Glava 5
Diskretna verovatno´
ca
Teorija verovatno´ce vuˇce korene iz 16-tog veka, a nastala je kao rezultat pokuˇsaja
matematiˇcara tog vremena da razreˇse neke fenomene vezane za igre na sre´cu.
Prva knjiga iz ove oblasti za koju se zna je De Ludo Alea (O igri kockom), ˇstampana je tek 1663 godine, dakle oko 100 godina poˇsto je napisana. Autor knjige
je Girolamo Cardano, poznat i po formulama za reˇsavanje algebarskih jednaˇcina
tre´ceg stepena. I u danaˇsnje vreme joˇs uvek postoji interes za reˇsavanje problema vezanih za igre na sre´cu. Ne mali broj ljudi interesuje kakve su im ˇsanse
da dobiju neku premiju u igrama na sre´cu. Stoga se name´ce zakljuˇcak da
verovatno´ca predstavlja meru za mogu´cnost nastupanja nekog dogadjaja.
Imaju´ci u vidu gornje ˇcinjenice, za verovatno´cu bi se moglo re´ci da predstavlja matematiˇcku disciplinu koja sluˇzi izuˇcavanje takozvanih sluˇcajnih, ili
nedeterministiˇckih fenomena. Za deterministiˇcke fenomene je karakteristiˇcno
da se njihovo ponaˇsenje moˇze predvideti na osnovu poznavanja poˇcetnih uslova,
kao i odredjenih nauˇcnih zakona (na primer, fizike, hemije i drugih po pravilu
prirodnih nauka). Tipiˇcan primer iz fizike je kos hitac.
U 20-tom veku, verovatno´ca je postavljena na ˇcvrste temelje, i aksiomatski
je zasnovana uz pomo´c teorije skupova. Aksiomi koje ´cemo u nastavku razmatrati pripisuje se Andreju Nikolajeviˇcu Kolmogorovu. Dakle, danas je to
jedna strogo zasnovana matematiˇcka disciplina sa mnoˇstvom primena. Posebnu
draˇz ovoj teoriji daju raˇcunari. Umesto klasiˇcnih eksperimenata, sada se oni
mogu simulirati na raˇcunaru. Uz teoriju verovatno´ce, po pravilu stoji i statistika,
kao matematiˇcka disciplina sa kojom se dopunjava (daje joj praktiˇcni smisao).
U ovoj knjizi ne´ce biti reˇci o statistici.
5.1
POJAM DOGADJAJA
Osnovni pojam na kojem bazira teorija verovatno´ce je dogadjaj. Dogadjaj je
skup koji se sastoji od takozvanih elementarnih (nedeljivih) dogadjaja, odnosno
227
´
GLAVA 5. DISKRETNA VEROVATNOCA
228
osnovnih instanci. Svi elementarni dogadjaji obrazuju prostor elementarnih dogadjaja. U stvarnosti neki fenomen pod odredjenim uslovima (ili uticajnim faktorima) moˇze, ali ne mora da nastpi. Ako je nastupio posmatrani fenomen, tada
je samim tim nastupio i jedan od elementarnih dogadjaja, te se stoga realizuje
i odgovaraju´ci dogadjaj kao posledica realizacije jedne od instanci. U mnogim
sluˇcajevima nastupanje ili nenastupanje nekog dogadjaja moˇze se shvatiti kao
rezultat realizacije (ishod) nekog eksperimenta. Idealizovana predstava eksperimenta bazira se na slede´cim pretpostavkama:
i) za svaki eksperiment unapred je poznat skup svih mogu´cih ishoda (elementarnih dogadjaja);
ii) realizacija bilo kog ishoda nije poznata unapred1 ;
iii) svaki eksperiment se moˇze neograniˇcen broj puta ponoviti pod istim
uslovima.
PRIMER 5.1.1
Bacanje novˇci´ca: Prostor mogu´cih elementarnih dogadjaja je realizacija ili grba,
ili pisma. Smatra se da se bacanje novˇci´ca (na ravnu podlogu) moˇze neograniˇcen
broj puta ponoviti pod istim uslovima. U sluˇcaju da je novˇci´c pravilan (homogen) intuitino, a i empirijski, bi se moglo zakljuˇciti da ´ce broj ishoda grba i
pisma u velikom broju bacanja biti pribliˇzno jednak.
PRIMER 5.1.2
Bacanje kocke: Prostor mogu´cih elementarnih dogadjaja je realizacija jedne od
6 strana kocke, oznaˇcenih brojevima od 1 do 6. I u ovom sluˇcaju se smatra
da se bacanje kocke (na ravnu podlogu) moˇze neograniˇcen broj puta ponoviti
pod istim uslovima. U sluˇcaju da je kocka pravilna (homogena) intuitino, a i
empirijski, bi se moglo zakljuˇciti da ´ce broj ishoda svake strane (odgovaraju´ceg
broja) u velikom broju bacanja biti pribliˇzno jednak.
PRIMER 5.1.3
Izvlaˇcenje karte iz ˇspila: Prostor mogu´cih elementarnih dogadjaja je vadjenje
jedne od 52 karte iz kompletnog ˇspila. U ovom sluˇcaju se smatra da su karte, pre
izvlaˇcenja, djobro promeˇsane”(kao i da im se vidi samo poledjina). U sluˇcaju da
se obezbedi dobro meˇsanje karate pre svakog izvlaˇcenja, moglo bi se zakljuˇciti
da ´ce u velikom broju izvlaˇcenja svaka karta biti priblizno jednak broj puta
izvuˇcena.
U svim gore navedenim primerima broj ishoda eksperimenta je bio konaˇcan
(redom 2, 6 i 52, respektivno). Dakle, prostor elementarnih dogadjaja je bio
konaˇcan. Ukoliko je prostor elementarnih dogadjaja konaˇcan ili prebrojiv (dakle
1 Ova ˇ
cinjenica odredjuje nedeterminizam fenomena koji se posmatra. Strogo gledano, teˇsko
bi se mogla povu´
ci crta izmedju deterministiˇ
ckih i nedeterministiˇ
ckih fenomena. Ima miˇslenja
da nedeterministiˇ
cki fenomeni objektivno i ne postoje, ve´
c su za nas rezultat nemogu´
cnosti
da uzmemo u obzir sve faktore koji odredjuju determinizam posmatranog fenomena
´
GLAVA 5. DISKRETNA VEROVATNOCA
229
najviˇse prebrojiv, ili diskretan), tada se teorija verovatno´ce svodi na diskretnu
verovatno´cu. U nastavku, mu ´cemo se iskljuˇcivo njome baviti.
Sada ´cemo dati oznake za osnovne pojmove date u okviru uvodnih razmatranja. Najpre imamo:
i) e – uobiˇcajena oznaka za elementatni dogadjaj;
ii) Ω – skup, ili prostor elementarnih dogadjaja;
iii) A ⊆ Ω – proizvoljan dogadjaj.
U sluˇcaju da je A = ∅, tada je odgovaraju´ci dogadjaj nemogu´c; s druge strane,
ako je A = Ω tada je odgovaraju´ci dogadjaj siguran.
5.2
ALGEBRA DOGADJAJA
Poˇsto su dogadjaji u osnovi skupovi, logiˇcno je oˇcekivati da se osnovne
skupovne operacije mogu interpretirati i kao operacije nad dogadjajima. Algebra dogadjaja zasnovana je na slede´cim operacijama:
¯
i) komplement dogadjaja: A¯ = {e | e �∈ A} (= A);
ii) suma (unija)
� dogadjaja: A + B = {e | e ∈ A ∨ e ∈ B} (= A ∪ B),
ili opˇstije, i∈I Ai = ∪i∈I Ai ;
iii) – proizvod �
(presek) dogadjaja: A · B = {e | e ∈ A ∧ e ∈ B} (= A ∩ B),
ili opˇstije, i∈I Ai = ∩i∈I Ai ;
iv) razlika (diferencija) dogadjaja: A − B = {e | e ∈ A ∨ e �∈ B} (= A \ B);
Skup indeksa I u stavkama ii) i iii) je najviˇse prebrojiv skup. Ista pretpostavka,
ako se drugaˇcije ne naglasi, vaˇzi ´ce i u preostalom delu teksta.
Uveˇs´cemo sada jedan veoma vaˇzan pojam koji igra jednu od kljuˇcnih uloga
u teoriji verovatno´ce.
DEFINICIJA 5.2.1
Dogadjaji A i B su iskljuˇcivi (ili nesaglasni) ako je A · B = ∅. Opˇstije, familija dogadjaja Ai , i ∈ I, obrazuje familiju uzajamno iskljuˇcivih (nesaglasnih)
dogadjaja ako je Ai · Aj = ∅ za svako i �= j, i, j ∈ I.
Neka je B neki podskup partitivnog skupa od Ω koji je zatvoren u odnosu
na operacije +, · , ¯, ili samo za +, ¯, odnosno · , ¯. Dakle, ako A, B ∈ B tada
vaˇzi A + B, A · B, A¯ ∈ B. Pod ovim pretpostavkama imamo:
DEFINICIJA 5.2.2
Skup dogadjaja B je σ–polje ako vaˇzi:
i) Ω ∈ B;
´
GLAVA 5. DISKRETNA VEROVATNOCA
ii) ako Ai ∈ B za svako i ∈ I tada
iii) ako A ∈ B tada i A¯ ∈ B.
NAPOMENA
�
i∈I
230
Ai ∈ B;
Umesto ii) i iii) moˇze (alternativno) da stoji:
Q
ii’) ako Ai ∈ B za svako i ∈ I tada i∈I Ai ∈ B;
iii’) ako A, B ∈ B tada i A − B ∈ B.
Napomenimo i da se za σ–polje, ako je skup Ω diskretan, moˇze uzeti partitivni skup
skupa Ω. Naime, ako je svaki elementarni dogadjaj i sam za sebe dogadjaj iz σ–polja,
tada za svako A ⊆ Ω vaˇzi A = ∪e∈A {e}.
5.3
´
PROSTOR VEROVATNOCE
Posmatrajmo uredjenu trojku datu sa: (Ω, B, P ), gde je P : B −→ IR. Za
ovu trojku se kaˇze da je prostor verovatno´ce ako vaˇze aksiome i) – iii) (aksiome
Kolmogorova):
DEFINICIJA 5.3.1
Uredjena trojka (Ω, B, P ), gde je P : B −→ IR, predstavlja prostor verovatno´ce
ako vaˇzi:
i) P (A) ≥ 0 za svako A ∈ B;
ii) P (Ω) = 1;
iii) ako�su dogadjaji
�Ai (i ∈ I) nesaglasni (u parovima) tada je
P ( i∈I Ai ) = i∈I P (Ai ).
NAPOMENA
Ako Ω nije diskretan skup tada se po pravilu javlja dodatni problem vezan za konstrukciju funkcije P koja zadovoljava navedene aksiome - za svako B funkcija koja
zadovoljava aksiome i)–iii) ne mora postojati. Primetimo joˇs da P nije precizirano
aksiomama; drugim reˇcima, postoji velika sloboda za njen izbor.
Osnovne osobine funkcije P date su slede´com teoremom:
TEOREMA 5.3.2
Ako je (Ω, B, P ) prostor verovatno´ce, tada za funkciju
P : B −→ IR
vaˇzi:
´
GLAVA 5. DISKRETNA VEROVATNOCA
231
i) P (∅) = 0;
¯ = 1 za svako A ∈ B;
ii) P (A) + P (A)
iii) ako A ⊆ B tada P (A) ≤ P (B);
iv) P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A · B);
v) P (A1 + A2 + · · · + An ) ≤ P (A1 ) + P (A2 ) + · · · + P (An );
�
�
vi) P (A1 + A2 + · · · + An ) = 1≤i≤n P (Ai ) − 1≤i<j≤n P (Ai Aj )
�
+ 1≤i<j<k≤n P (Ai Aj Ak ) + · · · + (−1)n−1 P (A1 A2 · · · An ).
¯ Odavde sledi da je 1 = P (Ω) =
Dokaz . Primetimo najpre da je Ω = A + A.
¯ = P (A) + P (A)
¯ (videti Definiciju 1.3.1). Uzimanjem da je A = Ω
P (A + A)
neposredno sledi i), a potom i ii). Kako je B = A + (B − A), sledi da je
P (B) = P (A) + P (B − A) ≥ P (A), te vaˇzi i iii). Primetimo najpre da A + B =
(A−B)+(B −A)+(AB). Odavde je P (A+B) = P (A−B)+P (B −A)+P (AB).
Primetimo i da je A = (A − B) + (AB), te da je P (A − B) = P (A) − P (AB)
(sliˇcno se dobija da je P (B − A) = P (B) − P (AB)). Samim tim dobijamo i iv).
Najzad, v) i vi) se dobijaju indukcijom iz iv).
Ovim je dokaz komletiran.
Interesantno je primetiti da obrnuto tvrdjenje za i) ne vaˇzi. Dakle, ako je
verovatno´ca nekog dogadjaja jednaka 0, to ne znaˇci da taj dogadjaj ne moˇze da
nastupi. Na primer, verovatno´ca izbora fiksne taˇcke sa duˇzi je jednaka 0, ali to
ne znaˇci da ona ne moˇze biti izabrana (pri nekom eksperimentu). Medjutim,
kod diskretne verovatno´
ce vaˇzi i obrnuto.2 Svojstvo ii) daje vezu izmedju
ˇ
medjusobno komplementarnih dogadjaja. Cesto
se deˇsava u praksi da je jedan
od njih znatno lakˇse izraˇcunati nego drugi, tako da je ova formula veoma korisna.
Svojstvo iii) iskazuje monotoniju funkcije verovatno´ce. Svojstvo iv) je specijalni
sluˇcaj principa ukljuˇcenja–iskljuˇcenja – videti svojstvo vi. Najzad, svojstvo v)
je poznato kao nadlinearnost.
5.4
´
DODELA VEROVATNOCE
DOGADJAJIMA
Dodeljivanje verovatno´ce pojedinim dogadjajima, kao ˇsto je ve´c prime´ceno,
nije jednoznaˇcno odredjeno. Postoji viˇse pristupa da se pojedinim dogadjajima
dodeli njihova verovatno´ca.
Klasiˇ
cna definicija Osnovna ideja na kojoj je zasnovana klasiˇcna definicija
verovatno´ce bazira ne pretpostavci da su svi elementarni dogadjaji jednako
2 Ova
ˇ
cinjenica se veoma elegantno koristi za probabilistiˇ
cko dokazivanje teorema.
´
GLAVA 5. DISKRETNA VEROVATNOCA
232
verovatni. Ova definicija ima posebno smisla ako je prostor elementarnih dogadjaja konaˇcan, recimo da ima taˇcno n elementarnih dogadjaja. U tom sluˇcaju
svaki elementarni dogadjaj ima verovatno´ci n1 , tj. P ({e}) = n1 za svako e ∈ Ω.
S obzirom da je A = {ei1 , ei2 , . . . , eim }, imamo da je A = ∪m
s=1 {eis }, te odatle
sledi (videti Definiciju 1.3.1) da je P (A) = m
n . Stoga imamo:
DEFINICIJA 5.4.1
(Klasiˇcna definicija verovatno´ce) Neka je m broj instanci kojima se realizuje
dogadjaj A (kaˇze se i broj povoljnih sluˇcajeva za dogadjaj A), a n broj svih
mogu´cih instanci iz prostora Ω. Ako su sve instance jednako verovatne tada je
P (A) =
m
.
n
U praksi (kod eksperimenata) m oznaˇcava i broj povoljnih ishoda za dogadjaj A, a n broj svih mogu´cih ishoda eksperimenta. Moˇze se lako pokazati
da su sve aksiome in Definicije 1.3.1 zadovoljene ako se verovatno´ca P pridruˇzi
dogadjajima na opisani naˇcin.
PRIMER 5.4.2
Za eksperiment sa novˇci´cem, m = 1 za grb (dogadjaj G), ili pismo (dogadjaj
P ), a n = 2 za dogadjaj Ω = {G, P }. Stoga, ako je novˇci´c pravilan (odnosno
homogen), imamo da je q = P (G) = 12 , a p = P (P ) = 12 (jasno p + q = 1).
Sliˇcnim rezonovanjem lako se dobija za kocku da je P (Si ) = 16 , za realizaciju
i-te strane kocke (i = 1, 2, . . . , 6) pri bacanju pravilne (homogene) kocke; za
karte karte, imamo da je verovatno´ca vadjenja (po sluˇcajnom principu) bilo koje
1
. Naravno, ukoliko novˇci´c ili kocka nisu pravilni, tada
konkretne karte jednaka 52
moˇze do´ci odstupanja od pomenutih vrednosti.
Geometrijska definicija Osnovna ideja na kojoj je zasnovana geometrijska
definicija verovatno´ce je sliˇcna klasiˇcnoj definiciji. Jedina bitna razlika je da je
sada prostor elementarnih dogadjaja beskonaˇcan, te bi stoga verovatno´ca svakog
elementarnog dogadjaja neminivno bila jednaka nuli. Odatle bi se nametala
mogu´cnost da je verovatno´ca svakog dogadjaja bila jednaka nuli, ˇsto je nedopustivo. Izlaz iz ove situacije moˇze se napraviti uz pomo´c geometrijskih argumenata.
Predpostavi´cemo da skup elementarnih dogadjaja odgovara nekom podskupu taˇcaka iz Euklidovog prostora dimenzije dimenzije do 3, to jest prostora
koji nas okruˇzuje. Na primer, u jednodimenzijalnom sluˇcaju biramo taˇcke na
nekoj duˇzi; u dvodimenzijalnom sluˇcaju biramo neki deo ravni (geometrijsku
figuru kao ˇsto je trougao, pravougaonik, krug itd.); u trodimenzijalnom sluˇcaju
biramo neki deo prostora (geometrijsko telo kao ˇsto je teraedar, paralelepiped,
lopta, itd.). Svaki od ovih objekata ima svoju meru: za duˇz to je njena duˇzina,
za figuru u ravni to je njena povrˇsina, za telo u prostoru to je njena zapremina.
Neka je S skup svih taˇcaka iz odgovarajuˇceg prostora koje su u obostrano–
jednoznaˇcnoj korespodenciji sa Ω, prostorom elementarnih dogadjaja. Neka je
´
GLAVA 5. DISKRETNA VEROVATNOCA
233
R skup taˇcaka (iz S) koje su u obostrano–jednoznaˇcnoj korespodenciji sa elementarnim dogadjajima koji realizuju dogadjaj A ∈ B. Tada je P (A) = mes(R)
mes(S) , gde
mes(X) oznaˇcava meru skupa X, dakle njegovu duˇzinu, povrˇsinu, zapreminu,
itd. U praksi, moˇzemo pisati i P (A) = mes(A)
mes(Ω) . Stoga imamo.
DEFINICIJA 5.4.3
(Geometrijska verovatno´ca) Neka je mes(A) mera dela prostora koji koji sadrˇzi
taˇcke koje odgovaraju instancama dogadjaja A, a mes(Ω) takodje merljiv deo
prostora koji koji sadrˇzi taˇcke koje odgovaraju svim mogu´cim instancama. Ako
su sve taˇcke posmatranog prostora jednako verovatne tada je
P (A) =
mes(A)
.
mes(Ω)
Moˇze se lako pokazati da su sve aksiome in Definicije 1.3.1 zadovoljene ako
se verovatno´ca P usvoji na opisani maˇcin.
PRIMER 5.4.4
(Problem semafora): Na semaforu se smenjuju crveno, narandˇzasto i zeleno
svetlo, i to tako da redom traju 20 sekundi, 5 sekundi i 25 sekundi. Jedno od
pitanja koje se moˇze postaviti glasi: Koje je verovatno´ca da vozilo koje stiˇze na
raskrsnicu mora da ˇceka na zeleno svetlo. Odgovor je 12 (zaˇsto?).
PRIMER 5.4.5
(Problem presretanje): Dva broda stizu u luku u toku istih T sati. Vremena
njihovih pristizanja su sluˇcajna i jednako verovatna u svakom od trenutaka iz
posmatranog intervala od T sati. Vreme zadrzavanja prvog broda u luci je T1
sati, a drugog T2 sati. Ako je jedan brod u luci, tada drugi mora da ˇceka na
oslobadjanje luke. Kolika je verovatno´ca da dodje da saˇcekivanja.
Prostor svih elementarnih dogadjaja se moˇze poistovetiti sa taˇckama u
kvadratu stranica T , koji je odredjen taˇckama (0, 0), (T, 0), (T, T ) i (0, T ) u
koordinatnom sistemu. Svaka taˇcka (t1 , t2 ) odgovara vremenima pristizanja
brodova. Do saˇcekivanja ´ce do´ci ako je 0 ≤ t1 − t2 ≤ T1 (tada prvi brod ˇceka),
ili ako je 0 ≤ t2 − t1 ≤ T2 (tada drugi brod ˇceka). Taˇcke koje odgovaraju saˇcekivanju leˇze u jednoj traci odredjenoj pravama t2 = t1 − T1 i t2 = t1 + T2 . Stoga
T 2 − 12 ((T −T1 )2 +(T −T2 )2 )
.
je traˇzena verovatno´ca jednaka
T2
PRIMER 5.4.6
Problem: Odrediti verovatno´cu da je nasumice izabrana tetiva kruga duˇza od
stranice jednakostraniˇcnog trougla upisanog u dati krug.
Pokaza´cemo da je pojam jednakoverovatnih dogadjaja u ovom sluˇcaju teˇsko
precizirati, i da se zavisno od toga kako je to uˇcinjeno mogu dobiti razliˇciti
rezultati. U svim donjim varijantama pri izboru jednakoverovatnih dogadjaja
simetrija kruga se koristi kao glavni (poˇcetni) argument.
Prva varijanta: Uzmimo najpre da je tetiva odredjena svojom srednjom taˇckom,
kao i da su sve taˇcke kruga jednako verovatne. Povoljni sluˇcajevi sada odgovaraju taˇckama ˇcije je rastojanje od centra kruga najviˇse 2r (r je polupreˇcnik
´
GLAVA 5. DISKRETNA VEROVATNOCA
kruga). Sada se lako dobija da je traˇzena verovatno´ca jednaka
mere dva kruga).
234
1
4
(kao koliˇcnik
Druga varijanta: Uzmimo sada da je tetiva odredjena jednom fiksnom taˇckom
na kruˇznici i uglom koji zaklapa sa tangentom na krug u uoˇcenoj taˇcki na
kruˇznici. Povoljni sluˇcajevi sada odgovaraji onim uglovima koji su u opsegu
od 60o do 120o . Sada se lako dobija da je traˇzena verovatno´ca jednaka 13 (kao
koliˇcnik mere dva ugla).
Tre´ca varijanta: Uzmimo sada da je tetiva odredjena svojim pravcem (dakle
mora biti paralelna nekoj fiksnoj pravoj) i rastojanjem od centra. Povoljni
sluˇcajevi sada odgovaraji rastojanjima od centra do najviˇse 2r . Sada se lako
dobija da je traˇzena verovatno´ca jednaka 12 (kao koliˇcnik mere dve duˇzi).
Ovaj primer je ilustrativan jer pokazuje istovremeno koliku slobodu imamo
u dodeljivanju verovatno´ce dogadjajima.
PRIMER 5.4.7
Buffon-ov problem: U ravni je dat skup paralelnih pravih, pri ˇcemu je rastojanje
izmedju svake dve susedne prave 2a (a > 0). Na ravan se baca igla duˇzine 2l
(0 < l < a). Odrediti verovatno´cu da igla preseca neku od paralelnih pravih.
Zbog uslova l < a igla moˇze presecati najviˇse jednu od pravih. Polozaj igle
u odnosu na bilo koju pravu moˇze se odrediti rastojanjem d njenog centra u
odnosu na najbliˇzu pravu, kao i uglom φ koji ona zaklapa sa bilo kom pravom.
Ove dve veliˇcine se mogu smatrati nezavisnim (u intuitivnom smislu).
Stoga bi prostor elementarnih dogadjaja mogao biti interpretiran kao taˇcka
u pravougaoniku sa temenima (0, 0), (π, 0), (π, a) i (0, a). Igla preseca najbliˇzu
pravu ako i samo ako je 0 ≤ d ≤ l sin(φ). Prostor povoljnih dogadjaja je figura
(u gornjem pravougaoniku) ispod sinusoide d = l sin(φ). Lako se pokazuje da je
2l
, ˇso je ujedno i traˇzena verovatno´ca.
odnos odgovaraju´cih povrˇsina jednak πa
2l
Interesantno je da je odavde π = a .
Statistiˇ
cka definicija verovatno´
ce Napomenimo najpre da se matematiˇcka
statistika kao matematiˇcka disciplina pre svega bavi primenom aparata teorije
verovatno´ce na reˇsavane praktiˇcnih problema (dakle, odredjivanjem verovatno´ca
dogadjaja vezanih za neke probleme iz prakse, tumaˇcenjem dobivenih rezultata,
predikcijom nastupanja nekih dogadjaja, itd. Nas ´ce u okvirima ove knjige
interesovati jedan samo dodeljivanje verovatno´ce nekim dogadjajima.
Podjimo od primera bacanja novˇci´ca. Postavlja se pitanje ˇsta ´cemo da
radimo ako novˇci´c nije pravilan! Intuitivno je jaso da ako je pravilan, da ´ce
grb (ili pismo) nastupiti priblizno jednak broj puta ako se eksperiment viˇse
puta (na primer, 100 puta) ponavlja. ˇsta se moˇze oˇcekivati ako novˇci´c nije
pravilan. U tom sluˇcaju recimo da se pismo realizovalo m puta u n ponavljanja
cimo ga sa f . Tada f (= m
eksperimenta. Uoˇcimo tada koliˇcnik m
n , i oznaˇ
n)
predstavlja (po definiciji) relativnu frekvenciju nastupanja pisma, za nas dogadjaja, recimo A (m je apsolutna frekvencija). Intuitivno, ali i empirijski moˇzemo
pretpostaviti da je
m
P (A) = lim
.
n→+∞ n
´
GLAVA 5. DISKRETNA VEROVATNOCA
235
Napomenimo da je ovde pojam graniˇcne vrednosti upotrebljen u intuitivnom
smislu. Razlog je ˇsto formalna definicija graniˇcne vrednosti (sa neizbeˇznim �)
sada nema isti smisao. Eksperimenti sugeriˇsu da ´ce za veliko n razlika (po
modulu) izmedju relativne frekvencije (uz zanemarljiva kolebanja) biti veoma
bliska nekom broju: taj broj je verovatno´ca naˇseg dogadjaja A. Isposavilo se
da za pravilan novˇci´c taj broj (prema oˇcekivanjima) iznosi 12 .
Vratimo se sada Buffon–ovom problemu. Ako se bacanje igle ponovi veliki
broj puta, recimo n, i ako je broj povoljnih sluˇcajeva (presecanja) bio m. Tada
sledi da je
2ln
.
π = lim
n→∞ am
Na primer, R. Wolf je bacao iglu 5000 puta u periodu od 1849. do 1853. godine
i dobio da je π ≈ 3.1596. Ovakvi eksperimenti (sada se rade na raˇcunarima)
bili su prvi koraci u primeni takozvane Monte Carlo metode (ili metode
simulacija za razna izraˇcnavanja. Recimo, ako u Buffon–ovom eksperimentu
ne znamo da izraˇcunamo povrˇsinu zahvaˇcenu sinusoidom i horizontalnom osom,
tada bi je mogli pribliˇzno odrediti bacanjem igle (kako?). Ovakve i sliˇcne ideje
se danas koriste raznim primenama teorije verovatno´ce (zajedno sa statistikom).
5.5
´
USLOVNA VEROVATNOCA
U mnogim sluˇcajevima u sitaciju smo da razmatramo nastupanje nekog dogadjaja pod uslovom da se ve´c realizovao neki dogadjaj (koji ga moˇze ali ne mora
implicirati). Naprimer, putnik koji putuje vozom na razliˇcite naˇcin procenjuje
verovatno´cu kaˇsnjene voza za neki vremenski iznos na poˇcetku putovanja, i u
toku putovanja (recimo na sredini putovanja) znaju´ci pritom koliko je kaˇsnjenje
voza do tog trenutka.
DEFINICIJA 5.5.1
Neka je A ⊆ Ω fiksiran dogadjaj ˇcija je verovatno´ca pozitivna, tj. vaˇzi P (A) > 0.
Neka je B bilo koji dogadjaj. Tada
P (B|A) =
P (A · B)
P (A)
oznaˇcava verovatno´cu dogadjaja B pod uslovom da se desio dogadjaj A.
Opravdanje za ovakvu definiciju moˇze se na´ci kako preko klasiˇcne definicije
verovatno´ce, tako i preko geometrijske definicije verovatno´ce. Neka je mA (mB )
broj povoljnih sluˇcajeva za nastupanje dogadjaja A (odnosno B) u prostoru
od n elementarnih dogadjaja, mAB broj povoljnih nastupa oba dogadjaja, tj.
dogadjaja AB u istom prostoru. Tada je
P (A) =
mA
mAB
mAB
, P (AB) =
, P (B|A) =
.
n
n
nA
Download

Diskretna verovatnoca