DISPERZIVNI I NEDISPERZIVNI TALASI
Najpoznatiji primer nedisperzionog talasa je eketromagnetni talas u vakuumu. Nedisperzivni talasi imaju
disperzivnu realciju o obliku
, gde je c konstanta, tako da je brzina sinusoidalnog talasa,
,
je nezavisna od talasnog broja k. Grupni talas formž
iran od linearne superpozicije takvih sinusoidalnih talasa putuje bez promene oblika zato što svaka
sinusoidalna komponenta ima istu brzinu. Nedisperzivni talasi se opisuju parcijalnom diferencijalnom
jednačinom koju zovemo klasična talasna jednačina. Za talase koji se prostiru kroz tri dimenzije ona ima
oblik :
, gde je
, pa za talase koji se kreću u pravcu samo jedne ose, recimo x ose imamo :
Slika 13.08. Inicijalni oblici grupe talasa. Slika pokazuje povećanje dužine talasa sa smanjenjem
.
Klasična talasna jednačina ima beskonačan broj rešenja koja odgovaraju beskonačnim varijacijama
talasnih formi. Na primer, sinusoidalni talasi :
, su rešenja pod uslovom
, što se može videti direktnom zamenom u (13.30). Situacija za
odgovara talasu koji se kreće u pravcu x ose dok za
imamo talas koji se kreće u
smeru suprotnom od smera x ose. Pošto je svaki član u klasičnoj jednačini talasa linearan, linearna
superpozicija talasa je takođe jedno od rešenja. Međutim većina talasa na koje nailazimo u klasičnoj i
kvantnoj fizici su disperzivni talasi. Disperzivni talasi se opisuju parcijalnom diferencijalnom jednačinom
koja je mnogo komplikovanija od (13.29). Disperzivna relacija je komplikovanija od
, tako da
brzina prostiranja sinusoidalnog talasa
, više zavisi od talasnog broja k. Otuda sledi da će grupni
disperzivni talas menjati oblik prilikom propagacije. Međutim, ako je grupni talas sastavljen od talasa koji
imaju uzak opseg talasnih brojeva oni imaju dobro definisanu brzinu širenja. Ova brzina se naziva grupna
brzina i definisana je sa :
, dok se brzina jednostavnog sinusoidalnog talasa
naziva fazna brzina. Da bismo razumeli jednačinu
(13.31) napomenimo da grupna brzina opisuje kretanje lokalnog poremećaja zbog konstruktivne
interferencije mnogih sinusoidalnih talasa. Fokusirajmo se na tačku konstruktivne interferencije dva
sinusoidalna talasa talasnih brojeva i i ugaonih frekvencija
i
koji se formiraju kada su talasi u
fazi :
Preuređivanjem ove jednačine dobijamo tačku konstruktivne interferencije :
Tako je naša tačka konstruktivne interferencije nalazi na x=0 i t=0, i kreće se brzinom
ili prema (13.31) ako je
dovoljno malo. Naravno sa dva sinusoidalna talasa
postoji konačan broj tačaka konstruktivne interferencije, ali mnogo sinusoidalnih talasa mogu formirati
lokalni region konstruktivne interferencije koji se kreće brzinom
. Da bi ilustrovali kako se može
izračunati grupna brzina, razmotrimo primer vodenih talasa sa veoma dugim talasnim dužinama, koje
poštuju disperzionu relaciju :
, gd je g gravitaciono ubrzanje. Brzina sinusoidalnog vodenog talasa ili takozvana fazna brzina je :
, a brzina grupnih vodenih talasa sa sa uskim opsegom talasnih brojeva k je :
Dakle za vodeni talas grupna brzina je jednaka tačno polovini fazne brzine. S druge strane sinusoidalni
talasi koji formiraju grupni putuju dvostrukom brzinom regiona maksimalnog poremećaja formiranog
usled mešanja ovih talasa. Međutim, oblik poremećaja će se menjati kroz prostiranje talasa.
TALASNA JEDNAČINA ČESTICA
U klasičnoj fizici, fundamentalni zakoni fizike se koriste da se izvedu talasne jednačine koje opisuju
talasnu prirodu fenomena. Na primer Maksvelove jednačine elektromagnetizma se korsite da se izvede
klasična talasna jednačina koja opisuje elektromagnetne talase u vakuumu. Nasuprot tome videćemo da
talasne jednačine koje opisuju česticu se ne mogu izvesti iz osnovnih fizičkih principa. U kvantnoj
mehanici možemo samo da pogađamo oblik talasne jednačine i da je onda kroz eksperimente potvrđuju.
Ovde ćemo da pokušamo da izgradimo moguću talasnu jednačinu slobodnog kretanja nerelativističkih
čestica razmatranjem svojstava de Broljovog talasa koji opisuju česticu. Prema jednačini (13.1) čestica sa
impulsom p ima de Broljovu talasnu dužinu datu sa
. Ovo implicira da de Broljov talas sa
talasnim brojem
opisuje česticu sa impulsom :
Mi ćemo da proširimo ovu ideju sa de Broljovom grupom talasa, koji imaju opseg talasnih brojeva
između
koji opisuju čestice sa neodređenim impulsom :
Takođe ćemo pretpostaviti da je dužina ove grupe talasa mera od
Koristeći jednačinu (13.28) i sliku 13.08 kao vodič, možemo pisati :
- neodređenosti položaja čestice.
Množenjem dobijamo :
, što se slaže sa Hajzenbergovim principom neodređenosti. Dakle de Broljova grupnog talasa može
pridoneti neodređenosti u poziciji i impulsu kvantne čestice. Međutim, moramo da primetimo da de
Broljov talas mora biti transformisan merenjima. Ako se napravi precizno merenje položaja talasa,
novoformirani talas koji opisuje česticu mora biti veoma kratak, superpozicija sinusoidalnih talasa sa
veoma širokim spektrom talasnih dužina. Slično tome ako se napravi precizno merenje impulsa, novi
talas mora biti veoma dugačak sa jasno definisanim talasnim dužinama. Ovo znači da je grupni talas
krhak entitet koga transformišu merenja. Niko ne zna kako se to dešava. Sada pretpostavimo da grupni
talas predstavljaju kvantne čestice. Konkretno zahtevamo da grupna brzina ovog grupnog talasa bude
jednaka brzini čestica mase m i impulsa
, tj zahtevamo da je :
Ovu jednačinu možemo da integralimo da dobijemo odnos disperzione relacije de Broljovih talasa
sastavljenih od slobodnih kvantnih čestica mase m.
Za dobijanje ove relacije smo konstantu integracije postavili na nula jer ona dovodi do neopservabilnih
posledica u nerelativističkoj kvantnoj mehanici. Naš zadatak je da nađemo jednačinu talasa koja ima
sinusoidalno rešenje koje zadovoljava disperzionu relaciju. Najjednostavnija talasna jednačina te vrste je
Šredingerova jednačina. Za slobodnu česticu koja se kreće u jednoj dimenziji ona ima oblik :
Lako se uveriti da kompleksna eksponencijalna funkcija :
, je rešenje ove jednačine pod uslovom da ω i k zadovoljavaju relaciju (13.40). Ubacivanjem ove funkcije
u (13.41) dobijamo za levu stranu jednačine dobijamo :
, a za desnu
I imamo rešenje koje obezbeđuje da je
. Pošto sinusoidalno rešenje opisuje kretanje
talasa u smeru x ose, sa talasnim brojem k i ugaonom frekvencijom ω, pretpostavićemo da ono
reprezentuje slobodnu česticu koja se kreće x osom, sa oštro definisanim impulsom
i energijom
. Postoji naravno još mnogo rešenja Šredingerove jednačine koja reprezentuju stanje
kretanja čestica. Treba naglasiti da smo u cilju prilagođavanja disperzione relacije de Broljovih talasa,
stigli do talasne jenačine, Šredingerove jednačine za slobodne čestice, čija su rešenja nužno složene
funkcije prostora i vremena. Ove složene funkcije se zovu talasne funkcije. Ranije smo govorili o
predstavama ovih funkcija u kompleksnom obliku i o tome kako za klasične talase važi da du oni funkcija
prostora i vremena. S druge strane Šredingerove jednačine nisu realne funkcije prostora i vremena. Do
sada smo razmatrali samo sinusoidalna rešenja Šredingerove jednačine, ali imajući u vidu ova rešenja
možemo konstruisati i druge vrste rešenja. Pošto je svak član Šredingerove jednačine linearan
superpozicija rešenja je takođe rešenje. Na primer :
, gde je :
, i gde su
su proizvoljne kompleksne konstante, je rešenje Šredingerove jednačine što se lako
može potvrditi direktnom zamenom u jednačinu (13.41). Zaista najopštije rešenje je superpozicija
sinusoidalnih talasa sa svim mogućim ugaonim frekvencijama i talasnim brojevima :
U ovoj superpoziciji
je proizvoljna kompleksna funkcija a integral reprezentuje sumu svih mogućih
vrednosti k’. Ako je funkcija
takva da obuhvata uzak spektar talasnih brojeva oko pozizivne
vrednosti k, ova superpozicija daje grupni talas koji se kreće u pozitivnom smeru x ose grupnom brzinom
. Takav grupni talas reprezentuje kvantne čestice koje se kreću brzinom
, ali sa pozicijom i
momentom koji je u skladu sa Hajzenbergovim principom neodređenosti.
Download

(PDF, 449KB)