≤ p < +∞). Tada i x + y ∈ lp i vrijedi
||x + y||lp ≤ ||x||lp + ||y||lp .
I pojam izometrije iz metriˇckih prostora sada dobija novu formu.
Definicija 2.10. Dva normirana prostora (X, ||·||) i (Y, ||·||) su izometriˇcki
izomorfni, ili jednostavnije izometriˇcni, ako postoji izomorfizam f : X → Y ,
takav da za proizvoljan x ∈ X vrijedi
||f (x)||Y = ||x||X .
2.3
Konvergencija u normiranim prostorima
Prenose´ci poznato nam iz metriˇckih prostora sada imamo, za niz (xn )n∈N ⊆
X kaˇzemo da konvergira ka elementu x0 ∈ X, ako vrijedi
||xn − x0 || → 0 , (n → ∞) .
Tada kaˇzemo da niz (xn )n∈N konvergira po normi ka elementu x0 . Niz
(xn )n∈N ⊂ X je Cauchyjev ako vrijedi
||xn − xm || → 0 , (n, m → ∞) .
Definicija 2.11. Za skup A, podskup normiranog prostora X kaˇzemo da je
ograniˇcen, ako vrijedi
(∃M > 0)(∀x ∈ A) ||x|| ≤ M .
Kako je svaki konvergentan niz i ograniˇcen, to ako vrijedi xn → x0 (n →
∞), onda je ||xn || ≤ M , za neko M > 0 i za svako n ∈ N.
Lema 2.13. Neka su (xn )n∈N i (yn )n∈N konvergentni nizovi u normiranom
linearnom vektorskom prostoru X. Tada je i niz (xn + yn )n∈N konvergentan
u X.
Dokaz : Neka xn → x0 i yn → y0 (n → ∞), tj.
||xn − x0 || → 0 , ||yn − y0 || → 0 , n → ∞ .
(2.3)
Sada vrijedi
||(xn + yn ) − (x0 + y0 )|| = ||(xn − x0 ) + (yn − y0 )|| ≤ ||xn − x0 ||+||yn − y0 || ,
(2.4)
pa zbog (2.3), izraz na desnoj strani u (2.4) teˇzi ka 0, tj. vrijedi
xn + yn → x0 + y0 , (n → ∞)
62
♣
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Lema 2.14. Neka je (xn )n∈N konvergentan niz u normiranom linearnom
vektorskom prostoru X i neka je (λn )n∈N konvergentan niz skalara. Tada je
i niz (λn xn )n∈N konvergentan u X.
Dokaz : Neka xn → x0 i λn → λ0 (n → ∞). Tada imamo
||λn xn − λ0 x0 || = ||(λn − λ0 )xn + λ0 (xn − x0 )||
≤ ||(λn − λ0 )xn || + ||λ0 (xn − x0 )||
= |λn − λ0 | ||xn || + |λ0 | ||xn − x0 || .
Zbog ograniˇcenosti niza (xn )n∈N , zakljuˇcujemo da posljednji izraz teˇzi ka 0,
kada n → ∞, pa dakle vrijedi
λn xn → λ0 x0 , (n → ∞) .
♣
Ako u prostoru X imamo algebarsku bazu, tada se svaki vektor tog prostora
moˇze na jedinstven naˇcin prikazati kao linearna kombinacija vektora baze,
tj. za x ∈ X
X
xi ei ,
x=
i∈I
gdje je {ei | i ∈ I} baza prostora. Skalare xi (i ∈ I) nazivamo koordinatama
vektora x. Ako sada posmatramo neki niz (xk )k∈N u tom prostoru, onda
zajedno sa njim moˇzemo posmatrati i nizove njegovih koordinata (xni )n∈N ,
za i ∈ N.
Definicija 2.12. Neka je (xk )k∈N niz u normiranom prostoru X. Ukoliko
su svi nizovi koordinata tog niza konvergentni, tj.
(∀i ∈ N) xni → x0i , (n → ∞) ,
kaˇzemo da niz (xk )k∈N konvergira po koordinatama.
Teorem 2.15. U konaˇcnodimenzionalnim normiranim prostorima konvergencija po normi i konvergencija po koordinatama su ekvivalentne.
Dokaz : Neka je X n-dimenzionalan normiran prostor sa bazom {e1 , e2 , ..., en }
i neka je niz (xk )k∈N ⊂ X. Tada za svako k ∈ N imamo
xk =
n
X
xki ei .
i=1
Pretpostavimo da je niz (xk )k∈N konvergentan po koordinatama,
tj. neka
P
xki → x0i (k → ∞), za i = 1, 2, ..., n . Oznaˇcimo sa x0 = ni=1 x0i ei , onda
63
2.3. Konvergencija u normiranim prostorima
imamo
n
n
X
X
0
k
0
xk − x = (xi − xi )ei ≤
|xki − x0i | ||ei ||
i=1
≤
i=1
max ||ei ||
1≤i≤n
n
X
i=1
|xki − x0i | .
Posljednji izraz teˇzi ka 0, kada pustimo da k → ∞, pa zakljuˇcujemo da
xk → x0 (k → ∞), tj. niz je konvergentan i po normi.
Pretpostavimo sada da niz (xk )k∈N konvergira po normi elementu x0 i
neka vrijede reprezentacije tih elemenata u bazi prostora, kao ˇsto smo to
uveli gore. Pokaˇzimo da su u tom sluˇcaju svi nizovi koordinata naˇseg niza
ograniˇceni.
Pretpostavimo da to nije taˇcno, tj. da za neko i0 ∈ {1, 2, ..., n} je xki0 → +∞
(ili xki0 → −∞) (k → ∞) (u stvari postoji podniz ovog niza, ali ne´cemo
izgubiti na opˇstosti ako pretpostavimo da to vrijedi za ˇcitav niz). Ako sa σk
oznaˇcimo sumu modula koordinata k-tog elementa naˇseg niza, tj.
σk =
n
X
i=1
|xki | ,
onda zbog uˇcinjene pretpostavke mora biti σk → +∞ (k → ∞).
Formirajmo sada novi niz (yk )k∈N , zadat sa
n
yk =
X
xk
=
yik ei ,
σk
i=1
xk
gdje je yik = σik . Kako σk → ∞, to onda yk → 0, jer je niz (xk )k∈N , zbog
konvergencije, ograniˇcen. Osim toga vrijedi
|yik | =
|xki |
≤1,
σk
tj. nizovi koordinata niza (yk )k∈N su ograniˇceni, pa prema Bolzano-Weierstrassovom teoremu, postoji podniz (kj )j∈N niza prirodnih brojeva, tako da
za svako i = 1, 2, ..., n vrijedi
k
yi j → yi0 , (j → ∞) .
Ovo onda znaˇci da podniz (ykj )j∈N ⊆ (yk )k∈N konvergira po koordinatama
ka elementu
n
X
y0 =
yi0 ei .
i=1
64
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Medutim, kako smo ve´c utvrdili yk → 0 (k → ∞), a onda i svaki njegov
podniz mora konvergirati ka 0, tj. mora vrijediti
0
y =
n
X
yi0 ei = 0 .
i=1
Zbog linearne nezavisnosti vektora baze zakljuˇcujemo onda da je
yi0 = 0 , za svako i = 1, 2, ..., n .
Ovo ipak nije mogu´ce jer vrijedi
n
X
i=1
a pri tome je
n
X
i=1
k
|yi j | =
k
|yi j | →
n
X
i=1
n
k
X
|x j |
i
i=1
σk j
=1,
|yi0 | = 0 , (kj → ∞) .
Dobijena kontradikcija znaˇci da su svi nizovi
(xki )k∈N , i = 1, 2, ..., n
ograniˇceni (preciznije, dokazali smo da su za ograniˇcen niz, svi nizovi njegovih koordinata ograniˇceni).
Posmatrajmo sada niz (zk )k∈N , definisan sa
xk − x0
, k∈N.
||xk − x0 ||
(Podrazumijevamo da je xk − x0 6= 0). Kako je on ograniˇcen, jer
zk =
||zk || = 1 , za svako k ∈ N ,
zakljuˇcujemo da su i svi nizovi njegovih koordinata ograniˇceni. Dakle, nizovi
k
xi − x0i
, i = 1, 2, ..., n
||xk − x0 || k∈N
su ograniˇceni. Kako smo pretpostavili konvergenciju po normi, tj. xk − x0 →
0 (k → ∞), gornje ´ce biti taˇcno jedino u sluˇcaju ako za svako i = 1, 2, ..., n
vrijedi
xki → x0i , (k → ∞) ,
a ovo ne znaˇci niˇsta drugo do konvergenciju po koordinatama naˇseg niza. ♣
Sljede´cim primjerom pokazujemo da ove dvije konvergencije nisu ekvivaˇ viˇse, pokazuje se da je
lentne u beskonaˇcnodimenzionalnim prostorima. Sta
konvergencija po normi ”jaˇca” od konvergencije po koordinatama.
65
2.4. Banachovi prostori
Primjer 2.7. Posmatrajmo u prostoru lp (1 ≤ p < ∞) niz vektora (en )n∈N ,
gdje je
en = (0, 0, 0, . . . , 1, 0, . . .) .
{z
}
|
n−ˇ
clanova
Za nizove koordinata ovih vektora vidimo da za dovoljno veliko k ∈ N, je
|ekn − 0| = 0 (za proizvoljno k > n), pa svi nizovi koordinata su konvergentni
ka 0.
Medutim, za n, m ∈ N, n 6= m, vrijedi
||en − em || =
∞
X
i=1
!1
p
|ein − eim |p
1
= 2p ,
pa zakljuˇcujemo da niz (en )n∈N nije Cauchyjev, a tim prije nije ni konvergentan. ♦
2.4
Banachovi prostori
Iz metriˇckih prostora preuzimamo i definiciju kompletnosti, tj. normiran
prostor je kompletan, ako je u njemu svaki Cauchyjev niz konvergentan.
Sada definiˇsimo i glavni pojam ove glave.
Definicija 2.13. Kompletan, normiran, linearan vektorski prostor se naziva
Banachov prostor.
Primjer 2.8. Neki od standardnih primjera Banachovih prostora su c, c0 , lp
(1 ≤ p ≤ ∞), C[a, b], Lp [a, b], na kojima su norme uvedene kao u Primjeru
2.6. ♦
Sljede´cim primjerom dajemo normiran linearan vektorski prostor koji nije
Banachov.
Primjer 2.9. Posmatrajmo skup C[0, 2], neprekidnih funkcija na segmentu
[0, 2]. Za x ∈ C[0, 2] stavimo
||x|| =
Z
2
0
|x(t)|dt ,
ˇcime smo definisali normu na C[0, 2].
Posmatrajmo sada sljede´ci niz funkcija

1
; x ∈ [0,

1) 1 fn (x) =
1 + n − nx ; x ∈ 1, 1 + n 
0
; x ∈ 1 + n1 , 2
66
, n∈N.
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
1
b
fn
f2
f1
b
b
1
2
Za proizvoljne n, m ∈ N, n 6= m, imamo
1 1
1 ||fn − fm || = − → 0 , (n, m → ∞) .
2 n m
Dakle, (fn )n∈N je Cauchyjev niz. Medutim, oˇcigledno da fn → f ∗ (n → ∞),
gdje je
1 ; x ∈ [0, 1)
f ∗ (x) =
0 ; x ∈ [1, 2]
ali f ∗ ∈
/ C[0, 2], tj. dati Cauchyjev niz nije konvergentan. ♦
Kao i kod metriˇckih prostora i ovdje navodimo ekvivalentan teorem o kompletiranju.
Teorem 2.16. Svaki normiran linearan vektorski prostor se moˇze kompletirati, tj. za svaki normiran linearan vektorski prostor X, postoji kompletan
normiran linearan vektorski prostor X, takav da je X svuda gust u X.
Definicija 2.14. Neka je X Banachov prostor i neka je Y ⊆ X. Ako je
Y sam za sebe Banachov prostor u odnosu na algebarsku i metriˇcku strukturu koju u njemu inducira odgovaraju´ca struktura iz X, kaˇzemo da je Y
Banachov potprostor od X.
Sama ˇcinjenica da je Y vektorski potprostor od X ne mora znaˇciti da je
on i Banachov potprostor, jer se pojam ”vektorski potprostor” odnosi samo
na algebarsku strukturu, dok se pojam ”Banachov potprostor” odnosi i na
algebarsku ali i na metriˇcku strukturu skupa.
Primjer 2.10. Posmatrajmo skup A ⊂ lp koji u sebi sadrˇzi sve nizove koji
imaju samo konaˇcno mnogo koordinata razliˇcitih od nule, tj.
x ∈ A ⇔ x = (x1 , x2 , ..., xn , 0, 0, ...) .
Lahko se provjerava da je A vektorski potprostor od lp . Posmatrajmo niz
1 1
1
(xn )n∈N , xn = 1, , 2 , ..., n , 0, 0, ... , n ∈ N .
2 2
2
67
2.4. Banachovi prostori
Oˇcigledno (xn ) ⊂ A i pri tome je za n, m ∈ N (m < n)
||xn − xm || =
n
X
i=m+1
1
2ip
!1
p
→ 0 , n, m → ∞ .
Dakle, (xn ) je Cauchyjev niz ali on nije konvergentan u A jer oˇcigledno za
niz x∗ = ( 21n )n∈N vrijedi
∗
||xn − x || =
∞
X
i=n+1
1
2ip
!1
p
→0, n→∞,
tj. xn → x∗ (n → ∞), ali x∗ ∈
/ A. ♦
Dokaz sljede´ce proste ˇcinjenice ostavljamo ˇcitaocu za vjeˇzbu.
Lema 2.17. Svaki zatvoreni vektorski potprostor Banahovog prostora je Banachov potprostor.
Iz linearne algebre nam je poznat stav
Teorem 2.18. Svaka dva konaˇcnodimenzionalna linearna vektorska prostora, iste dimenzije, su izomorfni.
Dokaz : Neka su X i Y dva konaˇcnodimenzionalna linearna vektorska prostora, dimenzije n ∈ N. Ako pokaˇzemo da je naprimjer X izomorfan sa Rn ,
onda kako je izomorfizam relacija ekvivalencije, tvrdenje ´ce biti dokazano.
Dakle, neka su vektori e1 , e2 , ..., en baza prostora X i neka je x = (x1 , x2 , ..., xn )
proizvoljan element iz Rn . Definiˇsimo preslikavanje f : Rn → X na sljede´ci
naˇcin,
n
X
f (x) =
xi ei .
i=1
Nije teˇsko vidjeti (provjeriti!) da je f bijektivno preslikavanje. Osim toga
vaˇzi,
f (λx′ + µx′′ ) = λf (x′ ) + µf (x′′ ) ,
pa je f izomorfizam iz Rn u X.
Dakle, X je izomorfan sa Rn , a na isti naˇcin se pokazuje da je Rn izomorfan
sa Y , pa na osnovu tranzitivnosti, zakljuˇcujemo izomorfnost prostora X i
Y. ♣
Kao direktnu posljedicu gornjeg teorema imamo sljede´ca dva tvrdenja.
Posljedica 2.19. Svaki konaˇcnodimenzionalan normiran linearan vektorski
prostor je kompletan.
68
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Drugaˇcije reˇceno, normiran linearan vektorski prostor konaˇcne dimenzije
je Banachov prostor.
Posljedica 2.20. Ako je Y konaˇcnodimenzionalan potprostor normiranog
prostora X, onda je Y zatvoren potprostor od X.
Definicija 2.15. Neka je X normiran linearan vektorski prostor i neka
su ||·||1 i ||·||2 dvije norme definisane na X. Kaˇzemo da su ove norme
ekvivalentne ako postoje konstante C1 , C2 ∈ R, tako da za svako x ∈ X,
vrijedi
C1 ||x||1 ≤ ||x||2 ≤ C2 ||x||1 .
Trivijalno je vidljivo da je ovako uvedena veza izmedu normi na nekom
prostoru, refleksivna, simetriˇcna i tranzitivna, pa je relacija ”ekvivalentnost
normi”, relacija ekvivalencije.
Joˇs jedna specifiˇcnost konaˇcnodimenzionalnih prostora iskazana je sljede´com
tvrdnjom.
Teorem 2.21. Neka je X konaˇcnodimenzionalan normiran prostor. Svake
dvije norme definisane na X, su ekvivalentne.
Dokaz : Neka je X konaˇcnodimenzionalan prostor i neka su ||·||1 i ||·||2
dvije norme definisane na X. Pretpostavimo da one nisu ekvivalentne. To
znaˇci da za svako k ∈ N, postoji xk ∈ X, takav da vrijedi
||xk ||2 > k ||x||1 .
Na ovaj naˇcin smo definisali niz (xk )k∈N ⊂ X. Pomo´cu njega definiˇsimo
novi niz yk = k||xxkk || za koga vrijedi
1
||yk ||1 =
1
→ 0 , (k → ∞) ,
k
tj. yk → 0 po normi ||·||1 . Zbog toga zakljuˇcujemo da niz (yk )k∈N konvergira
i po koordinatama. Kako je X konaˇcnodimenzionalan prostor, onda su u
njemu ove dvije konvergencije ekvivalentne, pa sada iz konvergencije po
koordinatama zakljuˇcujemo da je ovaj niz konvergentan i po normi || · ||2 .
Medutim,
||xk ||2
||yk ||2 =
>1,
k ||xk ||1
pa oˇcigledno ne moˇze vrijediti yk → 0 (k → ∞), a to je kontradikcija. Dakle
za neko C1 i za svako x ∈ X vrijedi,
||x||2 ≤ C1 ||x||1 .
Na analogan se naˇcin pokaˇze da mora vrijediti i druga nejednakost iz definicije ekvivalentnosti normi. ♣
Ovakvu situaciju, ˇsto je ve´c za oˇcekivati, nemamo u beskonaˇcnodimenzionalnim
prostorima. Da se u to uvjerimo, posmatrajmo sljede´ci primjer.
69
2.4. Banachovi prostori
Primjer 2.11. Neka je B[0,1] skup svih ograniˇcenih i integrabilnih funkcija
na segmentu [0, 1]. Definiˇsimo funkcije ||·||1 , ||·||2 : B[0, 1] → R+ ∪ {0} na
sljede´ci naˇcin,
x ∈ B[0, 1] , ||x||1 = max |x(t)| , ||x||2 =
t∈[0,1]
Z
1
0
|x(t)|dt .
ˇ
Citaocu
je ostavljeno da pokaˇze da su ovako definisane funkcije, norme na
B[0, 1]. Posmatrajmo niz funkcija (fn )n∈N , zadat sa
1 ; x ∈ 0, n1 , n∈N.
fn (x) =
0 ; x ∈ n1 , 1
Lahko sada provjeravamo da vrijedi
||fn ||1 = max |fn (t)| = 1 , odnosno ||fn ||2 =
t∈[0,1]
Z
1
0
|fn (t)|dt =
Z
1
n
dt =
0
1
, n ∈ N.
n
Ovo znaˇci da je
lim ||fn ||1 = 1 , lim ||fn ||2 = 0 ,
n→∞
n→∞
iz ˇcega je oˇcigledna neekvivalentnost definisanih normi na B[0, 1]. ♦
Pokaˇzimo joˇs jednu specifiˇcnu vezu izmedu potprostora zadatog Banachovog prostora, gdje opet kljuˇcnu ulogu igra konaˇcnodimenzionalnost.
Teorem 2.22. Neka je X Banachov prostor i neka su L1 i L2 disjunktni
potprostori od X. Ako je bar jedan od potprostora konaˇcne dimenzije, tada
je i L1 ⊕ L2 potprostor od X.
Dokaz : Neka su L1 , L2 ⊆ X disjunktni, tj. L1 ∩ L2 = {0} i neka je
recimo L1 konaˇcne dimenzije. Oznaˇcimo sa L = L1 ⊕ L2 . Za L znamo
da je vektorski potprostor od X, pa nam ostaje pokazati da on mora biti
zatvoren. Neka je (xn )n∈N proizvoljan niz u L, takav da xn → x0 (n → ∞).
Pokaˇzimo da x0 ∈ L. Kako je L direktna suma, to za svako n ∈ N, postoje
x′n ∈ L1 i x′′n ∈ L2 , takvi da je xn = x′n + x′′n .
Pretpostavimo sada da je na ovaj naˇcin formirani niz (x′n )n∈N neograniˇcen,
tj. ||x′n || → +∞ (n → ∞). Formirajmo nove nizove na sljede´ci naˇcin,
yn =
xn
x′n
x′′n
′
′′
,
y
=
,
y
=
.
n
n
||x′n ||
||x′n ||
||x′n ||
Kako je niz (xn )n∈N konvergentan, on je i ograniˇcen, pa zakljuˇcujemo da
yn → 0 (n → ∞).
Za niz (yn′ ) vrijedi, ||yn′ || = 1, tj. on je ograniˇcen niz u konaˇcnodimenzionalnom
70
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
prostoru, pa iz njega moˇzemo izdvojiti konvergentan podniz (yn′ k )k∈N . Kako
je
xn
x′n + x′′n
yn =
=
= yn′ + yn′′ ,
||x′n ||
||x′n ||
onda vrijedi i
ynk = yn′ k + yn′′k .
(2.5)
Sada zbog konvergencije nizova (ynk )k∈N i (yn′ k )k∈N , zakljuˇcujemo da takav
mora biti i niz (yn′′k )k∈N . Neka je yn′ k → y0′ i yn′′k → y0′′ (k → ∞). Iz (2.5),
puˇstaju´ci da k → ∞, imamo
0 = y0′ + y0′′ ,
pri ˇcemu, zbog zatvorenosti potprostora, vrijedi y0′ ∈ L1 i y0′′ ∈ L2 . Kako
su ovi potprostori disjunktni, iz posljednjeg zakljuˇcujemo da mora vrijediti
y0′ = y0′′ = 0. Dakle, yn′ k → 0 (k → ∞), ali to je nemogu´ce zbog ˇcinjenice da
je ||yn′ || = 1 za sve n ∈ N.
Dakle, niz (x′n )n∈N je ograniˇcen niz, pa iz njega moˇzemo izdvojiti konvergentan podniz (x′nk ) i neka je x′nk → x′0 ∈ L1 (k → ∞). Jasno je sada da
zbog ˇcinjenice xnk = x′nk + x′′nk , i konvergencije nizova (xnk )k∈N i (x′nk )k∈N ,
mora i niz (x′′nk )k∈N biti konvergentan. Neka je x′′nk → x′′0 ∈ L2 (n → ∞).
Sada jednakost
xnk = x′nk + x′′nk ,
puˇstaju´ci da k → ∞, prelazi u jednakost
x0 = x′0 + x′′0 ,
pri ˇcemu su x′0 ∈ L1 i x′′0 ∈ L2 , pa zakljuˇcujemo da x0 ∈ L. Dakle, L
sadrˇzi sve svoje taˇcke nagomilavanja, pa je kao takav, zatvoren potprostor,
tj. Banachov potprostor od X. ♣
Da proizvoljna direktna suma potprostora ne mora biti potprostor, pokaˇzimo
primjerom.
Primjer 2.12. U prostoru l2 posmatrajmo podskupove L1 i L2 zadate sa
η2n−1
1
L1 = {(ξn ) ∈ l2 | ξ2n = 0 , n ∈ N} , L2 = (ηn ) ∈ l2 | η2n =
, n ∈ N, r >
.
nr
2
Lahko se provjerava da su L1 i L2 linearni vektorski potprostori od l2 i da su
disjunktni, tj. L1 ∩ L2 = {0}. Posmatrajmo sada nizove (xn )n∈N i (yn )n∈N ,
zadate sa

 0 ; i = 2k
xn = (ξin )i∈N , ξin =
1 ; i = 2k − 1, k = 1, 2, ..., n

0 ; i = 2k − 1, k = n + 1, n + 2, ...
71
2.5. Kompaktnost u Banachovim prostorima
yn = (ηin )i∈N

−1



0
, ηin =
1
−


 kr
0
;
;
;
;
i = 2k − 1, k = 1, 2, ..., n
i = 2k − 1, k = n + 1, n + 2, ...
i = 2k, k = 1, 2, ..., n
i = 2k, k = n + 1, n + 2, ...
Jasno je da xn ∈ L1 , a yn ∈ L2 za svako n ∈ N.
Oznaˇcimo L = L1 ⊕ L2 i stavimo da je zn = xn + yn (n ∈ N). Tada je niz
(zn )n∈N zadat sa

; i = 2k − 1, k = 1, 2, ...
 0
n
n
1
zn = (ζi )i∈N , ζi =
− r ; i = 2k, k = 1, 2, ..., n
 k
0
; i = 2k, k = n + 1, n + 2, ...
Oˇcigledno zn → z0 (n → ∞), gdje je
0
; i = 2k − 1, k = 1, 2, ...
0
0
z0 = (ζi )i∈N , ζi =
1
− kr ; i = 2k, k = 1, 2, ...
z0 ∈ l2 jer je
||z0 || =
∞
X
i=1
!1
2
|ζi0 |2
=
∞
X
i=1
1
(2i)2r
!1
2
<∞.
Medutim, z0 ∈
/ L. Zaista, ako bi to bio sluˇcaj, postojali bi x0 ∈ L1 i
y0 ∈ L2 , takvi da je z0 = x0 + y0 . Ali tada bi moralo biti
1
1
1
x0 = (1, 0, 1, 0, ..., 1, 0, ...) , y0 = −1, − r , −1, − r , ..., −1, − r , ... .
1
2
k
Oˇcigledno x0 ∈
/ L1 i y 0 ∈
/ L2 , pa dakle i z0 ∈
/ L.
Dakle, postoji niz (zn )n∈N ⊂ L, takav da zn → z0 (n → ∞), a z0 ∈
/ L, pa
zakljuˇcujemo da L nije potprostor od l2 . ♦
2.5
Kompaktnost u Banachovim prostorima
U razmatranju osobine kompaktnosti u metriˇckim prostorima, vidjeli smo
da je svaki relativno kompaktan skup ograniˇcen i da je svaki kompaktan
skup zatvoren. Kod konaˇcnodimenzionalnih prostora to su i dovoljni uslovi.
Teorem 2.23. Neka je X konaˇcnodimenzionalan normiran prostor. Da
bi skup A ⊆ X bio relativno kompaktan potrebno je i dovoljno da je on
ograniˇcen skup.
Dokaz : Na osnovu Teorema 1.45 imamo potrebne uslove.
Dokaˇzimo neophodnost. Neka je A ograniˇcen podskup od X i neka je (xk )k∈N
72
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
proizvoljan niz u A. Kako su to ujedno elementi prostora X, a ovaj je
dimenzije n, to vrijedi,
n
X
xk =
xki ei ,
i=1
gdje su ei (i = 1, 2, ..., n) vektori baze prostora X. Zbog ograniˇcenosti niza i
nizovi njegovih koordinata su ograniˇceni, pa za svako i = 1, 2, ..., n, postoji
k
podniz (xi j )j∈N ⊂ (xki )k∈N , takav da
k
xi j → x0i , (j → ∞) .
Ovo znaˇci da podniz (xkj )j∈N ⊂ (xk )k∈N konvergira po koordinatama, pa na
osnovu Teorema 2.15, taj je podniz i konvergentan.
Iz proizvoljnog niza smo izdvojili konvergentan podniz, dakle A je relativno
kompaktan skup. ♣
Teorem 2.24. Neka je X konaˇcnodimenzionalan normiran prostor. Da
bi skup A ⊆ X bio kompaktan potrebno je i dovoljno da je on ograniˇcen i
zatvoren skup.
Sljede´com teoremom dobijamo objaˇsnjenje zaˇsto tvrdenje Teorem 2.23 nije
taˇcno u beskonaˇcnodimenzionalnim prostorima. Naziva se Rieszovom lema
ili ”teorem o skoro normali”.
Teorem 2.25 (Rieszova lema o skoronormali). Neka je L neprazan
pravi potprostor Banachovog prostora X. Tada za svako ε > 0, postoji
xε ∈ X, za koga vrijedi
||xε || = 1
i
d(xε , L) ≥ 1 − ε .
Dokaz : Neka je ε > 0 proizvoljno zadat. Kako je L pravi potprostor od
X, postoji x0 ∈ X \ L. Zbog zatvorenosti L tada vrijedi
d(x0 , L) = d > 0 .
Kako je po definiciji
d(x0 , L) = inf ||x − x0 || ,
x∈L
postoji niz (xn )n∈N ⊂ L, takav da je zadovoljeno
||xn − x0 || = dn −→ d > 0 , (n −→ ∞) .
Ne gube´ci na opˇstosti, moˇzemo smatrati da je dn > 0 za svako n ∈ N.
Formirajmo sada niz
1
yn =
(xn − x0 ) ,
dn
73
2.5. Kompaktnost u Banachovim prostorima
za koga oˇcigledno vrijedi ||yn || = 1, za n ∈ N. Neka je sada x ∈ L proizvoljan,
onda imamo
||yn − x|| =
||x0 − xn − dn x||
||x0 − (xn + dn x)||
=
,
dn
dn
a kako je L potprostor, to xn + dn x ∈ L. Zato moˇzemo zakljuˇciti
||yn − x|| ≥
1
d
inf ||x0 − y|| =
.
dn y∈L
dn
Kako dn −→ d (n −→ ∞), postoji n0 ∈ N, tako da za n ≥ n0 vrijedi
d
>1−ε .
dn
Uzimaju´ci da je xε = yn0 , zakljuˇcujemo da je ||xε − x|| > 1 − ε, za svako x ∈
L. Kako desna strana posljednje nejednakosti ne ovisi o x ∈ L, uzimaju´ci
infimum dobijamo
d(xε , L) = inf ||xε − x|| ≥ 1 − ε ,
x∈L
ˇsto je i trebalo dokazati. ♣
Na osnovu Rieszove teoreme sada jednostavno zakljuˇcujemo da u svakom beskonaˇcnodimenzionalnom Banachovom prostoru postoje ograniˇceni
skupovi koji nisu relativno kompaktni. Zaista, neka je X proizvoljan beskonaˇcnodimenzionalan prostor i neka je x1 ∈ X proizvoljan, takav da je
||x1 || = 1. Posmatrajmo
L1 = {x ∈ X| x = λx1 , λ ∈ Φ} .
Tada je oˇcigledno L1 ⊂ X i dim(L1 ) = 1. Kako je X 6= L1 , prema Rieszovoj
teoremi postoji x2 ∈ X \L1 , takav da je ||x2 || = 1 i d(x2 , L1 ) ≥ 12 , a tim prije
je zadovoljeno ||x2 − x1 || ≥ 12 . Oznaˇcimo sada sa L2 lineal nad vektorima
x1 i x2 . dim(L2 ) = 2 pa je opet X 6= L2 , te na osnovu Rieszove teoreme
postoji x3 ∈ X \ L2 , ||x3 || = 1 i d(x3 , L2 ) ≥ 12 . Lahko provjeravamo da ´ce
vrijediti
1
1
||x3 − x1 || ≥ i ||x3 − x2 || ≥ .
2
2
Nastavimo li ovaj postupak, dobi´cemo niz (xn )n∈N sa osobinama
(∀n ∈ N) ||xn || = 1
,
(∀n, m ∈ N, n 6= m) ||xn − xm || ≥
1
.
2
Zbog prve osobine dobijeni niz je oˇcigledno ograniˇcen, a zbog druge osobine iz njega oˇcigledno ne moˇzemo izdvojiti niti jedan konvergentan podniz.
Dakle, skup {xn | n ∈ N} je ograniˇcen, ali nije relativno kompaktan.
74
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
ε
xε
W
b
B(0, 1)
Slika 2.3: Rieszova lema u (R2 , d2 )
Da bi smo stvorili sliku o onome o ˇcemu govori Rieszova lema, posmatrajmo
dvodimenzionalni euklidski prostor (R2 , d2 ). Svaki jednodimenzionalni potprostor W ovog prostora predstavljen je kao prava linija koja prolazi kroz
koordinatni poˇcetak.
Posmatrajmo jediniˇcnu kuglu B(0, 1) ⊂ R2 i neka je 0 < ε < 1 proizvoljan.
”Opiˇsimo” oko potprostora W traku (osjenˇceni dio na slici) ˇsirine 2ε. Nije
teˇsko vidjeti (Slika 2.3) da postoji element xε koji leˇzi na sferi S(0, 1) (||xε || =
1), a koji je izvan osjenˇcene trake, tj. ˇcija je udaljenost od potprostora W
ve´ca od ε.
2.6
Konveksnost u normiranim prostorima
Definicija 2.16. Neka je X vektorski prostor i x, y ∈ X. Skup
[x, y] = {(1 − t)x + ty | 0 ≤ t ≤ 1} ,
nazivamo segment s krajevima x i y.
Definicija 2.17. Skup A ⊂ X je konveksan ako za bilo koje dvije taˇcke
x, y ∈ A vrijedi [x, y] ⊆ A.
Lema 2.26. Neka je X normiran prostor, x0 ∈ X i r > 0. Kugle B(x0 , r)
i K(x0 , r) su konveksni skupovi u X.
Dokaz : Za x, y ∈ B(x0 , r) i t ∈ [0, 1] imamo
||((1 − t)x + ty) − x0 || = ||(1 − t)(x − x0 ) + t(y − x0 )||
≤ (1 − t) ||x − x0 || +t ||y − x0 || < r .
| {z } | {z }
<r
Analogno se dokazuje sluˇcaj za zatvorenu kuglu. ♣
75
<r
2.6. Konveksnost u normiranim prostorima
Teorem 2.27. Ako je S konveksan podskup normiranog prostora X, onda
je i njegovo zatvorenje S konveksan skup.
Dokaz : Neka su x, y ∈ S, t ∈ [0, 1] i neka je z = (1 − t)x + ty. Neka
su (xn )n∈N , (yn )n∈N ⊂ S takvi da je lim xn = x i lim yn = y. Zbog
n→∞
n→∞
konveksnosti skupa S za svako n ∈ N vrijedi zn = (1 − t)xn + tyn ∈ S, ali
tada
lim zn = lim ((1 − t)xn + tyn ) = (1 − t)x + ty ∈ S .
n→∞
n→∞
♣
Jasno je da je presjek proizvoljna dva konveksna skupa opet konveksan
ˇ viˇse, presjek proizvoljno mnogo konveksnih skupa je i sam koskup. Sta
nveksan.
Definicija 2.18. Neka je X normiran prostor i S ⊆ X. Presjek svih konveksnih skupova koji sadrˇze skup S nazivamo konveksni omotaˇc skupa S i
oznaˇcavamo ga sa conv(S).
Skup conv(S) je presjek svih zatvorenih konveksnih nadskupova od S i nazivamo ga zatvorenje konveksnog omotaˇca skupa S.
Neka su x1 , x2 , ..., xn ∈ X i λi ≥ 0 (i = 1, 2, ...n) takvi da je
Za elelemt x =
x1 , x2 , ..., xn .
n
X
n
X
λi = 1.
i=1
λi xi kaˇzemo da je konveksna kombinacija elemenata
i=1
Teorem 2.28. Neka je X normiran prostor i S ⊆ X.
1. conv(S) je skup svih mogu´cih konveksnih kombinacija elemenata iz S.
2. conv(S) = conv(S).
Jasno je da je svaki vektorski prostor, a samim tim i potprostor vektorskog
prostora, konveksan skup. Definiˇsimo sada srodan pojam koji karakteriˇse
jaˇcu osobinu prostora od osobine konveksnosti.
Definicija 2.19. Neka je X normiran prostor. Kaˇzemo da je X strogo
konveksan ako za proizvoljne razliˇcite x, y ∈ S(0, 1) vrijedi
x + y 2 < 1 .
Primjer 2.13. Prostor R2 sa d2 metrikom jeste strogo konveksan prostor
(slika desno), ali prostor R2 sa metrikom d1 nije strogo konveksan prostor
(slika lijevo).
♦
76
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
x+y
2
x+y
2
y
y
x
x
(a) Sfera u metriˇckom prostoru (R2 , d1 ).
(b) Sfera u metriˇckom prostoru (R2 , d2 ).
Teorem 2.29. U normiranom prostoru X sljede´ci iskazi su ekvivalentni:
1. X je strogo konveksan.
2. Ako za proizvoljne x, y ∈ S(0, 1), vrijedi [x, y] ⊆ S(0, 1), onda je x = y.
3. Ako je za nenula elemente x, y ∈ X zadovoljeno ||x + y|| = ||x|| + ||y||,
onda postoji λ > 0 takav da je x = λy.
77
3
Linearani operatori
3.1
3.2
3.3
3.4
Ograniˇ
cenost i neprekidnost
Inverzni operator . . . . . .
O joˇ
s dva principa . . . . . .
Zatvoreni operator . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
88
92
97
Neka su X i Y dva proizvoljna prostora. Preslikavanje A : X → Y nazivamo operator, pri ˇcemu koristimo standardnu definiciju preslikavanja.
Dakle, pod terminom operator podrazumijevamo najopˇstiji oblik preslikavanja, tj. kada se podruˇcje originala nalazi u proizvoljnom prostoru X, a
podruˇcje slika u proizvoljnom prostoru Y . Sa DA ⊆ X ´cemo oznaˇcavati
domen preslikavanja operatora A i podrazumijevamo da je on linearan vektorski prostor. Sa RA ⊆ Y (ili sa Rang(A)) oznaˇcavamo podruˇcje slika ili
kodomen operatora A. Za x ∈ X, djelovanje operatora A uobiˇcajeno ´cemo
zapisivati sa Ax, umjesto A(x).
3.1
Ograniˇ
cenost i neprekidnost
Definicija 3.1. Za operator A : X → Y kaˇzemo da je aditivan ako i samo
ako za proizvoljne x1 , x2 ∈ DA ⊆ X, vrijedi
A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 .
Definicija 3.2. Za operator A : X → Y kaˇzemo da je homogen ako i samo
ako vrijedi
(∀x ∈ DA ⊆ X)(∀λ ∈ Φ) A(λx) = λAx .
Definicija 3.3. Za operator A : X → Y kaˇzemo da je linearan operator ako
i samo ako je on istovremeno aditivan i homogen, tj. ako vrijedi
(∀x1 , x2 ∈ DA ⊆ X)(∀λ, µ ∈ Φ) A(λx1 + µx2 ) = λAx1 + µAx2 .
Lema 3.1. Za proizvoljan linearan operator vrijede osobine:
1. A0 = 0.
2. A(−x) = −Ax.
Dokaz :
78
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
1. Iz osobina linearnog vektorskog prostora i linearnosti operatora imamo
Ax = A(x + 0) = Ax + A0 ,
a zbog jedinstvenosti neutralnog elementa za sabiranje imamo A0 = 0.
2. Koriste´ci gornju osobinu i linearnost operatora, imamo
0 = A0 = A(x + (−x)) = Ax + A(−x) ,
iz ˇcega je zbog jedinstvenosti inverznog elementa za sabiranje onda
A(−x) = −Ax.
♣
Definicija 3.4. Neka je A : X → Y linearan operator. Skup
Ker(A) = {x ∈ X| Ax = 0} ,
nazivamo jezgro operatora ili nul-prostor operatora. Skup
Rang(A) = {y ∈ Y | (∃x ∈ X) f (x) = y} ,
nazivamo rang operatora A.
Osobine injektivnosti i surjektivnosti lahko izraˇzavamo preko novouvedenih
skupova. Tako imamo da je linearan operator injektivan ako i samo ako je
Ker(A) = {0}, a surjektivan ako i samo ako je Rang(A) = Y . Bijektivnost
imamo ako je operator istovremeno i injektivan i surjektivan. Takode vrijede
i sljede´ce osobine.
Teorem 3.2. Neka je A : X → Y linearan operator. Tada vrijedi:
1. Ker(A) je potprostor od X.
2. Rang(A) je potprostor od Y .
3. Ako su X i Y konaˇcnodimenzionalni prostori onda je
dim(X) = dim(Ker(A)) + dim(Rang(A)) .
Primjer 3.1. Neka su V i W konaˇcnodimenzionalni linearni vektorski prostori, pri ˇcemu je dim(V ) = m i dim(W ) = n (m, n ∈ N). Neka je BV =
{v1 , v2 , ..., vm } baza prostora V , a BW = {w1 , w2 , ..., wn } baza prostora
W i neka je F : V → W linearno preslikavanje. Za proizvoljan vi (i ∈
{1, 2, ..., m}) njegova slika F vi leˇzi u prostoru W , pa postoje jedinstveni
koeficijenti a1i , a2i , ..., ani ∈ Φ, takvi da je
F vi =
n
X
aji wj .
j=1
79
3.1. Ograniˇcenost i neprekidnost
Oznaˇcimo sa A = [aij ]m×n (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) matricu koju dobijemo
tako ˇsto svaki vektor baze BV preslikamo preslikavanjem F , a pri tome jedinstveno odredene koeficijente postavimo kao kolone matrice A. Za matricu
A kaˇzemo da je matriˇcna reprezentacija linearnog operatora F u odnosu na
baze BV i BW ili jednostavnije to iskazujemo sa time da je A matrica linearnog operatora F .
Ovo nam ustvari govori da su matrice na konaˇcnodimenzionalnim prostorima ustvari linearna preslikavanja. Tojest vrijedi,
Lema 3.3. Neka su V i W linearni vektorski prostori dimenzija m i n respektivno i neka su BV i BW njihove baze. Neka je F : V → W i A = [aij ]m×n .
Matrica A reprezentuje linearan operator F ako i samo ako je za proizvoljan
vektor x ∈ V
Fx = A · x .
Dokaz : Neka je A = [aij ]m×n matrica linearnog operatora F . Za proizvoljan x ∈ V neka je x = (b1 , b2 , ..., bm )T njegova reprezentacija u bazi BV .
Tada imamo,


m
m
X
X


Fx = F
bj vj =
bj F vj
j=1
=
m
X
j=1
bj
j=1
n
X
i=1
aij wi
!
=
n
X
i=1


m
X
j=1

aij bj  wi .
Dakle, vektor F x u bazi BW ima reprezentaciju

T
m
m
m
X
X
X
Fx = 
a1j bj ,
a2j bj , ...,
anj bj  = A · x .
j=1
j=1
j=1
Obratno, neka je B matrica takva da je F x = B · x, za sve x ∈ V i neka je
A matrica operatora F . Biraju´ci vektor x = (1, 0, ..., 0)T ∈ V , oˇcigledno je
prva kolona matrice B jednaka prvoj koloni matrice A. Analogno se utvrduje
jednakost i ostalih kolona, tj. mora vrijediti B = A. ♣
Iz geometrije znamo da je rotacija linearna transformacija. Ako posmatramo R2 kao linearan vektorski prostor neka je Rα : R2 → R2 rotacija
realne ravni za ugao α ∈ [0, 2π]. Neka je {e1 , e2 } = (1, 0)T , (0, 1)T standardna baza u R2 . Tada Rα e1 treba da predstavlja rotirani vektor e1 , a
Rα e2 , rotirani vektor e2 za ugao α. Nije teˇsko vidjeti da vrijedi
Rα e1 = (cos α, sin α)T , Rα e2 = (− sin α, cos α)T ,
tj. operator rotacije je reprezentovan matricom
cos α − sin α
A=
.
sin α
cos α
80
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
1
α
Rα e2
e2
Rα e1
α
e1
1
Slika 3.1: Rotacija ravni za ugao α
Sada za proizvoljan vektor x = (x1 , x2 )T ∈ R2 , na osnovu reprezentacije
linearnih preslikavanja u konaˇcnodimenzionalnim prostorima imamo,
cos α − sin α
x1
x1 cos α − x2 sin α
·
=
Rα x = A · x =
.
sin α
cos α
x2
x1 sin α + x2 cos α
♦
Primjer 3.2. Neka
ˇcetvrtog stepena, definisanih na
je X skup 4svih polinoma
3 + cx2 + dx + e| a, b, c, d, e ∈ R , x ∈ (−1, 1)
(x)
=
ax
+
bx
(−1, 1), tj. X = P
4
i analogno Y = P3 (x) = ax3 + bx2 + cx + d| a, b, c, d ∈ R , x ∈ (−1, 1) .
Posmatrajmo preslikavanje
Du =
du
= u′ , u ∈ X .
dx
Oˇcigledno je operator D sa X u Y . Za u, v ∈ X je D(u+ v) = (u+ v)′ = u′ +
v ′ = Du+Dv. Osim toga je za u ∈ X i λ ∈ Φ, D(λu) = (λu)′ = λU ′ = λDu.
Dakle, D je linearan operator sa prostora X u prostor Y.
Kako je izvod konstante 0, to je jezgro ovog operatora skup svih polinoma
nultog stepena (konstante), dakle Ker(D) 6= {0}, pa operator nije injektivan.
Za proizvoljan polinom tre´ceg stepena v(x) = P3 (x) = ax3 + bx2 + cx + d,
polinom
Z
a
b
c
P4 (x) = P3 (x)dx = x4 + x3 + x2 + dx + C ∈ X ,
4
3
2
te vrijedi Rang(D) = Y , tj. operator je surjekcija.
♦
Definicija 3.5. Za linearan operator A : X → Y kaˇzemo da je neprekidan u
taˇcki x0 ∈ DA ako i samo ako za svaku okolinu V taˇcke Ax0 , postoji okolina
U taˇcke x0 , tako da je za svako x ∈ U , Ax ∈ V .
81
3.1. Ograniˇcenost i neprekidnost
Ako su X i Y metriˇcki prostori, gornju definiciju iskazujemo sa
(∀ε > 0)(∃δ = δ(ε) > 0)(∀x ∈ DA )(dX (x, x0 ) < δ ⇒ dY (Ax, Ax0 ) < ε) ,
a u normiranim prostorima sa
(∀ε > 0)(∃δ = δ(ε) > 0)(∀x ∈ DA )(||x − x0 ||X < δ ⇒ ||Ax − Ax0 ||Y < ε) .
Kaˇzemo da je linearan operator neprekidan na skupu D ako je neprekidan
u svakoj taˇcki skupa D.
Za definisanje pojma neprekidnosti moˇzemo koristiti i nizovnu definiciju.
Definicija 3.6. Za linearan operator A : X → Y kaˇzemo da je neprekidan
u taˇcki x0 ∈ DA ako za proizvoljan niz (xn )n∈N ⊂ X, takav da xn → x0
(n → ∞), vrijedi
Axn → Ax0 , (n → ∞) .
Teorem 3.4. Ako je aditivan operator A : X → Y neprekidan u jednoj taˇcki
domena, onda je on neprekidan na ˇcitavom domenu.
Dokaz : Neka je A : X → Y aditivan operator i neka je x0 ∈ DA taˇcka u
kojoj je operator neprekidan. Neka je sada x ∈ DA proizvoljan. Uzmimo
proizvoljan niz (xn )n∈N ⊂ DA , takav da xn → x (n → ∞). Posmatrajmo
niz (xn − x + x0 )n∈N ⊂ DA . Oˇcigledno vrijedi
xn − x + x0 → x0 , (n → ∞) ,
pa zbog neprekidnosti operatora u taˇcki x0 imamo
A(xn − x + x0 ) → Ax0 , (n → ∞) .
Na osnovu aditivnosti i osobina limesa, sada vrijedi
lim A(xn − x + x0 ) =
n→∞
=
lim (Axn − Ax + Ax0 )
n→∞
lim Axn − Ax + Ax0
n→∞
= Ax0 ,
iz ˇcega je onda
lim Axn = Ax ,
n→∞
tj. operator je neprekidan i u taˇcki x. Zbog proizvoljnosti x ∈ DA , zakljuˇcujemo da je A neprekidan na ˇcitavom skupu DA . ♣
Definicija 3.7. Neka je A : X → Y linearan operator. Kaˇzemo da je A
ograniˇcen linearan operator ako vaˇzi
(∃M > 0)(∀x ∈ X) ||Ax||Y ≤ M ||x||X .
82
(3.1)
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Infimum svih brojeva M za koje vaˇzi (3.1) nazivamo norma operatora A i
oznaˇcavamo je sa ||A||X→Y ili jednostavno sa ||A||, podrazumijevaju´ci djelovanje operatora. Linearan operator je ograniˇcen ukoliko mu je norma
konaˇcna i pri tome onda vrijedi
(∀x ∈ X) ||Ax||Y ≤ ||A||X→Y ||x||X .
Teorem 3.5. Neka je A : X → Y ograniˇcen homogen operator. Tada vrijedi
||A|| =
||Ax||
= sup ||Ax|| = sup ||Ax|| .
x∈X\{0} ||x||
||x||≤1
||x||=1
sup
Dokaz : Oznaˇcimo sa
α=
||Ax||
.
x∈X\{0} ||x||
sup
Tada za svako ε > 0, postoji x′ ∈ X \ {0}, takav da je ||Ax′ || / ||x′ || > α − ε,
tj. ||Ax′ || > (α − ε) ||x′ ||. Na osnovu definicije norme operatora onda imamo
||A|| > α − ε, za proizvoljno ε > 0, odnosno ||A|| ≥ α.
Ako bi bilo ||A|| > α, tada bi za neko ε > 0 vrijedilo ||A|| − α = ε. Tada bi
iz α < ||A|| − ε/2 imali
||Ax||
ε
≤ α < ||A|| − ,
||x||
2
tj. za svako x ∈ X \ {0} bi vrijedilo
ε
||Ax|| ≤ ||A|| −
||x|| .
2
Posljednje nije u saglasnosti sa tim da je norma operatora infimum svih
brojeva koji zadovoljavaju (3.1), pa dakle mora vrijediti
||A|| = α =
||Ax||
.
x∈X\{0} ||x||
sup
Zbog homogenosti operatora dalje imamo
x ||Ax||
sup
= sup A
= sup ||Ax|| .
||x|| ||x||=1
x∈X\{0} ||x||
x∈X\{0}
Ostaje joˇs pokazati drugu jednakost. Naime, ako posmatramo samo elemente koji zadovoljavaju ||x|| ≤ 1, tada imamo
||A|| = α =
||Ax||
||Ax||
≥ sup
≥ sup ||Ax|| .
x∈X\{0} ||x||
||x||≤1 ||x||
||x||≤1
sup
Sa druge strane, kako je supremum na ve´cem skupu ve´ci, to vrijedi
sup ||Ax|| ≥ sup ||Ax|| = ||A|| ,
||x||≤1
||x||=1
83
3.1. Ograniˇcenost i neprekidnost
pa zakljuˇcujemo da mora biti
||A|| = sup ||Ax|| .
||x||≤1
♣
Za linearna preslikavanja vrijedi sljede´ca ”lijepa” osobina.
Teorem 3.6. Linearan operator je neprekidan ako i samo ako je ograniˇcen.
Dokaz : Neka je A : X → Y neprekidan linearan operator. Pretpostavimo
da on nije ograniˇcen. Tada
(∀n ∈ N)(∃xn ∈ X, ||xn || = 1) ||Axn || > n .
Posmatrajmo sada sljede´ci niz,
zn =
xn
, n∈N.
n
Za njega vrijedi
||xn ||
1
= →0, n→∞,
n
n
tj. zn → 0 (n → ∞). Ali tada imamo
||zn || =
||Azn || =
1
||Axn || ≥ 1 , n ∈ N ,
n
a to znaˇci da Azn 9 0 (n → ∞), ˇsto je u suprotnosti sa neprekidnoˇs´cu
operatora.
Neka je sada A ograniˇcen operator, tj. ||A|| < +∞. Uzmimo proizvoljno
x ∈ DA i neka je (xn )n∈N ⊂ DA , takav da xn → x (n → ∞). Zbog
ograniˇcenosti sada imamo
0 ≤ ||Axn − Ax|| = ||A(xn − x)|| ≤ ||A|| ||xn − x|| → 0 , n → ∞ .
Dakle, A je neprekidan u taˇcki x, pa je prema Teoremi 3.4, on neprekidan
operator. ♣
Teorem 3.7. Neka je A : X → Y linearan operator. Operator A je neprekidan ako i samo ako ograniˇcene skupove iz X preslikava u ograniˇcene
skupove u Y .
Dokaz : Neka je A : X → Y ograniˇcen linearan operator, tj.
(∀x ∈ X) ||Ax|| ≤ ||A|| ||x|| , (||A|| < ∞)
i neka je S ⊂ X ograniˇcen skup, tj.
(∃M > 0)(∀x ∈ S) ||x|| ≤ M .
84
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Oznaˇcimo sa S ′ sliku skupa S,
S ′ = {Ax| x ∈ S} .
Za proizvoljno y ∈ S ′ tada vrijedi
||y|| = ||Ax|| ≤ ||A|| ||x|| ≤ M ||A|| = M ′ < ∞ ,
te je S ′ ograniˇcen skup.
Neka A slika ograniˇcene skupove u ograniˇcene skupove. Kako je jediniˇcna
kugla K = {x ∈ X| ||x|| ≤ 1}, ograniˇcen skup u X, to je i skup
AK = {Ax| ||x|| ≤ 1}
ograniˇcen u Y , a to znaˇci
(∃M > 0)(∀y ∈ AK) ||y|| ≤ M ,
odnosno
(∃M > 0)(∀x ∈ X, ||x|| ≤ 1) ||Ax|| ≤ M .
Posljednja ˇcinjenica nije niˇsta drugo do ograniˇcenost operatora ili ˇsto je
ekvivalentno, njegova neprekidnost. ♣
U ispitivanju ograniˇcenosti proizvoljnog operatora A : X → Y prvo nastojimo pokazati da za svako x ∈ X vrijedi ||Ax|| ≤ M ||x||, za neko M > 0 (po
mogu´cnosti najbolju aproksimaciju), ˇcime ustvari pokaˇzemo ograniˇcenost
operatora (||A|| ≤ M ). Pokazati da je ||A|| = M znaˇci na´ci konkretan element x′ ∈ X, za koga je ||Ax′ || = M ||x′ ||. Ovo bi znaˇcilo da je ||A|| ≥ M ,
ˇsto sa ranije pokazanim daje ukupno ||A|| = M .
Primjer 3.3. Posmatrajmo lijevi i desni shift operator na l2 , tj. preslikavanja
AL : l2 → l2 i AR : l2 → l2 , zadata sa
AR x = (0, x1 , x2 , ...) , AL x = (x2 , x3 , x4 , ...) za x = (x1 , x2 , x3 , ...) ∈ l2 .
Oba operatora su oˇcigledno linearna. Pri tome je
||AR x|| =
∞
X
i=1
!1
2
2
|xi |
= ||x|| ,
a odavde je onda ||AR || = 1. Za lijevi shift imamo
||AL x|| =
∞
X
i=2
!1
2
|xi |2
≤
85
∞
X
i=1
!1
2
|xi |2
= ||x|| ,
3.1. Ograniˇcenost i neprekidnost
tako da je ||AL || ≤ 1. Ako posmatramo specijalno vektor oblika x =
(0, x1 , x2 , x3 , ...) ∈ l2 , tada je
||AL x|| =
∞
X
i=2
!1
2
|xi−1 |2
= ||x|| ,
te je ||AL || = 1. ♦
U neˇsto teˇzim primjerima, pretpostavimo da je pokazana ograniˇcenost operatora tojest, za sve x ∈ X vrijedi ||Ax|| ≤ M ||x||. Ako je mogu´ce na´ci niz
(xn )n∈N ⊂ X, takav da je
||Axn ||
→ M , (n → ∞) ,
||xn ||
iz toga onda zakljuˇcujemo da je ||A|| = M .
Primjer 3.4. Posmatrajmo operator T : L2 (a, b) → L2 (a, b) (a, b ∈ R, a < b),
zadat sa
T x(t) = f (t)x(t) ,
gdje je f ∈ C[a, b]. Linearnost se jednostavno pokazuje, a za ograniˇcenost
imamo
Z b
12 Z b
12
2
2
2
||T x|| =
|f (t)x(t)| dt
=
|f (t)| |x(t)| dt
a
≤
a
max |f (t)|
a≤t≤b
Z
b
a
|x(t)|2 dt
12
.
Dakle, ||T x||L2 (a,b) ≤ ||f ||C[a,b] ||x||L2 (a,b) , iz ˇcega onda imamo ||T || ≤ ||f ||C[a,b] .
Kako je f neprekidna funkcija na segmentu [a, b], postoji c ∈ [a, b] u kojoj
funkcija uzima maksimalnu vrijednost (ne gube´ci na opˇstosti, neka je c ∈
(a, b)). Za n ∈ N, posmatrajmo funkcije
1 ; |t − c| < n1
xn (t) =
0 ;
inaˇce
Tada imamo
||T xn ||
n
=
||xn ||
2
Z
1
c+ n
1
c− n
!1
2
2
|f (t)| dt
→ |f (c)| , (n → ∞) ,
zato ˇsto je f neprekidna funkcija. Iz ovoga onda zakljuˇcujemo da je
||T || = |f (c)| = max |f (t)| = ||f ||C[a,b] .
a≤t≤b
♦
86
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Skup svih ograniˇcenih linearnih operatora koji djeluju sa prostora X u
prostor Y oznaˇcavat ´cemo sa L(X, Y ). Na L(X, Y ) moˇzemo definisati operacije sabiranja i mnoˇzenja skalarom. Neka su A, B ∈ L(X, Y ) i neka je
λ ∈ Φ. Za x ∈ X definiˇsemo
def
def
(A + B)x = Ax + Bx , (λA)x = λAx .
Pri tome je DA+B = DA ∩ DB i DλA = DA .
Neka su x, y ∈ X i λ, µ, α ∈ Φ. Tada imamo
(A + B)(λx + µy) = A(λx + µy) + B(λx + µy)
= λAx + µAy + λBx + µBy
= λ(A + B)x + µ(A + B)y ,
αA(λx + µy) = α(λAx + µAy)
= αλAx + αµAy
= λ(αA)x + µ(αA)y .
Dakle, A + B i αA su linearni operatori. Osim toga vrijedi
||(A + B)x|| = ||Ax + Bx|| ≤ ||Ax|| + ||Bx|| ≤ (||A|| + ||B||) ||x|| , x ∈ X ,
i
||(αA)x|| ≤ |α| ||A|| ||x|| ,
pa zakljuˇcujemo da su oni i ograniˇceni operatori, tj. A + B, αA ∈ L(X, Y ),
ˇ viˇse, vrijedi
ˇcime smo pokazali da je L(X, Y ) linearan vektorski prostor. Sta
Teorem 3.8. Neka je X proizvoljan normiran prostor i Y Banachov prostor. L(X, Y ) je Banachov prostor.
Dokaz : Ve´c smo pokazali da je L(X, Y ) linearan vektorski prostor. Kako
je svaki A ∈ L(X, Y ) ograniˇcen operator, onda je veliˇcina
||A|| =
||Ax||
,
x∈X\{0} ||x||
sup
dobro definisana. Pri tome vrijedi:
1. 0 ≤ ||A|| = supx∈X\{0}
||Ax||
||x||
< +∞.
2.
||A|| = 0 ⇔ 0 =
||Ax||
||Ax||
≥
, x ∈ X \ {0}
||x||
||x||
x∈X\{0}
sup
⇔ ||Ax|| ≤ 0 , x ∈ X \ {0}
⇔ ||Ax|| = 0 , x ∈ X \ {0}
⇔ Ax = 0 , x ∈ X \ {0}
⇔ A≡0.
87
(3.2)
3.1. Ograniˇcenost i neprekidnost
3. Za λ ∈ Φ,
||λA|| =
||(λA)x||
||(λA)x||
= |λ| sup
||x||
x∈X\{0}
x∈X\{0} ||λx||
sup
||Ay||
= |λ| ||A|| .
y∈X\{0} ||y||
= |λ| sup
4. ||(A + B)x|| ≤ (||A|| + ||B||) ||x||, tj.
||A + B|| ≤ ||A|| + ||B|| .
Dakle, sa (3.2) je definisana norma na L(X, Y ), te je L(X, Y ) normiran
prostor.
Neka je sada (An )n∈N ⊂ L(X, Y ), proizvoljan Cauchyjev niz, tj. neka je
||An − Am || → 0 , n, m → ∞ .
Tada za proizvoljan x ∈ X imamo
||An x − Am x|| ≤ ||An − Am || ||x|| → 0 , n, m → ∞ ,
odnosno, za svaki x ∈ X, niz (An x)n∈N ⊂ Y je Cauchyjev niz. Zbog kompletnosti prostora Y , ovi nizovi su konvergentni. Oznaˇcimo sa
A0 x = lim An x , x ∈ X .
n→∞
Neka su x, y ∈ X i α, β ∈ Φ proizvoljni. Tada,
A0 (αx + βy) =
=
lim An (αx + βy)
n→∞
lim (αAn x + βAn y)
n→∞
= α lim An x + β lim An y
n→∞
n→∞
= αA0 x + βA0 y ,
pa je A0 linearan operator. Iz cauchyjevosti niza (An )n∈N imamo
ε
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n, m ∈ N) n, m ≥ n0 ⇒ ||An − Am || <
.
2
Ako je x ∈ X, ||x|| ≤ 1, onda za n, m ≥ n0 vrijedi
||(An − Am )x|| ≤ ||An − Am || <
ε
.
2
Drˇzimo li n fiksnim, a pustimo da m teˇzi u beskonaˇcnost, dobijamo iz posljednjeg
ε
||(An − A0 )x|| ≤ ,
2
88
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
ili
sup ||(An − A0 )x|| ≤
||x||≤1
ε
<ε.
2
Dakle, za svako n ≥ n0 , operator An − A0 je ograniˇcen, pa kako su i An
ograniˇceni operatori, takav mora biti i operator A0 , tj. A0 ∈ L(X, Y ). Osim
toga iz gornjeg imamo
(∀ε > 0)(∃n0 )(∀n ∈ N)(n ≥ n0 ⇒ ||An − A0 || < ε) ,
ˇsto ne znaˇci niˇsta drugo nego da An → A0 (n → ∞), tj. niz (An )n∈N je
konvergentan u L(X, Y ) odnosno, L(X, Y ) je kompletan prostor. Iz svega
reˇcenog imamo da je L(X, Y ) Banachov prostor. ♣
3.2
Inverzni operator
Neka je A : X → Y linearan operator ˇciji je domen DA ⊆ X i kodomen
RA ⊆ Y . Ukoliko za svako y ∈ RA , jednaˇcina y = Ax ima jedinstveno
rjeˇsenje x ∈ DA , onda kaˇzemo da postoji inverzno preslikavanje, u oznaci
A−1 , preslikavanja A i zapisujemo x = A−1 y. Pri tome je DA−1 = RA i
RA−1 = DA . Dakle, za postojanje inverznog operatora linearnog operatora
A : DA → RA , dovoljno je da A bude injektivno preslikavanje.
Teorem 3.9. Ako postoji, inverzni operator linearnog operatora je i sam
linearan operator.
Dokaz : Neka postoji inverzni operator i neka su y1 , y2 ∈ DA−1 = RA i
α, β ∈ Φ proizvoljni. Tada postoje jednoznaˇcni x1 , x2 ∈ DA , takvi da je
Ax1 = y1 i Ax2 = y2 , a ovo znaˇci i x1 = A−1 y1 , x2 = A−1 y2 . Sada imamo,
A−1 (αy1 + βy2 ) = A−1 (αAx1 + βAx2 )
= A−1 A(αx1 + βx2 )
= αx1 + βx2
= αA−1 y1 + βA−1 y2 .
♣
Sljede´ce dvije elementarne tvrdnje za inverzni operator navodimo bez dokaza.
−1
= A.
Teorem 3.10. Ako postoji inverzni operator od A, tada je A−1
Teorem 3.11. Neka za operatore A i B postoje inverzni operatori. Tada
postoji inverzni operator od A ◦ B i vrijedi
(A ◦ B)−1 = B −1 ◦ A−1 .
89
3.2. Inverzni operator
Teorem 3.12. Neka je A : X → Y linearan operator. A ima ograniˇcen
inverzan operator na RA ako i samo ako vrijedi
(∃m > 0)(∀x ∈ X) ||Ax|| ≥ m ||x|| .
−1 1
.
Pri tome vrijedi A ≤ m
(3.3)
Dokaz : Neka A ima ograniˇcen inverzni operator, tj. neka vrijedi
(∃M > 0)(∀y ∈ RA ) A−1 y ≤ M ||y|| .
Kako za svako y ∈ RA , postoji x ∈ DA tako da je A−1 y = x, gornju ˇcinjenicu
moˇzemo iskazati i sa
(∃M > 0)(∀x ∈ DA ) ||x|| ≤ M ||Ax|| ,
odnosno stavljaju´ci da je m =
1
M
imamo
(∃m > 0)(∀x ∈ DA ) ||Ax|| ≥ m ||x|| .
Neka sada vrijedi (3.3) pri ˇcemu A : X → RA ⊆ Y . Neka je Ax = 0 za neko
x ∈ X. Tada na osnovu (3.3) vrijedi
0 = ||Ax|| ≥ m ||x|| ,
a odavde je onda ||x|| = 0, te je x = 0. Dakle, A ima inverzni operator
A−1 : RA → X, pa jednaˇcina y = Ax ima jedinstveno rjeˇsenje x = A−1 y.
Na osnovu ovoga, iz (3.3) onda imamo
(∃m > 0)(∀y ∈ RA ) ||y|| ≥ m A−1 x ,
ili
1
(∃m > 0)(∀y ∈ RA ) A−1 y ≤
||y|| .
m
Ovo znaˇci da je operator A−1 ograniˇcen, a osim toga, prema definiciji
ograniˇcenosti operatora, zakljuˇcujemo i da vrijedi
−1 A ≤ 1 .
m
♣
Lema 3.13. Neka je M svuda gust skup u Banachovom prostoru X. Tada
se svaki nenula vektor x ∈ X moˇze prikazati u formi
x=
∞
X
xn ,
n=1
gdje su xn ∈ M (n ∈ N), takvi da je
||xn || ≤
3
||x|| , n ∈ N .
2n
90
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Dokaz : Neka je x ∈ X proizvoljan. Kako je M svuda gust u X, postoji
x1 ∈ M , takav da je ||x − x1 || ≤ ||x||
2 . Sada vektor x − x1 ∈ X, pa opet
zbog svuda gustosti skupa M , postoji x2 ∈ M , takav da je ||x − x1 − x2 || ≤
||x||
. Na isti naˇcin, postoji x3 ∈ M , takav da je ||x − x1 − x2 − x3 || ≤ ||x||
22
23
odnosno, postoji xn ∈ M , takav da je
||x − x1 − x2 − · · · − xn || ≤
||x||
.
2n
Zbog naˇcina izbora elemenata xn ∈ M (n ∈ N), vrijedi
n
X
xk → 0 , n → ∞ ,
x −
k=1
P
tj. red ∞
k=1 xk konvergira ka elementu x.
Pri tome vrijede sljede´ce ocjene normi,
||x1 || = ||x1 − x + x|| ≤ ||x1 − x|| + ||x|| ≤
3
||x|| ,
2
||x2 || = ||x2 + x1 − x + x − x1 || ≤ ||x2 + x1 − x|| + ||x − x1 || ≤
3
||x|| ,
22
ili za proizvoljno n ∈ N imamo
||xn || = ||xn + xn−1 + · · · + x1 − x + x − x1 − · · · − xn−1 ||
≤ ||xn + xn−1 + · · · + x1 − x|| + ||x − x1 − · · · − xn−1 ||
3
||x|| .
≤
2n
♣
Teorem 3.14. (Banachov teorem o inverznom operatoru) Neka je A
ograniˇcen linearan operator koji obostrano jednoznaˇcno preslikava Banachov
prostor X na Banachov prostor Y . Tada je i inverzni operator A−1 takode
ograniˇcen.
Dokaz : Zbog pretpostavki teorema, preslikavanje A je bijektivno, pa inverzni
operator A−1 postoji. Posmatrajmo u prostoru Y skupove
Mk = y ∈ Y | A−1 y ≤ k ||y|| , k ∈ N .
Pretpostavimo da postojiy0 ∈ Y(y0 6= 0), takav da y0 ∈
/ Mk , niti za jedno
k ∈ N. Tada bi vrijedilo A−1 y0 > k ||y0 || za sve k ∈ N, odnosno
(∀k ∈ N) ||Ax0 || <
1
||x0 || (Ax0 = y0 ) .
k
91
3.2. Inverzni operator
Iz toga onda imamo da je ||Ax0 || = 0, tj. Ax0 = 0 = y0 , a ˇsto je u suprotnosti
sa pretpostavkom da y0 nije nula element.
Dakle, vrijedi
[
Y =
Mk .
k∈N
Zbog kompletnosti prostora Y , na osnovu Berove teoreme o kategorijama,
bar jedan od skupova, neka je to Mn , je gust u nekoj kugli B. Unutar kugle
B, posmatrajmo prsten
P = z ∈ B| α < z − y ′ < β ,
gdje je 0 < α < β, a y ′ ∈ Mn proizvoljan. Translirajmo prsten P , tako da
mu centar bude u nuli, ˇcime dobijamo skup
P0 = {z| α < ||z|| < β} .
Neka je sada z ∈ P ∩ Mn , tada z − y ′ ∈ P0 i pri tome vrijedi
Izraz n 1 +
−1
A (z − y ′ ) ≤ A−1 z + A−1 y ′ ≤ n(||z|| + y ′ )
≤ n(z − y ′ + 2 y ′ )
2 ||y ′ ||
= n z − y ′ 1 +
||z − y ′ ||
2 ||y ′ ||
′ ≤ n z−y
1+
.
α
2||y ′ ||
α
ne zavisi od z i ako stavimo da je
2 ||y ′ ||
N =1+n 1+
,
α
zakljuˇcujemo da z − y ′ ∈ MN . Kako je Mn gust u B, a time i u P , to je
skup MN gust u P0 .
Neka je sada y ∈ Y proizvoljan nenula element. Mogu´ce je izabrati λ ∈ Φ,
takav da je α < ||λy|| < β, tj. da je λy ∈ P0 . Kako je MN gust u P0 , postoji
niz (yk )k∈N ⊂ MN koji konvergira ka λy. Tada niz ( λ1 yk )k∈N konvergira ka
y, a zbog ˇcinjenice da λ1 yk ∈ MN (k ∈ N, λ 6= 0), zakljuˇcujemo da je MN
gust i u Y \ {0}, odnosno i u Y .
Neka je opet y proizvoljan nenula element iz Y . Kako je MN gust u Y , na
osnovu Leme 3.13, postoje yk ∈ MN (k ∈ N), takvi da je
y=
X
k∈N
yk , ||yk || ≤
92
3
||y|| .
2k
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Stavimo xk = A−1 yk ∈ X (k ∈ N). Kako vrijedi
to red
P
k∈N xk
3N ||y||
||xk || = A−1 yk ≤ N ||yk || ≤
,
2k
konvergira ka nekom elementu x ∈ X i pri tome je
||x|| ≤
X
k∈N
Zbog konvergencije reda
∞
X
1
||xk || ≤ 3N ||y||
= 3N ||y|| .
2k
k=1
P
k∈N xk
i neprekidnosti operatora A, imamo
X
X
Ax =
Axk =
yk = y ,
k∈N
k∈N
odakle je onda x = A−1 y. Sada vrijedi
−1 A y = ||x|| ≤ 3N ||y|| ,
za proizvoljno y ∈ Y , a ovo znaˇci da je A−1 ograniˇcen operator. ♣
Stav o inverznom operatoru se uobiˇcajeno iskazuje kao posljedica mnogo
poznatije teoreme o otvorenom preslikavanju.
Teorem 3.15. (Princip otvorenog preslikavanja)
Neka su X i Y Banachovi prostori i neka je A ograniˇcen linearan operator
koji slika X na Y . Tada je A otvoreno preslikavanje, tj. slika otvorenog
skupa u X je otvoren skup u Y .
Dakle, najjednostavnije reˇceno, svako neprekidno, linearno i bijektivno
preslikavanje izmedu dva Banachova prostora ima meprekidno inverzno preslikavanje.
3.3
O joˇ
s dva principa
Medu najbitna tvrdenja funkcionalne analize spadaju i sljede´ca dva. To su
princip konvergencije i princip uniformne ograniˇcenosti.
Teorem 3.16. (Princip uniformne ograniˇ
cenosti)
Neka je τ proizvoljna familija ograniˇcenih linearnih operatora koji djeluju
sa Banachovog prostora X u normiran prostor Y . Neka za svako x ∈ X,
postoji konstanta M (x) > 0 (koja zavisi eventualno samo od x), tako da
vrijedi
(∀ T ∈ τ ) ||T x|| ≤ M (x) .
Tada postoji konstanta M , za koju vrijedi
(∀ T ∈ τ ) ||T || ≤ M .
93
3.3. O joˇs dva principa
Dokaz : Pretpostavimo da familija τ nije ograniˇcena niti na jednoj kugli
u X. Posmatrajmo kuglu K0 = K(0, 12 ) i kako τ nije ograniˇcena ni na njoj,
postoji T = T1 ∈ τ i x1 ∈ K(0, 12 ), tako da je ||T1 x1 || > 1.
Neka je sada r1 proizvoljan, takav da vrijedi
||T1 x1 || − 1 1
0 < r1 < min
,
.
||T1 ||
2
Oznaˇcimo sa K1 = K(x1 , r1 ). Za proizvoljan x ∈ K1 je ||x − x1 || ≤ r1 i pri
tome je
||T1 x|| = ||T1 x1 − T1 (x1 − x)||
≥ ||T1 x1 || − ||T1 (x1 − x)||
≥ ||T1 x1 || − ||T1 || ||x − x1 ||
≥ ||T1 x1 || − ||T1 || r1
> 1.
Dakle, za proizvoljno x ∈ K1 , vrijedi ||T1 x|| > 1.
Polaze´ci sada od kugle K1 = K(x1 , r1 ), na isti naˇcin utvrdujemo postojanje
operatora T2 ∈ τ i x2 ∈ K1 , te kugle K2 = K(x2 , r2 ) ⊂ K1 , takvih da je
(∀x ∈ K2 ) ||T2 x|| > 2 ,
pri ˇcemu je r2 < 212 . Nastavljaju´ci ovaj postupak, dolazimo do niza operatora T1 , T2 , ..., Tn , ... i niza kugli K0 ⊃ K1 ⊃ · · · ⊃ Kn ⊃ · · · ˇciji su
polupreˇcnici r1 , r2 , ..., rn , ..., takvi da je rn < 21n (n ∈ N), i pri tome je
||Tn x|| > n , x ∈ Kn .
Na osnovu teorema o karakterizaciji kompletnosti imamo da je
\
Kn = {x0 } , za neko x0 ∈ X .
n∈N
ˇ viˇse, xn → x0 (n → ∞), gdje je (xn )n∈N niz centara konstruisanih kugli.
Sta
Pri tome je za proizvoljno n ∈ N, ||Tn x0 || > n, a to je nemogu´ce jer smo
pretpostavili da za svako x ∈ X, vrijedi
||T x|| ≤ M (x) .
Dakle, mora postojati kugla K(x′ , r ′ ), takva da je
||T x|| ≤ M ′ ,
za sve x ∈ K(x′ , r ′ ) i za sve T ∈ τ .
94
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Neka je sada x ∈ K(0, r ′ ) proizvoljan. Tada x + x′ ∈ K(x′ , r ′ ), pa za svako
T ∈ τ imamo
||T x|| = −T x′ + T (x + x′ ) ≤ T x′ + T (x + x′ ) ≤ M (x′ ) + M ′ .
Stavimo li M ′′ = M (x′ ) + M ′ , vrijedi
(∀x ∈ K(0, r ′ )) ||T x|| ≤ M ′′ ,
za svako T ∈ τ .
Neka je sada x ∈ X proizvoljan (x 6= 0). Tada je
x ′
||x|| r
x
′
T
r ≤ M ′′ ,
||x||
tj.
||T x|| ≤
Stavimo M =
M ′′
r′ ,
∈ K(0, r ′ ), pa vrijedi
M ′′
||x|| .
r′
dakle vrijedi
(∀ T ∈ τ )(∀x ∈ X) ||T x|| ≤ M ||x|| ,
a ovo upravo znaˇci
(∀ T ∈ τ ) ||T || ≤ M .
♣
Znamo iz matematiˇcke analize da za funkcionalni niz moˇzemo posmatrati
dvije vrste konvergencije, konvergenciju po taˇckama i uniformnu konvergenciju i da je uniformna konvergencija ”jaˇca” od taˇckaste konvergencije.
U opˇstem sluˇcaju iz konvegrencije po taˇckama nemamo uniformnu konvergenciju. Princip uniformne ograniˇcenosti, pojednostavljeno govore´ci, nam
kazuje da pri odredenim uslovima, familija ograniˇcenih linearnih operatora
koja je konvergentna po taˇckama, je i uniformno konvergentna. Dokazani
teorem smo mogli iskazati i u obratnoj formi, tj
Teorem 3.17. Ako niz (||Tn ||)n∈N nije ograniˇcen, tada postoji x∗ ∈ X,
takav da je
lim sup ||Tn x∗ || = +∞ .
n→∞
Ovako iskazan teorem naziva se princip rezonancije.
Teorem 3.18. (Princip konvergencije)
Neka je (Tn )n∈N niz ograniˇcenih linearnih operatora koji djeluju sa normiranog prostora X u Banachov prostor Y . Ako su zadovoljeni uslovi
1. (∃M > 0)(∀n ∈ N) ||Tn || ≤ M .
95
3.3. O joˇs dva principa
2. Postoji lim Tn x, za sve x iz skupa koji je gust u nekoj kugli prostora
n→∞
X.
Tada postoji lim Tn x, za sve x ∈ X i sa
n→∞
T0 x = lim Tn x
n→∞
je definisan ograniˇcen linearan operator T0 , za koga vrijedi
||T0 || ≤ lim inf ||Tn || .
Dokaz : Neka je S skup koji je gust u nekoj kugli K(x0 , r), tako da postoji
lim Tn x, za sve x ∈ S.
n→∞
Neka su sada x ∈ K(x0 , r) i ε > 0 proizvoljni. Tada postoji y ∈ S, takav
ε
da je ||x − y|| < 4M
. Osim toga, zbog konvergencije niza (Tn y)n∈N , za svako
y ∈ S, postoji N ∈ N, tako da za proizvoljne n, m ≥ N , vrijedi
||Tn y − Tm y|| <
ε
.
2
Na osnovu svega ovoga, za n, m ≥ N , sada imamo
||Tn x − Tm x|| = ||(Tn x − Tn y) + (Tn y − Tm y) + (Tm y − Tm x)||
≤ ||Tn (x − y)|| + ||Tn y − Tm y|| + ||Tm (x − y)||
≤ ||Tn || ||x − y|| + ||Tn y − Tm y|| + ||Tm || ||x − y||
≤ 2M ||x − y|| + ||Tn y − Tm y||
ε
ε
< 2M
+ =ε.
4M
2
Ovo znaˇci da je za proizvoljno x ∈ K(x0 , r), niz (Tn x)n∈N Cauchyjev, a kako
se on nalazi u Banachovom prostoru Y , on je i konvergentan, tj. postoji
lim Tn x , x ∈ K(x0 , r) .
n→∞
Neka je sada x ∈ X proizvoljan (x 6= 0). Tada je
x0 +
r
x ∈ K(x0 , r) ,
||x||
pa postoji
r
r
lim Tn x0 +
x = lim Tn x0 + Tn
x
.
n→∞
n→∞
||x||
||x||
Zato ˇsto x0 ∈ K(x0 , r), postoji lim Tn x0 , a to onda znaˇci da mora postojati
n→∞
i
r
lim Tn
x ,
n→∞
||x||
96
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
tj. postoji
lim Tn x .
n→∞
Dakle, za svako x ∈ X, postoji lim Tn x. Definiˇsimo onda za x ∈ X
n→∞
T0 x = lim Tn x .
n→∞
Za proizvoljne x′ , x′′ ∈ X i za proizvoljne α, β ∈ Φ, vrijedi
T0 (αx′ + βx′′ ) =
=
lim Tn (αx′ + βx′′ )
n→∞
lim αTn x′ + βTn x′′
n→∞
= α lim Tn x′ + β lim Tn x′′
=
n→∞
αT0 x′ +
n→∞
′′
βT0 x ,
te je T0 linearan operator.
Za proizvoljno x ∈ X je
||T0 x|| =
lim ||Tn x||
n→∞
= lim inf ||Tn x||
n→∞
≤ lim inf (||Tn || ||x||)
n→∞
= (lim inf ||Tn ||) ||x|| .
n→∞
Iz posljednjeg vidimo da je T0 ograniˇcen operator, i da pri tome vrijedi
||T0 || ≤ lim inf ||Tn || .
n→∞
♣
Pretpostavka o ograniˇcenosti operatora, tj. ||T || < ∞ za T ∈ τ nije
obavezuju´ca da bi supremum normi takvih operatora bio konaˇcan. Naprimjer, neka je I identiˇcno preslikavanje netrivijalnog normiranog prostora
X. Posmatrajmo familiju τ = {nI | n ∈ N}. Jasno je da τ ⊂ L(X, X), ali
oˇcigledno je sup ||nI|| = ∞. Naravno, konsekvenca ovoga je ta da je uslov
n∈N
2. u Teoremu 3.18 zadovoljen na skupu D = {0} koji nije gust u X.
Vidimo da je bitna pretpostavka u obje teoreme kompletnost prostora, i
to u principu uniformne ograniˇcenosti zahtjevamo da je domen X Banachov prostor, a u principu konvergencije zahtjevamo da je kodomen Y Banachov prostor. Ova dva stava kada ih objedinimo, daju poznati BanachSteinhausov stav.
Teorem 3.19. Neka su X i Y Banachovi prostori i neka je (Tn )n∈N niz
ograniˇcenih linearnih operatora koji djeluju sa X u Y . Da bi niz (Tn x)n∈N
konvergirao ka Ax za svako x ∈ X, gdje je A : X → Y ograniˇcen linearan
operator, potrebno je i dovoljno da su zadovoljeni uslovi
97
3.4. Zatvoreni operator
1. Niz (||Tn ||)n∈N je ograniˇcen.
2. Postoji lim Tn x na nekom svuda gustom skupu elemenata.
n→∞
3.4
Zatvoreni operator
Neka su X i Y Banachovi prostori. Sa X × Y oznaˇcavamo Descartesov
produkt skupova X i Y . Ako na X × Y uvedemo unutraˇsnju i spoljaˇsnju
kompoziciju na sljede´ci naˇcin,
• (∀(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X × Y ) (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ),
• (∀(x, y) ∈ X × Y )(∀λ ∈ Φ) λ(x, y) = (λx, λy),
lahko se provjerava da X × Y dobija strukturu vektorskog prostora.
Na X × Y moˇzemo definisati i normu na sljede´ci naˇcin
||(x, y)|| = ||x|| + ||y|| , (x, y) ∈ X × Y ,
u odnosu na koju je X × Y Banachov prostor (pokazati ove dvije tvrdnje!).
Definicija 3.8. Neka je A : X → Y linearan operator. Skup
GA = {(x, Ax)| x ∈ DA } ⊆ X × Y ,
nazivamo grafom operatora A.
Definicija 3.9. Neka su X i Y Banachovi prostori i neka je A : X → Y
linearan operator. Kaˇzemo da je A zatvoren operator ako i samo ako je GA
zatvoren skup u X × Y .
U gornjoj definiciji pod zatvorenoˇs´cu skupa GA se podrazumijeva zatvorenost skupa u odnosu na jaku topologiju na X × Y , indukovanu definisanom
normom na tom prostoru.
Teorem 3.20. Linearan operator A koji slika Banachov prostor X u Banachov prostor Y je zatvoren ako i samo ako iz
1. xn → x0 (n → ∞), (xn )n∈N ⊂ DA i
2. Axn → y0 ,
slijedi x0 ∈ DA i Ax0 = y0 .
Dokaz : Dokaz ostavljen ˇcitaocu za vjeˇzbu! ♣
98
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Definicija 3.10. Neka su A, B : X → Y linearni operatori. Za operator B
kaˇzemo da je proˇsirenje operatora A, u oznaci A ⊂ B, ako i samo ako je
GA ⊂ GB .
Za linearan operator A kaˇzemo da dopuˇsta zatvorenje ako postoji zatvoren operator A1 , takav da je A ⊂ A1 . Operator A1 nazivamo zatvorenjem
operatora A. Ako za proizvoljno drugo zatvorenje A2 operatora A, vrijedi
A1 ⊂ A2 , za A1 kaˇzemo da je minimalno zatvorenje operatora A.
Teorem 3.21. Da bi linearan operator A : X → Y dopuˇstao zatvorenje
neophodno je i dovoljno da zatvorenje GA grafika GA ne sadrˇzi elemente
oblika (0, y) za y 6= 0.
Dokaz : Neka operator A dopuˇsta zatvorenje i neka je A1 njegovo proizvoljno zatvorenje. To znaˇci da je GA ⊂ GA1 i GA1 je zatvoren skup. Zbog
toga je onda GA ⊂ GA1 = GA1 .
Neka je sada (0, y) ∈ GA . Tada je (0, y) ∈ GA1 , te je 0 ∈ DA1 i A1 0 = y.
Kako je A1 linearan operator to mora vrijediti A1 0 = 0, tj. y = 0, pa GA
ne sadrˇzi elemente oblika (0, y), gdje je y 6= 0.
Pretpostavimo sada da GA ne sadrˇzi elemente oblika (0, y), y 6= 0. Oznaˇcimo
sa
DA = x ∈ X| (∃y ∈ Y ) (x, y) ∈ GA .
Skup DA je linearan vektorski prostor. Zaista, GA je linearan jer je on
zatvorenje linearnog prostora GA . Neka su sada x1 , x2 ∈ DA . Tada postoje
y1 , y2 ∈ Y , takvi da je (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ GA . Zbog linearnosti GA , tada je
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ GA ,
a ovo opet znaˇci da je x1 + x2 ∈ DA .
Neka je x ∈ DA i λ ∈ Φ. Tada postoji y ∈ Y , takav da je (x, y) ∈ GA , te
opet imamo da je
λ(x, y) = (λx, λy) ∈ GA .
Dakle, λx ∈ DA .
Sada tvrdimo da za svako x ∈ DA postoji taˇcno jedno y ∈ Y , tako da je
(x, y) ∈ GA . Zaista, da bar jedan y postoji, imamo na osnovu definicije
skupa DA . Pretpostavimo da postoje dva, tj. (x, y), (x, y ′ ) ∈ GA . Zbog
linearnosti skupa GA , vrijedi
(x, y) − (x, y ′ ) = (0, y − y ′ ) ∈ GA ,
a zbog polazne pretpostavke zakljuˇcujemo da mora biti y = y ′ .
Za proizvoljan x ∈ DA , oznaˇcimo sa y = Ax onaj postoje´ci jedinstveni
y ∈ Y . Na taj naˇcin smo definisali novo preslikavanje A, za koga je domen
oˇcigledno, upravo skup DA . Lahko se pokazuje da je A linearan operator,
a takode i to da je graf GA operatora A, upravo GA . Onda je GA zatvoren
99
3.4. Zatvoreni operator
skup, a time je A zatvoren operator. Kako je oˇcigledno GA ⊂ GA = GA ,
jasno je da je A zatvorenje operatora A.
ˇ viˇse, neka je A1 bilo koje zatvorenje operatora A, tj. GA ⊂ GA , onda
Sta
1
je
GA = GA ⊂ GA1 = GA1 ,
a ovo znaˇci da je A ⊂ A1 , odnosno A je minimalno zatvorenje operatora A.
♣
Gornji teorem se moˇze iskazati i u sljede´coj formi
Teorem 3.22. Da bi linearan operator A : X → Y dopuˇstao zatvorenje
potrebno je i dovoljno da ako vrijedi xn → 0 (n → ∞ , xn ∈ DA ) i Axn → y
(n → ∞), onda mora biti y = 0.
Ovaj oblik teorema nam daje naˇcin kako ´cemo izvrˇsiti zatvaranje operatora
ako je to mogu´ce. Naime, ako je gornji uslov ispunjen, onda definiˇsemo
operator A tako da mu je domen skup DA , svih x ∈ X za koje postoji niz
(xn )n∈N ⊂ DA , tako da vrijedi
xn → x , Axn → y , (n → ∞) ,
gdje je y ∈ Y , takav da je
Ax = y = lim Axn .
n→∞
Naravno, ostaje da vidimo kakva je veza izmedu neprekidnosti i zatvorenosti operatora. U dosadaˇsnjim izlaganjima uglavnom smo posmatrali neprekidne operatore. Medutim, i veoma jednostavni operatori, u primjenama
ˇcesti, nisu neprekidni.
Primjer 3.5. Neka je M ⊂ l1 , skup svih nizova iz l1 koji imaju samo konaˇcno
mnogo koordinata razliˇcitih od nula i neka je A : M → l1 , zadat sa
x = (x1 , x2 , ..., xn , 0, 0, ...) ∈ M , Ax = (0, x1 , x2 , ..., xn , 0, 0, ...) .
A je linearan operator za koga je za proizvoljno x ∈ M
||Ax|| =
n
X
k=1
|xk | ≤
∞
X
k=1
|xk | = ||x|| ,
tj. vrijedi ||A|| ≤ 1. Dakle, A je neprekidan operator.
Medutim, posmatramo li niz (xn )n∈N ⊂ M , gdje je xn = ( 12 , 212 , ..., 21n , 0, ...)
(n ∈ N), jasno je da xn → x0 = ( 12 , 212 , ..., 21n , ...) ∈ l1 (n → ∞), ali x0 ∈
/ M,
pa A nije zatvoren operator. ♦
Gornji primjer nam pokazuje da neprekidnost linearnog operatora ne povlaˇci
njegovu zatvorenost. Zato iskaˇzimo sljede´cu tvrdnju, ˇciji dokaz je ostavljen
ˇcitaocu za vjeˇzbu.
100
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Teorem 3.23. Da bi neprekidan linearan operator bio zatvoren, potrebno je
i dovoljno da je on definisan na potprostoru Banachovog prostora.
Sljede´ci primjer nam daje preslikavanje koje jeste zatvoreno ali nije neprekidno.
Primjer 3.6. Posmatrajmo operator
d
dx
: C 1 [0, 1] → C[0, 1], zadat sa
d
f (x) = f ′ (x) .
dx
Za posmatrani operator diferenciranja se lahko pokazuje da je on linearan
operator. Medutim, ako posmatramo niz (fn (x))n∈N ⊂ C 1 [0, 1], gdje je
fn (x) = xn , imamo
d
fn (x) = nxn−1 =n, n∈N.
dx
C[0,1]
Iz ovoga je oˇcigledno da operator diferenciranja nije ograniˇcen operator.
Neka je (gn (x))n∈N ⊂ C 1 [0, 1] proizvoljan niz, takav da
gn → g0 i
dgn
→φ, n→∞,
dx
druga od ovih pretpostavki znaˇci da niz izvoda (gn′ )n∈N uniformno konvergira
ka funkciji φ (po metrici prostora C[0, 1]). Sada za proizvoljno x ∈ [0, 1]
imamo
Z x
Z x
dgn
φ(t)dt =
lim
(t)dt
n→∞
dt
0
0
Z x
dgn
= lim
(t)dt ( zbog uniformne konvergencije )
n→∞ 0
dt
= lim (gn (x) − gn (0))
n→∞
= g0 (x) − g0 (0) .
Dakle,
g0 (x) = g0 (0) +
Z
0
x
φ(t)dt , x ∈ [0, 1] .
Funkcija φ ∈ C[0, 1] jer je ona kao graniˇcna vrijednost uniformno konvergentnog niza neprekidnih funkcija i sama neprekidna. To nam onda gornja
0
jednakost daje da je g0 ∈ C 1 [0, 1], a osim toga jasno je da vrijedi dg
dx = φ
na [0, 1]. Ostaje nam pozvati se na Teorem 3.20 i konstatovati zatvorenost
operatora. ♦
Narednim teoremom dajemo uslove pod kojima ´ce zatvoren operator biti
ograniˇcen i poznat je pod nazivom Banachov teorem o zatvorenom
grafiku.
101
3.4. Zatvoreni operator
Teorem 3.24. Neka je A zatvoren linearan operator koji preslikava Banachov prostor X u Banachov prostor Y . Ako je skup DA skup druge kategorije
u X, onda vrijedi DA = X i A je neprekidan operator.
Dokaz : Za proizvoljan n ∈ N, posmatrajmo skupove
Xn = {x ∈ DA | ||Ax|| ≤ n ||x||} .
Jasno je da vrijedi
DA =
[
Xn .
n∈N
Kako je po pretpostavci DA skup druge kategorije u X, postoji Xn0 koji je
gust u nekoj kugli K(x0 , r) (r > 0).
Neka je sada K(x1 , r1 ), takva da je K(x1 , r1 ) ⊂ K(x0 , r), pri ˇcemu je x1 ∈
Xn0 . Neka je ε > 0 proizvoljan (bez umanjenja opˇstosti pretpostavimo da
je ε < r21 ). Ako je y ∈ X, takav da je ||y|| = r1 , tada je y + x1 ∈ K(x1 , r1 ).
Kako je Xn0 gust u K(x1 , r1 ), postoji z ∈ Xn0 , takav da je ||x1 + y − z|| < ε.
S druge strane imamo
||z|| = ||(z − x1 − y) + (x1 + y)||
≤ ||z − x1 − y|| + ||x1 + y||
≤ ε + ||x1 || + ||y||
r1
≤
+ ||x1 || + r1
2
< 2r1 + ||x1 || .
Takode vrijedi
||z − x1 || = ||(z − x1 − y) + y||
≥ ||y|| − ||z − x1 − y||
r1
.
> r1 − ε ≥
2
Kako su x1 , z ∈ Xn0 ⊂ DA , tada i z − x1 ∈ DA , pa vrijedi
||A(z − x1 )|| ≤ ||Ax1 || + ||Az|| ≤ n0 ||x1 || + n0 ||z|| = n0 (||x1 || + ||z||) .
Iz svega ovoga zakljuˇcujemo
||A(z − x1 )|| ≤ n0 (||x1 || + ||z||)
≤ 2n0 (r1 + ||x1 ||)
2n0 (r1 + ||x1 ||) r1
=
r1
2
2
4n0 (r1 + ||x1 ||)
≤
||z − x1 || .
r1
102
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Oznaˇcimo sa n1 prvi prirodan broj koji nije manji od
nejednakost onda zapisujemo sa
4n0 (r+||x1 ||)
.
r1
Posljednju
||A(z − x1 )|| ≤ n1 ||z − x1 || ,
a ovo znaˇci da z − x1 ∈ Xn1 . Dakle, pokazali smo da za svako y ∈ X, ||y|| =
r1 , postoji element iz Xn1 (to je upravo element z − x1 ), koji proizvoljno
dobro aproksimira element y.
r1
Ako je sada y ∈ K(0, r1 ), tj. neka je ||y|| ≤ r1 , onda za element y1 = ||y||
y,
vrijedi ||y1 || = r1 , pa prema dokazanom, postoji z1 ∈ Xn1 , takav da je za
proizvoljno ε > 0
||y1 − z1 || < ε .
Ovo onda znaˇci
y − ||y|| z1 < ||y|| ε ≤ ε
r1 r1
(jer
||y||
≤ 1) ,
r1
a zbog homogenosti skupova Xn (tj. ako x ∈ Xn , onda i λx ∈ Xn , za
proizvoljno λ ∈ Φ) onda imamo da je za z1 ∈ Xn1 , element z = ||y||
r1 z1 ∈
Xn1 , pa zakljuˇcujemo da proizvoljan y ∈ K(0, r1 ) moˇzemo proizvoljno dobro
aproksimirati elementom z ∈ Xn1 odnosno, Xn1 je gust u kugli K(0, r1 ).
Pokaˇzimo sada da je K(0, r1 ) ⊂ DA . Zaista, neka je x ∈ K(0, r1 ) proizvoljan. Kako je Xn1 gust u K(0, r1 ), postoji y1 ∈ Xn1 , takav da vrijedi
||x − y1 || <
r1
.
2
Ovo znaˇci da je x − y1 ∈ K(0, r1 ), pa opet postoji y2 ∈ Xn1 , takav da je
||x − y1 − y2 || <
r1
.
22
Ako ovaj postupak produˇzimo, dobijamo niz (yk )k∈N ⊂ Xn1 za koga je
||x − (y1 + y2 + · · · + yk )|| <
r1
, k∈N.
2k
Oznaˇcimo sa zk = y1 + y2 + · · · + yk , k ∈ N. Kako yi ∈ Xn1 ⊂ DA (i ∈ N),
tada i zk ∈ DA , a osim toga vrijedi
zk → x , k → ∞ .
Takode imamo
||yk || = ||(yk + yk−1 + · · · + y1 − x) + (x − y1 + y2 + · · · + yk−1 )||
r1
r1
≤
+ k−1
k
2
2
r1
<
.
2k−2
103
3.4. Zatvoreni operator
Neka su sada m, n ∈ N, n > m proizvoljni. Tada imamo
||Azn − Azm || = ||A(zn − zm )||
= ||A(yn + yn−1 + · · · + ym+1 )||
≤ ||Ayn || + ||Ayn−1 || + · · · + ||Aym+1 ||
≤ n1 (||yn || + ||yn−1 || + · · · + ||ym+1 ||)
r
r1
r1 1
< n1 n−2 + n−3 + · · · + m−1
2
2
2 r1 n1
1
1
=
1 + + · · · + n−m−1
2m−1
2
2
r1 n1
<
.
2m−1
Iz gornjeg zakljuˇcujemo da vrijedi
||Azn − Azm || → 0 , n, m → ∞ ,
a ovo znaˇci da je (Azn )n∈N Cauchyjev niz u Y i zbog potpunosti prostora Y ,
on je i konvergentan. Neka je graniˇcna vrijednost tog niza element y. Tada
imamo za niz (zk )k∈N ⊂ DA
zk → x , k → ∞
Azk → y , k → ∞ ,
pa zbog zatvorenosti operatora zakljuˇcujemo da x ∈ DA i Ax = y, tj.
pokazali smo da je K(0, r1 ) ⊂ DA .
Opet na osnovu homogenosti skupa imamo da je za proizvoljno n ∈ N,
skup nK(0, r1 ) ⊂ DA , a kako je
[
nK(0, r1 ) ,
X=
n∈N
imamo da je X ⊆ DA , tj. mora vrijediti X = DA .
Ostaje nam joˇs pokazati ograniˇcenost operatora A.
Vidjeli smo da za proizvoljno x ∈ K(0, r1 ), postoji niz (zk )k∈N , zk = y1 +
r1
y2 + · · · yk (yi ∈ Xn1 , i ∈ N, ||yk || < 2k−2
), koji konvergira ka x i za koga je
Ax = lim Azn .
n→∞
Odavde je ||Ax|| ≤ limn→∞ ||Azn ||, i pri tome je
||Azn || ≤ n1 (||y1 || + ||y2 || + · · · + ||yn ||) < 4r1 n1 .
r1
Neka je sada x ∈ X proizvoljan. Tada ||x||
x ∈ K(0, r1 ), pa je na osnovu
pokazanog zadovoljeno
A r1 x < 4n1 r1 ,
||x|| 104
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
tj. vrijedi
||Ax|| ≤ 4n1 ||x|| .
Ovo znaˇci da je operator A ograniˇcen, a time je teorem dokazan. ♣
Sljede´ca tvrdnja je direktna posljedica gornje teoreme jer je X kao Banachov prostor, skup druge kategorije u sebi.
Posljedica 3.25. Ako je A zatvoren linearan operator definisan na cijelom
Banachovom prostoru X, onda je A neprekidan operator.
I sljede´ca jednostavna tvrdnja ostavljena je ˇcitaocu za vjeˇzbu.
Teorem 3.26. Ako je linearan operator A zatvoren i ako postoji inverzni
operator A−1 , tada je i A−1 zatvoren operator.
Sljede´cu tvrdnju ne´cemo dokazivati ali se preporuˇcuje ˇcitaocu da je analizom uporedi sa ranije spomenutom teoremom o otvorenom preslikavanju
jer se u literaturi ˇcesto i ovaj teorem naziva ”teorem o otvorenom preslikavanju”.
Teorem 3.27. Neka je A zatvoren linearan operator koji slika Banachov
prostor X u Banachov prostor Y . Neka je RA skup druge kategorije u Y ,
onda vrijedi
1. RA = Y .
2. Postoji konstanta m > 0, takva da za svako y ∈ Y , postoji x ∈ X,
takav da je Ax = y i ||y|| ≥ m ||x||.
3. Ako A−1 postoji, onda je i on ograniˇcen operator.
105
4
Linearni funkcionali
4.1
Geometrijski smisao linearnih funkcionala
. . .
106
4.2
Hahn-Banachov teorem . . . . . . . . . . . . . . .
110
4.3
Reprezentacije ograniˇ
cenih linearnih funkcionala 116
4.3.1
Konaˇcnodimenzionalni prostori . . . . . . . . . . . 116
4.3.2
Reprezentacije na Banachovim prostorima . . . . . 119
Izuˇcavaju´ci operatore i njihove osobine, mi smo ustvari posmatrali preslikavanja sa proizvoljnog protora X u proizvoljan prostor Y . Ukoliko prostor
Y preciziramo, tojest ukoliko je Y = R ili Y = C, onda takvim operatorima
dajemo poseban naziv.
Neka je X proizvoljan linearan prostor. Preslikavanje f : X −→ Φ, gdje
je Φ = R ili Φ = C, nazivamo funkcional. Dakle, fukcionali su specijalna
vrsta operatora, pa sve iskazano o operatorima vrijedi i za funkcionale. Tako
imamo, za funkcional f : X −→ Φ kaˇzemo da je aditivan, ako za proizvoljne
x, y ∈ X vrijedi
f (x + y) = f (x) + f (y) ,
a ako i za proizvoljan λ ∈ Φ vrijedi
f (λx) = λf (x) ,
kaˇzemo da je funkcional homogen. Za homogen i aditivan funkcional jednostavno kaˇzemo da je linearan funkcional.
I normu funkcionala definiˇsemo kao normu operatora, stim da normu u
kodomenu zamjenjujemo sa modulom,
||f || =
|f (x)|
|f (x)|
= sup
= sup |f (x)| .
x∈X\{0} ||x||
||x||≤1 ||x||
||x||=1
sup
Primjer 4.1. Neka je a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn proizvoljan fiksan element.
Tada je sa
n
X
f (x) =
ai xi , x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ,
i=1
definisan linearan funkcional f : Rn −→ R. ♦
106
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Primjer 4.2. Neka je x ∈ C[a, b] proizvoljan. Tada je sa
Z b
x(t)dt ,
f (x) =
a
definisan linearan funkcional f : C[a, b] −→ R. ♦
Primjer 4.3. Za fiksirano t0 ∈ [a, b], sa
g(x) = x(t0 )
je takode definisan linearan funkcional na C[a, b]. ♦
Primjer 4.4. Na prostoru lp (1 ≤ p ≤ +∞) primjer linearnog funkcionala je
f (x) = xk , k ∈ N ,
gdje je x = (xk )k∈N ∈ lp . ♦
Skup svih linearnih neprekidnih funkcionala, definisanih na normiranom
linearnom vektorskom prostoru X, oznaˇcavamo sa X ∗ . Dake, saglasno odgovaraju´cem skupu za operatore imamo da je X ∗ = L(X, Φ). Na osnovu
Teorema 3.8, prostor X ∗ je Banachov prostor jer je Φ takav, i nazivamo ga
dualni, adjungovani ili konjugovani prostor prostora X.
4.1
Geometrijski smisao linearnih funkcionala
Neka je f : X −→ R proizvoljan linearan funkcional definisan na linearnom
vektorskom prostoru X. Kao i kod operatora sa
Ker(f ) = {x ∈ X | f (x) = 0} ,
oznaˇcavamo jezgro funkcionala f . Ker(f ) je linearan vektorski prostor jer
za x, y ∈ Ker(f ) i za proizvoljne λ, µ ∈ Φ imamo
f (λx + µy) = λf (x) + µf (y) = 0 .
Medutim, jezgro funkcionala ne mora biti potprostor prostora X, tj. on nije
ˇ viˇse, vrijedi
obavezno zatvoren skup. Sta
Teorem 4.1. Neka je X normiran prostor i f linearan funkcional na X. f
je ograniˇcen ako i samo ako je Ker(f ) zatvoren skup.
Dokaz : Neka je f ograniˇcen, dakle neprekidan funkcional i neka je (xn )n∈N ⊂
Ker(f ), takav da xn → x (n → ∞). Tada vrijedi
f (x) = f ( lim xn ) = lim f (xn ) = 0 ,
n→∞
n→∞
107
4.1. Geometrijski smisao linearnih funkcionala
tj. x ∈ Ker(f ).
Obratno, neka je Ker(f ) zatvoren skup. Ako je Ker(f ) = X, to znaˇci da
je f funkcional identiˇcki jednak 0, a kao takav je i ograniˇcen. Pretpostavimo
zato da je Ker(f ) 6= X, tj. postoji x0 ∈ X \ Ker(f ). Zbog zatvorenosti
jezgra, postoji r > 0, takav da B(x0 , r) ∩ Ker(f ) = ∅. Ne umanjuju´ci
x0
). Neka je
opˇstost, neka je f (x0 ) = 1 (inaˇce bi umjesto x0 posmatrali f (x
0)
sada x ∈ X proizvoljan, takav da x ∈
/ Ker(f ). Kako je f (x) 6= 0, onda je
x
−
+ x0 ∈ Ker(f ) ,
f (x)
x
+ x0 ∈
/ B(x0 , r). Tada je
a to opet znaˇci da −
f (x)
− x + x0 − x0 ≥ r ,
f (x)
tj.
||x||
|f (x)|
≥ r. Odavde sada imamo da vrijedi
1
|f (x)| ≤ ||x|| ,
r
za svako x ∈
/ Ker(f ), a kako ova nejednakost vrijedi trivijalno i za elemente
jezgra, zakljuˇcujemo da je f ograniˇcen funkcional. ♣
Posljedica 4.2. Neka je f linearan funkcional na normiranom prostoru X.
f je neograniˇcen funkcional ako i samo ako Ker(f ) je pravi podskup od X i
svuda gust u X.
Lema 4.3. Neka je f proizvoljan, netrivijalan ograniˇcen linearan funkcional
na linearnom vektorskom prostoru X. Kodimenzija potprostora Ker(f ) jednaka je 1.
Dokaz : Prije svega, kako je f ograniˇcen funkcional, na osnovu Teoreme
4.1, Ker(f ) je zatvoren pa je kao takav i potprostor od X. Neka je x0 ∈ X,
takav da x0 ∈
/ Ker(f ), tj. f (x0 ) 6= 0 (takav postoji jer je f netrivijalan).
Bez umanjenja opˇstosti, pretpostavimo da je f (x0 ) = 1 (u suprotnom bi
x0
posmatrali element f (x
). Za proizvoljan x ∈ X, oznaˇcimo sa
0)
y = x − f (x)x0 .
Kako je f (y) = f (x − f (x)x0 ) = f (x) − f (x)f (x0 ) = 0, jasno y ∈ Ker(f ).
Dakle, za proizvoljan x ∈ X imamo
x = αx0 + y , gdje je y ∈ Ker(f ) .
Tvrdimo sada da je gornja reprezentacija elementa x jedinstvena. Zaista,
neka je
x = α1 x0 + y1 i x = α2 x0 + y2 , y1 , y2 ∈ Ker(f ) , α1 , α2 ∈ Φ .
108
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Oduzimanjem ove dvije jednakosti bi dobili
(α1 − α2 )x0 = y2 − y1 .
Ako bi bilo α1 6= α2 , tada bi znaˇcilo
x0 =
y2 − y1
∈ Ker(f ) ,
α1 − α2
ˇsto protivrijeˇci izboru elementa x0 . Dakle, reprezentacija je jedinstvena.
Neka su sada x1 , x2 ∈ X. Prema prethodnom postoje jedinstvene reprezentacije
x1 = f (x1 )x0 + y1 , y1 ∈ Ker(f ) ,
x2 = f (x2 )x0 + y2 , y2 ∈ Ker(f ) .
Tada je
x1 − x2 = (f (x1 ) − f (x2 ))x0 + (y1 − y2 ) .
Iz ovoga sada vidimo da ´ce x1 − x2 ∈ Ker(f ) ako i samo ako je f (x1 ) −
f (x2 ) = 0, tj. x1 i x2 pripadaju istoj klasi ekvivalencije koliˇcniˇckog prostora
X/Ker(f ) ako i samo ako je f (x1 ) = f (x2 ).
Oznaˇcimo sa ξ0 onu klasu ekvivalencije koja sadrˇzi element x0 . Ako je sada
ξ proizvoljna klasa ekvivalencije, ona je odredena bilo kojim svojim predstavnikom, a na osnovu gornjeg, za predstavnika moˇzemo izabrati upravo
elemet αx0 . Ovo opet znaˇci da vrijedi
ξ = αξ0 ,
za proizvoljnu klasu ekvivalencije, a to ne znaˇci niˇsta drugo nego da je
dimenzija koliˇcniˇckog prostora X/Ker(f ) jednaka 1. ♣
Lema 4.4. Ukoliko dva linearna funkcionala imaju ista jezgra, onda su oni
proporcionalni.
Dokaz : Neka za linearne funkcionale f i g vrijedi Ker(f ) = Ker(g). Neka
je x0 takav da je f (x0 ) = 1. Tada na osnovu dokaza gornje leme imamo za
proizvoljno x
x = f (x)x0 + y , y ∈ Ker(f ) = Ker(g) .
Djelujmo funkcionalom g na x, dobijamo
g(x) = f (x)g(x0 ) + g(y) = f (x)g(x0 ) .
Ako bi sada imali da je g(x0 ) = 0, to bi znaˇcilo da je funkcional g identiˇcki
jednak nuli, ali onda bi zbog jednakosti jezgara i funkcional f bio identiˇcki
jednak nuli, ˇsto nije mogu´ce zbog izbora elementa x0 . Dakle g(x0 ) 6= 0, a to
onda znaˇci fg(x)
(x) = g(x0 ), za proizvoljno x. ♣
109
4.1. Geometrijski smisao linearnih funkcionala
Lema 4.5. Neka je X linearan vektorski prostor i L njegov potprostor kodimenzije 1. Tada postoji ograniˇcen linearan funkcional na X takav da je
Ker(f ) = L.
Dokaz : Kako je kodimenzija od L u X jednaka 1, postoji x0 ∈ X takav
da se svaki x ∈ X moˇze predstaviti na jedinstven naˇcin u obliku
x = αx0 + y ; α ∈ Φ , y ∈ L .
Definiˇsimo sada funkcional f : X −→ R, sa f (x) = α. Jednostavno se sada
pokazuje da vrijedi Ker(f ) = L. ♣
Neka je L potprostor prostora X, kodimenzije 1. Tada L predstavlja hiperpovrˇs u prostoru X. Medutim, svaka klasa ekvivalencije iz X/L takode
predstavlja hiperpovrˇs datog prostora i to ”paralelnu” potprostoru L. Pri
tome pod ”paralelnoˇs´cu” ovdje podrazumijevamo da se svaka od tih klasa
moˇze dobiti paralelnim pomjeranjem ili translacijom potprostora L za neki
vektor x0 ∈ X,
ξ ∈ X/L , ξ = L + x0 = {y | y = x + x0 , x ∈ L} .
Ako je x0 ∈ L, tada je ξ = L. U suprotnom, ako x0 ∈
/ L, onda je ξ 6= L.
Lema 4.6. Neka je f proizvoljan netrivijalan, ograniˇcen linearan funkcional
na X. Tada je skup
H = {x ∈ X | f (x) = 1} ,
hiperpovrˇs u prostoru X, ˇsta viˇse, paralelna je potprostoru Ker(f ).
Dokaz : Kao ˇsto smo vidjeli, Ker(f ) zaista jeste potprostor od X i pri tome
mu je kodimenzija 1, te je i hiperpovrˇs. Neka je sada y ∈ H proizvoljan, tj.
f (y) = 1. Kako se svaki vektor x ∈ X moˇze predstaviti na jedinstven naˇcin
sa
x = αx0 + y ′ , α ∈ Φ , y ′ ∈ Ker(f ) ,
(za neko x0 ∈ X) to isto ´ce vrijediti i za element y, tj. postoje jedinstveni
α′ ∈ Φ i y ′ ∈ Ker(f ), takvi da je y = α′ x0 + y ′ . Kako je
f (y) = α′ f (x0 ) + f (y ′ ) = α′ f (x0 ) = 1 ,
zakljuˇcujemo da mora biti
α′ =
1
,
f (x0 )
a to daje da se proizvoljan vektor y ∈ H, moˇze predstaviti u obliku
y=
x0
+ y ′ , y ′ ∈ Ker(f ) .
f (x0 )
110
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Ovo ne znaˇci niˇsta drugo nego da je kodimenzija od H u X jednaka 1, tj. H
je hiperpovrˇs, a osim toga iz posljednje jednakosti zakljuˇcujemo da vrijedi
H = Ker(f ) +
x0
.
f (x0 )
♣
ˇ viˇse, vrijedi i obrat ovog tvrdenja.
Sta
Lema 4.7. Neka je H proizvoljna hiperpovrˇs u prostoru X, paralelna potprostoru L ⊂ X. Tada postoji jedinstven ograniˇcen linearan funkcional f na
X, takav da je
H = {x ∈ X | f (x) = 1} .
Dokaz : Neka je za neko x0 ∈ X, H = L + x0 . Tada se svaki vektor x ∈ X
moˇze na jednoznaˇcan naˇcin predstaviti u obliku
x = αx0 + y , y ∈ L .
Stavljaju´ci da je f (x) = α, dobijamo traˇzeni funkcional jer ´ce u tom sluˇcaju
hiperpovrˇs biti odredena sa f (x) = 1. Ako bi postojao i funkcional g na X,
takav da je za x ∈ H, g(x) = 1, tada bi moralo biti g(y) = 0, za y ∈ L, a to
bi zbog
g(αx0 + y) = α = f (αx0 + y) ,
znaˇcilo poklapanje funkcionala. ♣
Sa ove dvije leme smo uspostavili obostrano jednoznaˇcno pridruˇzivanje
izmedu svih hiperpovrˇsi posmatranog prostora X i na njemu definisanih
funkcionala, sa ˇcime smo onda dobili i geometrijsku interpretaciju linearnih
funkcionala
4.2
Hahn-Banachov teorem
U svakom Banachovom prostoru preslikavanje identiˇcki jednako nuli, predstavlja jedan ograniˇcen linearan funkcional. Postavlja se pitanje, da li postoje i drugi, netrivijalni funkcionali na proizvoljnom Banachovom prostoru?
Ako postoje, mogu li im se unaprijed pripisati, i u kojoj mjeri, izvjesne osobine? Specijalno, postoji li ograniˇcen linearan funkcional jednak nuli na nekom pravom potprostoru Banachovog prostora, a da pri tome ne isˇcezava na
ˇcitavom prostoru? Na sva ova pitanja egzistencije, odgovor nam daje HahnBanachov teorem o produˇzenju linearnog ograniˇcenog funkcionala. Bez ovog
teorema, danaˇsnja funkcionalna analiza bi bila sasvim drugaˇcija. Prve rezultate vezane za ovaj teorem dali su Riesz i Helly na samom poˇcetku dvadesetog vijeka, a Hahn i Banach ´ce ga 1920. godine postaviti i dokazati u
danaˇsnjem obliku (za realan sluˇcaj), neovisno jedan od drugog.
111
4.2. Hahn-Banachov teorem
Po svojoj eleganciji i jaˇcini, Hahn-Banachov teorem je omiljen u matematiˇckim krugovima. Neki od ”nadimaka” ovog teorema su ”Analitiˇcka forma
aksioma izbora” i ”Krunski dragulj funkcionalne analize”. Neophodan je
alat u funkcionalnoj analizi, ali i u drugim oblastima matematike, kao ˇsto
su teorija upravljanja, konveksno programiranje, teorija igara, neophodan je
u dokazu egzistencije Greenove funkcije, u formulaciji termodinamike i sl.
Teorem 4.8 (Hahn-Banachov teorem, realan sluˇ
caj). Neka je X realan Banachov prostor i neka je L lineal u X. Neka je na L definisan
ograniˇcen linearan funkcional f . Tada postoji ograniˇcen linearan funkcional
f ∗ , definisan na cijelom X, takav da vrijedi
• (∀x ∈ L) f ∗ (x) = f (x) i
• ||f ∗ || = ||f ||.
Dokaz : Neka je na L definisan ograniˇcen linearan funkcional f . Sluˇcaj
L = X je trivijalan, zato pretpostavimo da je L pravi potprostor od X.
Tada postoji x0 ∈ X, takav da x0 ∈
/ L. Oznaˇcimo sa L0 lineal generisan
elementom x0 , tj.
L0 = {x ∈ X| x = λx0 , λ ∈ R} .
Neka je sada L1 = L ⊕ L0 , koji je zbog konaˇcne dimenzije lineala L0 , takode
potprostor od X. Pokaˇzimo kao prvo da se naˇs funkcional moˇze produˇziti
na L1 , bez promjene norme.
Zbog direktne sume, svaki se element x ∈ L1 moˇze na jedinstven naˇcin
zapisati u obliku
x = l + λx0 , l ∈ L , λ ∈ R .
(Za svako x, λ i l su jedinstveno odredeni.)
Ne gube´ci na opˇstosti, pretpostavimo da je ||f || = 1. Tada za proizvoljne
x, y ∈ L imamo
f (x − y) ≤ |f (x − y)|
≤ ||f || ||x − y|| = ||x − y|| = ||x − x0 + x0 − y||
≤ ||x − x0 || + ||x0 − y|| .
Zbog linearnosti funkcionala, tj. f (x − y) = f (x) − f (y), iz gornjeg zakljuˇcujemo da vrijedi
f (x) − ||x − x0 || ≤ f (y) + ||x0 − y|| .
Odavde, uzimaju´ci prvo supremum lijeve strane, a onda infimum desne,
dobijamo da vrijedi
sup {f (x) − ||x − x0 || | x ∈ L} ≤ inf {f (y) + ||x0 − y|| | y ∈ L} .
112
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Zbog gustosti skupa R, postoji k ∈ R, takav da je
sup {f (x) − ||x − x0 || | x ∈ L} ≤ k ≤ inf {f (y) + ||x0 − y|| | y ∈ L} .
Definiˇsimo sada funkcional f1 : L1 −→ R, na sljede´ci naˇcin: za x = l + λx0 ∈
L1 , neka je po definiciji
f1 (x) = f (l) + λ · k .
Za x′ = l′ + λ′ x0 i x′′ = l′′ + λ′′ x0 iz L1 i α, β ∈ R, vrijedi
f1 (αx′ + βx′′ ) = f1 ((αl′ + βl′′ ) + (αλ′ + βλ′′ )x0 )
= f (αl′ + βl′′ ) + (αλ′ + βλ′′ )k
= αf (l′ ) + βf (l′′ ) + αλ′ x0 + βλ′′ x0
= αf1 (x′ ) + βf1 (x′′ ) ,
dakle, f1 je linearan funkcional. Osim toga, kako je L ⊂ L1 , to za x ∈ L
imamo da je x = x + 0 · x0 , a time je
f1 (x) = f (x) + 0 · k = f (x) ,
pa zakljuˇcujemo da se funkcionali f i f1 poklapaju na L, tj. f1 je produˇzenje
funkcionala f .
Ostaje nam joˇs pokazati da je pri tom produˇzenju oˇcuvana norma. Neka
je x ∈ L1 proizvoljan. Tada je za jedinstvene l ∈ L i λ ∈ R, x = l + λx0 ,
i pri tome je f1 (x) = f (l) + λk. Neka je sada λ > 0. Zbog naˇcina izbora
broja k, vrijedi
f1 (x) = f (l) + λk ≤ f (l) + λ(f (y) + ||y − x0 ||) = f (l) + f (λy) + ||λy − λx0 || ,
za proizvoljno y ∈ L. Odaberimo y tako da vrijedi λy = −l. Tada imamo
f1 (x) ≤ || − l − λx0 || = ||l + λx0 || = ||x|| .
(4.1)
S druge strane, ponovo zbog izbora broja k vrijedi
f1 (x) = f (l) + λk ≥ f (l) + λ(f (y) − ||y − x0 ||) = f (l) + f (λy) − ||λy − λx0 || ,
za sve y ∈ L. Odaberimo opet da je λy = −l, dobijamo
f1 (x) ≥ −|| − l − λx0 || = −||l + λx0 || = −||x|| .
(4.2)
Iz (4.1) i (4.2) zakljuˇcujemo da vrijedi
|f1 (x)| ≤ ||x|| , za sve x ∈ L1 .
Sve gornje je pokazano za sluˇcaj ako je λ > 0. Ako je λ < 0, tada bi
posmatrali −x = l′ +λ′ x0 , gdje je λ′ = −λ, a l′ = −l, te bi prema dokazanom
imali
|f1 (x)| = |f1 (−x)| ≤ || − x|| = ||x|| .
113
4.2. Hahn-Banachov teorem
Ako je na kraju λ = 0, tada je x ∈ L, pa zbog poklapanja funkcionala vrijedi
|f1 (x)| = |f (x)| ≤ ||f ||||x|| = ||x|| .
Iz svega reˇcenog zakljuˇcujemo da za svako x ∈ L1 vrijedi |f1 (x)| ≤ ||x||, tj.
||f || ≤ 1 .
(4.3)
S druge strane opet, zbog definicije norme funkcionala i osobina supremuma
imamo
||f1 || =
|f1 (x)|
|f1 (x)|
|f (x)|
≥ sup
= sup
= ||f || = 1 ,
x∈L1 \{0} ||x||
x∈L\{0} ||x||
x∈L\{0} ||x||
sup
tj. vrijedi
||f1 || ≥ 1 .
(4.4)
Iz (4.3) i (4.4) zakljuˇcujemo da vrijedi
||f1 || = 1 ,
te smo dobili produˇzenje funkcionala bez promjene norme.
Posmatrajmo sada familiju ̥, svih produˇzenja funkcionala f bez promjene
norme. Na osnovu gore pokazanog, ̥ 6= ∅. U ̥ uvedimo sljede´cu relaciju,
za f1 , f2 ∈ ̥
f1 f2 ⇔ f2 je produˇzenje funkcionala f1 .
Trivijalno se pokazuje da je sa uvedenom relacijom, ̥ parcijalno ureden
skup. Pokaˇzimo sada da su u ̥ ispunjeni uslovi za primjenu Zornove leme.
Neka je ̥0 proizvoljan lanac u ̥ (svi elementi u ̥0 su medusobno uporedivi
uvedenom relacijom). Oznaˇcimo sa
[
L′ =
Li ,
i∈I
gdje su Li (i ∈ I) lineali na kojima su definisani funkcionali fi ∈ ̥0 i koji
predstavljaju proˇsirenja lineala L. Kako je ̥0 lanac, to je za proizvoljne
fi , fj ∈ ̥0 ili fi fj ili fj fi , a to onda znaˇci da za odgovaraju´ce lineale
vrijedi ili Li ⊆ Lj ili Lj ⊆ Li . Koriste´ci ovo, lahko dokazujemo da je L′
lineal u X i da je L ⊆ L′ , a takode za svako i ∈ I je Li ⊆ L′ .
Definiˇsimo sada funkcional f0 : L′ −→ R na sljede´ci naˇcin: za proizvoljno
x ∈ L′ , postoji i ∈ I, takav da je x ∈ Li , i stavimo
f0 (x) = fi (x) .
Neka je x ∈ L′ proizvoljan i neka je i ∈ I onaj za koga je x ∈ Li . Ako je Lj
neki drugi lineal koji sadrˇzi x, tada za odgovaraju´ce funkcionale vrijedi
fi fj ili fj fi .
114
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Neka je recimo fi fj . Ovo onda znaˇci da je funkcional fj proˇsirenje
funkcionala fi , a onda se njihove vrijednosti poklapaju na Li , tj.
f0 (x) = fi (x) = fj (x) ,
te vrijednost funkcionala f0 ne ovisi o tome koji od funkcionala biramo nego
samo o x, pa je f0 dobro definisan funkcional.
Ako su x, y ∈ L′ proizvoljni, tada postoje Li i Lj takvi da je x ∈ Li i
y ∈ Lj , ali pri tome zbog uredenosti lanca, joˇs vrijedi npr. Li ⊆ Lj . Dakle,
x, y ∈ Lj , a kako je on lineal, to mamo
f0 (x + y) = fj (x + y) = fj (x) + fj (y) = f0 (x) + f0 (y) .
Na sliˇcan naˇcin se pokazuje da za proizvoljno λ ∈ R, vrijedi
f0 (λx) = λf (x) .
Dakle, f0 je linearan funkcional.
Kako je za proizvoljan f ∈ ̥, ||f || = 1, tada je za proizvoljno x ∈ L′
|f0 (x)| = |fi (x)| ≤ ||x|| ,
odnosno ||f0 || ≤ 1. S druge strane imamo
||f0 || =
|f0 (x)|
|f0 (x)|
|fi (x)|
≥ sup
= sup
= ||fi || ,
x∈L′ \{0} ||x||
x∈Li \{0} ||x||
x∈Li \{0} ||x||
sup
za proizvoljno i ∈ I, a to znaˇci ||f0 || ≥ 1. Dakle, vrijedi
||f0 || = 1 .
Iz svega navedenog zakljuˇcujemo da je f0 proˇsirenje funkcionala f , bez promjene norme, ali takode i proˇsirenje svakog od funkcionala fi ∈ ̥0 . Dakle,
(∀fi ∈ ̥0 ) fi f0 ,
a ˇsto ne znaˇci niˇsta drugo do da lanac ̥0 ima bar jedno gornje ograniˇcenje.
Zbog proizvoljnosti lanca, a na osnovu Zornove leme, zakljuˇcujemo da u ̥
postoji maksimalan element, oznaˇcimo ga sa f ∗ . Kao prvo, imamo da je
f ∗ proˇsirenje funkcionala f , bez promjene norme, a kao drugo ostaje nam
vidjeti da je ovaj funkcional definisan na ˇcitavom X.
Kad to ne bi bilo, tj. Df ∗ ⊂ X, postojao bi z ∈ X, takav da z ∈
/ Df ∗ .
∗
Tada bi funkcional f , na osnovu prvog dijela dokaza, mogli proˇsiriti bez
promjene norme na lineal
L∗1 = Df ∗ ⊕ L1 ,
115
4.2. Hahn-Banachov teorem
gdje je L1 = {x ∈ X| x = λz , λ ∈ R}. Medutim, ovo bi znaˇcilo da f ∗ nije
maksimalan element u ̥, pa prema tome ova mogu´cnost otpada, tj. mora
vrijediti
Df ∗ = X ,
ˇcime je teorem dokazan. ♣
Hahn-Banachov teorem je jedna ”ogromna” teorema, a to potvrduju i
mnoge posljedice, tj. tvrdnje koje se dokazuju koriste´ci ovaj teorem. Mi
´cemo ovdje navesti samo neke od njih.
Teorem 4.9. Neka je x0 proizvoljan nenula element prostora X. Tada na
X postoji linearan funkcional f ∗ , takav da vrijedi
• ||f ∗ || = 1.
• f ∗ (x0 ) = ||x0 ||.
Dokaz : Neka je 0 6= x0 ∈ X proizvoljan. Posmatrajmo lineal
L = {x| x = λx0 , λ ∈ Φ} .
Definiˇsimo f : L −→ Φ, na sljede´ci naˇcin, za x = λx0 ∈ L
f (x) = λ||x0 || .
Za x′ , x′′ ∈ L i a, b ∈ Φ, imamo
f (ax′ + bx′′ ) = f (aλ′ x0 + bλ′′ x0 )
= f ((aλ′ + bλ′′ )x0 ) = (aλ′ + bλ′′ )||x0 || = af (x′ ) + bf (x′′ ) ,
te je f linearan funkcional. Dalje imamo
||f || =
|f (x)|
|λ||x0 |||
= sup
=1.
||x||
λ∈Φ ||λx0 ||
x∈L\{0}
sup
Iz same definicije funkcionala vidimo da je zbog x0 = 1 · x0
f (x0 ) = ||x0 || .
Pozivaju´ci se sada na Hahn-Banachov teorem, dati funkcional f moˇzemo
produˇziti na ˇcitav prostor do funkcionala f ∗ , koji ima istu normu kao i f
(tj. vrijedi prva osobina) i pri tome se poklapa sa funkcionalom f na L (tj.
vrijedi druga traˇzena osobina). ♣
Teorem 4.10. Neka je X Banachov prostor i neka je L pravi potprostor od
X. Neka je x0 ∈ X \ L. Tada postoji ograniˇcen linearan funkcional f ∗ na
X, takav da vrijedi
116
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
• ||f ∗ || = 1.
• f ∗ (x0 ) = d = d(x0 , L).
• (∀x ∈ L) f ∗ (x) = 0.
Dokaz : Neka je x0 ∈ X \ L. Posmatrajmo skup
L1 = {x ∈ X| x = λx0 , λ ∈ Φ} .
L1 je jednodimenzionalan potprostor od X, te je potprostor i
L′ = L ⊕ L1 ,
i pri tome se onda svaki x ∈ L′ , na jednoznaˇcan naˇcin moˇze zapisati u obliku
x = l + λx0 , l ∈ L , λ ∈ Φ .
Definiˇsimo na L′ funkcional f0 sa
f0 (x) = f0 (l + λx0 ) = λd ,
gdje je d udaljenost elementa x0 od potprostora L, tj. d = d(x0 , L). Oˇcigledno
za x ∈ L vrijedi f0 (x) = 0, a takode i f0 (x0 ) = d. Izraˇcunajmo normu ovog
funkcionala.
||f0 || =
sup
x∈L′
|f0 (x)|
|f0 (l + λx0 )|
= sup
||x||
l∈L, λ∈Φ ||l + λx0 ||
|λd|
d
= sup
l
||l
+
λx
||
0
l∈L, λ∈Φ
l∈L, λ∈Φ ||x0 + λ ||
1
d
= d sup
=
′ ||
′
′
′
||x
+
l
inf
||x
0
0 + l ||
l ∈L
l ∈L
d
=
=1.
d
=
sup
Ostaje nam samo primjeniti Hahn-Banachov teorem i utvrditi postojanje
ovakvog funkcionala na ˇcitavom prostoru. ♣
Sljede´ca posljedica ˇcesto se naziva teorem o postojanju dovoljnog broja
neprekidnih funkcionala.
Teorem 4.11. Neka je X Banachov prostor i neka su x, y ∈ X. Ako za
svaki f ∈ X ∗ vrijedi f (x) = f (y), tada je x = y.
Dokaz : Ako je x 6= y, onda je x − y 6= 0, pa na osnovu prve posljedice,
postoji f ∈ X ∗ , takav da je f (x−y) = ||x−y||. Ovo znaˇci da je f (x) 6= f (y),
pa kontrapozicijom imamo iskazanu tvrdnju. ♣
Ovaj teorem smo mogli iskazati i u ekvivalentnom obliku: Ako je f (x) = 0
za sve f ∈ X ∗ , onda je x = 0.
117
4.3. Reprezentacije ograniˇcenih linearnih funkcionala
4.3
Reprezentacije ograniˇ
cenih linearnih funkcionala
4.3.1
Konaˇ
cnodimenzionalni prostori
Teorem 4.12. Neka je X konaˇcnodimenzionalan vektorski prostor dimenzije n, nad poljem Φ. Neka je {e1 , e2 , . . . , en } baza prostora X i neka su
a1 , a2 , . . . , an proizvoljni elementi iz Φ. Tada postoji jedinstven linearan
funkcional f : X −→ Φ takav da vrijedi
f (ei ) = ai , (i = 1, 2, . . . , n) .
Dokaz : Neka je X konaˇcnodimenzionalan vektorski prostor dimenzije n,
nad poljem Φ i neka je {e1 , e2 , . . . , en } njegova baza. Svaki vektor x ∈ X na
jedinstven naˇcin se moˇze prikazati kao linearna kombinacija vektora baze
x=
n
X
ξi ei .
i=1
Neka su ai (i = 1, 2, . . . , n), dati elementi iz Φ. Za proizvoljan vektor x =
n
X
ξi ei ∈ X, definiˇsimo funkcional f : X −→ Φ sa
i=1
f (x) = ξ1 a1 + ξ2 a2 + . . . + ξn an .
Vektore baze prostora X moˇzemo prikazati kao uredene n-torke, sa svim
nulama i na k-tom mjestu 1,
ek = (1, 0, 0, . . . , 1, . . . , 0, 0) , k = 1, 2, ..., n ,
pa je oˇcigledno f (ei ) = ai za i = 1, 2, . . . , n.
Dokaˇzimo da je funkcional f linearan. Neka su λ, µ ∈ Φ proizvoljni i neka
n
n
X
X
su x, y ∈ X, sa reprezentacijama x =
ξi ei i y =
ηi ei . Tada je
i=1
i=1
f (x) = ξ1 a1 + ξ2 a2 + . . . + ξn an i f (y) = η1 a1 + η2 a2 + . . . + ηn an .
Kako je X linearan vektorski prostor, to je λx + µy ∈ X, pa je njegova
reprezentacija
λx + µy = (λξ1 + µη1 )e1 + (λξ2 + µη2 )e2 + . . . + (λξn + µηn )en .
Na osnovu definicije funkcionala f je
f (λx + µy) = (λξ1 + µη1 )a1 + (λξ2 + µη2 )a2 + . . . + (λξn + µηn )an
= λ(ξ1 a1 + ξ2 a2 + . . . + ξn an ) + µ(η1 a1 + η2 a2 + . . . + ηn an )
= λf (x) + µf (y) .
118
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Dakle, definisani funkcional f je linearan.
Ostaje da pokaˇzemo jedinstvenost funkcionala f . Pretpostavimo da su f i
g dva linearna funkcionala iz X ∗ , takva da je
f (ei ) = ai i g(ei ) = ai , i = 1, 2, ..., n .
Neka je x =
f i g imamo
n
X
ξi ei proizvoljan vektor iz X. Zbog linearnosti funkcionala
i=1
f (x) = f (ξ1 e1 + ξ2 e2 + . . . + ξn en ) = ξ1 f (e1 ) + ξ2 f (e2 ) + . . . + ξn f (en )
= ξ1 a1 + ξ2 a2 + . . . + ξn an = ξ1 g(e1 ) + ξ2 g(e2 ) + . . . + ξn g(en )
= g(ξ1 e1 + ξ2 e2 + . . . + ξn en ) = g(x) ,
a ovo znaˇci da su f i g jednaki funkcionali. ♣
Navedeni teorem nam ustvari govori da je reprezentacija linearnog funkcionala f : X −→ Φ na konaˇcnodimenzionalnom prostoru X data sa
f (x) =
n
X
ξi ai ,
(4.5)
i=1
gdje je x =
n
X
i=1
ξi ei ∈ X i a1 , a2 , . . . , an ∈ Φ
Reprezentacija linearnog funkcionala f na konaˇcnodimenzionalnom vektorskom prostoru se moˇze prikazati i u matriˇcnom obliku. Neka je x ∈ X proizvoljan vektor konaˇcnodimenzionalnog prostora X. Prikaˇzimo ga u obliku
matrice formata ”n × 1”,


ξ1
 ξ2 


x= .  .
 .. 
ξn
Sa ”a” oznaˇcimo matricu vrstu ”1 × n”,
a = [a1 a2 . . . an ] ,
gdje su a1 , a2 , . . . , an dati skalari
aran funkcional na X,

ξ1
 ξ2

f (x) = [a1 a2 . . . an ]  .
 ..
ξn
iz Φ. Proizvod ovih matrica definiˇse line


 = a1 ξ1 + a2 ξ2 + . . . + an ξn ,

119
(4.6)
4.3. Reprezentacije ograniˇcenih linearnih funkcionala
Primjer 4.5. Preslikavanje f : R3 −→ R, zadato sa f (x) = 2ξ1 − ξ2 + 4ξ3 , je
linearan funkcional.
3
3
X
X
Neka su x =
ξi ei i y =
ηi ei dva proizvoljna vektora iz R3 . Tada je,
i=1
i=1
prema definiciji preslikavanja f ,
f (x) = 2ξ1 − ξ2 + 4ξ3 ,
f (y) = 2η1 − η2 + 4η3 .
Sa e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) oznaˇcimo vektore baze prostora
R3 . Odavde, na osnovu Teorema 4.12, vidimo da je f (e1 ) = 2, f (e2 ) =
−1, f (e3 ) = 4.
Neka su λ, µ ∈ R proizvoljni. Tada je
λx + µy = λξ1 e1 + λξ2 e2 + λξ3 e3 + µη1 e1 + µη2 e2 + µη3 e3
= (λξ1 + µη1 )e1 + (λξ2 + µη2 )e2 + (λξ3 + µη3 )e3 ,
pa je
f (λx + µy) = f ((λξ1 + µη1 )e1 + (λξ2 + µη2 )e2 + (λξ3 + µη3 )e3 )
= (λξ1 + µη1 )f (e1 ) + (λξ2 + µη2 )f (e2 ) + (λξ3 + µη3 )f (e3 )
= 2(λξ1 + µη1 ) − (λξ2 + µη2 ) + 4(λξ3 + µη3 )
= λ(2ξ1 − ξ2 + 4ξ3 ) + µ(2η1 − η2 + 4η3 )
= λf (x) + µf (y) .
Kako ovo vrijedi za proizvoljne vektore x, y ∈ R3 i proizvoljne skalare λ, µ ∈
R, zakljuˇcujemo da je dato preslikavanje f linearan funkcional na R3 . ♦
4.3.2
Reprezentacije na Banachovim prostorima
Teorem 4.13. Ograniˇcen linearan funkcional f na prostoru ℓp , (1 < p <
+∞) ima reprezentaciju
∞
X
f (x) =
ξi ηi ,
i=1
gdje je x = (ξi )i∈N ∈ ℓp , y = (ηi )i∈N ∈ ℓq , 1p + 1q = 1 , pri ˇcemu je kf k =
kykℓq . Funkcionalom f na ℓp , taˇcka y ∈ ℓq je jednoznaˇcno odredena.
Dokaz : Neka je 1 < p < +∞. Za proizvoljan x = (ξi )i∈N ∈ ℓp , vrijedi
!1
∞
p
X p
X
|ξi | < +∞ i norma u ℓp je definisana sa kxk =
|ξi |p .
i=1
i∈N
120
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Za x = (ξi )i∈N ∈ lp i y = (ηi )i∈N ∈ lq ( 1p + 1q = 1 i 1 < p < ∞), izraz
uvijek ima smisla jer na osnovu H¨
olderove nejednakosti vrijedi
!1 ∞
!1
∞
∞
p
q
X
X
X
ξi ηi ≤
|ξi |p
|ηi |q
= ||x||lp ||y||lq < +∞ .
i=1
i=1
∞
X
ξi ηi
i=1
i=1
Posmatrano kao funkcija od x ∈ lp , on definiˇse funkcional f na lp , ˇcija se
linearnost jednostavno pokazuje, a ograniˇcenost slijedi iz
|f (x)| ≤ ||y||lq ||x||lp .
Pokaˇzimo i obrat, tj. da svaki ograniˇcen linearan funkcional na lp ima
navedenu formu sa datim osobinama. Sa en oznaˇcimo niz ˇciji su svi ˇclanovi,
izuzev n-tog jednaki nuli, a n-ti ˇclan je jednak 1, tj.
en = (0, 0, 0, . . . , 1, 0, . . .) (n ∈ N) .
|
{z
}
n−ˇ
clanova
Oˇcigledno je en ∈ ℓp i pri tome vrijedi ken k = 1 (n ∈ N). Sada za x =
(ξi )i∈N ∈ ℓp i proizvoljno n ∈ N imamo da je
n
X
ξi ei = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , 0, 0 . . .) ,
i=1
pa je
x−
Odavde je
n
X
ξi ei = (0, 0, 0, . . . , 0, ξn+1 , ξn+2 , . . .) .
i=1
n
X
ξi ei =
x −
i=1
i puˇstaju´ci da n → +∞, imamo
Dakle, red
∞
X
∞
X
i=n+1
∞
X
i=n+1
!1
p
|ξi |
p
,
|ξi |p → 0, tj. kx −
ξi ei je konvergentan u ℓp i vrijedi x =
i=1
∞
X
i=1
n
X
i=1
ξi ei k → 0.
ξi ei .
Neka je f ograniˇcen linearan funkcional na ℓp . Funkcional f je neprekidan,
pa iz konvergencije
n
X
ξi ei −→ x, (n → ∞) ,
i=1
slijedi
f
n
X
i=1
ξi ei
!
−→ f (x), (n → ∞) .
121
4.3. Reprezentacije ograniˇcenih linearnih funkcionala
Koriste´ci linearnost funkcionala f tada je
!
n
n
X
X
ξi ei =
ξi f (ei ) ,
f
i=1
tj.
n
X
i=1
Dakle, red
∞
X
i=1
ξi f (ei ) −→ f (x) (n → ∞) .
ξi f (ei ) konvergira i suma mu je jednaka f (x):
i=1
f (x) =
∞
X
ξi f (ei ) .
(4.7)
i=1
Zbog proizvoljnosti elementa x ∈ ℓp , zakljuˇcujemo da (4.7) vrijedi za sve
x ∈ ℓp . Oznaˇcimo sa ηi = f (ei ) (i ∈ N), imat ´cemo da je
f (x) =
∞
X
ξi ηi ,
(4.8)
i=1
ˇsto je ustvari reprezentacija proizvoljnog funkcionala f ∈ ℓ∗p . Na ovaj naˇcin
smo proizvoljnom funkcionalu f ∈ ℓ∗p pridruˇzili niz y = (ηi )i∈N , gdje je
ηi = f (ei ), za i ∈ N. Iz ograniˇcenosti funkcionala f imamo
|f (x)| ≤ kf kkxkℓp .
(4.9)
1 1
+ = 1.
p q
Posmatrajmo proizvoljno ali fiksirano k ∈ N i stavimo da je
|ηi |q−1 sgn(ηi ), i = 1, 2, . . . , k
xk = (ξi )i∈N , ξi =
0,
i>k
Pokaˇzimo sada da je y ∈ ℓq , gdje je
,
(4.10)
Pri ovakovom izboru vektora imamo
f (xk ) =
n
X
ξi ηi =
i=1
n
X
i=1
|ηi |q−1 sgn(ηi ) · |ηi | sgn(ηi ) =
n
X
i=1
|ηi |q .
Iz (4.9), (4.10) i konjugovanosti brojeva p i q imamo da je
n
X
i=1
tj.
n p
X
q−1
q
|ηi | ≤ kf k
sgn(ηi )
|ηi |
i=1
n
X
i=1
|ηi |q ≤ kf k
n
X
i=1
122
!1
n
X
p
= kf k
!1− 1
i=1
!1
p
|ηi |pq−p
,
q
|ηi |q
.
(4.11)
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Mnoˇzenjem izraza (4.11) sa
n
X
i=1
n
X
i=1
! 1 −1
q
q
|ηi |
!1
dobijamo da je
q
|ηi |q
≤ kf k < +∞ .
n
X
Na ovaj naˇcin smo pokazali da je niz parcijalnih suma
zitivnog reda
∞
X
i=1
i=1
|ηi |
q
!
pon∈N
|ηi |q ograniˇcen odozgo brojem kf kq , pa je taj red konver-
gentan i vrijedi
∞
X
i=1
|ηi |q ≤ kf kq < +∞ .
Ovim smo pokazali da je niz y = (ηi )i∈N ∈ ℓq i da je
∞
X
i=1
!1
q
q
|ηi |
≤ kf k ,
tj.
kyk ≤ kf k .
Iz reprezentacije funkcionala f (x) =
∞
X
(4.12)
ξi ηi , imamo da je
i=1
∞
∞
X
X
|f (x)| = ξi ηi ≤
|ξi | |ηi | .
i=1
i=1
Na osnovu H¨
olderove nejednakosti imamo da je za svaki x ∈ ℓp
|f (x)| ≤
pri ˇcemu je
Znaˇci
∞
X
i=1
!1
p
|ξi |p
·
∞
X
i=1
!1
q
|ηi |q
1 1
+ = 1.
p q
|f (x)| ≤ kxkkyk, (∀x ∈ ℓp ) .
Iz ovoga dalje imamo
|f (x)|
≤ kyk, (∀x ∈ ℓp , kxk =
6 0) ,
kxk
123
,
4.3. Reprezentacije ograniˇcenih linearnih funkcionala
pa je
kf k =
|f (x)|
≤ kyk ,
x∈ℓp ,kxk6=0 kxk
sup
tj.
kf k ≤ kyk .
(4.13)
Iz (4.12) i (4.13) zakljuˇcujemo da je kf k = kyk.
Pokaˇzimo joˇs da je funkcionalom f ∈ ℓ∗p element y ∈ ℓq jednoznaˇcno
odreden. Pretpostavimo suprotno, tj. pretpostavimo da postoji joˇs jedna
taˇcka y ′ = (ηi′ )i∈N ∈ ℓq razliˇcita od y odredena funkcionalom f . To znaˇci da
je
∞
∞
X
X
ξi ηi =
ξi ηi′ (∀x ∈ ℓp ) ,
f (x) =
i=1
i=1
pa za x = en imamo f (en ) = ηn = ηn′ , za svako n ∈ N, tj. y = y ′ , ˇsto je
suprotno pretpostavci da je y 6= y ′ .
Dakle, funkcionalom f ∈ ℓ∗p element y ∈ ℓq je jednoznaˇcno odreden. ♣
Teorem 4.14. Ograniˇcen linearan funkcional f na prostoru ℓ1 ima reprezentaciju
∞
X
ξi ηi ,
f (x) =
i=1
gdje je x = (ξi )i∈N ∈ ℓ1 , y = (ηi )i∈N ∈ ℓ∞ i pri tome je kf k = kyk.
Funkcionalom f ∈ ℓ∗1 jednoznaˇcno je odreden element y ∈ ℓ∞ .
Dokaz : Neka je x = (ξi )i∈N ∈ ℓ1 proizvoljan. Tada je
kxk =
∞
X
i=1
∞
X
i=1
|ξi | < +∞ i
|ξi |.
Za x = (ξi )i∈N ∈ l1 i y = (ηi )i∈N ∈ l∞ , izraz
vrijedi
∞
X
i=1
|ξi ηi | ≤ sup |ηi |
i∈N
∞
X
i=1
∞
X
ξi ηi uvijek ima smisla jer
i=1
|ξi | = ||y||l∞ ||x||l1 < +∞ .
Kao funkcija od x ∈ l1 , ovo je oˇcigledno jedan linearan funkcional na l1 , a
zbog posljednje nejednakosti, tj.
|f (x)| ≤ ||y||l∞ ||x||l1 ,
on je i ograniˇcen.
124
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Pokaˇzimo i obrat. Posmatrajmo vektore (ei )i∈N ⊂ l1 (vektori standardne
baze). Za x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , ξn+1 , . . .) ∈ ℓ1 i fiksno n ∈ N, imamo da je
n
X
ξi ei = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , 0, 0, . . .) ,
n
X
ξi ei = (0, 0, . . . , 0, ξn+1 , ξn+2 , . . .) ,
i=1
pa je
x−
odnosno
i=1
n
∞
X
X
ξi ei =
|ξi | .
x −
i=1
i=n+1
∞
X
Pustimo li da n → ∞, to ´ce
i=n+1
|ξi | → 0, tj.
n
X
ξi ei −→ 0 .
x −
i=1
Znaˇci, red
∞
X
ξi ei je konvergentan u ℓ1 i vrijedi
i=1
x=
∞
X
ξi ei .
i=1
Neka je f linearan ograniˇcen funkcional na ℓ1 , tj. f ∈ ℓ∗1 . Na osnovu
neprekidnosti funkcionala f imamo da konvergencija
n
X
i=1
ξi ei −→ x, (n → ∞) ,
povlaˇci konvergenciju
f
n
X
ξi ei
i=1
!
−→ f (x), (n → ∞) .
Koriste´ci linearnost funkcionala f , dalje je za fiksno n ∈ N
!
n
n
X
X
f
ξi ei =
ξi f (ei ) .
i=1
i=1
Pustimo li da n → ∞ imat ´cemo da je
f (x) =
∞
X
ξi f (ei ) .
i=1
125
4.3. Reprezentacije ograniˇcenih linearnih funkcionala
Uvedimo oznaku ηi = f (ei ) za i ∈ N. Tada proizvoljan funkcional f ∈ ℓ∗1
ima oblik
∞
X
f (x) =
ξi ηi ,
(4.14)
i=1
ˇsto je ustvari reprezentacija funkcionala f na l1 .
Posmatrajmo sada taˇcku y = (ηi )i∈N , gdje je ηi = f (ei ),za svaki i ∈ N.
Pokaˇzimo da y ∈ ℓ∞ , tj. da je y element prostora svih ograniˇcenih nizova
ℓ∞ .
U tom cilju, posmatrajmo niz taˇcaka xn = (ξin )i∈N ∈ ℓ1 , (n ∈ N), gdje je
ξin
=
sgn(ηn ), i = n
0,
i=
6 n
.
Za niz taˇcaka xn , (n ∈ N) imamo da je kxn k = 1 i f (xn ) = sgn(ηn )·ηn = |ηn |
Koriste´ci sada ograniˇcenost funkcionala f , imamo da je za svaki n ∈ N
|f (xn )| ≤ kf k · kxn k ,
|ηn | ≤ kf k < +∞, (∀n ∈ N) .
Time je i
sup |ηn | ≤ kf k < +∞ .
n∈N
Odavde najprije slijedi da je y = (ηn )n∈N ∈ ℓ∞ , te
kykℓ∞ ≤ kf k .
(4.15)
Iz ograniˇcenosti funkcionala f , za svaki x ∈ ℓ1 imamo:
n
n
∞
X
X
X
|f (x)| = ξi ηi ≤
|ξi | |ηi | ≤ sup |ηi |
|ξi | = kykℓ∞ kxkℓ1 ,
n∈N
i=1
i=1
i=1
pa slijedi da je
kf k ≤ kykℓ∞ .
(4.16)
Sada iz (4.15) i (4.16) zakljuˇcujemo da je
kf k = kykℓ∞ .
Pokaˇzimo joˇs jedinstvenost taˇcke y ∈ ℓ∞ . Pretpostavimo suprotno, tj.
(1)
(2)
pretpostavimo da postoje dvije razliˇcite taˇcke y1 = (ηi )i∈N i y2 = (ηi )i∈N
iz ℓ∞ takve da je za proizvoljno x = (ξi )i∈N ∈ ℓ1 funkcional f ∈ ℓ∗1 ima
reprezentaciju
∞
∞
X
X
(1)
(2)
f (x) =
ξi ηi =
ξi ηi .
i=1
i=1
126
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Tada bismo za x = en imali
f (en ) = ηn(1) = ηn(2) , (∀n ∈ N) ,
tj. y1 je jednako y2 po svim koordinatama, ˇsto je suprotno pretpostavci da
je y1 6= y2 . Dakle, funkcionalu f ∈ ℓ∗1 jednoznaˇcno je pridruˇzen element
y ∈ ℓ∞ . ♣
Teorem 4.15. Ograniˇcen linearan funkcional f na prostoru c0 ima reprezentaciju
∞
X
f (x) =
ηi ξi ,
i=1
gdje je y = (ηi )i∈N ∈ ℓ1 i kf k = kyk.
Funkcionalom f ∈ c∗0 taˇcka y ∈ ℓ1 jednoznaˇcno je odredena.
Dokaz : Neka je x = (ξi )i∈N ∈ c0 i y = (ηi )i∈N ∈ ℓ1 . Tada izraz
ima smisla, jer je
∞
X
i=1
|ξi ηi | ≤ sup |ξi | ·
i∈N
∞
X
i=1
∞
X
ξi ηi
i=1
|ηi | = kxkc0 · kykℓ < +∞ .
Posmatran kao funkcija od x ∈ c0 , izraz
na c0 , tj.
f (x) =
∞
X
ξi ηi definiˇse jedan funkcional f
i=1
∞
X
ξi ηi .
i=1
Pokaˇzimo njegovu linearnost. Neka su x1 , x2 ∈ c0 i α, β ∈ R (ili C) proizvoljni. Posmatrajmo
f (αx1 + βx2 ) =
∞ X
(1)
(2)
αξi + βξi
ηi .
i=1
Kako su α, β, ξi , ηi ∈ R (ili C), za svaki i ∈ N to vrijedi zakon distributivnosti, pa je
f (αx1 + βx2 ) =
∞ X
(1)
(2)
αξi ηi + βξi ηi
i=1
=
∞
X
(1)
αξi ηi
i=1
∞
X
= α
(1)
+
∞
X
i=1
∞
X
ξi ηi + β
i=1
i=1
= αf (x1 ) + βf (x2 ) .
127
(2)
βξi ηi
(2)
ξi ηi
4.3. Reprezentacije ograniˇcenih linearnih funkcionala
Znaˇci, funkcional f je linearan za proizvoljne x1 , x2 ∈ c0 , pa je, zbog njihove
proizvoljnosti linearan na cijelom prostoru c0 .
Pokaˇzimo sada ograniˇcenost funkcionala f na c0 . Posmatrajmo
∞
∞
∞
X
X
X
|f (x)| = ξi ηi ≤
|ξi ηi | ≤ sup |ξi |
|ηi | ,
i∈N
i=1
i=1
i=1
|f (x)| ≤ kxkc0 kykℓ < +∞ .
Kako je |f (x)| ≤ kf kkxk za svaki x ∈ c0 i na osnovu pokazanog |f (x)| < +∞,
imamo da je
kf k ≤ kykℓ .
(4.17)
Dakle, pokazali smo da za svaki x ∈ c0 i y ∈ ℓ izraz f (x) =
∞
X
ξi ηi pred-
i=1
stavlja linearan ograniˇcen funkcional f na c0 .
Obrnuto, pretpostavimo da je f proizvoljan ograniˇcen linearan funkcional
na c0 . Tada je sa
∞
X
ξi ei ,
x=
i=1
dat jedinstven prikaz elementa x ∈ c0 , gdje su en (n ∈ N) standardni vektori
n
X
baze. Za fiksno n ∈ N oznaˇcimo xn =
ξi ei i posmatrajmo izraz
i=1
x−
Tada je
n
X
∞
X
ξi ei =
i=1
ξi ei .
i=n+1
∞
n
X
X
ξi ei = ξi ei = sup |ξi | .
x −
i>n
i=1
i=n+1
Pustimo li da n → ∞ to ´ce sup |ξi | −→ 0 tj. xn −→ x. Zbog neprekidnosti
i>n
funkcionala f imamo da f (xn ) −→ f (x) kada n → ∞, tj.
!
∞
X
f (x) = f
ξi ei ,
i=1
a zbog linearnosti
f (x) =
∞
X
ξi f (ei ) .
i=1
Stavimo li da je ηi = f (ei ), za svaki i ∈ N, dobijamo da je
f (x) =
∞
X
i=1
128
ξi ηi ,
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
ˇsto je ustvari reprezentacija funkcionala f na c0 . Na ovaj naˇcin smo proizvoljnom funkcionalu f ∈ c∗0 pridruˇzili element
y = (η1 , η2 , . . . , ηi , . . .) , ηi = f (ei ) , (i ∈ N) .
Pokaˇzimo sada da je y ∈ ℓ. Posmatrajmo
∞
∞
∞
X
X
X
|f (x)| = ξi ηi ≤
|ξi | |ηi | ≤ sup |ξi |
|ηi | .
i∈N
i=1
i=1
i=1
Kako je x ∈ c0 , to je kxkc0 = sup |ξi |, pa imamo da je
i∈N
|f (x)| ≤
∞
X
i=1
|ηi | kxkc0 .
Posmatrajmo niz taˇcaka xn = (ξin )i∈N ∈ c0 takav da je
ξin
=
sgn(ηi ), i ≤ n
, (n ∈ N) .
0
i>n
Odavde je oˇcigledno kxn k = sup |ξi | = 1, pa je
0<i≤n
f (xn ) =
n
X
i=1
sgn(ηi ) · ηi =
Kako je f ograniˇcen, to je |f (xn )| =
∞
X
i=1
n
X
i=1
n
X
i=1
|ηi | , (∀n ∈ N) .
|ηi | < +∞ za svako n ∈ N, pa je i
|ηi | < +∞, ˇsto znaˇci da je y = (ηi )i∈N ∈ ℓ1 , tj. kykℓ1 =
imamo da je za svaki x ∈ c0 , |f (x)| ≤ kykℓ kxkc0 , tj.
|f (xn )| =
odnosno
n
X
i=1
i=1
|ηi |. Sada
|ηi | ≤ kf k · kxn k = kf k · 1 ,
n
X
i=1
Puˇstaju´ci n → ∞ imamo da je
∞
X
|ηi | ≤ kf k .
∞
X
i=1
|ηi | ≤ kf k, ˇsto je ekvivalentno sa
kykℓ1 ≤ kf k .
129
(4.18)
4.3. Reprezentacije ograniˇcenih linearnih funkcionala
Iz (4.17) i (4.18) zakljuˇcujemo da je
kf k = kyk.
Ostaje joˇs da pokaˇzemo jedinstvenost elementa y ∈ ℓ1 . Pretpostavimo
(1)
suprotno, tj. pretpostavimo da postje dva razliˇcita elementa y1 = (ηi ) i
(2)
y2 = (ηi ) iz ℓ1 za koje proizvoljan funkcional f na c0 ima reprezentaciju
f (x) =
∞
X
(1)
ξi ηi
=
i=1
∞
X
(2)
ξi ηi
.
i=1
(1)
(2)
Ako uzmemo da je x = ei imat ´cemo da je za svako i ∈ N f (ei ) = ηi = ηi ,
pa su y1 i y2 jednaki po svim koordinatama, ˇsto je suprotno pretpostavci.
Znaˇci, funkcionalom f ∈ c∗0 element y ∈ ℓ1 je jednoznaˇcno odreden. ♣
Teorem 4.16. Ograniˇcen linearan funkcional f na C[a, b] ima reprezentaciju
Z b
f (x) =
x(t)dg(t) ,
a
gdje je x(t) ∈ C[a, b], g(t) funkcija ograniˇcene varijacije na [a, b] koja se
anulira u taˇcki t = a i pri tome je
kf k = Vab (g) .
Primjedba 4.3.1. Funkcional f na C[a, b] ne odreduje jednoznaˇcno funkciju ograniˇcene varijacije g.
Dokaz : Bez umanjenja opˇstosti, posmatrajmo prostor C[0, 1]. Neka je g(t)
funkcija ograniˇcene varijacije na [0, 1]. Tada postoji Riemann-Stieltjesov
Z 1
integral
xdg, za svaku neprekidnu funkciju x, pa ima smisla posmatrati
0
funkcional f definisan sa
f (x) =
Z
1
x(t)dg(t) .
0
Njegova linearnost je oˇcigledna, a ograniˇcenost se ima na osnovu sljede´ceg.
Z 1
Z 1
Z 1
|f (x)| = x(t)dg(t) ≤
|x(t)| dg(t) ≤ max |x(t)|
dg(t)
=
0
1
V0 (g)
0≤t≤1
0
0
· kxk < +∞ .
Znaˇci, funkcional f je i ograniˇcen. Odavde slijedi i da je
kf k ≤ V01 (g) .
130
(4.19)
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Obrnuto, pretpostavimo da je f proizvoljan linearan, ograniˇcen funkcional
na C[0, 1]. Pokaˇzimo da postoji funkcija g ∈ V [0, 1] sa g(0) = 0, tako da je
Z 1
x(t)dg(t).
f (x) =
0
Kako je svaka neprekidna funkcija i bitno ograniˇcena, tj.
x ∈ C[0, 1] =⇒ x ∈ M [0, 1] ,
i kako su norme iste kxkC[0,1] = kxkM [0,1] , to moˇzemo prostor C[0, 1] posmatrati kao potprostor prostora M [0, 1]. Na osnovu Hahn-Banachove teoreme,
na M postoji ograniˇcen linearan funkcional f ∗ takav da je:
1. f ∗ (x) = f (x) za x ∈ C[0, 1],
2. kf ∗ kM = kf kC .
Neka je 0 < t ≤ 1. Stavimo da je
yt = yt (u) =
1, 0 ≤ u < t
0, t < u ≤ 1
.
Kolekcija funkcija {yt | t ∈ [0, 1]} leˇzi u M [0, 1]. Pomo´cu ovako uvedene
kolekcije i funkcionala f ∗ definiˇsimo funkciju
∗
f (yt ), 0 < t ≤ 1
g(t) =
.
0,
t=0
Iz same definicije funkcije g vidimo da je g(0) = 0. Pokaˇzimo da je g funkcija
ograniˇcene varijacije na [0, 1]. Posmatrajmo podjelu segmenta [0, 1]
π : 0 = t0 < t1 < t2 < . . . < tn = 1,
i stavimo
Tada je
n
X
k=1
εk = sgn [g(tk ) − g(tk−1 )] , k = 1, 2, . . . , n .
|g(tk ) − g(tk−1 )| =
n
X
k=1
[(g(tk ) − g(tk−1 )] · εk
= [g(t1 ) − g(t0 )] ε1 +
= f ∗ (yt1 ) · ε1 +
= f∗
n
X
k=2
n
X
k=2
[(g(tk ) − g(tk−1 )] · εk
f ∗ (ytk ) − f ∗ (ytk−1 ) · εk
n
X
yt1 ε1 +
(ytk − ytk−1 )εk
k=2
≤ kf ∗ k · kyt1 ε1 +
131
n
X
k=2
!
(ytk − ytk−1 )εk k .
4.3. Reprezentacije ograniˇcenih linearnih funkcionala
Kako su ytk ∈ M [0, 1], za svako k = 1, 2, . . . , n, to je yt1 ε1 +
n
X
yt − yt εk
k
k−1
k=2
vektor iz M [0, 1], pa je njegova norma:
n
n
X
X
ytk (u) − ytk−1 (u) εk .
kyt1 ε1 + (ytk −ytk−1 )εk k = sup ess ε1 yt1 (u) +
0≤u≤1
k=2
k=2
Da bismo izraˇcunali ovu normu, posmatrajmo u na podsegmentima [t0 , t1 ], [t1 , t2 ],
. . . , [tn−1 , tn ]. Kako je
1, za u ∈ [0, t1 ]
,
y1 (u) =
0, za u ∈
/ [0, t1 ]
i
ytk (u) − ytk−1 (u) =
1, za u ∈ [tk−1 , tk ]
, k = 2, 3, . . . , n ,
0, za u ∈
/ [tk−1 , tk ]
to za svako u ∈ [0, 1] imamo da je
n
X
ytk (u) − ytk−1 (u) εk ≤ 1 .
ε1 yt1 (u) +
k=2
Znaˇci
kyt1 ε1 +
n
X
k=2
ytk (u) − ytk−1 (u) εk k ≤ 1, (∀n ∈ N) .
Pustimo li n → ∞, imat ´cemo:
Vab (g) =
∞
X
k=1
i
kyt1 ε1 +
To znaˇci da je:
∞
X
k=2
|g(tk ) − g(tk−1 )| ,
ytk (u) − ytk−1 (u) εk k ≤ 1 .
Han-Banach
Vab (g) ≤ kf ∗ kM
z}|{
=
kf kC .
(4.20)
Dakle, g je funkcija ograniˇcene varijacije na [0, 1] i iz (4.19) i (4.20) slijedi
da je
kf k = Vab (g) .
Ostaje joˇs da pokaˇzemo da je reprezentacija funkcionala f data sa
f (x) =
Z
0
1
x(t)dg(t) (∀x ∈ C[0, 1]) .
132
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Neka je x ∈ C[0, 1] proizvoljan. Stavimo da je
zn (u) = x(t1 )yt1 (u) +
n
X
k=2
x(tk ) [ytk (u) − ytk−1 (u)] .
Tada je
zn (u) − x(u) =

 x(t1 ) − x(u), u ∈ [t0 , t1 ]

, k = 2, 3, . . . , n .
x(tk ) − x(u), u ∈
/ (tk−1 , tk ]
Kako je x neprekidna na [0, 1] i [0, 1] kompaktan skup, to je x uniformno
neprekidna funkcija na [0, 1], pa
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(m(π) < δ ⇒ |zn (u) − x(u)| < ε) ,
gdje je m(π) duˇzina maksimalnog podsegmenta podjele π
m(π) = max |tk − tk−1 | .
1≤k≤n
Drugim rijeˇcima, ako za niz podjela, m(π) → 0 kada n → ∞, tada zn → x
u smislu metrike u M .
Zbog neprekidnosti funkcionala f ∗ na M imamo da f ∗ (zn ) −→ f ∗ (x), (n →
∞) tj.
lim f ∗ (zn ) = f ∗ (x) ,
n→∞
a kako je x ∈ C[0, 1] to je, na osnovu Hahn-Banachovog stava
f ∗ (x) = f (x), tj. f (x) = lim f ∗ (zn ) .
n→∞
Sada na osnovu definicije funkcije g i linearnosti funkcionala f ∗ imamo:
!
n
X
f ∗ (zn ) = f ∗ x(t1 )yt1 +
x(tk ) ytk − ytk−1
= x(t1 )f ∗ (yt1 ) +
k=2
n
X
k=2
= x(t1 )g(t1 ) +
n
X
k=2
=
n
X
k=1
x(tk ) f ∗ (ytk ) − f ∗ (ytk−1 )
x(tk ) [g(tk ) − g(tk−1 )]
x(tk ) [g(tk ) − g(tk−1 )] ,
pa je
f (x) = lim
n→∞
n
X
k=1
x(tk ) [g(tk ) − g(tk−1 )] .
133
4.3. Reprezentacije ograniˇcenih linearnih funkcionala
Zbog neprekidnosti funkcije x i ograniˇcene varijacije funkcije g na [a, b],
egzistencija Riemann-Stieltjesovog integrala je obezbijedena, tj.
f (x) =
Z
b
x(t)dg(t) .
a
♣
Kao ˇsto je spomenuto u primjedbi prije dokaza, funkcionalom f na C[a, b]
nije jednoznaˇcno odredena funkcija ograniˇcene varijacije g, takva da je
f (x) =
Z
b
x(t)dg(t) ,
a
a objaˇsnjenje za to leˇzi u ˇcinjenici ˇsto Riemann-Stieltjesov integral ima istu
vrijednost za funkcije koje se razlikuju na skupu mjere 0. Dakle, ako je
g1 (t) = g2 (t) za svako t ∈ (a, b) \ E, a g1 (t) 6= g2 (t) na E, pri ˇcemu je
m(E) = 0, tada je
Z
b
x(t)dg1 (t) =
a
Z
b
x(t)dg2 (t) .
a
Teorem 4.17. Ograniˇcen linearan funkcional f na Lp (a, b) (1 < p < +∞)
ima reprezentaciju
Z b
f (x) =
y(t)x(t)dt ,
a
1 1
gdje je y ∈ Lq (a, b), + = 1 i pri tome je
p q
kf k = kyk .
Funkcionalom f na Lp , funkcija y u Lq jednoznaˇcno je odredena.
Teorem 4.18. Ograniˇcen linearan funkcional f na prostoru L(a, b) ima
reprezentaciju
Z b
f (x) =
x(t)y(t)dt ,
a
gdje je y ∈ L∞ (a, b) i kf k = kykL∞ .
Funkcionalom f na L funkcija y ∈ L∞ (a, b) jednoznaˇcno je odredena.
Dokazi posljednje dvije teoreme mogu se na´ci u [1].
134
5
Konjugovani prostori i
konjugovani operator
5.1
5.2
5.1
Konjugovani prostori i refleksivnost . . . . . . .
Konjugovani operator . . . . . . . . . . . . . . . .
134
140
Konjugovani prostori i refleksivnost
Kao ˇsto smo vidjeli u sekciji o linearnim operatorima, sa L(X, Y ) oznaˇcavali
smo skup svih ograniˇcenih linearnih operatora sa prostora X u prostor Y ,
gdje smo zahtjevali jedino da su X i Y normirani prostori. Na osnovu
Teorema 3.8, pod pretpostavkom da je Y Banachov prostor, L(X, Y ) je
sam za sebe Banachov prostor. Kada posmatramo sva ograniˇcena linearna
preslikavanja kod kojih je kodomen Y = R ili Y = C, zbog ˇcinjenice da
je R (ili C) kompletan prostor, prostor L(X, Φ) (Φ = R ili Φ = C) je
Banachov prostor i za njega ´cemo koristiti oznaku X ∗ , a nazivamo ga dualni,
konjugovani ili adjungovani prostor prostora X. Dakle, sa X ∗ oznaˇcavamo
skup svih linearnih i ograniˇcenih funkcionala definisanih na X,
X ∗ = {f : X → Φ | f linearan i ograniˇcen } .
Naravno da bi smo sada mogli posmatrati, za zadati Banachov prostor X, i
skup svih neprekidnih funkcionala definisanih na X ∗ , tj. skup (X ∗ )∗ = X ∗∗ ,
u kome linearne operacije i normu moˇzemo uvesti na prirodan naˇcin, i sa
kojima on takode predstavlja jedan Banachov prostor. Sliˇcno bi smo mogli
razmiˇsljati i formirati prostore X ∗∗∗ , X ∗∗∗∗ itd. Nama je ovde od interesa
posebno prostor X ∗∗ koga nazivamo drugi dualni ili adjungovani prostor
prostora X.
Na osnovu teorema o reprezentaciji linearnih ograniˇcenih funkcionala smo
vidjeli naprimjer, da je dualni prostor prostora c0 jednak prostoru l1 , tj.
c∗0 = l1 , u smislu algebarske i metriˇcke izomorfnosti. Takode je l1∗ = l∞ ,
lp∗ = lq ( 1p + 1q = 1). Prave´ci druge duale ovih prostora moˇzemo zakljuˇciti
1
1
∗
∗∗
∗
sljede´ce veze, c∗∗
0 = l1 = l∞ ili lp = lq = lp ( p + q = 1). U smislu algebarske
i metriˇcke izomorfnosti, prvi primjer nam govori da je c0 ⊂ c∗∗
0 , a drugi da
∗∗
je lp = lp . Sljede´cim teoremom dajemo generalnu vezu izmedu prostora i
negovog drugog duala.
135
5.1. Konjugovani prostori i refleksivnost
Teorem 5.1. Proizvoljan Banachov prostor X se moˇze algebarski i izometriˇcki uloˇziti u X ∗∗ , tj. vrijedi
X ⊆ X ∗∗ .
Dokaz : Neka je X proizvoljan Banachov prostor i x ∈ X proizvoljan
fiksan element. Pomo´cu njega definiˇsimo preslikavanje Fx : X ∗ → Φ, sa
Fx (f ) = f (x). Da je Fx funkcional, jasno je jer je f ∈ X ∗ . Za proizvoljne
f, g ∈ X ∗ i λ, µ ∈ Φ je
Fx (λf + µg) = (λf + µg)(x) = λf (x) + µg(x) = λFx (f ) + µFx (g) ,
te je to i linearno preslikavanje. Dalje, za proizvoljno f ∈ X ∗ imamo
|Fx (f )| = |f (x)| ≤ ||x|| · ||f || ,
iz ˇcega zakljuˇcujemo da je Fx i ograniˇcen funkcional, ˇsta viˇse
||Fx || ≤ ||x|| .
(5.1)
Na osnovu svega imamo da je Fx ∈ X ∗∗ . Na osnovu jedne od posljedica
Hahn-Banachove teoreme, izaberimo funkcional f0 ∈ X ∗ , takav da je ||f0 || =
1 i f0 (x) = ||x||. Tada imamo
|Fx (f0 )| = |f0 (x)| = ||x|| ,
a to na osnovu definicije norme funkcionala nam govori da vrijedi
||Fx || ≥ ||x|| .
(5.2)
Iz (5.1) i (5.2) zakljuˇcujemo da je ||Fx || = ||x||.
Na ovaj naˇcin smo svakom x ∈ X pridruˇzili Fx ∈ X ∗∗ , te je jasno da
elemenata u X ∗∗ nema manje nego ˇsto je elemenata u X. Osim toga, ovim
pridruˇzivanjem smo takode definisali jedno preslikavanje, oznaˇcimo ga sa
T0 : X → X ∗∗ , zadato sa T0 x = Fx . Neka su x, y ∈ X i λ, µ ∈ Φ proizvoljni.
Kako je
Fλx+µy (f ) = f (λx + µy) = λf (x) + µf (y) = λFx (f ) + µFx (f ) ,
tada je
T0 (λx + µy) = Fλx+µy = λFx + µFy .
Dakle, T0 je linearno preslikavanje, pa je T0 algebarski izomorfizam izmedu
X i X ∗∗ . Osom toga, na osnovu ranije pokazanog imamo da je
||T0 x|| = ||Fx || = ||x|| ,
te je T0 i izometrija. Kako ne pravimo razliku izmedu nekog Banachovog
prostora i njegove linearne izometriˇcke slike, to vrijedi
X = T0 (X) ⊆ X ∗∗ ,
ˇcime je tvrdnja dokazana. ♣
136
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Definicija 5.1. Ukoliko za neki Banachov prostor vrijedi T0 (X) = X ∗∗
(odnosno X = X ∗∗ ), tada kaˇzemo da je X refleskivan prostor.
Operator T0 uveden u dokazu gornje teoreme se naziva prirodno ili kanonsko preslikavanje prostora X u prostor X ∗∗ . Taj pojam preciziramo iz razloga da ako za neko drugo preslikavanje T : X → X ∗∗ vrijedi T (X) = X ∗∗ ,
to ne mora znaˇciti refleksivnost prostora X.
Teorem 5.2. Svaki potprostor refleksivnog Banachov prostora je takode refleksivan.
Dokaz : Neka je L potprostor refleksivnog Banachovog prostora X. Oznaˇcimo
sa L⊥ skup svih funkcionala iz X ∗ koji se anuliraju na L, tj.
L⊥ = {f ∈ X ∗ ||(∀x ∈ L) f (x) = 0} .
Ovakav skup se naziva anihilator ili anulator skupa L, za koga se lahko
pokazuje da predstavlja potprostor od X ∗ , za proizvoljan L ⊆ X.
∗
Posmatrajmo sada X/L
⊥ i neka je [f ] proizvoljan element tog skupa (klasa
ekvivalencije). Za proizvoljna dva elementa g1 , g2 iz te klase, na osnovu
∗
⊥
definicije koliˇcniˇckog prostora X/L
⊥ je g1 − g2 = l ∈ L , tojest vrijedi
(∀x ∈ L) g1 (x) − g2 (x) = l(x) = 0 .
(5.3)
Definiˇsimo sada funkcional fL na L, na sljede´ci naˇcin,
fL (x) = g(x) ,
gdje je g proizvoljan funkcional iz [f ]. Specijalno, moˇzemo staviti da je
g = f . Dakle, fL je po definiciji, suˇzenje na L bilo kojeg funkcionala iz klase
[f ]. Na osnovu (5.3), zakljuˇcujemo da je fL dobro definisan. Takode je jasno
da je fL linearan funkcional, pri ˇcemu je
|fL (x)| = |g(x)| ≤ ||g|| · ||x|| ,
za proizvoljan x ∈ L, gdje je g bilo koji funkcional iz [f ]. Prelaskom na
infimum u posljednjoj nejednakosti, vode´ci raˇcuna o definiciji norme na
koliˇcniˇckom prostoru, dobijamo
(∀x ∈ L) |fL (x)| ≤ ||[f ]|| · ||x|| .
Dakle, fL je i ograniˇcen, tj. fL ∈ L∗ , pri ˇcemu je
||fL || ≤ ||[f ]|| .
Ovako uveden funkcional fL je definisan na L pa na osnovu Hahn-Banachove
teoreme moˇzemo ga produˇziti do funkcionala f0 , bez promjene norme, definisanog na ˇcitavom prostoru, tj. f0 ∈ X ∗ i ||f0 || = ||fL ||. Uzimaju´ci u obzir
137
5.1. Konjugovani prostori i refleksivnost
da klasa [f ] sadrˇzi sve funkcionale iz X ∗ ˇcija se suˇzenja na na L poklapaju
sa fL , onda zakljuˇcujemo da je f0 ∈ [f ]. Dakle,
||[f ]|| = inf {||g|| | g ∈ [f ]} ≤ ||f0 || = ||fL || .
Ovo zajedno sa ranije dobijenom nejednakoˇs´cu znaˇci da vrijedi ||fL || =
∗
||[f ]||. Mi smo dakle svakom elementu [f ] ∈ X/L
cin
⊥ na gore opisan naˇ
∗
pridruˇzili funkcional fL ∈ L , pri ˇcemu je ||fL || = ||[f ]||. Time smo us∗
∗
tvari definisali izometriˇcko preslikavanje sa X/L
⊥ u L , tj. definisali smo
∗
∗
preslikavanje A0 : X/L
⊥ → L sa
A0 ([f ]) = fL .
∗
Za [f ], [g] ∈ X/L
⊥ proizvoljne je
A0 ([f ] + [g])(x) = A0 ([f + g])(x) = (f + g)L (x) = fL (x) + gL (x)
= A0 ([f ])(x) + A0 ([g])(x) ,
tj. A0 ([f ] + [g]) = A0 ([f ]) + A0 ([g]). Na sliˇcan naˇcin se pokazuje da za
∗
proizvoljne [f ] ∈ X/L
⊥ i λ ∈ Φ, vrijedi A0 (λ[f ]) = λA0 ([f ]). Dakle, A0 je
∗
∗
izometriˇcki izomorfizam sa X/L
⊥ u L .
Za proizvoljan fL ∈ L∗ moˇzemo izvrˇsiti njegovo proˇsirenje, bez promjene
∗
norme, na ˇcitav X. Ako sa [f ] oznaˇcimo onu klasu iz X/L
⊥ kojoj pripada
f , jasno je da vrijedi
A0 ([f ]) = fL ,
a ˇsto ustvari znaˇci da je A0 surjektivno preslikavanje. Zbog svega navedenog
moˇzemo pisati
∗
L∗ = X/L
⊥ ,
i u daljem ne´cemo praviti razliku izmedu klase [f ] i njegove slike fL u preslikavanju A0 .
Neka je sada F ∈ L∗∗ proizvoljan i za proizvoljno f ∈ X ∗ stavimo
TF (f ) = F ([f ]) .
Neka su f1 , f2 ∈ X ∗ i λ, µ ∈ Φ. tada je
TF (λf1 + µf2 ) = F ([λf1 + µf2 ]) = F (λ[f1 ] + µ[f2 ]) = λF ([f1 ]) + µF ([f2 ]) ,
dakle, TF je linearno preslikavanje. Osim toga je
|TF (f )| = |F ([f ])| ≤ ||F || · ||[f ]|| ≤ ||F || · ||f || ,
za proizvoljno f ∈ X ∗ , pa je TF i ograniˇceno preslikavanje, tj. TF ∈ X ∗∗ .
Kako je X refleksivan prostor, postoji element xF ∈ X, takav da vrijedi
TF (f ) = f (xF ) ,
138
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
za proizvoljan f ∈ X ∗ . Sada tvrdimo da taj xF mora biti u L. Zaista, u
suprotnom bi postojao f0 ∈ X ∗ , takav da je f0 (xF ) 6= 0 i za sve x ∈ L,
f0 (x) = 0. Druga od pretpostavki bi znaˇcila de je f0 ∈ L⊥ te bi klasa [f0 ]
∗
∗
∗
bila nula-element u X/L
⊥ = L . kako je F linearan funkcional na L , to bi
moralo biti F ([f0 ]) = 0, a ˇsto bi opet dovelo do toga da je
0 6= f0 (xF ) = TF (f0 ) = F ([f0 ]) = 0 .
Dobijena kontradikcija daje da mora biti xF ∈ L.
Neka je sada fL proizvoljan element iz L∗ i [f ] jednoznaˇcno odredena klasa
∗
∗ , tada je
iz X/L
ci ˇcinjenicu L∗ = X/L
⊥ za koju je A0 ([f ]) = fL . Koriste´
⊥
F (fL ) = TF (f ) = f (xF ) = fL (xF ) .
Dakle, za svako F ∈ L∗∗ moˇzemo na´ci xF ∈ L, takav da je
F (fL ) = fL (xF ) ,
za sve fL ∈ L∗ , a to i odreduje refleksivnost potprostora L. ♣
Teorem 5.3. Banachov prostor je refleksivan ako i samo ako je njegov dual
refleksivan prostor.
Dokaz : Neka je X refleksivan Banachov prostor i neka je T ∈ X ∗∗∗ proizvoljan. Oznaˇcimo kao i ranije sa Fx (x ∈ X) funkcional na X ∗ , definisan
sa
Fx (f ) = f (x) .
Iz refleksivnosti prostora X imamo da za svaki F ∈ X ∗∗ , postoji x ∈ X,
takav da je F = Fx . Definiˇsimo sada funkcional f0 na sljede´ci naˇcin,
f0 (x) = T (Fx ) .
Jasno je da je f0 linearan. Pri tome je
|f0 (x)| = |T (Fx )| ≤ ||T || · ||Fx || = ||T || · ||x|| ,
te je on i ograniˇcen, tj. f0 ∈ X ∗ . Tada za proizvoljan Fx ∈ X ∗∗ imamo
T (Fx ) = f0 (x) = Fx (f0 ) ,
a zbog proizvoljnosti T ∈ X ∗∗∗ , zakljuˇcujemo refleksivnost prostora X ∗ .
Neka je sada X ∗ refleksivan. Ako X nije refleksivan, onda je X ⊂ X ∗∗ ,
tj. postoji funkcional F0 ∈ X ∗∗ koji nije jednak niti jednom funkcionalu Fx
(x ∈ X). Kako je skup svih funkcionala Fx (x ∈ X) potprostor prostora
X ∗∗ (jer je taj skup slika prostora X u prirodnom preslikavanju prostora X
u X ∗∗ ), to postoji T ∈ X ∗∗∗ , takav da je T (F0 ) 6= 0 i T (Fx ) = 0 za x ∈ X.
139
5.1. Konjugovani prostori i refleksivnost
Zbog refleksivnosti prostora X ∗ postoji f0 ∈ X ∗ takav da je ||T || = ||f0 || i
T (F ) = F (f0 ) za proizvoljno F ∈ X ∗∗ . Na osnovu druge pretpostavke onda
imamo
0 = T (Fx ) = Fx (f0 ) = f0 (x) ,
za proizvoljno x ∈ X, te je dakle f0 nula-funkcional, a to bi se onda protivilo
prvoj pretpostavci da je ||T || = ||f0 ||. Dakle, X mora biti refleksivan prostor.
♣
Teorem 5.4. Neka je X Banachov prostor. Ako je X ∗ separabilan, onda
je i X separabilan prostor.
Dokaz : Neka je {fi∗ ∈ X ∗ | i ∈ N} svuda gust skup u X ∗ . Lahko se pokazuje da tada funkcionali dobijeni sa
fi =
fi∗
, i∈N,
||fi∗ ||
ˇcine svuda gust skup na jediniˇcnoj sferi u X ∗ . Kako je
||fi || = sup |fi (x)| = 1 , i ∈ N ,
||x||=1
to za proizvoljan i ∈ N, postoji element xi , takav da je
||xi || = 1 i |fi (xi )| >
1
.
2
Oznaˇcimo sa L lineal u X generisan skupom {xi | i ∈ N}. L je oˇcigledno
separabilan jer skup svih linearnih kombinacija elemenata xi (i ∈ N) sa
kompleksno-racionalnim koeficijentima je prebrojiv i svuda gust u L.
Pretpostavimo da je L 6= X. Tada postoji x0 ∈ X \L, a na osnovu posljedice
Hahn-Banahove teoreme, postoji i f0 ∈ X ∗ , takav da je ||f0 || = 1, f0 (x0 ) 6= 0
i f0 (x) = 0 za sve x ∈ L. Kako funkcionali fi ˇcine svuda gust skup na
jediniˇcnoj sferi u X ∗ , postoji fi0 , takav da je
||f0 − fi0 || <
1
.
2
Kako je njemu odgovaraju´ci xi0 iz L, imamo
1
1
< |fi0 (xi0 )| = |fi0 (xi0 ) − f0 (xi0 )| ≤ ||fi0 − f0 || · ||xi0 || < .
2
2
U gornju kontradikciju nas je dovela pretopstavka de je L 6= X, pa dakle
mora biti L = X, a to po definiciji znaˇci da je X separabilan prostor. ♣
Da obrat gornje teoreme ne vaˇzi uvjeravamo se primjerom prostora l1 .
Naime, l1 jeste separabilan, ali njegov dual l1∗ = l∞ , kao ˇsto smo to vidjeli u
sekciji o separabilnosti, nije separabilan prostor.
140
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
5.2
Konjugovani operator
Neka su X i Y Banachovi prostori i A ∈ L(X, Y ). Neka je domen oparatora
A (DA ) skup svuda gust u X. Za proizvoljan funkcional g ∈ Y ∗ definiˇsimo
preslikavanje
f (x) = g(Ax) , x ∈ DA .
Oˇcigledno je f dobro definisano za svako x ∈ DA jer je Ax ∈ Y . Kako je
g ∈ Y ∗ jasno je da je f funkcional. Za proizvoljne x1 , x2 ∈ DA i λ, µ ∈ Φ je
f (λx1 + µx2 ) = g(A(λx1 + µx2 )) = g(λAx1 + µAx2 )
= λg(Ax1 ) + µg(Ax2 ) = λf (x1 ) + µf (x2 ) ,
te je f linearan. Takode vrijedi
|f (x)| = |g(Ax)| ≤ ||g|| · ||Ax|| ≤ ||g|| · ||A|| · ||x|| ,
tj. on je i ograniˇcen funkcional (zbog ograniˇcenosti funkcionala g i operatora
A). Kako je DA svuda gust u X, operator A moˇzemo bez promjene norme
produˇziti na ˇcitav prostor, a time i funkcional f . Jednostavnosti radi, taj
produˇzeni funkcional oznaˇcimo ponovo sa f . Dakle, na gore opisan naˇcin
mi smo svakom funkcionalu na Y pridruˇzili jedan (taˇcno jedan) funkcional
na X, te smo na taj naˇcin definisali jedno preslikavanje.
Definicija 5.2. Neka su X, Y Banachovi prostori i A ∈ L(X, Y ). Preslikavanje A∗ : Y ∗ → X ∗ , definisano sa
A∗ g(x) = f (x) = g(Ax) , g ∈ Y ∗ , f ∈ X ∗ ,
nazivamo konjugovani, adjungovani ili dualni operator operatora A.
U gornjoj definiciji smo definisali konjugovani operator ograniˇcenog operatora. Medutim, to smo mogli uˇciniti i za proizvoljan linearan operator, ali
tada se oblast definisanosti konjugovanog operatora moˇze bitno suziti u odnosu na Y ∗ , moˇze se ˇcak sastojati jedino iz trivijalnog funkcionala na Y , bez
obzira ˇsto je domen operatora svuda gust u X. U sluˇcaju da je A ograniˇcen
operator definisan na X, tada je domen konjugovanog operatora ˇcitav Y ∗ ,
ˇsto ´cemo u daljem podrazumijevati, osim ako drugaˇcije ne naglasimo.
Teorem 5.5. Za A ∈ L(X, Y ) je A∗ ∈ L(Y ∗ , X ∗ ) i pri tome vrijedi ||A∗ || =
||A||.
Dokaz : Neka je A ∈ L(X, Y ). Za proizvoljne g1 , g2 ∈ Y ∗ i λ, µ ∈ Φ imamo
A∗ (λg1 + µg2 )(x) = (λg1 + µg2 )(Ax) = λg1 (Ax) + µg2 (Ax)
= λA∗ g1 (x) + µA∗ g2 (x) = (λA∗ g1 + µA∗ g2 )(x) ,
ˇcime je pokazana linearnost operatora A∗ .
141
5.2. Konjugovani operator
Kako je ve´c pokazano, vrijedi
|A∗ g(x)| ≤ ||A|| · ||g|| · ||x|| ,
za svako x ∈ X, pa zakljuˇcujemo da vrijedi
||A∗ g|| ≤ ||A|| · ||g|| ,
tj.
||A∗ || ≤ ||A|| .
(5.4)
Neka je sada ε > 0 proizvoljan i x0 ∈ X, takav da je ||x0 || = 1 i ||Ax0 || ≥
||A||−ε. Prema jednoj od posljedica Hahn-Banachove teoreme moˇzemo na´ci
g0 ∈ Y ∗ takav da je ||g0 || = 1 i g0 (Ax0 ) = ||Ax0 ||. Tada imamo
||A∗ || =
sup ||A∗ g|| ≥ ||A∗ g0 || = sup |A∗ g0 (x)|
||g||=1
|A∗ g0 (x0 )|
≥
||x||=1
= |g0 (Ax0 )| = ||Ax0 || ≥ ||A|| − ε .
Zbog proizvoljnosti ε, zakljuˇcujemo
||A∗ || ≥ ||A|| .
(5.5)
Iz (5.4) i (5.5) zakljuˇcujemo jednakost normi. ♣
Primjer 5.1. Neka je Ad : l2 → l2 desni shift operator, tj. za x = (xi )i∈N ∈ l2
Ad x = (0, x1 , x2 , ...) .
Na osnovu reprezentacije linearnih ograniˇcenih funkcionala na l2 , za g ∈ l2
onda imamo
g(Ad x) =
∞
∞
∞
X
X
X
(Ad x)i ηi =
xi−1 ηi =
xi ηi+1 , y = (ηi )i∈N ∈ l2 .
i=1
i=2
i=1
Dakle, A∗d = Al , konjugovani operator desnog shift operatora je lijevi shift
operator, tj. operator sa djelovanjem
Al x = (x2 , x3 , ...) , x = (xi )i∈N ∈ l2 .
♦
Primjer 5.2. Neka je K(s, t) neprekidna funkcija na kvadratu
{(s, t)| 0 ≤ s ≤ 1 , 0 ≤ t ≤ 1}, pri ˇcemu je za q > 1
Z
0
1Z 1
0
|K(s, t)|q dt ≤ M , za svako s ∈ [0, 1] .
142
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Definiˇsimo preslikavanje A : Lp [0, 1] → Lq [0, 1] ( 1p +
Ax(s) =
Z
1
q
= 1), sa
1
K(s, t)x(t)dt .
0
Zbog pretpostavljene neprekidnosti jezgra K, preslikavanje je dobro definisano i oˇcigledno linearno. Osim toga vrijedi
q
Z 1
Z 1 Z 1
q
|Ax(s)| ds ≤
ds
|K(s, t)||x(t)|dt
0
0
0
Z
q !
Z
Z
1
≤
1
ds
0
0
1
|K(s, t)|q dt ·
0
|x(t)|p dt
p
,
pa je
||Ax|| ≤
Z
0
1Z 1
0
1q Z
|K(s, t)| dtds
·
q
0
1
p
|x(t)| dt
p1
1
≤ M q ||x||Lp
te je A i ograniˇcen operator.
Odredimo sada konjugovani operator A∗ . Proizvoljan funkcional g na prosotoru Lq [0, 1] ima reprezentaciju
Z 1
g(y) =
y(s)x0 (s)ds ,
0
gdje je x0 ∈ Lp [0, 1], element jednoznaˇcno pridruˇzen funkcionalu g. Po
definiciji konjugovanog oparatora, tada je
Z 1
Z 1 Z 1
∗
A g(x) = g(Ax) =
Ax(s)x0 (s)ds =
K(s, t)x(t)dt x0 (s)ds
0
0
0
Z 1
Z 1
=
x(t)
K(s, t)x0 (s)ds dt .
0
0
Dakle, dobili smo neki funkcional f na Lp [0, 1], a opet zbog reprezentacije
funkcionala je njemu jednoznaˇcno pridruˇzeni element dat sa
Z 1
y0 (t) =
K(s, t)x0 (s)ds ∈ Lq [0, 1] .
0
Zbog identifikacije prostora Lp i L∗q , posljednjom jednakoˇs´cu je definisan
konjugovani operator, tj.
A∗ g = f ,
gdje smo poistovjetili funkcional g sa njemu pridruˇzenim elementom x0 ∈
Lp i takode funkcional f smo poistovjetili sa njemu pridruˇzenom elementu
y0 ∈ Lq . Pri tome A∗ preslikava dakle L∗q = Lp u L∗p = Lq . ♦
143
5.2. Konjugovani operator
Teorem 5.6. Konjugovani operator proizvoljnog operatora je uvijek zatvoren
operator.
Dokaz : Neka je A : X → Y proizvoljan linearan operator. Neka je
(gn )n∈N ⊂ DA∗ , za koga vrijedi
gn → g0 i A∗ gn → f0 , n → ∞ ,
gdje su g0 ∈ Y ∗ i f0 ∈ X ∗ . Tada za svako x ∈ DA imamo
gn (Ax) → g0 (Ax) i gn (Ax) = A∗ gn (x) → f0 (x)
n→∞.
Ali ovo onda znaˇci da je za proizvoljno x iz domena operatora A, f0 (x) =
g0 (Ax), pa je i g0 (Ax) ograniˇcen funkcional (jer je f0 takav), te je g0 ∈
DA∗ . Iz istog identiteta zakljuˇcujemo i da je A∗ g0 = f0 , ˇcime je zatvorenost
operatora A∗ dokazana. ♣
Teorem 5.7. Ako je A ∈ L(X, Y ) onda je A∗∗ = (A∗ )∗ ∈ L(X ∗∗ , Y ∗∗ ).
Operator A∗∗ je proˇsirenje operatora A, tj. A ⊆ A∗∗ i pri tome je ||A∗∗ || =
||A||.
Dokaz : Kao ˇsto smo ve´c pokazati (Teorem 5.5), ako je A ograniˇcen operator, tada je i A∗ ograniˇcen sa Y ∗ u X ∗ . Ali tada je na osnovu istog i A∗∗ =
(A∗ )∗ ograniˇcen operator sa X ∗∗ u Y ∗∗ i pri tome je ||A|| = ||A∗ || = ||A∗∗ ||.
Treba joˇs pokazati da je A∗∗ proˇsirenje oparatora A. Neka je Fx funkcional
iz X ∗∗ takav da je za proizvoljan f ∈ X ∗
Fx (f ) = f (x) ,
gdje je x proizvoljan fiksan element iz X. Tada je za g ∈ Y ∗
(A∗∗ Fx )(g) = Fx (A∗ g) = (A∗ g)(x) = g(Ax) = FAx (g) ,
fdje je FAx onaj funkcional iz Y ∗∗ za koga je FAx (g) = g(Ax), za svako
g ∈ Y ∗ . Dakle,
A∗∗ Fx = FAx .
Kako ne pravimo razliku izmedu x i Fx (takode ni izmedu Ax i FAx ), gornju
jednakost moˇzemo pisati sa
A∗∗ x = Ax , za proizvoljno x ∈ X ,
ˇcime je teorem dokazan. ♣
U sljede´cim tvrdenjima raspravljamo o egzistenciji inverznog operatora
adjungovanom operatoru, kao i njegovoj vezi sa inverzom samog operatora.
Teorem 5.8. Neka je A : X → Y linearan operator takav da je DA svuda
gust u X. Operator (A∗ )−1 postoji ako i samo ako je RA svuda gust u Y .
144
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Dokaz : Neka je DA svuda gust u X. Pretpostavimo da RA nije gust u
Y . Tada postoji y0 ∈ Y takav da y0 ∈
/ RA . Prema jednoj od posljedica
Hahn-Banachove teoreme, postoji funkcional g0 ∈ Y ∗ za koga je g0 (y0 ) 6= 0
i za sve x ∈ DA je g0 (Ax) = 0.
Sada za proizvoljno x ∈ DA imamo
(A∗ g0 )(x) = g0 (Ax) = 0 ,
a kako je DA svuda gust u X i A∗ g0 neprekidan funkcional, zakljuˇcujemo
da je A∗ g0 = 0. Kako je pri tome g0 6= 0 (jer g0 (y0 ) 6= 0), zakljuˇcujemo da
(A∗ )−1 ne postoji. Kontrapozicijom imamo tvrdnju s lijeva u desno.
Neka je sada RA svuda gust u Y . Neka je h0 ∈ Y ∗ takav da je A∗ h0 = 0.
Za proizvoljno x ∈ DA tada imamo
h0 (Ax) = (A∗ h0 )(x) = 0 .
Kako je RA svuda gust u Y , to je onda h0 (y) = 0, za sve vektore y iz
svuda gustog skupa u Y . Ali, zbog neprekidnosti funkcionala h0 mora biti
h0 (y) = 0 za sve y ∈ Y , tj. funkcional h0 je identiˇcki jednak 0. Dakle, ako
je A∗ h = 0, mora biti h = 0, te operator A∗ ima inverzni operator. ♣
Teorem 5.9. Neka je A : X → Y linearan operator za koga je DA svuda
gust u X i RA svuda gust u Y i neka postoji A−1 . Tada postoji i (A∗ )−1 i
pri tome vrijedi
(A∗ )−1 = (A−1 )∗ .
Dokaz : Iz pretpostavljenih uslova teoreme, na osnovu prethodnog tvrdenja,
(A∗ )−1 postoji.
Neka je f ∈ D(A∗ )−1 , naravno f ∈ X ∗ . Oznaˇcimo g = (A∗ )−1 f , ˇsto moˇzemo
zapisati sa A∗ g = f . Za proizvoljan x ∈ DA onda vrijedi
f (x) = (A∗ g)(x) = g(Ax) .
Stavljaju´ci y = Ax, tj. x = A−1 y je
f (A−1 y) = g(y) ,
pri ˇcemu posljednja jednakost vrijedi za svako y ∈ DA−1 . Kako je g ograniˇcen
funkcional, to je f ∈ D(A−1 )∗ , i pri tome je (A−1 )∗ f = g. Dakle, za svako
f ∈ D(A−1 )∗ imamo jednakost
g = (A∗ )−1 f = (A−1 )∗ f ,
iz ˇcega onda imamo
(A∗ )−1 ⊂ (A−1 )∗ .
145
(5.6)
5.2. Konjugovani operator
Neka je sada f ∈ D(A−1 )∗ , tada za svako y ∈ DA−1 vrijedi
((A−1 )∗ f )(y) = f (A−1 y) ,
odakle stavljaju´ci x = A−1 y, odnosno y = Ax dobijamo
((A−1 )∗ f )(Ax) = f (x) .
Kada y prolazi kroz DA−1 , tada x prolazi kroz cijeli DA . Posljednja jednakost onda daje (A−1 )∗ f ∈ DA∗ i pri tome je za svako f ∈ D(A−1 )∗
A∗ ((A−1 )∗ f ) = f .
Ovo opet znaˇci da je f ∈ D(A∗ )−1 i da vrijedi
(A−1 )∗ f = (A∗ )−1 f ,
za svako f ∈ D(A−1 )∗ , tj.
(A−1 )∗ ⊂ (A∗ )−1 .
(5.7)
Iz 5.6 i 5.7 dobijamo traˇzenu jednakost. ♣
Teorem 5.10. Neka je A : X → Y linearan operator za koga je DA svuda
gust u X i RA svuda gust u Y i neka postoji A−1 . Operator A−1 je ograniˇcen
ako i samo ako je operator (A∗ )−1 definisan na cijelom X ∗ i ograniˇcem.
Dokaz : Neka je A−1 ograniˇcen. Tada je i (A−1 )∗ ograniˇcen i definisan
na cijelom X ∗ (Teorem 5.5). Kako je prema prethodnoj teoremi (A∗ )−1 =
(A−1 )∗ , onda je i operator (A∗ )−1 ograniˇcen i definisan na cijelom X ∗ .
Neka je (A∗ )−1 ograniˇcen operator, definisan na cijelom X ∗ . Onda je i
operator (A−1 )∗ ograniˇcen i definisan na X ∗ . Zato za sve f ∈ X ∗ i svaki
x ∈ DA vrijedi
f (A−1 (Ax)) = ((A−1 )∗ f )(Ax) .
Stavljaju´ci y = Ax imamo
f (A−1 y) = ((A−1 )∗ f )(y) ,
za sve f ∈ X ∗ i svako y ∈ DA−1 . Odavde sada imamo
f (A−1 y) ≤ ||(A−1 )∗ || ||f || ||y|| .
Dakle, za proizvoljno y ∈ DA−1 vrijedi
||A−1 y|| ≤ ||(A−1 )∗ || ||y|| ,
a ovo predstavlja upravo ograniˇcenost operatora A−1 . ♣
146
6
Spektar linearnog operatora
6.1
6.2
Definicija spektra operatora . . . . . . . . . . . .
Spektralni radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
152
Rjeˇsavanje mnogih matematiˇckih problema svodi se na nalaˇzenje inverznog
preslikavanja datom preslikavanju, odredenog tipa. Zbog toga je i posebno
interesovanje za inverzna preslikavanja, njihovo postojanje, ispitivanje njihovih domena i kodomena. Kao ˇsto ´cemo vidjeti, spektralna teorija se u
suˇstini bavi upravo time.
6.1
Definicija spektra operatora
U ovom dijelu ´cemo razmatrati samo osnovne dijelove spektralne teorije
linearnih operatora. Neka je A linearan operator koji djeluje sa Banachovog
prostora X u X.
Definicija 6.1. Za operator A kaˇzemo da je inverzibilan ako postoji operator
B takav da vrijedi A◦B = B ◦A = I, gdje je I identiˇcko preslikavanje. Tada
za operator B kaˇzemo da je inverzni operator operatora A i oznaˇcavamo ga
sa B = A−1 .
U konaˇcnodimenzionalnim prostorima uslov A ◦ B = I je dovoljan za zakljuˇcak da je operator A inverzibilan i da je B = A−1 , a razlog je taj ˇsto su u
konaˇcnodimenzionalnim prostorima linearna preslikavanja odredena matricama i ˇsto nam uslov det(A) 6= 0 obezbjeduje postojanje inverzne matrice.
U beskonaˇcnodimenzionalnim prostorima stvari su neˇsto drugaˇcije. Naime, posluˇzimo se primjerom lijevog i desnog shift operatora na l2 . Za
x = (xn )n∈N ∈ l2 neka su AR : l2 → l2 i AL : l2 → l2 definisani sa
AR x = (0, x1 , x2 , ...) i AL x = (x2 , x3 , ...) .
Za x ∈ l2 sada imamo
(AL ◦ AR )x = AL (AR x) = AL (0, x1 , x2 , ...) = (x1 , x2 , ....) = x ,
tojest, AL ◦ AR = I. Ali
(AR ◦ AL )x = AR (AL x) = AR (x2 , x3 , ...) = (0, x2 , x3 , ....) 6= x ,
147
6.1. Definicija spektra operatora
odnosno Ar ◦ AL 6= I, te je jasno da ova dva operatora jedan drugom nisu
inverzni.
Navedimo joˇs dvije jednostavne, ali korisne tvrdnje.
Lema 6.1. Neka je A ograniˇcen linearan operator sa Banachovog prostora
X u X, za koga je ||A|| < 1. Tada operator I − A ima inverzni operator koji
je ograniˇcen i definisan na cijelom X. Pri tome vrijedi
−1
(I − A)
Dokaz : Posmatrajmo red
=
∞
X
Ai .
i=0
∞
X
Ai .
(6.1)
i=0
Njegovi ˇclanovi su elementi Banachovog prostora L(X, X). Kako vrijedi
||Ai || ≤ ||A|| · ||Ai−1 || ≤ ||A|| · ||A|| · ||Ai−2 || ≤ · · · ≤ ||A||i , i = 0, 1, 2, ...
i zbog ||A|| < 1, zakljuˇcujemo da red (6.1) apsolutno konvergira, a time je
on i konvergentan u L(X, X), te je i njegova suma u L(X, X), tj. njegova
suma je ograniˇcen linearan operator sa X u X. Kako vrijedi
(I − A) ◦
∞
X
Ai =
i=0
=
∞
X
i=0
∞
X
i=0
Ai − A ◦
Ai −
∞
X
∞
X
Ai =
i=0
∞
X
i=0
Ai −
∞
X
Ai+1
i=0
Ai = I ,
i=1
a na sliˇcan naˇcin se pokazuje i jednakost
!
∞
X
Ai ◦ (I − A) = I ,
i=0
zakljuˇcujemo da je I − A inverzibilan i da prema Definiciji 6.1 vrijedi jednakost
∞
X
−1
(I − A) =
Ai .
♣
i=0
Lema 6.2. Neka je A inverzibilan operator i neka je B operator takav da
je ||A − B|| < ||A1−1 || . Tada je i B inverzibilan operator.
Neka je sada A linearni operator koji djeluje sa Banachovog prostora X u
X, I identiˇcko preslikavanje na X, λ fiksan kompleksni broj, y zadat element
prostora X i x traˇzeni element iz X. Posmatrajmo jednaˇcinu
(A − λI)x = y .
148
(6.2)
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Jasno je da ´ce posmatrana jednaˇcina imati rjeˇsenje ako i samo ako y ∈
Rang(A−λI). Moˇzemo postaviti i mnoga druga pitanja u vezi ove jednaˇcine:
koliko ´ce biti rjeˇsenja, da li rjeˇsenja neprekidno ovise o y, da li postoji
inverzno prelikavanje (A − λI)−1 , ˇsta je domen, a ˇsta kodomen preslikavanja
A − λI i kako oni utiˇcu na egzistenciju rjeˇsenja itd. Naprimjer, ako je
operator (A − λI)−1 neprekidan i definisan na cijelom X onda jednaˇcina
(6.2) ima jedinstveno rjeˇsenje za proizvoljan y ∈ X, koje je dato sa x =
(A−λI)−1 y i pri tome to rjeˇsenje neprekidno zavisi o y. Sva gore postavljena
pitanja i razmiˇsljanja nas navode na uvodenje novih pojmova bitnih za to.
Definicija 6.2. Neka je A linearan operator sa Banachovog prostora X u
X i λ kompleksan broj. Kaˇzemo da je λ regularna taˇcka operatora A ako
postoji inverzni operator (A − λI)−1 operatora A − λI, koji je ograniˇcen i
definisan na svuda gustom skupu u X.
Skup svih regularnih taˇcaka operatora A nazivamo rezolventni skup operatora
i oznaˇcavamo ga sa ρ(A).
Definicija 6.3. Neka je ρ(A) rezolventni skup linearnog operatora A. Skup
σ(A) = C \ ρ(A) nazivamo spektar operatora A (C kompleksna ravan).
Na osnovu Leme 6.2 lahko se pokazuje da je rezolventni skup otvoren.
Zaista, neka je λ ∈ C regularna taˇcka operatora A. To znaˇci da postoji
operator (A − λI)−1 koji je ograniˇcen i definisan na svuda gustom
skupu, i
1
⊂ C. Za
neka je ||(A − λI)−1 || = M . Posmatrajmo sada kuglu B λ, 2M
1
proizvoljno µ ∈ B(λ, 2M ) imamo
||A − λI − (A − µI)|| = ||λI − µI|| = |λ − µ| <
1
1
1
<
=
.
2M
M
||(A − λI)−1 ||
Na osnovu Leme 6.2 zakljuˇcujemo da je i A − µI inverzibilan operator, te
je i µ regularna taˇcka operatora A. Dakle, rezolventni skup je okolina svake
svoje taˇcke te je i otvoren skup. Dakle vrijedi,
Teorem 6.3. Rezolventni skup je otvoren, a spektar operatora je zatvoren
skup.
Osim toga, za rezolventni skup vrijedi i sljede´ca jednostavna, a korisna
tvrdnja.
Teorem 6.4. Neka je A ∈ L(X, X) i neka je λ ∈ C takav da je ||A|| < |λ|.
Tada je λ regularna taˇcka operatora A.
Dokaz : Neka je ||A|| < |λ|, tada je λ1 A < 1. Na osnovu Leme 6.1
operator I − λ1 A je takode inverzibilan, a time je i operator A − λI =
−λ(I − λ1 A) inverzibilan. ♣
149
6.1. Definicija spektra operatora
Definicija 6.4. Za taˇcku λ ∈ σ (A) kaˇzemo da je taˇcka neprekidnog spektra
operatora A ako postoji operator (A − λI)−1 , koji je definisan na svuda
gustom skupu i nije ograniˇcen operator.
Skup svih taˇcaka neprekidnog spektra operatora A oznaˇcavamo sa σ c (A).
Definicija 6.5. Za taˇcku λ ∈ σ (A) kaˇzemo da je taˇcka rezidualnog spektra
operatora A ako postoji operator (A − λI)−1 , koji nije definisan na svuda
gustom skupu.
Skup svih taˇcaka rezidualnog spektra operatora A oznaˇcavamo sa σ r (A).
Definicija 6.6. Za taˇcku λ ∈ σ (A) kaˇzemo da je taˇcka punktualnog (taˇckastog
ili diskretnog) spektra operatora A ako operator (A − λI)−1 ne postoji.
Skup svih taˇcaka punktualnog spektra operatora A oznaˇcavamo sa σ p (A).
Na osnovu datih definicija je jasno da su rezolventni skup i spektar operatora disjunktni skupovi, ρ(A) ∩ σ (A) = ∅ i pri tome je
ρ(A) ∪ σ (A) = C .
Takode je jasno i da su skupovi σ c (A), σ r (A) i
svaki od njih podskup od σ (A). Pri tome je
σ p(A)
disjunktni i da je
σ(A) = σ c (A) ∪ σ r (A) ∪ σp (A) .
Definicija 6.7. Kompleksan broj λ nazivamo svojstvena ili karakteristiˇcna
vrijednost operatora A ako postoji nenula element x ∈ X takav da vrijedi
Ax = λx .
Vektor x pridruˇzen na ovaj naˇcin svojstvenoj vrijednosti λ nazivamo svojstveni ili karakteristiˇcni vektor operatora A.
Na osnovu definicije punktualnog spektra, ako λ ∈ σ p (A) tada ne postoji
(A − λI)−1 , a kako je to linearan operator, to znaˇci da postoji x ∈ X, x 6= 0,
takav da je (A − λI)x = 0. Dakle, ako je λ taˇcka punktualnog spektra,
tada postoji 0 6= x ∈ X, takav da je Ax = λx, tojest λ je svojstvena
vrijednost operatora A, pa moˇzemo re´ci da punktualni spektar operatora
ˇ
ˇcine upravo svojstvene vrijednosti tog operatora. Cinjenicu
o pripadnosti
kompleksnog broja λ punktualnom spektru mogli bi smo izraziti i ˇcinjenicom
da je Ker(A−λI) 6= ∅. Pri tome dimenziju prostora Ker(A−λI) nazivamo
viˇsestrukost svojstvene vrijednosti λ.
Ukoliko posmatramo linearan operator na konaˇcnodimenzionalnom prostoru X situacija je popriliˇcno jednostavna. Naime, ako postoji (A − λI)−1 ,
to znaˇci da je preslikavanje A − λI bijekcija. Tada je (A − λI)(X) = X pa je
inverzni operator (A − λI)−1 definisan na svuda gustom skupu. Pri tome su
linearna preslikavanja na konaˇcnodimenzionalnim prostorima neprekidna pa
je (A − λI)−1 i ograniˇcen operator. Dakle, ako je X konaˇcnodimenzionalan
150
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
prostor, linearan operator A − λI ili ima ograniˇcen inverzni operator ili
ga uopˇste nema, a to znaˇci da proizvoljan kompleksan broj λ ili pripada
rezolventnom skupu ili punktualnom spektru operatora A (kontinualni i rezidualni spektri su prazni skupovi).
Primjer 6.1. Neka je operator A : C2 → C2 zadat u standardnoj (kanonskoj)
bazi prostora C2 matricom
0 −1
.
1 0
Neka je λ ∈ C. Pretpostavka da operator A − λI nema inverzni operator
svodi se na ˇcinjenicu da je det(A−λI) = 0 (karakteristiˇcni polinom matrice).
Kako je
−λ −1 = λ2 + 1 ,
det(A − λI) = 1 −λ to jednaˇcina λ2 + 1 = 0 ima dva rjeˇsenja, λ = i i λ = −i, te je prema
reˇcenom za konaˇcnodimenzionalne prostore
σ (A) = σ p (A) = {−i, i} .
Svojstveni vektor za svojstvenu vrijednost λ = i dobijamo nalaze´ci nenula
vektor x = (x1 , x2 ) ∈ C2 takav da je (A−iI)x = 0, ˇsto se svodi na rjeˇsavanje
sistema
−ix1 − x2 = 0
x1 − ix2 = 0
Jedno rjeˇsenje ovog sistema je vektor x = (i, 1). Naravno, i svi vektori ax i
samo oni, gdje je a ∈ C ´ce biti rjeˇsenje datog sistema, ˇsto nam govori da je
viˇsestrukost svojstvene vrijednosti λ = i jednaka 1. ♦
Primjer 6.2. Neka je X prostor C[−1, 1] sa standardnom maksimum metrikom i neka je A : X → X zadat sa
f ∈ C[−1, 1] , Af = f (0) + f .
Odredimo spektar i rezolventni skup datog operatora.
Za proizvoljno f ∈ C[−1, 1] imamo
||Af || = max |f (0) + f (x)| ≤ |f (0)| + max |f (x)| ≤ ||f || + ||f || = 2||f || ,
x∈[−1,1]
x∈[−1,1]
ˇsto znaˇci da je ||A|| ≤ 2. Posmatrajmo f0 (x) = 1 − x2 ∈ C[−1, 1]. Tada je
||A|| =
maxx∈[−1,1] |f0 (0) + f0 (x)|
||Af ||
||Af0 ||
≥
=
=2,
||f0 ||
maxx∈[−1,1] |f0 (x)|
f ∈X\{0} ||f ||
sup
151
6.1. Definicija spektra operatora
pa zakljuˇcujemo da je ||A|| = 2.
Neka je sada g ∈ C[−1, 1] proizvoljna. Rijeˇsimo jednaˇcinu (A − λI)f = g
po f ∈ C[−1, 1]. Tada je
g(x) = (A − λI)f (x) = Af (x) − λf (x) = f (0) + f (x) − λf (x) .
(6.3)
Specijalno, za x = 0 moralo bi biti
g(0) = f (0) + f (0) − λf (0) = (2 − λ)f (0) .
(6.4)
Kako f mora biti neprekidna funkcija, oˇcigledno posljednja jednakost ne
daje rjeˇsenje po funkciji f za λ = 2, za proizvoljnu funkciju g. Zakljuˇcujemo
da onda mora biti 2 ∈ σ (A). Neka je nadalje λ 6= 2. Iz (6.4) dobijamo
f (0) =
g(0)
,
2−λ
pa stavljaju´ci to u (6.3) imamo
g(x) −
g(0)
= (1 − λ)f (x) .
2−λ
Opet, sliˇcno malopredaˇsnjem, rezonujemo da za λ = 1 nemamo jednoznaˇcno
odredeno f , za proizvoljno g ∈ C[−1, 1], pa mora biti 1 ∈ σ (A).
neka je sada i λ 6= 2 i λ 6= 1. Tada je funkcija
f (x) = (A − λI)−1 g(x) =
1
g(0)
g(x) −
,
1−λ
(1 − λ)(2 − λ)
rjeˇsenje polazne jednaˇcine (A − λI)f = g, koje je neprekidno ako je i g
neprekidna funkcija. Pri tome je
1
1
−1
||f || = ||(A − λI) g|| ≤
+
||g|| = C(λ)||g|| .
|1 − λ| |1 − λ||2 − λ|
Ovo onda znaˇci da je C \ {1, 2} ⊆ ρ(A), a kako je pokazano {1, 2} ⊆
zakljuˇcujemo da vrijedi
ρ(A) = C \ {1, 2} i
σ (A),
σ (A) = {1, 2} .
Pokaˇzimo joˇs da su taˇcke λ = 1 i λ = 2 svojstvene vrijednosti posmatranog
operatora. Kako je za posmatrani operator svojstvena vrijednost okarakterisana sa jednaˇcinom
Af (x) = f (0) + f (x) = λf (x) ,
to za λ = 1 imamo da mora biti f (0) + f (x) = f (x), tojest f (0) = 0, pa
je svako f ∈ C[−1, 1] za koju je f (0) = 0 svojstveni vektor za svojstvenu
vrijednost λ = 1.
152
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Ako je λ = 2, opet iz karakterizacije svojstvene vrijednosti imamo da mora
biti f (0) + f (x) = 2f (x). Tada je svaka konstantna funkcija f (x) = c svojstveni vektor za svojstvenu vrijednost λ = 2. Iz svega reˇcenog konstatujmo
sljede´ce:
σ (A) = σ p(A) , σ c = ∅ , σ r = ∅ .
♦
6.2
Spektralni radius
Za proizvoljno λ ∈ C koja je regularna taˇcka operatora A, postoji operator (A − λI)−1 . Dakle, svakom λ ∈ ρ(A) moˇzemo pridruˇziti operator R(A, λ) = (A − λI)−1 koji se naziva rezolventom operatora A, a koji
predstavlja preslikavanje sa ρ(A) u L(X, X). Za rezolventu vrijedi sljede´ce
tvrdenje.
Teorem 6.5. Neka je A ∈ L(X, X) i neka su λ, µ ∈ ρ(A). Tada vrijedi
R(A, λ) − R(A, µ) = (λ − µ)R(A, λ)R(A, µ) .
(6.5)
Dokaz : Pretpostavimo da ρ(A) nije prazan skup i neka su λ, µ ∈ ρ(A).
Za svako x ∈ X je R(A, λ)x, R(A, µ)x ∈ DA . Oznaˇcimo sa
B = R(A, λ) − R(A, µ) ,
tada je Bx = R(A, λ)x − R(A, µ)x, za svako x ∈ X. Tada vrijedi
(A − µI)Bx = (A − µI)R(A, λ)x − (A − µI)R(A, µ)x
= ((A − λI) + (λ − µ)I)R(A, λ)x − x
= (λ − µ)R(A, λ)x .
Ako i na lijevu i na desnu stranu posljednje jednakosti djelujemo operatorom R(A, µ), dobijamo
R(A, µ)(A − µI)Bx = (λ − µ)R(A, µ)R(A, λ)x ,
tojest imamo jednakost B = (λ − µ)R(A, µ)R(A, λ), ili drugaˇcije napisano
R(A, λ) − R(A, µ) = (λ − µ)R(A, µ)R(A, λ) .
(6.6)
Primjenjuju´ci simetriˇcno sve gornje na operator B = R(A, µ) − R(A, λ),
imali bi
R(A, µ) − R(A, λ) = (µ − λ)R(A, λ)R(A, µ) .
(6.7)
Sabiranjem jednaˇcina (6.6) i (6.7) dobijamo jednakost
R(A, λ)R(A, µ) = R(A, µ)R(A, λ) ,
153
6.2. Spektralni radius
koja zajedno sa (6.6) daje traˇzenu jednakost (6.5). ♣
Jednakost (6.5) se naziva rezolventna jednaˇcina. Ona nam izmedu ostalog govori da je rezolventa operatora neprekidna funkcija po λ ∈ ρ(A), a
u dokazu gornje teoreme smo pokazali da dvije rezolvente istog operatora
komutiraju za proizvoljne dvije regularne taˇcke tog operatora.
Ranije smo pokazali da je rezolventni skup operatora, otvoren skup i u posljednjoj teoremi smo pretpostavili da je rezolventni skup neprazan. Pokaˇzimo
sada da je ta pretpostavka bila opravdana.
Teorem 6.6. Neka je A ∈ L(X, X). Tada su ρ(A) i
povi kompleksne ravni.
σ (A) neprazni podsku-
1
Dokaz : Neka je λ ∈ C, takav da je ||A|| < |λ|. Tada je || λ1 A|| = |λ|
||A|| <
1
1, pa prema Teoremi 6.1 operator I − λ A ima inverzni operator (definisan
na X) i pri tome vrijedi
−1 X
∞
1 i
1
=
A .
I− A
λ
λi
i=0
Odavde onda slijedi da i operator A − λI ima ograniˇcen inverzni operator
definisan na X, i da je pri tome
−1
(A − λI)
∞
∞
i=0
i=0
X 1
1X 1 i
=−
A
=
−
Ai ,
λ
λi
λi+1
a ovo znaˇci da svaki kompleksan broj λ, za koga je ||A|| < |λ|, pripada skupu
ρ(A). Kako razmatramo ograniˇcene operatore (||A|| ≤ M < +∞), ovo znaˇci
da je rezolventni skup neprazan, a na osnovu odnosa rezolventnog skupa i
spektra operatora, zakljuˇcujemo da spektar σ (A) mora leˇzati u kugli ˇciji je
polupreˇcnik jednak ||A||.
Pretpostavimo sada da je σ (A) = ∅. Tada je ρ(A) = C, te je rezolventa
R(A, λ) definisana na cijeloj kompleksnoj ravni. Neka je |λ| > 2||A||. Kako
je
∞
X
1
R(A, λ) = −
Ai ,
(6.8)
i+1
λ
i=0
to onda imamo
||R(A, λ)|| ≤
<
∞
∞
1 X 1
1 X ||A||i
i
||A||
≤
|λ|
|λ|i
|λ|
|λ|i
i=0
i=0
∞ 1 X 1 i
= C1 .
2||A||
2
i=0
Dakle, ˇcim je |λ| > 2||A||, onda je ||R(A, λ)|| ≤ C1 . Kako je rezolventa
neprekidna funkcija, na osnovu relacije
|||R(A, λ)|| − ||R(A, µ)||| ≤ ||R(A, λ) − R(A, µ)|| ,
154
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
zakljuˇcujemo da je i realna funkcija ||R(A, λ)|| neprekidna po λ ∈ ρ(A).
Time je ona i ograniˇcena na ograniˇcenom skupu, tj. vrijedi
||R(A, λ)|| ≤ C2 , |λ| ≤ 2||A|| .
Stavljaju´ci da je C = max {C1 , C2 } zakljuˇcujemo da vrijedi ||R(A, λ)|| ≤ C,
za sve λ ∈ C. Neka je sada x0 6= 0 i f ∈ X ∗ proizvoljan. Posmatrajmo
funkciju definisanu sa φ(λ) = f (R(A, λ)x0 ). Ona je definisana na cijeloj
kompleksnoj ravni i tamo je ograniˇcena jer vrijedi
|φ(λ)| = |f (R(A, λ)x0 )| ≤ ||f || · ||R(A, λ)|| · ||x0 || ≤ C||f || · ||x0 || ,
za proizvoljno λ ∈ C.
Neka je sada λ =
6 µ (λ, µ ∈ C). Tada imamo
φ(λ) − φ(µ) = f (R(A, λ)x0 ) − f (R(A, µ)x0 )
= f ((R(A, λ) − R(A, µ))x0 )
= f ((λ − µ)R(A, λ)R(A, µ)x0 ) .
Zato vrijedi
φ(λ) − φ(µ)
= f (R(A, λ)R(A, µ)x0 ) .
λ−µ
Kako je rezolventa neprekidna funkcija, zakljuˇcujemo da vrijedi
φ(λ) − φ(µ)
→ f (R2 (A, µ)x0 ) , λ → µ .
λ−µ
Dakle, funkcija φ(λ) ima izvod u cijeloj kompleksnoj ravni, te je dakle cijela
funkcija, a kako je i ograniˇcena, prema poznatom stavu iz teorije funkcija
kompleksne promjenljive ona je konstanta. Za proizvoljno λ ∈ C je prema
tome
φ(λ) = f (R(A, λ)x0 ) = K (K = const) .
Iz ranije dobijene veze (6.8), puˇstanjem da λ teˇzi u beskonaˇcnost, zakljuˇcujemo
da mora vrijediti ||R(A, λ)|| → 0, te onda imamo
0 ≤ |K| = |f (R(A, λ)x0 )| ≤ ||f || · ||R(A, λ)|| · ||x0 || → 0 , λ → ∞ ,
iz ˇcega onda mora biti K = 0. To onda znaˇci da za proizvoljan funkcional
f ∈ X ∗ i proizvoljno λ ∈ C, vrijedi f (R(A, λ)x0 ) = 0, pa preme jednoj od
posljedica Hahn-Banachove teoreme zakljuˇcujemo da mora biti R(A, λ)x0 =
0. Kako R(A, λ) ima inverzni operator A − λI, zakljuˇcujemo da mora biti
x0 = 0, ˇsto se naravno protivi naˇsem izboru elementa x0 .
Dobivena kontradikcija pokazuje da spektar ograniˇcenog operatora ne moˇze
biti prazan skup, ˇcime je teorem dokazan. ♣
Kao ˇsto smo ve´c mogli vidjeti iz Teorema 6.4, spektar linearnog operatora
A se nalazi u krugu polupreˇcnika ||A||. Medutim, taj se rezultat moˇze i
155
6.2. Spektralni radius
pojaˇcati. Naime, ve´c smo imali da vrijedi 0p≤ ||An || ≤ ||A||n za proizvoljno
n ∈ N, a to onda znaˇ
ci da vrijedi i 0 ≤ n ||An || ≤ ||A||, za n ∈ N prop
n
izvoljno. Dakle, niz ( ||An ||)n∈N je ograniˇcen. Neka je rA infimum skupa
vrijednosti tog niza. Za proizvoljno ε > 0, na osnovu definicije infimuma,
postoji prirodan broj n0 , takav da je
p
n0
||An0 || < rA + ε .
(6.9)
Neka je sada n ≥ n0 , tada moˇzemo pisati n = mn0 + q, za neke nenegativne
cijele brojeve m i q, pri ˇcemu je 0 ≤ q < n0 . Tada imamo
p
p
p
p
n
||An || = n ||Amn0 +q || ≤ n ||Aq || · ||Amn0 || ≤ n ||A||q · ||An0 ||m
p
p
≤ n ||A||q · n ||An0 ||m
p
p
< n ||A||q · n ((rA + ε)n0 )m
p
p
p
= n ||A||q · n (rA + ε)mn0 +q · n (rA + ε)−q
s
||A|| q
= n
· (rA + ε) .
rA + ε
Kako je 0 ≤ q < n0 , to vrijedi
s
||A|| q
n
→ 1 , (n → ∞) ,
rA + ε
pa postoji n1 = n1 (ε) takav da je za n ≥ n1 zadovoljeno,
s
||A|| q
n
· (rA + ε) < rA + 2ε .
rA + ε
p
Dakle, za proizvoljno n ≥ n1 vrijedi n ||An || < rA + ε, te zbog proizvoljnosti
ε zakljuˇcujemo da je posmatrani niz konvergentan i da je pri tome
p
n
||An || → rA , n → ∞ .
Posmatrajmo sada red
∞
X
Ak
−
,
λk+1
(6.10)
k=0
i kao ˇsto smo to pokazali ranije, on konvergira ako konvergira brojni red
∞
X
||Ak ||
k=0
|λ|k
,
a ovaj je opet konvergentan (na osnovu Cauchyjevog korijenog kriterija) ako
vrijedi
s
||Ak ||
<1.
lim k
k→∞
|λ|k
156
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Posljednje je ekvivalentno sa uslovom
q
rA = lim k ||Ak || < |λ| .
k→∞
Dakle, ako je rA < |λ| tada je red (6.10) konvergentan (u L(X, X)). Koriste´ci
Lemu 6.1, stavljaju´ci umjesto A operator λ1 A, zakljuˇcujemo da red (6.10)
predstavlja upravo operator (A − λI)−1 , a to znaˇci da je λ ∈ ρ(A). Odavde
je jasno da se onda spektar σ (A) mora nalaziti u skupu K(0, rA ) = {λ ∈
C | |λ| ≤ rA }.
Pokaˇzimo da se na kugli K(0, rA ) mora nalaziti bar jedna taˇcka spektra
operatora A. Neka je f (λ) neprekidna kompleksna funkcija na nekoj oblasti
G ⊂ ρ(A). Neka je Γ kriva koja se moˇze rektificirati i koja leˇzi u oblasti G.
Posmatrajmo na klasiˇcan naˇcin definisan integral
Z
f (λ)R(A, λ)dλ .
(6.11)
Γ
Ovaj integral predstavlja ograniˇcen linearan operator koji djeluje sa X u X.
Ako je Γ zatvorena kriva koja ograniˇcava oblast G ⊂ ρ(A) i ako je f (λ)
analitiˇcka funkcija u i na G, tada iz teorije funkcija kompleksne promjenljive
znamo da vrijedi
I
f (λ)R(A, λ)dλ = 0 ,
Γ
a odavde opet zakljuˇcujemo da se vrijednost integrala ne´ce promjeniti ako
putanju integracije mijenjamo (ostaju´ci u ρ(A)), drˇze´ci krajeve krive fiksnim. Isto tako to onda znaˇci da ako je oblast G ⊂ ρ(A) ograniˇcena dvjema
zatvorenim krivama Γ1 i Γ2 , koje se ne sijeku i koje se nalaze u ρ(A), onda
je
Z
Z
f (λ)R(A, λ)dλ =
Γ1
f (λ)R(A, λ)dλ .
Γ2
Neka je sada Γ proizvoljna zatvorena kriva u ρ(A), koja ograniˇcava oblast
u kojoj je sadrˇzan σ (A) (to oˇcigledno moˇze biti proizvoljna kruˇznica sa
centrom u 0, polupreˇcnika ve´ceg od rA ). Kao ˇsto smo ve´c imali vrijedi,
R(A, λ) = −
pa mnoˇze´ci to sa
λn
(n ∈ N) imamo,
∞
X
Ak
,
λk+1
k=0
1 n
1
A − 2 An+1 − · · · .
λ
λ
Kako je red na desnoj strani uniformno konvergentan, integrale´ci posljednju
jednakost dobijamo,
I
I
I
1
1
1
n
n−1
n−2
−
λ R(A, λ)dλ =
λ
dλ I +
λ
dλ A + · · ·
2πi Γ
2πi Γ
2πi Γ
I
I
1
1
1
1
n
··· +
dλ A +
dλ An+1 + · · · .
2πi Γ λ
2πi Γ λ2
λn R(A, λ) = λn−1 I − λn−2 A − · · · −
157
6.2. Spektralni radius
Svi integrali na desnoj strani su jednaki 0, osim
I
1
1
dλ = 1 ,
2πi Γ λ
pa zakljuˇcujemo jednakost,
1
A =−
2πi
n
I
Γ
λn R(A, λ)dλ , n ∈ N0 .
Pretpostavimo sada da na kugli K(0, rA ) nema taˇcaka spektra. Kako su
K(0, rA ) i σ (A) zatvoreni i ograniˇceni skupovi, to je udaljenost izmedu
njih pozitivna. To znaˇci da postoji δ > 0, tako da za r = rA − δ je
σ (A) ⊂ K(0, r) ⊂ K(0, rA ). Prema ranijoj napomeni za integrale kompleksne funkcije onda zakljuˇcujemo
I
1
n
λn R(A, λ)dλ ,
A =−
2πi S(0,r)
a onda vrijedi procjena
||An || ≤
1
(rA − δ)n · C · 2π(rA − δ) = (rA − δ)n+1 C ,
2π
gdje je C konstanta za koju je ||R(A, λ)|| ≤ C, za sve λ. Sada je
p
p
lim n ||An || ≤ lim n (rA − δ)n+1 C = rA − δ < rA ,
n→∞
n→∞
a to je naravno u suprotnosti sa odredenjem broja rA , tj.
p
rA = lim n ||An || .
n→∞
Dakle, bar jedna taˇcka spektra operatora A mora leˇzati na kugli K(0, rA ).
Veliˇcinu rA uvedenu na gornji naˇcin, nazivamo
p spektralni radius operatora
A. Pri tome je jasno da je rA ≤ ||A|| jer je n ||An || ≤ ||A||, a konkretnim
primjerima se moˇze pokazati da je mogu´ce da bude rA < ||A||.
Sada ´cemo napraviti poredenje izmedu spektra linearnog operatora A i
spektra njemu konjugovanog operatora.
Teorem 6.7. Neka je A ∈ L(X, X) zatvoren operator. Tada vrijedi
σ(A) = σ(A∗ ) .
Jasno je da na osnovu jednakosti iz gornje teoreme imamo i jednakost
ρ(A) = ρ(A∗ ). Takode vrijedi,
Teorem 6.8. Neka je A ∈ L(X, X) zatvoren operator.
1. Ako je λ ∈ σ p (A), tada je ili λ ∈ σ p (A∗ ) ili λ ∈ σ r (A∗ ).
2. Ako je λ ∈ σ p (A∗ ), tada je ili λ ∈ σ p (A) ili λ ∈ σ r (A).
158
7
Hilbertovi prostori
7.1
Skalarni produkt. Hilbertovi prostori. . . . . . .
158
7.2
Ortogonalnost i ortogonalni komplement . . . .
168
7.3
Ortonormirani sistemi . . . . . . . . . . . . . . . .
173
7.4
Linearni funkcionali na Hilbertovim prostorima
185
U dosadaˇsnjim izuˇcavanjima prostora i njihovih osobina mi smo se bavili (u ”rastu´cem nizu”) toploˇskim, metriˇckim, normiranim i Banachovim
prostorima. Posljednji u nizu kojim ´cemo se baviti su Hilbertovi prostori,
koji su u stvari Banachovi prostori na kojima je definisan skalarni proizvod
iz koga izvire norma. Kao ˇsto ´cemo vidjeti, pojam skalarnog produkta ´ce
nam omogu´citi bogatiju strukturu prostora, tojest omogu´cit ´ce nam uvesti
pojam ortogonalnosti, a time nam omogu´citi i geometriju u Hilbertovim
prostorima na intuitivnom nivou kao linearan vektorski prostor (konaˇcno ili
beskonaˇcnodimenzionalan) sa proizvoljnim brojem ortogonalnih koordinatnih osa.
7.1
Skalarni produkt. Hilbertovi prostori.
Definicija 7.1. Neka je H linearan vektorski prostor nad poljem skalara Φ
i neka je svakom paru (x, y) ∈ H × H pridruˇzen broj (x, y) ∈ Φ, tako da
vrijedi:
1. (∀x ∈ H) (x, x) ≥ 0, (nenegativnost)
2. (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0, (pozitivna definitnost)
3. (∀x, y ∈ H) (x, y) = (y, x), (hermitska simetriˇcnost)
4. (∀x, y, z ∈ H)(∀α, β ∈ Φ) (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z), (linearnost
po prvom argumentu).
Tada kaˇzemo da je na H definisan skalarni proizvod.
Lema 7.1. Neka je H vektorski prostor na kome je definisan skalarni proizvod. Tada vrijedi,
(∀x, y ∈ H) |(x, y)|2 ≤ (x, x)(y, y) .
159
7.1. Skalarni produkt. Hilbertovi prostori.
Dokaz : Neka su x, y ∈ H i λ ∈ Φ proizvoljni. Na osnovu nenegativnosti
skalarnog proizvoda vrijedi, (x + λy, x + λy) ≥ 0. Uzimaju´ci u obzir tre´cu
osobinu skalarnog proizvoda i Lemu 7.2, dobijamo
λλ (y, y) ≥ 0 .
(x, x + λy) + λ(y, x + λy) = (x, x) + λ(x, y) + λ(y, x) + |{z}
|λ|2
Stavljaju´ci da je λ = − (x,y)
(y,y) , (y 6= 0), imamo
(x, x) +
−
(x, y) |(x, y)|2
(x, y) · (x, y) + −
· (y, x) +
· (y, y)
(y, y)
(y, y)
[(y, y)]2
(x, y)(x, y) (x, y)(x, y) |(x, y)|2
−
+
(y, y)
(y, y)
(y, y)
2
2
2
|(x, y)|
|(x, y)|
|(x, y)|
= (x, x) −
−
+
≥0,
(y, y)
(y, y)
(y, y)
= (x, x) −
odakle je
(x, x) ≥
|(x, y)|2
.
(y, y)
Mnoˇze´ci zadnju nejednakost sa (y, y), dobijamo
|(x, y)|2 ≤ (x, x)(y, y).
(7.1)
Jasno je da za y = 0 nejednakost (7.1) vrijedi trivijalno, pa (7.1) vrijedi za
svaki x, y ∈ H. ♣
Ova nejednakost poznata je pod nazivom Schwartzova nejednakost ili nejednakost Cauchy-Schwartz-Buniakowskog.
Neka je sada H linearan vektorski prostor na kome je definisan skalarni
produkt. Za x ∈ H oznaˇcimo sa
p
kxk = (x, x) .
(7.2)
Jasno je da na osnovu definicije skalarnog produkta vrijede prve tri osobine
norme. Provjerimo ˇcetvrtu osobinu. Za proizvoljne x, y ∈ H tada vrijedi
kx + yk2 = (x + y, x + y) = (x, x + y) + (y, x + y)
= (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y)
= kxk2 + (x, y) + (y, x) + kyk2 .
Koriste´ci nejednakost (7.1) i relaciju (7.2), iz gornjeg imamo
kx + yk2 ≤ kxk2 + 2 · kxk · kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 ,
odnosno vrijedi kx + yk ≤ kxk + kyk.
Dakle, sa (7.2) je uvedena norma na H za koju kaˇzemo da ”izvire” ili da
je indukovana skalarnim produktom, a time je H dakle normiran prostor.
160
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Definicija 7.2. Linaran vektorski prostor H na kome je definisan skalarni
proizvod iz kojeg izvire norma data sa (7.2), nazivamo unitarnim vektorskim
prostorom.
Navedimo neke vaˇznije osobine skalarnog produkta koje proizilaze iz same
definicije.
Lema 7.2. Neka je H unitaran vektorski prostor. Tada vrijedi,
(∀x, y, z ∈ H)(∀α, β ∈ Φ)(x, αy + βz) = α(x, y) + β(x, z) .
Dokaz : Neka su x, y, z ∈ H i α, β ∈ Φ proizvoljni. Tada vrijedi:
(x, αy + βz) = (αy + βz, x) = α(y, x) + β(z, x) = α(y, x) + β(z, x)
= α(y, x) + β(z, x) = α(x, y) + β(x, z).
♣
Lema 7.3. Neka je H unitaran vektorski prostor. Tada vrijedi,
(∀x ∈ H) (x, 0) = (0, x) = 0 .
Dokaz : Neka je x ∈ H proizvoljan. Tada imamo
(0, x) = (0 + 0, x) = (0, x) + (0, x) ⇒ 0 = (0, x)
⇒ (x, 0) = (0, x) = 0.
(x, 0) = (x, 0 + 0) = (x, 0) + (x, 0) ⇒ 0 = (x, 0)
♣
Lema 7.4. U unitarnom vektorskom prostoru vrijedi
i
1h
(7.3)
(x, y) = kx + yk2 − kx − yk2 + ikx + iyk2 − ikx − iyk2 .
4
Dokaz : Sliˇcno malopredaˇsnjem postupku, lahko se pokazuje da vrijede
sljede´ce jednakosti:
kx + yk2 = kxk2 + (x, y) + (y, x) + kyk2
2
2
(7.4)
2
kx − yk = kxk − (x, y) − (y, x) + kyk
(7.5)
2
2
2
(7.6)
2
2
2
(7.7)
ikx + iyk = ikxk + (x, y) − (y, x) − ikyk
ikx − iyk = ikxk − (x, y) + (y, x) − ikyk
Sabiraju´ci (7.4), (7.5), (7.6) i (7.7) dobijamo
kx + yk2 − kx − yk2 + ikx + iyk2 − ikx − iyk2 =
= kxk2 + (x, y) + (y, x) + kyk2 − kxk2 + (x, y) + (y, x) − kyk2 +
+ikxk2 + (x, y) − (y, x) − ikyk2 − ikxk2 + (x, y) − (y, x) + ikyk2 =
= 4 · (x, y) ,
a odavde direktno slijedi jednakost (7.3). ♣
161
7.1. Skalarni produkt. Hilbertovi prostori.
Lema 7.5 (Relacija paralelograma). Neka je H unitaran vektorski prostor. Za proizvoljne x, y ∈ H vrijedi relacija
kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 .
→
−
y
→
−
x
→
−
+ y
→
x−
− −
y→
(7.8)
→
−
x
→
−
y
→
−
x
Dokaz :
Sabiraju´ci jednakosti (7.4) i (7.5) dobijamo
kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 ,
tj. relaciju paralelograma (7.8). ♣
Gornja tvrdnja predstavlja jednostavno geometrijsko pravilo da je zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak dvostrukoj sumi kvadrata njegovih
stranica. Medutim, ovdje imamo i mnogo vaˇzniju ˇcinjenicu. Naime, ako u
normiranom prostoru za svaka dva vektora vrijedi (7.8), tada je taj prostor
unitaran, tj. u njemu se moˇze uvesti skalarni produkt iz koga izvire data
norma. Ako ovo posmatramo u kontrapoziciji imamo tvrdnju da ukoliko
nije zadovoljena jednakost (7.8), tada prostor nije unitaran.
Lema 7.6. Skalarni proizvod je neprekidna funkcija svojih argumenata.
Dokaz : Neka su dati nizovi (xn )n∈N , (yn )n∈N ⊂ H, takvi da xn → x i
yn → y, (n → ∞), tj.
kxn − xk → 0 , kyn − yk → 0 ; (n → ∞) .
Tada imamo
|(xn , yn ) − (x, y)| = |(xn , yn ) − (x, yn ) + (x, yn ) − (x, y)|
= |(xn − x, yn ) + (x, yn − y)|
≤ |(xn − x, yn )| + |(x, yn − y)|
≤ kxn − xk · kyn k + kxk · kyn − yk → 0 , (n → ∞).
Dakle,
(xn , yn ) → (x, y)
(n → ∞) ,
tj. skalarni produkt je neprekidan po obje koordinate. ♣
Neka je H unitaran vektorski prostor. Na osnovu Teorema 2.16, H se moˇze
upotpuniti do kompletnog normiranog prostora H i to tako da je H svuda
162
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
gust u H, tj. H je Banachov prostor. Pokaˇzimo da je tada i prostor H
unitaran.
Neka su x,y ∈ H proizvoljni. Tada postoje nizovi (xn )n∈N , (yn )n∈N ⊂ H
koji konvergiraju ka x i y redom. Jasno je da su ovi nizovi i u H, a zbog
konvergencije oni su i Cauchyjevi nizovi, pa vrijedi
kxn − xm k → 0
,
kyn − ym k → 0 ; (n → ∞).
Dalje imamo
|(xn , yn ) − (xm , ym )| = |(xn , yn ) − (xn , ym ) + (xn , ym ) − (xm , ym )|
= |(xn , yn − ym ) + (xn − xm , ym )|
≤ |(xn , yn − ym )| + |(xn − xm , ym )|
≤ kxn k · kyn − ym k + kxn − xm k · kym k → 0 (n → ∞) .
Dakle, ((xn , yn ))n∈N je Cauchyjev niz u R, a zbog kompletnosti R, on je i
konvergentan. To znaˇci da postoji konaˇcna graniˇcna vrijednost lim (xn , yn ).
n→∞
Zbog neprekidnosti skalarnog produkta, vrijedi
lim (xn , yn ) = ( lim xn , lim yn ) = (x, y) ,
n→∞
n→∞
n→∞
odnosno, sve osobine koje vaˇze za (xn , yn ), se u graniˇcnom procesu prenose
na (x, y), pa je (x, y) skalarni produkt na H.
Osim toga, za proizvoljan x iz H, postoji
niz (xn )n∈N u H koji konvergira
p
ka x. Tada imamo lim kxn k = lim (xn , xn ), odnosno,
n→∞
n→∞
k lim xn k =
n→∞
p
q
( lim xn , lim xn ).
n→∞
n→∞
Znaˇci vrijedi kxk = (x, x). Dakle, H je kompletan unitaran vektorski
prostor iz ˇcijeg skalarnog proizvoda izvire norma.
Definicija 7.3. Kompletan linearan vektorski prostor snabdjeven skalarnim
proizvodom iz kojeg izvire norma, naziva se Hilbertov1 prostor.
Primjer 7.1. Posmatrajmo realan n-dimenzionalni vektorski prostor Rn .
Neka je {e1 , e2 , . . . , en } baza u Rn . Svaki vektor x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn
se na jedinstven naˇcin moˇze prikazati preko elemenata baze,
x=
n
X
ξi ei .
i=1
Za proizvoljne x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ), y = (η1 , η2 , ..., ηn ) ∈ Rn definiˇsimo
(x, y) =
n
X
ξi ηi .
i=1
1
David Hilbert 1862-1943, njemaˇcki matematiˇcar
163
(7.9)
7.1. Skalarni produkt. Hilbertovi prostori.
Provjerimo da li je ovim definisan skalarni produkt. Moramo provjeriti da
li vaˇze sve ˇcetiri osobine Definicije 7.1.
1. Neka je x ∈ Rn proizvoljan. Tada na osnovu jednakosti (7.9) vrijedi
(x, x) =
n
X
ξi ξi =
i=1
n
X
i=1
ξi2 ≥ 0 .
2. Ako je (x, x) = 0, to znaˇci da je
n
X
i=1
ξi2 = 0 ⇔ ξi = 0 , i = 1, 2, . . . , n ,
pa je x = 0.
3. Neka su x, y ∈ Rn proizvoljni. Tada je na osnovu (7.9)
(x, y) =
n
X
ξi ηi =
i=1
n
X
ηi ξi = (y, x) .
i=1
S obzirom da se radi o realnom prostoru, to se znak konjugacije gubi,
tj. vrijedi (y, x) = (y, x). Dakle, (x, y) = (y, x) = (y, x).
4. Neka su sada x, y, z ∈ Rn i a, b ∈ R proizvoljni. Tada je
ax + by = a
n
X
ξi ei + b
i=1
=
n
X
n
X
ηi ei =
i=1
(aξi )ei + (bηi )ei
i=1
Iz ovoga zakljuˇcujemo
(ax+by, z) =
a(ξi ei ) +
i=1
n
X
b(ηi ei ) =
i=1
n
X
=
(aξi + bηi )ei .
i=1
n
n
n
n
X
X
X
X
(aξi +bηi )µi =
(aξi µi +bηi µi ) =
aξi µi +
bηi µi =
i=1
=a
n
X
n
X
i=1
ξi µi + b
i=1
n
X
i=1
i=1
ηi µi = a(x, z) + b(y, z) .
i=1
Dakle, sa (7.9) je zadat skalarni proizvod na Rn . Provjerimo da li iz ovako
definisanog skalarnog proizvoda izvire norma. U tom cilju stavimo da je
kxk2 =
n
X
i=1
ξi2 tj. kxk =
164
n
X
i=1
ξi2
1
2
.
(7.10)
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Zbog naˇcina na koji smo definisali funkciju k · k, jasno je da vrijede prve tri
osobine definicije norme. Provjerimo ˇcetvrtu, neka su x, y ∈ Rn proizvoljni.
Tada je
x+y =
n
X
ξi ei +
i=1
n
X
ηi ei =
i=1
n
X
(ξi ei + ηi ei ) =
i=1
pa je
kx + yk =
n
X
(ξi + ηi )ei ,
i=1
n
X
1
2
(ξi + ηi )2
.
i=1
Na osnovu nejednakosti Minkowskog imamo da je
n
n
n
X
1 X
1 X
1
2
2 2
2 2
(ξi + ηi )
≤
ξi
+
ηi2
.
i=1
i=1
i=1
Dakle,
kx + yk =
n
n
n
X
1 X
1 X
1
2
2
2
(ξi + ηi )2
≤
ξi2 +
ηi2
= kxk + kyk ,
i=1
i=1
i=1
odnosno kx + yk ≤ kxk + kyk, te vrijedi i ˇcetvrta osobina norme. Znaˇci
sa (7.10) je definisana norma koja izvire iz skalarnog produkta. Ovim smo
pokazali da je Rn unitaran vektorski prostor.
Kako su proizvoljne dvije norme na konaˇcnodimenzionalnom prostoru ekvivalentne, Rn je kompletan prostor i u odnosu na normu (7.10). Dakle, Rn
je kompletan vektorski prostor snabdjeven skalarnim proizvodom iz kojeg
izvire norma, pa je s obzirom na Definiciju 7.3, Rn Hilbertov prostor. ♦
Primjer 7.2. Ako umjesto prostora Rn posmatramo prostor Cn i neka je
{e1 , e2 , . . . , en } njegova baza. Neka su
x=
n
X
ξi ei i y =
i=1
n
X
ηi ei ,
i=1
reprezentacije vektora x, y ∈ Cn preko elemenata baze. Tada moˇzemo definisati
n
X
(x, y) =
ξi ηi .
(7.11)
i=1
Analognim postupkom kao u prethodnom primjeru, uzimaju´ci da je
2
kxk =
n
X
i=1
2
|ξi |
tj. kxk =
n
X
i=1
|ξi |
dolazimo do zakljuˇcka da je Cn Hilbertov prostor. ♦
165
2
1
2
,
7.1. Skalarni produkt. Hilbertovi prostori.
Primjer 7.3. Posmatrajmo prostor l2 (C) i za x, y ∈ l2 (C) uvedimo
∞
X
(x, y) =
xi y i .
(7.12)
i=1
Tada vrijede sljede´ce osobine.
1. Neka je x ∈ l2 (C) proizvoljan. Tada je
(x, x) =
∞
X
i=1
2.
∞
X
(x, x) = 0 ⇔
i=1
xi · xi =
∞
X
i=1
|xi |2 ≥ 0 .
|xi |2 = 0 ⇔ xi = 0 (∀i ∈ N) ⇔ x = 0 .
3. Neka su x, y ∈ l2 (C) proizvoljni. Tada je
(x, y) =
∞
X
xi y i =
i=1
∞
X
i=1
∞
X
xi · y i =
yi · xi = (y, x).
i=1
4. Neka su x, y, z ∈ l2 (C) i α, β ∈ Φ proizvoljni. Tada je
∞
∞
∞
X
X
X
(αx + βy, z) =
(αxi + βyi )zi =
αxi zi +
βyi zi =
i=1
=α
∞
X
i=1
i=1
xi zi + β
∞
X
i=1
yi zi = α(x, z) + β(y, z).
i=1
Na osnovu Definicije 7.1, zakljuˇcujemo da je sa (7.12) definisan skalarni
produkt na l2 (C). U skladu sa (7.2) sada za proizvoljno x ∈ l2 (C) uvodimo
normu,
∞
X
kxk2 =
|xi |2 ,
(7.13)
i=1
a od ranije nam je poznato da je sa time definisana ”standardna” norma
na l2 (C). S obzirom da je l2 (C) kompletan, to ovaj prostor zadovoljava sve
uslove Definicije 7.3, pa je l2 (C) Hilbertov prostor.
Primjedba: Niti jedan od prostora lp (C), za p 6= 2, nije Hilbertov prostor!
♦
Primjer 7.4. Posmatrajmo prostor L2 (G). Za x, y ∈ L2 (G) definiˇsimo
Z
(x, y) =
x(t)y(t)dt .
(7.14)
G
Za ovako definisano preslikavanje, vrijedi:
166
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
1. Neka je x(t) ∈ L2 (G) proizvoljna funkcija. Tada je
Z
Z
(x, x) =
x(t)x(t)dt =
|x(t)|2 dt ≥ 0 .
G
G
2. Pored toga, vrijedi i
Z
(x, x) = 0 ⇔
|x(t)|2 dt = 0 ⇔ |x(t)|2 = 0 ⇔ x(t) = 0 .
G
3. Neka su x(t), y(t) ∈ L2 proizvoljne funkcije. Tada je
Z
Z
Z
x(t)y(t)dt =
x(t)y(t)dt =
y(t)x(t)dt = (y, x).
(x, y) =
G
G
G
4. Neka su x(t), y(t), z(t) ∈ L2 (G) i α, β ∈ Φ proizvoljni. Tada je
Z
Z
Z
αx(t)z(t)dt+ βy(t)z(t)dt =
(αx+βy, z) = (αx+βy)(t)z(t)dt =
G
=α
Z
G
x(t)z(t)dt + β
G
Z
G
βy(t)z(t)dt = α(x, z) + β(y, z) .
G
Dakle, sa (7.14) smo definisali skalarni proizvod na prostoru L2 i lahko se
pokaˇze da je sa
Z
kxk2 =
|x(t)|2 dt ,
(7.15)
G
definisana norma na L2 (G). S obzirom da je L2 (G) kompletan prostor, to
je na osnovu Definicije 7.3, L2 (G) Hilbertov prostor.
Primjedba: Niti jedan od prostora Lp (G), za p 6= 2, nije Hilbertov prostor! ♦
Primjer 7.5. Prostor C[a, b] sa standardnom metrikom, nije Hilbertov prostor.
Ako bi bio, onda bi norma tog prostora
||x|| = max |x(t)| ,
t∈[a,b]
morala izvirati iz skalarnog produkta definisanog na tom prostoru, a takode
bi morala vrijediti i relacija paralelograma. Medutim, posmatrajmo funkcije
f (t) = 1 , g(t) =
t−a
, t ∈ [a, b] .
b−a
Lahko se provjerava da vrijedi
||f || = ||g|| = 1 , ||f − g|| = 1 i ||f + g|| = 2 .
167
7.1. Skalarni produkt. Hilbertovi prostori.
Ali sada imamo
||f + g||2 + ||f − g||2 = 5 6= 4 = 2||f ||2 + 2||g||2 ,
tojest ne vrijedi relacija paralelograma. Dakle, posmatrani prostor nije Hilbertov prostor.
Ako bi smo probali analogijom sa L2 [a, b] prostorom da na C[a, b] uvedemo
skalarni produkt sa
Z b
(f, g) =
f (t)g(t)dt ,
a
a sa njim i normu koja izvire iz ovog skalarnog produkta
||f || =
p
Z
(f, f ) =
b
a
2
|f (t)| dt
12
,
onda se pokazuje da ovakav prostor nije kompletan. Zaista neka je C[0, 1],
posmatramo li niz

; 0 ≤ t < 12
 0
1
1
(n + 3)(t − 2 ) ; 12 ≤ t ≤ 12 + n+3
fn (t) =

1
1
; 12 + n+3
<t≤1
za vjeˇzbu ostavljamo da se pokaˇze da dati niz jeste Cauchyjev, ali da nije
konvergentan u C[0, 1].
Naravno da bi sada mogli izvrˇsiti kompletiranje ovog prostora, ali tada bi
se dobio prostor L2 [a, b], za koga smo ve´c pokazali da je Hilbertov. ♦
Primjer 7.6. Na prostoru C k [a, b] skalarni produkt se moˇze uvesti sa
(f, g) =
k Z
X
i=1
b
f (i) (x)g(i) (x)dx .
a
Oznaka f (i) predstavlja i-ti izvod funkcije f (1 ≤ i ≤ k).
Norma koja izvire iz zadatog skalarnog produkta je
||f || =
k Z
X
i=1
a
b
|f (i) (x)|2 dx
! 12
,
u odnosu na koju dati prostor nije kompletan. Kompletiranjem ovakvog
prostora dobija se prostor Soboleva koga uobiˇcajeno oznaˇcavamo sa H k (a, b)
ili sa gornjom normom W k,2 (a, b). ♦
168
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
7.2
Ortogonalnost i ortogonalni komplement
Definicija 7.4. Neka je H Hilbertov prostor. Za vektore x, y ∈ H kaˇzemo
da su ortogonalni ako i samo ako je (x, y) = 0. Tada piˇsemo x ⊥ y.
Ako je fiksan element x ∈ H ortogonalan na svaki vektor skupa S ⊂ H,
kaˇzemo da je x ortogonalan na S i piˇsemo x ⊥ S.
Ako je svaki vektor skupa S1 ⊂ H ortogonalan na svaki vektor skupa S2 ⊂ H,
kaˇzemo da su skupovi ortogonalni i piˇsemo S1 ⊥ S2 .
Za proizvoljan S ⊂ H, uvodimo oznaku
S ⊥ = {x ∈ H| (∀u ∈ S) x ⊥ u} .
Skup S ⊥ nazivamo ortogonalni komplement skupa S.
Sljede´cim tvrdenjima dajemo neke jednostavne karakteristike ortogonalnosti.
Lema 7.7. Neka je H Hilbertov prostor i x, yn ∈ H (n ∈ N).
1. Neka je x ⊥ y1 i x ⊥ y2 . Tada za proizvoljne a, b ∈ Φ vrijedi x ⊥
ay1 + by2 .
2. Neka je x ⊥ yn (n ∈ N) i neka yn → y0 (n → ∞). Tada vrijedi x ⊥ y0 .
3. Ako je x ⊥ S, tada je x ⊥ L(S).
Lema 7.8. Neka je H unitaran prostor i S, S1 , S2 ⊆ H. Tada vrijedi:
⊥
1. S ⊥ = S.
2. Ako je S potprostor od H, onda je S ∩ S ⊥ = {0}.
3. (S1 + S2 )⊥ = S1⊥ ∩ S2⊥ .
4. (S1 ∩ S2 )⊥ = S1⊥ + S2⊥ .
5. Ako je S1 ⊆ S2 , onda je S2⊥ ⊆ S1⊥ .
Teorem 7.9 (Pitagorina teorema ). Neka je H Hilbertov prostor. Ako
su x, y ∈ H ortogonalni, tada vrijedi
kx + yk2 = kxk2 + kyk2 .
→y
−
−x +
→
Dokaz :
−
→
y
−
→
x
169
7.2. Ortogonalnost i ortogonalni komplement
Neka su x, y ∈ H ortogonalni. Iz jednakosti (7.4), a na osnovu ortogonalnosti vektora imamo
kx + yk2 = kxk2 + (x, y) + (y, x) + kyk2 = kxk2 + 0 + 0 + kyk2
= kxk2 + kyk2 .
♣
Kao jednostavna i skoro oˇcigledna, ali korisna posljedica Pitagorine teoreme, vrijedi,
Posljedica 7.10. Za svaka dva ortogonalna vektora x, y ∈ H je ||x|| ≤
||x + y||.
Lema 7.11. Ortogonalni komplement proizvoljnog podskupa Hilbertovog prostora H je potprostor od H.
Dokaz : Zaista, neka je A ⊆ H i neka su x, y ∈ A⊥ i λ, µ ∈ Φ proizvoljni.
Tada je za proizvoljan z ∈ A
(λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) = 0 ,
tj. λx + µy ∈ A⊥ , odnosno A⊥ je linearan vektorski prostor.
Neka je sada (yn )n∈N ⊂ A⊥ proizvoljan konvergentan niz. Neka je y taˇcka
konvergencije tog niza. Tada za proizvoljno x ∈ A, na osnovu neprekidnosti
skalarnog produkta imamo
(x, y) = (x, lim yn ) = lim (x, yn ) = 0 .
n→∞
n→∞
Dakle y ∈ A⊥ , pa je A⊥ zatvoren skup, a to onda znaˇci da je on potprostor
od H. ♣
Definicija 7.5. Neka je S podskup od H, pri ˇcemu je H Hilbertov prostor.
Za S kaˇzemo da je konveksan skup ako vrijedi
(∀u, v ∈ S)(∀λ ∈ [0, 1]) λu + (1 − λ)v ∈ S .
Pored Pitagorine teoreme i Pravila paralelograma, sljede´ce dvije teoreme
daju nam osnovne geometrijske karakteristike Hilbertovih prostora.
Teorem 7.12. Neka je S ⊆ H konveksan i zatvoren skup. Tada
(∀x0 ∈ H)(∃!y0 ∈ S) d(x0 , S) = kx0 − y0 k .
Dokaz : Neka je S ⊆ H konveksan i zatvoren skup i x0 ∈ H proizvoljan.
Oznaˇcimo
d(x0 , S) = inf d(x, y) = inf kx0 − yk = d .
y∈S
y∈S
170
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Na osnovu definicije infimuma, u S postoji niz (yn )n∈N , takav da kx0 −
yn k → d (n → ∞). Neka su m, n ∈ N, posmatrajmo elemente yn − x0 ,
ym − x0 ∈ H i kako je H Hilbertov prostor, to za ove elemente vrijedi
relacija paralelograma, tj.
kyn + ym − 2x0 k2 + kyn − ym k2 = 2kyn − x0 k2 + 2kym − x0 k2 ,
ˇsto je ekvivalentno sa
4kx0 −
yn + ym 2
k + kyn − ym k2 = 2kyn − x0 k2 + 2kym − x0 k2 .
2
| {z }
y′
S obzirom da je po uslovu zadatka S konveksan skup, to je y ′ ∈ S, pa vrijedi
4kx0 − y ′ k2 + kyn − ym k2 ≥ 4( inf kx0 − yk)2 + kyn − ym k2 ,
y∈S
odnosno,
4kx0 − y ′ k2 + kyn − ym k2 ≥ 4d2 + kyn − ym k2 .
Iz posljednje dvije nejednakosti dobijamo
2kyn − x0 k2 + 2kym − x0 k2 − 4d2 ≥ kyn − ym k2 .
Puˇstaju´ci da m, n → ∞, zakljuˇcujemo da kyn − ym k → 0, a to znaˇci da je
(yn )n∈N Cauchyev niz u S ⊆ H, i kako je H Hilbertov prostor, tj. kompletan,
to je ovaj niz konvergentan. Dakle, postoji y0 ∈ H, takav da yn → y0 (n →
∞). Osim toga, zbog zatvorenosti skupa S je y0 ∈ S. Sada je
d = d(x0 , S) = inf kx0 − yk = lim kx0 − yn k = kx0 − lim yn k = kx0 − y0 k.
y∈S
n→∞
n→∞
Ostaje da pokaˇzemo da je ovakav element jedinstven. Pretpostavimo da
postoje y0 , y0′ ∈ S, takvi da je
d(x0 , S) = kx0 − y0 k i d(x0 , S) = kx0 − y0′ k .
Kako je S konveksan skup, to za svako λ ∈ [0, 1] vrijedi λy0 + (1 − λ)y0′ ∈ S
i pri tome je
kx0 − (λy0 + (1 − λ)y0′ )k ≥ d = d(x0 , S) .
Sada imamo
d ≤ kλx0 + (1 − λ)x0 − λy0 − (1 − λ)y0′ k = kλ(x0 − y0 ) + (1 − λ)(x0 − y0′ )k
≤ kλ(x0 − y0 )k + k(1 − λ)(x0 − y0′ )k = λkx0 − y0 k + (1 − λ)kx0 − y0′ k
= λd + (1 − λ)d = d .
Dakle, mora vrijediti kx0 − (λy0 + (1 − λ)y0′ )k = d, odnosno za proizvoljno
λ ∈ [0, 1] je
kx0 − (λy0 + (1 − λ)y0′ )k2 = d2 .
171
7.2. Ortogonalnost i ortogonalni komplement
Odavde na osnovu osobina skalarnog produkta imamo
d2 = (x0 − λy0 − (1 − λ)y0′ , x0 − λy0 − (1 − λ)y0′ )
= ((x0 − y0′ ) − λ(y0 − y0′ ), (x0 − y0′ ) − λ(y0 − y0′ ))
= (x0 − y0′ , (x0 − y0′ ) − λ(y0 − y0′ )) − λ(y0 − y0′ , (x0 − y0′ ) − λ(y0 − y0′ ))
= (x0 − y0′ , x0 − y0′ ) − λ(x0 − y0′ , y0 − y0′ ) − λ(y0 − y0′ , x0 − y0′ ) − λ2 (y0 − y0′ , y0 − y0′ )
= kx0 − y0′ k2 − λ (x0 − y0′ , y0 − y0′ ) + (x0 − y0′ , x0 − y0′ ) + λ2 ky0 − y0′ k2
= d2 − λ (x0 − y0′ , y0 − y0′ ) + (x0 − y0′ , x0 − y0′ ) + λ2 ky0 − y0′ k2 .
Iz posljednjeg zakljuˇcujemo da za svako λ ∈ [0, 1], vrijedi
λ2 ky0 − y0′ k2 − λ (x0 − y0′ , y0 − y0′ ) + (x0 − y0′ , x0 − y0′ ) = 0 .
Kako je ovo kvadratni polinom po λ i mora biti jednak 0 za svako λ ∈ [0, 1],
to ´ce se dogoditi samo ako su koeficijenti tog polinoma jednaki 0. To izmedu
ostalog znaˇci da mora biti
ky0 − y0′ k2 = 0 ,
iz ˇcega onda dobijamo da je y0 = y0′ . ♣
Teorem 7.13. Neka je H Hilbertov prostor i H1 potprostor prostora H.
Tada za svaki x ∈ H postoji taˇcno jedan y ∈ H1 , takav da je (x − y) ⊥ H1 .
Dokaz : Kako je H1 potprostor Hilbertovog prostora H, to je H1 zatvoren
i konveksan skup, pa na osnovu Teoreme 7.12 vrijedi
(∀x ∈ H)(∃!y ∈ H1 ) d(x, H1 ) = kx − yk .
Neka su sada u ∈ H1 i λ ∈ Φ proizvoljni. Tada je:
kx − y − λuk ≥ kx − yk ⇔ kx − y − λuk2 ≥ kx − yk2 .
Zbog jednakosti (7.2) imamo da vrijedi
(x − y − λu, x − y − λu) ≥ kx − yk2 .
Primjenjuju´ci sada osobine skalarnog produkta na prethodnu nejednakost,
dobijamo:
(x − y, x − y − λu) − λ(u, x − y − λu) ≥ kx − yk2
⇔
(x − y, x − y) − λ(x − y, u) − λ(u, x − y) + λ2 (u, u) ≥ kx − yk2
⇔
kx − yk2 − λ(x − y, u) − λ(u, x − y) + λ2 kuk2 ≥ kx − yk2
⇔
λ2 kuk2 ≥ λ(x − y, u) + λ(u, x − y) (∀λ ∈ Φ, ∀u ∈ H1 )
(7.16)
Posmatrajmo sada dva sluˇcaja:
(1) λ ∈ R, λ > 0. Tada iz (7.16) dobijamo λ2 kuk2 ≥ λ(x−y, u)+λ(u, x−y).
172
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Dijeljenjem sa λ > 0, dobijamo (x − y, u) + (u, x − y) ≤ λkuk2 . Pustimo li
da λ → 0, imamo da vrijedi
(x − y, u) + (u, x − y) ≤ 0.
(7.17)
(2) λ ∈ R, λ < 0. Tada iz (7.16) dobijamo λ2 kuk2 ≥ λ(x−y, u)+λ(u, x−y).
Dijeljenjem sa λ < 0, dobijamo (x − y, u) + (u, x − y) ≥ λkuk2 . Pustimo li
da λ → 0, imamo da vrijedi
(x − y, u) + (u, x − y) ≥ 0.
(7.18)
Iz nejednakosti (7.17) i (7.18) dobijamo da za svako u ∈ H1 mora biti
(x − y, u) + (u, x − y) = 0 .
(7.19)
Izvrˇsimo li formalnu zamjenu u sa iu u (7.19) imamo
(x−y, iu)+(iu, x−y) = i(x−y, u)+i(u, x−y) = −i(x−y, u)+i(u, x−y) = 0 .
Dijeljenjem posljednje jednakosti sa i, dobijamo da za svako u ∈ H1 mora
takode biti
(u, x − y) − (x − y, u) = 0 .
(7.20)
Jednakosti (7.19) i (7.20) nam daju
(u, x − y) = (x − y, u) = 0 , ∀u ∈ H1 ,
odnosno, (x − y) ⊥ H1 .
Pokaˇzimo jedinstvenost ovakvog elementa. Neka su y1 , y2 ∈ H1 takvi da je
(x − y1 ) ⊥ H1
∧
(x − y2 ) ⊥ H1 .
To znaˇci
(∀u ∈ H1 ) (x − y1 , u) = 0 ∧ (x − y2 , u) = 0 ,
ili
(∀u ∈ H1 ) (x − y1 , u) − (x − y2 , u) = 0 .
Dakle, vrijedi
(∀u ∈ H1 ) (y2 − y1 , u) = 0 .
Stavljaju´ci sada da je u = y2 − y1 , dobijamo
(y2 − y1 , y2 − y1 ) = ky2 − y1 k2 = 0 ,
iz ˇcega je onda y2 = y1 . ♣
Ovaj teorem nam ustvari govori da ako je H1 potprostor Hilbertovog prostora H, tada svaki x ∈ H moˇzemo na jedinstven naˇcin napisati u obliku
x = y + z, pri ˇcemu je y ∈ H1 i z = x − y ⊥ H1 . Naime, vaˇzi:
173
7.3. Ortonormirani sistemi
Posljedica 7.14. Neka je H1 potprostor Hilbertovog prostora H tada
(∀x ∈ H)(∃!y ∈ H1 ∧ ∃!z ⊥ H1 )
x = y + z.
Ovo takode moˇzemo iskazati u sljede´coj terminologiji.
Posljedica 7.15. Ako je H1 potprostor Hilbertovog prostora H, onda je H
ortogonalna suma potprostora H1 i H1⊥ , u oznaci H = H1 ⊕ H1⊥ .
7.3
Ortonormirani sistemi
Definicija 7.6. Skup vektora E = {eα | α ∈ A} u Hilbertovom prostoru H
nazivamo ortogonalnim skupom ako vrijedi
(∀α, β ∈ A) (α 6= β ⇒ (eα , eβ ) = 0) .
Skup E nazivamo normiranim skupom ako vrijedi
(∀α ∈ A) keα k = 1 .
Ako je E ortogonalan i normiran skup, onda kaˇzemo da je E ortonormiran
skup (ili ortonormiran sistem).
Primjer 7.7. Skup vektora {e1 , e2 , ..., en } je ortonormiran u Hilbertovom
prostoru Rn (n ∈ N) ako vrijedi:
• (ei , ej ) = δij za i, j ∈ {1, 2, ..., n}, gdje je δij Kroneckerova2 delta,
• za proizvoljno x ∈ Rn , postoje jedinstveni xk ∈ R, takvi da je
x=
n
X
xk ek .
k=1
Naprimjer, standardnu ortonormiranu bazu na R3 ˇcine vektori
→
−
→
−
→
−
e1 = (1, 0, 0) = i , e2 = (0, 1, 0) = j , i , en = (0, 0, 1) = k .
♦
Primjer 7.8. Na prostoru L2 [0, 2π] (2π periodiˇcnih funkcija), ortonormirani
sistem je zadat sa {en | n ∈ Z}, gdje je
1
en (x) = √ einx .
2π
Ovaj sistem se naziva Fourierova baza. ♦
2
Leopold Kronecker 1823-1891, njemaˇcki matematiˇcar
174
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Primjer 7.9. Za funkciju koja je predstavljena kao konaˇcna suma periodiˇcnih
funkcija kaˇzemo da je kvaziperiodiˇcna. Ako su ratios perioda funkcija koje
uˇcestvuju u sumi racionalni, tada je i funkcija periodiˇcna. Ako je bar jedan
ratio iracionalan, tada funkcija nije periodiˇcna. Naprimjer funkcija
f (x) = eix + eiπx ,
jeste kvaziperiodiˇcna, ali nije periodiˇcna. Oznaˇcimo sa X skup svih kvaziperiodiˇcnih funkcija, tojest funkcija f : R → C, oblika
f (t) =
n
X
ak eiωk t ,
k=1
gdje su n ∈ N, ak ∈ C i ωk ∈ R proizvoljne konstante. U primjenama je
najˇceˇs´ce t vremenska varijabla, dok je sama funkcija f suma vremenskoharmonijskih funkcija sa amplitudama |ak |, faznim pomjerajima arg ak i
frekvencijama ωk . ????????
Sada na X moˇzemo definisati skalarni produkt na sljede´ci naˇcin. Za f, g ∈
X
Z T
1
(f, g) = lim
f (t)g(t)dt .
T →∞ 2T −T
P
P
Kako su f (t) = nk=1 ak eiωk t i g(t) = nk=1 bk eiωk t , gdje je ωi 6= ωj za i 6= j,
tada je
n
X
(f, g) =
ak bk .
k=1
Zbog periodiˇcnosti funkcija, skalarni produkt moˇzemo pisati i sa
1
(f, g) = lim
T →∞ T
Z
t0 +T
f (t)g(t)dt ,
t0
gdje je t0 proizvoljno fiksno vrijeme, nezavisno o T . Iz skalarnog produkta
izvire norma ovog prostora, ali u odnosu na koju X nije kompletan prostor. Kompletiranjem dobijamo prostor koga nazivamo L2 −skoro periodiˇcnih
funkcija. Ovaj prostor se sastoji od klasa ekvivalencija funkcija oblika
f (t) =
∞
X
ak eiωk t ,
k=1
za koje je
∞
X
k=1
|ak |2 < ∞.
Skup {eiωt | ω ∈ R} predstavlja ortonormiran sistem u ovom Hilbertovom
prostoru i to kao ˇsto vidimo, neprebrojiv sistem. ♦
175
7.3. Ortonormirani sistemi
Definicija 7.7. Za ortonormiran sistem kaˇzemo da je maksimalan ako nije
sadrˇzan niti u jednom ˇsirem (u skupovnom smislu) ortonormiranom sistemu.
Teorem 7.16. Skup {eα | α ∈ A} je maksimalan ortonormiran sistem u
Hilbertovom prostoru H ako i samo ako ne postoji nenula vektor u H, ortogonalan na sve vektore datog sistema.
Dokaz : Neka je {eα | α ∈ A} maksimalan ortonormiran sistem i pretpostavimo da postoji 0 6= x0 ∈ H, takav da je za sve α ∈ A, (x0 , eα ) = 0.
Oznaˇcimo sa y0 = kxx00 k . Tada je ky0 k = 1 i pri tome je sistem koji se sastoji
od {eα | α ∈ A} i vektora y0 ortonormiran i strogo ˇsiri od {eα | α ∈ A}, ˇsto
je u suprotnosti sa maksimalnoˇs´cu posmatranog sistema.
Neka je {eα | α ∈ A} ortonormiran sistem u H za koga je zadovoljeno da
ako za neko x ∈ H vrijedi
(∀α ∈ A) (x, eα ) = 0 ,
tada je x = 0. Ako pretpostavimo da to nije maksimalan ortonormiran
sistem, onda bi postojao y 6= 0 takav da je {eα | α ∈ A} ∪ {y} takode
ortonormiran sistem. Tada bi zbog ortogonalnosti ovog sistema moralo biti
y = 0, ˇsto je u suprotnosti sa izborom vektora y. Dakle, {eα | α ∈ A} je
maksimalan ortonormiran sistem. ♣
Teorem 7.17. Svaki netrivijalan Hilbertov prostor sadrˇzi maksimalan ortonormiran skup.
Dokaz : Neka je H netrivijalan Hilbertov prostor, tada postoji x ∈ H
x
takav da je x 6= 0. Tada je skup {x0 }, gdje je x0 = kxk
, normiran jer je
kx0 k = 1. Oznaˇcimo sa S familiju svih ortonormiranih sistema koji sadrˇze
skup {x0 } i uvedimo relaciju ”4” sa
def
S1 , S2 ∈ S , S1 4 S2 ⇔ S1 ⊆ S2 .
Lahko se provjerava da je relacija uvedena na ovaj naˇcin, relacija poretka.
Ako je S△ lanac u S, tj. totalno ureden skup u S, pokaˇzimo da je tada
[
S=
S,
S∈S△
ortonormiran skup. Zaista,
x ∈ S ⇒ (∃S ′ ∈ S△ ) x ∈ S ′ i S ′ ortonormiran ⇒ kxk = 1 ,
ˇsto znaˇci da je S normiran skup.
S druge strane, ako su x, y ∈ S, onda
(∃S1 , S2 ∈ S△ ) x ∈ S1 , y ∈ S2 ,
176
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
te kako je S△ lanac, to je S1 4 S2 ili S2 4 S1 . Neka je S1 4 S2 . Tada zbog
naˇcina na koji smo definisali relaciju ”4”, imamo da je S1 ⊆ S2 , a to znaˇci
x, y ∈ S2 . Kako je S2 ortonormiran skup, to onda znaˇci da je (x, y) = 0,
tj. x i y su ortogonalni. Zbog njihove proizvoljnosti je S ortogonalan skup.
Dakle, S je ortonormiran skup.
Za proizvoljan S ∈ S△ vrijedi da je S ⊆ S, ˇsto znaˇci da je S△ ograniˇcen
odozgo, pa na osnovu Zornove leme, postoji maksimalan element u S i neka
je to S0 ∈ S. Sada je S0 maksimalan ortonormiran skup u Hilbertovom
prostoru H. ♣
Gornjim teoremom smo utvrdili vaˇznu ˇcinjenicu da u svakom netrivijalnom Hilbertovom prostoru imamo maksimalan ortonormiran sistem, ali nismo dobili nikakvu informaciju o kardinalnosti tog sistema. Uz dodatne uslove na posmatrani Hilbertov prostor gornji teorem dobija precizniju formu.
Dokaˇzimo prvo jedno pomo´cno tvrdenje.
Lema 7.18. Neka je S ⊆ H. Da bi skup L(S) bio gust u H potrebno je i
dovoljno da vrijedi S ⊥ = 0.
Dokaz : Neka je S ⊆ H i neka je L(S) gust u H. Za proizvoljno x0 ∈ H,
postoji (xn )n∈N ⊂ L(S), takav da xn → x0 (n → ∞). Neka je x0 ⊥ S, tj. za
svako s ∈ S, (x0 , s) = 0. Kako je L(S) skup konaˇcnih linearnih kombinacija
vektora iz S, to onda i za svako x ∈ L(S) vrijedi (x0 , x) = 0, a tim prije
vrijedi i (x0 , xn ) = 0 (n ∈ N). Iz neprekidnosti skalarnog produkta sada
imamo
0 = (x0 , xn ) → (x0 , x0 ) = ||x0 ||2 , n → ∞ ,
a to onda znaˇci da mora biti ||x0 || = 0, odnosno x0 = 0.
Neka sada vrijedi, ako je x ⊥ S onda je x = 0. Pretpostavimo da L(S) nije
gust u H, tj. L(S) 6= H. Tada postoji u ∈ H \ L(S), i na osnovu Teoreme
7.14, postoje jedinstveni y0 ∈ L(S) i z0 ⊥ L(S), takvi da je u = y0 + z0 . Pri
tome mora biti z0 6= 0 jer u ∈
/ L(S). Medutim, kako je z0 ⊥ L(S), to je tim
prije z0 ⊥ S, pa bi zbog uˇcinjene pretpostavke moralo biti z0 = 0. Dakle
imamo kontradikciju, pa L(S) mora biti gust u H. ♣
Teorem 7.19. (Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije)
Svaki separabilan Hilbertov prostor sadrˇzi najviˇse prebrojiv ortonormiran sistem.
Dokaz : Neka je H Hilbertov prostor i neka je {y1′ , y2′ , . . . , yn′ , . . .} svuda
gust prebrojiv skup u H. Ako u ovom skupu krenemo od prvog elementa i
izbacujemo sve one koji su linearna kombinacija nekih prethodnih mu elemenata, formiramo skup {y1 , y2 , . . . , yn , . . .} linearno nezavisnih elelemata,
177
7.3. Ortonormirani sistemi
koji je takode najviˇse
(y1 , y1 )
(y1 , y2 )
Dn = ..
.
(y1 , yn )
Formirajmo sistem
prebrojiv skup u H. Definiˇsimo sada
(y2 , y1 ) · · · (yn , y1 ) (y2 , y2 ) · · · (yn , y2 ) , (n ∈ N).
..
..
..
.
.
.
(y2 , yn ) · · · (yn , yn ) (y1 , y1 )c1 + (y2 , y1 )c2 + . . . + (yn , y1 )cn = 0
(y1 , y2 )c1 + (y2 , y2 )c2 + . . . + (yn , y2 )cn = 0
..
.
(7.21)
(7.22)
(y1 , yn )c1 + (y2 , yn )c2 + . . . + (yn , yn )cn = 0
ˇcija je determinanta upravo Dn . Ako je Dn = 0 sistem ima netrivijalno
rjeˇsenje (c1 , c2 , . . . , cn ) 6= 0 i stavimo da je
y = c1 y1 + c2 y2 + . . . + cn yn .
Kako su y1 , y2 , . . . , yn linearno nezavisni i (c1 , c2 , . . . , cn ) 6= 0, to je y 6= 0.
Mnoˇze´ci gornju jednakost sa yi (i ∈ {1, 2, ..., n}), dobijamo
(y, yi ) = c1 (y1 , yi ) + c2 (y2 , yi ) + . . . + cn (yn , yi ) = 0 , (i = 1, 2, . . . , n) ,
odakle zakljuˇcujemo da vrijedi (y, y) = 0, ˇsto je ekvivalentno sa y = 0, a
ovo je u suprotnosti sa konstrukcijom elementa y. Prema tome, Dn 6= 0, za
proizvoljno n ∈ N. Oznaˇcimo sada
y1
y2
···
yn
(y1 , y1 )
(y
,
y
)
·
·
·
(y
,
y
)
2
1
n
1
1
(y1 , y2 )
(y2 , y2 ) · · · (yn , y2 ) , n ∈ N , D0 = 1.
xn = √
Dn Dn−1 ..
..
..
..
.
.
.
.
(y1 , yn−1 ) (y2 , yn−1 ) · · · (yn , yn−1 ) (7.23)
Oˇcigledno je svaki xn linarna kombinacija elemenata y1 , y2 , . . . , yn . Takode
iz
n−1
X
p
Dn Dn−1 · xn =
βi yi + (−1)n−1 yn Dn−1 (βi ∈ Φ) ,
(7.24)
i=1
zbog Dn−1 6= 0 vrijedi
n−1
X
(−1)n−1 p
yn =
Dn Dn−1 · xn −
βi yi ,
Dn−1
i=1
tj. i yn su linearne kombinacije vektora xk , (k = 1, 2, ..., n).
178
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Mnoˇze´ci sada xn , dato sa (7.23), skalarno sa yi (1 ≤ i ≤ n − 1), dobijamo
(y1 , yi )
(y2 , yi )
···
(yn , yi ) ..
..
..
..
.
.
.
.
1
=0
√
(xn , yi ) =
(y
,
y
)
(y
,
y
)
·
·
·
(y
,
y
)
.
1
i
2
i
n
i
Dn Dn−1 ..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
(y1 , yn−1 ) (y2 , yn−1 ) · · · (yn , yn−1 ) Kako se svaki od vektora xi (1 ≤ i ≤ n − 1) moˇze izraziti kao linearna
kombinacija vektora yi (1 ≤ i ≤ n − 1), slijedi da je
(xn , xi ) = 0, (1 ≤ i ≤ n − 1) .
To znaˇci da za i 6= j, vrijedi (xi , xj ) = 0, dakle, {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} je
ortogonalan sistem.
Mnoˇze´ci sada xn , dato sa (7.23), sa yn dobijamo
(y1 , yn )
(y2 , yn ) · · · (yn , yn ) (y1 , y1 )
(y2 , y1 ) · · · (yn , y1 ) (−1)n−1 Dn
1
(xn , yn ) = √
,
= √
..
..
..
..
Dn Dn−1 Dn Dn−1
.
.
.
.
(y1 , yn−1 ) (y2 , yn−1 ) · · · (yn , yn−1 ) (7.25)
a mnoˇzenjem (7.24) skalarno sa xn dobijamo
p
Dn Dn−1 (xn , xn ) =
n−1
X
βi (yi , xn )+(−1)n−1 (yn , xn )Dn−1 = (−1)n−1 Dn−1 (yn , xn ).
i=1
(7.26)
Sada iz jednakosti (7.25) i (7.26) slijedi
(xn , xn ) =
=
=
(−1)n−1 Dn−1
√
· (yn , xn )
Dn Dn−1
(−1)n−1 Dn−1 (−1)n−1 Dn
√
· √
Dn Dn−1
Dn Dn−1
2n−2
(−1)
Dn Dn−1
=1.
Dn Dn−1
Odavde je kxn k = 1, za proizvoljno n ∈ N, te je {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} normiran sistem, ˇsto zajedno sa ranije pokazanim znaˇci da je {x1 , x2 , . . . , xn , . . .}
ortonormiran sistem.
Neka je sada x ∈ H, takav da je za sve i ∈ N, (x, xi ) = 0. Ovo opet znaˇci
da je (x, yi ) = 0 za sve i ∈ N, ali tada je i (x, yi′ ) = 0 za sve i ∈ N. Kako je
skup {yi′ | i ∈ N} gust u H, na osnovu Leme 7.18, zakljuˇcujemo da je x = 0.
Dakle,
(∀x ∈ H)(∀ i ∈ N) (x, xi ) = 0 ⇒ x = 0 ,
179
7.3. Ortonormirani sistemi
ˇsto na osnovu Teoreme 7.16 znaˇci da je {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} maksimalan
ortonormiran sistem u H. ♣
Teorem 7.20. Neka je S ⊆ H ortogonalan sistem vektora i neka je (xi )i∈N ⊂
∞
∞
X
X
xi konvergira ako i samo ako konvergira red
kxi k2 .
S. Tada red
i=1
i=1
Dokaz : Oznaˇcimo sa sk i s′k redom parcijalne sume posmatranih redova,
k
X
sk =
xi
s′k =
i
i=1
k
X
i=1
kxi k2 .
Sada za m, n ∈ N, m > n imamo
m
n
m
m
m
X
2 X
2 X
X
X
xi −
xi = xi =
xi ,
xi .
ksm − sn k2 = i=1
i=1
i=n+1
i=n+1
i=n+1
(7.27)
Kako je S ortogonalan sistem vektora, to za svaki i 6= j vrijedi (xi , xj ) = 0,
pa iz (7.27) imamo
2
ksm − sn k =
=
m X
i=n+1
m
X
i=n+1
m
X
xi ,
xi =
i=n+1
2
kxi k =
m
X
m
X
i=1
m
X
(xi , xj ) =
i=n+1 j=n+1
2
kxi k −
n
X
i=1
m
X
(xi , xi ) =
i=n+1
kxi k2 = s′m − s′k .
Iz ovoga vidimo da niz (sk )k∈N konvergira ako i samo ako niz (s′k )k∈N
konvergira, ˇcime je tvrdnja dokazana. ♣
Definicija 7.8. Neka je {eα | α ∈ A} ortonormiran sistem vektora u Hilbertovom prostoru H. Brojeve oblika
xα = (x, eα )
(α ∈ A)
nazivamo Fourierovi koeficijenti vektora x u odnosu na sistem {eα | α ∈ A}.
Teorem 7.21. (Besselova nejednakost)
Neka je {eαi | i ∈ N} prebrojiv podsistem ortonormiranog sistema
{eα | α ∈ A}. Tada vrijedi nejednakost
∞
X
i=1
|xαi |2 ≤ kxk2 .
180
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Dokaz : Neka je {eαi | i ∈ N} prebrojiv podsistem ortonormiranog sistema
{eα |α ∈ A}. To je i on sam ortonormiran sistem, pa su tada xαi = (x, eαi )
Fourierovi koeficijenti vektora x u odnosu na sistem {eαi | i ∈ N}. Za proizvoljno n ∈ N vrijedi
n
2
X
xαi eαi ≥ 0 .
x −
i=1
Na osnovu toga onda imamo
n
n
X
X
0 ≤
x−
xαi eαi , x −
xαi eαi
i=1
= (x, x) −
= kxk2 −
= kxk2 −
i=1
n
X
i=1
n
X
i=1
n
X
i=1
xαi (x, eαi ) −
xαi · xαi −
n
X
i=1
n
X
i=1
xαi (eαi , x) +
n
X
xαi
i=1
xαi · xαi +
n
X
i=1
n
X
xαi (eαi , eαj )
j=1
xαi · xαi
|xαi |2 ,
iz ˇcega onda imamo
n
X
i=1
|xαi |2 ≤ kxk2 .
Pustimo li u posljednjoj nejednakosti da n → ∞, dobijamo traˇzenu nejednakost
∞
X
|xαi |2 ≤ kxk2 .
♣
i=1
Teorem 7.22. Za svaki vektor iz H najviˇse prebrojivo mnogo Fourierovih
koeficijenata tog vektora moˇze biti razliˇcito od 0.
Dokaz : Neka je {eα | α ∈ A} proizvoljan ortonormiran sistem u H. Tada
za proizvoljan x ∈ H vrijedi Besselova nejednakost
∞
X
i=1
|xαi |2 ≤ kxk2
pa zbog konvergencije reda na lijevoj strani zakljuˇcujemo da samo konaˇcno
mnogo Fourierovih koeficijenata vektora x moˇze imati modul ve´ci od n1 , za
proizvoljan n ∈ N. Neka je F0 skup svih Fourierovih koeficijenata vektora
x koji su razliˇciti od 0, a Fn skup svih Fourierovih koeficijenata vektora x
kod kojih je modul ve´ci od n1 . Tada je oˇcigledno
F0 =
∞
[
Fn .
n=1
181
7.3. Ortonormirani sistemi
Kako su svi Fn konaˇcni, to je F0 najviˇse prebrojiv kao prebrojiva unija
konaˇcnih skupova. ♣
Iako znamo da je najviˇse prebrojivo mnogo Fourierovih koeficijenata vektora x u odnosu na ortonormirani sistem {eα | α ∈ A} razliˇcito od 0, ipak
´cemo pisati
X
xα eα ,
α∈A
podrazumijevaju´ci prebrojivost.
Teorem 7.23. Neka je {eα | α ∈ A} proizvoljan ortonormiran sistem vektora
u Hilbertovom prostoru H. Tada su sljede´ce tvrdnje ekvivalentne:
(a) Sistem {eα | α ∈ A} je maksimalan ortonormiran sistem u H.
X
(b) (∀x ∈ H) x =
xα eα , xα = (x, eα ).
α∈A
(c) (∀x ∈ H) kxk2 =
X
α∈A
|xα |2 .
X
(d) (∀x, y ∈ H) (x, y) =
xα yα , xα = (x, eα ), yα = (y, eα ).
α∈A
Dokaz : ”(a) ⇒ (b)”
Neka je x ∈ H proizvoljan i neka su xαi (i ∈ N) njegovi Fourierovi koeficijenti
u odnosu na sistem {eα | α ∈ A}, koji su razliˇciti od 0. Tada je na osnovu
∞
X
Besselove nejednakosti
|xαi |2 ≤ kxk2 , i kako je
i=1
∞
X
i=1
|xαi |2 · 1 =
imamo da vrijedi
∞
X
i=1
Dakle, red
red
∞
X
i=1
∞
X
i=1
∞
X
i=1
|xαi |2 · keαi k2 =
∞
X
i=1
kxαi · eαi k2 ,
kxαi · eαi k2 ≤ kxk2 < +∞ .
kxαi · eαi k2 konvergira, pa prema Teoremu 7.20, konvergira i
xαi eαi . Oznaˇcimo sa x
e sumu tog reda. Tada vrijedi
n
X
i=1
xαi eαi → x
e
182
(n → ∞) ,
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
a mnoˇze´ci ovo skalarno sa proizvoljnim y ∈ H, imamo
n
X
xαi (eαi , y) =
i=1
n
X
i=1
tj.
∞
X
xαi eαi , y → (e
x, y)
(n → ∞) ,
xαi (eαi , y) = (e
x, y) .
i=1
Stavimo li da je y = eαj dobijamo
(e
x, eαj ) =
∞
X
i=1
xαi (eαi , eαj ) = xαj keαj k = xαj , j ∈ N .
Osim toga za α 6= αj (j ∈ N) vrijedi (e
x, eα ) = 0. Kako i za x ∈ H vrijedi
e, eα ) = 0 . S
(x, eα ) = 0 za α 6= αj (j ∈ N), to za sve α ∈ A imamo (x − x
obzirom da je {eα | α ∈ A} maksimalan ortonormiran sistem, to imamo da
je x − x
e = 0 tj. x = x
e. Dakle vrijedi,
x=
∞
X
xαi eαi =
i=1
X
xα eα .
α∈A
”(b) ⇒ (a)”
Neka je x′ ∈ H takav da je za proizvoljan α ∈ A, x′α = (x′ , eα ) = 0. Na
osnovu (b) imamo
X
x′ =
x′α eα
⇒
x′ = 0.
α∈A
Ovo znaˇci, na osnovu Teoreme 7.16, da je {eα | α ∈ A} maksimalan ortonormiran sistem u H.
”(b) ⇒ (c)”
Neka za proizvoljno x ∈ H vrijedi
x=
X
xα eα =
∞
X
xαi eαi .
i=1
α∈A
Tada zbog neprekidnosti skalarnog produkta imamo
!
∞
∞
∞
X
X
X
2
||x|| = (x, x) =
xαi eαi ,
xαi eαi =
|xαi |2 .
i=1
i=1
i=1
”(c) ⇒ (b)”
Neka za proizvoljan x ∈ H vrijedi
2
kxk =
X
α∈A
2
|xα | =
∞
X
i=1
2
|xαi |
tj.
2
kxk −
183
n
X
i=1
|xαi |2 → 0
(n → ∞) .
7.3. Ortonormirani sistemi
Na osnovu ranije pokazanog imamo da vrijedi
n
n
2
X
X
xαi eαi = kxk2 −
|xαi |2 → 0
x −
i=1
a to znaˇci
i=1
x=
∞
X
X
xαi eαi =
i=1
(n → ∞) ,
xα eα .
α∈A
”(d) ⇒ (c)”
Neka za proizvoljne x, y ∈ H vrijedi
(x, y) =
X
xα y α .
α∈A
Stavimo li da je y = x, imamo
(x, x) = kxk2 =
X
xα xα =
α∈A
X
α∈A
|xα |2 .
”(b) ⇒ (d)”
P
Neka
vrijedi (b). Tada za proizvoljne x, y ∈ H je x = α∈A xα eα i y =
P
α∈A yα eα , odnosno
x=
∞
X
xαi eαi i y =
i=1
∞
X
yαi eαi .
i=1
Zbog neprekidnosti skalarnog produkta sada imamo
!
n
n
n X
n
X
X
X
(x, y) = lim
xαi eαi ,
yαi eαi = lim
xαi yαj (eαi , eαj )
n→∞
=
lim
n→∞
i=1
n
X
xαi yαj =
i=1
i=1
∞
X
n→∞
xαi yαi
i=1
i=1 j=1
♣
Teorem 7.24. Svaka dva maksimalna ortonormirana sistema u Hilbertovom
prosrtoru H imaju iste kardinalne brojeve.
Dokaz : Neka su {eα | α ∈ A} i {fβ | β ∈ B} dva maksimalna ortonormirana
sistema. Ako je H konaˇcnodimenzionalan, onda je ovo tvrdenje poznato iz
linearne algebre. Pretpostavimo zato da je H beskonaˇcne dimenzije. Fiksirajmo α ∈ A i pridruˇzimo mu skup Bα = {β ∈ B|(eα , fβ ) 6= 0}. S obzirom
da Fourierovih koeficijenata vektora eα , u odnosu na sistem {fβ | β ∈ B},
184
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
koji su razliˇciti od 0 ima najviˇse prebrojivo mnogo, to je Bα najviˇse prebrojiv
skup, za svako α ∈ A. Pri tome vrijedi
[
Bα .
B=
α∈A
Zaista, ako bi postojao β0 ∈ B takav da β0 ∈
/ Bα niti za jedno α ∈ A, onda bi
imali da je (eα , fβ0 ) = 0 za svaki α ∈ A. Odavde sada, zbog maksimalnosti
sistema {eα | α ∈ A}, imamo da je fβ0 = 0 ˇsto povlaˇci da je kfβ0 k = 0. Ovo
je nemogu´ce jer je {fβ | β ∈ B} normiran sistem. Dakle,
X
X
[
B=
Bα ⇒ card(B) ≤
card(Bα ) ≤ ℵ0
1 = ℵ0 ·card(A) = card(A) .
α∈A
α∈A
α∈A
Analognim postupkom se pokazuje da vrijedi card(A) ≤ card(B), te na
osnovu Cantor-Bernsteinove teoreme zakljuˇcujemo da vrijedi card(A) =
card(B). ♣
Definicija 7.9. Kardinalni broj bilo kojeg maksimalnog ortonormiranog sistema {eα | α ∈ A} u Hilbertovom prostoru H nazivamo topoloˇskom dimenzijom prostora H, a skup {eα | α ∈ A}, nazivamo ortonormirana (topoloˇska)
baza ili Hilbertova baza prostora H.
Primjer 7.10. Kao ˇsto smo ranije vidjeli prostor L2 [0, 2π] je prostor po
dijelovima neprekidnih periodiˇcnih funkcija f : [0, 2π] → R, za koje vaˇzi
||f || =
Z
2π
0
2
|f (t)| dt
12
<∞.
Ovakva norma izvire iz definisanog skalarnog produkta na datom prostoru,
Z 2π
(f, g) =
f (t)g(t)dt , f, g ∈ L2 [0, 2π] ,
0
u odnosu na koju je dati prostor kompletan, a time i Hilbertov prostor. Kako
nam je poznata separabilnost ovog prostora, to on ima najviˇse prebrojiv
maksimalni ortonormirani sistem, a jedan takav zadat je sa
1
1
1
√ sin nt, √ cos nt | n ∈ N ∪ √
.
π
π
2π
Tada za svako f ∈ L2 [0, 2π] vrijedi,
∞
∞
a0
1 X
1 X
f (t) = √ + √
an cos nt + √
bn sin nt ,
π n=1
π n=1
2π
gdje su a0 , an i bn (n ∈ N) upravo Fourierovi koeficijenti posmatrane funkcije
u odnosu na dati ortonormirani sistem. Ovakvo predstavljanje funkcije se
naziva Fourierov tirgonometrijski red. ♦
185
7.4. Linearni funkcionali na Hilbertovim prostorima
7.4
Linearni funkcionali na Hilbertovim prostorima
Ostaje joˇs da vidimo da li linearni fukcionali na Hilbertovim prostorima
imaju neku odredenu formu. Naime, neka je H Hilbertov prostor i neka je
y ∈ H proizvoljan fiksan vektor. Tada je oˇcigledno sa
f (x) = (x, y) ,
(7.28)
definisan linearan funkcional na H, na osnovu aksioma skalarnog produkta.
Osim toga, na osnovu nejednakosti Cauchy-Schwarz-Bunjakovskog imamo
|f (x)| = |(x, y)| ≤ ||x|| ||y|| ,
iz ˇcega zakljuˇcujemo da je f ograniˇcen funkcional, ˇsta viˇse ||f || ≤ ||y||.
Dakle, za fiksno y ∈ H, jednakost (7.28) opisuje jednu klasu ograniˇcenih linearnih funkcionala na H. Kao ˇsto ´cemo vidjeti iz daljeg, ograniˇceni linearni
funkcionali na Hilbertovom prostoru i ne mogu biti drugaˇcije forme.
Teorem 7.25 (Rieszova teorema reprezentacije). Za proizvoljan ograniˇcen
linearan funkcional f na Hilbertovom prostoru H, postoji jednoznaˇcno odreden
element y ∈ H, takav da je za proizvoljno x ∈ H, jednakoˇs´cu (7.28) definisan funkcional f i pri tome vrijedi ||f || = ||y||.
Dokaz : Neka je H Hilbertov prostor i f ∈ H ∗ . Oznaˇcimo
H0 = ker(f ) = {x ∈ H| f (x) = 0} .
Na osnovu linearnosti i neprekidnosti funkcionala f , H0 je potprostor od H.
Ako je H0 = H, jasno da moˇzemo izabrati da je y = 0. Zato pretpostavimo
/ H0 proizvoljan. Na osnovu Teorema 7.14,
da je H0 6= H, i neka je y ∈
′
postoje jedinstveni y ∈ H0 i y ′′ ⊥ H0 , takvi da je
y = y ′ + y ′′ .
Kako y ∈
/ H0 , mora biti y ′′ 6= 0, a osim toga onda vrijedi i f (y ′′ ) 6= 0. Bez
umanjenja opˇstosti pretpostavimo da je f (y ′′ ) = 1. Neka je sada x ∈ H
proizvoljan i neka je f (x) = α. Oznaˇcimo sa x′ = x − αy ′′ . Tada imamo
f (x′ ) = f (x − αy ′′ ) = f (x) − αf (y ′′ ) = α − α = 0 ,
te dakle x′ ∈ H0 . Dalje onda imamo
(x, y ′′ ) = (x′ + αy ′′ , y ′′ ) = (x′ , y ′′ ) + α(y ′′ , y ′′ ) = α(y ′′ , y ′′ ) .
Izraˇzavaju´ci α iz posljednjeg, zakljuˇcujemo da vrijedi
(x, y ′′ )
y ′′
f (x) = α = ′′ ′′ = x, ′′ ′′
.
y ,y
(y , y )
186
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU
Stavljaju´ci da je y ∗ =
ima vrijednost
y ′′
(y ′′ ,y ′′ ) ,
za proizvoljno x ∈ H, posmatrani funkcional
f (x) = (x, y ∗ ) ,
ˇcime je egzistencija postoje´ceg y ∗ ∈ H utvrdena.
Ako pretpostavimo da postoji i y1 ∈ H, takav da za proizvoljno x ∈ H
vrijedi (x, y ∗ ) = (x, y1 ), to bi znaˇcilo da je (x, y ∗ − y1 ) = 0, tj. y ∗ − y1 ⊥ H,
a ˇsto je mogu´ce samo ako je y ∗ = y1 .
Ve´c smo pokazali da na osnovu nejednakosti Cauchy-Schwarz-Bunjakovskog
vrijedi ||f || ≤ ||y ∗ ||. Iz definicije norme funkcionala imamo
∗ y
(y ∗ , y ∗ )
||f || ≥ f
=
= ||y ∗ || ,
||y ∗ ||
||y||
pa vrijedi ||f || = ||y ∗ ||. ♣
Ovom teoremom joˇs jednom moˇzemo opravdati ranije uvedenu reprezentaciju ograniˇcenih linearnih funkcionala na prostoru L2 (Ω),
Z
f (x) = (x, y) =
x(t)y(t)dt , x, y ∈ L2 (Ω) ,
Ω
i na postoru l2 ,
f (x) = (x, y) =
X
n∈N
xn yn , x, y ∈ l2 .
187
Bibliografija
[1] S. Aljanˇci´c: Uvod u realnu i funkcionalnu analizu, Beograd 1979.
[2] P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie, Berlin, 1935.
[3] V. Bryant: Metric Spaces: Iteration and Application Cambridge Univ.
Press, Cambridge, 1985.
ˇ
[4] D. Kurepa : Teorija skupova, Skolska
knjiga, Zagreb, 1951.
[5] A.N. Kolmogorov , S.V. Fomin : Elements of the Theory of Functions
and Functional Analysis, Volume 1 Metric and normed spaces, Rochester N. Y. , 1957.
[6] L.B. Kantoroviˇc , G.P. Akilov : Funkcionaljnij analjiz, Moskva, 1977.
[7] W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis 3rd ed., McGraw-Hill,
New York, 1976.
[8] B. Stankovi´c : Osnovi funkcionalne analize, Nauˇcna knjiga, Beograd,
1975.
[9] G. Hardy , J.E. Littlewood , G Polya : Inequalities, Cembridge Mathematical Library, 1934. (first published)
ˇ
[10] Z. Cerin
: Metriˇcki prostori, predavanja za istoimeni kurs, PMF Zagreb
188
A
Prostori u funkcionalnoj
analizi
Vektorski prostori
Topoloˇ
ski prostori
Topoloˇ
ski vektorski prostori
Metriˇ
cki prostori
Normirani vektorski prostori
Unitarni prostori
Kompletni metriˇ
cki prostori
Banachovi prostori
Hilbertovi prostori
189
B
Grˇ
cki alfabet
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ, ϑ
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
o
π
ρ
σ
τ
υ
φ, ϕ
χ
ψ
ω
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
I
K
Λ
M
N
Ξ
O
Π
P
Σ
T
Υ
Φ
X
Ψ
Ω
alfa
beta
gama
delta
epsilon
zeta
eta
teta
jota
kapa
lambda
mi
ni
ksi
omikron
pi
ro
sigma
tau
ipsilon
fi
hi
psi
omega
190
Download

Skripta - Univerzitet u Tuzli