Poglavlje 5
Analiza LVN kola u prostoru
stanja
U poglavlju 1 definisan je koncept varijabli stanja i postupak modelovanja LVN
sistema u prostoru stanja. U poglavlju 3 ilustrovano je definisanje jednaˇcina LVN
kola sa koncentrisanim parametrima u prostoru stanja na primjeru kola drugog
reda. Analiza LVN kola, bazirana na konceptu varijabli stanja i prostora stanja,
detaljnije je obradjena u ovom poglavlju. Metod prostora stanja predstavlja moderni pristup analizi linearnih sistema. Posebno je pogodan za modelovanje sistema sa viˇse ulaza i viˇse izlaza. Prednost ovog metoda u odnosu na do sada
obradjene postupke analize LVN kola (klasiˇcni metod odredjivanja kompletnog
odziva kola opisanog diferencijalnom jednaˇcinom n-tog reda i postupak baziran
na upotrebi konvolucionog integrala) sastoji se u osobini metoda da se karakteristike odziva kola mogu analizirati bez prethodnog odredjivanja analitiˇckog oblika odziva. Metod je veoma pogodan i za modelovanje i rjeˇsavanje elektriˇcnih
kola koriˇstenjem matriˇcnih modela, a moˇze se primjeniti i za rjeˇsavanje vremenski
promjenljivih i nelinearnih kola. Metod omogu´cava uvodjenje koncepta observabilnosti i kontrolabilnosti LVN sistema i op´cenito predstavlja generalniji model od
modela diferencijalne jednaˇcine.
5.1
Koncept stanja kola
Analiza kola u prostoru stanja bazira se na konceptu varijabli stanja, koje definiˇsu (energetsko) stanje kola. Koncept stanja kola je abstraktni koncept. Stanje
kola se moˇze predstaviti na viˇse naˇcina. U elektriˇcnim kolima pod stanjem kola
podrazumjeva se energetsko stanje, pri ˇcemu se akumulirane energije u nezavisnim dinamiˇckim elementima kola, koje odredjuju energetsko stanje kola u cjelini,
predstavljaju pomo´cu napona na kondenzatorima i struja kroz zavojnice. Poˇsto
ove varijable kola (vC (t),iL (t)) jednoznaˇcno definiˇsu energetsko stanje kola, one
predstavljaju logiˇcan izbor za varijable stanja. Opˇcenito, moguˇce je definisati i
145
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA
146
neke druge varijable kola kao varijable stanja. Pri tome izabrane varijable moraju
ispunjavati uslov da njihove vrijednosti za svaki trenutak posmatranja t, jednoznaˇcno definiˇsu energetsko stanje kola (iznos energije koji je akumuliran u kolu i
distribuciju energije kola u pojedinim elementima). Prema tome, varijable stanja,
kao koordinate u prostoru stanja, odredjuju poloˇzaj (taˇcku) stanja za svaki trenutak vremena t, a za interval t > t0 promjenu stanja ili trajektoriju kretanja taˇcke
stanja. Dakle, svaka taˇcka na trajektoriji stanja za t > t0 jednoznaˇcno odredjuje
koliˇcinu energije, koja je akumulirana u datom trenutku t u svakom dinamiˇckom
elementu kola. Vektor koji ima poˇcetak u taˇcki stanja mirovanja (ishodiˇste koordinatnog sistema u kome su sve varijable stanja jednake nuli) a kraj u taˇcki stanja za
trenutak t, naziva se vektor stanja. Koordinate vektora stanja u prostoru stanja
predstavljaju vrijednosti pojedinih varijabli stanja u trenutku t. Prema tome,
vektor stanja se moˇze posmatrati i kao skup odgovaraju´cih varijabli stanja.
5.2
Jednaˇ
cine stanja LVN kola
U poglavlju 1.3 definisan je opˇsti oblik jednaˇcina stanja (normalna matriˇcna forma)
LVN kola sa viˇse ulaza i izlaza, u formi prostoru stanja:
pz =
y =
Az + Bx
Cz + Dx
(5.1)
(5.2)
gdje su:
• z - vektor varijabli stanja
• x - vektor ulaznih varijabli
• y - vektor izlaznih varijabli
U dosadaˇsnjim analizama odziva LVN kola vektor izlaznih varijabli y(t) bio je
jednak vektoru varijabli stanja z(t) tako da je u poglavlju 3.5 koriˇstena matriˇcna
jednaˇcina stanja u obliku:
py = Ay + Bx(t)
Da bi jednaˇcina 5.1 opisivala stanje LVN kola za t > t0 mora biti poznat vektor
poˇcetnih vrijednosti z(t0 ) = z0 . Prilikom pisanja jednaˇcina stanja za kolo n-tog
reda izbor skupa (vektora) varijabli stanja z(t), odnosno varijabli:
z(t) = [z1 (t), z2 (t), . . . , zn (t)]T
predstavlja osnovni zadatak. Da bi neka varijabla kola mogla da se klasifikuje kao
varijabla stanja, ona mora da ima sljede´ce osobine:
1. Za svaki vremenski trenutak t0 skup varijabli stanja ili stanje kola u t0 i
signali nezavisnih generatora (specificirani za t > t0 ) jednoznaˇcno odredjuju
stanje kola za svako t > t0 .
ˇ
5.2. JEDNACINE
STANJA LVN KOLA
147
2. Stanje kola u t0 i ulazni signali nezavisnih generatora (u opˇstem sluˇcaju i
izvodi ulaznih signala), jednoznaˇcno odredjuju vrijednost svake od varijabli
kola za t > t0 .
Pri tome je broj varijabli stanja n jednak redu kola (sistema) odnosno broju stepeni slobode. Iz dosadaˇsnje analize LVN kola, naponi na kondenzatorima i struje
zavojnica ˇcine logiˇcan skup varijabli stanja. Medjutim, ne moraju svi naponi vC (t)
i struje iL (t) zadovoljavati uslove da budu izabrani kao varijable stanja. Naime,
varijable stanja moraju biti nezavisne jedna od druge. To znaˇci da se proizvoljne
poˇcetne vrijednosti mogu izabrati za svaku varijablu, tako da to ne utiˇce na poˇcetne
vrijednosti ostalih varijabli. Jasno je da ovaj uslov ne ispunjavaju:
• struje zavojnica u granama koje ˇcine induktorske presjeke (presjek koji sadrˇzi
grane sa zavojnicama i nezavisnim strujnim generatorima )
• naponi kondenzatora u granama koje ˇcine kondenzatorske konture (konture
koje sadrˇze grane sa kondenzatorima i nezavisnim naponskim generatorima).
U ovakvim sluˇcajevima promjena poˇcetnih vrijednosti jedne od struja zavojnica
i/ili napona kondenzatora utiˇce na poˇcetne vrijednosti drugih varijabli stanja (preostalih struja zavojnica u presjeku i napona kondenzatora u konturi). Prema tome,
varijable stanja LVN kola ˇcine:
• (nL − np ) struja zavojnica, gdje su nL - broj zavojnica u kolu, a np - broj
induktorskih presjeka u kolu
• (nC − nk ) napona kondenzatora, gdje su nC - broj kondenzatora u kolu a
nk - broj kondenzatorskih kontura u kolu.
Da bismo izveli sistem jednaˇcina u obliku 5.1, u kojima se nalaze samo izvodi
prvog reda varijabli stanja, osnovne jednaˇcine kola (prema Kirhofovim zakonima)
piˇsemo prema odredjenom postupku. Pri tome svaki element smatramo odvojenom
granom. Za sluˇcaj da kolo ne sadrˇzi induktorske presjeke i kondenzatorske konture
jednaˇcine stanja se mogu napisati koriˇstenjem sljede´ce, jednostavne procedure:
1. Izabrati stablo kola koje sadrˇzi sve naponske generatore, niti jedan strujni generator, sve kondenzatore i niti jednu zavojnicu, te potreban broj otpornika kako bi svi ˇcvorovi bili povezani.
2. Napisati jednaˇcine za fundamentalne presjeke, koji sadrˇze nezavisne kondenzatore prema KZS.
3. Napisati jednaˇcine za fundamentalne konture, koje sadrˇze po jednu zavojnicu
prema KZN.
Za varijable stanja izabiremo napone nezavisnih kondenzatora i struje nezavisnih
zavojnica. Na ovaj naˇcin u jednaˇcina prema Kirhofovim zakonima javljaju se
samo prvi izvodi varijabli stanja. Opisani postupak ilustrova´cemo na primjeru
kola tre´ceg reda, koje je prikazano na slici 5.1.
Jednaˇcine stanja izvodimo prema opisanoj proceduri:
148
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA
L1
1
L2
i1
R1
I
+
vg (t)
-
vc
+
-
ic
C
i2
II
R2
0
Slika 5.1: Ilustracija izvodjenja jednaˇcina stanja
1. Za fundamentalno stablo izaberimo grane koje sadrˇze sljede´ce elemente vg (t),
C, R1 i R2
2. Za fundamentalni presjek napiˇsimo jednaˇcinu stanja prema KZS, usvajaju´ci
kao varijablu stanja napon vC :
CpvC = −i1 − i2
3. Za fundamentalne konture, koje sadrˇze zavojnice L1 i L2 , napiˇsimo jednaˇcine
stanja prema KZN:
L1 pi1
L2 pi2
= −R1 i1 + vC − vg (t)
= −R2 i2 + vC
Ako prethodne jednaˇcine preuredimo u formu jednaˇcina u prostoru stanja, stanje
kola se moˇze opisati sistemom jednaˇcina:
pvC
=
pi1
=
pi2
=
1
1
i1 − i2
C
C
1
R1
1
1
vC −
i1 −
i2 −
vg (t)
L1
L1
L1
L1
1
R2
vC + 0i1 −
i2
L2
L2
0vC −
ili ako se koristi matriˇcni oblik jednaˇcina:

 

 

0
− C1
− C1
0
vC
vC
£
¤
1
− L11   i1  +  − L11  vg (t)
p  i1  =  L11 − R
L1
1
2
i2
i2
0
0
−R
L2
L2
Izabrane varijable stanja imaju osobinu da zajedno sa pobudnim (ulaznim)
signalima jednoznaˇcno odredjuju sve ostale varijable kola (struje i napone na elementima). Tako, za kolo sa slike 5.1, naponi na otpornicima R1 i R2 mogu se
ˇ
5.2. JEDNACINE
STANJA LVN KOLA
149
izraziti pomo´cu izabranih varijabli stanja prema relacijama:
v R1
v R2
=
=
R1 i1
R2 i2
a napon v10 relacijom:
v10 (t) = R1 i1 + vg (t)
Op´cenito, svaka varijabla LVN kola yi (t) moˇze se izraziti preko vektora varijabli
stanja z(t) i pobudnog signala vg (t), jednaˇcinom koja za posmatrano kolo ima
matriˇcni oblik:
T
yi (t) = CTi [vC , i1 , i2 ] + d0 vg (t)
gdje je Ci vektor kolona dimenzija [n × 1], a n broj nezavisnih varijabli stanja.
Elementi vektora Ci i skalar d0 zavise od parametara kola.
Mogu´ce je izabrati viˇse skupova varijabli stanja za analizirano kolo. Za kolo iz
primjera 5.1. mogu´ce je kao varijable stanja izabrati i flukseve φ1 (t) = L1 i1 (t) i
φ2 = L2 i2 (t) kao i naelektrisanje qC (t) = CvC (t). Transformaciju vektora varijabli
ˆ(t) za posmatrano kolo moˇzemo prikazati matriˇcnom
stanja z(t) u novi vektor z
jednaˇcinom:

  1


0
0
vC
qC
C
0   φ1  = Tˆ
z =  i1  =  0 L11
z
i2
φ2
0
0 L12
Matriˇcna jednaˇcina stanja:
pz = Az + Bx
ˆ na osnovu transformacije z = Tˆ
napisana za nove varijable z
z imaju oblik:
p[Tˆ
z] = ATˆ
z + B x(t)
Tpˆ
z = ATˆ
z + B x(t)
pˆ
z = T−1 ATˆ
z + T−1 B x(t)
Matrica:

1
C
T= 0
0
0
1
L1
0

0
0 
1
L2
predstavlja matricu transformacije. Inverzna matrica T−1 ima oblik:

T−1
C
= 0
0
0
L1
0

0
0 
L2
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA
150
Tada vrijedi:


 1
0
− C1
− C1
C 0
0
C
1
0  0
T−1 AT =  0 L1 0   L11 − R
L1
1
2
0 0 L2
0
0
−R
L2
L2

 1

0
0
0 −1
−1
C
0 
0   0 L11
=  1 −R1
1
0
−R2
0
0 L12


0 − L11 − L12
R
1
0 
=  C − L11
1
2
0
−R
C
L

 2

 
0
C 0
0
0
T−1 B =  0 L1 0   − L11  =  −1 
0 0 L2
0
0
0
1
L1
0

0
0 
1
L2
Jednaˇcine stanja, napisane za nove varijable, imaju oblik:

 

 

0 − L11 − L12
qC
qC
0
1
0   φ1  +  −1  [vg (t)]
p  φ1  =  C1 − R
L1
1
2
φ2
φ2
0
0
−R
C
L
2
ˆ definiˇsu se kao linearna kombinacija poPrema tome, nove varijable stanja z
laznih varijabli stanja z. Svaki skup varijabli stanja generiˇse razliˇcit oblik diferencijalnih jednaˇcina. Op´cenito, matrica transformacije ne mora biti dijagonalna
matrica.
Model pomo´cu jednaˇcina stanja ima prednost pri analizi odziva elektriˇcnih kola
u odnosu na ostale oblike jednaˇcina u vremenskom domenu, jer omogu´cava:
1. Bolji uvid u unutraˇsnje ponaˇsanje kola, poˇsto je stanje kola definisano preko
varijabli stanja, koje sa nezavisnim izvorima odredjuju odziv kola za t > t0 .
Ove varijable, preko poˇcetnih vrijednosti za t = t0 , eksplicitno opisuju ”istoriju”
kola, odnosno uticaj stanja u kolu za t < t0 na odziv za t ≥ t0 .
2. Jednostavnije odredjivanje odziva, jer je model predstavljen u formi sistema
simultanih diferencijalnih jednaˇcina prvog reda, koje su lakˇse za rjeˇsavanje od
diferencijalne jednaˇcine viˇseg reda. Ova forma jednaˇcina je naroˇcito pogodna
za programiranje numeriˇckih postupaka prilikom rjeˇsavanja na digitalnim
raˇcunarima.
3. Pisanje jednaˇcina za nelinearna i vremenski promjenljiva kola.
5.3
Jednaˇ
cine stanja i blok dijagrami
U poglavlju 1 prikazani su razliˇciti oblici blok dijagrama, koji se mogu definisati
za diferencijalnu jednaˇcinu n–tog reda. Svaki dijagram odgovara razliˇcitom skupu
ˇ
5.3. JEDNACINE
STANJA I BLOK DIJAGRAMI
151
varijabli stanja. U nastavku ovog poglavlja, na konkretnom primjeru diferencijalne jednaˇcine, ilustrovano je izvodjenje jednaˇcina u prostoru stanja za neke od
standardnih formi blok dijagrama. Za pojedine dijagrame matrica A ima forme
koje su posebno pogodne za analizu LVN kola.
Za LVN kolo, koje je opisano diferencijalnom jednaˇcinom:
p4 y + 15p3 y + 71p2 y + 105py = p3 x + 12p2 x + 44px + 48x
(5.3)
potrebno je izvesti:
1. prenosnu funkciju H(p)
2. blok dijagram u direktnoj formi II i odgovaraju´ce jednaˇcine u prostoru stanja
3. blok dijagram u direktnoj formi III i odgovaraju´ce jednaˇcine u prostoru
stanja
4. blok dijagram sa paralelnom strukturom i odgovaraju´ce jednaˇcine u prostoru
stanja
1. Prenosna funkcija H(p)
Prenosna funkcija operatora p, za posmatranu diferencijalnu jednaˇcinu, ima
oblik:
B(p)
p3 + 12p2 + 44p + 48
H(p) =
= 4
(5.4)
A(p)
p + 15p3 + 71p2 + 105p
Odgovaraju´ci koeficijenti u opˇstem obliku prenosne funkcije H(p) (za n = m) imaju
vrijednosti:
α0 = 0
β0 = 48
α1 = 105
β1 = 44
α2 = 71
β2 = 12
α3 = 15
β3 = 1
α4 = 1
β4 = 0
2. Direktna forma II blok dijagrama
Direktna forma II blok dijagrama izvedena je u poglavlju 1.2.2. Odgovaraju´ci
koeficijenti u ovoj formi su:
a0 = α4 = 1
b0 = β4 = 0
a1 = α3 = 15
b1 = β3 = 1
a2 = α2 = 71
b2 = β2 = 12
a3 = α1 = 105
b3 = β1 = 44
a4 = α 4 = 0
b4 = β0 = 48
Posmatrana jednaˇcina predstavlja specijalni sluˇcaj forme II blok dijagrama, za
vrijednosti parametara α4 = 1 i β3 = 1, za koji se blok dijagram poprima formu
Bush-ovog kontrolera. Uvrˇstavaju´ci koeficijente u opˇstu formu II blok dijagrama,
dobijamo dijagram prikazan na slici 5.2. Na slici 5.3. isti dijagram je prikazan u
standardnoj formi Bush-ovog kontrolera, pri ˇcemu su uvedene nove varijable stanja
yi .
152
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA
x(t) +
∑
_
1/a0 =1
_
_
∑
z0
∫
z1
15
∫
71
z2
y(t)
+
+ +
12
∫
z3
105
∫
44
z4
48
Slika 5.2: Direktna forma II - blok dijagram
U formi Bush-ovog kontrolera ulazni signal x(t) ulazi direktno ili nakon prethodnog integralenja u blokove integralenja, pri ˇcemu ne prolazi kroz blokove drugih
lineranih operacija.
Na slici 5.3. nove varijable stanja yi definisane preko varijabli stanja zi prema
relacijama yi = zn−i+1 . Odgovaraju´ce jednaˇcine u prostoru stanja za varijable yi
su:
py1
py2
py3
=
=
=
y2
y3
y4
py4
=
105y2 − 71y3 − 15y4 + x(t)
(5.5)
i
y(t) = 48y1 + 44y2 + 12y3 + y4
(5.6)
Jednaˇcine stanja u matriˇcnoj formi (za varijable stanja y = [y1 , y2 , y3 , y4 ]T ) imaju
oblik:
py
=
Ay + Bx(t)
y(t)
=
Cy + Dx(t)
Odgovaraju´ce matrice imaju vrijednosti:

0
1
 0
0
A = 
 0
0
0 −105
0
1
0
−71

0
0 

1 
−15
(5.7)
ˇ
5.3. JEDNACINE
STANJA I BLOK DIJAGRAMI
153
12
44
x(t) +
-
∑
+
-
∑
+
-
∫
∑
∫
y4
15
∫
y3
48
∫
y2
+
+
∑
+
+
∑
+
+
∑
y(t)
y1
71
105
Slika 5.3: Blok dijagram u formi Bush-ovog kontrolera

B
=
C
D
=
=

0
 0 
 
 0 
1
£
48 44
12
1
¤
[0]
U ovoj formi matrica A se naziva Frobenius-ova matrica.
3. Direktna forma III blok dijagrama
Uvrˇstavaju´ci koeficijente ai i bj iz taˇcke 2. u opˇsti oblik direktne forme III blok
dijagrama, koja je izvedena u poglavlju 1.2, izvodi se dijagram prikazan na slici
5.4.
Preuredjenjem dijagrama sa slike 5.4. dobijamo dijagram u formi observera,
prikazan na slici 5.5.
U ovoj formi izlazi iz integratora djeluju direktno ili preko dodatnog integralenja na izlazni signal.
Odgovaraju´ce diferencijalne jednaˇcine u prostoru stanja, za ovu formu imaju
oblik:
pz1
pz2
pz3
pz4
=
=
=
=
−15z1 + z2 + x(t)
−71z1 + z3 + 12x(t)
−105z1 + z4 + 44x(t)
48x(t)
(5.8)
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA
x(t)
y(t)
154
∑
+
∫
+
1
∑
+
z1
pz1
-
∫
12
pz2
∑
+
15
z2
+
-
z3
+
71
∫
44
∑
+
+
pz3
-
∫
∑
48
105
z4
pz4
Slika 5.4: Blok dijagram - direktna forma III
x(t)
48
44
∫
z4
+
+
_ ∑
12
∫
+
_
1
+
z3
105
∫
∑
z2
71
+
_
+
∑
z1
∫
y(t)
15
Slika 5.5: Blok dijagram - forma observera
i
y(t) = z1
(5.9)
U matriˇcnom obliku jednaˇcina u prostoru stanja (za varijable stanja z = [z1 , z2 , z3 , z4 ]T ):
pz =
Az + Bx(t)
y(t) =
Cz + Dx(t)
odgovaraju´ce matrice imaju vrijednosti:

−15
 −71
A = 
 −105
0

1 0 0
0 1 0 

0 0 1 
0 0 0
ˇ
5.3. JEDNACINE
STANJA I BLOK DIJAGRAMI

1
 12 


 44 
48
£
1 0 0
155

B
=
C
D
=
= [0]
0
¤
4. Paralelna forma blok dijagrama
Posebno vaˇzna forma blok dijagrama (i odgovaraju´cih jednaˇcina u prostoru
stanja) predstavlja paralelna forma dijagrama. U nastavku ovog poglavlja prikazan
je postupak izvodjenja ove forme na osnovu poznate prenosne funkcije H(p).
Za prenosnu funkciju:
H(p) =
B(p)
p3 + 12p2 + 44p + 48
= 4
A(p)
p + 15p3 + 71p2 + 105p
prirodne frekvencije kola se izraˇcunavaju iz karakteristiˇcne jednaˇcine:
A(s) = s4 + 15s3 + 71s2 + 105 = 0
i imaju realne vrijednosti: 0,-3,-5,-7. Tada se funkcija H(p) moˇze napisati u faktorizovanom obliku:
H(p) =
k1
k2
k3
k4
+
+
+
p
p+3 p+5 p+7
(5.10)
Koeficijenti ki odredjuju se tako da se H(p) pomnoˇzi sa faktorom (p + ai ) i
uvrˇstavanjem p = −ai u H(p) izraˇcunaju vrijednosti (p + ai )H(−ai ). Tako koeficijent k1 izraˇcunavamo tako da H(p) pomnoˇzimo sa p i uvrˇstavanjem p = 0 u
pH(p) dobijamo:
¯
p(p3 + 12p2 + 44p + 48) ¯¯
48
pH(p) =
=
¯
p(p + 3)(p + 5)(p + 7) p=0
105
¯
¯
k2 p
k3 p
k4 p ¯
pH(p) = k1 +
+
+
= k1 + 0 + 0 + 0
p + 3 p + 5 p + 7¯
p=0
odakle slijedi:
k1 =
48
105
Postupak ponavljamo za k2 :
(p + 3)H(p) =
¯
(p + 3)(p3 + 12p2 + 44p + 48) ¯¯
−3
=
¯
p(p + 3)(p + 5)(p + 7)
−24
p=−3
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA
156
(p + 3)H(p)
=
¯
k1 (p + 3)
k3 (p + 3) k4 (p + 3) ¯¯
+ k2 +
+
= 0 + k2 + 0 + 0
p
p+5
p + 7 ¯p=−3
odakle slijedi:
k2 =
−3
1
=
−24
8
Identiˇcnim postupkom izraˇcunavamo k3 = 3/20 i k4 = 15/56. Prema tome,
prenosna funkcija H(p) napisana u faktorizovanom obliku ima izgled:
H(p) =
48
1
3
15
y(t)
= 105 + 8 + 20 + 56
x(t)
p
p+3 p+5 p+7
Pojedini faktori:
1
Hi (p) =
ki
p
= ki
p + ai
1 + api
imaju formu blok dijagrama koji je prikazan na slici 5.6.
xi(t) +
∑
pyi
∫
bi
yi(t)
ai
Slika 5.6: Blok dijagram faktora H i (p) = ki /(p + ai )
Dijagram na slici 5.6. se izvodi na osnovu pravila za operaciju povratne sprege:
H(p) =
y
H1 (p)
=
x
1 + H1 (p)H2 (p)
(5.11)
koje je ilustrovano na slici 5.7.
Blok dijagram paralelne strukture moˇzemo formirati koriste´ci opisani postupak
prikazivanja faktora Hi (p) pomo´cu odgovaraju´cih blok dijagrama. Na slici 5.8.
prikazan je blok dijagram paralelne strukture za izabrani primjer LVN kola.
Odgovaraju´ce jednaˇcine u prostoru stanja imaju oblik:
py1
=
x(t)
py2
py3
=
=
−3y2 + x(t)
−5y3 + x(t)
py4
=
−7y4 + x(t)
ˇ
5.3. JEDNACINE
STANJA I BLOK DIJAGRAMI
x(t) +
∑
H1(p)
_
157
y(t)
H2(p)
Slika 5.7: Prenosna funkcija H(p) povratne sprege
x(t)
∫
y1
48
105
+ ∑
y(t)
+
+ ∑
_
∫
y2
1
8
+ ∑
+
3
+ ∑
_
∫
y3
3
20
+
5
+ ∑
_
∫
∑
+
y4
15
56
7
Slika 5.8: Blok dijagram - paralelna struktura (sluˇcaj realnih i razliˇcitih prirodnih
frekvencija)
i
48
1
3
15
y1 + y2 + y3 + y4
105
8
20
56
Za matriˇcni oblik jednaˇcina stanja:
y(t) =
py
y(t)
= Ay + Bx(t)
= Cy + Dx(t)
odgovaraju´ce matrice imaju vrijednosti:

0
0
0
 0 −3
0
A = 
 0
0 −5
0
0
0

0
0 

0 
−7
158
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA

B
C
D

1
 1 

= 
 1 
1
£
48/105
=
1/8
3/20
15/56
¤
= [0]
Sa blok dijagrama sa slike 5.8 moˇze se uoˇciti vaˇzna osobina paralelne strukture
da na promjenu varijable yi (pyi ), pored ulaznog signala x(t), jedino utiˇce varijabla
stanja yi , i to preko povratne sprege sa odgovaraju´cim koeficijentom ai . Koeficijent
ai jednak je prirodnoj frekvenciji si . Dakle, u ovoj formi blok dijagrama dolazi do
tzv. razdvajanja sistema diferencijalnih jednaˇcina, tako da se svaka od varijabli
stanja yi (t) moˇze odrediti rjeˇsavanjem odgovaraju´ce diferencijalne jednaˇcine prvog
reda. Izlazna varijabla y(t) onda se jednostavno odredjuje na osnovu jednaˇcine
y(t) = Cy + Dx. Promjetimo da je za analizirani sluˇcaj (realni i razliˇciti korijeni
svojstvene jednaˇcine) matrica A dijagonalna matrica. To znaˇci da se procesi u
kolu koje ima realne i razliˇcite prirodne frekvencije mogu analizirati na osnovu
karakteristika kola prvog reda.
Kada se pojavljuju konjugovano-kompleksne ili viˇsestruke prirodne frekvencije faktorizovana funkcija H(p) sadrˇzi faktore koji u nazivniku imaju polinome
drugog ili viˇseg reda. Za ovaj sluˇcaj svojstvena matrica A ima blok dijagonalnu
strukturu. Procesi u kolima koji sadrˇze viˇsestruke i/ili konjugovano-kompleksne
prirodne frekvencije mogu se analizirati na osnovu karakteristika kola prvog i drugog reda.
5.4
Klasiˇ
cna metoda rjeˇ
savanja jednaˇ
cina stanja
U opˇstem sluˇcaju jednaˇcine u prostoru stanja obrazuju sistem linearnih diferencijalnih jednaˇcina prvog reda sa konstantnim koeficijentima:
pz1
pz2
= a11 z1 + a12 z2 + · · · + a1n zn + f1
= a21 z1 + a22 z2 + · · · + a2n zn + f2
···
pzn
= ···
= an1 z1 + an2 z2 + · · · + ann zn + fn
(5.12)
Funkcije fi poznate su funkcije vremena i predstavljaju linearnu kombinaciju signala pobuda i eventualno njihovih izvoda.
Iz teorije linearnih diferencijalnih jednaˇcina poznato je da se rjeˇsenje za svaku
varijablu zi (t) sastoji od homogenog rjeˇsenja zih (t) i partikularnog rjeˇsenja zip (t),
tj:
zi (t) = zih (t) + zip (t)
(5.13)
Homogena rjeˇsenja zih (t) odredjujemo rjeˇsavanjem homogene diferencijalne jednaˇcine:
pz = Az
(5.14)
ˇ
ˇ
ˇ
5.4. KLASICNA
METODA RJESAVANJA
JEDNACINA
STANJA
159
U opˇstem sluˇcaju homogena rjeˇsenja imaju oblik:
ki esi t , i = 1, 2, . . . , n
gdje su si sopstvene vrijednosti kola, koje se izraˇcunavaju iz karakteristiˇcne jednaˇcine:
det(sI − A) = 0
(5.15)
Razvijanjem determinante matrice n-tog reda dobija se algebarska jednaˇcina istog
reda sa realnim koeficijentima. Korijeni karakteristiˇcne jednaˇcine predstavljaju
sopstvene vrijednosti matrice A.
Kada su sve sopstevne vrijednosti razliˇcite homogena rjeˇsenja imaju oblik zbira:
zih (t) =
n
X
kij esj t , i = 1, 2, · · · , n
(5.16)
j=1
Ukoliko karakteristiˇcni korijen s1 ima viˇsestrukost reda r, tada homogena rjeˇsenja
imaju oblik:
n
X
zih (t) = (ki1 + ki2 t + · · · + kir tr−1 )es1 t +
kij esj t , i = 1, 2, . . . , n
(5.17)
j=r+1
Imaginarni i kompleksni korijeni se uvijek javljaju u konjugovanim parovima. Za
ove korjene mogu´ce je koristiti i sinusne, odnosno pseudo-periodiˇcne, funkcije za
predstavljanje komponenti rjeˇsenja, kao i kod homogenog rjeˇsenja diferencijalne
jednaˇcine viˇse reda.
Partikularna rjeˇsenja zip (t) predstavljaju funkcije ˇciji oblik zavisi od oblika
funkcija fi (t). Za sluˇcaj da su sve eksitacije konstantne:
fi (t) = Fi , i = 1, 2, . . . , n
(5.18)
i ako kolo nema sopstvenu frekvenciju s = 0, opˇsti oblik partikularnog rjeˇsenja je:
zip (t) = Zi , i = 1, 2, . . . , n
(5.19)
Poˇsto partikularna rjeˇsenja moraju zadovoljavati diferencijalnu jednaˇcinu:
pzp = Azp + f
(5.20)
uvrˇstavanjem zip (t) = Zi u prethodnu jednaˇcinu izvodimo sistem algebarskih jednaˇcina:
AZ = −f
(5.21)
ˇcijim rjeˇsavanjem se odredjuju partikularna rjeˇsenja zip = Zi .
Kada su funkcije fi (t) eksponencijalnog oblika:
fi (t) = Fi e−αt , i = 1, 2, . . . , n
(5.22)
160
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA
za sluˇcaj da −α nije sopstvena vrijednost kola, partikularna rjeˇsenja takodje imaju
eksponencijalni oblik:
zip (t) = Zi e−αt , i = 1, 2, . . . , n
(5.23)
Uvrˇstavanjem opˇsteg oblika partikularnog rjeˇsenja u diferencijalnu jednaˇcinu, nakon
skra´civanja sa e−αt izvodimo sistem algebarskih jednaˇcina:
−αZ = AZ + f
ili u obliku:
(αI − A)Z + f = 0
(5.24)
iz kojeg izraˇcunavamo koeficijente Zi , i = 1, 2, . . . , n. Za sluˇcaj da je −α sopstvena
vrijednost kola, partikularna rjeˇsenja imaju oblik:
(1)
zip (t) = (Zi
(2)
+ Zi t) e−αt , i = 1, 2, . . . , n
(5.25)
Uvrˇstavanjem ovog oblika partikularnog rjeˇsenja u diferencijalnu jednaˇcinu, nakon
skra´civanja sa e−αt izjednaˇcavanjem koeficijenata uz nulti i prvi stepen promjenljive t u svakoj od n jednaˇcina dobija se 2n algebarskih jednaˇcina, iz kojih se
(1)
(2)
izraˇcunavaju koeficijenti Zi i Zi za i = 1, 2, . . . , n. Opisani postupci su analogni
postupcima kojima se odredjuje partikularno rjeˇsenje diferencijalne jednaˇcine viˇseg
reda. Za sluˇcaj pobuda u obliku polinoma varijable t ili prostoperiodiˇcne funkcije
jednostavno se izvode analogni postupci kao i kod diferencijalne jednaˇcine viˇseg
reda.
Za sluˇcaj razliˇcitih sopstvenih vrijednosti opˇsti izraz za kompletno rjeˇsenje kola
ima oblik:
n
X
zi (t) =
kij esj t + zip (t), i = 1, 2, . . . , n
(5.26)
j=1
Ukupan broj integracionih konstanti kij za n varijabli stanja, koje treba odrediti je
n2 . Integracione konstantne se odredjuju iz nezavisnih poˇcetnih vrijednosti z(0).
Poˇsto nezavisnih poˇcetnih vrijednosti zi (0) ima n, a integracionih konstanti n2
izmedju ovih posljednjih moraju da postoje odredjene zavisnosti kako bi rjeˇsenje
bilo jednoznaˇcno odredjeno. Jedan od postupaka odredjivanja integracionih konstanti je metod sukcesivnih izvoda. U ovom metodu se prvo diferenciraju´ci sistem:
pz = Az + f
n−2 puta, poveˇcava broj poˇcetnih uslova pri ˇcemu se definiˇsu novi poˇcetni uslovi
za:
p(i+1) z = Ap(i) z + p(i) f , i = 0, 1, . . . , (n − 2)
(5.27)
Polaze´ci od poˇcetnih vrijednosti varijabli stanja z(0) (nezavisnih poˇcetnih uslova)
sukcesivno se izraˇcunavaju zavisni poˇcetni uslovi:
z(1) (0), z(2) (0), . . . , z(n−1) (0)
ˇ
ˇ
ˇ
5.5. RJESAVANJE
JEDNACINA
STANJA U MATRICNOM
OBLIKU
161
Ako sada opˇsti oblik za kompletno rjeˇsenje zi (t), napisan u formi:
n
X
kij esj t = zi (t) − zip (t)
(5.28)
j=1
diferenciramo (n−1) puta, za svako i = 1, 2, . . . , n izvodimo sistem (n−1) jednaˇcina:
n
X
kij sj esj t
= pzi (t) − pzip (t)
j=1
···
n
X
(n−1) sj t
e
kij sj
= ···
= p(n−1) zi (t) − p(n−1) zip (t)
(5.29)
j=1
Uvrˇstavanjem t = 0 u polazni oblik relacija 5.28 i 5.29 izvodimo sistem n-algebarskih
jednaˇcina:
n
X
kij
j=1
n
X
kij sj
= zi (0) − zip (0)
(1)
(1)
= zi (0) − zip (0)
j=1
···
n
X
kij sj
= ···
(n−1)
= zi
(1)
(0) − zip (0)
(5.30)
j=1
iz kojih izraˇcunavamo koeficijente kij , za j = 1, 2, . . . , n. Ponavljaju´ci ovaj postupak za svako i = 1, 2, . . . , n izraˇcunavamo svih n2 integracionih konstanti kij .
5.5
Rjeˇ
savanje jednaˇ
cina stanja u matriˇ
cnom
obliku
Rjeˇsenje matriˇcne jednaˇcine:
pz = Az + Bx
predstavlja vektor z(t) koji u opˇstem sluˇcaju moˇzemo izraziti kao zbir vektora
homogenog rjeˇsenja zh (t) i vektora partikularnog rjeˇsenja zp (t):
z( t) = zh (t) + zp (t)
(5.31)
Pri tome vektor homogenog rjeˇsenja zh (t) zadovoljava homogenu diferencijalnu
jednaˇcinu:
pzh = Azh
(5.32)
Po analogiji sa realnim funkcija, opˇsti oblik homogenog rjeˇsenja je:
zh (t) = eAt K
(5.33)
162
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA
gdje je K vektor n–tog reda integracionih konstanti ki , i = 1, 2, . . . , n. Eksponencijalna matriˇcna funkcija eAt naziva se prelazna ili tranzijentna matrica stanja i
obiljeˇzava se sa Φ(t).
Vektor partikularnog rjeˇsenja zp (t) zavisi od oblika vektora pobudnih signala
x(t). Ako su pobudni signali konstantni, tj. za x(t) = X vrijedi:
zp (t) = Z
(5.34)
Uvrˇstavanjem opˇsteg oblika za partikularno rjeˇsenje u diferencijalnu jednaˇcinu,
uvaˇzavaju´ci da je pZ = 0, izvodimo:
AZ + BX = 0
odakle dobijamo:
zp (t) = Z = −A−1 BX
(5.35)
Za sluˇcaj da su sve pobude eksponencijalnog oblika, odnosno za:
x(t) = Xe−αt
opˇsti oblik partikularnog rjeˇsenja je:
zp (t) = Ze−αt
(5.36)
Uvrˇstavanjem opˇsteg oblika partikularnog rjeˇsenja u diferencijalnu jednaˇcinu, nakon
skra´civanja sa e−αt izvodimo jednaˇcinu:
−αZ = AZ + BX
odakle, pod uslovom da −α nije sopstvena vrijednost matrice A odnosno da vrijedi
det(αI + A) 6= 0, izraˇcunavamo:
Z = −(αI + A)−1 BX
Konaˇcno, za ovaj sluˇcaj partikularno rjeˇsenje ima oblik:
zp (t) = −(αI + A)−1 BXe−αt
(5.37)
Iz prethodnih primjera je jasno da se partikularno rjeˇsenje nalazi po analogiji sa
izraˇcunavanjem partikularnog rjeˇsenja za diferencijalnu jednaˇcinu viˇseg reda.
Kompletno rjeˇsenje tada ima opˇsti oblik:
z(t) = eAt K + zp (t) = Φ(t)K + zp (t)
(5.38)
Vektor integracionih konstanti K, odredjujemo iz poˇcetnih vrijednosti z(t0 ) prema
relaciji:
K = e−At0 [ z(t0 ) − zp (t0 ) ]
(5.39)
Uvrˇstavanjem izraza za integracione konstante izvodimo izraz za izraˇcunavanje
kompletnog odziva kola:
z(t)
= eA(t−t0 ) [ z(t0 ) − zp (t0 ) ] + zp (t)
= Φ(t − t0 ) [ z(t0 ) − zp (t0 ) ] + zp (t)
(5.40)
ˇ
ˇ
ˇ
5.5. RJESAVANJE
JEDNACINA
STANJA U MATRICNOM
5.5.1
OBLIKU
163
Integralno rjeˇ
savanje matriˇ
cne jednaˇ
cine
Matriˇcna diferencijalna jednaˇcina :
pz = Az + Bx
moˇze se direktno rjeˇsiti integralenjem tako da se prvo pomnoˇzi sa e−At i napiˇse u
obliku:
−e−At Az + e−At pz = e−At Bx
Poˇsto za izvod proizvoda dvije matrice vrijedi:
p(−e−At z) = −e−At Az + e−At pz
prethodnu jednaˇcinu moˇzemo napisati u obliku:
p(e−At z) = e−At Bx
Integralenjem ove jednaˇcine izvodimo:
Z
e−At z = e−At Bx(t)dt + K = f (t) + K
(5.41)
Pod integralom matrice realne promjenljive podrazumijevamo matricu integrala
njenih elemenata. Mnoˇzenjem posljednjeg izraza sa eAt izvodimo relaciju za
izraˇcunavanje odziva kola:
z(t) = eAt K + eAt f (t)
(5.42)
Vektor K predstavlja vektor integracionih konstanti, koji odredjujemo iz poˇcetnih
vrijednosti z(t0 ), prema relaciji:
z(t0 ) = eAt0 K + eAt0 f (t0 )
(5.43)
K = e−At0 z(t0 ) − f (t0 )
(5.44)
odakle slijedi:
Tada relacija za izraˇcunavanje odziva ima oblik:
z(t) = eA(t−t0 ) z(t0 ) + eAt [f (t) − f (t0 )]
Poˇsto vrijedi:
Z
t
f (t) − f (t0 ) =
e−Aτ Bx(τ )dτ
t0
kompletno rjeˇsenje kola moˇzemo pisati u obliku:
Z
z(t) = eA(t−t0 ) z(t0 ) +
t
t0
eA(t−τ ) Bx(τ )dτ, t > t0
(5.45)
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA
164
Iz izraza za kompletni odziv kola uvrˇstavaju´ci x = 0 izvodimo izraz za prirodni
odziv kola:
zn (t) = eA(t−t0 ) z(t0 )
(5.46)
a uvrˇstavaju´ci z(t0 ) = 0 izvodimo relaciju za izraˇcunavanje prinudnog odziva kola:
Z t
zs (t) =
eA(t−τ ) Bx(τ )dτ
(5.47)
t0
Iz izraza za kompletno rjeˇsenje takodje jednostavno izvodimo relacije za homogeno rjeˇsenje:
eA(t−t0 ) z(t0 ) − eAt f (t0 )
£
¤
eAt e−At0 z(t0 ) − f (t0 )
zh (t) =
=
(5.48)
i partikularno rjeˇsenje:
Z
At
zp (t) = e
At
f (t) = e
e−Aτ Bx(τ )dτ
(5.49)
Uobiˇcajeno se u analizi kola usvaja t0 = 0. Tada izvedeni izrazi za komponente
kompletnog odziva imaju oblike:
zn (t)
zs (t)
zh (t)
Poˇsto vrijedi:
= eAt z(0)
Z t
=
eA(t−τ ) Bx(τ )dτ
= e
0
At
[z(0) − f (0)]
(5.50)
(5.51)
(5.52)
zp (0) = eA0 f (0) = f (0)
izraz za homogeno rjeˇsenje moˇzemo pisati u obliku:
zh (t) = eAt [z(0) − zp (0)]
5.5.2
(5.53)
Osobine LVN kola - analiza u prostoru stanja
U ovom poglavlju su opisane osobine LVN kola na osnovu analize izraza za komponente kompletnog odziva (zh (t), zp (t), zn (t), zs (t), koji su izvedeni u prethodnom
poglavlju.
1. Kompletan odziv kola z(t) za t ≥ 0 sastoji se od homogenog rjeˇsenja zh (t) i
partikularnog rjeˇsenja zp (t):
Z
(5.54)
z(t) = zh (t) + zp (t) = eAt [z(0) − zp (0)] + eAt e−Aτ Bx(τ )dτ
Poˇcetne vrijednosti varijabli stanja z(0) i ulazni signali x(t) jednoznaˇcno
odredjuju odziv kola za t ≥ 0.
ˇ
ˇ
ˇ
5.5. RJESAVANJE
JEDNACINA
STANJA U MATRICNOM
OBLIKU
165
2. Odziv kola z(t) moˇze se predstaviti kao zbir prirodnog odziva (za x(t) = 0):
zn (t) = eAt z(0)
i prinudnog odziva (za z(0) = 0):
Z t
zs (t) =
eA(t−τ ) Bx(τ )dτ
(5.55)
(5.56)
0
Pri tome prirodni odziv zn (t) ima isti analitiˇcki oblik kao i homogeno rjeˇsenje
zh (t) pri ˇcemu vrijedi:
zh (0) = z(0) − zp (0)
(5.57)
Primjetimo da je prirodni odziv linerano zavisan od poˇcetnih uslova z(0)
ˇsto ne vrijedi za homogeno rjeˇsenje. Pronudni odziv je linerano zavisan od
pobudnih signala x(t), poˇsto je integral linearna operacija.
3. U kolima sa viˇse ulaza i izlaza prinudni odziv kola, pri djelovanju pobudnog
signala xj (t) na j-tom ulazu (pri ˇcemu su svi drugi ulazni signali jednaki nuli),
predstavlja vektor varijabli stanja zij (t), j = 1, 2, . . . , n koji oznaˇcavamo sa
zj (t). Vektor pobudnih signala x(t) tada sadrˇzi samo ˇclan xj (t) tako da
vrijedi:
Bx(t) = bj xj (t)
(5.58)
gdje smo sa bj oznaˇcili j-tu kolonu matrice B. Vektor odziva zj (t) izraˇcunavamo
prema izrazu za prinudni odziv:
Z t
zj (t) =
eA(t−τ ) bj xj (τ )dτ
(5.59)
0
Ako je pobudni signal jediniˇcni impuls xj (t) = δ(t) izvodimo izraz za odredjivanje impulsnog odziva kola hj (t) na pobudu na j-tom ulazu:
Z t
hj (t) =
eA(t−τ ) bj δ(τ )dτ = eAt bj
(5.60)
0
Ako je pak pobudni signal jediniˇcna odskoˇcna funkcija xj (t) = u(t) izvodimo
izraz za odskoˇcni odziv kola gj (t) na pobudu na j-tom ulazu:
Z t
Z t
j
A(t−τ )
g (t) =
e
bj u(τ )dτ =
eA(t−τ ) bj dτ
0
0
µZ t
¶
Z t
=
eAτ dτ bj =
hj (τ )dτ
(5.61)
0
0
Iz izraza za odskoˇcni odziv slijedi:
gj (t)
= hj (t)
dt
odnosno izvod odskoˇcnog odziva predstavlja impulsni odziv.
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA
166
4. Uporedjuju´ci izraze za prirodni odziv:
zn (t) = eAt z(0)
i impulsni odziv:
hj (t) = eAt bj
zakljuˇcujemo da impulsni odziv kola ima isti analitiˇcki oblik kao i prirodni
odziv.
5. Ukoliko proceduru za izraˇcunavanje impulsnog odziva hj (t) ponovimo za sve
ulaze j = 1, 2, . . . , n moˇzemo definisati matricu H(t) ˇcije kolone ˇcine vektori
hj (t). Tada vrijedi:
H(t) = eAt B
odnosno:
Z
t
z(t) =
H(t − τ )x(τ )dτ
(5.62)
0
Prethodna relacija predstavlja matriˇcni oblik operacije konvolucije:
z(t) = H(t) ∗ x(t)
5.6
(5.63)
Izraˇ
cunavanje tranzijentne matrice Φ(t)
Matrica eAt naziva se tranzijentna ili prelazna matrica stanja i oznaˇcava se sa Φ(t).
Izraˇcunavanje tranzijentne matrice predstavlja fundamentalni zadatak analize kola
u prostoru stanja. U ovom poglavlju opisani su postupci za odredjivanje elemenata
matrice Φ(t).
Po analogiji sa realnim funkcijama, tranzijentna matrica Φ(t) moˇze se izraziti
razvojem matrice eAt u red, prema izrazu:
Φ(t) = I + A
t
t2
ti
+ A2 + · · · + Ai + · · ·
1!
2!
i!
(5.64)
Postupak razvoja tranzijentne matrice u red ilustrova´cemo na promjeru kola
koje je opisano sistemom diferencijalnih jednaˇcina:
pz1
=
−z1
pz2
pz3
=
=
−2z2
−6z3 + x(t)
ili u matriˇcnoj formi:
pz = Az + Bx(t)
(5.65)
ˇ
5.6. IZRACUNAVANJE
TRANZIJENTNE MATRICE Φ(T )
gdje odgovaraju´ce matrice imaju vrijednosti:


z1
z =  z2 
z3

−1
0
A =  0 −2
0
0
 
0
B =  0 
1
167

0
0 
−6
Matrica sistema A za analizirano kolo ima dijagonalnu strukturu. U poglavlju 4
pokazali smo da se paralelna struktura blok dijagrama LVN kola, koje ima realne
i razliˇcite svojstvene vrijednosti, opisuje medjusobno nepovezanim diferencijalnim
jednaˇcinama prvog reda. Pri tome je matrica A dijagonalna i na dijagonali sadrˇzi
svojstvene vrijednosti. Ukoliko usvojimo:
z1
=
iL1
z2
z3
=
=
vC
iL3
moˇzemo nacrtati odgovaraju´ce ekvivalentno kolo, koje odgovara analiziranom sistemu jednaˇcina u prostoru stanja.
z 3 = iL 3
z1 = iL1
1Ω
1H
1Ω
+ z 2 = VC
1
F
2
-
6Ω
+
-
1H
X (t )
Slika 5.9: Ekvivalentno dekuplovano (raspregnuto) kolo paralelne strukture blok
dijagrama
Za kola sa slike 5.9 odredimo prirodni odziv kola (x(t) = 0). Rjeˇsavanjem diferencijalnih jednaˇcina prvog reda, nalazimo prirodne odzive za pojedine varijable
stanja zi , i = 1, 2, 3 koji imaju oblik:
z1 (t)
= z1 (0)e−t u(t)
z2 (t) = z2 (0)e−2t u(t)
z3 (t) = z3 (0)e−6t u(t)
(5.66)
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA
168
ili napisano u matriˇcnoj formi:

  −t
z1 (t)
e
zn (t) =  z2 (t)  =  0
z3 (t)
0
0
e−2t
0
0
0
e−6t


y1 (0)
  y2 (0)  = eAt z(0)
y3 (0)
(5.67)
Dokazimo da se izraz za matricu Φ(t) moˇze izvesti i razvojem u red tranzitne
matrice. Na osnovu vrijednosti:

−1
A= 0
0
0
−2
0

0
0 
−6
izraˇcunavamo:

A2
=
A3
=

1 0 0
 0 4 0 
0 0 36


−1
0
0
 0 −8
0 
0
0 −216
odakle slijedi:
 
  t2
1 0 0
−t
0
0
 2
0 + 0
Φ(t) =  0 1 0 + 0 −2t
0 0 1
0
0 −6t
0

2
3
1 − t + t2 − t6 + · · ·
0
2

= 
0
1 − 2t + 4t2 −
0
0
 −t

e
0
0
0 
=  0 e−2t
−6t
0
0
e

0
4t2
2
0
8t3
6
 
0
0
36t
2
 
+
2
−t3
6
0
0
0
−8t3
6
0

0

+ ···
0

2
3
1 − 6t + 36 t2 − 218 t6 + · · ·
(5.68)
t
t2
t3
+ a2 + a3 + · · ·
1!
2!
3!
Tranzijentna matrice Φ(t) moˇze se odrediti koriˇstenjem relacije koja opisuje
prirodni odziv kola:
zn (t) = Φ(t)z(0)

 + ···
3
−216t
6
poˇsto vrijedi:
eat = 1 + a

0
0
(5.69)
ˇ
5.6. IZRACUNAVANJE
TRANZIJENTNE MATRICE Φ(T )
169
primjenom principa superpozicije. Postavljaju´ci sve poˇcetne vrijednosti na nulu
osim za varijablu zj (0) 6= 0, dobijamo:
 j  

z1
φ1j
j
 z2   φ2j 

 

 ..   .. 
 .   . 
 


 z j  =  φij  [zj (0)]
 i  

 .   . 
 ..   .. 
φnj
znj
odnosno:
zij (t) = φij (t)zj (0), i = 1, 2, · · · , n
(5.70)
zij (t)
Dakle ˇclan φij (t) predstavlja komponentu
prirodnog odziva varijable zi (t) na
poˇcetni uslov zj (0). Postavljaju´ci zj (0) = 1, dobijamo sve elemente kolone φj (t)
matrice Φ(t). Ponavljaju´ci opisanu proceduru za j = 1, 2, · · · , n izraˇcunavaju se
svi elementi tranzijentne matrice.
5.6.1
Izraˇ
cunavanje tranzijentne matrice stanja Φ(t)
pomo´
cu dijagonalizacije matrice A
U ovom poglavlju opisan je postupak izraˇcunavanja tranzijentne matrice na osnovu dijagonalizacije matrice A. U sluˇcaju da kvadratna matrica A reda n ima
sopstvene vrijednosti si , i = 1, 2, · · · , n razliˇcite, mogu´ce je odrediti nesingularnu
matricu P istog reda koja transformiˇse matricu A u dijagonalnu matricu prema
relaciji:


s1


s2


P−1 AP = D = 
(5.71)

.
.


.
sn
Dakle, dijagonalni elementi matrice D jednaki su sopstvenim vrijednostima si .
Matrica P izraˇcunava se iz jednaˇcine:
AP = PD
Ako sa pj oznaˇcimo j-tu kolonu matrice P prethodnu jednaˇcinu moˇzemo
obliku:

s1

s2
£
¤ £
¤
A p1 p2 · · · pn = p1 p2 · · · pn 
..

.
sn
pisati u





Prethodnu matriˇcnu jednaˇcinu moˇzemo napisati i kao sistem n matriˇcnih jednaˇcina
oblika:
Apj = pj sj , j = 1, 2, · · · , n
(5.72)
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA
170
Tada se vektor pj izraˇcunava iz jednaˇcine:
(sj I − A)pj = 0
(5.73)
Poˇsto je sj sopstvena vrijednost matrice A, determinanta prethodnog sistema
jednaˇcina jednaka je nuli, odnosno sistem homogenih jednaˇcina ima netrivijalna
rjeˇsenja. Vektori pj , koji se odredjuju na ovaj naˇcin nazivaju se sopstveni vektori
matrice A.
Ako matricu A predstavimo pomo´cu relacije:
A = PDP−1
(5.74)
Ai = (PDP−1 )i = PDi P−1
(5.75)
tada vrijedi:
Red tranzijentne matrice tada moˇzemo pisati u obliku:
·
¸
2
i
At
−1 t
−1 2 t
−1 i t
e
=
I + (PDP ) + (PDP )
+ · · · + (PDP ) + · · ·
1!
2!
i!
·
¸
2
i
t
t
t
−1
2 −1
i −1
=
I + PDP
+ PD P
+ · · · + PD P
+ ···
1!
2!
i!
·
¸
t
t2
ti
= P I + D + D2 + · · · + Di + · · · P−1
(5.76)
1!
2!
i!
Poˇsto za dijagonalnu matricu D vrijedi:
eDt = I + Dt + D2
slijedi:
t2
ti
+ · · · + Di + · · ·
2!
i!



Φ(t) = eAt = PeDt P−1 = P 

(5.77)

es1

 −1
P

e s2
..
.
(5.78)
e sn
U sluˇcaju da sopstvene vrijednosti nisu razliˇcite opisani postupak se modifikuje.
5.6.2
Izraˇ
cunavanje svojstvenih vrijednosti
i svojstvenih vektora
Izraˇcunavanje svojstvenih vrijednosti
Izraˇcunavanje svojstvenih vrijednosti ilustrovano je na izabranim primjerima
matrice A, koja nije dijagonalna. Za diferencijalnu jednaˇcinu napisanu u matriˇcnom obliku:
py = Ay
ˇ
5.6. IZRACUNAVANJE
TRANZIJENTNE MATRICE Φ(T )
171
desnu stranu jednaˇcine Ay oznaˇcimo sa z, odnosno uvedimo nove varijable stanja:
z = Ay
Ova transformacija preslikava vektor y u vektor z. Ukoliko su vrijednosti matrica:
 
1
y =  1 
1


2 −1
3
2
6 
A =  4
1
0 −1
tada je:


4
z = Ay =  12 
0
Vektori y i z prikazani su na slici 5.10.
z
(4,12,0)
y(1,1,1)
1
1
Slika 5.10: Ilustracija transformacije koordinata vektora varijabli stanja
U opˇstem sluˇcaju vektor z ima razliˇcit intenzitet i pravac od vektora y. Postavlja
se pitanje da li postoji vektor y za koji vektor z = Ay ne mijenja pravac, tj. da
li postoji skalar λ za koji vrijedi:
Ay = λy
(5.79)
Problem se svodi na odredjivanje rjeˇsenja diferencijalne jednaˇcine:
py = λy
(5.80)
odnosno vektora y, ˇciji se gradijent rasta poklapa sa pravcem vektora, ili vektora
koji u prostoru stanja formira trajektoriju u obliku pravca. Jednaˇcina 5.79 moˇze
se napisati u matriˇcnom obliku:
Ay
[λI − A] y
=
=
λIy
0
(5.81)
172
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA
Jednaˇcina 5.81 ima nenultna rjeˇsenja za det[λI − A] = 0. Prema tome svojstvene vrijednosti matrice A nalaze se rjeˇsavanjem jednaˇcine:
det [λI − A] = 0
(5.82)
koja se naziva svojstvena jednaˇcina. Za kolo prikazano na slici 5.11 napisa´cemo
jednaˇcine u prostoru stanja i izraˇcunati svojstvene vrijednosti kola.
R1 = 3Ω
M=1H
i2
i1
+
vg(t)
-
L1=2H
L2=8H
R2 = 1Ω
Slika 5.11: Izraˇcunavanje svojstvenih vrijednosti - primjer LVN kola
Varijable stanja u kolu sa slike 5.11 su:
¸
¸ ·
·
i1
y1
=
y=
i2
y2
Jednaˇcine stanja, prema KZN, imaju oblik:
vg = R1 i1 + v1
0 = R2 i2 + v2
(5.83)
pri ˇcemu vrijedi:
v1
v2
=
=
L1 pi1 + M pi2
L2 pi2 + M pi1
(5.84)
Iz jednaˇcine 5.84 slijedi:
1
M
v1 −
pi2
L1
L1
Uvrˇstavanjem izraza za pi1 u jednaˇcinu 5.84, slijedi:
pi1 =
pi2
¶
2
µ
M
pi2 1 −
L1 L2
L1 L2 − M 2
pi2
L1 L2
pi2
=
=
=
=
µ
¶
1
M
1
M
1
M
v2 −
pi1 =
v2 −
v1 −
pi2
L2
L2
L2
L2 L1
L1
−M
1
v1 +
v2
L1 L2
L2
−M
1
v1 +
v2
L1 L2
L2
L1
−M
v1 +
v2
(5.85)
L1 L2 − M 2
L1 L2 − M 2
ˇ
5.6. IZRACUNAVANJE
TRANZIJENTNE MATRICE Φ(T )
Uvrˇstavanjem izraza za pi2 u relaciju za pi1 dobijamo:
·
¸
1
M
−M
L1
pi1 =
v1 −
v
+
v
1
2
L1
L1 L1 L2 − M 2
L1 L2 − M 2
·
¸
1
−M 2
M
=
1−
v1 −
v2
L1
L1 L2 − M 2
L1 L2 − M 2
L2
M
pi1 =
v1 −
v2
2
L1 L2 − M
L1 L2 − M 2
173
(5.86)
Uvrˇstavanjem vrijednosti za parametre kola u izraze za pi1 i pi2 u relacije 5.85 i
5.86 slijedi:
pi1
=
0.533v1 − 0.066v2
pi2
=
−0.066v1 + 0.133v2
(5.87)
Preuredjenjem jednaˇcine 5.83 izvodimo:
v1
v2
=
=
vg − Ri1 = vg − 3i1
−R2 i2 = −i2
Konaˇcno, uvrˇstavanjem izraza za v1 i v2 u izraze 5.87 izvodimo jednaˇcine u prostoru stanja za pi1 i pi2 :
pi1
pi2
= −1.6i1 + 0.066i2 + 0.533vg
= 0.2i1 − 0.133i2 − 0.066vg
(5.88)
Tada matrica A ima vrijednost:
·
A=
a matrica λI − A:
·
λI − A =
−1.6
0.2
0.066
−0.133
λ + 1.6
−0.2
¸
−0.066
λ + 0.133
¸
Konaˇcno iz svojstvene jednaˇcine:
·
¸
λ + 1.6
−0.066
det [λI − A] = det
−0.2
λ + 0.133
=
(λ + 1.6)(λ + 0.133) − 0.0133 = λ2 + 1.73λ + 0.2 = 0
izraˇcunavamo svojstvene vrijednosti:
λ1 = −0.124, λ2 = −1.61
(5.89)
174
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA
Do istog rezultata se dolazi i koriˇstenjem prenosne funkcije H(p) za varijablu i1 ,
kada iz jednaˇcina 5.83 i 5.84 izraˇcunavamo:
H(p) =
B(p)
0.53(p + 0.125)
= 2
A(p)
p + 1.73p + 0.2
odakle svojstvene vrijednosti izraˇcunavamo iz karakteristiˇcne jednaˇcine:
A(s) = s2 + 1.73s + 0.2 = 0
Izraˇcunavanje svojstvenih vektora
Za poznate iznose svojstvenih vrijednosti λi mogu se odrediti odgovaraju´ci
svojstveni vektori. Postupak izraˇcunavanja svojstvenih vektora ilustrova´cemo na
primjeru kola opisanog matriˇcnom diferencijalnom jedanaˇcinom py = Ay, za koju
matrica A ima vrijednost:
·
¸
0
3
A=
−1 −4
Za ovo kolo odrediti ´cemo svojstvene vrijednosti λi , i = 1, 2, svojstvene vektore y1
i y2 i prirodni odziv kola.
Svojstvene vrijednosti izraˇcunavamo iz jednaˇcine:
½·
¸ ·
¸¾
·
¸
λ 0
0
3
λ
−3
det {λI − A} = det
−
= det
0 λ
−1 −4
1 λ+4
=
λ(λ + 4) + 3 = λ2 + 4λ + 3 = 0
odakle je:
λ1 = −1, λ2 = −3
Svojstvene vektore odredjujemo za svaku od izraˇcunatih svojstvenih vrijednosti.
Za λ1 = −1 vrijedi:
¸
¸¾ ·
¸ ·
½
·
y11
1 0
0
3
=0
−
(−1)
y21
−1 −4
0 1
odnosno:
·
−1
1
−3
3
¸·
y11
y21
¸
=0
ili u razvijenom obliku:
−y11 − 3y21
y11 + 3y21
= 0
= 0
(5.90)
Sistem jednaˇcina 5.90 ne omogu´cava izraˇcunavanje vrijednosti vektora y1 , nego
samo odredjivanje pravca na kojem se nalazi vektor, kao ˇsto je prikazano na slici
5.12.
ˇ
5.6. IZRACUNAVANJE
TRANZIJENTNE MATRICE Φ(T )
y21
175
y11
1
λ1 = −1, y1
-1/3
λ2 = −3, y2
-1
Slika 5.12: Svojstveni vektori y
1
i y2 za analizirano kolo
Ukoliko usvojimo vrijednost y11 = 1 slijedi y21 = −1/3. Taˇcke (0,0) i (1,-1/3)
odredjuju pravac vektora y1 .
Analogno za λ = −3 slijedi:
½
·
¸ ·
¸¾ ·
¸
1 0
0
3
y12
(−3)
−
=0
0 1
−1 −4
y22
odnosno:
·
−3
1
−3
1
¸·
y12
y22
¸
=0
Za usvojenu vrijednost y12 = 1 slijedi y22 = −1. Taˇcke (0,0) i (1,-1) odredjuju
pravac vektora y2 , kao ˇsto je prikazano na slici 5.12.
Dakle, svojstvene vektore moˇzemo proizvoljno izabrati, tj. moˇzemo usvojiti:
·
¸
1
y1 =
− 31
i
·
y2 =
1
−1
¸
Vektori y1 i y2 predstavljaju kolone matrice transformacije P = [y1 y2 ], odnosno
vrijedi:
·
¸
1
1
P=
− 31 −1
Tada matrica P−1 ima vrijednost:
·
P
−1
=
3
2
1
−2
3
2
3
−2
¸
Tada je proces transformacije matrice A opisan relacijom:
· 3
¸·
¸·
¸ ·
¸
3
1
1
0
3
−1
0
2
2
P−1 AP =
=
−1 −4
0 −3
− 31 −1
− 21 − 23
176
POGLAVLJE 5. ANALIZA LVN KOLA U PROSTORU STANJA
Uoˇcimo da su dijagonalni elementi transformisane matrice jednaki odgovaraju´cim
svojstvenim vrijednostima.
Tada je opˇsti oblik prirodnog odziva:
y(t) = Ae−t + Be−3t
(5.91)
Konstante A i B odredjuju se iz poˇcetnih vrijednosti y(0) i py(0), odnosno na
osnovu vrijednosti y1 (0) i y2 (0).
Poseban sluˇcaj se pojavljuje kada poˇcetna vrijednost vektora y leˇzi na jednom
od svojstvenih vektora, npr. na vektoru y1 , tj. za y11 = 1 i y21 = −1/3. Tada se
konstante izraˇcunavaju iz jednaˇcina:
y1 (0)
¯
dy1 ¯¯
dt ¯0
=
A1 + B1 = 1
=
1
y1 + 3y2 = 0 + 3(− ) = −1 = −A1 − 3B1
3
Tada vrijedi:
A1 + B1
−A1 − 3B1
=
=
1
−1
odnosno:
B1 = 0, A1 = 1
Dakle, za ovaj specijalni sluˇcaj rjeˇsenje y(t) = e−t sadrˇzi samo komponentu koja
odgovara svojstvenoj vrijednosti λ1 .
Download

Analiza LVN kola u prostoru stanja