1. Derivacija funkcije
Neka je x proizvoljno izabrana unutrašnja taˇcka razmaka Df , dakle x ∈ (a, b). Ako
argument x promijenimo za neko malo h, tada c´ e se promijeniti i vrijednost funkcije
f (x) u novu vrijednost f (x + h). Mi c´ emo razliku
def
∆f = f (x + h) − f (x)
def
zvati prirastom (priraštajem) funkcije f u taˇcki x, a veliˇcinu h = ∆x prirastom argumenta. Definicija 1. Derivacija ili izvod funkcije f u taˇcki x ∈ (a, b) naziva se
graniˇcna vrijednost
f (x + h) − f (x)
,
(1)
h→0
h
ukoliko postoji konaˇcna ili beskonaˇcna.
Za derivaciju funkcije f u taˇcki x, koristi se oznaka f ′ (x).
Jednako tako derivacija funkcije y = f (x) po promjenljivoj x, oznaˇcava se fx′ , y ′ , yx′
df
i dx , ali one oznaˇcavaju da je u pitanju derivacija po x, a nije naglašeno na koju taˇcku
se to odnosi. Ako funkcija f (x) ima derivaciju u svim taˇckama skupa D ⊆ (a, b),
onda derivacija predstavlja novu funkciju od x, koja je definirana na tome skupu, u
opštem sluˇcaju razliˇcitom od (a, b). U taˇckama toga skupa, dakle ta funkcija f ′ , ima
konaˇcnu ili pak beskonaˇcnu vrijednost.
Prema tome
f ′ : D → R ∪ {−∞, +∞} .
lim
Treba zapaziti da razmak može imati taˇcaka koje nisu unutrašnje taˇcke, pa se cˇ ini da ostaje ne definirana derivacija u takvim taˇckama. Implicitno su i takve derivacije uvedene
datom definicijom, a eksplicitno c´ emo o tome govoriti u okviru jednostranih derivacija.
Postupak nalaženja funkcije f ′ naziva se diferenciranje ili deriviranje funkcije f .
Definicija 2. Za funkciju y = f (x) kažemo da je diferencijabilna (ili derivabilna) u
taˇcki x ∈ (a, b) ako ima konaˇcnu derivaciju u toj taˇcki.
Teorem 1. Potreban i dovoljan uslov diferencijabilnosti. Funkcija y = f (x) je
diferencijabilna u taˇcki x ∈ (a, b) ako i samo ako vrijedi
∆f = Λh + o(h),
(∆)
gdje je Λ realan broj, h = ∆x, ao(h) beskonaˇcno mala višega reda u odnosu na h,
kada h → 0. Stav 1. Ako je f diferencijabilna funkcija u taˇcki x ∈ (a, b), tada je ona
i neprekidna u istoj taˇcki.
Ako je f neprekidna funkcija u nekoj taˇcki ona ne mora biti diferencijabilna u toj
taˇcki, kao što pokazuje
Primjer 2. Funkcija f zadana pomo´cu f (x) =
diferencijabilna u taˇcki x = 0.
√
3
x2 je neprekidna na R, ali nije
Slika 5.1
Za zadanu funkciju f : [a, b] → R kažemo da ima lijevu derivaciju u taˇcki x ∈
(a, b], ako postoji
f (x + h) − f (x)
lim
−
h
R ∋h→0
i u tom sluˇcaju, jednostranu derivaciju oznaˇcavamo fl′ (x) ili pak f ′ (x − 0).
Analogno se definira desna derivacija u taˇcki x ∈ [a , b), kao
fd′ (x) = f ′ (x + 0) =
lim
R+ ∋h→0
f (x + h) − f (x)
.
h
Jasno, kao kod svake druge graniˇcne vrijednosti, derivacija (1) funkcije f postoji u taˇcki
x ako i samo ako postoje jednostrane derivacije (jednostrane graniˇcne vrijednosti) u toj
taˇcki i ako imaju istu vrijednost.
1.1. Pravila diferenciranja funkcije
Pretpostavljamo diferencijabilnost na cˇ itavome intervalu (a, b), bez obzira što diferencijabilnost, u opštem sluˇcaju, može biti ispunjena samo na E ⊆ (a, b). Ako se uzme
[a, b] umjesto (a, b) onda bi se diferencijabilnost u taˇcki a (odnosno b) svodi na postojanje konaˇcnih jednostranih derivacija u pomenutim taˇckama.
1
Teorem 2. Neka su f, g : (a, b) → R. Tada ako f, g ∈ D(a,b)
onda je f ±g, f g, fg ∈
1
D(a,b)
, (g(x) 6= 0 ). Još više, za svako x ∈ (a, b) vrijedi:
′
(i) (f ± g) (x) = f ′ (x) ± g ′ (x);
′
(ii) (f g) (x) = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x);
′
′
(x)g′ (x)
d
(iii) fg (x) = f (x)g(x)−f
. Primijetimo ovdje da je preslikavanje dx
:
g2 (x)
d
d
1
D(a,b)
→ F (F je skup funkcija) aditivno preslikavanje, tj. dx
(f + g) = dx
(f ) +
d
d
d
dx (g). Osim toga, iz svojstva (ii) slijedi i njegova homogenost ( dx (λf ) = λ dx (f )).
Prema tome, vidimo da je diferenciranje linearno preslikavanje. Teorem 3. (Derivacija
2
složene funkcije). Neka su zadate funkcije f ig takve da je definirana složena funkcija
(g ◦ f )(x) = g(f (x)). Neka, dalje, funkcija f ima konaˇcnu derivaciju u taˇcki x, a
funkcija g ima prvu derivaciju u taˇcki f (x). Tada superpozicija g ◦ f ima derivaciju u
taˇcki x i vrijedi:
(g ◦ f )′ (x) = g(f (x))′ = gf′ (f )fx′ (x).
(P4)
Teorem 4. (Derivacija inverzne funkcije). Neka funkcija y = y(x) ima derivaciju u
taˇcki x. Neka dalje, postoji inverzna funkcija x = x(y), koja je neprekidna u taˇcki
y. Primjer 3. Funkcija y = arcsin x za x ∈ (−1, +1) predstavlja inverznu funkciju
funkcije x = sin y. Koriste´ci formulu (P6), možemo odrediti derivaciju funkcije y(x).
Primjer 4. Elementarna funkcija
def ex +e−x
2
y = chx =
(cosinushiperbolikus)
ima derivaciju
y ′ = (chx)′ =
ex −e−x def
=
2
shx (sinushiperbolikus).
Ako iz jednakosti ex + e1x = 2y izrazimo x, (x > 1), dobijamo da je inverzna funkcija
funkcije chx funkcija
√
archx = ln x ± x2 − 1 (areacosinushiperbolikus)
cˇ ija je derivacija (archx)′ = ± √x12 −1 .
1.2. Gemetrijsko i fizikalno tumaˇcenje derivacije funkcije
Neka se materijalna taˇcka kre´ce po pravoj tako da funkcija s = s(t) izražava predeni
¯
put, od neke poˇcetne taˇcke O(0, 0), u funkciji od vremena t. Prema tome, u trenutku t
materijalna taˇcka se nalazi u taˇcki M (t, 0), a u trenutku t + ∆t u taˇcki N (t + ∆t, 0).
Predeni
¯ put do trenutka t je s(t), a do t + ∆t je s(t + ∆t). Nas zanima kako odrediti
brzinu te taˇcke kada je ona u taˇcki M (t, 0).
Oznaˇcimo sa vsr srednju brzinu taˇcke na putu M N , tada je
vsr =
s(t + ∆t) − s(t)
.
∆t
Prirodna definicija trenutne brzine taˇcke u momentu M je graniˇcna vrijednost srednje
brzine kada N teži prema M (a to c´ e se dogoditi ako ∆t → 0). Dakle, brzina v(t) u
taˇcki M se definira kao
v(t) = lim
∆t→0
s(t + ∆t) − s(t)
= s′ (t),
∆t
tj. prvom derivacijom funkcije s(t) po argumentu t. Geometrijski, prva derivacija
(konaˇcna ili beskonaˇcna) funkcije f , u taˇcki x0 , predstavlja koeficijent pravca tangente
(t) na krivu Gf u taˇcki x0 .
3
Da bismo se u to uvjerili, najprije trebamo definirati tangentu krive.
Definicija.Tangenta na neku krivu Gf , u zadatoj taˇcki (x0 , f (x0 )) te krive, definira
se kao prava koja sadrži taˇcku (x0 , f (x0 )) ∈ Gf , a predstavlja graniˇcni položaj snopa
sjeˇcica (tetiva) krive, koje spajaju taˇcku (x0 , f (x0 )) kao stalnu i bilo koju drugu taˇcku
(x, f (x)) na krivoj. Pri tome snop sjeˇcica nastaje pomijeranjem taˇcke (x, f (x)) po
krivoj prema stalnoj taˇcki (x0 , f (x0 )).
Ako fiksiramo taˇcku M (x0 , f (x0 )) ∈ Gf , tada snop pravih koje prolaze kroz taˇcku
M imaju jednaˇcinu
y − f (x0 ) = k(x − x0 ), (P)
gdje sve prave snopa imaju koeficijent pravca k. Prava koja ima koeficijent k =
tgα2 = f ′ (x), jasno, predstavlja tangentu krive Gf . Naime, koeficijent pravca sjeˇcice
(s) je
′
(x0 )
tgα1 = M1hM = f (x0 +h)−f
.
h
1.3. Diferencijal funkcije
Definicija 3. Diferencijal funkcije f u taˇcki x u kojoj je funkcija diferencijabilna, u
oznaci df (x) ili df , je proizvod derivacije funkcije i priraštaja nezavisno promjenljive
u toj taˇcki, tj.
df (x) = f ′ (x)h.
(2)
Ako uzmemo i(x) = x, onda je prvi diferencijal
di(x) = dx = (x)′ h = h;
vidimo da je diferencijal funkcije, koja je identiˇcki x, jednak h zbog toga, po dogovoru,
pišemo h = dx. Prema tome, diferencijal funkcije f , je df = f ′ dx. Sad ovu jednakost
4
df
možemo podijeliti sa dx ; odakle dobijamo dx
= f ′ (x), što smo ve´c uveli u uznakama
za prvu derivaciju funkcije.
Geometrijski, diferencijal funkcije u taˇcki x predstavlja priraštaj tangente, koji se
definira kao dužina M ′ N na slici (5.3). Teorem 5.Neka su funkcije f i g diferencijabilne na skupu (a, b). Tada, u taˇckama intervala (a, b) gdje je g 6= 0, vrijedi
(i) d(f ± g) = df ± dg;
(ii) d(f
g)
= (df )g + f (dg);
(dg)
f
(iii) d g = (df )g−f
.
g2
1.4. Tablica izvoda
Tablica derivacija
1.
2.
3.
Funkcija
f (x)
C = const.
x
xα
Derivacija
f ′ (x)
0
1
αxα−1
8.
9.
10.
ax
loga x
cos x
sin x = cos( π2 − x)
π
cos(
− x)
2
tgx =
cos x
1
ctgx = tgx
arc cos x
11.
arcsin x
4.
5.
6.
7.
Vrijedi za
x∈R
x∈R
α = pq ∈ Q, q = 2k − 1; x 6= 0
α = pq > 1, q = 2k − 1; x ∈ R
a ∈ R+ \ {1} ; x ∈ R
a ∈ R+ \ {1} ; x ∈ R+
x∈R
x∈R
ax ln a
1
x ln a
− sin x
cos x
1
cos2 x
− sin12 x
√1
−
√
x 6= π2 + kπ; k ∈ Z
x 6= kπ; k ∈ Z
|x| < 1
1−x2
1
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Funkcija
f (x)
arctg x
arcctgx
shx
thx
arshx = √
= ln(x + 1 + x2 )
arhx = 21 ln 1+x
1−x
|x| < 1
1−x2
2. Derivacije i diferencijali višega reda
Pretpostavimo sada da postoji derivacija f ′ (x) neke funkcije f u okolini taˇcke x0 ∈
ˇ
(a, b). Cesto
deriviranjem funkcije f dobijamo funkciju koja, zapravo, i sama ima
derivaciju u nekoj okolini te ili druge taˇcke, tj. postoji
f ′ (x0 + h) − f ′ (x0 )
.
h→0
h
lim
Posljednju graniˇcnu vrijednost oznaˇcavamo sa f ′′ (x0 ) (koristimo i oznake yx′′ (x0 ), yx′′0
2
, ddxf2 (x0 )) i zovemo druga derivacija funkcije (ili drugim izvodom funkcije) f u taˇcki
x0 ∈ (a, b). Indukcijom možemo uvesti i derivaciju n− toga reda funkcije (n− ti
izvod funkcije) f u taˇcki x0 ∈ V (x0 ) ⊆ Df (n−1) , kao
f (n) (x0 ) = lim
h→0
f (n−1) (x0 +h)−f (n−1) (x0 )
h
5
′
= f (n−1) (x0 ) ,
(*)
Derivacija
f ′ (x)
1
1+x2
1
− 1+x
2
chx
1
ch2 x
√ 1
1+x2
1
1−x2
def.
gdje je n ∈ N. Jasno, f (0) (x0 ) = f (x0 ).
Dakle, n− ta derivacija funkcije f je prva derivacija funkcije f (n−1) u svakoj unutrašnjoj taˇcki x0 ∈ Df (n−1) , za koju postoji limes (*). Ako se pretpostavi da su
funkcije f ′ i f ′′ diferencijabilne u svakoj taˇcki x ∈ (a, b) = Df ′ , tada za linearno
d
preslikavanje dx
, vrijedi
d
1
1
dx : D(a,b) → D(a,b) ;
a pretpostavka da postoji f (n) , n > 1, za svako x ∈ (a, b) znaˇci da funkcija f ima sve
derivacije do n− toga reda u svim taˇckama intervala (a, b). Klasu funkcija koje imaju
(n)
sve derivacije do n− toga reda u svim taˇckama skupa E = (a, b), oznaˇci´cemo D(a,b) ,
a ako funkcija ima derivaciju bilo kojeg reda u taˇckama skupa E = (a, b) onda pripada
∞
klasi beskonaˇcno puta diferencijabilnih funkcija D(a,b)
.
x
∞
∞
Dakle, e ∈ DR = D(−∞,+∞) .
Primjer 10. Pokazati da funkcija ϕ(x) = ln(1 + x) ima n− tu (n ∈ N) derivaciju
u svakoj taˇcki skupa E = (−1, +∞).
Definicija 4. Diferencijal n–toga reda funkcije f , u oznaci dn f , jeste prvi diferencijal ( n − 1 )–og diferencijala funkcije f , odnosno
dn f (x) = d dn−1 f (x) .
Budu´ci da je dn−1 f = f (n−1) (x)dxn−1 , to je dn f (x) = f (n) (x)dxn ; ako podijelimo
def.
n
n
poslednju jednakost sa dxn = (dx) , dobi´cemo da je f (n) = ddxnf , što predstavlja
takode
¯ oznaku za n−tu derivaciju funkcije f .
Principom potpune matematiˇcke indukcije, dokazuje se Leibnizova formula za n−
tu derivaciju proizvoda dvije funkcije d¯
(n)
u(n) v (0) +
n
1
u(n−1) v ′ +
(u · v) =
n
n
(n−2) ′′
u
v +· · ·+
u′ v (n−1) +v (n) u(0) ,
2
n−1
gdje je u(0) = u(x); v (0) = v(x).
2.1. Logaritamska derivacija i diferenciranje implicitne funkcije
Neke funkcije mogu biti zadane analitiˇckim izrazom koji nije pogodan za odredivanje
¯
derivacije po definiciji, budu´ci da se komplikuje izraˇcunavanje odgovaraju´cih limesa.
Takav je primjer funkcije
φ(x)
F (x) = [f (x)]
,
(3)
gdje su f i φ diferencijabilne funkcije na E = (a, b), na kome je i f (x) > 0.
Sa druge strane ako se logaritmira (3), onda dobijamo funkciju
Λ(x) = ln F (x) = φ(x) ln [f (x)] .
6
(4)
Prema tome, funkcija F (x) je implicitno zadata pomo´cu
ln F (x) − φ(x) ln [f (x)] = 0.
Potražimo derivaciju funkcije (4) kao superpozicije dvije funkcije F i ln. Dakle
Λ′ (x) =
1
· F ′ (x),
F (x)
(5)
F′
F ,
koji se naziva logaritamska derivacija funkcije F .
f ′ (x)
F ′ (x) = [f (x)]φ(x) φ′ (x) ln [f (x)] + φ(x)
.
f (x)
dobijamo izraz na desnoj strani
Ako je izrazom F (x, y) = 0 implicitno zadata diferencijabilna funkcija y(x), njena se
derivacija može odrediti iz relacije
Fx′ + Fy′ yx′ = 0,
koja diferenciranjem (po promjenljivoj x) slijedi iz F (x, y) = 0.
Prema tome za derivaciju diferencijabilne funkcije y(x), zadate implicitno F (x, y) =
0, koristi´cemo formulu
F′
yx′ = − Fx′ .
y
(P8)
3. Osnovni teoremi diferencijalnog raˇcuna
Definicija 5. Kažemo da funkcija f ima u taˇcki c ∈ Df lokalni maksimum f (c), ako
postoji okolina V (c) ⊆ Df taˇcke c, sa svojstvom da je
f (x) − f (c) ≤ 0, (∀x ∈ V (c)) ;
vidi sliku 5.5,a.
7
(6)
Funkcija f ima u taˇcki d ∈ Df lokalni minimum f (d), ako postoji okolina V (d) ⊆
Df taˇcke d, tako da vrijedi
f (x) − f (d) ≥ 0, (∀x ∈ V (d)) ;
(7)
vidi sliku 5.5,b.
Vrijednosti f (c) i f (d) su lokalni ekstremumi funkcije f.
Slika 5.5,a
Slika 5.5.b
Teorem 6. Neka je funkcija f definirana na Df = (a, b) i ima derivaciju u okolini
V (x0 ) ⊆ (a, b) taˇcke x0 . Ako je f ′ (x) > 0 (f ′ (x) > 0) za svako x ∈ V (x0 ), tada
funkcija f strogo raste (strogo opada) na skupu V = V (x0 ). Teorem 7. (Fermat)
Neka je funkcija f definirana na Df = (a, b) i ima lokalni ekstremum f (c) u taˇcki
c ∈ (a, b). Tada, ako funkcija f ima derivaciju u taˇcki c, onda je f ′ (c) = 0.
Definicija 6. Taˇcku a ∈ Df zovemo stacionarnom taˇckom funkcije f , ako je
f ′ (a) = 0. Primjer 12. Pokazati da funkcija može imati lokalni ekstremum, a da
derivacija u taˇcki toga ekstremuma ne mora ni postojati. √
3
⊲ Posmatrajmo sljede´cu funkciju kao primjer: f (x) = x2 , Df = [−1, +1].
Budu´ci da je funkcija parna, onda je Gf simetriˇcan u odnosu na y− osu (v. sliku
(5.5,c)).
Slika 5.5,c
8
Prema tome za bilo koje h ∈ V (0), vrijednost funkcije je f (0 + h) =
f (0) = 0. Dakle,
√
3
f (0 + h) − f (0) = h2 > 0, (∀h ∈ V (0)) ,
√
3
h2 > 0 ;
pa funkcija f ima lokalni minimum u nuli.
Sa druge strane,
√
3
f (0 + h) − f (0)
h2
1
= lim
= lim √
lim
= +∞.
3
+
+
+
h
R h→0 h
R h→0
R h→0
h
Medutim,
pošto je
¯
√
3
1
f (0 + h) − f (0)
h2
= −∞,
=
lim
= −lim √
lim
3
−
−
h
R h→0 h
R h→0
R h→0
h
f ′ (0) ne postoji, što je trebalo i pokazati. ⊳ Teorem 8.(Rolle1 ) Neka je funkcija f
definirana na Df = [a, b] i neka ispunjava sljede´ce uslove:
(i) f ∈ C[a,b] ;
(ii) postoji derivacija f ′ (x) u svakoj taˇcki x ∈ (a, b);
(iii) f (a) = f (b).
Tada funkcija f ima stacionarnu taˇcku koja pripada (a, b). Primjer 13. Pokazati
da je egzistencija derivacije u svakoj taˇcki intervala (a, b) bitna pretpostavka Rolleovog
teorema.
⊲ Funkcija iz primjera 12 je oˇcito neprekidna na [−1, +1] i vrijedi f (−1) = f (1).
Prema tome uslovi (i) i (iii) teorema 8 su ispunjeni, medutim
uslov (ii), kao
što smo
¯
√
3
pokazali u primjeru 12, ne. Dakle Rolleov teorem ne vrijedi za f (x) = x2 , što se
vidi i iz same derivacije funkcije
2
f ′ (x) = √
6= 0, (x ∈ [−1, +1]) .⊳
33x
Teorem 9. (Lagrange) Ako je funkcija f definirana na Df = [a, b] i ispunjava sljede´ce
uslove:
(i) f ∈ C[a,b] ;
(ii) postoji derivacija f ′ (x) u svakoj taˇcki x ∈ (a, b), tada postoji
c ∈ (a, b), tako da vijedi
f (b) − f (a)
= f ′ (c).
b−a
(8)
Teorem 10. Ako je funkcija f : [a, b] → R diferencijabilna na (a, b) te ako je svako
1
M.Rolle (1652-1719), francuski matematiˇcar
9
x ∈ (a, b) stacionarna taˇcka funkcije, tj. f ′ (x) = 0, tada je f konstanta na [a, b] .
Dokaz. Funkcija f zadovoljava uslove Lagrangeovog teorema na [a, x], gdje je x bilo
koja taˇcka iz (a, b). Iz (8) dobijamo
f (x) − f (a) = f ′ (c)(x − a).
Budu´ci da je c ∈ (a, x) stacionarna taˇcka funkcije, to iz poslednje relacije dobijamo da je f (x) = f (a) za svako x, pa je f konstanta na [a, b], što je i trebalo
1
dokazati.
Teorem 11. Neka je funkcija f ∈ C[a,b] i f ∈ D(a,b)
. Ako postoji
′
lim f (x)
x→a+0
lim f (x) , tada postoji i fd′ (a) ( fl′ (b) ) i vrijedi
x→b−0
′
′
lim f (x) =
x→a+0
fd′ (a
′
lim f (x) =
x→b−0
fl′ (b)
.
1
Teorem 12.(Darboux2) Ako je f ∈ D[a,b]
onda za proizvoljan realan broj λ izmedu
¯
′
′
vrijednosti f (a) i f (b), postoji c ∈ (a, b) takav da je λ = f ′ (c).
1
Teorem 13 .( Cauchy) Ako f, g ∈ C[a,b] i f, g ∈ D(a,b)
, pri cˇ emu f nema stacionarnih taˇcaka na (a, b), onda postoji c ∈ (a, b) tako da vrijedi
g(b) − g(a)
g ′ (c)
= ′ .
f (b) − f (a)
f (c)
(9)
Cauchyev teorem vrijedi i na [x, x + h] ⊂ [a, b], tj. važi formula
g(x + h) − g(x)
g ′ (x + θh)
= ′
, (0 < θ < 1).
f (x + h) − f (x)
f (x + θh)
(10)
eh −h−1
.
h2
h→0
Primjer 12. Izraˇcunati L = lim
⊲ Uvedimo pomo´cne funkcije φ(x) = ex − x i ϕ(x) = x2 . Lahko je provjeriti
da one ispunjavaju uslove Cauchyevog teorema. Osim toga, ako primijenimo (10),
dobi´cemo
φ(0 + h) − φ(0)
eh − h − 1
φ′ (θh)
eθh − 1
=
= ′
=
,
2
ϕ(0 + h) − ϕ(0)
h
ϕ (θh)
2θh
odakle slijedi da je
eh − h − 1
eθh − 1
=
lim
=
h→0
θh→0 2θh
h2
L = lim
2
G.Darboux (1842-1917), francuski matematiˇcar
10
t
1
lim e −1
2 t→0
t
= 21 .
4. Derivacija i izraˇcunavanje limesa funkcije
Funkcija F (x) za neku taˇcku x = a (koja je taˇcka nagomilavanja skupa DF ), može
predstavljati izraz koji nije definiran, te se ne može odmah re´ci kolika bi bila vrijednost
F (a), niti pak, koliko je lim F (x), ako uopšte taj limes postoji.
x→a
Dakle F (a) prividno nema smisla, ali kada x → a (x teži prema a) funkcija F
može imati graniˇcnu vrijednost pa cˇ ak i beskonaˇcnu. Tada A = lim F (x) ima smisla
x→a
i funkcija F se može dodefinirati u taˇcki x = a, naprimjer tako da je F (a) = A.
Naravno taˇcka x = a kao i A, može pripadati i skupu {−∞, +∞}. Neodredeni
¯ oblici
funkcija predstavljaju oblike neodredenosti
koji se cˇ esto susre´cu, pa c´ emo ovdje, dakle
¯
za
∞
0
,
, (0 · ∞) , (∞ − ∞) , 00 , ∞0 , (1∞ )
(11)
0
∞
pokazati kako se mogu pogodnim transformacijama svesti na oblike koji pri raˇcunanju
limesa ne predstavljaju osobito tešku prepreku. Ako je lim f (x) = lim g(x) = ∞,
x→a
1
g
1
f
f
g
x→a
tada transformacijom funkcije F = u F = oˇcito neodredenost
oblika ∞
¯
∞ može
se svesti na oblik 00 .
Isto tako, funkcija F = f · g neodredenog
oblika (0 · ∞) u taˇcki x = a, na
¯
oˇcigledan naˇcin prelazi u F = f1 , tj. u neodredenost
oblika 00 . Transformacijom
¯
g
f −g =
1
g
−
1
f
funkcija F = f − g, koja u taˇcki x = a ima oblik (∞ − ∞), dobija
neodredeni
¯ oblik 00 . Ako funkciju F = f g logaritmiramo, dobijamo novu funkciju
ln F = g ln(f ). Desna strana u poslednjoj jednakosti pokazuje da nova funkcija može
imati samo oblik (0 · ∞), pri svim pretpostavkama kada funkcija F = f g ima neki
od poslednja tri oblika neodredenog
izraza, pobrojanih u (11). Još više, elementarnom
¯
transformacijom iz ln F = g ln(f ) dolazimo do
1
fg
ln(f )
F =e
g ln(f )
=e
1
g
.
Sada, ako je naprimjer, f (a) = 1 i lim g(x) = ∞, ponovo se dobija oblik
x→a
0
0
.
L’Hospitalovo pravilo
Teorem 14. (Prvo L’Hospitalovo pravilo) Neka funkcije f i g zadovoljavaju uslove
Cauchyevog teorema na Df = Dg = [a, b) i neka je x0 ∈ (a, b). Ako je f (x0 ) =
′
(x)
(x)
, konaˇcan ili beskonaˇcan, tada postoji i lim fg(x)
. Još
g(x0 ) = 0 i postoji lim fg′ (x)
x→x0
x→x0
više, tada vrijedi
lim
x→x0
Primjer 16. Izraˇcunati
f (x)
f ′ (x)
= lim ′
.
g(x) x→x0 g (x)
lim cosxx−1
.
2
x→0
11
Teorem 15. Neka su funkcije f i g diferencijabilne u [a, +∞) , a > 0 i pri tome je
g ′ (x) 6= 0 za x ∈ [a, +∞) i neka je lim f (x) = lim g(x) = 0. Tada, ako postoji
x→∞
f ′ (x)
,
′
x→∞ g (x)
lim
f (x)
x→∞ g(x)
onda postoji i lim
x→∞
i vrijedi
f ′ (x)
f (x)
= lim
.
x→∞ g ′ (x)
x→∞ g(x)
lim
(12)
Teorem 16. ( Drugo L’Hospitaleovo pravilo) Neka su funkcije f i g diferencijabilne u
intervalu (a, b), na kome je g ′ 6= 0 i neka je
lim f (x) = lim g(x) = ∞.
x→a+0
f ′ (x)
,
′
x→a+0 g (x)
Tada, ako postoji lim
x→a+0
f (x)
.
x→a+0 g(x)
onda postoji i lim
Još više, vrijedi
f (x)
f ′ (x)
= lim
.
x→a+0 g(x)
x→a+0 g ′ (x)
lim
x−sin x
,
x→∞ x+sin x
Primjer 17. Limes lim
primjenom L’Hospitalova pravila, se ne može odred-
iti.
5. Taylorova formula
Neka je dat polinom p(x), n − toga stepena
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn .
(13)
Derivacijom polinoma p(x) dovoljan broj puta, mogu se koeficijenti ak polinoma p(x)
napisati u obliku
(k)
ak = p k!(0) , (k = 0, 1, . . . , n).
Dakle, polinom (13) možemo napisati sa novim koeficijentima uz stepene po x, pomo´cu formule
p(x) = p(0) +
p′ (0)
p′′ (0) 2 p′′′ (0) 3
p(n) (0) n
x+
x +
x + ··· +
x .
1!
2!
3!
n!
(14)
Umjesto razlaganja polinoma (13) po stepenima x oblika (14), možemo to razlaganje
napraviti po stepenima x − x0 , gdje je x0 jedna od vrijednosti argumenta x, pa poopštavamo (14)
p(x) = A0 + A1 (x − x0 ) + A2 (x − x0 )2 + A3 (x − x0 )3 + · · · + An (x − x0 )n .
(15)
Stavimo li u (15) x − x0 = ξ, p(x) = p(x0 + ξ) = P (ξ), onda za koeficijente polinoma
P (ξ) = A0 + A1 ξ + A2 ξ 2 + A3 ξ 3 + · · · + An ξ n , tj. polinoma (15), imamo
Ak =
P (k) (0)
, (k
k!
12
= 0, 1, . . . , n).
No sa druge strane je
P (ξ) = p(x0 + ξ), P ′ (ξ) = p′ (x0 + ξ), P ′′ (ξ) = p′′ (x0 + ξ), . . .
pa je P (0) = p(x0 ), P ′ (0) = p′ (x0 ), P ′′ (0) = p′′ (x0 ), . . ., odnosno
Ak =
p(k) (x0 )
, (k
k!
= 0, 1, . . . , n).
Zamjenom dobijenih koeficijenata u (15), dolazimo do
p(x) = p(x0 ) +
p′ (x0 )
p′′ (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 +
1!
2!
p′′′ (x0 )
p(n) (x0 )
(x − x0 )3 + · · · +
(x − x0 )n .
(16)
3!
n!
Poslednju formu polinoma (13) zovemo Taylorovom formulom za polinom, dok je
forma oblika (14) poznatija po imenu Maclaurinova formula za polinom.
Razmotrimo sada mogu´cnosti predstavljanja proizvoljne funkcije f (x) formulom
oblika (16).
Najprije, prirodno je pretpostaviti da funkcija f ima derivacije redom
+
f ′ (x), f ′′ (x), . . . , f (n−1) (x),
u svim taˇckama segmenta [a, b] koji sadrži taˇcku x0 , a n − tu derivaciju f (n) (x0 ) ima
u samoj taˇcki x0 . Tada po obrascu (16), i za funkciju f (x) se može formirati polinom
p(x) = f (x0 )+
f ′ (x0 )
f ′′ (x0 )
f (n) (x0 )
(x− x0 )+
(x− x0 )2 + · · ·+
(x− x0 )n , (17)
1!
2!
n!
koji oˇcito, kao i sve njegove derivacije do n−toga reda u taˇcki x0 , imaju iste vrijednosti
kao i funkcija f (x) odnosno i sve njene derivacije.
Medutim,
bitno je naglasiti, ukoliko funkcija f (x) nije polinom n− toga stepena,
¯
ne može se napisati p(x) = f (x). Polinom (17), samo daje neki oblik približenja
funkciji f (x). Zato je osobito važno izpitati razliku
r(x) = f (x) − p(x).
(18)
Na osnovu osobina polinoma p(x), (17), oˇcito za funkciju r(x), vrijedi
r(x0 ) = r′ (x0 ) = r′′ (x0 ) = · · · = r(n) (x0 ) = 0.
(19)
Lema 1. Ako funkcija r(x) ima sve derivacije u taˇcki x0 do n-toga reda, koje zadovoljavaju uslov (19), tada vrijedi
r(x) = o ((x − x0 )n ) , x → x0 .
13
Sada iz f (x) = p(x) + r(x), slijedi formula
f ′ (x0 )
f ′′ (x0 )
2
1! (x − x0 ) +
2! (x − x0 ) +
(n)
f
(x0 )
(x − x0 )n + o ((x − x0 )n ) ,
n!
f (x) = f (x0 ) +
+··· +
···+
(20)
koja se od formule (17) razlikuje za jedan dodatni cˇ lan o ((x − x0 )n ). Pošto je ovaj cˇ lan
prvi uveo G. Peano, to se cˇ esto formula (20) naziva Taylorova formula sa ostatkom u
Peanovoj formi. Ako se u formuli (20) stavi x0 = 0, dobija se Maclaurinova formula
za funkciju f (x)
f ′ (0)
f ′′ (0) 2
f (n) (0) n
x+
x + ···+
x + o (xn ) ,
(21)
1!
2!
n!
gdje je o (xn ) beskonaˇcno mala kada x → 0. Istu oznaku c´ emo koristiti cˇ esto ne pišu´ci
x → 0. Primjer 18. Napisati Maclaurinove formule za funkcije:
f (x) = f (0) +
(a) f (x) = ex ; (b) f (x) = sin x ; (c) f (x) = ln(1 + x). Postojala je potreba da
se pokuša iskoristiti polinom p(x) kao aproksimacija funkcije f (x), pomo´cu kojega se
vrijednosti funkcije mogu izraˇcunati sa dovoljnom taˇcnoš´cu za svaku taˇcku x.
Za takvu ulogu polinoma p(x), morali bismo biti u stanju procijeniti razliku (18)
za bilo koje dato x. Budu´ci da Peano ostatak daje samo informaciju da r(x) → 0,
kada x → x0 , to je oˇcito da forma (20) ne može obezbjediti polinomu p(x) tu ulogu.
Taylorova formula za funkciju f (x) sa Lagrangeovim ostatkom ima oblik
′
f ′′ (x0 )
0)
2
f (x) = f (x0 ) + f (x
1! (x − x0 ) +
2! (x − x0 ) + · · ·
(n)
(n+1)
(T)
n+1
f
(x0 )
f
(c)
n
+ n! (x − x0 ) + (n+1)! (x − x0 )
, x0 < c < x.
Formula (T) je najprikladnija za primjenu.
Ako u formuli (T) uvrstimo x0 = 0, dobijamo Maclaurinovu formulu za funkciju
f (x)
f (x) = f (0) +
f ′ (0)
1! x
+
f ′′ (0) 2
2! x
+ ···+
f (n) (0) n
n! x
+
f (n+1) (θx) n+1
,
(n+1)! x
(M)
gdje je 0 < θ < 1. Ako se u formulama (T) i (M) naprosto izostavi ostatatak,
tada se dobijene formule nazivaju približne formule, a ako je f (n+1) (x), po apsolutnoj
vrijednosti, ograniˇcen nekim brojem Λ > 0 na razmaku (x0 , x) (odnosno na (0, x)),
tada se dobija sljede´ca aproksimacija ostatka
|rn (x)| ≤ M
xn+1
.
(n + 1)!
Poslednja procijena ostatka je ujedno i procjena greške koja se cˇ ini pri prelazu sa vrijednosti funkcije (u taˇcki x) na vrijednost njene približne formule u toj istoj taˇcki.
Prema tome, ako stavimo x = 1 u primjeru 18a, u približnoj formuli za funkciju ex ,
dobi´cemo
1
1
1
e ≈ 1 + 1!
+ 2!
+ · · · + n!
.
Uˇcinjena greška c´ e biti
rn (1) =
eθ
e1
3
≤
≤
,
(n + 1)!
(n + 1)!
(n + 1)!
jer je θ < 1.
14
6. Ispitivanje funkcija pomo´cu derivacije
Vidjeli smo da, diferencijabilna funkcija u nekoj taˇcki, negativne derivacije u okolini
(koja je dio domena funkcije) te taˇcke, je opadaju´ca na tome skupu. Analogno, funkcija
cˇ ija je derivacija pozitivna je rastu´ca (v. (5,6) teorem 6). Ovdje c´ emo pokazati da
vrijedi i obrat.
Teorem 17. Ako je diferencijabilna funkcija f (x) rastu´ca (opadaju´ca) na intervalu
(a, b), tada je f ′ (x)
≥ 0 (f ′ (x) ≤ 0) za x ∈ (a, b). Prije toga, razmotrimo ponovo
√
3
funkciju f (x) = x2 iz primjera 12, na skupu D = [−1, 1]. Pokazali smo da je
f (0) lokalni minimum funkcije, ali da je u isto vrijeme f ′ (0) ne postoji. Osim toga,
uoˇcavamo da je
f ′ (x) < 0, zax ∈ [−1, 0) i f ′ (x) > 0, zax ∈ (0, 1],
tj., prva derivacija mijenja znak u taˇcki a = 0 u kojoj funkcija f ima lokalni ekstremum. Da to nije sluˇcajno, pokazuje
Teorem 18. (Prvo pravilo). Pretpostavimo da je U (a) okolina taˇcke a i f ∈ CU(a) .
Ako je f (x) diferencijabilna na skupu U (a)\ {a} , tada je u taˇcki a lokalni ekstremum
funkcije f (x) ako funkcija f ′ (x) mijenja znak u taˇcki a. Pri tome
(i) ako je f ′ (x) < 0, x ∈ U ∩ (−∞, a) if ′ (x) > 0, x ∈ U ∩ (a, ∞) ,
tada je u taˇcki a lokalni minimum;
(ii) ako je f ′ (x) > 0, x ∈ U ∩ (−∞, a) if ′ (x) < 0, x ∈ U ∩ (a, ∞) ,
u taˇcki a je lokalni maksimum.
Primjer 19. Funkcija ϕ(t) = |2t − 1| ima derivaciju
2, za t > 21
′
,
ϕ (t) =
−2, za t < 12
pa je jasno da u taˇcki t =
1
2
postoji lokalni minimum, koji iznosi ϕ( 12 ) = 0.
15
Teorem 19. (Dugo pravilo). Neka je f ′′ (x) definirana u stacionarnoj taˇcki c
funkcije f (x). Tada ako je f ′′ (c) > 0 (f ′′ (c) < 0), funkcija f (x) u stacionarnoj taˇcki
c ima lokalni minimum (maksimum). Primjer 20. Funkcija f (x) = x ln x ima u taˇcki
x = e−1 lokalni minimum f ( 1e ) = − 1e .
⊲ Zaista, jednaˇcina f ′ (x) = ln x + 1 = 0, anulira se u taˇcki x = e−1 . Dakle
funkcija f ima stacionarnu taˇcku e−1 . Osim toga, druga derivacija f ′′ (x) = x1 , u
stacionarnoj taˇcki, ima vrijednost f ′′ (e−1 ) = e > 0. ⊳
Razmotri´cemo opšti sluˇcaj, tj. sluˇcaj kada u stacionarnoj taˇcki c, n prvih derivacija
funkcije f imaju svojstvo
f ′ (c) = f ′′ (c) = · · · = f (n−1) (c) = 0, f (n) (c) 6= 0.
(22)
Prema Taylorovoj formuli za funkciju f , u tom sluˇcaju, imamo
f (x) = f (c) +
(x−c)n (n)
(c)
n! f
Nije teško vidjeti da je α(x) =
n
n!(x−c)n
(x−a)n
α(x)
n! (x −
možemo staviti o ((x − c) ) =
formi
f (x) − f (c) =
+ o((x − c)n ) (x → c) .
(23)
infinitezimala, kada x → c, a < c < b, pa
a)n , kada x → c i jednakost (23) napisati u
(x−c)n
n!
f (n) (c) + α(x) .
Budu´ci da je α(x) infinitezimala kada x → c, možemo odabrati dovoljno malu okolinu
U (c) taˇcke c, tako da vrijedi:
x ∈ U (c) ⇒ f (n) (c) > |α(x)| .
Osim toga, za n = 2k − 1, tj. ako je n neparan broj, vrijedi
x ∈ U (c), x < c ⇒ sgn (f (x) − f (c)) = −sgn f (n) (c) + α ,
x ∈ U (c), x > c ⇒ sgn (f (x) − f (c)) = sgn f (n) (c) + α ,
odakle zakljuˇcujemo da razlika f (x) − f (c) (u okolini U (c)) nema stabilan znak, pa
funkcija nema lokalnog ekstremuma u stacionarnoj taˇcki c.
Sa druge strane, ako je n = 2k, tj. n je parno, onda imamo
x ∈ U (c), f (n) (c) > 0 ⇒ f (x) − f (c) > 0,
odnosno funkcija f ima lokalni minimum. Jednako tako,
x ∈ U (c), f (n) (c) < 0 ⇒ f (x) − f (c) < 0,
povlaˇci da je f (c) lokalni maksimum.
16
Konveksnost i konkavnost
Definicija 7. Za funkciju f : Df → R kažemo da je konveksna na (a, b) ⊆ Df ako
za proizvoljno izabrane x, y ∈ (a, b) iα, β ∈ R+ , α + β = 1, vrijedi
f (αx + βy) ≤ αf (x) + βf (y).
(24)
Funkcija je konkavna na (a, b) ⊆ Df ,tj. ima drugi tip konveksnosti, ako u (24) vrijedi
obrnuta nejednakost.
Funkciju koja je jednovremeno konveksna i konkavna, tj. ima svojstvo oba tipa
konveksnosti na nekome intervalu, nazivamo afinom funkcijom. Teorem 20. Neka
(1)
je f ∈ D(a,b) . Da bi f bila konveksna na (a, b) potrebno je i dovoljno da funkcija f ′
raste na (a, b) . Neposredna posljedica prethodnog teorema je
Teorem 21 . Neka funkcija f : Df → R ima drugu derivaciju u svakoj taˇcki
(a, b) ⊆ Df . Da bi f bila konveksna (konkavna) na (a, b), potrebno je i dovoljno da
bude f ′′ (x) ≥ 0 (f ′′ (x) ≤ 0), za svako x ∈ (a, b) .
Definicija 8. Neka je funkcija f (x) definirana u nekoj okolini U (x0 ) taˇcke x0 i
diferencijabilna na U (x0 )\ {x0 }. Taˇcka P (x0 , f (x0 )) naziva se prevojna taˇcka krive
Gf ako funkcija f (x) na skupovima (−∞, x0 )∩U (x0 )iU (x0 )∩(x0 , +∞) ima razliˇcit
tip konveksnosti; slika 5.9.
Potreban uslov da kriva Gf funkcije y = f (x), f ′′ ∈ CU(x0 ) ima prevojnu taˇcku
(x0 , f (x0 )) u x0 , cˇ ija je U (x0 ) dovoljno mala okolina, jeste anuliranje druge derivacije,
tj. f ′′ (x0 ) = 0.
Slika 5.9
(1)
Teorem 22. Neka je f ∈ DU(x0 ) i ima konaˇcnu drugu derivaciju u svim taˇckama
okoline U (x0 ) taˇcke x0 , osim možda same taˇcke x0 .
Ako funkcija f ′′ (x) mijenja znak pri prolazu argumenta kroz taˇcku x0 , tada je
(x0 , f (x0 )) prevojna taˇcka krive y = f (x).
Teorem 23. Neka je f ′′ (x0 ) = 0, af ′′′ (x0 ) 6= 0. Tada je (x0 , f (x0 )) prevojna
taˇcka krive y = f (x). Primjer 21. Funkcija ϕ(t) = t2 ln t, Dϕ = (0, ∞) mijenja
17
konveksnost na Dϕ .
3
⊲ Budu´ci da je ϕ′ (t) = 2t ln t + t;
ϕ′′ (t) = 2ln t + 3, to je ϕ′′ (t) = 0 za t = e− 2 .
3
Osim toga, ϕ′′ (t) > 0 za svako t ∈ e− 2 , ∞ , pa je na tome intervalu funkcija ϕ
3
konveksna, a zbog ϕ′′ (t) < 0 na 0, e− 2 ona je konkavna na tome dijelu skupa Dϕ .
3
Prevoj funkcije ϕ je, dakle, na osnovu teorema 22, taˇcka P e− 2 , − 23 e−3 . ⊳
Ispitivanje funkcije i crtanje grafika
Ovdje c´ emo, na izvjestan naˇcin, sumirati glavne rezultate koje smo u ovoj glavi
dokazali i iste iskoristiti u procesu ispitivanja elementarne funkcije f i skiciranja njenog
grafika Gf .
U dosadašnjoj analizi funkcija, pokazala se veoma korisnom skica grafika funkcije,
zbog oˇciglednosti prilikom sagledavanja osobina te funkcije.
U cilju odredivanja
slike skupa Gf ( koja može poslužiti u mnogim prilikama),
¯
elementarne funkcije y = f (x) koja je zadata analitiˇckim izrazom, uobiˇcajeno je
koristi sljede´cu shemu:
I korak. Odrediti oblast definiranosti Df funkcije f .
II korak. Ispitati specijalna svojstva funkcije (parnost, periodiˇcnost i sl.).
III korak.
Ispitati kako se funkcija ponaša na rubovima domena; odrediti sve
njene asimptote.
IV korak. Odrediti nule (taˇcno ili približno) i znak funkcije.
V korak. Odrediti prvu i drugu derivaciju funkcije.
VI korak. Odrediti intervale monotonosti funkcije i njene ekstremne vrijednosti.
VII korak. Odrediti tip konveksnosti funkcije i njene prevojne taˇcke.
VIII korak. Ispitati i sve ostale specifiˇcnosti grafika Gf date funkcije f (položaj
grafika prema asimptotama, presjek sa njima ako postoji i sl.). Primjer 24. Grafik dat
na slici, predstavlja grafik funkcije
y(x) =
r
x3 − 2x2
.
x−3
(25)
Slika 5.13
q
⊲ Najprije funkciju dovedimo na oblik y(x) = |x| x−2
cito prikladnija
x−3 , što je oˇ
forma za poˇcetna ispitivanja.
Funkcija (25) je definirana za svako x ∈ R, za koje je
x−2
≥ 0 ∧ x 6= 3,
x−3
ODNOSNO ZA x ≤ 2 ILI x > 3 . P REMA TOME , Dy = (−∞, 2] ∪ (3, +∞) .
Funkcija je pozitivna za x 6= 0 I x =
6 2, y(0) = y(2) = 0. Budu´ci da je lim y(x) =
x→3+0
18
lim |x|
x→3+0
imamo
q
x−2
x−3
= +∞ ,
y(x) = |x|
= |x| 1 −
1
x
x−2
x−3
x = 3 vertikalna asimptota krive. Kada x → ∞,
TO JE
1
2
= |x| 1 −
+ o( x1 )
1+
3
2x
1
2 2
x
1−
1
3 −2
x
=
+ o( x1 ) = |x| 1 +
1
2x
+ o( x1 ) ;
odakle, kada x → +∞ dobijamo
y(x) = x + 12 + o(1), a ako x → −∞ : y(x) = −x − 21 + o(1).
Prema tome je y = x + 21 , kosa asimptota kada x → +∞, a y = −x − 12 kada
x → −∞.
Funkcija je oˇcito dva puta diferencijabilna svuda na domenu, osim u x = 0 i x = 2.
Nije teško na´ci derivacije
q
2x2 −11x+12
y ′ (x) = x−2
x−3 2(x−2)(x−3) · sign(x),
y ′′ (x) =
q
x−2
11x−24
x−3 4(x−2)2 (x−3)2
· sign(x).
Budu´ci da je y ′ (x) = 0 za x = 32 , a y”( 32 ) < 0, funkcija ima lokalni maksimum u toj
√
√
taˇcki, y( 32 ) = 23 ; isto tako, u x = 4, funkcija ima lokalni minimum y(4) = 4 2.
Primijetimo, ako x → 2−0, tangenta na Gy je vertikalna, jer vrijedi lim y ′ (x) =
x→2−0
+∞. Lako je vidjeti da vrijedi
lim y ′ (x) = −
x→−0
p
2 / 3,
lim y ′ (x) =
x→+0
p
2 / 3,
što predstavlja korisnu informaciju o funkciji, svejedno što ona, dakle, nije diferencijabilna u x = 0.
O konveksnosti zadate funkcije zakljuˇcujemo iz znaka druge derivacije. Funkcija je
konveksna na intervalima x < 0 i x > 3. Iz te informacije možemo, takode,
¯ zakljuˇciti
da se kriva primiˇce kosoj asimptoti sa gornje strane kada x → −∞ i kada x → +∞.
Kriva je, na intervalu 0 < x < 2 konkavna, jer je na njemu y ′′ (x) < 0.
19
Download

1. Derivacija funkcije