Teorija elementarnih ˇcestica
Voja Radovanovi´c
Beograd, 2013.
Contents
1 Simetrija prostor-vremena
1.1 Lorencova grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Poenkareova grupa - nehomogene Lorencove transformacije . . . . . . . . . . . .
1.3 Vignerov metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
11
15
2 Unutraˇ
snje simetrije; kvark model
2.1 Klasifikacija interakcija i ˇcestica . . . . .
2.2 Simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 SU (2) i izospin . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Stranost, hipernaboji,...; zakoni odrˇzanja
2.5 Osmostruko svrstavanje hadrona . . . .
2.6 SU (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 SU (n) tenzori i Jungove ˇseme . . . . . .
2.8 SU (3) kvark model . . . . . . . . . . . .
2.8.1 ω − φ meˇsanje . . . . . . . . . . .
ˇ
2.9 Sest
kvarkova i ve´ca simetrija . . . . . .
2.10 Dopunski kvanatni broj: boja . . . . . .
ˇ su elementarne ˇcestice . . . . . . . .
2.11 Sta
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20
20
21
23
28
29
30
31
38
44
45
47
49
.
.
.
.
.
.
.
50
50
54
56
59
60
61
62
4 Kalibraciona (gradijentna, gauge) simetrija
ˇ
4.1 Cestica
u elektromagnetnom polju, lokalna simetrija . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Neabelova kalibraciona simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
66
69
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Klasiˇ
cna teorija polja
3.1 Ojler-Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja . . . . . . . . . .
3.2 Hamiltonova formulacija . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Neterina teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Fazna invarijantnost . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Translaciona invarijantnost i tenzor energije impulsa .
3.6 Lorencova simetrija i uglovni moment . . . . . . . . .
3.7 Neterina teorema u analitiˇckoj mehanici . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Spontano naruˇ
senje simetrije
5.1 Spontano naruˇsenje diskretne simetrije
5.2 Spontano naruˇsenje abelova simetrija .
5.3 Goldstonova teorema . . . . . . . . . .
5.4 Higsov mehanizam . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
74
76
78
79
80
6 Slabe interakcije
6.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Vajlove jednaˇcine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Maseno vektorsko polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
83
85
89
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 Standardni model elektroslabih interakcija
7.1 Leptonski sektor . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Higsov mehanizam . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Interakcija leptona sa gauge poljima . . . . .
7.4 Mase leptona . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Rezime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
90
90
92
96
99
100
8 Elektroslaba interakcija kvarkova
8.1 Mase kvarkova . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Naelektrisana kvark struja . . . . . . . .
8.3 Neutralna i elektromagnetna kvark struja
8.4 Lagranˇzijan standardnog modela-rezime
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
101
102
104
106
108
.
.
.
.
.
.
.
.
9 Raspadi i neki procesi u standardnom modelu
108
10 Kvantna hromodinamika
111
2
Literatura:
1. S Weinberg, Quantum Field Theory (vol I), CUP (2005)
2. D. B. Lichtenberg, Unitary Symmetry and elementary particles, Academic Press (1978)
3. H. F. Jones, Groups, Representations and Physics, (2-nd ed.), IoP (1998)
4. Greiners, Muller, Quantum Mechanics, Symmetries, Springer (2001)
5. T. Cheng, L. Li, Gauge Theory of Elementary Particle Physics, Oxford UP (1998)
6. C. Burgess and G. Moore, The Standard Model: A Primer, CUP (2006)
7. M. Peskin and D. Schroeder, Quantum Field Theory, Addison Wesley (1995)
8. V. Radovanovi´c, Problem Book in Quantum Field Theory, Springer (2008)
3
1
1.1
Simetrija prostor-vremena
Lorencova grupa
Prostor Minkovskog je realan ˇcetvorodimenzionalan prostor u kome je definisana metrika. Vektori poloˇzaja u prostoru Minkovskog su
 0  
x
ct
1


x  x

x = xµ e µ = 
 x2  =  y  ,
x3
z
gde su xµ kontravarijantne komponente vektora x u bazi
 
 
 
1
0
0
0
1
0

 
 
e0 = 
0 , e1 = 0 , e2 = 1 ,
0
0
0
 
0
0

e3 = 
0 .
1
Metrika prostora Minkovskog je
gµν


1 0
0
0
0 −1 0
0

=
0 0 −1 0  .
0 0
0 −1
Ona sluˇzi za odredjivanje duˇzine vektora x2 = xT gx.
Lorencove transformacije x0µ = Λµ ν xν ostavljaju kvadrat ˇcetvorovektora x = xµ eµ nepromenjen, tj. x02 = x2 odakle sledi
ΛT gΛ = g .
(1.1)
Lorencove transformacije ˇcine grupu O(1, 3, R). Da bi ovo pokazali potrebno ja da proverimo da
su svi aksiomi grupe zadovoljeni:
1. Neka su Λ1 i Λ2 Lorencove transformacije. Primenimo prvo transformaciju Λ1 a zatim Λ2 .
Vektor koordinate x posle prve Lorencove transformacije prelazi u x0 = Λ1 x. Ako sada primenimo
transformaciju Λ2 dobi´cemo
x00 = Λ2 x0 = Λ2 Λ1 x .
Sada ´cemo pokazati da je Λ2 Λ1 Lorencova transformacija. To se vidi direktno:
(Λ2 Λ1 )T g(Λ2 Λ1 ) = ΛT1 (ΛT2 gΛ2 )Λ1 = ΛT1 gΛ1 = g .
Ovim smo pokazali zatvorenostost.
2. Jediniˇcni element grupe je jediniˇcna matrica.
3. Mnoˇzenje matrica je asocijativno, pa asocijativnost vaˇzi i za Lorencove transformacije.
4. Iz (1.1) sledi da je inverzni element Λ−1 = g −1 ΛT g. On je takodje Lorencova transformacija
jer je
(Λ−1 )T gΛ−1 = g .
4
Time smo pokazali da Lorencove transformacije ˇcine grupu.
Uslov (1.1) u komponentnoj notaciji ima oblik
Λµρ gµν Λνσ = gρσ .
(1.2)
Λµ 0 gµν Λν 0 = 1 ,
(1.3)
Za ρ = σ = 0 iz ove jednaˇcine sledi
odnosno
Λ0 0
2
−
3
X
Λi 0
2
=1.
(1.4)
Λ0 0 ≥ 1 ili Λ0 0 ≤ −1 .
(1.5)
i=1
0
2
Odavde je (Λ 0 ) ≥ 1, odnosno
Ukoliko je Λ0 0 ≥ 1 ovakve Lorencove transformacije ne menjaju smer vremena i nazivaju se
ortohronim Lorencovim transformacijama. Transformacije za koje je Λ0 0 ≤ −1 menjaju smer
vremena.
Uzimanjem determinante od ΛT gΛ = g dobijamo
det Λ = ±1 .
(1.6)
Zanimljivo, determinanta Lorencovih transformacija je ili 1 (prave Lorencove transformacije) ili
−1.
Pod relativistiˇckom kovarijantnoˇs´cu neke teorije podrazumeva se njena kovarijantnost ne na
celu Lorencovu grupu, ve´c samo na prave ortohrone Lorencove transformacijame, za koje vaˇzi:
det Λ = 1, Λ00 ≥ 1 .
(1.7)
Bustovi i rotacije zadovoljavaju ovaj uslov i ove transformacije su podgrupa cele Lorencove grupe.
Vidimo da se Lorencova grupa sastoji iz ˇcetiri dela kako je prikazano u slede´coj tabeli:
det Λ Λ0 0 Oznaka
+1
≥1
L↑+
+1 ≤ −1
L↓+
−1
≥1
L↑−
−1 ≤ −1
L↓−
Naziv
Prave ortohrone
PT koset
P koset
T koset
• Lorencova grupa je nepovezana, sastoji se od ˇcetiri disjunktna podskupa saglasno det Λ =
±1 i vrednosti Λ0 0 . Nije mogu´ce neprekidnom transformacijom pre´ci iz jedne komponente
u drugu. Transformacije za koje je det Λ = 1 ˇcine podgrupu SO(1, 3, R) .
• Prave ortohrone Lorencove transformacije, L↑+ takodje ˇcine podgrupu. Ona je invarijantna
podgrupa1 , dok su druge komponente koseti.
1
Za podgrupu H grupe G kaˇze se da je invarijantna ako
(∀g ∈ G) gHg −1 = H .
Ako grupa sem trivijalnih (same sebe i jediniˇcnog elementa) ne sadrˇzi druge invarijantne podgrupe ona se naziva
prostom. Ukoliko ni jedna invarijantna podgrupa nije Abelova grupa je poluprosta.
5
Prave orthorone Lorencove transformacije L↑+ se sastoji od rotacija i bustova. Rotacije su
1
0
Λ=
, R~n (ϕ) ∈ SO(3).
(1.8)
0 R~n (ϕ)
Rotacije su podgrupa Lorencove grupe. Matrica busta duˇz x− ose je


γ
−βγ 0 0
 −βγ
γ
0 0 
 .
Λµ ν = 
 0
0
1 0 
0
0
0 1
(1.9)
Neke osobine Lorencove grupe:
• Elementi iz L↑+ u okolini jedinice su Λµ ν = δ µ ν + ω µ ν ∈ L↑+ . Iz ΛT gΛ = g sledi ωµν = −ωνµ
(Problem Book... ,problem 1.2). L↑+ je ˇsestoparametarska podgrupa. Moˇze se pokazati da
je ona Lijeva grupa.
• L↑+ je nekompaktna grupa (prostor parametara bustova je nekompaktan 0 ≤ v < c, ne
sadrˇzi limes v → c).
• L↑+ je dvostruko povezana.
Grupu rotacija, SO(3) ˇcine 3 × 3 matrice R koje zadovoljavaju uslove RT R = 1 i det R =
+1. SO(3) je podgrupa Lorencove grupe. Proizvoljna rotacija
Rij (ϕ, n) = cos ϕδij + (1 − cos ϕ)ni nj − sin ϕijk nk
(1.10)
je zadata sa uglom rotacije ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π i ortom n oko koga je izvrˇsena rotacija. Rotaciona grupa je troparametarska. Prostor parametara SO(3) grupe π−kugla tj. kugla
polupreˇcnika π kod koje su antipodi identifikovani. Ova identifikacija je zbog
R(π, n) = R(π, −n) .
6
SO(3) je povezana i to dvostruko. Postoje dve klase puteva:
O
slika 1
slika 2
Put prikazan na slici 1 moˇze biti kontrakovan u taˇcku neprekidnom transformacijom,
dok put prikazan na slici 2 ne moˇze. Dakle, prva fundamentalna grupa SO(3) grupe
je π1 (SO(3)) = Z2 . Elementi Z2 su {g, g 2 = e}, gde je e jediniˇcni element grupe. Univerzalna natkrivaju´ca grupa za grupu SO(3) je SU (2), tj. SO(3) = SU (2). Moˇze biti
¯ koja je prosto
pokazano da za svaku viˇsestruko povezanu grupu G postoji jedna grupa G
2
povezana, homomorfna sa G i ne sadrˇzi nijednu podgrupu koja je homomorfna sa G.
Ona se naziva univerzalno natkrivaju´com grupom. Grupe SU (2) i SO(3) su homomorfne.
Prostor parametara grupe SU (2) je trosfera, S 3 . Ireducibilne reprezentacije univerzalno
natkrivaju´ce grupe su jednoznaˇcne, dok su ireducibilne reprezentacije SO(3) dvoznaˇcne ili
jednoznaˇcne.
• Veza izmedju SL(2, C) i L↑+
ˇ
Cetvorovektoru
xµ pridruˇzi´cemo hermitsku matricu X = xµ σ µ gde je σ µ = (1, σ). σ =
(σ1 , σ2 , σ3 ) su Paulijeve matrice. Uveˇs´cemo i σ
¯ µ = (1, −σ). Matrice σ µ su normalizovane
prema Tr(¯
σ µ σ ν ) = 2g µν . Matrica X je
x0 + x3 x1 − ix2
†
X=X =
.
(1.11)
x1 + ix2 x0 − x3
Mnoˇze´ci X = xµ σ µ sa σ
¯ ν i uzimanjem traga dobijamo
1
¯ µ ).
xµ = Tr(X σ
2
(1.12)
Lako se vidi da je det X = x2 . Transformacije oblika
X → X 0 = SXS †
gde je S ∈ SL(2, C) ne menjaju duˇzinu ˇcetvorovektora
det X 0 = det X ⇔ x02 = x2 .
Dve grupe G i G0 su homomorfne ako postoji preslikavanje svakog elementa grupe G u element iz G0 koje
ˇcuva mnoˇzenje u grupi.
2
7
Iz X 0 = x0µ σ µ sledi
1
Tr(¯
σµX 0)
2
1
=
Tr σ
¯ µ Sσν S † xν
2
= Λ µ ν xν ,
x0µ =
(1.13)
tj.
1
Λµ ν = Tr σ
¯ µ Sσν S † .
2
(1.14)
Ovo je veza izmedju grupa SL(2, C) i L↑+ . Lako se pokazuje da je
S(Λ1 )S(Λ2 ) = S(Λ1 Λ2 ) ,
(1.15)
ali je ovo preslikavanje 2 − 1; Lorencovoj transformaciji Λ odgovaraju dve matrice ±S is
SL(2, C).
Grupe L↑+ i SL(2, C) su homomorfne, L↑+ = SL(2, C)/Z2 . Grupa SL(2, C) je natrkrivaju´ca
za L↑+ .
Zadatak: Proizvoljnu matricu S ∈ SL(2, C) moˇzemo napisana kao proizvod jedne unitarne
i jedne hermitske matrice, S = U H. Neka je
iθ/2
e
0
iθσ 3 /2
S=e
=
(1.16)
0 e−iθ/2
unitarna matrica. Pokazati da je odgovaraju´ca matrica Lorencove transformacije rotacija
3
oko z−ose. Sliˇcno, ako je S ˇcisto hermitska matrica S = e−ϕσ /2 na´ci odgovaraju´cu matricu
Λ.
• Grupa L↑+ je prosta.
Zanima nas da klasifikujemo ireducibilne reprezentacije L↑+ grupe, tj. njene univerzalno
natkrivaju´ce grupe SL(2, C). Prvo ´cemo na´ci algebru Lorencove grupe i to na dva naˇcina. Prvi
je u reprezentaciji klasiˇcnog skalarnog polja. Klasiˇcno sklarno polje se (V. Radovanovi´c, Problem
Book in Quantum Field Theory, Springer, 2006 zadatak 1.13) pri Lorencovim transformacijama
transformiˇse na slede´ci naˇcin
ϕ0 (x0 = x + δx) = ϕ(x) .
8
Varijacija forme polja je
δ0 ϕ(x) = ϕ0 (x) − ϕ(x) = ϕ(x − δx) − ϕ(x) = −δxµ ∂µ ϕ
odnosno
1
δ0 ϕ(x) = −ω µν xν ∂µ ϕ = − ω µν (xν ∂µ − xµ ∂ν )ϕ .
2
Sa druge strane je
i
δ0 ϕ(x) = − ω µν Mµν ϕ
2
odakle je
Mµν = i(xµ ∂ν − xν ∂µ ) .
(1.17)
Ovo su generatori Lorencove grupe u prostoru klasiˇcnog skalarnog polja. Reprezentovali smo ih
diferencijalnim operatorima. Izraˇcunajmo komutator izmedju dva generatora:
[Mµν , Mρσ ] = i2 [xµ ∂ν − xν ∂µ , xρ ∂σ − xσ ∂ρ ] .
(1.18)
[xµ ∂ν , xρ ∂σ ] = gνρ xµ ∂σ − gσµ xρ ∂ν ,
(1.19)
[Mµν , Mρσ ] = i (gσµ Mνρ + gρν Mµσ − gρµ Mνσ − gσν Mµρ ) .
(1.20)
Lako se vidi da je
pa je
Dobili smo komutacione relacije Lorencove algebre.
Drugi naˇcin
Komutator izmedju dva generator Lorencove grupe smo naˇsli u konkretnoj reprezentaciji.
Izraˇcunajmo ga sada u proizvoljnoj reprezentaciji. Element iz L↑+ ima oblik
i
U (Λ) = e− 2 Mµν ω
µν
,
gde su U (Λ), odnosno Mµν element Lorencove grupe,odnosno generatori u nekoj reprezentaciji.
Kako se radi o reprezentaciji to mora vaˇziti
U −1 (Λ)U (Λ0 )U (Λ) = U (Λ−1 Λ0 Λ) .
Uzmimo da je transformacijia
Λ0 = I + ω 0
infinitezimalna. Lako se vidi da je
(Λ−1 Λ0 Λ)µ ν = (Λ−1 )µ ρ (δ ρ σ + ω 0ρ σ ) Λσ ν
= δ µ ν + (Λ−1 )µ ρ Λσ ν ω 0ρ σ
(1.21)
pa imamo
U
−1
i ρσ 0
i
(Λ) 1 − M ωρσ U (Λ) = 1 − (Λ−1 )µ ρ Λσ ν ω 0ρ σ Mµ ν
2
2
−1
ρσ
−1 µρ σ
U (Λ)M U (Λ) = (Λ ) Λ ν Mµ ν
= (Λ−1 )µ ρ Λσ ν M µν
= Λρ µ Λσ ν M µν .
9
(1.22)
Vidi se da je operator M ρσ tenzor drugog reda. Sada ´cemo uzeti da je transformacija Λ infinitezimalna
i
i
ρσ
µν
µν
1 − ωµν M
M
= Λρ µ Λσ ν M µν
1 + ωµν M
2
2
= (δ ρ µ + ω ρ µ ) (δ σ ν + ω σ ν ) M µν
= M ρσ + ω σ ν M ρν + ω ρ µ M µσ ,
pa je
i
ωµν [M µν , M ρσ ] = ωµν M ρν g σµ + ωµν M νσ g ρµ
2
1
=
(M ρν g σµ + M νσ g ρµ − M ρµ g σν − M µσ g ρν ) ωµν .
2
Dakle:
[Mµν , Mρσ ] = i (gσµ Mνρ + gρν Mµσ − gρµ Mνσ − gσν Mµρ ) ,
dobili smo komutacione relacije Lorencove algebre.
Definiˇsimo nove generatore
1
Ki = M0i ;
Ji = εijk Mjk ,
2
Ji su generatori rotacija, a Ki bustova. Ako dalje definiˇsemo operatore
Mi =
1
(Ji + iKi ) ,
2
Ni =
1
(Ji − iKi )
2
(1.23)
(1.24)
(1.25)
komutacione relacije (1.23) postaju
[Mi , Mj ] = iεijk Mk
[Ni , Nj ] = iεijk Nk
[Mi , Nj ] = 0.
(1.26)
Dobili smo (pomalo nelegalno jer smo napravili kompleksne kombinacije generatora, tj. kompleksifikovali smo algebru) dve su(2) algebre tj.
so(1, 3)C ∼
= su(2) ⊕ su(2) .
Ireducibilne reprezentacije Lorencove grupe klasifikova´cemo preko Kazimirovih operatora
M
2
=
N2 =
3
X
i=1
3
X
(Mi )2 ,
(Ni )2 .
(1.27)
i=1
koji potiˇcu od ove dve SU (2) grupe. One daju kvantne brojeve j1 , j2 , tj. Kazimirovi operatori
se svode na brojeve:
M2 → j1 (j1 + 1)
N2 → j2 (j2 + 1) .
10
(1.28)
Ireducibilne reprezentacije Lorencove grupe indeksiramo sa (j1 , j2 ).
Pri Lorensovim transformacijama klasiˇcna polja ϕr (x) transformiˇsu se prema
ϕ0r (x0 = Λx) = Srs ϕs (x) .
(1.29)
Njihovi pandani, kvantna polja φr (x) se pri Lorentz-ovim transformacijama transformiˇsu prema
−1
U (Λ)φr (x)U −1 (Λ) = Srs
(Λ)φs (Λx) .
Za skalarno polje S = I, za Dirakovo S(Λ) = e−iωµν σ
transformiˇsu po reprezentacijama Lorencove grupe:
µν /4
, dok je za vektorsko S = Λµν . Polja se
• (0, 0) skalarno polje
• ( 21 , 0) ⊕ (0, 12 ) Dirakovo polje
• ( 12 , 12 ) elektromagnetno polje
• ( 21 , 0) levo Vajlovo polje
• (0, 21 ) desno Vajlovo polje.
Ireducibilne rerezentacije za koje je j1 + j2 ceo broj su jednoznaˇcne, dok su one za koje
je to poluceo broj dvoznaˇcne. Stanja unutar ireducibilne reprezentacije (j1 , j2 ) klasifikujemo
preko (j1 )3 = −j1 , j1 − 1, . . . , j1 i (j2 )3 = −j2 , j2 − 1, . . . , j2 . Dimenzija reprezentacije (j1 , j2 ) je
(2j1 + 1)(2j2 + 1); ove reprezentacije nisu unitarne jer je, L↑+ nekompaktna grupa.
Zadatak: Pokazati da je definiciona reprezentacija Lorencove grupe ( 21 , 12 ) reprezentacija.
Iz (1.26) se vidi da je maksimalan broj komutiraju´cih generatora 2 te je rang Lorencove
algebre 2.
Zadatak: Pokazati da su 41 Mµν M µν i 18 µνρσ Mµν Mρσ Kazimirovi operatori Lorencove grupe.
1.2
Poenkareova grupa - nehomogene Lorencove transformacije
Poenkareove transformacije su izometrije prostora Minkovskog i sastoje se od Lorencovih transformacija i translacija
x0µ = (Λ, a)xµ = Λµ ν xν + aµ ,
tako da je (Λ, a) ∈ P . Lako se vidi da je
(Λ, a) = (I, a)(Λ, 0) ,
gde je (I, a) translacija a (Λ, 0) Lorencova transformacija.
Poenkareova grupa P je desetoparametarska Lijeva grupa. Lorencove transformacije (Λ, 0) su
podgrupa Poenkareove grupe. Translacije T4 (tj. (1, a)) su invarijantna Abelova podgrupa,
pa je Poenkareova grupa semidirektni proizvod P = T4 ∧ O(1, 3, R). Poenkareova grupa kao
i Lorencova se sastoji od ˇcetiri disjunkntne komponente P+↑ , P+↓ , P−↑ , P−↓ . Topoloˇske osobine
P+↑ :
11
1. nekompaktna jer su L↑+ i T4 nekompaktne;
2. dvostruko povezana;
3. niti prosta niti poluprosta.
Pri infinitezimalnim Poenkareovim transformacijama koordinate se transformiˇsu prema
x0µ = xµ + δxµ = xµ + ω µν xν + µ ,
(1.1)
gde su ωµν parametri Lorencovih transformacija, a µ parametri translacija. Proizvoljan element
µ i
µν
iz P+↑ je U (ω, ) = eiµ P − 2 Mµν ω . Generator translacija je ˇcetvoroimpuls P µ , a Lorencovih transformacija Mµν . Nadjimo sada komutacione relacije u Poenkareovoj algebri. Odredimo generatore
translacija u reprezentaciji klasiˇcnog skalarnog polja. Varijacija forme klasiˇcnog skalarnog polja
pri translaciji je
δ0 φ = −δxµ ∂µ φ
= −µ ∂µ φ
= iµ Pµ φ
(1.2)
(1.3)
(1.4)
Dakle, ˇcetvoroimpuls je
∂
, −i∇) .
∂t
Koriste´ci (1.17) lako se nalazi algebra Poenkareove grupe:
P µ = i∂ µ = (i
[Pµ , Pν ] = 0
[Mρσ , Pµ ] = [i(xρ ∂σ − xσ ∂ρ ), i∂µ ] = i (gµσ Pρ − gµρ Pσ )
[Mµν , Mρσ ] = i (gσµ Mνρ + gρν Mµσ − gρµ Mνσ − gσν Mµρ ) .
(1.5)
Zadatak: Prepisati Poenkareovu algebru koriste´ci spin Ji , impuls Pi , hamiltonijan H, generatore
bustova Ki . Primetite da sa hamiltonijanom komutiraju komponente spina i impulsa. Oni su
konstante kretanja.
Da bi klasifikovali unitarne ireducibilne reprezentacije Poenkareove grupe moramo na´ci Kazimirove operatore. Ove reprezentacije Poenkareove grupe su beskonaˇcno dimenzione, jer je grupa
nekompaktna.
Definiˇsimo vektor Pauli-Lubanskog
1
W µ = εµνρσ Mνρ Pσ .
2
Moˇze se pokazati da vaˇzi (zadatak 1.14)
2
P , Mµν = P 2 , Pµ = 0
2
W , Mµν = W 2 , Pµ = 0,
12
(1.6)
(1.7)
gde je P 2 = Pµ P µ = m2 . Iz relacija (1.7) sledi da su P 2 i W 2 Kazimirovi operatori grupe P+↑
ˇ
i oni klasifikuju njene ireducibilne reprezentacije. Po Surovoj
lema oni se svode na brojeve u
datoj ireducibilnoj reprezentaciji. Ti brojevi klasifikuju reprezentaciju.
Jednoˇcestiˇcna stanja se transformiˇsu po reprezentacijama Poenkareove grupe. Da bi klasifikovali vektore unutar jedne ireducibilne reprezentacije moramo da odredimo skup komutiraju´cih
operatora, tj. treba da Kazimirove operatore P 2 , W 2 dopunimo medjusobno komutiraju´cim operatorima. Operatori impulsa komutiraju medjusobno [Pµ , Pν ] = 0, ˇsto znaˇci da ih moˇzemo meriti
simultano. Vektori stanja ˇcestice su |p, σi, gde je p ˇcetvoroimpuls (koji zadovoljava p2 = m2 ), a
σ je skup dopunskih kvantnih brojeva. Vektori stanja su svojstveni vektori operatora impulsa
P µ |p, σi = pµ |p, σi .
Razmatrajmo sada masene ˇcestice. U sistemu mirovanja impuls je
p˜µ = (m, 0, 0, 0),
(1.8)
dok su komponente vektora Pauli-Lubanskog
W 0 |˜
p, σi = 0
1
1 ijk0
ε Mjk m|˜
p, σi = − εijk Mjk m|˜
p, σi = −mJi |˜
p, σi.
W i |˜
p, σi =
2
2
Operatori Ji = 12 εijk Mjk su generatori rotacija i zadovoljavaju komutacione relacije su(2) algebre
[Ji , Jj ] = iεijk Jk .
Dakle, J je spin ˇcestice. U sistemu mirovanja masene ˇcestice komponente vektora Pauli-Lubanskog
su
W µ = (0, −mJ)
(1.9)
pa je kvadrat vektora Pauli-Lubanskog
W 2 = −m2 J2 .
Kazimirovi operatori P 2 i W 2 se svode na brojeve
P 2 |˜
p, σi = m2 |˜
p, σi
W 2 |˜
p, σi = −m2 J2 |˜
p, σi = −m2 s(s + 1)|˜
p, σi .
(1.10)
Ireducibilne reprezentacije Poenkareove grupe su dakle klasifikovane masom i spinom, (m, j).
Translacije deluju na stanja prema
U (I, a)|p, σi = eiP
µa
µ
|p, σi = eip
µa
µ
|p, σi ,
dok Lorencove transformacije na stanja deluju prema
X
U (Λ, 0)|p, σi =
Qσ0 σ |p0 , σ 0 i,
σ0
13
gde je p0µ = Λµ ν pν , dok je Q unitarna matrica. Pokaˇzimo da je p0 impuls stanja U (Λ)|p, σi:
P µ U (Λ)|p, σi = U (Λ)U −1 (Λ)P µ U (Λ)|p, σi
= U (Λ)Λµ ρ P ρ |p, σi
= Λµ ρ pρ U (Λ)|p, σi.
(1.11)
Kako je p2 = p02 = m2 to Lorencove transformacije ne izbacuju impuls iz potprostora sa fiksnom
vrednoˇs´cu p2 . Potprostor stanja {|p, σi; p2 = m2 , p0 > 0} je invarijantan pod dejstvom Poenkareovih transformacija P+↑ , ali je on reducibilan. Da bi ga razbili na ireducibilne komonente moramo
da uzmemo drugi Kazimirov operator, W 2 . Iz
2
W , Wµ = 0 i [Wµ , Wν ] 6= 0
sledi da W 2 i jedna komponenta vektora Pauli-Lubanskog mogu biti simultano dijagonalizovane.
Uze´cemo tre´cu komponentu vektora Pauli-Lubanskog W3 .
Rezimirajmo:
• Skup komutiraju´cih operatora je P 2 , W 2 , P µ , W 3 , p0 /|p0 |.
• Masa i spin klasifikuju ireducibilne reprezentacije Poenkareove grupe.
• Jednoˇcestiˇcna stanja se klasifikuju impulsom p i projekcijom spina na z osu; W3 = −ms3 .
Jednoˇcestiˇcni vektori stanja su |m, s; p, s3 i
• U sistemu mirovanja stanja zadovoljavaju
W 3 |˜
p, s3 i = −ms3 |˜
p, s3 i
W 2 |˜
p, s3 i = −m2 s(s + 1)|˜
p, s3 i ,
gde je p˜ = (m, ~0) impuls ˇcestice u sistemu mirovanja.
14
(1.12)
Sada ´cemo razmotriti reprezentacije Poencareove grupe u sluˇcaju bezmasenih ˇcestica, p2 = 0.
Uze´cemo da je3 W 2 = 0. Kako je W µ Pµ = 0 to mora biti W µ = −λP µ . Lako se vidi da je
λ=−
W0
J~ · p~
J~ · p~
=
=
P0
p0
|~p|
helicitet. Helicitet je dobar kvantni broj za bezmasene ˇcestice jer je invarijantan na Lorencove
transformacije. Za masene ˇcestice on nije invarijantno definisan. Npr. neka elektron impulsa p
ima helicitet +1/2. Lorencovim bustom moˇzemo pre´ci u sistem u kojem je impuls ovog elektrona
−p pa mu je helicitet −1/2. Stanja bezmasenih ˇcestica su |p, λi.
Vektor Pauli-Lubanskog W µ je generalizacija spina i ˇcesto se naziva kovarijantni spin. Do sada
smo razmatrali dve klase IR Poencareove grupe:
1. p2 = m2 > 0, |pp00 | = +1
U sistemu mirovanja bazu |˜
p, s3 i ˇcini (2s + 1) vektor.
2. p2 = 0, pµ 6= 0, W 2 = 0
Postoji jedno helicitetno stanje |p, λi. Ako je teorija invarijantna na parnost onda postoje
dva nezavisna helicitetna stanja. Npr. za foton λ = ±1.
Pored ove dve klase postoji joˇs ˇcetiri mogu´ce reprezentacije od P+↑ koje su nefiziˇcke:
1. p2 = m2 > 0,
p0
|p0 |
= −1, negativno-energetske masena stanja.
2. p2 = 0, p0 < 0, negativno-energetske bezmasena stanja..
3. pµ = 0, vakuum.
4. p2 < 0, tzv. tahionska stanja (stanja imaginarne mase) koja su nefiziˇcka.
1.3
Vignerov metod
Pomo´cu Vignerovog metoda nalaze se ireducibilne reprezentacije Poenkareove grupe.
Neka je p¯ fiksni ˇcetvoroimpuls (tzv. standardni impuls). Proizvoljan impuls p se dobija iz p¯
transformacijom Lp¯p
p = Lp¯p p¯.
Ova Lorencova transformacija nije jednoznaˇcno definisana jer transformacija Lp¯p · ` takodje
zadovoljava gornji uslov ukoliko je `¯
p = p¯−rotacija oko p¯. Ukoliko zahtevamo da se dopunski
kvantni broj σ ne menjaja
U (Lp¯p )|¯
p, σi = |p, σi
(1.13)
3
Kasnije ´cemo videti da ako bi W 2 < 0 spin bi bio neprekidan ˇsto je fiziˇcki neprihvatljivo.
15
gornja transformacija je fiksirana i naziva se Vignerovim bustom. Lako se vidi da je
U (Λ)|p, σi = U (Λ)U (Lp¯p )|¯
p, σi
−1
= U (Lp0 p¯)U (Lp0 p¯)U (Λ)U (Lp¯p )|¯
p, σi
= U (Lp0 p¯)U (L−1
p, σi
p )|¯
p0 p¯ΛLp¯
= U (Lp0 p¯)U (R)|¯
p, σi,
(1.14)
0µ
µ ν
gde je R = L−1
p tzv. Vignerova rotacija i p = Λ ν p .
p0 p¯ΛLp¯
Transformacije R ostavljaju standardni impuls p¯ invarijantnim i one ˇcine podgrupu Poenkareove
grupe. Ova podgrupa se naziva mala grupa.
Zadatak: Pokazati da Wignerove rotacije ˇcine grupu.
Mala grupa je relevantni deo Poenkareove grupe za klasifikaciju ireducibilnih reprezentacija. Iz
(1.14) sledi
X
Dσ0 σ (R)|¯
p, σ 0 i
U (Λ)|p, σi = U (Lp0 p¯)
σ0
=
X
Dσ0 σ (R)|p0 , σ 0 i,
σ0
odnosno
0
U (a, Λ)|p, σi = eip a
X
Dσ0 σ (R)|p0 , σ 0 i,
(1.15)
σ0
gde je Dσ0 σ (R) matriˇcni element reprezentacije male grupe. Unitarne ireducibilne reprezentacije
P+↑ su dobijene preko unitarnih ireducibilnih reprezentacija male grupe. Ove transformacije
indukuju reprezentacije cele Poenkareove grupe. Dalje ´cemo posebno razmatrati masene i bezmasene ˇcestice:
• Masene ˇcestice
Kao ˇsto smo rekli za standardni impuls uze´cemo p¯µ = (m, 0, 0, 0). Mala grupa je SO(3)
16
(zbirka)




m
m
 0 



 = 1 0  0 ,
 0 
0 R  0 
0
0
(1.16)
gde R ∈ SO(3). Vignerov bust Lp¯p je ˇcist bust iz sistema mirovanja u sistem gde ˇcestica
ima impuls p. D(s) (R)− je (2s + 1)−dimenziona reprezentacija SO(3) (tj. njene univerzalno natkrivaju´ce grupe SU (2)).
• Sluˇcaj bezmasenih ˇcestica p2 = 0 i p0 > 0 je razliˇcit od masenog jer ne moˇzemo pre´ci u
sistem mirovanja. Za standardni impuls uze´cemo p¯ = (k, 0, 0, k), ˇsto odgovara bezmasenoj
ˇcestici koja se sa impulsom k kre´ce duz z−ose. Malu grupu ˇcine one transformacije koje
ne menjaju standardni impuls; dakle
ωµν p¯ν = 0
tj.

   
0 ω01 ω02
ω03
k
0
ω01 0 −ω12 −ω13  0 0

  =   ,
ω02 ω12
0
−ω23  0 0
ω03 ω13 ω23
0
k
0
odakle dobijamo ω03 = 0, ω01 = ω13 , ω02 = ω23 dok je ω12 proizvoljno. Ovi uslovi ˇsest
generatora Lorencovih transformacija redukuju na tri:
1
ωµν M µν = ω01 (M 01 + M 13 ) + ω02 (M 02 + M 23 ) + ω12 M 12 .
2
(1.17)
Generator M 12 je generator rotacije oko z–ose. Iz prethodnih uslova sledi da postoji
joˇs dva generatora: M 01 + M 13 i M 02 + M 23 . Primetimo da je W1 = (M 02 + M 23 )k ,
W2 = −(M 01 + M 13 )k i W0 = −M 12 k. Lako se pokazuje da vaˇzi
[W1 , W2 ] = 0,
[W0 /k, W1 ] = −iW2 ,
[W0 /k, W2 ] = iW1 ,
odnosno
[M 02 + M 23 , M 01 + M 13 ] = 0,
[J3 , M 02 + M 23 ] = −i(M 01 + M 13 ),
[J3 , M 01 + M 13 ] = i(M 02 + M 23 ) .
(1.18)
Ove komutacione relacije definiˇsu E(2) algebru. E(2) je euklidska grupa; sastoji se od
rotacije oko z−ose i translacije u xy− ravni (zbirka, zadatak 1.18). Komutacione relacije
E2 grupe su
[E1 , E2 ] = 0
[J3 , E1 ] = iE2
[J3 , E2 ] = −iE1
17
(1.19)
Vidi se da je J3 = −W 0 /k = M 12 , E1 = −W2 /k = M 01 + M 13 , E2 = W1 /k = M 02 + M 23 .
Zadatak: Pokazati da su
∂
∂
∂
∂ P1 = −i , P2 = −i , Lz = i y
−x
(1.20)
∂x
∂y
∂x
∂y
generatori E(2) grupe. Pokazati takodje da je P12 + P22 Kazimirov operator.
Proizvoljan element iz E(2) grupe je oblika
e−iθJ3 e−i(α1 E1 +α2 E2 ) ,
(1.21)
gde si θ, α1 i α2 parametri. Reprezentacije klasifikujemo sa E12 + E22 i J32 . Operatori E1 i
E2 komutiraju i mogu biti simultano dijagonalizovani
E1 |a1 , a2 i = a1 |a1 , a2 i
E2 |a1 , a2 i = a2 |a1 , a2 i .
(1.22)
svojstvene vrednosti ovih operatora klasifikuju vektore. Iz
eiθJ3 E1 e−iθJ3 = E1 cos θ − E2 sin θ
eiθJ3 E2 e−iθJ3 = E1 sin θ + E2 cos θ
(1.23)
sledi da postoji kontinum svojstvenih stanja
|θ; a1 , a2 i ,
(1.24)
E1 |θ; a1 , a2 i = (a1 cos θ − a2 sin θ)|θ; a1 , a2 i
E2 |θ; a1 , a2 i = (a1 sin θ + a2 cos θ)|θ; a1 , a2 i ,
(1.25)
|θ; a1 , a2 i = e−iθJ3 |a1 , a2 i
(1.26)
za proizvoljno θ koji zadovoljavaju
gde je
Kako za bezmasene ˇcestice niko nije observirao kontinualni stepen slobode θ mora biti
a1 = a2 = 0. Stanja su onda klasifikovana sa svojstvenom vrednoˇs´cu generatora rotacije
oko z ose, J3
J3 |λi = λ|λi .
(1.27)
Ove reprezentacije su jednodimenzione
e−iθJ3 |λi = e−iλθ |λi .
(1.28)
Ovde je θ ugao rotacije oko z ose; λ je ceo ili poluceo broj da bi rotacija za 2π bila ±1.
18
Do istog zakljuˇcka moˇzemo do´ci ’jezikom’ komponenti vektora Paula Lubanskog imaju´ci
na umu vezu komponenti W1 i W2 sa generatorima E1 , E2 . Iz4
wµ pµ = 0
(w0 − w3 )k = 0
w0 = w3 .
sledi
tj.
Imamo dve mogu´cnosti wµ = (w0 , w1 6= 0, w2 6= 0, w0 ) ili wµ = (w0 , 0, 0, w0 ) . U prvom
sluˇcaju w2 = −(w1 )2 − (w2 )2 < 0 vektori u reprezentaciji su neprekidni5 . To bi znaˇcilo da
postoji kontinum bezmasenih ˇstanja. Ovu mogu´cnost odbacujemo kao nefiziˇcku. Dakle,
mora biti wµ = (w0 , 0, 0, w0 ). Helicitet je odredjen sa
−
w0
= λ.
p0
Malu grupu redukujemo na rotacije oko z−ose tj. na SO(2) ∼ U (1).
reprezentacije su jednodimenzione e−iλθ , λ = 0, ±1, ± 12 , . . .
Zakljuˇcak: Reprezentacije grupe male grupe E2 su:
Ireducibilne
a) beskonaˇcno dimenzione w1 , w2 6= 0; ovo odbacujemo
b) konaˇcno dimenzione u sluˇcaju w2 = 0. One su unitarne i jednodimenzionalne. Dakle,
za bezmasene ˇcestice je
W0 |˜
p, λi = −λk|˜
p, λi
W1 |˜
p, λi = W2 |˜
p, λi = 0
3
W |˜
p, λi = −λk|˜
p, λi
(1.29)
Lorencova transformacija Λ deluje na stanje |p, λi prema
U (Λ)|p, λi = eiθ(p,Λ)λ |Λp, λi .
(1.30)
Vidimo da nema promene heliciteta ˇcestice. U sluˇcaju masene ˇcestica spina s pojavljuje
2s + 1 stanje odredjeno sa kvantnim brojem s3 . Za masene ˇcestice moˇze da se koristi
i helicitetni bazis; helicitet takodje uzima vrednosti −λ, λ + 1, . . . , λ. Kod bezmasenih
ˇcestica situacija je drugaˇcija. Bezmasena ˇcestica moˇze biti samo u jednom helicitetnom
stanju λ. Apsolutna vrednost heliciteta se naziva spinom ˇcestice s = |λ|. Parnost operator
impulsa prebacuje u −P, tj. menja mu znak, a operator spina se ne menja. Ovo znaˇci
da parnost menja helicitet ˇcestice λ → −λ. Iz ovog razloga ukoliko je teorija invarijantna
na parnost za ˇceticu spina s ima´cemo dva helicitetna stanja |p, λ = ±si. To se deˇsava u
elektrodinamici, gde su stanja fotona |p, ±1i .
4
5
Opet piˇsemo na stanjima.
(W 1 )2 + (W 2 )2 je Kazimirov operator u E(2) algebri.
19
2
2.1
Unutraˇ
snje simetrije; kvark model
Klasifikacija interakcija i ˇ
cestica
ˇ
Cestice
moˇzemo podeliti u leptone i hadrone kao i ˇcestice koje prenose interakciju tzv. gauge
(kalibracione) bozone. Leptoni su ˇcestice bez strukture koje uˇcestvuju u slabim, a ne uˇcestvuju
u jakim interakcijama. Njihov spin je 1/2. Postoji ˇsest leptona: elektron, elektronski neutrino,
mion, mionski neutrino, taon i taonski neutrino.
ˇ
cestica
masa
−
e
0, 51 MeV
νe
< 10eV
−
µ
105 MeV
νµ
< 0, 16MeV
−
τ
1, 8 GeV
ντ
< 18MeV
spin
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Dugo se verovalo da su neutrini bezmasene ˇcestice. Po novijim rezultatitam oni ipak imaju malu
ali nenultu masu: me < 10eV, mνµ < 0, 16 MeV, mντ < 18 MeV.
Mion i taon su ˇcestice vrlo sliˇcne elektronu, samo ve´ce mase. Oni su nestabilni; mion se raspada
na elektron prema µ− → e− + ν¯e +νµ . Svaki lepton ima i svoju antiˇcesticu. Antiˇcestica elektronu
je pozitron, e+ . Takodje µ+ je antiˇcestica od µ− , a τ + od τ − . Ove antiˇcestice imaju sve kvantne
brojeve iste kao i ˇcestice, sem ˇsto imaju naelektrisanje suprotnog znaka i suprotan leptonski broj.
Za razliku od njih antineutrini i neutrini se razlikuju po znaku heliciteta. Leptoni obrazuju tri
familije: elektron i njegov neutrino su prva familja, mion i minoski neutrino ˇcine drugu familiju
a taon i taonski neutrino su tre´ca familija.
Hadroni su mezoni i barioni i uˇcestvuju i u jakim i u slabim interakcijama. Hadrona ima puno,
oko 200 − 300, pa ne mogu biti fundamentalne ˇcestice. Vide´cemo kasnije da su oni vezana stanja
kvarkova; preciznije mezoni su kvark-antikvark stanje a barioni su sastavljeni od tri kvarka. U
tablici je dato nekoliko mezona i bariona. Mezoni su bozoni dok su barioni fermioni. U slede´coj
tabeli dato je nekoliko mezona
Mezoni
ˇ
cestica
π±, π0
¯0
K +, K −, K 0, K
0
η
±
ρ , ρ0
ω
masa
138 MeV
439 MeV
500 MeV
770 MeV
spin
0
0
0
1
1
π + i π − mezoni su jedno drugom antiˇcestice; razlikuju se po znaku naelektrisanja. Neutralni
π 0 mezon je sam sebi antiˇcestica. Antiˇcestica od K + mezona je K − mezon.
U narednoj tabeli je dato nekoliko bariona:
Barioni
20
ˇ
cestica
p
n
Λ0
Σ± , Σ0
Ξ0 , Ξ−
Ω−
∆++ , ∆+ , ∆0 , ∆−
masa
938 MeV
939 MeV
1100 MeV
1180 MeV
1190 MeV
1600 MeV
1236 MeV
spin
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
2
Antiˇcestica protona je antiproton, p− ; razlikuju se po znaku naelektrisanja. Antineutron je
neutralan kao i neutron; oni se razlikuju po znaku magnetnog dipolnog momenta. Magnetni
dipolni moment neutrona je µ = −1, 913 2me~p c . To ˇsto neutralna ˇcestica ima magnetni moment
sugeriˇse da je sastavljena od naelektrisanih ˇcestica. Zanimljivo je da Σ− nije antiˇcestica od Σ+ .
Pored leptona i hadrona postoje ˇcestice koje su prenosnici interakcija. Foton je prenosilac
elektromagnetne interakcije; W ± i Z 0 gauge bozoni prenose slabu interakciju. Jaku interakciju
prenose gluoni.
U narednim lekcijama ´cemo korak po korak videti da leptoni, kvarkovi i gauge bosoni elementarne ˇcestice. Leptona i kvarkova ima po ˇsest; oni su fermioni spina 1/2. Kvarkovi su:
up (gornji), down (donji), strange (ˇcudni), charmed (ˇsarmirani), top (vrh) and boottom (dno).
Hadroni su vezana stanja kvarkova; npr. proton se sastoji od dva u kvarka i jednog d kvarka.
U prirodi postoji ˇcetiri tipa interakcija: gravitaciona, elektromagnetna, jaka i slaba. Njihove
osobine su sumirane u tablici:
vrsta
domet
intenzitet
dejstvo
−39
gravitacione
∞
∼ 10
sve ˇcestice
1
elektromagnetne
∞
naelektrisane ˇcestice
137
−15
jake
∼ 10 m
1
hadroni
slabe
10−15 m
10−5
hadroni i leptoni
prenosnik
graviton
foton
gluoni
W ±, Z
Jaka interakcija drˇzi kvarkove unutar hadrona i dominantna je u sudarima u kojima uˇcestvuju
samo hadroni. Slaba interakcija se javlja izmedju kvarkova ali i izmedju leptona. Procesi koji
ukljuˇcuju neutrina su uvek slabi procesi. Vektorski bozoni W ± , Z prenose slabu interakciju. Za
jake interakcije pre bi se moglo re´ci da su brze a slabe spore jer je srednje vreme ˇzivota ˇcestica
koje se raspadaju po jakoj interakciji τ ∼ (10−22 − 10−23 )s a po slaboj τ ∼ (10−7 − 10−13 )s.
Elektromagnetna interakcija je interakcija izmedju naelektrisanih ˇcestica. Prenosnik interakcije
je foton. Spin gauge bozona je 1; to su vektorske ˇcestice.
2.2
Simetrija
Grupa simetrije u relativistiˇckoj kvantnoj fizici je direktni proizvod Poenkareove i neke unutraˇsnje simetrije, P ⊗ G. Invarijantnost na Poenkareove transformacije P+↑ daje masu i spin
ˇcestica. Unutraˇsnja grupa simetrije G je kompaktna Lijeva grupa. Proizvoljan element iz G je
U = eiT
21
a θa
gde su T a genetarori u odgovaraju´coj reprezentaciji, a θa realni parametri. Komutacione relacije
izmedju generatora su
[T a , T b ] = if ab c T c ,
gde su f abc strukturne konstante; one ne zavise od reprezentacije. Pri transformaciji U stanja
fiziˇckih sistema se transformiˇsu prema
|ψi → U |ψi ≡ |ψ 0 i .
Da bi se pri transformacijama oˇcuvale verovatno´ce prelaza
|hψ 0 |ψ 0 i|2 = |hψ|ψi|2
(2.1)
operatori U su ili unitarni ili antiunitarni6 . Ovo je Vignerov teorem.
ˇ
Stanje ψ zadovoljava Sredingerovu
jednaˇcinu
i
∂ψ
= Hψ .
∂t
(2.2)
Da bi i transformisano stanje zadovoljavalo jednaˇcinu istog oblika
∂ψ 0
= Hψ 0
∂t
(2.3)
H = U −1 HU .
(2.4)
i
mora vaˇziti
Pretpostavili smo da je ∂U
= 0. Kaˇzemo da je transformacija U simetrija sistema. Iz (2.4) sledi
∂t
(uzimamo da su parametri infinitezimalni)
(1 − iT a θa ) H (1 + iθa T a ) = H
⇒ [T a , H] = 0 ,
(2.5)
tj. generatori simetrije komutiraju sa Hamiltonijanom.
Ako je |ni svojstveno stanje Hamiltonijana sa energijom En tj.
H|ni = En |ni
onda je U |ni takodje svojstveno stanje sa istom energijom
H(U |ni) = En (U |ni) .
Grupa simetrije dakle pravi degeneraciju stanja tj. multiplete. Kako je grupa simetrije P ⊗ G
to
[T a , P µ ] = 0
[T a , Mµν ] = 0.
Zakljuˇcujemo da ˇcestice u multipletima imaju istu masu i spin.
6
Ovo znaˇci da su generatori hermitski operatori.
22
2.3
SU (2) i izospin
Jake interakcije su pribliˇzno nezavisne od nalektrisanja nukleona. Preciznije hamiltonijan Hs
jakih interakcija je invarijantan na izospinske odnosno SU (2) transformacije tj.
[Hs , Ia ] = 0,
(2.6)
gde su Ia generatori SU (2) grupe.
Izospin i spin nemaju nikakve veze, sem istu matematiku sadrˇzanu u SU (2) grupi. Generatori
SU (2) grupe u fundamentalnoj reprezentaciji su Ia = σ a /2 gde su σ a Paulijeve matrice
0 1
0 −i
1 0
1
2
3
σ =
σ =
σ =
.
(2.7)
1 0
i 0
0 −1
ˇ
Lako se vidi da su strukturne konstante simbol Levi-Civita
[Ia , Ib ] = iεabc Ic .
Kazimirov operator je I2 =
P
a
(Ia )2 tj.
2 a
I ,I = 0
tako da njegove svojstvene vrednosti klasifikuju ireducibilne reprezentacije grupe SU (2). Rang
su(2) algebre je 1 ˇsto znaˇci da se skup medjusobno komutiraju´cih generatora sastoji samo od
jednog elementa. Najˇceˇs´ce se uzima da je to I3 . Iz
[I2 , I3 ] = 0
(2.8)
sledi da postoji zajedniˇcki svojstveni bazis ova dva operatora:
I2 |I, I3 i = I(I + 1)|I, I3 i
I3 |I, I3 i = I3 |I, I3 i ,
gde je I = 0, 1/2, 1, 3/2, . . . ;
I3 = −I, −I + 1, . . . , I . Kvantni broj I klasifikuje ireducibilne
reprezentacije a I3 vektore stanja unutar jedne ireducibilne reprezentacije. Dimenzija ireducibilne
reprezentacije (I) je
dim D(I) = 2I + 1 .
U dvodimenzionalnoj reprezentaciji, I = 1/2 bazisni vektori su:
1 1E
1 1E
1
0
=p=
=n=
,−
,
0
1
2 2
2 2
(2.9)
Mi smo ih identifikovali sa protonom i neutronom. Dakle, nukleoni imaju izospin7 1/2 dok
je projekcija izospina na z osu, I3 za proton +1/2 a za neutron −1/2. Proton i neutron su
izospinska stanja jedne ˇcestice-nukleona. Proizvoljan vektor u dvodimenzionoj reprezentaciji
ξ1
ξi =
(2.10)
ξ2
7
Koncept izospina uveo je Hajzenberg.
23
pri SU (2) transformacijama se transfomiˇse po
~
~
σθ
ξ → ξ 0 = e−i 2 ξ .
(2.11)
Koncept izospina moˇze biti proˇsiren na druge hadrone. Triplet π mezona je bazis trodimenzione
reprezentacije
|1, +1i = π +
|1, −1i = π −
|1, 0i = π 0 .
Sliˇcno je i za triplet (ρ− , ρ0 , ρ+ ) i (Σ− , Σ0 , Σ+ ). ∆ rezonace su kvartet SU (2) grupe
3 3
| , + i = ∆++
2 2
3 1
| , i = ∆+
2 2
3 1
| , − i = ∆0
2 2
3 3
| , − i = ∆− .
2 2
Proizvod dve ireducibilne reprezentacije je reducibilna reprezentacija i ona moˇze biti razloˇzena
na ireducibilne komponente
0
0
0
D(I) ⊗ D(I ) = D(I+I ) ⊕ · · · ⊕ D(|I−I |) .
Svojstvena stanja od J2 = (I + I0 )2 i J3 = I3 + I30 nisu |I, I3 i|I 0 , I30 i ve´c
X
hI, I3 , I 0 , I30 |J, J3 i |I, I3 i|I 0 , I30 i ,
|J, J3 i =
(2.12)
I3 ,I30
gde su hI, I3 , I 0 , I30 |J, J3 i Klebˇs- Gordanovi koeficijenti. Izospin stanja dve ˇcestice izospina 1/2 je
1 ili 0. Drugim reˇcima proizvod dve dvodimenzione reprezentacije je direktni zbir trodimenzione
i singletne reprezentacije.
I
:
dim :
1 1
⊗ =1⊕0
2 2
2×2=3+1
Bazisni vektori trodimenzione reprezentacije su simetriˇcni:
|1, +1i = pp
1
|1, 0i = √ (pn + np)
2
|1, −1i = nn,
dok je jednodimenziona reprezentacija antisimetriˇcna
1
|0, 0i = √ (pn − np) .
2
Posmatrajmo proizvod dvodimenzione i trodimenzione ireducibilne reprezentacije. KlebˇsGordanove koeficijente ´cemo odrediti primenom operatora J± = Jx ± iJy na |I, I3 i
p
J± |I, I3 i = I(I + 1) − I3 (I3 ± 1)|I, I3 ± 1i .
(2.13)
Vektor maksimalne teˇzine u reprezentaciji 3/2 je
3 3
1 1 , i = , i1, 1i.
2 2
2 2
24
(2.14)
Delovanjem sa J− na njega dobijamo
3 1
1 1 , i = (J−1 ⊗ 1 + 1 ⊗ J−2 ) , i1, 1i
2 2
2
2
r
r
2 1 1
1 1 1
=
| , i|1, 0i +
| , − i|1, 1i .
3 2 2
3 2 2
Ponavljaju´ci ovaj postupak dobijamo:
r
r
3 1
1
1
1
2 1 1
| , i|1, −1i +
| , − i|1, 0i ,
,− i =
2 2
3 2 2
3 2 2
3 3
1 1
, − i = | , − i|1, −1i .
2 2
2 2
1 1
Vektor | 2 , 2 i nalazimo iz uslova ortogonalnosti na | 32 , 21 i. Rezultat je
r
r
1 1
1 1 1
2 1 1
| , i|1, 0i −
| , − i|1, 1i .
, i=
2 2
3 2 2
3 2 2
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Operator spuˇstanja onda daje
r
r
1 1
2 1 1
1 1 1
| , i|1, −1i −
| , − i|1, 0i .
,− i =
2 2
3 2 2
3 2 2
(2.20)
Sada ´cemo se ukratko potsetiti Vigner-Ekartovog teorema. Ireducibilni tenzorski operatori8 ,
(j)
Tm , m = −j, −j + 1, . . . , j su definisani zakonom transformacije pri SU (2) transformacijama
X (j)
(j)
Dm0 m (R)Tm0 .
(2.21)
(Tm(j) )0 = U (R)Tm(j) U −1 (R) =
m0
Na osnovu gornje definicije moˇze se pokazati da ireducibilni tenzorski operatori zadovoljavaju
slede´ce relacije:
[J3 , Tm(j) ] = mTm(j)
p
(j)
[J± , Tm(j) ] = j(j + 1) − m(m ± 1)Tm±1 .
(2.22)
Zadatak: Ako je V~ vektorski operator9 pokazati da su
(1)
T1
8
9
=−
Vx + iVy
Vx − iVy
(1)
(1)
√
, T0 = Vz , T−1 = √
2
2
Koristimo oznake: j za ireducibilnu reprezentaciju SU (2) a m za klasifikaciju vektora.
Pri rotacijama se transformiˇse na sled´ci naˇcin
~0 =V
~ +V
~ × ~n .
V
25
(2.23)
ireducibilni vektorski operatori.
Matriˇcni element ireducibilnog tenzorskog operatora izmedju izospinskih stanja je
(J)
hI 0 , I30 |TM |I, I3 i = hII3 ; JM |I 0 I30 ihI 0 |T J |Ii
(2.24)
tj. proizvod redukovanog matriˇcnog elementa hI 0 |T J |Ii i Clebsh-Gordan-ovog koeficijenta. Ovo
je tzv. Vigner-Ekartov teorem.
Posmatrajmo sada raspad ˇcestice u dve ˇcestice: a → c + d. Matriˇcni element prelaza je
hcd|S|ai = hIc Id ; I3c I3d |S|Ia I3a i
X
=
hIc Id ; I3c I3d |I 0 I30 ihI 0 I30 |S|Ia I3a i ,
I0
gde smo koristili relacije komletnosti. Hamiltonijan komutira sa izospinom pa su izospin i njegova
tre´ca komponenta odrˇzani u jakim interakcijama. S matriˇcni element je10
hII3 |S|I 0 I30 i = δII 0 δI3 I30 A(I) .
(2.25)
hcd|S|ai = hIc Id ; I3c I3d |Ia I3a iAIa .
(2.26)
Dalje je
Rezultat je izraˇzen preko nezavisnih amplituda A(Ia ). Razmatrajmo sada proizvod dvodimenzione i trodimenzione reprezentacije.
1 3
⊕
2 2
2
× |{z}
3 =2+4
|{z}
(p, n) (π + , π − , π 0 )
1
2
I:
dim :
⊗1 =
Iz (2.17) i (2.26) sledi
1
hπ + n|S|∆+ i = √ A3/2 ,
3
r
2
A3/2 .
hπ 0 p|S|∆+ i =
3
(2.27)
(2.28)
ˇ
Sirina
raspada je odredjena sa
Z
Γ=
|S|2 1 Y V dpf
.
T 2Ei f (2π)3
(2.29)
Ona je verovatno´ca raspada u jedinici vremena pomnoˇzena sa faznim prostorom finalnih ˇcestica.
U gornjem primeru raspada ∆+ rezonance fazni prostor je isti za oba kanala pa je odnos ˇsirina
raspada
q 2
2
+
0
3
Γ (∆ → p, π )
= q 2 = 2.
+
+
Γ (∆ → n, π )
1
3
10
Ova relacija je specijalni sluˇcaj Vigner-Ekartove teoreme, gde je S skalarni ireducibilni operator.
26
Ovaj rezultat je u skladu sa eksperimentom. Dakle, u eksperimentu se vidi SU (2) simetrija, tj.
CG koeficijenti.
Razmatrajmo dalje rasejanje dve ˇcestice u dve ˇcestice
a+b→c+d .
Primenom relacija kompletnosti imamo
X
hcd|S|abi =
hIc Id ; I3c I3d |II3 ihII3 |S|I 0 I30 ihI 0 I30 |Ia Ib I3a I3b i
(2.30)
II 0
Kako je
hII3 |S|I 0 I30 i = AI δII 0 δI3 I30
(2.31)
X
(2.32)
to na kraju dobijamo
hcd|S|abi =
hIc Id ; I3c I3d |II3 ihII3 |Ia Ib I3a I3b iAI .
I
Izrazi (2.14)-(2.20) daju
3 3
, i
2 2
3 1
, i
2 2
3 1
,− i
2 2
3 3
,− i
2 2
1 1
, i
2 2
1 1
,− i
2 2
Lako se onda primenom (2.32) dobija
= pπ +
r
r
2 0
1 +
=
pπ +
nπ
3
3
r
r
1 −
2 0
=
pπ +
nπ
3
3
= nπ −
r
r
1 0
2 +
=
pπ −
nπ
3
3
r
r
2 −
1 0
=
pπ −
nπ .
3
3
hπ + p|S|π + pi = A3/2
1
2
hπ − p|S|π − pi =
A3/2 + A1/2
3√
3√
2
2
hπ − p|S|π 0 ni =
A3/2 −
A1/2 .
3
3
Eksperimentalni rezultat daje A3/2 A1/2 pa se dobija
σ(π + p → π + p) : σ(π − p → π − p) : σ(π 0 n → π − p) = 9 : 1 : 2 .
(2.33)
(2.34)
(2.35)
Mase ˇcestica u SU (2) multipletima nisu iste. Zbog toga je SU (2) simetrija pribliˇzna simetrija.
Mera naruˇsenja ove simetrije je npr.
mn − mp
∼ 0, 7 · 10−3 .
mn + mp
27
2.4
Stranost, hipernaboji,...; zakoni odrˇ
zanja
1940 − 1950 otkrivene su ˇcestice koje se proizvode brzo, a raspadaju se sporo. Npr. Λ0 i K 0
ˇcestice se stvaraju u procesu
π − + p → K 0 + Λ0
preko jake interakcije. Srednje vreme ˇzivota KL0 mezona je τ (KL0 ) ≈ 10−8 s ˇsto znaˇci da se on
raspada po slaboj interakciji. Sliˇcno je i za Λ0 ˇcesticu:
Λ0 → π − + p
.
K 0 → π+π−
(2.36)
Dakle ove ˇcestice se stvaraju u jakoj a raspadaju po slaboj interakciji. Ova osobina je bila ˇcudna
kad su ove ˇcestice otkrivene i zato se uvodi novi kvantni broj stranost. Stranost je aditivni
kvantni broj i odrˇzava se u jakim interakcijama. Stranost hadrona iz gornjeg procesa je
S(n) = S(π) = 0
S(Λ0 ) = −1
S(K 0 ) = +1.
Za jak proces
π − + p → Λ0 + K 0
S : 0 + 0 = −1 + 1
(2.37)
vidimo da je stranost oˇcuvana. Za slab proces
Λ0 → π − + p − slaba interakcija
S : −1 6= 0 + 0
stranost nije oˇcuvana. Vide´cemo kasnije da strane ˇcestice sadrˇze s kvark.
Barionski kvantni broj bariona je 1 antibariona −1, dok ostale ˇcestice imaju barionski broj
nula.
B(barioni) = 1
B(antibarioni) = −1
B(mezoni, leptoni) = 0.
Barionski broj se odrˇzava u svim interakcijama. Zbir barionskog broja i stranosti ˇcestice je
hipernaboj
Y = B + S.
Naelektrisanje Q je odrˇzano u svim interakcijama. Veza izmedju naelektrisanja hipernaboja i
tre´ce komponente izospina ˇcestica je tzv. Gell-Mann-Nishijima relacija
Q = I3 +
Y
.
2
(2.38)
Otkri´ce joˇs jednog kvantnog broja koji se odrˇzava u jakim interakcijama zahteva da se izospinska
simetrija proˇsiri do neke grupe ranga 2.
28
Postoje tri vrste leptonskog broja: leptonski elektronski Le , mionski Lµ i taonski Lτ . Za
elektron i elektronski neutrino Le = 1, pozitron i antineutrino imaju Le = −1 dok je za sve ove
ˇcestice leptonski mionski i taonski kvantni broj jednak nuli. Sliˇcno Lµ (µ− ) = 1 itd. Proverimo
odrˇzanje leptonskoh brojeva u slabom procesu raspada miona µ+
µ+ → e+ + ν¯µ + νe
Lµ : −1 = 0 + (−1) + 0
Le : 0 = −1 + 1 .
U procesu
µ+ µ− → e + e −
nema meˇsanja izmedju mionske i elektronske linije.
2.5
Osmostruko svrstavanje hadrona
Gell-Mann i Ne’eman (1961.) su grupisali mezone i barione istog spina i parnosti u (I3 , Y )
dijagram. Ovo je poznato kao osmostruko svrstavanje.
Mezoni 0−
29
Mezoni 1−
Barioni
1+
2
Barioni
3+
2
ˇ
Cestice
sa istom vrednoˇs´cu hipernaboja su multipleti izospinske grupe SU (2); p i n su dublet,
pioni su triplet itd.
U vreme kad su Gell-Mann i Ne’eman grupisali ˇcestice na gornji naˇcin Ω− ˇcestica nije bila
otkrivena. Otkrivena je 1964. godine. Njeni kvantni brojevi su
I3 (Ω− ) = 0
Y (Ω− ) = −2 = B + S ⇒ S(Ω− ) = −3.
Vide´cemo kasnije da su dijagrami u kojima se nalaze mezoni i barioni teˇzinski dijagrami jednodimenzione, osmodimenzione i desetodimenzione reprezentacije SU (3) grupe. SU (3) simetrija je
viˇse naruˇsena od SU (2) simetrije jer se mase ˇcestica u SU (3) multipletima viˇse razlikuju nego
unutrar SU (2) multipleta. Mera naruˇsenja je
mΣ − mn
∼ 0, 12 .
mΣ + mn
2.6
SU (3)
SU (3) grupu ˇcine 3 × 3 unitarne matrice jediniˇcne determinante. Elemente ove grupe moˇzemo
napisati u obliku
a λa
U = eiε 2 ,
gde su εa realni parametri, a λa Gell-Mann-ove matrice:
30

λ1
λ4
λ6
0 1 0
=  1 0 0
0 0 0

0 0 1
=  0 0 0
1 0 0

0 0 0

0 0 1
=
0 1 0







0 −i 0
λ2 =  i 0 0
0 0 0

0 0 −i
λ5 =  0 0 0
i 0 0

0 0 0

0 0 −i
λ7 =
0 i 0




1 0 0
λ3 =  0 −1 0 
0 0 0






1 0 0
1
λ8 = √  0 1 0 
3
0 0 −2
Gell-Mann-ove matrice su normalizovane prema
Tr (λa λb ) = 2δab .
(2.39)
Rang grupe SU (3) je 2, tj. maksimalan skup komutiraju´cih generatora je dva11 ; [λ3 , λ8 ] = 0.
Zadatak: Na´ci strukturne konstante fcab i Kartanov tenzor za SU (3) grupu.
2.7
SU (n) tenzori i Jungove ˇ
seme
Elementi SU (n) grupe (u definicionoj reprezentaciji) su n × n unitarne matrice jediniˇcne determinante:
U U † = U †U = I
det U = 1 .
(2.40)
Moˇzemo ih zapisati u obliku U = eiH , gde je H hermitska matrica nultog traga. Hermitska
matrica ima n realnih dijagonalnih elemenata; vandijagonalni elementi zadovoljavaju (Hij )? =
Hji pa su odredjeni sa 2 n(n−1)
realnih parametara. Zbog TrH = 0 sledi da je broj nezavisnih
2
partametara matrice H jednak n2 − 1, ˇsto znaˇci da je SU (n) grupa ima n2 − 1 generatora. Rang
algebre predstavlja maksimalan broj njenih komutiraju´cih generatora. Ovi generatori ˇcine tzv.
Kartanovu podalgebru. Moˇze se pokazati da je rang su(n) algebre r = n − 1.
Vektor
ψi = (ψ1 , ψ2 , . . . , ψn ) ∈ Cn
se pri SU (n) transformacijama transformiˇsu po
ψi → ψi0 = Uij ψj ,
(2.41)
gde je U SU (n) matrica. Lako se vidi da je i U ∗ takodje SU (n) matrica. Konjugovanjem (2.41)
dobijamo
0
(2.42)
ψi∗ → ψi∗ = Uij∗ ψj∗ = ψj∗ Uji† .
Dakle ψi∗ se transformiˇse po konjugovanoj reprezentaciji. Dalje ´cemo uvesti slede´cu notaciju
(konjugacija podiˇze indeks)
ψ i ≡ ψi∗
11
Ui j ≡ Uij
Ovo fiziˇcki znaˇci da imamo dva aditivna kvantna broja.
31
U i j = Uij∗ .
(2.43)
Relacije (2.41) i (2.42) postaju
ψi → ψi0 = Ui j ψj
ψ i → ψ 0i = U i j ψ j .
Veliˇcina ψi ξ i je invarijanta tj. transformiˇse se po singletnoj (jediniˇcnoj) reprezentaciji SU (n)
grupe. Tenzori viˇseg ranga se pri SU (n) transformacijama transformiˇsu po
0i i ...i
k ...k
ψj11j22...jqp = (U i1 k1 . . . )(Uj1 l1 . . . )ψl11...lq p .
Lako se vidi da je Kronekerov simbol invarijantan tenzor
δ i k = U i j Uk l δ j l .
ˇ
Pored njega simbol Levi-Civita,
εi1 i2 ...in je takodje invarijantan tenzor
ε0i1 ...in = Ui1j1 . . . Uinjn j1 ...jn = detU · εi1 ...in = εi1 ...in .
Kontrakcija proizvodi tenzore niˇzeg reda.
Zadatak: Pokazati da je εi1 i2 ...in ψ i1 i2 ...in skalar.
Proizvoljan tenzor viˇseg reda je najˇceˇs´ce reducibilan, tj. on se transformiˇse po nekoj reducibilnoj reprezentaciji SU (n) grupe. Mi ´cemo da dekomponujemo ovaj reducibilaan tenzor u
ireducibilne komponente. Transformacije ireducibilne tenzore prebacuju ponovo u te ireducibilne
tenzore. Invarijantni tenzori se koriste za dobijanje ireducibilnih komponenti reducibilnih tenzora. Npr. neka je T ij tenzor drugog reda. Mnoˇzenjem ovog tenzora sa δ j i dobijamo
T = δ j i T ij = TrT.
(2.44)
T je skalar. Polazni tenzor T ij moˇzemo da razloˇzimo u dva tenzora prema
1 i
1
T δ j ) + T δi j .
(2.45)
n
n
Prvi sabirak je tenzor nultog traga a drugi je sam trag. Pri SU (n) transformacijama tenzor
nultog traga prelazi u tenzor nultog traga a trag prelazi u trag. Oni su ireducibilni tenzori.
Tenzor T ij smo dekomponovali u ireducibilne komponente.
Posmatra´cemo tenzore samo sa gornjim indeksima. Zakon transformacije tenzora drugog
reda je
(2.46)
ψ 0ij = U i k U j l ψ kl
T ij = (T ij −
Zamenom indeksa i i j dobijamo
ψ 0ji = U j l U i k ψ lk = U i k U j l ψ lk .
(2.47)
Permutacija indeksa je definisana sa P12 ψ ij = ψ ji . Lako se vidi da se ψ kl i ψ lk transformiˇsu
na isti naˇcin, tj. permutacija indeksa ne menja transformacioni zakon. Definiˇsimo simetriˇcan i
antisimetriˇcan deo tenzora ψ ij
1 ij
S ij =
ψ + ψ ji
2
1 ij
Aij =
ψ − ψ ji
(2.48)
2
32
Lako se vidi da
P12 Sij = Sij
P12 Aij = −Aij .
(2.49)
S ij0 = U i k U j l S kl
Aij0 = U i k U j l Akl .
(2.50)
Takodje
Dakle, pri SU (n) transformacijama simetriˇcan (antisimetriˇcan) tenzor se transformiˇsu u simetriˇcan
(antisimetriˇcan) tenzor. Tenzor ψ ij smo dekomponovali
ψ ij = S ij + Aij
(2.51)
u ireducibilne komponente. Simetriˇcan i antisimetriˇcan tenzor ne mogu se dalje dekomponovati.
Ovo se moˇze generalisati na tenzore viˇseg ranga (koji ima ili samo gornje ili samo donje indekse). Bazisni vektori (tenzori) ireducibilnih reprezentacija SU (n) grupe su tenzori definisane
permutacione simetrije izmedju indeksa. Npr. tenzor tre´ceg reda ξ ijk se dekomponuje na slede´ci
naˇcin
1
ξ ijk = (ξ {ijk} + (ξ {j[i}k] + ξ {i[j}k] ) + (ξ [i{j]k} + ξ [j{i]k} ) + ξ [ijk] ) .
6
Prvi sabirak u (2.52) je totalno simetriˇcan
ξ {ijk} = S123 ξ ijk
= (1 + P12 + P13 + P23 + P13 P12 + P12 P13 )ξ ijk
= ξ ijk + ξ jik + ξ kji + ξ ikj + ξ kij + ξ jki .
(2.52)
(2.53)
Zadnji sabirak je totalno antisimetriˇcan
ξ [ijk] = A123 ξ ijk
= (1 − P12 − P13 − P23 + P13 P12 + P12 P13 )ξ ijk
= ξ ijk − ξ jik − ξ kji − ξ ikj + ξ kij + ξ jki .
(2.54)
Ostali sabirci u (2.52) su tenzori meˇsane simetrije. Tenzor ξ {j[i}k] je simetriˇcan po prvom i
drugom indeksu:
ξ {j[i}k] = S12 A13 ξ ijk
= (1 + P12 )(1 − P13 )ξ ijk
= ξ ijk + ξ jik − ξ jki − ξ kji .
(2.55)
Prvo smo izvrˇsili antisimetrizaciju po prvom i tre´cem indeksu pa zatim simetrizaciju po prvom i
drugom. Dobijeni tenzor nije antisimetriˇcan po prvom i tre´cem indeksu. Postoji joˇs jedan tenzor
simetriˇcan po prvom i drugom indeksu, ξ {i[j}k] On je
ξ {i[j}k] = S12 A23 ξ ijk
= (1 + P12 )(1 − P23 )ξ ijk
= ξ ijk + ξ jik − ξ ikj − ξ kij .
33
(2.56)
Tenzor ξ {i[j}k] ne sadrˇzi nova bazisna stanja u odnosu na tenzor ξ {j[i}k] . Preostala dva tenzora
meˇsane simetrije su antisimetriˇcna po prvom i drugom indeksu:
ξ [i{j]k} = A12 S23 ξ ijk
= (1 − P12 )(1 + P23 )ξ ijk
= ξ ijk + ξ ikj − ξ jik − ξ kij
(2.57)
ξ [j{i]k} = A12 S13 ξ ijk
= (1 − P12 )(1 + P13 )ξ ijk
= ξ ijk + ξ kji − ξ jik − ξ jki .
(2.58)
Ireducibilne komponente permutacione grupe nalaze se pomo´cu Jungovih ˇsema. One za sluˇcaj
SU (n) grupe izgledaju kao na slici
Sastoje se od najviˇse n vrsta i svaki slede´ci red sadrˇzi isto ili manje kockica nego prethodni.
Fundamentalni teorem: Ako je ν−ˇcestiˇcno stanje ireducibilan tenzor permutacione grupe Sν i
ako je ono konstruisano od jednoˇcestiˇcnih stanja koja su bazisni vektori ireducibilne n−dimenzione
reprezentacije od SU (n) onda je to stanje ireducibilan tenzor SU (n) grupe.
Kompaktna poluprosta Lijeva algebra ranga l ima l dijagonalnih operatora Hi (i = 1, 2, . . . , l).
Njihov zajedniˇcki svojstveni problem je
(j)
(j)
Hi ψm
= mi ψm
(2.59)
gde (j) oznaˇcava reprezentaciju, dok indeks m klasifikuje vektore. Uvedimo vektore
m = (m1 , m2 , . . . , ml )
H = (H1 , H2 , . . . , Hl )
(2.60)
(j)
(j)
= mψm
,
Hψm
(2.61)
tada (2.59) postaje
gde su m
~ teˇzine. Standardna forma su(2) algebre je
1
H1 = σ3 ,
2
E1 =
σ1 + iσ2
√ ,
2 2
E−1 =
σ1 − iσ2
√ .
2 2
Bazisni vektori ove reprezentacije su
1
0
(1/2)
(1/2)
ψ1/2 =
= u1
ψ−1/2 =
= u2
0
1
1
1
u1
m(1) = +
H1 u1 =
2
2
1
1
H1 u2 = − u2
m(2) = − .
2
2
34
U kvantnoj mehanici u1 , u2 su bazisna spinska stanja, dok na ovom kursu u1 , u2 su bazisna
izospinska stanja (p, n). Teˇzine su ± 12 . To je z−projekcija (izo)spina. Svojstvene vektore
oznaˇcava´cemo kao na slici
Dakle, jedna kockica predstavlja dvodimenzionu ireducibilnu reprezentaciju SU (2) grupe. Proizvod
dve dvodimenzionalne ireducibilne reprezentacije grupe SU (2) je reducibilna reprezentacija koja
je direktni zbir singletne i trodimenzione reprezentacije
1 1
⊗ →1⊕0 .
2 2
Vektori trodimenzione reprezentacije su simetriˇcni a jednodimenzione antisimetriˇcni12
Dve kockice u vrsti (koloni) oznaˇcavaju simetriˇcno (antisimetriˇcno) stanje. Moˇzemo dalje analizirati troˇcestiˇcno stanje. Ireducibilne reprezentacije su Jungove ˇseme SU (2) grupe koje se sastoje
od tri kockice. Jungova ˇsema sa tri kockice u vrsti oznaˇcava simetriˇcna stanja. Pored njih postoji
i stanje meˇsane simetrije. Oˇcigledno je da ne postoji troˇcestiˇcno totalno antisimetriˇcno stanje.
Zato Jungova ˇsema za SU (2) grupu moˇze imati najviˇse dve vrste.
Jasno je da su bazisni tenzori simetriˇcne reprezentacije:
u1 u1 u1 ,
1
√ (u2 u1 u1 + u1 u2 u1 + u1 u1 u2 ) ,
3
1
√ (u2 u2 u1 + u2 u1 u2 + u1 u2 u2 ),
3
12
ψi ψj = 12 (ψi ψj + ψj ψi ) + 21 (ψi ψj − ψj ψi )
35
u2 u2 u2 .
(2.62)
Kod dva stanja meˇsane simetrije moˇzemo ukloniti prve kolone jer se taj deo tezora transformiˇse
po singletnoj (jednodimenzionoj) reprezentaciji. Do sada smo razmatrali SU (2) grupu. Ovo
se moˇze generalisati. Simetriˇcan tenzor Sij reprezentujemo Jungovom ˇsemom od dve kockice u
vrsti (prva Jungova ˇsema na slici) a antisimetriˇcan sa dve kockice u koloni (druga ˇsema). Tre´ca
Jungova ˇsema na slici je totalno simetriˇcan tenzor tre´ceg reda, dok je zadnji tenzor meˇsane
simetrije.
Standardno uredjenje
Razmotri´cemo tenzor meˇsane simetrije grupe SU (3)
Postoji osam nezavisnih tzv. standardno uredjenih Jungovih ˇsema. Nestandardne ˇseme su ili
nula ili se mogu napisati kao linearna kombinacija standardnih. Da bi dobili standardno uredjenje
Jungove ˇseme SU (n) grupe potrebno je da brojeve 1, . . . , n upisujemo u kockice ˇseme ali tako
da oni ne opadaju u vrsti, a rastu kad se gleda po kolonama. To je uradjeno na prethodnoj
slici za SU (3) simetriju. Poˇsto postoji osam standardno uredjenih Jungovih ˇsema ireducibilna
reprezentacija je osmodimenziona.
Raˇ
cunanje dimenzije ireducibilne reprezentacije SU (n) grupe
Dimenzija ireducibilne reprezentacije je koliˇcnik D1 /D2 . U svaku kockici Jungove ˇseme
upiˇsemo po jedan broj na slede´ci naˇcin. U prvu kockici stavimo broj n, narednu u prvoj vrsti
broj n + 1 itd. U narednoj vrsti startujemo sa brojem n − 1, zatim doilazi n itd. Proizvod svih
ovih brojeva je D1 . Broj D2 je takodje proizvod brojeva pridruˇzenih svakoj kockici ˇseme. Taj
36
broj za datu kockicu je broj kockica koji se od date vidi na desno i na dole plus broj 1 za samu
kockicu. Na slede´coj slici su izraˇcunate dimenzije za dve ˇseme.
Proizvod IR SU (n) grupe je reducibilna reprezentacija. Ireducibilne komponente nalazimo primenom slede´ceg pravila
Dekompozicija
1. U prvi red prve tablice upiˇsemo a, u drugi b itd.
2. Dodajemo kockicu sa indeksom a u drugu tablicu na sve mogu´ce naˇcine, zatim drugu a
itd, ali tako da se u istoj koloni ne nalazi dva a. To ponovimo sa b, c,...
3. Svi dodati simboli se proˇcitaju sa desna na levo u prvom redu, zatim u drugom itd. Levo
od svakog elementa mora biti:
N (a) ≥ N (b) ≥ N (c) . . .
Primer
Prvi korak :
Drugi korak :
37
Treci korak :
Vektor ψi se transformiˇse po definicionoj (n−dimenzionoj-fundamentalnoj) ireducibilnoj reprezentaciji
SU (n) grupe. Njega predstavljamo jednom kockicom. Kako je ψ i ψi skalar to se ψ i = (ψi )∗ transformiˇse po konjugovanoj n∗ ireducibilnoj reprezentaciji.
=
=
Dve reprezentacije su konjugovane ako kad jednu Jungovu ˇsemu zarotiramo za 1800 i dodamo
drugoj ˇsemi dobijemo jediniˇcnu reprezentaciju.
2.8
SU (3) kvark model
Matrice λ3 i λ8 komutiraju i one ˇcine Karatnovu podalgebru su(3) algebre




1 0 0
1 0 0
1
1
H1 = √  0 −1 0 
H2 = √  0 1 0  .
6
3 2
0 0 0
0 0 −2
Zajedniˇcki svojstveni bazis ove dve matrice je
 
 
1
0



0
1 
u1 =
u2 =
0
0
38

0
u3 =  0  .
1
(2.1)

(2.2)
Uvedimo vektor
H = (H1 , H2 ) .
(2.3)
Teˇzine se lako nalaze:
1
1
1
1
√ , √ u1 ⇒ m(1) = √ , √
=
6 3 2
6 3 2
1
1
1
1
=
− √ , √ u2 ⇒ m(2) = − √ , √
6 3 2
6 3 2
√ !
√ !
2
2
=
0, −
u3 ⇒ m(3) = 0, −
.
3
3
Hu1
Hu2
Hu3
Teˇzine su dvodimenzionalne. Ako uvedemo
√
6
I3 =
m1
2
Y =
√
(2.4)
2m2
onda vektori teˇzina u koordinatama (I3 , Y ) su
1 1
,
m(1) =
2 3
1 1
m(2) =
− ,
2 3
2
m(3) =
0, −
.
3
(2.5)
Teˇzinski dijagram trodimenzione reprezentacije je prikazan na slici
a λa∗
a λa
∗
Ako je U = eiθ 2 onda konjugovanjem dobijamo U ∗ = e−iθ 2 , odakle sledi da su − λ2a =
T
− λ2a generatori konjugovane trodimenzione reprezentacije, 3∗ . Konjugovana reprezentacija nije
ekvivalentna prvoj fundamentalnoj za SU (n), n > 2. Teˇzinski dijagram 3∗ reprezentacije je
39
3∗ je tzv. druga fundamentalna reprezentacija SU (3) grupe13 . Viˇsedimenzione reprezentacije
dobijaju se mnoˇzenjem fundamentalnih reprezentacija. Mezoni i barioni nalaze se u singletnoj
(jediniˇcnoj), osmodimenzionoj i desetodimenzionoj repreprezentaciji grupe SU (3) (osmostruko
svrstavanje). Gell-Mann i Zweig su uveli kvarkove kao konstituente hadrona. Kvarkovi se nalaze
u trodimenzionoj reprezentaciji SU (3) grupe. Postoji tri tipa (flavour) kvarkova: up (gornji),
down (donji) i strange (ˇcudni). Njihovi kvantni brojevi su dati u tabeli
u
d
s
Q
2/3
−1/3
−1/3
I
I3
Y
S
B
1/2 1/2
1/3
0 1/3
1/2 −1/2 1/3
0 1/3
0
0
−2/3 −1 1/3
Naelektrisanje se raˇcuna prema
Q = I3 +
Y
1
= I3 + (B + S) .
2
2
Vidimo da je naelektrisanje (anti)kvarkova tre´cinsko, tj. nije celobrojan umnoˇzak elementarnog
naelektrisanja. Antikvarkovi su antiˇcestice kvarkova. Oni su bazisni vektori konjugovane trodimenzione reprezentacije, 3∗
13
Grupa SU (n) ima n − 1 fundamentalnu reprezentaciju.
40
Njihovi kvantni brojevi su dati u tabeli:
Q
I
u¯ −2/3 1/2
d¯ 1/3 1/2
s¯ 1/3
0
I3
Y
S
−1/2 −1/3 0
1/2 −1/3 0
0
2/3 1
B
−1/3
−1/3
−1/3
Zadatak: Pokaati da se u¯i i ijk uj uk transformiˇsu na isti naˇcin pri SU (3) transformacijama.
Mezoni su vezana stanja kvarka i antikvarka:
Oni su u osmodimenzionoj i singletnoj reprezentaciji grupe SU (3). Standardne tablice osmodimenzione reprezentacije su
gde smo izraˇcunali teˇzine za svaku komponentu tenzora koriste´ci aditivnost teˇzina. Teˇzinski
dijagrami osmodimenzione i singletne reprezentacije su
41
Sada ´cemo odrediti kvark strukturu skalarnih mezona. Kako je η 0 singlet to je
η0 =
u¯
u + dd¯ + s¯
s
√
.
3
(2.6)
¯
u¯u − dd
√
.
2
(2.7)
¯ − 2¯
u¯u + dd
ss
√
.
6
(2.8)
Talasna funkcija π 0 mezona je
π0 =
Iz uslova ortogonalnosti dobija se
η0 =
Preostale ˇcestice su:
Mezoni η 0 i η 0 imaju iste kvantne brojeve.
Vektorski mezoni imaju spin 1. Oni imaju istu kvark strukturu kao i skalarni mezoni (spin
0) i zapravo su pobudjena kvark-antikvark stanja. Tako npr. ρ+ mezon se sastoji od ud¯ kao i
π + mezon. Oni imaju razliˇcite mase. Masa ρ+ mezona je 770M eV a π + mezona oko 140M eV .
Barioni su vezana stanja tri kvarka. Proizvod tri trodimenzione reprezentacije, 3 × 3 × 3
razloˇzi´cemo u ireducibilne komponente:
42
Dobili smo jednu desetodimenzionu, dve osmodimenzione i singletnu IR grupe SU (3).
Proizvod dve trodimenzione reprezentacije je direktni zbir jedne simetriˇcne
uSij = ui uj + uj ui
(2.9)
i jedne antisimetriˇcne ireducibilne reprezentacije
uA
ij = ui uj − uj ui .
(2.10)
Sada preostaje da ove tenzore pomnoˇzimo sa joˇs jednim tenzorom uk . Proizvod uA
ij uk dekomponujemo prema
1 A
A
[(uij uk + uA
ki uj + ujk ui )
3
A
+ (uA
ij uk − uki uj )
uA
ij uk =
A
+ (uA
ij uk − ujk ui )] .
(2.11)
Prvi red u (2.11) je antisimetriˇcan tenzor
ui uj uk − uj ui uk + uk ui uj − ui uk uj + uj uk ui − uk uj ui ,
(2.12)
tj. singletna reprezentacija. Drugi red u (2.11) je tenzor meˇsane simetrije (osmodimenziona
reprezentacija)
ui uj uk + ui uk uj − uj ui uk − uk ui uj
(2.13)
dok je tre´ci red
ui uj uk + uk uj ui − uj ui uk − uj uk ui .
(2.14)
Oba ova ireducibilna tenzora su antisimetriˇcna po prvom i drugom indeksu i one sadrˇze iste
bazisne vektore. Proizvod uSij uk se dekomponuje prema
1 S
[(u uk + uSki uj + uSjk ui )
3 ij
+ (uSij uk − uSjk ui )
uSij uk =
+ (uSij uk − uSki uj )] .
(2.15)
Prvi red u (2.15) je totalno simetriˇcan tenzor (desetodimenziona reprezentacija)
ui uj uk + uj ui uk + uk ui uj + ui uk uj + uj uk ui + uk uj ui .
(2.16)
U drugom i tre´cem redu je nova osmodimenziona reprezentacija simetriˇcna po prva dva indeksa.
Npr. tenzor u drugom redu je
ui uj uk + uj ui uk − uk uj ui − uj uk ui .
(2.17)
Tenzor u tre´cem redu nije nova osmodimenziona reprezentacija. Dakle proizvod tri trodimenzione reprezentacije je direktni zbir singletne, dve osmodimenzione (jedne simetriˇcne a druge
43
antisimetriˇcne po prva dva indeksa) i jedne desetodimenzione ireducibilne reprezentacije. Ova
dekompozicija je ista kao i dekompozicije (2.52) jer se tenzori ξijk i ui uj uk transformiˇsu na isti
naˇcin.
Na osnovu kvantnih brojeva lako moˇzemo odrediti kvark strukturu 1/2 bariona:
p = uud
Ξ0 = ssu
Σ+ = uus
n = udd
Ξ− = ssd
Λ0 =
Σ0 =
ud + du
√
s
2
Σ− = sdd
ud − du
√
s.
2
Funkcije stanja se mogu takodje lako na´ci, npr.
2uud − duu − udu
√
6
udd + dud − 2ddu
√
n =
... .
6
p =
(2.18)
Postoje dve osmodimenzione reprezentacije. Jedna je simetriˇcna po prva dva indeksa i mi smo
u njoj napisali talasne funkcije protona i neutrona. Druga osmodimenziona reprezentacija je
antisimetriˇcna po prva dva indeksa. Napiˇsite talasne funkcije protona i neutrona u ovom oktetu.
Stanja desetodimenzione reprezentacije su totalno simetriˇcna pa je
2.8.1
ω − φ meˇ
sanje
Osma komponenta vektorskog mezonskog multipleta i singlet su
u¯
u + dd¯ − 2s¯
s
√
6
¯
u¯
u + dd + s¯
s
√
=
.
3
ω8 =
ω1
44
(2.19)
Za obe je I3 = 0 i Y = 0. Realne fiziˇcke ˇcestice ω (783 MeV) i φ (1020 MeV) ne moraju biti ni
jedna od njih dve ve´c njihove linearne kombinacije
ω = sin θω8 + cos θω1
φ = cos θω8 − sin θω1 ,
(2.20)
gde je θ ugao meˇsanja. Ispostavlja se da je
u¯
u + dd¯
√
2
φ = s¯
s.
ω =
(2.21)
(2.22)
Eksperimentalna vrednost ugla meˇsanja je θ = 39◦ . Ovo meˇsanje je mogu´ce zbog spontanog
naruˇsenja simetrije.
2.9
ˇ
Sest
kvarkova i ve´
ca simetrija
Rihter i Ting su 1974. godine otkrili J/ψ−mezon (ˇsarmonijum) pri sudarima elektrona i pozitrona. Masa ovog mezona je dosta velika, 3100MeV. Sa druge strane njegova ˇsirina raspada
ˇ
je dosta mala, Γ = 0, 07MeV. Dakle, radi se o veoma uskoj rezonanci. Sirina
raspada drugih
mezona grupisanih u SU (3) multiplete je znatno ve´ca od ove; npr. ˇsirina ρ mezona je 150MeV.
Kako je J/ψ−mezon znatno ve´ce mase to bi njegova ˇsirina, zbog ve´ceg faznog prostora, trebalo
da bude znatno ve´ca. Oˇcekivali bi da je ona reda 100MeV. Iz ovoga se jedino moˇze zakljuˇciti
da je J/ψ−mezon vezano stanje novog kvarka i odgovaraju´ceg antikvarka. Novi ˇcetvrti kvark
je poznat kao ”charmed” (ˇsarm) c. Dakle, J/ψ ∼ c¯
c. Kvark c nosi novi kvantni broj: ˇsarm,
C pa simetriju moramo proˇsiriti sa SU (3) na SU (4). Rang SU (4) grupe je tri. Postoje tri
aditivna kvantna broja: tre´ca komponenta izospina, hipernaboj (ili stranost), i ˇsarm (C). Oni
se odrˇzavaju u jakim interakcijama.
1977. godine Lederman je otkrio Y −mezon. Njegova masa je 9460MeV. Opet, ovaj mezon
ima znatno manju ˇsirinu nego ˇsto bi se oˇcekivalu u okviru SU (4) simetrije. Sastoji se od b
kvarka i njegovog antikvarka. Slovo b potiˇce od ”bottom” ili “beauty”. Novi adtitivni kvantni
broj obeleˇzili smo sa D. Iz razloga simetrije sa leptonima morao je postojati i ˇsesti kvark, tzv.
t kvark (”top” ili ”true“ kvark). Ovaj kvark je otkriven 1995 godine u Fermilab-u. Ukupna
simetrija je SU (6)− flejvorna14 simetrija kvarkova. Dakle postoji ˇsest kvarkova grupisanih u tri
generacije
u
c
t
.
d
s
b
Grupa simetrije je proˇsirena do SU (6):
SU (6) ⊃ . . . ⊃ SU (3) ⊃ SU (2) .
14
flavour=tip kvarka
45
Kvarkovi su u ˇsetodimenzionoj reprezentaciji SU (6) grupe. Naelektrisanje je
Q = I3 +
B+S+C +D+G
,
2
gde su C, D i G novi kvantni brojevi pored I3 i S. Naelektrisanje kvarka je ili
brojevi kvarkova su dati u tabeli
B
I
u 1/3 1/2
d 1/3 1/2
c 1/3 0
s 1/3 0
t 1/3 0
b 1/3 0
I3
S C
1/2
0
0
−1/2 0
0
0
0
1
0
−1 0
0
0
0
0
0
0
2
3
ili − 13 . Kvantni
D G
Q
0
0
2/3
0
0 −1/3
0
0
2/3
0
0 −1/3
0
1
2/3
−1 0 −1/3
Kao ˇsto smo ranije rekli ne postoje slobodni kvarkovi; kvarkovi su zarobljeni (konfajnment)
unutar hadrona. Naveˇs´cemo dva indirektna dokaza za postojanje kvarkova:
1. `N → `0 + ×
Posmatramo rasejanje lakih leptona na protonu (neutronu). U ovom eksperimentu proton
(neutron) se ponaˇsa kao da ima tri centra rasejanja.
2. Posmatrajmo raspad vektorskog mezona u lepton-antilepton par
V 0 → l¯l,
l ∈ (e, µ) .
(2.23)
Proces je elektromagnetni pa je ˇsirina raspada proporcionalna sa kvadratom naelektrisanja
e2q :
Γ(V 0 → l¯l) ∼ e2q ,
(2.24)
ˇsto se lako vidi iz Fajnmanovog dijagrama
U slede´coj tabeli date su talasne funkcije tri vektorska mezona kao i vrednost e2q za svaki
on njih:
"
#2
2
1
−
−
u¯
u − dd¯
1
0
2
√
ρ =
eq = 3 √ 3
=
2
2
2
"
#
2
2
+ − 13
u¯
u + dd¯
1
0
2
3
√
√
ω =
eq =
=
18
2
2
1
φ = s¯
s
e2q = .
(2.25)
9
46
Lako se vidi da je odnos ˇsirina raspada
¯ : Γ(φ → ``)
¯ =9:1:2
Γ(ρ0 → `¯l) : Γ(ω 0 → ``)
ˇsto je u skladu sa experimentalnim rezultatom.
2.10
Dopunski kvanatni broj: boja
∆++ rezonanca je vezano stanje tri up kvarka
∆++ = uuu,
`=0.
Poˇsto je ona osnovno stanje tri u kvarka to je totalni uglovni moment orbitalnog dela talasne
funkcije ` = 0, tj. ona je totalno simetriˇcna. Spin ove rezonanace je S = 3/2 U stanju Sz = +3/2
projekcija spina na z−osu svakog up kvarka mora biti +1/2. Spinski deo talasne funkcije je
simetriˇcan, baˇs kao ˇsto je i prostorni. Moˇzemo zakljuˇciti da je ili totalna talasna funkcija tri up
kvarka totalno simetriˇcna funkcija ˇcime bi bio naruˇsen Paulijev princip ili kvarkovi imaju novi
skriveni stepen slobode
ψ = ψorb · ψspin ψizospin · (?) .
Taj novi stepen slobode je tzv. kolor (boja). Svaki kvark moˇze biti u tri boje, preciznije svaki
kvark je triplet SU (3)c grupe.
flavour
u
uR
d
dR
sR
s
c
cR
tR
t
bR
b
colour
uG
uB
dG
dB
sG
sB
cG
cB
tG
tB
bG
bB
SU (3)c grupa (nazivamo je SU (3) kolorna grupa) nema nikakve veze sa SU (3) simetrijom
vezanom za tip kvarka. Hadroni su SU (3)c singleti. Kolorna talasna funkcija vezanog stanja tri
up kvarka u ∆++ rezonanci je
αβγ uα uβ uγ = uR uG uB − uG uR uB − uR uB uG + uB uR uG − uB uG uR + uG uB uR ,
pa je talasna funkcija antisimetriˇcna u skladu sa Paulijevim principom. Talasna funkcija mezona
je takodje singlet SU (3)c grupe:
qR q¯R + qB q¯B + qB q¯B .
Odnos preseka da se elektron pozitronski par raseje u hadrone i u µ+ µ− par je
X
σ(e− e+ → hadroni)
=
e2q .
R=
−
+
−
+
σ(e e → µ µ )
tip.kvark.
47
(2.1)
Mase kvarkova15 su
mu = md ' 300 MeV
ms ∼ 600 MeV
mc ∼ 1600 MeV .
1. Za energije elektrona i pozitrona u sistemu centra mase koje su ispod 2mc = 3000GeV, u
izrazu (2.1) sumiramo po u, d i s kvarku:
2 2 2 !
2
1
1
2
R=3·
+ −
+ −
= 3 · = 2.
3
3
3
3
2. Ukoliko je energija takva da se mogu kreirati u, d, s i c kvarkovi, tj E < 10000GeV onda
je
10
R = 3 e2u + . . . + e2c = .
3
Obe sume smo mnoˇzili sa tri zbog kolornih stepeni slobode kvarkova. Gornji rezultati za
R su u saglasnosti sa experimentalnium rezultatom koji je prikazan na grafiku
Eksperiment:
m(ω) = 783 MeV
m(φ) = 1020 MeV
m(ρ) ∼ 770MeV
− +
Napomenimo joˇs da je efikasni presek za rasejanje e e → q q¯ dat sa
s
4m2q
1
1
1
σ(e− e+ → q q¯) ∼ 4 1 − 2 ∼ 5 = 5 ,
p
p
s
E2
gde je p ukupni ˇcetvoroimpuls pozitrona i elektrona.
15
Ovo su mase kvarkova kao konstituenata hadrona, to nije masa koju bi stavili u lagranˇzijan. Masa protona
je oko 900MeV pa je masa u i d kvarka oko 300MeV.
48
2.11
ˇ su elementarne ˇ
Sta
cestice
Elementarne ˇcestice su leptoni, kvarkovi i gauge bozoni. Postoji tri generacije leptona:
e
µ
τ
νe
νµ
ντ
Leptoni uˇcestvuju u slabim a ne u jakim interakcijama. Kvarkovi su ˇcestice spina 1/2 koji
takodje formiraju tri familije:
u
c
t
d
s
b
Uˇcestvuju i u slabim i u jakim interakcijama. Oni nose kolorni stepen slobode.
Gauge bozoni su prenosioci interakcija. To su W ± i Z 0 − bozoni koji su prenosioci slabe interakcije, foton koji je prenosilac elektromagnetne interakcije, gluoni koji prenose jaku interakciju.
Sve ove ˇcestice imaju spin jedan. Prenosnik gravitacione interakcije je graviton. Njegov spin je 2
i on joˇs nije eksperimentalno detektovan. Dodajmo joˇs i da je Higsov bozon takodje elementarna
ˇcestica. O njemu viˇse reˇci na narednim stranicama.
49
3
3.1
Klasiˇ
cna teorija polja
Ojler-Lagranˇ
zeve jednaˇ
cine kretanja
Lagranˇzev formalizam je uveden u analitiˇckoj mehanici. Dejstvo sistema sa konaˇcnim brojem
stepeni slobode je
Z tf
L(qi , q˙i , t)dt ,
(3.1)
S[qi ] =
ti
gde su q1 , . . . , qn generalisane koordinate a q˙1 , . . . , q˙n generalisane brzine. Prava trajektorija
sistema je ona za koju je dejstvo stacionarno, tj.
δS = 0 .
(3.2)
Ovo je Hamiltonov princip. Lako se moˇze pokazati da uslov stacionarnosti dejstva daje Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja
d ∂L ∂L
−
=0.
(3.3)
dt ∂ q˙i
∂qi
U teoriji polja generalisane koordinate zamenjujemo poljima
qi (t) → φrx (t) = φr (x)
(3.4)
Indeks r je diskretan i on prebrojava polja. Iz prethodnog izraza vidimo da je polje sistem sa
beskonaˇcno puno stepeni slobode, jer x ∈ V . Relativistiˇcka polja poseduju izvesna transformaciona svojstva pri Lorencovim transformacijama. Za skalarno polje je
φ0 (x0 = Λx) = φ(x) .
(3.5)
Vektorsko polje se pri Lorencovim transformacijama menja po
A0µ (x0 = Λx) = Λµν Aν (x)
(3.6)
a Dirakovo
ψ 0 (x0 ) = e−iωµν σ
µν /4
ψ(x) .
Generalno
φ0r (x0 = Λx) = Srs (Λ)φs (x) .
(3.7)
Matrice S(Λ) ˇcine reprezentaciju Lorencove grupe
S(Λ1 )S(Λ2 ) = S(Λ1 Λ2 ) .
Polja se transformiˇsu po reprezentacijama Lorencove grupe.
Zakon transformacije polja pri Poenkareovim transformacijama je
φ0 (x0 = Λx + a) = φ(x)
A0µ (x0 = Λx + a) = Λµν Aν (x)
µν
ψ 0 (x0 = Λx + a) = e−iωµν σ /4 ψ(x) ,
50
(3.8)
respektivno za skalarno, vektorsko i Dirakovo polje.
Transformacija moˇze biti aktivna (deluje na fiziˇcki sistem, a koordinatni sistem je fiksiran)
ili pasivna (sistem je fiksiran dok transformiˇsemo koordinatni sistem, tj. gledamo isti objekat iz
razliˇcitih sistema). Ako skalarno polje φ(x) transliramo za a duˇz x− ose dobi´cemo novu funkciju
φ0 (x)
φ0 (x) = φ(x − a) ,
(3.9)
odnosno
φ0 (x0 = x + a) = φ(x).
Transformacija je delovala aktivno; koordinatni sistem je fiksiran a transformacija deluje
na polje. Transliranje skalarnog polja udesno u fiksnom koordinatnom sistemu ekvivalentno je
transliranju koordinatnog sistema ulevo za a dok je polje fiksirano. U ovom drugom sluˇcaju
kaˇzemo da transformacija deluje pasivno:
φ0 (x0 = x + a) = φ(x).
φ0 (x0 ) je nova funkcija u novom koordinatnom sistemu.
U opˇstem sluˇcaju dejstvo je oblika
Z t2
Z t2 Z
Z
3
S=
dtL =
dt d xL =
d4 xL ,
t1
t1
Ω
gde je Lagranˇzijan
Z
L=
d3 xL .
51
Veliˇcina L je gustina Lagranˇzijana.
Gustina Lagranˇzijana je funkcija polja i izvoda polja
L = L(φr (x), ∂µ φr (x)) .
(3.10)
Jednaˇcine kretanja za polja se dobijaju iz Hamiltonovog principa. Pri varijaciji polja
φr (x) → φ0r (x) = φr (x) + δφr (x)
(3.11)
infinitezimalna promena dejstva (tj. varijacija dejstva) je
Z
δS =
d4 x L(φ0r (x), ∂µ φ0r (x)) − L(φr (x), ∂µ φr (x))
ZΩ
∂L
∂L
4
δφr +
δ(∂µ φr )
=
dx
∂φr
∂(∂µ φr )
Ω
Z
∂L
∂L ∂ ∂L
4
dx
δφr + µ
δφr − ∂µ
δφr
=
∂φr
∂x ∂(∂µ φr )
∂(∂µ φr )
Ω
I
Z
∂L ∂L
∂L
4
− ∂µ
δφr +
δφr dΣµ
=
dx
∂φr
∂(∂µ φr )
∂Ω ∂(∂µ φr )
Ω
Z
∂L
∂L 4
=
dx
δφr ,
− ∂µ
∂φr
∂(∂µ φr )
Ω
(3.12)
Povrˇsinski integral je nula jer je varijacija polja na granici oblasti integracije nula. Iz Hamiltonovog
principa δS = 0 slede Lagranˇzeve jednaˇcine kretanja
∂L ∂L
− ∂µ
=0.
(3.13)
∂φr
∂(∂µ φr )
Lagranˇzijan nije jednoznaˇcno odredjen. Lagranˇzijanu moˇzemo da dodamo divergenciju neke
funkcije polja
L → L + ∂µ Λµ (φr ) .
(3.14)
Ovo je pokazano u zadatku 5.4.
Ako je f (x) funkcija a F [f (x)] funkcional, funkcionalni izvod
Z
δF =
dy
δF [f (x)]
δf (y)
je definisan sa
δF [f (x)]
δf (y) .
δf (y)
Gustina Lagranˇzijana za slobodno skalarno polje je
L=
m2 2
1
(∂φ)2 −
φ .
2
2
(3.15)
Da bi sastavili jednaˇcine kretanja trebaju nam
∂L
∂L
= −m2 φ,
= ∂ µφ .
∂φ
∂(∂µ φ)
52
(3.16)
Jednaˇcina kretanja je Klajn-Gordonova jednaˇcina
( + m2 )φ = 0.
(3.17)
Gustina Lagranˇzijana kompleksnog skalarnog polja je
L = (∂µ φ† )(∂ µ φ) − m2 φ† φ ,
(3.18)
gde je
φ=
φ1 + iφ2
√
2
φ† =
φ1 − iφ2
√
.
2
(3.19)
Jednaˇcine kretanja su
( + m2 )φ† = 0
( + m2 )φ = 0
(3.20)
Realno skalarno polje ima jedan a kompleksno dva stepena slobode. Spin skalarnog polja je 0.
Dirakovo polje opisuje ˇcestice spina s = 1/2. Gustina Lagranˇzijana je
¯ µ ∂µ − m)ψ .
L = ψ(iγ
(3.21)
ψ i ψ¯ su nezavisna polja pa dobijamo dve jednaˇcine kretanja
(iγ µ ∂µ − m)ψ = 0
¯ µ + mψ¯ = 0.
i∂µ ψγ
(3.22)
Dobili smo Dirakovu jednaˇcinu.
Lagranˇzijan vektorskog masenog polja je
gde je Fµν
1
m2
L = − Fµν F µν +
Aµ Aµ ,
4
2
= ∂µ Aν − ∂ν Aµ . Variranjem ovog dejstva dobija se (Prokina jednaˇcina)
∂µ F µν + m2 Aν = 0.
(3.23)
(3.24)
Lagranˇzijan elektromagnetnog polja
1
L = − Fµν F µν − j µ Aµ .
4
Da bismo sastavili jednaˇcine kretanja za potencijale, moramo prvo odrediti
∂L
= −j β
∂Aβ
i
∂L
∂Fµν
1
= − F µν
∂(∂α Aβ )
2
∂(∂α Aβ )
1
= − F µν (δµα δνβ − δµβ δνα )
2
1
= − (F αβ − F βα )
2
= −F αβ .
53
(3.25)
(3.26)
Figure 1: Lanac taˇckastih masa
Jednaˇcine kretanja (Maksvelove jednaˇcine) su
∂α F αβ = j β ,
(3.27)
∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = 0
Aν − ∂ ν ∂µ Aµ = 0 .
(3.28)
odnosno
Spin vektorskog polja je 1. Bezmaseno vektorsko polje ima dva a maseno tri stepena slobode.
Slede´ci primer je polje koje nije relativistiˇcko. Neka je n malih kuglica masa m vezano oprugama
konstanti elastiˇcnosti k kao na slici 3.1. Rastojanje izmedju susednih kuglica je l i tada su opruge
nedeformisane. Razmotrimo longitudinalne oscilacije ovog sistema. Neka je ξi elongacija i−te
kuglice. Lagranˇzijan sistema je
n
n
1 X ˙2 1 X
L =
mξi −
k(ξi+1 − ξi )2
2 i=1
2 i=1
n
ξ − ξ 2 1 X m ˙2
i+1
i
ξi − kl
l
.
=
2 i=1
l
l
(3.29)
U limesu l → 0 veliˇcina m/l = µ predstavlja masu jedinice duˇzine ˇzice, suma prelazi u integral,
diskretna promenjiva sada postaje polje ξ = ξ(t, x). Lagranˇzijan postaje
Z
∂ξ 2 ∂ξ 2
1
−Y
,
(3.30)
L=
dx µ
2
∂t
∂x
gde je Y = kl modul elastiˇcnosti. Jednaˇcina kretanja je
µ
∂ 2ξ
∂ 2ξ
−
Y
=0.
∂t2
∂x2
(3.31)
Fazna brzina longitudinalnih talasa je
s
v=
3.2
Y
.
µ
(3.32)
Hamiltonova formulacija
Analitiˇcka mehanika: Dejstvo sistema sa konaˇcnim brojem stepeni slobode je
Z tf
S[qi ] =
L(qi , q˙i , t)dt ,
ti
54
(3.33)
gde su q1 , . . . , qn generalisane koordinate a q˙1 , . . . , q˙n generalisane brzine. Generalisani impulsi
su definisani sa
∂L
.
(3.34)
pi =
∂ q˙i
Da bi se n predhodnih jednaˇcina reˇsilo po generalisanim brzinama potrebno je da
h ∂ 2L i
det
6= 0 .
(3.35)
∂ q˙i ∂ q˙j
Hamiltonijan je Leˇzandrova transformacija Lagranˇzijana
H(p, q) =
n
X
pi q˙i − L(q, q)
˙ .
(3.36)
i=1
Hamiltonijan je funkcija generalisanih koordinata i impulsa. Iz
Z
n
hX
i
δ dt
pi q˙i − H(q, p) = 0
(3.37)
i=1
dobijaju se Hamiltonove jednaˇcine
p˙i = −
q˙i =
∂H
= {pi , H} ,
∂qi
∂H
= {qi , H} .
∂pi
(3.38)
(3.39)
Poasonova zagrada definisana je sa
{f, g} =
n X
∂f ∂g
∂f ∂g .
−
∂q
∂p
∂p
∂q
i
i
i
i
i=1
(3.40)
Teorija polja
Generalisani impulsi definisani su sa
∂L
.
∂ φ˙ r
Hamiltonijan zavisi od generalisanih impulsa i polja
Z
hX
i
3
˙
H= dx
πr φr − L .
πr (x) =
(3.41)
(3.42)
r
Veliˇcina
H=
X
πr φ˙ r − L
(3.43)
r
je gustina Hamiltonijana. Lako se vidi da je gustina Hamiltonijana realnog skalarnog polja
1
m2 2
1
H = π 2 + (∇φ)2 +
φ .
2
2
2
55
(3.44)
Variranjem
Z
Z
δ
dt
Z
Z
3
dx
X
πr φ˙ r − H
r
h
δH
3
δφr −
=
dt d x δπr φ˙ r + πr δ φ˙ r −
δφr
Z
Z
h
δH
=
dt d3 x δπr φ˙ r − π˙ r δφr −
δφr −
δφr
i
δH
δπr
δπr
i
δH
δπr = 0
δπr
(3.45)
dobijamo Hamiltonove jednaˇcine
δH
∂πr
= −
∂t
δφr
∂φr
δH
=
.
∂t
δπr
Poasaonova zagrada je definisana sa
Z
δF (t, x) δG(t, y) δF (t, x) δG(t, y) {F (t, x), G(t, y)} = d3 z
−
.
δφr (t, z) δπr (t, z) δπr (t, z) δφr (t, x)
(3.46)
(3.47)
Lako se vidi da je
{φr (t, x), πs (t, y)} = δrs δ(x − y) .
(3.48)
Hamiltonove jednaˇcine moˇzemo prepisati u slede´cem obliku
∂πr
= {πr , H}
∂t
∂φr
= {φr , H} .
∂t
(3.49)
Hamiltonove jednaˇcine za skalarno polje:
∂π
= m2 φ − ∆φ
∂t
∂φ
= π
∂t
(3.50)
Kombinovanjem ovih jednaˇcina dobijamo Klajn-Gordonovu jednaˇcinu.
3.3
Neterina teorema
Transformacija simetrije ostavljaju sistem invarijantnim, ona preslikava reˇsenja jednaˇcina kretanja ponovo u reˇsenja. Posledica svake globalne kontinualne simetrije su odrˇzane veliˇcine
(naboji, inegrali kretanja).
Pri neprekidnim infinitezimalnim transformacijama
xµ → x0µ = xµ + δxµ
φr (x) → φ0r (x0 ) = φr (x) + δφr (x)
56
(3.51)
dejstvo se promeni za
Z
4 0
dx
δS =
Ω0
L(φ0r (x0 ), ∂µ0 φ0 (x0 ))
Z
−
d4 xL(φr (x), ∂µ φr (x)) .
Ω
Ω i Ω0 su jedna te ista oblast prostora Minkovskog parametrizovana jednom sa x a drugi put sa
x0 koordinatama (pasivna transformacija). Element zapremine prostora Minkovskog se menja
na slede´ci naˇcin
0µ ∂x 4 0
d x = ν d4 x
∂x
0µ ∂x ∂
µ
µ
µ
∂xν = det δ ν + ∂xν δx ≈ 1 + ∂µ (δx )
gde smo koristili
det(1 + A) = eTr ln(1+A) = eTrA+... = 1 + TrA + . . . .
Totalna varijacija polja je
δφ = φ0 (x0 ) − φ(x)
dok je
δ0 φ = φ0 (x) − φ(x)
varijacija forme polja. Veza izmedju njih je
δφ =
=
=
=
φ0 (x0 ) − φ(x)
φ0 (x0 ) − φ(x0 ) + φ(x0 ) − φ(x)
δ0 φ(x0 ) + ∂µ φδxµ
δ0 φ(x) + ∂µ φδxµ .
(3.52)
U poslednjem koraku smo umesto x0 napisali x ˇsto je korektno jer raˇcunamo u prvom redu po
δx. Lako se vidi da diferenciranje komutira sa varijacijom forme:
δ0 ∂µ φ = ∂µ δ0 φ .
Varijacija forme Lagranˇzijana je
δ0 L =
∂L
∂L
δ0 φ +
δ0 ∂µ φ
∂φ
∂(∂µ φ)
a njegova totalna varijacija je
δL = δ0 L + ∂µ Lδxµ .
57
Prema tome infinitezimalna promene dejstva je
Z
Z
µ 4
δS =
(1 + ∂µ δx )d x(L + δL) − d4 xL
Z
=
d4 x(δL + L∂µ δxµ )
Z
=
d4 x(δ0 L + ∂µ Lδxµ + ∂µ δxµ L)
Z
∂L
∂L
∂L
4
µ
=
dx
δ0 φr + ∂µ
δ0 φr − ∂µ
δ0 φr + ∂µ (Lδx )
∂φr
∂(∂µ φr )
∂(∂µ φr )
Z
∂L
µ
4
δ0 φr + Lδx
=
d x∂µ
∂(∂µ φr )
Z
=
d4 x∂µ J µ .
(3.53)
Polja zadovoljavaju jednaˇcine kretanja, ˇsto smo iskoristili u ˇcetvrtom redu. Ako su neprekidne
transformacije (3.51) simetrija naˇse klasiˇcne teorije, tj. δS = 016 onda je
∂µ J µ = 0,
(3.54)
gde je Neter struja Jµ data sa
Jµ =
∂L
∂L
δ0 φr + Lδxµ =
δφr − T µ ν δxν ,
∂(∂µ φr )
∂(∂µ φr )
(3.55)
gde je:
T µν =
∂L
∂ν φr − Lδ µ ν .
∂(∂µ φr )
tenzor energije-impulsa. Definiˇsimo naelektrisanja sa
Z
a
Q = d3 xJ0a .
16
Opˇstije: Dejstvo poseduje simetriju ukoliko je
Z
δS =
d4 x∂µ K µ ,
pa je Neterina struja
∂L
δ0 φr + Lδxµ
∂(∂µ φr )
58
− Kµ .
(3.56)
Diferencirajmo naboje po vremenu:
Z
dQa
d
=
d3 xj0a
dt
dt
Z
∂j a
=
d3 x 0
∂t
Z
=
d3 xdiv~ja
I
=
ja · dS .
(3.57)
(3.58)
Oblast integracije je najˇceˇs´ce ceo prostor i j a → 0 kad r → ∞. Dakle, uz odgovaraju´cu
asimptotiku polja u beskonaˇcnosti dobijamo
dQa
=0,
dt
(3.59)
tj. naboji su konstante kretanja.
Ovim smo pokazali Neterinu teoremu: Ako je dejstvo invarijantno na neprekidne transformacije
(koje ˇcine n-parametarsku Lijevu grupu) onda postoji n veliˇcina (naboji) koji su konstante kretanja. Njih dakle ima onoliko koliko grupa simetrije ima generatora.
3.4
Fazna invarijantnost
Lagranˇzijan kompleksnog slobodnog polja
L = (∂µ φ† )(∂ µ φ) − m2 φ† φ ,
(3.60)
invarijantan je na fazne (U (1)) transformacije
φ → eiθ φ,
φ† → e−iθ φ† .
(3.61)
Ove transformacije nisu prostorno vremenske ve´c su tzv. unutraˇsnje jer x0 = x. Infinitezimalne
promene su
δφ = iθφ
δφ† = −iθφ†
δxµ = 0
(3.62)
pa je Neter struja
∂L
∂L
δφ +
δφ† − T µν δxν
†
∂(∂µ φ)
∂(∂µ φ )
µ †
= iθ∂ φ φ − iθ∂ µ φφ†
= iθ(φ∂ µ φ† − φ† ∂ µ φ) .
jµ =
59
(3.63)
Oˇcuvan naboj je
Z
Q = iq
d3 x(φ† ∂0 φ − φ∂0 φ) .
(3.64)
Kao ˇsto je poznata iz kursa Kvantne mehanike talasna funkcija je odredjena do na fazu.
Dirakov Lagranˇzijan
¯ µ γ µ − m)ψ
L = ψ(i∂
je takodje invarijantan na fazne transformacije
¯
ψ¯ → e−iθ ψ.
ψ → eiθ ψ
Neter struja je
∂L
∂L
δψ + δ ψ¯
¯
∂(∂µ ψ)
∂(∂µ ψ)
µ
¯ ψ) .
= −θ(ψγ
jµ =
jµ
(3.65)
Kako je θ konstantan parametar to ga moˇzemo odbaciti pa je struja
¯ µψ .
j µ = ψγ
(3.66)
Oˇcuvani naboj je
Z
Q=
3.5
d3 xψ † ψ .
(3.67)
Translaciona invarijantnost i tenzor energije impulsa
Pri translacijama
x0µ = xµ + µ
δφ = 0 ⇒ δ0 φ = −µ ∂µ φ
(3.68)
dejstvo slobodnog skalarnog polje je invarijantno. Neterina struja je
jµ = (−∂µ φ∂ν φ + Lgµν )ν = −Tµν ν .
(3.69)
Oˇcuvana veliˇcina je ˇcetvoroimpuls skalarnog polja
Z
ν
P = d3 xT 0ν .
(3.70)
Nulta komponenta impulsa je Hamiltonijan
Z
0
H=P =
d3 xT 00
Z
h1
1
m2 2 i
2
2
3
φ
=
d x (∂0 φ) + (∇φ) +
2
2
2
Z
=
d3 xH .
(3.71)
60
Implus slobodnog skalarnog polja je
i
Z
P =−
d3 x∂0 φ∂i φ .
(3.72)
Tenzor energije impulsa skalarnog polja je simetriˇcan mada u opˇstem sluˇcaju nije. O simetrizaciji
tenzora energije videti u zadatku 5.18.
3.6
Lorencova simetrija i uglovni moment
Pri Lorencovim transformacijama δxµ = ω µν xν polja se menjaju po
i µν φ0r (x0 = Λx) = Srs (ω)φs (x) = e− 2 ω Σµν φs (x) ,
(3.73)
rs
gde su Σµν generatori Lorencove grupe u prostoru komponenti polja17 . Totalna varijacija polja
je
i µν δφr (x) = − ω Σµν φs (x)
(3.74)
2
rs
pa je Neterina struja
∂L
δφr − T µ ν δxν
∂(∂µ φr )
i ∂L
ω νρ (Σµν )rs φs (x) − T µ ν ω νρ xρ
= −
2 ∂(∂µ φr )
i
1 νρ h
∂L
=
ω
−i
(Σµν )rs φs (x) + (xn T µ ρ − xn T µ ρ )
2
∂(∂µ φr )
1 νρ µ
ω M νρ .
=
2
jµ =
(3.75)
Oˇcuvane veliˇcine su
Z
d3 xM0νρ
Z
h
3
=
d x −i
Mνρ =
i
∂L
0
0
(Σµν )rs φs (x) + (xν T ρ − xρ T ν ) .
∂(∂0 φr )
M0i su generatori bustova a Mij generatori rotacija.
17
Ovo su generatori u sistemu mirovanja. U zadatku 8.5 pokazano je da je generator spinorskog polja
1
i(xµ ∂ν − xν ∂µ ) + σµν .
2
Prva dva sabirka su orbitalni moment dok je
Σµν =
1
σµν
2
spinski deo uglovnog momenta
61
(3.76)
3.7
Neterina teorema u analitiˇ
ckoj mehanici
U ovoj lekciji ´cemo generalnije ispitati svojstva simetrije mehaniˇckih sistema. Sistem je opisan
lagranˇzijanom odnosno dejstvom
Z t2
L(q(t), q(t),
˙
t)dt .
(3.77)
S=
t1
Ispitivanje simetrije sistema svodi se na ispitivanje ponaˇsanja dejstva pri transformacijama
simetrije. Pri kontinulanim18 transformacijama generalisane koordinate i vreme prelaze u nove,
primovane koordinate i vreme prema t → t0 (t), qi (t) → qi0 (t0 ). Mi ´cemo se ograniˇciti na infinitezimalne transformacije:
t → t0 = t + δt(t)
qi (t) → qi0 (t0 ) = qi (t) + δqi (t) .
(3.78)
Sa δt(t) oznaˇcili smo infinitezimalnu promenu vremena koja moˇze da zavisi od t, a sa δqi (t)
promene generalisanih koordinata.
Potraˇzimo promenu dejstva pri transformacijama (3.78). Dejstvo se menja zbog promene
koordinata i vremena. Takodje granice integracije se menjaju. Donja granica integracije nakon
smene postaje t01 = t0 (t1 ) odnosno infinitezimalno t01 = t1 + δt(t1 ). Sliˇcno vaˇzi i za gornju granicu
integracije. Promenu dejstva obeleˇzi´cemo sa δS i ona je razlika dejstva posle i pre transformacije:
δS = S 0 − S
Z
Z t02
0 0
0 0
0
0
L(q (t ), q˙ (t ), t )dt −
=
t01
t2
L(q(t), q(t),
˙
t)dt .
(3.79)
t1
U novom dejstvu S 0 napravi´cemo smenu promenljive: sa integracije po t0 pre´ci´cemo na integraciju
po t. Jasno je da je
d(δt) 0
(3.80)
dt = dt 1 +
dt
kao i da je
L(q 0 (t0 ), q˙0 (t0 ), t0 ) = L(q 0 (t + δt), q˙0 (t + δt), t + δt)
dL(q 0 (t), q˙0 (t), t)
= L(q 0 (t), q˙0 (t), t) +
δt
dt
dL(q(t), q(t),
˙
t)
= L(q 0 (t), q˙0 (t), t) +
δt .
(3.81)
dt
Pri prelazu iz drugog u tre´ci red uklonili smo primove na koordinatama i brzinama od kojih
zavisi lagranˇzijan u drugom sabirku jer radimo u prvom redu po malim veliˇcinama. Taj ˇclan je
infinitezimalno mala veliˇcina prvog reda zbog δt. Transformisano dejstvo je
Z t2 d(δt) dL 0
0
0
S =
dt 1 +
L(q (t), q˙ (t), t) +
δt
dt
dt
t1
Z t2 d(Lδt) =
dt L(q 0 (t), q˙0 (t), t) +
,
(3.82)
dt
t1
18
Transformacije mogu biti neprekidne (kontinualne) i diskretne.
62
s taˇcnoˇs´cu do prvog reda po malim veliˇcinama.
Ako uvedemo varijaciju forme koordinata sa
δ0 qi (t) = qi0 (t) − qi (t)
onda je
L(q 0 (t), q˙0 (t), t) = L(q(t), q(t),
˙
t) +
X ∂L
i
∂qi
δ0 q i +
X ∂L dqi δ0
.
∂
q
˙
dt
i
i
(3.83)
Primenom Lagranˇzevih jednaˇcina
imamo
∂L
d ∂L =
∂qi
dt ∂ q˙i
(3.84)
d X ∂L
L(q (t), q˙ (t), t) = L(q(t), q(t),
˙
t) +
δ0 q i
dt i ∂ q˙i
(3.85)
0
0
Prema tome infinitezimalna promena dejstva je
Z t2 h
i
d
d X ∂L
δS =
dt
(Lδt) +
δ0 q i
dt
dt i ∂ q˙i
t1
(3.86)
odnosno
Z
t2
i
X ∂L
dh
Lδt +
δ0 q i
δS =
dt
dt
∂ q˙i
t1
i
it2
h
X ∂L
= Lδt +
δ0 qi .
∂
q
˙
t1
i
i
(3.87)
Ako se dejstvo ne menja pri transformacijama (3.78), tj. ako je δS = 0 onda kaˇzemo da su te
transformacije simetrija naˇseg modela. Onda iz (3.87) sledi da je veliˇcina
Q = Lδt +
X ∂L
i
∂ q˙i
δ0 qi
(3.88)
konstanta kretanja. Dakle, svaka kontinualna transformacija na koju je dejstvo invarijantno daje
veliˇcine koje su konstante kretanja. Ovaj iskaz je Neterina teorema.
Varijacija forme koordinate δ0 qi (t) je povezana sa totalnom varijacijom koordinate δqi (t).
Lako se vidi
δqi (t) =
=
=
=
qi0 (t0 ) − qi (t)
qi0 (t0 ) − qi (t0 ) + qi (t0 ) − qi (t)
δ0 qi (t0 ) + qi (t + δt) − qi (t)
δ0 qi (t) + δtq˙i (t) .
(3.89)
Gornja formula je taˇcna u linearnom redu po varijacijama δt i δqi , zato je δ0 qi (t0 ) = δ0 qi (t).
63
Generalnije, dejstvo je invarijantno ukoliko je promena lagranˇzijana izvod po vremenu neke
funkcije
Z t2
t2
dδF
dt
(3.90)
δS =
= δF .
dt
t1
t1
Promena dejstva, tj. δF se nalazi eksplicitno zamenom transformacije (3.78) u dejstvo. Ako je
δF 6= 0 onda je veliˇcina
X ∂L
Q = Lδt +
δ0 qi − δF
(3.91)
∂
q
˙
i
i
konstanta kretanja.
Primer 1. Vremenske translacije su definisane sa
t0 = t + τ
qi0 (t0 ) = qi (t) ,
(3.92)
gde je τ konstanta. Ako Lagranˇzijan ne zavisi ekspicitno od vremena onda je
δS = 0 ,
(3.93)
tj. δF = 0. Iz δqi (t) = 0 sledi δ0 qi (t) = −τ q˙i (t). Oˇcuvana veliˇcina prema (3.91) je
Q = Lτ −
X
i
q˙i
X
∂L
τ = −τ
pi q˙i − L .
∂ q˙i
i
(3.94)
Konstantu −τ moˇzemo ignorisati pa je oˇcuvana veliˇcina generalisana energija.
Primer 2. Lagranˇzijan slobodnog izolovanog sistema ˇcestica koje intereaguju centralnim konzervativnim silama je
N
N
1 X
1X
2
mα r˙ α −
Vαβ (|rα − rβ |) .
(3.95)
L=
2 α=1
2 αβ=1
On je invarijantan na rotacije
t0 = t
r0α = rα + δθ × rα .
(3.96)
Opet je δF = 0. Oˇcuvana veliˇcina je
N
N
X
X
∂L
δ0 rα =
mα r˙ α · (δθ × rα )
∂ r˙ α
α=1
α
= δθ ·
N
X
mα rα × r˙ α
α
= δθ · L .
64
(3.97)
Ugao rotacije δθ je konstantan pa je moment impulsa L konstanta kretanja. Rotaciona simetrija
daje moment impulsa kao oˇcuvanu veliˇcinu.
Primer 3. Pokazati da je Lagranˇzijan iz Primera 2 invarijantan na translacije
t0 = t
r0α = rα + ,
(3.98)
gde je konstantan vektor i da je ˇcuvana veliˇcina impuls sistema.
Primer 4. Ispitati da li je model iz Primera 2 invarijantan na Galilejev bust. Pokaˇzite da je
veliˇcina mrc − tP konstanta kretanja.
Galilejev bust je zadat sa
t0 = t
r0α = rα − δVt .
(3.99)
Uzeli smo da je brzina δV kojom se kre´ce sistem S 0 infinitezimalano mala. Promena dejstva je
Z
h1 X
i
1X
δS =
dt
mα (˙rα − δV)2 −
Uαβ (|rα − rβ |)
2 α
2 αβ
Z
i
h1 X
1X
mα r˙ 2α −
Uαβ (|rα − rβ |)
−
dt
2 α
2 αβ
Z
X
= − dt
mα r˙ α · δV
α
Z
=
d X
dt
−
mα rα · δV .
dt
α
(3.100)
U gornjoj formuli promenu dejstva smo naˇsli u linarnom redu po brzini δV. Vidimo da je
promena dejstva integral od izvoda veliˇcine
X
δF = −
mα rα · δV
(3.101)
α
po vremenu. Dakle Galilejev bust je transformacija simetrije naˇseg dejstva. Dalje je δt = 0 i
δrα = −δVt pa je
N
N
X
X
∂L
δ0 rα +
mα rα · δV
Q =
∂ r˙ α
α=1
α=1
= −
N
X
mα r˙ α · δVt +
α=1
=
N
X
mα rα · δV
α=1
mrc − tP · δV
(3.102)
integral kretanja. Kako je δV proizvoljno to je veliˇcina mrc − tP konstanta kretanja.
U prethodna ˇcetiri primera analizirali smo vremenske translacije, rotacije, prostorne translacije
65
i bustove. Ove transformacije ˇcine Galilejeve transformacije. Vidimo da zbog invarijantnosti
dejstva na Galilejeve transformacija energija, impuls, moment impulsa i veliˇcina mrc − tP su
konstante kretanja.
Primer5. Lagranˇzijan ˇcestice u gravitacionom polju je
1
L = m(x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) − mgz .
2
(3.103)
Pokazati da je ovaj Lagranˇzijan nije invarijantan na proizvoljne translacije
x → x + 1
y → y + 2
z → z + 3 ,
(3.104)
ali da jeste invarijantan na translacije u xy ravni, tj. kad je 3 = 0.
Dakle, ako imate nepoznat sistem i ˇzelite da vidite ˇsta mu je energija, impuls ili momont impulsa
potrebno je da pogledate njegovo ponaˇsanje pri vremenskim translacijama, prostornoj translaciji
i rotacijama. Sliˇcno vaˇzi i za druge veliˇcine.
4
4.1
Kalibraciona (gradijentna, gauge) simetrija
ˇ
Cestica
u elektromagnetnom polju, lokalna simetrija
Neka se ˇcestica mase m i naelektrisanja q nalazi u spoljnjem elektromagnetnom polju opisanom
potencijalom Aµ = (ϕ, A). Lagranˇzijan je
r
v2
2
(4.1)
L = −mc 1 − 2 − qϕ + qv · A .
c
Generalisani impuls konjugovan poloˇzaju ˇcestice je
P=
∂L
mv
= p + qA = q
+ qA .
∂v
v2
1 − c2
Hamiltonijan se iz Lagranˇzijana dobija Leˇzandrovom transformacijom
p
H = P · v − L = (P − qA)2 c2 + m2 c4 + qϕ .
(4.2)
(4.3)
Gornji izraz moˇzemo prepisati u obliku
(H − qϕ)2
− (P − qA)2 = m2 c2
c2
(4.4)
koji je ekvivalentan relaciji koju imamo za slobodnu relativistiˇcku ˇcesticu
E2
− p2 = m2 c2 .
c2
66
(4.5)
Oˇcigledno da ako u (4.5) napravimo smenu
E → H − qϕ
p → P − qA
(4.6)
dobijamo (4.4). U kvantnoj teoriji Hamiltonijan i impuls su diferencijalni operatori (kada deluju
na talasne funkcije u koordinatnoj reprezentaciji)
H→i
∂
∂t
P → −i∇ .
Iz (4.6) sledi da pri prelasku iz slobodne teorije na teoriju koja opisuje relativistiˇcku ˇcesticu u
elektromagnetnom polju pravimo slede´cu smenu
)
∂
∂
∂
∂
→
+ iqϕ
i → i − qϕ
⇒
∂t
∂t
∂t
∂t
−i∇ → −i∇ − qA
∇ → ∇ − iqA
Kompaktno ova smena se moˇze zapisati u obliku
∂µ → ∂µ + iqAµ ≡ Dµ
(4.7)
gde je Dµ tzv. kovarijantni izvod.
ˇ
Sredingerova
jednaˇcina za slobodnu ˇcesticu je
i~
~2 2
∂
ψ=−
∇ψ.
∂t
2m
Ova jednaˇcina je invarijantna na globalne U (1) transformacije. Ako se ˇcestica nalazi u elektromagnetnom polju Hamiltonijan je
H=
(P − qA)2
+ qϕ
2m
pa jednaˇcina kretanja ima oblik
∂
(−i~∇ − qA)2
i~ ψ =
+ qϕ ψ
∂t
2m
∂
(~∇ − iqA)2
i~ ψ = −
+ qϕ ψ
∂t
2m
∂
(∇ − iqA)2
i − qϕ ψ = −
ψ,
∂t
2m
(4.8)
ˇsto je u skladu sa gore opisanom zamenom ∂µ → Dµ . Ova jednaˇcina ima ve´cu simetriju od
globalne fazne invarijantnosti. Ta simetrija je
ψ(t, ~r) → e−iqθ(t,~r) Ψ(t, ~r)
67
∂θ
ϕ→ϕ+
∂t
A → A − ∇θ
)
Aµ → Aµ + ∂ µ θ
Ovo je lokalna U (1) simetrija. Termin lokalna znaˇci da parametar θ nije konstanta kao u
sluˇcaju globalne simetrije, ve´c je funkcija vremena i poloˇzaja. Lokalana simetrija se naziva i
gauge, kalibracionom ili gradijentnom simetrijom.
Lokalna U (1) simetrija u Kvantnoj Elektrodinamici
Slobodni Dirakov Lagranˇzijan je
¯ µ ∂µ − m)ψ
L0 = ψ(iγ
(4.9)
i on je invarijantan na globalne U (1) transformacije
ψ → e−iθ ψ ,
(4.10)
gde je θ konstanta. Zamenom obiˇcnog izvoda sa kovarijantnim
Dµ = ∂µ + iqAµ
(4.11)
¯ µ Dµ − m)ψ − 1 Fµν F µν
L = ψ(iγ
4
(4.12)
slobodni Dirakov Lagranˇzijan postaje
gde smo dodali i kinetiˇcki ˇclan za elektromagnetno polje. Kroz kovarijantni izvod smo uveli
interakciju elektrona sa elektromagnetnim poljem (minimalno kuplovanje)
¯ µ ∂µ − m − qγ µ Aµ )ψ − 1 Fµν F µν .
L = ψ(iγ
4
(4.13)
Ovaj Lagranˇzijan je invarijantan na lokalne fazne transformacije
ψ → e−iqθ ψ
Aµ → Aµ + ∂ µ θ .
To ´cemo lako proveriti:
¯ iqθ ie−iqθ γ µ ∂µ ψ + qe−iqθ γ µ (∂µ θ)ψ − me−iqθ ψ
L → ψe
− qγ µ Aµ e−iqθ ψ − qγ µ (∂µ θ)e−iqθ ψ
1
−
Fµν F µν
4
¯ µ ∂µ − m − qγ µ Aµ )ψ − 1 F µν Fµν .
= ψ(iγ
4
(4.14)
Dakle, zamenom obiˇcnog izvoda sa kovarijantnim mi lokalizujemo globalnu simetriju i na taj
naˇcin uvodimo interakciju elektrona sa elektromagnetnim poljem. Ova lokalna simetrija je
Abelova. Ovakav vid interakcije se naziva minimalno kuplovanje.
68
4.2
Neabelova kalibraciona simetrija
Neka je
ψp
ψn
Ψ=
dublet SU (2) grupe, gde su ψp i ψn Dirakovi spinori protona odnosno neutrona. Lagranˇzijan
¯ µ ∂µ − m)Ψ
L = Ψ(iγ
je invarijantan na SU (2) globalne transformacije
Ψ → eiθ
a τa
2
Ψ.
(4.1)
Parametri θa su konstante. Ako u jednoj taˇcki prostor-vremena definiˇsemo ˇsta je p, a ˇsta n, onda
to vaˇzi u svakoj taˇcki prostor-vremena. Sada ´cemo da lokalizujemo ovu simetriju tj. parametri
transformacije θa = θa (x) postaju funkcije koordinata prostora Minkovskog. Polja materije se
sada transformiˇsu prema
Ψ(x) → U (θ(x))Ψ(x) = ei
θ a (x)τ a
2
Ψ(x) .
Lako se vidi da kinetiˇcki ˇclan u Lagranˇzijanu nije invarijantan na lokalne transformacije
¯ µ ∂µ Ψ → Ψγ
¯ µ U −1 ∂µ (U Ψ) = Ψ(U
¯ −1 γ µ ∂µ U )Ψ + Ψγ
¯ µ ∂µ Ψ .
Ψγ
Da bi postigli invarijantnost Lagranˇzijana obiˇcan izvod ∂µ zameni´cemo sa kovarijantnim izvodom
Dµ = ∂µ − igAaµ
τa
= ∂µ − igAµ .
2
Uveli smo tri gauge potencijala Aaµ , a = 1, 2, 3. Ima ih onoliko koliko ima grupa simetrije ima
generatora. Sa g smo oznaˇcili konstantu interakcije. Na ovaj naˇcin smo pove´cali simetriju. Cena
koju pla´camo je uvodjenje dopunskih stepeni slobode dok je korist da lokalizacijom simetrije
uvodimo interakciju. Ovo su prvi uradili Yang i Mills (Yang, Mills, Phys. Rev. 96 (1954) 191).
Da bi imali lokalnu invarijantnost Lagranˇzijana zahteva´cemo da se Dµ Ψ transformiˇse isto kao i
Ψ:
(Dµ Ψ)0 = U (θ)(Dµ Ψ) .
(4.2)
Ovaj zahtev da´ce nam zakon transformacije potencijala
∂µ Ψ0 − igA0µ Ψ0 = U (θ)(∂µ Ψ − igAµ Ψ)
(∂µ U )Ψ + U ∂µ Ψ − igA0µ U Ψ = U ∂µ Ψ − igU Aµ Ψ
∂µ U − igA0µ U = −igU Aµ
1
∂µ U + U Aµ .
A0µ U =
ig
(4.3)
Iz poslednjeg izraza uz
(∂µ U )U −1 = −U ∂µ U −1
69
(4.4)
dobijamo zakon transformacije potencijala pri lokalnim (gauge, kalibracionim) transformacijama
i
0
Aµ = U Aµ + ∂µ U −1 .
(4.5)
g
Za infinitezimalne lokalne transformacije je
U (θ) = ei
τa a
θ
2
i
≈ 1 + τ a θa
2
pa je
τ
A0bµ
b
2
τb
A0bµ
2
c
τ
A0cµ
2
b
i i a
i a a
i a a
i a a
bτ
a
=
1 + τ θ Aµ
1 − τ θ − · τ ∂µ θ 1 − τ θ
2
2
2
g 2
2
a b
b
b a
i τ τ b
1
τ
i τ τ a
= Abµ + θa
Aµ − Abµ
θ + τ b ∂µ θb
2
2
2
2
2
2g
c
c
1
τ
τ
= Acµ + iθa Abµ iεabc + τ c ∂µ θc
2
2
2g
(4.6)
odnosno19
1
A0cµ = Acµ + ∂µ θc − εcab θa Abµ
g
1
≡ Acµ + (Dµ θ)c .
g
(4.7)
Dakle infinitezimalna promena potencijala je
1
δAaµ = ∂µ θc − εcab θa Abµ .
g
(4.8)
Pri globalnim transformacijama potencijal se transformiˇsu prema
Ac0µ = Acµ − εcab θa Abµ ,
odnosno uvode´ci vektor Aµ = (A1µ , A2µ , A3µ )
A0µ = Aµ − θ × Aµ .
Ovo je vektorski zakon transformacije. Indeks unutraˇsnje grupe simetrije, a je vektorski indeks.
Pri lokalnim infinitezimalnim transformacijama varijacija potencijala δAaµ je zbir gradijentnog
ˇclana i ˇclana koji odgovara vektorskoj reprezentaciji SU (2) grupe.
19
U pridruˇzenoj reprezentaciji kovarijantni izvod deluje prema
Dµ θa = ∂µ θa + gabc Abµ θc .
70
Lagranˇzijan invarijantan na globalne SU (2) transformacije
¯ µ γ µ − m)Ψ
L0 = Ψ(i∂
(4.9)
pri lokazlizaciji simetrije prelazi u
a
τ
a
¯ iγ ∂µ − igA
L = Ψ
−m Ψ
µ
2
a
¯ µ Aaµ τ Ψ = L0 + Lint
= L0 + g Ψγ
2
µ
(4.10)
gde je interakcija (minimalni kapling)
Lint = g ψ¯i γ µ Aaµ
τija
ψj .
2
(4.11)
Verteks je
Kao ˇsto smo ve´c rekli Aaµ su gauge polja, njihov Lorencov indeks µ ukazuje da je njihov spin
s = 1. Oni su prenosioci interakcije. Jang i Mils su smatrali da su polja materije p i n ˇsto smo
ve´c rekli dok su gauge polja π mezoni
A3µ = π 0 ,
A1µ ± iA2µ
√
= π± .
2
(4.12)
Njihova interpretacija je bila pogreˇsna. Nukleoni ne intereaguju tako ˇsto razmenjuju π mezone,
ali princip lokalizacije simetrije odnosno konstrukcije gauge teorije je dobar.
Da bi Lagranˇzijan bio kompletan moramo dodati kinetiˇcki ˇclan za gauge polja. U sluˇcaju
abelove simetrije tenzor jaˇcine polja je definisan sa
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .
(4.13)
Kako ovo generalisati na neabelovu teoriju? Nadjimo komutator dva kovarijantna izvoda
[Dµ , Dν ] Ψ =
=
=
−
=
Dµ Dν Ψ − Dν Dµ Ψ
∂µ (Dν Ψ) − igAµ (Dν Ψ) − (µ ↔ ν)
∂µ ∂ν Ψ − ig(∂µ Aν )Ψ − igAν ∂µ Ψ − igAµ ∂ν Ψ
g 2 Aµ Aν Ψ − (µ ↔ ν)
−ig(∂µ Aν − ∂ν Aµ − ig [Aµ , Aν ])Ψ .
(4.14)
Tenzor jaˇcine polja definisa´cemo sa
[Dµ , Dν ] Ψ = −igFµν Ψ .
71
(4.15)
Iz posledenje relacije sledi
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ − ig [Aµ , Aν ] ,
(4.16)
odnosno
τa
τa
τa
τc
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − igiεabc Aaµ Abν .
2
2
2
2
Iz poslednjeg izraza sledi da su komponente jaˇcine polja
a
Fµν
a
Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gεabc Abµ Acν .
(4.17)
(4.18)
Nadjimo sada kako se Fµν transformiˇse pri kalibracionim transformacijama
i 0
Dµ , Dν0 Ψ0
g
1
= − (Dµ0 Dν0 − Dν0 Dµ0 )Ψ0
ig
1
= − U (Dµ Dν − Dν Dµ )Ψ = U Fµν Ψ .
ig
0
Ψ0 =
Fµν
(4.19)
Dakle jaˇcina polja se transformiˇse prema
0
Fµν
= U Fµν U −1 .
Sada ´cemo gornji zakon transformacije prepisati preko komponenti
a
b
τa a
τa a
0a τ
b τ
=
1 + i θ Fµν
Fµν
1−i θ
2
2
2
2
b
τa τb
b τ
b
= Fµν
+ iθa Fµν
,
2
2 2
b
c
b τ
b abc τ
= Fµν
− θa Fµν
ε
.
2
2
(4.20)
(4.21)
Dakle
0c
c
b
Fµν
= Fµν
− εcab θa Fµν
.
(4.22)
Tenzor jaˇcine polja se transformiˇse kao vektor; drugim reˇcima indeks gauge grupe u njegovoj
oznaci je pravi vektorski indeks. Napomenimo da se Fµν transformiˇse isto i pri lokalnim i pri
globalnim transformacijama. Polja materije transformiˇsu se po fundamentalnoj reprezentaciji
SU (2) grupe, tenzor jaˇcine polja po pridruˇzenoj reprezentaciji. Gauge potencijali se transformiˇsu
nestandardno (nelinearno) pri gauge transformacijama.
a
Izraz Fµν
F µνa je gauge invarijanta veliˇcina ˇsto se lako proverava:
Tr(Fµν F µν ) → Tr(U Fµν U −1 U F µν U −1 ) = Tr(Fµν F µν ) .
Koriˇs´cenjem
Tr(τ a τ b ) = 2δ ab
72
imamo
a
Tr(Fµν F µν ) = 2Fµν
F µνa
pa je Lagranˇzijan
a
¯ µ Dµ − m)Ψ − 1 Fµν
F µνa
(4.23)
L = Ψ(iγ
4
Za razliku od elektromagnetizma gde foton ne intereaguje sam sa sobom u neabelovoj gauge
teoriji postoji interakcija kalibracionog polja samog sa sobom. To sledi iz ˇclana
(∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + εabc Abµ Acν )2 .
Prethodno izlaganje se moˇze lako generalisati. Neka je G prosta grupa ˇciji su elementi
U = eiθ
aT a
.
Komutacione relacije su
a b
T , T = if abc T c .
Polja materije su u fundamentalnoj reprezentaciji grupe G:
ψ → ψ 0 = eiT
a θa
ψ ≡ Uψ .
(4.24)
Kovarijantni izvod je (kada deluje na polja materije)
Dµ = ∂µ − igAaµ T a .
(4.25)
(Dµ ψ)0 = U (Dµ ψ)
(4.26)
1
a
c
abc b c
θ Aµ .
A0a
µ = A µ + ∂µ θ − f
g
(4.27)
Iz zahteva
sledi zakon transformacije potencijala
Tenzor jaˇcine polja je definisan preko komutatora pa dobijamo
a
Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + f abc Abµ Acν .
73
(4.28)
Njegov zakon transformacije je
0a
a
c
Fµν
= Fµν
− f abc θb Fµν
.
(4.29)
¯ iγ µ ∂µ − igAa T a − m Ψ − 1 F a F µνa .
L=Ψ
µ
4 µν
(4.30)
Jang-Milsov Lagranˇzijana je
Iz gornjeg Lagranˇzijana variranjem po potencijalim dobijamo jednaˇcinu kretanja:
Dν F µνa = J µa ,
¯ µ T a ψ. U prethodnoj formuli kovarijantni izvod Dµ deluje na veliˇcinu koja
gde je sruja J µa = g ψγ
se transformiˇse po pridruˇzenoj reprezentaciji
Dµ F = (Dµ F )a T a = ∂µ F − i[Aµ , F ] .
(4.31)
(Dµ F )a = ∂µ F a + gf abc Abµ F c .
(4.32)
Lako se vidi da je
Takodje tenzor jaˇcine polja zadovoljava slede´ci identitet
Dµ Fνρ + cikl. = 0 .
Maseni ˇclan m2 Aaµ Aµa nije gauge invarijantna veliˇcina i zbog toga ga ne moˇzemo staviti u Lagranˇzijan.
5
Spontano naruˇ
senje simetrije
Ako je G simetrija fiziˇckog sistema ˇciji je hamiltonijan H onda mora vaˇziti
U (g)HU † (g) = H , g ∈ G ,
(5.1)
tj. hamiltonijan je invarijantan na transformacije ove grupe. Stanja su dobijena delovanjem
ˆ A na vakuum, tj. |Ai = Φ
ˆ A |0i . Pri transformacijama grupe G
skupa kreacionih operatora Φ
ˆ A se menja prema
operator Φ
ˆ AU † = Φ
ˆB .
UΦ
(5.2)
ˆ B delovanjem na vakuum daje stanje |Bi. Dakle
Operator Φ
|Bi =
=
=
=
ˆ B |0i
Φ
ˆ A U † (g)|0i
U (g)Φ
ˆ A |0i
U (g)Φ
U (g)|Ai
(5.3)
Simetrija Hamiltonijana se manifestuje u degeneraciji energetskih nivoa
EA = hA|H|Ai = hB|H|Bi = EB .
74
(5.4)
U prethodnom raˇcunu koristili smo pretpostavku da je osnovno stanja invarijantno
U |0i = |0i .
Ako vakuum nije simetriˇcan, tj. |0i =
6 U |0i ne´cemo imati degeneraciju nivoa, mada su Hamiltonijan H i Lagranˇzijan L invarijantni. U tom sluˇcaju kaˇzemo da je simetrija spontano naruˇsena.
Ovaj termin nije najpodesniji, jer simetrija postoji u hamiltonijanu odnosno lagranˇzijanu, ali
simetriju ne poseduje osnovno stanje.
Feromagnetizam je primer spontanog naruˇsenja simetrije. Ukoliko je temperatura iznad
tzv. Kirijeve tempereature, Tc feromagnetik je u paramagnetnoj fazi, dok je za T < Tc on u
feromagnetnoj fazi. Kada stavimo feromagnetik u dovoljno jako spoljaˇsnje magnetno polje B
magnetizacija M je paralelna spoljaˇsnjem polju. Gustina slobodne energije u blizini Kirijeve
temperature je
u(M) = (∂i M)2 + V (M) ,
gde je potencijal
V (M) = α1 (T )(M · M) + α2 (M · M)2 + . . . (αi > 0)
Gustina slobodne energije u i potencijala V su invarijantni na rotacije. Funkcija α1 je
α1 (T ) = α(T − TC ) ,
gde je α pozitivna konstanta. Minimum energije je odredjen sa
∂V
=0
∂Mi
odakle dobijamo
M(α1 + 2α2 M2 ) = 0 .
Ukoliko je temperatura iznad kritiˇcne T > TC osnovno stanje ima nultu magnetizaciju M = 0 .
U feromagnetnoj fazi, T < TC osnovno stanje je odredjeno sa
r
α1
M= −
2α2
Intenzitet magnetizacije osnovnog stanje je odredjen odnosom konstanti α1 i α2 dok je smer
proizvoljan ˇsto reflektuje SO(3) simetriju. Ali kada izberemo jedan smer za magnetizaciju
(pomo´cu spoljaˇsnjeg magnetnog polja) onda smo naruˇsili rotacionu simetriju. Bolji termin je
skrivena simetrija.
75
Simetrija vakuuma nije SO(3) ve´c SO(2).
Spomenu´cemo joˇs jedan primer iz nuklearne fizike. Jezgra poseduju rotacionu simetriju.
Nuklearna sila je rotaciono invarijantna, ali osnovno stanje kada je spin jezgra razliˇcit od nule
nije rotaciono invarijantno.
U |0i 6= 0
Qa |0i =
6 0
∃ hφj i0 6= 0
a
a
[Q , φj ] = itij φj ⇒ h|φi |i =
6 0
h0|φi (x)|0i = h0|φi (x)|0i = h0|eipx φi (0)e−ipx |0i = h0|φi (0)|0i = const
5.1
Spontano naruˇ
senje diskretne simetrije
Neka je gustina Lagranˇzijana data sa
L=
1
(∂µ φ)2 − V (φ) ,
2
(5.5)
gde je potencijal
µ2 2 λ 4
φ + φ .
(5.6)
2
4
Da bi potencijal bio ograniˇcen sa donje strane uze´cemo da je λ > 0 . Generalisani impuls je
V (φ) =
π=
∂L
= ∂0 φ
∂ φ˙
(5.7)
pa je Hamiltonijan
Z
1
(∂µ φ)2 + V (φ)]
2
Z
1
1
=
d3 x[ (π)2 + (∇φ)2 + V (φ)] .
2
2
H =
˙ 2−
d3 x[(φ)
Minimum energije je odredjen minimumom potencijala V (φ). Razlikujemo dva sluˇcaja:
a) µ2 > 0
76
(5.8)
U ovom sluˇcaju φ = 0 je minimum energije. Osnovno stanje je nedegenerisano.
b) Ako je µ2 < 0 onda za minimum dobijamo
∂V
= 0
∂φ
µ2 φ + λφ3 = 0
φ(µ2 + λφ2 ) = 0
r
φ=0 ∨ φ = ± −
µ2
λ
(5.9)
U kvantnoj teoriji postoje dva vakuum |0± i tako da
r
2
µ
ˆ
h0± |φ(x)|0
.
±i = v = ± −
λ
Simetrija hamiltonijana H i lagranˇzijana L je φ → −φ. Kada jedan od minimuma potencijala
izaberemo za osnovno stanje ono ne poseduje diskretnu simetriju. Hilbertovi prostori stanja
konstruisani nad ova dva vakuuma |0± i su ortogonalni20 . Uzmimo da je hφi = +v vakuum i
uvedimo novo polje
φ0 = φ − v
(5.10)
ˇcija je VOV nula. Smenom (5.10) u Lagranˇzijan dobijamo
1
λ
L = (∂φ0 )2 − (−µ2 )φ02 − λvφ03 − φ04
2
4
20
(5.11)
Moˇze se pokazati da je amplituda tuneliranja iz jednog u drugi vakuum
h0− |0+ i ∼ e−CV
gde je C konstanta a V zapremina prostora u kojoj razmatramo kvantnu teoriju. Kad V → ∞ gornja amplituda
teˇzi nuli. Ovo je suprotno kvantno mehaniˇckom analogonu kada bi potencijal bio
V (x) =
µ2 2 λ 4
x + x .
2
4
77
odakle vidimo da je polje φ0 postalo maseno polje; njegova masa je
p
m(φ0 ) = −2µ2 .
5.2
(5.12)
Spontano naruˇ
senje abelova simetrija
Neka je gustina Lagranˇzijana data sa
1
1
L = (∂µ φ1 )2 + (∂µ φ2 )2 − V (φ21 + φ22 ) ,
2
2
(5.13)
gde je potencijal
λ
µ2 2
(φ1 + φ22 ) + (φ21 + φ22 )2 .
2
4
Prethodna gustina Lagranˇzijana moˇze biti prepisana u obliku
V (φ21 + φ22 ) = −
L = (∂µ φ)† ∂ µ φ + µ2 φ† φ − λ(φ† φ)2
gde smo uveli komplesna polja. Lagranˇzijan (5.13) je invarijantan na SO(2) rotacije
0 φ1
cos α sin α
φ1
=
.
φ02
− sin α cos α
φ2
(5.14)
(5.15)
(5.16)
Gustina Lagranˇzijana (5.15) je invarijantna na U (1) transformacije
φ → e−iα φ
φ† → e+iα φ†
(5.17)
(5.18)
Ove dve grupe su lokalno izomorfne.
Stacionarne taˇcke potencijala nalazimo iz
∂V
= −µ2 φi + λ(φ21 + φ22 )φi = 0
∂φi
φi (−µ2 + λ(φ21 + φ22 )) = 0 .
Za µ2 > 0 minimum je u
φ21 + φ22 =
78
µ2
= v2
λ
(5.19)
Gornja jednaˇcina je invarijantna na rotacije. Izborom hφ1 i0 = v i hφ2 i0 = 0 za osnovno stanje
naruˇsili smo SO(2) simetriju. Sada ´cemo ispitati ˇcestiˇcni spektar teorije. Uvdimo smenu
φ01 = φ1 − v
hφ01 i = 0 .
Gustina Lagranˇzijana postaje
L=
λ 02
1
0
02
02
02 2
(∂φ01 )2 + (∂φ02 )2 − µ2 φ02
1 − λvφ1 (φ1 + φ2 ) − (φ1 + φ2 ) ,
2
4
odakle ˇcitamo mase primovanih polja:
m(φ02 ) = 0
m(φ01 ) =
√
2µ .
Polje φ01 je dobilo masu dok je polje φ02 bezmaseno. Bezmaseno polje naziva se Goldstonov bozon.
5.3
Goldstonova teorema
Neka je grupa G kontinualna globalna simetrija Lagranˇzijana, a H grupa simetrije osnovnog
stanja. Neka je n broj generatora G , a n0 broj generatora podgrupe H (n0 ≤ n). Usled
naruˇsenja simetrije u ˇcestiˇcnom spektru pojavljuje se n − n0 bezmasenih Goldstonovih bozona.
Gustina Lagranˇzijana
1
L = (∂µ φi )2 − V (φi )
(5.20)
2
je invarijantna na
φi → φ0i = φi + iεa Tija φj ,
a = 1, 2, . . . n
(5.21)
Kako je potencijal invarijantan to imamo
δV =
∂V a
∂V
δφi = iεa
T φj = 0
∂φi
∂φi ij
a = 1, 2, . . . n .
Iz poslednje relacije sledi
∂V a
T φj = 0 .
∂φi ij
(5.22)
Diferenciranjem poslednje relacije po φk i uzimanjem φi = vi gde je
∂V =0
∂φ φi =vi
imamo
∂ 2 V a
T vj = 0 .
∂φk ∂φi vi ij
Sa druge strane potencijal moˇzemo da razvijemo oko vakuuma
V (φi ) = V (vi ) +
1 ∂ 2 V (φi − vi )(φk − vk )
2 ∂φi ∂φk v
79
(5.23)
Matrica
∂ 2 V ∂φi ∂φk v
(M 2 )ik =
je kvadrat masene matrice. Izraz (5.23) postaje
2 a
Mki
Tij vj = 0
(5.24)
svojstveni problem matrice M 2 . Svojstveni vektori su V a = T a v. Oznaˇcimo generatore grupe G
na slede´ci naˇcin
H
z }| {
0
0
T 1 , . . . T n , T n +1 , . . . T n
|
{z
}
G
Jasno je da je
Tija vj = 0
a = 1, . . . n0 ;
Tija vj 6= 0
a = n0 + 1, . . . n .
Dakle M 2 ima n − n0 nultih svojstvenih vrednosti (V a 6= 0). To su Goldstonovi bozoni.
5.4
Higsov mehanizam
Higsov mehanizam je spontano naruˇsenje lokalne simetrije. Objasni´cemo ga na primeru lokalne
U (1) simetrije sa jednim kompleksnim poljem. Jang-Milsov Lagranˇzijan je
1
L = (Dµ φ)† Dµ φ + µ2 φ† φ − λ(φ† φ)2 − Fµν F µν ,
4
(5.25)
gde je kovarijantni izvod
Dµ φ = (∂µ − igAµ )φ ,
(5.26)
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .
(5.27)
a tenzor jaˇcine polja
Prethodni Lagranˇzijan je dobijen lokalizacijom globalne U (1) simetrije. On je invarijantan na
φ → φ0 = e−iθ φ
1
A0µ = Aµ − ∂µ θ .
g
(5.28)
Potencijal je
V (φ) = −µ2 φ† φ + λ(φ† φ)2 .
(5.29)
Ekstremne vrednosti potencijala su odredjeni sa
∂V
= −µ2 φ + 2λ(φ† φ)φ = 0
†
∂φ
∂V
= −µ2 φ† + 2λ(φ† φ)φ† = 0
∂φ
80
(5.30)
odakle za µ2 > 0 dobijamo da je miniumum potencijala u
φ† φ =
µ2
v2
=
.
2λ
2
(5.31)
Kompleksno polje moˇzemo zapisati preko realnih polja
φ1 + iφ2
√
.
2
φ=
(5.32)
Izabra´cemo jednu taˇcku za osnovno stanje ove teorije
v
h0|φ|0i = √
2
(5.33)
tj.
h0|φ1 |0i = v
h0|φ2 |0i = 0.
(5.34)
Osnovno stanje (5.34) nije U (1) invarijantno, tj. simetrija je spontano naruˇsena. Da bi ispitali
ˇcestiˇcni spektar teorije uvodimo nova polja
φ01 = φ1 − v
φ02 = φ2
(hφ0i i = 0)
ˇcija je vakummska oˇcekivana vrednost jednaka nuli. hφ0i i = 0 . Dakle
φ=
v + φ01 + iφ02
√
2
φ† =
v + φ01 − iφ02
√
.
2
(5.35)
Lako se vidi da je
(Dµ φ)† Dµ φ = [(∂µ + igAµ )φ† ](∂ µ − igAµ )φ
1
[(∂µ + igAµ )(v + φ01 − iφ02 )](∂ µ − igAµ )(v + φ01 + iφ02 )
=
2
1
[(∂µ φ01 )2 + (∂µ φ02 )2 − ig∂µ (φ01 − iφ02 )Aµ (v + φ01 + iφ02 ) +
=
2
+ igAµ (v + φ01 − iφ02 )∂ µ (φ01 + iφ02 ) + v 2 g 2 Aµ Aµ + . . .] .
(5.36)
Gustina Lagranˇzijana je
1
[(∂µ φ01 )2 + (∂µ φ02 )2 + igAµ (v + φ01 + iφ02 )∂µ (φ01 − iφ02 )]
2
v2g2
1
λ 02
02
02
02 2
0
+ ... +
Aµ Aµ − Fµν F µν − µ2 φ02
1 − λvφ1 (φ1 + φ2 ) − (φ1 + φ2 )
2
4
4
L =
odakle vidimo da je gauge polje postalo maseno
m(A) = vg .
√
Takodje dobili smo da je masa skalarnog polja (Higsov bozon) m(φ01 ) = µ 2 . Pre spontanog
naruˇsenja simetrije imali smo bezmaseno gauge polje Aµ (2 stepena slobode), i dva realna
81
skalarna polja ˇsto je ukupno ˇcetiri stepena slobode. Posle naruˇsenja simetrije polje Aµ je postalo
maseno pa ima tri stepena slobode. Pored toga imamo i primovana polja pa je ukupan broj
stepeni slobode 5. Ovo neslaganje broja stepeni slobode je prividno jer se ispostavlja da polje φ02
daje nulti doprinos matrici rasejanja. Ono nije fiziˇcki stepen slobode i moˇze biti odkalibrisano.
Naime postoji gauge transformacija posle koje to polje nestaje iz teorije. To se postiˇze u tzv.
unitarnom gaugu.
Parametrizujmo polje φ na slede´ci naˇcin (polarna parametrizacija)
iξ(x)
1
φ(x) = √ (v + H(x)) e v .
2
(5.37)
Za male oscilacije polja H(x) i ξ(x) se svode na φ01 i φ02 . Kalibraciona transformacija na polje i
potencijal deluje prema
φ → φ(x) = e−iθ(x) φ(x)
1
Aµ → A0µ = Aµ − ∂µ θ(x)
g
(5.38)
odnosno
H0 = H
ξ 0 = ξ − vθ
1
A0µ = Aµ − ∂µ θ(x) .
g
(5.39)
1
Ako umesto potencijala Aµ uvedem Bµ = Aµ − gv
∂µ ξ onda se vidi da je polje Bµ invarijantno
na gauge transformacije. Ako specijalno izaberemo da je gauge parametar θ = ξ/v dobijamo da
je
H0 = H
ξ0 = 0
A0µ = Bµ .
(5.40)
Ovim izborom gauge parametra fiksirali smo kalibracionu transformaciju. Preˇsli smo u tzv.
unitarni gauge
φ → φu (x) = e−
Aµ → Bµ = Aµ −
iξ(x)
v
1
φ(x) = √ (v + H(x))
2
1
∂µ ξ(x) .
gv
(5.41)
Kovarijantni izvod se transformiˇse kao i samo polje
iξ(x)
Dµ φ → (Dµ φ)u = e− v (Dµ φ)
= (∂µ − igBµ )φu .
82
(5.42)
Lagranˇzijan postaje
L = (∂µ φ†u + igBµ φ†u )(∂ µ φu − igB µ φu )
1
+ µ2 φ†u φu − λ(φ†u φu )2 − Gµν Gµν
4
1
1
µ2
λ
1
=
(∂µ H)2 + g 2 Bµ B µ (v 2 + 2vH + H 2 ) + (v + H)2 − (v + H)4 − Gµν Gµν
2
2
2
4
4
1
1
1
=
(∂µ H)2 − µ2 H 2 − (∂µ Bν − ∂ν Bµ )2 + g 2 v 2 Bµ B µ +
2
4
2
1 2
1
+
g Bµ B µ H(H + 2v) − λvH 3 − λH 4
(5.43)
2
4
gde je
Gµν = ∂µ Bν − ∂ν Bµ
√
(5.44)
Polje Bµ je postalo maseno m(B) = gv, Higsovo polje takodje ima masu m(H) = µ 2 dok je
polje ξ nestalo tj. odkalibrisano. Ono bi bilo Goldstonov bozon da je simetrija globalna. U
ˇzargonu se kaˇze da je gauge polje pojelo Goldstonov bozon i tako pove´calo broj stepeni slobode
za jedan, tj. postalo je maseno. Analiza broja stepeni slobode data je u slede´coj tablici
pre SNS
φ1
φ2
Aµ
ukupno
6
6.1
st. slobode
1
1
2
4
posle SNS st. slobode
H maseno
1
Bµ maseno
3
ukupno
4
Slabe interakcije
Uvod
Najpoznatiji slabi proces je raspad neutrona (β − raspad)
n → p + e− + ν¯e .
Fermi je predloˇzio Lagranˇzijan koji opisuje ovoj proces
GF
LF = − √ (¯
pγµ n)(¯
eγ µ ν) + h.c. ,
2
(6.1)
gde je GF = 10−5 m12 Fermijeva konstanta a mp je masa protona. Fermijev lagranˇzijan je proizod
p
dve vektorske struje. Ovaj raspad je tzv. semileptonski raspad jer u njemu pored leptona
uˇcestvuju i hadroni. U ovu klasu raspada spadaju i slede´ci raspadi
K + → µ + + ν µ , e+ + ν e
K + → π 0 + µ+ + νµ , π 0 + e+ + νe .
83
(6.2)
Postoje i ˇcisto leptonski slabi procesi. Primer je raspad miona:
µ− → e− + νµ + ν¯e .
Tre´ca grupa slabih procesa su hadronski procesi, npr.
K + → π+π0
(6.3)
i mnogi drugi.
Eksperimentalno je otkriveno da slabe interakcije naruˇsavaju parnost (Lee, Yang, Wu). To
znaˇci da lagranˇzijan slabih interakcija nije invarijantan na parnost. Uze´cemo da je Lagranˇzijan
interakcije opet proizvod dve naelektrisane struje
GF
L = − √ Jµ† J µ ,
2
(6.4)
ali zbog naruˇsenja parnosti struja J µ je razlika pravog vektora (V) i aksijalnog vektora (A).
Preciznije struja je zbir leptonske i hadronske struje
µ
µ
J µ = Jlep
+ Jhadr
.
(6.5)
µ
Jlep
= ν¯e γ µ (1 − γ5 )e + ν¯µ γ µ (1 − γ5 )µ ,
(6.6)
µ
Jhad
= u¯γ µ (1 − γ5 )d0 + c¯γ µ (1 − γ5 )s0 .
(6.7)
d0 = cos θc d + sin θc s
s0 = cos θc s − sin θc d ,
(6.8)
Leptonska struja je
dok je hadronska
s i d kvarkovi su pomeˇsani
gde je θc = 130 tzv. Kabibo ugao. On je fenomenoloˇski parametar. Ove struje nisu invarijantne
na parnost. Zbog oblika struja ovaj model se naziva V − A teorija.
Glavni nedostatak ova dva modela slabih interakcija je da nisu renormalizabilini i unitarni.
Unitarnost S matrice je povezana sa ˇcinjenicom da verovatno´ca da sistem iz poˇcetnog stanja
predje u sva mogu´ca stanja iznosi 1:
X
|hf |S|ii|2 = 1.
(6.9)
f
Odavde je
X
hi|S † |f ihf |S|ii = hi|S † S|ii = 1
f
odnosno S † S = I .
84
(6.10)
Renormalizabilnost je vezana za ponaˇsanje teorije na visokim energijama. Amplituda prelaza
za neki proces pored dijagrama bez petlji (’tree level diagrams’) ukljuˇcuje u viˇsim redovima
teorije perturbacije dijagrame sa petljama. U prvom redu teorije perturbacije pri rasejanje elektrona na Kulonovom potencijalu imamo jedan dijagram. U tre´cem redu (po konstanti interakcije
e) imamo sedam dijagrama koji ukljuˇcuju verteksnu korekciju, polarizaciju vakuuma i sopstvenu
energiju elektrona. Usled interakcije masa i naelektrisanje elektrona dobijaju korekcije. Polazni
parametri21 , su masa i naelektrisanje elektrona m0 i e0 . Zbog doprinosa dijagrama viˇseg reda
oni prelaze u fiziˇcke parametre
m = m0 + δm + · · ·
e = e0 + δe + . . . .
(6.11)
δe i δm su korekcije naelektrisanja i mase elektrona u prvom redu teorije perturbacije (jedna
petlja). Taˇcke obeleˇzavaju doprinose u viˇsim redovima teorije perturbacije. Polazni parametri se
nazivaju goli parametri. Sliˇcno se deˇsava i sa elektronom u kristalnoj reˇsetki. Usled interakcije
njegova masa se menja u odnosu na masu van reˇsetke. U teoriji polja dijagrami viˇseg reda su
divergentni. To znaˇci da su korekcije δm i δe divergentne. Da bi dobili konaˇcnu teoriju uzima se
da su goli parametri divergentni. Teorija je renormalizabilna ukoliko goli parametri teorije mogu
da apsorbuju beskonaˇcnosti i postanu fiziˇcki parametri. Naˇse razmatranje je pojednostavljeno.
Napomenimo da se i sama polja renormalizuju u teoriji.
Slede´ci model slabih interakcija koji je konstruisan je IVB ( intermedijalni vektorski bozoni)
model. On je napravljen po analogiji sa elektrodinamikom. Uvedeno je maseno vektorsko polje
W µ koje prenosi slabu interakciju. Lagranˇzijan interakcije je proizvod toga polja sa strujom
L = −gJ µ Wµ + c.c.
(6.12)
gde je g konstanta interakcije. Ovaj model ima bolje ponaˇsanje na visokim energijama od
prethodno opisana dva modela ali je i on nerenormalizabilan.
6.2
Vajlove jednaˇ
cine
U Vajlovoj (kiralnoj) reprezentaciji γ matrice su
0 I
0 σ
γ0 =
, γ=
,
I 0
−σ 0
dok je γ5 matrica
0 1 2 3
γ5 = iγ γ γ γ =
−I 0
0 I
.
Svojstvene vrednosti matrice γ5 su ±1; odgovaraju´ci projektori su
1
I 0
(1 − γ5 ) =
PL =
0 0
2
1
0 0
PR =
(1 + γ5 ) =
.
0 I
2
21
To su parametri koji figuriˇsu u lagranˇzijanu
85
(6.13)
(6.14)
Nazivamo ih levim odnosno desnim projektorom jer oni projektuju Dirakov spinor
ψL
ψ=
ψR
(6.15)
na levi odnosno desni spinor:
ψL
PL ψ =
0
0
PR ψ =
.
ψR
(6.16)
Levi i desni Vajlov spinor su svojstveni spinori operatora kiralnosti (matrica γ5 ). Dirakova
jednaˇcina u Vajlovoj reprezentaciji gama matrica je
∂
ψL
+ iσ · ∇
−m
i ∂t
=0,
(6.17)
∂
ψR
−m
i ∂t − iσ · ∇
odnosno
∂
i + iσ · ∇ ψR = mψL
∂t
∂
i − iσ · ∇ ψL = mψR .
∂t
(6.18)
Ako je m = 0 prethodne jednaˇcine su dekuplovane
∂
i + iσ · ∇ ψR = 0
∂t
∂
i − iσ · ∇ ψL = 0 ,
∂t
(6.19)
(6.20)
i nazivaju se Vajlovim jednaˇcinama. One su jednaˇcine za bezmasenu ˇcesticu spina 1/2.
Zadatak: Pokaˇzite da se levi(desni) spinor transformiˇsu po (1/2, 0) odnosno (0, 1/2) ireducibilnim reprezentacijama Lorencove grupe.
Partikularno reˇsenje za levi Vajlov spinor ψL je
ψL = φe−i(Et−p·x) .
(6.21)
Zamenom u jednaˇcinu (6.20) dobijamo E = ±Ep = ±|p|, tj. postoje pozitivno i negativno
energetska reˇsenja. Neka je pµ = (Ep , p). Pozitivno energetsko reˇsenje za levi spinor je
ψL = u(p)e−ip·x .
(6.22)
Impuls ovog stanja je p. Zamenom ovog partikularnog reˇsenja u (6.20) dobijamo
σ·p
u(p) = −u(p) .
|p|
86
(6.23)
1
22
Iz poslednje jednaˇ
cine vidimo da je helicitet ovog stanja λ = − 2 . Specijalno ako je p = pez
0
onda je u(p) =
, pa je partikularno reˇsenje
1
0 −ip·x
ψL =
e
.
(6.25)
1
U ˇcetvorokomponentnoj notaciji reˇsenje je
u2 (p)e−ip·x
 
0
1 −ip·x

=
.
0 e
0
(6.26)
Energija ovog reˇsenja je Ep = |p|, impuls pez a helicitet je negativan.
Analizirajmo sada negativno energetsko reˇsenje
Zamenom u (6.20) dobijamo
ψL = v(p)eip·x .
(6.27)
σ·p
v(p) = −v(p) .
|p|
(6.28)
0
Ako je p = p~ez onda je v(p) =
, pa je partikularno reˇsenje
1
0 ip·x
ψL =
e
.
1
(6.29)
U ˇcetvorokomponentnoj notaciji reˇsenje je
v1 (p)eip·x
 
0
1 ip·x

=
.
0 e
0
(6.30)
Energija ovog reˇsenja je E = −|p|, impuls −pez a helicitet je + 12 . Intepretacija ovog reˇsenja u
teoriji ˇsupljina je da odsustvo ovakvog reˇsenja je ekvivalentno sa prisustvom antiˇcestice energije
+|p|, impulsa p i pozitivnog heliciteta. Opˇste reˇsenje za levo Vajlovo polje je
Z
1 1
†
3
−ip·x
ip·x
ψL =
d pp
u2 (p)c2 (p)e
+ v1 (p)d1 (p)e
.
(6.31)
(2π)3/2
|p|
22
U Vajlovoj reprezentaciji matrica Σ je
Σ=
σ
0
87
0
σ
.
(6.24)
U okviru kvantne teorije polja interpretacija reˇsenja je jednostavnija. Jednoˇcestiˇcno stanje
c†2 (p)|0 > ima pozitivnu energiju, impuls p i negativan helicitet (levu polarizaciju). Stanje
d†1 (p)|0 > opisuje antiˇcesticu pozitivne enegije, impulsa p i pozitivnog heliciteta (desna polarizacija). Bezmasena levo polarisana ˇcestica je neutrino a desno polarisana antiˇcestica je antineutrino. Dakle, levo Vajlovo polje opisuje neutrino i antineutrino.
Partikularno reˇsenje za desni Vajlov spinor ψR je
ψR = φei(Et−p·x)
(6.32)
Zamenom u jednaˇcinu (6.19) dobijamo E = ±Ep = ±|p|, tj. postoje pozitivno i negativno
energetska reˇsenja. Pozitivno energetski desni spinor je
ψR = u(p)e−ip·x .
(6.33)
Zamenom ovog partikularnog reˇsenja u (6.19) dobijamo
σ·p
u(p) = u(p) .
|p|
(6.34)
1
Iz poslednje jednaˇcine vidimo
da je helicitet ovog stanja λ = + 2 jer je impuls ˇcestice p. Ako je
1
p = pez onda je u(p) =
, pa je partikularno reˇsenje
0
1 −ip·x
ψR =
e
.
(6.35)
0
U ˇcetvorokomponentnoj notaciji reˇsenje je
u1 (p)e−ip·x
 
0
0 −ip·x

=
.
1 e
0
(6.36)
Energija ovog reˇsenja je Ep = |p|, impuls pez a helicitet je pozitivan.
Za negativno energetsko reˇsenje
iz (6.19) dobijamo
ψR = v(p)eip·x .
(6.37)
σ·p
v(p) = v(p) .
|p|
(6.38)
1
1
Helicitet ovog
reˇsenja nije + 2 ve´c − 2 jer je impuls ovog stanja −p. Ako je p = pez onda je
1
v(p) =
, pa je partikularno reˇsenje
0
1 ip·x
ψR =
e
.
(6.39)
0
88
U ˇcetvorokomponentnoj notaciji reˇsenje je
v2 (p)eip·x
 
0
0 ip·x

=
.
1 e
0
Opˇste reˇsenje za desno Vajlovo polje je
Z
1
1 †
−ip·x
ip·x
3
p
u
(p)c
(~
p
)e
+
v
(~
p
)d
(p)e
.
ψR =
d
p
1
1
2
2
(2π)3/2
|p|
(6.40)
(6.41)
Ovo polje opisuje ˇcestice pozitivnog i antiˇcestice negativnog heliciteta.
Lako se vidi da su svojstvene vrednosti operatora kiralnosti 12 γ5 za stanja
u1 (p)e−ip·x , u2 (p)e−ip·x , v1 (p)eip·x i v2 (p)eip·x
respektivno data sa + 21 , − 12 , − 12 , + 12 . Za bezmasene ˇcestice operator kiralnost i helicitet se poklapaju.
6.3
Maseno vektorsko polje
Lagranˇzijan masenog vektorskog polja je
m2
1
Vµ V µ ,
L = − Fµν F µν +
4
2
(6.42)
gde je Fµν = ∂µ Vν − ∂ν Vµ . Variranjem ovog dejstva dobija se jednaˇcina kretanja
∂µ F µν + m2 V ν = 0.
(6.43)
Delovanjem sa ∂µ dobijamo da maseno vektorsko polje zadovoljava slede´ci uslov
∂ν V ν = 0 ,
(6.44)
i prema tome ono ima tri stepena slobode. Jednaˇcina kretanja je onda
( + m2 )V µ = 0 .
(6.45)
µ (k)e−ik·x ,
(6.46)
Partikularno reˇsenje ove jednaˇcine je
gde je µ (k) vektor polarizacije. Zamenom (6.46) u (6.44) dobijamo kµ µ (k) = 0 . Postoje tri
nezavisna stanja polarizacije µr (k), r = 1, 2, 3 koja zadovoljavaju relacije ortogonalnosti
µr (k)∗µs (k) = −δrs .
89
(6.47)
Polarizacioni vektori zavise od sistema reference. U sistemu u kome se ˇcestica kre´ce sa impulsom
k duˇz z−ose za vektore polarizacije moˇzemo izabrati
 
 
 
0
0
k
1
0


 , 2 (k) =   , 3 (k) = 1  0  .
1 (k) = 
(6.48)
0
1
m0
0
0
ωk
Ovi vektori zadovoljavaju uslov (6.44), ortogonalni su i deo su bazisa u prostoru Minkovskog.
ˇ
Cetvrti
vektor u bazisu je µ0 = k µ /m. Projekcija spina na z−osu vektora 3 (k) je 0. Sa vektora
1 i 2 pre´ci´cemo na
 
 
0
0



1 
1
1
1
√
+ (k) = √ 
,
(k)
=
(6.49)
−
2 i
2 −i
0
0
za koje je projekcija spina na z−osu ±1. Polarizacioni vektori zadovoljavaju relacije kompletnosti
3
X
~
µr (k)ν∗
r (k)
= −g
µν
r=1
kµkν
+
.
m2
(6.50)
Opˇste reˇsenje jednaˇcine (6.45) je
µ
V (x) =
3 Z
X
r=1
d3 k
1 µ
−ik·x
µ∗
†
ik·x
√
(k)a
(k)e
+
(k)b
(k)e
.
r
r
r
(2π)3/2 2ωk r
(6.51)
U kvantnoj teoriji polja ar (k) i br (k) su anihilacioni operatori za ˇcestice odnosno antiˇcestice,
dok su a†r (k) i b†r (k) odgovaraju´ce kreacioni operatori. Oni zadovoljavaju standardne bozonske
komutacione relacije.
Propagator je definisan sa
iDµν (x − y) = < 0|T V µ (x)V ν† (y)|0 >
Z
d4 k
=
iDµν (k)e−ik·(x−y) ,
4
(2π)
(6.52)
gde je
Dµν (k) =
7
7.1
i −g
µν
+
kµ kν
m2
k 2 − m2 + i
.
(6.53)
Standardni model elektroslabih interakcija
Leptonski sektor
Model slabih interakcija potiˇce od Gleˇsoua, Vajnberga i Salama. Polazna taˇcka u konstrukciji
modela elektroslabih interakcija je identifikacija grupe simetrije i odredjivanje reprezentacija u
90
kojima se nalaze polja. Za poˇcetak razmatra´cemo samo prvu generaciju leptona: elektron i
njegov neutrino. Uze´cemo, za poˇcetak da su i elektron i neutrino bezmaseni. Talasnu funkciju
elektrona e dekomponova´cemo u komponentu leve kiralnosti
1
eL = PL e = (1 − γ5 )e
2
i komponentu desne kiralnosti
1
eR = PR e = (1 + γ5 )e .
2
Dakle,
e = eL + eR .
(7.1)
One su svojstvene funkcije operatora kiralnosti
γ5 eL = −eL
γ5 eR = eR .
(7.2)
Elektronski neutrino ima levu kiralnost, PR νe = 0, PL νe = νe . Levi (desni) kiralni spinor pri
Lorencovim transformacijama ostaje levi (desni) spinor. Parnost levi spinor transformiˇse u desni
i obrnuto
ψR
0 I
ψL
ψL
ψL
.
(7.3)
=
→ γ0
=
ψL
ψR
ψR
ψR
I 0
Teorija koja je invarijantna na parnost sadrˇzi i levi i desni spinor. Takav je sluˇcaj sa kvantnom
elektrodinamikom. Medjutim, slabe interakcije nisu invarijantne na parnost. Zato se u standarnom modelu elektroslabih interakcija levi i desni spinori tretiraju razliˇcito. Grupa simetrije
standardnog modela elektroslabih interakcija je SU (2)L × U (1)Y . Levi elektron i elektronski
neutrino ˇcine dublet SU (2)L grupe:
ν
L= e
(7.4)
e L
dok je desni elektron eR singlet. Dakle, pri SU (2)L transformacijama dublet i singlet se transformiˇsu po
θa τ a
L → L0 = e i 2 L ,
eR → e0R = eR .
(7.5)
SU (2)L transformacija moˇze da eL transformiˇse u νe , ali ne moˇze u eR . Razliˇcito tretiranje leve i
desne komponente fermiona vezano je za naruˇsenje parnosti kod slabih interakcija. Grupa SU (2)
je tzv. grupa slabog izospina. On nema nikakve veze sa izospinom koji smo ranije uveli kod
jakih interakcija. Slabi izospin singleta je 0 dok je tre´ca komponeta slabog izospina neutrina 21 a
levog elektrona − 21 . Pored izospina uveˇs´cemo i tzv. slabi hipernaboj, Y . On je generator U (1)Y
grupe i definisan je preko naelektrisanja
Q = I3 +
91
Y
.
2
(7.6)
Za levi dublet hipernaboj je YL = −1 a za eR slabi hipernaboj je YR = −2. Gustina Lagranˇzijana
¯ µ ∂µ L + i¯
L0 = iLγ
eR γ µ ∂µ eR
µ
ν
= i ν¯e e¯L γ ∂µ e + i¯
eR γ µ ∂µ eR
eL
= i¯
νL γ µ ∂µ νL + i¯
eγ µ ∂µ e
(7.7)
je invarijantna na SU (2)L globalne transformacije i na U (1)Y transformacije
YL
L → eiβ 2 L
YR
eR → eiβ 2 eR .
(7.8)
Lokalizacijom SU (2)L × U (1)Y simetrije dobijamo leptonski sektor standardnog modela
¯ µ Dµ L + i¯
eR γ µ Dµ eR
Llep = iLγ
a
¯ µ (∂µ − ig1 YL Bµ − ig2 τ W a )L
= iLγ
2
2 µ
YR
+ i¯
eR γ µ (∂µ − ig1 Bµ )eR .
2
(7.9)
Uveli smo ˇcetiri gauge polja: Wµa , a = 1, 2, 3 i Bµ . Kinetiˇcki ˇclan za njih je
1 a µνa 1
Lgauge = − Fµν
F
− fµν f µν .
4
4
Ukljuˇcivanjem preostale dve generacije leptona imamo slede´ca polja materije
ν
νµ
,τ .
,µ ,L = τ
Lµ =
τ L R
µ L R τ
7.2
(7.10)
(7.11)
Higsov mehanizam
ˇ
Cestice
koje prenose slabu interakciju su masene ˇcestice jer su slabe interakcije kratko dometne
ˇ se neutrina tiˇce njihova masa nije nula, ali je vrlo mala. Mi ´cemo uzeti da je masa neutrina
Sto
nula. Elektron (a i mion i taon) nisu bezmasene ˇcestice. Za gauge bozone, Wµa , Bµ kao i
za elektron nismo mogli da stavimo odgovaraju´ce masene ˇclanove u Lagranˇzijan jer oni nisu
invarijantni. Kako ´ce ove ˇcestice dobiti masu?
Oba ova problema reˇsavamo Higsovim mehanizmom. Uvodimo dublet skalarnih polja
+
φ
φ=
,
(7.12)
φ0
gde je
φ1 + iφ2
√
2
φ
+
iφ
3
4
φ0 = √
.
2
φ+ =
92
Polja φ+ i φ0 su kompleksna. Hipernaboj ovog dubleta je Y (φ) = 1. Da bi naruˇsili SU (2)L ⊗
U (1)Y simetriju uveˇs´cemo Lagranˇzijan
Lsc = (Dµ φ)† (Dµ φ) + µ2 φ† φ − λ(φ† φ)2 ,
(7.13)
τa
Y
Dµ φ = ∂µ − ig1 Bµ − ig2 Wµa φ .
2
2
(7.14)
gde je kovarijantni izvod
Lagranˇzijan (7.13) je SU (2)L ⊗ U (1)Y invarijantan.
Ekstremne vrednosti potencijala odredjujemo iz
∂V
= (−µ2 + 2λ(φ† φ))φ = 0 .
∂φ†
(7.15)
Za µ2 > 0 minimum potencijala je
hφ† φi0 =
v2
µ2
=
.
2λ
2
Za vakuum ´cemo izabrati
1 0
< φ >0 = √
,
(7.16)
2 v
gde je v realan broj. Sada ´cemo odrediti simetriju vakuuma. Promena polja φ pri SU (2)L ⊗U (1)Y
je
φ → φ0 = ei
τ a θa
+i βY
2
2
φ
τ a θa
βY ≈ φ+i
+i
φ.
2
2
Infinitezimalna promena vakumma je
τ a θa
βY δφ0 = i
+i
φ0
2
2
i θ3 + βY
0√
θ1 − iθ2
=
v/ 2
2 θ1 + iθ2 −θ3 + βY
iv
θ1 − iθ2
= √
2 2 βY − θ3
(7.17)
(7.18)
Invarijantnost vakuuma δφ0 = 0 daje θ1 = θ2 = 0 i β = θ3 . Dakle vakuum je invarijantan na
transformaciju
e
iθ3
τ3
+ Y2
2
= eiθ3 Q .
(7.19)
Simetrija vakuuma je U (1)Q , fazna simetrija ˇciji je generator naelektrisanje. Ovo je vaˇzno jer
ˇzelimo da foton ostaje bezmasen. Potpuno ekvivalentno simetriju vakuuma vidimo iz slede´ceg
1
2
3
razmatranja. Generatori τ2 , τ2 , τ2 , Y2 naruˇsavaju simetriju vakuuma, jer npr.
1 0
τ1 φ0 = √
6= 0
(7.20)
2 v
93
itd. Ali, generator23 Q = I3 +
Y
2
ostavlja vakuum invarijantnim:
1 h 1 0
1 0 i 0
+
=0.
Qφ0 = √
0 1
v
2 2 0 −1
(7.21)
Ovo znaˇci da smo na nivou osnovnog stanja polaznu simetriju SU (2)L × U (1)Y naruˇsili do
U (1)Q . Generator ove simetrije je naelektrisanje; radi se o simetriji elektromagnetizma.
Sada ´cemo uvesti smenu
!
i
1 ξ 1 (x)+τ 2 ξ 2 (x)+(τ 3 −Y )ξ 3 (x)
τ
0
φ = e 2v
v+H(x)
√
2
= U −1
!
0
v+H(x)
√
2
,
(7.22)
tj. uveˇs´cemo nova realna polja, ξa , H. Kalibracionom transformacijom prelazimo u unitarni
gauge
!
0
φ → φ0 = U Φ = v+H(x)
√
2
Wµ0a
Bµ0
0
Wµa
→
= ...
Bµ →
L → L
eR → e0R .
(7.23)
U daljem ne´cemo pisati primove na poljima. Vidimo da su polja ξ a odkalibrisana. Nadjimo prvo
!
0
τ a a
Y
Dµ φ = ∂µ − ig1 Bµ − ig2 Wµ
v+H(x)
√
2
2
2
g2
2
1
1
−i 2 (Wµ − iWµ )(v + H)
= √
.
(7.24)
g1
g2
3
2 ∂µ H − i 2 (v + H)Bµ + i 2 Wµ (v + H)
Lagranˇzijan Lscal postaje
g2v2
1
(∂H)2 − µ2 H 2 + 2 Wµ+ W µ−
2
4
2
v
+
(g1 Bµ − g2 Wµ3 )2 + . . . ,
8
gde smo izostavili interakcione ˇclanove i uveli kompleksna polja
Lscal =
Wµ1 + iWµ2
√
2
Wµ1 − iWµ2
√
=
.
2
(7.25)
Wµ =
Wµ†
23
Sa generatora
τ1
τ2
τ3
Y
2 , 2 , 2 , 2
prelazimo na
τ1
τ2
1
3
2 , 2 , 2 (τ
94
+ Y ),
1
2 (τ3
(7.26)
−Y)
(−)
(+)
ˇ
Cesto
se koristi slede´ca notacija Wµ = Wµ , Wµ = Wµ† . Iz (7.25) vidimo da je masa Higsovog
√
bozona m = 2µ. Gauge bozoni W ± su postali takodje maseni
g2 v
MW =
.
2
Poslednji ˇclan u (7.25) zahteva dalju analizu. On moˇze biti prepisan u obliku
2 Bµ
v2
1
3 2
3
Bµ Wµ M
(g1 Bµ − g2 Wµ ) =
W µ3
8
2
(7.27)
gde je matrica M 2 data sa
v2
M =
4
2
g12
−g1 g2
−g1 g2
g22
.
(7.28)
2
Svojsvtene vrednosti ove matrice su λ1 = 0 i λ2 = v4 (g12 +g22 ). Rotacijom za ugao θW (Vajnbergov
ugao) ova matrica se dijagonalizuje. Uvedimo
µ
µ cos θW − sin θW
A
B
,
(7.29)
=
µ3
Zµ
W
sin θW cos θW
gde su Z µ i Aµ nova polja. Lako se vidi da je
2
cos θw − sin θw
−g1 g2
g1
cos θW sin θW
sin θw cos θw
−g1 g2
g22
− sin θW cos θW
A B
=
,
B C
(7.30)
gde je
A = (g1 cos θW − g2 sin θW )2 ,
1
B = −g1 g2 cos(2θW ) + (g22 − g12 ) sin(2θW ) ,
2
C = (g1 sin θW + g2 cos θW )2 .
U dijagonalnom bazisu (7.27) postaje
0
1
Aµ Zµ
0
2
µ
0
A
.
v2
2
2
Zµ
(g1 + g2 )
4
Lako se nalazi da je (B = 0)
tan θW =
g1
g2
odnosno
g1
sin θW = p 2
g1 + g22
g2
cos θW = p 2
.
g1 + g22
95
(7.31)
(7.32)
Fiziˇcka polja su
−g1 Bµ + g2 Wµ3
p
g12 + g22
g2 Bµ + g1 Wµ3
p
=
.
g12 + g22
Zµ =
Aµ
(7.33)
Dakle
1
g22 v 2 + µ− 1 v 2 (g12 + g22 )
2
2 2
Lscal = (∂H) − µ H +
Wµ W +
Zµ Z µ + . . .
(7.34)
2
4
2
4
Vidimo da je masa Z bozona
p
v g12 + g22
MZ =
(7.35)
2
dok je foton Aµ bezmasen. Rezimirajmo: Naelektrisani gauge bozoni W ± , neutralni gauge bozon
Z 0 i Higs su dobili mase. Foton je ostao bezmasen (elektromagnetna gauge simetrija je ostala
posle naruˇsenja simetrije). Polja ξ a (x) su odkalibrisana.
7.3
Interakcija leptona sa gauge poljima
Interakcija leptona sa gauge poljim je sadrˇzana u (7.9). Interakcioni ˇclan je
a
¯ µ i g1 Bµ − ig2 τ W a L + i¯
eR γ µ ig1 Bµ eR
Lint = iLγ
2
2 µ
√
+ 3
µ g1
g2
2W
W
νe
µ
µ
√
= − ν¯e e¯ L γ
Bµ −
3
−
e L
−Wµ
2Wµ
2
2
− g1 e¯R γ µ Bµ eR
g1
g1
= − (¯
ν γ µ (1 − γ5 )νBµ + e¯γ µ (1 − γ5 )eBµ ) − e¯γ µ (1 + γ5 )eBµ
4
2
√
g2 µ
3
µ
+
+
ν¯γ (1 − γ5 )νWµ + 2¯
ν γ (1 − γ5 )eWµ
4
√
+
2¯
eγ µ (1 − γ5 )νWµ− − e¯γ µ (1 − γ5 )eWµ3 .
(7.36)
Dalje je potrebno polja Bµ i Wµ3 izraziti preko fiziˇckih polja Aµ i Z µ . Iz (7.36) sledi da je
interakcija leptona sa gauge poljima
Lint = Lnael.str + Lneutr.str. + Lem .
(7.37)
Sva tri sabirka u prethodnom izrazu su proizvod gustine struje i gauge potencijala. Prvi sabirak
je
g2
Lnael.str = √ (¯
ν γ µ (1 − γ5 )eWµ+ + e¯γ µ (1 − γ5 )νWµ− ) .
(7.38)
2 2
Kako postoji promena naelektrisanja duˇz fermionske linije u verteksu struja je naelektrisana.
Naravno ona je kuplovana sa naelektrisanim gauge bozonima. Iz (7.38) vidimo da je eνe W −verteks
ig2 µ
√ γ (1 − γ5 ) .
2 2
96
(7.39)
U najniˇzem redu teorije perturbacije dijagram za rasejanje
e− ν¯e → µ− ν¯µ
je
Amplituda za ovaj proces u najniˇzem redu teorije perturbacije je
M=
ig 2
2
)
−i(g µν + kµ kν /MW
√2 v¯(p1 )γµ (1 − γ5 )u(p2 )¯
u(q1 )γν (1 − γ5 )v(q2 )
.
2
2
k − MW
2 2
(7.40)
2
kapling postaje
U nisko-energetskom limesu, k 2 MW
g 2 1
√2
.
2
2 2 MW
(7.41)
Sa druge strane u okviru ˇcetvorofermionske V − A teorije (6.4) dijagram za ovaj proces je dat
na desnoj strani slike
pa je
odakle je
pa je
g 2 1
GF
√2
=√
2
2 2 MW
2
(7.42)
√
g22
2
= GF MW
/ 2
8
(7.43)
√
v = (GF 2)−1/2 ≈ 250GeV.
(7.44)
97
Wµ3 preko fiziˇckih polja Aµ i Zµ postaje
q
1
g12 + g22 ν¯γ µ (1 − γ5 )νZµ
Lneutr.str =
4
g2
+ p 21 2 e¯γ µ (1 + γ5 )eZµ
2 g1 + g2
g2 − g2
+ p1 2 2 2 e¯γ µ (1 − γ5 )eZµ ,
4 g1 + g2
(7.45)
odnosno
g2 µ
e¯γ (−1 + 4 cos2 θW + γ5 )e + ν¯γ µ (1 − γ5 )ν Zµ .
(7.46)
4 cos θW
U prethodnom izrazu u struji nema promene naelektrisanja pa se ona naziva neutralnom.
Kuplovana je sa neutralnim Z bozonom. Neutralne struje su eksperimentalno otkrivene. Npr
proces e− νe → e− νe ”ide” preko neutralne struje:
Dobili smo nove vertekse: eeZ−verteks je
ig2 µ
γ (−1 + 4 cos2 θW + γ5 ,
4 cos θW
(7.47)
a νe νe Z−verteks je
ig2 µ
√ γ (1 − γ5 ) .
4 2
Poslednji sabirak u interakcionom lagranˇzijanu leptona sa gauge poljima
g1 g2
Lem = − p 2
e¯γ µ eAµ
2
g1 + g2
98
(7.48)
(7.49)
je kapling elektromagnetne struje e¯γ µ e sa Aµ . Ovo potvrdjuje da je Aµ stvarno foton. Takodje
vidimo da je naelektrisanje elektrona
g1 g2
.
e= p 2
g1 + g22
(7.50)
Zadatak: Pokazati da se fiziˇcka polja W ± , Z 0 , A pri U (1)Q transformiˇsu prema
7.4
δWµ± = ±θ3 Wµ±
1
δAµ =
∂µ (2θ3 )
e
δZµ = 0 .
(7.51)
−m¯
ee = −m(¯
eL eR + e¯R eL )
(7.52)
Mase leptona
Maseni ˇclan za elektron
nismo mogli da stavimo u Lagranˇzijan jer on nije invarijantan na SU (2)L transformacije. Zahvaljuju´ci spontanom naruˇsenju lokalne simetrije tj. Higsovim mehanizamom gauge bozoni
W ± , Z 0 su dobili mase. Takodje isti mehanizam ´ce kreirati mase elektrona, miona i taona.
Lagranˇzijanu SM doda´cemo Jukavin ˇclan
Ge
¯
eR (Φ† L) + (LΦ)e
LJuk = − √ [¯
R )]
2
koji je SU (2)L ⊗ U (1)Y invarijantan. Posle naruˇsenja simetrije dobijamo
i
νL
Ge h
0
LJuk. = −
e¯R 0 v + H
+ ν¯L e¯L
e
eL L
v+H R
2
Ge
= − (v + H)(¯
eL eR + e¯R eL )
2
Ge
= − (v + H)¯
ee .
2
(7.53)
(7.54)
Iz poslednjeg izraza vidimo da je mase elektrona
me =
vGe
2
dok je neutrino bezmasen24 . Pored toga dobili smo i interakciju elektrona sa Higsom. Ge je reda
veliˇcine 10−6 i to je vrlo mali kapling.
24
Danas znamo da ovo nije taˇcno.
99
7.5
Rezime
Naruˇsenjem simetrije SU (2)L × U (1)Y do elektromegnetne U (1)Q gauge simetrije gauge bozoni
W ± , Z 0 dobili su mase
g2 v
2p
v g12 + g22
=
,
2
MW ± =
MZ
(7.55)
dok je foton ostao bezmasen
√ jer je preostala elektromagnetna gauge simetrija. Higs (spin=0) je
takodje masen m(H) = 2µ. Takodje elektron je dobio masu, dok mu je naelektrisanje
g1 g2
.
e= p 2
g1 + g22
(7.56)
Kombinuju´ci prethodne formule dobijamo
MW
MZ
= cos θW
e
cos θW
e
g2 =
sin θW
2
MW
=1.
ρ =
MZ2 cos2 θW
g1 =
(7.57)
Eksperimentalni rezultat za vrednost Wajnbergovog ugla je
sin2 θW = 0, 23120 ± 0, 0012 ⇒ θW ≈ 300 ,
(7.58)
dok je parametar ρ = 0, 998 ± 0, 005. Masa W ± bozona je
MW = 2−5/4 √
1
37GeV
e
=
≈ 80GeV
sin θW
GF sin θW
(7.59)
dok je masa Z bozona
MW
≈ 90GeV .
(7.60)
cos θW
Poˇcetni Lagranˇzijan za leptone sadrˇzi slede´ce konstante: gauge kapling konstant g1 , g2 ; paramretre potencijala µ2 , λ i Jukava kaplinge Ge , Gµ , Gτ . Umesto njih moˇzemo uvesti
MZ =
e, sin θW , MW , MH , me , mµ , mτ .
(7.61)
Gauge bozoni W ± , Z 0 su otktiveni u CERN-u (1984, K. Rubia, S. Vandermer) u sudarima
proton-antiproton. Higsov bozon je otkriven 2012. godine u CERN-u. njegova masa je 125GeV.
100
8
Elektroslaba interakcija kvarkova
Dirakove spinore kvarkova ´cemo dekomponovati na leve i desne:
u = uL + uR
d = dL + dR
....
t = tL + tR .
(8.1)
Leve komponente ˇcine slabe izospinske dublete dok desne komponente kvarkova su singleti
SU (2)L grupe. Kvarkovi prve generacije su
uL
QL1 =
, uR , dR .
(8.2)
dL
Preostale dve generacije kvarkova su
c
QL2 = L , cR , sR ,
sL
t
QL3 = L , tR , bR .
bL
(8.3)
(8.4)
Hipernaboj dubleta je
2 1 1
Y (QL ) = 2(Q − I3 ) = 2
−
=
3 2
3
(8.5)
dok je hipernaboj singleta
Y (uR ) = Y (cR ) = Y (tR ) =
4
3
Y (dR ) = Y (sR ) = Y (bR ) = −
2
.
3
(8.6)
Uveˇs´cemo slede´ce oznake:
uR1 = uR , uR2 = cR , uR3 = tR
dR1 = dR , dR2 = sR , dR3 = bR
i
uLm
QLm =
, m = 1, 2, 3 .
dLm
Kvark sektor lagranˇzijana standardnog modela je
3
X
τ a Wµa Y (QLm )
µ
¯
Lq = i
QLm γ ∂µ − ig1
Bµ − ig2
QLm
2
2
m=1
+ i
3
X
m=1
3
X
u¯Rm γ
µ
(8.7)
(8.8)
Y (uR ) Bµ uRm
∂µ − ig1
2
Y (dR ) µ
¯
+ i
dRm γ ∂µ − ig1
Bµ dRm .
2
m=1
101
(8.9)
8.1
Mase kvarkova
Ako je
ξ
ξ= 1
ξ2
(8.10)
dublet SU (2) grupe onda je i ξ˜ = iσ2 ξ ∗ takodje dublet SU (2) grupe.
Dokaz: Spinor ξ se transformiˇse po dvodimenzionoj reprezentaciji
i
ξ0 = U ξ = e 2 σ
a θa
ξ.
(8.11)
Lako se vidi da Paulijeve matrice zadovoljavaju
σ2~σ ∗ σ2 = −~σ
(8.12)
iσ2 U ∗ (−iσ2 ) = U .
(8.13)
odakle sledi da je
Spinor ξ˜ se transformiˇsena slede´ci naˇcin
ξ˜0 = iσ2 ξ 0∗ = iσ2 U ∗ ξ ∗
= iσ2 U ∗ (−iσ2 )ξ˜
= U ξ˜ .
(8.14)
Konjugovana reprezentacija od dvodimenzione reprezentacije grupe SU (2) je ekvivalentna sa
samom dvodimenzionom reprezentacijom. Higsov dublet
+
φ
(8.15)
φ=
φ0
se transformiˇse po 2-dimenzionoj IR SU (2)L grupe. Medjutim, i
+ ∗ 0 φ¯
φ
˜
=
φ = iσ2
−φ−
φ0
(8.16)
˜ = −1.
je takodje dublet. Hipernaboji su Y (φ) = 1, Y (φ)
Kvarkovi dobijaju masu posle spontanog naruˇsenja simetrije. Za poˇcetak razmatrajmo samo
prvu generaciju kvarkova. Jukavin Lagranˇzijan je
Gd ¯
Gu
˜ † Q) + (Q
¯ Φ)u
˜ R] − √
¯
uR (Φ
[dR (Φ† Q) + (QΦ)d
LJuk = − √ [¯
R] ,
2
2
(8.17)
uL
Q=
.
dL
(8.18)
gde je
Ovaj ˇclan je invarijantan na SU (2)L ⊗ U (1)Y transformacije.
Zadatak: Da li je uR (Φ† Q) invarijantan na SU (2)L , U (1)Y , U (1)Q transformacije?
102
Posle spontanog naruˇsenja simetrije (8.17) prelazi u
i
uL
Gd h ¯
0
¯
d
LJuk = −
dR 0 v + H
+ u¯L dL
v+H R
dL
2
v+H
uL i
Gu h
u¯L d¯L
−
uR + u¯R v + H 0
0
dL
2
Gd
Gu
uL uR + u¯R uL ) − √ (v + H)(d¯L dR + d¯R dL )
= − (v + H)(¯
2
2
1
¯ .
= − (v + H)(Gu u¯u + Gd dd)
2
(8.19)
Iz (8.19) vidimo da su u i d kvarkovi postali maseni:
mu =
vGu
vGd
, md =
.
2
2
(8.20)
Takodje imamo interakciju Higsovog bozona sa kvarkovima. Na sliˇcan naˇcin se moˇze dobiti i
masa neutrina.
Sada ´cemo razmatrati sve tri generacije kvarkova. Jukavin lagranˇzijan je
1 X (u) ¯ ˜
†
˜
Gmn (QLm Φ)uRn + G(u)∗
LJuk = − √
u
¯
(
Φ
Q
)
Rn
Lm
mn
2 m,n
1 X (d) ¯
(d)∗ ¯
Gmn (QLm Φ)dRn + Gmn
dRn (Φ† QLm ) ,
(8.21)
−√
2 m,n
(u)
(d)
gde su Gmn i Gmn kompleksni brojevi. Gornji lagranˇzijan poseduje SU (2)L ⊗ U (1)Y simetriju.
Posle spontanog naruˇsenja simetrije Jukavin lagranˇzijan postaje
X
H
(u)∗
LJuk = −
u¯Lm M(u)
u
+
u
¯
M
u
1
+
Rn
mn Rn
mn Lm
v
m,n
X
H
(d)∗
¯
d¯Lm M(d)
d
+
d
M
−
d
1
+
,
(8.22)
Rn
mn Rn
mn Lm
v
m,n
gde je
(u)
(d)
vGmn
vGmn
=
, M(d)
.
(8.23)
mn =
2
2
Masene matrice M(u) i M(d) nisu dijagonalne. To znaˇci da kvark stanja uLm , uRm , . . . nisu
masena stanja kvarkova ve´c gauge stanja.
Proizvoljna matrica M se moˇze dijagonalizovati pomo´cu tzv. biunitarne transformacije
†
S MT = M, gde su S i T unitarne matrice a M dijagonalna matrica. Lako se vidi da je
MM† = SM M † S † = SM 2 S † i M† M = T M 2 T † . Matrice M† M i MM† su hermitske i
pozitivne. Dakle,
M(u)
mn
M(u) = S (u) M (u) T (u)†
M(d) = S (d) M (d) T (d)† .
103
(8.24)
Matrice M (u) i M (d) su dijagonalne sa pozitivnim svojstvenim vrednostima. Jukavin lagranˇzijan
je
H
(u)
(u) (u)†
(u)
(u) (u)†
LJuk = − u¯Lm (S M T )mn uRn + u¯Rm (T M S )mn uLn 1 +
v
H
. (8.25)
− d¯Lm (S (d) M (d) T (d)† )mn dRn + d¯Rm (T (d) M (d) S (d)† )mn uLn 1 +
v
Sa polja uL , uR , . . . pre´ci´cemo na nova polja
T (u)† uR = u0R , S (u)† uL = u0L
T (d)† dR = d0R , S (d)† dL = d0L
(8.26)
gde je
 0
 0
uL
dL
0
0
0 


uL = cL , dL = s0L 
t0L
b0L
(8.27)
i analogno za desne komponente. Jukavin lagranˇzijan izraˇzen preko primovanih polja je
H
LJuk = − u¯0L M (u) u0R + u¯0R M (u) u0L 1 +
v
H
− d¯0L M (d) d0R + d¯0R M (d) d0L 1 +
,
(8.28)
v
gde su


mu 0
0
M (u) =  0 mc 0  ,
(8.29)
0
0 mt


md 0
0
M (d) =  0 ms 0 
(8.30)
0
0 mb
dijagonalne masene matrice. Primovana stanja su masena stanja kvarkova. Jukavin lagranˇzijan
je
LJuk
8.2
H
0 0
0 0
¯
¯
= −(mu u¯ u + md d d + · · · + mb b b ) 1 +
.
v
0 0
(8.31)
Naelektrisana kvark struja
Iz (8.9) se lako izdvaja deo Lagranˇzijana koji je linearan po naelektrisanim gauge bozonima
W (±) . Oni su kuplovani sa naelektrisanom strujom. Taj ˇclan je
g2 µ
(+)
µ
(−)
¯
Lnael.str = √ u¯Lm γ dLm Wµ + dLm γ uLm Wµ
2
g2 0
= √ u¯Lm γ µ (S (u)† S (d) )mn d0Ln Wµ(+) + d¯0Lm γ µ (S (d)† S (u) )mn u0Ln Wµ(−)
2
g2 0 µ 0 (+) ¯0 µ † 0 (−) = √ u¯L γ V dL Wµ + dL γ V uL Wµ
,
(8.32)
2
104
gde smo uveli 3 × 3 matricu V = S (u)† S (d) . Ova matrica je unitarna i odgovorna je za promenu
tipa kvarka pri interakciji sa naelektrisanim W bozonima. Matrica V je poznata kao KabiboKobajaˇsi-Maskava matrica (CKM matrica). U naˇsim oznakama primovana stanja su masena
stanja kvarkova i vidimo da su donje stanja donjih kvarkova pomeˇsana. Ova matrica se odredjuje
iz eksperimenta a ne iz teorije.
su parametri
Unitarna n × n matrica je odredjena sa n2 realnih brojeva. Od njih n(n−1)
2
n(n+1)
rotacija, a preostalih 2 su faze. Medjutim, zahvaljuju´ci faznoj simetriji kvark polja 2n − 1
faza moˇze biti apsorbovana u fazne rotacije kvark polja. Dakle, matrica V je odredjena sa (n−1)2
parametara. Od njih (n−1)(n−2)
su faze a ostalo rotacioni uglovi.
2
Ako razmatramo samo dve generacije kvarkova matrica V
cos θc eiα
sin θc eiβ
V =
(8.33)
− sin θc ei(α+γ) cos θc ei(β+γ)
odredjena je sa tri faze i jednim uglom. Tri faze eliminiˇsemo faznim rotacijama kvarkova pa je
CKM- matrica
cos θc sin θc
(8.34)
V =
− sin θc cos θc
odredjena sa jednim parametrom, Kabibo uglom θc .
Interakcija kvarkova i naelektrisanih bozona je odredjena sa
g2 Lnael.str = √ u¯γ µ (1 − γ5 )(cos θc d + sin θc s)
2
+ c¯γ µ (1 − γ5 )(− sin θc d + cos θc s) Wµ+ + c.c. .
(8.35)
Kada ne bi bilo meˇsanja d i s kvarka, tj. kada bi θc = 0 onda bi imali samo vertekse duW, csW ,
dok verteksi usW i dcW ne bi postojali. udW verteks je
ig
√ 2 cos θc γ µ (1 − γ5 ) ,
(8.36)
2
dok je suW verteks
ig
√ 2 sin θc γ µ (1 − γ5 ) ,
(8.37)
2
Preostala dva verteksa su analogna.
Eksperimentalni rezultat za Kabibo ugai je cos θc = 0, 97. U sluˇcaju tri generacije kvarkova
CKM-matrica je odredjena sa tri ugla i jedmom fazom. Jedan od naˇcina njene parametrizacije
105
je
V = R1 (θ2 )R3 (θ1 )C(0, 0, δ)R1 (θ3 )
(8.38)
gde je


1
0
0
R1 (θi ) = 0 cos θi sin θi  ,
0 − sin θi cos θi


cos θi sin θi 0
R3 (θi ) = − sin θi cos θi 0
0
0
1
i
(8.39)
(8.40)


1 0 0
C(δ) = 0 1 0  ,
0 0 eiδ
(8.41)
Matriˇcni elementi CKM matrice se odredjuju eksperimaentalno.
8.3
Neutralna i elektromagnetna kvark struja
Drugi deo kvark-bozon interakcije u (8.9) je interakcija neutralnih bozona Z0 i fotona sa kvarkstrujom u kojoj nema promene naelektrisanja duˇz kvark-linije u Fajnmanovom dijagramu.
g2 ¯
g1 ¯
0
µ
µ 1
QLm γ QLm Bµ + QLm γ
QLm Wµ3
Lem + Lneutr =
0 −1
6
2
1
2
+ g1 u¯Rm γ µ uRm Bµ − d¯Rm γ µ QdRm Bµ
(8.42)
3
3
Eliminacijom Bµ i Wµ3 preko fiziˇckih polja Aµ i Zµ dobijamo elektromagnetni i neutralni deo
interakcije. Elektromagnetni deo je
Lem =
g2 sin θW 4
4
2
2
u¯Lm γ µ uLm + u¯Rm γ µ uRm − d¯Lm γ µ dLm − d¯Rm γ µ dRm Aµ
2
3
3
3
3
(8.43)
Prelazak na primovana polja niˇsta ne menja u gornjem izrazu pa dobijamo
Lem =
g2 sin θW 4
2
u¯m γ µ um − d¯m γ µ dm Aµ .
2
3
3
Prim smo izostavili. Elektromagnetna interakcija kvarkova sa fotonom data je sa
2 µ
e u¯γ u + c¯γ µ c + t¯γ µ t Aµ
Lem =
3
1 ¯ µ
− e dγ
d + s¯γ µ s + ¯bγ µ b Aµ
3
106
(8.44)
(8.45)
Deo (8.9) proporcionalan sa Z µ je
Lneutr =
=
−
+
g2 1 2
1
0
µ
2
µ
¯ Lm γ QLm + cos θW Q
¯ Lm γ
QLm
− sin θW Q
0 −1
2 cos θW
3
4
2
− sin2 θW u¯Rm γ µ uRm + sin2 θW d¯Rm γ µ dRm Zµ
3
3
g2 u¯Lm γ µ uLm − d¯Lm γ µ dLm
2 cos θW
4 2
sin θW (¯
uLm γ µ uLm + u¯Rm γ µ uRm )
3
2 2
sin θW (d¯Lm γ µ dLm + d¯Rm γ µ dRm ) Zµ .
3
Prelazak na primovana polja CKM matricom ne menja lagranˇzijan, pa dobijamo
g2 Lneutral =
u¯Lm γ µ uLm − d¯Lm γ µ dLm
2 cos θW
4
2
− sin2 θW ( u¯m γ µ um − d¯m γ µ dm ) Zµ
3
3
(8.46)
(8.47)
U zadnjem redu nismo pisali primove na poljima, jer je jasno da smo preˇsli na masena kvark
stanja. Vidimo da u neutralnoj struji nema promene tipa (flavour) kvarkova.
Ovo je i eksperimentalno potvrdjeno. Raspad K + mezona prema kanalu
K + → π + ν ν¯
(8.48)
Γ(K + → π + ν ν¯)
∼ 10−7 .
Γ(K + → all)
(8.49)
je dosta malo verovatan; ˇsto se vidi iz
Ovakav proces ne moˇze da ide preko dijagrama
jer ne postoji Zsd verteks. Sliˇcno
Γ(KL → µ+ µ− )
∼ 10−9 ,
Γ(KL → all)
jer dijagram
107
(8.50)
ne postoji u standardnom modelu. Ovi procesi su mogu´ci u viˇsem redu teorije perturbacije,
ˇsto se vidi iz dijagrama:
8.4
Lagranˇ
zijan standardnog modela-rezime
Lagranˇzijan standardnog modela elektroslabih interakcija sastoji se od nekoliko deloval
L = Ll + Lq + Lscal + Ljuk−lep + Ljuk−q + Lgauge .
(8.51)
Leptonski Lagranˇzijan je
Ll = i
X
m
a
¯ m γ µ (∂µ − ig1 YL Bµ − ig2 τ W a )Lm
L
2
2 µ
YR
Bµ )eR
2
YR
YR
τR γ µ (∂µ − ig1 Bµ )τR ,
+ i¯
µR γ µ (∂µ − ig1 Bµ )mR + i¯
2
2
+ i¯
eR γ µ (∂µ − ig1
(8.52)
gde smo ukljuˇcili sve tri generacije leptona. Kvark deo Lagranˇzijana je dat sa (8.9). On je
izraˇzen preko gauge stanja, a ne preko pravih masenih stanja kvarkova. Jukavin Lagranˇzijan za
leptone je
Ge
Ge
¯ 1 Φ)eR )] − G
¯ 2 Φ)µR )] − √
¯ 3 Φ)τR )] .
√m [¯
LJuk = − √ [¯
eR (Φ† L1 ) + (L
µR (Φ† L2 ) + (L
[¯
τR (Φ† L3 ) + (L
2
2
2
(8.53)
Jukavin Lagranˇzijan u kvark sektoru je dat u (8.21). Gauge sektor lagranˇzijana je
1
1 a µνa
Lgauge = − fµν f µν − Fµν
F
.
4
4
9
(8.54)
Raspadi i neki procesi u standardnom modelu
ˇ
Sirina
raspada se definiˇse sa
Z
Γ=
|Sfi |2 Y V d3 pf
.
T f (2π)3
108
(9.1)
W + bozon se raspada prema jednom od ovih kanala
W+
W+
W+
W+
→
→
→
→
e+ νe
µ + νµ
τ + ντ
d¯
u, s¯
c.
(9.2)
ˇ
Sirina
raspada za prva tri procesa je
3
GF MW
Γ= √
2 6π
(9.3)
ˇ
i nezavisna je od vrste leptona. Sirine
raspada Z bozona su
GF MZ3 2
GF MZ3
2
Γ(Z → l l ) = √ (gv + ga ) = √ [(1 − 2 sin2 θW )2 + 4 sin4 θW ] ≈ 83, 4MeV ,
6 2π
12 2π
0
− +
(9.4)
¯ . . . . Higsov bozon se moˇse raspasti na fermion-antifermion
Z 0 bozon se moˇze raspasti i na u¯
u, dd,
par
H → f f¯, f = l, q
(9.5)
ˇ
Sirina
raspada je
4m2f 3/2
Γ(H → f f¯) ∼ GF mH m2f 1 − 2
.
(9.6)
mH
Vidimo da je ona proporcionala kvadratu mase fermiona, tako da je dominantan raspad H → b¯b,
jer je mb = 4, 5GeV. Higsov bozon se moˇze raspasti i na W + W − , Z 0 Z 0 .
109
Rasejanje − e+ → µ− µ+ ide preko tri dijagrama:
U okolini s ≈ 90GeV dominantan je dugi dijagram; izraz za efikasni presek za upadnu energiju
koja je u okolini mase Z bozona je
σ∼
1
(s −
MZ2 )2
+ m2Z Γ2
(9.7)
gde su uraˇcunate i kvantne popravke. Γ je totalna ˇsirina raspada Z 0 bozona a s je ukupna
energija upadnih ˇcestica u sistemu centra mase.
Kako se raspada n?
110
10
Kvantna hromodinamika
Kao ˇsto smo ranije rekli kvarkovi nose kvantni broj boje (colour) i zato uˇcestvuju u jakoj interakciji. Leptoni nemaju boju i ne uˇcestvuju u jakoj interakciji. Teorija jake interakcije je
zasnovana na SU (3)c lokalnoj simetriji i ona se naziva kvantnom hromodinamikom. Indeks c je
od ’colour’, grupu ˇcesto zovemo kolorna grupa. Kvarkovi su kolorni triplet: Svaki kvark moˇze
biti crven, zelen ili plav:

  
ψuR
ψu1



ψuG = ψu2  ,
ψu =
ψuB
ψu3

  
ψdR
ψd1
ψd = ψdG  = ψd2  . . . .
(10.1)
ψdB
ψd3
Stanja ψu , ψd , . . . , ψb transformiˇsu se po fundamentalnoj trodimenzionoj reprezentaciji SU (3)c
grupe. Lagranˇzijan koji opisuje jaku interakciju kvarkova ima standardni oblik Jang-Milsovog
Lagranˇzijana:
nq
X
1 a µνa
F
,
(10.2)
ψ¯k (iγ µ Dµ − mk )ψk − Fµν
L=
4
k=1
a
gde je Dµ ψ = ∂µ − igs Aaµ λ2 )ψ kovarijantni izvod. Prenosioci jakih interakcija, potencijali
Aµa , a = 1, . . . , 8 nazivaju se gluonima. Oni pripadaju osmodimenzionoj (pridruˇzenoj) reprezentaciji
grupe. mk je masa k−tog kvarka, a gs konstanta jake interakcije. Interacija gluona sa kvarkovima
je data sa
λaij
(10.3)
Lint = gs ψ¯i γ µ ψj Aaµ , i, j = 1, 2, 3 .
2
Odgovaraju´ci verteks je dat na slici
111
Odredimo jaˇcinu interakcije za dijagrame sa slike
Za prvi jaˇcina kaplinga je
gs2
8
X
g2
λa31 λa13
g2
= s (λ531 λ513 + λ431 λ413 ) = s ,
2 2
4
2
a=1
(10.4)
dok je za drugi 23 gs2 .
Fajnmanov dijagrami za rasejanju elektrona na protonu u okviru kvantne elektrodinamike su
112
Prvi dijagram je u najniˇzem redu teorije perturbacije i on ne sadrˇzi petlje (loops), dok su
ostali dijagrami sa petljama i oni su viˇseg reda. Dijagram
naziva se polarizacijom vakuuma i on je
Z
1
1
d4 k
ν
µ
2
Tr
γ
γ .
−(−ie0 )
(2π)4
/k − /q − m + i /k − m + i
(10.5)
e0 je tzv. golo naelektrisanje elektrona. Za velike impulse k ovaj dijagram se ponaˇsa kao
Z Λ 3
k dk
(10.6)
k2
i on bi trebalo da bude kvadratno divergentan. Medjutim iz razloga simetrije ovaj dijagram je
logaritamski ultravioletno divergentan. Moˇze se pokazati da je za |q 2 | m2 on dat sa
α0 Π(q 2 ) = −
5
α0 Λ2
ln
+
,
3π
|q 2 | 3
gde je Λ → ∞ gornja granica integracije po k a
α0 =
e20
.
4π
Sumiraju´ci ovakve dijagrame
113
(10.7)
dobijamo efektivnu konstantu interakcije
αeff = α0 (1 + α0 Π(q 2 ) + α0 Π(q 2 )α0 Π(q 2 ) + . . . ) .
Odmah se vidi da je
αef f (q 2 ) =
α0
.
1 − α0 Π(q 2 )
(10.8)
(10.9)
ˇ je onda naelektrisanje
Dakle konstanta interakcije nije konstanta ve´c zavisi od energije. Sta
elektrona e koje mi znamo? Ono je definisano sa
α = αeff (q 2 = 0) =
odnosno
α=
e2
1
=
4π
137
(10.10)
α0
.
1 − α0 Π(0)
(10.11)
Lako se dobija da je
αef f (q 2 ) =
odnosno
α
=
1 − α(Π(q 2 ) − Π(0))
1−
|q 2 | 1
1
1
= −
ln
.
αeff
α 3π
m2
α
α
3π
2
ln( |qm2| )
(10.12)
(10.13)
Da bi definisali e uzeli smo jednu specifiˇcnu vrednost q 2 = 0. Zavisnost efektivne konstane
interakcije od energije data je na slici
Vidimo da sa poveve´canjem energije (smanjivanjem rastojanja) konstanta interakcije raste.
Ovo je kvantno mehaniˇcki analogon ekraniranja naelektrisanja u elektrodinamiui. Naelektrisanje
Q koje se nalazi u dielektriku efektivno je manje jer je ekranirano sredinom. Sa pribliˇzavanjem
naelektrisanju (pove´canje energije) vrednost naelektrisanja raste.
114
U kvantnoj hromodinamici vrednost odgovaraju´ce finkcije Π(q 2 ) je
Π(q 2 ) = −
α0 2
Λ2
( nk − 11) ln 2 ,
4π 3
|q |
(10.14)
gde je
qs0
4π
2
a nk je broj kvarkova. Dijagrami koji daju Π(q ) su
α0 =
(10.15)
Efektivna konstanta interakcije je
αef f (q 2 ) =
α(µ2 )
2
1 − ( 23 nk − 11)α(µ2 ) ln( |qm2| )
,
(10.16)
gde je µ2 referentna taˇcka. Za nk = 6 je 32 nk − 11 = −7. U ovom sluˇcaju efektivna konstanta
interakcija ima drugaˇcije ponaˇsanje od elektrodinamike. Ona opada sa energijom. Ovo se
naziva asimptotskom slobodom (Nobelova nagrada; Policer, Gros, Vilˇcek). Ovo je objaˇsnjenje
za zarobljenost (confinment) kvarkova unutar hadrona. Na malim rastojanjima (ve´ca energija)
konstanta interakcije je slabija. Sa pove´canjem rastojanja izmedju kvarkova u mezonu konstanta
interakcije raste i mi ne moˇzemo da rastavimo mezon na kvarkove.
115
Download

Teorija elementarnih cestica