UNIVERZITET ISTOČNO SARAJEVO
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET
redovni profesor
dr Slavko Pokorni, dipl. inž. el.
OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 2
Elektromagnetizam
Istočno Sarajevo, 2014.
Sadržaj
1. OSNOVNI POJMOVI O MAGNETSKOM POLJU.................................................................................. 4
1.1. Kratak istorijat ........................................................................................................................... 4
1.2. Sila između dva strujna elementa ............................................................................................. 5
1.3. Pojam magnetskog polja i vektor magnetske indukcije. Bio-Savarov zakon ............................ 9
1.3.1. Linijske, površinske i zapreminske struje .........................................................................15
1.3.2. Izraz za intenzitet vektora magnetske indukcije kada su svi strujni elementi u istoj ravni
....................................................................................................................................................16
1.4. Sila i momenat na strujnu konturu u magnetskom polju .......................................................18
1.5. Linije vektora magnetske indukcije .........................................................................................22
1.6. Fluks vektora magnetske indukcije. Zakon održanja magnetskog fluksa ...............................25
1.7. Kretanje naelektrisane ćestice u magnetskom i električnom polju .......................................28
1.8. Holov efekat ............................................................................................................................29
2. AMPEROV ZAKON...........................................................................................................................31
2.1. Primeri primene Amperovog zakona ......................................................................................31
2.2. Osnovne integralne jednačine stalnog magnetskog polja u vakumu .....................................35
3. MATERIJALI U MAGNETSKOM POLJU ............................................................................................36
3.1. Uticaj magnetskog polja na materijale. Dijamagnetski, paramagnetski i feromagnetski
materijali ........................................................................................................................................36
3.2. Vektor magnetizacije...............................................................................................................38
3.3. Uopšteni oblik Amperovog zakona. Vektor jačine magnetskog polja i permeabilnost .........39
3.4. Makroskopske struje ekvivalentne Amperovim elementarnim strujama ..............................42
Linije vektora magnetskog polja ................................................................................................44
3.5. Granični uslovi .........................................................................................................................44
3.6. Krive magnetisanja feromagnetskih materijala ......................................................................47
3.7. Definicije permeabilnosti magnetskih materijala ...................................................................50
4. MAGNETSKA KOLA .........................................................................................................................51
4.1. Tanka magnetska kola .............................................................................................................51
4.2. Približne jednačine za rešavanje magnetskih kola realnih dimenzija.....................................53
4.3. Jednačine za magnetska kola sa vazdušnim procepom..........................................................55
4.4. Metode proračuna magnetskih kola .......................................................................................56
4.4.1. Proračun prostih magnetskih kola ...................................................................................56
4.4.2. Proračun složenih simetričnih magnetskih kola ..............................................................57
4.4.3. Proračun složenih nesimetričnih magnetskih kola ..........................................................58
4.5. Magnetsko kolo stalnih magneta ............................................................................................58
5. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA ..................................................................................................60
5.1. Uvod ........................................................................................................................................60
5.2. Faradejev zakon elektromagnetske indukcije.........................................................................63
5.3. Potencijal i napon u vremenski promenjivom polju ...............................................................65
5.4. Vrtložne struje, površinski efekat i efekat blizine ...................................................................66
Vrtložne struje ............................................................................................................................66
Površinski efekat i efekat blizine ................................................................................................67
6. MEĐUSOBNA INDUKTIVNOST I SAMOINDUKTIVNOST ..................................................................69
6.1. Međusobna induktivnost dve tanke provodne konture.........................................................69
6.2. Sopstvena induktivnost tanke provodne konture ..................................................................72
6.3. Određivanje jačine struje u kolu sa induktivnim kalemom ....................................................75
6.4. Savršeno provodna kontura u magnetskom polju .................................................................76
2
6.5. Jednačine za jačine struja u dva kola spregnuta posredstvom magnetskog polja .................76
6.6. Teorija savršenog električnog transformatora .......................................................................78
6.7. Merenje magnetske indukcije pomoću probnog navojka i jednačina protoka ......................80
7. ENERGIJA I SILE U MAGNETSKOM POLJU ......................................................................................83
7.1. Energija potrebna za uspostavljanje magnetskog polja .........................................................83
7.2. Raspodela energije u magnetskom polju................................................................................85
7.3. Gubici u feromagnetskom materijalu zbog histerezisa ..........................................................86
7.4. Samoinduktivnost i otpornost debelog provodnika sa dva priključka pri sporim promenama
jačine struje ....................................................................................................................................87
7.5.Opšti metod izračunavanja magnetskih sila ............................................................................89
8. OPŠTE JEDNAČINE ELEKTROMAGNETSKIH POLJA I OSNOVNI POJMOVI O ELEKTROMAGNETSKIM
TALASIMA ...........................................................................................................................................91
LITERATURA ........................................................................................................................................92
3
VREMENSKI KONSTANTNO
MAGNETSKO POLJE
1. OSNOVNI POJMOVI O MAGNETSKOM POLJU
1.1. Kratak istorijat
Sile koje danas nazivamo magnetskim zapažene su još u antičko doba. Primećeno je da
komadi jedne gvozdene rude imaju osobinu da privlače gvozdene predmete. Komadi gvozdene rude
koji ispoljavaju magnetske sile nazivaju se prirodni magneti, a sve pojave u kojima se pojavljuju
magnetske sile zovu se magnetske pojave.
Kasnije je primećeno da gvozdeni predmeti koji se prinesu blizu priodnih magneta i sami
postaju magneti, tj. postaju namagnetisani, tj. veštački magneti.
I kod prirodnih i veštačkih magneta obično postoje dve zone u blizini kojih su magnetske
sile najizraženije, i zovu se polovi magneta.
Zapaženo je i da se magnet u obliku šipke ili igle, postavljen horizontalno i obešen o tanku
nit, uvek okrene u pravcu sever-jug, tako da je uvek isti pol okrenut ka severnom, a drugi ka južnom
polu Zemlje, pa su polovi magneta dobili naziv “severni” i “južni”.
Raznoimeni polovi dva magneta se privlače, a istoimeni se odbijaju.
Po analogiji sa električnim opterećenjima, verovalo se da se sečenjem magneta mogu dobiti
odvojeno severni i južni pol. Meñutim, uvek se dobijaju novi magneti sa oba pola. Magnetski polovi
su veštački uvedeni pojmovi.
Nauka o magnetskim pojavama se dugo oslanjala na stečena znanja o električnim pojavama.
Tako je Kulon, po analogiji, 1785. godine došao do zaključka (eksperimentišući sa dva dugačka
magneta) da je intenzitet sile približno obrnuto proporcionalan kvadratu rastojanja izmeñu polova
(ako se zamisli da su polovi na kraju magneta). Kulonov zakon za magnetske mase se piše u obliku
F magnetska =
1 m1m2
ro 12
4πµ r 2
gde je µ – konstanta.
Meñutim, ovo nije bio dobar početak za dalji razvoj i razumevanje magnetizma. Izolovani
magnetski polovi u prirodi ne postoje.
1820. godine, danski fizičar Ersted primetio je da magnetska igla postavljena blizu
provodnika sa strujom skreće u odnosu na svoj normalan položaj, kada kroz provodnik postoji
struja.
Ubrzo zatim sledi niz otkrića naučnika kao što su Amper, Laplas, Bio-Savar, Faradej, Lenc.
Danas se zna da i električne i magnetske pojave potiču od istih uzročnika – elementarnih
naelektrisanih čestica. Jedina razlika je u tome što se električni efekti javljaju i kada te čestice
miruju (i kada se kreću), dok se magnetske pojave javljaju samo kada se naelektrisane čestice kreću
u odnosu na posmatrača (relativno kretanje).
Takoñe magneti ne deluju silom na nepokretna električna opterećenja.
Magnetske sile koje deluju izmeñu stalnih magneta su, u suštini, sile koje deluju izmeñu
elementarnih naelektrisanih čestica koje se kreću unutar atoma materijala od kojih su magneti
napravljeni.
4
Izučavanje magnetskih pojava počećemo od sile koja deluje izmeñu dva tanka provodnika sa
strujom, odnosno izmeñu dva elementa (kratka prava odsečka provodnika sa strujom) dva
provodnika. Takve elemente nazivaćemo strujni elementi. Do izraza za silu izmeñu dva strujna
elementa došlo se eksperimentalno.
Izučavanje magnetskih pojava je moguće početi i od dve naelektrisane čestice (dva tačkasta
naelektrisanja) koje se kreću. To ćemo pokazati kasnije, u podpoglavlju 1.7. Napomenimo da
merenje sile izmeñu dva mala naelektrisana tela, koja se kreću, praktično nije moguće.
1.2. Sila između dva strujna elementa
Zamislimo dva tanka zatvorena provodnika (konture) C1 i C2, proizvoljnog oblika, sa
strujama I1 i I2 (slika 1.1). Zvat ćemo ih strujne konture.
Slika 1.1. Uz definiciju sile izmeñu dva strujna elementa
Za održavanje struja u konturama moraju da budu priključeni neki izvori (što nam je poznato
od ranije). Kako je otpornost provodnika mala, za održavanje struje je potrebno veoma malo
električno polje, te na površima provodnika praktično neće biti opterećenja. Sila kojom jedna
strujna kontura deluje na drugu tada je čisto magnetska sila i može se izmeriti za bilo koji oblik
kontura1.
Da bismo mogli da izračunamo silu koja deluje izmeñu dve strujne konture, bilo kog oblika,
neophodno je da odredimo silu kojom jedan na drugi deluju dva strujna elementa. Ako
pretpostavimo da znamo matematički izraz za tu silu, onda ukupnu silu (bar teorijski) možemo da
izračunamo u svim slučajevima kao zbir (integral) sila izmeñu pojedinih parova strujnih elemenata.
Direktno eksperimetalno odreñivanje sile izmeñu dva strujna elementa nije moguće, jer takvi
odvojeni elementi nemogu da postoje (kolo vremenski konstantne struje nije zatvoreno). Meñutim,
na osnovu merenja sile u raznim slučajevima zatvorenih strujnih kontura došlo se do ideje o obliku
→
izraza za magnetsku silu strujnih kontura u vakumu, ako se pretpostavi da neki element dl 1 sa
→
strujom I1, deluje silom na element dl 2 sa strujom I2:
d F 12 = k
(
I1 I 2 dl 2 x dl 1 x ro 12
r2
)
gde je k – konstanta koja zavisi od izbora jedinica u mernom SI sistemu. k=10-7 jedinica MKSA
sistema. Uobičajeno je da se umesto k piše µ 0/(4π), gde je
1
Dakle, moguće je izmeriti magnetsku silu nezavisno od električne. Naime sila koja postoji izmeñu dva tanka
provodnika sa strujom praktično je samo rezultat kretanja opterećenja koja u njima obrazuju struju, tj. čisto magnetska
sila (ako su posmatrani provodnici dobri, za održavanje struje u njima potrebno je vrlo malo električno polje, pa na
njihovim površima praktično nema električnih opterećenja).
5
µ o = 4π 10 −7
H
permeabilnost vakuma2,
m
(
pa se izraz za silu piše u obliku
d F 12 =
µ 0 I1 I 2 dl 2 x dl 1 x ro 12
4π
r2
)
Ovaj izraz predstavlja zakon magnetske sile izmeñu dva strujna elementa u vakumu, i ima
ulogu analognu Kulonovom zakonu.
Veličina
ro 12 , u izrazu, predstavlja jedinični vektor (ort) usmeren od
→
dl 1 (“izvor” sile) ka
→
dl 2 (na koji se odreñuje sila).
→
→
Smerovi dl 1 i dl 2 su, po dogovoru, isti kao referentni smerovi za struje u konturama C1
odnosno C2.
U izrazu za magnetsku silu izmeñu dva strujna elementa se pojavljuje dvostruki vektorski
proizvod.
→
→
→
Vektorskim proizvodom vektora A i vektora B , dobija se novi vektor C , što se piše u
obliku
→
→
→
C = AxB
→
→
→
Pravac tog novog vektora C je takav da je normalan na ravan koju čine vektori A i B .
→
→
→
→
Napomena: A x B = − B x A , pa je redosled množenja važan.
→
Smer vektora ( C ) odreñuje se po pravilu desne zavojnice (desnog triedra), tako da što se
prvi vektor najkraćim putem poklapa sa drugim vektorom u smeru desnog zavrtnja, a smer
“uvrtanja” tog zavrtnja, predstavlja smer tog novog vektora (slika 1.2).
→
Intenzitet vektora ( C ), koji predstavlja rezultat vektorskog proizvoda, dobija se po formuli.
( )
→
C = C = AB sin A, B
Slika 1.2. Uz definiciju vektorskog proizvoda
Primer 1.1. Odrediti smer magnetske sile za slučaj na slici 1.3a. Rešenje je na slici 1.3b.
2
H označava jedinicu za merenje induktivnosti i čita se „henri“. „m“ je jedinica za dužinu, tj. metar.
6
a)
b)
Slika 1.3 a) primer dva strujna elementa, b) odreñivanje smera vektora magnetske sile izmeñu njih
Primer 1.2. Odreñivanje smera magnetske sile izmeñu dva paralelna provodnika sa strujama
istog (ili različitog) intenziteta, i istog smera (slika 1.3a), prikazano je na slici 1.3b.
a)
b)
Slika 1.3 a) dva paralelna provodnika sa strujama istog smera, b) odreñivanje smera vektora
magnetske sile izmeñu njih
Očigledno, u slučaju dva paralelna provodnika sa strujama istog smera, sila je privlačna.
Samostalno odrediti smer magnetske sile izmeñu dva paralelna provodnika sa strujama istog
(ili različitog) intenziteta, ali suprotnog smera. Uočiti da je u ovom slučaju sila odbojna.
Primer 1.3. Odrediti magnetsku silu, kao u primeru 2, ako je rastojanje provodnika r = 1m,
dužina l1 = l2 = l = 5 cm, a jačina struje I1 = I2 = I = 50 A. Potrebni vektori su dati na slici 1.4.
Slika 1.4. Izračunavanje magnetske sile izmeñu dva dela paralelnih provodnika
Sila je privlačna, a njen intezitet je
7
F12 =
) [ (
(
µ o I1 I 2
dl2 dl1 sin dl1 , r0 12 sin dl 2 , dl1 , r0 12
4π r 2
→
)]
→
Sa slike 1.4 je očigledno da je ugao izmeñu vektora dl 1 i r0 12 prav (odnosno 900, ili π/2), a
→
→
izmeñu vektora dl 2 i vektora koji se dobija vektorskim proizvodom
dl 1 x r0 12 , takoñe prav. Prema
tome dobija se
µ o I1 I 2
µ o I 2l 2
F12 =
dl2 dl1 =
= 6,25 ⋅ 10 −7 N
2
2
4π r
4π r
Sami proverite kolika bi trebala da budu električna opterećenja, na istom rastojanju, da bi se
dobila ista sila. Uverićete se da su potrebna vrlo velika opterećenja, što je praktično neostvarljivo, ili
teško ostvarljivo. Struja od, na primer, 50 A se relativno lako ostvaruje, pa se u praksi, mogu
ostvariti mnogo veće magnetske nego električne sile.
Magnetska sila izmeñu dve naelektrisane ćestice je manja nego električna, ali su u
praktičnim uslovima magnetske sile izraženije (veće) jer kod magnetskih sila dolazi do uzajamnog
delovanja svih naelektrisanja, a ne samo viška naelektrisanja, kao kod električnih sila. Ukupna
količina naelektrisanja je mnogo veća nego što je višak naelektrisanja na naelektrisanim telima
(setimo se da je višak naelektrisanja razlika količine pozitivnog i negativnog naelektrisanja).
U prethodnim slučajevima je d F 12 = d F 21 , u što se lako možete uveriti, ali izraz za
magnetsku silu (za razliku od električnih sila), u opštem slučaju, ne zadovoljava zakon akcije i
reakcije, tj. u opštem slučaju
d F 12 ≠ d F 21
Primer 1.4. (slika 1.5a).
Za slučaj na slici 1.5a, koja je na slici 1.5b prikazana sa potrebnim detaljima, je
(
)
) [ (
(
)]
dl 2 x dl 1 x ro 12 = dl2 dl1 sin dl 1 , ro 12 sin dl 2 , dl 1 x ro 12 = dl2 dl1
jer su svi uglovi 900, meñutim
(
)
(
) [ (
) jednak 180 , pa je u opštem slučaju
)]
dl 1 x dl 2 x ro 21 = dl1dl1 sin dl 2 , ro 21 sin dl 1 , dl 2 x ro 21 = 0
jer je ugao
(dl , r
2
0
o 21
d F 12 ≠ d F 21
a)
b)
Slika 1.5. Primer kada izraz za magnetsku silu ne zadovoljava zakon akcije i reakcije
8
1.3. Pojam magnetskog polja i vektor magnetske indukcije. Bio-Savarov
zakon
I ovde se kao i u elektrostatici uvodi pojam polja, ali magnetskog, koje ima ulogu posrednika
→
u delovanju silom jednog strujnog elementa na drugi. Zbog toga kažemo da struja I1 u elementu dl 1
modifikuje svoju okolinu (vakum) tako što stvara magnetsko polje i ono deluje na mestu gde se
→
nalazi element dl 2 . Prema ovakvom shvatanju, izraz (zakon) za silu
d F 12 =
(
)
(
)
µo I1 I 2 dl 2 x dl 1 x ro 12
4π
r2
se može napisati u obliku
 µ I dl 1 x r
d F 12 = I 2 dl 2 x o 1 2 o 12
 4π
r



→
Izraz u zagradi opisuje delovanje strujnog elementa I 1 dl 1 u odnosu na neku tačku na
→
rastojanju r. Element na koji ono deluje može biti i neki drugi element, na primer I 3 dl 3 , umesto
→
I 2 dl 2 . U izrazu za silu bi sve ostalo isto, samo bi se umesto indeksa 2, sada pojavio indeks 3.
→
Izraz u zagradi se naziva vektor magnetske indukcije3 strujnog elementa I dl , koji se
→
obeležava sa d B , i naziva Bio-Savarov zakon, tj.
dB =
µo I dl x ro
4π r 2
pri čemu su indeksi izostavljeni kao suvišni. Naziva se i Laplasov ili Amperov zakon. Izraz je
ilustrovan slikom 1.6.
Slika 1.6. Uz definiciju Bio-Savarovog zakona
U skalarnom obliku, dobija se intenzitet vektora dB
3
→
Vektor magnetske indukcije se obeležava sa
B.
9
dB = d B =
→
→
µo Idl sin α
4π
r2
gde je α – ugao izmeñu vektora dl i r 0 .
→
Iz vektorske relacije za Bio-Savarov zakon je očigledno da je d B normalan (pod pravim
→
→
uglom) na ravan koju čine vektori dl i r 0 .
→
→
Smer d B se odreñuje po pravilu desne zavojnice kada se dl okreće tako da se najkraćim
→
putem poklopi sa r 0 .
→
Smer dl je odreñen referentnim smerom struje u konturi (isti je kao referentni smer struje u
konturi).
→
Ako posmatramo tanak provodnik C, kroz koji postoji struja jačine I, B koju stvara ovaj
→
provodnik u ma kojoj tački, odreñuje se kao vektorski zbir d B koje u toj tački stvaraju svi elementi
strujne konture C (za male strujne elemente suma postaje integral), tj.
B=
µo Id l x ro
4π C∫ r 2
→
što predstavlja relaciju za vektor magnetske indukcije B u okolini tanke strujne konture.
→
Jedinica za intenzitet vektora B je N/(Am), ali je u čast Nikole Tesle (1856-1943) dobila
naziv “tesla” i označava se sa slovom T.
Na primer, horizontalna komponenta magnetske indukcije Zemlje, na našoj teritoriji je oko
0,2 10-4 T, a vertikalna oko 0,35 10-4 T. U okolini provodnika sa strujom, u vazduhu, je oko (10-6 do
10-2) T. U jezgrima feromagnetskih materijala pobuñenim zavojnicama sa strujom B je (0,1 – 1) T.
Može se dobiti i nekoliko tesla.
→
Primer 1.5. Odrediti vektor B na u nekoj tački na osi koja prolazi kroz centar kružne
strujne konture (zavojak) sa strujom I, i poluprečnika a, koja se nalazi u vakumu. Osa je normalna
→
na ravan konture (slika 1.7a). Još teži je zadatak odreñivanje vektora B u tačkama van ose, i takav
problem nećemo rešavati4).
Da bismo primenili Bio-Savarov zakon, izdelimo konturu na niz strujnih vektorskih
→
elemenata d l , čija se orijentacija poklapa sa referentnim smerom struje (slika 1.7b). Vektor
magnetske indukcije jednog strujnog elementa je d B =
µ o Id l x ro
. Na slici 1.7b prikazan je
4π r 2
→
→
vertikalni presek sistema sa slike 1.7a. Osa z, poteg r i vektor d B leže u ravni crteža, a vektor d B
→
→
→
s osom z zaklapa ugao α. Vektor d l je normalan na ravan crteža. Kako su vektori d l i r 0 pod
90 0 , to je algebarski intenzitet vektora d B dat relacijom dB =
→
→
µ o Idl
→
2 .Vektor d B se može
4π r
→
razložiti na vertikalnu komponentu ( d B z ) i horizontalnu kompnentu ( d B h ). Ako posmatramo
4
Odreñivanje vektora
→
B u tačkama van ose zahteva primenu eliptičkih integrala.
10
→
→'
→
→'
horizontalne komponente od d l i d l , zaključujemo da se one poništavaju ako je d l = d l .
→
Zbog toga ostaje da saberemo (integralimo) samo vertikalne komponente vektora d B . Kako je
a
dB z = dB cos α , gde je cos α = i r = a 2 + z 2 , to je
r
Bz = ∫ dBz =
C
µo Idl a µo Ia
µo Ia 2
=
dl
=
=
4π C∫ r 2 r 4π r 3 C∫
2r 3
gde je sa C označena kontura zavojka, a
(
µo Ia 2
2a +z
2
)
3
2 2
∫ dl = 2πa je obim tog zavojka.
C
Vidi se da su referentni smer strujne konture i smer rezultantne magnetske indukcije vezani
pravilom desne zavojnice (ili desne ruke: ako se savijeni prsti desne ruke postave u smeru struje,
→
opružen palac pokazuje smer B ).
Slika 1.7 a) kružni zavojak sa strujom, b) magnetska indukcija na osi koja je normalna na njegovu
ravan i prolazi kroz njegova centar
Primer 1.5a. U praksi se često koriste kalemovi. Ako pretpostavimo da kalem ima N
kružnih zavojaka poluprečnika a, koji su tesno priljubljeni jedan uz drugi, i ako je kalem tanak,
onda je magnetska indukcija na osi kalema N puta magnetska indukcija jednog zavojka, tj.
Bz kalema = NBz zavojka =
µo NIa 2
(
2 a2 + z2
)
3
2
→
Primer 1.6. Odrediti vektor B u centru kružne strujne konture poluprečnika a, koja se
nalazi u vakumu (slika 1.7c).
→
Uočimo element dl . Njegov smer je odreñen referentnim smerom struje u konturi. Jedinični
→
→
→
vektor r 0 je usmeren od vektora dl ka tački, u centru konture, u kojoj odreñujemo B .
→
Da bi odredili vektor B , potrebno je da odredimo njegov pravac, smer i intenzitet.
11
→
→
→
Pravac vektora d B je normalan na ravan konture, jer u toj ravni leže vektori dl i r 0 . Smer
→
→
→
vektora d B je odreñen vektorskim proizvodom dl x r 0 , odnosno usmeren je u ravan crteža u kojoj
→
leži kontura (slika 1.7b). Polazeći od izraza za Bio-Savarov zakon, za intenzitet d B dobijamo
dB = d B =
µo Idl sin (π / 2) µo Idl
=
4π
a2
4π a 2
Slika 1.7. a) kružni zavojak sa strujom, b) magnetska indukcija u njegovom centru
→
→
Ako uočimo drugi element dl ' , možemo uočiti da je pravac i smer d B ' koji od njega potiče
→
→
u istoj tački, u centru konture, isti kao i d B . Lako je zaključiti da su d B od svih strujnih
elemenata konture istog pravca i smera, pa se njihov intenzitet može jednostavno sabirati
→
(integraliti), tj. ukupan intenzitet B je
µ0 Idl µ0 I
µI
µI
=
dl = 0 2 2πa = 0
2
2 ∫
4πa
4πa C
4πa
2a
C
B = ∫ dB = ∫
C
Napomena:
∫ dl = 2πa predstavlja obim konture (kružnice) poluprečnika a.
C
Rezultat dobijen u primeru 1.6, se dobija i iz rezultata u primeru 1.5, ako se stavi z=0 (a>0).
→
Primer 1.7. Odrediti vektor B u okolini tankog pravog provodnika konačne dužine kroz
koji protiče struja I (slika 1.8a).
→
→
Opet uočimo element dl , i na već opisan način, odredimo pravac i smer d B koji on stvara
u tački na normalnom rastojanju R od pravog provodnika (slika 1.8b). Ako uočimo drugi element
→
→
dl ' , i ovde možemo uočiti da je pravac i smer d B ' koji od njega potiče u istoj tački (ali je sada
→
neko rastojanje R’, slika 1.8b), istog pravca i smera kao i d B . Intenzitet vektora dB je
dB =
µ o Idl sin α
4π
R2
→
→
Prema tome i ovde se ukupan intenzitet B , odnosno B, dobija sabiranjem intenziteta d B
odnosno dB, tj.
B=
∫ dB =
duž prov.
µ0 Idl sin α
∫ 4πR 2
duž prov.
12
(1)
Ovde rešavanje nije tako jednostavno, kao u primeru 1.5 (iako je geometrija provodnika
jednostavnija), jer se pri kretanju duž provodnika menja i R i ugao α. Da bismo integral sveli na
jednu promenjivu, postupimo kao što je prikazano na slici 1.8c.
Slika 1.8. Odreñivanje magnetske indukcije tankog pravog provodnika sa strujom
→
→
Uvodimo novi ugao θ, izmeñu potega (od tačke A u kojoj odreñujemo B i dl ) i normalnog
rastojanja r provodnika i tačke A, tako da je njegov referentni smer od tog potega (ugao je skalarna
veličina i nema smer, ali ga mi ovde posmatramo kao usmerenu skalarnu veličinu). Promena tog
ugla, usled veličine dl je dθ. Sa slike 1.8c se vidi da je α= (π/2)+θ, pa je
π

sin α = sin  + θ  = cos θ
2

U trouglu CDE je CD ≈ Rdθ . Iz istog trougla je cosθ =
cosθ =
Rdθ
, a iz trougla ABC je
dl
r
rdl
2
. Iz ove jednakosti se dobija R =
, pa se posle zamene u relaciju (1), dobija
R
dθ
B=
µ0 I cosθdθ
4π
r
duž prov.
∫
13
Sve ono što su konstante, može se izvući ispred integrala, a to su pored µ i π, i I i r (r je
normalno rastojanje tačke A od provodnika i ne menja se u toku kretanja (integracije) duž
provodnika). Prema tome dobijamo
µI
µI
µI
B= 0
cos θdθ = 0 ∫ cos θdθ = 0 sin θ
∫
4πr duž prov.
4πr θ
4πr
θ2
θ2
θ1
1
odnosno
B=
µ0 I
(sin θ 2 − sin θ1 )
4πr
(2)
Dobijeni izraz važi za prav provodnik konačne dužine. Uglovi θ1 i θ2 imaju značenje kao na
slici 1.9, pri čemu je θ1 < 0, i θ2 > 0. Ugao θ2 je ugao pod kojim se iz tačke A vidi gornji kraj
provodnika (kraj ka kome je usmerena strelica za referentni smer struje, istog je smera), a ugao θ1 je
ugao pod kojim se vidi donji kraj provodnika, u odnosu na poteg koji predstavlja normalno
→
rastojanje do provodnika. Izraz daje samo intenzitet, pa se smer vektora B odreñuje pravilom
→
desne ruke (ispružiti palac u smeru struje, a savijeni prsti pokazuju smer B ).
θ2
A
I
θ1
Slika 1.9. Uz izračunavanje intenziteta magnetske indukcije pravog provodnika izrazom (2)
→
Očigledno da je odreñivanje B u ovom slučaju dosta komplikovano. Kasnije ćemo pokazati
da je to, u odreñenim slučajevima, moguće uraditi i jednostavnije.
→
Primer 1.8. Odrediti vektor B u okolini tankog pravog veoma dugog (beskonačno dugog)
provodnika sa strujom I (slika 1.10a).
Imajući u vidu relaciju dobijenu u primeru 1.7, i sliku 1.10b, sa koje je očigledno da je θ2 =
π/2, i θ2 = - π/2, dobija se
B=
µ0 I
(sin θ2 − sin θ1 ) = µ0 I sin π − sin − π  = µ0 I [1 − (− 1)] = µ0 I
4πr
4πr  2
2πr
 2  4πr
→
Slika 1.10. Odreñivanje intenziteta B beskonačno dugog provodnika sa strujom
14
Ako je I=1 A, I r=1 cm, dobija se da je B= 2 10-5 T.
Ovde je interesantno uočiti, da s obzirom da je r=const. to je i B=const. Očigledno B je istog
intenziteta u svim tačkama na istom rastojanju od provodnika. Te tačke su linija, paralelna
provodniku na rastojanju r, kada se posmatra ravan u kom slučaju su pored intenziteta isti i smerovi
→
B , ili cilindar, čija je osa posmatrani provodnik, u kom slučaju su isti intenziteti, a pravci i smerovi
→
→
vektora B samo na liniji. Očigledno vektor B je tangentan na sve tačke kružnice čiji je centar u osi
provodnika, a intenzitet mu je isti u svim tačkama te kružnice.
→
→
→
Smer vektora B se može odrediti vektorskim prozvodom dl x r 0 , ili tzv. pravilom desne
ruke: palac desne ruke se postavi u (referentnom) smeru struje kroz provodnik, a savijeni prsti
→
pokazuju smer vektora magnetske indukcije B .
1.3.1. Linijske, površinske i zapreminske struje
Izrazi
dB =
µo I dl x ro
4π r 2
B=
i
µo I dl x ro
4π C∫ r 2
mogu se koristiti za tanke žičane provodnike, tj. linijske struje. Mogu se formirati izrazi i za debele
provodnike (zapreminske struje) i površinske struje.
Neka je S površina poprečnog preseka provodnika dužine dl (slika 1.11), tada je
Id l = Id l
S
= J Sdl = J dv = J v dv
S
jer je Sdl=dv, zapremina strujnog elementa dl, ( J dv je strujni element zapreminske struje), pa je
dB =
µ o J x ro
dv
4π r 2
što predstavlja magnetsku indukciju koja potiče od struje gustine J u elementu zapremine dv. Prema
tome ovde je J zapreminska gustina struje (uočite da se zapreminska gustina struje definiše kao I/S).
Za površinsku gustinu struje Js, na elementu površine ds, je
dB =
gde je
µo J s x ro
ds
4π r 2
J s ds je strujni element površinske struje.
Slika 1.11. Delić provodnika dužine dl i površine poprečnog presaka S
15
1.3.2. Izraz za intenzitet vektora magnetske indukcije kada su svi strujni
elementi u istoj ravni
→
Sada ćemo izvesti još jedan oblik obrazca za B, koji je pogodan za primenu. Tražimo B u
ravni ravne strujne konture (dakle ne bilo kakvog oblika, već gde svi strujni elementi leže u jednoj
ravni). Izraz će se uprostiti (i biti jednostavniji za primenu, ali samo za odreñene slučajeve, jer više
→
→
→
→
ne važi uopšte), jer dl i r 0 su sada u istoj ravni, pa je d B upravan na tu ravan. Svi d B su istog
→
→
pravca, ali nisu svi istog smera (slika 1.12). Očigledno je da je d B ' suprotnog smera od d B .
→
→
Slika 1.12. B kada su svi elementi konture i tačka odreñivanja B u istoj ravni
→
→
Usvojimo smer d B kao referentni, pa su svi d B koji potiču od dela konture P-dl-P’
→
pozitivni, a svi d B ' koji potiču od dela konture P-dl’-P’ negativni.
Struja u dl stvara u tački M magnetsku indukciju datu izrazom
dB =
→
→
µo Idl sin α
4π
r2
gde je α ugao izmeñu vektora r 0 i dl , koji je (vidi se sa slike 1.12) manji ili jednak π (≤π), pa je
sinα≥0, tj. pozitivan. Intenzitet magnetske indukcije dB, dakle, dobija algebarsku vrednost u odnosu
→
→
na ugao α. Usvaja se da je α meren od r 0 ka dl pozitivan (referentni smer, smer suprotan kazaljci
na satu).
Uvedimo referentnu osu i u odnosu na nju ugao θ, sa smerom od referentne ose do potega od
→
tačke u kojoj tražimo B do strujnog elementa. Iz slike 1.13, na kojoj je prikazan detalj sa slike 1.12,
mogu se uspostaviti sledeće veze: dl kao projekcija na pravac upravan na poteg r jednak je rdθ, pa je
rdθ / 2 rdθ
sin α =
=
dl / 2
dl
Posle zamene, ovog izraza, u prethodni izraz za dB, dobijamo
dB =
µo Idl sin α µo I rdθ µ o I dθ
=
=
4π
r2
4π r 2
4π r
Uočimo da je ovde r≠const., pa je
B = ∫ dB =
C
16
µ o I dθ
4π C∫ r
(3)
Ovaj izraz važi za B u tačkama u ravni ravne strujne konture. Ako se, u rezultatu proračuna,
→
dobije B<0,to znači da je stvarni smer B suprotan od referentnog.
α
90 0
rd θ
α
dθ
dl
r
M
θ
Slika 1.13. Detalj strujnog elementa sa slike 1.12.
→
Referentni smer za B je sa referentnim smerom ugla θ vezan pravilom desne zavojnice ili
pravilom desne ruke (savijene prste desne ruke postavimo u smeru ugla θ, a ispruženi palac tada
→
pokazuje smer B ).
Ovaj izraz je praktičan za upotrebu. Pokažimo to na primerima.
→
Primer 1.9. Odrediti vektor B u centru kružne strujne konture poluprečnika a (kao na slici
1.7a, što smo rešavali direktnom primenom Bio-Savarovog zakona), samo je sada suprotan smer
struje.
Usvojimo referentnu osu, i u odnosu na nju ugo θ, sa smerom kao na slici 1.14 (odgovara
→
referentnom smeru struje I). Pravac vektora B mora biti takav da je normalan na ravan konture
→
(normalan na ravan papira, ako kontura leži u ravni papira). Smer B je odreñen pravilom desne
→
→
ruke. Očigledno od svih elementa dl , smer d B je isti.
→
Slika 1.14. Odreñivanje B u centru kružne strujne konture primenom relacije (3)
→
Intenzitet vektora B , u centru konture je
B=
µo I
µo I
µ o I dθ µo I 2π
=
d
=
2
=
π
θ
4π C∫ r
4πa ∫0
4πa
2a
17
Napomena: r = a = const. Očigledno dobili smo isti rezultat kao u primeru 1.6 (slika 1.7), ali
mnogo jednostavnije.
→
Primer 1.10. Odrediti vektor B u okolini tankog pravog veoma dugog (beskonačno dugog)
provodnika sa strujom I (pravo strujno vlakno, slučaj kao na slici 1.10a).
→
Slika 1.15. Odreñivanje B u okolini pravog provodnika primenom relacije (3)
→
Neka provodnik leži u ravni papira, a i tačka u kojoj tražimo B mora da leži u ravni papira.
→
→
Onda pravac vektora B mora biti takav da je normalan na ravan papira. Smer B je odreñen
→
→
pravilom desne ruke (slika 1.15). Očigledno od svih elementa dl , smer d B je isti.
d
d
, odakle je r =
, onda za intenzitet vektora
r
cosθ
Ako, sa slike 1.15, uočimo da je cosθ =
→
B , u tački na normalnom rastojanju d, od provodnika, imamo
µ I
B= o
4π
θ2
dθ µ o I
∫θ r = 4π
1
π
π
cos θdθ µ o I
∫π d = 4πd
2
2
−
2
µo I 
π
 π 
µo I
∫π cos θdθ = 4πd sin 2 − sin − 2  = 2πd
−
2
Očigledno, za provodnik konačne dužine, i ovde se dobija izraz
B =
µ0I
(sin θ 2 − sin θ 1 )
4π r
Očigledno je da smo do istog rezultata došli jednostavnije nego u primeru sa slike 1.10.
1.4. Sila i momenat na strujnu konturu u magnetskom polju
Rezultantna sila i rezultantni momenat na neku strujnu konturu u magnetskom polju mogu
se, u principu, izračunati pomoću formule
d F 12 =
(
µo I1 I 2 dl 2 x dl1 xro 12
4π
r2
)
Meñutim, ako se uzme u obzir Bio-Savarov zakon, do koga smo došli izdvajanjem dela koji
se odnosi na izvor polja, tj.
(
 µ I dl1 x r
d F 12 = I 2 dl 2 x o 1 2 o 12
 4π
r

18
)


može napisati u kompaktnijem obliku
d F 12 = I 2 d l 2 xd B1
→
→
→
gde je d B 1 vektor magnetske indukcije koji struja u elementu d l 1 stvara na mestu elementa d l 2 .
→
Očigledno da magnetsku indukciju na mestu nekog elementa d l , na koji tražimo silu, može
→
da stvara više strujnih elementa (a ne samo struja u elementu d l 1 ), pa i stalni magneti, pa dakle ako
→
→
poznajemo vektor magnetske indukcije B na mestu elementa d l sa strujom I (strujni element
→
→
5
Id l ), onda je sila na strujni element u tački gde je magnetska indukcija B , data izrazom
d F = Id l x B
Ukupna sila na provodnik proizvoljnog oblika, sa strujom I, u magnetskom polju magnetske
→
indukcije B je data izrazom
F=
∫ Id l x B
duž. provodnika
Struja I se obično može izvući ispred integrala (ako nema grananja provodnika ili konture), a
→
B , u opštem slučaju, nemože, ako nije istog pravca i smera duž provodnika (konture).
Primer 1.11. Odrediti rezultantnu silu na konturu sa strujom I, u homogenom magnetskom
→
polju indukcije B .
Dakle imamo primer gde je I=const. i nema grananja struje, a polje je homogeno
→
( B =const.), pa primenom prethodnog izraza dobijamo
F=
jer je
∫ dl = 0




Id
l
x
B
=
Id
l
x
B
=
I
d
l
∫
∫
 ∫ xB = 0
duž. provodnika
C
C 
(suma vektora u zatvorenom poligonu je nula). Kod kružne konture se ovo lako
C
→
pokazuje ako se uoče parovi d l na krajevima bilo kog prečnika. Suma tih parova je nula (dva
→
vektora istog intenziteta a suprotnih smerova), pa je i suma svih d l duž kružne konture nula6.
Primer 1.12. Odrediti podužnu silu na dva paralelna tanka prava provodnika sa strujama
istog intenziteta a suprotnog smera.
Magnetsku indukciju koju jedan veoma dug provodnik sa strujom stvara u tački na mestu
drugog provdnika znamo da odredimo (radili smo dva takva primera, polazeći od Bio-Savarovog
→
zakona, i od relacije koja važi kada su provodnik i tačka, u kojoj se traži B , u istoj ravni). Neka
5
Slični izrazi se dobijaju i ako se radi o zapreminski ili površinski raspodeljenim strujama, ako se adekvatno zameni
→
Id l .
6
Ako je magnetsko polje nehomogeno, onda postoji rezultantna sila na konturu, jer sile na parove strujnih elemenata
neće biti iste.
19
→
provodnik 1 u tački na rastojanju d (tačke provodnika 2) stvara magnetsku indukciju B 1 intenziteta
B1 =
µo I
.
2πd
Sila kojom provodnik 1 deluje na segment A1A2 = a, provodnika 2 (slika 1.16) je
 A2


=
Id l x B = I ∫ d l 2 x B 1 = I ∫ d l 2  x B 1
∫
A

duž. provodnika
A1
 1

A2
F A1 A 2
odnosno
F A1 A2 = IaB1 i x
gde je i x jedinični vektor x-ose ( d l x B 1 daje vektor u pravcu x ose). Posle zamene izraza sa B1, za
intenzitet podužne sile (sila po jedinici dužine) dobija se
µ0 I 1 µ0 I 2
F =
= Ia
=
a
2πd a 2πd
'
12
FA1 A2
Ako je d=1 m, I=1 A, dobija se
F12' = 4π 10− 7
12
2π ⋅1
= 2 ⋅10− 7 N
Ovaj rezultat služi za definiciju jedinice za jačinu struje, tj. ampera (A).
Slika 1.16. Odreñivanje podužne sile na dva paralelna tanka prava provodnika
Posmatrajmo sada proizvoljnu krutu (nedeformabilnu) konturu sa strujom I u magnetskom
→
polju (koje stvara neka druga strujna kontura ili stalni magnet). Moment elementarne sile d F koja
→
deluje na element d l u odnosu na osu osu OO’ (slika 1.17, moment sila se definiše u odnosu na
odabranu fiksnu tačku, gde je r poteg napadne tačke sile) je
(
)
( )
∫ I r x(d l x B )
d M = r xd F = r x Id l x B = I r x d l x B
Rezultantni momenat na provodnik ili konturu je
M=
∫dM =
duž. provodnika
duž. provodnika
20
Slika 1.17. Uz definiciju momenta na konturu
Samostalno odrediti momenat na kružnu strujnu konturu u homogenom magnetskom polju
→
indukcije B .
U primeru 1.5 (slika 1.7), kao rezultat, za intenzitet magnetske indukcije na osi, na
rastojanju z od centra konture, dobili smo
B=
µ0 I
2
a2
(a
2
+z
)
3
2 2
Za z>>a (tačke veoma daleko na osi konture), dobija se
B=
µ0 I a 2
2 z3
Uvedimo vektor magnetskog momenta kružne konture sa strujom, kao
m = a 2πI n = SI n = I S
a S = S n , površ konture tretirana
gde je a π = S , površina konture,
kao vektor, gde je n
normala na površ konture, a smer te normale se odreñuje po pravilu desne ruke u odnosu na smer
struje kroz konturu. Magnetski moment konture (slika 1.18, na prve dve slike levo prikazana
kontura u prostoru, a na slici desno u preseku) ćemo kasnije mnogo koristiti. Sada se prethodni izraz
za B može transformisati na sledeći način:
2
µ0
µ0 I a 2 π
B=
n=
m
3
3
2 z π
2π z
Slika 1.18. Vektor magnetskog momenta kružne strujne konture
→
Može se uočiti da B zavisi od proizvoda
nam kasnije biti važno.
21
IS
(odnosno
m ), a ne I i S
zasebno, što će
Rezultantni momenat magnetskih sila na konturu sa strujom I u magnetskom polju indukcije
B
može se napisati u obliku
M = I S x B = mx B
gde je
m magnetski moment strujne konture.
Iz poslednje relacije je očigledno da moment magnetskih sila teži da okrene konturu tako da
se vektori
m
i
B
poklope, odnosno da se kontura postavi normalno u odnosu na vektor magnetske
indukcije B . Ovaj zaključak će biti veoma značajan kod analize ponašanja materijala u
magnetskom polju, jer kretanje elektrona u atomu materijala možemo tretirati kao elemenarnu
strujnu konturu, koja ima svoj elementarni magnetski momenat.
1.5. Linije vektora magnetske indukcije
Još smo u elektrostatici videli da linije nekog vektora predstavljaju zamišljene linije takve da
je na njih taj vektor tangentan u svakoj tački. Linije vektora B su korisne za predstavljanje
magnetskog polja. Iz prethodnog primera smo videli da ravna strujna kontura u magnetskom polju
teži da se postavi upravno na linije B (da je normala na ravan konture paralelna sa B ). Isti je slučaj
i sa magnetskom iglom7. To omogućava da se eksperimentalno odrede linije B (slika 1.19).
Slika 1.19. Magnetska igla u magnetskom polju postavlja se u pravcu linija B
Na osnovu Bio-Savarovog zakona d B =
µo I dl x ro
4π r 2
mogu se, u nekim slučajevima, linije
B odrediti računski. Na primer linije B strujnog elementa (slika 1.20).
→
→
Kao što nam je poznato, d B je normalan na ravan koju čine dl i r 0 . Kako je magnetsko
→
polje simetrično oko ose elementa dl , odatle sledi da su linije B strujnog elementa krugovi sa
→
centrima na pravcu dl . Lako je videti da je intenzitet B isti u svim tačkama jednog kruga.
7
Magnetska igla je mali stalni magnet koji se može slobodno kretati u prostoru, a u magnetskom polju se uvek postavlja
paralelno B tako da se smer južni pol – severni pol poklapa sa smerom linija B . Slična je situacija sa metalnim
opiljcima. Možda ste još u osnovnoj školi pravili eksperiment, u kome se opiljci poreñaju u skladu sa linijama
magnetskog polja.
22
Slika 1.20. Linije B strujnog elementa
Na osnovu prethodnog se zaključuje da su za dugačak tanak provodnik, linije B krugovi sa
centrima na osi provodnika (slika 1.21).
Polazeći od linija B strujnog elementa, linije B kružnog zavojka sa strujom, su kao na slici
1.22a, a za dva bliska koaksijalna zavojka kao na slici 1.22b. Na istim slikama je prikazana i
približna zavisnost intenziteta B od normalnog rastojanja od centra zavojka.
.a)
b)
Slika 1.21 a) Linije vektora magnetske indukcije pravog provodnika, b) pogled odozgo na sliku (a)
Slika 1.22. Linije B : a) jednog kružnog zavojka, b) dva bliska koaksijalna kružna zavojka
Ako imamo niz gusto namotanih zavojaka, na primer, na kartonsko telo konačne dužine, što
se naziva solenoid, linije B izgledaju kao na slici 1.23.
23
Slika 1.23. Linije vektora magnetske indukcije gusto motanog solenoida
Na kraju možemo zaključiti da linije vektora magnetske indukcije
B:
nemaju ni početka ni kraja (zatvaraju se same u sebe), jer se i linije B strujnog elementa
zatvaraju same u sebe, a magnetsko polje bilo kakve raspodele struja se dobija kao zbir polja
velikog broja strujnih elemenata,
- to znaći da u prirodi nema “magnetskih opterećenja” analognih električnim, na kojima bi
počinjale, odnosno završavale linije B .
Kod korišćenja relacije za odreñivanje intenziteta B pravog provodnika konačne dužine,
važno je pravilno odrediti vrednost i predznak uglova (nekoliko primera je dato na slici 1.24).
Napominjemo da su odreñivanje magnetske indukcije strujnog elementa, provodnika sa strujom
(beskonačno dugog i konačne dužine) i kružne strujne konture, veoma značajni, jer se rešavanje
velikog broja problema može svesti na njihovo rešavanje (slika 1.25), u što se može uveriti i radeći
zadatke na auditornim vežbama. Na primer izlomljeni provodnik se sastoji od dva elementa, kriška
se sastoji od polukruga i provodnika konačne dužine, pravougaona kontura se sastoji od četiri
provodnika konačne dužine, traka se može izdeliti na provodnike, itd.
-
Slika 1.24. Primeri odreñivanja uglova za primenu relacije (3)
Slika 1.25. Primeri odreñivanja intenziteta B koji se mogu svesti na odreñivanje magnetske
provodnika sa strujom i kružne strujne konture
24
1.6. Fluks vektora magnetske indukcije. Zakon održanja magnetskog fluksa
Zamislimo neku površ S u magnetskom polju. Po definiciji fluks vektora B kroz tu površ
jednak je zbiru skalarnih proizvoda
B∆ S
po površi (slika 1.26), gde je
površi S. Kada je vektorski element površi diferencijalno mali, tj.
∆S
vektorski element
d S , zbir postaje integral, pa je
fluks vektora manetske indukcije B kroz površ S, označimo ga sa Φ (grčko slovo “fi”), jednak
Φ = ∫ Bd S
S
Slika 1.26. Uz definiciju fluksa vektora magnetske indukcije
Fluks vektora magnetske indukcije, naziva se kraće magnetski fluks. To je jedna od
najvažnijih veličina u elektrotehnici. Koristi se kod analize i proračuna električnih mašina.
Jedinica za magnetski fluks je Tm2. Pre uvoñenja jedinice “tesla”, imala je posebno ime
veber (Wb).
Za odreñivanje magnetskog fluksa potrebno je poznavati B , a to smo do sada naučili da
odreñujemo.
Primer 1.13. Odrediti magnetski fluks kroz pravougaonu konturu u magnetskom polju koje
stvara struja kroz veoma dug prav tanak provodnik (slika 1.27a).
Slika 1.27. Odreñivanje magnetskog fluksa kroz pravougaonu konturu u magnetskom polju veoma
dugog pravog tankog provodnika
25
S obzirom da znamo da odredimo vektor B u tačkama u okolini veoma dugog pravog
provodnika, a to znači i u tačkama pravougaone konture, nećemo to ponavljati, već početi od tog
izraza, tj. B =
µo I
, gde je x normalno rastojanje tačke od provodnika. Pravac vektora B je
2πx
normalan na ravan pravougaone konture (provodnik i kontura leže u istoj ravni), a smer mu je
odreñen po pravilu desne ruke u odnosu na smer struje kroz provodnik (slika 1.27b).
Kod odreñivanja fluksa je veoma važno pravilno odabrati elementarnu površ za
izračunavanje fluksa d S , kako bi se integral što lakše računao. U našem slučaju, za tu površ,
pogodan je mali pravougaonik čija je jedna stranica jednaka stranici b konture, a druga stranica je
elementarno mala, tj. dx (slika 1.27), pa je površ tog pravougaonika dS=bdx. Normala na površ
pravougaone konture, a to znači i na površ dS odreñuje se po pravilu desne zavojnice u odnosu na
usvojeni smer obilaska konture (slika 1.26b). Imajući u vidu relaciju za B, očigledno je da je u svim
tačkama takve površi B istog pravca kao i normala na površ, ali suprotnog smera, ali i istog
intenziteta u svim tačkama jedne elementarne površi. Prema tome za magnetski fluks se dobija
Φ = ∫ Bd S = ∫ BdS cos π = − ∫ BdS
S
S
S
Posle zamene izraza za B, u prethodni izraz, dobijamo
Φ = − ∫ Bbdx = −
S
d +a
∫
d
µ 0 Ib
µ 0 Ib d + a dx
dx = −
2πx
2π ∫d x
Rešavanjem integrala, dobijamo
Φ=−
µ 0 Ib
ln x
2π
d +a
d
=−
µ 0 Ib d + a
ln
2π
d
Da smo usvojili suprotan smer obilaska konture, u rezultatu ne bi bilo predznaka “-“. S
obzirom da smo smer obilaska konture proizvoljno usvojili, a od toga zavisi predznak ispred
rezultata, to taj predznak nema fizički smisao.
Magnetski fluks ima jednostavnu ali važnu osobinu (koju ćemo kasnije koristiti): jednak je
nuli kroz zatvorenu površ bilo kog oblika. To se obično naziva zakon održanja (konzervacije)
magnetskog fluksa. Matematički se piše u obliku
∫ Bd S = 0
S
Uočite sličnost sa I Kirhofovim zakonom za vremenski konstantne struje ( ∫
S
Jd S = 0
), samo
što umesto J stoji B .
Dokaz:
Zasniva se na sledećem:
poznato nam je da je B u nekoj tački polja od bilo kakvog sistema struja jednak
zbiru (vektorskom) d B koje stvaraju pojedini strujni elementi d l sistema,
fluks kroz bilo koju površ jednak je zbiru flukseva koje kroz tu površ stvaraju
pojedini strujni elementi sistema,
ako se dokaže da je fluks koji jedan strujni element stvara kroz zatvorenu površ bilo
kakvog oblika jednak nuli, odatle sledi da i ukupan fluks kroz zatvorenu površ mora biti jednak
nuli.
26
Pokazali smo da su linije B strujnog elementa krugovi sa centrima na osi elementa, a B je
isti u svim tačkama jednog takvog kruga. Zamislimo jednu tanku kružnu tubu, zatvorenu samu u
sebe, poprečnog preseka dS (ne mora biti kružni). Neka ta tuba prolazi kroz neku zamišljenu
zatvorenu površ (slika 1.28). Tuba je zatvorena sama u sebe, pa mora da prolazi kroz zatvorenu
površ dva puta (ili paran broj puta).
Slika 1.28. Fluks B jednog strujnog elementa kroz zatvorenu površ je jednak nuli
Pozitivnu normalu na zatvorenu površ uvek usmeravamo od površi upolje.
Fluks dΦ je istog intenziteta (isti) kroz bilo koji presek tube (radi se o jednom strujnom
elementu). Tamo gde tuba ulazi u zatvorenu površ, fluks je negativnog predznaka, a gde izlazi
pozitivnog, a kako je fluks isti odatle sledi da je ∑ Φ = 0 za taj jedan strujni element, odnosno tubu.
Kako celo magnetsko polje (polje više strujnih elemenata) može da se podeli na ovakve
tube, sledi da je fluks ukupnog polja jednak nuli kroz bilo koju zatvorenu površ.
Na osnovu zakona o održanju magnetskog fluksa može se, takoñe, dokazati da je fluks kroz
sve površi koje su oslonjene na istu konturu isti. Pri tome pozitivan smer duž zatvorene konture i
smer normale na površ koja se na tu konturu oslanja moraju za sve površi biti vezani istim
pravilom. Usvaja se da je to bude pravilo desne zavojnice (slika 1.29).
Slika 1.29. Fluks kroz sve površi koje su oslonjene na istu konturu je isti
Neka je kontura C u magnetskom polju (slika 1.29). S1 + S2 čine zatvorenu površ. Na
osnovu zakona o održanju magnetskog fluksa, ukupan fluks kroz ovu zatvorenu površ jedak je nuli.
Ako su obe normale upolje (ili unutra), onda primenom zakona o održanju magnetskog fluksa
dobijamo
∫ Bd S = ∫ Bd S + ∫ Bd S = Φ
S1 + S 2
S1
1
− Φ2 = 0
S2
odakle sledi
Φ1 = Φ 2
Ovaj zaključak je koristan, jer se fluks može računati kroz onu površ za koju je
izračunavanje fluksa najjednostavnije, što ćete uočiti rešavajući zadatke.
27
Kako fluks ne zavisi od oblika površi, već samo od oblika konture, govori se o fluksu kroz
konturu, iako to nije u skladu sa definicijom. Meñutim, pogodno je kod odreñivanja indukovane
elektromotorne sile, kao što ćemo kasnije videti.
1.7. Kretanje naelektrisane ćestice u magnetskom i električnom polju
Jednačinom d F = Id l x B za silu na strujni element dužine d l i strujom jačine I, je, u
suštini, dat vektorski zbir magnetskih sila koje deluju na sva električna opterećenja koja se kreću u
elementu d l .
Kolika je magnetska sila na jedno električno opterećenje?
Posmatrajmo provodnik površine poprečnog preseka S, sa koncentracijom (zapreminskom
gustinom) slobodnih nosilaca opterećenja (naelektrisanja) N, i neka je naelektrisanje svakog nosioca
Q (neka postoji samo jedna vrsta nosilaca), i neka je njihova srednja usmerena brzina
element provodnika dužine dl, za Q>0, je
Id l = Id l
v . Tada, za
S
= JSd l = NQvSd l = QNSdl v
S
I
Napomena: J = S , J = NQv . Isti rezultat dobio bi se i za Q<0.
Kako Sdl predstavlja zapreminu elementa provodnika dužine dl i poprećnog preseka S, to
NSdl predstavlja ukupan broj slobodnih nosilaca naelektrisanja u elementu dl. Ako bi u elementu dl
postojao samo jedan slobodan nosilac naelektrisanja Q, onda je
Id l = Qv
Odatle sledi, u poreñenju sa relacijom
naelektrisanu česticu, koja se kreće brzinom
d F = Id l x B , da je magnetska sila na jednu
v
F m = Q vx B
F uvek upravna na trenutni pravac kretanja naelektrisane
ćestice (vektor vx B je upravan na vektor v ), slika 1.30. To znači da se pomoću magnetskog polja
Iz ove relacije se vidi da je sila
može samo promeniti pravac i smer kretanja naelektrisane ćestice, ali ne i intenzitet brzine ćestice.
Dakle, magnetsko polje može samo da skreće naelektrisanu ćesticu, ali nemože da joj promeni
kinetičku energiju.
Slika 1.30. Vektor magnetske sile je uvek upravan na trenutni pravac kretanja naelektrisane čestice
u magnetskom polju
28
Ovo ima primenu kod skretanja elektronskog mlaza u katodnim cevima, koje su mnogo
korišćene kod televizijskih prijemnika i monitora računara. Elektronski mlaz se ubrzava
elektrostatičkim poljem, a skreće magnetskim poljem (otklonske zavojnice).
Ako se naelektrisana ćestica kreće istovremeno u električnom i magnetskom polju, na nju
deluje ukupna sila (tzv. Lorencova sila, ili totalna sila)
F = Q E + Q vx B
Primer 1.14. Neka ćestica naelektrisanja Q ulazi brzinom v u magnetsko polje upravno na
vektor magnetske indukcije B (homogeno polje). Odrediti karakteristike putanje kretanja ćestice.
Na osnovu zakona mehanike možemo zaključiti da će se čestica kretati po krugu. Iz uslova
mv 2
, dobija se:
R
2πR 2πR 2πm
mv
T=
=
=
R
=
QBR
v
QB .
za poluprečnik kruga
i period jednog obrta
QB
m
Imajući u vidu relaciju Id l = Q v i Bio-Savarov zakon za strujni element
jednakosti intenziteta magnetske (centripetalne) i centrifugalne sile, tj. QvB =
dB =
µo I dl x ro
, posle zamene Id l sa Q v dobija se izraz za magnetsku indukciju tačkastog
4π r 2
naelektrisanja Q koje se kreće, u vakumu, konstantnom brzinom v u odnosu na posmatrača na
rastojanju r od naelektrisanja, tj.
B=
µ o Qvx ro
4π r 2
Uočimo da ako nema kretanja ( v = 0 ) magnetska indukcija je jednaka nuli.
Ako se dve naelektrisane ćestice (tačkasta naelektrisanja) kreću u odnosu na posmatrača, Q1
sa v 1 i Q2 sa v 2 , onda se može izvesti sledeći izraz za silu na naelekrisanje Q2:
F 12 =
(
µo Q2 v 2 x Q1 v1 x ro 12
1 Q1Q2
r
+
o
12
4πε 0 r 2
4π
r2
)
u kome se kao prvi član prepoznaje komponenta sile po Kulonovom zakonu. Drugi član je
magnetska sila izmeñu dva naelektrisanja Q1 i Q2, koja se kreću brzinama v 1 i v 2 respektivno.
Očigledno ako se ćestice ne kreću nema magnetske sile, dok električna sila postoji.
1.8. Holov efekat
Hol je još 1879. godine zamislio eksperiment kojim se može odrediti znak slobodnih
nosilaca naelektrisanja u provodnicima.
Posmatrajmo tanku provodnu traku širine d, koja se nalazi u homogenom magnetskom polju
indukcije B , upravno na ravan trake. Neka kroz traku postoji struja gustine J . Naelektrisane
ćestice koje obrazuju struju mogu, u principu, da budu pozitivne ili negativne (slika 1.31).
29
Pod dejstvom magnetske sile F m = Q vx B na jednoj ivici trake će se nagomilavati
pozitivna a na drugoj negativna opterećenja. Ona stvaraju svoje električno polje E H . To polje
deluje na slobodne nosioce silom suprotnog smera, a istog pravca kao magnetska sila. Proces
nagomilavanja na ivicama trake prestaje (pod dejstvom magnetskih sila) kada se izjednače
električna i magnetska sila, tj u ustaljenom stanju je
Q vx B = Q E H
, odnosno8
QvB = QE H , odakle je EH = vB
Slika 1.31. Holovi elemnti
E H je isto u svim tačkama provodne trake jer je v isto u celoj traci, a B je homogeno.
Zbog nagomilanog naelektrisanja, postoji razlika potencijala izmeñu leve i desne ivice trake,
čija je apsolutna vrednost
V1 − V2 = EH d = vBd
(1)
Ova razlika potencijala se može meriti preciznim voltmetrom. Na osnovu znaka razlike
potencijala može se zaključiti kog znaka su slobodni nosioci naelektrisanja u provodniku. U slučaju
na slici 1.31a, je V1 − V2 < 0 (Q>0), a u slučaju na slici 1.31b, je V1 − V2 > 0 (Q<0).
Ovo može poslužiti i za merenje intenziteta vektora magnetske indukcije B. Kako je
J = NQv , odakle je v = J /( NQ ) , posle zamene u relaciju (1), dobija se
V1 − V2 =
Jd
B
NQ
gde je N koncentracija slobodnih nosilaca.
Ako se razlika potencijala i intenzitet gustine struje izmere, B može da se izračuna. To su
tzv. Holovi elementi za merenje intenziteta vektora magnetske indukcije B.
8
Uočimo da
vx B možemo takoñe tretirati kao neko polje. Kasnije ćemo videti da je to indukovano električno polje,
kao posledica kretanja naelektrisane ćestice.
30
2. AMPEROV ZAKON
Vektor magnetske indukcije B proizvoljne raspodele vremenski konstantnih struja u vakumu
ima sledeću jednostavnu ali važnu osobinu. Ako zamislimo bilo kakvu zatvorenu konturu C u
magnetskom polju, linijski integral vektora B duž te konture (tj. zbir proizvoda Bd l duž konture
C) jednak je ukupnoj struji kroz bilo koju površ koja se oslanja na tu konturu, pomnoženoj sa µ0.
Ovo osobina se naziva Amperov zakon, i u matematičkom obliku glasi:
∫ Bd l = µ ∑ I
0
kroz C
C
Vremenski konstantna električna struja u provodnicima bilo kog oblika uvek može da se
zamisli kao snop tankih strujnih kontura (fluks vektora
J kroz površ koja se oslanja na konturu), tj.
∫ Jd S
I kroz C =
SC
Dokaz ove tvrdnje je isti kao dokaz da je fluks isti kroz bilo koju površ koja se oslanja na
konturu C, jer je
∫ J d S = 0 (tzv. I Kirhofov zakon), istog oblika kao relacija ∫ Bd S = 0
S
S
(zakon
održanja magnetskog fluksa), odakle je to izvedeno.
Prema tome, Amperov zakon se može napisati u opštem obliku
∫ Bd l = µ ∫ J d S
0
C
SC
i važi za vremenski konstantne struje u vakumu.
Leva strana izraza se čita “cirkulacija vektora B duž konture C”. C je zamišljena (ili
stvarna) proizvoljna zatvorena kontura. SC je površ proizvoljnog oblika koja se oslanja na konturu
C.
Orijentacija konture i smer normale na površ SC vezani su po pravilu desne zavojnice.
Predznak struje, pri sumiranju, odreñuje se u odnosu na normalu na površ.
Amperov zakon je moguće dokazati polazeći od Bio-Savarovog zakona. Za dokaz je
( )
potrebno znati pojam mešovitog proizvoda tri vektora A ⋅ B xC i pojam prostornog ugla. Kako je
dokaz Amperovog zakona složen, a ne doprinosi mnogo razumevanju njegovog smisla, nećemo ga
dokazivati.
Važna je primena Amperovog zakona.
Pomoću Amperovog zakona može se lako odrediti vektor magnetske indukcije
jednostavnih, ali praktično važnih slučajeva.
B u više
2.1. Primeri primene Amperovog zakona
Ilustrujmo primenu Amperovog zakona na nekoliko primera.
∑C (slika 2.1).
Prvo ilustrujmo proračun desne strane jednačine Amperovog zakona, tj. kroz
Neka su C1, C2 i C3 zamišljene konture kroz koje treba izračunati sumu struja. Sa slike 2.1 je
očigledno da je:
I
31
∑ I = 0 , pa je ∫ Bd l = 0
kroz C1
C
∑ I = I , pa je ∫ Bd l = µ0 I
kroz C 2
C
∑ I = − I , pa je ∫ Bd l = − µ0 I
kroz C 3
C
Slika 2.1. Primeri za proračun desne strane jednačine Amperovog zakona
-
Primene Amperovog zakona se mogu podeliti u dve grupe:
dokazi nekih opštih osobina vremenski konstantnih magnetskih polja, i
izračunavanje vektora magnetske indukcije B .
Primer 2.1. Odrediti B izvan i unutar (u svim tačkama prostora) pravog provodnika
kružnog poprečnog preseka poluprečnika a.
Ranije smo takav slučaj rešavali primenom Bio-Savarovog zakona, ali samo ako je
provodnik tanak, tj. kada je odstojanje tačke u kojoj se traži B mnogo veće od debljine provodnika.
Videćemo da sada mnogo brže možemo doći do rezultata, ali je neophodno da nešto znamo,
odnosno sami zaključimo, o obliku magnetskog polja. Na osnovu dosadašnjih znanja o vektoru
magnetske indukcije, u ovom slučaju zaključujemo:
-
u svim tačkama na istom odstojanju r od centra provodnika intenzitet
sa promenom rastojanja od centra provodnika r,
B je isti, ali se menja
smer B se odreñuje po pravilu desne zavojnice u odnosu na smer struje kroz provodnik
(pravilo desne ruke).
Dakle zaključili smo da B zavisi od r, ali treba da odredimo i kako zavisi.
Videćemo da primenom Amperovog zakona možemo da odredimo i magnetsku indukciju
unutar provodnika. Zbog toga posmatrajmo dva slučaja: tačke unutar provodnika (r < a) i tačke
izvan provodnika (r’ > a).
-
1) r > a
Primenimo Amperov zakon na zamišljenu konturu C poluprečnika r > a (slika 2.2a).
32
Pošto kontura obuhvata ceo provodnik, ukupna jačina struje kroz konturu (u odnosu na
izabrani smer duž konture, i dogovor o odreñivanju orijentacije normale na neku površ koja se
oslanja na konturu, sa orijentacijom konture) jednaka je +I, prema tome desna strana Amperovog
zakona je µ0I. Treba još rešiti levu stranu Amperovog zakona (slika 2.2a). Ako uočimo da je B istog
intenziteta u svim tačkama jedne konture, dobijamo
∫ Bd l = ∫ Bdl cos(B, d l ) = ∫ Bdl = B ∫ dl =B 2rπ
C
C
C
C
Sada, nakon zamene dobijenih izraza za levu i desnu stranu Amperovog zakona, imamo
B 2 rπ = µ 0 I , odakle je B = µ 0 I , za r>a.
2πr
Očigledno, dobili smo isti rezultat, kao ranije (primeri 1.6 i 1.9 u odeljku 1.3), ali je onaj
rezultat bio izveden za tanak provodnik (nit), a ovaj rezultat važi za sve tačke van pravog
provodnika, teorijski beskonačno dugog.
2) r’ < a
Primenimo sada Amperov zakon na zamišljenu konturu unutar provodnika (r’ < a), slika
2.2b.
a)
b)
Slika 2.2. Uz odreñivanje B pravog provodnika kružnog poprečnog preseka:
a) izvan provodnika, b) unutar provodnika
Očigledno da ovom konturom nije obuhvaćena sva struja I kroz presek provodnika, nego
samo njen deo. Kako se radi o vremenski konstantnoj struji, ona je ravnomerno9 raspodeljena po
poprečnom preseku provodnika, tj. gustina struje je J=I/S, gde je S površina poprečnog preseka
provodnika poluprečnika a, tj. S = a2π. Sada je struja kroz konturu poluprečnika r’ < a (to je deo
struje I),
∑ I = JS
kroz C '
C'
=
2
I
I
I 2
SC' = 2 r ' π = 2 r '
S
a π
a
Leva strana Amperovog zakona, očigledno ima rešenje istog oblika kao pod 1), samo je r’ <
a, pa prema Amperovom zakonu imamo
'
∫ B d l = B 2π r = µ 0
C
'
∑I
kroz C '
= µ0
I '2
r
a2
odakle je
9
Struja bi bila neravnomerno raspodeljena ako je materijal provodnika nehomogen, ili ako je struja promenjiva u
vremenu (kada se javlja skin efekat, o čemu ćemo govoriti kod vremenski promenjivih struja).
33
B = µ0
I
r ' , za r’ < a.
2
2πa
Zavisnost B od rastojanja r od ose provodnika, prikazana je na slici 2.3.
Slika 2.3. Zavisnost intenziteta vektora magnetske indukcije od rastojanja od centra pravog
provodnika kružnog poprečnog preseka sa strujom
Samostalno rešiti sledeće zadatke.
1) Odrediti B u svim tačkama prostora šupljeg provodnika kružnog poprečnog preseka, čiji
je unutrašnji poluprečnik a (slika 2.4a), a spoljašnji b, i nactrtati zavisnost B od
rastojanja od ose provodnika.
2) Odrediti B u svim tačkama prostora koaksijalnog voda (kabla), čiji su poluprečnici a, b i
c (slika 2.4b), i nactrtati zavisnost B od rastojanja od ose voda.
Slika 2.4. Uz odreñivanje magnetske indukcije: a) šupljeg provodnika, b) koaksijalnog voda
Rezultat za zadatak sa slike 2.4a:
B = 0 , za r ≤ a,
B = µ0
(
)
I r 2 − a2
, za a ≤ r ≤ b,
2πr b 2 − a 2
(
)
Rezultat za zadatak sa slike 2.4b:
34
B = µ0
I
2πr
, za r ≥ b
B = µ0
I
r , za r ≤ a,
2πa 2
B = µ0
I
, za a ≤ r ≤ b,
2πr
B = 0 za r ≥ c
B = µ0
(
)
I c2 − r 2
, za b ≤ r ≤ c,
2πr c 2 − b 2
(
)
Sami rešite ove zadatke u potpunosti i nacrtajte zavisnost od rastojanja od centra provodnika
odnosno kabla.
Da li na osnovu Amperovog zakona možete doći do izraza za B pravolinijskog provodnika
konačne dužine?
2.2. Osnovne integralne jednačine stalnog magnetskog polja u vakumu
Sada možemo konstatovati da su osnovne integralne jednačine stalnog magnetskog polja u
vakumu:
∫ Bd l = µ ∑ I
0
kroz C
C
i
∫ Bd S = 0
S
Podsetimo se da su osnovne integralne jednačine elektrostatičkog polja u vakumu:
∫ Ed l = 0
C
i
∫ Ed S =
S
QuS
ε0
Odavde sledi da ako je cirkulacija nekog vektora po zatvorenoj konturi različita od nule, to
ukazuje da u blizini konture postoje izvori posmatranog vektora koji daju vrtložno polje. Prema
tome električno polje je bezvrtložno polje.
Ako je fluks vektora kroz zatvorenu površ različit od nule, to ukazuje da u površi postoje
izvori koji daju radijalno polje, što je slučaj kod električnog polja.
U elektrostatici elementarni izvor polja je (tačkasto) naelektrisanje. Njegovo električno polje
je radijalno u odnosu na naelektrisanje. U magnetizmu elementarni izvor polja je naelektrisanje u
pokretu. Njegovo magnetsko polje je vrtložno.
35
3. MATERIJALI U MAGNETSKOM POLJU
3.1. Uticaj magnetskog polja na materijale. Dijamagnetski, paramagnetski i
feromagnetski materijali
Do sada smo izučavali magnetsko polje vremenski konstantnih struja u provodnicima u
vakumu. Sada ćemo analizirati magnetsko polje u prisustvu materije (supstance). Postoje materijali
koji svojim prisustvom jako utiču na magnetsko polje.
Uticaj magnetskog polja na materijale je u suštini različit od uticaja električnog polja, mada
postoji formalna sličnost. Uticaj magnetskog polja na materijal je rezultat delovanja magnetskog
polja na naelektrisane elementarne ćestice koje se kreću unutar atoma materijala10, dok delovanje
električnog polja nije vezano za kretanje ćestice.
Poznato nam je da se atomi materijala sastoje od teškog, pozitivno naelektrisanog, jezgra i
manjeg ili većeg broja elektrona koji kruže oko jezgra po složenim putanjama. Broj obilazaka
elektrona oko jezgra u sekundi je izvanredno veliki, reda veličine 1015 obrta/s, pa se svaki takav
elektron može posmatrati kao mala „elementarna“ strujna kontura, koja se naziva Amperova
struja. Za atom vodonika, jačina ekvivalentne Amperove struje11 IA ≈1 mA.
Prema tome, svakom elektronu koji se okreće oko jezgra možemo pridružiti neki magnetski
momenat12, koji se, pošto karakteriše obrtanje elektrona oko jezgra, naziva orbitalni magnetski
momenat elektrona.
Prema tome svaki atom se, sa makroskopske tačke gledišta, može posmatrati kao
komplikovan sistem elementarnih strujnih kontura, tj. Amperovih struja, a one, kao i svaka struja,
su izvor magnetskog polja.
Dakle atom ili molekul ćemo predstaviti strujnom konturom sa Amperovom strujom IA i
m (slika 3.1, uporedite ovu sliku i sa slikom 1.18 i podsetite zaključaka
koje smo tamo izveli). Magnetski momenat atoma m je suma magnetskih momenata elementarnih
magnetskim momentom
strujnih kontura koje su posledica kretanja elektrona.
Slika 3.1. Magnetski momenat Amperove struje
10
Sada je jasno, zašto se sečenjem magneta nemogu dobiti odvojeni magnetski polovi, što smo konstatovali u prvom
poglavlju.
11
IA = ne, gde je n broj obrta elektrona oko jezgra u sekundi, a e je naelektrisanje elektrona e = - 1,6021 10-19 C. Odatle
se dobija IA = 0,16 mA. Imati u vidu da se jedinica za naelektrisanje, kulon, može predstaviti kao proizvod ampera i
sekunde, tj. [C] = [As].
12
Pošto karakteriše obrtanje elektrona oko jezgra, naziva se orbitalni magnetski momenat elektrona. Elektroni imaju i
sopstveni magnetski momenat kao posledicu okretanja elektrona oko svoje ose, koji se zove magnetski momenat spina.
36
Prema karakteru ukupnog magnetskog momenta elementarnih ćestica koje sadrže, molekuli
odnosno atomi materijala se mogu podeliti u dve grupe:
1- molekuli (atomi) čiji je ukupni magnetski momenat jednak nuli ( ∑ m = 0 ), tj. m pojedinih
ćestica se poništavaju, pa u odsustvu stranog magnetskog polja ne stvaraju magnetsko polje
niti ispoljavaju magnetska svojstva. Nazivaju se dijamagnetski materijali. Kada se unesu u
strano (spoljnje) magnetsko polje, smanjuju to polje, ali je taj efekat vrlo mali. Tu spadaju
bakar, srebro, cink, bizmut, grafit, voda. Dijamagnetski efekat postoji kod svih materijala, a
ne samo kod kojih je
∑m = 0;
2- materijali kod čijih molekula (atoma) je ∑ m ≠ 0 , tj. postoji rezultantni magnetski moment.
U okolini ovih molekula (atoma) postoji lokalno magnetsko polje ( B ≠ 0 ). Prema jačini i
vrsti meñusobnog delovanja molekula ovi materijali se dele u četiri podgrupe (slika 3.2):
- paramagnetski materijali, gde je uzajamno dejstvo m susednih atoma (molekula)
zanemarljivo malo (slaba interakcija izmeñu atoma (molekula). Zbog termičkih kretanja, m
su haotično orijentisani, pa je u maloj zapremini ∑ m ≈ 0 . Kada se unesu u strano
magnetsko polje, rezultantno polje se povećava zbog dopunskog polja usled delimično
orijentisanih Amperovih struja. Takvi su većina materijala. Primeri su aluminijum, kiseonik,
natrijum.
Ostale tri podgrupe karakteriše jaka interakcija (sprega) susednih atoma, a to su:
-
-
antiferomagnetski materijali, kod kojih su m susednih atoma antiparalelni, praktično se
poništavaju, nisu od značaja za praksu;
feromagnetski materijali kod kojih su m susednih atoma paralelni (unutar relativno
velikih domena, nazivaju se Vajsovi domeni13) i u istom smeru. Ta orijentacija se menja od
domena do domena, pa u normalnim uslovima materijal ne stvara makroskopsko magnetsko
polje. Ako se unesu u strano magnetsko polje dolazi do povećanja domena čiji su m u
pravcu i smeru B stranog polja, na račun ostalih domena, kao i zakretanja celih domena, te
se javljaju sekundarna magnetska polja velikog intenziteta B. Primeri su gvožñe (ferum, po
čemu su i dobili naziv feromagnetski), kobalt, nikl. Usmeravajuće delovanje umanjuju
termičke vibracije kristalne rešetke (svi feromagnetski materijali imaju kristalnu strukturu).
Iznad izvesne temperature, različite za različite feromagnetske materijale, termičke vibracije
potpuno onemogućavaju paralelnu orijentaciju m elektrona – jona kristalne rešetke i
materijal postaje običan paramagnetski materijal. Ta kritična temperatura se naziva Kirijeva
feromagnetska temperatura. Na primer, za gvožñe je 770 0C, za nikl 358 0C. Zbog toga je
moguće razmagnetisanje zagrevanjem ili udaranjem;
ferimagnetski materijali (nazivaju se i feriti), kod kojih su m susednih atoma (različiti su
atomi) antiparalelni, ali različitog intenziteta, pa stvaraju tako jako polje kao feromagnetski
materijali.
Feromagnetski i ferimagnetski materijali, se obično zajedno nazivaju feromagnetski i
značajni su za praksu, pri čemu su feriti važni za primenu kod viših učestanosti (imaju veliku
13
Vajsovi domeni su, u stvari, mali stalni magneti namagnetisani do zasićenja. Do toga dolazi zbog jake sprege susednih
molekula, pa unutar feromagnetskog materijala postoje velike grupe molekula (1012 – 1015 molekula) u kojima su
magnetski momenti susednih molekula orijentisani u istom pravcu i smeru. Veličina domena je reda 10-3 cm do nekoliko
mm pa i cm.
37
specifičnu otpornost). Primena feromagnetskih materijala je raznovrsna: jezgra električnih mašina
(obrtni generatori, motori, transformatori), stalni magneti, jezgra elektromagneta, itd.
Paramagnetski, dijamagnetski i antiferomagnetski materijali se nazivaju nemagnetski
(neferomagnetski) materijali, jer praktično ne utiču na magnetsko polje.
Magnetski momenti atoma (molekula) paramagnetskih, antiferomagnetskih, feromagnetskih
i ferimagnetskih materijala su ilustrovani na slici 3.2, a na slici 3.3 je prikazan Vajsov domen koji je
na slici 3.2 predstavljen strelicom koja simbolično predstavlja magnetski momenat atoma.
Slika 3.2. Magnetski momenti u fizički maloj zapremini materijala
Slika 3.3. Vajsovi domeni
Prema tome, svi materijali u magnetskom polju mogu da se zamisle kao ogroman broj
sićušnih strujnih kontura koje se nalaze u vakumu. Njihova veličina, gustina i smer zavise od vrste
materijala.
3.2. Vektor magnetizacije
Pošto znamo da odredimo B sistema struja u vakumu, onda možemo da to primenimo na
materijale. Meñutim, postupak nalaženja ukupnog magnetskog polja namagnetisanog materijala
sabiranjem polja elementarnih (Amperovih) struja je praktično nemoguć (ogroman broj
elementarnih struja). Zbog toga se posmatra velika grupa atoma unutar fizički male zapremine i
magnetsko polje koje potiče od te cele grupe.
Za izračunavanje magnetskog polja koje potiče od elementarnih strujnih kontura unutar male
zapremine uvodi se (zapreminska) gustina magnetskih momenata ili vektor magnetizacije
M =
(∑ m)
u dv
dv
Jedinica za intenzitet M14 je A/m.
Ako su svi m , u zapremini dv, isti, i ako je koncentracija elementarnih kontura N’ (N’ je
broj kontura u dv, podeljen sa dv), tada je
M = N'm
14
Imati u vidu da je
[A/m].
m = I S te je jedinica za m [Am2], a za zapreminu je jedinica [m3], pa se dobija [Am2/[m3] =
38
Ako je M istog intenziteta, pravca i smera u svim tačkama nekog namagnetisanog tela, kaže
se da je telo homogeno namagnetisano.
Za sve dijamagnetske i paramagnetske materijale je
M = kB
gde je k – konstanta, pa se nazivaju linearni magnetski materijali. Feromagnetski materijali su
nelinearni i za njih prethodna relacija ne važi.
Za opisivanje namagnetisanosti materijala (orijentisanosti Amperovih struja) u nekoj tački,
koristi se vektor magnetske polarizacije, koji je dat relacijom
J = µ0 M
Napomena: oznaka je ista kao za gustinu struje, pa ih ne treba mešati.
3.3. Uopšteni oblik Amperovog zakona. Vektor jačine magnetskog polja i
permeabilnost
Pokazali smo da Amperov zakon
∫ Bd l = µ ∑ I
0
kroz C
C
važi za svaku zatvorenu konturu C, pod
uslovom da magnetsko polje postoji u vakumu. Takoñe smo pokazali da namagnetisani materijal
možemo da zamislimo u vidu ogromnog broja elementarnih kružnih struja, koje se nalaze u
vakumu. Prema tome relacija za Amperov zakon može da se primeni i u slučaju kada u polju postoji
bilo kakav materijal, pod uslovom da se uzmu u obzir sve struje kroz konturu C, kako one kroz
provodnike (nazivaju se i kondukcione struje, struje provodnosti, makroskopske struje), tako i
elementarne struje.
Elementarne (Amperove) struje se mogu uzeti u obzir dosta jednostavnom relacijom, kada
se zna vektor magnetizacije M . Pokazaćemo na koji način.
Posmatrajmo neko telo koje se nalazi u magnetskom polju. Elementarne struje u telu su pod
dejstvom stranog magnetskog polja delimićno orijentisane. Prikažimo ih kao male kružiće, slika 3.4.
Slika 3.4. Sistem strujnih kontura koji zamenjuju namagnetisani materijal
Zamislimo zatvorenu konturu C koja prolazi kroz namagnetisani materijal (slika 3.4).
Očigledno da će neke elementarne struje kroz površ, koja se oslanja na tu konturu, proći dva puta,
jednom u pozitivnom, a jednom u negativnom smeru (u odnosu na normalu na površ konture).
Njihova suma kroz konturu je, očigledno, nula, kao i suma onih struja koje kroz tu konturu,
odnosno površ, uopšte ne prolaze.
39
Za desnu stranu jednačine Amperovog zakona treba, dakle, uzeti u obzir samo one struje
koje kroz površ oslonjenu na konturu C prolaze samo jednom, tj. koje su nanizane na zamišljenu
konturu C kao perle.
Odredimo koliko je takvih struja na delu konture C dužine dl.
Neka je a poluprečnik, a S površina svake elementane konture, a I jačina struje kroz nju.
Neka je magnetski momenat m = I S isti za sve konture u okolini elementa dl konture C (važi ako je
dl malo, a materijal homogen).
Pretpostavimo prvo da su m paralelni d l konture. Tada su na konturu “nanizane” sve one
elementarne struje čiji su centri u kružnom cilindru (označenom isprekidanim linijama na slici 3.5a)
čija je osa element d l , a poluprečnik mu je jednak poluprečniku a elementarne struje.
Slika 3.5. Uz izvoñenje izraza za Amperovu struju kroz konturu C
Na osnovu toga se može zaključiti, da će i u opštem slučaju na konturu C biti nanizane sve
elementarne struje čiji su centri unutar kosog cilindra, kao na slici 3.5b. Njegova osnovica je krug
poluprečnika a, a visina dl cos α , pa mu je zapremina
dv = Sdl cos α = Sd l
gde je α ugao izmeñu vektora S i d l
Prema tome na element d l konture C nanizano je ukupno
N ' dv = N ' Sd l
elementarnih kružnih struja, gde je N ' broj elementarnih struja u jedinici zapremine.
Prema tome zbir Amperovih (elementarnih) struja namagnetisanog materijala na dužini d l
kroz površ koja se oslanja na konturu C iznosi
(∑ I )
A na dužini dl
odnosno
= IN ' S d l = N ' md l
(∑ I )
A na dužini dl
= Mdl
jer je m = I S i M = N ' m , a M je vektor magnetizacije.
Setite se da smo u odeljku 1.4 zaključili da polje zavisi od proizvoda
ne I i
S
IS
(odnosno
m ), a
zasebno, prema tome oblik Amperove struje i njen intenzitet nisu bitni. To opravdava
uvoñenje pojma m i M .
Jačina ukupne Amperove struje kroz konturu C sada je
40
∑I
A
= ∫ Mdl
kroz C
C
Neka kontura C prolazi kroz namagnetisani materijal, ali takoñe obuhvata i makroskopske
struje I (struje kroz provodnike, tj. kondukcione struje), tada Amperov zakon glasi






B
d
l
=
µ
I
+
I
=
µ
I
+
M
d
l


∑
∑
∑
0
0
A
∫C
∫


 kroz C kroz C 
 kroz C C

odnosno
B


−
M
∑CI
∫C  µ0 d l = kroz


što predstavlja uopšteni Amperov zakon, koji važi i kada u polju ima namagnetisanih tela.
Veličina
H=
B
µ0
−M
Naziva se vektor jačine magnetskog polja. Relacija je opšta i važi uvek.
Sada se može pisati
∫ Hd l = ∑ I
kroz C
C
što je kompaktniji oblik uopštenog Amperovog zakona. Važi za bilo kakvu zamišljenu konturu u
vremenski konstantnom magnetskom polju. Važi za sve materijale. Sa desne strane jednačine sada
figurišu samo kondukcione struje (struje kroz provodnike)15. Dakle
-
∫ H d l zavisi samo od makroskopskih struja (kondukcionih struja), a
C
-
∫ Bd l zavisi i od makroskopskih struja i od Amperovih struja.
C
Ako se koristi veza J = µ 0 M , odnosno M = J / µ 0 , posle zamene u izraz za H , dobija se
H=
1
µ0
(B − J )
Jedinica za intenzitet magnetskog polja H je u SI sistemu (kao i za M), [A/m], a za J je [T].
Za linearne megnetske materijale je M = k B , kako je H proporcionalno B , to je i M
proporcionalno H , što se piše u obliku
M = χm H
gde je χm magnetska susceptibilnost, koja je bezdimenziona veličina (χm vakuma je nula).
15
Ako sa desne strane stoji
∫ J d S onda se takva relacija naziva druga Maksvelova jednačina.
S
41
Ako se izraz H =
B
µ0
(
)
− M reši po B , tj. B = µ 0 H + M i kada se u taj izraz zameni
prethodni izraz za M = χ m H , dobija se
(
)
B = µ0 H + χ m H = µ0 (1 + χ m )H
gde je
-
1 + χ m = µr relativna permeabilnost (čist broj, bezdimenziona veličina, kao i χ m ),
µ0 µr = µ apsolutna permeabilnost, ili permeabilnost. Jedinica za µ je [A/m] kao i za
µ0 .
Sada se može pisati
B = µH
što važi samo za linearne magnetske materijale.
Odnosi
χ m i µ r se mogu sagledati iz tabele 3.1.
Tabela 3.1. Magnetska susceptibilnost i relativna permeabilnost
Dijamagnetski materijali
Paramagnetski materijali
χm
µr
<0
>0
<1
>1
3.4. Makroskopske struje ekvivalentne Amperovim elementarnim strujama
Posmatrajmo jednu malu konturu ∆C unutar namagnetisanog linearnog i homogenog
materijala u kome nema makroskopskih struja (slika 3.6). Neka je magnetska susceptibilnost
materijala
χ m . Tada u svakoj tački materijala važi veza M = χ m H .
Ukupna jačina Amperovih struja kroz konturu
∑I
kroz ∆C
A
∆C je
= ∫ M d l = χm ∫ Hd l
∆C
∆C
Slika 3.6. Mala kontura unutar namagnetisanog materijala
Kako u materijalu nema makroskopksih struja, tj.
Amperovom zakonu
∫ H d l = 0 , pa je
∆C
42
∑I = 0,
kroz ∆C
to je prema uopštenom
∑I
kroz ∆C
A
=0
Do istog rezultata, za homogeno namagnetisan16 materijal ( M = const. ), dolazi se i polazeći
od relacije
∑I
kroz ∆C
A
= ∫ Mdl = M ∫ dl = M ⋅ 0 = 0
∆C
∆C
Prema tome, jačina rezultantnih Amperovih struja kroz bilo koju malu površ (obuhvaćenom
konturom ∆C ) u homogeno namagnetisanom telu (materijalu) u kome nema makroskopskih
električnih struja, jednaka je nuli. Odatle sledi da je vektor gustine makroskopske rezultantne
Amperove struje u svim tačkama homogeno namagnetisanog tela17, jednak nuli ( ∑ J A = 0 ).
To znači da makroskopsko magnetsko polje takvog namagnetisanog tela potiče samo od
rezultante Amperovih struja po površima18 namagnetisanog tela. Debljina tog sloja
nekompenziranih Amperovih struja uz površ materijala je veličine prečnika atoma.
Ovo strogo važi za dijamagnetske i paramagnetske materijale, a za feromagnetske samo
približno (nisu linearni).
Da bismo odredili gustinu tih rezultantnih površinskih struja po površima namagnetisanih
tela, posmatrajmo delić površi namagnetisanog materijala (slika 3.7). Na slici 3.7a prikazane su
rezultantne površinske Amperove struje u obliku kružića, kao što smo to činili i ranije. Struje uz
površ su nekompenzovane, a one unutar materijala se meñusobno kompenzuju. Očigledno da je
posledica nekompenzovanih struja vektor magnetizacije M , koji je u odnosu na površ materijala, u
opšetm slučaju pod nekim uglom, označimo ga sa β (slika 3.7b).
Slika 3.7. Površinske Amperove struje: a) ilustracija, b) njihovo odreñivanje
Na slici 3.7b je prikazana zamišljena mala pljosnata pravougaona kontura ∆C , čija je jedna
stranica dužine ∆l paralelna površi tela izvan tela, a druga unutar tela (visina konture ∆h → 0 ).
Ugao izmeñu vektora M i stranice paralelne površi je β, a ugao izmeñu M i normale n na površ
tela α. Ako na konturu ∆C primenimo relaciju za rezultantnu Amperovu struju, dobijamo ( M
postoji samo u materijalu)
∑I
kroz ∆ C
16
A
=
∫ M d l = M ∆ l cos β
= M ∆ l sin α
∆C
Ako je materijal nehomogen ( M ≠ const. ), onda je i
∑I
kroz ∆C
17
A
≠0.
Nehomogeno namagnetisano telo od homogenog feromagnetskog materijala ne može se smatrati za homogeno u
magnetskom pogledu.
18
Ovo je slično, kao kod dielektrika, gde električno polje zavisi samo do vezanih opterećenja po površima dielektrika.
43
pa je gustina površinske struje19
JSA =
∑I
kroz ∆C
A
∆l
= M sin α
Ova relacija se vektorski može napisati u obliku
J S A = M xn
a predstavlja gustinu površinske rezultante Amperovih struja namagnetisanog tela.
Elementarne Amperove struje postoje u vakumu. Prema tome i rezultantu Amperovih struja
treba zamisliti u vakumu.. Pošto znamo kako se izračunava B proizvoljne raspodele struja u
vakumu, onda u principu to možemo i za B namagnetisanog tela. Ali treba znati M u svakoj tački
što nije uvek lako rešiti.
Linije vektora magnetskog polja
Su zamišljene linije (krive) na koje je vektor H tangentan u svakoj tački. Kako je
H=
B
µ0
− M , u vakumu su linije H i B / µ 0 identične (jer je M = 0 ).
U slučaju linearnih sredina izmeñu B , H i M postoji srazmera, pa su linije vektora
njihovih polja istog oblika.
Bitna razlika izmeñu linija H i B je što su linije B zatvorene krive linije, a kod linija H to
nije uvek slučaj.
Kao primer, na slici 3.8 prikazane su linije M , B / µ 0 i H cilindričnog homogeno
namagnetisanog magneta kružnog poprečnog preseka.
Slika 3.8. Linije vektora magnetizacije, magnetske indukcije i magnetskog polja cilindričnog
homogeno namagnetisanog magneta kružnog poprečnog preseka
I solenoid sa istom površinskom gustinom struje, stvara isto polje u svim tačkama (unutar i
izvan).
3.5. Granični uslovi
U elektrostatici su izvedeni granični uslovi za dielektrike
19
Treba imati u vidu da se gustina površinske struje definiše po jedinici dužine (videti izraze za magnetsku indukciju
linijskih, površinskih i zapreminskih struja, odeljak 1.3.1).
44
E1t = E2t
D1n = D2 n
i
Kao što znamo iz elektrostatike, granični uslovi daju vezu izmeñu veličina koje opisuju
polje u dve bliske tačke sa dve strane površi koja razdvaja dve sredine različitih osobina. Ovde se to
odnosi na razdvojnu površ feromagnetik-neferomagnetik (vakum, dijamagnetik i paramagnetik su
praktično bez razlike u magnetskom pogledu). Feromagnetici znatno utiču na magnetsko polje u
kome se nalaze.
Ovde se granični uslovi odnose na komponente vektora B i H na razdvojnoj površi
feromagnetik-neferomagnetik.
Izvedimo prvo granični uslov za vektor H . U tu svrhu posmatrajmo situaciju kao na slici
3.9.
Slika 3.9. Uz izvoñenje graničnog uslova za vektor magnetskog polja
Ako primenimo uopšteni Amperov zakon na zamišljenu malu pljosnatu pravougaonu
konturu abcda sa stranicama ∆l paralelnim razdvojnoj površi u jednoj i drugoj sredini, i visinom
∆h → 0 , uz pretpostavku da na razdvojnoj površi nema provodnika sa strujom, dobijamo
∫ Hdl = ∑ I = 0 = H
1t
∆ l − H 2t ∆l
kroz C
C
odakle sledi da je
H1t = H 2t
(*)
što predstavlja granični sulov za tangencijalne komponente vektora magnetskog polja H .
Za linearne sredine važi da je B = µH , na osnovu čega je
H1t =
B1t
µ1
H 2t =
i
B2t
µ2
odnosno
B1t
µ1
=
B2t
µ2
(**)
Izvedimo sada granični uslov za vektor B . U tu svrhu posmatrajmo situaciju kao na slici
3.10.
Ako primenimo zakon o održanju magnetskog fluksa na pljosnat valjak (nalik na kovani
novčić), čija je jedna osnovica u jednoj, a druga u drugoj sredini, dobijamo
∫ Bd S = 0 = B
2n
∆S − B1n ∆S
S
odakle sledi da je
B1n = B2 n
Relacije (*) i (***) važe uvek.
45
(***)
Slika 3.10. Uz izvoñenje graničnog uslova za vektor magnetske indukcije
Za linearne sredine važi da je B = µH , na osnovu čega je
µ1H1n = µ2 H 2 n
Ako relaciju (**) podelimo sa relacijom (***), dobijamo
B1t / µ1 B2t / µ 2
=
B1n
B2 n
, odakle je (slika 3.11)
pa je
B1t / B1n tgα1
=
B2t / B2 n tgα 2
B1t tgα1 µ1
=
=
B2t tgα 2 µ 2
što predstavlja zakon prelamanja linija vektora B .
Slika 3.11. Uz odreñivanje zakona prelamanja linija vektora magnetske indukcije
Primer 3.1. Posmatrajmo razdvojnu površ feromagnetika i neferomagnetika (na primer
vazduh), slika 3.12.
Slika 3.12. Uz primenu zakona prelamanja na granicu feromagnetika i neferomagnetika
Ako primenimo zakon prelamanja, dobijamo
46
tgα1 µ1 µ0
=
=
≈0
tgα 2 µ 2 µ 2
ako je µ 2 >> µ 0 . Odatle sledi da je α 1 ≈ 0 (osim ako je α 2 = π / 2 , kada je tgα 2 = ∞ , pa je
tgα 1 / tgα 2 = 0 bez obzira na α 1 ). To znači da su linije vektora B , u vazduhu, paktično normalne na
površ feromagnetika. Ovaj zaključak je koristan za crtanje linija B u prisustvu feromagnetika.
Napomenimo da granični uslovi nisu posebne relacije, već poseban oblik opštih zakona
(Amperovog i zakona o održanju magnetskog fluksa).
3.6. Krive magnetisanja feromagnetskih materijala
Kada se feromagnetski materijal unese u strano magnetsko polje, na Vajsove domene (videti
odeljak 3.1) deluju momenti koji teže da ih usmere u pravcu polja.
U slučaju malih polja dolazi samo do povećanja dimenzija domena koji su orijentisani
približno u smeru polja, na račun susednih domena. Ako bismo isključili strano polje, uspostavilo bi
se prvobitno stanje, tj. ovaj process je reverzibilan (slika 3.13).
Ako strano polje dalje povećavamo dolazi do rotacije celih domena. Rotacija domena se
obavlja naglo (Barkhauzenov efekat). Ovaj deo magnetisanja feromagnetskog materijala je
ireverzibilan.
Kada su magnetski momenti svih domena u manjoj ili većoj meri u smeru i pravcu stranog
polja, skokovita rotacija domena prestaje, i ponovo dolazi samo do zakretanja domena. To
zakretanje je opet postepeno i reverzibilno., a odvija se dok se m svih domena ne orijentišu u
pravcu i smeru vektora B . Kažemo da je tada dostignuto zasićenje, koje se opisuje bilo
magnetskom polarizacijom zasićenja Jzas, bilo magnetizacijom zasićenja Mzas,= Jzas,/µ0.
Slika 3.13. Proces magnetizacije materijala
U praksi se feromagnetski materijali najčešće opisuju pomoću svoje krive magnetisanja. Za
razliku od opisane zavisnosti J od H, ona predstavlja zavisnost B od H (jer J i M nemože
jednostavno da se meri). B i H se takoñe teško meri (ili računa) osim ako je telo u obliku tankog
torusnog jezgra (slika 3.14).
Primenom uopštenog Amperovog zakona na zamišljenu konturu C, poluprečnika R (slika
3.14), koja predstavlja srednju liniju torusa, dobija se
∫ H d l = H 2πR = ∑ I = NI
kroz C
C
odakle je
47
H=
NI
.
2πR
Slika 3.14. Tanak torus od feromagnetskog materijala sa gusto motanim namotajem
Ako je a unutrašnji, a b spoljašnji poluprečnik torusa, sami odredite koliko je H za r<a i r>b.
Menjajući skokovito I (tj. H) može se merenjem protekle količine elektricita ∆Q balističkim
galvanometrom ( ∆Q ∝ ∆Φ , ∆Φ = ∆B ⋅ S )20 izračunati ∆B u jezgru i konstruisati zavisnost B(H) u
jezgru, tj. kriva magnetisanja.
Kriva koja se dobija kada se H menja od nule do vrednosti kada kriva dolazi do zasićenja
(slika 3.15a) naziva se kriva prvobitnog magnetisanja.
Ako bi, posle dolaska do zasićenja, polje H smanjivali, proces smanjivanja namagnetisanosti
se ne bi odvijao po prvobitnoj krivoj magnetisanja, već po nekoj drugoj krivoj, tako da kada se polje
H smanji do nule, ostaje neka namagnetisanost, koja je na slici 3.15b označena se Br, a naziva se
remanentni ili zaostali magnetizam. Naime, izmeñu domena postoji neka vrsta sile trenja. Zbog
toga su rotacija i zakretanje domena uvek praćeni pretvaranjem energije magnetskog polja u toplotu
Ovi gubici se nazivaju histerezisni gubici. Zbog ovog trenja izmeñu domena, promene u stanju
magnetizacije uvek kasne za promenama stranog polja, te se javlja tzv. histerezisno ponašanje, tj. po
isključenju stranog polja domeni se više ne mogu potpuno da vrate u prvobitno stanje u kome su bili
orijentisani haotično, pa postoji magnetsko polje i kada se strano polje isključi. To objašnjava
postojanje stalnih magneta.
Radi razmagnetisanja, potrebno je uvesti polje H suprotnog smera. Vrednost polja pri kojoj
je B=0, naziva se koercitivno polje (Hc, na slici 3.14). Ako bi polje H nastavili da povećavamo
namagnetisavanje bi se nastavilo u suprotnom smeru, do zasićenja, itd. Kriva koja se na ovaj način
dobija, kada se opisani process obavi desetak puta, naziva se histerezisna petlja (slika 3.15 i 3.16).
Po vrednosti Hc, feromagnetski materijali se dele na:
- magnetski meke materijale (malo Hc), na primer meko gvožñe, jezgra transformatora, Hc je
reda 10 A/m (slika 3.16), i
- magnetski tvrde materijale (veliko Hc), na primer kaljeni čelik. To su stalni magneti. Hc je
reda 105 A/m (slika 3.16).
20
U odeljku 6.7 ćemo izvesti zavisnost ∆Q od ∆Φ .
48
Slika 3.15 a) kriva prvobitnom magnetisanja, b) histerezisna petlja
Slika 3.16. Histerezisna petlja magnetski mekog i tvrdog materijala
Ako se namagnetisavanje21 obavlja periodičnim poljem, tako da se amplituda polja
postepeno povećava, dobija se tzv. normalna kriva magnetisanja, koja se nešto razlikuje od
prvobitne krive magnetisanja i simetrična je u odnosu na koordinatni početak (slika 3.17 levo), koja
se često prikazuje u idealizovanom obliku (slika 3.17 desno)
21
Kod namagnetisavanja feromagnetskih materija javlja se i pojava koja se naziva magnetostrikcija. To je pojava da
prilikom namagnetisavanja feromagnetskih tela dolazi do malih promena njihovih dimenzija. Uzrok je zakretanje i
promena dimenzija Vajsovih domena. U vezi sa tim definiše se koeficijent magnetostrikcije λ = ∆ l , gde je l dužina u
l
pravcu B , a ∆l promena dužine. Može biti pozitivan i negativan (za gvožñe je -8 µm/m, za nikl -8 µm/m, a za ferrite (100 do +40) µm/m. Pri magnetizaciji do zasićenja prestaje efekat magnetostrikcije. Magnetostrikcioni materijali koriste
se za stabilizaciju učestanosti oscilatora i kao elektroakustički pretvarači.
49
Slika 3.17. Realna i idealizovana mormalna kriva magnetisanja
3.7. Definicije permeabilnosti magnetskih materijala
Za potrebe proračuna u praksi, definišu se različite permeabilnosti (imati u vidu da je
magnetski materijal nelinearan). Nagib tangente na normalnu karakteristiku magnetisanja u
koordinatnom početku (slika 3.18a) naziva se početnom permeabilnošću ( µ poč ). Količnik
µ n = B / H u posmatranoj tački je normalna permeabilnost. Razlikuje se za različite tačke na krivoj
prikazana je na slici 3.18b. Za H=0 je
µ n = µ poč
µ nr u zavisnosti od jačine magnetskog polja
odnosno µ nr = µ poč .r . Pri jakim poljima, kada
materijal duboko uñe u zasićenje, je
µ n ≈ µ0 ,
odnosno µ nr ≈ 1 . Nagib tangente u posmatranoj
magnetisanja. Normalna relativna permeabilnost
tački je diferencijalna permeabilnost µ d = dB / dH = ∆B / ∆H . Ako se stalnom magnetskom polju
superponira slabo naizmenično poje, tačka na karakteristici magnetisanja opisuje mali ciklus
histerezisa koji odreñuje inkrementalnu permeabilnost, itd.
Slika 3.18. Uz definiciju permeabilnosti materijala
50
4. MAGNETSKA KOLA
Pod magnetskim kolom podrazumevaćemo sisteme u kojima se, pomoću feromagnetskih
materijala, magnetski fluks kanališe željenim putem (kao električna struja u električnom kolu
provodnicima).
Dve su grupe problema (zadataka):
- projektovanje magnetskog kola (odreñivanje dimenzija i karakteristika jezgra tako da se
dobije željeni fluks Φ kroz kolo), i
- odreñivanje fluksa koji, kroz dato magnetsko kolo, stvara struja u njegovom namotaju (što je
teže) ili odreñivanje broja zavojaka N i struje kroz zavojke I da bi u kolu datih dimenzija
imali željeni fluks Φ ili magnetsku indukciju B.
Bavićemo se drugom grupom problema.
Pretpostavke za rešavanje magnetskih kola:
- iako feromagnetski materijali nisu linearni, ponekad se uvodi aproksimacija da jesu
( µ = const. ),
- magnetski fluks je praktično potpuno kanalisan feromagnetskim materijalom (nema
rasipanja),
- magnetska kola se uvek tako konstruišu da pobudni namotaj prouzrokuje u jezgru B
paralelno površi jezgra (normalno na poprečni presek) svuda osim na mestima gde je
namerno načinjen vazdušni procep. Mali deo magnetskog fluksa koji izlazi van
feromagnetika (van željenog puta) naziva se rasipni fluks, a to je (10 -15)% ukupnog fluksa.
Rešavanje magnetskih kola je približno, greška je (5-10)% pa i veća. Ako se rešava
nestandardan zadatak treba eksperimentalno proveriti tačnost dobijenih rezultata.
4.1. Tanka magnetska kola
Tankim magnetskim kolom se naziva magnetsko kolo tanko u odnosu na svoju dužinu, tako
da se može smatrati da je B i H isto po poprečnom preseku jezgra22.
Na slici 4.1 je prikazan primer tankog složenog (ima više “grana” i “čvorova”) magnetskog
kola.
I ovde, analogno električnim kolima, možemo definisati grane i čvorove. Na slici 4.1 sa A,
B, C i D su označeni čvorovi, a sa 1, 2, …, 6 grane.
Cilj je odrediti flukseve u svim granama kola ako znamo struje kroz namotaje i broj
zavojaka namotaja.
Fluks Φ kroz neku granu može biti pozitivan ili negativan, što zavisi od:
- smera namotavanja namotaja,
- smera jačine struje kroz namotaj, i
- proizvoljno odabranog smera normale na površ poprečnog preseka grane (slično sa
referentnim smerom kod vremenski konstantnih struja).
Odaberimo referentne smerove za flukseve i označimo strelicama pored pojedinih grana
(slika 4.1). Po zakonu o održanju magnetskog fluksa može se za svaki čvor (mesto gde se stiču tri ili
više grana) pisati jedna jednačina. Na primer, za čvor A je
22
Zbog toga, ako se ima u vidu da se magnetska kola tako konstruišu da je u jezgru B normalno na poprečni presek
jezgra, relacija
Φ = ∫ Bd s
S
se svodi na
Φ = BS .
51
∫ Bd S = −Φ
1
+ Φ3 + Φ 4 = 0
S
Slika 4.1. Primer složenog magnetskog kola
Slično se može pisati i za bilo koji drugi čvor. Ako kolo ima nČ čvorova, samo nČ − 1
jednačina su nezavisne. Prema tome za svaki čvor magnetskog kola može se pisati
∑Φ = 0
što predstavlja I Kirhofov zakon za magnetska kola (analogno ∑ I = 0 ). Važi i za nelinearna
magnetska kola.
Prema uopštenom Amperovom zakonu, za svaku zatvorenu konturu (pa i zamišljenu) duž
grana magnetskog kola može da se piše
∫ Hdl = ∑ I
kroz C
C
(1)
što važi i za nelinearna magnetska kola.
Kako je kolo tanko ( Bk , H k = const. po preseku grane), to se leva strana jednačine (1) može
pisati kao zbir proizvoda Hl na svim delovima grana gde je poprečni presek isti, tj. ako delove grane
ili grane označimo indeksima k, imamo
∫ Hd l ≈ ±H l
k k
duž grane k
pri čemu se uzima
- “+”ako su referentni smer H i smer konture C isti, a
- “-”ako u referentni smer H i smer konture C suprotni,
odnosno
∫ H d l = ∑ (± H l )
k k
duž C
C
Desna strana jednačine (1) može da se piše kao (setite se da je to suma struja kroz površ
razapetu preko konture C)
∑ I = ∑ (± NI )
k
kroz C
duž C
52
pri čemu se uzima
- “+”ako su smer struje kroz namotaj, i pozitivan smer obilaska konture, vezani pravilom
desne zavojnice,
- “-”ako je suprotno.
Sada se relacija (1) može pisati u obliku
∑ (± H l ) = ∑ (± NI )
k k
k
duž C
duž C
što predstavlja II Kirhofov zakon za magnetska kola.
Bk
Kako je H k = µ (H ) , gde µ k (H k ) označava zavisnost µ od H (feromagnetska kola su
k
k
µ
≠
const
.
nelinearna, (
, pa treba znati zavisnost B od H), to je
Bk
Bk
S
Bk S k
lk
lk =
lk k =
lk = Φ k
µ k (H k )
µ k (H k ) S k µ k (H k )S k
µ k (H k )S k
l
odnosno Rm =
magnetska otpornost ili reluktansa magnetskog kola ili
µ (H )S
H k lk =
gde je
lk
µk Sk
grane pri vrednosti H k ili H . Sada se II Kirhofov zakon može napisati u alternativnom obliku
∑ (± NI ) − ∑ R Φ
m
k
duž C
-
k
=0
(2)
duž C
Ispred ( NI )k i Rm Φ k (u izrazu ostaje “-“) se podrazumeva:
“+” ako struja u namotaju stvara B u smeru obilaska konture, tj. ako je referentni smer za
magnetski fluks isti kao smer obilaska konture,
“-” ako je suprotno.
Za prosto magnetsko kolo je
NI = Rm Φ , odakle je Φ =
NI
Rm
Na osnovu relacije (2) može se magnetsko kolo prikazati ekvivalentnim električnim kolom,
smatrajući da je NI ekvivalentno generator, fluks struji, a Rm otpornosti R (videti podpoglavlje 4.3).
4.2. Približne jednačine za rešavanje magnetskih kola realnih dimenzija
Nema stroge analize magnetskih kola čije su grane relativno kratke u odnosu na njihov
poprečni presek (nazivaju se debela kola).
Radi shvatanja suštine aproksimacije posmatrajmo debeo torusni namotaj sa
feromagnetskim jezgrom, pravougaonog poprečnog preseka, unutrašnjeg poluprečnika a, vanjskog
poluprečnika b i visine h (slika 4.2).
Primenom uopštenog Amperovog zakona na konturu poluprečnika r (a<r<b), dobija se
(uporedite sa slikom 3.14)
∫ H d l = H 2πr = ∑ I = NI
kroz C
C
odakle je
H (r ) =
53
NI
2πr
Slika 4.2. Magnetsko kolo realnih dimenzija
Kako je B = µH , onda posle zamene relacije za H, dobijamo
B(r ) = µ (H )H (r ) = µ (H )
NI
2πr
Dakle, B je funkcija i od r i od H. Prema tome, za tačno odreñivanje B u pojedinim tačkama
jezgra, treba znati krivu magnetisanja materijala jezgra. Aproksimacija je u tome da se smatra da je
a+b
µ svih tačaka jezgra približno jednako µ duž srednje linije jezgra r =
, tj. µ (H sr ) = µ sr , pa je
2
B(r ) ≈ µ sr
NI
2πr
pa sada B zavisi samo od r.
Sada se fluks Φ može izračunati na sledeći način (slika 4.3).
23
Kako je dΦ = Bd s , a d S = ds n i ds = hdr , to je fluks kroz elementarnu površ ds (slika
4.3)
dΦ = B(r )ds = B(r )hdr = µ sr
NI
hdr
2πr
Ukupan fluks kroz jezgro (poprečni presek jezgra) je
b
NIh dr
NIh b
Φ = ∫ dΦ = µ sr
= µ sr
ln
∫
2π a r
2π
a
Slika 4.3. Uz odreñivanje fluksa kroz jezgro torusa
Prema II Kirhofovom zakonu za magnetska kola, za torus na slici 4.2 je
23
Normala na površ
d s se odreñuje po pravilu desne ruke u odnosu na orijentaciju konture.
54
(1)
NI = Rm Φ , odakle je Φ =
NI
Rm
Poredeći poslednju relaciju sa relacijom (1), za torus dobijamo da je
Rm =
2π
µ sr h ln
b
a
Očigledno magnetska otpornost zavisi od oblika kola.
Prethodna relacija za torus je tačna relacija. Za torus se magnetska otpornost može računati i
približnom relacijom, tj.
a+b
2π
l sr
l
π (a + b )
2
Rm =
≈
=
=
µ (H )S µ sr S µ sr h(b − a ) µ sr h(b − a )
pri čemu je l sr = 2πrsr i rsr = (a + b ) / 2 .
Očigledno relacije nisu iste, pa postoji greška. Za tanak torus greška je manja, za deblji veća.
4.3. Jednačine za magnetska kola sa vazdušnim procepom
Posmatrajmo torus okruglog poprečnog preseka, sa vazdušnim procepom dužine l 0 i N
zavojaka sa strujom I kroz zavojke (slika 4.4a).
U vazdušnom procepu je B0 = µ 0 H 0 , a u feromagnetskom jezgru B = µ (H )H . Prema II
KZ za magnetska kola (rasipni fluks se zanemaruje, pa je Φ svuda isto)
∑ (± NI ) − ∑ R Φ
m
k
duž C
duž C
k
= 0 , dobijamo NI − R Φ − R Φ = 0
m
m0
(*)
gde je
Rm =
l0
l
reluktansa jezgra, i Rm0 =
µ (H )S
µ 0 S 0 reluktansa procepa.
Slika 4.4 a) magnetsko kolo sa vazdušnim procepom, b) njegovo analogno kolo
Relacija (*) podseća na relaciju za II KZ za kola sa konstantnim vremenskim strujama, ako
se smatra da je NI ekvivalentno E (često se naziva magnetomotorna ili magnetopobudna sila), a
55
RmΦ ekvivalentno RI. Na osnovu toga se magnetska kola mogu prikazati ekvivalentnom
električnom šemom. Za magnetsko kolo na slici 4.4a to je električno kolo na slici 4.4b.
Fizički S = S 0 , ali zbog rasipnog polja u okolini vazdušnog procepa je S 0 > S . Polje na
ivicama procepa je nehomogeno. Formula za reluktansu vazdušnog procepa je utoliko tačnija
ukoliko je l 0 manje u odnosu na poprečne dimenzije (uzan procep).
Takoñe je Rm0 >> Rm jer je µ (H ) >> µ 0 .
Kada je procep izmeñu delova iste debljine,
-
za pravougaoni procep dimenzija a i b, se koristi izraz S 0 = (a + l 0 )(b + l 0 ) , a
π (D + l 0 )2
za okrugli prečnika D, S 0 =
4
Kada je procep izmeñu delova različite debljine, za
pravougaoni procep dimenzija a i b, se koristi izraz S 0 = (a + 2l 0 )(b + 2l 0 ) , a
-
za okrugli prečnika D, S 0 =
-
π (D + 2l 0 )2
4
4.4. Metode proračuna magnetskih kola
Razlikuju se metode proračuna za prosta magnetska kola (jedna grana, odnosno više delova
vezanih na red) i složena (razgranata) magnetska kola (sa više grana).
Složena kola mogu biti simetrična i nesimetrična. Proračun simetričnih kola se svodi na
proračun prostih.
4.4.1. Proračun prostih magnetskih kola
Rasipni fluks se zanemaruje, pa je Φ svuda isti.
Pretpostavimo da je zadato Φ i dimenzije magnetskog kola, a tražimo NI (lakši slučaj). Tada
Φ
se B nalazi kao Bk = S (Φ je isto kroz sve preseke prostog kola), gde je S k površina poprečnog
k
peseka posmatranog kola.
Nakon toga odreñujemo H k iz krive magnetisanja (na osnovu poznatog Bk ), slika 4.5. U
B0
vazdušnom procepu je H 0 = µ
0
Slika 4.5. Odreñivanje H na osnovu poznatog B iz krive magnetisanja materijala
Na kraju je
56
NI = ∑ H k l k
H k smo odredili, a l k računamo na osnovu zadatih dimenzija. Kod računanja l k uzima se
da se srednja linija ne lomi pod pravim uglom, već je u obliku luka (četvrtina kruga), slika 4.6.
Slika 4.6. Odreñivanje srednje linije za primenu II Kirhofovog zakona za magnetska kola
Ako je poznato NI i dimenzije kola, a traži se Φ u pojedinim delovima kola (teži slučaj), Φ
se odreñuje polazeći od II KZ
∑ H k l k = NI
H k je nelinearna funkcija od Φ odnosno B grane. B(H) se daje grafički ili tabelarno ili, što
je reñe, matematičkom relacijom. Rešavanje se obavlja približnom metodom. Najčešći postupak je:
pretpostavi se neko Φ i izračuna NI (na način kako smo to objasnili, na početku ovog odeljka) koje
će biti veće ili manje od zadatog NI. Zatim se uzme nova vrednost Φ , veće ili manje od prethodnog,
i ponovo izračuna NI. Posle nekoliko (sukcesivnih) iteracija se postepeno doñe do odgovarajuće
vrednosti za Φ (metoda sukcesivnih aproksimacija).
Zadatak se može rešavati i grafički: zada se nekoliko vrednosti za Φ, izračuna NI, i na
osnovu toga nacrta grafik zavisnosti Φ = Φ (NI ) ; zatim se grafički sa dijagrama odreñuje Φ koje
odgovara zadatom NI (slika 4.7).
Slika 4.7. Grafičko odreñivanje Φ na osnovu izračunatih vrednosti NI
4.4.2. Proračun složenih simetričnih magnetskih kola
Ideja je ilustrovana na slici 4.8. Dakle proračun se svodi na proračun jedne polovine kola.
Ako je se u presečenoj grani nalazi namotaj, onda tu ostaju svi zavojci, a ne polovina (jer zatvorena
putanja kroz kolo obuhvata sve zavojke).
Slika 4.8. Primer složenog simetričnog magnetskog kola
57
4.4.3. Proračun složenih nesimetričnih magnetskih kola
Magnetska kola retko imaju više od tri grane, za razliku od električnih kola. Treba imati u
vidu da nisu linearna. Za rešavanje se može koristiti sledeće:
- I i II Kirhofov zakon za magnetska kola,
- odgovarajuće krive magnetisanja materijala od kojih su napravljene pojedine grane kola. U
vazdušnom procepu je B0 = µ 0 H 0 .
Jedna od metoda je već objašnjena – metoda sukcesivnih aproksimacija. Rešavanje zavisi od
geometrije kola, pa svaki tip kola zahteva poseban postupak.
4.5. Magnetsko kolo stalnih magneta
Objasnićemo samo osnovne pojmove u vezi proračuna. Posmatrajmo torusno feromagnetsko
jezgro kao na slici 4.9a.
a)
b)
Slika 4.9 a) torusno feromagnetsko jezgro, b) njegova karakteristika
Pretpostavimo da je kroz namotaj, koji je privremeno bio na jezgru, postojala struja koja ga
je namagnetisala do zasićenja. Neka je kriva magnetisanja kao na slici 4.9b.
Kada se struja isključi nañemo se u tački Br (slika 4.10). Neka se iz jezgra odstrani kratak
deo dužine l 0 . Naravno, H 0 u procepu i H m u jezgru (magnetu) zadovoljavaju uopšteni Amperov
zakon
∫ Hdl = ∑ I
kroz C
C
pa je (s obzirom da je struja isključena, tj.
∑ I = 0 ),
H l
H 0 l 0 + H m l m = 0 . Odatle je H m = − 0 0 .
lm
Ako se zanemari rasipanje fluksa, onda je Φ 0 = Φ . Ako na zatvorenu površ koja prolazi kroz
procep i jezgro, primenimo zakon o konzervaciji magnetskog fluksa, dobijamo
B S
∫S Bd s = B0 S 0 − Bm S m = 0 , odakle je B0 S 0 = Bm S m , odnosno B0 = mS m . Kako je u vazdušnom
0
B0
procepu B0 = µ 0 H 0 , odatle je H 0 = µ , to se posle zamena u relaciju za H m , dobija
0
Hm = −
l0 S m
Bm
µ0lm S 0
58
Iz relacije za H m se vidi da je H m linearna funkcija Bm , tj. prava linija OP (slika 4.10). Iz
preseka ove linije sa krivom razmagnetisanja (deo karakteristike magnetisanja koji je u drugom (ili
četvrtom) kvadrantu), dobija se radna tačka jezgra (tačka P na slici 4.10), odnosno rešavanjem ove
jednačine i jednačine koja daje vezu B i H u drugom kvadrantu (rešenje ove dve jednačine su
koordinate tačke P). Ordinata radne tačke je jednaka vrednosti B u jezgru. Nagib prave zavisi od
dužine procepa i menja se promenom l 0 ili promenom l m pri istom l 0 .
Radi smanjenje rasipnog fluksa polovi se na krajevima zarubljuju (slika 4.11). Ali preterano
zarubljivanje dovodi do povećanja rasipnog fluksa.
Slika 4.10. Radna tačka magnetskog kola
Radi smanjenje rasipnog fluksa polovi se na krajevima zarubljuju (slika 4.11). Ali preterano
zarubljivanje dovodi do povećanja rasipnog fluksa.
Slika 4.11. Zarubljivanje polova radi smanjenja rasipnog fluksa
59
VREMENSKI PROMENJIVO
ELEKTRIČNO I MAGNETSKO POLJE
5. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
5.1. Uvod
Dosadašnja razmatranja su se uglavnom odnosila na električna i magnetska polja koja se ne
menjaju u vremenu. Meñutim, veći praktični značaj imaju vremenski promenjiva električna i
magnetska polja.
Jedna od najvažnijih osobina vremenski promenjivih polja jeste tzv. elektromagnetska
indukcija (EI). U takvim poljima je, za razliku od elektrostatičkih polja,
→ →
∫ E dl ≠ 0
Naime, u zatvorenim konturama, koje se u takvom polju nalaze, javlja se vremenski
promenjiva električna struja, tzv. indukovana struja, čak i ako u kolu nije vezan električni generator.
U vremenski konstantnom električnom polju to nije moguće: vremenski konstantna električna struja
u električnom kolu može postojati samo ako je u kolu vezan generator.
Na principu elektromagnetske indukcije zasniva se rad električnih generatora i motora
naizmenične struje, tranformatora, antena itd.
Vremenski promenjivo električno i magnetsko polje su meñusobno povezani.
Vremenski promenjivo magnetsko polje je uvek praćeno vremenski promenjivim
električnim poljem. Električno polje koje odgovara istim promenama magnetskog polja ne zavisi od
uzroka promene magnetskog polja, tj. ta promena može biti
- bilo rezultat relativnog kretanja24 provodne konture (ili dela konture) ili posmatrača, i
izvora magnetskog polja (dinamička elektromagnetska indukcija, primer: električni
motori, električni generatori),
- bilo promene jačine struje u provodnim konturama nepokretnim u odnosu na posmatranu
konturu (statička elektromagnetska indukcija, primer: transformatori).
Prema tome električno polje ima dva uzročnika:
- nepokretna električna opterećenja (proučili smo ih u elektrostatici), koja daju
→
elektrostatičko polje, koje ćemo od sada označavati sa E st , i
- električne struje koje se menjaju u vremenu (bilo zbog toga što se strujna kontura (ili
stalni magnet) kreće, bilo zato što se menja jačina struje u konturama koje su
nepokretne), ili
- ako se deformiše kontura sa konstantnim strujama.
Vremenski promenjivo električno i magnetsko polje postoje čak i kad nema provodnih
kontura, a primer su elektromagnetski talasi u slobodnom prostoru.
Očigledno da su prirode ovih polja različite, pa im ni osobine nisu iste, osim da na
→
→
naelektrisanu česticu deluju silom F = Q E .
24
Relativno kretanje se posmatra u odnosu na koordinatni sistem ili posmatrača, u odnosu na koga se izvor magnetskog
polja kreće ili menja u vremenu.
60
Da bi se i imenom istakla razlika u odnosu na prvo, elektrostatičko polje (koje potiče od
nepokretnih električnih opterećenja), električno polje koje potiče od vremenski promenjivih struja
→
naziva se indukovano električno polje E ind .
U opštem slučaju, u odnosu na posmatrača, mogu da postoje obe komponente električnog
polja (elektrostatičko i indukovano). Ukupna (totalna) električna sila na naelektrisanu ćesticu je
→
→
→
→
→

F tot = Q E st + Q E ind = Q E st + E ind 


pa je ukupna jačina polja
→
→
→
E tot = E st + E ind
→
E st se računa na osnovu poznate raspodele električnih opterećenja (elektrostatika).
→
E ind je posledica dva razloga:
-
relativnog kretanja (deformacije) konture ili delova konture (dinamička indukcija)
→
E ind din , ili
-
promene struje u nepokretnoj konturi odnosno magnetskog polja u vremenu (statička
→
indukcija)
E ind st .
Objasnimo to detaljnije.
→
1)
E ind din
→
kao posledica relativnog25 kretanja posmatrača brzinom v u odnosu na izvor
magnetskog polja (dinamička indukcija) odreñuje se izrazom
→
E ind din = vx B
To možemo objasniti na sledeći način.
→
Zamislimo da je magnetsko polje magnetske indukcije B stalno (vremenski nepromenjivo),
a da se kontura kreće ili deformiše u odnosu na posmatrača P1 (dinamička indukcija), slika 5.1. Ako
→
→
se element d l sa nosiocem naelektrisanja Q kreće brzinom v u odnosu na posmatrača P1 , tada P1
→
vidi da na Q deluje magnetska sila
F m = Q vx B (slika 5.1). Posmatrač
P2 koji se u odnosu na P1
→
kreće istom brzinom v , ali je u odnosu na Q nepokretan, registruje takoñe silu, ali je tumači kao
električnu silu (nepokretan je u odnosu na Q), tj. kao
→
→
F e = Q E = Q E ind din = F eind
Prema tome za dinamičku elektromagnetsku indukciju je26
→
E ind din = vx B
25
Kada se kaže relativno kretanje, onda se podrazumeva da se posmatrač kreće, a izvor magnetskog polja je nepokretan,
ili da posmatrač miruje, a izvor magnetskog polja se kreće ili da se oboje kreću, ali ne istom brzinom i u istom pravcu i
smeru..
26
Setite se Holovog efekta, tamo je dobijeno
→
E H = vx B
61
→
gde je
E ind din
→
→
→
indukovano električno polje u elementu d l koji se u polju B kreće brzinom v .
Slika 5.1. Uz objašnjenje indukovanog električnog polja dinamičke indukcije
→
2)
E ind st
→
kao posledica promene struje u nepokretnom elementu d l tankog provodnika
(statička indukcija), može se odrediti izrazom do koga se došlo eksperimentalno
→
d E ind st = −
µ 0 di (t ) d l
4π dt r
Ako se radi o tankoj konturi sa promenjivom strujom i(t), onda je ukupno indukovano
električno polje (statičke indukcije) u tački na rastojanju r od konture (slika 5.2):
→
E ind st = −
µ 0 di (t ) d l
µ0
=
−
4π C∫ dt r
4π
∫
C
di (t )
dl
dt
r
Slika 5.2. Uz objašnjenje indukovanog električnog polja statiičke indukcije
→
Iz relacije za
→
za
d E ind st
trenutku. Za
d E ind st
→
→
proizilazi da je vektor
d E ind st
→
je smer d l . Stvarni smer
d E ind st
zavisi od znaka izvoda
di (t )
< 0 stvarni smer je kao i referentni.
dt
→
paralelan sa d l . Referentni smer
di (t )
u posmatranom
dt
→
Elementarna elektromotorna sila (ems) de indukovana u elementu d l , za dinamičku
indukciju, je
( )
→
de = E ind d l = vx B d l
a u celoj konturi C, dobija se sabiranjem elementarnih ems de , tj.
62
( )
→
e = ∫ de = ∫ E ind d l = ∫ vx B d l
C
C
C
U oba slučaja ems e se može izračunati preko promene fluksa, jer se u oba slučaja, u stvari,
menja fluks, a to se pokazuje Faradejevim zakonom elektromagnetske indukcije.
5.2. Faradejev zakon elektromagnetske indukcije
Pojavu elektromagnetske indukcije je eksperimentalno otkrio Majkl Faradej. Menjajući, na
razne načine, magnetski fluks kroz provodnu (žičanu) konturu, konstatovao je da se u konturi javlja
(indukuje) ems, koja se može odrediti izrazom27
e(ind ) = −
dΦ (t )
dt
gde je Φ magnetski fluks kroz konturu (slika 5.3) koji se odreñuje poznatim izrazom
Φ = ∫ Bd s
S
.
Φ se računa u odnosu na normalu na površ S ograničenu konturom. S je površ oslonjena na
konturu. Orijentacija konture i normala na površ su vezane pravilom desne zavojnice.
Elektromotorna sila (ems) e se računa u odnosu na referentni smer konture (strelica na konturi),
slika 5.3).
Slika 5.3. Uz formulaciju Faradejevog zakona elektromagnetske indukcije
dΦ (t )
> 0 (fluks raste) stvaran smer ems e je
dt
suprotan referentnom smeru konture ( e < 0 ) i obratno.
Ako je kontura zatvorena, pod dejstvom ems nastaje struja u konturi (indukovana struja).
Referentni smer struje je kao i orijentacija konture.
Ta struja stvara svoje magnetsko polje, koje se naziva sopstveno magnetsko polje, a fluks
tog polja se naziva sopstveni fluks.
Indukovana ems ”teži” da sopstvenim fluksom poništi promene magnetskog fluksa koje su
dΦ (t )
> 0,
izazvale elektromagnetsku indukciju (suprotstavlja se promenama koje su je izazvale; za
dt
sledi da je e < 0 ). Ova konstatacija se naziva Lencovo pravilo i sastoji se u predznaku ”-” u izrazu
za Faradejev zakon (i kao što smo napred objasnili služi i kao približno pravilo za odreñivanje
smera indukovane struje kroz konturu). Ono se potpuno ostvaruje samo ako je kontura
superprovodna, a inače je poništavanje fluksa samo delimično.
Iz Faradejevog zakona sledi da ako je
Primer 5.1. Odrediti smer indukovane struje u zavojku na slici 5.4a.
27
Izraz za Faradejev se može izvesti, ali mi to, zbog obima predmeta, nećemo raditi.
63
dΦ
S obzirom na situaciju na slici 5.4a, promena fluksa kroz zavojak je pozitivna ( dt > 0 ) u
odnosu na usvojeni smer konture (slika 5.4b), po pravilu desne zavojnice, pa na osnovu izraza
e=−
dΦ
dt
, dobijamo
e < 0,
pa je stvarni smer e suprotan smeru konture, a struja i ima smer ems e.
Slika 5.4 a) zavojak u polju stalnog magneta koji se kreće, b) odreñivanje smera indukovane ems
→
Ako je kontura otvorena, struja je nula, pa ne postoji sopstveni fluks, ali E ind postoji. Imati u
→
vidu da je pravi uzrok indukovane ems, u stvari, E ind koje postoji duž provodne konture.
Elektromagnetska indukcija može nastati i kombinovano (dinamička i statička istovremeno).
Dakle imamo tri slučaja:
Dinamička elektromagnetska indukcija
( )
→
einddin = ∫ E inddin d l = ∫ vx B d l
C
C
Statička elektromagnetska indukcija
eind st = −
dΦ (t )
d
dB
= − ∫ Bd s = − ∫
ds
dt
dt
dt S
S
Napomena: ovde se površ S oslonjena na konturu C ne menja, jer je kontura C nepokretna
(izraz važi ako je kontura C stvarna ili zamišljena).
Kombinovana elektromagnetska indukcija
eind = −
Kod komponente
∫ (vx B )d l ,
∫
S
( )
d
dB
dΦ
B
d
s
=
−
d
s
+
v
x
B
d
l
=
−
∫S dt
∫
dt ∫S
dt
C
dB
ds
dt
kontura miruje a struja se menja, pa se menja Φ. Kod
dΦ
→
se ne menja, ali se kontura kreće, pa se menja Φ. Izraz eind = −
,
B
dt
C
očigledno, važi za oba slučaja. Dakle može se pisati i
komponente
64
eind = eind st + eind din
Da bismo odreñivali ems Faradejevim zakonom, treba znati odrediti Φ, što smo ranije učili, i
dΦ (t )
treba još odrediti
ili treba znati odrediti vx B d l , a to podrazumeva znati odrediti B , a to
dt
smo takoñe učili (podrazumeva se da se to zna da bi se odredilo Φ).
( )
5.3. Potencijal i napon u vremenski promenjivom polju
Za potencijal u kvazistacionarnom28 polju važi relacija istog oblika kao i u elektrostatičkom
polju
R
v A = ∫ E st d l
A
Za napon se koriste dve relacije. Prva je ista kao u elektrostatici
B
u AB = v A − vB = ∫ E st d l
A
(ne zavisi od oblika putanje integracije). Druga je
B
u AB = ∫ Ed l =
A
Kako
∫E
st
dl = 0
C
∫ E ind d l = eind = −
C
∫ (E
B
st
)
+ E ind d l
A
, jer važe ista pravila kao u elektrostatici, a
∫E
C
ind
dl ≠ 0
, jer je
B
dΦ
E ind d l zavisi od oblika putanje integracije, pa, u principu, i
dt , to znači da ∫A
napon u promenljivom polju zavisi od putanje kojom se računa (ili kod merenja napona, izmereni
napon, kod promenjive struje, bi zavisio od oblika provodnika kojim je voltmetar vezan za merne
tačke). Iako je ova zavisnost mala, treba imati u vidu da ona postoji.
Primer 5.2. Posmatramo dvožični vod. Kod merenja napona voltmetrom, ako su provodnici,
kojima se vezuje voltmetar, postavljeni normalno u odnosu na ravan voda (kontura ABDC, slika
5.5), zavisnost izmerenog napona od oblika provodnika ne postoji (linije vektora magnetske
indukcije voda su paralelne konturi provodnika voltmetra, te kroz površ razapetu preko te konture
ne prodiru, te nema promene fluksa kroz tu konturu), a ako su postavljeni u ravni voda (kontura
ABdc), zavisnost postoji (postoji promena fluksa kroz površ razapetu preko konture koju čine ti
provodnici).
28
Polje je kvazistacionarno ako se radi o relativno malim brzinama promena polja (malim frekvencijama promene). O
tome ćemo u drugom delu ovog predmeta.
65
Slika 5.5. Uticaj položaja konture na indukovanu ems u konturi
5.4. Vrtložne struje, površinski efekat i efekat blizine
Vrtložne struje
Pokazali smo da u zatvorenoj konturi, koja se nalazi u promenjivom električnom polju,
dolazi do pojave indukovane ems i struje kroz konturu.
Ako se u takvom polju nalazi telo od provodnog materijala, možemo unutar tog tela
zamisliti mnoštvo zatvorenih provodnih kontura, te će se i u njemu indukovati struje. Ove struje
unutar provodnih tela, koje nastaju pod dejstvom indukovanog električnog polja E ind nazivaju se
vrtložne struje (vihorne, Fukoove). One su neminovni pratilac vremenski promenjivog magnetskog
i električnog polja unutar provodnih tela bilo kog oblika.
Kao posledica vrtložnih struja dolazi:
- do Džulovih gubitaka, i
- do pojave sekundarnog vremenski promenjivog magnetskog i električnog polja koje
potiče od ovih struja.
Najčešće su ovi efekti nepoželjni, pa se na razne načine umanjuju, ali postoje i slučajevi gde
se vrtložne struje koriste.
Primer gde su vrtložne struje nepoželjne su feromagnetska jezgra električnih mašina
naizmenične struje. U jezgrima, dobrim provodnicima, indukovale bi se vrtložne struje velikog
intenziteta. Te struje, po Lencovom pravilu (zakonu), teže da spreče uzrok koji ih je izazvao (a to je
promena fluksa). Zbog toga, pored Džulovih gubitaka, dolazi i do smanjivanja fluksa kroz jezgro.
Pošto je magnetsko polje indukovanih struja najveće u sredini materijala (slika 5.6a), tu će i
slabljenje stranog (vanjskog) fluksa biti najveće, pa će fluks biti neravnomerno raspodeljen po
preseku jezgra. Ukupna magnetska indukcija (strana + sopstvena – indukovana od vrtložnih struja)
biće najveća uz površ jezgra, a opadaće ka unutrašnjosti jezgra.
Da bi se smanjili Džulovi gubici, kao i neravnomernost raspodele fluksa po preseku
feromagnetskog jezgra, ono se ne pravi kao pun materijal, već od tankih meñusobno izolovanih
limova (slika 5.6b).
Indukovano električno polje i sada postoji, ali se linije indukovane struje zatvaraju duž
preseka pojedinih limova, pa obuhvataju manji magnetski fluks, pa se gustina vrtložnih struja u
limu znatno smanjuje u odnosu na puno jezgro.
66
a)
b)
Slika 5.6. Vrtložne struje: a) u punom materijalu, b) u tankim limovima
Očigledno B mora biti paralelno površi lima, a nikako upravno na nju.
Gubici zbog indukovanih struja postoje i u limovima. Za zapreminsku gustinu srednje snage
gubitaka se može izvesti relacija
(P )
j sr
vlim a
=
1
σω 2 d 2 Bm2
24
gde je σ specifična provodnost lima, d debljina lima, ω = 2πf kružna učestanost promene
magnetske indukcije (f je frekvencija), a Bm amplitudna vrednost magnetske indukcije. Očigledno
za smanjenje gubitaka potrebno je smanjiti σ, pa se limovima dodaje silicijum. Takoñe treba
smanjiti debljinu limova. U praksi su limovi debljine d = 0,35 ili 0,5 mm za učestanosti f = 50 Hz.
Pri visokim učestanostima (u radiotehnici) jezgra se nemogu praviti ni od limova (gubici su
preveliki, zavise sa kvadratom učestanosti). Tada se jezgra prave, na primer, od presovanog
feromagnetskog praha, čije su ćestice meñusobno izolovane. U tu svrhu se koriste i feriti (imaju
malo σ) kao feritna jezgra.
Primeri primena vrtložnih struja su:
- kočenje metalnog točka u indukcionim brojilima utroška električne struje,
- u indukcionim pećima (peći za topljenje),
- u elektrotermiji (terapija) – Tesline struje.
Površinski efekat i efekat blizine
Poznato nam je iz elektrostatike i vremenski konstantnih struja, da ako je provodnik prav i
konstantnog preseka, vremenski konstantna struja je po njegovom preseku raspodeljena ravnomerno
(unutar provodnika polje je konstantno).
U slučaju prostoperiodičnih struja (poseban slučaj vremenski promenjivih struja), meñutim,
→
zbog pojave E ind dolazi do neravnomerne raspodele struje po preseku provodnika. Gustina struje je
manja u unutrašnjosti nego u delovima ka površi provodnika29. Ovaj efekat je izraženiji, ukoliko je
provodnik deblji i učestanost viša. Pri vrlo visokim učestanostima (frekvencijama) struja postoji
praktično samo po površi provodnika30. Po tom graničnom slučaju, cela pojava neravnomerne
raspodele struja po preseku provodnika dobila je naziv površinski efekat (skin efekat).
Slično, ako imamo dva blisko postavljena provodnika, raspodela struje u njima je, iz istog
razloga, drugačija od one kada su provodnici usamljeni. Ta pojava se naziva efekat blizine. Kod
paralelnih provodnika sa strujama različitog smera gustina struje je veća na unutrašnjim površima
29
Fizikalno to može da se objasni na sledeći način. Zamislimo da se provodnik sastoji od tankih cevćica. Cevćice u
centru su obuhvaćene većim fluksom nego cevćice bliže površi provodnika, pa je indukovana ems, pri promeni struje,
veća u delovima bliže centru nego površi provodnika. Zbog toga je i suprotstavljanje struji u centru mnoge veće nego na
površi provodnika.
30
Zbog toga se kod visokih frekvencija energija ne prenosi punim, nego šupljim provodnicima (najčešće okruglog
preseka, kao cevi) koji se nazivaju talasovodi.
67
provodnika, a kod provodnika sa strujama istog smera, gustina struje je veća na spoljašnjim
površima provodnika31.
Oba efekta su, u suštini, posledica elektromagnetske indukcije.
Da dolazi do površinskog efekta, može, analitički, da se pokaže na sledećem primeru.
Primer 5.3. Posmatrajmo provodnik kružnog preseka sa prostoperiodičnom strujom i (t )
(slika 5.7). Obeležimo sa J (r , t ) gustinu struje na odstojanju r od ose provodnika, a sa J (0, t )
gustinu struje na osi provodnika. Neka je σ specifična provodnost materijala provodnika, i neka je
Φ(r , t ) fluks kroz pravougaonu konturu abcda, čija je dužina l, a širina jednaka poluprečniku
provodnika a (slika 5.7). Primenom Faradejevog zakona na tu konturu dobijamo
e(t ) =
∫E
ind
∫
dl =
abcda
abcda
J
σ
dl = −
dΦ (r , t )
dt
odnosno
∫
abcda
J
σ
b
dl = ∫
a
J
σ
c
dl + ∫
b
J
σ
d
dl + ∫
c
J
σ
a
dl + ∫
d
J
σ
dl = −
dΦ (r , t )
dt
(*)
Slika 5.7. Odreñivanja gustine struje duž poprečnog preseka provodnika
Na delu konture ab uagao vektora J i d l je 00, na delu bc i delu da je je 900, a na delu cd je
1800, pa je integral na delu bc i da nula, a na delu cd sa negativnim predznakom. Kako J zavisi od r
i t, ali ne i od l, to imamo
∫
pa na osnovu (*) dobijamo
J (r , t )
σ
dl =
J (r , t )
σ
∫ dl =
J (r , t )
σ
dΦ (r , t )
 J (r , t ) J (0, t ) 
 σ − σ l = − dt
l
Pošto Φ (r , t ) raste sa r, odatle sledi da i J (r , t ) mora da raste sa r, tj. intenzitet vektora
gustine struje raste idući od ose ka površi provodnika. Može se reći da je ovaj efekat izraženiji ako
je σ veće i µ veće (jer je Φ proporcionalno µ).
31
Fizikalno to može da se objasni na isti način kao i površinski efekat.
68
6. MEĐUSOBNA INDUKTIVNOST I SAMOINDUKTIVNOST
6.1. Međusobna induktivnost dve tanke provodne konture
Posmatrajmo dve nepokretne tanke provodne konture C1 i C 2 u vazduhu. Neka u konturi C1
postoji vremenski promenjiva struja i1 (t ) , slika 6.1. Znamo da će i1 (t ) prouzrokovati u svim
tačkama u okolini konture C1 vremenski promenjivo magnetsko i električno polje. Pošto se C 2
nalazi u tom polju (slika 6.1), u njoj će se, u opštem slučaju, indukovati neka ems.
Zbog toga kažemo da su ove dve konture spregnute. Uobičajeno je da se kaže da su konture
magnetski spregnute iako je suština sprege (uzajamnog uticaja) u indukovanom električnom polju.
Obeležimo sa e12 (t ) ems koju struja i1 (t ) u C1 indukuje u konturi C 2 . Ovaj način
obeležavanja ćemo zadržati i dalje za sve spregnute sisteme. Prvi indeks će uvek označavati izvor
polja, a drugi šta se u tom polju nalazi. Na primer, Φ 21 bi označavao magnetski fluks koji struja u
konturi 2 prouzrokuje kroz konturu 1 (u nekim udžbenicima je obrnuto).
Slika 6.1. Dve spregnute konture
Znamo da je e12 (t ) zbir proizvoda E ind d l duž C 2 , tj.
e12 (t ) =
∫ (E
) dl
ind i
1
2
C2
( e12 (t ) možemo izračunati i preko −
dΦ 12 (t )
, ali ćemo ovde e12 (t ) izraziti preko i1 (t ) i
dt
geometrijskog oblika kontura C1 i C 2 ).
Prema Bio-Savarovom zakonu, B je u svakoj tački, u polju, u okolini konture C1
proporcionalan trenutnoj vrednosti jačine struje i1 (t ) 32, tj.
dB =
µ0 i(t )d l x r 0
4π
r2
Prema definiciji fluksa kroz konturu (
Φ = ∫ Bd s
S
gde je Φ 12 (t ) fluks kroz konturu C 2 , odnosno
Φ12 (t ) = L12i1 (t )
32
) sledi da je Φ 12 (t ) proporcionalno i1 (t ) ,
(*)
Što strogo važi samo za spore promene struje, i ako je sredina linearna (nije feromagnetska).
69
Koeficijent L12 se naziva meñusobna induktivnost dve konture, i zavisi kako od oblika
kontura C1 i C 2 , tako i od njihovog meñusobnog položaja.
Jednačina (*) važi za bilo kakvu promenu struje, pa i vremenski konstantnu struju, tj.
Φ12 = L12 I1
Ovaj izraz predstavlja definicioni izraz meñusobne induktivnosti preko fluksa.
Prema Faradejevom zakonu elektromagnetske indukcije i relaciji (*), ems e12 (t ) indukovana
u konturi C 2 , zbog promene jačine struje u konturi C1 , može da se napiše u obliku
e12 (t ) = −
dΦ12 (t )
di (t )
= − L12 1
dt
dt
što predstavlja definiciju meñusobne induktivnosti preko indukovane ems.
Vidi se da je za odreñivanje ems e12 (t ) pri bilo kakvoj zadatoj promeni struje i1 (t ) potrebno
znati samo meñusobnu induktivnost L12 , pa je meñusobna induktivnost vrlo važna veličina koja
karakteriše spregnuta kola.
Za odreñivanje L12 prema jednačini Φ12 = L12 I1 , može se postupiti na sledeći način
(postupak):
1- pretpostavi se da u konturi C1 postoji vremenski konstantna struja jačine I 1 ,
2- odredi se vektor magnetske indukcije koji ta struja stvara u tačkama neke površi koja se
oslanja na konturu C 2 ,
3- izračuna se fluks Φ 12 ,
4- na kraju se izračuna L12 na osnovu izraza
Φ
L12 = 12
I1
Problem je ponekad u tome što nije jednostavno odrediti Φ 12 .
Jedinica za meñusobnu induktivnost je “henri” (H).
Φ 12
Prema definiciji L12 =
, L12 može biti pozitivno ili negativno, zavisno od toga da li je
I1
Φ 12 pozitivno ili negativno, a to zavisi od toga kako smo sami usvojili orijentaciju za konturu C 2
(od čega zavisi ds = nds ), pa nema suštinski fizički smisao.
Zamislimo sada da u C 2 postoji struja i2 (t ) , a da u C1 nema struje. Očigledno da važi isti
rezon, ali indeksi 1 i 2 zamenjuju mesta u relacijama. Prema tome u C1 će se indukovati ems
e21 (t ) = − L21
di2 (t )
dt
gde je
Φ 21 = L21I 2
Može se dokazati da je
L12 = L21
Dokaz:
Pretpostavimo da u (nepokretnoj) konturi C1 postoji struja i1 (t ) , pa izračunajmo ems
indukovanu u C 2 koristeći izraz
E ind 1 = −
µ0
4π
di1 (t ) d l 1
∫ dt r
C1
pa imamo
70
 µ
e12 (t ) = ∫ E ind 1d l 2 = ∫ − 0
C2
C2 
 4π
di1 (t ) d l 1 
∫C dt r d l 2
1

ili
 µ
e12 (t ) = − 0
 4π
∫
C2
d l 1d l 2  di1 (t )
∫ r  dt
C1

Analogno se može dobiti
 µ
e21 (t ) = − 0
 4π
∫
C1
d l 2 d l 1  di2 (t )
∫ r  dt
C2

Ako se poslednja dva izraza uporede sa izrazima
e12 (t ) = − L12
di1 (t )
i
dt
e21 (t ) = − L21
di2 (t )
dt
vidi se da izrazi u vitičastoj zagradi predstavljaju L12 odnosno L21 . Kako je d l 2 d l 1 = d l 1 d l 2 , a
integral po C1 i C 2 može da se obavi bilo kojim redom, sledi da je
L12 =
Φ12
Φ
= L21 = 21 = M
I1
I2
Zbog jednostavnosti, ponekad se koristi zajednička oznaka M za meñusobnu induktivnost.
Ovaj rezultat je pogodan kod proračuna meñusobne induktivnosti, jer se može računati ona
induktivnost koju je lakše odrediti (za koju je lakše odrediti fluks) tj. Φ 12 ili Φ 21 .
Primer 6.1. Odrediti meñusobnu induktivnost dugog provodnika i pravougaone konture
(kao na slici 1.27a u prvom poglavlju).
Kako smo u primeru 1.13, poglavlje 1, već odredili fluks tog provodnika (označimo ga sa 1,
pa je kroz njega struja I1), kroz pravougaonu konturu (označimo je sa 2), to je.
Φ 12 = −
µ 0 I 1b d + a
ln
2π
a
Ako primenimo izraz za meñusobnu induktivnost preko fluksa, dobijamo
L12 =
µ b d +a
Φ12
= − 0 ln
I1
a
2π
Napomena: setite se razloga zašto se pojavio predznak ”-”. Takoñe razmislite da li biste
Φ
21
mogli izračunati Φ 21 , da biste odredili meñusobnu induktivnost izrazom L21 = I .
2
Imajući u vidu izraze dobijene kod dokazivanja da je L12 = L21 = M , meñusobna
induktivnost tankih žičanih kontura se može izračunati i izrazom
L12 = L21 =
µ0
4π
d l 1d l 2
r
C1
∫ ∫
C2
koji se naziva Nojmanov obrazac.
Meñusobna induktivnost se može definisati i za dva odsečka (segmenta) provodnika.
Meñutim, u ovom slučaju se nemože govoriti o fluksu (nema zatvorene konture), već se M definiše
preko indukovane ems. Kako je indukovano električno polje od d l 1 sa strujom i1 (t ) , na rastojanju r
od d l 1 (slika 6.2)
71
d E ind 1 = −
µ 0 di1 (t ) d l 1
4π dt r
a ukupno indukovano električno polje od odsečka dužine l1
E ind 1 = −
µ0 di1 (t ) d l 1
4π ∫l dt r
1
onda je ems koju i1 (t ) u odsečku l1 konture C1 indukuje u odsečku l 2 konture C2
el1 ,l2
 µ 0
= ∫ E ind 1d l 2 = −
 4π
l2
∫
l1
di1 (t )
d l 1d l 2  di1 (t )
=
−
L

l
,
l
∫ r  dt
1 2
dt
l2

odakle je
Ll1 ,l 2 =
µ0
4π
d l1d l 2
∫ r
l2
∫
l1
što predstavlja Nojmanov obrazac za meñuosbnu induktivnost dva segmenta provodnika.
Napomena: integral u izrazu se teško računa, pa se obično računa numeričkim metodama.
Slika 6.2. Uz definiciju meñuosbne induktivnosti dva segmenta provodnika
6.2. Sopstvena induktivnost tanke provodne konture
Kontura sa vremenski promenjivom strujom i sama se nalazi u sopstvenom promenjivom
električnom polju, pa i u toj (usamljenoj) konturi dolazi do elektromagnetske indukcije
(samoindukcije), pa se ta ems naziva elektromotorna sila samoindukcije.
I u slučaju meñuosobne indukcije i samoindukcije, radi se, u suštini, o istoj pojavi. To je u
oba slučaja indukovana ems jednaka linijskom integralu E ind duž konture
∫E
ind
d l . Kako je taj
C
integral jednak −
dΦ
, gde je Φ magnetski fluks kroz posmatranu konturu, to je ems samoindukcije
dt
es (t ) = −
dΦ s (t )
dt
Ako je kontura u linearnoj sredini (bez feromagnetskih materijala), važi
Φ(t ) = Li(t ) (*)
pa je
e(t ) = − L
72
di (t )
dt
gde je L konstanta koja se naziva sopstvena induktivnost ili samoinduktivnost (ili induktivnost)
konture. Zavisi od oblika konture i magnetskih osobina sredine.
Kako (*) važi za bilo kakvu promenu struje, pa i vremenski konstantnu struju, to važi.
Φ = LI
gde Φ predstavlja sopstveni fluks, a izraz predstavlja definicioni izraz za samoinduktivnost konture.
Postupak proračuna za L je isti kao i za L12 = L21 = M .
Ako je kontura otvorena, struja je jednaka nuli, ali postoji indukovana električno polje, pa i
indukovana ems, pa i razlika potencijala na krajevima, koja je jednaka (slika 6.3a)
u12 (t ) = −es (t ) = L
di(t )
dt
Sopstvena induktivnost tanke žičane konture može se izračunati i Nojmanovim obrazcem
L12 = L21 =
µ0
4π
d l 1d l 2
, ali kako ga treba primeniti?
r
C1
∫ ∫
C2
Posmatrajmo tanku žičanu konturu. U slučaju dve konture, izračunavanje integrala u
Nojmanovom obrazcu za M vrši se duž geometrijskih kontura koje nemaju debljinu i koje se
poklapaju (na primer) sa osama te dve žičane konture. Kod računanja samoinduktivnosti L (jedne)
tanke žičane konture, trebalo bi da integralimo duž iste geometrijske konture, a tada bi se elementi
d l 1 i d l 2 poklapali, pa je r = 0, i integral ne može da se izračuna (postaje beskonačno veliki). Znači
da je L beskonačno veliko. Ali takva beskonačno tanka kontura (provodnik) u stvarnosti ne postoji.
Realna kontura uvek ima debljinu, a onda se postupa na sledeći način: pretpostavi se da struja
postoji duž ose konture, a jačina E ind koje ta struja stvara se računa na površi provodne konture
(slika 6.3b).
a)
b)
Slika 6.3 a) indukovana ems i razlika potencijala na krajevima otvorene konture, b) primena
Nojmanovog obrazca na realnu konturu
Tako se dolazi do izraza
µ
L= 0
4π
∫
C
d ld l '
∫ r
C'
I ovde je izračunavanje integrala teško.
Kod izračunavanja energije i sile u magnetskom polju, pokazaćemo da za dve spregnute
konture, sa (samo)induktivostima L1 i L2 uvek važi relacija za induktivnosti i meñusobnu
induktivnost
2
L12
=≤ L1 L2
ili u obliku
L12 = k L1 L2
73
, gde je
k ≤1
a, k se naziva koeficijent sprege33 (k = 1, sprega je idealna, k = 0, nema sprege).
Svaki namotaj ima sopstvenu induktivnost. U nekim situacijama je ona nepoželjna. Ako je
treba umanjiti, onda se koristi tzv. bifilarni zavojak (slika 6.4). U ovom slučaju imamo praktično
dva provodnika sa istim strujama suprotnog smera, veoma blizu (priljubljeni), pa su sopstveni
fluks34, a onda i sopstvena induktivnost, veoma mali ( E ind je praktično isto na oba provodnika, a
suprotnog smera).
Slika 6.4. Bifilarni zavojak
Sličan je slučaj sa tzv. upredenim vodom35, slika 6.5, gde se indukovane ems e = ∫ E ind d l
poništavaju na susednim d l oba provodnika.
Slika 6.5. Upredeni vod (upredena parica)
Žičanu konturu, u kojoj se javlja samo indukovana ems (ostale efekte, kao što su Džulovi
gubici, nagomilavanje naelektrisanja i zračenje elektromagnetskih talasa, zanemarujemo), nazivamo
idealni kalem (induktivni kalem), i na eletričnim šemama označava se kao na slici 6.6a, a ako je sa
promenjivom samoinduktivnošću, onda kao na slici 6.6b.
Slika 6.6. Simbol (oznaka na šemama) induktivnog kalema fiksne induktivnosti (a) i promenjive (b)
Ako je potreban element čije se L može menjati onda se koristi:
- namotaj sa jezgrom od ferita koje se može uvlačiti u namotaj,
- dva namotaja vezana na red čiji se meñusobni položaj može menjati (što se naziva
variometar), slika 6.7.
Slika 6.7. Variometar
Sve do sada rečeno, važilo je za tanke konture. Induktivnost debelih kontura se nemože
računati na ovaj način (preko indukovane ems ili preko fluksa) jer nije jasno koju liniju duž kontura
treba uzeti za izračunavanje indukovane ems odnosno fluksa. O L i M debelih kontura govorićemo
kod analize energije u magnetskom polju.
Još jedna napomena. Sopstvenu induktivnost smo definisali magnetskim fluksom kroz
konturu na površi provodnika. Polje (magnetsko) postoji i u provodniku, ali ga nismo uzeli u obzir.
Zboga toga se takva samoinduktivnost naziva spoljašnja samoinduktivnost. Kada budemo analizirali
energiju magnetskog polja i izračunavanje induktivnosti preko energije, tada ćemo odrediti i deo
33
Da bi se matematički opisala jačina sprege izmeñu kalemova, uvodi se koeficijent induktivne sprege. To je čist broj
koji može biti izmeñu 0 i 1.
34
Ovde imamo u vidu tzv. spoljašnji fluks (fluks izvan provodnika).
35
Upredeni vod (upredena parica) se koristi kao kabl za povezivanje u računarskim mrežama, gde se, zavisno od
učestanosti signala za koju je vod namenjen, definiše broj upredanja po jedinici dužine (metru).
74
induktivnosti odreñen magnetskim poljem u unutrašnjosti provodnika, tzv. unutrašnju
samoinduktivnost. Ukupna induktivnost je njihov zbir, kao što ćemo pokazati u odeljku 7.4.
6.3. Određivanje jačine struje u kolu sa induktivnim kalemom
Posmatrajmo usamljeno kolo otpornosti R, i (samo)induktivnosti L, u koje je uključen izvor
vremenski promenjive ems e(t ) , slika 6.8. Pod dejstvom e(t ) u kolu postoji struja i (t ) . Ta struja
i (t ) pouzrokuje indukovano električno polje E ind u okolini konture i duž konture. Kako je
∫E
ind
duž kontura
dl ≠ 0
, to je ekvivalentno nekoj dopunskoj ems koja deluje u konturi i koju nazivamo ems
samoindukcije. Tako i (t ) koja je primarno posledica e(t ) , zavisi od R, ali i od ems samoindukcije.
Slika 6.8. Kontura uključena na izvor vremenski promenjive ems
Referentni smer, u odnosu na koji važe matematički izrazi za struju i ems, odnosi se na
stvarni smer struje u intervalima kada je ona pozitivna (u intervalima kada je negativna, njen stvarni
smer je suprotan referentnom)36.
Ems samoindukcije koja deluje u kolu (u odnosu na referentni smer konture) je
eS (t ) = −
dΦ(t )
di (t )
(*)
= −L
dt
dt
Kako u ovom prostom kolu deluju e(t ) i eS (t ) , to je
i (t ) =
Odatle je
e(t ) + eS (t )
R
e(t ) = Ri(t ) − eS (t ) (**)
Posle zamenjivanja (*) u (**), dobijamo
e (t ) = Ri (t ) + L
di (t )
dt
(***)
Ovo je diferencijalna jednačina. Iz nje se može odrediti i(t ) za bilo koje e(t ) . Ali mi to sada
nećemo rešavati
U slučaju vremenski konstantnih struja ova jednačina dobija oblik
E = RI
36
O referentnom smeru i definiciji promenjive struje detaljnije ćemo govoriti u drugom delu ovog predmeta, tj. delu o
vremenski promenjivim strujama
75
6.4. Savršeno provodna kontura u magnetskom polju
U prirodi nema savršenih provodnika (čije je ρ = 0 ), ali neki metali na veoma niskim
temperaturama postaju praktično savršeni provodnici (kod vremenski konstatnih struja nazvali smo
ih superprovodnici).
Zamislimo da u konturi nije priključen nikakav izvor, ali da kroz konturu postoji vremenski
promenjivi strani fluks Φ str (t ) koji potiče, na primer, od promenjivih struja u bliskim konturama ili
od magneta koji približavamo ka ili udaljavamo od konture. U konturi se indukuje i (t ) . Neka je
induktivnost konture L. Za struju u savršeno provodnoj konturi važi isti izraz kao za običnu otpornu
konturu (odeljak 6.3 izraz (***)), ali je R = 0 , a umesto e(t) uzrok promene struje je Φstr(t), tj.
−
dΦ str (t )
di(t )
di(t )
=L
+ Ri(t ) = L
dt
dt
dt
Ako integralimo levu i desnu stranu jednačine, dobijamo
Li (t ) = −Φ str (t ) + Φ 0 = Φ s (t )
Dakle, ukupni fluks koji u nekom trenutku t postoji kroz konturu jednak je zbiru stranog i
sopstvenog fluksa
Φ uk (t ) = Φ s (t ) + Φ str (t ) ≡ Φ 0 = const.
Odavde sledi da fluks kroz savršeno provodnu konturu ne može da se promeni unošenjem
konture u strano magnetsko polje ili promenom stranog magnetskog polja u vremenu. Naime, zbog
elektromagnetske indukcije, u konturi bi se u svakom trenutku indukovala tačno onolika struja,
kolika je potrebna da svojim fluksem poništi strani fluks kroz konturu. Φ 0 može biti i nula.
Ovo je granični slučaj Lencovog zakona, po kom indukovana struja u konturi uvek teži da
spreči promenu fluksa kroz konturu.
Ako kroz usamljenu provodnu konturu postoji neki (sopstveni) fluks Φ 0 , onda u konturi
postoji vremenski konstantna struja
Φ
I0 = 0
L
Ako se kontura unese u strano magnetsko polje čiji je fluks kroz konturu Φ str (t ) , u konturi
će se indukovati dopunska struja, jačine
Φ (t )
i (t ) = − str
L
Φ
0
Prema jednačini I 0 = L , struja u savršeno provodnoj usamljenoj konturi zadržava svoju
jačinu neograničeno vreme (iako u konturi nije uključen izvor ems). Struja ne slabi jer je otpornost
konture jednaka nuli.
6.5. Jednačine za jačine struja u dva kola spregnuta posredstvom
magnetskog polja
Posmatrajmo dve ”magnetski” spregnute provodne nepokretne konture kao na slici 6.9. Ako
su
sprega ne postoji. Indukovana ems postoji samo ako su struje vremenski
promenjive. Ali tada u svakoj konturi, pored ems izvora, deluju još dve ems:
e(t ) = const. ,
-
ems samoindukcije ( eS1 (t ) = − L1
di2 (t )
di1 (t )
), i e S 2 (t ) = − L2
);
dt
dt
76
-
ems zbog meñusobne indukcije ( e12 (t ) = − L12
di1 (t )
di (t )
i e21 (t ) = − L21 2 ).
dt
dt
Slika 6.9. Dve ”magnetski” spregnute provodne nepokretne konture
Prema tome za jačinu struje u konturama važe relacije
i1 (t ) =
e1 (t ) + eS1 (t ) + e21 (t )
i2 (t ) =
,i
R1
e2 (t ) + eS2 (t ) + e12 (t )
R2
Posle zamene izraza za ems samoindukcije i ems meñusobne indukcije, dobijamo
di1 (t )
di (t )
+ L12 2 , i
dt
dt
di (t )
di (t )
e2 (t ) = R2i2 (t ) + L2 2 + L21 1
dt
dt
e1 (t ) = R1i1 (t ) + L1
uz napomenu da je L12 = L21 .
Znak meñusobne induktivnosti L12 zavisi od stvarnog načina motanja namotaja, ali i od
usvojenog referentnog smera za struju u obe konture (koji je usvojen u referentnom smeru
odgovarajuće ems). Ako su ti smerovi takvi da struja u referentnom smeru u jednoj konturi stvara
pozitivan fluks kroz drugu, znak je pozitivan, a ako stvara negativan fluks, znak je negativan. Pošto
se način motanja na električnim šemama ne vidi, dogovorno su za to usvojene oznake (slika 6.10).
Tako je L12 > 0 ako je u oba namotaja strelica koja označava usvojeni referentni smer struje
usmerena bilo ka tački ili od nje. Ako je jedna strelica ka tački, a druga od nje, onda je L12 < 0 .
Slika 6.10. Primeri odreñivanja položaja tačaka
Primer 6.2. Odrediti meñusobnu induktivnost dva redno vezana kalema induktivnosti L1 i
L2 , spregnutih kao na slici 6.11 (uočite gde su tačke koje označavaju način motanja odnosno
sprege).
77
Slika 6.11. Primer spregnutih kalemova sa M ˃ 0
Napon na krajevima redne veze, imajući u vidu da je L12 = L21 = M > 0 , i ako kalemovi
imaju otpornost koja je za oba kalema jednaka R (ako je R = 0, onda člana Ri (t ) nema) je
u (t ) = Ri (t ) − es1 (t ) − e12 (t ) − es2 (t ) − e21 (t )
odnosno
u (t ) = Ri (t ) + L1
di(t )
di(t )
di(t )
di(t )
+ L12
+ L2
+ L21
dt
dt
dt
dt
ili
u (t ) = Ri(t ) + (L1 + L2 + 2 L12 )
jer je L12 = L21 , a može se napisati i u obliku
u (t ) = Ri(t ) + Le
di (t )
dt
di(t )
(*)
dt
(**)
Ovaj izraz upravo odgovara izrazu za ekvivalentni kalem induktivnosti Le i otpornosti R, pa
iz poreñenja izraza (*) i (**) sledi da je
Le = L1 + L2 + 2L12
Ako je jedna tačka na početku, a druga na kraju kalema (to bi odgovaralo, na primer,
ekvivalentnoj šemi bifilarnog zavojka) u rezultatu bi se dobilo
Le = L1 + L2 − 2 L12
Ako na šemama postoji više kalemova meñusobno spregnutih, uvodi se više različitih
simbola (prazan kružić, kvadratić, zvezdica), i tada se posmatraju strelice u odnosu na iste simbole.
Samostalno odrediti ekvivalentnu induktivnost paralelne veze kalemova induktivnosti L1 i
L2 , ako su tačke na mestu gde obe struje ulaze ili izlaze. Rezultat je Le =
2
L1 L2 − L12
.
L1 + L2 − 2 L12
Ekvivalentna induktivnost mreža kalemova lakše se odreñuje metodama analize kola
prostoperiodičnih struja, što ćemo videti u drugom delu ovog predmeta.
6.6. Teorija savršenog električnog transformatora
Električni transformatori (transformator, trafo) su naprave kojima možemo da povećavamo
ili smanjujemo promenjive (na primer, prostoperiodične) napone.
Transformator se obično sastoji od feromagnetskog jezgra i dva namotaja (slika 6.12a). Na
jedan od namotaja, koji se naziva primarni (primar) vezuje se izvor promenjive ems, i referentni
smerovi za napon i struju su usaglašeni kao za generator, a na drugi, koji se naziva sekundarni
namotaj (sekundar), vezuje se prijemnik, i referentni smerovi za napon i struju su usaglašeni kao za
prijemnik (slika 6.12a, slika 6.12b je električna šema). Neka primarni namotaj ima N1 , a sekundarni
N 2 zavojaka.
Energija se prenosi od primara ka sekundaru posredstvom vremenski promenjivog
magnetskog polja u jezgru transformatora, i vremenski promenjivog indukovanog električnog polja
78
koje ga prati i postoji u okolini jezgra transformatora. Zavojci primara i sekundara nalaze se u tom
električnom polju koje potiče od struja u njima, ali i od struje ekvivalentne Amperovim strujama
koje postoje na površi jezgra. Indukovano električno polje je teško odrediti, pa se ems odreñuje
preko fluksa kroz jezgro Φ j (t ) .
Slika 6.12. Električni transformator: a) skica, b) električna šema savršenog transformatora
Radi smanjenja gubitaka usled vrtložnih struja jezgro trafoa se, kako smo objasnili u odeljku
5.4, pravi od tankih meñusobno izolovanih limova (za relativno niske učestanosti do par desetina
hiljada Hz), ili od ferita (za visoke učestanosti).
Rasipni fluks koji se zatvara kroz vazduh postoji uvek, ali ćemo ga zanemariti.
Zanemarićemo i gubitke zbog vrtložnih struja u jezgru, histerezisa, i otpornosti samih namotaja.
Transformator bez rasipnog fluksa i bez gubitaka (mogu se zanemariti) naziva se savršen (k
= 1, videti odeljak 6.2, i kod trafoa u prostoperiodičnom režimu, u drugom delu predmeta). Gubici u
realnim trafoima su obično manji od 10%, a za velike trafoe manji su od (1-2)%.
Analiziraćemo dva slučaja (režima) rada transformatora:
1) sekundarni namotaj je otvoren ( i 2 = 0 ), naziva se i prazan hod (neopterećen transformator).
Tada kroz primarni namotaj postoji struja, pa je napon na krajevima primara
di10 (t )
di10 (t )
jer je R1 = 0 (odnosno zanemareno), gde je L1
u1 (t ) = R1i1 (t ) − es1 (t ) = R1i1 (t ) + L1
= L1
dt
dt
0
induktivnost primara, a i1 (t ) struja magnetisanja ili struja primara u režimu praznog hoda. Ova
struja stvara magnetski fluks Φ j (t ) kroz jezgro takav da je napon na krajevima primara
u1 (t ) = −es (t ) = N1
dΦ j (t )
dt
(*)
Pošto je fluks po zavojku kroz primar i sekundar isti (fluks kroz jezgro Φ j (t ) ), a rasipni
fluks se zanemaruje, u sekundaru se indukuje ems (imajući u vidu pretpostavku da je smer motanja
sekundara takav da je fluks kroz njega negativan, videti položaj tačaka na slici 6.12) jednaka
dΦ j (t ) 
dΦ j (t )

− − N 2
 = N2
dt 
dt

Zbog toga izmeñu krajeva sekundara postoji napon
u 2 (t ) = N 2
dΦ j (t )
dt
(**)
Ako relaciju (*) podelimo sa relacijom (**), dobijamo
u1 (t ) N1
=
u 2 (t ) N 2
Ova relacija važi za savršen transformator (k = 1) u praznom hodu.
79
2) na krajeve sekundara je vezan prijemnik (opterećen transformator).
Sada kroz zavojke sekundara teče struja i 2 (t ) i stvara u jezgru dopunski fluks. Meñutim,
fluks kroz jezgro nemože da se promeni jer je primar priključen na generator koji drži isti napon
0
(relacija (*)). Zbog toga se struja kroz primar poveća u odnosu na i1 (t ) upravo za toliko da bi se
poništio fluks struje i2 (t ) .
'
Ako zanemarimo rasipni fluks, fluks kroz jezgro koji potiče od dopunske struje i1 (t ) primara
'
srazmeran je proizvodu N 1i1 (t ) , a fluks koji potiče od struje i2 (t ) srazmeran je N 2 i2 (t ) . Ta dva
fluksa moraju biti istog intenziteta, a suprotnog smera, tj. N 2i2 (t ) = N1i1 (t ) a to je moguće ako se
i1' (t ) i i2 (t ) menjaju u vremenu po istom zakonu i ako su njihovi referentni smerovi isti. Dakle
imamo
'
i1' (t ) N 2
=
i2 (t ) N1
što takoñe važi za savršeni transformator.
S obzirom da je praktično ii (t ) = i1 (t ) + i1 (t ) ≈ i1 (t ) , to se može pisati
0
'
'
i1 (t ) N 2
≈
i2 (t ) N1
Ove približne relacije mogu da se koriste i za realne transformatore.
Ako je magnetsko telo kola na slici 6.12 tanko (može biti i torusnog oblika), površine
poprečnog preseka S, i srednje dužine l, i na njemu namotano, ravnomerno i gusto, N zavojaka
NI
tanke žice (kalem), po celom telu, onda je Hl = NI , pa je B = µH = µ
. Fluks kroz N
l
zavojaka
na jezgru je
Φ = NBS = µ
2
N I
S,
l
pa je induktivnost
takvog namotaja
Φ
N 2S
=µ
. Slično se za meñusobnu induktivnost dva takva kalema sa zavojcima N1 i N2
I
l
N N S
namotana, jedan preko drugog (može biti transformator), dobija L12 = L21 = M = µ 1 2 .
l
2
2
N S
N S
Induktivnosti ovih kalemova su L1 = µ 1 i L2 = µ 2 .
l
l
L=
6.7. Merenje magnetske indukcije pomoću probnog navojka i jednačina
protoka
Probnim navojkom se naziva mali namotaj37 od nekoliko tesno priljubljenih zavojaka tanke
žice, čiji su krajevi vezani za balistički galvanometar (BG), instrument koji meri proteklu količinu
elektriciteta kroz kolo, videti sliku 3.14.
Pomoću probnog navojka može se izmeriti intenzitet ili priraštaj B u okolini neke tačke
magnetskog polja. Setite se da smo ovo pominjali kao metod koji se može koristiti i kod
eksperimentalnog odreñivanja krive magnetisanja feromagneskog materijala.
Pretpostavimo da probni navojak ima N zavojaka, da je S površina svakog zavojka, i da je
Φ str ukupan fluks stranog polja kroz svih N zavojaka.
37
Namotaj se sastoji od zavojaka.
80
Pretpostavimo da se fluks kroz navojak menja bilo zbog kretanja navojka, bilo zbog
promene magnetskog polja u vremenu, bilo zbog oba uzroka istovremeno.
Neka je R otpornost celog zatvorenog kola, a L njegova induktivnost (slika 6.13), tada je u
nekom trenutku t jačina struje (videti odeljak 6.3)
i(t ) =
Kako je eind (t ) = −
eind (t ) + eS (t )
R
dΦ str (t )
di(t )
i eS (t ) = − L
, to se prethodna relacija može pisti u obliku
dt
dt
dΦ str (t )
di(t )
−
=L
+ Ri(t )
dt
dt
Slika 6.13. Probni zavojak sa balističkim galvanometrom
dq(t )
, gde je dq (t ) protekla
dt
količina elektriciteta kroz kolo u toku intervala vremena dt (u usvojenom referentnom smeru),
dobijamo
Kada ovu relaciju pomnožimo sa dt i imajući u vidu da je i(t ) =
− dΦ str (t ) = Ldi (t ) + Rdq(t )
odakle je
dq (t ) = −
1
L
dΦ str (t ) − di (t )
R
R
Neka je do trenutka t 0 fluks kroz zavojak bio vremenski konstantan i jednak Φ str (t 0 ) , pa je
indukovana struja i (t ) = 0 za t < t 0 (nema promene fluksa, pa nema E ind ), slika 6.14. Neka se od
t 0 ÷ t1 , Φ str kroz kolo menja, ali za t > t1 opet je konstantan i jednak Φ str (t1 ) , ali je i (t ) = 0 tek do
dΦ str (t )
i kroz kolo postoji struja (koja
t 2 . Prema tome u intervalu t 0 ÷ t1 u kolu se indukuje ems − dt
sa svoje strane indukuje ems samoindukcije). U intervalu t1 ÷ t 2 struja u kolu postoji zbog toga što
es (t ) postoji i posle trenutka t1 , kada fluks Φ str prestaje da se menja, i suprotstavlja se isčezavanju
struje.
Ukupna količina elektriciteta koja protekne kroz kolo u intervalu t 0 ÷ t 2 je
t2
t
t
1 2
L 2
∆q = ∫ dq(t ) = − ∫ dΦ str (t ) − ∫ di(t )
R t0
R t0
t0
ili
∆q =
Φ str (t 0 ) − Φ str (t 2 ) L
− [i (t 2 ) − i (t0 )]
R
R
Kako je, po pretpostavci, za t > t 2 , Φ str = Φ str (t1 ) = const. , to je Φ str (t 2 ) = Φ str (t1 ) . Takoñe
za t ≥ t 2 je i(t 2 ) = 0 , a po pretpostavci i (t 0 ) = 0 , pa je izraz u uglastoj zagradi nula, te je
∆q =
Φ str (t0 ) − Φ str (t 2 )
∆Φ
ili ∆q =
R
R
81
Poslednja relacija se naziva i jednačina protoka.
Slika 6.14. Uz izvoñenje jednačine protoka
Ako pretpostavimo da je u početnom i krajnjem trenutku navojak upravan na linije vektora
B i da je magnetsko polje u okolini navojka praktično homogeno (važi ako su dimenzije navojka
male), tada je
Φ str (t0 ) = N ∫ Bd s = N B S = NSB(t0 ) , i analogno Φ (t ) = NSB (t )
str 1
1
S
pa je
∆q =
NS
[B(t0 ) − B(t1 )]
R
odakle je
B(t1 ) = B(t0 ) −
R∆q
NS
Ovaj izraz je pogodan za odreñivanje krive magnetisanja (počinje se od B (t 0 ) = 0 ).
Ako želimo pomoću probnog navojka izmeriti B u nekoj tački polja, možemo ga izvući iz
polja ili polje isključiti, tada je B(t1 ) = 0 , pa je
B(t0 ) =
R∆q
NS
Protok ∆q se meri sa balističkim galvanometrom (BG), a N i S su poznate veličine.
Eksperiment se ponavlja dok se ne dobije maksimalno pokazivanje BG (tada je B upravan na ravan
zavojka). Smer B(t 0 ) se dobija po pravilu desne zavojnice u odnosu na stvarni smer protekle
količine elektriciteta ∆q kroz kolo. Ovakav instrument se zove fluksmetar.
82
7. ENERGIJA I SILE U MAGNETSKOM POLJU
Energijski odnosi se ne mogu razmatrati bez poznavanja elektromagnetske indukcije.
Posmatrajmo strujnu konturu sa vremenski konstantnom strujom. Da bi se ova struja
uspostavila, neophodno je da se u nekom ranijem vremenskom intervalu jačina struje povećavala od
nule do te konstantne vrednosti38. Tom prilikom je u konturi postojala i ems samoindukcije, koja se
(po Lencovom zakonu) protivila uspostavljanju struje u kolu. Rad koji je potrebno izvršiti da bi se
uspostavila ta struja (odnosno uspostavilo magnetsko polje u okolini kola) je upravo rad izvora
protiv (te) ems samoindukcije. To je ujedno i energija koju je potrebno utrošiti na uspostavljanje
magnetskog polja.
7.1. Energija potrebna za uspostavljanje magnetskog polja
Neka su struje i1 (t ) , i2 (t ) , … , i n (t ) , koje postoje u n tankih žičanih kontura, izvori
promenjivog magnetskog i indukovanog električnog polja. Neka su otpornosti kontura R1 , R2 , … ,
Rn , a ems generatora koji su u konture uključeni e1 (t ) , e2 (t ) , … , en (t ) . Struje i ems su date u
odnosu na iste referentne smerove duž kontura.
Neka se neke (ili sve) konture deformišu i kreću pod dejstvom magnetskih sila, i neka se u
polju nalaze i feromagnetska tela (takoñe mogu da se kreću pod dejstvom magnetskih sila), što je
opšti slučaj.
Neka je rad svih generatora uključenih u sve konture u malom intervalu vremena dt jednak
dAg . Rad dAg brojno je jednak energiji svih generatora utrošenoj u tom intervalu vremena. Ta
energija mogla je da se utroši na sledeća tri načina:
1- na Džulove gubitke dA j u konturama u tom intervalu vremena,
2- na rad magnetskih sila dAmag. sila izvršen pri deformaciji ili pomeranju kontura ili tela u polju,
i
3- na rad dAm koji se mora izvršiti da bi se izmenilo magnetsko polje u okolini kontura
(promena magnetske energije).
Prema tome, po zakonu održanja energije, za ceo sistem, mora biti
dAg = dA j + dAmag. sila + dAm
(*)
Rad svih generatora jednak je zbiru radova pojedinih generatora (dAg )k , k=1, 2, … , pa, za n
generatora uključenih u pojedine konture, imamo dAg = ∑ (dAg )k .
n
k =1
dΦ k (t )
Kako je rad jednog (k-tog) generatora (dAg )k = ek (t )ik (t )dt , a e k (t ) = R k i k (t ) +
, to
dt
2
posle zamene, dobijamo (dAg )k = Rk ik (t )dt + ik (t )dΦ k (t ) , pa je
dAg = ∑ (dAg )k = ∑ Rk ik2 (t )dt + ∑ ik (t )dΦ k (t )
38
n
n
n
k =1
k =1
k =1
Ovde se odvija prelazni proces, koji nećemo razmatrati.
83
n
Očigledno da
∑ R i (t )dt
k =1
2
k k
predstavlja ukupne Džulove gubitke dA j u intervalu dt , pa se
prethodna relacija može pisati u obliku
n
dAg − dA j = ∑ ik (t )dΦ k (t )
(**)
k =1
Poreñenjem relacija (*) i (**) dobijamo osnovnu jednačinu za analizu bilansa energije u
vremenski promenjivom magnetskom polju
n
dAm + dAmag. sila = ∑ ik (t )dΦ k (t )
k =1
Ova relacija važi uopšte i osnovno je polazište, pa ju je važno znati.
U posebnom slučaju kada su sve strujne konture krute i nepokretne, i sva tela (pa i
feromagnetska) u okolini kontura nepokretna, je dAmag. sila = 0 , pa iz prethodne relacije sledi
n
dAm = ∑ ik (t )dΦ k (t )
(***)
k =1
što predstavlja rad potreban da bi se fluks izmenio za dΦ 1 , dΦ 2 , …, dΦ n .
Ako postoji samo jedna kontura, onda se relacija svodi na
dAm = i (t )dΦ (t )
Ukupni rad koji treba izvršiti pri uspostavljanju vremenski konstantnih struja u konturama
I
jačine 1 , I 2 , … , I n , pri kojima je ukupni magnetski fluks kroz konture Φ1 , Φ 2 , … , Φ n , a
imajući u vidu relaciju (***), je
Φk
n Φk
0
0
( Am )uklj. struja = ∫ dAm = ∑ ∫ ik (t )dΦ k (t )
k =1
(1)
što je rad potreban da se fluks u nepokretnim krutim konturama poveća od nule do Φ1 , Φ 2 , … ,
Φn .
Ako bi se struje postepeno isključivale, na račun ove energije bio bi izvršen rad
n
0
( Am )isklj. struja = ∑ ∫ ik (t )dΦ k (t )
(2)
k =1 Φ k
Pretpostavimo da u okolini kontura nema feromagnetskih tela (sredina je linearna), u
suprotnom desne strane prethodne dve relacije nisu jednake zbog histerezisnih gubitaka. Kako u
linearnoj sredini nema gubitaka, to redosled uključivanja i isključivanja struja nije bitan, tj. desne
strane jednačina imaju istu vrednost.
Zamislimo da sve struje linearno rastu od nule do konačne vrednosti, tj. ik (t ) = I k
t
, za
T
0 ≤ t ≤ T , gde je T vreme uspostavljanja struje u sistemu. Tada, s obzirom da je fluks proporcionalan
struji ( Φ (t ) = Li(t ) ), je Φ k (t ) = LI k
t
t
dt
= Φ k , a promena fluksa je dΦ k (t ) = Φ k , pa je, na
T
T
T
osnovu (1)
( Am )uklj. struja
n
I Φ
t
dt
= ∑ ∫ Ik Φk
= ∑ k 2 k ∫ tdt
T
T k =1 T 0
k =1 0
n T
T
Konačno je
84
n
( Am )uklj. struja = ∑ 1 I k Φ k
k =1
2
(3), što važi za linearne sredine.
Energija jednaka ovom radu je ”deponovana” u sistemu strujnih kontura u linearnoj sredini i
naziva se magnetska energija i obeležava sa Wm . Isključivanjem struja ova energija se potpuno
vraća iz sistema (jer je sredina linearna).
Ako u polju postoje tela od feromagnetika, relacijom (1) se može izračunati samo energija
potrebna za uspostavljanje polja, jer desne strane jednačine (1) i (2) nisu više iste (zbog
histerezisnih gubitaka).
Na osnovu relacije (3) magnetska energija sistema od n strujnih kontura u neferomagnetskoj
sredini (jednaka je radu) je
Wm =
1 n
∑ IkΦk
2 k =1
U posebnom slučaju kada se radi usamljenoj strujnoj konturi39 je
Wm =
imajući u vidu da je Φ = LI .
1
1
I Φ = LI
2
2
2
=
1 Φ2
2 L
7.2. Raspodela energije u magnetskom polju
Energija potrebna za uspostavljanje magnetskog polja može se izračunati relacijom
1 n
Wm = ∑ I k Φ k . Meñutim, može i preko gustine energije, slično kao u elektrostatici. Do relacije za
2 k =1
gustinu energije magnetskog polja možemo doći na sledeći način.
Posmatrajmo tanko torusno jezgro, površi poprečnog preska S, srednjeg poluprečnika R,
gusto namotanih N zavojaka tanke žice, po celom jezgru, i struje i(t ) kroz namotaj (slika 7.1). Tada
Ni (t )
2πRH (t )
, odakle je i(t ) =
. Priraštaj fluksa kroz jezgro torusa u intervalu dt jednak
2πR
N
dΦ j (t ) = SdB(t ) , pa je priraštaj ukupnog fluksa kroz svih N zavojaka
je H (t ) =
je
dΦ (t ) = NdΦ j (t ) = NSdB(t ) . Rad koji mora da se izvrši da bi se fluks kroz jezgro promenio od Φ 1
do Φ 2 je (na osnovu relacije (1), jedna kontura)
( Am )od Φ do Φ
1
2
=
Φk
Bk
Φ1
B1
∫ i (t )dΦ (t ) = 2πRS ∫ H (t )dB (t )
gde su B1 početna, a B2 krajnja vrednost magnetske indukcije u jezgru.
Kako je polje u torusu, u istom trenutku, isto u svim tačkama, a 2πRS predstavlja
zapreminu jezgra (torusa), onda delenjem prethodne relacije sa zapreminom dobijamo
 dA m 
=


 dv  od B1 do B 2
39
Bk
∫ H (t )dB (t )
B1
Setite se, u elektrostatici smo za energiju kondenzatora dobili relacije
85
We =
1
1
1 Q2
QU = CU 2 =
2
2
2 C
Ova relacija važi uopšte40. Predstavlja (zapreminsku) gustinu energije u elementu zapremine
dv odnosno gustinu energije utrošene pri promeni magnetske indukcije od vrednosti B1 do B2 .
Slika 7.1. Tanko torusno jezgro sa gusto namotanim zavojcima tanke žice, po celom jezgru
U slučaju linearne sredine, H = B / µ , i ako pretpostavimo da je B1 = 0 , a B2 = B ,
dobijamo
B
B
B
B2
1
 dAm 
= ∫ dB = ∫ BdB =


µ0
2µ
 dv  od 0 do B 0 µ
U linearnoj sredini se, kako smo ranije zaključili, ova energija dobija u celini iz sistema ako
se polje isključi, pa je to gustina magnetske energije i može se napisati u sledećim oblicima
dWm
1
B2 1
= wm =
= µH 2 = BH
dv
2µ 2
2
Važi za linearne sredine.
Na osnovu ovoga magnetska energija bilo kog sistema struja je
1
Wm = ∫ wm dv = ∫ µH 2 dv
2
v
v
gde je v zapremina prostora gde postoji polje.
7.3. Gubici u feromagnetskom materijalu zbog histerezisa
Sa slike 7.2 je očigledno da je HdB (što predstavlja gustinu energije koju treba utrošiti da bi
se u nekoj tački u kojoj je jačina polja H, indukcija promenila za dB) proporcionalno površini
osenčenog pravougaonika.
Može se pokazati da su histerezisni gubici srazmerni prvom stepenu učestanosti41 i površini
histerezisne petlje.
40
41
Može poslužiti i za odreñivanje histerezisnih gubitaka.
Setite se da su kod vrtložnih struja gubici srazmerni kvadratu učestanosti.
86
Slika 7.2. Uz odreñivanje gubitaka u feromagnetskom jezgru
7.4. Samoinduktivnost i otpornost debelog provodnika sa dva priključka pri
sporim promenama jačine struje
Posmatrajmo krut provodnik proizvoljnog oblika i debljine, koji ima dva priključka, i nalazi
se u magnetski linearnoj sredini (slika 7.3).
Slika 7.3. Realan zavojak
U slučaju dovoljno sporih promena jačine struje (tako da se površinski efekat može
zanemariti, J ≈ const. ), otpornost i samoinduktivnost provodnika se mogu proračunati relacijama
R=
dA j (t )
i 2 dt
=
Pj
L=
i
i2
2Wm
i2
gde je Pj ukupna snaga Džulovih gubitaka u provodniku, a Wm ukupna energija u celom
magnetskom polju.
Magnetsku energiju možemo računati i kao zbir magnetskih energija u polju unutar
provodnika i polju van provodnika42, tj.
Wm = (Wm )u prov. + (Wm )van prov.
pa se, na osnovu toga i za samoinduktivnost može pisati
L = Lunutrašnje + Lspoljašnje
gde je
Lunutrašnje =
42
2(Wm )u provodniku
i2
Lspoljašnje =
i
Magnetska energija se računa, na primer, relacijom Wm =
1
∫ 2 µH
v
87
2
dv
2(Wm )van provodnika
i2
Relacija za
Lunutrašnje
važi pri sporim promenama struje, a
Lspoljašnje
od brzine promene jačine struje, osim kod vrlo debelih provodnika.
preko fluksa, a uvek se može računati (definisati) preko energije.
ne zavisi u većoj meri
Lspoljašnje
se obično računa
Primer 7.1. Odrediti samoinduktivnost veoma dugog pravog provodnika kružnog poprečnog
preseka poluprečnika a (pri sporim promenama struje), slika 7.4.
Slika 7.4. Uz odreñivanje samoinduktivnosti veoma dugog pravog provodnika kružnog preseka
Pri dovoljno sporim promenama struje površinski efekat se može zanemariti, pa je struja
ravnomerno raspodeljena po poprečnom preseku, kao kod vremenski konstantnih struja
I
r , pa je
( J ≈ const. ), pa se za r < a , na osnovu uopštenog Amperovog zakona, dobija H (r ) =
2πa 2
dWm 1
1
I 2r 2
2
H
=
=
µ
µ
gustina magnetske energije u provodniku dv
2
2 (2πa 2 )2 .
Magnetska energija sadržana u polju unutar provodnika na dužini b je (integralimo po
zapremini, elementarna zapremina je cevastog oblika, debljine dr, tj. dv = 2πrbdr ), pa je
(Wm )u prov. = ∫ 1 µH 2 dv = ∫ 1 µH 2 (r )2πrbdr = µI b4 ∫ r 3dr = µI b
2
2
4πa
16π
a
v
Na osnovu relacije
Lunutrašnje =
0
Lunutrašnje =
2
2(Wm )u provodniku
i2
a
2
0
, iz prethodne jednačine dobijamo
µ
b , pa je podužna unutrašnja samoinduktivnost
8π
L'unutrašnje =
Lunutrašnje
b
=
µ
8π
Ova relacija strogo važi za prav provodnik, a približno ako nije prav. Ukupna induktivnost
provodnika dužine l je
L = Lspoljašnje +
µ
l
8π
Kao što smo već napomenuli, obično se spoljašnja induktivnost računa preko fluksa (a ne
preko energije), tj.
Lspoljašnje =
Φ spoljašnje
88
I
7.5.Opšti metod izračunavanja magnetskih sila
Ranije smo pokazali da se sila i momenat na ceo povodnik sa strujom I, ili njegov deo, ako
je poznato B u svakoj njegovoj tački, može izračunati polazeći od izraza
d F = Id l x B
Ali slično kao u elektrostatici F m i M m se može izračunati i preko energije. Napominjemo
da, za razliku od električnih sila koje su male, magnetske sile su znatne i praktično se koriste za
pretvaranje električne energije u mehaničku i obrnuto.
Posmatrajmo n strujnih kontura u linearnoj sredini. Pretpostavimo da se jedna kontura, ili
telo sistema, u intervalu vremena dt malo pomerila ili deformisala (i ovde kao u elektrostatici
posmatramo male promene sistema). Po zakonu održanja energije važi (videti podpoglavlje 7.1)
n
dAm + dAmag. sila = ∑ ik (t )dΦ k (t )
k =1
Kako je sredina linearna, dAm = dWm celog sistema, pa je
n
dWm + dAmag. sila = ∑ ik (t )dΦ k (t )
(1)
k =1
Pretpostavimo sada proizvoljan sistem nepokretnih krutih strujnih kontura i nepokretnih
idealizovanih (linearnih) feromagnetskih tela (bez gubitaka). Pretpostavimo da se samo osenčeno
telo (slika 7.5) pod dejstvom F rez i M rez pomerilo ili okrenulo (sva ostala tela i konture su krute i
nepokretne, tj. mehanički čvrsto vezani).
Slika 7.5. Sistem kontura sa strujama i feromagnetskim materijalima
Ako je sila F rez izvršila malo pomeranje tela za dx u pravcu i smeru x ose ili se pod
dejstvom M rez telo okrenulo oko te ose za mali ugao dα x , magnetske sile su izvršile rad
dAmag. sila = Fx d x
odnosno
dAmag. sila = M x dα x
(2)
(3)
Bez dokazivanja, konstatujmo da rad magnetskih sila pri maloj promeni sistema ne zavisi od
načina promene jačine struje u konturama ili fluksa kroz njih. Zbog toga možemo da zamislimo
takvo pomeranje tela da jednačina (1) bude što jednostavnija. To je, na primer, ako pri pomeranju
89
jednog tela magnetski fluksevi kroz sve konture ostaju isti, ili ako jačine struja u svim konturama
ostaju iste, tj. imamo dva slučaja.
1) pri pomeranju jednog tela magnetski fluksevi kroz sve konture ostaju isti
U ovom slučaju je dΦ k = 0 za sve konture, tj. rad svih generatora uključenih u konture je
nula (ne računajući energiju pretvorenu u toplotu), pa je na osnovu (1) ukupan rad magnetskih sila
jednak negativnoj vrednosti priraštaja magnetske energije, tj.
dAmag. sila = − dWm
za
Φ j = const .
Kombinovanjem ove jednačine sa jednačinama (2) i (3) dobija se
Fx = −
dWm
dx
Φ j =const .
Mx = −
,i
dWm
dα x
Φ j = const .
2) pri pomeranju jednog tela jačine struja u svim konturama ostaju iste
1 n
W
=
∑ I k Φ k , mora da se menja Φ k , tj.
m
U ovom slučaju, u skladu sa jednačinom
2 k =1
dWm =
1 n
∑ I k dΦ k , pa jednačina (1) postaje
2 k =1
n
dAmag. sila
n
1 n
1 n
= ∑ I k dΦ k − dWm = ∑ I k dΦ k − ∑ I k dΦ k = ∑ I k dΦ k = dWm
2 k =1
2 k =1
k =1
k =1
Kombinujući ovaj rezultat sa jednačinama (2) i (3) dobija se
Fx =
dWm
dx
Mx =
,i
I j =const .
dWm
dα x
I j = const .
U slučaju jedne krute strujne konture u stranom magnetskom polju (koje potiče od više
kontura), na osnovu relacije (1) imamo dWm = IdΦ (jer je dAmag. sila = 0 ), pa je
Fx = I
dΦ
,
dx
i
Mx = I
dΦ
dα x
Dakle za izračunavanje treba znati promene fluksa stranog polja kroz konturu u zavisnosti
od koordinate x ili ugla α.
90
8. OPŠTE JEDNAČINE ELEKTROMAGNETSKIH POLJA I OSNOVNI
POJMOVI O ELEKTROMAGNETSKIM TALASIMA
Do sada smo se upoznali sa električnim i magnetskim poljima koja se ili ne menjaju u
vremenu, ili se menjaju relativno sporo (sporopromenjivo ili kvazistacionarno polje), kao i
jednačinama koja ih opisuju. Te su poseban oblik četiri osnovne opšte integralne jednačine
promenjivih elektromagnetskih polja, koje su poznate kao Maksvelove jednačine i glase:


dB
 J + d D d s
E
d
l
=
−
d
s
H
d
l
=
(1)
(2)
∫
∫S dt
∫
∫S  dt 
C
C


∫ Dd s = ∫ ρdv
S
∫ Bd s = 0
(3)
v
(4)
S
Da bi se dobio potpuni sistem jednačina, ovom jednačinama se pridružuju i relacije
()
( )
()
D = D E , B = B H i J = J E , koje se nazivaju konstitutivne relacije.
U relaciji (4), uopšteni Gausov zakon, je
∫ ρdv = Q
uS
, a u relaciji (2) pored
v
uočavamo još jedan član,
∫
S
Amperovog zakona
∫ Jd s = ∑ I ,
S
kroz SC
d D , koji je Maksvel dodao da bi prevazišao nesaglasnost uopštenog
ds
dt
dρ
∫ H d l = ∫ J d s i jednačine kontinuiteta ∫ J d s = −∫ dt dv
C
S
S
(koja se može dobiti
v
dρ
dQ u S
), ali to nećemo objašnjavati.
dt
v
Kod objašnjavanja Faradejevog zakona elektromagnetne indukcije, jednačina (1) je
ukazivala da promenjivo magnetsko polje (promena fluksa) indukuje promenjivo električno polje. Iz
jednačine (2) sledi obrnuto, da promenjivo električno polje indukuje promenjivo magnetsko polje.
Meñusobno povezano vremenski promenjivo električno i magnetsko polje, tj.
elektromagnetsko polje, je u tehnici od velike važnosti. Takvo polje ima jednu veoma važnu
osobinu: jednom stvoreno, može da postoji i nezavisno od izvora koji su to polje prvobitno stvorili,
u vidu tzv. elektromagnetskog talasa (EMT). EMT mogu postojati i u vakumu (gde se kreću
brzinom svetlosti), dakle bez prisustva nekih električnih opterećenja ili struja. Mogu se i kanalisati
strukturama od provodnika ili dielektrika, u kom slučaju su vezani za struje i opterećenja duž tih
struktura: vodovi (dvožični, koaksijalni, trakasti, itd.), talasovodi (metalne cevi bez drugog
provodnika). EMT se mogu kanalisati i štapovima od dielektrika tzv. dielektričnim talasovodima.
Za formiranje ”slobodnih” EMT, tj. talasa koji se ne kanališu nekim vodećim strukturama,
koriste se posebni ureñaji, tzv. emisione (predajne) antene. Proces formiranja EMT naziva se
zračenje EMT.
Iz EMT se može posredstvom struktura koje se nazivaju prijemne antene43 deo energije
(zajedno sa informacijom koju emitovani talas nosi u sebi), izvući iz talasa i zatim pojačati da bi se
ta informacija mogla jasno razumeti.
Ono što smo mi do sada izučavali predstavlja osnovnu teoriju električnog i magnetskog
polja, a postoji i opšta teorija elektromagnetskog polja koju ćete izučavati u narednim semestrima, i
gde će se integralne jednačine koje smo učili u osnovama elektrotehnike 1 i 2 još uopštiti u ove
opšte jednačine elektromagnetskog polja (Maksvelove jednačine).
iz jednačina (2) i (3), a gde je
43
∫ dt dv =
Najčešće jedna ista antena služi kao predajna i kao prijemna, na primer kod mobilnog telefona.
91
LITERATURA
1. Đorñević R. A.: Osnovi elektrotehnike 3. deo, elektromagnetizam, Akademska misao,
Beograd, 2007.
2. Milatović B.: Osnovi elektrotehnike 2, Svjetlost, Sarajevo, 1985.
3. Pinter V.: Osnove elektrotehnike, knjiga druga, Tehnička knjiga, Zagreb, 1978.
4. Pokorni S.: Laboratorijske vežbe iz elektrotehnike i teorije električnih kola (praktikum),
Univerzitet Vojske Jugoslavije, Beograd, 1993.
5. Pokorni S.: Laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 1 i 2, praktikum, Elektrotehnički
fakultet, Istočno Sarajevo, 2012.
6. Pokorni S.: Osnovi elektrotehnike 2, elektromagnetizam, skripta, Elektrotehnički fakultet,
Istočno Sarajevo, 2010.
7. Popović B.: Osnovi elektrotehnike 2, Grañevinska knjiga, Beograd, 1986.
8. Popović B., Đorñević A.: Osnovi elektrotehnike 3, zbirka pitanja i zadataka, Grañevinska
knjiga, Beograd, 1981.
9. Purcell M. E., Morin J. D.: Electricity and Magnetism, Cambridge University Press, third
edition, 2014.
10. Ranojević M.: Osnovi elektrotehnike, naizmenične struje, Grañevinska knjiga, Beograd,
1971.
11. Ranojević M.: Osnovi elektrotehnike, Grañevinska knjiga, Beograd, 1968.
92
Download

r - Elektrotehnički fakultet Istočno Sarajevo