ELEKTRODINAMIKA
Voja Radovanovi´c
Fiziˇcki fakultet
Univerzitet u Beogradu
Beograd, decembar 2014. godine
2
Contents
1 Naelektrisanje i elektromagnetno polje
1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Naelektrisanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Dirakova delta funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Taˇckasto, linijsko i povrˇsinsko naelektrisanje jezikom zapreminskog .
1.5 Jednaˇcina kontinuiteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Elektromagnetno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
7
7
8
9
13
13
14
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
19
22
26
28
29
31
32
33
33
3 Elektromagnetno polje u sredini
3.1 Maksvel–Lorencove jednaˇcine za polje u supstancijalnoj sredini . . . . . . . . . .
3.2 Supstancijalne jednaˇcine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Graniˇcni uslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
37
44
47
4 Teoreme elektromagnetnog polja
4.1 Pointingova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Teorema impulsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Teorema momenta impulsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
51
55
61
5 Relativistiˇ
cka elektrodinamika
5.1 Lorencove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ
5.2 Cetvorovektor
gustine struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ
5.3 Cetvorovektor potencijala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
63
67
68
2 Maksvelove jednaˇ
cine
2.1 Elektrostatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Magnetostatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Razlaganje skalarnog potencijala po multipolima . . .
2.4 Razlaganje vektorskog potencijala po multipolima . .
2.5 Faradejev zakon elektromagnetne indukcije . . . . . .
2.6 Maksvelove jednaˇcine . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Samousaglaˇseno odredjivanje EMP u vakuumu . . . .
2.8 Potencijali elektromagnetnog polja u vakuumu . . . .
2.8.1 Jednaˇcine za potencijale . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Kalibraciona (gauge ili gradijentna) simetrija .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
CONTENTS
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
Tenzor jaˇcine polja. Zakon transformacije jaˇcina polja . . . . . . . . . . .
Elektromagnetno polje naelektrisanja u uniformnom kretanju . . . . . . .
Naelektrisana ˇcestica u elektromagnetnom polju . . . . . . . . . . . . . .
Manifestno kovarijantno izvodjenje jednaˇcina kretanja . . . . . . . . . . .
Kovarijantnost Maksvelovih jednaˇcina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Invarijantnost Maksvelovih jednaˇcina na prostornu i vremensku inverziju
Kovarijantnost Maksvel-Lorencovih jednaˇcina . . . . . . . . . . . . . . .
Integralni oblik Maksvel-Lorencovih jednaˇcina . . . . . . . . . . . . . . .
6 Elektrostatiˇ
cko polje u vakuumu
6.1 Diskontinuiteti potencijala; Dipolni list . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Jednoznaˇcnost reˇsenja Poasonove jednaˇcine . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Poason-Grinova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Reˇsavanje Laplasove jednaˇcine metodom razdvajanja promenljivih .
6.4.1 Reˇsavanje Laplasove jednaˇcine u Dekartovim koordinatama .
6.4.2 Reˇsavanje Laplasove jednaˇcine u sfernim koordinatama . . .
6.4.3 Reˇsavanje Laplasove jednaˇcine u cilindriˇcnim koordinatama .
6.5 Elektrostatiˇcko polje provodnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Jednoznaˇcnost Laplasove jednaˇcine za sistem provodnika . . . . . .
6.7 Metod likova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Grinove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Energijski odnosi u elektrostatiˇckom polju . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
69
72
75
77
79
84
86
88
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
93
93
95
97
97
98
99
104
108
111
112
113
116
7 Dielektrici u konstantnom elektriˇ
cnom polju
121
7.1 Klauzijus-Mosotijeva relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2 Modeli polarizovanja dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3 Sila i energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8 Magnetostatiˇ
cko polje u vakuumu
129
8.1 Energetski odnosi u magnetostatiˇckom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2 Magnetostatiˇcka energija sistema provodnika sa strujom . . . . . . . . . . . . . . 132
8.3 Rad na premeˇstanju strujne konture u spoljnjem polju . . . . . . . . . . . . . . 135
9 Magnetici u konstantnom magnetnom polju
137
9.1 Dijamagnetizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.2 Paramagnetizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.3 Feromagnetizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10 Elektromagnetni talasi u vakuumu i neprovodnim sredinama
10.1 Ravni talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Sferni talas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Ravan monohromatski talas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Furijeov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Polarizovanost ravnog monohromatskog elektromagnetnog talasa
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
145
146
148
149
151
151
CONTENTS
5
10.6 Doplerov efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.7 Termodinamiˇcki ravnoteˇzno zraˇcenje u ˇsupljini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11 Grinova funkcija za nehomogenu talasnu jednaˇ
cinu
161
11.1 Grinova funkcija. Retardovani potencijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.2 *Alternativno izvodjenje Grinove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12 Zraˇ
cenje
12.1 Polje na velikim rastojanjima . . . . . . . . . .
12.2 Talasna zona-dipolna aproksimacija . . . . . . .
12.3 Spektralna raspodela emitovane snage zraˇcenja .
12.4 Koˇcenje zraˇcenjem . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Zraˇcenje viˇseg reda u talasnoj zoni . . . . . . .
12.6 Lijenar-Vihertovi potencijali i polja . . . . . . .
12.7 Zraˇcenje relativistiˇcke ˇcestice . . . . . . . . . . .
12.8 Relativistiˇcka generalizacija Larmorove formule
12.9 Sinhrotronsko zraˇcenje . . . . . . . . . . . . . .
12.10Zraˇcenje antene . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
169
169
171
174
175
176
178
180
183
185
186
13 Kvazistacionarno elektromagnetno polje
189
14 Sredine sa disperzijom
14.1 Vremenska disperzija . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Energetski odnosi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Disperzije dielektriˇcne propustljivosti . . . . . . . .
14.4 Disperzija provodnosti . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5 Kramers-Kronigove relacije . . . . . . . . . . . . . .
14.6 Ravan monohromatski talas u sredini sa disperzijom
14.7 Talasni paket i grupna brzina . . . . . . . . . . . .
14.8 Sredine sa prostorno–vremenskom disperzijom . . .
195
195
198
200
203
205
208
210
212
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15 Ravan monohromatski talas u anizotropnim sredinama
215
15.1 Prostiranje kroz prozraˇcan kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
15.2 Faradejev efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
16 Prostiranje talasa u talasovodu
223
16.1 Pravougaoni talasovod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
16.2 Snaga i disipacija snage u talasovodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
17 Rasejanje elektromagnetnih talasa
17.1 Rasejanje na slobodnim elektronima .
17.2 Rasejanje na vezanim elektronima . .
17.3 Plavo nebo . . . . . . . . . . . . . . .
17.4 Rasejanje na malim kuglicama . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
229
230
231
233
234
6
CONTENTS
17.4.1 Rasejanje na meti sa viˇse centara rasejanja . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
A Vektorska analiza
237
Chapter 1
Naelektrisanje i elektromagnetno polje
1.1
Uvod
U prirodi postoje ˇcetiri interakcije: gravitaciona, elektromagnetna, slaba i jaka. Na ovom kursu
izuˇcava´cemo elektromagnetnetnu interakciju, tj. interakciju izmedju naelektrisanih tela. Preciznije, izuˇcava´cemo klasiˇcnu elektrodinamiku, ˇsto znaˇci da ´cemo prouˇcavati situacije u kojima
su kvantni efekti zanemarljivi.. Dva osnovna entiteta u elektrodinamici su naelektrisanje i elektromagnetno polje. Naelektrisanje je izvor elektromagnetnog polja. Elektron ima naelektrisanje
−e = −1, 6 · 10−19 C, ˇsto je prvi izmerio Miliken (1910 g.). Tela se mogu naelektrisati medjusobnim dodirom i/ili trljanjem. Pri tome elektroni sa jednog tela prelaze na drugo telo. Telo sa
viˇskom (manjkom) elektrona je negativno (pozitivno) naelektrisano. Naelektrisanje nekog tela
je celobrojni umoˇzak tzv. elementarnog naelektrisanja1 , e tj.
Q = Ne , N ∈ Z .
Naelektrisanje metalne kugle polupreˇcnika r = 10 cm ˇciji je potencijal ϕ = 100V je
Q = 4π0 φR = 10−9 C ,
ˇsto znaˇci da je N ≈ 1010 . U ovom sluˇcaju N je veliki broj te moˇzemo smatrati da je naelektrisanje
kugle neprekidna a ne diskretna funkcija.
Elektromagnetno polje ima impuls, energiju i moment impulsa. Elektromagnetna interakcija
se u vakuumu prenosi brzinom svetlosti c = 3 · 108 ms .
Ukoliko je impuls fotona mnogo manji od impulsa sistema, pf ps onda merni aparat ne vidi
pojedinaˇcane fotone. Tada primenjujemo klasiˇcnu elektrodinamiku. Naveˇs´cemo dva primera.
Jaˇcina elektriˇcnog polja sijalice snage P = 100W na rastojanju l = 1 m je E = 50 Vm−1 . Fluks
fotona je nf = 1015 cm12 s . Elektriˇcno polje antena snage P = 100W, frekvence ν = 108 Hz na
rastojanju l = 100km je E = 5µVcm−1 dok je fluks fotona nf = 1012 cm12 s . U oba sluˇcaja broj
fotona je veliki pa elektromagnetno polje opisujemo vektorima jaˇcina polja E(r, t) i B(r, t), tj.
koristimo klasiˇcnu elektrodinamiku.
1
Naelektrisanje kvarkova nije celobrojan umnoˇzak elementarnog naelektrisanja, npr. up (gornji) kvark je
naelektrisan sa (2/3)e.
7
8
CHAPTER 1. NAELEKTRISANJE I ELEKTROMAGNETNO POLJE
Figure 1.1: Elektriˇcno polje dva taˇckasta naelektrisanja
Rasejanje fotona na elektronu (γ + e− → γ + e− ) je Komptonof efekt. Impuls fotona je
pf = ~ω
dok je impuls elektrona reda pe ∼ mc. U ovom sluˇcaju ”vidimo” pojedinaˇcni foton te je
c
klasiˇcna elektrodinamika neprimenljiva. Da bi analizirali ovaj proces moramo primeniti kvantnu
elektrodinamiku. Klasiˇcna elektrodinamika je limes kvantne elektrodinamike.
1.2
Naelektrisanje
Prvo ´cemo uvesti pojam taˇckastog naelektrisanja. To moˇze biti aproksimacija naelektrisanog
tela ˇcije dimenzije moˇzemo zanemariti u datoj situaciji ili stvarno taˇckasto naelektrisanje, kao
ˇsto su elementarne ˇcestice. Elementarne ˇcestice, u koje spadaju leptoni i kvarkovi, su ˇcestice bez
unutraˇsnje strukture.
Ve´c smo rekli da u mnogim situacijama moˇzemo smatrati da je naelektrisanje neprekidno
rasporedjeno unutar neke oblasti. Tada govorimo o kontinumu naelektrisanja. Model kontinuma
je zasnovan na pojmu fiziˇcki beskonaˇcno male zapremine ∆V0 , i fiziˇcki beskonaˇcno malog intervala vremena, ∆t0 . Fiziˇcki mala zapremina je mnogo manja od zapremine celog sistema ali
mnogo ve´ca od l3 gde je l srednje medjumolekulsko rastojanje
l3 ∆V0 L3 .
Ona sadrˇzi veliki broj ˇcestica ali ipak mnogo manje nego ˇsto je njihov ukupan broj u sistemu.
Osnovna ideja modela kontinuma je da ”ne vidimo” granulastu strukturu materije, tj. da ne
pravimo limes ∆V → 0 oko neke taˇcke u prostoru. Tako su nam taˇcke razmazane u zapremini
∆V0 . Potpuno analogno se uvodi i fiziˇcki beskonaˇcno mali interval vremena ∆t0 koji zadovoljava
l
∆t0 T ,
v
gde je v srednja brzina molekula, a T karakteristiˇcno vreme sistema.
Gustina naelektrisanja je definisana sa
ρ(r, t) =
lim
∆V →∆V0 ,∆t→∆t0
h∆q∆V (t)i
,
∆V
(1.2.1)
gde je h∆q∆V (t)i srednje naelektrisanje u oblasti ∆V oko taˇcke r usrednjeno po vremenskom
intervalu ∆t. Jedinica za zapreminsku gustinu naelektrisanja je Cm−3 .
1.3. DIRAKOVA DELTA FUNKCIJA
9
Figure 1.2:
Figure 1.3: Funkcija δε (x − a).
Kretanje neprekidne sredine je opisano poljem brzine v = v(r, t). U elektrodinamici ´cemo
uvesti jedno drugo vektorsko polje koje opisuje kretanje kontinualne naelektrisane sredine. Naelektrisanje dq koje za vreme dt prodje kroz povrˇsinu dS sa slike 1.2 je
dq = ρ(r, t)dS · vdt = j(r, t) · dSdt .
U prethodnom izrazu veliˇcina j(r, t) = ρ(r, t)v(r, t) je vektor gustine struje. Njegov intenzitet
je jednak pozitivnom naelektrisanju koje u jedinici vremena prodje kroz jediniˇcnu povrˇsinu
postavljenu normalno na pravac prenoˇsenja naelektrisanja. Jaˇcina struje je oˇcigledno
Z
I=
j · dS ,
S
tj. ona je fluks vektora gustine struje.
1.3
Dirakova delta funkcija
Definiˇsimo funkciju δε (x − a) na slede´ci naˇcin
(x−a)2
1
δε (x − a) = √ e− ε2 .
ε π
(1.3.2)
10
CHAPTER 1. NAELEKTRISANJE I ELEKTROMAGNETNO POLJE
√
Normalizacioni faktor 1/(ε π) je izabran tako da vaˇzi
Z
∞
−∞
δε (x − a)dx = 1 .
Maksimum ove funkcije je u taˇcki x = a, njena vrednost u ovoj taˇcki je oblika 1/ε, a njena ˇsirina
je proporionalna sa ε. Kada smanjujemo parametar ε funkcija δε (x − a) postaje sve uˇza i uˇza i
sve viˇsa i viˇsa. Povrˇsina ispod ove krive ne zavisi od paramaetra ε pa ona ostaje jednaka jedinici
uzimanjem ovog limesa. Delta funkcija je limes funkcije δε (x − a) kad → 0 tj.
(
δ(x − a) = lim δε (x − a) =
ε→0
pri ˇcemu je zadovoljeno
Z
∞
−∞
0, x 6= a
,
∞, x = a
δ(x − a)dx = 1 .
(1.3.3)
(1.3.4)
Delta funkcija δ(x − a) je svuda jednaka nuli sem u taˇcki x = a gde je beskonaˇcna. Na osnovu
(1.3.4) je
Z ∞
δ(x − a)f (x)dx = f (a) ,
(1.3.5)
−∞
ˇsto se ˇcesto uzima za definiciju delta funkcije. Obiˇcno se kaˇze da delta funkcija izbacuje vrednost
podintegralne funkcije f (x) u taˇcki x = a. Delta funkcija je zapravo funkcional
δa : f (x) → f (a)
koji funkiju f (x) preslikava u f (a).
Naveˇs´cemo neke osobine delta funkcije2 :
1
δ(x)
|a|
δ(−x) = δ(x)
f (x)δ 0 (x − a) = −f 0 (x)δ(x − a)
n
X
δ(x − xi )
δ(f (x)) =
|f 0 (xi )|
i=1
δ(ax) =
δ(x2 − a2 ) =
1
(δ(x − a) + δ(x + a)) .
2|a|
(1.3.6)
(1.3.7)
(1.3.8)
(1.3.9)
(1.3.10)
U formuli (1.3.9) xi su proste nule funkcije f (x). Dokaˇzimo prvu osobinu, (1.3.6). Smenom
2
Ove osobine vaˇze pod integralom.
1.3. DIRAKOVA DELTA FUNKCIJA
11
promenljivih t = ax imamo
Z ∞
Z
f (x)δ(ax)dx =
a∞
dt
f (t/a)δ(t)
a
−a∞
Z ∞
dt
= sgn(a)
f (t/a)δ(t)
a
Z ∞ −∞
1
f (0)
=
f (t/a)δ(t)dt =
|a| −∞
|a|
Z ∞
1
=
f (x)δ(x)dx .
|a| −∞
−∞
Time smo pokazali (1.3.6). Specijalno ako u (1.3.6) uzmemo a = −1 dobijamo (1.3.7), tj. delta
funkcija δ(x) je parna. Tre´ca osobina se pokazuje parcijalnom integracijom. Naime
Z ∞
Z ∞
∞
0
dxf (x)δ (x − a) = f (x)δ(x − a)
−
dxf 0 (x)δ(x − a)
−∞
−∞
−∞
Z ∞
= −
dxf 0 (x)δ(x − a) .
(1.3.11)
−∞
Da bi dokazali (1.3.9) podjimo od integrala
Z ∞
n Z
X
dxg(x)δ(f (x)) =
−∞
i=1
xi +ε
dxg(x)δ(f (x))
(1.3.12)
xi −ε
gde integralimo u maloj, ε okolini oko svake nule funkcije f (x). U segmentu (xi − ε, xi + ε)
funkciju f (x) ´cemo aproksimirati sa f (x) = f 0 (xi )(x − xi ) pa primenom (1.3.6) dobijamo
Z xi +ε
Z xi +ε
g(x)
g(xi )
dxg(x)δ(f (x)) =
dx 0
δ(x − xi ) = 0
.
(1.3.13)
|f (xi )|
|f (xi )|
xi −ε
xi −ε
Prema tome
Z
n
X
g(xi )
dxg(x)δ(f (x)) =
|f 0 (xi )|
−∞
i=1
n Z ∞
X
g(x)
dx 0
=
δ(x − xi ) ,
|f (xi )|
i=1 −∞
∞
(1.3.14)
ˇcime smo dokazali ˇcetvrtu osobinu. Peta osobina je specijalni sluˇcaj ˇcetvrte, za f (x) = x2 − a2 .
U izrazu (1.3.5) moˇzemo umesto po celoj realnoj osi integraliti u intevalu (c, d) pri ˇcemu je
c<a<d.
Napomenimo da ukoliko bi se jedna od granica oblasti
imali bi
Z d
dxδ(x − a) =
a
Z d
dxf (x)δ(x − a) =
a
integracije poklopila sa taˇckom x = a
1
2
1
f (a) ,
2
(1.3.15)
12
CHAPTER 1. NAELEKTRISANJE I ELEKTROMAGNETNO POLJE
gde je a < d. Delta funkcija moˇze biti napisana u integralnom obliku
1
δ(x − x ) =
2π
0
Z
∞
0
dke−ik(x−x ) .
(1.3.16)
−∞
Trodimenzionalna delta funkcija je definisana sa
Z
d3 rδ (3) (r − r 0 )f (r) = f (r 0 ) ,
(1.3.17)
V
gde taˇcka r 0 pripada oblasti integracije V . Ona izbacuje vrednost podintegralne funkcije u taˇcki
r = r 0 pod uslovom da ta taˇcka pripada oblasti integracije V . U Dekartovim koordinatama
trodimenziona delta funkcija je proizvod tri jednodimenzione delta funkcije
δ (3) (r − r 0 ) = δ(x − x0 )δ(y − y 0 )δ(z − z 0 ) ,
(1.3.18)
gde su (x, y, z) Dekartove koordinate vektora r, a (x0 , y 0 , z 0 ) koordinate vektora r 0 . Ako umesto
dekartovih koristimo neke druge ortogonalne krivolinijske koordinate ξ1 , ξ2 , ξ3 , tj. r = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ),
r 0 = (ξ10 , ξ20 , ξ30 ) tada je
δ (3) (r − r 0 ) =
gde je
1
δ(ξ1 − ξ10 )δ(ξ2 − ξ20 )δ(ξ3 − ξ30 ) ,
|J|
(1.3.19)
∂(x, y, z) J =
∂(ξ1 , ξ2 , ξ3 )
Jakobijan. Jakobijan u prethodnoj formuli se krati sa jakobijanom u meri inegracije da bi vaˇzilo
Z
0
Z
d rδ (r − r ) =
3
V
(3)
dξ1 dξ2 dξ3 |J|
V
1
δ(ξ1 − ξ10 )δ(ξ2 − ξ20 )δ(ξ3 − ξ30 ) = 1 .
|J|
(1.3.20)
U praksi se najˇceˇs´ce susre´cemo sa cilindiˇcnim i sfernim koordinatama. Trodimenziona delta
funkcija u cilindriˇcnim koordinatama je
1
δ (3) (r − r 0 ) = δ(ρ − ρ0 )δ(ϕ − ϕ0 )δ(z − z 0 ) ,
ρ
(1.3.21)
a u sfernim
δ (3) (r − r 0 ) =
r2
1
δ(r − r0 )δ(ϕ − ϕ0 )δ(θ − θ0 ) .
sin θ
(1.3.22)
Iz definicije delta funkcije (1.3.5) sledi da je dimenzija delta funkcije [δ(x−a)] = m−1 . Dimenzija
trodimenzione delta funkcije je m−3 .
ˇ
ˇ
1.4. TACKASTO,
LINIJSKO I POVRSINSKO
NAELEKTRISANJE JEZIKOM ZAPREMINSKOG13
1.4
Taˇ
ckasto, linijsko i povrˇ
sinsko naelektrisanje jezikom
zapreminskog
Neka se naelektrisanje qα nalazi u trenutku t u taˇcki sa radijus vektorom rα (t). Gustina naelektrisanja je 0 za r 6= rα a beskonaˇcna za r = rα . Jasno je da je
ρ(r, t) = qα δ (3) (r − rα (t))
(1.4.23)
Z
kao i
d3 rρ(r, t) = qα .
(1.4.24)
Zapreminska gustina naelektrisanja sistema od N taˇckastih naelektrisanja je
ρ(r, t) =
N
X
qα δ (3) (r − rα (t)).
(1.4.25)
α=1
Primer: Dugaˇcka nit, ravnomerno je naelektrisana sa naelektrisanjem λ po jedinici duˇzine. Na´ci
zapreminsku gustinu naelektrisanja ρ(r).
Primenom (1.4.23) imamo
X
ρ(r) =
λ∆zα δ(x)δ(y)δ(z − zα )
Z
α
∞
= λδ(x)δ(y)
−∞
dz 0 δ(z − z 0 )
= λδ(x)δ(y) .
Sada ´cemo na´ci zapreminsku gustinu struje za sistem taˇckastih naelektrisanja. Po´ci´cemo od
izraza za zapreminsku gustinu struje j = ρv i zapreminske gustine sistema taˇckastih naelektrisanja (1.4.25). Kombinovanjem ovih formula dobijamo:
j(r, t) =
N
X
qα vα (t)δ (3) (r − rα (t)) ,
(1.4.26)
α=1
gde je vα (t) brzina naelektrisanja indeksa α u trenutku t.
1.5
Jednaˇ
cina kontinuiteta
Neka je V nepokretna zapremina unutar neprekidne sredine. Promena naelektrisanja u toj
zapremini u jedinici vremena je
Z
Z
d
dQ
∂ρ
3
=
=
d rρ(r, t) =
d3 r
dt
dt V
∂t
V
I
Z
= − j · dS = − d3 r divj
S
V
(1.5.27)
14
CHAPTER 1. NAELEKTRISANJE I ELEKTROMAGNETNO POLJE
odakle sledi
∂ρ
+ divj = 0 .
(1.5.28)
∂t
Poslednja jednaˇcina je jednaˇcina kontinuuiteta i ona je zakon odrˇzanja naelektrisanja u diferencijalnom obliku.
Zadatak: Pokazati da (1.4.25) i (1.4.26) zadovoljavaju jednaˇcinu kontinuiteta.
1.6
Elektromagnetno polje
Kao ˇsto smo rekli u uvodu elektromagnetno polje se u klasiˇcnoj elektrodinamici opisuje dvema
vektorskim funkcijama: jaˇcinom elektriˇcnog polja E(r, t) i magnetnom indukcijom B(r, t). One
se mere pomo´cu sile
F = q(E + v × B) .
(1.6.29)
kojom elektromagnetno polje deluje na probno naelektrisanje q. Naravno predpostavljamo da
probno naelektrisanje ne perturbuje raspodelu naelektrisanja i struja koje kreiraju elektromagnetno polje. U sluˇcaju neprekidne raspodele naelektrisanja Lorencova sila je
Z
F =
ρd3 r(E + v × B) .
Z
=
(ρE + j × B)d3 r .
Izraz f = ρE + j × B je zapreminska gustina Lorencove sile.
Kao i svako drugo vektorsko polje i za elektromagnetno se definiˇsu linije polja. Linije elektriˇcnog polja su definisane kao linije ˇcije tangente u datom trenutku vremena su jaˇcine polja u
datim taˇckama u tom trenutku vremena. Dakle,
dx
dy
dz
=
=
.
Ex (x, y, z, t)
Ey (x, y, z, t)
Ez (x, y, z, t)
(1.6.30)
Linije elektriˇcnog polja se dobijaju reˇsavanjem gornjeg sistema diferencijalnih jednaˇcina. Linije
magnetnog polja se definiˇsu analogno, tj.
dx
dy
dz
=
=
.
Bx (x, y, z, t)
By (x, y, z, t)
Bz (x, y, z, t)
U prethodnim jednaˇcinama vreme t igra ulogu parametra.
(1.6.31)
Chapter 2
Maksvelove jednaˇ
cine
2.1
Elektrostatika
Elektrostatiˇcko polje stvaraju naelektrisanja koja miruju. Osnovni zakon elektrostatike je Kulonov zakon (kraj 18. veka) i on je ustanovljen eksperimentalno. Sila interakcije izmedju naelektrisanja q1 i q2 u sistemu reference gde oba naelektrisanja miruju proporcionalna je naelektrisanjima, a obrnuto proporcionalna kvadratu rastojanja izmedju njih. Kulonova sila je usmerena
duˇz pravca koji spaja naelektrisanja. Ako su r1 i r2 radijus vektori naelektrisanja q1 odnosno q2
onda sila kojom naelektrisanje q1 deluje na naelektrisanje q2 je (slika 2.1)
F12 =
1
q1 q2
(r2 − r1 ) .
4πε0 |r2 − r1 |3
(2.1.1)
F
1
Konstanta ε0 = 8, 85 · 10−12 m
je dielektriˇcna propustljivost vakuuma dok je 4π
= 9 · 109 m
. Sila
F
0
kojom naelektrisanje q2 deluje na naelektrisanje q1 je F21 = −F12 .
Kako je rot2 F12 = 0 Kulonova interakcija je konzervativna, tj. sila je negativan gradijent
potencijalne energije
F12 = −∇2 W .
(2.1.2)
Potencijalna energija interakcije1 ova dva taˇckasta naelektrisanja je
W =
1
q1 q2
.
4π0 |r2 − r1 |
(2.1.4)
Jaˇcina polja u nekoj taˇcki se odredjuje preko sile koja deluje na probno naelektrisanje smeˇsteno
u tu taˇcku
F
.
(2.1.5)
E(r) =
qp
1
F21 = −F12 = −∇1 W
15
(2.1.3)
ˇ
CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNACINE
16
q1
F
q2
F
21
12
0
Figure 2.1: Kulonova interakcija
Primenom Kulonovog zakona polje u taˇcki r taˇckastog naelektrisanja q postavljenog u taˇcku r 0
je
1 q(r − r 0 )
E(r) =
.
(2.1.6)
4π0 |r − r 0 |3
Ako imamo viˇse naelektrisanja q1 , . . . , qN kao izvore elektriˇcnog polja, ukupno polje je vektorski
zbir polja koja potiˇcu od svakog naelektrisanja ponaosob
E=
N
1 X qα (r − rα )
.
4π0 α=1 |r − rα |3
(2.1.7)
Ovo je princip superpozicije. U sluˇcaju neprekidne raspodele naelektrisanja ρ = ρ(r) jaˇcina polja
je
Z
1
ρ(r 0 )d3 r0
E(r) =
(r − r 0 ) .
(2.1.8)
0
3
4π0
|r − r |
Lako se pokazuje da je rotE(r) = 0 pa moˇzemo uvesti potencijal elektrostatiˇckog polja ϕ sa
E(r) = −∇ϕ(r) .
Potencijal u taˇcki r je odredjen sa
Primenom
∇
Z
ρ(r 0 )d3 r0
.
|r − r 0 |
(2.1.9)
1 (r − r 0 )
=
−
|r − r 0 |
|r − r 0 |3
(2.1.10)
1
ϕ(r) =
4π0
lako se vidi da potencijal (2.1.9) daje polje (2.1.8).
2.1. ELEKTROSTATIKA
17
Figure 2.2:
Rad elektrostatiˇckog polja pri premeˇstanju naelektrisanja q iz taˇcke A u taˇcku B u polju je
Z
Z
B
B
F · dr = −q
A=
A
∇ϕ · dr = q(ϕA − ϕB ) = −(WB − WA ) = −∆W .
(2.1.11)
A
Vidimo da je rad jednak negativnoj promeni potencijalne energije naeletrisanja u polju i da ne
zavisi od oblika tajektorije. Ako je putanja naelektrisanja zatvorena rad polja je jednak nuli, tj.
I
E · dl = 0 .
Elektrostatiˇcko polje je konzervativno.
Pri raˇcunanju laplasijana izraza 1/r moramo biti obazrivi zbog singularnosti u taˇcki r = 0.
Dirak-Grinov identitet
1 = −4πδ (3) (r − r 0 )
(2.1.12)
4
0
|r − r |
daje precizan odgovor. Dokaz ovog identiteta je slede´ci. Jednostavnosti radi uzmimo da je
r0 = 0. Za r 6= 0 imamo
1 1 d2 1
4
=
(r ) = 0 .
(2.1.13)
r
r dr2 r
Za r = 0 gornji raˇcun je neprimenljiv, pa ´cemo funkciju 1/r predstaviti u obliku
1
1
= lim √
,
r a→0 r2 + a2
(2.1.14)
gde je a regularizacioni parametar. Prema tome
4
1
r
1
3a2
= lim 4 √
= − lim 2
.
a→0
a→0 (r + a2 )5/2
r2 + a2
(2.1.15)
ˇ
CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNACINE
18
Integracija po celom prostoru daje
Z
0
∞
Z
1
r2 4πdr = −12πa2
4 √
r2 + a2
∞
0
r2 dr
= −4π .
(r2 + a2 )5/2
(2.1.16)
Rezultat ne zavisi od parametra a. Kako je rezultat integracije konstanta to je podintegralna
funkcija proporcionalna delta funkciji. Koeficijent proporcionalnosti nam daje prethodni raˇcun.
Dakle
1
4
= −4πδ (3) (r) .
(2.1.17)
r
Ovim smo dokazali Dirak-Grinov identitet.
Potraˇzimo divergenciju elektrostatiˇckog polja:
Z
1 1
divE = −div∇ϕ = −4ϕ = −
d3 r0 ρ(r 0 )4r
4π0
|r − r 0 |
Z
1
ρ(r)
=
d3 r0 ρ(r 0 )δ (3) (r − r 0 ) =
.
ε0
ε0
(2.1.18)
Primenili smo Dirak-Grinov identitet. Dakle,
divE(r) =
1
ρ(r)
ε0
(2.1.19)
Poslednja relacija je Gausova teorema u lokalnom (diferencijalnom) obliku. Njen integralni oblik
se dobija integracijom jednaˇcine (2.1.19) po zapremini
Z
1
d rdivE(r) =
ε0
Z
3
V
odnosno
I
∂V
1
E · dS =
ε0
d3 rρ(r)
(2.1.20)
V
Z
d3 rρ(r) .
(2.1.21)
V
Fluks elektrostatiˇckog polja kroz ma koju zatvorenu povrˇs jednak je ukupnom naelektrisanju
koje se nalazi u zapremini ˇcija je granica ta povrˇs podeljenom sa ε0 . To je Gausova teorema u
integralnom obliku. Iz (2.1.18) vidimo da potencijal zadovoljava Poasonovu jednaˇcinu
4ϕ = −
ρ(r)
.
ε0
(2.1.22)
Jednaˇcine koje kompletno odredjuju elektrostatiˇcko polje su
ρ(r)
ε0
rotE(r) = 0 .
divE(r) =
(2.1.23)
2.2. MAGNETOSTATIKA
19
z
dB
Idr'
r'
r
y
x
Figure 2.3: This is a figure.
2.2
Magnetostatika
Istorija magnetizma je dosta duga i u poˇcetku su se magnetizam i elektrostatika potpuno nezavisno razvijali. Poˇcetkom devetnaestog veka Ersted je otkrio da magnetna igla kompasa postavljena u blizini provodnika se ponaˇsa na isti naˇcin kao kada je postavimo u blizini magneta. Iz
ovog eksperimenta se zakljuˇcuje da naelektrisanja u kretanju generiˇsu magnetno polje baˇs kao i
sam magnet.
Magnetostatiˇcko polje generiˇsu naelektrisanja koja se kre´cu stacionarno. To znaˇci da gustina
struje ne zavisi eksplicitno od vremena, tj. j = j(r). Takodje zapreminska gustina naelektrisanja
kod stacionarnog kretanja ne zavisi eksplicitno od vremena. U ve´cini sluˇcajeva zapremiska
gustina naelektrisanja je jednaka nuli, ρ(r) = 0, tj. provodnik je elektroneutralan, pa je elektriˇcno
polje jednako nuli. Osnovni zakon magnetostatike je Bio–Savar–Laplasov zakon. On za zadatu
raspodelu gustine struje kao izvora magnetnog polja odredjuje magnetno polje. Ako kroz linijski
provodnik2 protiˇce struja jaˇcine I, magnetna indukcija u taˇcki r je data sa
Z
µ0
Idr 0 × (r − r 0 )
B(r) =
,
(2.2.24)
4π
|r − r 0 |3
gde je
H
m
magnetna propustljivost vakuuma. U sluˇcaju kada ne moˇzemo zanemariti popreˇcni presek
provodnika potrebno je da strujni element Idr 0 zamenimo na slede´ci naˇcin:
µ0 = 4π · 10−7
Idr 0 →
2
I
dr 0 ∆S⊥ = j dV 0 ,
∆S⊥
Popreˇcni presek linijskog provodnika je zanemarljiv.
(2.2.25)
ˇ
CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNACINE
20
gde je ∆S⊥ povrˇsina provodnika ortogonalna na pravac prenoˇsenja naelektrisanja. Magnetna
indukcija je prema tome data sa
Z
µ0
j(r 0 )d3 r0 × (r − r 0 )
B(r) =
.
(2.2.26)
4π
|r − r 0 |3
Magnetnu indukciju moˇzemo napisati u obliku B = rotA, gde je A vektorski potencijal dat sa
Z
µ0
j(r 0 ) 3 0
A(r) =
dr .
(2.2.27)
4π
|r − r 0 |
Ovo se neposredno proverava3 :
rotA(r) =
=
=
=
Z
µ0
4π
Z
µ0
4π
Z
µ0
4π
B(r)
h j(r 0 ) i
rot
d3 r0
|r − r 0 |
h 1
1 i
0
0
d3 r 0
rotj(r
)
−
j(r
)
×
5
r
|r − r 0 |
|r − r 0 |
j(r 0 )d3 r0 × (r − r 0 )
|r − r 0 |3
,
jer je rotj(r 0 ) = 0 i
1
r − r0
=
−
.
|r − r 0 |
|r − r 0 |3
Iz izraza B = rotA sledi da je divB = 0. Poslednji izraz znaˇci da je magnetno polje bezizvorno
tj. ne postoje magnetna naelektrisanja. Drugim reˇcima magnetne linije nemaju ni poˇcetak
ni kraj; ili su zatvorene ili poˇcinju i zavrˇsavaju se u beskonaˇcnosti. Na slici 2.2 prikazane su
magnetne linije strujnog pravolinijskog provodnika. Linije su koncentriˇcni krugovi koji leˇze u
ravni normalnoj na provodnik ˇciji se centri nalaze na provodniku. Smer magnetnih linija se
odredjuje pravilom desne ruke. Plac desne ruke pokazuje smer struje a ostali prsti smer polja.
Na slici 2.5 prikazane su linije magneta i solenoida.
Potraˇzimo rotor magnetne indukcije.
Primenom formula (A.0.1) i (2.2.27) kao i Dirak–Grinovog identiteta imamo
5r
rotB(r) = rotrotA = graddivA − 4A
Z
Z
j(r 0 ) 1 µ0
µ0
3 0
0
=
grad divr
dr −
j(r )4r
d3 r 0
0
0
4π
|r − r |
4π
|r − r |
Z
Z
1 i
µ0 h
0
3 0
0 (3)
0 3 0
=
grad j(r )∇
d r + 4π j(r )δ (r − r )d r
4π
|r − r 0 |
Z
1 µ0
grad j(r 0 )∇
d3 r0 + j(r) ,
=
4π
|r − r 0 |
gde smo iskoristili divB(r 0 ) = 0. Ako dalje primenimo
1 1 0
= −∇
∇
|r − r 0 |
|r − r 0 |
3
rot(ψa) = ψrota − a × 5ψ
(2.2.28)
2.2. MAGNETOSTATIKA
Figure 2.4: Magnetno polje linijskog provodnika
Figure 2.5: Magnetnetne linije magneta i solenoida sa strujom.
21
ˇ
CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNACINE
22
i ponovo formulu (A.0.1) imamo
Z j(r 0 ) i
µ0 h
1
0
0
3 0
rotB(r) = −
grad
div0
−
div
j(r
)
d
r
−
4πj(r)
4π
|r − r 0 |
|r − r 0 |
I
µ0
j(r 0 )dS0
+ µ0 j(r)
= − grad
4π
|r − r 0 |
= µ0 j(r) .
(2.2.29)
U prethodnom izvodjenju primenili smo jednaˇcinu kontinuiteta, uslov stacionarnosti:
divj(r) = −
∂ρ(r)
=0
∂t
(2.2.30)
kao i ˇcinjenicu da je zapreminska gustina struje j lokalizovana unutar oblasti V pa j · dS = 0.
∂V
Ako ovaj uslov ne bi vaˇzio onda bi na granici oblasti V gustina struje imala normalnu komponentu
pa bi naelektrisanja prolazila kroz granicu oblasti V . Onda to ne bi bila granica oblasti V .
Dakle dobili smo
rotB(r) = µ0 j(r) .
(2.2.31)
Ovo je lokalni oblik Amperove teoreme. Integracijom po nepokretnoj konturi dobijamo integralni
oblik Amperove teoreme
I
B · dl = µ0 IS ,
(2.2.32)
L
gde je IS jaˇcina struje koja prolazi kroz povrˇs nategnutu na konturu L. Cirkulacija magnetne
indukcije proporcionalna je sa strujom IS .
Rezimirajmo na kraju da je magnetostatiˇcko polje odredjeno sa vrednostima njegove divergencije i rotora:
divB(r) = 0
rotB(r) = µ0 j(r) .
2.3
(2.2.33)
Razlaganje skalarnog potencijala po multipolima
Neka se unutar neke oblasti V linearnih dimenzija d nalazi naelektrisanje ˇcija je zapreminska
gustina ρ = ρ(r). Potencijal elektriˇcnog polja je
1
ϕ(r) =
4π0
Z
V
ρ(r 0 )d3 r0
.
|r − r 0 |
(2.3.34)
Na velikim rastojanjima od ovog sistema (d r) potencijal se moˇze razviti u red po stepenima
1
od d/r. Da bi to pokazali podintegralni izraz r−r
cemo razviti u red po stepenima (d/r).
0 ´
2.3. RAZLAGANJE SKALARNOG POTENCIJALA PO MULTIPOLIMA
23
Primenom binomne formule imamo
1
1
1
√
=
=
1/2
|r − r 0 |
02
0
r2 − 2r · r 0 + r02
r 1 + r −2r·r
r2
0
02
0 2
1
1r
r·r
3 (r · r )
1−
+
+
+
.
.
.
=
r
2 r2
r2
2 r4
0
0 2
1 r·r
3(r · r ) − r2 r02
+ 3 +
+ ... .
=
r
r
2r5
(2.3.35)
Poslednji ˇclan u prethodnom izrazu prepisa´cemo u obliku
3(r · r 0 )2 − r2 r02 = xi xj (3x0i x0j − r02 δij ) ,
(2.3.36)
gde su xi i x0i dekartove koordinate vektora r odnosno r 0 . Zamenom (2.3.35) u (2.3.34) imamo
Z
Z
Z
1 1
1
r
02
3 0
0 3 0
0
0 3 0
0
0 0
ϕ(r) =
ρ(r )d r + 3 r ρ(r )d r + 5 xi xj ρ(r )(3xi xj − r δij )d r + . . . .
4π0 r
r
2r
(2.3.37)
Integral u prvom sabirku u (2.3.37) je ukupno naelektrisanje Q sistema. Drugi sabirak sadrˇzi
elektriˇcni dipolni moment sistema naelektrisanja
Z
p = r 0 ρ(r 0 )d3 r0 .
(2.3.38)
Dipolni moment zavisi od izbora koordinatnog poˇcetka, sem kod elektroneutralnih sistema. Za
sistem taˇckastih naelektrisanja dipolni moment je
Z
p =
d3 r rρ(r)
X Z
=
qα d3 r rδ (3) (r − rα )
α
=
X
qα r α .
(2.3.39)
α
Z
Veliˇcina
Dij =
ρ(r 0 )(3x0i x0j − r02 δij )d3 r0
(2.3.40)
je tenzor kvadrupolnog momenta. Razvoj (2.3.37) postaje
1 Q r · p xi xj Dij
ϕ(r) =
+ 3 +
+ ... .
4π0 r
r
2r5
(2.3.41)
U najniˇzoj aproksimaciji potencijal na velikim rastojanjima od sistema naelektrisanja je potencijal taˇckastog naelektrisanja Q smeˇstenog u koordinatni poˇcetak. To je tzv. monopolni ˇclan i
on je oblika 1/r. Slede´ci ˇclan u razvoju potencijala je oblika 1/r2 i to je dipolni ˇclan. Naredna
korekcija potencijala, koja se na velikim rastojanjima ponaˇsa kao 1/r3 je kvadrupolni ˇclan.
ˇ
CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNACINE
24
Za sistem tri naelektrisanja: q u taˇcki (0, 0, a), q u taˇcki (0, 0, −a) i −2q u koordinatnom
poˇcetku prva nenulta korekcija potencijala je kvadrupolna, jer je Q = 0 i p = 0. Ovaj sistem
naelektrisanja je tzv. linerani kvadrupol.
Naveˇs´cemo neke osobine tenzora kvadrupolnog momenta.
1. Tenzor kvadrupolnog momenta je simetriˇcan tenzor nultog traga. Njegov trag je nula zbog
3
X
(3x0i x0i − r02 δii ) = 0 .
(2.3.42)
i=1
2. Ako je raspodela naelektrisanja sferno-simetriˇcna, ρ = ρ(r) onda je tenzor kvadrupolnog
momenta jednak nula. Ovo se lako pokazuje, npr.
Z ∞
Z π
Z 2π
4
D11 =
drr ρ(r)
dθ sin θ
dφ(3 sin2 θ cos2 φ − 1) = 0 .
(2.3.43)
0
0
0
Nenulti matriˇcni elementi tenzora kvadrupolnog momenta opisuju odstupanje sistema od sferne
simetrije.
3. Ako sistem poseduje aksijalnu simetriju, tj. invarijantnost na rotacije oko z− ose, tenzor
kvadrupolnog momenta je dijagonalnog oblika


D11 0
0
0  .
(2.3.44)
D =  0 D11
0
0 −2D11
Pokaˇzimo sada da je tenzor kvadrupolnom momenta euklidski tenzor. Pri rotaciji koordinatnog sistema (pasivna interpretacija) Dekartov bazis {e1 , e2 , e3 } prelazi u {e01 , e02 , e03 } .
Primovane bazisne vektore moˇzemo razviti po starim
e0i =
3
X
Rij ej .
(2.3.45)
j=1
Koeficijenti u razvoju Rij ˇcine matricu rotacije R. Ova matrica je ortogonalna, RT R = RRT = I
i zadovoljava uslov det R = 1. To su tzv. specijalne ortogonalne matrice, SO(3). Pri rotaciji
koordinatnog sistema koordinate vektora se transformiˇsu, dok se sam vektor ne menja. Iz
r=
3
X
3
X
xi e i =
i=1
imamo
3
X
odnosno
xj =
3
X
i=1
(2.3.46)
x0i Rij ej
(2.3.47)
i=1
3
X
xj ej =
j=1
x0i e0i
i,j=1
Rij x0i
=
3
X
i=1
(RT )ji x0i
(2.3.48)
2.3. RAZLAGANJE SKALARNOG POTENCIJALA PO MULTIPOLIMA
25
odakle dobijamo zakon tranformacije
x0i
=
3
X
(R
T −1
)ij xj =
j=1
3
X
Rij xj ,
(2.3.49)
j=1
gde smo u poslednjem koraku iskoristili ˇcinjenicu da je matrica R ortogonalna.
0
Neka su Dij komponente tenzora kvadrupolnog momenta u sistemu S, a Dij
njegove komponente
u sistemu dobijenog rotacijom iz S. Veza izmedju ovih komponenti je:
0
Dij
Z
=
Z
=
Z
=
ρ(r 0 )(3x0i x0j − r02 δij )d3 r0
ρ(r)(3Rik Rjl xk xl − r2 δij )d3 r
ρ(r)Rik Rjl (3xk xl − r2 δkl )d3 r
= Rik Rjl Dkl
= (RDRT )ij
(2.3.50)
Time smo pokazali da su Dij stvarno komponente tenzora drugog reda. Zaˇsto je d3 r0 = d3 r i
δij = Rik Rjl δkl ?
Iz (2.3.41) lako moˇzemo dobiti izraz za elektriˇcno polje na velikim rastojanjima:
E = −∇ϕ =
1 Q
3(p · r)r − r2 p
r
+
+
.
.
.
.
4π0 r3
r5
(2.3.51)
Prvi ˇclan je monopolni dok je drugi dipolni.
Elektriˇcni dipol je sistem dva nalektrisanja q i −q na rastojanju l. Dipolni moment dipola je
p = ql, gde je vektor l usmeren od negativnog ka pozitivnom naelektrisanju. Taˇckasti dipol je
dipol kod kojeg je rastojanje izmedju naelektrisanja, l infinitezimalno malo. Potencijal taˇckastog
dipola koji se nalazi u koordinatnom poˇcetku na rastojanju r od njega je
ϕ(r) =
1 r·p
.
4π0 r3
(2.3.52)
Jaˇcina elektriˇcnog polja se dobija nalaˇzenjenjem gradijenta potencijala. Naivan raˇcun zasnovan na obiˇcnom diferenciranju daje korektno polje za r 6= 0. Elektriˇcno polje dipola je singularno
u taˇcke gde se nalazi dipol. Rezultat za polje je
E=
1 3(p · r)r − r2 p 4π (3) −
pδ (r) .
4π0
r5
3
(2.3.53)
Prvi ˇclan u (2.3.53) je isti kao dipolna korekcija u razvoju (2.3.51). To je taˇcan izraz za polje
ˇ
dipola ukoliko je r 6= 0. Clan
sa delta funkcijom je neophodan jer je zapreminski integral po
ˇ
CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNACINE
26
sferi, polupreˇcnika R ˇciji je centar u koordinatnom poˇcetku
Z
Z
p · r
1
3
Ed r = −
∇
d3 r
3
4π
r
0
r<R
r<R
Z π Z 2π
1
= −
p cos2 θ sin θdθdφe3
4π0 0 0
p
= −
.
30
(2.3.54)
Primenili smo formulu (A.0.7) iz vektorske analize. U prethodnom izvodjenju pretpostavili smo
da je elektriˇcni dipolni moment usmeren duˇz z−ose. Prvi sabirak u (2.3.53) daje nulti doprinos
zapreminskom integralu definisanom gore.
2.4
Razlaganje vektorskog potencijala po multipolima
Neka se unutar neke oblasti V nalazi prostorno lokalizovan sistem naelektrisanja u kretanju
opisan zapreminskom gustinom struje j = j(r). Vektorski potencijal na velikim rastojanjima od
ovog sistema takodje se moˇze razviti u red po multipolima. Zamenom (2.3.35) u
µ0
A(r) =
4π
dobijamo
µ0 1
A(r) =
4π r
Z
Z
j(r 0 ) 3 0
dr
|r − r 0 |
1
j(r )d r + 3
r
0
3 0
Z
0
(2.4.55)
0
3 0
(r · r )j(r )d r + . . .
,
(2.4.56)
gde smo zadrˇzali samo prva dva ˇclana. Neka su f (r) i g(r) dve neprekidne funkcije. Iz Gausove
teoreme
Z
I
3
d r div(f g j) =
f g j · dS
(2.4.57)
V
sledi
∂V
Z
[(∇f )gj + (∇g)f j ]d3 r = 0 ,
jer je divj = 0 i j · dS
∂V
(2.4.58)
V
= 0. Ako u (2.4.58) uzmemo da je f = xi i g = 1 onda dobijamo
Z
ji d3 r = 0 ,
(2.4.59)
V
a ako za funkcije f i g izaberemo f = xi , g = xk onda dobijamo
Z
Z
3
xi jk d r = −
xk ji d3 r .
V
V
(2.4.60)
2.4. RAZLAGANJE VEKTORSKOG POTENCIJALA PO MULTIPOLIMA
27
Prvi ˇclan u razvoju (2.4.56) je monopolni ˇclan i on je jednak nuli zbog (2.4.59). Drugi ˇclan u
(2.4.56) transformisa´cemo uz pomo´c (2.4.60) na slede´ci naˇcin
Z
µ0 1
(2)
A (r) =
(r · r 0 )j(r 0 )d3 r0
3
4π r
Z
Z
µ0 1 0
0 3 0
0
0 3 0
(r
·
r
)j(r
)d
r
+
(r
·
r
)j(r
)d
r
=
4π 2r3
Z
Z
µ0 1 0
0 3 0
0
0
3 0
(r
·
r
)j(r
)d
r
+
x
x
j
(r
)e
d
r
=
i
k
k
i
4π 2r3
Z
Z
µ0 1
0
0 3 0
0
0
3 0
=
(r
·
r
)j(r
)d
r
−
x
x
j
(r
)e
d
r
i k i
k
4π 2r3
Z
µ0 1
3 0
0
0
0
=
d
r
(r
·
r
)j(r
)
−
(r
·
j)
r
)
4π 2r3
Z
µ0 1
d3 r0 (r 0 × j(r 0 )) × r .
=
(2.4.61)
4π 2r3
Ako uvedemo magnetni dipolni moment sistema
Z
1
d3 r r × j
(2.4.62)
m=
2
onda drugi ˇclan u razvoju vektorskog potencijala je
µ0 m × r
A(2) =
.
(2.4.63)
4π r3
Najniˇzi nenulti ˇclan u razvoju vektorskog potencijala stacionarne lokalizovane struje je dipolni
ˇclan. Magnetna indukcija na velikim rastojanjima od lokalizovane struje se lako nalazi iz B =
rotA. Rezultat je
µ0 3(m · r)r − r2 m
B=
.
(2.4.64)
4π
r5
To je magnetno polje na velikim rastojanjima od dipola koji se nalazi u koordinatnom poˇcetku.
Izraz (2.4.63) je vektorski potencijal magnetnog dipola, momenta m koji se nalazi u koordinatnom poˇcetku, dok izraz (2.4.64) zahteva korektivni ˇclan za r = 0. Naime, lako se vidi da
je4
Z
2µ0
Bd3 r =
m
(2.4.65)
3
r<R
pa je magnetno polje taˇckastog dipola koji se nalazi u koordinatnom poˇcetku
µ0 3(m · r)r − r2 m 8π
(3)
B=
+
mδ (r) .
(2.4.66)
4π
r5
3
Odredimo magnetni moment konture sa strujom I u ravni prikazanoj na slici 2.4. Ako je ravan
konture xOy ravan onda primenom formule za magnetni moment dobijamo
I
1
(2.4.67)
m = I r × dr = ISn ,
2
gde je S povrˇsina konture, a n njen ort.
4
R
V
d3 xrotA =
R
dS(n × A)
ˇ
CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNACINE
28
Figure 2.6: Strujna kontura u xOy ravni.
2.5
Faradejev zakon elektromagnetne indukcije
Faradej je eksperimentalno otkrio da se u nepokretnom provodniku indukuje struja ukoliko se u
provodniku u njegovoj blizini ili menja struja ili je struja stalna a provodnik se kre´ce. Takodje
do pojave elektriˇcne struje u provodniku do´ci ´ce i kada su provodnik i magnet u relativnom
kretanju. U svim ovim primerima dolazi do promene fluksa magnetnog polja, definisanog sa
Z
Φ=
B · dS
(2.5.68)
S
kroz konturu provodnika u kome se indukuje struja. Faradejev zakon elektromagnetne indukcije uspostavlja vezu izmedju promene fluksa magnetnog polja kroz povrˇsinu S i cirkulacija
elektriˇcnog polja
I
E=
E · dr
(2.5.69)
C
izraˇcunatoj po zatvorenoj konturi C koja je granica povrˇsine S, tj. C = ∂S. Kontura C
u definiciji elektromotorne sile je nepokretna. Faradejev zakon ima jednostavan matematiˇcki
oblik:
I
Z
d
E=
E · dr = −
B · dS .
(2.5.70)
dt S
C
Magnetno polje ˇciji se fluks menja indukuje elektriˇcno polje. Znak minus u (2.5.70) je vezan sa
Lencovim pravilom. Ako je kontura C provodnik onda ´ce zbog dejstva indukovanog elektriˇcnog
polja u provodniku te´ci struja koju moˇzemo meriti. Naravno, pojava indukovanog elektriˇcnog
polja je nezavisna od postojanja provodnika u kome se indukuje struja. Neka je magnetno polje
usmereno kao na slici 2.7 i neka raste sa vremenom Vrtloˇzno elektriˇcno polje je prikazano na slici
2.7. Primenom Stoksove teoreme u (2.5.70) dobijamo
Z
Z
∂B
rotE · dS = −
· dS
(2.5.71)
S
S ∂t
odakle dobijamo Faradejev zakon u lokalnom obliku
rotE = −
∂B
.
∂t
(2.5.72)
Pri kretanju konture C integralni oblik Faradejevog zakona ne vaˇzi u obliku (2.5.70), dok diferencijalni oblik Faradejevog zakon vaˇzi generalno u klasiˇcnoj elektrodinamici. Detaljnija analiza
Faradejevog zakona za pokretnu konturu bi´ce analizirana kasnije.
ˇ
2.6. MAKSVELOVE JEDNACINE
29
Figure 2.7: Smer vrtloˇznog elektriˇcnog polja kada magnetno polje polje raste sa vremenom.
2.6
Maksvelove jednaˇ
cine
U prethodnim lekcijama izloˇzili smo osnovne zakonitosti elektrostatiˇckog i magnetostatiˇckog
polja u vakuumu kao i Faradejev zakon koji uspostavlja vezu izmedju elektriˇcnog i magnetnog
polja. Zakon indukcije ukazuje nam da su elektriˇcno i magnetno polje deo jedinstvenog elektromagnetnog polja.
Maksvelove jednaˇcine su jednaˇcine koje opisuju klasiˇcno elektromagnetno polje u vakuumu.
Potvrdjene su u velikom broju eksperimenata i povezuju izvore polja: zapreminsku gustinu
naelektrisanja ρ(r, t) i zapreminsku gustinu struje j(r, t) sa jaˇcinama polja E(r, t), B(r, t):
ρ(r, t)
(2.6.73)
ε0
divB(r, t) = 0
(2.6.74)
∂B
rotE(r, t) = −
(2.6.75)
∂t
∂E rotB(r, t) = µ0 j(r, t) + ε0
.
(2.6.76)
∂t
Odmah vidimo da su Maksvelove jednaˇcine parcijane diferencijalne jednaˇcine i da su lokalne i
simultane. Prva od njih je Gausov zakon koji vaˇzi ne samo za elektrostatiˇcko polje ve´c i za
promenljivo elektriˇcno polje. Druga jednaˇcina govori o bezizvornosti magnetnog polja. Tre´ca
je Faradejev zakon elektromagnetne indukcije; promenljivo magnetno polje stvara vrtloˇzno elekˇ
triˇcno polje. Cetvrta
jednaˇcina je analogna Amperovom zakonu ali sadrˇzi jedan dodatni ˇclan,
divE(r, t) =
∂E
(2.6.77)
∂t
tzv. struju pomeranja. Kretanje naelektrisanja, tj. struja provodjenja ali i struja pomeranja
stvaraju vrtloˇzno magnetno polje.
Pretpostvimo da struja pomeranja nije izvor magnetnog polja, tj. da Amperova teorema
jd = ε0
rotB(r, t) = µ0 j(r, t)
(2.6.78)
ˇ
CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNACINE
30
Figure 2.8:
vaˇzi za vremenski promenljivo magnetno polje. Razmotrimo kondenzator gde struja teˇce u
smeru kao na slici 2.6. Primenom integralnog oblika prethodne formule gde je kontura C u
blizini provodnika a daleko od kondenzatora imamo
( R
R
I
rotBdS = µ0 S jdS = µ0 I
S
R
R
B · dl =
.
(2.6.79)
rotBdS
=
µ
jdS
=
0
C
0
S1
S1
Rezultat zavisi od izbora povrˇsi nategnute na konturu C, tj. cirkulacija magnetne indukcije nije
ista za povrˇsi S i S1 nategnute na konturu C. Iz ove jednostavne analize vidimo da jednaˇcina
(2.6.78) nije korektna. Njoj nedostaje ˇclan sa strujom pomeranja. Kada se neka supstancijalna
sredina nalazi u promenljivom elektriˇcnom polju dolazi do njenog polarizovanja; naelektrisanja
sredine pod dejstvom spoljnjeg polja poˇcinju da se kre´cu, nastaje tzv. polarizaciona struja.
Maksvel je iskoristio tu ideju tako ˇsto je smatrao da promenljivo elektriˇcno polje uzrokuje kretanje naelektrisanih ˇcestica u etru i zato je uveo struju pomeranja kao izvor magnetnog polja.
Naravno, mi danas znamo da etar ne postoji, ali je ˇclan (2.6.77) u ˇcetvrtoj Maksvelovoj jednaˇcini
korektan.
Maksvelove jednaˇcine su saglasne sa jednaˇcinom kontinuiteta. Uzmimo divergenciju ˇcetvrte
Maksvelove jednaˇcine (2.6.76):
∂E divrotB = µ0 div j + ε0
.
∂t
(2.6.80)
Kako je divrot = 0 onda primenom prve Maksvelove jednaˇcine imamo
divj +
∂ρ
=0.
∂t
bezizvorno
Dobili smo jednaˇcinu kontinuiteta. Iz ovog izvodjenja se joˇs vidi i da je polje j + ε0 ∂E
∂t
tj. da su njegove linije zatvorene.
Maksvelove jednaˇcine su linearne tako da vaˇzi princip superpozicije. Ako izvori ρ1 , j1 generiˇsu
polje E1 , B1 a izvori ρ2 , j2 generiˇsu polje E2 , B2 onda izvori ρ1 + ρ2 , j1 + j2 generiˇsu polje E1 +
E2 , B1 + B2 .
ˇ
2.7. SAMOUSAGLASENO
ODREDJIVANJE EMP U VAKUUMU
31
Neka su u nekoj oblasti prostora nemamo naelektrisanih ˇcestica, tj. neka je ρ = 0 i j = 0.
Uzmimo rotor ˇcetvrte Maksvelove jednaˇcine. Primenom vektorskog identiteta (A.0.6) i tre´ce
Maksvelove jednaˇcine dobijamo:
∂ 2B
.
∂t2
Konaˇcno, koriˇs´cenjem druge Maksvelove jednaˇcine dobijamo
graddivB − 4B = −µ0 ε0
(2.6.81)
1 ∂2B
=0.
c2 ∂t2
Sliˇcno uzimanjem rotora tre´ce Maksvelove jednaˇcine dobijamo
4B −
(2.6.82)
1 ∂ 2E
=0.
(2.6.83)
c2 ∂t2
Dobili smo talasne jednaˇcine. Dakle, u oblasti prostora gde su odsutni izvori u vakuumu postoji
elektromagnetni talas. Fazna brzna elektromagnetnog talasa u vakuumu je
4E −
c= √
1
m
= 3.108 .
0 µ0
s
Herz je dokazao postojanje elektromagnetnih talasa.
2.7
Samousaglaˇ
seno odredjivanje EMP u vakuumu
Naelektrisanja i struje odredjuju elektromagnetno polja ali i polje utiˇcu na kretanje naelektrisanih ˇcestica tako da izvore i polja treba odredjivati samousaglaˇseno. Posmatrajmo sistem od
N naelektrisanih ˇcestica. Zapreminska gustina naelektrisanja je data sa
ρ(r, t) =
N
X
qα δ (3) (r − rα (t)) ,
(2.7.84)
qα vα δ (3) (r − rα (t)) .
(2.7.85)
α=1
zapreminska gustina struje je
j(r, t) =
N
X
α=1
Oni zadovoljavaju jednaˇcinu kontinuiteta. Maksvelove jednaˇcine imaju slede´ci oblik
N
1 X
divE(r, t) =
qα δ (3) (r − rα (t))
ε0 α=1
divB(r, t) = 0
rotE(r, t) = −
∂B
∂t
N
X
rotB(r, t) = µ0
α=1
qα vα δ (3) (r − rα (t)) + ε0
∂E .
∂t
(2.7.86)
32
ˇ
CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNACINE
Ovaj skup jednaˇcina treba dopuniti jednaˇcinama kretanja ˇcestica
dpα
= qα (Eα + vα × Bα ), α = 1, . . . , N .
dt
(2.7.87)
Polja i ˇcestice su odredjene sa ukupno 3N +8 jednaˇcinom. Nepoznate veliˇcine su E(r, t), B(r, t), rα =
rα (t) pa je broj nepoznatih 3N + 6. Odmah prime´cujemo da je broj jednaˇcina ve´ci od broja
nepoznatih i to za dva. Postavlja se pitanje da li je sistem jednaˇcina kretanja predefinisan jer
postoje dve jednaˇcine viˇska. Pokaza´cemo da su te dve jednaˇcine zapravo poˇcetni uslovi pa je broj
jednaˇcina isti kao i broj nepoznatih. Ako uzmemo divergenciju ˇcetvrte Maksvelove jednaˇcine i
primenimo jednaˇcinu kontinuiteta dobijamo
∂E
)
∂t
∂(divE)
∂ρ
)
= µ0 (− + ε0
∂t
∂t
∂
= µ0 (ε0 divE − ρ) .
∂t
0 = µ0 div(j + ε0
Iz poslednjeg izraza vidimo da je izraz F ≡ ε0 divE(r, t) − ρ(r, t) nezavistan od vremena i jednak
je vrednosti ovog izraza u poˇcetnom trenutku
ε0 divE(r, t) − ρ(r, t) = ε0 divE(r, t0 ) − ρ(r, t0 ) ,
gde je t0 poˇcetni trenutak. Prva Maksvelova jednaˇcina onda fiksira F (x, y, z) = 0. Sliˇcno
uzimaju´ci divergenciju tre´ce Maksvelove jednaˇcine dobijamo da je
divB(r, t) = G(x, y, z) = divB(r, t0 )
Druga Maksvelova jednaˇcina fiksira G(r) = 0. Ovim smo pokazali da od osam jednaˇcina polja
dve nisu dinamiˇcke ve´c predstavljaju poˇcetne uslove.
Bez obzira ˇsto smo rekli da polja i naelektrisanja utiˇcu i odredjuju jedni druge u praksi, pri
reˇsavanju elektrodinamiˇckih problema se primenjuju dve aproksimacije. Jedna je aproksimacija
zadatih gustina kada smatramo da su gustine naelektrisanja i struja ρ(r, t), j(r, t) poznate i da
reˇsavanjem jednaˇcina nalazimo polja. Druga je aproksimacija zadatih polja. U ovoj aproksimaciji
polja su zadata pa iz Maksvelovih jednaˇcina nalazimo gustine naelektrisaja.
2.8
Potencijali elektromagnetnog polja u vakuumu
Mi smo ve´c ranije za statiˇcka polja uveli skalarni i vektorski potencijal. Medjutim, na osnovu
bezizvornih Maksvelovih jednaˇcina moˇzemo uvesti skalarni i vektorski potencijal za proizvoljno
elektromagnetno polje. Iz druge Maksvelove jednaˇcine, divB = 0 sledi B(r, t) = rotA(r, t), jer
je divrot ≡ 0. Zamenom B = rotA u tre´cu Maksvelovu jednaˇcinu (2.6.75) imamo
∂A =0
rot E +
∂t
2.8. POTENCIJALI ELEKTROMAGNETNOG POLJA U VAKUUMU
33
pa je
∂A
− ∇ϕ
∂t
jer je rotgrad ≡ 0. Dakle, jaˇcinu elektriˇcnog polja i magnetnu indukciju moˇzemo izraziti preko
potencijala ϕ i A:
E=−
B = rotA
∂A
E = −
− ∇ϕ .
∂t
(2.8.88)
(2.8.89)
Potencijali su funkcije vektora poloˇzaja i vremena. Sest funkcija Ex , . . . , Bz zamenili smo sa
ˇcetiri ϕ, Ax , Ay , Az . Imamo ih dve manje jer smo reˇsili bezizvorne Maksvelove jednaˇcine, tj.
polja (2.8.88), (2.8.89) automatski zadovoljavaju drugu i tre´cu Maksvelovu jednaˇcinu.
2.8.1
Jednaˇ
cine za potencijale
Zamenem izraza (2.8.89) u prvu Maksvelovu jednaˇcinu dobijamo
4ϕ +
∂
divA = −ρ/ε0 .
∂t
Zamenom (2.8.88) i (2.8.89) u ˇcetvrtu Maksvelovu jednaˇcinu imamo
∂A ∂
5ϕ+
rotrotA = µ0 j − µ0 ε0
∂t
∂t
(2.8.90)
(2.8.91)
odnosno
1 ∂ 2A
1 ∂ϕ
−
grad(divA
+
) = −µ0 j .
(2.8.92)
c2 ∂t2
c2 ∂t
Jednaˇcine za potencijale (2.8.90) i (2.8.92) su parcijalne diferencijalne jednaˇcine drugog reda.
Ove jednaˇcine su kuplovane, jer se skalarni i vektorski potencijal pojavljuju u ove jednaˇcine.
4A −
2.8.2
Kalibraciona (gauge ili gradijentna) simetrija
Potencijali nisu jednoznaˇcno definisani. Sa potencijala ϕ i A pre´ci´cemo na nove potencijae
definisane sa
∂Λ
∂t
= A − ∇Λ ,
ϕ0 = ϕ +
A0
(2.8.93)
gde je Λ = Λ(r, t) proizvoljna funkcija. Transformacije potencijala (2.8.93) nazivaju se kalibracionim (gradijentnim ili gauge) transformacijama. Novi potencijali daju ista polja kao i polazni
potencijali ϕ i A. Ovo se lako proverava:
∂A0
∂
∂
− ∇ϕ0 = E + ∇A − ∇A = E
∂t
∂t
∂t
= rot(A − ∇Λ) = rotA = B .
E0 = −
B0
(2.8.94)
ˇ
CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNACINE
34
Jaˇcina elektriˇcnog polja i magnetna indukcija su invarijantne na kalibracione transformacije, a
kako su oni opservabilne veliˇcine to zakljuˇcujemo da je elektrodinamika gauge (ili kalibraciono)
invarijantna teorija5 . Kalibraciona simetrija je osnova za razumevanje sve ˇcetiri interakcije u
prirodi.
Potencijali su dakle nejednoznaˇcni; odredjeni su do na kalibracione transformacije. Stoga
je mogu´ce nametnuti neki uslov na potencijale, tj. fiksirati gauge. Potrebno je proveriti da se
kalibracioni uslov moˇze nametnuti, tj. da li sa potencijala koji ne zadovoljavaju dati kalibracioni
uslov moˇzemo kalibracionom transformacijom pre´ci na nove potencijale koji su u datoj kalibraciji.
Najˇceˇs´ce se koriste Lorencov i Kulonov kalibracioni uslov. Lorencov uslov je
divA +
1 ∂ϕ
=0.
c2 ∂t
(2.8.95)
Kasnije ´cemo pokazati da je ovaj uslov Lorenz invarijantan. Jednaˇcine za potencijale su u
Lorencovoj kalibraciji dekuplovane:
1 ∂ 2ϕ
= −ρ/ε0
c2 ∂t2
1 ∂ 2A
4A − 2 2 = −µ0 j .
c ∂t
4ϕ −
(2.8.96)
Sada ´cemo proveriti da je Lorencov kalibracioni uslov mogu´ce nametnuti na potencijale (ϕ, A).
Neka polazni potencijali ne zadovoljavaju Lorencov gauge, tj. neka je
divA +
1 ∂ϕ
= Ψ(t, r) 6= 0 .
c2 ∂t
Kalibracionom transformacijom potencijali (ϕ, A) prelaze u nove potencijale (ϕ0 , A0 ) za koje
zahtevamo da zadovoljavaju Lorencov kalibracioni uslov:
1 ∂ϕ0
1 ∂
∂Λ 0
0 = divA + 2
= div(A − ∇Λ) + 2
ϕ+
c ∂t
c ∂t
∂t
1 ∂ϕ 1 ∂2Λ = divA + 2
− 4Λ − 2 2 .
c ∂t
c ∂t
Gornja jednaˇcina postaje
1 ∂ 2Λ
4Λ − 2 2 = Ψ
c ∂t
Ovo je nehomegena Dalamberova jednaˇcina za koju znamo da ima reˇsenja. Primetimo da kada
fiksiramo Lorencov gauge moˇzemo i dalje vrˇsiti gauge transformacije sa funkcijama Λ koja zadovoljavaju
1 ∂ 2Λ
4Λ − 2 2 = 0 .
c ∂t
Ova dopunska simetrija preostala nakon fiksiranja gauga naziva se rezidualnom simetrijom.
5
Potencijali nisu opservabilni u klasiˇcnoj elektrodinamici.
2.8. POTENCIJALI ELEKTROMAGNETNOG POLJA U VAKUUMU
35
U Kulonovoj kalibraciji na potencijle se name´ce slede´ci uslov
divA = 0 .
Jednaˇcine za potencijale u ovoj kalibraciji postaju
4ϕ(r, t) = −ρ(r, t)/ε0
1 ∂2A
1 ∂ϕ
4A − 2 2 = −µ0 j + 2 ∇
.
c ∂t
c
∂t
(2.8.97)
Ove jednaˇcine su spregnute; u obe se pojavljuje skalarni potencijal. Reˇsenje prve jednaˇcine je
Z
1
ρ(r 0 , t)d3 r0
ϕ(r, t) =
,
(2.8.98)
4π0
|r − r 0 |
tzv. trenutni Kulonov potencijal. Druga jednaˇcina je
Z
1 ∂ 2A
1
∂
ρ(r 0 , t)d3 r0
4A − 2 2
= −µ0 j +
∇
c ∂ t
4πε0 c2 ∂t
|r − r 0 |
Z
1
div0 j(r 0 , t)d3 r0
= −µ0 j −
∇
4πε0 c2
|r − r 0 |
Z
j(r 0 , t)d3 r0
µ0
.
= − rotrot
4π
|r − r 0 |
(2.8.99)
Prelaz sa drugog na tre´ci red u (2.8.99) je netrivijalan. Proveri´cemo ga tako ˇsto ´cemo krenuti
od izraza u tre´cem redu:
Z
Z
Z
j(r 0 , t)d3 r0
j(r 0 , t)d3 r0
j(r 0 , t)d3 r0
rotrot
= graddiv
−4
|r − r 0 |
|r − r 0 |
|r − r 0 |
Z
1
= ∇ j(r 0 , t)∇
d3 r0 + 4πj
|r − r 0 |
Z
1
= −∇ j(r 0 , t)∇0
d3 r0 + 4πj
|r − r 0 |
Z
Z
0
div0 j(r 0 , t)d3 r0
0 j(r , t)
3 0
= −∇ div
d
r
+
∇
+ 4πj
|r − r 0 |
|r − r 0 |
I j(r 0 , t) · dS0 Z div0 j(r 0 , t)
3 0
−
d r + 4πj
− ∇
|r − r 0 |
|r − r 0 |
∂V
Z
div0 j(r 0 , t) 3 0
= ∇
d r + 4πj(r, t) .
(2.8.100)
|r − r 0 |
U prvom redu primenili smo (A.0.6), zatim Dirak-Grinov identitet i (A.0.1), u tre´cem formulu
(2.2.28) a zatim ponovo vektorski identitet (A.0.1). Rezultat (2.8.100) ´cemo prepisati u obliku
Z
Z
div0 j(r 0 , t) 3 0
1
j(r 0 , t)d3 r0
1
d
r
+
rotrot
.
(2.8.101)
j=− ∇
4π
|r − r 0 |
4π
|r − r 0 |
36
ˇ
CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNACINE
Vektorsko polje j smo razloˇzili u dve komponente. Prvi sabirak
Z
1
div0 j(r 0 , t) 3 0
jL = − ∇
dr
4π
|r − r 0 |
(2.8.102)
zadovoljava uslov rotjL = 0. Ova komponenta vektora gustine struje naziva se longitudinalnom
komponentom. Druga komponenta
Z
1
j(r 0 , t)d3 r0
jT =
rotrot
(2.8.103)
4π
|r − r 0 |
je tzv. transverzalna (solenoidna) komponenta. Ona zadovoljava uslov divjT = 0. Ovim smo
pokazali Helmholcovu teoremu, po kojoj se svako vektorsko polje moˇze razloˇziti na transverzalnu
i longitudinalnu komponentu.
Jednaˇcina (2.8.99) je dakle
1 ∂ 2A
4A − 2 2 = −µ0 jT .
(2.8.104)
c ∂ t
Sa desne strane ove jednaˇcine figuriˇse samo transverzalna komponenta gustine struje. Kulonov
gauge se ˇcesto naziva transverzalnim gauge-om.
Chapter 3
Elektromagnetno polje u sredini
U prethodnoj glavi formulisali smo jednaˇcine za elektromagnetno polje u vakuumu. Sada ´cemo
na´ci jednaˇcine za polje u prisustvu supstancijalne sredine.
3.1
Maksvel–Lorencove jednaˇ
cine za polje u supstancijalnoj sredini
Elektromagnetno polje u supstancijalnoj sredini generiˇsu naelektrisanja te sredine kao i naelektrisanja uneta u tu sredinu. Mikroskopske gustina naelektrisanja η(r, t) i struje k(r, t) sredine su
brzo fluktuiraju´ce funkcije kako u prostoru tako i u vremenu. Sva naelektrisanja, dakle spoljaˇsnja
i unutraˇsnja, generiˇsu mikropolja: mikroskopsko elektriˇcno polje e(r, t) i mikroskopsku magnetnu
indukciju b(r, t). Mikropolja su takodje brzo fluktuiraju´ce funkcije. Vremenske fluktuacije su sa
periodom reda T ∼ 10−17 s a prostorne d ∼ 10−10 m. Uzimaju´ci da se sva prisutna naelektrisanja,
dakle naelektrisanja sredine i spolja uneta naelektrisanja, nalaze u vakuumu moˇzemo napisati
Maksvelove jednaˇcine za mikropolja:
div(ε0 e) = η + ρext
divb = 0
∂b
rote = −
∂t
b
∂e
rot
= k + jext + ε0
.
µ0
∂t
(3.1.1)
Da bi imali kompletan sistem jednaˇcina moramo dodati jednaˇcine kretanja naelektrisanih ˇcestica:
dpα
= qα (eα + vα × bα ), α = 1, . . . , N
dt
(3.1.2)
gde je N je reda veliˇcine 1023 . Iz ovog sistema jednaˇcina ne moˇzemo izvu´ci neku znaˇcajnu
ˇ i kad bi uspeli da reˇsimo jednaˇcine, ne znamo poˇcetne uslove.
informaciju. Cak
Mikroskopska polja kao i mikroskopska gustine naelektrisanja i struje su neopservabilne
veliˇcine. Zato ´cemo ih usrednjiti po prostornom i vremenskom intervalu, koji su odredjeni samim
37
38
CHAPTER 3. ELEKTROMAGNETNO POLJE U SREDINI
procesom merenja makroskopskih veliˇcina. Mi ne merimo polje u taˇcki r ve´c merimo srednje
polje unutar oblasti ∆V oko taˇcke r, gde je ∆V zapremina sonde kojom merimo polje. Sliˇcno,
usrednjavamo i po vremenu. Makroskopska vrednost polja ili gustina u trenutku t predstavlja
srednju vrednost mikroskopskih veliˇcina po vremenu usrednjenu u vremenskom intervalu ∆t.
Makroskopsko elektriˇcno polje, E(r, t) je srednja vrednost mikroskopskog polja, e(r, t):
Z
Z ∆t
1
3 0
E(r, t) = he(r, t)i =
dt0 e(r + r 0 , t + t0 ) .
(3.1.3)
dr
∆t∆V ∆V
0
Sliˇcno se definiˇsu srednje vrednosti ostalih mikroskopskih veliˇcina. Ako su veliˇcine posle usrednjavanja i dalje brzo fluktuiraju´ce onda ih usrednjavamo statistiˇcki1 . Jasno je da parcijalni izvodi
komutiraju sa usrednjavanjem:
∂
∂
he(r, t)i =
e(r, t)
(3.1.4)
∂xi
∂xi
i sliˇcno
∂
he(r, t)i =
∂t
∂
e(r, t) .
∂t
(3.1.5)
Posle usrednjavanja mikroskopskih jednaˇcina (3.1.1) dobijamo
div(ε0 E) = hηi + ρext
divB = 0
∂B
rotE = −
∂t
B
∂E
rot( ) = hki + jext + ε0
.
µ0
∂t
E i B su makroskopska jaˇcina elektriˇcnog polja odnosno makroskopska magnetna indukcija; hki
i hηi su makroskopske gustine struje i naelektrisanja i oni su funkcije makroskopskih polja.
Unutraˇsnja naelektrisanja ´cemo podeliti na slobodna i vezana. Slobodna naelektrisanja se
kre´cu po celom telu. Vezana naelektrisanja su lokalizovana u atomu, molekulu ili jonu.2 U
metalima postoje slobodni elektroni; joni i elektroni su slobodna naelektrisanja u plazmi, joni su
takodje slobodna naelektrisanja u elektrolitu. Mikroskopska gustina unutraˇsnjih naelektrisanja
je
η = ηsl + ηvez ,
(3.1.6)
dok je mikroskopska gustina struje
k = ksl + kvez .
1
Srednja vrednost opservable A(pi , qi , t) po ansamblu je
R
A(pi , qi , t)f (pi , qi )dΓ
R
A¯ =
f (pi , qi )dΓ
3
3
pi d qi
gde je f funkcija raspodele, a dΓ = dh3N
element faznog prostora.
N!
2
Ova podela je uslovna, npr. u brzo promenljivom polju sva naelektrisanja se ponaˇsaju kao vezana.
(3.1.7)
ˇ
3.1. MAKSVEL–LORENCOVE JEDNACINE
ZA POLJE U SUPSTANCIJALNOJ SREDINI39
Figure 3.1:
Srednje vrednosti ovih gustina su
hη(r, t)i = hηsl. (r, t)i + hηvez. (r, t)i = ρsl + ρvez
hk(r, t)i = hksl. (r, t)i + hkvez. (r, t)i = jsl + jvez .
Da bi ρsl bilo razliˇcito od nule nije dovoljno da se naelektrisanja sredine mogu slobodno kretati
u njoj, ve´c moraju biti u viˇsku ili manjku.
Mikroskopska gustina slobodnih naelektrisanja je
X
qj δ (3) (r − rj (t)) ,
(3.1.8)
ηsl =
j∈sl
dok je mikroskopska gustina vezanih naelektrisanja
X
ηvez =
ηn (r, t) ,
(3.1.9)
n
gde je
ηn (r, t) =
X
qj δ (3) (r − rj (t))
j∈n
=
X
qj δ (3) (r − rn (t) − rnj (t))
j∈n
gustina naelektrisanja n−tog molekula (ili ’´celiji’ tela; atomu, jonu,.. ). rn je radijus vektor centra mase n−tog molekula, rnj je radijus vektor naelektrisanja qj koje pripada n−tom molekulu,
u odnosu na njegov centar mase. Ove oznake su predstavjene na slici 3.1. Polarizacija, P(r, t)
je definisana kao dipolni moment jediniˇcne zapremine
P
pn
.
(3.1.10)
P(r, t) = n∈∆V
∆V
40
CHAPTER 3. ELEKTROMAGNETNO POLJE U SREDINI
U prethodnoj formuli sumira se po dipolnim momentima koji su u okolini taˇcke r u trenutku t.
Ako je vektor poloˇzaja dipola momenta pα obeleˇzen sa rα polarizacija sistema taˇckastih dipola
je
X
P(r, t) =
pα δ (3) (r − rα (t)) .
(3.1.11)
α
U sluˇcaju supstancijalne sredine prethodmu sumu ´cemo obeleˇziti sa π(r, t) pa je
π(r, t) =
X
pn δ (3) (r − rn (t)) ,
(3.1.12)
n
gde je pn elektriˇcni dipolni moment n−tog molekula. To je mikroskopska polarizacija. Makroskopska polarizacija je njena srednja vrednost
*
+
X
P(r, t) = hπ(r, t)i =
pn δ (3) (r − rn (t)) .
(3.1.13)
n
Gustina vezanih naelektrisanja je
*
+ *
+
X
XX
ρvez =
ηn =
qj δ (3) (r − rn − rnj )
n
=
*
XX
n
=
*
X
*
X
n
=
*
X
n
=
j∈n
n
j∈n
X
qj δ (r − rn ) −
(3)
j∈n
+
qn δ (3) (r − rn )
−
*
X
+
qn δ (3) (r − rn )
*
X
+
+ ...
+
n
− div
+
pn · 5δ (3) (r − rn (t))
+
qn δ (3) (r − rn )
qj rnj · 5δ (r − rn (t)) + . . .
(3)
pn · δ (3) (r − rn (t))
+ ...
n
− divP .
(3.1.14)
n
U drugom redu delta funkciju smo razvili u red smatraju´ci da je |rnj | |rn |. Kvadratne ˇclanove
smo zanemarili. Molekule (odnosno atome, jone,..) karakteriˇsemo sa njihovim ukupnim naelektrisanjem i dipolnim momentom. Slede´ca korekcija bi bio kvadrupolni moment ali taj ˇclan nismo
ukljuˇcili. Sa qn obeleˇzili smo naelektrisanje n−tog molekula. Ako je molekul elektroneutralan
onda je prvi ˇclan u krajnjem rezultatu jednak nuli.
Ukupna srednja vrednost mikroskopske gustine naelektrisanja je
*
+
X
hηi = ρsl +
qn δ (3) (r − rn ) − divP
n
= ρ − divP,
(3.1.15)
ˇ
3.1. MAKSVEL–LORENCOVE JEDNACINE
ZA POLJE U SUPSTANCIJALNOJ SREDINI41
gde je
ρ=
*
X
+
qj δ (r − rj (t)
(3)
+
*
X
+
qn δ (r − rn )
(3)
(3.1.16)
n
j,sl
makroskopska gustina naelektrisanja. Ona se sastoji od dva sabirka; prvi je srednja vrednost
mikroskopskog slobodnog naelektrisanja, a drugi se dobija usrednjavanjem vezanih naelektrisanja
molekula tretira´cu ih kao taˇckasta.
U provodnoj sredini zbir prvog i drugog ˇclana je nula ukoliko je sredina elektroneutralna. U
metalima postoje slobodni elektroni koji se mogu kretati po celom telu, zatim vezani elektroni
i nepokretni pozitivno naelektrisani joni u ˇcvorovima metalne reˇsetke. Makroskopska gustina
naelektrisanja provodne sredine je jednaka nuli. U dielektriˇcnim sredinama nema slobodnih
naelektrisanja pa je prvi sabirak u (3.1.16) jednak nuli. Molekuli sredine su elektroneuralni pa je
i drugi sabirak jednak nuli. Neutralnost sredine u oba sluˇcaja se naruˇsava dodavanjem spoljnih
naelektrisanja. U literaturi se ˇcesto ρ identifikuje sa ρsl ˇsto je u ve´cini sluˇcajeva taˇcno.
Magnetni dipolni moment
Z
1
m=
d3 r r × j(r, t)
(3.1.17)
2
za sistem taˇckastih naelektrisanja je
m=
1X
qα rα × vα .
2 α
Magnetizacija se definiˇse sliˇcno kao polarizacija
P
mn
M(r, t) = n∈∆V
.
∆V
(3.1.18)
(3.1.19)
Ona je suma magnetnih dipolnih momenata po jedinici zapremine. Za sistem taˇckastih magnetnih dipola izraˇzena je preko delta funkcije
X
M(r, t) =
mα δ (3) (r − ra (t)) .
(3.1.20)
α
Mikroskopska magnetizacija sredine je
µ(r, t) =
X
mn δ (3) (r − rn (t)) .
(3.1.21)
n
U prethodnoj formuli mn je magnetni dipolni moment n−tog molekula. Srednja vrednost
mikroskopske magnetizacije je makroskopska magnetizacija (koju ´cemo zvati magnetizacijom)
M(r, t) = hµ(r, t)i .
(3.1.22)
Neka je vn brzina n−tog molekula, a vni = drdtni brzina i-tog naelektrisanja koje pripada
n−tom molekulu u odnosu na centar mase molekula. Srednja vrednost mikroskopske gustine
42
CHAPTER 3. ELEKTROMAGNETNO POLJE U SREDINI
struje vezanih naelektrisanja je
jvez (r, t) = hkvez (r, t)i =
=
*
XX
n
=
hkn (r, t)i
+
n
qi (vn + vni )δ (3) (r − rn (t) − rni (t))
i∈n
XX
n
X
qi (vn + vni )(δ (3) (r − rn (t)) − rni · ∇δ (3) (r − rn (t)))
i∈n
+ ...
XX
qi vn δ (3) (r − rn (t)) + qi vni δ (3) (r − rn (t))
=
n
−
i∈n
*
XX
n
−
qi vn (rni · 5δ (3) (r − rn (t)))
i∈n
*
XX
n
+
+
qi vni (rni · 5δ (3) (r − rn (t)))
.
(3.1.23)
i∈n
Dobili smo ˇcetiri ˇclana i svaki od njih ´cemo analizirati posebno. Prvi ˇclan je
X
qi vn δ (3) (r − rn (t)) = qn vn δ (3) (r − rn (t)) .
(3.1.24)
i∈n
Za elektroneutralne molekule ovaj ˇclan je jednak nuli. Drugi sabirak je
XX
X
qi vni δ (3) (r − rn (t)) =
p˙ n δ (3) (r − rn (t))
n
n
i∈n
∂ X
pn δ (3) (r − rn (t))
∂t n
X
−
pn (−vn · 5δ (3) (r − rn (t))) .
=
n
Poslednji ˇclan je reda brzine molekula i moˇzemo ga zanemariti jer je |vni | |vn |. Tre´ci sabirak
se takodje moˇze zanemariti iz istog razloga. Lako se vidi da je
X
i∈n
d X
(3)
qi rni (rni · 5δ (r − rn (t)))
qi vni (rni · 5δ (r − rn (t))) =
dt i∈n
X
−
qi rni (vni · 5δ (3) (r − rn (t)))
(3)
i∈n
∂
(3)
−
qi rni (rni ·
5 δ (r − rn (t))
∂t
i∈n
X
≈ −
qi rni (vni · 5δ (3) (r − rn (t))) ,
X
i∈n
(3.1.25)
ˇ
3.1. MAKSVEL–LORENCOVE JEDNACINE
ZA POLJE U SUPSTANCIJALNOJ SREDINI43
gde smo ˇclanove kvadratne po dimenziji molekula zanemarili. Ovu aproksimaciju primenjujemo
od samog poˇcetka. Prilikom razvijanje delta funkcije u red zadrˇzali smo linearne ˇclanove po rni .
Koriste´ci (3.1.25) ˇcetvrti ˇclan u (3.1.23) se transformiˇse prema
−
XX
n
qi vni (rni · 5δ (3) (r − rn (t)))
i∈n
1 XX
1 XX
= −
qi vni (rni · 5δ (3) (r − rn (t))) +
qi rni (vni · 5δ (3) (r − rn (t)))
2 n i∈n
2 n i∈n
1 XX
qi 5 δ (3) (r − rn (t)) × (rni × vni )
=
2 n i∈n
X
=
5δ (3) (r − rn (t)) × mn
n
=
X
rot(mn δ (3) (r − rn (t))) .
(3.1.26)
n
U pretposlednjem koraku primenili smo
rot(φv) = 5φ × v + φrotv .
(3.1.27)
Sabiraju´ci sve ˇclanove dobijamo mikroskopsku gustinu vezanih naelektrisanja
kvez =
X
qn vn δ (3) (r − rn (t))
n
+
X
∂ X
pn δ (3) (r − rn (t)) + rot
mn δ (3) (r − rn (t)) .
∂t n
n
(3.1.28)
Usrednjavanjem mikroskopske gustine struje dobijamo
hki = hksl + kvez i
X
X
=
qi vi δ (3) (r − ri (t)) +
qn vn δ (3) (r − rn (t))
n
i∈sl
*
+
*
+
X
∂ X
+
pn δ (3) (r − rn (t))
+ rot
mn δ (3) (r − rn (t))
∂t
n
n
= j+
∂P
+ rotM ,
∂t
gde je
j=
(3.1.29)
X
X
qi vi δ (3) (r − ri (t)) +
qn vn δ (3) (r − rn (t))
i∈sl
(3.1.30)
n
makroskopska gustina struje. Za elektroneutralne molekule ona se svodi na gustinu struje slobodnih naelektrisanja. Kod provodnih sredina drugi ˇclan je obiˇcno zanemarljiv u odnosu na
44
CHAPTER 3. ELEKTROMAGNETNO POLJE U SREDINI
prvi. Zamenjuju´ci izraze (3.1.14) i (3.1.29) u (3.1.6) dobijamo
div(ε0 E) = ρ + ρext − divP
divB = 0
∂B
rotE = −
∂t
B
∂P
∂E
rot( ) = j + jext + rotM +
+ 0
.
µ0
∂t
∂t
(3.1.31)
Uvode´ci D-vektor (elektriˇcna indukcija) i jaˇcinu magnetnog polja, H sa
D = ε0 E + P
1
H= B−M
µ0
(3.1.32)
prethodne jednaˇcine postaju
divD = ρ + ρext
divB = 0
∂B
rotE = −
∂t
(3.1.33)
(3.1.34)
(3.1.35)
∂D
(3.1.36)
.
∂t
Ovo su Maksvel–Lorencove jednaˇcine za elektromagnetno polje u supstancijalnoj sredini. Nepoznatih veliˇcina ima 16 i to E, B, D, H, j, ρ dok je broj jednaˇcina ˇsest (dve su dopunski uslovi).
Maksvel–Lorencove jednaˇcine se moraju dopuniti sa joˇs deset tzv. supstancijalnih jednaˇcina.
rotH = j + jext +
3.2
Supstancijalne jednaˇ
cine
Kao ˇsto smo rekli Maksvel–Lorencove jednaˇcine moramo dopuniti sa jednaˇcinama koje karakteriˇsu sredinu. Ove jednaˇcine se nazivaju supstancijalnim jednaˇcinama. To su veze oblika
D = D[E, B]
H = H[E, B]
j = j[E, B] .
(3.2.37)
Supstancijalne jednaˇcine dobijamo bilo empirijski bilo metodama teorijske fizike. Npr. supstancijalne jednaˇcine ˇcvrstih tela se dobijaju primenom kvantne statistiˇcke fizike, za jonizovani gas
odnosno plazmu moramo konsultovati teorijsku fiziku plazme itd.
U elektrostatiˇckom odnosno magnetnostatiˇckom polju supstancijalne jednaˇcine za neprovodnu
sredinu imaju jednostavan oblik su
ρ=0
j=0
D = ε0 εE
B = µ0 µH ,
(3.2.38)
ˇ
3.2. SUPSTANCIJALNE JEDNACINE
45
gde je ε relativna dielektriˇcna propustljivost sredine, a µ relativna magnetna propustljivost.
Jednaˇcine su kao ˇsto vidimo linearne, ε i µ su konstante. Molekuli ovakvih sredina su najˇceˇs´ce
elektroneutralni, pa se makroskopska gustina struje i naelektrisanja svode na gustine naelektrisanja i struje slobodnih naelektrisanja, ali i one su jednake nuli.
Sredina kod koje prethodne formule vaˇze i u promenljivom polju
ρ=0
j=0
D(r, t) = ε0 εE(r, t)
B(r, t) = µ0 µH(r, t) ,
(3.2.39)
zva´cemo Maksvelov dielektrik. Jasno je da ove jednaˇcine mogu vaˇziti samo za sporo promenljiva
polja.
Ukoliko se provodna sredina nalazi u statiˇckom polju onda je
ρ=0
j = σE
D = ε0 εE
B = µ0 µH
(3.2.40)
gde je σ provodnost. Prva jednaˇcina je posledica elektroneutralnosti sredine. Maksvelov provodnik je sredina kod koje prethodne relacije vaˇze i za promenljiva polja. Provodna sredina ne
dozvoljava postojanje zapreminske gustine naelektrisanja. Polaze´ci od jednaˇcine kontinuiteta
∂ρ
+ div(σE) = 0
∂t
∂ρ
σ
+
ρ=0
∂t ε0 ε
dobijamo
− εσtε
ρ(t) = ρ(0)e
0
.
(3.2.41)
Kod dobrih provodnika veliˇcina ε0 ε/σ je mala pa je ρ = 0.
Ako je sredina anizotropna onda veliˇcine , µ, σ su tenzori dielektriˇcne propustljivosti, magnetne propustljivosti odnosno provodnosti. Jednaˇcine (3.2.40) postaju
ji (r, t) = σij Ej (r, t)
Di (r, t) = ε0 εij Ej (r, t)
Bi (r, t) = µ0 µij Hj (r, t) .
(3.2.42)
Prethodne supstancijalne relacije su lokalne i simultane, tj. sredina je bez disperzije, ˇsto je fiziˇcki
neprihvatljivo. Elektrodinamiˇcka reakcija sredine (a to su polarizacija i magnetizacija sredine)
u trenutku t treba da zavisi od polja i osobina sredine u ranijim trenucima vremena. Ovakve
sredine se nazivaju sredinama sa vremenskom disperzijom. Polarizacija i magnetizacija ne mogu
46
CHAPTER 3. ELEKTROMAGNETNO POLJE U SREDINI
zavisiti od polja i karakteristika sredine u kasnijim trenucima vremena jer bi time bila naruˇsena
kauzalnost. Dakle supstancijalne jednaˇcine linearne sredine sa vremenskom disperzijom su
Z t
Di (r, t) =
dt0 Fij (r, t, t0 )Ej (t0 , r)
−∞
Z t
Bi (r, t) =
dt0 Gij (r, t, t0 )Hj (t0 , r)
−∞
Z t
ji (r, t) =
dt0 Kij (r, t, t0 )Ej (t0 , r) .
−∞
Tenzori Fij (r, t, t0 ), Gij (r, t, t0 ), Kij (r, t, t0 ) karakteriˇsu sredinu. Ako je sredina stacionarna, tj.
njene osobine se ne menjaju sa vremenom, onda jezgra linearnih operatora Fij , Gij i Kij zavise
od razlike t − t0 a ne od t i t0 ponaosob. Za stacionarne sredine vrednosti jezgara integralnih
operatora se ne menjaju pri translacijama
Fij (r, t + τ, t0 + τ ) = Fij (r, t, t0 ),
(3.2.43)
za proizvoljno τ . Specijalno ako izaberemo τ = −t0 dobijamo
Fij = Fij (r, t − t0 )
(3.2.44)
kao ˇsto smo tvrdili. Supstancijalne jednaˇcine za stacionarne sredine sa vremenskom disperzijom
su
Z t
Di (r, t) =
dt0 Fij (r, t − t0 )Ej (t0 , r)
−∞
Z t
Bi (r, t) =
dt0 Gij (r, t − t0 )Hj (t0 , r)
−∞
Z t
ji (r, t) =
dt0 Kij (r, t − t0 )Ej (t0 , r) .
−∞
Ukoliko npr. vrednost vektora elektriˇcne indukcije u taˇcki r zavisi od jaˇcine polja u okolnim
taˇckama onda to nazivamo prostornom disperzijom. Vremenska disperzija, zbog konaˇcnosti
prostiranja elektromagnetne interakcije uvek prati prostornu disperziju. Dakle za sredine sa
prostorno–vremenskom disperzijom supstancijalne jednaˇcine imaju slede´ci oblik
Z t
Z
0
Di (r, t) =
dt
d3 r 0 Fij (r, r 0 , t, t0 )Ej (t0 , r 0 )
−∞
Z t
Z
0
Bi (r, t) =
dt
d3 r 0 Gij (r, r 0 , t, t0 )Hj (t0 , r 0 )
−∞
Z t
Z
0
ji (r, t) =
dt
d3 r 0 Kij (r, r 0 , t, t0 )Ej (t0 , r 0 ) .
−∞
Veze su linearne. Ako jezgra integralnih operatora u prethodnim jednaˇcinama zavise od razlike
r − r 0 , tj, ukoliko je npr.
Z
Z t
0
d3 r 0 Fij (r − r 0 , t, t0 )Ej (t0 , r 0 )
(3.2.45)
Di (r, t) =
dt
−∞
ˇ USLOVI
3.3. GRANICNI
47
Figure 3.2:
onda takve sredine nazivamo homogenim. Tenzor Fij je translaciono invarijantan, tj.
Fij (r, r 0 ) = Fij (r + a, r 0 + a)
(3.2.46)
gde je a proizvoljan vektor. Specijalno za a = −r 0 sledi
Fij = Fij (r − r 0 ) .
Sredina moˇze u opˇstem sluˇcaju biti nelinearna.
3.3
Graniˇ
cni uslovi
Vektori jaˇcine elektriˇcnog polja i magnetnog polja kao i elektriˇcna i magnetna indukcija nisu
neprekidne funkcije. Ukoliko se na nekoj povrˇsi nalaze naelektrisanja i/ili teku struje onda neke
od komponenti polja trpe skokove. Ovo sledi iz samih Maksvel–Lorencovih jednaˇcina. Neka je
Σ graniˇcna povrˇs izmedju dve supstancijalne sredine. Veliˇcine koje se odnose na prvu sredinu
obeleˇzi´cemo indeksom 1, a one koje se odnose na drugu sredinu sa indeksom 2. Uze´cemo da
je ∆S mala povrˇsina na grniˇcnoj povrˇsi i konstruisa´cemo zatvorenu cilindriˇcnu povrˇs tako ˇsto
´cemo u svakoj taˇcki povrˇsi ∆S konstruisati normalu na ovu povrˇs. Visina ove normale je ∆h,
po pola u svakoj od oblasti 1 i 2. Bazisi ove cilindriˇcne povrˇsi su ∆S1 i ∆S2 , kao na slici 3.2.
Zapremina koju ona obuhvata je ∆V . Integracijom prve Maksvel-Lorencove jednaˇcine, (3.1.33)
po zapremini ∆V imamo
Z
Z
3
divDd r =
ρd3 r .
(3.3.47)
∆V
∆V
Sa ρ smo obeleˇzili zbir makroskopske gustine nealektrisanje i gustine spolja unetih naelektrisanja.
Primenom Gausove teoreme imamo
Z
I
3
ρd r =
D · dS
∆V
∂(∆V )
Z
Z
Z
(3.3.48)
=
D · dS +
D · dS +
D · dS ,
∆S1
∆S2
M
48
CHAPTER 3. ELEKTROMAGNETNO POLJE U SREDINI
gde je M omotaˇc cilindra. Element zapremine je d3 r = ∆hdS za malo ∆h pa u limesu ∆h → 0
imamo
Z
Z
(D2 − D1 ) · ndS ,
(3.3.49)
lim ρ∆h dS =
∆S ∆h→0
∆S
gde smo uveli ort normale n na graniˇcnoj povrˇsi koji je usmeren od sredine 1 ka sredini 2. Kada
∆h teˇzi nuli povrˇsi ∆S1 , ∆S2 se poklapaju sa ∆S. Izraz
lim ρ∆h
∆h→0
u (3.3.49) je nenulti ako gustina naelektrisanja divergira na graniˇcnoj povrˇsini. Oˇcigledno je da
je on jednak povrˇsinskoj gustini slobodnog i spolja unetog naelektrisanja na graniˇcnoj povrˇsi.
Dakle,
Z
Z
(D2 − D1 ) · ndS =
σdS .
∆S
(3.3.50)
∆S
Kako je predhodni izraz taˇcan za proizvoljno malu povrˇs ∆S to je
D2n − D1n = σ ,
(3.3.51)
gde je Dn = D·n normalna projekcija vektora elektriˇcne indukcije. Projekcija vektora elektriˇcne
indukcije na pravac normale u datoj taˇcki graniˇcne ravni i u datom trenutku vremena trpi skok
koji je jednak povrˇsinskoj gustini slobodnih i eksternih naelektrisanja u toj taˇcki graniˇcne povrˇsi
i u tom trenutku vremena.
Analogno iz (3.1.34) sledi
B2n − B1n = 0 ,
(3.3.52)
tj. normalna projekcija magnetne indukcije je neprekidna funkcija na granici dve sredine. Iz
izraza za zapreminsku gustinu polarizacionog (vezanog) naelektrisanja
divP = −ρvez
(3.3.53)
P2n − P1n = −σvez .
(3.3.54)
sledi
Normalna komponenta vektora polarizacije na granici dve sredine ima skok ukoliko se na njoj
nalaze povrˇsinska vezana naelektrisanja.
Pogledajmo sada rotorske jednaˇcine. Neka se kriva AB nalazi na graniˇcnoj povrˇsi Σ, slika 3.3.
Konstruiˇsimo povrˇsinu ∆S kojoj pripada kriva AB i koja je normalna na graniˇcnu povrˇs. Visina
ove povrˇsi je ∆h, po pola sa svake strane granice. Integrali´cemo ˇcetvrtu Maksvel–Lorencovu
jednaˇcinu (3.1.36) po povrˇsini A2 B2 B1 A1
Z
Z
Z
∂D
j · dS +
· dS =
rotH · dS
∆S
∆S ∂t
∆S
Z A2
Z B2
=
H · dl +
H · dl
A1
B1
Z
+
B2
A2
A2
Z
H · dl +
B1
H · dl .
(3.3.55)
ˇ USLOVI
3.3. GRANICNI
49
Figure 3.3: Povrˇsina dS je A2 B2 BB1 A1 A
U prethodnom izrazu primenili smo Stoksovu teoremu. Dalje ´cemo element povrˇsine napisati
kao
dS = dSν = ∆hdlν ,
(3.3.56)
i uzeti limes ∆h → 0:
Z
B
lim
A
∆h→0
Z
j∆h νdl =
B
(H2 − H1 ) · τ dl .
(3.3.57)
A
U limesu ∆h → 0 linijski integrali duˇz A1 A2 i B1 B2 su jednaki nuli. Veliˇcinu lim∆h→0 j∆h
´cemo obeleˇziti sa i. Ona je gustina povrˇsinske struje slobodnih i spolja unetih naelektrisanja.
Ona je jednaka koliˇcini naelektrisanja koje u jedinici vremena prodje kroz jediniˇcnu duˇzinu koja je
normalna na pravac prenoˇsenja naelektrisanja. Gustina povrˇsinske struje paralelna je graniˇcnoj
povrˇsi.
Iz (3.3.57) sledi
i · ν = (H2 − H1 ) · τ .
(3.3.58)
Primenom τ = ν × n imamo
i · ν = (H2 − H1 ) · (ν × n) ,
(3.3.59)
i · ν = (n × (H2 − H1 )) · ν .
(3.3.60)
odnosno
Poˇsto je ν proizvoljno i kako vektor povrˇsinske gustine struje ima komponente paralelnu graniˇcnoj
povrˇsini to sledi
n × (H2 − H1 ) = i .
(3.3.61)
Ova relacija daje skok tangencijalne komponente jaˇcine magnetnog polja. Mnoˇzenjem poslednje
relacije vektorski sa n dobijamo
H2t − H1t = i × n
(3.3.62)
50
CHAPTER 3. ELEKTROMAGNETNO POLJE U SREDINI
gde su H2t odnosno H1t tangencijalne komponente vektora jaˇcine magnetnog polja u sredini 2
odnosno 13 . Tangencijalna komponenta jaˇcine magnetnog polja nije neprekidna pri prelasku iz
jedne u drugu sredinu u onim taˇckama graniˇcne povrˇsi gde postoji povrˇsinska struja slobodnih
i/ili externih naelektrisanja.
Analogno iz tre´ce Maksvelove jednaˇcine
rotE = −
∂B
∂t
sledi
E2t − E1t = 0 .
(3.3.63)
Tangencijalna komponenta vektora elektriˇcnog polja je neprekidna. Zapreminska gustina vezanih
struja je zbir magnetizacione i polarizacione struje
jvez = rotM +
∂P
.
∂t
(3.3.64)
Odavde sledi izraz za skok tangencijalne momponente magnetizacije
M2t − M1t = ivez × n .
(3.3.65)
Ona postoji u onim taˇckama graniˇcne povrˇsine u kojima teku struje vezanih naelektrisanja.
3
Proizvoljan vektor A moˇzemo razloˇziti na normalnu i tangencijalnu komponentu u odnosu na ort n na slede´ci
naˇcin
A = An + At
gde je
An = (A · n)n
i
At = (n × A) × n .
Chapter 4
Teoreme elektromagnetnog polja
4.1
Pointingova teorema
Razmotrimo sistem naelektrisanih ˇcestica koje se kre´cu unutar neke zapremine. Ove ˇcestice
generiˇsu elektromagnetno polje. Promena kinetiˇcke energije ˇcestica u jedinici vremena po teoremi
energije je
X
X
d X
(
Eα ) =
qα (Eα + vα × Bα ) · vα =
qα vα · Eα ,
dt α
α
α
(4.1.1)
gde smo sa Eα obeleˇzili energiju ˇcestice indeksa α; Eα i Bα su elektriˇcno i magnetno polje u taˇcki
u kojoj se u datom trenutku nalazi naelektrisanje qα . Iz gornje formule vidimo da magnetno
polje ne vrˇsi rad. Ono moˇze da promeni pravac i smer brzine ˇcestice ali ne i njen intenzitet.
Prelazak na kontinualnu raspodelu se lako nalazi ’ubacivanjem’ delta funkcije
d X
(
Eα ) =
dt α
=
Z
Z
X
d3 r(
qα vα δ (3) (r − rα )) · E(r, t)
α
d3 rj · E .
(4.1.2)
R
Rezultat (4.1.2) vaˇzi za proizvoljnu kontinualnu raspodelu naelektrisanja. Izraz d3 rj · E je
rad polja u jedinici vremena (snaga) na premeˇstanju naelektrisanja. On govori o pretvaranje
elektromagnetne u mehaniˇcku energiju.
Pretpostavimo sada da je unutar neke fiksne oblasti V prisutna makroskopska sredina koja
je nepokretna, linerna i neka su efekti disperzije zanemarljivi. Primenom ˇcetvrte Maksvel–
Lorencove jednaˇcine i vektorskog identiteta
div(E × H) = H · rotE − E · rotH
51
52
CHAPTER 4. TEOREME ELEKTROMAGNETNOG POLJA
imamo
j · E = E · rotH − E ·
∂D
∂t
∂D
∂t
∂D
∂B
−E·
.
= −div(E × H) − H ·
∂t
∂t
= −div(E × H) + H · rotE − E ·
(4.1.3)
U drugom redu iskoristili smo tre´cu Maksvel–Lorencovu jednaˇcinu. Na osnovu prethodnog izraza
i (4.1.2) imamo
Z
Z
Z ∂B
∂D 3
3
3
d rj · E = −
div(E × H)d r −
H·
+E·
dr.
(4.1.4)
∂t
∂t
V
V
V
Zapreminska gustina struje u (4.1.4) je zapreminska gustina spoljaˇsnjih i slobodnih struja. Izraz
E · dD + H · dB u opˇstem sluˇcaju nije totalni diferencijal. Saglasno naˇsim pretpostavkama
supstancijalne jednaˇcine imaju slede´ci oblik
Di = 0 ij Ej , Bi = µ0 µij Hj ,
(4.1.5)
tj. sredina je linearna i bez disperzije. Tada imamo
E · dD = Ei dDi = 0 ij Ei dEj
1
=
0 (ij Ei dEj + ij Ei dEj )
2
1
=
0 (ij Ei dEj + ji Ej dEi )
2
1
=
0 (ij Ei dEj + ij Ej dEi )
2
1
1
=
(Ei dDi + Di dEi ) = d(E · D) ,
2
2
(4.1.6)
gde smo u tre´cem redu neme indekse i i j zamenili u drugom ˇclanu; a zatim u narednom redu
iskoristili da je tenzor dielektriˇcne propustljivosti simetriˇcan. Sliˇcno je
1
H · dB = d(H · B) .
2
Zamenom (4.1.6) i (4.1.7) u (4.1.4) dobijamo
Z
Z
I
D · E H · B
d
3
3
d rj · E +
dr
+
=−
Sp · dS ,
dt V
2
2
V
S=∂V
gde je Sp = E × H Pointingov vektor. Izraz
Z
D · E H · B
Wem =
+
d3 r
2
2
V
(4.1.7)
(4.1.8)
4.1. POINTINGOVA TEOREMA
53
je elektromagnetna energija, dok je podintegralni izraz
1
u = (E · D + B · H) ,
2
gustina elektromagnetne energije. U sluˇcaju sredine koju analiziramo veliˇcina
Z
∂B
∂D d3 r H ·
+E·
∂t
∂t
V
jeste vrenski izvod veliˇcine koju interpretiramo kao energiju elektromagnetnog polja. U opˇstem
sluˇcaju taj izraz nije vremenski izvod neke veliˇcine, pa energiju elektromagnetnog polja ne
moˇzemo generalno definisati. Primer takvih sredina su sredine sa disperzijom kod kojih postoje gubici energije, tj. oslobadja se toplota.
Pointingovu teoremu (4.1.8) moˇzemo iskazati reˇcima na slede´ci naˇcin: Promena elektromagnetne energije u oblasti V u jedinici vremena plus energija koja u jedinici vremena iscuri kroz
graniˇcnu porˇsinu oblasti V jednaka je negativnom radu u jedinici vremena na premeˇstanju slobodnih i spolja unetih naelektrisanja. Ovo je oˇcigledno zakon odrˇzanja energije. Koriste´ci (4.1.2)
imamo
I
d X
Eα + Wem = −
Sp · dS ,
(4.1.9)
dt α
∂V
odakle vidimo da promene mehaniˇcke i energije elektromagnetnog polja u jedinici vremena je
jednaka negativnom fluksu Pointingovog vektora kroz graniˇcnu povrˇsinu. U sluˇcaju odsustva
supstancijalne sredine, tj. u vakuum izraz (4.1.8) ima oblik
Z
d
d rj·E+
dt
Z
3
V
odnosno
I
E2
B2 0
dr
+
=−
Sp · dS ,
2
2µ0
S=∂V
3
V
d
Wmeh + Wem = −
dt
(4.1.10)
I
Sp · dS .
(4.1.11)
S=∂V
Za polje se kaˇze da je potpuno ako je jednako nuli na granici konaˇcne oblasti ili ako je granica
u beskonaˇcnosti onda opada bar kao 1/r2 na velikim rastojanjima. Za potpuno polje fluks
Pointingovog vektora kroz graniˇcnu povrˇs je nula pa je ukupna energija sistema, tj. zbir energije
polja i mehaniˇcke energije konstanta. Potpuno polje je analogon izolovanog sistema u mehanici.
Pointingovu teoremu moˇzemo napisati i u diferencijalnom obliku. Iz (4.1.8) sledi
j·E+
odnosno
∂uem
+ divSp = 0
∂t
(4.1.12)
∂
(umeh + uem ) + divSp = 0 .
(4.1.13)
∂t
Prethodni izraz ima istu formu kao i jednaˇcina kontinuiteta; to je standardni oblik zakona
odrˇzanja. Sa umeh oznaˇcili smo zapreminsku gustinu mehaniˇcke energije.
54
CHAPTER 4. TEOREME ELEKTROMAGNETNOG POLJA
Figure 4.1: Pointingov vektor u sluˇcaju ortogonalnih statiˇckih polja
Fluks Pointingovog vektora
I
Sp · dS
S
je energija u jedinici vremena koja prostruji kroz zatvorenu porˇsinu S. Dimenzije Pointingovog
vektora su J/sm2 . Da li moˇzemo interperirati Pointingov vektor lokalno, kao gustinu fluksa snage
tj. kao energiju koja u jedinici vremena prodje kroz povrˇsinu normalnu na pravac prenoˇsenja
energije? U jednom broju sluˇcajeva to je mogu´ce, ali ne vaˇzi generalno. Rekli smo da je
Sp = E × H Pointingov vektor. Medjutim, umesto njega moˇzemo za Pointingov vektor uzeti i
ˇcitavu klasu vektora
S0p = Sp + rotΛ,
gde je Λ proizvoljno vektorsko polje, jer je divrot = 0. Pointingov vektor nije jednoznaˇcno
definisan. Pointingovi vektori koji se razlikuju za rotor nekog vektorskog polja daju isti fluks
kroz zatvorenu povrˇsinu i istu divergenciju. Pointingova teorema ne vidi razliku izmedju njih.
Iz tog razloga Pointingov vektor nije opservabilna veliˇcina. Fiziˇcki smisao ima fluks Pointingovog vektora kroz zatvorenu povrˇsinu, on je jednak negativnoj promeni energije (mehaniˇcke i
elektromagnetne) u oblasti obuhva´cenoj tom povrˇsinom.
Neka je elektrostatiˇcko polje ploˇcasog kondenzatora postavljeno ortogonalno na magnetostatiˇcko polje permanentnog magneta, kao na slici 4.1. Pointingov vektor Sp = µ10 E×B je razliˇcit
od nule iako nema nikakvog strujanja energije; polja su statiˇcka. Medjutim, fluks Pointingovog
vektora kroz ma koju zatvorenu povrˇsinu u ovoj oblasti je jednak nuli.
Primenimo Pointingovu teoremu za dugaˇcak provodnik polupreˇcnika a koji je vezan na izvor
elektromotorne sile. Neka je z−osa usmerena duˇz ose simetrije provodnika. Elektriˇcno polje u
provodniku je E = Eez = (U/l)ez , gde je U razlika potencijala izmedju krajeva provodnika, a l
njegova duˇzina. Magnetna indukcija u oblasti van provodnika je
B=
µ0 I
eϕ
2π r
(4.1.14)
4.2. TEOREMA IMPULSA
55
pa je Pointingov vektor na omotaˇcu provodnika, r = a dat sa
Sp =
1
EI
E×B=−
eρ .
µ0
2πa
I je jaˇcina struje u provodniku. Za povrˇsinu S u Pointingovoj teoremi uze´cemo cilindar ˇciji je
omotaˇc povrˇsina provodnika. Fluks Pointingovog vektora je
I
Sp · dS = −ElI = −U I = −RI 2 ,
S
gde je R otpor provodnika. Pointingova teorema ima slede´ci oblik
Z
d3 r j · E = RI 2 = U I .
Poslednji izraz je Dˇzulov zakon; snaga oslobodjena u provodniku je proizvod struje i napona.
Pointigov vektor je usmeren ka osi simetrije provodnika. Da li energija od izvora u provodnik
dolazi ne kroz ˇzice ve´c iz okolnog prostora? Problem je vezan za lokalnu interpretaciju Pointingovog vektora. Ono ˇsto sigurno moˇzemo re´ci je kolika je energija koja prodje kroz cilindariˇcnu
povrˇs jediniˇcne duˇzine oko provodnika, jer ta veliˇcina figuriˇse u Pointingovoj teoremi.
Ako bi graniˇcna povrˇsina obuhvatala i izvor elektromotorne sile tada bi Pointingova teorema
Z
Z
I
2
dWem
3 j
3
0
+ d r − d rj · E = − Sp · dS .
(4.1.15)
dt
σ
S
Primenili smo
j = σ(E + E0 ) ,
gde je E0 neelektromagnetno polje. Takodje smo uzeli da je provodnik izotropan. Izraz
Z
d3 rj · E0
je snaga izvora EMS. Iz izraza (4.1.15) sledi
Z
Z
2
3 j
d r = d3 rj · E0 ,
σ
tj. Dˇzulova snaga je jednaka snazi izvora.
Bez obzira na probleme interpretacije Pointingovog vektora Pointingova teorema radi savrˇseno.
U svim merenjima mi merimo promenu energije u jedinici vremena u oblasti prostora koju zauzima detektor, dakle fluks Pointingovog vektora.
4.2
Teorema impulsa
Dobro je poznato sa kursa Mehanike da je ukupni mehaniˇcki impuls izolovanog sistema ˇcestica
stalan. Ovo je posledica ˇcinjenice da je zbir unutraˇsnjih sila jednak nuli zbog zakona akcije i
reakcije.
56
CHAPTER 4. TEOREME ELEKTROMAGNETNOG POLJA
v1
q
q
2
v2
Figure 4.2:
Razmotrimo izolovan sistem dve naelektrisane ˇcestice q1 i q2 koje se kre´cu u ravni stalnim
brzinama po medjusobno normalnim trajektorijama, kao ˇsto je prikazano na slici 4.2. U nekom
trenutku vremena brzina drugog naelektrisanja, v2 je usmerena duˇz pravca koji spaja ova dva
naelektrisanja, dok je v1 normalna na taj pravac. Lorencova sila kojom drugo naelektrisanje
deluje na prvo je
F21 =
µ0
q2 (v2 × (r1 − r2 ))
q1 v1 ×
.
4π
|r1 − r2 |3
(4.2.16)
Odmah vidimo da je ova sila jednaka nuli zbog kolinearnosti vektora brzine druge ˇcestice i
relativnog radijus vektora jedne ˇcestice u odnosu na drugu. Sa druge strane sila kojom prvo
naelektrisanje deluje na drugo
F12 =
µ0
q1 (v1 × (r2 − r1 ))
q2 v2 ×
4π
|r2 − r1 |3
(4.2.17)
i ona nije jednaka nuli.
Zakljuˇcujemo da ne vaˇzi zakon akcije i reakcije. Prema tome bez obzira ˇsto nema spoljnih
sila koje deluju na ove dve ˇcestice mehaniˇcki impuls ovog sistema ˇcestica nije oˇcuvan. Medjutim
mi znamo da bi impuls ovog sistema morao biti oˇcuvan jer je sistem translaciono invarijantan.
Reˇsenje ovog ’paradoksa’ leˇzi u ˇcinjenici da pored mehaniˇckog impulsa i samo elektromagnetno
polje ima impuls. Ukupni impuls, tj. zbir mehaniˇckog i impulsa polja je oˇcuvan. U ovoj lekciji
na´ci´cemo impuls elektromagnetnog polja.
Razmatrajmo sistem naelektrisanih ˇcestica u vakuumu. Promena mehaniˇckog impulsa ˇcestica
4.2. TEOREMA IMPULSA
57
jednaka je ukupnoj sili koja deluje na ˇcestice:
X
d X
pα ) =
qα (Eα + vα × Bα )
dt α
Zα
X
=
qa (E(r, t) + vα × B(r, t))δ (3) (r − rα (t))
d3 r
Z
V
α
d3 r(ρE + j × B) ,
=
(4.2.18)
V
gde smo ubacili jednu delta funkcije kako bi rezultat generalisali na neprekidnu raspodelu naelektrisanja i struja. Ako sa Pmeh obeleˇzimo ukupan mehaniˇcki impuls svih ˇcestica kontinulane
sredine u zapremini V to imamo
Z
dPmeh
=
d3 r(ρE + j × B) .
(4.2.19)
dt
V
Iz (2.6.73) i (2.6.76) moˇzemo izraziti zapreminsku gustinu naelektrisanja odnosno struje i dobijene izraze zameniti u (4.2.19), ˇsto daje
Z
h
1
i
dPmeh
∂E =
d3 r 0 EdivE +
rotB − 0
×B
dt
µ0
∂t
Z
h
∂
∂B i
1
3
=
d r 0 EdivE + rotB × B − 0 (E × B) + 0 E ×
µ0
∂t
∂t
ZV
h
=
d3 r 0 EdivE − 0 E × rotE
V
i
1
1
∂
+
BdivB − B × rotB − 0 (E × B) .
µ0
µ0
∂t
Sa latiniˇcnim slovima i, j, . . . obeleˇzi´cemo dekartove koordinate tako da divergencija vektora E
je
3
3
X
∂Ei X
divE =
=
∂i Ei .
∂x
i
i=1
i=1
Parcijalni izvod po koordinati xi kra´ce zapisujemo kao ∂i . Vektorski proizvod dva vektora A i
ˇ
B moˇzemo zapisati preko simbola Levi–Civita
na slede´ci naˇcin
A×B=
3
X
ijk Aj Bk ei ,
(4.2.20)
i,j,k=1
pa rotor moˇzemo prestaviti u formi
rotE = ∇ × E =
3
X
i,j,k=1
ijk ∂j Ek ei .
(4.2.21)
58
CHAPTER 4. TEOREME ELEKTROMAGNETNOG POLJA
Primenom ovih izraza imamo
(EdivE − E × rotE)i = Ei ∂j Ej − ijk klm Ej ∂l Em
= Ei ∂j Ej − (δil δjm − δim δjl )Ej ∂l Em
= Ei ∂j Ej − Ej ∂i Ej + Ej ∂j Ei
1
= ∂j (Ei Ej ) − ∂i (Ej Ej )
2
1
= ∂j (Ei Ej ) − ∂i (E2 )
2
1 2
= ∂j (Ei Ej − E δij ) .
2
(4.2.22)
Analogan identitet vaˇzi za tre´ci i ˇcetvrti ˇclan pa je
Z
dP 1
1
1
meh
=
d3 r∂j 0 Ei Ej + Bi Bj − (0 E2 + B2 )δij
dt
µ0
2
µ0
i
V
Z
d
− 0
d3 r(E × B)i
dt V
Z
Z
d
3
=
d r∂j Tij − 0
d3 r(E × B)i ,
dt
V
V
gde smo uveli Maksvelov tenzor napona sa
Tij = 0 Ei Ej +
1
1
1
Bi Bj − (0 E2 + B2 )δij .
µ0
2
µ0
(4.2.23)
Maksvelov tenzor napona moˇzemo prepisati u obliku1
1
Tˆ = 0 |E >< E| + |B >< B| − uI ,
µ0
(4.2.24)
gde je u zapreminska gustina energije elektromagnetnog polja u vakuumu. Kao ˇsto znamo dijagonalne komponente tenzora napona su pritisci, a vandijagonalne su naponi smicanja. Primenom
Gausove teoreme za tenzore
Z
I
3
d r∂j Tij =
Tij dSj
S=∂V
zapreminski integral (4.2.23) se moˇze transformisati u povrˇsinski pa teorema impulsa za sistem
koji ˇcine polje i naelektrisane ˇcestica postaje
Z
i I
dh
3
Pmeh + 0 d r(E × B) =
TˆdS .
(4.2.25)
dt
S
1
Dijada |A >< B| na vektore deluje prema
(|A >< B|)|C >= |A >< B|C >
< C|(|A >< B|) =< C|A >< B|
4.2. TEOREMA IMPULSA
59
Iz nje vidimo da je ukupan impuls sistema zbir mehaniˇckog impulsa P =
elektromagnetnog polja
Z
Z
Z
1
3
3
G=
gd r = 0
d r(E × B) = 2 d3 rSp .
c
V
V
P
α
pα i impulsa
Impuls se menja unutar neke oblasti zato ˇsto ”curi” kroz graniˇcnu povrˇsinu te oblasti. Silu koja
deluje na naelektrisanja i struje unutar neke oblasti V moˇzemo na´ci na dva naˇcina. Jedan je
direktan, primenom izraza (4.2.19) u kome je sila izraˇzena kao zapreminski integral po oblasti
V . Drugi naˇcin je primenom (4.2.25) gde je jedan deo sile napisan kao povrˇsinski integral po
povrˇsini koja obuhvata naelektrisanja i struje. Za potpuno polje povrˇsinski integral u (4.2.25)
je jednak nuli pa je ukupan impuls sistema oˇcuvan.
Prethodno razmatranje se odnosilo na sistem naelektrisanih ˇcestica i struja u vakuumu. U
sluˇcaju nepokretne linearne i izotropne sredine bez disperzije supstancijalne jednaˇcine imaju
oblik
D = 0 r (r)E, B = µ0 µr (r)H .
Uzeli smo da je sredina nehomogena. Pored toga pretpostavi´cemo da relativna dielektriˇcna i
magnetna propustljivost ne zavise od temperature. U ovom sluˇcaju sliˇcnom analizom kao ranije
se moˇze dobiti
I
Z
i 1Z
d hX
3
2
2
3
d r(0 E ∇r + µ0 H ∇µr ) =
TˆdS ,
(4.2.26)
pα + d r(D × B) −
dt α
2
S
gde je sada Maksvelov tenzor napona dat sa
1
Tˆ = |E >< D| + |B >< H| − (E · D + H · B)I .
2
(4.2.27)
P
U (4.2.26) suma α pα je mehaniˇcki impuls slobodnih i externih naelektrisanja. Drugi ˇclan u
(4.2.26) potiˇce od sile koja deluje na vezana naelektrisanja. Minkovski je izraz
Z
GM = d3 r(D × B)
interpretirao kao impuls elektromagnetnog polja u sredini. Mehaniˇcka sila koja deluje na sredinu
je data sa
Z
Z
1
1
3
F=
(4.2.28)
d rfM =
d3 r(ρE + j × B − 0 E2 ∇r − µ0 H2 ∇µr )
2
2
V
V
i ona se moˇze prepisati kao povrˇsinski integral tenzora napona i ˇclan koji je izvod impulsa polja
kako ga je definisao Minkovski. U lokalnom obliku izraz (4.2.26) je
fM = divTˆ −
gde je gM Minkovskijeva gustina impulsa polja.
∂gM
,
∂t
(4.2.29)
60
CHAPTER 4. TEOREME ELEKTROMAGNETNOG POLJA
Figure 4.3:
Ne ulaze´ci u detaljnu analizu prihvatljiviji izraz za impuls polja je
Z
1
GA = 2 (E × H)d3 r .
c V
Ovaj rezultat potiˇce od Abrahama.
PRIMER1 Odrediti silu po jedinici povrˇsine koja deluje na provodnik na kome je zadata raspodela
povrˇsinskog naelektrisanja.
Elektriˇcno polje je E = En = σ0 n gde je n ort spoljaˇsnje normale prodnika. Kako je polje
statiˇcka to iz (4.2.25) sledi
I
I
1
1
2
2
0 E 2 ndS
F = (0 E n − 0 E n)dS =
2
2
S
S
pa je sila po jedinici povrˇsine
dF
1
= 0 E 2 n = ωe n .
dS
2
Ako su ploˇce ravnog kondenzatora naelektrisane sa povrˇsinskim naelektrisanjem σ odnosno −σ
sila koja deluje na pozitivnu ploˇcu, prema prethodnoj formuli je
f=
F = (σS)
σ
.
20
Izraz za silu je napisan u obliku proizvoda naelektrisanja ploˇce σS i elektriˇcnog polja σ/(20 ).
Zar polje kondenzatora nije σ/0 . Odakle faktor 1/2?
PRIMER2 Na´ci silu po jedinici povrˇsine koja deluje na graniˇcnoj povrˇsini izmedju dva dielektrika prikazana na slici 4.2. Dielektriˇcne propustljivosti su 1 i 2 .
Sila koja deluje na tanak sloj sa slike je
dF = (T (1) + T (2) )dS
gde je
1
T (1) dS = −(D1n E1 − 0 1 E21 n)dS ,
2
1
T (2) dS = (D2n E2 − 0 2 E22 n)dS ,
2
4.3. TEOREMA MOMENTA IMPULSA
61
pa je
1
dF = (D2n E2 − D1n E1 − (E2 · D2 − E1 · D1 )n)dS .
2
Ako bi ova dva dielektrika bila izmedju obloga kondenzatora koji je na stalnom napanu V i kod
koga je rastojanje izmedju ploˇca d sila bi bila
1 V 2
dF =
0 (1 − 2 )ndS .
2 d
4.3
Teorema momenta impulsa
Teorema momenta impulsa za sistem naelektrisanih ˇcestica koje se nalaze u zapremini V u
vakuumu ima oblik
Z
d X Lα =
d3 r r × (ρE + j × B) ,
(4.3.30)
dt α
V
gde je Lα moment imulsa ˇcestice indeksa α. Postupaju´ci kao u prethodnoj lekciji dobijamo
Z
Z
d X d
3
d3 rijk xj gk ,
(4.3.31)
Lα =
d rijk xj ∂l Tkl −
dt α
dt
i
V
V
gde je i = 1, 2, 3. Prvi ˇclan na desnoj strani izraza (4.3.31) prepisa´cemo kao
ijk xj ∂l Tkl = ijk ∂l (xj Tkl )
(4.3.32)
jer je
ijk (∂l xj )Tkl = ijk Tkj = 0 .
(4.3.33)
ˇ
Izraz ijk Tkj je jednak nuli jer je proizvod dva tenzora od kojih je jedan (simbol Levi Civita)
antisimetriˇcan po indeksima j i k a drugi, Maksvelov tenzor napona, simetriˇcan po ovim indeksima.
Onda izaraz (4.3.31) postaje
Z
Z
d X d
3
Lα =
d3 rijk xj gk
(4.3.34)
d rijk ∂l (xj Tkl ) −
dt α
dt V
i
V
odnosno
Dobili smo
d X Lα =
dt α
i
I
d
Lmeh +
dt
Z
∂V
d
ijk xj Tkl dSl −
dt
I
d r(r × g) =
3
V
Z
d3 rijk xj gk .
(4.3.35)
V
(r × TˆdS).
(4.3.36)
∂V
Z
Izraz
d3 r(r × (E × B))
Lf = 0
(4.3.37)
V
je moment impusa elektromagnetnog polja. Ukupni moment impulsa je zbir mehaniˇckog momenta impulsa i momenta impulsa polja. On se menaja unutar neke oblasti V jer curi kroz
granicu ove oblasti.
62
CHAPTER 4. TEOREME ELEKTROMAGNETNOG POLJA
Chapter 5
Relativistiˇ
cka elektrodinamika
5.1
Lorencove transformacije
U ovoj lekciji ´cemo vrlo ukratko ponoviti neke osnovne elemente specijalne teorije relativnosti,
posebno naglaˇsavaju´ci njenu formulaciju u prostoru Minkovskog.
Taˇcke prostora Minkovskog (ct, x, y, z, t) su dogadjaji. Kvadrat intervala izmedju dva infinitezimalno bliska dogadjaja (ct, r) i (c(t + dt), r + dr) u prostoru Minkovskog je
ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 .
Brzina svetlosti c = 3 · 108 ms je ista za sve inercijane posmatraˇce. To je jedan od postulata
specijalne relativnosti. Iz ovoga principa direktno sledi da je kvadrat intervala invarijanta, tj.
c2 dt02 − dr 0 = c2 dt2 − dr2 .
2
Primovane veliˇcine oznaˇcavaju koordinate u primovanom sistemu.
Vektori u prostoru Minkovskog su
 0  
x
ct
1


x
x



x = x µ eµ = 
=
x2   y  ,
x3
z
gde su xµ kontravarijantne komponente vektora x u bazi
 
 
 
1
0
0
0
1
0

 
 
e0 = 
0 , e1 = 0 , e2 = 1 ,
0
0
0
Metrika prostora Minkovskog je
gµν


1 0
0
0
0 −1 0
0

=
0 0 −1 0  .
0 0
0 −1
63
 
0
0

e3 = 
0 .
1
ˇ
CHAPTER 5. RELATIVISTICKA
ELEKTRODINAMIKA
64
Ona sluˇzi za odredjivanje duˇzine vektora. Kvadrat duˇzine ˇcetvorovektora x je
x2 = xT gx = gµν xµ xν = c2 t2 − x2 ,
tj. s2 . Lorencove transformacije su one linearne transformacije koordinata x0 = Λx, gde je Λ
realna 4 × 4 matrica, koje ne menjaju kvadrat duˇzine ˇcetvorovektora, tj. za koje vaˇzi x02 = x2 .
Prethodni uslov daje
x0T gx0 = xT gx
xT ΛT gΛx = xT gx ,
odakle sledi
ΛT gΛ = g .
(5.1.1)
Prethodna matriˇcna jednaˇcina sadrˇzi deset uslova na matricu Λ pa su Lorencove transformacije
odredjene sa 16 − 10 = 6 nezavisnih parametara. Lorencova grupa je ˇsestoparametarska. Bust
duˇz x−ose (prelazak iz sistema S u sistem S 0 koji se kre´ce konstantnom brzinom v duˇz x−ose)
dat je sa
t − v2 x
x − vt
t0 = q c
, x0 = q
, y 0 = y, z 0 = z
(5.1.2)
2
2
v
v
1 − c2
1 − c2
ili u matriˇcnom obliku
 00  
  0
x
γ
−βγ 0 0
x
x01  −βγ


γ
0 0 x1 
 02  = 
 ,
x   0
0
1 0 x2 
x03
0
0
0 1
x3
gde su uvedene slede´ce oznake
1
v
.
β= , γ=p
c
1 − β2
Uvode´ci tanh ϕ = β matrica busta duˇz x−ose ima oblik1

chϕ −shϕ 0

−shϕ chϕ 0
Λµν = 
 0
0
1
0
0
0
Lako se vidi da matrica busta duˇz x− ose zadovoljava
transformacija. Rotacija za ugao θ oko z−ose

1
0
0

0 cos θ sin θ
Λµν = 
0 − sin θ cos θ
0
0
0
1
µ je indeks vrste a ν kolone.

0
0
 .
0
1
uslov (5.1.1), tj. ona je Lorencova

0
0

0
1
5.1. LORENCOVE TRANSFORMACIJE
65
ˇ
je takodje Lorencova transformacija. Sest
nezavisnih Lorencovih transformacija su tri busta i tri
rotacije.
Lorencove transformacije2 ˇcine grupu:
1. Ako su Λ1 i Λ2 Lorencove transformacije onda je i Λ1 Λ2 Lorencova transformacija, jer
(Λ1 Λ2 )T g(Λ1 Λ2 ) = ΛT2 (ΛT1 gΛ1 )Λ2 = ΛT2 gΛ2 = g .
2. Jediniˇcni element u grupi je jediniˇcna matrica.
3. Generalno mnoˇzenje matrica je asocijativno, pa to vaˇzi i za Lorencove transformacije.
4. Uzimanjem determinante uslova (5.1.1) dobijamo da je determinatna matrica Lorencove
transformacije ±1, pa su ove matrice invertibilne. Iz (5.1.1) sledi da je inverzni element Λ−1 =
g −1 ΛT g. Lako se vidi da je Λ−1 Lorencova transformacija. U komponentnoj notaciji inverzna
Lorencova matrica je
(Λ−1 )µ ν = (g −1 ΛT g)µν = g µρ Λσ ρ gσν = Λν µ .
Iz prethodnog izraza ne sledi ΛT = Λ−1 , to bi bilo u kontradikciji sa (5.1.1). Transponovana
matrica je
ΛT = gΛ−1 g −1 ,
odnosno
(ΛT )µρ = (gΛ−1 g −1 )µρ = gµν (Λ−1 )νσ g σρ = (Λ−1 )µρ .
Indeksi matrice Λ su Λµν , inverzne matrice (Λ−1 )µν a transponovane (ΛT )µρ . Kovarijantne komponente vektora su definisane sa
   0 
x0
x



x1  −x1 

xµ = gµν xν = 
x2  = −x2  .
x3
−x3
Ispitajmo sada kako se kovarijantne komponente vektora, xµ transformiˇse pri Lorencovim transformacijama:
x0µ = gµν x0ν = gµν Λνρ xρ
= gµν Λνρ g ρσ xσ = (gΛg −1 )µσ xσ
= (ΛT −1 )µσ xσ = (Λ−1 )σµ xσ
= Λµσ xσ .
(5.1.3)
Prema tome kontravarijantne, odnosno kovarijantne komponete se transformiˇsu prema:
x0µ = Λµν xν
x0µ = (Λ−1 )νµ xν = Λµν xν .
2
Mnogi detalji o Lorencovoj grupi dati su u prvoj glavi knjige V. Radovanovi´c, Problem book in Quantum
Field Theory, Springer, Berlin,2006, second edition 2008.
ˇ
CHAPTER 5. RELATIVISTICKA
ELEKTRODINAMIKA
66
Parcijalni izvodi po xµ su
1 ∂
∂
=
,
∇
.
∂xµ
c ∂t
Ispitajmo njegov zakon transformacije:
(5.1.4)
∂
∂x0ν ∂
∂
=
= Λνµ 0ν .
µ
µ
0ν
∂x
∂x ∂x
∂x
(5.1.5)
Mnoˇze´ci prethodni izraz sa (Λ−1 )µσ dobijamo
∂
∂
= (Λ−1 )µσ µ .
0σ
∂x
∂x
Dakle, izvod po kontravarijantnoj komponenti vektora transformiˇse se kao kovarijantna komponenta ˇcetvorovektora pa ´cemo koristiti notaciju
∂µ =
Sliˇcno
∂µ =
∂
.
∂xµ
1 ∂
∂
=
, −∇
∂xµ
c ∂t
su komponente kontravarijantnog vektora.
Dalamberov operator (Dalamberijan) je definisan sa
1 ∂2
= g ∂µ ∂ν = 2 2 − 4 .
c ∂t
µν
Ovaj operator je skalar tj.
0 = .
Kontavarijantne komponente vektora v(x) = v µ (x)eµ se pri Lorencovim transformacijama transformiˇsu prema
v 0µ (x0 ) = Λµν v ν (x) .
(5.1.6)
Kovarijantne komponente se menjaju prema
vµ0 (x0 ) = (Λ−1 )νµ vν (x) .
(5.1.7)
Koordinte taˇcke u prostoru Minkovskog xµ odnosno xµ se isto ovako transformiˇsu. Ovo je
specifiˇcnost prostora Minkovskog, to ne vaˇzi generalno. Na sferi moˇzemo koristiti koordinate
θ, ϕ ali one ne ˇcine vektor.
Tenzor tipa (m, n) se pri Lorencovim transformacijama transformiˇse prema
T 0µ1 ...µm ν1 ...νn (x0 ) = Λµ1 ρ1 . . . Λµm ρm (Λ−1 )σ1 ν1 . . . (Λ−1 )
σn
ρ1 ...ρm
σ1 ...σn (x)
νn T
Kontravarijantni vektor je tenzor tipa (1, 0), a kovarijantni tipa (0, 1).
.
ˇ
5.2. CETVOROVEKTOR
GUSTINE STRUJE
67
Element zapremine prostora Minkovskog je d4 x = dx0 d3 x = dx0 dx1 dx2 dx3 . Za posmatraˇca
iz drugog inercijalnog sistema, ovaj element zapremine je d4 x0 = dx00 d3 x0 . Ova dva zapreminska
elemenata su povezana Jakobijanom:
∂x0 4
d4 x0 = d x .
∂x
Matriˇcni elementi Jakobijeve matrice su
ρ
∂(Λµρ xρ )
∂x0µ
µ ∂x
=
=
Λ
= Λµν .
ρ
∂xν
∂xν
∂xν
(5.1.8)
Kako je det Λ = ±1 to dobijamo d4 x0 = | det Λ|d4 x = d4 x. Dakle element zapremine u prostoru
Minkovskog je invarijanta.
5.2
ˇ
Cetvorovektor
gustine struje
Naelektrisanje tela je isto za sve posmatraˇce, tj. ono ne zavisi od toga da li se telo kre´ce
ili miruje. Ovaj rezultat je potvrdjen nizom eksperimenata. Svi elektroni u Svemiru imaju
isto naelektrisanje, nezavisno od njihovog relativnog kretanja prema posmatraˇcu. Za jednog
posmatraˇca u maloj zapremini d3 x oko taˇcke x u trenutku t nalazi se naelektrisanje dq =
ρ(x, t)d3 x, gde je ρ zapreminska gustina naelektrisanja. Za drugog inercijalnog posmatraˇca to
naelektrisanje je dq 0 = ρ0 (x0 , t0 )d3 x0 . Iz invarijantnosti naelektrisanja sledi
ρ0 (x0 , t0 )d3 x0 = ρ(x, t)d3 x .
(5.2.9)
Definiˇsimo veliˇcinu
dxµ
.
(5.2.10)
dt
Ispitajmo kako se ona transformiˇse pri Lorencovim transformacijama. Krenu´cemo od izraza za
ovu veliˇcinu u primovanom sistemu
j µ (t, x) = ρ(t, x)
j 0µ (t0 , x0 ) = ρ0 (t0 , x0 )
dx0µ
.
dt0
(5.2.11)
Primenom (5.2.9) imamo
ρ(t, x)d3 x µ dxν
Λν 0
d3 x0
dt
3
dx
= ρ(t, x) 3 0 0 Λµν dxν
d x dt
dxν
= Λµν ρ(t, x)
dt
= Λµν j ν (t, x) ,
j 0µ (t0 , x0 ) =
(5.2.12)
gde smo iskoristili invarijantnost elementa zapremine d4 x. Rezultat koji smo dobili znaˇci da su j µ
komponente jednog ˇcetvorovektora. To je tzv. ˇcetvorovektor gustine struje. Nulta komponenta
ˇ
CHAPTER 5. RELATIVISTICKA
ELEKTRODINAMIKA
68
ˇcetvorovektora gustine struje je j 0 = cρ, dok prostorne kompnente su komponente (tro-)vektora
gustine struje. Prema tome
j µ = (cρ, j = ρv) .
Gustina naelektrisanja i struje za posmatraˇca iz inercijalnog sistema S su ρ odnosno j, a za
posmatraˇca iz inercijalnog sistema S 0 su ρ0 odnosno j0 . Ako se sistem S 0 kre´ce duˇz x ose brzinom
v onda prema zakonu transformacije j 0µ = Λµν j ν sledi
 0 
 
cρ
cρ
γ
−βγ 0 0
 jx0  −βγ
  jx 
γ
0
0
 0=
  .
 jy   0
0
1 0  jy 
jz
0
0
0 1
jz0
Primer: Naelektrisanje q se kre´ce ravnomerno sa brzinom v = vex . U sistemu reference vezanom
za ovo naelektrisanje vektor gustine struje je
j 0µ = (cqδ (3) (r 0 ), j0 = 0)
Primenom Lorencovih transformacija pokazati da su komponente ˇcetvorovektora gustine struje u
laboratorijskom sistemu date sa
j µ = (cqδ (3) (r − vt), j = qvδ (3) (r − vt)) .
Jednaˇcinu kontinuiteta (1.5.28) moˇzemo da prepiˇsemo u obliku
∂µ j µ = 0 ,
iz kojeg je jasno da je ona kovarijantna, tj. vaˇzi u svim inercijalnim sistemima.
5.3
ˇ
Cetvorovektor
potencijala
Jednaˇcine za elektromagnetne potencijale u Lorencovoj kalibraciji su
4
ϕ
1 ∂2 ϕ = −µ0 cρ
c
c2 ∂t2 c
1 ∂2A
4A − 2 2 = −µ0 j .
c ∂t
−
Koriste´ci Dalamberov operator ove jednaˇcine imaju slede´ci oblik
ϕ
= µ0 cρ
c
A = µ0 j .
Uvode´ci
ϕ
Aµ = ( , A)
c
(5.3.13)
ˇ
ˇ
5.4. TENZOR JACINE
POLJA. ZAKON TRANSFORMACIJE JACINA
POLJA
69
prethodne jednaˇcine se mogu zapisati u formi
Aµ = µ0 j µ .
Kako je Dalamberov operator skalar, a j µ ˇcetvorovektor onda uvedena veliˇcina Aµ je takodje
ˇcetvorovektor. On se naziva ˇcetvorovektorom potencijala i pri Lorencovim transformacijama
menja se prema
A0µ (x0 ) = Λµν Aν (x) .
(5.3.14)
Potencijal u sistemu S je Aµ (x), dok je potencijal u
x−ose potencijali se menjaju prema
 ϕ0  
γ
−βγ
c
A0  −βγ
γ
 x = 
A0y   0
0
0
0
0
Az
odnosno
primovanom sistemu A0ν (x0 ). Pri bustu duˇz
0
0
1
0
 ϕ 
0
c
Ax 
0
  ,
0 Ay 
1
Az
Ax − v2 ϕ
ϕ − vAx
ϕ0 = q
, A0x = q c
, A0y = Ay , A0z = Az .
2
2
1 − vc2
1 − vc2
(5.3.15)
Lorencov kalibracioni uslov
1 ∂ϕ
+ divA = 0
c2 ∂t
zapisan u kovarijantnoj formi je ∂µ Aµ = 0. On ima isti oblik u svim inercijalnim sistemima, dakle
ako u jednom inercijalnom sistemu potencijali zadovoljavaju Lorencovu kalibraciju, ∂µ Aµ = 0
onda i u svakom drugom sistemu vaˇzi ∂µ0 A0µ = 0.
Skalarni i vektorski potencijal se pri gauge transformacijama menjaju prema potencijala
ϕ → ϕ + ∂Λ
∂t
A → A − ∇Λ ,
ˇsto moˇzemo da prepiˇsemo u kovarijantom obliku
Aµ → Aµ + ∂ µ Λ .
5.4
Tenzor jaˇ
cine polja. Zakon transformacije jaˇ
cina polja
Tenzor jaˇcine polja je definisan sa
F
µν
∂Aµ
∂Aν
−
= ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ .
=
∂xµ
∂xν
(5.4.16)
On je dva puta kontravarijantan tenzor. Ovo sledi iz zakona transformacije potencijala i parcijalnog izvoda. Pokazali smo da se potencijal Aµ = (ϕ/c, A) pri Lorencovim transformacijama
transformiˇse kao ˇcetvorovektor
A0µ (x0 = Λx) = Λµν Aν (x) .
ˇ
CHAPTER 5. RELATIVISTICKA
ELEKTRODINAMIKA
70
Zakon transformacije parcijalnog izvoda
∂ 0µ = Λµν ∂ ν
(5.4.17)
smo ranije pokazali. Dakle F µν je dva puta kontravarijantni tenzor jer se pri Lorencovim transformacijama transformiˇse prema
F 0µν (x0 = Λx) = Λµρ Λνσ F ρσ (x) .
(5.4.18)
Prethodno transformaciono pravilo moˇze biti zapisano u matriˇcnom obliku
F 0µν = (ΛF ΛT )µν .
(5.4.19)
Spuˇstanjem oba indeksa na F µν dobijamo
Fµν = gµρ gνσ F ρσ = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ,
(5.4.20)
ˇsto su dva puta kovarijantne komponente tenzora jaˇcine polja.
Iz definicije tenzora jaˇcine polja je jasno da je on antisimetriˇcan, Fµν = −Fνµ . Odredimo
komponente tenzora jaˇcine polja. Potraˇzimo prvo F0i :
F0i = ∂0 Ai − ∂i A0
1 ∂Ai 1 ∂ϕ
−
= −
c ∂t
c ∂xi
i
E
=
.
c
(5.4.21)
Sliˇcno je i
F12 = ∂1 A2 − ∂2 A1
∂A2 ∂A1
−
=
∂x1
∂x2
∂Ax ∂Ay
=
−
∂y
∂x
= −Bz .
Preostale komponente se sliˇcno nalaze pa je


Ey
Ex
Ez
0
c
c
c
− Ex
0
−Bz By 
c

 .
Fµν =  Ey
−c
Bz
0
−Bx 
− Ecz −By Bx
0
Analogno dobijamo

0
 Ex
c
F µν = 
 Ey
c
Ez
c

− Ecx − Ecy − Ecz
0
−Bz By 
 .
Bz
0
−Bx 
−By Bx
0
(5.4.22)
(5.4.23)
(5.4.24)
ˇ
ˇ
5.4. TENZOR JACINE
POLJA. ZAKON TRANSFORMACIJE JACINA
POLJA
71
Dakle komponente tenzora jaˇcine polja Fµν su Dekartove komponente vektora jaˇcine elektriˇcnog
polja i magnetne indukcije.
Sada ´cemo na´ci zakon transformacije elektriˇcog i magnetnog polja pri bustu duˇz x−ose.
Matrica busta je


γ
−βγ 0 0
−βγ
γ
0 0
 .
Λµν = 
 0
0
1 0
0
0
0 1
Iz (5.4.18) sledi
F 001 = Λ00 Λ11 F 01 + Λ01 Λ10 F 01
Ex
Ex
Ex
= −γ 2
+ β 2γ2
=−
c
c
c
(5.4.25)
pa je Ex0 = Ex . Dalje je
F 012 = Λ10 Λ22 F 02 + Λ11 Λ22 F 12
βγEy
=
− γBz
c
(5.4.26)
odakle je
Bz − v2 Ey
Bz0 = q c
.
v2
1 − c2
(5.4.27)
Sliˇcno se dobijaju i slede´ci zakoni transformacije
Ey0 =
Ey − vBz
q
,
2
1 − vc2
Bx0 = Bx ,
Ez + vBy
Ez0 = q
,
2
1 − vc2
By + v2 Ez
By0 = q c
.
2
1 − vc2
(5.4.28)
Prethodne formule se mogu generalisati za sluˇcaj proizvoljnog boosta. Neka se sistem S 0 kre´ce
brzinom v u odnosu na S. Vektore E i B ´cemo razloˇziti na dve komponente: paralelnu i
normalnu. Paralelne komponente polja su kolinearne sa vektorom brzinom v, dok su normalne
ortogonalne na brzinu. Zakon transformacije polja je
E0k = Ek ,
E0⊥ =
E⊥ + v × B
q
,
2
1 − vc2
B0k = Bk ,
B0⊥ =
B⊥ − c12 v × E
q
.
v2
1 − c2
(5.4.29)
ˇ
CHAPTER 5. RELATIVISTICKA
ELEKTRODINAMIKA
72
Zakoni transformacije polja se mogu lako dobiti primenom formule (5.4.19). Za boost duˇz
x− ose imamo

0 
0
E0
− Ecx − cy − Ecz
 Ex0

0
−Bz0 By0 
 c
 Ey0

 c
Bz0
0
−Bx0 
Ez0
−By0 Bx0
0
c



0 − Ecx − Ecy − Ecz
γ
−βγ 0 0
 Ex
−βγ
γ
0 0
0
−Bz By 
  Ec

=
y
 0
0
1 0  c
Bz
0
−Bx 
Ez
0
0
0 1
−By Bx
0
c


γ
−βγ 0 0
−βγ
γ
0 0
 .
×
 0
0
1 0
0
0
0 1
0
(5.4.30)
Odavde se ponovo dobija (5.4.29).
Za male brzine, v c iz (5.4.29) dobijamo zakone transformacije polja u nerelativistiˇckoj
aproksimaciji
E0 = E + v × B
1
B0 = B − 2 v × E .
c
5.5
Elektromagnetno polje naelektrisanja u uniformnom
kretanju
Neka se naelektrisanje q kre´ce konstantnom brzinom duˇz x− ose. Odredimo elektromagnetno
polje koje generiˇse ovo naelektrisanje u laboratorijskom sistemu S. Neka je S 0 sistem vezan za
naelektrisanje kao na slici 5.5. U tom sistemu postoji samo elektrostatiˇcko polje. Potencijali u
sistemu vezanom za naelektrisanje su
ϕ0 =
1 q
,
4π0 r0
A0 = 0 .
Potencijali u laboratorijskom sistemu se dobijaju iz
 
 0 

ϕ /c
γ βγ 0 0
ϕ/c
 Ax  βγ γ 0 0  A0x 
 .
 


 Ay  =  0
0 1 0  A0y 
0
0 0 1
Az
A0z
(5.5.31)
5.5. ELEKTROMAGNETNO POLJE NAELEKTRISANJA U UNIFORMNOM KRETANJU73
Figure 5.1:
Odavde je skalarni potencijal dat sa
ϕ =
=
=
ϕ0 + vA0x
q
2
1 − vc2
q
1
q
4π0 (x − vt)2 + (1 −
v2
)(y 2
c2
+ z2)
1 q
,
4π0 R∗
gde je
r
R∗ =
(x − vt)2 + (1 −
(5.5.32)
v2 2
)(y + z 2 ) .
c2
Dekartove komponente vektorskog potencijala su
v
1 v q
Ax = 2 ϕ =
, Ay = Az = 0 .
(5.5.33)
c
4π0 c2 R∗
Koriste´ci izraze za skalarni i vektorski potencijal lako se nalazi jaˇcina elektriˇcnog polja
∂A
− ∇ϕ
∂t
2
q 1 − vc2
=
R,
4π0 (R∗ )3
E = −
(5.5.34)
gde je R relativan radijus vektor u sistemu S izmedju taˇcke u kojoj se nalazi naelektrisanje i
taˇcke u kojoj se odredjuje polje, tj. R = (x − vt, y, z). Lako se vidi da je
x − vt = R cos θ
p
y 2 + z 2 = R sin θ .
(5.5.35)
74
ˇ
CHAPTER 5. RELATIVISTICKA
ELEKTRODINAMIKA
Figure 5.2:
Ugao θ je ugao izmedju vektora R i ex u sistemu S. Lako se vidi da je
q
E=
4π0
1−
1−
v2
c2
v2
c2
2
3/2
sin θ
R
.
R3
(5.5.36)
Magnetna indukcija je rotor vektorskog potencijala. Rezultat je
B=
1
v×E .
c2
(5.5.37)
Na slici 5.5 prikazana je raspodela jaˇcine elektriˇcnog polja u razliˇcitim pravcima. Jaˇcina elektriˇcnog polja ima minimum za uglove θ = 0 i θ = π a maksimum za θ = π/2. Lako se vidi da za
male brzine, v c (nerelativistiˇcka aproksomacija) jaˇcina elektriˇcnog polja je data sa
E=
q R
,
4π0 R3
(5.5.38)
dok je magnetna indukcija
µ0 qv × R
.
(5.5.39)
4π R3
Ovaj izraz direktno daje izraz za magnetnu indukciju stacionarne struje (2.2.24). U ultrareletivistiˇckoj aproksimaciji (v ≈ c) elektriˇcno polje je dato sa
B=
2
q 1 − vc2 R
E=
.
4π0 cos3 θ R3
(5.5.40)
Ovo polje je skoncentrisano u transverzalnom pravcu, θ ≈ π/2, ˇsto je graficki prikazano na slici
5.5.
ˇ
5.6. NAELEKTRISANA CESTICA
U ELEKTROMAGNETNOM POLJU
75
Figure 5.3:
5.6
Naelektrisana ˇ
cestica u elektromagnetnom polju
Dejstvo sistema sa konaˇcnim brojem stepeni slobode je
Z tf
S[qi ] =
L(qi , q˙i , t)dt ,
(5.6.41)
ti
gde su q1 , . . . , qn generalisane koordinate, a q˙1 , . . . , q˙n generalisane brzine. Sistem od neke poˇcetne
konfiguracije u poˇcetnom trenutku ti do finalne konfiguracije u tf moˇze da evoluira na beskonaˇcno
puno naˇcina. Prava trajektorija sistema je ona za koju je dejstvo stacionarno, tj.
δS = 0 .
(5.6.42)
Ovo je Hamiltonov princip. Lako se moˇze pokazati da uslov stacionarnosti dejstva daje Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja
d ∂L ∂L
−
=0.
(5.6.43)
dt ∂ q˙i
∂qi
Za sisteme sa potencijalnim silama i idealnom holonomnim vezama lagranˇzijan je dat sa
L = L(q1 , . . . qn , q˙1 . . . q˙n ) = T − U ,
gde je n broj stepeni slobode sistema, dok su T i U kinetiˇcka, odnosno potencijalna energija
sistema.
Razmatra´cemo kretanje naelektrisane ˇcestice u zadatom elektromagnetnom polju Aµ =
ˇ
Aµ (x). Cesticu
opisujemo trajektorijom xµ = xµ (τ ) u prostoru Minkovskog. Dejstvo je
Z
S = (−mcds − qAµ dxµ ) + Sf .
(5.6.44)
Prvi ˇclan je dejstvo za slobodnu relativistiˇcku ˇcesticu, dok je drugi ˇclan interakcija naelektrisanja
sa elektromagnetnim poljem. Kako je polje zadato tre´ci ˇclan, dejstvo slobodnog polja, nas ne
ˇ
CHAPTER 5. RELATIVISTICKA
ELEKTRODINAMIKA
76
interesuje. Dejstvo (5.6.44) je skalar u odnosu na Lorencove transformacije. Interval izmedju
infinitezimalno bliskih taˇcaka xµ i xµ + dxµ je
r
v2
ds = cdτ = c 1 − 2 dt .
(5.6.45)
c
Kako je
Aµ dxµ = (ϕ − A · v)dt
r
v2
2
S=
dt − mc 1 − 2 − qϕ + qA · v .
(5.6.46)
c
ti
Izraz u zagradi prethodnog izraza je oˇcigledno lagranˇzijan
r
v2
L = −mc2 1 − 2 − qϕ + qA · v
(5.6.47)
c
i on nije skalar.
Da bi naˇsli hamiltonijan za ˇcesticu u elektromagnetnom polju prvo odredjujemo generalisani
impuls
∂L
mv
P=
=q
+ qA = p + qA ,
(5.6.48)
∂v
v2
1−
to imamo
Z
tf
c2
gde je p vektor impulsa slobodne relativistiˇcke ˇcestice. Generalisani impuls je zbir mehaniˇckog
impulsa i vektorskog potencijala. Hamiltonijan je
H = v·P−L
mc2
+ qϕ
= q
2
1 − vc2
p
=
m2 c4 + c2 (P − qA)2 + qϕ .
(5.6.49)
U poslednjem koraku smo eliminisali brzine preko impulsa jer je hamiltonijan funkcija koordinata
i impulsa. U nerelativistiˇckom limesu Hamiltonijan postaje
H=
(P − qA)2
+ qϕ .
2m
(5.6.50)
ˇ
Sredingerova
jednaˇcina za ˇcesticu u elektromagnetnom polju se onda dobija lako. Potrebno je
da generalisani impuls u hamiltonijanu zamenimo sa −i~∇. Tako dobijamo
i
∂ψ h (−i~∇ − qA)2
=
+ qϕ ψ .
i~
∂t
2m
Nadjimo Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja ˇcestice. Iz (5.6.47) sledi3
∂L
= ∇L = −q∇ϕ + q∇(v · A)
∂r
v
= −q∇ϕ + q(v × rotA + (v · ∇)A)
3
∇(a · b) = (a · ∇)b + (b · ∇)a + a × rotb + b × rota
ˇ
5.7. MANIFESTNO KOVARIJANTNO IZVODJENJE JEDNACINA
KRETANJA
i
∂L
= p + qA
∂v
77
(5.6.51)
pa jednaˇcina kretanja
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂v
∂r
(5.6.52)
je
d
(p + qA) = −q∇ϕ + qv × B + q(v · ∇)A .
dt
(5.6.53)
dA
∂A
=
+ (v · ∇)A
dt
∂t
(5.6.54)
Kako je
to iz (5.6.53) sledi
dp
= q(E + v × B) .
(5.6.55)
dt
Dobili smo oˇcekivani rezultat, na ˇcesticu deluje Lorencova sila. Lako se moˇze pokazati da je
d mc2 q
= v · F = qv · E .
dt
v2
1−
(5.6.56)
c2
Jednaˇcine kretanja, (5.6.55) i (5.6.56) govore o promeni impulsa i energije ˇcestice. One su
povezane, jer su i ove fiziˇcke veliˇcine povezane. Medjutim, na osnovu oblika ovih jednaˇcina teˇsko
nam je da zakljuˇcimo da li su one kovarijantne ili nisu. One jesu kovarijantne, tj. imaju isti
oblik u svim inercijalnim sistemima. To ´cemo videti u narednoj lekciji.
5.7
Manifestno kovarijantno izvodjenje jednaˇ
cina kretanja
Kao ˇsto smo rekli trajektorija relativistiˇcke ˇcestice je xµ = xµ (τ ), gde smo uzeli da je τ sopstveno
vreme. Trajektorija je kriva u prostoru Minkovskog parametrizovana sa τ . Interval ds izmedju
taˇcaka xµ i xµ + dxµ je
p
ds =
gµν dxµ dxν
r
dxµ dxν
=
dτ .
gµν
(5.7.57)
dτ dτ
Dejstvo za slobodnu ˇcesticu koja se kre´ce od taˇcke (dogadjaja) 1 do druge taˇcke (dogadjaj) 2 je
Z
Z
2
S = −mc
ds = −mc
1
τ2
r
gµν
τ1
dxµ dxν
dτ .
dτ dτ
(5.7.58)
ˇ
CHAPTER 5. RELATIVISTICKA
ELEKTRODINAMIKA
78
Ono je proporcinalno duˇzini rastojanja izmedju taˇcaka (t1 , x1 ) i (t2 , x2 ). Ovo dejstvo je reparametrizaciono invarijantno, tj. umesto parametra τ moˇze se uzeti bilo koji drugi parametar4 τ 0 = τ 0 (τ )
ali uz uslov
τ 0 (τ1 ) = τ1 , τ 0 (τ2 ) = τ2 .
Dejstvo relativistiˇcke ˇcestice u spoljnem polju (5.6.44) postaje
Z τ2 h r
dxµ dxν
dxµ i
mc gµν
S = −
+ qAµ
dτ
dτ dτ
dτ
τ1
Z τ2 h
i
p
= −
mc gµν uµ uν + qAµ uµ dτ ,
τ1
gde smo uveli ˇcetvorobrzinu ˇcestice uµ . Izraz
˜ µ (τ ), uµ (τ )) = −mc
L(x
p
gµν uµ uν − qAµ uµ
(5.7.59)
je Lagranˇzijan, samo za razliku od (5.6.47) ovaj lagranˇzijan je Lorencov skalar jer je za razliku
od laboratorijskog vremena sopstveno vreme skalar. Jednaˇcine kretanja ˇcestice
˜
˜
∂L
d ∂L
−
=0
dτ ∂uα
∂xα
(5.7.60)
dobijene iz ovog Lagranˇzijana su manifestno kovarijantne. Zamenom
˜
∂L
mc
=
−
uα − qAα
√
∂uα
gµν uµ uν
= −muα − qAα
˜
∂Aµ
∂L
=
−q
uµ
∂xα
∂xα
u jednaˇcine kretanja dobijamo
m
∂A
duα
∂Aα µ
µ
=q
−
u
dτ
∂xα
∂xµ
(5.7.61)
duα
= qFαµ uµ ,
dτ
(5.7.62)
∂Aµ
∂Aν
−
µ
∂x
∂xν
(5.7.63)
ˇsto se moˇze prepisati u obliku
m
gde je
Fµν =
4
Izborom x0 = cτ ova simetrija se fiksira. Dejstvo tako postaje
Z tf r
v2
2
dt 1 − 2 .
S = −mc
c
ti
Dobli smo tzv. gauge fiksirano dejstvo koje nema reparametrizacionu simetriju.
ˇ
5.8. KOVARIJANTNOST MAKSVELOVIH JEDNACINA
79
ˇ
tenzor jaˇcine polja. Cetvoroimpusla
ˇcestice je
dt
dx E
p = mu = mc , m
=
, p
dτ
dτ
c
µ
µ
gde je E energija ˇcestice, a p njen impuls. Jednaˇcine kretanja (5.7.62) postaju
dpµ
= qF µν uν .
dτ
(5.7.64)
Potraˇzimo sada µ = 0 jednaˇcinu (5.7.64):
dp0
= qF 0i ui
dτ
E i dxi = q −
−
c
dτ
odnosno
dE
= qE · v .
dt
(5.7.65)
(5.7.66)
Za µ = 1 imamo
dp1
10
12
13
= q F u0 + F u2 + F u 3
dτ
dt
dx2
dx3 = q Ex
+ Bz
− By
dτ
dτ
dτ
= q Ex + vy Bz − vz By .
(5.7.67)
Lako se zakljuˇcuje da za µ = i = 1, 2, 3 imamo
dp
= q(E + v × B) .
dt
(5.7.68)
Dakle, jednaˇcine kretanja (5.7.66), (5.7.68) su kovarijantne, tj. vaˇze u svim inercijalnim sistemima reference. Njihova kovarijantnost je oˇcigledna iz oblika (5.7.64). Jednaˇcine kretanja
(5.7.64) su manifestno kovarijantne. Kovarijantnost jednaˇcina (5.7.66), (5.7.68) nije kovarijantnost koju vidimo odmah, ’na prvi pogled’, iako one jesu kovarijantne.
5.8
Kovarijantnost Maksvelovih jednaˇ
cina
U prethodnoj lekciji rekli smo da je interakcija naelektrisanja q sa elektromagnetnim poljem
opisana interakcionim ˇclanom u dejstvu
Z
Sint = −q Aµ (x)dxµ .
ˇ
CHAPTER 5. RELATIVISTICKA
ELEKTRODINAMIKA
80
Oˇcigledno je da u sluˇcaju sistema od N naelektrisanih ˇcestica ovaj ˇclan postaje
Sint = −
N Z
X
qa Aµ dxµa .
(5.8.69)
a=1
Indeks a prebrojava ˇcestice: qa je naelektrisanje ˇcestice indeksa a, dxµa je diferencijal na njenoj
trajektoriji. Interakcioni ˇclan ´cemo transformisati na slede´ci naˇcin 5
X Z dxia 0
Sint = −
qa
cA (xa ) + Ai (xa )
dt
dt
a
Z
Z
X
3
= − dt d r
qa δ (3) (r − ra (t))cA0 (r, t)
+
X
a
qa vai Ai (r, t)δ (3) (r
− ra (t))
Z
1
4
i
= −
d x cρ(r, t)A0 (r, t) + j (r, t)Ai (r, t)
c
Z
Z
1
1
4
µ
= −
d xj Aµ =
d4 xLint .
c
c
a
(5.8.70)
ˇ
Clan
u lagranˇzijanu koji opisuje interakciju ima oblik: gustina struje puta potencijal.
Dejstvo za sistem ˇcestica i elektromagnetno polje koje one generiˇsu i u kome se kre´cu ima
oblik
S = Sc + Sint + Sp .
(5.8.71)
Poslednji ˇclan u dejstvu, Sp je dejstvo elektromagnetnog polja. Dato je sa
Z
1
Sp = −
d4 xFµν F µν .
4µ0 c
(5.8.72)
Da bi jednaˇcine kretanja bile kovarijantne dejstvo treba da bude Lorencov skalar. Jednaˇcine
kretanja su linearne po potencijalima ˇsto znaˇci da je dejstvo kvadratno po potencijalima.
U opˇstem sluˇcaju dejstvo je oblika
Z t2
Z t2 Z
Z 4
dx
3
S=
dtL =
dt d xL =
L,
t1
t1
Ω c
gde je Lagranˇzijan
Z
L=
d3 xL .
Veliˇcina L je gustina Lagranˇzijana.
Neka je
φr = φr (x) ≡ φr,x (t)
5
Laboratorijsko vreme je isto za sve ˇcestice.
(5.8.73)
ˇ
5.8. KOVARIJANTNOST MAKSVELOVIH JEDNACINA
81
skup polja. Indeks r prebrojava polja. Iz prethodnog izraza vidimo da je polje sistem sa
beskonaˇcno puno stepeni slobode. Gustina Lagranˇzijana je funkcija polja i izvoda polja
L = L(φr (x), ∂µ φr (x)) .
(5.8.74)
Jednaˇcine kretanja za polja se dobijaju primenom Hamiltonovog principa. Pri varijaciji polja
φr (x) → φ0r (x) = φr (x) + δφr (x)
infinitezimalna promena dejstva (tj. varijacija dejstva) je
Z
cδS =
d4 x L(φ0r (x), ∂µ φ0r (x)) − L(φr (x), ∂µ φr (x))
ZΩ
∂L
∂L
=
d4 x
δφr +
δ(∂µ φr ) .
∂φr
∂(∂µ φr )
Ω
Dalje je
δ(∂µ φr ) = ∂µ φ0r (x) − ∂µ φr (x) = ∂µ φr (x) ,
(5.8.75)
(5.8.76)
(5.8.77)
tj. varijacija i parcijalni izvod komutiraju jer pri variranju koordinate su nepromenjene. Primenom ovog rezultata i parcijalne integracije i Gausove teoreme imamo
Z
∂L
∂L ∂ ∂L
cδS =
d4 x
δφr + µ
δφr − ∂µ
δφr
∂φr
∂x ∂(∂µ φr )
∂(∂µ φr )
Ω
I
Z
∂L
∂L ∂L
4
δφr +
=
dx
− ∂µ
δφr dΣµ
∂φr
∂(∂µ φr )
∂Ω ∂(∂µ φr )
Ω
Z
∂L ∂L
δφr .
− ∂µ
(5.8.78)
=
d4 x
∂φr
∂(∂µ φr )
Ω
Povrˇsinski integral je nula jer je varijacija polja na granici oblasti integracije nula. Iz Hamiltonovog
principa δS = 0 slede Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja za polja
∂L ∂L
− ∂µ
=0.
(5.8.79)
∂φr
∂(∂µ φr )
Prepiˇsimo joˇs jednom dejstvo (5.8.71)
Z
Z
Z
X
1
1
4
µ
S=−
ma c dsa −
d xj Aµ −
d4 xFµν F µν .
c
4µ
c
0
a
(5.8.80)
Gustina Lagranˇzijana je
1
Fµν F µν ,
(5.8.81)
4µ0
gustina lagranˇzijana ˇcestica. Jednaˇcine kretanja za potencijale elektromagL = Lces − Aµ jµ −
gde je prvi ˇclan Lces
netnog polja su
∂α
∂L ∂L
−
=0.
∂(∂α Aβ )
∂Aβ
(5.8.82)
ˇ
CHAPTER 5. RELATIVISTICKA
ELEKTRODINAMIKA
82
Da bismo sastavili jednaˇcine kretanja za potencijale, moramo prvo odrediti
∂L
= −j β
∂Aβ
(5.8.83)
i
∂L
1 µν ∂Fµν
= −
F
∂(∂α Aβ )
2µ0
∂(∂α Aβ )
1 µν α β
= −
F (δµ δν − δµβ δνα )
2µ0
1
= −
(F αβ − F βα )
2µ0
1
= − F αβ .
µ0
Jednaˇcine kretanja su
∂α F αβ = µ0 j β .
(5.8.84)
Dobili smo ˇcetiri jednaˇcine. Za β = 0 jednaˇcina je ∂α F α0 = µ0 j 0 odnosno
1
∂i E i = µ0 cρ
c
ˇsto je prva Maksvelova jednaˇcina
divE =
ρ
.
0
(5.8.85)
(5.8.86)
Za β = 1 imamo
∂0 F 01 + ∂2 F 21 + ∂3 F 31 = µ0 j 1
(5.8.87)
odnosno
1 ∂Ex
,
(5.8.88)
c2 ∂t
ˇsto je x komponenta ˇcetvrte Maksvelove jednaˇcine. Jasno je da β = 2, 3 su y odnosno z komponenta iste jednaˇcine. Dakle, (5.8.84) su Maksvelove jednaˇcine sa izvorima; dobili smo ih
variranjem dejstva.
Uvrˇstavanjem izraza za jaˇcinu polja u (5.8.84) dobijamo
(rotB)x = µ0 jx +
∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = µ0 j ν
(5.8.89)
Aν − ∂ ν ∂µ Aµ = µ0 j ν
(5.8.90)
odnosno
ˇ su jednaˇcine za potencijale koje smo izveli ranije. U Lorencovoj kalibraciji one su
To
Aν = µ0 j ν .
(5.8.91)
Iz definicije tenzora jaˇcine polja sledi da je slede´ci identitet
∂µ Fρσ + ∂ρ Fσµ + ∂σ Fµρ = 0
(5.8.92)
ˇ
5.8. KOVARIJANTNOST MAKSVELOVIH JEDNACINA
83
zadovoljen. Ovo se lako proverava:
∂µ (∂ρ Aσ − ∂σ Aρ ) + ∂ρ (∂σ Aµ − ∂µ Aσ ) + ∂σ (∂ρ Aµ − ∂µ Aσ ) = 0 .
(5.8.93)
Iz prethodnog identiteta slede druga i tre´ca Maksvelova jednaˇcina. Npr.
∂1 F23 + ∂2 F31 + ∂3 F12 = 0
(5.8.94)
divB = 0 .
(5.8.95)
je
Dakle, bezizvorne jednaˇcine se ne dobijaju variranjem dejstva (5.8.80). One su kinematiˇcki
uslovi.
ˇ
Simbol Levi–Civita
µνρσ je totalno antisimetriˇcan pseudotenzor ˇcetvrtog ranga6 . Uze´cemo da
je 0123 = 1; svaka transpozicija indeksa daje jedan znak minus. Npr. 1023 = 1230 = −1, 2301 =
ˇ
1 . Ukoliko su dva indeksa ista onda je Levi-Civita
simbol jednak nuli; npr. 0012 = 0 Simbol
ˇ
Levi–Civita
sa donjim indeksima se dobija spuˇstanjem indeksa pomo´cu metriˇckog tenzora. Vaˇzno
je uoˇciti da je 0123 = −1.
Jednaˇcine (5.8.92) moˇzemo prepiati u formi
µνρσ ∂ν Fρσ = 0 .
(5.8.96)
Tenzor koji se pojavljuje na levoj strani gornje jednaˇcine
1
F˜ µν = εµνρσ Fρσ
2
(5.8.97)
je dualni tenzor jaˇcine polja.
Videli smo da je veliˇcina Fµν F µν invarijanta. Lako se vidi da je
1
1
I1 = Fµν F µν = B2 − 2 E2 .
2
c
Definisa´cemo joˇs jednu invarijantu elektromagnetnog polja
c
I2 = − µνρσ Fµν Fρσ = E · B .
8
Nikako ne propustite da ovo pokaˇzete. Iz invarijantnosti E · B na Lorencove transformacije sledi
da ako su elektriˇcno i magnetno polje ortogonalni u jednom sistemu onda su oni ortogonalni u
svim inercijalnim sistemima.
6
Pri transformaciji koordinata xµ → x0µ = x0µ (x0 , x1 , x2 , x3 ) pseudotenzor Tνµ se transformiˇse prema
Tν0µ =
J ∂x0µ ∂xβ α
T ,
|J| ∂xα ∂x0ν β
gde za razliku od obiˇcnog tenzorskog zakona transformacije figuriˇse ekstra faktor koji je znak Jakobijana. Tenzori
ˇ
sa viˇse indeksa se transformiˇsu analogno. Pri prostornoj inverziji znak jakobijana je − pa se Levi Civita
simbol
transformiˇse prema
ε0µνρσ = εµνρσ ,
tj. isti je i u levom i u desnom koordinatnom sistemu.
ˇ
CHAPTER 5. RELATIVISTICKA
ELEKTRODINAMIKA
84
5.9
Invarijantnost Maksvelovih jednaˇ
cina na prostornu i
vremensku inverziju
Pod relativistiˇckom kovarijantnoˇs´cu neke teorije podrazumeva se njena kovarijantnost ne na
celu Lorencovu grupu, ve´c samo na Lorencove transformacije koje su povezane sa jediniˇcnom
transformacijom. Ove Lorencove transformascije zadovoljavaju slede´ca dva uslova
det Λ = 1, Λ00 ≥ 1
(5.9.98)
i nazivaju se pravim ortohronim Lorencovim transformacijama. Prave ortohrone Lorencove
transformacije ˇcine podgrupu cele Lorencove grupe koja ne sadrˇzi inverzije, ve´c kao ˇsto smo rekli
samo one Lorencove transformacije povezane sa jedinicom, a to su rotacije i bustovi.
Prostorna inverzija je definisana sa
t → t0 = t, r → r 0 = −r .
(5.9.99)
Matrica ove transformacije je
Λµν


1 0
0
0
0 −1 0
0

=
0 0 −1 0  .
0 0
0 −1
Ona je Lorencova transformacija jer zadovoljava uslov ΛT gΛ = g. Ova transformacija nije
povezana neprekidnom transformacijom sa jedinicom. Prostorna inverzija je diskretna transformacija. Pri prostornoj inverziji brzina menja znak
dr
dr 0
dr
0
v=
→v =
= − = −v .
dt
dt
dt
(5.9.100)
Vektori koji pri prostornoj inverziji menjaju znak nazivaju se pravim vektorima. Sliˇcno se vidi
da ubrzanje menja znak pri prostornoj inverziji, pa je i ono pravi vektor. Iz F = ma sledi da i
sila menja znak pri prostornoj inverziji. Iz izraza za Lorencovu silu
F = q(E + v × B)
sledi da pri prostornoj inverziji elektriˇcno polje menja znak (pravi vektor) a magnetno polje ne
menja znak. Magnetna indukcija je primer aksijalnog ili pseudo vektora, jer ne menja znak pri
inverziji prostora. Dakle:
E 0 (r 0 = −r, t0 = t) = −E(r, t)
B 0 (r 0 = −r, t0 = t) = B(r, t) .
(5.9.101)
R
Sa druge strane iz invarijantnosti naelektrisanja q = d3 rρ(r, t) na prostornu inverziju sledi
zakon transformacije gustine narelektrisanja
ρ0 (r 0 = −r, t0 = t) = ρ(r, t) .
(5.9.102)
ˇ
5.9. INVARIJANTNOST MAKSVELOVIH JEDNACINA
NA PROSTORNU I VREMENSKU INVERZIJU85
Vektor gustine struje j = ρv menja znak pri prostornoj inverziji
j0 (r 0 = −r, t0 = t) = −j(r, t) .
(5.9.103)
Sada je lako pokazati da su Maksvelove jednaˇcine invarijantne pri prostornoj inverziji. Npr. ako
podjemo od
∂B0 (r 0 , t0 )
(5.9.104)
rot0 E0 (r 0 , t0 ) = −
∂t0
dobi´cemo
∂B
rotE = −
.
(5.9.105)
∂t
Tenzori i pseudotenzori se na isti naˇcin transformiˇsu pri rotacijama. Razlika nastaje zbog transformacionih svojstava pri refleksijama odnosno inverziji prostora. Tenzor koji ima N indeksa
zva´cemo pravim tenzorom ako pri prostornoj refleksiji se transformiˇse sa faktorom (−1)N . Sa
druge strane ako se transformiˇse sa faktorom −(−1)N zva´cemo ga pseudotenzorom. Ve´c smo
rekli da su elektriˇcno odnosno magnetno polje primeri pravog vektora, odnosno pseudovektora.
ˇ
Simbol Levi–Civita
pri prostornoj inverziji transformiˇse se prema
ε0ijk = −(−δim )(−δjn )(−δkp )εmnp = εijk ,
(5.9.106)
pa je on takodje pseudotenzor.
Vremenska inverzija je definisana sa
t → t0 = −t, r → r 0 = r .
Matrica ove transformacije je
Λµν

−1
0
=
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
(5.9.107)

0
0
 .
0
1
Ona je Lorencova transformacija jer zadovoljava uslov ΛT gΛ = g, ali kao i prostorna inverzija
nije povezana sa jediniˇcnom transformacijom. Pri vremenskoj inverziji brzina menja znak
v=
dr
dr
dr
→ v 0 = 0 = − = −v .
dt
dt
dt
(5.9.108)
Sliˇcno se vidi da ubrzanje ne menja znak pri vremenskoj inverziji. Iz F = ma sledi da i sila ne
menja znak pri vremenskoj inverziji. Iz izraza za Lorencovu silu
F = q(E + v × B)
sledi da pri vremenskoj inverziji elektriˇcno polje ne menja znak a magnetno polje menja znak.
Dakle:
E 0 (r 0 = r, t0 = −t) = E(r, t)
B 0 (r 0 = r, t0 = −t) = −B(r, t) .
(5.9.109)
ˇ
CHAPTER 5. RELATIVISTICKA
ELEKTRODINAMIKA
86
Zakon transformacije zapreminske gustine naelektrisanja i struje pri vremenskoj inverziji je
ρ0 (r 0 = r, t0 = −t) = ρ(r, t)
j 0 (r 0 = r, t0 = −t) = −j(r, t) .
(5.9.110)
Pokaˇzimo da je (2.6.75) invarijantna na vremensku inverziju. Iz
rot0 (E 0 (r, −t)) = −
∂(B0 (r, −t))
∂t0
(5.9.111)
sledi
∂B
.
(5.9.112)
∂t
Sliˇ
no se pokazuje i da su preostale tri Maksvelove jednaˇcine invarijantne na vremensku inverziju.
rotE = −
5.10
Kovarijantnost Maksvel-Lorencovih jednaˇ
cina
Zapreminska gustina naelektrisanja i struje koje potiˇcu od vezanih naelektrisanja ˇcine ˇcetvorovektor
µ
jvez
= (cρvez , jvez ) = (−cdivP, rotM +
∂P
).
∂t
(5.10.113)
To je ˇcetvorovektor gustine struje vezanih naelektrisanja. Koriste´ci ovaj ˇcetvorovektor prvu i
poslednju Maksvel–Lorencovu jednaˇcinu moˇzemo prepisati u obliku
ν
∂µ F µν = µ0 (j ν + jvez
),
(5.10.114)
gde je jν ˇcetvorovektor gustine struje eksternih i slobodnih naelektrisanja. Uvedimo tenzor Mµν
sa


0 −cPx −cPy −cPz
cPx
0
−Mz My 
 .
Mµν = µ0 
(5.10.115)
cPy Mz
0
−Mx 
cPz −My Mx
0
Lako se vidi da vaˇzi
µ0 jνvez = ∂ µ Mµν .
(5.10.116)
Poslednja relacija potvrdjuje da je Mµν tenzor drugog reda. Iz (5.10.114) sledi
∂µ (F µν − M µν ) = µ0 j ν
(5.10.117)
∂µ H µν = µ0 j ν
(5.10.118)
odnosno
gde je

Dy
Dz
Dx
0
ε0 c
ε0 c
ε0 c
− Dx
0
−µ0 Hz µ0 Hy 


=  εD0yc
 .
− ε0 c µ0 Hz
0
−µ0 Hx 
− εD0zc −µ0 Hy µ0 Hx
0

Hµν
(5.10.119)
ˇ
5.10. KOVARIJANTNOST MAKSVEL-LORENCOVIH JEDNACINA
87
Jednaˇcine (5.10.118) su kovarijantni zapis prve i ˇcetvrte Maksvel– Lorencove jednaˇcine. Druga
i tre´ca jednaˇcina u kovarijantnom obliku su date sa (5.8.92). Iz zakona transformacije tenzora
M µν lako se nalaze zakoni transformacije polarizacije i magnetizacije pri prelasku iz sistema S
u sistem S 0 koji se kre´ce konstantnom brzinom v
P0k
P0⊥
= Pk ,
M0k = Mk ,
P⊥ − c12 v × M
q
=
,
2
1 − vc2
M0⊥ =
M⊥ + v × P
q
.
2
1 − vc2
(5.10.120)
Analogno, zakon transformacije H µν daje zakone trensformacije
D0k = Dk ,
D0⊥ =
D⊥ + c12 v × H
q
,
2
1 − vc2
H0k = Hk ,
H0⊥ =
H⊥ − v × D
q
.
v2
1 − c2
(5.10.121)
Nadjimo supstancijalne jednaˇcine za dielektrik bez disperzije koji se kre´ce stalnom brzinom
v. Za dielektrik ´cemo vezati primovan sistem, i sve veliˇcine u ovom sistemu obeleˇzi´cemo sa
primom. U sistemu mirovanja dielektrika je
D0 = ε0 εE0
B0 = µ0 µB0 .
(5.10.122)
Primenom transformacionih zakona (5.10.121) i (5.4.29) moˇzemo u gornjim jednaˇcinama eliminisati primovane veliˇcine preko neprimovanih i tako na´ci supstancijalne jednaˇcine u laboratorijskom sistemu. Konaˇcno se dobijaju slede´ce relacije
1
(v × H) = ε0 ε(E + v × B)
c2
1
B − 2 (v × E) = µ0 µ(H − v × D) .
c
D+
(5.10.123)
Ove realcije su poznate pod imenom Minkovskijeve relacije, jer ih je on prvi izveo. Pri izvodjenju
ovih relacija pretpostavili smo da se sredina kre´ce stalnom brzinom. Medjutim, ove relacije vaˇze
i kad to nije sluˇcaj. Moˇzemo ih primenjivati lokalno. Razliˇciti deli´ci sredine se kre´cu razliˇcitim
brzinama, ali za svaki uoˇceni deli´c moˇzemo pre´ci u sistem u kome on trenutno miruje i koji
je inercijalan u infinitezimalno malom vremenskom intervalu. Ako je sredina provodna i ako u
sistemu vezanom za nju vaˇzi Omov zakon j0 = σE0 onda se lako dobija da u laboratorijskom
sistemu vaˇzi
E + v × B v 2 σEk
− 2q
+ ρv .
(5.10.124)
j=σ q
c
v2
v2
1−
1−
c2
c2
ˇ
CHAPTER 5. RELATIVISTICKA
ELEKTRODINAMIKA
88
Zadatak: Dugaˇcak valjak radijusa R napravljen je od materilala permanentne polarizacije.
Vektor polarizacija u valjku je data sa P = aρeρ gde je a konstanta.
a) Na´ci raspodelu vezanih naelektrisanja pa na osnovu toga odrediti raspodelu vezanih struja
ako valjak rotira oko ose simetrije konstantnom ugaonom brzinom ω = ωez , pri ˇcemu je ωR c.
b) Na´ci gustinu vezanih struja primenom zakona transformacije (5.10.120)
c) odrediti B
Reˇsenje: a)Iz P = aρeρ sledi ρvez = −divP = −2a. Na omotaˇcu valjka za posmatraˇca za
koga uoˇceni deli´c na obodu valjka miruje, normalna komponenta polarizacije trpi skok koji daje
vezana povrˇsinska naelektrisanja σvez = aR. Odavde je
jvez = ρvez (ω × ρ) = −2aωρeϕ
ivez = σvez Rωeϕ = aR2 ωeϕ .
(5.10.125)
b)Iz zakona transformacije polarizacije i magnetizacije sledi da je magnetizacija u laboratorijskom sistemu
Mlab = −v × P = aωρ2 ez .
(5.10.126)
a polarizacija Plab = P. Gustina struje je onda
jvez = rotMlab +
∂Plab
∂t
odakle se lako nalazi
jvez = −2aωρeϕ .
Iz graniˇcnog uslova za skok tangencijalne komponente magnetizacije dobija se ivez . Amperova
teorema
I
Z
B · dl = µ0 jvez · dS
daje
B = µ0 aωρ2 ez
unutar valjka. Smislite joˇs neki naˇcin da nadjete B, npr. krenite od izraza za cirkulaciju H.
5.11
Integralni oblik Maksvel-Lorencovih jednaˇ
cina
Integracija prve Maksvel–Lorencove jednaˇcine (3.1.33) po zapremini V daje
Z
Z
3
divDd r =
ρd3 r .
V
Primenom Gausove teoreme dobijamo
I
Z
D · dS =
∂V
(5.11.127)
V
ρd3 r ,
(5.11.128)
V
ˇsto je integralni oblik prve Maksvel-Lorencove jednaˇcine. Fluks vektora elektriˇcne indukcije kroz
zatvorenu povrˇsinu jednak je ukupnom makroskopskom i spolja unetom naelektrisanju koje se
ˇ
5.11. INTEGRALNI OBLIK MAKSVEL-LORENCOVIH JEDNACINA
89
nalazi u zapremini ˇcija je granica zatvorena povrˇsina. Vektor elektriˇcne indukcije D ne vidi
polarizaciono naelektrisanje.
Sliˇcno, iz druge jednaˇcine (3.1.34) sledi
I
B · dS = 0 .
(5.11.129)
S
Fluks vektora magnetne indukcije kroz ma koju zatvorenu povrˇsinu je nula.
Integracijom Faradejevog zakona (3.1.35) po povrˇsini S dobijamo
Z
Z
∂B
· dS .
rotE · dS = −
S
S ∂t
Primenom Stoksove teoreme dobijamo
I
Z
∂B
E · dl = −
· dS .
S ∂t
C
Ako pretpostavimo da je kontura C = ∂S nepokretna onda je
Z
I
d
E · dl = −
B · dS .
dt S
C
(5.11.130)
(5.11.131)
(5.11.132)
Kao ˇsto smo ranije rekli cirkulacija vektora jaˇcine elektriˇcnog polja je elektromotorna sila. Sliˇcno
se dobija i integralni oblik jednaˇcine (3.1.36)
I
Z
Z
d
H · dl =
j · dS +
D · dS
(5.11.133)
dt S
C
S
u sluˇcaju nepokretne konture. Jasno je da se u nepokretnom provodniku smeˇstenom u promenljivo
magnetno polje indukuje struja, ali takodje struja se indukuje i u pokretnom provodniku u stalnom magnetnom polju. Zato ´cemo sada analizirati sluˇcaj kada je kontura C pokretna.
Neka je A(r, t) vektorsko polje. Nadjimo vremenski izvod fluksa ovog polja kroz pokretnu
povrˇs. Kretanje povrˇsi, odnosno konture koja je njena granica je zadato sa poljem u(t, r). Na
slici 5.11 prikazali smo poloˇzaje konture u trenutku t odnosno t + ∆t. Neka je S(t) = S1 povrˇs
u trenutku t, a S(t + ∆t) = S2 povrˇs u trenutku t + ∆t. Pri kretanju povrˇsi ona opisuje telo ˇcija
je izvodnica u∆t. Po definiciji izvod fluksa vektorskog polja je
R
R
Z
A(t + ∆t) · dS − S(t) A(t) · dS
d
S(t+∆t)
A(t) · dS = lim
.
(5.11.134)
∆t→0
dt S(t)
∆t
Primeni´cemo Gausovu teoremu na zapreminu ∆V prikazanu na slici 5.11 ali uzimaju´ci vektorsko
polje u trenutku t. Bazisi oblasti ∆V su S1 i S2 pa imamo
Z
Z
Z
Z
3
divAd r = −
A(t) · dS +
A(t) · dS −
A(t) · (v∆t × dl) .
(5.11.135)
∆V
S1
S2
Koriste´ci
A(t + ∆t) = A(t) +
om
∂A
∆t
∂t
(5.11.136)
ˇ
CHAPTER 5. RELATIVISTICKA
ELEKTRODINAMIKA
90
Figure 5.4: Kretanje konture.
imamo
Z
Z
3
Z
∂A
A(t + ∆t) · dS −
∆tdS
S2
S2 ∂t
Z
Z
−
A(t)dS −
A(t) · (v∆t × dl)
divAd r =
∆V
S1
odnosno
(5.11.137)
om
Z
Z
Z
i
1 h
divA v · dS =
A(t + ∆t) · dS −
A(t) · dS
∆t S2
S1
S1
I
Z
∂A
dS − (v × A(t)) · dl .
−
S2 ∂t
U limesu ∆t → 0 dobijamo
Z
Z
Z
Z
d
∂A
dS − rot(v × A) · dS ,
A(t) · dS =
divA v · dS +
dt S(t)
S
S
S ∂t
(5.11.138)
(5.11.139)
gde vidimo da se fluks polja A po pokretnoj konturi menja zbog toga ˇsto pri kretanju kontura
prolazi kroz oblast sa izvorima i ponorima polja A (prvi ˇclan), zbog toga ˇsto se samo polje A
menja sa vremenom (drugi ˇclan) kao i zbog toga ˇsto fluks curi kroz omotaˇc (tre´ci sabirak).
Primenom (5.11.139) u formuli (5.11.131) za sluˇcaj pokretne konture imamo
Z
I
I
d
B · dS −
(v × B) · dl
(5.11.140)
E · dl = −
dt S(t)
C(t)
C(t)
ˇ
5.11. INTEGRALNI OBLIK MAKSVEL-LORENCOVIH JEDNACINA
I
odnosno
d
(E + v × B) · dl = −
dt
C(t)
91
Z
B · dS .
(5.11.141)
S(t)
ˇsto je Faradejev zakon za pokretnu konturu. Sve veliˇcine u ovom zakonu meri laboratorijski
posmatraˇc.
Pretpostavimo sada da je brzina konture mala v c. Za posmatraˇca S 0 vezanog za konturu
Faradejev zakon ima oblik
I
Z
d
0
0
E · dl = − 0
B 0 · dS 0 .
(5.11.142)
dt
C
S
Veliˇcine koje meri laboratorijski posmatraˇc (sistem S) su neprimovane i za njega Faradejev zakon
je oblika (5.11.141). Kako je dl 0 = dl i dt0 = dt to poredjenjem ova dva zakona dobijamo
E0 = E + v × B
B0 = B .
Dobili smo nerelativistiˇcki zakon transformacije polja jer smo pretpostavili da se kontura kre´ce
malom brzinom. Izraz
I
E 0 · dl 0
E=
C
je elektromotorna sila. Sve veliˇcine se odnose na konturu.
Primer: Kontura kvadratnog oblika kre´ce se brzinom v = vex u xy ravni u magnetnom polju
B = B(x)ez . Sopstvena duˇzina stranice kvadrata je l. Proveriti vaˇzenje Faradejevog zakona u
sistemu konture i u laboratorijskom sistemu.
Neka je sistem S 0 vezan za kvadrat, postavljen tako da mu se koordinatni poˇcetak poklapa
sa jednim temenom kvadrata, a x0 i y 0 ose su duˇz njegovih stranica. U ovom sistemu postoji
elektriˇcno i magnetno polje:
vB(x)
E0 = −q
ey
2
1 − vc2
B(x)
B0 = q
ez .
v2
1 − c2
EMS u trenutku t0 u sistemu konture je
I
vl
E = E 0 · dl 0 = − q
1−
h l + vt0 vt0
B q
−B q
2
v2
1 − vc2
1−
c2
i
.
v2
c2
Sa druge strane je
Z
∂B 0
l
· dS 0 = q
0
∂t
1−
lv
= q
1−
Z
v2
c2
v2
c2
l
0
Z
∂ x0 + vt0 0
B q
dx
∂t0
v2
1−
c2
z2
z1
dB
dz ,
dz
(5.11.143)
92
ˇ
CHAPTER 5. RELATIVISTICKA
ELEKTRODINAMIKA
gde su granice integracije
z1 = q
Na kraju dobijamo
Z
∂B 0
vl
· dS 0 = q
∂t
1−
Dakle vaˇzi
Ako je v c onda je
I
vt0
l + vt0
, z2 = q
.
v2
v2
1 − c2
1 − c2
l + vt0 vt0
q
B
−B q
v2
v2
1 − c2
1−
c2
d
E · dl = − 0
dt
0
0
Z
.
(5.11.144)
v2
c2
B 0 dS 0
(5.11.145)
E = vl(B(vt) − B(l + vt)) .
(5.11.146)
Za posmatraˇca u sistemu S kontura je pokretna pa on primenjuje (5.11.141). Leva strana ove
jednaˇcine je
r
I
v2 (v × B) · dl = vl B vt + 1 − 2 − B(vt) .
(5.11.147)
c
Lako se vidi da je to i desna strana. Prethodni izraz se u nerelativistiˇckom sluˇcaju svodi na
(5.11.146).
Chapter 6
Elektrostatiˇ
cko polje u vakuumu
Naelektrisanja koja miruju generiˇsu statiˇcko elektriˇcno polje E = E(r). U tom sluˇcaju Maksvelove
jednaˇcine za polje u vakuumu se svode na
ρ(r)
0
rotE(r) = 0 .
divE(r) =
(6.0.1)
(6.0.2)
Iz (6.0.2) sledi da je E = −∇ϕ ˇsto zamenom u (6.0.1) daje Poasonovu jednaˇcinu
4ϕ = −
ρ(r)
ε0
(6.0.3)
za potencijal. U oblasti prostora gde je zapreminska gusina naelektrisanja nula, ρ = 0 potencijal
zadovoljava Laplasovu jednaˇcinu
4ϕ = 0 .
(6.0.4)
6.1
Diskontinuiteti potencijala; Dipolni list
Neka su oblasti 1 i 2 razdvojene granicom na kojoj su rasporedjena povrˇsinska naelektrisanja.
U obe oblasti se nalazi vakuum. Normalna komponenta elektriˇcnog polja pri prelasku iz jedne
u drugu oblast trpi skok prema
σ
E2n − E1n =
(6.1.5)
0
odakle sledi
∂ϕ σ
∂ϕ .
(6.1.6)
−
=
∂n 1 ∂n 2 0
Dakle izvod potencijala u pravcu normale trpi skok proporcionalan povrˇsinskoj gustini naelektrisanja.
Medjutim i sam potencijal moˇze da trpi skok. To se deˇsava kod dipolnog sloja ili kako
se joˇs zove, dipolnog lista. Neka su dve raznoimeno naelektrisane povrˇsi postavljene na malom
medjusobnom rastojanju b, gde b ne mora biti konstantno. Gustina naelektrisanja u naspramnim
93
ˇ
CHAPTER 6. ELEKTROSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
94
Figure 6.1:
taˇckama na ove dve povrˇsi je +σ odnosno −σ. Povrˇsinska gustina σ nije konstantna ve´c moˇze da
se menja po povrˇsi. Kada je rastojanje izmedju ove dve naelektrisane povrˇsi, b malo dobijamo
tzv. dipolni sloj (list). Dipolni list se sastoji od elementarnih dipola momenta
dp = b(r)σ(r)dSn ,
(6.1.7)
gde je ort normale n usmeren od negativne ka pozitivnoj povrˇsi. Veliˇcina
τ (r) =
dp
= σ(r)b(r)n
dS
(6.1.8)
naziva se gustinom elektriˇcnog dipolnog momenta. Potencijal dipolnog sloja u taˇcki r je zbir
potencijala naelektrisanja sa pozitivne i sa negativne povrˇsi, kao ˇsto je prikazano na slici 6.1.
Prema tome potencijal je
ϕ(r) =
=
=
=
Z
Z
1 σ(r 0 )dS0
σ(r 0 )dS00 −
4π0
|r − r 0 |
|r − r 0 + bn|
Z
Z
σ(r 0 )dS0
σ(r 0 )dS00 bn · (r − r 0 )
1
−
1−
+ ...
4π0
|r − r 0 |
|r − r 0 |
|r − r 0 |2
Z
1
σ(r 0 )bn · (r − r 0 )dS 0
4π0
|r − r 0 |3
Z
τ (r 0 ) · (r − r 0 )dS 0
1
,
4π0
|r − r 0 |3
(6.1.9)
ˇ
ˇ
ˇ
6.2. JEDNOZNACNOST
RESENJA
POASONOVE JEDNACINE
95
Figure 6.2:
gde smo ˇclanove viˇseg reda po malom parametru b/r zanemarili. Ako uvedemo prostorni ugao
(slika 6.1) pod kojim se iz taˇcke u kojoj odredjujemo potencijal vidi element povrˇsi dS 0 sa
dΩ0 =
(r 0 − r) · ndS
|r 0 − r|3
(6.1.10)
izraz za potencijal dipolnog sloja postaje
1
ϕ(r) = −
4π0
Z
τ (r 0 )dΩ0 .
(6.1.11)
Odredimo sada razliku potencijala u taˇckama 1 i 2 koje se nalaze uz sam dipolni list u oblasti
1 odnosno 2. Dipolni sloj moˇzemo da prikaˇzemo kao superpoziciju malog dela povrˇsine dS
neposredno iznad taˇcke 1 i ispod taˇcke 2 i dipolnog sloja kod koga smo izvadili taj mali deo
povrˇsine dS. Za mali element dipolnog sloja gustinu elektriˇcnog dipolnog momeneta moˇzemo
1
da smatramo skoro konstantnom pa iz (6.1) sledi da je potencijal u taˇcki 1 jednak − 4π
2πτ dok
0
1
je u taˇcki 2 njegova vrednost 4π0 2πτ . Za dipolni sloj sa ’rupom’ potencijal je isti u taˇckama 1 i
2 pa je ukupni skok potencijala po principu superpozicije
ϕ2 (r) − ϕ1 (r) =
6.2
τ (r)
.
0
(6.1.12)
Jednoznaˇ
cnost reˇ
senja Poasonove jednaˇ
cine
U ovoj lekciji odredi´cemo pod kojim uslovima Poasonova (odnosno Laplasova) jednaˇcina ima
jednoznaˇcno reˇsenje. Neka je V zapremina prostora unutar koga reˇsavamo Poasonovu jednaˇcinu.
ˇ
CHAPTER 6. ELEKTROSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
96
Da bi ona imala jednoznaˇcno reˇsenje potrebno je da:
1. u toj oblasti V znamo raspodelu naelektrisanja ρ = ρ(r) i sve diskontinuitete potencijala i
izvoda potencijala;
2. na graniˇcnoj povrˇsini S oblasti V ili je zadat potencijal ϕ|S = H(r) ili znamo izvod potencijala
u pravcu normale
∂ϕ n · ∇ϕ|S ≡
= F (r) .
∂n S
Ukoliko na granci oblasti V znamo potencijal takav graniˇcni uslov se naziva Diriˇsleovim. Ako
je na granici zadata vrednost izvoda potencijala u pravcu normala takav graniˇcni uslov je Nojmanov.
Da bi dokazali prethodno tvrdjenje prvo ´cemo izvesti prvi Green-ov identitet. Zamenom
A = φ∇ψ, gde su φ i ψ dve diferencijabilne funkcije u Gausovu teoremu
Z
I
A · dS
3
divAd r =
V
(6.2.13)
∂V
dobijamo spomenuti identitet
Z
I
d r(∇φ · ∇ψ + φ4ψ) =
3
φ∇ψdS .
V
(6.2.14)
∂V
Sada ´cemo pokazati jednoznaˇcnost reˇsenja Poasonove jednaˇcine. Pretpostavimo da postoje dva
reˇsenja ϕ1 i ϕ2 Poasonove jednaˇcine koja zadovoljavaju iste graniˇcne uslove. Njihova razlika
u = ϕ1 − ϕ2 zadovoljava Laplasovu jednaˇcinu 4u = 0. Ukoliko potencijal zadovoljava Diriˇsleov
graniˇcni uslov onda je u|∂V = 0. Ako sa druge strane potencijal zadovoljava Nojmanov graniˇcni
uslov tada je
∂u =0.
∂n ∂V
Zamenom ψ = φ = u u prvi Grinov identitet dobijamo
Z
h
i I
2
d r (∇u) + u4u =
3
V
∂V
u
∂u
dS .
∂n
(6.2.15)
Drugi sabirak sa leve strane je nula, dok je povrˇsinski ˇclan bilo da su zadati Diriˇsleovi bilo
Nojmanovi graniˇcni uslovi takodje nula pa je
Z
d3 r(∇u)2 = 0
(6.2.16)
V
odakle sledi da je u = C, tj. reˇsenja ϕ1 i ϕ2 se razlikuju do na konstantu, ˇsto je fiziˇcki jedno te
isto reˇsenje. Recimo na kraju da graniˇcni uslov moˇze biti i meˇsovit, tj. na nekom delu granice
je zadat potencijal a na preostalom izvod potencijala u pravcu normale na granici.
6.3. POASON-GRINOVA FORMULA
6.3
97
Poason-Grinova formula
Ako u prvom Grinovom identitetu (6.2.14) zamenimo funkcije ψ i φ dobijamo
Z
I
3
d r(∇ψ · ∇φ + ψ4φ) =
ψ∇φdS .
V
Oduzimanjem dobijenog izraza od (6.2.14) dobijamo drugi Grinov identitet:
Z
I
3
d r(φ4ψ − ψ4φ) =
(φ∇ψ − ψ∇φ)dS .
V
Zamenom ψ =
Z
V
1
|r−r 0 |
(6.3.17)
∂V
(6.3.18)
∂V
i φ = ϕ u drugi Grinov identitet (6.3.18), u kome se integrali po r 0 dobijamo
I 1 1
1
1
0
0
0
0
d r ϕ(r )4
−
4
ϕ(r
)
=
ϕ∇
−
∇
ϕ
dS0 . (6.3.19)
0|
0|
|r − r 0 | |r − r 0 |
|r
−
r
|r
−
r
∂V
3 0
0
0
Primenom Dirak-Grinovog identiteta dobijamo
1
ϕ(r) =
4π0
Z
V
ρ(r 0 )d3 r0
1
+
0
|r − r |
4π
I
∂V
h
1 i
1
0
0
dS0 .
∇
ϕ
−
ϕ∇
|r − r 0 |
|r − r 0 |
(6.3.20)
Prethodni izraz je Poason-Grinova formula. Desna strana jednaˇcine sadrˇzi dva ˇclana. Prvi je
zapreminski, gde se integrali po naelektrisanjima u oblasti V . Drugi ˇclan je povrˇsinski, podintegralna funkcija zavisi od potencijala i izvoda potencijala u pravcu normale na granici.
Neka je V = R3 , tj. zapremina V je ceo prostor. Potencijal na velikim rastojanjima od
sistema teˇzi nuli kao r10 ili brˇze pa izraz u zagradi povrˇsinskog terma se ponaˇsa kao r103 na velikim
rastojanjima. Mnoˇzenjem sa elementom povrˇsine koji se ponaˇsa kao r02 vidimo da je povrˇsinski
integral tipa r10 i dakle teˇzi nuli. U ovom sluˇcaju Poason-Grinova formula svodi na poznat rezultat
1
ϕ(r) =
4π0
Z
R3
ρ(r 0 )d3 r0
,
|r − r 0 |
(6.3.21)
gde se integrali po celom prostoru. Povrˇsinski term u Poason-Grinovoj formuli je doprinos potencijalu od naelektrisanja van oblasti V . Napomenimo da Poason-Grinova formula predstavlja
integralni uslov koji potencijal zadovoljava.
6.4
Reˇ
savanje Laplasove jednaˇ
cine metodom razdvajanja
promenljivih
Laplasova jednaˇcina 4Φ = 0 je parcijalna diferencijalna jednaˇcina drugog reda. Metod razdvajanja promenljivih je dobro poznat naˇcin za reˇsavanje parcijalnih jednaˇcina. U ovoj lekciji
potencijal ´cemo obeleˇziti sa Φ, a sa ϕ polarni ugao.
ˇ
CHAPTER 6. ELEKTROSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
98
6.4.1
Reˇ
savanje Laplasove jednaˇ
cine u Dekartovim koordinatama
Laplasova jednaˇcina u Dekartovim koordinatama je
∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ
+
+ 2 =0.
∂x2
∂y 2
∂z
(6.4.22)
Pretpostavi´cemo da partikularno reˇsenje ove jednaˇcine je proizvod tri funkcije od kojih svaka
zavisi od jedne Dekartove koordinate: Φ = X(x)Y (y)Z(z). Laplasova jednaˇcina postaje
1 d2 Y
1 d2 Z
1 d2 X
+
+
=0.
X dx2
Y dy 2
Z dz 2
(6.4.23)
Za svako x, y, z zbir tri funkcije od kojih prva zavisi samo od x, druga od y a tre´ca od z je nula,
ˇsto je jedino mogu´ce ako je svaka od njih konstanta
1 d2 X
1 d2 Y
1 d2 Z
2
2
=
−k
,
=
−k
,
= kz2
x
y
X dx2
Y dy 2
Z dz 2
(6.4.24)
pri ˇcemu je kx2 + ky2 − kz2 = 0. Znak konstanti kx2 , ky2 i kz2 zavisi od graniˇcnih uslova. Dalje ´cemo
da reˇsavamo konkretan problem. Reˇsi´cemo Laplasovu jednaˇcinu unutar kvadra, ivica a, b i c.
Neka se koordinatni poˇcetak nalazi u jednom temenu kvadra, a ose x, y i z su redom duˇz stranica
duˇzine a, b odnosno c. Unutar kvadra nema naelektrisanja. Strane x = 0, x = a, y = 0, y = b
i z = 0 su na nultom potencijalu, dok je strana z = c na konstantnom potencijalu V0 . Zbog
graniˇcnih uslova kx2 > 0, pa je reˇsenje za funkciju X dato sa
X(x) = C1 sin(kx x) + C2 cos(kx x) .
(6.4.25)
Iz Φ(x = 0, y, z) = X(0)Y (y)Z(z) = 0 i Φ(x = a, y, z) = X(a)Y (y)Z(z) = 0 sledi X(0) =
X(a) = 0 pa se konaˇcno dobija C2 = 0, kx = nπ/a gde je n ceo broj. Graniˇcni uslov je
diskretizovao konstantu kx . Prema tome partikularna reˇsenja za funkciju X su
nπx .
(6.4.26)
Xn ∼ sin
a
Analogno partikularna reˇsenja za funkciju Y su
Ym ∼ sin
mπy b
,
(6.4.27)
gde m ∈ Z.
Jednaˇcina za funkciju Z je
n2 m2 d2 Z
−
π
+ 2 Z=0.
dz 2
a2
b
Njeno reˇsenje je
q
π
Z = Ae
2
n2
+ m2 z
a2
b
+ Be
−π
q
2
n2
+ m2 z
a2
b
(6.4.28)
.
(6.4.29)
ˇ
ˇ
6.4. RESAVANJE
LAPLASOVE JEDNACINE
METODOM RAZDVAJANJA PROMENLJIVIH99
Graniˇcni uslov Z(z = 0) = 0 daje A = −B, pa zakljuˇcujemo da je za fiksne koeficijente n i m
funkcija Z data sa
r n2 m2 Znm ∼ sinh
+ 2 πz .
(6.4.30)
a2
b
Opˇste reˇsenje Laplasove jednaˇcine je zbir partikularnih reˇsenja:
∞
nπx mπy r n 2 m 2 X
Φ=
Amn sin
sin
sinh
+ 2 πz ,
a
b
a2
b
m,n=1
(6.4.31)
gde su Amn koeficijenti koje odredjujemo iz graniˇcnog uslova
V0 =
∞
X
Amn sin
m,n=1
nπx a
sin
mπy b
sinh
r n2
m2 + 2 πc .
a2
b
(6.4.32)
Mnoˇzenjem gornje relacije sa sin(kπx/a) sin(lπy/b) i integracijom po x i y uz relacije ortogonalnosti
Z a
nπx lπx a
dx sin
sin
= δnl
(6.4.33)
a
a
2
0
dobijamo
∞
X
(2n+1)πx
a
(2m+1)πy
b
sin
sin
16V0
q
Φ=
2
π 2 (2n + 1)(2m + 1)
m,n=0
sinh πc (2n+1)
+
a2
(2m+1)2
b2
sinh πz
r
(2n + 1)2 (2m + 1)2 +
.
a2
b2
(6.4.34)
Rezultat za potencijal je predstavljen u obliku dvostruke beskonaˇcne sume.
6.4.2
Reˇ
savanje Laplasove jednaˇ
cine u sfernim koordinatama
Laplasova jednaˇcina 4Φ = 0 gde je potencijal Φ = Φ(r, θ, ϕ) u sfernim koordinatama je
1 ∂2
1
∂
∂Φ 1
∂ 2Φ
(rΦ)
+
sin
θ
+
=0
r ∂r2
r2 sin θ ∂θ
∂θ
r2 sin2 θ ∂ϕ2
(6.4.35)
Reˇsenje parcijalne diferencijalne jednaˇcine (6.4.35) predpostavi´cemo u obliku
V =
R(r)
P (θ)Q(ϕ) ,
r
tj. kao proizvod tri funkcije od kojih prva zavisi od r, naredna od θ i tre´ca od ϕ. Zamenom ovog
oblika reˇsenja u jednaˇcinu (6.4.35) dobijamo
PQ
RQ d dP RP d2 Q
d2 R
+
sin
θ
+
=0.
dr2
r2 sin θ dθ
dθ
r2 sin2 θ dϕ2
(6.4.36)
ˇ
CHAPTER 6. ELEKTROSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
100
Mnoˇzenjem prethodne jednaˇcine sa r2 sin2 θ/(P QR) dobijamo
r2 sin2 θ
h 1 d2 R
1
d
dP i 1 d2 Q
+
sin
θ
+
=0.
R dr2
r2 sin θP dθ
dθ
Q dϕ2
(6.4.37)
U prethodnoj jednaˇcini prvi sabirak je funkcija θ i r a drugi samo od ϕ a kako im je zbir nula
za svako r, θ, ϕ onda oni moraju biti konstante. Prvi je m2 a drugi −m2 , tj.
odnosno
d2 Q
+ m2 Q = 0
dϕ2
(6.4.38)
1 d2 R
1
d
dP m2
+
sin
θ
−
=0.
R dr2
r2 sin θP dθ
dθ
r2 sin2 θ
(6.4.39)
Iz (6.4.38) sledi Q ∼ eimϕ . Konstanta m mora biti ceo broj da bi funkcija Q bila periodiˇcna
sa periodom 2π
Q(ϕ + 2π) = Q(ϕ) .
Jednaˇcinu (6.4.39) prepisa´cemo u obliku
d
r 2 d2 R
1
dP m2
+
sin
θ
−
=0,
R dr2
sin θP dθ
dθ
sin2 θ
(6.4.40)
gde smo sada razdvojili promenljive; prvi sabirak je funkcija od r a drugi od θ. Kako im je zbir
nula to oni moraju biti konstante. Prvi sabirak je l(l + 1) a drugi −l(l + 1). Dakle dobijamo
d2 R l(l + 1)
−
R=0
dr2
r2
1 d
dP h
m2 i
sin θ
+ l(l + 1) −
P =0.
sin θ dθ
dθ
sin2 θ
(6.4.41)
(6.4.42)
Jednaˇcina (6.4.41) je Ojlerova diferencijalna jednaˇcina i njeno reˇsenje traˇzi´cemo u obliku R ∼ rk .
Zamenom u jednaˇcinu dobijamo
k(k − 1) − l(l + 1) = 0
odakle je k = l + 1, −l . Dakle reˇsenje jednaˇcine (6.4.41) je
R = Arl+1 + B
1
,
rl
(6.4.43)
gde su A i B konstante. Smenom x = cos θ, (−1 ≤ x ≤ 1) jednaˇcina (6.4.42) postaje
dP i h
m2 i
dh
(1 − x2 )
+ l(l + 1) −
P =0.
dx
dx
1 − x2
Ovo je tzv. generealisana Leˇzandrava diferencijalna jednaˇcina.
(6.4.44)
ˇ
ˇ
6.4. RESAVANJE
LAPLASOVE JEDNACINE
METODOM RAZDVAJANJA PROMENLJIVIH101
Razmotri´cemo prvo specijalan sluˇcaj kada je m = 0, tj. Q = 1. Ovo znaˇci da potencijal ne
zavisi od azimutalnog ugla ϕ. To je kod sistema koji su invarijantni na rotacije oko z−ose, tj.
koji poseduju azimutalnu simetriju. Jednaˇcina (6.4.44) postaje
(1 − x2 )
d2 Pl
dPl
− 2x
+ l(l + 1)Pl = 0 ,
2
dx
dx
(6.4.45)
ˇsto je Leˇzandrova jednaˇcina. Reˇsenja jednaˇcine (6.4.45) su Leˇzandrovi polinomi Pl (x) dati sa
Pl (x) =
1 dl 2
(x − 1)l ,
2l l! dxl
(6.4.46)
ˇsto je tzv. Rodrigova formula1 . Da bi Leˇzandrova diferencijalna jednaˇcina imala konaˇcna reˇsenja
konstanta l mora biti l = 0, 1, 2 . . . .
Zadatak 1: Pokaˇzite da (6.4.46) zadovoljava diferencijalnu jednaˇcinu (6.4.45) .
Prvih nekoliko Leˇzandrovih polinima su
P0 (x) = 1 ,
P1 (x) = x ,
1
P2 (x) = (3x2 − 1) .
2
(6.4.47)
Moˇze se pokazati da vaˇze slede´ce rekurentne relacije izmedju Leˇzandrovih polinoma:
(n + 1)Pn+1 (x) − (2n + 1)xPn (x) + nPn−1 (x) = 0,
(6.4.48)
(x2 − 1)Pn0 (x) = nxPn (x) − nPn−1 (x),
(6.4.49)
0
Pn+1
(x) − xPn0 (x) = (n + 1)Pn (x).
(6.4.50)
Leˇzandrovi polinomi su ortogonalni na intervalu −1 ≤ x ≤ 1 pa proizvoljnu funkciju definisanu
na ovom intervalu moˇzemo razviti po njima. Relacije ortogonalnosti su
Z 1
2
Pm (x)Pn (x)dx =
δnm .
(6.4.51)
2n + 1
−1
Zadatak 2: Pokaˇzite relacije ortogonalnosti. Pomnoˇzite (6.4.45) sa Pn (x) i integralite po x na
intervalu [−1, 1]. Za pomo´c konsultujte [1].
Zakljuˇcak je da je opˇste reˇsenje Laplasove jednaˇcine u sluˇcaju azimutalne simetrije ima oblik
Φ(r, θ) =
∞ X
Al rl +
l=0
1
Bl Pl (cos θ) .
rl+1
Jednaˇcina (6.4.45) se moˇze reˇsiti predpostavljaju´ci reˇsenje u obliku reda
Pl (x) = xs
∞
X
n=0
gde je s konstanta.
cn xn
(6.4.52)
102
ˇ
CHAPTER 6. ELEKTROSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
Konstante Al i Bl odredjuju se iz graniˇcnih uslova.
1
Generatrisa Leˇzandrovih polinoma je funkcija (1 − 2tx + t2 )− 2 , jer su oni koeficijenti u
stepenom razvoju ove funkcije po t. Naime,
X
1
√
=
tl Pl (x), t < 1.
2
1 − 2tx + t
l=0
∞
Izraz
(6.4.53)
1
|r − r 0 |
koji ˇcesto sre´cemo u ovom kursu moˇzemo razviti po Leˇzandrovim polinomima
X rl
1
1
<
p
=
=
Pl (cos γ) ,
l+1
0
2
0
02
|r − r |
r
r − 2rr cos γ + r
l=0 >
∞
(6.4.54)
gde je γ ugao izmedju vektora r i r 0 , a r< i r> su manja odnosno ve´ca vrednost promenljivih r i
r0 . Ova formula se lako pokazuje. Uzmimo da je r 0 = r0 e3 , tada je ugao γ sferni ugao θ. Dalje je
1
1
=√
.
0
|r − r |
r2 − 2rr0 cos θ + r02
(6.4.55)
Gornji izraza je funkcija ugla θ i moˇzemo ga razviti u red po Leˇzandrovim polinomima
X
1
√
Cl Pl (cos θ) ,
=
r2 − 2rr0 cos θ + r02
l=0
∞
(6.4.56)
gde su Cl koeficijenti. Ove koeficijente odredjujemo uzimanjem θ = 0. Iz razvoja
X rl
1
<
=
l+1
0
|r − r |
r
l=0 >
(6.4.57)
X rl
1
<
√
=
P (cos θ) .
l+1 l
2
0
02
r
r − 2rr cos θ + r
l=0 >
(6.4.58)
∞
i Pl (1) = 1 sledi
∞
Vratimo se sada opˇstem sluˇcaju, tj. situaciji kada je m proizvoljno. Da bi jednaˇcina (6.4.44)
imala konaˇcna reˇsenja potrebno je i dovoljno da l = 0, 1, 2, 3, . . . i m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l.
Reˇsenja su tzv. asocirani Leˇzandrovi polinomi dati sa
Plm (x)
= (−1) (1 − x )
m
2 m/2
dm
Pl (x) .
dxm
(6.4.59)
Ova formula vaˇzi i za negativne vrednosti m. Moˇze se pokazati da je
Pl−m (x) = (−1)m
(l − m)! m
P (x) .
(l + m)! l
(6.4.60)
ˇ
ˇ
6.4. RESAVANJE
LAPLASOVE JEDNACINE
METODOM RAZDVAJANJA PROMENLJIVIH103
Sferni harmonici su
s
Ylm (θ, ϕ) =
2l + 1 (l − m)! m
P (cos θ)eimϕ .
4π (l + m)! l
Oni ˇcine skup ortonormiranih funkcija na intervalu 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π
Z π
Z 2π
?
dϕ
sin θdθYlm
(θ, ϕ)Yl0 m0 (θ, ϕ) = δll0 δmm0 .
0
(6.4.61)
(6.4.62)
0
Sferni harmonici zadovoljavaju slede´ce relacije kompletnosti
∞ X
l
X
?
Ylm
(θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ) = δ(ϕ − ϕ0 )δ(cos θ − cos θ0 ) .
(6.4.63)
l=0 m=−l
Prvih nekoliko sfernih harmonika su
1
Y00 = √
4π
r
3
sin θeiϕ
Y11 = −
8π
r
3
Y10 =
cos θ .
4π
(6.4.64)
Dakle opˇste reˇsenje Laplasove jednaˇcine je
Φ(r, θ, ϕ) =
m ∞ X
X
l=0 m=−l
Alm rl +
Blm Ylm (θ, ϕ) ,
rl+1
(6.4.65)
gde se konstante Alm i Blm odredjuju iz graniˇcnih uslova.
Primer: Dielektriˇcna kugla polupreˇcnika R napravljena je od materijala sa stalnom polarizacijom
P. Na´ci elektriˇcno polje u svakoj taˇcki prostora.
Reˇsenje: Uze´cemo da je polarizacija usmerena duˇz z−ose, tj. P = P e3 kao na slici 6.3. Unutar
kugle potencijal je
∞
X
Φ1 =
Al rl Pl (cos θ)
(6.4.66)
l=0
a van kugle
∞
X
Bl
Pl (cos θ) .
Φ2 =
rl+1
l=0
(6.4.67)
Φ1 (r = R) = Φ2 (R)
(6.4.68)
Neprekidnost potencijala
daje Bl = Al R2l+1 . Iz P2n − P1n = P cos θ i D2n − D1n = 0 sledi
∂Φ1 ∂Φ2 + 0
= P cos θ .
−0
∂r r=R
∂r r=R
(6.4.69)
ˇ
CHAPTER 6. ELEKTROSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
104
Figure 6.3: Polarizovana kugla radijusa R i stalne polarizacije P.
Iz gornjih jednaˇcina uz cos θ = P1 (cos θ) dobijamo
(
Φ=
P
r cos θ
30
P R3
cos θ
30 r2
za r < R
.
za r > R
(6.4.70)
Elektriˇcno polje se lako dobija
E=
6.4.3
(
− 3P0
P R3
(2 cos θer
30 r 3
+ sin θeθ )
za r < R
.
za r > R
(6.4.71)
Reˇ
savanje Laplasove jednaˇ
cine u cilindriˇ
cnim koordinatama
Laplasovu jednaˇcinu u cilindriˇcnim koordinatama
1 ∂ 2Φ ∂ 2Φ
∂ 2 Φ 1 ∂Φ
+
+
+ 2 =0
∂ρ2
ρ ∂ρ
ρ2 ∂ϕ2
∂z
(6.4.72)
reˇsi´cemo metodom razdvajanja promenljivih. Njeno partikularno reˇsenje ´cemo pretpostaviti u
obliku proizvoda tri funkcije Φ = R(ρ)Q(ϕ)Z(z). Zamenom u Laplasovu jednaˇcinu dobijamo
1 d2 R
1 dR
1 d2 Q
1 d2 Z
+
+
+
=0.
R dρ2
ρR dρ
ρ2 Q dϕ2
Z dz 2
(6.4.73)
ˇ
ˇ
6.4. RESAVANJE
LAPLASOVE JEDNACINE
METODOM RAZDVAJANJA PROMENLJIVIH105
Zadnji term je funkcija promenljive z, a prva dva su funkcije druge dve promenljive, ρ i ϕ. Dakle,
mora vaˇziti
d2 Z
− k2Z = 0
dz 2
ρ d2 R
ρ dR
1 d2 Q
2 2
+
+k ρ +
=0 ,
R dρ2
R dρ
Q dϕ2
(6.4.74)
(6.4.75)
gde je k konstanta. Jednaˇcina (6.4.75) razdvaja promenljive pa dobijamo
d2 Q
+ ν 2Q = 0
dϕ2
d2 R 1 dR 2 ν 2 +
+ k − 2 R=0.
dρ2
ρ dρ
ρ
(6.4.76)
(6.4.77)
Reˇsenja jednaˇcine (6.4.74), za fiksno k, su Zk ∼ e±kz . Ve´c smo ranije rekli da konstanta ν
mora biti ceo broj da bi potencijal bio periodiˇcan sa periodom 2π po azimutalnom uglu. Reˇsenja
za funkciju Q(ϕ) su Qν = A cos(νϕ) + B sin(νϕ) , gde su A i B konstante. Konstanta k je realna
i pozitivna, pa ´cemo u jednaˇcini (6.4.77) napraviti smenu x = kρ. Diferencijalna jednaˇcina
(6.4.77) postaje
d2 R 1 dR
ν2
+
+ 1− 2 R=0 .
(6.4.78)
dx2
x dx
x
Ona je Beselova diferencijalna jednaˇcinom. Njena partikularna reˇsenja su Beselove funkcije reda
±ν:
Jν (x) =
J−ν (x) =
∞
x ν X
2
(−1)j x 2j
j!(j + ν)! 2
j=0
∞
x −ν X
2
j=0
(−1)j x 2j
.
j!(j − ν)! 2
(6.4.79)
(6.4.80)
Reˇsenja (6.4.79) i (6.4.80) su data u obliku stepenog reda. Ova reˇsenja se nazivaju Beselovim
funkcijama prve vrste reda ±ν. Ako je ν ceo broj tada je J−ν (x) = (−1)ν Jν (x), tj. one su
linearno zavisne. Ako ν nije ceo broj Jν i J−ν su linearno nezavisne funkcije. Dakle, kada ν ∈ Z
treba na´ci drugo linearno nezavisno reˇsenje jednaˇcine (6.4.78).
Nojmanova funkcija Nν (x) (ili Beselova funkcija druge vrste) takodje je reˇsenje jednaˇcine
(6.4.78)
Jν cos(νπ) − J−ν (x)
Nν (x) =
.
(6.4.81)
sin νπ
Ako ν nije ceo broj onda su Jν i Nν linearno nezavisna reˇsenja jednaˇcine (6.4.78). U limesu
ν → m ∈ Z Beselove funkcije prve i druge vrste su i dalje linearno nezavisne.
Beselove funkcije tre´ce vrste ili Hankelove funkcije definisane su kao:
Hν(1) (x) = Jν (x) + iNν (x),
Hν(2) (x) = Jν (x) − iNν (x).
(6.4.82)
(6.4.83)
ˇ
CHAPTER 6. ELEKTROSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
106
One su takodje linearno nezavisna reˇsenja Beselove diferencijalne jednaˇcine (6.4.78).
Beselove funkcije zadovoljavaju slede´ce rekurentne veze:
2ν
Ων ,
x
dΩν
= 2
,
dx
Ων−1 + Ων+1 =
(6.4.84)
Ων−1 − Ων+1
(6.4.85)
Z
dΩ0 (x)
= −Ω1 (x),
dx
(6.4.86)
zΩ0 (z)dz = xΩ1 (x).
(6.4.87)
x
0
gde je Ων = {Jν , Nν , Hν }. Ove funkcije se jednim imenom nazivaju cilindriˇcnim funkcijama.
Kada je argument funkcije x 1 vode´ci ˇclanovi u razvoju Beselovih funkcija su:
x ν
1
Jν (x) →
,
(6.4.88)
Γ(ν + 1) 2
2
ln x2 + 0, 5772 + . . . , ν = 0
π
(6.4.89)
Nν (x) →
2 ν
− Γ(ν)
,
ν 6= 0.
π
x
Sa druge strane za veliku vrednost argumenta x 1 imamo:
r
2
νπ π
Jν (x) →
cos(x −
− ),
πx
2
4
r
2
νπ π
Nν (x) →
sin(x −
− ).
πx
2
4
(6.4.90)
(6.4.91)
Ve´c iz (6.4.90-6.4.91) je jasno da Beselove funkcije imaju beskonaˇcno puno nula. Nule Beρ
selove funkcije ν-tog reda obeleˇzi´cemo sa xνn , n = 1, 2 . . . . Beselove funkcije Jν ( xνn
), za fiksno
a
ν, ˇcine ortogonalan skup funkcija na intervalu 0 ≤ ρ ≤ a,
Z a
xνn ρ
xνn0 ρ
a2
dρρJν (
)Jν (
) = [Jν+1 (xνn )]2 δnn0 .
(6.4.92)
a
a
2
0
Proizvoljnu funkciju f (ρ) (0 ≤ ρ ≤ a) moˇzemo razviti u Furije-Beselov red:
f (ρ) =
∞
X
Aνn Jν
n=1
gde je
Aνn =
Z
2
2
a2 Jν+1
(xνn )
a
0
ρ
,
xνn
a
ρ
dρρf (ρ)Jν xνn
.
a
(6.4.93)
(6.4.94)
Funkciju f (ρ), neprekidnu na intervalu 0 < ρ < ∞ moˇzemo razloˇziti u Furije-Beselov integral
Z ∞
f (ρ) =
cλ Jν (λρ)λdλ,
(6.4.95)
0
ˇ
ˇ
6.4. RESAVANJE
LAPLASOVE JEDNACINE
METODOM RAZDVAJANJA PROMENLJIVIH107
gde je ν proizvoljan ceo broj. Koeficijente cλ odredjujemo koriste´ci relacije ortogonalnosti
Z ∞
1
Jν (λρ)Jν (λ0 ρ)ρdρ = δ(λ0 − λ).
(6.4.96)
λ
0
Diferencijalna jednaˇcina
ν2
d2 R 1 dR
+
− 1 + 2 R = 0,
dx2
x dx
x
(6.4.97)
naziva se modifikovanom Beselovom jednaˇcinom. Njena reˇsenja su modifikovane Beselove funkcije
(1)
Iν (x) = i−ν Jν (ix) i Kν (x) = π2 iν+1 Hν (ix). One su linearno nezavisna reˇsenja jednaˇcine (6.4.97).
Razmatrajmo jedan primer. Potrebno je da nadjemo potencijal u unutraˇsnjosti cilindra
radijusa a i visine L ako su donja osnova cilindra i njegov omotaˇc na nultom potencijalu, a
gornja osnova je na konstantnom potencijalu V . U unutraˇsnjosti cilindra nema naelektrisanja.
Postavimo koordinatni sistem tako da mu je poˇcetak u centru donje osnove, a z osa je duˇz ose
simetrije cilindra usmerena ka gornjoj osnovi.
Reˇsenja za funkcije Q(ϕ), Z(z) i R(ρ) su
Q(ϕ) = A cos(mϕ) + B sin(mϕ)
Z(z) = C1 e−kz + C2 ekz
R(ρ) = CJm (kρ) + DNm (kρ) .
(6.4.98)
Nojmanova funkcija Nm (kρ) divergira za ρ = 0 pa moramo uzeti D = 0. Potencijal donje
osnove cilindra, z = 0, 0 < ρ < a je nula, ˇsto daje uslov Z(0) = 0 odakle je C2 = −C1 , pa je
Z ∼ sinh(kz). Za ρ = a potencilal je nula ˇsto daje J0 (ka) = 0 odakle je ka = xmn , n = 1, 2, . . . .
Prema tome opˇste reˇsenje je superpozicija partikularnih reˇsenja
Φ=
∞ X
∞
X
(Amn sin(mϕ) + Bmn cos(mϕ)) sinh(kz)Jm
x
m=0 n=1
mn ρ
a
,
(6.4.99)
gde su Amn i Bmn konstante. Iz graniˇcnog uslova Φ(ρ, ϕ, z = L) = V sledi
V =
∞ X
∞
X
0
(A0mn sin(mϕ) + Bmn
cos(mϕ))Jm
m=0 n=1
x
mn ρ
a
,
(6.4.100)
0
gde smo uveli nove konstante A0mn = Amn sinh(kL), Bmn
= Bmn sinh(kL). Primenom relacija
ortogonalnosti
Z
2π
dϕ sin(mϕ) sin(nϕ) = πδmn
0
2π
Z
dϕ cos(mϕ) cos(nϕ) = πδmn
0
Z
2π
dϕ sin(mϕ) cos(nϕ) = 0
0
(6.4.101)
ˇ
CHAPTER 6. ELEKTROSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
108
Figure 6.4:
dobijamo da je Amn = Bmn = 0 za m 6= 0. Prema tome potencijal je
x0n z x0n ρ Φ=π
B0n sinh(
)J0
.
a
a
n=1
∞
X
(6.4.102)
Potencijal ne zavisi od azimutalnog ugla, ϕ, ˇsto smo i na samom poˇcetku mogli da pretpostavimo.
Mnoˇzenjem (6.4.102) sa J0 (xol ρ/a)ρdρ i integracijom po ρ od 0 do a dobijamo
B0n =
4V
.
x0n J1 (x0n ) sinh( x0na L )
(6.4.103)
Konaˇcno reˇsenje za potencijal je dato sa
Φ=
∞
X
n=1
6.5
z
sinh( x0n
) x0n ρ 4V
a
J0
.
x0n J1 (x0n ) sinh( x0na L )
a
(6.4.104)
Elektrostatiˇ
cko polje provodnika
Kada se provodnik unese u elektrostatiˇcko polje onda tanak sloj slobodnih elektrona na povrˇsini
provodnika generiˇse polje koje unutar provodnika u potpunosti poniˇstava spoljnje polje. Ukupno
polje unutar provodnika jednako je nuli. Na slici 6.4 prikazali smo linije elektrostatiˇckog polja
provodnika koji se nalazi u ploˇcastom kondenzatoru. Iz graniˇcnih uslova sledi da elekriˇcno polje
na povrˇsini provodnika ima samo normalnu komponentu
E=
σ
n,
0
(6.5.105)
gde je n ort normale, a σ gustina povrˇsinskog naelektrisanja na povrˇsini provodnika (slika 6.5).
Povrˇsina provodnika je ekvipotencijalna povrˇsina; potencijal provodnika je ϕ. Ako u prostora
ˇ
6.5. ELEKTROSTATICKO
POLJE PROVODNIKA
109
Figure 6.5: Polje u provodniku je nula, a njegova povrˇsina je ekvipotecijalna.
Figure 6.6: Sistem nekoliko provodnika.
izmedju provodnika nema naelektrisanja onda elektrostatiˇcko polje zadovoljava jednaˇcine divE =
0, rotE = 0 odakle sledi da potencijal zadovoljava Laplasovu jednaˇcinu
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
+ 2 + 2 =0.
∂x2
∂y
∂z
2
2
2
Izvodi ∂∂xϕ2 , ∂∂yϕ2 , ∂∂zϕ2 moraju biti razliˇcitog znaka pa potencijal u oblasti prostora izmedju provodnika ne moˇze imati maksimum ili minimum. To znaˇci da naelektrisana ˇcestica ne moˇze biti u
stabilnoj ravnoteˇzi u tom polju jer potencijalna energija interakcije W = qϕ nema minimum.
Ovo je tzv. Irnˇsouova teorema.
Razmotrimo sistem od n provodnika prikazan na slici 6.6. Neka je naelektrisanje i− tog
provodnika qi , (i = 1, . . . , n), a njegov potencijal ϕi . Zamislimo sada da su provodnici naelektrisani nekim drugim naelektrisanjima qi0 i da su njihovi potencijali ϕ0i . Potencijal elektrostatiˇckog
polja u prvoj situaciji obeleˇzi´cemo sa ϕ(r), a u drugoj sa ϕ0 (r). Zapremina V je ceo prostor izuzimaju´ci prostor koji zauzimaju sami provodnici. Spoljnja granica ove oblasti ∂V je u
beskonaˇcnosti, ali povrˇsine provodnika su takodje granica ove oblasti. Primenom drugog Grinovog identiteta imamo
Z
I
n I
X
3
0
0
0
0
(6.5.106)
d r(ϕ4ϕ − ϕ 4ϕ) =
(ϕ∇ϕ − ϕ ∇ϕ)dS −
(ϕi ∇ϕ0 − ϕ0i ∇ϕ)dS .
V
∂V
i=1
Si
Povrˇsina i−tog provodnika je Si . Oba potencijala ϕ i ϕ0 zadovoljavaju Laplasovu jednaˇcinu;
ˇ
CHAPTER 6. ELEKTROSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
110
granica ∂V je u beskonaˇcnosti pa je prvi ˇclan sa desne strane nula. Naelektrisanje i−tog provodnika je
I
I
∇ϕ · ni dSi ,
(6.5.107)
qi = 0
E · ni dSi = −0
Si
Si
gde smo sa ni obeleˇzili ort normale i−tog provodnika. Iz drugog Grinovog identiteta sledi
n
X
qi ϕ0i
=
i=1
n
X
qi0 ϕi .
(6.5.108)
i=1
Formula (6.5.108) je Grinova teorema reciprociteta. Uzmimo sada da se naelektrisanje j-tog
provodnika promeni za δqj , a da naelektrisanja ostalih provodnika ostanu nepromenjena. Potencijali provodnika se promene sa ϕi na ϕ0i = ϕi + δϕi . Iz Grinove teoreme reciprociteta (6.5.108)
sledi
X
X
qi (ϕi + δϕi )
(6.5.109)
ϕj (qj + δqj ) +
qi ϕ i =
i
i6=j
odakle dobijamo
ϕj =
X
Sji qi
(6.5.110)
j
i
gde je Sji = δϕ
. Veliˇcine Sij su koeficijenti potencijala i oni ˇcine simetriˇcnu matricu. Invertoδqj
vanjem ove relacije dobijamo
X
qi =
Cij ϕj .
(6.5.111)
j
Koeficijent Cii je kapacitivnost i− tog provodnika, dok su Cij za i 6= j uzajamne kapacitivnosti.
Jasno je da je C = S −1 . Kapacitivnosti su pozitivne, dok su uzajamne kapacitivnosti negativne.
Ako su svi provodnici sem i−tog uzemljeni onda je njegovova kapacitivnost Cii = δqi /δϕi .
Sa porastom potencijala ovog provodnika raste i njegovo naelektrisanje pa je Cii > 0. Sa
druge strane uzmimo da su svi provodnici sem j−tog uzemljeni. Naelektrisanje i−tog provodnika je qi = Cij ϕj . Pove´canjem potencijala j−tog provodnika, ˇsto se u ovoj situaciji postiˇze
pove´cavanjem njegovog naelektrisanja, naelektrisanje drugih provodnika opada zbog indukcionog
efekta. Elektroni sa Zemlje dolaze na te provodnike. To znaˇci da je Cij < 0 za i 6= j. Matrice C je
takodje simetriˇcna. Koeficijenti potencijala i kapaciteta zavise od geometrije sistema provodnika.
Primer: Dve sfere radijusa a i b > a postavljene su koncentiˇcno. Odredite koeficijente Cij i
kapacitet ovog sistema.
Reˇsenje:
C11 = 4πε0
ab
b2
ab
ab
, C12 = −4πε0
, C22 = 4πε0
, C = 4πε0
.
b−a
b−a
b−a
b−a
ˇ
ˇ
6.6. JEDNOZNACNOST
LAPLASOVE JEDNACINE
ZA SISTEM PROVODNIKA
6.6
111
Jednoznaˇ
cnost Laplasove jednaˇ
cine za sistem provodnika
Neka je V oblast prostora izmedju provodnika, kao ˇsto smo prikazali na slici 6.6. Spoljaˇsnja
granica ove oblasti je ∂V , a unutraˇsnja granica su povrˇsine provodnika. Potencijal u unutraˇsnjosti
provodnika je stalan i jednak potencijalu na njegovoj povrˇsini, pa oblasti prostora koje zauzimaju
provodnici moˇzemo iskljuˇciti. Kao ˇsto smo ve´c rekli u oblasti prostora izmedju provodnika potencijal zadovoljava Laplasovu jednaˇcinu. Da bi Laplasova jednaˇcina imala jednoznaˇcno reˇsenje
u oblasti definisanoj u uvodu potrebno je i dovoljno da
1. su na graniˇcnoj povrˇsi oblasti V zadati ili Diriˇsleovi ili Nojmanovi graniˇcni uslovi;
2. za svaki provodnik znamo ili njegov potencijal ϕi ili njegovo ukupno naelektrisanje qi .
Pretpostavi´cemo da postoje dva reˇsenja ϕ0 i ϕ00 koja zadovoljavaju iste graniˇcne uslove. Njihova
razlika
u = ϕ0 − ϕ00
zadovoljava Laplasovu jednaˇcinu
4u = 0 .
(6.6.112)
Ukoliko potencijal na granici ∂V zadovoljava Diriˇsleov graniˇcni uslov onda je vrednost u|∂V = 0,
a ukoliko je na granici zadat Nojmanov graniˇcni uslov za potencijal, tada je
∂u =0.
∂n ∂V
Ako je na i-tom provodniku zadat potencijal onda ui = 0, a ako je zadato naelektrisanje onda je
I
−0
∇u · ni dSi = 0 .
(6.6.113)
Si
Sa ni obeleˇzili smo ort normale i−tog provodnika. Zamenom ψ = φ = u u prvi Grinov identitet
dobijamo
Z
I
XI
∂u
3
2
d r((∇u) + u4u) =
u dS −
ui ∇u · ni dSi .
(6.6.114)
∂n
V
∂V
S
i
i
Drugi sabirak sa leve strane je nula; prvi sabirak sa desne strane bilo da su zadati Diriˇsleovi bilo
Nojmanovi graniˇcni uslovi isˇcezava, dok drugi sabirak sa desne strane
XI
X I
ui ∇u · ni dSi =
ui
∇u · ni dSi
(6.6.115)
i
je takodje nula. Dakle
Si
i
Si
Z
d3 r(∇u)2 = 0
(6.6.116)
V
odakle sledi da je u = C, tj. reˇsenja ϕ0 i ϕ00 se razlikuju do na konstantu, ˇsto je zapravo jedno
te isto fiziˇcko reˇsenje.
ˇ
CHAPTER 6. ELEKTROSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
112
Figure 6.7:
6.7
Metod likova
Neka se naelektrisanja qi nalaze u prostoru izmedju provodnika. Na provodnicima se indukuju
naelektrisanja. Ova indukovana naelektrisanja zajedno sa naelektrisanjima qi generiˇsu elektrostatiˇcko polje. Metod likova sastoji se u tome da se nadju naelektrisanja-likovi qj0 koji zajedno
sa polaznim naelektrisanjima generiˇsu isto polje u odredjenoj oblasti prostora kao zadata i indukovana naelektrisanja na provodnicima.
Najprostiji primer je taˇckasto naelektrisanje q koje se nalazi na rastojanju a od beskonaˇcne
provodne uzemljene2 ravni. Neaelektrisanje q i indukovana naelektrisanja na provodnoj ravni u
poluprostoru z ≥ 0 generiˇsu polje prikazano na levoj strani slike 6.7. Sa druge strane naelektrisanje q i −q generiˇsu polje prikazano na desnoj strani slike 6.7. Ravan z = 0 je ekvipotencijalna
ravan na potencijalu ϕ = 0. U oblasti z ≥ 0 u oba sluˇcaja imamo isto naelektrisanje q i iste
graniˇcne uslove: potencijal je nula za z = 0 i u beskonaˇcnosti. Na osnovu teoreme o jedinstvenosti reˇsenja Laplasove jednaˇcine sledi da potencijal mora biti isti u oba sluˇcaja. Tako lik
−q zamenjuje naelektrisanja sa provodnika. Povrˇsinska gustina naelektrisanja na provodniku se
nalazi iz graniˇcnog uslova
q
∂ϕ a
=−
σ = −0 .
(6.7.117)
2
∂z z=0
2π (a + ρ2 )3/2
Ukupno indukovano naelektrisanje na provodniku je
Z ∞
2π
dρ ρσ = −q .
0
2
Uzemljen provodnik je provodnik na nultom potencijalu.
(6.7.118)
6.8. GRINOVE FUNKCIJE
113
Figure 6.8:
Drugi primer je provodna uzemljena kugla radijusa R i taˇckasto naelektrisanje q na rastojanju
a > R od centra sfere. Naelektrisanje q indukuje naelektrisanja na povrˇsini kugle i oni generiˇsu
elektrostatiˇcko polje u prostoru. Da li u ovom sluˇcaju moˇzemo da nadjemo lik q 0 naelektrisanja
q? Neka je lik smeˇsten u taˇcku P 0 kao na slici 6.8. Rastojanje OP obeleˇzi´cemo sa a, a OP 0 sa
a0 . Sferna ekvipotencijlna povrˇsina je na nultom potencijalu (predpostavljamo da postoji takva
povrˇs)
1 q0
q =0.
(6.7.119)
ϕ=
+
4π0 P0 M PM
Iz poslednjeg izraza je
r
0
q =−
R2 + a02 − 2Ra0 cos θ
q.
R2 + a2 − 2Ra cos θ
(6.7.120)
Po pretpostavci q 0 mora biti konstanta pa izvod podkorene funkcije po uglu θ je nula. Tako
dobijamo
a0 (R2 + a2 ) = a(R2 + a02 )
(6.7.121)
odakle je
R2
a =
a
0
(6.7.122)
i
R
q0 = − q .
(6.7.123)
a
Dakle naelektrisanja q i q 0 generiˇsu polje ˇcija je ekvipotencijalna povrˇs sfera radijusa R na nultom
potencijalu. Na osnovu teoreme o jedinstvenosti reˇsenja Laplasove jednaˇcine polje van ove sfere
isto je kao i polje van uzemljene metalne kugle u prisustvu naelektrisanja q.
6.8
Grinove funkcije
Metod Grinovih funkcija se dosta koristi pri reˇsavanju diferencijalnih jednaˇcina. Neka je
Dx F = J(x)
(6.8.124)
ˇ
CHAPTER 6. ELEKTROSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
114
diferencijalna jednaˇcina gde je D diferencijalni operator, x nezavisno promenljiva, J = J(x)
’nehomegeni deo’ jednaˇcine ili ’izvor’ a F je polje koje ˇzelimo da odredimo . Grinova funkcija
G(x, x0 ) je reˇsenje jednaˇcine
Dx G(x, x0 ) = δ(x − x0 )
(6.8.125)
gde je izvor polja delta funkcija. Dakle, Grinova funkcija je odgovor sistema na jediniˇcnu pobudu.
Dirakova delta funkcija je matriˇcni element jediniˇcnog operatora u koordinatnom prostoru pa iz
poslednjeg izraza sledi da je Grinova funkcija inverzni diferencijalni operator G = D−1 . Reˇsenje
naˇse polazne diferencijalne jednaˇcine je
Z
F (x) = dx0 G(x, x0 )J(x0 ) + F0 (x) ,
(6.8.126)
gde je F0 (x) reˇsenje homogene jednaˇcine. Da je (6.8.126) doista reˇsenje lako se pokazuje:
Z
Dx F =
dx0 Dx G(x, x0 )J(x0 ) + Dx F0
Z
=
dx0 δ(x − x0 )J(x0 )
= J(x) .
(6.8.127)
Nadjimo Grinovu funkciju za oscilator. Jednaˇcina oscilatora je
d2
2
+
ω
x(t) = J(t) ,
dt2
gde je
D=
d2
+ ω2
(6.8.128)
dt2
diferencijalni operator, ω frekvenca oscilatora, a J(t) prinudna ’sila’. Odgovaraju´ca Grinova
funkcija zadovoljava diferencijalnu jednaˇcinu
d2
2
+
ω
G(t, t0 ) = δ(t − t0 ) .
(6.8.129)
dt2
Reˇsenje jednaˇcine oscilatora je
Z
x(t) =
dx0 G(x, x0 )J(x0 ) + x0 (t) .
(6.8.130)
Grinova funkcija za Poasonovu jednaˇcinu zadovoljava
40 G(r, r 0 ) = −4πδ (3) (r − r 0 ) .
(6.8.131)
Konstanta −4π sa desne strane jednaˇcine nema neki poseban znaˇcaj. Ovako definisana Grinova
funkcija G(r, r 0 ) je potencijal u taˇcki r 0 od taˇckastog naelektrisanja 4π0 koje se nalazi u r. Na
osnovu Dirak-Grinovog identiteta znamo da je
1
|r − r 0 |
(6.8.132)
6.8. GRINOVE FUNKCIJE
115
partikularno reˇsenje (6.8.131). Opˇste reˇsenje jednaˇcine (6.8.131) je
G(r, r 0 ) =
1
+ F (r, r 0 )
|r − r 0 |
(6.8.133)
gde je F = F (r, r 0 ) reˇsenje homogene jednaˇcine
40 F (r, r 0 ) = 0 .
(6.8.134)
Ako stavimo da je φ = ϕ(r 0 ) i ψ = G(r, r 0 ) u drugi Grinov identitet (6.3.18) dobijamo
Z
I 3 0
0
0
0
0
0
0
d r ϕ(r )4 G(r, r ) − G(r, r )4 ϕ(r ) =
ϕ∇0 G(r, r 0 ) − G(r, r 0 )∇0 ϕ dS0 . (6.8.135)
∂V
V
Primenom (6.8.131) dolazimo do
Z
I 1
1
0
0 3 0
ϕ(r) =
G(r, r )ρ(r )d r +
G(r, r 0 )∇0 ϕ − ϕ∇0 G(r, r 0 ) dS0
4π0 V
4π ∂V
odnosno
1
ϕ(r) =
4π0
Z
V
1
G(r, r )ρ(r )d r +
4π
0
0
3 0
I
G(r, r 0 )
∂V
∂ϕ
0 ∂G
−
ϕ(r
)
dS0 ,
∂n0
∂n0
(6.8.136)
(6.8.137)
gde je n0 ort graniˇcne povrˇsine. Ako nadjemo Grinovu funkciju onda primenom gornje formule
odredjujemo potencijal. Potencijal ima dva sabirka. U prvom figuriˇse Grinova funkcija a drugi
sabirak je povrˇsinski ˇclan. U njemu su prisutni potencijal, Grinova funkcija i njihovi izvodi u
pravcu normale na granici.
Grinova funkcija nije jednoznaˇcno odredjena zbog proizvoljnosti njenog homogenog dela F
u (6.8.133). Zbog toga moˇzemo, nezavisno od potencijala, nametnuti odredjene graniˇcne uslove
na Grinovu funkciju. Najˇceˇs´ce se koriste Diriˇsleova i Nojmanova Grinova funkcija. Diriˇsleov
graniˇcni uslov za Grinovu finkciju je
0 GD (r, r )
=0
(6.8.138)
r 0 ∈S
pa (6.8.137) postaje
1
ϕ(r) =
4π0
Z
V
1
GD (r, r )ρ(r )d r −
4π
0
0
3 0
I
ϕ(r 0 )
∂V
∂GD 0
dS .
∂n0
(6.8.139)
Diriˇsleova Grinova funkcija je simetriˇcna na zamenu argumenata r i r 0 , tj.
GD (r, r 0 ) = GD (r 0 , r) .
Da bi ovo pokazali primenite drugi Grinovog identitet
Z
I
3
d y(φ4ψ − ψ4φ) =
(φ∇ψ − ψ∇φ)dS
V
∂V
(6.8.140)
(6.8.141)
ˇ
CHAPTER 6. ELEKTROSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
116
sa
φ = GD (r, y), ψ = GD (r 0 , y) .
(6.8.142)
Primer: Na´ci potencijal unutar sfere radijusa R ako se na rastojanju b < R od centra sfere
nalazi taˇckasto naelektrisanje q. Potencijal sfere je zadat.
Kod nametanja Nojmanovog graniˇcnog uslova moramo biti oprezni. Naime izbor
∂GN (r, r 0 ) (6.8.143)
0 =0
∂n0
r ∈S
je nekonzistentan sa (6.8.131). Integraljenjem (6.8.131) po oblasti V dobijamo
Z
d3 r0 40 G(r, r 0 ) = −4π
odnosno, primenom Gausove teoreme
I
dS 0
S
∂G
= −4π .
∂n0
(6.8.144)
(6.8.145)
Sad je jasno da izvod Grinove funkcije u pravcu normale na graniˇcnoj povrˇsi ne moˇze biti nula.
Zato se za Nojmanov graniˇcni uslov uzima
∂GN (r, r 0 ) 4π
(6.8.146)
0 =−
0
∂n
S
r ∈S
pa je
1
ϕ(r) =
4π0
Z
V
1
GN (r, r )ρ(r )d r +
4π
0
0
3 0
I
∂V
∂ϕ(r 0 )
GN dS 0 + hϕiS ,
0
∂n
(6.8.147)
gde je
I
1
hϕiS =
dSϕ
S
srednja vrednost potencijala na graniˇcnoj povrˇsini.
6.9
(6.8.148)
Energijski odnosi u elektrostatiˇ
ckom polju
Na osnovu Pointingove teoreme vidimo da je energija elektrostatiˇckog polja u vakuumu u oblasti
V data sa
Z
0 E2
W =
d3 r
.
(6.9.149)
2
V
Primenom E = −∇ϕ i vektorskog identiteta (A.0.1), energija polja se transformiˇse prema
Z
0
W = −
d3 rE · ∇ϕ
2 V
Z
0
= −
d3 r div(ϕE) − ϕdivE
2 V
I
Z
1
0
ϕE · dS +
d3 rρϕ .
(6.9.150)
= −
2 S
2 V
ˇ
6.9. ENERGIJSKI ODNOSI U ELEKTROSTATICKOM
POLJU
117
Figure 6.9: Sopstvena energija.
Potpuno polje u konaˇcnoj oblasti prostora je polje koje je jednako nuli na granici ove konaˇcne
oblasti. Ako je oblast prostora beskonaˇcna, tj. V = R3 za polje ´cemo re´ci da je potpuno ako
na velikim rastojanjima opada bar kao 1/r2 . Potencijal takvog polja se na velikim rastojanjima
ponaˇsa kao 1/r ili brˇze opada u nulu. Ukoliko je polje potpuno povrˇsinski ˇclan u zadnjem izrazu
je jednak nuli pa je energija elektrostatiˇckog polja
Z
1
W =
d3 rρϕ .
(6.9.151)
2 V
U prethodnom izrazu se integrali u oblasti u kojoj je zapreminska gustina naelektrisanja nenulta.
Energiju polja moˇzemo, koriste´ci izraz za potencijal, da prepiˇsemo u slede´cem obliku
Z Z
1 1
ρ(r)ρ(r 0 ) 3 3 0
W =
d rd r .
(6.9.152)
2 4π0
|r − r 0 |
Podintegralni izraz u gornjoj formuli je energija interakcije naelektrisanja ρ(r)d3 r i ρ(r 0 )d3 r0 koji
su u taˇckama r odnosno r 0 , kao ˇsto je prikazano na slici 6.9. Faktor 21 je prisutan jer se doprinos
svakog para pri integraciji raˇcuna dva puta. Energija (6.9.152) je sopstvena energija zapreminske
raspodele naelektrisanja ρ = ρ(r). Neka elektriˇcno polje generiˇsu dve raspodele naelektrisanja ρ1
i ρ2 . Ukupno elektriˇcno polje je E(r) = E1 (r) + E2 (r), gde su E1 (r) i E2 (r) polja koja generiˇsu
ove raspodele. Energija polja je data sa
Z
Z
Z
0
0
3
2
3
2
W =
d rE1 +
d rE2 + 0
d3 rE1 · E2 .
(6.9.153)
2 V
2 V
V
Prva dva ˇclana predstavlju sopstvene energije prve odnosno druge raspodele naelektrisanja, dok
je poslednji izraz energija interakcije ove dva raspodele. Ako zamenimo E2 = −∇ϕ2 u izraz za
energiju interakcije
Z
d3 rE1 · E2
Wint = 0
(6.9.154)
V
Z
dobi´cemo
d3 rρ1 (r)ϕ2 (r) .
Wint =
V1
(6.9.155)
118
ˇ
CHAPTER 6. ELEKTROSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
Figure 6.10: Energija interakcije.
Analogno zamenom E1 = −∇ϕ1 dolazi se do
Z
Wint =
d3 rρ2 (r)ϕ1 (r) .
(6.9.156)
V2
Zamenom izraza za potencijal koji potiˇce od druge raspodele naelektrisanja u (6.9.155) dobijamo
Z Z
1
ρ1 (r1 )ρ2 (r2 ) 3 3
Wint =
d r1 d r2 .
(6.9.157)
4π0 V1 V2 |r1 − r2 |
U izrazima za energiju interakcije dve raspodele naelektrisanja nema faktora 1/2 jer se energija
interakcija svakog para uraˇcunava jednom.
Odredimo potencijalnu energiju interakcije sistema (nepokretnih) naelektrisanih ˇcestica sa
spoljaˇsnjim poljem ϕ(r). Ovo polje generiˇsu neka druga naelektrisanja. Zamenom izraza za
zapreminsku gustinu naelektrisanja
ρ(r) =
N
X
qα δ (3) (r − rα )
(6.9.158)
α=1
u izraz za energiju interakcije dobija se
Z
N
N
X
X
3
(3)
Wint = d r
qα δ (r − rα )ϕ(r) =
qα ϕ(rα ) .
α=1
(6.9.159)
α=1
Sopstvena potencijalna energija sistema naelektrisanih ˇcestica je
1X
qα ϕ α
W =
2 α=1
1 1 X qα qβ
=
,
2 4π0 α6=β |rα − rβ |
N
(6.9.160)
gde smo divergentne ˇclanove α = β u gornjoj sumi izostavili. Sopstvena energija taˇckastog
naelektrisanja
Z
1 q 2 ∞ dr
(6.9.161)
W =
4π0 2 0 r2
ˇ
6.9. ENERGIJSKI ODNOSI U ELEKTROSTATICKOM
POLJU
119
je beskonaˇcna zbog ponaˇsanja podintegralnog izraza u donjoj granici integracije 3 . Ovo znaˇci da
na mailm rastojanjima klasiˇcna elektrodinamika prestaje da vaˇzi. Ako bi naelektrisanje q bilo
rasporedjeno unutar kugle radijusa a elektrostatiˇcka energija bi bila oblika
1 q2
W =κ
,
4π0 a
(6.9.162)
gde je κ koeficijent reda jedinice. On zavisi od konkretne raspodele naelektrisanja. Ako ovu
energiju izjednaˇcimo sa mc2 , gde je m masa elektrona dobijamo
a=
q2
.
4π0 mc2
(6.9.163)
Za elektron a je reda veliˇcine 10−15 m i naziva se klasiˇcnim radijusom elektrona. Na ovom rastojanju klasiˇcna elektrodinamika prestaje da vaˇzi. Ovaj rezultat smo dobili iz same klasiˇcne
elektrodinamike. Medjutim u okviru kvantne elektrodinamike dobija se da klasiˇcna elektrodinamika prestaje da vaˇzi joˇs na rastojanjima reda Komptonove talasne duˇzini elektrona
λc =
~
∼ 10−13 m .
mc
(6.9.164)
Neka spoljaˇsnje elektrostatiˇcko polje generiˇsu naelektrisanja koja su na velikom rastojanju
od oblasti prostora koju zauzima neka raspodela nealektrisanja ρ(r). Potencijal spoljaˇsnjnjeg
polja ϕ(r) se malo promeni unutar oblasti prostora koju zauzima raspodela nealektrisanja ρ(r)
i moˇzemo ga razviti u red oko pola koordinatnog sistema koji se nalazi unutar ove raspodele.
Energija interakcije spoljneg polja sa naelektrisanjima ρ(r) je onda
Z
Z
h
i
∂ϕ 3
Wint =
d rρϕ =
d3 rρ(r) ϕ(0) + xi
+
.
.
.
∂xi 0
V
V
(6.9.165)
= Qϕ(0) − p · E(0) + . . . .
Prvi ˇclan predstavlja energiju interakcije ukupnog naelektrisanja sistema koje se nalazi u koordinatnom poˇcetku sa spoljnjim poljem, naredni ˇclan je dipolna interakcija. Viˇse ˇclanove nismo
pisali. Iz ovog izraza vidimo da je energija interakcija stalnog dipola momenta p sa spoljaˇsnjim
poljem data sa
W = −p · E .
(6.9.166)
Sliˇcno silu interakcije raspodele naelektrisanja sa spoljnim poljem moˇzemo razviti po multipolima
Z
Z
i
h
∂E 3
F =
d rρE =
d3 rρ(r) E(0) + xi
+ ...
∂xi 0
V
V
= QE(0) + (p · ∇)E(0) + . . . .
(6.9.167)
Prvi ˇclan je monopolni a slede´ci dipolni. Elektrostatiˇcka sila je konzervativna jer je
F = −∇Wint .
3
Ako bi donje granica integracije bila integral se ponaˇsa kao 1/.
(6.9.168)
120
ˇ
CHAPTER 6. ELEKTROSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
Sila kojom spoljnje elektrostatiˇcko polje deluje na dipol je
F = (p · ∇)E .
Moment sile kojom spoljnje polje deluje na sistem naelektrisanja koji miruju je
Z
M=
d3 rr × ρE = p × E(0) + . . . .
(6.9.169)
(6.9.170)
V
Nadjimo sada elektrostatiˇcku potencijalnu energiju sistema od N provodnika. Naelektrisanje
na i−tom provodniku obeleˇzi´cemo sa qi , a potencijal sa ϕi . Uze´cemo da je oblast V oblast prostora izmedju provodnika. Granica ove oblasti je unija spoljaˇsnje granice S koja je u beskonaˇcnosti
i same povrˇsine provodnika. Povrˇsina i−tog provodnika je Si . Primenom Gausove teoreme
imamo
Z
0
W = −
d3 rE · ∇ϕ
2 V
Z
0
d3 r div(ϕE) − ϕdivE
= −
2 V
I
I
0
0 X
= −
ϕE · dS +
ϕE · dS
2 S
2 i Si
I
1 X
=
0
ϕi
E · dS
2
Si
i
1X
(6.9.171)
ϕ i qi .
=
2 i
Pri primeni Gausove teoreme vodili smo raˇcuna o asimptotskom ponaˇsanju polja na velikim rastojanjima od provodnika. Formulu za potencijalnu energiju moˇzemo prepisati preko koeficijenata
potencijala odnosno kapaciteta.
W =
1X
1X
Cij ϕi ϕj =
Sij qi qj .
2 i,j
2 i,j
(6.9.172)
Vidimo da je energija bilinearna forma pa naelektrisanjima provodnika. Energija sistema provodnika je pozitivna jer smo krenuli od izraza koji je kvadratan po jaˇcini polja. Kvadratna forma
(6.9.172) je pozitivna ako vaˇzi slede´ci uslov
Cii Cjj > Cij2 .
Chapter 7
Dielektrici u konstantnom elektriˇ
cnom
polju
Pod dejstvom spoljnjeg elektrostatiˇckog polja dielektrici se polarizuju, tj. polarizacija dielektrika
P(r) je razliˇcita od nule. Polarizacija u vakuumu je jednaka nuli. D−vektor je
D = 0 E + P ,
(7.0.1)
gde je E makroskopsko polje u dielektriku. Ono je dobijeno usrednjavanjem mikroskopskog
polja, E = he(r)i. Kako je D = 0 ˆE, gde je ˆ tenzor dielektriˇcne propustljivosti sredine to je
P = 0 (ˆ − 1)E = 0 χˆe E ,
(7.0.2)
gde je χˆe = ˆ − 1 tenzor dielektriˇcne susceptibilnosti dielektrika.
7.1
Klauzijus-Mosotijeva relacija
Makroskopsko polje u sredini E dobijeno je usrednjavanjem mikroskopskog elektriˇcnog polja po
zapremini mnogo ve´coj od zapremine samog molekula. Ta zapremina je makroskopski mala a
mikroskopski velika. Polje koje deluje na neki molekul dielektriˇcne sredine obeleˇzi´cemo sa E0 i
ono se u opˇstem sluˇaju ne poklapa sa makroskopskim poljem. Polje E0 potiˇce od spoljnjeg polja i
polja molekula sredine iskljuˇcuju´ci uoˇceni molekul. Za razredjene sredine E0 ≈ E, medjutim kod
teˇcnosti i ˇcvrstih tela molekuli su gusto pakovani pa je polje koje deluje na molekul razliˇcito od
makroskopskog polja. Neka je R polupreˇcnik sfere ˇciji se centar poklapa sa uoˇcenim molekulom.
Unutar sfere nalazi se veliki broj molekula, ali je taj broj mnogo manji od ukupnog broja
molekula dielektrika. Polje E0 ´cemo napisati u obliku E0 = E + Ei , gde je Ei korekcija polja.
Polje Ei je Ei = Eokolni − EP , gde je Eokolni polje u centru sfere koje potiˇce od molekula iz sfere
ne raˇcunaju´ci uoˇceni molekul. Polje EP je makroskopsko polje unutar kugle radijusa R ˇcija je
polarizacija P skoro konstantna. Pokazali smo da je ovo polje EP = − 3P0 . Dakle, da bi naˇsli
polje E0 od makroskopskog polja E oduze´cemo polje EP i doda´cemo polje okolnih melekula. U
ve´cini sluˇcajeva, iz simetrijskih razloga Eokolni = 0 .
121
122
ˇ
CHAPTER 7. DIELEKTRICI U KONSTANTNOM ELEKTRICNOM
POLJU
Dakle, efektivno polje koje deluje na molekul
E0 = E +
P
.
30
(7.1.3)
Elektriˇcni dipolni moment molekula je funkcija polja E0 i razvi´cemo ga u red oko nultog polja
∂p 0
p(E ) = p(0) +
E + ... ,
∂Ei0 0 i
0
(7.1.4)
odnosno po komponentama
pj = pj (0) + 0 βji Ei0 + . . . ,
(7.1.5)
∂p gde je βji = ε10 ∂Eji tenzor polarizabilnosti molekula. Dakle, elektriˇcni dipolni moment molekula
0
je
ˆ 0 + ...
p = p0 + 0 βE
(7.1.6)
Prvi ˇclan je sopstveni dipolni moment molekula. Molekuli koji imaju sopstveni dipolni moment
razliˇcit od nule su polarni molekuli (npr. H2 O, HCl). Za nepolarne molekule p0 = 0. Nepolarni molekuli su O2 , H2 , CH4 . Tenzor polarizabilnosti molekula je mikroskopski, dok je tenzor
susceptibilnosti makroskopski parametar.
Uze´cemo da su molekuli sredine nepolarni i da je polarizabilnost β skalar. Polarizacija je
P = n hpi = n0 βE0 ,
(7.1.7)
gde je n broj molekula po jedinici zapremine (koncentracija molekula). Zamenom (7.1.3) u
prethodni izraz dolazimo do
P
P = n0 β E +
(7.1.8)
30
odakle je
P = 0
nβ
E.
1 − nβ
3
(7.1.9)
Sredina je linearna i dielektriˇcna susceptibilnost je
χe =
Odavde je
nβ
.
1 − nβ
3
−1
nβ
NA ρβ
=
=
,
+2
3
3M
(7.1.10)
(7.1.11)
gde je NA Avogadrov broj, ρ masena gustina, M molska masa. Poslednja relacija je KlauzijusMosotijeva relacija. Ona se dobro slaˇze sa eksperimentalnim podacima za razredjene supstance
kao ˇsto su gasovi.
7.2. MODELI POLARIZOVANJA DIELEKTRIKA
7.2
123
Modeli polarizovanja dielektrika
Postoje dva mehanizma polarizovanja sredine. Jedan je tzv. orjentaciono polarizovanje a drugi
deformaciono. Kada se molekul nadje u spoljnjem polju dolazi do indukcije dipolnog moment
molekula. Sa druge strane spoljnje polje teˇzi da dipole orjentiˇse u smeru polja. U tome mu se
suprostavlja termalno kretanje molekula. Kod polarnih molekula sopstveni moment je mnogo
ve´ci od indukovanog pa je za njih karakteristiˇcno orjentaciono polarizovanje. Sa druge strane za
nepolarne molekule karakteristiˇcno je indukovanje dipolnog momenta, tj. deformaciono polarizovanje.
Analizirajmo prvo orjentaciono polarizovanje. Ono je zasnovano na teoriji koja potiˇce od
Lanˇzvena. Razmatrajmo izotropan dielektrik. Energija interakcije molekula sa spoljnjim poljem
je U = −p0 · E, gde je p0 sopstveni dipolni moment molekula. Indukovani dipolni moment je
zanemarljiv. Dipol-dipol interakcija izmedju molekula je takodje zanemarljiva. Uze´cemo da je
spoljnje polje duˇz z−ose, E = Ee3 . Orjentacija molekula je data sa dve generalisane koordinate
θ i ϕ.
Srednja vrednost dipolnog momenta molekula je odredjena po Bolcmanovoj raspodeli
R π R 2π
p0 E cos θ
p0 e kT sin θdθdϕ
0 0
hpi = R π R 2π p0 E cos θ
(7.2.12)
kT
sin
θdθdϕ
e
0 0
Uveˇs´cemo oznaku a =
p0 E
.
kT
Z
π
Integral u brojiocu je
Z
2π
sin θdθdϕ(sin θ cos ϕe1 + sin θ sin ϕe2 + cos θe3 )ea cos θ
I1 = p0
0
Z0
π
dθ sin θ cos θea cos θ
0
Z
d π
= 2πp0 e3
dθ sin θea cos θ
da 0
(ea + e−a )a − (ea − e−a )
.
= 2πp0 e3
a2
= 2πp0 e3
(7.2.13)
Srednja vrednost dipolnog momenta je
hpi = p0
ea + e−a
ea − e−a
−
1
e3
a
(7.2.14)
odnosno
hpi = p0 L(a)e3 ,
(7.2.15)
gde je
1
(7.2.16)
a
Lanˇzvenova funkcija. Lanˇzvenova funkcija je nacrtana na slici 7.1. Ova funkcija je rastu´ca,
ima vertikalnu asimptotu, y = 1. Tangenta na funkciju u taˇcki (0, 0) je y = x/3. Na sobnoj
temperaturi T = 300K je kT ≈ 0, 025eV. Red veliˇcine dipolnog momenta je p ≈ 10−10 em. Za
L(a) = coth a −
124
ˇ
CHAPTER 7. DIELEKTRICI U KONSTANTNOM ELEKTRICNOM
POLJU
Figure 7.1: Lanˇzvenova funkcija.
0E
1 je mala.
polja koja su mnogo manja od 106 Vcm−1 , ˇsto je dosta jako polje veliˇcina a = pkT
Dakle za slaba polja odnosno visoke temperature je L(a) ≈ a/3 pa veza izmedju polja i dipolnog
momenta postaje linearna
p2
hpi = 0 E .
(7.2.17)
3kT
Polarizacija dielektrika je
np20
P = n hpi =
E
(7.2.18)
3kT
odakle je relativna dielektriˇcna propustljivost
=1+
np20
.
30 kT
(7.2.19)
Sa porastom temperature dielektriˇcna propustljivost opada.
Sada ´cemo analizirati deformaciono polarizovanje. Primeni´cemo Lorencovu elektronsku teoriju. Smatra´cemo da su elektroni elastiˇcno vezani za jezgro (tzv. oscilatorni model atoma).
Elektron indeksa s osciluje sa sopstvenom frekvencom ωs . Jednaˇcina kretanja elektrona unutar
molekula je
m¨rs = −mωs2 rs − eE ,
(7.2.20)
gde je E spoljnje polje. U elektrostatiˇckom polju elektroni se nalaze u ravnoteˇznom poloˇzaju
koji je odredjen sa
eE
.
(7.2.21)
r0s = −
mωs2
Elektriˇcni dipolni moment molekula je prtema tome
e2 X 1
E
p=
m s=1 ωs2
(7.2.22)
e2 X 1
β=
.
0 m s=1 ωs2
(7.2.23)
Z
odakle je polarizabilnost
Z
7.3. SILA I ENERGIJA
125
Polarizabilnost atoma odnosno molekula ima dimenzije zapremine pa je ona reda veliˇcine zapremine atoma/molekula β ∼ a3 ∼ 10−29 m3 . Kako je koncentracija molekula gasa n ∼ 1025 m−3
to je susceptibilnost gasova χe = nβ ∼ 10−4 . Dielektriˇcna propustljivost vazduha je 1, 00054.
Za ˇcvrsta i teˇcna tela n ∼ 1028 m−3 pa je susceptibilnost reda 1.
7.3
Sila i energija
Energija elektrostatiˇckog polja u prisustu dielektriˇcne sredine je
Z
1
W =
d3 rD · E .
2 V
Primenom E = −∇ϕ i Gausove teoreme imamo
Z
1
W = −
d3 rD · ∇ϕ
2 V
Z
Z
1
1
3
d rdiv(ϕD) +
d3 rϕdivD
= −
2 V
2 V
Z
1
=
d3 rϕρ .
2 V
(7.3.24)
(7.3.25)
Povrˇsinski integral je jednak nuli zbog asimptotike polja u beskonaˇcnosti. U poslednjoj formuli
ρ je gustina slobodnih i spolja unetih naelektrisanja u sredinu. Da ponovimo joˇs jednom da
nije dovoljno da u sredini postoje slobodna naelektrisanja, ve´c da ona moraju biti u viˇsku ili u
manjku.
Sila kojom elektriˇcno polje deluje na dielektrik naziva se ponderomotornom silom. Da bi je
odredili primeni´cimo metod virtuelnih pomeranja, tj. varijacioni raˇcun. Neka se pri virtuelnom
pomeranju sredine taˇcka r infinitezimalno pomeri u taˇcku r + δr. Veliˇcina δr = δr(r) se naziva
virtuelnim pomeranjem; razliˇcite taˇcke dielektrika se virtuelno pomeraju za razliˇcite vrednosti.
Ova promena uzrokuje promenu svih veliˇcina: dielektriˇcne propustljivosti, potencijala polja,
gustine naelektrisanja, gustine mase supstance i drugih. Pri virtuelnom pomeranju gustina
naelektrisanja se promeni prema ρ(r) → ρ0 (r + δr).
Elementarno mala zapremina dV pri virtuelnom pomeranju prelazi u zapreminu dV 0 . Infinitezimalno malu zapreminu dV 0 moˇzemo izraziti u starim koordinatama dV 0 = |J|dV , gde je
Jakobijan dat sa
∂(δxi ) J = det δij +
(7.3.26)
∂xj
Primenom formule det M = etr ln M dobijamo
J = e
tr ln
δij +
∂(δxi )
∂xj
∂(δxi )
= 1+
∂xi
= 1 + div(δr) .
=e
tr
∂(δxi )
∂xj
(7.3.27)
126
ˇ
CHAPTER 7. DIELEKTRICI U KONSTANTNOM ELEKTRICNOM
POLJU
U prethodnom izvodjenju koristili smo ˇcinjenicu da su varijacije δxi infinitezimalno male. Dakle
dV 0 = (1 + div(dr))dV .
(7.3.28)
ρ0 (r + δr)dV 0 = ρ(r)dV .
(7.3.29)
ρ0 (r0 ) = (1 − div(δr))ρ(r) .
(7.3.30)
δT ρ(r) = ρ0 (r + δr) − ρ(r)
(7.3.31)
Zakon odrˇzanja naelektrisanja
daje
Veliˇcina
predstavlja razliku gustine naelektrisanja nakon virtuelnog pomeranja dielektrika u novoj taˇcki
r + δr i gustine naelektrisanja u polaznoj taˇcki r. Ova veliˇcina se naziva totalnom varijacijom
gustine naelektrisanja. Dobijamo
δT ρ(r) = −ρdiv(δr) .
(7.3.32)
δρ(r) = ρ0 (r) − ρ(r)
(7.3.33)
Promena
se naziva varijacijom forme gustine naelektrisanja ili lokalnom varijacijom. Lako se vidi da je
δT ρ(r) = ρ0 (r + δr) − ρ(r)
= ρ0 (r) + δr · 5ρ(r) − ρ(r)
= δρ(r) + δr · 5ρ(r) .
(7.3.34)
Ovo je veza izmedju varijacije forme i totalne varijacije. Lokalna promena gustine naelektrisanja
je
δρ = −div(ρδr) .
(7.3.35)
Potpuno analogno se nalaze totalna i lokalna varijacija gustine mase supstance
δT ρm (r) = −ρm div(dr)
δρm = −div(ρm δr) .
Enerija polja u dielektriku moˇze da se napiˇse na dva ekvivalentna naˇcina
Z
1
0
W =
d3 rD · E
2 V
odnosno
1
W =
2
00
(7.3.36)
(7.3.37)
Z
d3 rϕρ .
V
(7.3.38)
7.3. SILA I ENERGIJA
127
Varira´cemo oba izraza za energiju polja. Variranjem prvog dobijamo
Z
1
0
δ
δW =
d3 r0 (5ϕ)2
2 V
Z
1
3
2
=
d r 0 δ(5ϕ) + 20 (5ϕ) · δϕ
2 V
Z
1
d3 r 0 δ(5ϕ)2 − 2D · ∇ϕ
=
2 V
Z
I
1
3
2
=
d r 0 δE + 2ρδϕ − dS · Dδϕ
2 V
Z
1
d3 r 0 δE2 + 2ρδϕ .
=
2 V
(7.3.39)
U zadnjem koraku smo iskoristili ˇcinjenicu da je povrˇsinski ˇclan jednak nuli. Sa druge strane
variranjem drugog izaraza za energiju polja imamo
Z
1
00
δW =
d3 r ρδϕ + ϕδρ .
(7.3.40)
2 V
Kombinuju´ci ova dva izraza imamo
00
0
Z
δW = 2δW − δW =
V
1
d3 r ϕδρ − 0 E2 δ .
2
(7.3.41)
Kod gasova i teˇcnosti dielektriˇcna propustljivost je funkcija gustine supstance, = (ρm (r)).
Totalna varijacija dielektriˇcne propustljivosti uslovljena je promenom gustine supstance
δT = (ρ0m (r 0 )) − (ρm (r)) =
∂
∂
δT ρm (r) = −
ρm div(δr) .
∂ρm
∂ρm
Zamenom (7.3.35) i (7.3.42) u (7.3.41) dobijamo
Z
1 ∂ 1 2 δW =
d3 r − ρE − ∇ 0 E2 ρm
+ E ∇ · δr
2
∂ρm
2
V
Zapreminska gustina sile, f koja deluje na dielektrik se dobija iz
Z
δW = −
d3 rf · δr .
(7.3.42)
(7.3.43)
(7.3.44)
V
Prema tome sila je
Z
1 ∂ 1 2
2
.
d r ρE − E ∇ + ∇ 0 E ρm
2
2
∂ρm
3
F=
V
(7.3.45)
Prvi ˇclan je sila koja deluje na spolja uneta i slobodna naelektrisanja, drugi je posledica nehomogenosti dielektriˇcne konstante. Poslednji ˇclan je tzv. elektrostrikcioni ˇclan. Prva dva ˇclane
se mogu prepisati preko Maksvelovog tenzora napona.
128
ˇ
CHAPTER 7. DIELEKTRICI U KONSTANTNOM ELEKTRICNOM
POLJU
Chapter 8
Magnetostatiˇ
cko polje u vakuumu
Osnovne zakone magnetostatike smo izloˇzili u sekciji 2.2, tako da je ovo poglavlje nastavak
te lekcije. Magnetostatiˇcko polje generiˇsu naelektrisanja u stacionarnom kretanju. Gustine
naelektrisanja i struje kod stacionarnog kretanja ne zavise od vremena ρ = ρ(r), j = j(r) i vaˇzi
divj = 0. Maksvelove jednaˇcine za magnetno polje su u ovom sluˇcaju dekuplovane od jednaˇcina
za elektriˇcno polje. Magnetostatiˇcko polje zadovoljava
divB = 0
rotB = µ0 j.
(8.0.1)
Magnetostatiˇcko polje je solenoidno pa ga moˇzemo predstaviti u obliku B = rotA. Iz identiteta rotgrad = 0 zakljuˇcujemo da je vektorski potencijal nejednoznaˇcan, tj. moˇzemo mu dodati
gradijent neke funkcije
A → A − ∇f (r) .
(8.0.2)
Ova nejednoznaˇcnost je specijalan sluˇcaj gradijentnih transformacija. Zamenom B = rotA u
Amperovu teoremu (8.0.1) dobijamo
∇divA − 4A = µ0 j .
(8.0.3)
U Kulonovoj kalibraciji potencijala, divA = 0 ova jednaˇcina postaje
4A = −µ0 j .
(8.0.4)
ˇsto je Poasonova jednaˇcina koju smo detaljno analizirali u prethodnim lekcijama.
8.1
Energetski odnosi u magnetostatiˇ
ckom polju
Energija magnetostatiˇckog polja u vakuumu unutar oblasti V je
Z
1
W =
d3 rB2 .
2µ0 V
129
(8.1.5)
130
ˇ
CHAPTER 8. MAGNETOSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
Primenom B = rotA i vektorskotg identiteta (A.0.2) dobijamo
Z
1
W =
d3 rB · rotA
2µ0 V
Z
1
d3 r div(A × B) + A · rotB
=
2µ0 V
I
Z
1
1
=
(A × B) · dS +
d3 rA · j .
2µ0 ∂V
2 V
(8.1.6)
Ukoliko su stacionarne struje lokalizovane u ograniˇcenom delu prostora onda ´ce na velikim rastojanjim od raspodele vektorski potencijal teˇziti nuli bar kao 1r , a magnetno polje kao r12 . U
tom sluˇcaju povrˇsinski integral u zadnjem redu prethodne formule jednak je nuli pa je energija
magnetostatiˇckog polja data sa
Z
1
W =
d3 rA · j .
(8.1.7)
2 V
Jasno je da se u (8.1.7) integrali po oblasti prostora gde je j 6= 0.
Zamenom izraza za vektorski potencijal u (8.1.7) dobijamo
Z Z
1 µ0
j(r) · j(r 0 )
W =
d3 rd3 r0
.
2 4π V V
|r − r 0 |
(8.1.8)
Izrazi (8.1.7) i (8.1.8) predstavljaju sopstvenu energiju magnetnog polja generisanog zapreminskom
gustinom struje j(r). U njima je prisutan faktor 1/2 zbog toga ˇsto se energija interakcije svakog
para pri integraciji raˇcuna dva puta.
Sada ´cemo razmotriti interakciju dve stacionarne struje. One generiˇsu magnetna polja B1 (r)
odnosno B2 (r). Energija interakcije je
Z
1
Wint =
d3 rB1 · B2 .
(8.1.9)
µ0
Dalje moˇzemo da magnetno polje prve raspodele B1 izrazimo kao B1 = rotA1 , gde je A1
vektorski potencijal prve raspodele i da primenimo formulu (A.0.2). Tako dolazimo do
Z
Wint =
d3 rA1 · j2 ,
(8.1.10)
V
uz odgovaraju´cu pretpostavku o asimptotici polja u beskonaˇcnosti. A1 je vektorski potencijal
koga generiˇse raspodela gustine struje j1 . Analogno se moˇze pokazati da je energija interakcije
Z
1
d3 rA2 · j1 .
(8.1.11)
Wint =
2 V
Ova formula ima drugaˇciju interpretaciju. To je energija interakcije prve raspodele sa spoljaˇsnjim
potencijalom A2 . Ova dva izraza za energiju interakcije su jednaka i mogu se prepisati u obliku
Z Z
µ0
j(r1 ) · j(r2 )
Wint =
d3 r1 d3 r2
(8.1.12)
4π V1 V2
|r1 − r2 |
ˇ
8.1. ENERGETSKI ODNOSI U MAGNETOSTATICKOM
POLJU
131
primenom izraza za vektorski potencijal.
Neka se struja gustine j nalazi u spoljaˇsnjem magnetnom polju ˇciji je vektorski potencijal A
poznat. Ako pretpostavimo da se unutar oblasti prostora koju zauzima struja spoljaˇsnje polje
malo menja onda moˇzemo potencijal razviti u red oko neke taˇcke O unutar ove oblasti. Ovo
znaˇci da je izvor spoljneg polja daleko. Energija interakcije je
Z
Wint =
ZV
d3 rA · j
∂A d rj(r) · A(0) + xi
=
+ ...
∂xi 0
V
Z
1 ∂A =
· d3 r(xi j + xi j) + . . . .
2 ∂xi 0
3
(8.1.13)
Najniˇzi (monopolni) ˇclan je jednak nuli. Primenom (2.4.60) dobijamo
Z
1 ∂A · d3 r((r · ei )j − (j · ei )r)
2 ∂xi 0
Z
1 ∂A · d3 r(r × j) × ei
2 ∂xi 0
∂A · (m × ei )
∂xi 0
∂A m · (ei ×
).
∂xi 0
Wint =
=
=
=
(8.1.14)
Dalje je
m · (ei ×
∂A ∂Al ) = mk kil
∂xι 0
∂xi 0
= mk (rotA)k (0) = mk Bk (0)
= m · B(0) .
(8.1.15)
Dakle, u najniˇzem redu energija interakcije sistema stacionarnih struja sa spoljnjim magnetostatiˇckim poljem je Wint = m · B(0). Ovo je dipolni ˇclan, tj. on predstavlja energiju interakcije
magnetnog dipola sa spoljnjim poljem. Viˇse ˇclanove ne´cemo raˇcunati.
Silu kojom spoljne magnetostatiˇcko polje deluje na sistem stacionarnih struja moˇzemo takodje
razviti u red po multipolima. Opet ´cemo raˇcunati do dipolnog ˇclana. Traˇzena sila je
Z
d3 r(j(r) × B(r))
Z
Z
∂B 3
=
d rj × B(0) + d3 rxi j ×
.
∂xi 0
F =
(8.1.16)
132
ˇ
CHAPTER 8. MAGNETOSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
Prvi ˇclan je jednak nuli, a drugi ´cemo transformisati prema
Z
1
∂B F =
d3 r[(r × j) × ei ] ×
2
∂xi 0
∂B = (m × ei ) ×
∂xi 0
∂B ∂B e
−
e
·
= m·
m
i
i
∂xi 0
∂xi 0
= ∇(m · B) − divB(0)m
0
= (m · ∇)B .
(8.1.17)
0
Primenili smo vektorski identitet (A.0.3), ˇcinenicu da je magnetni dipolni moment sistema konstantan i da je divB = 0.
Energija elektriˇcnog dipola u spoljnjem elektriˇcnom polju je Wint = −p · E a sila koja deluje
na dipol je F = (p · ∇)E = −∇Wint . Elektrostatiˇcka sila je konzervativna, tako da je Wint potencijalna energija. Magnetostatiˇcka sila nije konzervativna. To se vidi i na primeru magnetnog
dipola u spoljnem magnetnom polju. Energija interakcije je Wint = m · B; prime´cujemo da nema
znaka minus u ovom izrazu. Sila na magnetni dipol je F = (m · ∇)B i ne vaˇzi F = −∇Wint . Za
taˇckasti elektriˇcni dipol (npr. atom) u elektriˇcnom polju Hamiltonijan je H = T − p · E, gde je T
kinetiˇcka energija. Ovaj Hamiltonijan ima oblik H = T + U , jer je sistem konzervativan. Hamiltonijan magnetnog dipola u spoljnem polju je H = T − m · B. Drugi sabirak u Hamiltonijanu
nije energija magnetnog dipola jer ima suprotan znak. Kako magnetno polje nije konzervativno
mi i ne oˇcekujemo da Hamiltonijan bude zbir kinetiˇcke i potencijalne energije.
8.2
Magnetostatiˇ
cka energija sistema provodnika sa strujom
Posmatrajmo sistem N masivnih provodnika sa stalnim strujama. Magnetna energija sistema
ovih provodnika je
Z
1
W =
d3 rA · j
2
N Z Z
1 µ0 X
j(ri ) · j(r0k )
=
d3 ri d3 r0k
.
(8.2.18)
2 4π i,k=1 Vi Vk
|ri − r0k |
Gornju dvostruku sumu napisa´cemo kao zbir ˇclanova kod kojih je i = k i i 6= k
W =
N
X
Wii +
i=1
Sabirci
µ0
Wii =
8π
Z Z
3
d
Vi
Vi
1X
Wik .
2 i6=k
0
3 0 j(ri ) · j(ri )
ri d ri
|ri − r0i |
(8.2.19)
(8.2.20)
ˇ
8.2. MAGNETOSTATICKA
ENERGIJA SISTEMA PROVODNIKA SA STRUJOM
133
predstavljaju sopstvenu energiju magnetnog polja i−tog provodnika. Energija interakcije i−tog
i k−tog provodnika (i 6= k) data je sa
Z Z
j(ri ) · j(r0k )
µ0
d3 ri d3 r0k
.
(8.2.21)
Wik =
4π Vi Vk
|ri − r0k |
Sopstvena magnetna energija i−tog provodnika, (8.2.20) je proporcionalna sa kvadratom jaˇcinom
struje Ii koja protiˇce kroz provodnik
1
Wii = Lii Ii2 .
2
(8.2.22)
Koeficijent proporcionalnosti, Lii se nazivaju koeficijentima samoindukcije i dati su sa
Z Z
2Wii
1 µ0
j(ri ) · j(r 0 i )
Lii = 2 = 2
dVi dVi0
.
(8.2.23)
Ii
Ii 4π Vi Vi
|ri − r 0 i |
Energija interakcije para provodnika je proporcionalna sa jaˇcinama struja u tim provodnicima,
tj.
Wik = Lik Ii Ik .
(8.2.24)
Koeficijent Lik je koeficijent medjusobne indukcije i−tog i k−tog provodnika. Oˇcigledno je da
su oni dati sa
Z Z
1 µ0
j(ri ) · j(rk )
Wik
=
.
(8.2.25)
dVi dVk
Lik =
Ii Ik
Ii Ik 4π Vi Vk
|ri − rk |
Ako provodnici imaju zanemarljiv popreˇcni presek (tanke ˇzice) onda ´cemo zapreminske integrale
u gornjim izrazima zameniti linijskim, tj. jdV → Idr. U tom sluˇcaju (slika 8.1) energija
interakcije i−tog i k−tog provodnika je
I I
µ0
Ii Ik dri · drk
Wik = Ii Ik
= Lik Ii Ik ,
(8.2.26)
4π Ci Ck |ri − rk |
gde su Ii i Ik jaˇcine struje u i−tom, odnosno k−tom provodnik; Ci je kontura i−tog provodnika.
Koeficijenti medjusobne indukcije za tanke provodnike je onda odredjena sa
I I
µ0
dri · drk
Lik =
.
(8.2.27)
4π Ci Ck |ri − rk |
Koeficijenti medjusobne indukcije zavise od oblika, veliˇcine i relativnog odnosa dva provodnika.
Za tanke provodnike koeficijenti samoindukcije su odredjeni sa
I I
dri · dr0i
µ0
.
(8.2.28)
Lii =
4π Ci Ci |ri − r0i |
Ovaj integral divergira ˇsto je posledica ˇcinjenice da smo zanemariti popreˇcni presek provodnika.
Zato koeficijente samoindukcije treba da odredjujemo primenom (8.2.23).
134
ˇ
CHAPTER 8. MAGNETOSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
Figure 8.1:
Ukupnu energiju magnetnog polja sitema provodnika moˇzemo izraziti preko koeficijenata
samoindukcije i medjusobne indukcije prema
X
1X
Wik
W =
Wii +
2
i
i6=k
1X
1X
=
Lik Ii Ik
Lii Ii2 +
2 i
2 i6=k
1 XX
=
Lik Ii Ik .
2 i=1 k=1
N
N
(8.2.29)
Magnetna energija je pozitivna kvadratna forma jaˇcina struja pa mora vaˇziti uslov
Lii Lkk > L2ik .
(8.2.30)
Koeficijente samoidukcije i medjusobne indukcije tankih provodnika poveza´cemo sa fluksom magnetnog polja. U izrazu za energiju magnetnog polja takvih sistema zapreminske integrale zamenjujemo sa linijskim pa je
Z
1
W =
A · jd3 r
2
I
N
1X
→
Ii
A(ri ) · dri
2 i=1
Ci
Z
N
1X
=
Ii
Bi · dSi
2 i=1
Si
1X
Ii Φi .
2 i=1
N
=
(8.2.31)
U prethodnoj formuli primenili smo Stoksovu teoremu; Ai i Bi su vektorski potencijal i magnetno
polje od svih provodnika u taˇcki ri . Povrˇsinu nategnutu na i-ti provodnik obeleˇzili smo sa Si .
ˇ
8.3. RAD NA PREMESTANJU
STRUJNE KONTURE U SPOLJNJEM POLJU
135
Figure 8.2:
Fluks magnetnog polja kroz i−ti provodnik je Φi . Poredjenjem (8.2.29) i (8.2.31) vidimo da je
fluks magnetnog polja kroz i-ti provodnik linearna kombinacija jaˇcina struja u provodnicima
Φi =
N
X
Lik Ik .
(8.2.32)
k=1
Ova formula daje jasniji smisao keoficijentima samoindukcije i medjusobne indukcije. Koeficijent
medjusobne indukcije Lik , i 6= k govori o tome koji deo polja (odnosno koji deo ’magnetnih
linija’) k−tog provodnika prolazi kroz povrˇsinu nategnutu na i−ti provodnik. Sliˇcno je i sa
koeficijentima samoindukcije.
8.3
Rad na premeˇ
stanju strujne konture u spoljnjem polju
Posmatrajmo provodnu konturu sa strujom I koja se kre´ce, brzinom u u spoljnjem magnetnom
polju, slika 8.2. Brzina elektrona u odnosu na provodnik je v. Jaˇcina struje u provodniku
je I = nSev, gde je n koncentracija elektrona u provodniku, S povrˇsina popreˇcnog preseka
provodnika. Sila kojom magnetno polje deluje na elektrone u segmantu ∆l provodnika je
∆F = enS∆l(v + u) × B
= I∆l × B + nSe∆lu × B .
(8.3.33)
Prvi sabirak je Amperova sila, dok se drugi moˇze prepisati u obliku I∆l(u×B)/v. Rad magnetne
sile na pomeranju strujnog segmenta I∆l za δr = (u + v)δt je
δAm = ∆F · δr
I
= (I∆l × B) · uδt + ∆l(u × B) · vδt
v
v
= I(∆l × B) · δx + I∆lB · ( × δx) ,
v
(8.3.34)
gde je δx = uδt. Prvi sabirak u (8.3.34) je rad Amperove sile; moˇzemo ga prepisati u obliku
−IΦom , gde je Φom fluks magnetnog polja kroz omotaˇc tela koje nastaje pri kretanju konture za
136
ˇ
CHAPTER 8. MAGNETOSTATICKO
POLJE U VAKUUMU
vreme δt. Iz druge Maksvelove jednaˇcine sledi Φom = Φ1 − Φ2 = −δΦ pa je rad Amperove sile
dat sa IδΦ. Drugi sabirak u (8.3.34) je −IδΦ. Rezultat je oˇcekivan. Rad magnetnog polja je
jednak nuli.
Da bi u provodniku tekla stalna struja I moramo imati izvor EMS koji odrˇzava struju konstantnom. Rad izvora elektromotorne sile E je
δAext = −IEδt = IδΦ.
(8.3.35)
Dakle ukupni rad pri premeˇstanju provodnika je
δA = δAm + δAext = IδΦ − IδΦ + IδΦ = IδΦ .
(8.3.36)
Elektrostatiˇcko polje je konzervativno dok magnetostatiˇcko to nije. Pri formiranju sistema
nepokretnih naelektrisanja ulaˇzemo energiju da samo polako dovedemo iz beskonaˇcnosti naelektrisanja u zadatu konfiguraciju. Medjutim da bi formirali sistem stacionarnih struja moramo
dovoditi iz beskonaˇcnosti strujni element za strujnim elementom ali i vrˇsiti rad na oˇcuvanju
struja. To je bitna razlika izmedju jednog i drugog sluˇcaja.
Chapter 9
Magnetici u konstantnom magnetnom
polju
Supstancijalna jednaˇcina za linearni magnetik u konstantnom magnetnom polju je B = µ0 (H +
M) = µ0 µH, gde je µ relativna magnetna propustljivost sredine. Veza izmedju magnetizacije i
jaˇcine magnetnog polja je
M = (µ − 1)H = χm H ,
(9.0.1)
gde je χm magnetna susceptibilnost. Eliminisanjem jaˇcine magnetnog polja preko magnetne
indukcije dobijamo
1
1
χm
M=
1−
B=
B.
(9.0.2)
µ0
µ
µ0 (1 + χm )
Postoje dva efekta magnetizovanja sredine. Jedan je indukcioni i za njega je odgovorna Larmorova precesija. Drugi je orjentaciono magnetizovanje. Ove efekte ´cemo razmatrati u naredne
dve lekcije.
9.1
Dijamagnetizam
Magnetni dipolni moment atoma (molekula) je
1 X
q X
q
m= q
rα × vα =
rα × mvα =
L,
2 α
2m α
2m
(9.1.3)
gde su q = −e i m naelektrisanje odnosno masa elektrona. Vidimo da je magnetni moment
molekula proporcionalan sa njegovim momentom impulsa L. Moment sile koji deluje na molekul
kad se nalazi u spoljnem magnetnom polje je M = m × B, pa po teorema momenta impulsa
imamo
q
dL
=
L × B.
(9.1.4)
dt
2m
Ako uvedemo tzv. Larmorovu frekvencu sa
ωL = −
q
B
2m
137
138
CHAPTER 9. MAGNETICI U KONSTANTNOM MAGNETNOM POLJU
Figure 9.1:
ova jednaˇcina postaje
dL
− ωL × L = 0 .
(9.1.5)
dt
Dobili smo Ojlerovu jednaˇcinu za rotaciono kretanje oko fiksne taˇcke. Ako je B = Be3 onda
dekartove projekcije jednaˇcine kretanja su
dL1
+ ωL L2 = 0
dt
dL2
− ωL L1 = 0
dt
dL3
=0.
dt
Reˇsenje gornjeg sistema diferencijalnih jednaˇcina je
L1 = A cos(ωL t + γ), L2 = A sin(ωL t + γ), L3 = C ,
(9.1.6)
(9.1.7)
gde su A, C i γ konstante. Iz ovog reˇsenja vidimo da vektor momenta impulsa (a samim tim
i vektor magnetnog momenta) precesira oko vektora magnetnog polja ugaonom brzinom ωL .
Ovo kretanje se naziva Larmorovom precesijom i ono dovodi do pojave indukovanog magnetnog
dipolnog momenta. Na slici 9.1 predstavili smo precesiranje magnetnog momenta i momenta
impulsa elektrona oko spoljnjeg magnetnog polja. Sada ´cemo na´ci indukovani magnetni moment
molekula. Hamiltonijan za molekul koji se nalazi u spoljnjem magnetnom polju je (vidi (5.6.50))
H=
Z
X
1
(Pα − qα Aα )2 − ms · B .
2m
α=1
(9.1.8)
Sumiranje se vrˇsi po elektronima pa je qα = −e; Pα je kanonski impuls. Drugi sabirak u (9.1.8)
je interakcija spinskog magnetnog momenta molekula sa spoljnjim poljem1 . Obratite paˇznju
1
Za elektron spinski magnetni moment je
−e
S,
2mc
gde je g = 2, 002 giromagnetski odnos, a S operator spina elektrona
ms = g
9.1. DIJAMAGNETIZAM
139
na znak ovog ˇclana. Vektorski potencijal konstantnog magnetnog polja na mestu gde se nalazi
elektron indeksa α je Aα = 12 (B × rα ) pa za hamiltonijan dobijamo
Z
X
1
q
H =
(Pα − (B × rα ))2 − ms · B
2m
2
α=1
=
Z 2
X
P
α
α=1
2m
+
q2
q
(B × rα )2 −
B · (rα × Pα ) − ms · B .
8m
2m
(9.1.9)
Magnetni moment je definisan kao negativna varijacija hamiltonijana po spoljnem magnetnom
polju,
δH
m=−
.
δB
Pri infinitezimalnoj promeni spoljnjeg magnetnog polja, B → B + δB varijacija hamiltonijana
je
Z 2
X
q
q
δH =
rα × (B × rα ) −
rα × Pα · δB − ms · δB .
(9.1.10)
4m
2m
α=1
Iz ovog izraza dobijamo da je magnetni moment molekula dat sa
Prvi ˇclan
m = m0 + mind .
(9.1.11)
Z
X
q
m0 =
(rα × Pα ) + ms
2m
α=1
(9.1.12)
je unutraˇsnji magnetni dipolni moment molekula (skoro kao zbir orbitalnog i spinskog magnetnog
momenta). Drugi ˇclan je indukovani magnetni dipolni moment
1X
=
qrα × (ω L × rα )
2 α=1
Z
mind
(9.1.13)
i on je kao ˇsto smo ve´c rekli posledica Larmorove precesije. Rastavljanjem dvostrukog vektorskog
proizvoda indukovani magnetni moment postaje
1X
=
qα (r2α ω L − (rα · ω L )rα ) .
2 α=1
Z
mind
(9.1.14)
Diskretnu raspodelu naelektrisanja u elektronskom oblaku zameni´cemo sa neprekidnom sfernosimetriˇcnom raspodelom opisanom sa gustinom naelektrisanja ρ = ρ(r) pa indukovani moment
postaje
Z R0
Z π
q
2
2
2
ρ(r)r dr
sin θdθ r B − z Be3
mind = −π
2m 0
0
Z
2πq R0
= −
drr4 ρ(r)B ,
(9.1.15)
3m 0
140
CHAPTER 9. MAGNETICI U KONSTANTNOM MAGNETNOM POLJU
gde je R0 polupreˇcnik molekula. Uvode´ci srednju vrednost veliˇcine r2 sa
R
2 4π 0R0 drr4 ρ(r)
r =
−Ze
(9.1.16)
indukovani moment postaje
Ze2 hr2 i
B.
(9.1.17)
6m
Odmah vidimo da je indukovani magnetni moment kolinearan, ali suprotno usmeren od magnetnog polja. To znaˇci da je magnetna susceptibilnost negativna, a magnetna relativna propustljivost manja od 1. Ovo se naziva dijamagnetskim efektom; magnetici kod kojih je to
dominantan efekat magnetizacije su dijamagnetici.
Ako sa n obeleˇzimo koncentraciju molekula onda je magnetizacija dijamagnetika data sa
mind = −
Ze2 hr2 i n
B.
6m
Iz ovog izraza dobijamo relativnu magnetna propustljivost
M = nmind = −
µ=
1
hr in
1 + µ0 Ze 6m
2
2
≈1−
Ze2 µ0 hr2 i n
.
6m
(9.1.18)
(9.1.19)
Poslednji rezultat je poznat kao Lanˇzven-Paulijeva formula. Veliˇcina
Ze2 µ0 hr2 i n
6m
je mnogo manja od 1, pa smo mogli da napravimo poslednju aproksimaciju. Dakle za dijamagnetike relativna magnetna propustljivost oko 1 ali je manja od 1.
9.2
Paramagnetizam
Paramagnetici su linearni magnetici kod kojih molekuli imaju sopstveni magnetni moment, pa
je dijamagnetski efekt zanemarljiv. Sopstveni magnetni moment molekula ´cemo obeleˇziti sa m0 .
Hamiltonijan molekula u spoljnem magnetnom polju B je
p2
− m0 · B .
(9.2.20)
2m
Srednja vrednost magnetnog dipolnog momenta molekula raˇcuna se analogno sa orjentacionim
polarizovanjem dielektrika. Rezultat je
m B 0
e3 ,
(9.2.21)
hmi = m0 L
kT
gde smo uzeli da je magnetno polje duˇz z− ose. Veza izmedju srednje vrednosti magnetnog
momenta i magnetnog polja je nelinearna. U slabim poljima i/ili na visokim temperaturama ova
veza postaje linearna:
m20
B.
(9.2.22)
hmi =
3kT
H=
9.3. FEROMAGNETIZAM
141
Magnetizacija je
m20 n
M = n hmi =
B,
3kT
pa je magnetna relativna propustljivost paramagnetika data sa
µ=
1
1−
µ0 nm20
3kT
≈1+
µ0 nm20
,
3kT
(9.2.23)
(9.2.24)
jer je
µ0 nm20
1.
3kT
Magnetna susceptibilnost je obrnuto proporcijalna sa temperaturom. Ovo je poznato kao Kirijev
zakon. Ovaj rezultat je korektan na visokim temperaturama. Da bi naˇsi magnetnu propustljivost
paramagnetika na niskim temperaturama moramo da primenimo zakone kvantne mehanike.
Vidimo da je magnetna relativna propustljivost paramagnetika malo ve´ca od 1.
9.3
Feromagnetizam
Paramagnetici i dijamagnetici imaju magnetnu susceptibilnost pribliˇzno jednaku nuli, pri ˇcemu
je susceptibilnost paramagnetika pozitivna, a dijamagnetika negativna. Sa druge strane susceptibilnost feromagnetika je dosta visoka χm ∼ 103 − 106 . Veza izmedju magnetizacije i jaˇcine
magnetnog polja kod feromagnetika je nelinarna. U feromagnetike spadaje gvoˇzdje, nikal, kobalt,
neke legure. Osnovna karakteristika feromagneta je da je njihova magnetizacija razliˇcita od nule
i kad su van spoljneg magnetnog polja. Ova magnetizacija se naziva permanetnom (stalnom)
magnetizacijom.
Ako je temperatura feromegnetika iznad neke kritiˇce temperature Tc feromagnetik prelazi u
paramagnetik. Ova temperatura se naziva Kirijevom temperaturom. Kirijeva temperatura za
gvoˇzdje je 7740 C, a kobalta 11310 C. Ukoliko je temperatura manja od kritiˇcne magnetik je u
feromagnetnoj fazi a ukoliko je T > Tc magnetik je u paramagnetnoj fazi. Radi se o faznom
prelazu. Veza izmedju magnetizacije i jaˇcine polja, M = M(H) kod feromagnetika je viˇseznaˇcna
funkcija. Neka su jaˇcina polja i magnetizacija duˇz z− ose, M = M e3 . Pri pove´canju jaˇcine magnetnog polja, magnetizacija raste i za dovoljno veliko spoljnje polje njegovim daljim pove´canjem
magnetizacija ostaje stalna tj. doˇslo je do saturacije (zasi´cenja). Magnetizacija postaje Msat .
Ako se smanjuje magnetno polje magnetizacija ne opada po krivoj po kojoj je rasla pri porastu polja, ve´c po krivoj koja je malo iznad krive magnetisanja. Pri H = 0 magnetizacija
Mper = M (H = 0) nije nula. Ova vrednost magnetizacije se naziva permanetnom magnetizacijom. Promenom smera polja magnetizacija nastavlja da raste u suprotnom smeru i za dovoljno
veliko polje ponovo dolazi do saturacije. Sa daljim porastom magnetnog polja magnetizacija
raste ali opet po drugoj krivoj. Zatvorena kriva prikazana na slici 9.2 je histerezisna kriva.
Promena magnetizacije zavisi od prethodne istorije magnetika.
Jedan od prvih pokuˇsaja da se objasne neke fenomenoloˇske osobine feromagnetika potiˇce
od Vajsa. Osnovna pretpostavka Vajsove teorije je postojanje domena. Oni su oblasti spontane magnetizacije feromagnetika, sastoje se od velikog broja jona kristalne reˇsetke. Domeni se
142
CHAPTER 9. MAGNETICI U KONSTANTNOM MAGNETNOM POLJU
Figure 9.2: Histerezisna petlja
ponaˇsaju kao kruto telo i teˇze da se orjentiˇsu u smeru spoljnjeg polja. Termalno kretanje im se
u tome suprostavlja ali i ˇcinjenica da su domeni gusto napakovani.
Na svaki domen deluje efektivno polje
Heff = H + Hmol ,
koje je zbir spoljnjeg polja i molekulsog polja, Hmol koje potiˇce od ostalih domena. Interakcija sa
drugim domenima se ne moˇze zanemariti. Pretpostavka je da je molekulsko polje proporcionalno
sa magnetizacijom Hmol = αM, gde je α 1. Efektivna magnetna indukcija je onda
Beff = µ0 (Heff + M) ≈ µ0 H + µ0 αM .
(9.3.25)
Da bi naˇsli magnetizaciju primeni´cemo Lanˇzvenovu teoriju zasnovanu na klasiˇcnoj Bolcmanovoj
raspodeli. Ako sa nd oznaˇcimo koncentraciju domena, sa md magnetni dipolni moment domena
onda je magnetizacija data sa
m B H
d eff
M = nd md L
.
(9.3.26)
kT
|H|
H
Za velika polja Lanˇzvenova funkcija teˇzi jedinici ˇsto odgovara saturaciji, Msat = nd md |H|
.
Iz (9.3.26) sledi
µ αM 2 M (0) M (0)
0
sat
=L
,
(9.3.27)
Msat
kT nd Msat
ˇsto je transcedentna jednaˇcina po M (0)/Msat . Nas zanima samo egzistencija reˇsenja ove jednaˇcine.
Reˇsenje je u preseku Lanˇzvenove krive
M (0)
= L(x)
Msat
(9.3.28)
M (0)
nd kT
=
x ≡ Ax .
2
Msat
µ0 αMsat
(9.3.29)
i prave
9.3. FEROMAGNETIZAM
143
gde je
nd kT
.
2
µ0 αMsat
Za A > 13 ove dve krive seku se samo u koordinatnom poˇcetku. Ali za A < 13 ove dve krive se seku
u koordinatnom poˇcetku ali i u joˇs jednoj taˇcki. Postojanje ove druge taˇcke preseka znaˇci da
je magnetizacija magnetika van spoljnjeg magnetnog polja, M (H = 0) razliˇcita od nule. Uslov
A < 13 za postojanje ovog reˇsenja daje
A=
µ0 αMsat
.
(9.3.30)
3nd k
Vidimo da feromagnetizam postoji pri temperaturama manjim od Tc . Vajsova teorija domena
objaˇsnjava postojanje kritiˇcne temperasture magnetika. Mnoge druge eksperimentalne rezultate
Vajsova teorija ne moˇze da objasni. Naveˇs´cemo dva takva primera.
Ako je T Tc onda diferenciranjem izraza
µ m
0 d
M = nd md L
(H + αM )
(9.3.31)
kT
po H dobijamo
∂M
µ0 nd m2d
≈
(1 + αχm )
(9.3.32)
χm =
∂H
3kT
odakle je
Tc
χm =
.
(9.3.33)
α(T − Tc )
Medjutim, eksperimentalni rezultat je da se magnetna susceptibilnost feromagnetika za T Tc
ponaˇsa prema
1
,
(9.3.34)
χm ∼
T −θ
gde je θ za 15 − 40K ve´ce od Kirijeve temperature.
Za veliko x vaˇzi
1
L(x) ≈ 1 −
x
pa zavisnost permanetne magnetizacije u oblasti niskih temperatura, T Tc , je
T M (0) = Msat 1 −
.
(9.3.35)
3Tc
Eksperimentalni rezultat je drugaˇciji
T < Tc =
M (0) = Msat (1 − CT 3/2 ) ,
(9.3.36)
gde je C konstanta.
Alternativni metod da se nadje magnetizacija je da se metodama koje ste uˇcili u statistiˇckoj
fizici odredi slobodna energija magnetika. Magnetizacija je onda izvod slobodne energije
∂F
.
(9.3.37)
M=
∂B
Recimo na kraju da je u okviru klasiˇcne fizike magnetizacija jednaka nuli. Ovo iskaz je poznat
kao Bor–van Levenova teorema. Feromagnetizam je ˇcist kvantno–mehaniˇcki efekat. Kvantna
teorija feromagnetizma inicirana je od strane Hajzenberga.
144
CHAPTER 9. MAGNETICI U KONSTANTNOM MAGNETNOM POLJU
Chapter 10
Elektromagnetni talasi u vakuumu i
neprovodnim sredinama
Razmotri´cemo elektromagnetno polje u linearnoj neprovodnoj sredini kod koje su dielektriˇcna i
magnetna propustljivost konstantne. Supstancijalne jednaˇcine su
D = ε0 εE, B = µ0 µH .
(10.0.1)
Efekte disperzije smo zanemarili. Takodje uze´cemo da u sredini nemamo nealektrisanja, tj. da
je ρ = 0 i j = 0. Maksvelove jednaˇcine u ovom sluˇcaju su
div(ε0 εE) = 0
divB = 0
∂B
rotE = −
∂t
rotB = µ0 ε0 εµ
(10.0.2)
(10.0.3)
(10.0.4)
∂E
.
∂t
(10.0.5)
Ako uzmemo rotor ˇcetvrte Maksvelove jednaˇcine i primenimo tre´cu Maksvelovu jednaˇcinu dobijamo
∂ 2B
graddivB − 4B = −µ0 ε0 µε 2 .
(10.0.6)
∂t
Konaˇcno primenom druge Maksvelove jednaˇcine dolazimo do
1 ∂ 2B
=0,
v 2 ∂t2
(10.0.7)
1
c
=√
ε0 µ0 εµ
εµ
(10.0.8)
4B −
gde je
v=√
Sliˇcno uzimanjem rotora tre´ce Maksvelove jednaˇcine dobijamo
1 ∂ 2E
4E − 2 2 = 0 ,
v ∂t
145
(10.0.9)
146CHAPTER 10. ELEKTROMAGNETNI TALASI U VAKUUMU I NEPROVODNIM SREDINAMA
Elektromagnetno polje zadovoljava talasne jednaˇcine. Dakle, u oblasti prostora gde su odsutni
izvori postoji elektromagnetni talas. Fazna brzina√elektromagnetnog talasa je v. Indeks prela√
manja sredine definisan je sa n = c/v = εµ ≈ ε . Fazna brzina elektromagnetnog talasa u
vakuumu je v = c.
Kao ˇsto znamo potencijali elektromagnetnog polja nisu jednoznaˇcni. Ukoliko nametnemo
Kulonov kalibracioni uslov divA = 0, onda poˇsto je ρ = 0 iz (2.8.98) sledi1 da je ϕ = 0. Dakle,
za potencijale elektromagnetnog polja uze´cemo
ϕ = 0, divA = 0 .
Elektromagnetno polje je odredjeno vektorskim potecijalom prema
∂A
E = −
∂t
B = rotA .
(10.0.10)
(10.0.11)
Faza talasa je veliˇcina koja karakteriˇse stanje talasnog procesa. Skup taˇcaka u prostoru koje u
fiksnom trenutku vremena imaju istu fazu oscilovanja naziva se ekvifaznom ili talasnom povrˇsi.
Ako su ekvifazne povrˇsi ravni kaˇzemo da je talas ravan. Kod sfernog talasa talasne povrˇsi su
sfere.
10.1
Ravni talasi
Jednostavnosti radi razmatra´cemo talasnu jednaˇcinu
∂2F
1 ∂2F
−
=0,
(10.1.12)
∂x2
v 2 ∂t2
gde je F = F (t, x), tj. funkcija F zavisi od promenljivih t i x. Uveˇs´cemo nove promenljive2
ξ ± = x ± vt odakle je
ξ+ + ξ−
x =
2
ξ+ − ξ−
vt =
.
(10.1.13)
2
Parcijalne izvode po promenljivima t i x moˇzemo izraziti preko parcijalnih izvoda po novim
promenljivima. Rezultat je:
∂
∂
∂
=
+
∂x
∂ξ + ∂ξ −
∂
∂
1∂
=
− −
+
v ∂t
∂ξ
∂ξ
2
2
∂
∂
∂2
∂2
=
+
2
+
∂x2
∂ξ +2
∂ξ + ∂ξ − ∂ξ −2
1 ∂2
∂2
∂2
∂2
=
−
2
+
.
(10.1.14)
v 2 ∂t2
∂ξ +2
∂ξ + ∂ξ − ∂ξ −2
1
2
Pretpostavljamo da potencijal teˇzi nuli u beskonaˇcnosti.
Ako je v = c ove koordinate se ˇcesto nazivaju koordinatama svetlosnog konusa (light-cone coordinates).
10.1. RAVNI TALASI
147
Posle ove smene promenljivih talasna jednaˇcina (10.1.12) postaje
∂2
F =0.
∂ξ + ∂ξ −
(10.1.15)
Opˇste reˇsenje ove jednaˇcine je superpozicija dva talasa F1 i F2 :
F = F1 (x − vt) + F2 (x + vt) .
(10.1.16)
Faza talasa F1 = F1 (x−vt) je φ = x−vt. Skup taˇcaka sa konstantnom fazom u fiksnom trenutku
vremena odredjen je sa x = const. pa je talas ravan. Uoˇcimo talasnu povrˇs x = x0 u trenutku
t0 . U svim taˇckama ove povrˇsi vrednost funkcije F1 je ista. U trenutku t0 + dt skup taˇcaka sa
istom vrednoˇs´cu funkcije F1 je dat sa x0 + dx, tj. uoˇcena fazna povrˇs se premestila iz jednog u
drugi poloˇzaj. Dakle
x0 − vt = x0 + dx − v(t + dt) .
(10.1.17)
Brzina sa kojom se pomera uoˇcena fazna povrˇs je fazna brzina. Za reˇsenje F1 fazna brzina je
vf =
dx
=v .
dt
(10.1.18)
Jednostavnije, faznu brzinu talasa nalazimo diferenciriranjem izraza φ = x − vt = const. Talas
F1 je ravan talas koji propagira u pozitivnom smeru x ose brzinom v. Drugo partikularno reˇsenje
F2 = F2 (x + vt) je ravan talas fazne brzine −v. Tokom propagacije talasa funkcije F1 odnosno
F2 ne menjaju svoj oblik jer nema disperzije talasa.
Generalizacija ’jednodimenzionog’ talasa na trodimenzioni sluˇcaj je pravolinijska. Ravni
elektromagnetni talas kompletno je odredjen vektorskim potencijalom
A = A(n · r − vt) ,
(10.1.19)
gde je n ort talasne povrˇsi. Faza ovog talasa je ξ = n · r − vt. Talasne povrˇsi su n · r = const.,
ˇsto je jednaˇcina ravni. Fazna brzina talasa je vn. Talas se prostire u smeru orta normale povrˇsi
n. Jaˇcina elektriˇcnog polja je
E=−
∂A
∂ξ dA
dA
=−
=v
,
∂t
∂t dξ
dξ
(10.1.20)
a magnetna indukcija
B = rotA = ijk
∂Ak
ei
∂xj
dAk
ei
dξ
dA
= n×
.
dξ
= ijk nj
(10.1.21)
Iz izraza za elektriˇcno i magnetno polje ravnog talasa vidimo da oni zadovoljavaju slede´cu
jednaˇcinu
1
(10.1.22)
B = (n × E) .
v
148CHAPTER 10. ELEKTROMAGNETNI TALASI U VAKUUMU I NEPROVODNIM SREDINAMA
Figure 10.1: Fazna povrˇs ravnom elektromagnetnog talasa
Iz (10.1.22) sledi B · n = 0, tj. magnetno polje je ortogonalno na pravac prostiranja talasa.
Kulonov kalibracioni uslov divA = 0 daje n · dA
= 0 pa je i elektriˇcno polje ortogonalno na
dξ
pravac prostiranja talasa, tj. E · n = 0. Prema tome elektromagnetni talas je transverzalan. Iz
(10.1.22) sledi
E = vB × n .
(10.1.23)
Vektori n, E i B ˇcine desni trijedar, kao ˇsto je prikazano na slici 10.1. Kvadriranjem (10.1.22)
dobijamo da su zapreminske gustine energije elektriˇcnog i magnetnog polja ravnog talasa jednake
0 εE2
B2
=
.
2
2µ0 µ
(10.1.24)
Gusina elektromagnetne energije ravnog talasa je
1
B2
B2
u = ue + um = 0 εE2 +
= 0 εE2 =
.
2
2µ0 µ
µ0 µ
(10.1.25)
n. Pointingov
Pointigov vektor ravnog talasa je Sp = vun dok je gustina impulsa data sa g = vu
c2
vektor i gustina impulsa ravnog talasa su kolinearni sa pravcem prostiranja talasa.
Pokaˇzite da je za ravan elektromagnetni talas u vakuumu Fµν F µν = 0.
10.2
Sferni talas
U ovoj lekciji ne´cemo detaljnije ulaziti u analizu sfernih elektromagnetnih talasa, ve´c ´cemo na
primeru talasne jednaˇcine za skalarno polje na´ci reˇsenje koje je sferni talas i to sferno simetriˇcan.
Skalarna funkcija F zadovoljava talasnu jednaˇcinu
1 ∂ 2F
4F − 2 2 = 0,
c ∂t
(10.2.26)
Za partikulrano reˇsenje ove jednaˇcine oblika F = F (t, r) talasna jednaˇcina ima oblik
1 ∂ 2 ∂F 1 ∂ 2 F
r
− 2 2 =0.
r2 ∂r
∂r
c ∂t
(10.2.27)
10.3. RAVAN MONOHROMATSKI TALAS
149
Traˇzimo reˇsenje koje ne zavisi od uglovnim promenljivih. Partikularno reˇsenje ove talasne
jednaˇcine je
u1 (r − ct) u2 (r + ct)
+
,
(10.2.28)
F =
r
r
gde su u1 i u2 proizvoljne funkcije. Kako su talasne povrˇsi sfere r = const. talas je sferni. Reˇsenje
u1 (r − ct)/r predstavlja talas koji propagira od centra faznom brzinom c, a talas u2 (r + ct)/r
propagira ka centru.
10.3
Ravan monohromatski talas
Talasne jednaˇcine elektromagnetnog talasa u vakuumu su
1 ∂ 2A
A = 2 2 − 4A = 0
c ∂t
1 ∂ 2E
E = 2 2 − 4E = 0
c ∂t
1 ∂ 2B
B = 2 2 − 4B = 0 .
c ∂t
(10.3.29)
Talas kod kojeg su polja proporcionalna harmonijskim funkcijama su monohromatski talasi
E(t, r) = E1 (r) cos ωt + E2 (r) sin ωt
B(t, r) = B1 (r) cos ωt + B2 (r) sin ωt .
(10.3.30)
Polja zadovoljavaju Helmholcove jednaˇcine
ω2
E = 0
c2
ω2
4B + 2 B = 0 .
c
4E +
(10.3.31)
Ako vreme t u prethodnim izrazima zamenimo sa t − n·r
i pri tome uzmemo da su E1 , E2 , B1 , B2
c
konstantni vektori onda ´ce talas pored toga ˇsto je monohromatski biti i ravan. Prema tome polja
ravnog monohromatskog elektromagnetnog talasa su
n·r
) + ϕ) = E0 cos(ωt − k · r + ϕ)
c
n·r
) + ϕ) = B0 cos(ωt − k · r + ϕ) .
B = B0 cos(ω(t −
c
E = E0 cos(ω(t −
(10.3.32)
ˇ
Veliˇcine E0 i B0 su amplitude talasa; ω je frekvenca talasa, a ϕ poˇcetna faza. Cesto
se uzima
ω
ϕ = 0. Takodje smo uveli talasni vektor k = c n. Argument trigonometrijskih funkcija u
(10.3.32), ωt − k · r je faza ravnog i monohromatskog talasa. Veza izmedju talasnog vektora i
frekvence talasa se naziva disperzionom relaciom. Zamenom reˇsenja za ravan monohromatski
talas (10.3.32) u talasne jednaˇcine dobijamo disperzionu relaciju ω 2 = c2 k2 . Primetimo da
elektriˇcno i magnetno polje imaju iste faze, tj. osciluju u fazi. Na slici 10.2 prikazan je ravan
150CHAPTER 10. ELEKTROMAGNETNI TALASI U VAKUUMU I NEPROVODNIM SREDINAMA
Figure 10.2:
monohromatski talas koji koji se prostire duˇz pravca n. Nacrtane su vrednosti elektriˇcnog polja i
magnetne indukcije u fiksnom trenutku vremena. U fiksnoj taˇcki u prostoru polja su periodiˇcna
po vremenu sa periodom T = 2π/ω. Pored toga u fiksnom trenutku vremena polja su prostorno
periodiˇcna. Ovaj period zavisi od pravca i u pravcu prostiranja talasa on se naziva talasnom
duˇzinom talasa, λ = 2π/|k|. Lako se vidi da je λ = c/ν.
Neka je F = F0 cos(ωt − k · r + ϕ) prosto periodiˇcna funkcija. Uvedimo kompleksni analogon
ove veliˇcine Fˆ sa
Fˆ = Fˆ0 e−i(ωt−k·r)
(10.3.33)
gde je Fˆ0 = F0 e−iϕ kompleksna amplituda. Jasno je da je veliˇcina F realni deo od kompleksne
veliˇcine Fˆ . Uvodjenje kompleksnih veliˇcina olakˇsava nam raˇcun jer je lakˇse raditi sa eksponenˆ vektor onda je
cijalnim nego sa trigonometrijskim funkcijama. Ako uzmemo da je F
ˆ = ik · F
ˆ
divF
ˆ = ik × F
ˆ
rotF
ˆ
∂F
ˆ ,
= −iω F
∂t
(10.3.34)
pa Maksvelove jednaˇcine za ravne monohromatske talase postaju algebarske
ˆ
k·E
ˆ
k·B
ˆ
k×E
ˆ
k×B
=
=
=
=
0
0
ˆ
ωB
ωˆ
− 2E
.
c
(10.3.35)
Izrazimo Pointingov vektor u terminima kompleksnih polja
1
E×B
µ0
1 ˆ ˆ∗
ˆ +B
ˆ ∗) .
=
(E + E ) × (B
4µ0
Sp =
(10.3.36)
10.4. FURIJEOV INTEGRAL
151
Srednja vrednost Pointingovog vektora usrednjena po periodu T = 2π/ω je
hSp i =
1
ˆ0 × B
ˆ ∗) .
<(E
0
2µ0
(10.3.37)
Lako se vidi da su srednje vrednosti gustina energije
0 ˆ 2
|E0 |
4
1 ˆ 2
|B0 | .
hub i =
4µ0
hue i =
10.4
(10.3.38)
Furijeov integral
Proizvoljnu funkciju F (t, r) razvi´cemo u Furijeov integral:
Z ∞
Z
1
dω d3 kFωk e−i(ωt−k·r) ,
F (t, r) =
(2π)4 −∞
(10.4.39)
gde su Fωk Furijeove amplitude. U (10.4.39) frekvenca ω i talasni vektor k su nezavisne veliˇcine.
Furijeove amplitude se dobijaju inverznom Furijeovom transformacijom funkcije F (t, r) i date
su sa
Z ∞ Z
Fωk =
dt d3 rF (t, r)ei(ωt−k·r) .
(10.4.40)
−∞
Ovo se lako pokazuje:
Z ∞
Z
1
dω d3 kFωk e−i(ωt−k·r)
(2π)4 −∞
Z ∞
Z
Z ∞
Z
1
0
0
0
3 0
=
dt
dr
dω d3 kF (t0 , r0 )e−i(ωt−k·r) ei(ωt −k·r )
4
(2π)
−∞
Z ∞ −∞
=
dt0 d3 r0 F (t0 , r0 )δ(t − t0 )δ (3) (r − r 0 )
−∞
= F (t, r) .
10.5
(10.4.41)
Polarizovanost ravnog monohromatskog elektromagnetnog talasa
Polarizovanost ravnog monohromatskog talasa analizira´cemo razmatraju´ci elektriˇcno polje talasa. Ono je dato sa
ˆ =E
ˆ 0 e−i(ωt−k·r) ,
E
(10.5.42)
ˆ 0 kompleksna amplituda elektriˇcnog polja. Kompleksnu amplitudu polja ´cemo rastaviti
gde je E
u realan i imaginaran deo
ˆ 0 = E01 + iE02 .
E
(10.5.43)
152CHAPTER 10. ELEKTROMAGNETNI TALASI U VAKUUMU I NEPROVODNIM SREDINAMA
Dalje ´cemo je prepisati u obliku
ˆ 0 = (E 1 + iE 2 )eiδ ,
E
(10.5.44)
gde su E 1 i E 2 δ realni vektori. Parametar δ odredjujemo iz uslova da realni vektori E 1 i E 2
budu medjusobno ortogonalni. Lako se vidi da je
E 1 = E01 cos δ + E02 sin δ
E 2 = −E01 sin δ + E02 cos δ ,
(10.5.45)
pa Uslov ortogonalnosti vektora E 1 i E 2 daje
2E01 · E02
.
(E01 )2 − (E02 )2
Elektriˇcno polje je realni deo kompleksnog polja pa je
tan(2δ) =
E = E 1 cos(k · r − ωt + δ) − E 2 sin(k · r − ωt + δ)
(10.5.46)
(10.5.47)
Vektori E01 , E02 , E 1 i E 2 leˇze u ravni ortogonalnoj na talasni vektor k. Skup vektora
(k, E 1 , E 2 ) ˇcine ili desni ili levi trijedar. To znaˇci da za fiksnu vrednost talasnog vektora k
postoje dva stepena slobode talasa. Ako izberemo da je talasni vektor duˇz z− ose, k = ke3
onda moˇzemo izabrati E 1 = E1 e1 i E 2 = ±E2 e2 , gde su E1 i E2 pozitivni. Iz (10.5.47) vidimo da
komponente elektriˇcnog polja zadovoljavaju jednaˇcinu elipse
Ex2 Ey2
+ 2 =1.
(10.5.48)
E12
E2
Dakle, u ravni ortogonalnoj na pravac prostiranja talasa, vrh vektora elektriˇcnog polja opisuje
elipsu.
Elektriˇcno polje je prema tome
E = E1 cos(k · r − ωt + δ)e1 ∓ E2 sin(k · r − ωt + δ)e2 .
(10.5.49)
Analizira´cemo ˇsta se deˇsava sa vektorom elektriˇcnog polja u fiksnoj taˇcki u prostoru, recimo
r = 0, ˇsto je najjednostavniji izbor. Iz (10.5.49) sledi
E = E1 cos(ωt − δ)e1 ± E2 sin(ωt − δ)e2 .
(10.5.50)
Za obe vrednosti znaka vrh vektora elektriˇcnog polja opisuje elipsu u x0y− ravni ali za gornju
vrednost znaka, elektriˇcno polje rotira suprotno kazaljci na satu (leva slika na 10.3), a za donju u
smeru kazaljke na satu (desna slika na 10.3). U prvom sluˇcaju kaˇzemo da je talas levo polarisan
a trijedar (k, E 1 , E 2 ) je desni. U drugom sluˇcaju (donji znak) talas je desno polarisan dok
je trijedar levi. Leva i desna polarizacija su zastareli termini. Levo (desno) polarisan talas su
pozitivnog (negativnog) heliciteta. Helicitet je projekcija spina na pravac kretanja 3 . Dakle,
postoje dva nezavisna eliptiˇcki polarisana talasa: levi i desni. Ako je E1 = E2 talas je kruˇzno
polarisan i opet postoje dve nezavisne polarizacije. Ukoliko je elektriˇcno polje duˇz nekog fiksnog
pravca talas je linearno polarisan. Opet postoje dva nezavisna linearno polarizovana talasa. Npr.
jedan duˇz x a drugi duˇz y ose.
Ako imamo na umu da vektor elektriˇcnog polja leˇzi u ravni normalnoj na talasni vektor, tj.
da pripada dvodimenzionoj ravni, onda je jasno da postoje dva nezavisna stepena slobode.
3
Viˇse detalja u kursu Kvantne teorije polja 1. Bez obzira ˇsto sam pomenuo termin spin, on je kvantni stepen
slobode.
10.6. DOPLEROV EFEKT
153
Figure 10.3:
10.6
Doplerov efekt
Tenzor jaˇcine polja ravnog monohromatskog talasa je oblika
Fˆ µν = fˆµν e−i(ωt−k·r) ,
(10.6.51)
gde su fˆµν konstantne amplitude. Za posmatraˇca iz drugog inercijalnog sistema tenzor jaˇcine
polja mora imati isti oblik ali su sve veliˇcine primovane
0 0
0 0
Fˆ 0µν = fˆ0µν e−i(ω t −k ·r ) .
(10.6.52)
On takodje vidi elektromagnetni talas ali sa promenjenom frekvencom ω 0 i talasnim vektorom
k0 . Na osnovu zakona transformacije tenzora jaˇcine polja
Fˆ 0µν = Λµρ Λνσ Fˆ ρσ
= Λµ Λν fˆρσ e−i(ωt−k·r)
ρ
σ
(10.6.53)
zakljuˇcujemo fˆ0µν = Λµρ Λνσ fˆρσ kao i da mora vaˇziti
ω 0 t0 − k0 · r0 = ωt − k · r;
(10.6.54)
tj. faza talasa je skalar (invarijanta). Fazu talasa ωc (ct) − k · r moˇzemo da prepiˇsemo u obliku
skalarnog proizvoda vektora poloˇzaja xµ i vektora k µ = ( ωc , k). Dakle
ω
(ct) − k · r = kµ xµ .
c
(10.6.55)
ˇ
Cetvorovektor
k µ se naziva talasni ˇcetvorovektor. Lako se vidi da je kµ k µ = 0, tj. on je vektor
nulte norme (svetlosnog tipa). Kao i bilo koji drugi ˇcetvorovektor i talasni vektor pri Lorencovim
transformacijama se menja prema k 0µ = Λµν k ν , gde su k 0µ komponente talasnog ˇcetvotovektora
u sistemu S 0 dobijenog Lorencovom transformacijom sistema S. Konkretno pri boostu duˇz x-ose
veza izmedju frekvenci i Dekartovih komponenti talasnog vektora u dva sistema je
154CHAPTER 10. ELEKTROMAGNETNI TALASI U VAKUUMU I NEPROVODNIM SREDINAMA
Figure 10.4: dopler
 0  


ω /c
γ
−βγ 0 0
ω/c
 kx0  −βγ


γ
0 0
 0 =
  kx  ,
 ky   0
0
1 0  ky 
0
0
0
0 1
kz
kz
odnosno
kx − v2 ω 0
ω − vkx
, kx0 = q c
, ky = ky , kz0 = kz .
ω0 = q
2
2
1 − vc2
1 − vc2
(10.6.56)
Neka se u koordinatnom poˇcetku sistema S 0 nalazi izvor svetlosti frekvence ω 0 = ω0 , ovo je
sopstvena frekvenca jer izvor miruje u ovom sistemu (slika 10.4). Dalje je kx = k cos θ = ωc cos θ
pa je frekvenca talasa koju registruje posmatraˇc u S
q
2
1 − vc2
ω0 .
(10.6.57)
ω=
1 − vc cos θ
Ova promena frekvence je Doplerov efekt.
10.7
Termodinamiˇ
cki ravnoteˇ
zno zraˇ
cenje u ˇ
supljini
Neka se na zidu ˇsupljine nalazi neka supstanca. Atomi (molekuli) supstance usled kvantnih
prelaza sa viˇsih na niˇze nivoe emituju zraˇcenje u ˇsupljinu. Pored emisije zraˇcenja na zidu
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
10.7. TERMODINAMICKI
RAVNOTEZNO
ZRACENJE
U SUPLJINI
155
ˇsupljine vrˇsi se i apsorpcija zraˇcenja. Posle nekog vremena dolazi do uspostavljanja termodinamiˇcke ravnoteˇze izmedju supstance na zidovima ˇsupljine i zraˇcenja. Tada se emitovana i
apsorbovana energija izjednaˇce. U stanju termodinamiˇcke ravnoteˇze zraˇcenje je homogeno i
izotropno. Temperatura zraˇcenja je temperatura supstance na zidovima ˇsupljine. Toplotno
zraˇcenje u ˇsupljini karakteriˇse se gustinom energije polja
1
1 2
u = ε0 E 2 +
B .
2
2µ0
Spektralna gustina energije uω je gustina energije zraˇcenja ˇcija je frekvenca izmedju ω i ω + dω,
tj.
Z ∞
uω dω .
(10.7.58)
u=
0
Spektralna gustina energije zavisi od frekvence i temperature zraˇcenja. Ona ne zavisi od vrste
supstance na zidovima ˇsupljine. Ovo je tzv. Kirhofov zakon. On se lako pokazuje. Neka
imamo dve ˇsupljine na istim temperaturama ali sa raliˇcitim supstancama na zidovima. Jedna
supstanca viˇse apsorbuje zraˇcenje a druga manje. Kad spojimo ˇsupljine onda bi temperatura u
onoj ˇsupljini ˇcija supstanca viˇse apsorbuje porasla. Izmedju ove dve ˇsupljine pojavila bi se razlika
temperatura bez utroˇska rada. To je nemogu´ce prema drugom principu termodinamike. Iz ovoga
zakljuˇcujemo da spektralna gustina energije zraˇcenja u ˇsupljini ne zavisi od vrste supstance na
njenim zidovima.
Apsolutno crno telo je supstanca koja apsorbuje svu energiju koja na nju padne i to za svaku
frekvencu. Naravno ovu energiju zatim crno telo i izraˇci.
Elektromagnetno polje u ˇsupljini je kompletno odredjeno vektorskim potencijalom. On zadovoljava talasnu jednaˇcinu
1 ∂ 2A
− 4A = 0 .
(10.7.59)
c2 ∂t2
Uze´cemo da vaˇzi Kulonov kalibracioni uslov divA = 0. Partikularno reˇsene talasne jednaˇcine
(10.7.59) traˇzi´cemo u obliku Ak (t)eik·r , gde je k konstantan talasni vektor. Zamenom partikularnog reˇsenja u jednaˇcinu (10.7.59) dobijamo
¨ k + c2 k2 Ak = 0
A
(10.7.60)
odakle je Ak ∼ e±iωk t , gde je ωk = c|k|. Dakle partikularna reˇsenja jednaˇcine (10.7.59) su
ε(k)e±iωk t+ik·r ,
(10.7.61)
gde je ε(k) vektor polarizacije. Iz divA = 0 sledi k · ε(k) = 0. Vektor polarizacije leˇzi u ravni
ortogonalnoj na vektor k pa prema tome postoje dva nezavisna vektora polarizacije, εσ (k), σ =
1, 2 koja smo indeksirali indeksom σ. Ta dva stepena slobode ravnog monohromatskog talasa su
njegove dve polarizacije. Neka ravan monohromatski talas propagira duˇz z− ose, tj. k = ke3 .
Za dva nezavisna vektora polarizacije moˇzemo uzeti ε1 (k) = e1 , ε2 (k) = e2 . To su dva linearno
polarizovana talasa. Vektori polarizacije
e1 + ie2
√
ε1 (k) =
2
e1 − ie2
√
ε2 (k) =
(10.7.62)
2
156CHAPTER 10. ELEKTROMAGNETNI TALASI U VAKUUMU I NEPROVODNIM SREDINAMA
opisuju kruˇznu polarizaciju. Vektori polarizacije su ortonormirani
εσ (k) · ε∗σ0 (k) = δσσ0 .
(10.7.63)
Uze´cemo da je εσ (−k) = εσ (k)∗ ; Na ovaj naˇcin ako znamo vektore polarizacije talasa impulsa
k onda prethodna formula definiˇse bazisne vektore polarizacije za talas talasnog vektora −k.
Dalje ´cemo pretpostaviti da vektorski potencijal zadovoljava periodiˇcne uslove:
A(t, x + L1 , y, z) = A(t, x, y, z)
A(t, x, y + L2 , z) = A(t, x, y, z)
A(t, x, y, z + L3 ) = A(t, x, y, z) .
(10.7.64)
Na prvi pogled uslovi periodiˇcnosti deluju suviˇse restriktivno. Medjutim uvek moˇzemo uzeti
limes da L1 , L2 i L3 teˇze beskonaˇcnosti. Ovi uslovi primenjeni na partikularno reˇsenje (10.7.61)
daju diskretan spektar talasnog vektora
n n n 1
2
3
k = 2π
,
(10.7.65)
L1 L2 L3
gde su n1 , n2 , n3 celi brojevi. Lako se vidi da je
Z
0
d3 rei(k−k )·r = V0 δkk0 ,
(10.7.66)
V0
gde je V0 = L1 L2 L3 zapremina jedne ´celije. Takodje vaˇzi
Z
0
d3 rei(k−k )·r = V δkk0 ,
(10.7.67)
V
gde je V zapremina cele ˇsupljine.
Za fiksni talasni vektor k jednaˇcina (10.7.59) ima ˇcetiri nezavisna reˇsenja
εσ (k)e±iωk t+ik·r .
(10.7.68)
Napiˇsimo opˇste reˇsenje talasne jednaˇcine (10.7.59)
A(t, r) =
2
XX
k
√
σ=1
1
aσ (k)εσ (k)e−i(ωk t−ik·r) + bσ (−k)εσ (−k)ei(ωk t−k·r) ,
2V 0 ωk
(10.7.69)
gde smo u drugom sabirku napravili smenu k → −k. aσ (k) i bσ (k) su koeficijenti. Uslov realnosti
vektorskog potencijala daje bσ (−k) = a∗σ (k) . Dakle
A(t, r) =
2
XX
k
σ=1
√
1
aσ (k)εσ (k)e−i(ωk t−k·r) + a∗σ (k)ε∗σ (k)ei(ωk t−k·r) .
2V 0 ωk
Iz vektorskog potencijala nalazimo elektriˇcno polje
2 r
XX
∂A
ωk i(ωk t−k·r)
∗
−i(ωk t−ik·r)
∗
E=−
.
=i
aσ (k)εσ (k)e
− aσ (k)εσ (k)e
∂t
2V 0
k σ=1
(10.7.70)
(10.7.71)
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
10.7. TERMODINAMICKI
RAVNOTEZNO
ZRACENJE
U SUPLJINI
157
Ako sa N obeleˇzimo broj ´celija onda je energija elektriˇcnog polja
Z
Z
1
N
3
2
d rε0 E =
d3 rε0 E2
We =
2 V
2 V0
Z
√
X
X
ωk ωk0 N
0
3
= −
dr
aσ (k)aσ0 (k0 )εσ (k) · εσ0 (k0 )e−i(ωk +ωk0 )t+i(k+k )·r
2 V0
2V
σ,σ 0 k,k0
0
(10.7.72)
− aσ (k)a∗σ0 (k0 )εσ (k) · ε∗σ0 (k0 )e−i(ωk −ωk0 )t+i(k−k )·r + c.c. ,
gde c.c oznaˇcava kompleksnu konjugaciju. Primenom (10.7.66) i relacija otrogonalnosti za polarizacione vektore dobijamo da je energija elektriˇcnog polja u ˇsupljini data sa
1 XX ∗
1
1
We =
ωk aσ (k)aσ (k) − aσ (k)aσ (k)e−2iωk t − a∗σ (k)a∗σ (k)e2iωk t .
2 k σ=1
2
2
2
(10.7.73)
Magnetna indukcija je
1
aσ (k)(k × εσ (k))e−i(ωk t−ik·r) − a∗σ (k)(k × ε∗σ (k))ei(ωk t−k·r) .
2V 0 ωk
k σ=1
(10.7.74)
Energija magnetnog polja u ˇsupljini je
Z
N
Wm =
d3 rB2 .
(10.7.75)
2µ0 V0
B = rotA = i
2
XX
√
Nakon pravolinijskog raˇcuna uz
(k × εσ (k)) · (k × ε∗σ (k)) = ((k × ε∗σ (k) × k) · εσ (k)
(10.7.76)
dobijamo
1
1 XX ∗
1 ∗
−2iωk t
∗
2iωk t
ωk aσ (k)aσ (k) + aσ (k)aσ (k)e
+ aσ (k)aσ (k)e
Wm =
2 k σ=1
2
2
2
(10.7.77)
Energija elektromagnetnog polja u ˇsupljini je
W = We + Wm =
2
XX
k
ωk a∗σ (k)aσ (k) .
(10.7.78)
σ=1
Uvedimo koordinate
aσ (k, t) = aσ (k)eiωk t
a∗σ (k, t) = a∗σ (k)e−iωk t
(10.7.79)
158CHAPTER 10. ELEKTROMAGNETNI TALASI U VAKUUMU I NEPROVODNIM SREDINAMA
pa energija polja u ˇsupljini postaje
W =
2
XX
k
ωk a∗σ (k, t)aσ (k, t) .
(10.7.80)
σ=1
Sa koordinata aσ (k, t) i a∗σ (k, t) pre´ci´cemo na nove (realne) koordinate
1 ∗
Qσ (k, t) = √
aσ (k, t) + aσ (k, t)
2ωk
r ωk
Pσ (k, t) = i
aσ (k, t) − a∗σ (k, t) .
2
(10.7.81)
Prelazak sa kompleksnih koordinata aσ (k, t) i ia∗σ (k, t) na Qσ (k, t) i Pσ (k, t) je kanonska transformacija4 . U ovom primeru kompleksna transformacija ne treba da zbunjuje, a koordinate moˇzemo
zapisati u polarnom obliku preko realnih veliˇcina. Energija elektromagnetnog polja (10.7.78) u
ovim koordinatama postaje
XX
1 XX 2
Hk,σ
(Pσ (k, t) + ωk2 Q2σ (k, t)) =
W =
2 k σ=1
k σ=1
2
2
(10.7.86)
suma beskonaˇcno puno energija neintereaguju´cih harmonijskih oscilatora. Kanonske, tj. Hamiltonove
jednaˇcine kretanja su
∂Hk,σ
= Pσ (k)
∂Pσ (k)
∂Hk,σ
P˙σ (k) = −
= ωσ2 Qσ (k) .
∂Qσ (k)
Q˙ σ (k) =
(10.7.87)
Kombinovanjem ovih jednaˇcina dobijamo
¨ σ (k) + ω 2 Qσ (k) = 0 ,
Q
k
4
(10.7.88)
Da bi transformacija faznih promenljivih
qi → Qi = Qi (q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn , t)
pi → Pi = Pi (q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn , t)
(10.7.82)
bila kanonska potrebno je i dovoljno da su fundamentalne Poasonove zagrade nepromenjene pri ovim transformacijama. Dakle, iz
{qi , pj } = δij , {qi , qj } = 0, {pi , pj } = 0
(10.7.83)
treba da sledi
{Qi , Pj }|qp = δij , {Qi , Qj }|qp = 0, {Pi , Pj }|qp = 0 .
(10.7.84)
Poasonove zagrade izmedju novih koordinata i impulsa su definsane prema
{Qi , Pj }|qp =
n X
∂Qi ∂Pj
l=1
∂ql ∂pl
−
∂Qi ∂Pj ∂pl ∂ql
(10.7.85)
i analogno za ostale. Druga, ekvivalentna definicija kanonske transformacije je da ona ne menja formu
Hamiltonovih jednaˇcina.
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
10.7. TERMODINAMICKI
RAVNOTEZNO
ZRACENJE
U SUPLJINI
159
tj. Qσ (k) su normalne koordinate.
Pokazali smo da elektromagnetno zraˇcenje u ˇsupljini moˇzemo da predstavimo kao beskonaˇcno,
ali prebrojivo mnogo neintereaguju´cih oscilatora.
Uze´cemo da je Li → ∞, i = 1, 2, 3 pa V0 → V . Broj oscilatora ˇciji je talasni vektor izmedju
k i k + dk je
2V 3
V k 2 dkdΩ
2dnx dny dnz =
d
k
=
2
.
(10.7.89)
(2π)3
(2π)3
Faktor 2 je posledica ˇcinjenice da za svaki fiksan vektor k postoje dva oscilatora. Kako je k = ω/c
to je broj oscilatora ˇcije su frekvence u intervalu (ω, ω + dω) dat sa
Z
2V ω 2
ω2V
dnω =
dω
dΩ
=
dω .
(10.7.90)
(2π)3 c3
π 2 c3
Spektar energija kvantnog oscilatora frekvence ω je En = n~ω, gde je n = 1, 2, . . . . Konstantni
ˇclan u izrazu za energiju n−tog nivoa oscilatra smo ignorisali. Srednja energija oscilatora se lako
nalazi u formalizmu kanonskog ansambla na slede´ci naˇcin
P
En
− kT
n En e
¯
Eω = P
En
− kT
ne
P
− n~ω
kT
n n~ωe
=
P n~ω
kT
ne
~ω
.
(10.7.91)
=
~ω
e kT − 1
Odavde je gustine energije oscilatora frekvence u intervalu (ω, ω + dω)
E¯ω dnω
duω =
V
~ω 3
1
(10.7.92)
=
dω .
~ω
π 2 c3 e kT − 1
Veliˇcina
~ω 3
1
(10.7.93)
~ω
2
3
π c e kT − 1
predstavlja spektralnu gustinu energije. Vidimo da ona zavisi od temperature i frekvence. Dobili
smo Plankov zakon zraˇcenja. Plankova kriva je prikazana na slici 10.5. Pri dobijanju Plankovog
zraˇcenja prvo smo pokazali da je elektromagnetno polje u ˇsupljini ekvivalentno sistemu neintereaguju´cih oscilatora, a zatim smo uzeli da su oscilatori kvantni. Integracijom spektralne
gustine energije po frekvencama dobijamo gustinu energije elektromagnetnog polja u ˇsupljini
Z ∞ 3
Z ∞
ω dω
~
u(T ) =
uω (T )dω = 2 3
~ω
π c 0 e kT
−1
0
Z ∞ 3
4
~ kT
x dx
=
2
3
π c
~
ex − 1
0
4 4
=
σT .
(10.7.94)
c
uω (T ) =
160CHAPTER 10. ELEKTROMAGNETNI TALASI U VAKUUMU I NEPROVODNIM SREDINAMA
Figure 10.5: Plankova kriva
ˇ
Ovaj rezultat je poznat kao Stefan-Bolcmanov
zakon. Primenili smo integral
Z ∞ 3
x dx
π4
=
.
ex − 1
15
0
Konstanta
σ=
(10.7.95)
π2k4
60c2 ~3
ˇ
je Stefan-Bolcmanova
konstanta. Emisivnost crnog tela predstavlja energiju koju ono izraˇci u
jedinici vremena po jedinici povrˇsine normalnoj na pravac emitovanja energije. Emisivnost crnog
tela je
∆E
c
I=
= u = σT 4 .
(10.7.96)
∆tS⊥
4
Chapter 11
Grinova funkcija za nehomogenu
talasnu jednaˇ
cinu
U slede´ce dve lekcije reˇsi´cemo nehomogenu talasnu jednaˇcinu metodom Grinovih funkcija. Do
Grinove funkcije do´ci´cemo na dva naˇcina.
11.1
Grinova funkcija. Retardovani potencijali
ˇ
Cetvoropotencijal
Aµ u Lorencovoj kalibraciji zadovoljava jednaˇcinu
Aµ = µ0 j µ ,
(11.1.1)
odnosno
1 ∂ 2ϕ
= −ρ/ε0
c2 ∂t2
1 ∂ 2A
4A − 2 2 = −µ0 j .
c ∂t
4ϕ −
(11.1.2)
Skalarni potencijal i Dekartove komponente vektorskog potencijala zadovoljavaju nehomegenu
talasnu (Dalamberovu) jednaˇcinu
4ψ −
1 ∂2ψ
= −4πf (t, r) ,
c2 ∂t2
(11.1.3)
gde je ψ = ϕ, Ax , Ay , Az , a izvor f je proporcionalan sa gustinom naelektrisanja odnosno komponentama gustine struje. Granica oblasti prostora u kojem traˇzimo reˇsenje talasne jednaˇcine,
ψ(t, r) je u beskonaˇcnosti. Grinova funkcija za ovu jednaˇcinu je definisana jednaˇcinom
odnosno
4r −
1 ∂2 G(r, t, r 0 , t0 ) = −4πδ (3) (r − r 0 )δ(t − t0 ) ,
c2 ∂t2
x G(x, x0 ) = 4cπδ (4) (x − x0 ) ,
161
(11.1.4)
(11.1.5)
162
ˇ
CHAPTER 11. GRINOVA FUNKCIJA ZA NEHOMOGENU TALASNU JEDNACINU
gde su xµ = (ct, r) i x0µ = (ct0 , r 0 ) ˇcetvorovektori poloˇzaja.
Lako se vidi da je
Z ∞
Z
0
ψ(t, r) =
dt
d3 r 0 G(r, t, r 0 , t0 )f (t0 , r 0 ) + ψ0 (t, r)
(11.1.6)
−∞
reˇsenje jednaˇcine (11.1.3), gde je ψ0 (t, r) reˇsenje homogene talasne jednaˇcine.
Funkcije ψ(t, r) i f (t, r) ´cemo spektralno razloˇziti
Z ∞
1
ψ(t, r) =
dωψω (r)e−iωt
2π −∞
odnosno
1
f (t, r) =
2π
Z
∞
(11.1.7)
dωfω (r)e−iωt .
(11.1.8)
ω2 ψω (r) = −4πfω (r) .
c2
(11.1.9)
−∞
Zamenom u (11.1.3) dobijamo
4+
Furijeove amplitude ψω (r) zadovoljavaju nehomogenu Helmholcovu jednaˇcinu. Grinova funkcija
za ovu jednaˇcinu je definisana jednaˇcinom
4 + k 2 Gk (r, r 0 ) = −4πδ (3) (r − r 0 ),
(11.1.10)
gde je k = ω/c. Zbog translacione invarijantnosti Grinova funkcija Gk (r, r 0 ) zavisi od razlike
vektora r i r 0 , tj. od R = r − r 0 . Zbog sferne simetrije Grinova funkcija zavisi samo od
intenziteta vektora R. Jednaˇcina (11.1.10) postaje
1 d2
(RGk ) + k 2 Gk = −4πδ (3) (R) .
R dR2
(11.1.11)
U oblasti R 6= 0 reˇsenje ove jednaˇcine je
Gk (R) = A
eikR
e−ikR
+B
,
R
R
(11.1.12)
gde su A i B integracione konstante. Delta funkcija na desnoj strana jednaˇcine (11.1.11) je
znaˇcajna za malo R.
Za k = 0 jednaˇcina (11.1.10) postaje jednaˇcina za Grinovu funkciju u statiˇckom sluˇcaju pa
je
1
1
=
.
(11.1.13)
G0 =
0
|r − r |
R
Odavde zakljuˇcujemo da je A + B = 1. Reˇsenje nehomogene Helmholcove jednaˇcine (11.1.9) je
Z
ψω (r) = d3 r 0 Gk (r − r 0 )fω (r 0 )
(11.1.14)
11.1. GRINOVA FUNKCIJA. RETARDOVANI POTENCIJALI
pa je reˇsenje nehomogene talasne jednaˇcine (11.1.3) dato sa
Z ∞
1
dωψω (r)e−iωt
ψ(t, r) =
2π −∞
Z ∞
Z
1
dω d3 r 0 Gk (r, r 0 )fω (r 0 )e−iωt
=
2π −∞
Z
Z
Z ∞
1
0
0
3 0
0
0
=
dt
d r f (t , r ) dωGk (r − r 0 )eiω(t −t) .
2π −∞
163
(11.1.15)
Poredjenjem sa (11.1.6) dobijamo Grinovu funkciju za nehomogenu talasnu jednaˇcinu
Z ∞
1
0
0 0
G(r, t, r , t ) =
dωGk (r, r 0 )eiω(t −t) .
(11.1.16)
2π −∞
Dva partikularna reˇsenja jednaˇcine (11.1.10)
(±)
Gk (R) =
e±ikR
R
(11.1.17)
daju dve partikularne Grinove funkcije za nehomogenu Dalamberovu jednaˇcinu. One su date sa
Z ∞
1
e±ikR iω(t0 −t)
(±)
0 0
G (r, t, r , t ) =
dω
e
2π −∞
R
|r − r 0 | 1
0
δ t − (t ∓
) .
(11.1.18)
=
|r − r 0 |
c
Njihova linearna kombinacija
G(r, t, r 0 , t0 ) = AG(+) (r, t, r 0 , t0 ) + (1 − A)G(−) (r, t, r 0 , t0 )
(11.1.19)
je takodje Grinova funkcija. Izbor konstante A odredjen je graniˇcnim uslovom.
Analizirajmo prvo Grinovu funkciju G(+) , tj. sluˇcaj A = 1. Odgovaraju´ce polje ψ (+) je dato
sa
R
0
Z
δ t − (t − c )
ψ (+) (t, r) =
d3 r 0 dt0
f (t0 , r 0 ) + ψin (t, r)
R
Z
|r−r 0 |
0
f (r , t − c )
=
d3 r 0
+ ψin (t, r) .
(11.1.20)
|r − r 0 |
U ovom izrazu sa ψin (t, r) obeleˇzili smo homogeno reˇsenje. Iz oblika reˇsenja (11.1.20) vidimo da
je vrednost polja0 ψ (+) u trenutku t u taˇcki r odredjena sa izvorom f u taˇckama r 0 u trenutku
|
koji je pre trenutka t za vreme koje je potrebno signalu da stigne iz taˇcke r 0 u
vremena t − |r−r
c
r. Grinova funkcija G(+) nosi informaciju iz proˇslosti i naziva se retardovana Grinova funkcija.
Retardovana Grinova funkcija je za t < t0 jednaka je nuli. Fiziˇcki smisao reˇsenja (11.1.20) je da
u dalekoj proˇslosti, t → −∞ imamo inicijalni talas ψin . Graniˇcni uslov
ψ(t, r) → ψin (t, r), kad t → −∞ ,
(11.1.21)
164
ˇ
CHAPTER 11. GRINOVA FUNKCIJA ZA NEHOMOGENU TALASNU JEDNACINU
je tzv. retardovani graniˇcni uslov.
Grinova funkcija G(−) se naziva advansiranom Grinovom funkcijom. Polje ψ (−) (t, r) je dato
sa
R
0
Z
δ t − (t + c )
ψ (−) (t, r) =
d3 r 0 dt0
f (t0 , r 0 ) + ψout (t, r)
R
Z
|r+r 0 |
0
f (r , t − c )
=
d3 r 0
+ ψout (t, r) .
(11.1.22)
|r − r 0 |
U trenutku t u taˇcki r polje ψ (−) (t, r) odredjeno je vrednoˇs´cu izvora u kasnijem trenutku vremena
0|
t+ |r−r
. Zato se ova funkcija naziva advansiranom. Za t → ∞ ona je jednaka nuli. Advansirirani
c
graniˇcni uslov je
ψ(t, r) → ψout (t, r), kad t → ∞ ,
(11.1.23)
ˇsto znaˇci da u dalekoj budu´cnosti imamo talas ψout . Reˇsenje sa advansiranom Grinovom funkcijom je
Z
Z
ψ (−) (t, r) =
∞
−∞
dt0
d3 r 0 G(−) (r, t, r 0 , t0 )f (t0 , r 0 ) + ψout (t, r) .
(11.1.24)
U klasiˇcnoj elektrodinamici koristimo retardovane graniˇcne uslove, jer je time oˇcuvana kauzalnost. Retardovani potencijali elektromagnetnog polja su
Z
|r−r 0 |
0
ρ(r
,
t
−
)
1
c
ϕ(t, r) =
d3 r 0
0
4π0
|r − r |
Z
|r−r 0 |
0
)
µ0
3 0 j(r , t −
c
dr
A(t, r) =
.
0
4π
|r − r |
11.2
(11.1.25)
*Alternativno izvodjenje Grinove funkcije
U ovoj lekciji na´ci´cemo Grinovu funkciju za talasnu jednaˇcinu na joˇs jedan naˇcin. Grinova
funkcija G(x, x0 ) zadovoljava diferencijalnu jednaˇcinu
x G(x, x0 ) = 4πcδ (4) (x − x0 ) .
(11.2.26)
Grinovu funkciju i ˇcetvorodimenzionu delta funkciju razloˇzi´cemo u Furijeove integrale prema
Z
d4 k ˜
−ik(x−x0 )
0
G(k)e
G(x, x ) =
(2π)4
Z
d4 k −ik(x−x0 )
(4)
0
δ (x − x ) =
e
.
(11.2.27)
(2π)4
˜
G(k)
je Furijeova amplituda Grinove funkcije. Granica oblasti prostor-vremena je u beskonaˇcnosti
pa zbog translacione simetrije Grinova funkcija zavisi od razlike x − x0 . Takodje uze´cemo da je
11.2. *ALTERNATIVNO IZVODJENJE GRINOVE FUNKCIJE
165
ck
-ck
Figure 11.1:
k µ = ( ωc , k) pa je npr. k · x = ωt − k · r. Iz prethodnih jednaˇcina sledi da je Furijeova amplituda
Grinove funkcije zadovoljava jednaˇcinu
odnosno
(
˜
k 2 G(k)
= −4πc
(11.2.28)
ω2
˜
− k2 )G(k)
= −4πc
c2
(11.2.29)
4πc
˜
G(k)
= − ω2
.
− k2
c2
(11.2.30)
pa je
Zamenom ovog izaraza u izraz za Grinovu funkciju dobijamo
Z
0
d4 k e−ik(x−x )
0
3
G(x, x ) = −4πc
(2π)4 ω 2 − c2 k2
odnosno
Z
0
G(x, x ) = −4πc
2
R3
d3 k ik·(r−r 0 )
e
(2π)4
Z
∞
(11.2.31)
0
e−iω(t−t )
dω 2
.
ω − ck2
−∞
(11.2.32)
Integral po promenljivoj ω je divergentan jer podintegralna funkcija ima polove u taˇckama
ω = ±c|k|. Imamo dve opcije ili da zaboravimo integral (11.2.32) ili da probamo da ga dobro
definiˇsemo. Gornji integral ´cemo razmatrati kao integral u kompleksnoj ω ravni. Polove ±c|k|
´cemo infinitezimalno pomeriti sa realne ose. Ovo se postiˇze zamenom ω → ω + i u imeniocu
integrala (11.2.32). Dakle umesto (11.2.32) imamo
0
G(x, x ) = −4πc
Z
2
R3
d3 k ik·(r−r 0 )
e
(2π)4
Z
∞
0
e−iω(t−t )
dω
,
(ω + i)2 − ck2
−∞
(11.2.33)
gde → 0. Ovaj integral je konvergentan. Polovi su u taˇckama ω = ±c|k| − i i oba su u donjoj
komleksnoj ω−ravni. Za t > t0 konturu integracije dopunjujemo u donjoj poluravni, a za t < t0 u
166
ˇ
CHAPTER 11. GRINOVA FUNKCIJA ZA NEHOMOGENU TALASNU JEDNACINU
gornjoj poluravni, ˇsto je prikazano na slici 11.1. Ovakav izbor je vezan za ponaˇsanje eksponenta
0
e−iω(t−t ) za veliko |ω|. Primenom Koˇsijeve teoreme za t < t0 vidimo da je G(x − x0 ) = 0, jer u
oblasti integracije nema polova i integral po CR teˇzi nuli. Razmotrimo sada drugi sluˇcaj, t > t0 .
Neka se kontura integracije sastoji od integracije od −R do R po realnoj ω osi i polukrugu, CR .
U oblasti integracije se nalaze dva pola. Takodje, lako se vidi da u limesu R → ∞ integral po
polukrugu otpada. Primenom Koˇsijeve teoreme imamo
Z ∞
0
e−iω(t−t )
0
=
−2πi
Res
+
Res
dω
c|k|
−c|k| θ(t − t )
2 − ck2
(ω
+
i)
−∞
e−ick(t−t0 ) eick(t−t0 ) = −2πi
−
θ(t − t0 ) .
(11.2.34)
2ck
2ck
Ovaj izraz ´cemo zameniti u (11.2.33). Dalje ´cemo integraliti po k, prelaskom na sferne koordinate
u k prostoru. Integracijom po sfernim uglovima dolazimo do
Z ∞ c
0
0
0
0
0
G(x − x ) =
dk eik(R−c(t−t )) − eik(R+c(t−t )) − e−ik(R+c(t−t )) + eik(−R+c(t−t )) θ(t − t0 )
2πR 0
(11.2.35)
Gornji integral se moˇze prepisati u obliku
Z ∞ c
0
−ik(R−c(t−t0 ))
ik(R+c(t−t0 ))
G(x − x ) =
dk e
−e
θ(t − t0 )
(11.2.36)
2πR −∞
pa je
c
0
0
δ(R − c(t − t )) − δ(R + c(t − t )) θ(t − t0 ) .
G(x − x ) =
R
Druga delta funkcija je jednaka nuli pa je
0|
0
δ |r−r
−
t
+
t
c
G(x − x0 ) =
θ(t − t0 ) .
|r − r 0 |
0
(11.2.37)
(11.2.38)
Dobili smo retardovanu Grinovu funkciju. Ona se moˇze prepisati u kovarijantnom obliku
G(+) (x − x0 ) = 2cδ (4) ((x − x0 )2 )θ(t − t0 ) .
(11.2.39)
Analogno smenom ω → ω −i polove pomeramo u gornju poluravani tako dobijamo advansiranu
Grinovu funkciju
Z
Z
0
e−iω(t−t )
d3 k ik·(r−r 0 ) ∞
(−)
0
2
dω
e
.
(11.2.40)
G (x, x ) = −4πc
4
(ω − i)2 − ck2
−∈(11.1.25)f ty
R3 (2π)
Primenom Koˇsijeve teoreme imamo
Z ∞
0
e−iω(t−t )
dω
=
2πi
Res
+
Res
θ(t0 − t)
c|k|
−c|k|
2 − ck2
(ω
+
i)
−∞
e−ick(t−t0 ) eick(t−t0 ) = 2πi
−
θ(t0 − t) .
2ck
2ck
(11.2.41)
11.2. *ALTERNATIVNO IZVODJENJE GRINOVE FUNKCIJE
167
ck
-ck
Figure 11.2:
Zamenom ovog rezultata u (11.2.40) nakon integracije po k dobijamo
c (−)
0
0
0
0
0
G (x, x ) =
δ(c(t − t ) + |r − r |) − δ(c(t − t ) − |r − r |) θ(t0 − t) .
0
|r − r |
Druga delta funkcija je nula pa je advansirana Grinova funkcija data sa
0|
δ t − t0 + |r−r
c
G(−) (x, x0 ) =
θ(t0 − t) .
0
|r − r |
(11.2.42)
(11.2.43)
168
ˇ
CHAPTER 11. GRINOVA FUNKCIJA ZA NEHOMOGENU TALASNU JEDNACINU
Chapter 12
Zraˇ
cenje
12.1
Polje na velikim rastojanjima
Neka se u ograniˇcenom delu prostora nalazi sistem naelektrisanja u kretanju. Linearne dimenzije
ovog sistema su reda veliˇcine d. Ova naelektrisanja generiˇsu promenljivo elektromagnetno polje.
Potencijali ovog polja su dati izrazima (11.1.25). Kao i u sluˇcaju statiˇckih polja ispita´cemo
karakteristike ovog polja na velikim rastojanjima od ovog sistema, odnosno |r| |r 0 | ∼ d. Tada
je
|r − r 0 | ≈ r − n · r 0 ,
(12.1.1)
gde je n = r/|r|. U imeniocu izraza za potencijale (11.1.25) faktor |r − r 0 | zameni´cemo sa
vode´cim ˇclanom r. Isti ovaj faktor se pojavljuje u brojiocu izraza za potencijale u argumentu
zapreminske gustine naelektrisanja odnosno struje. Tu ´cemo ga aproksimirati na slede´ci naˇcin
|r − r 0 |
r n · r0
n · r0
t−
≈t− +
=τ+
,
c
c
c
c
(12.1.2)
gde je
r
(12.1.3)
c
vreme koje je potrebno signalu da stigne iz koordinatnog poˇcetka do taˇcke r. Ovde smo zadrˇzali
ˇclan n · r 0 /c, a u imeniocu integranda smo ga zanemarili. Objaˇsnjenje za ovaj postupak sastoji
se u slede´cem. Ovaj ˇclan je reda d/c i on predstavlja vreme za koje signal stigne sa jednog na
drugi kraj sistema. Za to vreme gustine naelektrisanja i struje mogu znaˇcajno da se promene,
pa nije opravdano da taj ˇclan zanemarimo. Iz (11.1.25) sledi da su na velikim rastojanjima od
sistema potencijali dati sa
Z
r 1 r · r0
1 1
3 0
0
d r ρ r ,t − +
ϕ(t, r) ≈
4π0 r
c c r
Z
µ0 1
r 1 r · r0
3 0
0
A(t, r) ≈
d r j r ,t − +
.
(12.1.4)
4π r
c c r
τ =t−
ˇ
Vode´ci ˇclan u razvoju potencijala je 1/r. Zelimo
da odredimo polja iz ovih potencijala ali sa
istom taˇcnoˇs´cu. Razlog za ovakvu asimpototiku polja leˇzi u ˇcinjenici da ako su polja na velikim
169
ˇ
CHAPTER 12. ZRACENJE
170
rastojanjima tipa 1/r onda je Pointingov vektor teˇzi nuli kao 1/r2 . Pointingov vektor ovog tipa
ima´ce na velikim rastojanjima nenulti fluks, jer se povrˇsina ponaˇsa kao r2 ˇsto znaˇci da sistem
naelektrisanih ˇcestica emituje elektromagnetne talase, tj. zraˇci. Magnetna indukcija je
Z
µ0 1
d3 r 0 rotj(r 0 , t0 ) ,
(12.1.5)
B(t, r) = rotA ≈
4π r
0
gde smo uveli oznaku t0 = t − rc + 1c r·rr . Pri uzimanju rotora vektorskog potencijala odbacili
smo ˇclan tipa 1/r2 . Lako se vidi da je
∂t0
xi x0i
xi r · r 0
=− +
−
,
∂xi
cr cr cr r2
(12.1.6)
gde su xi i x0i Dekartove koordinate vektora r odnosno r 0 , pa je
X
∂jk (r 0 , t0 ) ∂t0
0
rotj(r , t0 ) =
εijk
ei
∂t0
∂xj
i,j,k
= −
1
∂j(r 0 , t0 )
r×
.
cr
∂t0
(12.1.7)
Zadrˇzali smo samo ˇclanove reda 1/r. Zamenom (12.1.7) u izraz za magnetnu indukciju dobijamo
Z
µ0 1
∂ r 1 r · r0
B(r, t) ≈
n × d3 r0 j r 0 , t − +
.
(12.1.8)
4π c
∂t
c c r
Sliˇcnim postupokom odredi´cemo i elektriˇcno polje na velikim rastojanjima od sistema. Lako se
vidi da je
Z
∂A
∂ µ0 1
r 1 r · r0
d3 r 0 j r 0 , t − +
(12.1.9)
=
∂t
4π r
∂t
c c r
i
Z
1
∂ρ(r 0 , t0 ) ∂t0
∇ϕ ≈ −
d3 r 0
ei
4πε0 r
∂t0
∂xi
Z
1 r
r 1 r · r0
3 0 ∂
0
(12.1.10)
≈ −
d r ρ r ,t − +
.
4πε0 c r2
∂t
c c r
Prema tome elektriˇcno polje je
Z
Z
1 r
r 1 r · r 0 µ0 1
r 1 r · r0
3 0 ∂
0
3 0 ∂
0
E≈
d
r
ρ
r
,
t
−
+
−
d
r
j
r
,
t
−
+
(12.1.11)
4πε0 c r2
∂t
c c r
4π r
∂t
c c r
Dalje ´cemo transformisati prvi ˇcaln u izrazu za elektriˇcno polje izraˇzavaju´ci gustinu naelektrisanja preko gustine struje. Primenom jednaˇcine kontinuiteta imamo
−
∂ρ(r 0 , t0 )
= div0 j(r 0 , t0 )
∂t
X ∂ji (r 0 , t0 ) ∂ji (r 0 , t0 ) ∂t0 =
+
∂xi
∂t0
∂xi
t0
i
r ∂j(r 0 , t0 )
= div0 j(r 0 , t0 ) +
.
cr ∂t0
t0
(12.1.12)
12.2. TALASNA ZONA-DIPOLNA APROKSIMACIJA
171
Oznaka .. znaˇci da se pri uzimanju izvoda uzima da je t0 konstantno. Nakon zamene (12.1.12)
t0
u (12.1.11) ˇclan koji sadrˇzi divergenciju otpada jer je fluks vektora gustine struje kroz granicu
oblasti integracije nula. Tako dobijamo
Z
Z
1 n
∂ 0
r 1 r · r 0 µ0 1
r 1 r · r0
3 0
3 0 ∂
0
E≈
d r n· j r , t− +
−
d r j r , t− +
. (12.1.13)
4πε0 c2 r
∂t
c c r
4π r
∂t
c c r
Primenom vektorskog identiteta (n · v)n − v = n × (n × v) dobijamo
µ0
E≈
n× n×
4πr
Z
∂ 0
r 1 r · r 0 d r j r ,t − +
.
∂t
c c r
3 0
(12.1.14)
Elektriˇcno i magnetno polje na velikim rastojanjima od sistema su dati izrazima (12.1.8) odnosno
(12.1.14). Oni su oblika 1/r na velikim rastojanjima ˇsto znaˇci da sistem zraˇci elektromagnetne
talase. Odmah vidimo da vaˇzi
E = c(B × n) ,
(12.1.15)
ˇsto je karakteristiˇcno za ravan talas. Na osnovu geometrije problema je jasno da je talas sferni
ali da na velikim rastojanjima od izvora on je pribliˇzno ravan.
Vaˇzno je naglasiti da u aproksimaciji u kojoj radimo vidimo da je dovoljno na´ci vektorski
potencijal. Iz njega se zatim nalazi magnetno polje, a elektriˇcno se dobija primenom veze sa
magnetnim poljem karakteristiˇcnom za ravne talase.
12.2
Talasna zona-dipolna aproksimacija
Pretpostavi´cemo da je vreme d/c mnogo manje od vremena T karakteristiˇcnog za izvore ρ i j.
Za harmonijske izvore to vreme T je period, a u opˇstem sluˇcaju to je vreme za koje se gustina
naelektrisanja odnosno struje znatno izmene. Dakle uzimamo da je
n · r0
d
1
∼ T ∼
c
c
ν
(12.2.16)
d cT = λ .
(12.2.17)
odnosno
Dimenzije sistema su mnogo manje od talasne duˇzine na kojoj sistem dominantno zraˇci. Iz
d/c T = d/v, gde je v srednja brzina kretanja naelektrisanih ˇcestica sistema, sledi
vc.
(12.2.18)
Aproksimacija koju sada uvodimo je pretpostavka da se ˇcestice sistema kre´cu nerelativistiˇckim
brzinama. Kombinovanjem dve aproksimacije d r i d λ dobijamo tri mogu´ce oblasti:
1. d λ r-talasna (udaljena) zona,
2. d λ ∼ r-medjuzona,
ˇ
CHAPTER 12. ZRACENJE
172
3. d r λ- bliska (statiˇcka) zona.
U talasnoj zoni primenom ove dve aproksimacije izrazi za potencijale (11.1.25) postaju
Z
∂ρ n · r 0 1 n · r 0 2 ∂ 2 ρ 1 1
ϕ(t, r) ≈
d3 r 0 ρ(τ, r 0 ) + +
,
(12.2.19)
4π0 r
∂t t=τ c
2
c
∂t2 t=τ
odnosno
µ0 1
A(t, r) ≈
4π r
Z
∂j n · r 0 1 n · r 0 2 ∂ 2 j d3 r 0 j(τ, r 0 ) + +
.
∂t t=τ c
2
c
∂t2 t=τ
(12.2.20)
Izraz za skalarni potencijal ne´cemo koristiti jer smo ve´c rekli da polja moˇzemo odrediti na
osnovu izraza za vektorski potencijal. U prvom ˇclanu u razvoju vektorskog potencijala (12.2.20)
pojavljuje se integral
Z
d3 r 0 j(τ, r 0 ) ,
(12.2.21)
V
koji ´cemo dalje transformisati. Podjimo od
Z
Z
0 0
3 0
0=
d r div (xi j) =
d3 r 0 (x0i div0 j + j · ei )
V
odakle je
Z
3 0
(12.2.22)
V
Z
d r ji = −
d3 r 0 x0i div0 j
Z
=
∂ρ d3 r 0 x0i ∂t τ
,
(12.2.23)
gde smo primenili jednaˇcinu kontinuiteta. Najniˇzi ˇclan u vektorskom potencijalu je prema tome
Z
∂ρ(t, r 0 ) µ0 1
(1)
d3 r 0 r 0
A (t, r) =
4π r
∂t
t=τ
˙ )
1 p(τ
=
,
(12.2.24)
4π0 c2 r
gde je p elektriˇcni dipolni moment sistema. Sada ´cemo izraˇcunati polja u ovoj aproksimaciji.
Magnetno polje je
p(τ
˙ )
1
(1)
(1)
B (r, t) = rotA (t, r) =
rot
.
(12.2.25)
4πε0 c2
c2
Primenom
˙ ) = ijk ∂j p˙k (τ )ei
rotp(τ
1
= − ijk p¨k (τ )xj ei
cr
1
¨ (τ ) × r ,
=
p
cr
dobijamo
B(1) =
¨ (τ ) × n
1 p
.
3
4π0 c
r
(12.2.26)
(12.2.27)
12.2. TALASNA ZONA-DIPOLNA APROKSIMACIJA
173
Figure 12.1:
Primenom (12.1.15) dobijamo elektriˇcno polje
E(1) =
p(τ ) × n) × n
1 (¨
.
2
4π0 c
r
(12.2.28)
Elektriˇcno i magnetno polje na velikim rastojanjima se ponaˇsaju kao 1/r i odredjeni su sa
elektriˇcnim dipolnim momentom sistema naelektrisanih ˇcestica. Zbog toga se ova aproksimacija
naziva dipolnom. Ravan talas u ovoj oblasti prostora je aproksimacija sfernog talasa emitovanog
od naelektrisanja. Sistem zraˇci elektromagnetne talase i zato se ova oblast prostora naziva
talasnom zonom.
Pointingov vektor u talasnoj zoni je
1
c
c
(E × B) = (B × n) × B = B2 n
µ0
µ0
µ0
2
(¨
p(τ ) × n)
1
n.
=
2
5
(4π0 ) c µ0
r2
Sp =
(12.2.29)
Element povrˇsine na rastojanju r od koordinatnog poˇcetka je dS = r2 dΩn, gde je dΩ prostorni
ugao. Energija koja u jedinici vremena prodje kroz ovu infinitezimalno malu povrˇs u talasnoj
zoni je
1 (¨
p(τ ) × n)2
dP = Sp · dS =
dΩ .
(12.2.30)
4π0 c3
4π
Izraˇcena snaga (ili intenzitet zraˇcenja) u jediniˇcni prostorni ugao je
1 (¨
p(τ ) × n)2
dP
=
.
dΩ
4π0 c3
4π
(12.2.31)
Dipolni moment jedne naelektrisane ˇcestice je p = qr pa je uglovna raspodela snage zraˇcenja
data sa
dP
˙ 2 sin2 θ ,
∼ |v|
(12.2.32)
dΩ
gde je θ ugao izmedju ubrzanja ˇcestice i orta n. Vidimo da naelektrisana ˇcestica zraˇci ako se
kre´ce ubrzano.
ˇ
CHAPTER 12. ZRACENJE
174
Integracijom uglovne raspodele snage zraˇcenja po celom prostornom uglu dobija se ukupna
snaga (intenzitet) zraˇcenja
Z π Z 2π
1
1
P =
dθ
dϕ sin θ(¨
p(τ ) × n)2
4π0 c3 4π 0
0
1
2
=
|¨
p(τ )| .
(12.2.33)
6π0 c3
Dobili smo tzv. Larmorovu formulu. Rezultat je naravno nadjen u dipolnoj aproksimaciji. Pri
integraciji u prethodnoj formuli koristili smo
¨ 2 − (¨
(¨
p(τ ) × n)2 = p
p · n)2
(12.2.34)
i integrale
Z
Z
π
2π
dθ
Z
0
π
Z
dθ
0
dϕ sin θ = 4π
0
2π
dϕ sin θni nj =
0
4π
δij .
3
(12.2.35)
ni su dekartove koordinate orta n.
12.3
Spektralna raspodela emitovane snage zraˇ
cenja
Iz (12.2.33) sledi da je energija u dipolnoj aproksimaciji koju sistem emituje u svim pravcima u
vremenskom intervalu (−∞, ∞) data sa
Z ∞
1
E=
dt|¨
p(t)|2 .
(12.3.36)
6π0 c3 −∞
Elektriˇcni dipolni moment sistema ´cemo spektralno da razloˇzimo
Z ∞
1
dωpω e−iωt
p(t) =
2π −∞
pa je
1
¨ (t) = −
p
2π
Z
∞
−∞
dωω 2 pω e−iωt .
(12.3.37)
(12.3.38)
Neka je F = F (t) funkcija vremena. Furijeovom transformacijom ove funkcije imamo
Z ∞
Z ∞ Z ∞
Z ∞
1
0
2
dt|F (t)| =
dt
dω
dω 0 Fω Fω∗0 e−iωt+iω t
2
(2π) −∞
−∞
−∞
−∞
Z ∞
1
dωFω Fω∗
=
2π −∞
Z
1 ∞
=
|Fω |2 dω .
(12.3.39)
π 0
ˇ
ˇ
12.4. KOCENJE
ZRACENJEM
175
U zadnjem redu pretpostavili smo da je funkcija F (t) realna pa je Fω∗ = F−ω . Primenom
dobijenog rezultata izraˇcena energija je data sa
Z ∞
1
E =
dωω 4 |pω |2
6π 2 0 c3 0
Z ∞
≡
Eω dω .
(12.3.40)
0
Iz ovog izraza vidimo da je spektralnni intenzitet zraˇcenja, tj. emitovana energija po jediniˇcnom
intervalu frekvenci u svim pravcima data sa
Eω =
1
6π 2 3
0c
ω 4 |pω |2 .
(12.3.41)
Spektralni intenzitet zraˇcenja je proporcionalna ˇcetvrtom stepenu frekvence zraˇcenja.
12.4
Koˇ
cenje zraˇ
cenjem
Ubrzana naelektrisana ˇcestica gubi energiju usled zraˇcenja. Promena energije ˇcestice za vreme
dt je
q2
v˙ 2 (τ )dt
6π0 c3
q2
˙
= −
vdv
.
6π0 c3
dEc = −
(12.4.42)
Sa druge strane promena kinetiˇcke energije ˇcestice jednaka radu sila koje deluju na ˇcesticu
Z
t2
∆T =
Frad · vdt .
(12.4.43)
t1
Ovo nam omogu´cava da gubitak energije naelektrisane ˇcestice na zraˇcenje interpretiramo kao
rad fiktivne sile, koju nazivamo silom radijacionog trenja ili silom koˇcenja zraˇcenjem, Frad .
Napomenimo da nismo uveli silu radijacionog trenja delovalo bi da zraˇcenje ubrzane naelektrisane
ˇcestice je nekonzistentno sa teoremom energije, jer ˇcestica gubi energiju a na nju ne deluje
nikakva sila. Ova nekonzistentnost se trivijalno reˇsava, jer nismo uzeli da pored ˇcestice imamo i
elektromagnetno polje nosi deo energije.
Polazimo od
Z t2
Z t2
q2
˙
vdv
=
Frad · vdt
(12.4.44)
−
6π0 c3 t1
t1
primenom parcijalne integracije i ignorisanjem ˇclana
t2
v · v˙ t1
(12.4.45)
ˇ
CHAPTER 12. ZRACENJE
176
dobijamo silu radijacionog trenja
q2
¨.
=
v
6π0 c3
(12.4.46)
m¨r = F0 + Frad
(12.4.47)
Frad
Jednaˇcina kretanja ˇcestice koja zraˇci je
i ona ima smisla ukoliko je |F0 | |Frad |.
12.5
Zraˇ
cenje viˇ
seg reda u talasnoj zoni
U ovoj lekciji iz drugog ˇclana u izrazu za vektorski potencijale
Z
1
(2)
3 0
0 ∂j A (t, r) =
d
r
(n
·
r
)
4πε0 c3 r
∂t t=τ
(12.5.48)
odredi´cemo polja i ispitati karakteristike zraˇcenja. Primenom identiteta
1
1
(n · r 0 )j = (r 0 × j) × n +
(n · r 0 )j + (n · j)r 0
2
2
(12.5.49)
dobijamo
Z
0 1
3 0
0 ∂j(t, r ) A (t, r) =
d
r
(n
·
r
)
4πε0 c3 r
∂t
t=τ
Z
1 1d
3 0
0
0 ˙
d
r
(n
·
r
)j
+
(n
·
j)r
, (12.5.50)
=
m(τ
)
×
n
+
4πε0 c3 r
2 dt
t=τ
(2)
gde je m magnetni dipolni moment sistema. Ve´c smo ranije pokazali da ako je vektorsko polje
a(r) lokalizovano unutar neke konaˇcne oblasti prostora onda je
Z
Z
3 0
d r a = − d3 r0 r 0 div0 a .
(12.5.51)
V
V
Za a = (n · r 0 )j dobijamo
Z
Z
3 0
0
d r (n · r )j = − d3 r0 r 0 div0 [(n · r 0 )j]
Z
Z
3 0 0
0
= − d r r (n · r )divj − d3 r0 r 0 (n · j)
Z
Z
3 0 0
0 ∂ρ
=
d r r (n · r ) − d3 r0 r 0 (n · j) .
∂t
Iz poslednjeg izraza sledi
Z
3 0
0
0
d r ((n · r )j + (n · j)r ) =
Z
d3 r0 r 0 (n · r 0 )
∂ρ
∂t
(12.5.52)
(12.5.53)
ˇ
ˇ
12.5. ZRACENJE
VISEG
REDA U TALASNOJ ZONI
177
ˇsto zamenom u (12.5.50) daje
1 1 d2
˙
A (t, r) =
m(τ
)
×
n
+
4πε0 c3 r
2 dt2
(2)
Z
d3 r0 r 0 (n · r 0 )ρ(t, r 0 )
.
(12.5.54)
t=τ
Drugi ˇclan u prethodnom izrazu ´cemo transformisati prema
Z
d3 r0 x0i (n
Z
Z
h
i
1
1
3 0
0
0 0
02
· r )ρ(t, r ) =
d r ρ(t, r ) 3xi xj − r δij nj +
d3 r0 ρ(t, r 0 )r02 ni
3
3
Z
1
1
=
Dij nj +
d3 r0 ρ(t, r 0 )r02 ni .
(12.5.55)
3
3
0
0
Nakon sredjivanja dobijamo
1¨
1 1 d2
˙
m(τ
)
×
n
+
A (t, r) =
D(τ
)n
+
4πε0 c3 r
6
6 dt2
Z
(2)
d r ρ(t, r )r n .
3 0
0
02
(12.5.56)
τ
Vidimo da u drugom sabirku figuriˇse tenzor kvadrupolnog momenta. Iz ovog izraza se lako nalazi
magnetno polje u talasnoj zoni. Ono je dato sa
B
(2)
...
¨ ) × n) × n (D(τ )n) × n i
1 h (m(τ
.
=
+
4πε0 c4
r
6r
(12.5.57)
Na velikim rastojanjima od sistema ˇcestica, u talasnoj zoni, sferni talas degeneriˇse u ravni pa
elektriˇcno polje mora da zadovoljava
E(2) = c(B(2) × n) .
(12.5.58)
Emitovana snaga zraˇcenja u jediniˇcni prostorni ugao (angularna distribucija snage zraˇcenja) je
dP
Sp · dS
c
=
= B 2 r2
dΩ
dΩ
µ0
h
i2
1
1
1 ...
¨
¨
=
p
(τ
)
×
n
+
(
m(τ
)
×
n)
×
n
+
(τ
)n
×
n
,
D
(4π)2 ε0 c3
c
6c
(12.5.59)
gde smo ukljuˇcili i elektriˇcni dipolni ˇclan. Integracijom po prostornom uglu dobijamo ukupni
intenzitet zraˇcenja
P =
i
...2
2 2
1
1 h 2 2
¨
¨
p
(τ
)
+
m
(τ
)
+
tr(
(τ
))
,
D
4π0 3c3
3c5
180c5
(12.5.60)
...2
...
...
gde je tr(D (τ )) = Dij (τ )Dji (τ ). U prethodnom izrazu prvi ˇclan predstavlja elektriˇcni dipolni
ˇclan, slede´ci ˇclan je magnetno dipolno zraˇcenje, dok je zadnji ˇclan kvadrupolni ˇclan. Vidimo da
je izraz za snagu zraˇcenja razvoj po stepenima v/c.
ˇ
CHAPTER 12. ZRACENJE
178
Figure 12.2:
12.6
Lijenar-Vihertovi potencijali i polja
Lijenar-Vihertovi potencijali su potencijali elektromagnetnog polja naelektrisane ˇcestice koja se
kre´ce po zadatoj trajektoriji. Neka je jednaˇcina kretanja naelektrisane ˇcestice r = r0 (t) . Gustinu
naelektrisanja
ρ(r, t) = qδ (3) (r − r0 (t))
(12.6.61)
i gustinu struje
j(r, t) = qvδ (3) (r − r0 (t))
(12.6.62)
zameni´cemo u izraze za retardovane potencjale
Z
ρ(t0 , r 0 ) 0
|r − r 0 |
1
d3 r 0 dt0
δ(t
−
t
+
)
ϕ(t, r) =
4π0
|r − r 0 |
c
Z
j(t0 , r 0 ) 0
µ0
|r − r 0 |
d3 r 0 dt0
A(t, r) =
δ(t
−
t
+
).
4π
|r − r 0 |
c
(12.6.63)
Nakon integracije po r 0 skalarni potencijal je
q
ϕ(t, r) =
4π0
Primenom formule
Z
imamo
ϕ(r, t) =
Z
0
0 δ(t
dt
0
− t + |r−rc0 (t )| )
.
|r − r0 (t0 )|
f (t0 ) f (t0 )δ(g(t0 ))dt0 = dg
g(t0 )=0
dt
0
1
q
.
0 ))·v(t0 ) |r−r0 (t0 )|
(r−r
(t
0
4π0 |r − r0 (t0 )| −
t=t0 +
c
c
(12.6.64)
(12.6.65)
(12.6.66)
12.6. LIJENAR-VIHERTOVI POTENCIJALI I POLJA
179
Na sliˇcan naˇcin dolazimo do vektorskog potencijala. Uvode´ci vektor R(t0 ) = r − r0 (t0 ) (slika
12.2), potencijali su
1
q
ϕ(r, t) =
(12.6.67)
4π0 R(t0 ) − R(t0 )·v(t0 ) t=t0 + Rc
c
µ0
qv(t0 )
A(r, t) =
.
(12.6.68)
4π R(t0 ) − R(t0 )·v(t0 ) t=t0 + Rc
c
Ovo su Lijenar-Vihertovi potencijali. Intenzitet vektora R je
p
R = |r − r0 (t0 )| = (x − x0 (t0 ))2 + (y − y0 (t0 ))2 + (z − z0 (t0 ))2 .
Diferenciranjem intenziteta ovog vektora po t0 uz konstantno r dobijamo
R·v
∂R =
−
= −n · v .
∂t0 r
R
Diferenciranjem izraza
R(r, t0 )
t = t0 +
c
po t uz konstantno r dobijamo
1 ∂R ∂t0 1+
1=
∂t
c ∂t0
odakle je
∂t0
1
=
.
∂t
1 − n·v
c
Uzimanjem gradijenta od (12.6.71) pri konstantnom t dobijamo
1
∂R ∇R + 0 ∇t0
0 = ∇t0 +
c
∂t r
t0
odakle je
R
1
.
∇t0 = −
c R 1 − R·v
(12.6.69)
(12.6.70)
(12.6.71)
(12.6.72)
(12.6.73)
(12.6.74)
(12.6.75)
cR
Iz izraza za potencijale odredimo prvo elektriˇcno polje
∂A
E = −∇ϕ −
.
∂t
Potencijal (12.6.67) je oblika
ϕ = ϕ(r, t0 (t, r))
pa je
∇ϕ
t
∂ϕ 0 = ∇ϕ + 0 ∇t ∂t
t0
t
R v
q
1
=
2 − +
4π0
R
c
R − R·v
c
n 1
− n · v + (R · a − v2 )
.
c
c − R·v
R
(12.6.76)
(12.6.77)
(12.6.78)
ˇ
CHAPTER 12. ZRACENJE
180
Sredjivanjem prethodnog izraza dobijamo
q
∇ϕ =
4π0 c
Lako se dobija i
1
R2 1 −
n·v
c
2
v 2 − c2 − R · a v+
n .
c−n·v
(12.6.79)
∂A
∂A ∂t0
= 0
.
∂t
∂t ∂t
(12.6.80)
∂A
q
1
(v 2 − R · a − cn · v)v =
a
−
.
2
∂t
4π0 c2
R(c − n · v)
n·v
R 1− c
(12.6.81)
Koriste´ci (12.6.73) dobijamo
Zamenom (12.6.78) i (12.6.81) u izraz za elektriˇcno polje dobijamo
v2
v
h
1
−
n
−
c2
c
q
R × [(n − v/c) × a] i
E(r, t) =
0 R .
3 +
3
4π0
t=t + c
n·v
n·v
2
2
2
R 1− c
c R 1− c
(12.6.82)
Uzimanjem rotora izraza (12.6.68) dolazimo do
1
B = (n × E) .
c
(12.6.83)
Dobili smo vezu imedju polja karakteristiˇcnu za ravne talase. Elektriˇcno i magnetno polje su
medjusobno ortogonalni i ortogonalni na pravac prostiranja talasa. U prethodnim izrazima
brzina i ubrzanje ˇcestice zavise od t0 . Prvi sabirak u izrazu za elektriˇcno polje naelektrisane
ˇcestice u kretanju (12.6.82) zavisi od brzine ˇcestice i na velikim rastojanjima od ˇcestice ponaˇsa
se kao R12 , dok drugi sabirak zavisi od brzine ali i od ubrzanja ˇcestice i ponaˇsa se kao R1 . On je
odgovoran za zraˇcenje ˇcestice.
U nerelativistiˇckom limesu i za ˇcesticu koja se kre´ce stalnom brzinom vaˇzi t0 ≈ t pa se iz
(12.6.83) sledi
µ0 qv × R
B=
,
(12.6.84)
4π R3
ˇsto je poznta rezultat.
12.7
Zraˇ
cenje relativistiˇ
cke ˇ
cestice
Na velikim rastojanjima od naelektrisane ˇcestice u izrazu za elektriˇcno polje zadrˇza´cemo samo
ˇclan tipa 1/R, tj.
˙ q n × [(n − v/c) × v]
(12.7.85)
E(r, t) =
,
3
4π0 c2
∗
n·v
R 1− c
ˇ
ˇ
ˇ
12.7. ZRACENJE
RELATIVISTICKE
CESTICE
gde ∗ oznaˇcava
181
c(t − t0 ) = |r − r0 (t0 )| .
(12.7.86)
Sa t0 oznaˇcili smo ’vreme emisije’ a sa t ’vreme detekcije’. Polja su oblika 1/R ˇsto znaˇci da ´ce
naelektrisana ubrzana ˇcestica da zraˇci. Energija u jedinici vremena koju izmeri posmatraˇc na
rastojanju R kroz povrˇs R2 dΩ je
dP = Sp · nR2 dΩ =
1 2 2
E R dΩ
µ0 c
(12.7.87)
pa je detektovana snaga zraˇcenja u jediniˇcni prostorni ugao (uglovna distribucija snage) data sa
2
˙
n × [(n − v/c) × v]
dP
q2
=
(12.7.88)
6
2
5
0
dΩ
(4π0 ) µ0 c
∗
)
1 − n·v(t
c
U nerelativistiˇckom limesu za uglovnu raspodelu snage zraˇcenja iz (12.7.88) dobijamo
2 dP
q2
=
n × (n × a) ,
(12.7.89)
2
5
dΩ
(4π0 ) µ0 c
t=τ
ˇsto nam je ve´c poznat rezultat.
Energija koju detektuje udaljeni posmatraˇc u jedinici vremena je dW/dt i dobija se integracijom (12.7.88) po prostornom uglu. Energiju dW izmeri udaljeni posmatraˇc u vremenskom
intervalu (t, t + dt). Sa druge strane energija naelektrisane ˇcestice se smanjuje zbog gubitka na
zraˇcenje. U intervalu (t0 , t0 + dt0 ) energija ˇcestice se promeni za dE. Veliˇcina dE/dt0 predstavlja
smanjenje energije ˇcestice u jedinici vremena ali raˇcunato po vremenu emisije t0 a ne po vremenu
detekcije t. Medjutim, ove dve snage nisu iste, tj.
−
dE
dW
6=
.
0
dt
dt
(12.7.90)
Veliˇcina dE/dt0 je relativistiˇcka invarijanta, a dW/dt to nije. Usputni sistem reference S0 je
inercijalni sistem u malom vremenskom intervalu (t0 , t0 + dt0 ) u kojem ˇcestica miruje. Ubrzanje
ˇcestice u usputnom sistemu nije nula. Za sopstveno vreme dt0 ˇcestica izgubi energiju dE0 . U
tom sistemu promena impulsa ˇcestice je nula jer je
dp0 =
dE0
v0 = 0 .
c2
(12.7.91)
Prelazak u laboratorijski sistem reference u kome se ˇcestica kre´ce brzinom v je Lorencov bust.
Promena ˇcetvoroimulsa ˇcestice u tom sistemu je
γ
γβ T
dE0 /c
dE/c
,
(12.7.92)
=
ββ
γβ δij + γ−1
0
dp
β2 i j
gde je β = v/c . Odavde je
dE = q
dE0
1−
.
v2
c2
(12.7.93)
ˇ
CHAPTER 12. ZRACENJE
182
Figure 12.3:
Primenom formule za dilataciju
dt0 = q
dt0
1−
(12.7.94)
v2
c2
dobijamo
dE
dE0
.
=
0
dt
dt0
(12.7.95)
Iz ovog izraza zakljuˇcujemo da veliˇcina dE/dt0 jeste relativistiˇcka invarijanta, jer se u prethodnoj
formuli nigde ne pojavljuje brzina.
Uglovna raspodela smanjenja energije ˇcestice je
−
dE
n · v(t0 ) dW dt
dP (t) 1
−
,
=
=
dt0 dΩ
dtdΩ dt0
dΩ
c
(12.7.96)
gde je dP (t)/dΩ ugaona raspodela snage zraˇcenja data sa (12.7.88) ˇcijom zamenom dobijamo
−
2
dE
q
=
0
dt dΩ
(4π0 )2 µ0 c5
2
˙
n × [(n − v/c) × v]
.
5
∗
n·v(t0 )
1− c
(12.7.97)
Ova formula daje ugaonu raspodelu gubitka energije ˇcestice raˇcunato po vremenu emisije. Posmatrajmo jedan specijalan sluˇcaj kada su brzina i ubrzanje relativistiˇcke ˇcestice paralelni. Tada
je
(n × (n × a))2 = a2 sin2 θ ,
(12.7.98)
gde je θ ugao izmedju pravca n i brzine ˇcestice. Ugaona raspodela gubitka energije ˇcestice u
jedinici vremena je
q 2 v˙ 2 sin2 θ
dE
=
(12.7.99)
− 0
5 .
dt dΩ
µ0 c5 (4π0 )2 1 − vc cos θ
Angularna funkcija
f (θ) = sin2 θ
1 − cos θ
v
c
5
(12.7.100)
ˇ
12.8. RELATIVISTICKA
GENERALIZACIJA LARMOROVE FORMULE
183
opisuje ugaonu raspodelu zraˇcenja i prikazana je na slici 12.3. Odredimo ugao θmax za koji
je gubitak energije ˇcestice maksimalan. Diferenciranjem funkcije f (θ) po θ i izjednaˇcavanjem
dobijenog izraza sa nulom dobijamo
q
2
−1 + 1 + 15 vc2
cos θmax =
.
(12.7.101)
3 vc
U ultrarelativistiˇckom limesu v ≈ c maksimum zraˇcenja odgovara uglu θmax ≈ 0, tj. ˇcestica
najviˇse zraˇci u pravcu kretanja. Procenimo ovaj ugao malo preciznije. Kako je v ≈ c to je γ 1
pa ´ce nam γ1 biti parametar po kome razvijamo u stepeni red. Formula (12.7.101) daje
cos θmax = 1 −
1
.
8γ 2
(12.7.102)
2
Sa druge strane je cos θmax ≈ 1 − 12 θmax
pa konaˇcno dobijamo
θmax →
1
.
2γ
(12.7.103)
Dakle, ultrarelativistiˇcka ˇcestica ˇcije ubzranje je duˇz pravca kretanja zraˇci unutar uskog konusa
ˇcija je osa pravac kretanja.
12.8
Relativistiˇ
cka generalizacija Larmorove formule
Integracijom angularne raspodele (12.7.97) po uglovima dobili bi gubitak energije ˇcestice u jedinici vremena. Medjutim, na osnovu Larmorove formule koja vaˇzi u nerelativistiˇckom sluˇcaju,
i ˇcinjenice da je promena energije ˇcestice u jedinici vremena Lorencov skalar rezultat ´cemo lako
pogoditi.
Larmorova formula daje izraˇcenu snagu u svim pravcima za sistem ˇcestica koje se kre´cu
nerelativistiˇckim brzinama. U nerelativistiˇckoj aproksimaciji detektovana snaga se poklapa sa
izraˇcenom. U sluˇcaju kretanja jedne ˇcestice naelektrisanja q Larmorova formula je
dE
1
=
q 2 |¨r|2
0
dt
6π0 c3
1 q 2 dp 2
=
.
6π0 c3 m2 dt
P = −
(12.8.104)
U poslednjem koraku uveli smo impuls ˇcestice p = mv. Poˇsto je snaga P relativistiˇcka invarijanta pokuˇsajmo prethodni nerelativistiˇcki izraz da generaliˇsemo na sluˇcaj proizvoljnog kretanja
ˇcestice. Odgovor je pravolinijski. Snaga je
dPµ dP µ
q2
,
P =−
6π0 c3 m2 dτ dτ
gde je P µ ˇcetvoroimpuls ˇcestice, a τ sopstveno vreme. Jasno je da je
dPµ dP µ dp 2
1 dE 2
−
=
− 2
,
dτ dτ
dτ
c dτ
(12.8.105)
(12.8.106)
ˇ
CHAPTER 12. ZRACENJE
184
gde je E energija ˇcestice
a
mc2
E=q
2
1 − vc2
(12.8.107)
mv
p= q
2
1 − vc2
(12.8.108)
relativistiˇcki impuls. Dalje se lako vidi da je
−
F2 − c12 (v · F)2
q2
dE
,
=
2
dt0
6π0 c3 m2
1 − vc2
(12.8.109)
gde je F Lorencova sila koja deluje na ˇcesticu. Tako smo dobili gubitke energije relativistiˇcke
ˇcestice po njenom vremenu. Ovaj rezultat moˇzemo prepisati u obliku
dE
q2
=
Fµ F µ
dt0
6π0 c3 m2
(12.8.110)
gde smo uveli kvadrivektor sile
Fµ =
Lako se vidi da je
F
v·F
q
,q
2
c 1 − vc2
1−
.
(12.8.111)
v2
c2
˙ dP µ 4 v · v˙
2
2v · v
˙
= mγ
,
mγ
v
.
v
+
γ
dτ
c2
c2
(12.8.112)
Zamenom ovog izraza u (12.8.106) dobijamo izraˇcenu energiju ˇcestice po vremenu t0
P (t0 ) =
˙ 2
q2
dE
(v × v)
6
2
˙
=
−
γ
v
−
.
dt0
6π0 c3
c2
(12.8.113)
Pored toga ˇsto ˇcestica izraˇci deo energije, ona izraˇci i deo impulsa
dP =
ν
dE
1
2 dU dUν
v
=
q
dr
c2
6π0 c5 dτ dτ
(12.8.114)
Zajedno formule (12.8.105) i(12.8.114) moˇzemo prepisati u kovarijantnom obliku
ν
1
2 dU dUν
dP =
q
dxµ ,
5
6πε0 c
dτ dτ
µ
gde je dP µ ’izraˇceni ˇcetvoroimpuls’.
(12.8.115)
ˇ
12.9. SINHROTRONSKO ZRACENJE
12.9
185
Sinhrotronsko zraˇ
cenje
Sinhrotron je akcelerator ˇcestica kod kojeg se naelektrisane ˇcestice kre´cu po kruˇznoj putanji u
konstantnom magnetnom polju. Jednaˇcina kretanja ˇcestice je
dp
= qv × B
dt
dE
= 0
dt
(12.9.116)
Iz zadnje jednaˇcine vidimo da je intenzitet brzine ˇcestice konstantan. Pretpostavi´cemo da je
magnetno polje duˇz z ose i da je poˇcetna brzina ˇcestice ortogonalna na polje. Jednaˇcine kretanja
su
dvx
= qvy B
dt
dvy
mγ
= −qvx B
dt
dvz
mγ
= 0.
dt
mγ
(12.9.117)
Uzmemo da je poˇcetna brzina v0 leˇzi u xOy ravni i da je poˇcetni poloˇzaj ˇcestice (x0 , y0 , 0).
Integracijom jednaˇcina kretanja dobijamo
v0
sin(ωt) + x0
ω
v0
y =
cos(ωt) − 1 + y0 ,
ω
x =
(12.9.118)
gde je
r
qB
v2
ω=
1− 2
m
c
kruˇzna frekvenca. Trajektorija ˇcestice je krug polupreˇcnika
r=
1
mv
q
qB 1 −
.
(12.9.119)
(12.9.120)
v2
c2
Kvadrat ubrzanja ˇcestice je
v˙ 2 =
v2q2B 2
.
m2 γ 2
(12.9.121)
Brzina i ubrzanje ˇcestice su ortogonalni pa iz (12.8.113) sledi da je izraˇcena snaga data sa
P (t0 ) =
q2
γ 6 v˙ 2
6π0 c3
(12.9.122)
P (t0 ) =
2
q2
4v
γ
.
6π0 c3 r2
(12.9.123)
odnosno
ˇ
CHAPTER 12. ZRACENJE
186
Figure 12.4:
Energija koju ˇcestica izgubi usled zraˇcenja za vreme od jednog perioda je
2πr
q2 γ 4v3
P =
v
3ε0 c3 r
(E[GeV])4
= 8, 85 · 10−2
.
r[m]
∆E =
(12.9.124)
Gubici energije su veliki za ultrarelativistiˇcke ˇcestice; proporcionalni sa ˇcetrvrtim stepenom
energije ˇcestice. Izgubljena energija mora da se nadoknadjuje ˇsto se radi u akcelaertorima.
12.10
Zraˇ
cenje antene
Neka je tanka linearna antena duˇzine d postavljena duˇz z ose kao na slici 12.4. Antena je
preseˇcena u sredini i prikljuˇcena na naizmeniˇcni napon frekvence ω = ck = 2πc
. Struja na
λ
krajevima antene mora biti nula; najprostiji model gustine struje u anteni je
j(t, r) = I sin(kd/2 − k|z|)δ(x)δ(y)e−iωt e3
za |z| < d/2. Vektorski potencijal je dat sa
Z
Z
0 0
µ0
|r − r 0 | 0 j(r , t )
3 0
0
dt
A(r, t) =
dr
δ t−t −
4π
|r − r 0 |
c
Z
ik|r−r 0 |
µ0 −iωt
3 0
0
0
0 e
Ie
d r δ(x )δ(y ) sin(kd/2 − k|z |)
e3
=
4π
|r − r 0 |
Na velikim rastojanjima od antene r r0 ∼ d je |r − r 0 | ≈ r i
0
eik|r−r | ≈ eik(r−n·r
0)
(12.10.125)
ˇ
12.10. ZRACENJE
ANTENE
187
gde je n = r/r pa je
µ0 −iωt eikr
A(r, t) =
Ie
4π
r
Z
d/2
dz 0 e−ikz
−d/2
0
cos θ
sin(k(d/2 − |z 0 |))e3 .
(12.10.126)
Integracija po z 0 daje
A(r, t) =
cos θ) − cos( kd
) i −iωt
µ0 eikr h cos( kd
2
2
2I
e
e3 .
4π kr
sin2 θ
(12.10.127)
Iz vektorskog potencijala se lako nalazi magnetna indukcija. Elektriˇcno polje je E = c(n × B) jer
je na velikim rastojanjima od sistema talas pribliˇzno ravan pa je za odredjivanje Pointingovog
vektora dovoljno znati magnetno polje. Srednja vrednost intenziteta zraˇcenja po jediniˇcnom
prostornom uglu je
r
cos θ) − cos( kd
) 2
dP
µ0 I 2 cos( kd
2
2 =
(12.10.128)
.
dΩ
0 8π 2
sin θ
Za kd 1 dobija se dipolni rezultat
dP
=
dΩ
r
µ0 I 2
(kd)2 sin2 θ.
0 128π 2
(12.10.129)
Vaˇzan specijalni sluˇcaj je kada je duˇzina antene (polu)celobrojan umnoˇzak talasne duˇzine d = mλ
2
tj. kd = mπ. Za m = 1 angularna snaga zraˇcenja je
r
dP
µ0 I 2 cos2 ( π2 cos θ)
(12.10.130)
=
dΩ
0 8π 2
sin2 θ
Ova kriva je sliˇcna dipolnoj. Za m = 2 angularna snaga zraˇcenja je
r
dP
µ0 I 2 4 cos4 ( π2 cos θ)
.
=
dΩ
0 8π 2
sin2 θ
(12.10.131)
Ugaona raspodela snage zraˇcenja za vrednosti m = 1, 2 i m = 3 prikazana je na slici 12.5.
ˇ
CHAPTER 12. ZRACENJE
188
Figure 12.5:
Chapter 13
Kvazistacionarno elektromagnetno polje
Ako su zapreminska gustina naelektrisanja i struje sporo promenljive funkcije onda je i generisano
elektromagnetno polje sporo promenljiva funkcija. Za funkciju ´cemo re´ci da je sporo promenljiva
ako je karakteristiˇcni period T = 2π/ω veliki, odnosno karakteristiˇcna frekvenca mala. Sporo
promenljiva polja zva´cemo kvazistacionarnim poljima. Sasvim generalno moˇzemo re´ci da je polje
kvazistacionarno ukoliko je vreme T mnogo ve´ce od vremena koje je potrebno signalu da predje
sa jednog kraja na drugi kraj sistema, tj. L cT . Sa L smo obeleˇzili linearne dimenzije sistema.
Dalje ´cemo analizirati kvazistacionarnu aproksimaciju u provodnicima. Predpostavi´cemo da
u provodnik nismo uneli spoljnja naelektrisanja. Maksvelove jednaˇcine za provodnu sredinu
imaju oblik
divD = ρ
divB = 0
∂B
∂t
∂D
rotH = j +
(13.0.1)
.
∂t
Maksvelove jednaˇcine moramo dopuniti sa supstancijalnim jednaˇcinama. U kvazistacionarnoj
aproksimaciji, polja su sporo promenljiva pa je razumljivo da uzmemo da su supstancijalne
jednaˇcine iste kao za provodnik u statiˇckim polima
rotE = −
D = ε0 εE
B = µ0 µH
j = σE ,
(13.0.2)
gde su ε, µ i σ redom dielektriˇcna propustljivost, magnetna propustljivost i provodnost provodnika. Polje je kvazistacionarno u provodniku ukoliko su efekti disperzije zanemarljivi, tj. ukoliko
je veza izmedju makroskopske gustine struje i elektriˇcnog polja simultana i lokalana. Ovo sigurno vaˇzi kada je makroskopsko vreme T znatno ve´ce od srednjeg vremena izmedju dva sudara
elektrona sa jonima reˇsetke, odnosno kada je ω νc . Sa νc smo obeleˇzili srednju kolizionu
frekvencu, koja je broj sudara elektrona sa reˇsetkom u jednici vremena. Takodje, srednji slobodni put elektrona mora biti znatno manji od karakteristiˇcne talasne duˇzine polja. Za dobro
provodnike granica oblasti frekvenci polja je u infracrvenoj oblasti.
189
190
CHAPTER 13. KVAZISTACIONARNO ELEKTROMAGNETNO POLJE
Pored ovog uslova za kvazistacionarno polje u provodniku se uzima joˇs jedan uslov, vezan
za Maksvelove jednaˇcine. Po tom uslovu polje je kvazistacionarno ukoliko je struja pomeranja
zanemarljiva u odnosu na struju provodjenja. Odnos struje pomeranja i provodjenja je
∂D ∂t ω|D|
ωε0 εE
ωε0 ε
∼
=
=
1.
(13.0.3)
|j|
|j|
σE
σ
Iz (13.0.3) se vidi da to znaˇci
σ
.
(13.0.4)
ε0 ε
Kod loˇsih provodnika (mala provodnost) ovaj uslov je restriktivniji od prvog. Za dobre provodnike zanemaravanje struje pomeranja u odnosu na struju provodjenja daje graniˇcnu frekvencu
u ultravioletnoj oblasti. Za dobre provodnike (velika provodnost) prvi uslov, ω νc je restriktivniji. Ranije smo pokazali da vaˇzi ρ = ρ(0)e−σt/ε0 ε . Uslov kvazistacionarnosti daje ρ ≈ 0.
Maksvelove jednaˇcine (13.0.1) u kvazistacionarnoj aproksimaciji imaju oblik
ω
divD = 0
divB = 0
∂B
∂t
rotH = j .
rotE = −
(13.0.5)
Iz druge i poslednje jednaˇcine se vidi da magnetno polje zadovoljava iste jednaˇcine kao statiˇcko
polje. Vreme t u ovim jednnaˇcinama igra ulogu parametra. Kvazistacionarno polje prenosi
interakciju trenutno, brzina svetlosti c je velika. Drugim reˇcima efekti retardacije se zanemaruju.
Preciznije karakteristiˇcni period T je dosta ve´ci od vremena koje je svetlosti potrebno da predje
sa jednog na drugi kraj sistema
L
c
T ⇒ω .
(13.0.6)
c
L
Uzimanjem rotora poslednje jednaˇcine u (13.0.5) dobija se
4B = µ0 µr σ
∂B
.
∂t
(13.0.7)
Vidimo da magnetno polje zadovoljava difuzionu jednaˇcinu1 .
Analizirajmo jedan konkretan primer. Neka se u oblasti prostora z > 0 nalazi veliki metalni
provodnika provodnosti σ i magnetne permeabilnosti µr . Van provodnika (oblast z < 0) postoji
harmonijsko magnetno polje B< = B0 cos(ωt)ex . Potrebno je da odredimo kvazistacionarno
magnetno polje u provodniku. Lakˇse je raˇcunati sa kompleksnim poljima pa ´cemo uzeti da je
spoljaˇsnje polje B< = B0 e−iωt ex , dok ´cemo polje u provodniku traˇziti u obliku
B> = b(z)e−iωt ex .
1
Difuziona jednaˇcina ima oblik
4n = D
gde je n = n(t, r) koncentracija a D koeficijent difuzije.
∂n
∂t
191
Zamenom u (13.0.17) dobijamo
d2 b
+ iµ0 µr σωb = 0 .
dz 2
Nule karakteristiˇcnog polinoma ove diferencijalne jednaˇcine su
λ1,2 = ±
gde je
r
δ=
Reˇsenje (13.0.8) je
(1 − i)
δ
(13.0.8)
(13.0.9)
2
.
µ0 µr σω
b(z) = Ae−z/δ eiz/δ−iωt + Cez/δ e−iz/δ−iωt ,
(13.0.10)
gde su A i C konstante. Moramo uzeti da je C = 0 da magnetno polje ne bi divergralo u z → ∞.
Iz graniˇcnog uslova sledi A = µr B0 . Uzimanjem realnog dela kompleksnog magnetnog polja
dobijamo
z
z
B> = µr B0 e− δ cos( − ωt)ex .
(13.0.11)
δ
Vidi se da magnetna indukcija opada sa dubinom. Na dubini z = δ magnetna indukcija je
e puta manja nego na povrˇsini. Magnetno polje je skoncentrisano u uskom sloju uz povrˇsinu
provodnika. Ovo je tzv. skin efekt. Parametar δ je dubina skin sloja.
Magnetno polje difunduje u provodnik, u kome se stvaraju vrtloˇzne (Fukoove) struje. Kada
smo naˇsli magnetno polje moˇzemo lako na´ci zapreminsku gustinu struje u provodniku i elektriˇcno
polje. Vrtloˇzna struja u provodniku je
√
z
1
2B0 − z
3π δ
ey .
(13.0.12)
j=
rotB =
e cos
− ωt +
µ0 µr
µ0 δ
δ
4
Elektriˇcno polje dobijamo na osnovu Omovog zakona
√
z
j
2B0 − z
3π δ
E= =
e cos
− ωt +
ey .
σ
µ0 δσ
δ
4
(13.0.13)
Elektriˇcno polje i gustina struje imaju sliˇcan oblik kao i magnetno polje, jedino ˇsto kasne za njim
i naravno drugaˇcije su usmereni. Provodnost bakra na sobnoj temperaturi je σ = 0, 6·108 (mΩ)−1
6,5
cm, gde je ν = ω/(2π). Ako je frekvenca ν = 40Hz debljina skin
pa je debljina skin sloja δ = √
ν
sloja je δ = 1cm. Da bi kvazistacionarna aproksimacija bila primenljiva frekvenca ne sme biti
mnogo velika. Debljina skin sloja opada sa pove´canjem frekvence. Lako se vidi da je δ λ gde
je
2π
2πv
=p
,
(13.0.14)
λ=
ω
ε0 εµ0 ω 2
jer je ovaj uslov ekvivalentan sa ω σ/ε0 ε. Odredimo odnos izmedju elektriˇcnog i magnetnog
polja. Lako se nalazi da je
δω
Ey
∼
1.
(13.0.15)
cBx
c
192
CHAPTER 13. KVAZISTACIONARNO ELEKTROMAGNETNO POLJE
Kvazistacionarno elektromagnetno polje je uglavnom magnetno. Lako se pokazuje da je srednja
snaga
z
B2
P =< j · E >= 2 0 2 e−2 δ .
(13.0.16)
µ0 σδ
Kada debljina skin sloja δ postane reda veliˇcine duˇzine srednjeg slobodnog puta elektrona
kvazistacionarna aproksimacija je neprimenljiva, jer veza izmedju struje i elektriˇcnog polja ne´ce
biti lokalna zbog efekata prostorne disperzije. Ispostavlja se da u ovoj oblasti frekvenci debljina
1
skin sloja se ponaˇsa kao ω − 3 . Skin efekat u ovoj oblasti se naziva anomalni skin efekat.
Primer: Po popreˇcnom preseku dugaˇckog metalnog provodnika radijusa a, provodnosti σ i
permeabilnosti µ0 teˇce naizmeniˇcna struja jaˇcine I = I0 e−iωt . Na´ci odnos gustinu struje u
unutraˇsnjosti provodnika i na njegovoj povrˇsini u kvazistacionarnoj aproksimaciji.
Reˇsenje: U kvazistacionarnoj aproksimaciji elektriˇcno polje zadovoljava difuzionu jednaˇcinu
4E = µ0 σ
∂E
.
∂t
(13.0.17)
Orijentisa´cemo z−osu duˇz ose provodnika. Pretpostavi´emo da elektriˇcno polje ima slede´ci oblik
E = E(ρ)e−iωt e3 . Zamenom u difuzionu jednaˇcinu imamo
d2 E 1 dE
+
+ iµ0 σωE = 0 .
dρ2
ρ dρ
(13.0.18)
Ovo je Beselova diferencijalna jednaˇcina. Reˇsenje je E = AJ0 (kρ), gde je A konstanta i
k=
Debljina skin sloja je
1+i
.
δ
(13.0.19)
r
2
.
µ0 σω
Magnetno polje se odredjuje primenom tre´ce Maksvelove jednaˇcine. Rezultat je
B=
δ=
(13.0.20)
kAJ1 (kρ) −iωt
e
eϕ .
iω
(13.0.21)
Konstanta A se odredjuje iz graniˇcnog uslova. Odnos gustine struje u provodniku i na njegovoj
periferiji je
j(ρ)
E(ρ)
J0 (kρ)
=
=
.
(13.0.22)
j(a)
E(a)
J0 (ka)
Za ρ/δ 1, ˇsto odgovara niskim frekvencama, Beselovu funkciju aproksimira´cemo sa
J0 (kρ) ≈ 1 −
k 2 ρ2
4
(13.0.23)
odakle je
j(ρ)
≈1
j(a)
(13.0.24)
193
za ρ ≈ a. Sa druge strane za ρ/δ 1 imamo
s
s
ρ
ρ
π
π
1
δ
1+i
δ δ −i δ − 8
J0 (kρ) ≈
cos
ρ−
≈
e
2π(1 + i)ρ
δ
4
4 πρ
pa je
j(ρ)
≈
j(a)
r
a ρ−a −i ρ−a
δ
e δ
.
ρ
(13.0.25)
(13.0.26)
U limesu visokih frekvenci kada je δ a vidimo da naizmeniˇcna struja teˇce u uskoj oblasti
debljine δ blizu povrˇsine provodnika.
194
CHAPTER 13. KVAZISTACIONARNO ELEKTROMAGNETNO POLJE
Chapter 14
Sredine sa disperzijom
U prvom delu ovog kursa, gde smo izloˇzili neke opˇste principe elektrodinamike, rekli smo da
elektrodinamiˇcka reakcija sredine na spoljne polje u opˇstem sluˇcaju nije ni trenutna ni lokalna.
Ovi fenomeni su poznati kao vremenska odnosno prostorna disperzija. U ovoj glavi detaljnije
´cemo analizirati fenomen disperzije.
14.1
Vremenska disperzija
Polarizacija i magnetizacija sredine u datom trenutku zavise zbog kauzalnosti od vrednosti polja
u ranijim trenucima vremena. Ova pojava je vremenska disperzija. Vremenska disperzija se
javlja u oblasti frekvenci polja ω koja je kompatibilna sa karakteristiˇcnom frekvencom sredine.
Karakteristiˇcna frekvenca je u ve´cini sluˇcajeva jednaka inverznom vremenu elektronske relaksacije supstance. U nemetalnim kristalima na primer relaksaciono vreme je koliˇcnik dimenzija
molekula a ≈ 10−10 m i brzine elektrona v = c/137. Ovoj veliˇcini odgovara frekvenca ω ≈ 1016 s−1
u optiˇckoj oblasti. To je razlog zaˇsto je vremenska disperzija vaˇzna u optici kristala.
Pretpostavi´cemo da je sredina sa vremenskom disperzijom stacionarna i izotropna pa supstancijalne jednaˇcine imaju oblik
Z t
D(r, t) = ε0
dt0 F (r, t − t0 )E(t0 , r)
(14.1.1)
−∞
Z t
B(r, t) = µ0
dt0 G(r, t − t0 )H(t0 , r)
−∞
Z t
j(r, t) =
dt0 K(r, t − t0 )E(t0 , r) .
−∞
Nismo pretpostavili da je sredina homogena.
Prvu supstancijalnu jednaˇcinu prepisa´cemo u obliku
Z ∞
dt0 ε(t − t0 , r)E(t0 , r) ,
D(r, t) = ε0
(14.1.2)
−∞
gde je
ε(t − t0 , r) = η(t − t0 )F (t − t0 , r) .
195
(14.1.3)
196
CHAPTER 14. SREDINE SA DISPERZIJOM
Funkciju ε(t−t0 , r) i elektriˇcno polje u (14.1.2) ´cemo razloˇziti u Furijeov integral po frekvencama.
Tako dobijamo
Z ∞
D(r, t) = ε0
dt0 ε(t − t0 )E(t0 , r)
−∞
Z ∞
Z ∞
Z ∞
ε0
0
0 0
0
=
dω
dω 0 εω (r)e−iω(t−t ) Eω0 (r)e−iω t
dt
2
(2π) −∞
−∞
Z ∞
Z −∞
∞
ε0
=
dω
dω 0 εω (r)e−iωt Eω0 (r)δ(ω − ω 0 )
(2π) −∞
−∞
Z ∞
1
=
dωε0 εω (r)Eω (r)e−iωt .
(14.1.4)
2π −∞
Sa εω (r) smo obeleˇzili Furijeovu amplitudu dielektriˇcne propustljiviosti. Iz poslednjeg reda sledi
da je veza izmedju Furijeovih amplituda vektora elektriˇcne indukcije i jaˇcine elektriˇcnog polja
data sa
Dω (r) = ε0 εω (r)Eω (r) .
(14.1.5)
Ova relacija je analogna supstancijalnoj jednaˇcini za polja u statiˇckom sluˇcaju, ali dielektriˇcna
propustljivost nije konstantna ve´c zavisi od frekvence. Sredina razliˇcito reaguje na razliˇcite
monohromatske komponente elektromagnetnog polja. Analogno dobijamo
Bω (r) = µ0 µω (r)Hω (r)
jω (r) = σω (r)Eω (r) ,
(14.1.6)
(14.1.7)
tj. magnetna propustljivost i provodnost sredine zavise od frekvence. Vremenska disperzija je
vremenska nelokalnost, veliˇcine D, B i j u trenutku t zavise redom od polja E, H odnosno E
u ranijim trenucima vremena t0 ≤ t. Vremenska nelokalnost je ekvivalentna sa frekventnom
zavisnoˇs´cu dielektriˇcne i magnetne propustljivosti kao i provodnosti sredine.
Lako se vidi da je
Z
∞
ε(ω) =
dτ F (τ )eiωτ .
(14.1.8)
0
Kako je funkcija F (τ ) realna onda je ε∗ (ω) = ε(−ω). Funkcija ε(ω) je kompleksna i napisa´cemo
je u obliku
ε(ω) = ε0 (ω) + iε00 (ω) ,
(14.1.9)
gde su ε0 (ω) i ε00 (ω) realni odnosno imaginarni deo dielektriˇcne propustljivosti. Iz ε∗ (ω) = ε(−ω)
sledi
ε0 (−ω) = ε0 (ω)
ε00 (−ω) = −ε00 (ω)
(14.1.10)
tj. realni deo dielektriˇcne propustljivosti je parna, a imaginarni neparna funkcija frekvence.
Analogni izrazi vaˇze za magnetnu propustljivost:
µ0 (−ω) = µ0 (ω)
µ00 (−ω) = −µ00 (ω) ,
(14.1.11)
14.1. VREMENSKA DISPERZIJA
197
gde je µ(ω) = µ0 (ω) + iµ00 (ω). Realni i imaginarni deo kompleksne provodnosti σ(ω) = σ 0 (ω) +
iσ 00 (ω) su takodje parna odnosno neparna funkcija frekvence
σ 0 (−ω) = σ 0 (ω)
σ 00 (−ω) = −σ 00 (ω) .
Polja i izvore u Maksvel-Lorencovim jednaˇcinama ´cemo spektralno razloˇziti, npr.
Z ∞
1
E(t, r) =
Eω (r)e−iωt
2π −∞
Z ∞
1
ρω (r)e−iωt .
ρ(t, r) =
2π −∞
(14.1.12)
(14.1.13)
Zamenom u Maksvel-Lorencove jednaˇcine dobijamo jednaˇcine za Furijeove amplitude
divDω (r) = ρω (r)
divBω (r) = 0
rotEω (r) = iωBω (r)
rotHω (r) = jω (r) − iωDω (r) .
(14.1.14)
(14.1.15)
(14.1.16)
(14.1.17)
Primenom (14.1.5), (14.1.6), (14.1.7) i jednaˇcine kontinuiteta prethodne jednaˇcine postaju
div(ε0 εeff
ω (r)Eω (r)) = 0
divBω (r) = 0
rotEω (r) = iωBω (r)
rotHω (r) = −iωε0 εeff
ω (r)Eω (r) ,
(14.1.18)
gde je
i
σ(ω) ,
(14.1.19)
ε0 ω
tzv. efektivna propustljivost. Jednaˇcine (14.1.18) su analogne sa jednaˇcinama za polje u neprovodnim sredinama ali sa efektivnom propustljivoˇs´cu umesto dielektriˇcne propustljivosti. Efektivna propustljivost pored ’obiˇcne’ propustljivosti ukljuˇcuje i provodnost sredine. Obiˇcna propustljivost predstavlja doprinos vezanih elektrona.
Uzimanjem rotora tre´ce jednaˇcine (14.1.18), uz primenu prve i ˇcetvrte dobijamo
εeff (ω) = ε(ω) +
4Eω (r) +
i
h 5εeff (r)
ω 2 eff
ω
E
(r)
.
ε
(r)E
(r)
=
−
5
ω
ω
c2 ω
εeff
ω (r)
(14.1.20)
Analogno uzimanjem rotora ˇcetvrte jednaˇcine dobijamo
4Bω (r) +
ω 2 eff
5εeff
ω (r)
.
ε
(r)B
(r)
=
rotB
(r)
×
ω
ω
ω
2
eff
c
εω (r)
(14.1.21)
Jednaˇcine (14.1.20) i (14.1.20) su osnova za prouˇcavanje prostiranja talasa u nehomegenim sredinama. Ukoliko je sredina homogena, efektivna propustljivost ne zavisi od poloˇzaja pa jednaˇcine
198
CHAPTER 14. SREDINE SA DISPERZIJOM
(14.1.20) i (14.1.20) postaju talasne jednaˇcine. Za neprovodne sredine u oblasti frekvenci gde
nema apsorpcije talasa efektivna propustljivost je realna i pozitivna, pa je fazna brzina monohromatskog talasa data sa
c
vf = p
.
(14.1.22)
εeff
ω
Fazna brzina zavisi od frekvence talasa.
14.2
Energetski odnosi
ˇ
Cestice
sredine se kre´cu u elektromagnetnom polju i deo energije polja prelazi u mehaniˇcku
energiju ˇcestica. Sa druge strane pri kretanju naelektrisanih ˇcestica sredine generiˇse se elektromagnetno polje i sada se deˇsava suprotan proces; mehaniˇcka energija prelazi u energiju polja.
Medjutim ˇcestice sredine se sudaraju medjusobno i taj proces je ireverzibilan jer deo energije
nepovratno prelazi u toplotu, tj. dolazi do disipacije elektromagnetne energije. Toplota nije
funkcija stanja pa je razumljivo da se u opˇstem sluˇcaju ne moˇze definisati energija elektromagnetnog polja. Za linearne sredine bez disperzije energiju elektromagnetnog polja naˇsli smo u
lekciji o Pointingovoj teoremi. U ovoj lekciji analizira´cemo stacionarne i izotropne sredine sa
vremenskom disperzijom.
Pointingova teorema
∂D
∂B
−divSp = j · E + E ·
+H·
(14.2.23)
∂t
∂t
je direktna posledica Maksvelovih jednaˇcina i vaˇzi u opˇstem sluˇcaju. Preciznije, vaˇzi u situacijama u kojima je primenljiva klasiˇcna elektrodinamika.
Razmatrajmo prvo sluˇcaj neprovodnih sredina. Integral
Z ∞ ∂D
∂B dt E ·
+H·
(14.2.24)
∂t
∂t
−∞
predstavlja energiju polja po jedinici zapremine koja se pretvori u toplotu u taˇcki r za svo vreme.
Prvi sabirak u prethodnom integralu je
Z ∞
Z ∞ Z ∞
Z ∞
∂D
1
0
dtE ·
=
dt
dω
dω 0 Eω0 (−iω)Dω e−iω t−iωt
2
∂t
(2π) −∞
−∞
Z ∞ −∞Z ∞ −∞Z ∞
i
0
ε0
dt
= −
dω
dω 0 Eω0 ωεω Eω e−i(ω +ω)t
2
(2π)
−∞
−∞
Z ∞−∞
i
dωεω ω|Eω |2 .
(14.2.25)
= − ε0
2π
−∞
U prethodnom raˇcunu primenili smo disperzionu relaciju (14.1.5). Dalje ´cemo dielektriˇcnu
propustljivost napisati u obliku
ε(ω) = ε0 (ω) + iε00 (ω) ,
(14.2.26)
gde je kao ˇsto znamo ε0 (ω) parna, a ε00 (ω) neparna funkcija frekvence. Zbog toga konaˇcno
dobijamo
Z
Z ∞
ε0 ∞
∂D
(14.2.27)
=
dωε00ω ω|Eω |2 .
dtE ·
∂t
π 0
−∞
14.2. ENERGETSKI ODNOSI
Sliˇcno se dobija i
Z
∞
199
∂B
µ0
dtH ·
=
∂t
π
−∞
Z
∞
dωµ00ω ω|Hω |2 .
(14.2.28)
0
Prema tome
Z ∞
Z
i
h
∂B 1 ∞
∂D
00
2
00
2
dt E ·
+H·
=
dωω ε0 εω |Eω | + µ0 µω |Hω | .
∂t
∂t
π 0
−∞
(14.2.29)
Ako je sredina neprovodna onda gornji integral predstavlja energiju u jedinici zapremine
oslobodjenu u sredini u vremenskom intervalu (−∞, ∞). Kako dolazi do oslobadjanja energije,
tj. pretvatranja energije polja u toplotu to mora biti
ε00ω > 0, µ00ω > 0 .
(14.2.30)
Vidimo da su imaginarni delovi dielektriˇcne i magnetne propustljivosti vezani za apsorpciju
elektromagnetne energije od sredine. Toplota nije funkcija stanja pa energiju polja ne moˇzemo
definisati u termodinamiˇckom smislu kao funkciju stanja. Disipaciju magnetne propustljivosti
moˇzemo zanemariti.
Ukoliko je sredina provodna onda ˇclan j · E u Pointingovoj teoremi je odgovoran za omske
gubitke energije elektromagnetnog polja. Postupaju´ci kao u (14.2.25) dobijamo
Z ∞
Z
1 ∞
dtj · E =
dωσω0 |Eω |2 .
(14.2.31)
π 0
−∞
Krajnji rezultat je
Z ∞ Z
h
i
∂D
∂B 1 ∞
00
2
00
2
dt j · E + E ·
=
+H·
dωω ε0 εeff (ω)|Eω | + µ0 µω |Hω | .
∂t
∂t
π 0
−∞
(14.2.32)
Imaginarni deo efektivne dielektriˇcne propustljivosti kao i imaginarni deo magnetne propustljivosti su odgovorani za pretvaranje energije polja u toplotu.
Oblasti frekvenci za koje je imaginarni deo efektivne propustljivosti mali u odnosu na realni
ε00eff (ω) |ε0eff (ω)|,
(14.2.33)
nazivaju se oblastima prozraˇcnosti (transparentnosti) sredine. U tim oblastima frekvenci polja
disipacija elektromagnetne energije je zanemarljiva i izraz za elektromagnetnu energiju je sliˇcan
kao u statiˇckom sluˇcaju.
Iz (14.2.25) imamo
Z ∞
Z ∞
∂D
i
0
E·
=−
ε0
dω
dω 0 E(ω 0 )ωε(ω)E∗ (−ω 0 )e−i(ω−ω )t .
(14.2.34)
2
∂t
(2π)
−∞
−∞
Elektriˇcno polje je realno pa vaˇzi E(ω) = E∗ (−ω). Izraz (14.2.34) transformisa´cemo na slede´ci
naˇcin. Napisa´cemo ga kao zbir dva sabirka od kojih je svaki polovina izraza (14.2.34), pa ´cemo
u drugom sabirku napraviti smenu ω → −ω 0 i ω 0 → ω. Tako dobijamo
Z ∞
Z ∞
i
∂D
0
dω
dω 0 (ω 0 ε∗ (ω 0 ) − ωε(ω))E∗ (ω 0 )E(ω)e−i(ω−ω )t .
(14.2.35)
=
ε0
E·
2
∂t
2(2π)
−∞
−∞
200
CHAPTER 14. SREDINE SA DISPERZIJOM
Pretpostavi´cemo da je elektriˇcno polje dominantno u uskom intervalu frekvenci, pa moˇzemo
koristiti razvoj
d(ωε∗ (ω))
(14.2.36)
ω 0 ε∗ (ω 0 ) = ωε∗ (ω) − (ω − ω 0 )
dω
odakle je
d(ωε∗ (ω))
ω 0 ε∗ (ω 0 ) − ωε(ω) = −2iωε00 (ω) − (ω − ω 0 )
.
(14.2.37)
dω
Zamenom ovog izraza u (14.2.35) dobijamo
Z ∞
Z ∞
∂D
ε0
0
E·
=
dω
dω 0 (ωε00 E∗ (ω 0 )E(ω)e−i(ω−ω )t
2
∂t
(π) −∞
Z −∞ Z ∞
ε0 ∂ ∞
0 d
∗
∗
0
−i(ω−ω 0 )t
dω
dω
(ωε
(ω))E
(ω
)E(ω)e
. (14.2.38)
+
2(2π)2 ∂t −∞
dω
−∞
Analogno se dobija i izaraz za H · ∂B
. Ve´c smo pretpostavili da je elektromagnetni talas kvaz∂t
imonohromatski. On je superpozicija monohromatskih komponenti u veoma uskom intervalu
frekvenci oko frekvence ω0 . Dakle elektromagnetno polje je oblika
E = E0 (t)e−iω0 t , H = H0 (t)e−iω0 t ,
(14.2.39)
gde se E0 (t) i H0 (t) su sporo promenljive funkcije u odnosu na vreme 1/ω0 . Za takva polja vaˇzi
E·
gde su
ueff
i
∂D
∂B
∂ueff
+H·
=Q+
∂t
∂t
∂t
1 ∂
∂
0
2
0
2
ε0 (ωε )|E(t)| + µ0 (ωµ )|H(t)|
=
2
∂ω
∂ω
Q = ω ε0 ε00 |E(t)|2 + µ0 µ00 |H(t)|2
(14.2.40)
(14.2.41)
(14.2.42)
U gornjim izrazima indeks 0 na frekvenci nismo pisali. ueff je efektivna zapreminska gustina
elektromagnetne energije. U tom izrazu se pojavljuju realni delovi dielektriˇcne i magnetne
propustljivosti. Drugi ˇclan Q predstavlja konverziju elektromagnetne energije u toplotu. U
njemu figuriˇsu imaginarni delovi elektriˇcne i magnetne propustljivosti. Prema tome Pointingova
teorema u aproksimaciji koju smo objasnili u uvodu ima slede´ci oblik
∂ueff
+ divSp = −j · E − Q .
∂t
14.3
(14.2.43)
Disperzije dielektriˇ
cne propustljivosti
U okviru Lorencove elektronske teorije na elektron koji pripada atomu odnosno molekulu sredine
deluje kvazielastiˇcna sila, −mω02 r i sila ’trenja’ −mγ r˙ , gde je γ faktor priguˇsenja a ω0 sopstvena
frekvenca elektrona. Jednaˇcina kretanja elektrona u elektromagnetnom polju je
m¨r = −mω02 r − e(E + r˙ × B) − mγ r˙ .
(14.3.44)
ˇ
14.3. DISPERZIJE DIELEKTRICNE
PROPUSTLJIVOSTI
201
Kretanje elektrona je nerelativistiˇcko pa ´cemo zanemirati magnetni deo Lorencove sile. Sve
veliˇcine ´cemo spektralno razloˇziti prema
Z ∞
1
r(t) =
dωrω e−iωt
2π −∞
Z ∞
1
(14.3.45)
E(t) =
dωEω (r)e−iωt .
2π −∞
Amplitude zadovoljavaju algebarsku jednaˇcinu
−mω 2 rω = −mω02 rω − eEω + imωγrω
odakle je
rω =
m(ω02
−eEω
.
− ω 2 ) − imγω
(14.3.46)
(14.3.47)
Amplituda elektriˇcnog dipolnog momenta molekula je
pω = −e
Z
X
rsω
s=1
=
Z
X
s=1
e2 Eω
,
m(ωs2 − ω 2 ) − imγs ω
(14.3.48)
gde smo sumirali po svim elektronima molekula. Svaki elektron ima svoju sopstvenu frekvencu
ωs i faktor priguˇsenja γs . Polarizacija sredine je
Pω =
Z
X
s=1
e2 na
Eω ,
m(ωs2 − ω 2 ) − imγs ω
(14.3.49)
gde je na koncentracija molekula. Amplituda elektriˇcne indukcije je
Dω = ε0 Eω + Pω
Z
e2 na X
1
= ε0 1 +
Eω .
ε0 s=1 m(ωs2 − ω 2 ) − imγs ω
(14.3.50)
Iz gornjeg izraza direktno moˇzemo da proˇcitam propustljivosti. Vidimo da je ona data sa
ε(ω) = 1 +
Z
e2 na X
1
,
2
2
ε0 s=1 m(ωs − ω ) − imγs ω
(14.3.51)
i da zavisi od frekvence. Pored toga dobili smo da je dielektriˇcna propustljivost kompleksna
funkcija frekvence. Ukoliko su faktori priguˇsenja mali, γs 1 onda je dielektriˇcna propustljivost
e2 n X
1
ε(ω) = 1 +
2
ε0 m s=1 ωs − ω 2
Z
(14.3.52)
202
CHAPTER 14. SREDINE SA DISPERZIJOM
Figure 14.1:
realna. Kada se frekvenca polja poklopi sa nekom od sopstvenih frekvenci elektrona dielektriˇcna
propustljivost divergira ukoliko su faktori priguˇsenja zanemarljivi. Iz (14.3.51) dobijamo realni
i imaginarni deo dielektriˇcne propustljivosti:
Z
e2 n a X
ωs2 − ω 2
ε (ω) = 1 +
ε0 m s=1 (ωs2 − ω 2 )2 + γs2 ω 2
0
Z
ωγs
e2 na X
ε (ω) =
.
2
ε0 m s=1 (ωs − ω 2 )2 + γs2 ω 2
00
(14.3.53)
Vidimo da je realni deo propustljivosti parna, a imaginarni neparna funkcija frekvence, kao
ˇsto oˇcekujemo na osnovu opˇstih razmatranja. Realni i imaginarni deo propustljivosti sredine
prikazane su na slici 14.1. Uzeli smo da postoje dve rezonatne frekvence. Pri niskim frekvencama
dielektriˇcna propustljivost postaje
Z
e2 n a X 1
ε(0) = 1 +
ε0 m s=1 ωs2
(14.3.54)
ˇsto je statiˇcka propustljivost. Za visoke frekvence propustljivost teˇzi jedinici. Realni deo propustljivosti ima maksimume u0 okolini rezonatnih frekvenci. Kada je realni deo propustljivosti
0
rastu´ca funkcija frekvence, dεdω(ω) > 0 govorimo o normalnoj disperziji; dok kada je dεdω(ω) < 0
govorimo o anomalnoj disperziji. Sa slike 14.1 je jasno da se anomalna disperzija javlja u uskoj
oblasti oko rezonatnih frekvenci. U tim oblastima imaginarni deo propustljivosti je razliˇcit od
nule, i tu dolazi do priguˇsenja talasa.
14.4. DISPERZIJA PROVODNOSTI
14.4
203
Disperzija provodnosti
Sumu po svim elektronima u izrazu za propustljivost (14.3.51) podeli´cemo na dve sume. U
prvoj sumi sumira´cemo po vezanim elektronima a u drugoj po slobodnim elektronima. Doprinos
vezanih elektrona je dielektriˇcna propustljivost sredine, ε(ω), dok ceo izraz (14.3.51) predstavlja
efektivnu propustljivost. Vidimo da smo u prethodnoj lekciji bili neprecizni. Neka je f0 deo
elektrona po atomu odnosno molekulu koji je slobodan. Sopstvena frekvenca slobodnih elektrona
je jednaka nuli, dok je njihov faktor priguˇsenja γ. Prema tome
εeff (ω) = 1 +
e2 n a X
1
ie2 na f0
+
.
ε0 m vez ωs2 − ω 2 − iγs ω mε0 ω(γ − iω)
(14.4.55)
Dakle,
εeff (ω) = ε(ω) + i
e2 nsl
,
ε0 m(ωγ − iω 2 )
(14.4.56)
gde je nsl = f0 na koncentracija slobodnih elektrona.
Poredjenjem sa (14.1.19) dobijamo provodnost sredine
σ(ω) =
e2 n
sl .
mγ 1 − i ωγ
(14.4.57)
Kod stacionarnih sredina sa vremenskom disperzijom provodnost postaje frekventno zavisna.
Koncentracija jona bakra je n = 8 · 1028 m−1 , provodnost pri niskim frekvencama je σ ≈ 5, 5 ·
107 (Ωm)−1 . Ukoliko uzmemo f = 1 faktor priguˇsenja je γ ≈ 4 · 1013 s−1 Za frekvence ispod
1011 s−1 (mikrotalasna oblast) provodnost je realna, tj. struja je u fazi sa naponom. Za viˇse
frekvence provodnost postaje kompleksna.
Faktor priguˇsenja slobodnih elektrona predstavlja efektivnu kolizionu frekvencu, tj. broj
sudara elektrona sa jonima u jedinici vremena. Jednaˇcina kretanja slobodnih elektrona je
m¨r = −eE − mγ r˙ .
(14.4.58)
Nakon spektralnog razlaganja prethodne jednaˇcine dobijamo
−imωvω = −eEω − mγvω
(14.4.59)
odakle moˇzemo da nadjemo vω . Furijeova amplituda gustine elektriˇcne struje je
ω
nsl e2 1 + i γ
jω = −ensl vω =
Eω .
mγ 1 + ωγ 22
(14.4.60)
Iz poslednjeg izraza vidimo da je provodnost sredine data sa
σ(ω) = σ(0)
1 + i ωγ
1+
ω2
γ2
,
(14.4.61)
204
CHAPTER 14. SREDINE SA DISPERZIJOM
gde je
nsl e2
σ(0) =
(14.4.62)
mγ
statiˇcka provodnost. Dobijeni rezultat je identiˇcan sa ranije dobijenim rezultatom (14.4.57) za
provodnost. Sredina sa slobodnim elektronima je provodnik u oblasti niskih frekvenci, tj. za
ω → 0. Tada je efektivna dielektriˇcna propustljivost data sa
εeff (ω) =
iσ(0)
ε0 ω
(14.4.63)
i kao ˇsto vidimo divergira. Na visokim frekvencama provodnost se ponaˇsa kao
σ(ω) → i
e2 nsl
mω
(14.4.64)
a efektivna propustljivost
e2 nvez
e2 nsl
−
mε0 ω 2 mε0 ω 2
e2 (nvez + nsl )
= 1−
mε0 ω 2
e2 n
= 1−
mε0 ω 2
εeff (ω) = 1 −
(14.4.65)
gde je n = nsl + nvez ukupna gustina elektrona. Na visokim frekvencama slobodni i vezani
elektroni se ponaˇsaju na isti naˇcin. To se vidi iz izraza za efektivnu propustljivost gde oni ulaze
raznopravno. Gornji izraz ´cemo prepisati u obliku
εeff (ω) = 1 −
ωp2
ω2
(14.4.66)
gde je
e2 n
ε0 m
1
plazmena frekvenca . Fazna brzina talasa u oblasti visokih frekvenci je
c
ω
vf = = p
.
k
ε(ω)
ωp2 =
1
(14.4.67)
(14.4.69)
Plazma se sastoji od slobodnih elektrona i jona. Koncentracijui elektrona obeleˇzi´cemo sa n. Zamislimo da
je jonski podsistem nepokretan. Kada se elektronski podsistem izvede iz ravnoteˇznog poloˇzaja za ∆x na levom
odnosno desnom kraju, stvara se povrˇsinsko naelektrisanje ±ne∆x. Ovo nelektrisanje kreira polje E = ne∆x
ε0
koje na elektron deluje elastiˇcnom silom
ne2
F =−
∆x .
ε0
Elektronski podsistem osciluje sa frekvencom
ne2
ωp2 =
(14.4.68)
mε0
koja se naziva plazmena frekvenca.
14.5. KRAMERS-KRONIGOVE RELACIJE
205
Figure 14.2: Kontura integracije
Odavde dobijamo disperzionu relaciju sredine u toj oblasti
ω 2 = ωp2 + c2 k 2 .
(14.4.70)
Nadjite grupnu brzinu iz ovog rezultata.
14.5
Kramers-Kronigove relacije
Dielektriˇcna propustljivost sredine je kompleksna funkcija realnog argumenta ω. Medjutim na
osnovu teorije analitiˇckih funkcija moˇzemo napraviti analitiˇcko produˇzenje ove funkcije na celu
kompleksnu ω−ravan. U okviru jednostavnog Lorencovog modela vidimo da su polovi dielektriˇcne propustljivosti (14.3.51) odredjeni sa
ω 2 + iωγs − ωs2 = 0 .
Lako se vidi da su oni
ω1,2
γs
= −i ±
2
r
ωs2 −
γs2
.
4
(14.5.71)
(14.5.72)
2
Dalje ´cemo analizirati neprovodne sredine. Ako je ωs2 > γ4s polovi dielektriˇcne propustljivosti su
2
u donjoj kompleksnoj ω poluravni. Ako je ωs2 < γ4s polovi su opet u donjoj poluravni i imaginarni
su. Funkciju F (t − t0 ) u izrazu (14.1.1) napisa´cemo u obliku
F (t − t0 ) = 2δ(t − t0 ) + G(t − t0 )
pa je
Z
D(t, r) = ε0 E(t, r) + ε0
= ε0 E(t, r) + ε0
= ε0 E(t, r) + ε0
t
Z−∞
∞
Z−∞
∞
−∞
(14.5.73)
G(t − t0 )E(r, t − t0 )
G(t − t0 )η(t − t0 )E(r, t − t0 )
χ(t − t0 )E(r, t − t0 ) ,
(14.5.74)
206
CHAPTER 14. SREDINE SA DISPERZIJOM
gde je χ(t − t0 ) = G(t − t0 )η(t − t0 ) . Lako se vidi da je
Z ∞
χ(ω) =
dτ G(τ )eiωτ
(14.5.75)
0
pa je
Z
ε(ω) = 1 +
∞
dτ G(τ )eiωτ .
(14.5.76)
0
Na vrednost vektora elektriˇcne indukcije u trenutku t najviˇse utiˇcu vrednosti polja u trenucima
t0 bliskim t. Zato je funkcija G(τ ) konaˇcna i teˇzi nuli za τ → ∞. Iz (14.5.76) sledi da dielektriˇcna
propustljivost u kompleksnoj ω−ravni zadovoljava
ε∗ (ω ∗ ) = ε(−ω) .
(14.5.77)
Pri visokim realnim frekvencama podintegralna funkcija u (14.5.76) brzo osciluje pa taj
integral teˇzi nuli. Najve´ci doprinos integralu potiˇce od malih vrednosti τ . Realni i imaginarni
deo propustljivosti se ponaˇsaju prema
ε0 (ω) = 1 +
d2
+ ...
ω2
d3
(14.5.78)
,
ω3
gde su d2 , d3 konstante. Za male realne frekvence ω realni i imaginarni delovi propustljivosti su
ε00 (ω) =
ε0 (ω) = 1 + c0 + c2 ω 2 + . . .
ε00 (ω) = c1 ω + . . . ,
(14.5.79)
gde c0 , c1 i c2 su konstante. Statiˇcka propustljivost je ε(0) = 1 + c0 .
Ve´c smo rekli da ´cemo dielektriˇcnu propustljivost ε(ω) analitiˇcki produˇziti na kompleksnu
ravan, tj. stavi´cemo ω = ω 0 + iω 00 u izraz (14.5.76). Tako dobijamo
Z ∞
0
00
ε(ω) = 1 +
G(τ )eiτ ω −τ ω .
(14.5.80)
0
0
0
Zbog kauzalnosi je t > t pa je τ = t − t > 0. U gornjoj poluravni, ω 00 > 0 podintegralna
funkcija ne divergira. Situacija je drugaˇcija za negativne vrednosti ω 00 ; tada za velike frekvence
dielektriˇcna propustljivost postaje beskonaˇcna. Dakle, dielektriˇcna propustljivost neprovodne
sredine je analitiˇcka funkcija na realnoj osi i u gornjoj poluravni. Takodje za veliko |ω| ona teˇzi
nuli.
Posmatrajmo integral
I
ε(z) − 1
I(ω) =
dz ,
(14.5.81)
C z −ω
gde je kontura integracije zadata na slici 14.2. Kontura integracije C sastoji se od integracije
od −R do ω − r i od ω + r do R po realnoj osi, malog polukruga Cr polupreˇcnika r i velikog
polukruga polupreˇcnika R. Primenom Koˇsijeve teorema o rezidumima
I
X
f (z) = 2πi
Resk f (z)
(14.5.82)
C
k
14.5. KRAMERS-KRONIGOVE RELACIJE
imamo
Z
207
Z R
Z
ε(z) − 1
ε(x) − 1
ε(z) − 1
dz +
dx
+
dz = 0
x−ω
Cr z − ω
ω+r
CR z − ω
−R
R
Jasno je da za veliko R integral CR teˇzi nuli, jer za veliko |z| imamo
ω−r
ε(x) − 1
+
dx
x−ω
Z
(14.5.83)
1
ε(z) − 1
|z|2
∼
→0.
z−ω
|z|
(14.5.84)
Integral po malom polukrugu Cr za r → 0 je
Z
Z 0
ε(z) − 1
ε(ω + reiϕ ) − 1 iϕ
dz =
re iϕ
reiϕ
Cr z − ω
π
= −iπ(ε(ω) − 1) .
(14.5.85)
Dalje je
Z
ω−r
lim
r→0
−∞
ε(x) − 1
dx
+
x−ω
Z
ε(x) − 1 dx
=P
x−ω
ω+r
∞
Z
∞
dx
−∞
ε(x) − 1
,
x−ω
gde je P oznaka za glavnu vrednost integrala2 . Dakle, dobijamo
Z ∞
ε(x) − 1
P
= iπ(ε(ω) − 1) .
dx
x−ω
−∞
Ako napiˇsemo ε(ω) = ε0 (ω) + iε00 (ω) onda iz (14.5.88) sledi
Z ∞
1
ε00 (x)
0
ε (ω) − 1 =
P
dx
π
x−ω
−∞
Z ∞
1
ε0 (x) − 1
ε00 (ω) = − P
dx
.
π
x−ω
−∞
(14.5.86)
(14.5.88)
(14.5.89)
(14.5.90)
Dobijeni izrazi su Kramers-Kronigove disperzione relacije. One su posledica kauzalnosti i povezuju
realni sa imaginarnim delom dielektriˇcne propustljivosti. Dakle realni i imaginarni deo propustljivosti nisu nezavisni. Znaju´ci imaginarni deo propustljivosti moˇzemo odrediti realni deo.
Prethodno izvodjenje pokazuje da je
1
1
=P
∓ iπδ(x) ,
(14.5.91)
x ± iδ
x
2
Glavna vrednost integrala je definsana sa
Z ∞
Z ∞
h Z x0 −ε
f (x)
f (x)
f (x) i
dx
P
dx
= lim
+
dx
.
ε→0
x − x0
x − x0
x − x0
−∞
−∞
x0 +ε
Npr. pokaˇzite da je
Z
P
2
5
dx
= ln 2 .
x−3
(14.5.87)
208
CHAPTER 14. SREDINE SA DISPERZIJOM
gde δ → 0. Gornja formula vaˇzi pod integralom kada deluje na analitiˇcku funkciju f (x):
Z ∞
Z ∞
Z ∞
f (x)
f (x)
=P
∓ iπ
dx
dx
dxf (x)δ(x) .
(14.5.92)
x ± iδ
x
−∞
−∞
−∞
Primenom gornje formule moˇzemo eliminisati glavnu vrednosti integrala u (14.5.89). Tako dobijamo
Z
ε00 (x)
1 ∞
dx
.
(14.5.93)
ε(ω) = 1 +
π −∞ x − ω − iδ
14.6
Ravan monohromatski talas u sredini sa disperzijom
Furijeove amplitude polja, Eω (r), Bω (r), . . . zadovoljavaju jednaˇcine (14.1.18). U ovoj lekciji
analizira´cemo prostiranje ravnog momohromatskog talasa u sredini sa frekventnom disperzijom.
Predpostavi´cemo da je sredina stacionarna, izotropna i homogena. Za ravan monohromatski
talas polja su oblika
E(t, r)
B(t, r)
D(t, r)
H(t, r)
=
=
=
=
E0 e−iωt+ik·r
B0 e−iωt+ik·r
D0 e−iωt+ik·r
H0 e−iωt+ik·r ,
(14.6.94)
(14.6.95)
(14.6.96)
(14.6.97)
gde smo standardno indeksom 0 obeleˇzili odgovaraju´ce amplitude. Frekvenca talasa je ω, a
talasni vektor je k. Amplitude zadovoljavaju slede´ce jednaˇcine
k · E0 = 0
k · B0 = 0
k × E0 = iωB0
iω
k × B0 = 2 eff (ω)E0 .
(14.6.98)
c
Jednaˇcine za amplitude polja su algebarske. U prethodnom raˇcunu ˇcinjenica da efektivna propustljivost ne zavisi od r, tj. da je sredina homogena dovela nas je do jednostavnih jednaˇcina za
amplitude polja.
Ako vektorski tre´cu jednaˇcinu u (14.6.98) pomnoˇzimo sa talasnim vektorom k sa leve strane
dobijamo
ω2
k × (k × E0 ) + 2 εeff (ω)E0 = 0 ,
(14.6.99)
c
gde smo iskoristili poslednji Maksvelovu jednaˇcinu iz (14.6.98). Ako sada primenimo i prvu od
ovih jednaˇcina dobijamo
h
i
ω2
− k2 + 2 eff (ω) E0 = 0 .
(14.6.100)
c
Iz (14.6.100) sledi disperziona relacija
ω2
k = 2 eff (ω) .
c
2
(14.6.101)
14.6. RAVAN MONOHROMATSKI TALAS U SREDINI SA DISPERZIJOM
209
Sada prelazimo na reˇsavanje disperzione relacije. Moˇzemo pretpostaviti da je frekvenca talasa
ω poznata i realna. Ova situacija odgovara sluˇcaju kada talas frekvence ω pada iz vakuuma
u sredinu. Onda nam (14.6.101) odredjuje talasni vektor koji je u opˇstem sluˇcaju kompleksan
k = k0 + ik00 . Vektori k0 i k00 su realni. Iz disperzione relacije sledi
02
002
k −k
ω2
+ 2ik · k = 2 eff (ω)
c
0
00
(14.6.102)
Iz ovog izraza vidimo da je
02
002
k −k
k0 · k00
ω2 0
= 2 eff (ω)
c
ω 2 00
=
(ω) .
2c2 eff
(14.6.103)
Talasni vektor k je realan ukoliko je effektivna propustljivost realna i pozitivna. Posebno treba
ispitati situaciju kada su vektori k0 i k00 medjusobno ortogonalni jer je tada gornji uslov zadovoljen
a talasni vektor nije realan. Talas sa kompleksnim talasnim vektorom u opˇstem sluˇcaju nije ravan
talas. Komponente polja su proporcionalne sa
00
0
e−k ·r e−i(ωt−k ·r) .
(14.6.104)
Iz ovog izraza je jasno da su ravni ortogonalne na k0 ravni konstantne faze, a ravni ortogonalne
na k00 su ravni iste amplitude talasa. Skup taˇcaka sa istom vrednosti polja nisu ravni, pa se
ovakav talas samo uslovno naziva ravnim. Faza talasa se prostire duˇz pravca k0 , dok duˇz prvaca
k00 amplituda talasa opada. Ovakav talas je samo uslovno ravan i ˇcesto se naziva ’nehomogen
ravan talas’. Predpostavi´cemo dalje da su vektori k0 i k00 medjusobno paralelni. Ovakav talas
je ravan u pravom smislu te reˇci. Dakle posmatramo situaciju gde je k = ke, gde je e jediniˇcni
realni vektor. Elektriˇcno polje ravanog monohromatskog talas je onda
E0 e−i(ωt−k·r) = E0 e−k
00 e·r
0
e−i(ωt−k e·r) .
(14.6.105)
Iz ovog izraza vidimo da ampliltuda talasa nije konstantna ve´c opada sa rastojanjem (k 00 > 0),
tj. dolazi do priguˇsenja talasa u sredini. Priguˇsenje talasa vezano je za imaginarni deo talasnog
vektora. Realni deo talasnog vektora ulazi u fazu talasa pa je fazna brzina data sa
vf =
ω
c
= 0 ,
0
k
n
(14.6.106)
gde je n0 indeks prelamanja. Kompleksni indeks prelamanja n = n0 + in00 je definisan sa
k=
ωp
ω
εeff (ω) = (n0 + in00 ) .
c
c
(14.6.107)
Iz
ε0eff + iε00eff = n02 − n002 + 2in0 n00
(14.6.108)
210
CHAPTER 14. SREDINE SA DISPERZIJOM
sledi da su realni i imaginarni delovi kompleksnog indeksa prelamanja dati sa
s
p
002
ε0eff + ε02
eff + εeff
0
n =
2
s
p
002
−ε0eff + ε02
eff + εeff
n00 =
.
2
(14.6.109)
Realni deo kompleksnog indeksa prelamanja, n0 zva´cemo samo indeksom prelamanja. Imaginarni
deo kompleksnog indeksa prelamanja, n00 vezan je sa koeficijentom apsorpcije
α=2
ωn00
= 2k 00 .
c
(14.6.110)
Indeks prelamanja i koeficijent apsorpcije zavise od frekvence talasa. Iz izraza za elektriˇcno polje
(14.6.105) i tre´ce Maksvelove jednaˇcine dobijamo magnetno polje
k
e×E
ω
√
n00
=
n02 + n002 eiarctan n0 e × E .
B =
(14.6.111)
Elektriˇcno i magnetno polje talasa nisu u fazi.
Pri niskim frekvencama za metale je ε0eff ≈ 0 i ε00eff = σ(ω)
. Imaginarni deo efektivne proε0 ω
pustljivosti nije zanemarljiv u odnosu na realni pa su metali na niskim frekvencama neprozraˇcni
(netransparentni). Realni i imaginarni delovi komleksnog indeksa prelamanja su
r
σ
0
00
n =n ≈
.
(14.6.112)
2ε0 ω
Fazna razlika izmedju elektriˇcnog i magnetnog poljapu ovom sluˇcaju je π/4.
Za prozraˇcne sredine indeks prelamanja je n0 ≈ ε0eff , dok je
ε00
n00 = peff0
2 εeff
(14.6.113)
Sredina je nedisipativna.
14.7
Talasni paket i grupna brzina
Realni izvori elektromagnetnih talasa ne generiˇsu talase taˇcno odredjene frekvence i talasnog
vektora. Ove veliˇcine su uvek unutar nekog, u najboljem sluˇcaju uskog, intervala frekvenci
odnosno talasnog vektora. Superpozicija ravnih monohromatskih talasa koja je lokalizovana u
prostoru (slika 14.3) naziva se talasnim paketom. Predpostavi´cemo da je talasni vektor svakog
ravnog talasa realan, a da iz disperzione relacije (14.6.101) nalazimo frekvencu talasa. Zbog
14.7. TALASNI PAKET I GRUPNA BRZINA
211
Figure 14.3:
linearnosti Maksvelovih jednaˇcina sledi da je reˇsenje za elektriˇcno polje superpozicija ravnih
talasa
Z
1
E(t, r) =
d3 kEk ei(k·r−ω(k)t)
(14.7.114)
3
(2π)
Da bi dobili talasni paket uze´cemo da su talasni vektori unutar intervala (k0 − ∆k, k0 + ∆k).
Elektriˇcno polje je
Z k0 −∆k
E(t, r) =
d3 kEk e−i(ω(k)t)−kr) ,
(14.7.115)
k0 −∆k
gde su ampiltude Ek dobro lokalizovane u k prostoru i imaju pik za k = k0 . Jednostavnosti radi
uze´cemo k = kex . Disperzionu relaciju ´cemo razviti u red oko k0 uz zanemarivanje viˇsih ˇclanova
dω ω(k) = ω(k)0 +
(14.7.116)
(k − k0 ) .
dk 0
Elektriˇcno polje talasnog paketa je prema tome
Z
−i dω
dk k0 +∆k
t−x (k−k0 )
0
dkEk0 e−i(ω(k0 )t−k0 x) e
k0 −∆k
∆k
t
−
x)
2 sin ( dω
dk 2
0
= E k0
e−i(ω(k0 )t−k0 x) .
dω
t−x
dk E =
(14.7.117)
0
Vidimo da amplituda talasnog paketa ima oˇstar maksimum. Poloˇzaj ovog maksimuma odredjen
je sa
dω (14.7.118)
t − x = const.
dk 0
Grupna brzina je definisana kao brzina pomeranja ovog maksimuma
vg =
dx
dω
=
.
dt
dk
(14.7.119)
212
CHAPTER 14. SREDINE SA DISPERZIJOM
Razliˇcite monohromatske komponente u talasnom paketu imaju razliˇcite fazne brzine zbog disperzije. Grupna brzina govori o kretanju paketa kao celine. U opˇstem sluˇcaju grupna brzina
je
∂ω
.
(14.7.120)
vg =
∂k
Za izotropne sredine je ω = ω(k), tj. frekvenca talasa zavisi od intenziteta talasnog vektora.
Ako je sredina prozraˇcna tj. 00eff (ω) ≈ 0 onda je ω realno pa su grupna i fazna brzina date sa
∂ω
dω k
=
∂k
dk k
ωk
nk
=
=
.
kk
ck
vg =
vf
(14.7.121)
Pointigov vektor (pravac prostiranja zraka) je takodje kolinearan sa k. Iz ω = kvf sledi
vg = vf + k
odakle se dobija
vg =
dvf
dk
c
.
dn
n(ω) + ω dω
(14.7.122)
(14.7.123)
dn
dn
Ukoliko je dω
> 0 (normalna disperzija) tada je vg < vf . U sluˇcaju anomalne disperzije dω
<
0 grupna brzina je ve´ca od fazne. Tada grupna brzina moˇze biti ve´ca od brzine svetlosti.
Medjutim u oblasti anomalne disperzije razvoj (14.7.116) nije opravdan jer se viˇsi ˇclanovi ne
mogu zanemariti i to je razlog ˇsto smo dobili nefiziˇcki rezultat koji bi bio u suprotnosti sa
specijalnom teorijom relativnosti.
14.8
Sredine sa prostorno–vremenskom disperzijom
Do sada smo ˇsto se tiˇce sredina sa disperzijom analizirali vremensku disperziju koja je svakako
znaˇcajniji tip disperzije kod materijalnih sredina. Kada je talasna duˇzina elektromagnetnog polja
reda veliˇcine karakteristiˇcne duˇzine sredine prostorna disperzija takodje postaje znaˇcajna. Elektrodinamiˇcka reakcija sredine u taˇcki r zavisi od polja u okolnim taˇckama. Prostorna disperzija
je prostorna nelokalnost. Ranije smo objasnili da vremenska disperzija uvek prati prostornu
disperziju. Supstancijalne jednaˇcine sredine sa prostorno-vremenskom disperzijom su date sa
Z t
Z
0
Di (r, t) =
dt
d3 r 0 Fij (r − r 0 , t − t0 )Ej (t0 , r 0 )
−∞
Z t
Z
0
Bi (r, t) =
dt
d3 r 0 Gij (r − r 0 , t − t0 )Hj (t0 , r 0 )
−∞
Z t
Z
0
ji (r, t) =
dt
d3 r 0 Kij (r − r 0 , t − t0 )Ej (t0 , r 0 ) .
−∞
Ove formule se odnose na sredinu koja je stacionarna i homogena. Kod sredina sa slobodnim
naelektrisanjima efekat prostorne disperzije moˇze biti znaˇcajan. Slobodna naelektrisanja pri
14.8. SREDINE SA PROSTORNO–VREMENSKOM DISPERZIJOM
213
termalnom kretanju sa jednog na drugo mesto sredine nose informaciju o elektrodinamiˇckoj
situaciji. Ovaj efekat je izraˇzen u plazmi. Postupaju´ci kao u sluˇcaju vremenske disperzije
supstancijalne jednaˇcine se mogu napisati tako da se integrali po celoj vremenskoj osi, npr.
Z ∞
Z
0
Di (r, t) = ε0
dt
d3 r 0 εij (r − r 0 , t − t0 )Ej (t0 , r 0 ) .
(14.8.124)
−∞
Elektriˇcno polje E(t, r) i εij ´cemo razloˇziti u Furijeove integrale
Z ∞
Z
1
E(t, r) =
dω
d3 kEωk e−iωt+ikr
(2π)4 −∞
3
ZR
Z ∞
1
d3 kεij (ω, k)e−i(ωt−ik·r) .
εij (t, r) =
dω
(2π)4 −∞
3
R
(14.8.125)
Zamenom (14.8.125) u (14.8.124) dobijamo
Di (ω, k) = ε0 εij (ω, k)Ej (ω, k) .
(14.8.126)
Kod sredina sa prostorno–vremenskom disperzijom dielektriˇcna propustljivost zavisi od frekvence
ali i od talasnog vektora. Sredine sa prostornom disperzijom su anizotropne. Anizotropija
potiˇce od same ˇcinjice da dielektriˇcna odnosno magnetna propustljivost a i provodnost zavise od
talasnog vektora. Dielektriˇcna propustljivost nije skalar ve´c je simetriˇcan tenzor konstruisana od
Kronekerove delte i simetriˇcne kombinacije talasnog vektora, ki kj /k 2 . Sasvim generalno tenzor
propustljivosti ima slede´ci oblik
ki kj ki kj
εij (ω, k) = εtr (k, ω) δij − 2 + εl (k, ω) 2 .
k
k
(14.8.127)
Veliˇcine εtr (k, ω) i εl (k, ω) su skalarne funkcije koje nazivamo trasverzalnom odnosno longitudinalnom propustljivoˇs´cu. Izrazi δij − ki kj /k 2 i ki kj /k 2 su transverzalni odnosno longitudinalni
projektor.
Jedan od vaˇznih primera prostorno–vremenske disperzije je optiˇcka aktivnost. Kod sredina
sa slabom prostornom disperzijom tenzor propustljivosti moˇze se razloˇziti u red po stepenima
talasnog vektora
εij (ω, k) = εij (ω) + iγijm k m + . . . .
(14.8.128)
Mi se ne´cemo dalje upustati u analizu elektrodinamike ovakvih sredina. Mnogo viˇse detalja
moˇzete na´ci u [3] i [4].
214
CHAPTER 14. SREDINE SA DISPERZIJOM
Chapter 15
Ravan monohromatski talas u
anizotropnim sredinama
15.1
Prostiranje kroz prozraˇ
can kristal
Razmatra´cemo prostiranje ravnog monohromatskog talasa kroz dielektrik koji je prozraˇcan, anizotropan, homogen i stacionaran sa vremenskom disperziom. Dielektriˇcna propustljivost je realna simetriˇcna matrica εij (ω) koja zavisi od frekvence. U daljem tekstu ne´cemo eksplicitno
pisati zavisnost komponenti dielektriˇcnog tenzora od frekvence jer razmatramo prostiranje talasa zadate frekvence. Poˇsto je εˆ simetriˇcan tenzor moˇzemo ga dijagonalizovati. Tako prelazimo
u sistem glavnih osa ovog tenzora gde je taj tenzor dat sa


ε1 0 0
(15.1.1)
εˆ =  0 ε2 0  .
0 0 ε3
Takodje uze´cemo da je µ ≈ 1, pa supstancijalne jednaˇcine su
Di = ε0 εij Ej
Bi = µ0 Hi .
(15.1.2)
Zamenom izraza za polja ravanog monohromatskog talasa
D = D0 e−i(ωt−k·r) , E = E0 e−i(ωt−k·r)
B = B0 e−i(ωt−k·r) , H = H0 e−i(ωt−k·r)
(15.1.3)
u Maksvelove jednaˇcine dobijamo
k·D=0
k·B=0
k × E = ωB
k × H = −ωD .
215
(15.1.4)
216CHAPTER 15. RAVAN MONOHROMATSKI TALAS U ANIZOTROPNIM SREDINAMA
Figure 15.1: Elektriˇcno polje leˇzi u ravni koju odredjuju talasni vektor i vektor elektriˇcne indukcije.
Vektori elektriˇcne i magnetne indukcije i jaˇcine magnetnog polja su ortogonalni na talasni vektor
k. Vektor jaˇcine elektriˇcnog polja nije ortogonalan na talasni vektor. Mnoˇze´ci tre´cu Maksvelovu
jednaˇcinu skalarno sa E dobijamo H·E = 0. Jaˇcina elektriˇcnog polja leˇzi u k, D ravni. Pointingov
vektor
1
Sp = E × H =
(E2 k − (k · E)E)
(15.1.5)
µ0 ω
nije kolinearan sa talasnim vektorom (slika 15.1). Pointingov vektor je pravac prostiranja zraka
u kristalu i on se ne poklapa sa pravcem prostiranja talasa.
Mnoˇzenjem ˇcetvrte Maksvelove jednaˇcine vektorski sa k dobijamo
k × (k × E) = −µ0 ε0 ω 2 εˆE ,
(15.1.6)
gde smo primenili tre´cu Maksvelovu jednaˇcinu. Razvijanjem dvostrukog vektorskog proizvoda
dolazimo do
ω2
2
(k · E)k − k E = − 2 εˆE .
(15.1.7)
c
Projektovanjem gornje jednaˇcine na ose Dekartovog sistema dobijamo
k 2 Ei − (k · E)ki =
ω2
εij Ej
c2
(15.1.8)
odnosno
(k 2 δij − ki kj −
ω2
εij )Ej = 0 .
c2
(15.1.9)
ˆ = k(kˆ1 , kˆ2 , kˆ3 ), gde je k
ˆ ort usmeren duˇz talasnog
Talasni vektor napisa´cemo u obliku k = k k
2
vektora. Deljenjem gornjih jednaˇcina sa k dobijamo
(δij − kˆi kˆj −
vf2
εij )Ej = 0 .
c2
(15.1.10)
ˇ
15.1. PROSTIRANJE KROZ PROZRACAN
KRISTAL
217
Homogen sistem jednaˇcina (15.1.10) ima netrivijalno reˇsenje ako i samo ako mu je determinanta
jednaka nuli
v2
1 − kˆ12 − vf2
−kˆ1 kˆ3 −kˆ1 kˆ2
1
vf2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(15.1.11)
−k1 k2
1 − k2 − v 2
−k2 k3 = 0 .
2
2
v
−kˆ2 kˆ3
1 − kˆ32 − vf2 −kˆ1 kˆ3
3
Uveli smo oznake vi =
√c .
εi
Razvijanjem gornje determinante dobijamo
kˆ12
kˆ22
kˆ32
+
+
=0.
vf2 − v12 vf2 − v22 vf2 − v32
(15.1.12)
Jednaˇcina (15.1.12) je Frenelova jednaˇcina kristalooptike. Ona nam omogu´cava da nadjemo
fazne brzine ravnog monohromatskog talasa koji se prostire duˇz zadatog pravca. Vidimo da je
ova jednaˇcina bikvadratna po faznoj brzini talasa odnosno kvadratna po vf2 . Svakom pravcu
k odgovaraju dva reˇsenja Frenelove jednaˇcine, vf 1 , vf 2 . To znaˇci da se duˇz svakog pravca u
kristalu mogu prostirati najviˇse dva nezavisna ravna monohromatska talasa. Pravci duˇz kojih
se fazne brzine talasa poklapaju nazivaju se optiˇckim osama kristala. Moˇze ih biti najviˇse dve.
Kristali sa jednom optiˇckom osom nazivaju se jednoosnim a oni sa dve optiˇcke ose su dvoosni.
Kod jednoosnih kristala dve svojstvene vrednosti dielektriˇcne propustljivosti se poklapaju,
tj. ε1 = ε2 = ε⊥ i ε3 = εk . Frenelova jednaˇcina za jednoosne kristale je
vf2 −
c2 2 c2
c2
2
2
2
(v
−
)
sin
θ
+
(v
−
)
cos
θ
= 0,
f
f
ε2⊥
ε2k
ε2⊥
(15.1.13)
gde je θ ugao izmedju z-ose i talasnog vektora ravnog monohromatskog talasa. Gornja jednaˇcina
daje dva reˇsenja za faznu brzinu talasa. Prvo je
dok je drugo reˇsenje
s
vf 2 =
c
vf 1 = √
ε⊥
(15.1.14)
c2
c2
sin2 θ +
cos2 θ .
εk
ε⊥
(15.1.15)
Lako se vidi da se fazne brzine talasa poklapaju za θ = 0, tj. vf 1 = vf 2 = √cε⊥ . Optiˇcka osa
kristala je z−osa. Dakle duˇz svakog pravca se prostiru dva ravna monohromatska talasa sa
razliˇcitim faznim brzinama. Indeks prelamanja talasa fazne brzine vf 1 je
n=
√
c
= ε⊥ .
vf 1
(15.1.16)
Ovaj talas se naziva redovnim ili obiˇcnim talasom. Indeks prelamanja za ovaj talas je nezavistan
od pravca njegovog prostiranja. Za drugi talas indeks prelamanja
r
εk ε⊥
c
=
(15.1.17)
n=
2
vf 2
ε⊥ sin θ + εk cos2 θ
218CHAPTER 15. RAVAN MONOHROMATSKI TALAS U ANIZOTROPNIM SREDINAMA
zavisi od pravca prostiranja. Ovakav talas se naziva neredovnim. Kada talas pada iz vakuuma
na jednoosni kristal, dolazi do refleksije i prelamanja talasa. Postoje dva prelomljena talasa koji
se prostiru u kristalu. Duˇz svakog pravca u kristalu prostiru se dva talasa razliˇcitih indeksa
prelamanja. Ovaj efekt se naziva dvojno prelamanje. Jedan dalas zadovoljava Snelijusov zakon
a drugi ne.
Primer 1: Neredovan talas prostire se u jednoosnom kristalu pod uglom θ prema optiˇckoj osi.
Odrediti ugao izmedju talasnog vektora k i elektriˇcnog polja ravnog monohromatskog talasa, i
ugao izmedju smera zraka i optiˇcke ose kristala.
Reˇsenje: Neka je talasni vektor k = k(sin θ, 0, cos θ), tada sistem jednaˇcina (15.1.10) postaje

  


sin θ
E1
ε ⊥ E1
vf 2
(E1 sin θ + E3 cos θ)  0  − E2  = − 2 ε⊥ E2 
(15.1.18)
c
cos θ
E3
εk E3
Zamenom fazne brzine neredovnog talasa (15.1.15) u prethodni sistem jednaˇcina dolazimo do
E3 = −
ε⊥
E1 tan θ
εk
(15.1.19)
i E2 = 0. Ugao izmedju E i talasnog vektora k obeleˇzi´cemo sa α. Ako jednaˇcinu (15.1.7)
skalarno pomnoˇzimo sa E dobijamo
vf22 ε⊥ E12 + εk E32
.
c2
E2
(15.1.20)
(εk − ε⊥ )2 cos2 θ sin2 θ
.
ε2k cos2 θ + ε2⊥ sin2 θ
(15.1.21)
cos2 α = 1 =
Sredjivanjem gornjeg izraza dobijamo
cos2 α =
Ugao izmedju Pointingovog vektora, tj. pravca zraka i optiˇcke ose je odredjen sa
cos θ0 =
Krajnji rezultat je
tan θ0 =
Sp · e3
.
|Sp |
(15.1.22)
ε⊥
tan θ .
εk
(15.1.23)
Primer 2.: Ravan talas pada iz vakuuma na ravnu povrˇsinu jednoosnog kristala. Optiˇcka osa
kristala je normalna na povrˇsinu kristala. Na´ci pravce redovnog i neredovnog zraka u kristalu.
Upadni ugao talasa je θ0 .
Reˇsenje: Optiˇcka osa (z-osa) je normalna na slobodnu povrˇsinu kristala. Neka je θ1 ugao prelomljenog talasa za redovni talas. Zakon prelamanja daje
sin θ1 =
√
ε⊥ sin θ0 .
(15.1.24)
15.2. FARADEJEV EFEKT
219
Za redovan talas pravac zraka se poklapa sa pravcem prostiranja talasa.
Za neredovni talas imamo
vf 2 sin θ0 = c sin θ2 ,
(15.1.25)
gde je θ2 ugao izmedju talasnog vektora neredovnog talasa i z− ose. Iz gornje jednaˇcine dobijamo
tan θ2 = q
√
sin θ0 εk
εk ε⊥ − ε⊥ sin2 θ0
.
(15.1.26)
Pravac zraka za neredovni talas se dobija pomo´cu formule iz prethodnnog primera. Rezultat je
r
ε⊥
sin θ0
0
q
.
(15.1.27)
tan θ2 =
εk ε − sin2 θ
0
k
15.2
Faradejev efekt
U ovoj lekciji razmotri´cemo kako spoljaˇsnje konstantno magnetno polje utiˇce na dielektriˇcne
karakteristike sredine. Neka se neki gas nalazi u spoljaˇsnjem magnetnom polju B0 = B0 ez .
Tenzor dielektriˇcne propustljivosti sredine ´cemo na´ci na standardni naˇcin. Jednaˇcina kretanja
elektrona sredine je
m¨r = −e(E0 e−iωt + r˙ × B0 ) .
(15.2.28)
Na elektron deluje Lorencova sila zbog postojanja monohromatskog talasa frekvence ω i spoljaˇsnjeg
konstantnog magnetnog polja. Magnetni deo Lorencove sile kojom elektromagnetni talas deluje
na elektron smo zanemarili jer je kretanje elektrona nerelativistiˇcko. Takodje zanemarili smo
silu trenja koja deluje na elektron. Partikularno reˇsenje jednaˇcine kretanja traˇzi´cemo u obliku
r = r0 e−iωt . Zamenom u jednaˇcinu dobijamo
e
E0x − iωc ωy0
m
e
=
E0y + iωc ωx0
m
e
=
E0z .
m
ω 2 x0 =
ω 2 y0
ω 2 z0
(15.2.29)
Reˇsavanjem gornjeg sistema jednaˇcina dobijamo
e E0x − i ωωc E0y
m ω 2 − ωc2
e E0y + i ωωc E0x
=
m ω 2 − ωc2
e
=
E0z ,
mω 2
x0 =
y0
z0
(15.2.30)
220CHAPTER 15. RAVAN MONOHROMATSKI TALAS U ANIZOTROPNIM SREDINAMA
gde je ωc2 = eB0 /m ciklotronska frekvenca. Polarizacija sredine je P = −ner, gde je n koncentracija elektrona, odakle dobijamo elektriˇcnu indukciju D = ε0 E+P = ε0 εˆE . Tenzor dielektriˇcne
propustljivosti se dobija iz prethodne jednaˇcine i on je dat sa


ωp2
ω2 ω
1 − ω2 −ω
i ω(ω2p−ωc 2 )
0
2
c
c


ωp2
ωp2 ωc
 ,
εˆ = 
(15.2.31)
−i
1
−
0
2
2
2
2
 ω(ω −ωc )

ω −ωc
2
ω
0
0
1 − ωp2
gde je ωp2 = e2 n/(ε0 m) plazmena frekvenca. Iz tenzora propustljivosti vidimo da u odsustvu
spoljnjeg magnetnog polja sredina bi bila izotropna sa dielektriˇcnom propustljivoˇs´cu
ωp2
ε=1− 2 .
ω
(15.2.32)
Prisustvo magnetnog polja dovelo je do anizotropije sredine. Tenzor propustljivosti je hermitska
matrica.
Ispitajmo sada prostiranje ravnih monohromatskih talasa u ovoj sredini. To znaˇci da je E =
E0 e−iωt+ikr , gde je E0 amplituda talasa frekvence ω i talasnog vektora k. Ostale elektrodinamiˇcke
veliˇcine imaju analogan oblik. Maksvelove jednaˇcine za ravne monohromatske talase su
k·D
k·B
k×E
k×B
=
=
=
=
0
0
ωB
−ε0 µ0 εˆωE .
(15.2.33)
Mnoˇzenjem tre´ce jednaˇcine vektorski sa k sa leve strane i primenom ˇcetvrte jednaˇcine dobijamo
(k · E)k − k 2 E = −
ω2
εˆE .
c2
(15.2.34)
Uzmimo da se talas prostire duˇz z ose. Prva Maksvelov jednaˇcina onda nam daje E3 = 0.
Jednaˇcina (15.2.34) postaje sistem homogenih jednaˇcina
ω2 ω2
ε
E
−
i
ε a Ey = 0
⊥
x
c2
c2
ω2
ω2 i 2 εa Ex + k 2 − 2 ε⊥ Ey = 0 ,
c
c
k2 −
(15.2.35)
gde smo uveli oznake
ε⊥ = 1 −
i
ωp2
ω 2 − ωc2
ωp2 ωc
.
εa = i
ω(ω 2 − ωc2 )
(15.2.36)
(15.2.37)
15.2. FARADEJEV EFEKT
221
Determinanta gornjeg sistema mora biti jednaka nuli. Iz ovog uslova dobijamo dve disperzione
relacije; duˇz z ose prostiru se dva talasa sa razliˇcitim faznim brzinama
c
ε⊥ + εa
c
= √
.
ε⊥ − εa
vf 1 = √
vf 2
(15.2.38)
Zamenom ovih vrednosti faznih brzina u sistema jednaˇcina dobijamo da za prvi talas vaˇzi Ex =
iEy a za drugi Ex = −iEy . Ova dva talasa su kruˇzno polarizovana. Prvi je levo a drugi desno
polarizovan. Indeks prelamanja za prvi talas je
n1 =
√
c
= ε⊥ + εa
vf 1
(15.2.39)
n2 =
√
c
= ε⊥ − εa
vf 2
(15.2.40)
odnosno
za drugi talas. U sredini dolazi do dvojnog prelamanja.
Neka ovakva sredina ispunjava prostor z > 0 i neka na graniˇcnu povrˇsinu, z = 0 ove sredine
sa vakuumom pada linearno polarizovan talas duˇz z ose. Neposredno uz granicu, za z = 0 u
sredini talas polarizovan duˇz y ose je
0 −iωt E0 i −iωt E0 −i −iωt
E = E0
e
=
e
+
e
.
(15.2.41)
1
1
2 1
2
Upadni linerano polarizovan talas napisali smo kao zbir dva cirkularno polarizovana talasa.
Propagiranjem kroz sredinu dolazi do dvojnog prelamanja, jer se levo odnosno desno polarizovane
komponente prostiru sa razliˇcitim faznim brzinama. U sredini elektriˇcno polje talasa je
E0 i −iωt+i ωn1 z E0 −i −iωt+i ωn2 z
c
c
E=
e
e
+
.
(15.2.42)
1
2 1
2
Pravo elektriˇcno polje dobijamo uzimanjem realnog dela gornjeg kompleksnog polja. Tako dobijamo


ω(n1 −n2 )
z
−
sin
ω(n1 + n2 ) 
2c
 .
E = E0 cos ωt −
(15.2.43)
z
ω(n
−n
1
2)
2c
z
cos
2c
Vidimo da je talas na dubini z linearno polarizovan, ali nije polarizovan duˇz y ose, ve´c duˇz pravca
koji sa y osom zaklapa ugao
ω(n1 − n2 )
θ=
z.
(15.2.44)
2c
Doˇslo je do obrtanja ravni polarizovane svetlosti. Ovo je tzv. Faradejev efekat.
222CHAPTER 15. RAVAN MONOHROMATSKI TALAS U ANIZOTROPNIM SREDINAMA
Chapter 16
Prostiranje talasa u talasovodu
U ovoj glavi analizira´cemo prostiranje elektromagnetnih talasa u talasovodima. Talasovodi
su uske metalne cevi koje sluˇze za prenos visoko-frekventnih elektromagnetnih talasa. Unutraˇsnjost talasovoda moˇze biti neki dielektrik ili vakuum. Popreˇcni presek talasovoda je najˇceˇs´ce
pravougaonog ili kruˇznog oblika. Talasovodi imaju ogromnu primenu u mikrotalasnoj tehnici, jer
se njima talasi talasne duˇzine reda metra i manje prenose. Za talase viˇse frekvence, u infracrvenoj
oblasti koriste se optiˇcka vlakna. Viˇse detalja moˇzete na´ci u [1].
16.1
Pravougaoni talasovod
Prepostavi´cemo da su zidovi talasovoda idealni provodnici, tj. pretostavi´cemo da je provodnost
zidova beskonaˇcno velika. Debljina skin sloja je onda zanemarljiva pa su polja u provodniku
jednaka
nuli. Odavde
sledi da na stranama talasovoda moraju vaˇziti slede´ci graniˇcni uslovi
n · B = 0 i n × E = 0. Uze´cemo da je presek talasovoda u xOy ravani, a da je z−osa
S
S
usmerena duˇz ivice talasovoda. Polja u talasovodu imaju slede´ci oblik
E(t, r) = E(x, y)e−iωt+ikz z
B(t, r) = B(x, y)e−iωt+ikz z .
Zamenom ovog reˇsenja u tre´cu Maksvelovu jednaˇcinu dobijamo
∂Ez
− ikz Ey = iωBx
∂y
∂Ez
+ ikz Ex = iωBy
∂x
∂Ey ∂Ex
−
= iωBz .
∂x
∂y
(16.1.1)
(16.1.2)
(16.1.3)
(16.1.4)
Iz jednaˇcina (16.1.2) i (16.1.3) sledi
ω
i ∂Ez
By −
kz
kz ∂x
ω
i ∂Ez
= − Bx −
.
kz
kz ∂y
Ex =
Ey
223
(16.1.5)
224
CHAPTER 16. PROSTIRANJE TALASA U TALASOVODU
ˇ
Cetvrta
Maksvelova jednaˇcina daje
∂Bz
ω
− ikz By = −i 2 Ex
∂y
c
∂Bz
ω
−
+ ikz Bx = −i 2 Ey
∂x
c
∂By ∂Bx
ω
−
= −i 2 Ez .
∂x
∂y
c
(16.1.6)
(16.1.7)
(16.1.8)
Iz (16.1.6) i (16.1.7) imamo
ω
i ∂Bz
Ey −
2
kz c
kz ∂x
ω
i ∂Bz
=
Ex −
.
kz c2
kz ∂y
Bx = −
By
(16.1.9)
Kombinovanjem (16.1.5) i (16.1.9) dobijamo
ikz c2 ∂Bz
ω ∂Ez +
ω 2 − c2 kz2 ∂x
kz c2 ∂y
ikz c2 ∂Bz
ω ∂Ez =
−
.
ω 2 − c2 kz2 ∂y
kz c2 ∂x
Bx =
By
(16.1.10)
Iz jednaˇcina (16.1.10) vidimo da su x i y komponenta magnetne indukcije odredjeni sa z komponentama elektriˇcnog i magnetnog polja. Sliˇcno iz (16.1.5) a primenom (16.1.10) zakljuˇcujemo da
su x i y komponetne elektriˇcnog polja odredjene sa z komponentama. Dakle, transverzalne komponente polja (polja u xOy−ravni) su odredjene sa longitudinalnim komponentama. Zamenom
izraza za Bx i By u drugu Maksvelovu jednaˇcinu dobijamo dvodimenzionu talasnu jednaˇcinu za
Bz :
∂2
ω2
∂2 2
(16.1.11)
+
B
+
−
k
z
z Bz = 0 .
∂x2 ∂y 2
c2
Jednaˇcinu (16.1.11) moˇzemo prepisati u obliku
4T Bz +
ω2
c2
−
kz2
Bz = 0 ,
(16.1.12)
gde je 4T dvodimenzioni Laplasov operator. Analogno, iz prve Maksvelove jednaˇcine dobijamo
da Ez zadovoljava talasnu jednaˇcinu
4T Ez +
ω2
c2
− kz2 Ez = 0 .
(16.1.13)
Tangencijalna komponenta elektriˇcnog polja i normalna komponenta magnetne indukcije na
boˇcnim granicama talasovoda su jednake nuli. Talasne jednaˇcine za z komponente elektriˇcnog
i magnetnog polja su ekvivalentne, ali graniˇcni uslovi koje zadovoljavaju ove dve komponete
16.1. PRAVOUGAONI TALASOVOD
225
su razliˇciti. To znaˇci da su njihove svojstvene vrednosti razliˇcite. Zbog toga reˇsenja za elektromagnetne talase podeli´cemo u dve kategorije. Prvi skup reˇsenja su reˇsenja kod kojih je
elektriˇcno polje transverzalno, tj. Ez = 0. Ove mode se nazivaju transverzalni elektriˇcni talasi i
obeleˇzava´cemo ih sa TE. Drugu grupu modova ˇcine transverzalni magnetni talasi, kod kojih je
Bz = 0.
Dalje ´cemo analizirati pravougani talasovod. Popreˇcni presek talasovoda je pravouganik,
dimenzija a × b. Neka je x−osa usmerena duˇz stranice duˇzine a, a y−osa duˇz druge stranice
pravouganika. Prvo ´cemo analizirati TE polje. Na granicama
x = 0 i x = a talasovoda mora
∂Bz vaˇziti Bx |S = 0, ˇsto zamenom u (16.1.10) daje ∂x = 0. Sliˇcno moˇzemo zakljuˇciti da iz
S
∂Bz uslova Bx |S = 0 na graniˇcnim ravnima y = 0 i y = b sledi ∂y = 0. Generalno, TE modovi
S
zadovoljavaju graniˇcni uslov
∂Bz (16.1.14)
=0,
∂n S
gde je n ort normale granice.
Reˇsenje jednaˇcine (16.1.11) pretpostavi´cemo u obliku Bz = X(x)Y (y). Zamenom u jednaˇcinu
(16.1.11) lako se vidi da su reˇsenja za funkcije X i Y linearna kombinacija sinusa i kosinusa.
Graniˇcni uslovi izdvajaju slede´ce reˇsenje
mπy nπx cos
,
(16.1.15)
Bz = B0 cos
a
b
gde n, m ∈ Z i
nπ 2
a
+
mπ 2
a
Uveˇs´cemo oznaku
2
ωmn
=c
2
nπ 2
+
kz2
ω2
= 2 .
c
(16.1.16)
mπ 2
+
a
b
2
2
2 2
pa je ω = ωmn + c kz . Preostale komponete TE modova se lako dobijaju
mπy nπx nπ
ikz c2
cos
e−iωt+ikz z
B
sin
0
ω 2 − c2 kz2
a
a
b
mπy nπx ikz c2
mπ
sin
e−iωt+ikz z
= − 2
B0
cos
2
2
ω − c kz
b
a
b
ω
=
By
kz
ω
= − Bx
kz
Bx = −
(16.1.17)
By
(16.1.18)
Ex
Ey
(16.1.19)
Kada je ω > ωmn onda je kz realno; moda propagira duˇz z-ose. U suprotnom, ω < ωmn , talas se
priguˇsuje. Frekvenca ωmn je graniˇcna (cut-off) frekvenca. Grupna brzina se nalazi po definiciji
r
∂ω
ω2
vg =
= c 1 − mn
<c.
(16.1.20)
∂k
ω2
226
CHAPTER 16. PROSTIRANJE TALASA U TALASOVODU
Drugu kategoriju moda ˇcine TM mode, za koje je Bz = 0. Graniˇcni uslovi su Ez |S = 0.
Komponente polja se nalaze sliˇcno kao u sluˇcaju TE modova. Rezultat je
nπx mπy Ex = E0 sin
sin
e−iωt+ikz z
a
b
nπx mπy iω
mπ
Bx =
E0
sin
cos
e−iωt+ikz z
2
2
2
ω − c kz
b
a
b
nπx mπy iω
nπ
By = − 2
E0
cos
sin
e−iωt+ikz z
ω − c2 kz2
a
a
b
ω
Ex =
By
kz
ω
Ey = − Bx .
(16.1.21)
kz
16.2
Snaga i disipacija snage u talasovodu
Ve´c smo rekli da talasovodi sluˇze za transport elektromagnetne ennergije. Zato odredimo Pointingov vektor u talasovodu i to za TE mode. Kako koristimo formalizam kompleksnih polja to je
Pointingov vektor dat sa
1
(16.2.22)
Sp = <e(E) × <e(B) .
µ0
Njegova srednja vrednost duˇz z pravca je
1
<e(E × B∗ ) · ez
2µ0
ω
=
(|Bx |2 + |By |2 ).
2µ0 kz
hSp · ez i =
(16.2.23)
Zamenom izraza (16.1.17) i (16.1.18) dobijamo
i
kz c4 ωB0 h nπ 2 2 nπx 2 mπy mπ 2
2 mπy
2 nπx
hSpz i =
cos
+
sin
(16.2.24)
sin
cos
4
2µ0 ωmn
a
a
b
b
a
b
Srednja snaga koja se prenosi kroz talasovod je fluks z−komponente Pointingovog vektora kroz
popreˇcni presek talasovoda. Lako se dobija da je ona data sa
hP i =
c4 ωkz abB02
.
4
8µ0 ωmn
(16.2.25)
Ovaj rezultat se odnosi na TE mode.
Provodnost provodnika ma koliko velika nije beskonaˇcna pa polje u provodniku nije jednako
nuli. Magnetno polje u provodniku, Bc zadovoljava difuzionu jednaˇcinu
4Bc = −iµ0 µc σω
∂Bc
∂t
(16.2.26)
u kvazistacionarnoj aproksimaciji. Na graniˇcnoj povrˇsini sa metalom normalna komponenta
magnetne indukcije je neprekidna, ali ´cemo je u prvoj aproksimaciji zanemariti u provodniku.
16.2. SNAGA I DISIPACIJA SNAGE U TALASOVODU
227
Tangencijalna komponenta magnetnog polja je nezanemarljiva. Ako sa ξ obeleˇzimo koordinatu
normalnu na povrˇsinu provodnika i usmerenu ka unutraˇsnjosti provodnika onda je
ξ
iξ
Hc = HT e− δ + δ −iωt ,
(16.2.27)
gde je HT jaˇcina magnetnog polja na granici metal-vazduh, a δ debljina skin sloja. Ovo je u
skladu sa graniˇcnim uslovom n × (H − Hc ) = 0. Pretpostavili smo da se polje menja samo sa
koordinatom ξ zanemarivˇsi njegovu zavisnost od tangencijalnih koordinata. Ovo znaˇci da je
5 = −n
∂
,
∂ξ
gde je ort normale n usmeren suprotno od ξ ose. Jaˇcina elektriˇcnog polja u provodniku je
∂
1
Ec =
− n × Hc
(16.2.28)
σ
∂ξ
r
iξ
ξ
µωµc
Ec = (1 − i)
(n × HT )e− δ + δ −iωt .
2σ
Srednja vrednost zapreminske gustine omskih gubitaka snage u metalu je
odnosno
(16.2.29)
2ξ
1
1
q = σ h<e(Ec · Ec )i = µ0 µc ωe− δ |HT |2 .
(16.2.30)
2
2
Integracijom izraza za q po koordinati ξ u granicama od 0 do beskonaˇcnosti dobijamo
dP
µ0 µc ωδ
=
|HT |2 .
(16.2.31)
dS
4
To je oslobodjena snaga po jedinici povrˇsine u metalu. Izraˇcunajmo sada omske gubitke snage
po jedinici duˇzine talasovoda za TE mode. Na boˇcnoj granici talasovoda y = 0 imamo
Z
dP µ0 µc ωδ a
2
dx|HT | =
dz y=0
4
y=0
0
i
h
2 Z a
2 4
µc ωδB0
k c nπ 2 2 nπx 2 nπx
=
dx 4
sin
+ cos
4µ0
ωmn a
a
a
0
2 2 4
2
µc ωδB0 a k c nπ
=
+1 .
(16.2.32)
4
8µ0
ωmn
a
Na preostale tri strane talasovoda omski gubici se nalaze analogno. Rezultat je
dP
µc ωδB02 k 2 c4 π 2 n2 m2 =
a+b+ 4
+
.
dz
4µ0
ωmn
a
b
Veliˇcina
(16.2.33)
1 dP
(16.2.34)
2P dz
predstavlja relativan gubitak snage polja na omske gubitke i naziva se koeficijentom priguˇsenja
talasovoda. Za TM mode se ova veliˇcina dobija analogno. Ostavljamo vam za samostalni rad
da nadjete koeficijent priguˇsenja za TM mode u talasovodu.
−
228
CHAPTER 16. PROSTIRANJE TALASA U TALASOVODU
Chapter 17
Rasejanje elektromagnetnih talasa
Kada elektromagnetni talas pada na metu naelektrisane ˇcestice mete pod dejstvom polja kre´cu se
ubrzano. Ubrzano kretanje ˇcestica mete generiˇse dopunsko polje, tj. meta emituju sekundarne
elektromagnetne talase (slika 17.1). Ovi sekundarni talasi se emituju u svim pravcima i mi
govorimo o rasejanju elektromagnetnog talasa na meti. Rasejanje talasa je odgovor sredine na
upadni elektromagnetni talas. Talasi koje emituje meta pruˇzaju znaˇcajnu informaciju o samoj
meti, ˇsto se dosta koristi u spektroskopiji. Neka su dimenzije mete mnogo manje od talasne
duˇzine upadnog zraˇcenja. Ova pretpostavka nam omogu´cava da na velikim rastojanjima od
mete primenjujemo tehniku razvoja polja po multipolima.
Elektriˇcno polje upadnog ravnog monohromatskog talasa, frekvence ω i talasnog vektora
kin = kin e3 je
Ein = E0 E in e−i(ωt−kin ·r) ,
(17.0.1)
gde je E0 amplituda talasa, a E in vektor polarizacije. Magnetno polje ravnog talasa se dobija iz
elektriˇcnog primenom cB = e3 × E. Na velikim rastojanjima r od mete elektriˇcno polje je
E = Ein + Erad ,
gde je
(17.0.2)
¨
1 (¨
p × n) × n n × m
+
+
.
.
.
(17.0.3)
4π0
c2 r
c3 r
rasejano polje u oblasti daleko od mete. Vektor n je pravac u kome gledamo propagiranje rasejanog talasa, a p i m su elektriˇcni odnosno magnetni dipolni moment mete. Veliˇcine koje govore o
Erad =
Figure 17.1:
229
230
CHAPTER 17. RASEJANJE ELEKTROMAGNETNIH TALASA
Figure 17.2: Upadni ravan monohromatski talas duˇz z−ose i rasejani talas pod uglom θ u pravcu
orta n.
efektima rasejanja talasa su diferencijalni presek za rasejanje i ukupni presek za rasejanje. Diferencijalni presek predstavlja koliˇcnik emitovane snage zraˇcenja u pravcu orta n i snage upadnog
zraˇcenja po jedinici povrˇsine
dσ =
hdP i
hSp i · nr2 dΩ
=
.
h|Spin |i
h|Spin |i
(17.0.4)
Snagu i upadnu gustinu fluksa snage smo usrednjili po periodu. Diferencijalni presek meri koji
deo snage zraˇcenja se raseje u zadatom pravcu. Presek za rasejeanje se dobija integracijom po
uglovima
Z
dσ
σ=
dΩ .
(17.0.5)
dΩ
17.1
Rasejanje na slobodnim elektronima
Jednaˇcina kretanja slobodnog elektrona koji se nalazi u okolini koordinatnog poˇcetka je
m¨r = −e<e(E0 E in e−iωt ) .
(17.1.6)
Drugi izvod elektriˇcnog dipolnog momenta elektrona je
¨ = −e¨r =
p
e2
E0 <e(E in e−iωt ) .
m
Srednja angularna snaga rasejanog elektromagnetnog zraˇcenja i pravcu orta n je
1
dP
=
(¨
p × n)2
2
3
dΩ
(4π) 0 c
e4 E02
−iωt
2
=
(<e(E
e
×
n)
)
in
(4π)2 0 c3 m2
e4 E02
1
∗ iωt
−iωt
2
=
(E
e
×
n
+
E
e
×
n)
in
in
(4π)2 0 c3 m2 4
e4 E02
(1 − |n · E in |2 ) .
=
2(4π)2 0 c3 m2
(17.1.7)
(17.1.8)
17.2. RASEJANJE NA VEZANIM ELEKTRONIMA
231
Srednja vrednost intenziteta Pointingovog vektora upadnog talasa je
h|Spin |i =
E02
2µ0 c
(17.1.9)
pa je diferencijalni presek dat sa
e2
2
dσ
=
(1 − |n · E in |2 ) .
2
dΩ
4πε0 mc
(17.1.10)
Izraz u zagradi je klasiˇcni radijus elektrona re = 2, 8 · 10−13 cm. Za proton ovaj radijus je
rp = 10−16 cm.
Vektor n i talasni vektor upadnog talasa, kin = kin e3 definiˇsu ravan rasejanja. Ako je
polarizacija upadnog talasa duˇz x ose, E in = e1 diferencijalni presek je
e2
dσ 2
=
.
(17.1.11)
dΩ ⊥
4πε0 mc2
Ako je upadni talas polarizovan duˇz y ose, tj. E in = e2 imamo
dσ e2
2
=
cos2 θ .
2
dΩ k
4πε0 mc
(17.1.12)
Kada je upadni talas nepolarizovan, moramo da usrednjimo preko ove dve linearno nezavisne
polarizacije. Nepolarizovan talas je nekoherentna meˇsavina dva linearno polarizovana talasa:
jednog duˇz x a drugog duˇz y ose sa istim intenzitetima. Rezultat za nepolarizovan upadni talas
je
dσ dσ 1 dσ =
+
dΩ nep
2 dΩ k
dΩ ⊥
e2
2 1 + cos2 θ
=
.
(17.1.13)
4πε0 mc2
2
Integracijom po uglovima dobijamo presek za rasejanje
2
8π e2
σ=
.
3 4πε0 mc2
(17.1.14)
Gornji rezultat je poznat kao Tomsonova formula. On vaˇzi kada je ispunjeno ~ω mc2 . U
suprotnom morali bi da primenjujemo kvantnu elektrodinamiku.
17.2
Rasejanje na vezanim elektronima
Razmatrajmo rasejanje elektromagnetnog talasa na atomskom elektronu. Jednaˇcina kretanja
elektrona u okolini koordinatnog poˇcetka je
eE0 ? iωt
−iωt
2
˙
E in e
+ E in e
m¨r + mγ r + mω0 r = −
2
= −e<e(E0 E in e−iωt ) ,
(17.2.15)
232
CHAPTER 17. RASEJANJE ELEKTROMAGNETNIH TALASA
Figure 17.3:
gde su ω0 i γ sopstvena frekvenca i faktor priguˇsenja elektrona. Uticaj magnetnog polja je
zanemarljiv. Partikularno reˇsenje gornje jednaˇcine je
E in e−iωt
r = −eE0 <e
.
m(ω02 − ω 2 − iωγ)
(17.2.16)
Dipolni moment elektrona je p = −er pa je
¨=−
p
e2 E0 ω 2 E in e−iωt
<e 2
.
m
ω0 − ω 2 − iωγ
(17.2.17)
Angularna distribucija snage rasejanog zraˇcenja u dipolnoj aproksimaciji u pravcu orta n je
e2 E ω 2 2 dP
1
E in × ne−iωt 2
0
=
<e 2
dΩ
(4π)2 ε0 c3
m
ω0 − ω 2 − iωγ
e2 E ω 2 2 (E × n) · (E ∗ × n)
1
0
in
in
=
2
3
2(4π) ε0 c
m
(ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
e2 E ω 2 2 1 − |n · E |2
1
0
in
=
.
(17.2.18)
2(4π)2 ε0 c3
m
(ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
Diferencijalni presek za rasejanje je
e2
2
dσ
ω4
=
(1 − |n · E in |2 ) .
dΩ
4πε0 c2 m (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
(17.2.19)
Usrednjavanjem po polarizacijama upadnog talasa dobijamo
dσ dΩ
=
nep
2
ω4
1 + cos2 θ
e2
.
4πε0 c2 m (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
2
(17.2.20)
Integracijuom po prostornom uglu dobijamo presek za rasejanje
2
8π e2
ω4
σ=
.
3 4πε0 c2 m (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
(17.2.21)
17.3. PLAVO NEBO
233
Gornji rezultat za razliku od Tomsonovog preseka za rasejanje je frekventno zavistan. Ova
zavisnost je predstavljena na grafiku 17.3. Sopstvena frekvenca elektrona je u ultravioletnoj
oblasti pa je za vidljivu svetlost ω ω0 . Takodje je γ ω pa se u tom sluˇcaju gornji presek
svodi na
2 ω 4
8π e2
σ=
.
(17.2.22)
3 4πε0 c2 m ω04
Ovaj rezultat je poznat kao Rejlijeva formula. Presek za rasejanje je proporcionalan ˇcetvrtom
stepenu frekvence upadnog talasa. Kako je talasna duˇzina crvene svetlosti 700nm a plave 400nm
to se plava svetlost mnogo viˇse rasejava od crvene, odnosno
σp
≈ 24 .
σc
(17.2.23)
Kada je ω0 = 0 i γ = 0 dobijamo Tomsonov rezultat.
17.3
Plavo nebo
Dielektriˇcna propustljivost vazduha za vidljivu svetlost je
X na e2
ε=1+
,
ε0 mωs2
s
(17.3.24)
gde smo uzeli da je ωs ω γs . U ovoj aproksimaciji dipolni moment atoma je
p=
ε0 E0 (ε − 1)
<e(E in e−iωt ) .
na
(17.3.25)
Postupaju´ci kao u prephodnoj sekciji dobijamo presek za rasejanje nepolarizovane svetlosti
dσ ω 4 (ε − 1)2 1 + cos2 θ
.
(17.3.26)
=
dΩ nep
(4π)2 c4 n2a
2
Integracija daje presek za rasejanje molekula odnosno atoma
σ=
ω 4 (ε − 1)2
.
6πc4 n2a
(17.3.27)
Presek je proporcionalan ˇcetvrtom stepenu frekvence upadnog talasa. Kada vidljiva svetlost
pogadja molekule vazduha ona se rasejava na njima i pri svakom sudaru deo snage upadnog
talasa se gubi na rasejanje. Taj deo snage je σ, pa upadni fluks posle prolaska kroz sloj vazduha
debljine dx izgubi na σdx deo snage. Pretpostavili smo da je zraˇcenje od razliˇcitih molekula
nekoherentno. Dakle intenzitet zraˇcenja slabi za
dI = −Ina σdx
(17.3.28)
odakle dobijamo zakon po kome opada snaga upadnog snopa sa dubinom
I = I0 e−na σx .
(17.3.29)
234
CHAPTER 17. RASEJANJE ELEKTROMAGNETNIH TALASA
Figure 17.4:
Veliˇcina α = na σ je koeficijent apsorpcije. Posle prolaska kroz sloj vazduha debljine Λ =
= na1σ intenzitet talasa opadne e puta. Kako je ε − 1 = 6 · 10−4 , na = 3 · 1025 m13 to je
Λ = 200km za crvenu, a Λ = 30km za plavu svetlost. Kada je Sunce u zenitu mi ne gledamo
direktno u Sunce i vidimo rasejanu svetlost. Kako se plava svetlost viˇse rasejava to je nebo
plavo. Debljina
atmosfere je√oko h = 10km, slika 17.4. Rastojanje koje svetlost rasejana prelazi
p
je z = (R + h)2 − R2 ≈ Rh ≈ 300km. Pri zalasku Sunca mi gledamo direktno u Sunce i
vidimo transmitovanu svetlost koja je crvena jer se plava rasejala.
1
α
17.4
Rasejanje na malim kuglicama
Neka je radijus kuglice a, a njena dielektriˇcna propustljivost ε(ω). Kada se ovakva kuglica nalazi
u spoljnjem polju konstantnom polju Ein njen indukovani elektriˇcni dipolni moment je
p = 4πε0
ε−1 3
a Ein .
ε+2
(17.4.30)
Sliˇcno se moˇze pokazati i slede´ce. Ako je µ relativna magnetna propustljivost materijala od koga
je napravljena kuglica, onda ´ce njen magnetni dipolni moment biti
m = 4π
µ−1 3
a Hin
µ+2
(17.4.31)
kad se kuglica nalazi u spoljnem magnetnom polju Hin . Nas interesuje rasejanje elektromagnetnog talasa (17.0.1) na kuglici. Dimenzije kuglice su male u odnosu na talasnu duˇzinu talasa
pa ´cemo polje u kuglici smatrati homogenim. Pretpostavi´cemo da je µ = 1, ˇcime ´cemo pojednostaviti raˇcun. Dipolni moment kuglice je
ε−1 3 −iωt
a <e E0 E in e
.
(17.4.32)
p = 4πε0
ε+2
Zamenom ovog izraza u izraz za srednju vrednost angularne distribucije snage zraˇcenja u dipolnoj
aparoksimaciji dobijamo
ε 0 ε − 1 2 6 4 2
dP
(17.4.33)
= c3
a ω E0 (1 − |n · E in |2 ) .
dΩ
2
ε+2
17.4. RASEJANJE NA MALIM KUGLICAMA
235
Diferencijalni presek za rasejanje je
dσ
a6 ω 4 ε − 1 2
= 4 (17.4.34)
(1 − |n · E in |2 ) .
dΩ
c
ε+2
Diferencijalni presek za upadni nepolarizovani talas dobija se usrednjavanjem. Rezultat je
dσ a6 ω 4 ε − 1 2
=
(17.4.35)
(1 − cos2 θ) .
dΩ nep
2c4 ε + 2
Integracijom po uglovima dobijamo totalni presek
8π ω 4 6 ε − 1 2
σ=
a
.
(17.4.36)
3 c
ε+2
U limesu ε → ∞ iz ovog rezultata dobijamo rezultat za rasejenje na metalnoj kuglici. Analogno
prethodnom mogu se ukljuˇciti i efekti magnetnog dipolnog zraˇcenja ukoliko je µ 6= 1.
17.4.1
Rasejanje na meti sa viˇ
se centara rasejanja
Do sada smo razmatrali rasejanje ravnog elektromagnetnog talasa na jednoj meti. Sada ´cemo
pretpostaviti da imamo viˇse rasejivaˇca i da su oni u fiksnim pozicijama. Neka je rα radijus
vektor rasejivaˇca indeksa α. Jednostavnosti radi pretpostavi´cemo da su svi rasejivaˇci isti i da su
dimenzije rasejivaˇca male u poredjenju sa talasnom duˇzinom upadnog talasa. Dipolni moment
rasejivaˇca indeksa α je proporcionalan sa upadnim poljem p = p0 e−iωt+ikin ·rα . Na velikim
rastojanjima od ove sloˇzene mete magnetno polje rasejanog talasa je koherentna superpozicija
individualnih magnetnih polja od svakog rasejivaˇca ponaosob,
N
¨ α (t − Rca ) × nα
1 Xp
B=
.
4πε0 c3 α
Rα
(17.4.37)
Sa Rα obeleˇzili smo rastojanje izmedju rasejivaˇca indeksa α i taˇcke posmatranja, nα = Rα /Rα
je odgovaraju´ci ort. Koordinatni poˇcetak je u oblasti sloˇzene mete, a r je vektor poloˇzaja taˇcke
posmatranja. Ortove nα aproksimira´cemo sa n = r/r. Dalje imamo Rα = |r − rα | ≈ r − n · rα .
U imeniocu izraza za magnetno polje Rα ´cemo aproksimirati sa r, a u brojicu ´cemo zadrˇzati i
naredni ˇclan. Magnetna indukcija onda postaje
−iω
N
1 X −p0 ω 2 e
B=
4πε0 c3 α
r
t− rc
×n
ei(kin −k)·rα
(17.4.38)
k = ωc n je talasni vektor rasejanog elektromagnetnog talasa. Sa q = kin −k obeleˇzi´cemo promenu
talasnog vektora pri rasejanju. Fazni faktor eiq·rα je jedina razlika koja se pojavljuje u odnosu
na sluˇcaj kad imamo samo jedan centar rasejanja. Fazna razlika izmedju razliˇcitih rasejivaˇca
dovodi do interferencionih efekata. Pomo´cu izraza za magnetno polje lako se nalazi izraˇcena
snaga u pravcu orta n, a pomo´cu nje dobijamo diferencijalni presek za rasejanje. Rezultat je
N
dσ X
dσ
=
eiq·(rα −rβ ) ,
dΩ
dΩ 0 α,β=1
(17.4.39)
236
CHAPTER 17. RASEJANJE ELEKTROMAGNETNIH TALASA
gde smo sa
faktor
dσ
dΩ
obeleˇzili diferencijalni presek za rasejanje na jednom rasejivaˇcu. Dopunski
0
F =
N
X
eiq·(rα −rβ )
(17.4.40)
α,β=1
predstavlja faktor koheretnosti, i pokazuje u kojoj meri se rezultat za rasejanje na viˇse rasejivaˇca
razlikuje od rasejanja na jednom. Ako rasejivaˇca ima puno i sluˇcajno su rasporedjeni, faze u
sumi izraza (17.4.40) ´ce se pokratiti pa je F = N . Rasejanje je u ovom sluˇcaju nekoherentni zbir
rasejanja na pojedinaˇcnim rasejivaˇcima. Suprotan sluˇcaj je kad su rasejivaˇci pravilno rasporedjeni, npr. kao u kristalima. Ako duˇz jedne linije imamo rasejivaˇce, na medjusobnom rastojanju
L onda je
N
−1
X
X
1 − eiN q·L
eiq·rα =
eiαq·L =
,
(17.4.41)
iq·L
1
e
−
α
α=0
pa je
sin2
F =
sin2
N q·L
2
q·L
2
.
Funkcija F za vrednosti q · q = 0, 2π, 4π, . . . ima maksimume koji iznose F = N 2 .
Appendix A
Vektorska analiza
Osnovne formule iz vektorske analize koje se koriste u kursu su:
div(ψa) = ψdiva + a · 5ψ
(A.0.1)
div(A × B) = BrotA − ArotB
(A.0.2)
∇(a · b) = (a · ∇)b + (b · ∇)a + a × rotb + b × rota
(A.0.3)
rot(ϕv) = ϕrotv + v × ∇ϕ
(A.0.4)
rot(A × B) = AdivB − BdivA + (B · ∇)A − (A · ∇)B
(A.0.5)
Ako se u Gausovoj teoremi
konstantan vektor dobi´cemo
R
V
rotrotA = graddivA + 4A .
(A.0.6)
H
divA = ∂V A · dS za vektorsko polje izabere A = φc, gde je c
Z
I
3
d r∇φ =
φdS .
(A.0.7)
∂V
Sliˇcno ako se uzme da je A = a × c, gde je a vektorsko polje dobija se
Z
I
3
d rrota = dS × a .
237
(A.0.8)
238
APPENDIX A. VEKTORSKA ANALIZA
Bibliography
[1] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley and Sons, Inc. (1999)
[2] L. Landau, E. Lifˇsic, Teorija polja; Elektrodinamika neprekidnih sredina, Mir Moskva (1984)
[3] L. Landau, E. Lifˇsic, Elektrodinamika neprekidnih sredina, Mir Moskva (1984)
[4] B. Mili´c, Meksvelova Elektrodinamika, Univerzitet u Beogradu, (1996)
[5] W. Greiner, Classical Electrodynamics, Springer, (1996)
[6] A. Zangwill, Modern Electrodynamics, CUP, (2012)
[7] L. Eyges, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publication, (1972)
239
Download

ELEKTRODINAMIKA