Ispit iz Matematike II
17. Septembar 2012.
Mat II - I Kolokvij
Mat I (stari) i Mat (VI st.) - III kolokvij
x3 +8
x+2 ,
Pitanje 1: a) Proširiti funkciju f (x) :=
kidna u x = −2.
x 6= −2 tako da bude definisana i nepre-
b) Skicirati grafik funkcije f (x) = x2 − x i ispitati njenu diferencijabilnost u tački x = 1.
Zatim koristeći Lagangeov teorem odrediti tačku ξ ∈ [0, 12 ] takva da je tangenta grafika
funkcije u tački (ξ, f (ξ)) paralelna pravoj koja prolazi kroz tačke O(0, f (0)) i T ( 12 , f ( 12 )).
Zadatak 1 (8 bodova): a) Koristeći L’Hospitalovo pravilo izračunati lim
x→0
tg x−sin x
x3
1−x
√
3
x→1 1− x
b) Ne koristeći L’Hospitalovo pravilo izračunati lim
Zadatak 2 (12 bodova): Ispitati i nacrtati grafik funkcije y =
Mat II - II Kolokvij - 1. dio
x ln x
ln x−2 .
Mat I (stari) i Mat (VI st.) - IV kolokvij
Pitanje 1: a) Provjeriti da li je F (x) = x ln x − x + 5, x > 0 primitivna funkcija funkcije
f (x) = ln x, x > 0. Zatim naći primitivnu funkciju navedene funkcije f (x) za koji je
F (1) = 0.
b) Navesti teoreme o integrabilnosti funkcije.
Zatim, ne računajući integral reći da li
(
2
2
R
x ,
0≤x≤1
postoji integral f (x)dx, gdje je f (x) =
i zašto. Pri tome skicirati
x + 1, 1 < x ≤ 2
0
grafik funkcije f (x).
c) Ne računajući integral reći kolika je vrijednost integrala
R2
x3 dx i zašto.
−2
Zadatak 1: Izračunati integrale:
Z
dx
1
√
, pokušati smjenu t =
2
x
x 3x − 2x
Z
x ln(x2 + x + 1)dx
Zadatak 2: Na parabolu y = 1 − x2 povučena je normala u tački presjeka parabole
i pozitivnog dijela x-ose. Odrediti površinu figure koju čine data parabola, povučena
normala i y-osa, te zapreminu tijela dobijenog rotacijom te površi oko y-ose. (skica sa
naznačenom površinom je obavezna).
Mat II - II Kolokvij - 2. dio
Pitanje 1: a) Naći prvi totalni diferencijal funkcije u =
p
x2 + y 4 + z 6 .
∂z
∂z
b) Funkcija z = f (x, y) zadovoljava jednačinu x2 − 3y 2 + 2z = ln z. Naći ∂x
i ∂y
u tački
P (1, −1, 1), a zatim napisati jednačine tangentne ravni i normale površi zadane datom
funkcijom z = f (x, y) u tački P .
Zadatak 1: Naći ekstreme funkcije z = 3 ln x6 + 2 ln y + ln(12 − x − y).
Zadatak 2: Naći ekstreme funkcije z = xy uz uslov 4x2 + y 2 = 1.
Ispit iz Matematike II
Goražde, 16. Septembar 2012.
I dio: Diferencijalni račun
Zadatak 1: a) Definisati prvi izvod funkcije i dati njegovu geometrijsku interpretaciju.
b) Odrediti jednačine tangente i normale na krivu y =
M (2, ?).
ln(x−1)
x2
+ arctg(x − 1) u tački
Zadatak 2: a) Definisati ekstremnu vrijednost funkcije i navesti uslove za postojanje
ekstrema.
b) Ispitati i nacrtati grafik funkcije f (x) =
16x2 −10
.
3x2 −3x4
II dio: Integralni račun
Zadatak 1: a) Definisati određeni integral i navesti njegove osobine.
b) Izračunati integrale
Z
2
ln(2x + 5x − 7)dx
Z
x3 + x2 + 1
dx
x2 (x2 + 1)
Zadatak 2: a) Navesti teoreme o srednjoj vrijednosti za određeni integral.
b) Odrediti površinu (veću) ograničenu krivim y = 9 − x2 , y = 0, y = 8x i zapreminu
tijela koje nastaje rotacijom te površi oko x-ose.
III dio: Funkcije više promjenjivih
Zadatak 1: a) Definisati prve parcijalne izvode funkcije dvaju promjenjivih i njen diferencijal.
√
√
b) Odrediti ekstreme funkcije z = 6 3x3 − 2y 3 + 6xy + 29 3.
Zadatak 2: a) Definisati tangentnu ravan i normalu na datu površ u tački M te površi,
te navesti njihove jednačine.
b) Odrediti uslovne ekstreme funkcije z = xy, ako je x2 + y 2 = 2.
Ispit iz Matematike II
03. Septembar 2012.
Mat II - I Kolokvij
Mat I (stari) i Mat (VI st.) - III kolokvij
Pitanje 1: a) Navesti potrebne i dovoljne uslove za konvergenciju niza (realnih brojeva).
b) Skicirati funkciju f (x) = |sin x|, x ∈ [0, 2π]. Zatim
(i) ispitati njenu diferencijabilnost na [0, 2π],
(ii) provjeriti da li funkcija f (x) zadovoljava uslove Rolovog teorema na [0, 2π] i naći
tačke u kojima je tangenta na grafik funkcije paralelna sa x-osom.
Zadatak 1 (8 bodova): Odrediti jednačine tangente i normale na krivu y =
arctg(x − 1) u tački M (2, ?).
ln(x−1)
x2
+
Zadatak 2 (12 bodova): Ispitati i nacrtati grafik funkcije f (x) = x ln2 x.
Mat II - II Kolokvij - 1. dio
Mat I (stari) i Mat (VI st.) - IV kolokvij
Pitanje 1: a) Dokazati da ako je funkcija f neprekidna na [a, b] da je tada funkcija
F (x) :=
Rx
f (t)dt, x ∈ [a, b] primitivna funkcija za funkciju f .
a
b) Izračunati srednju vrijednost funkcije f (x) = ln x na intervalu [1, 3].
Zadatak 1: Izračunati integrale
Z
dx
√
1 − 2x − x2
+∞
Z
x2
dx
− 3x + 2
2
Zadatak 2: Odrediti površinu površi ograničene krivim y = 9 − x2 , (x ≥ 0), y = 8x,
y = 25 x i zapreminu tijela koje nastaje rotacijom te površi oko x-ose.
Mat II - II Kolokvij - 2. dio
∂z ∂z
Pitanje 1: Odrediti prve derivacije ∂x
i ∂y funkcije z = u+2v +ln(u−v), u = arcsin x+y,
x
v = arctg y u tački M (0, 1), a zatim napisati Taylorov polinom 1. reda u navedenoj tački.
Zadatak 1: Odrediti ekstreme funkcije x3 + y 3 − 3x − 12y + 20.
Zadatak 2: Odrediti najmanju vrijednost funkcije z = 1 − x − 2y na oblasti x2 + y 2 ≤ 4,
a zatim u toj tački napisati jednačinu tangentne ravni.
Ispit iz Matematike II
09. Juli 2012.
Mat II - I Kolokvij
Mat I (stari) i Mat (VI st.) - III kolokvij
Pitanje 1: a) Skicirati grafik funkcije y = |cos x|, x ∈ [0, π] i ispitati njenu diferencijabilnost u tački x = π2 .
b) Primjenom diferencijala odrediti približnu vrijednost broja e0,0015 .
Zadatak 1:
1. Ne koristeći L’Hospitalovo pravilo izračunati lim
x→+∞
2. Koristeći L’Hospitalovo pravilo izračunati lim
x→0
x+1
3x+2
x2
.
x−sin x
.
x3
Zadatak 2: Ispitati i nacrtati grafik funkcije y = f (x) =
Mat II - II Kolokvij - 1. dio
3x2 −9x+6
.
x2 +2x+1
Mat I (stari) i Mat (VI st.) - IV kolokvij
Pitanje 1: a) Odrediti primitivnu funkciju F funkcije f (x) = ln x, x > 0, za koju je
F (1) = 0.
b) Izračunati
R2 xdx
√
.
2
0
x +1
Zadatak 1: Izračunati integrale
Z
2
+∞
Z
(x + 3x + 2) ln xdx
x2
dx
+ 2x + 5
0
Zadatak 2: Figura u ravni ograničena parabolom y = 4 − x2 i pravim y = 3x, y = 0
rotira oko x-ose. Izračunati zapreminu dobijenog tijela.
Mat II - II Kolokvij - 2. dio
Pitanje 1: a) Odrediti i skicirati domen funkcije f (x, y) = √
xy
.
4x2 +y 2 −4
∂z ∂z
b) Funkcija z = z(x, y) zadovoljava jednačinu x2 ez = 2y sin z. Naći ∂x
i ∂y . Zatim napisati
jednačine tangencijalne ravni i normale površi određene datom funkcijom z = z(x, y) u
tački P (0, 2, 0).
Zadatak 1: Odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije z = x2 − y 2 u području
x2 + y 2 ≤ 1.
Zadatak 2: Odrediti uslovne ekstreme funkcije z = y + 2x + 3 uz uslov x2 − 6x + y + 5 = 0.
Popravni ispit iz Matematike II
Goražde, 07. Juli 2012.
I dio: Diferencijalni račun
Zadatak 1 (6+6): a) Definisati granične vrijednost niza i funkcije (svi slučajevi).
b) Odrediti jednačinu tangente i normale na krivu y =
√20
x 9+x2
u tački M (4, ?).
Zadatak 2 (6+12): a) Dati definicije granične vrijednosti, neprekidnosti, prvog izvoda i
diferencijala funkcije jedne varijable.
b) Ispitati i nacrtati grafik funkcije y = f (x) =
x2 +x+14
x+2 .
II dio: Integralni račun
Zadatak 1 (8+12): a) Definisati primitivnu funkcije i neodređeni integral, a zatim formulisati teoremu koja daje vezu između određenog i neodređenog integrala.
b) Izračunati integrale
Z
x2 sin 2xdx
Z
4x + 1
dx
+ x2 − x
2x3
Zadatak 2 (8+12): a) Navesti osobine određenog integrala i navesti primjer za svaku od
njih.
b) Odrediti površinu lika omeđenog krivom y = 2x3 , pravom y = 0 i tangentom na krivu
u tački M (2, 16).
III dio: Funkcije više promjenjivih
Zadatak 1 (6+9): a) Dati definicije prvih parcijalnih derivacija i prvog totalnog diferencijala funkcije dviju varijabli.
b) Ispitati na ekstrem funkciju dviju varijabli z = 2x3 − xy 2 + 5x2 + y 2 .
Zadatak 2 (6+9): a) Dati definicije i napisati i objasniti jednačine tnagencijalne ravni i
normale površi u nekoj tački.
b) Odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije z = x3 + y 3 − 3xy u području 0 ≤ x ≤ 2,
−1 ≤ y ≤ 2.
Napomena:
Da bi položili određeni dio potrebno je osvojiti najmanje polovinu bodova iz teoretskog
dijela (dijelovi zadataka pod a) i polovinu bodova iz praktičnog dijela (dijelovi zadataka
pod b) tog dijela.
Ispit iz Matematike II
25. Juni 2012.
Mat II - I Kolokvij
(
Pitanje 1: a) Ako je f (x) =
2x
1 + ax
Mat I (stari) i Mat (VI st.) - III kolokvij
,0 ≤ x ≤ 1
odrediti a tako da funkcija f bude
,1 < x ≤ 2
neprekidna u tački x = 1.
b) U kojoj tački krive y = x3 + 5 treba povući tangentu tako da je ona paralelna pravoj
12x − y = 17.
c) Primjenom diferencijala odrediti približnu vrijednost broja arctg 1, 05.
Zadatak 1: Napisati jednačine tangente i normale na krivu y = x3 − e2x−4 − ln(x − 1)2
u tački M (2, ?).
1
Zadatak 2: Ispitati i nacrtati grafik funkcije y = (9x − 2)e x .
Mat II - II Kolokvij - 1. dio
Mat I (stari) i Mat (VI st.) - IV kolokvij
Pitanje 1: a) Odrediti primitivnu funkciju F funkcije f (x) = ex+1 + xe+1 za koju je
F (1) = e2 .
b) Navesti i dokazati teoremu o srednjoj vrijednosti za određeni integral neprekidne
R1 √
funkcije, pa koristeći navedeni teorem procjeniti integral
4 + x2 dx.
0
Zadatak 1: Izračunati integrale
Z
dx
√
1 − 2x − x2
Z1
x2 e−x dx
−1
Zadatak 2: Odrediti površinu površi ograničene krivim y =
√
x, y = 0 i y = x − 2.
Mat II - II Kolokvij - 2. dio
Pitanje 1: a) Naći i skicirati domen funkcije f (x, y) =
p
x2 + y 2 − 2x.
2 2
y
b) Provjeriti da li postoji granična vrijednost funkcije f (x, y) = xx2 +y
2 kada (x, y) → (0, 0),
a zatim pokazati da se navedena funkcija može proširiti do funkcije neprekidne na R2 .
√
c) Primjenom diferencijala naći približnu vrijednost broja 1002 + 1992 + 2012 .
Zadatak 1: Ispitati na ekstrem funkciju dviju varijabli z = x2 + xy + y 2 + x − y + 1.
Zadatak 2: Formirajući Lagrangeovu funkciju odrediti uslovne ekstreme funkcije z =
x2 + y 2 uz uslov x2 + y3 = 1.
Završni ispit iz Matematike II
Goražde, 17. Juni 2012.
I dio: Diferencijalni račun
Zadatak 1 (6+6): a) Dati definiciju i geometrijsko značenje prvog izvoda.
b) Napisati jednačinu tangente i normale na krivu y = ln(x + 1) +
1
x+1
u tački M (1, ?).
Zadatak 2 (6+12): a) Reći kada za funkciju (jedne varijable) kažemo da je neprekidna
u nekoj tački. Zatim navesti Rolleov teorem i dati njegovu geometrijsku interpretaciju.
1
b) Ispitati i nacrtati grafik funkcije y = xe x−2 .
II dio: Integralni račun
Zadatak 1 (8+12): a) Dati definicije primitivne funkcije, neodređenog i određenog (Riemannovog) integrala funkcije jedne varijable.
b) Riješiti integrale:
R x2 −5x+9
dx
x2 −5x+6
R1
xe−x dx.
−1
Zadatak 2 (8+12): a) Navesti osobine određenog integala i navesti po jedan primjer koji
ih ilustruje.
b) Na parabolu y = 1 − x2 povučena je normala u tački presjeka parabole i pozitivnog
dijela x−ose. Odrediti površinu figure koju čine data parabola, povučena normala i
y−osa.
III dio: Funkcije više promjenjivih
Zadatak 1 (6+9): a) Definisati parcijalne izvode funkcije f (x, y) i formulisati Schwartzovu teroremu.
b) Odrediti lokalne ekstreme funkcije z = x3 + 8y 3 − 6xy + 5.
Zadatak 2 (6+9): a) Napisati i objasniti jednačinu tangente ravni i normale na površ
z = f (x, y).
b) Odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije z = x2 + y 2 − xy + x + y u području
x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3.
Napomena:
Da bi položili određeni dio potrebno je osvojiti najmanje polovinu bodova iz teoretskog
dijela (dijelovi zadataka pod a) i polovinu bodova iz praktičnog dijela (dijelovi zadataka
pod b) tog dijela.
Parcijalni ispit iz Matematike II
Goražde, 27. April 2012.
I dio: Diferencijalni račun
Zadatak 1 (5+8): a) Definisati i objasniti graničnu vrijednost lim f (s) = +∞. Navesti
s→k
pravila za računanje graničnih vrijednosti.
b) Bez primjene L’Hospitalova pravila odrediti granične vrijesnosti
lim (x −
x→∞
p
x2 − 10x)
x3 − x2 − 8x + 12
x→2
x2 + 2x − 8
lim
Zadatak 2 (8+7): a) Definisati prvi izvod funkcije i dati geometrijsko tumačenje prvog
izvoda. Zatim formulisati Lagrangeovu teoremu.
b) Napisati jednačine tangente i normale na krivu y = x3 − e2x−4 − ln(x − 1)2 u tački
M (2, ?)
Zadatak 3 (7+15): a) Dati definicije konveksnosti, konkavnosti i prevojne tačke, a zatim
formulisati teoremu koja nam govori o potrebnim i dovoljnim uslovima da bi funkcija
imala prevojnu tačku za x = x0 .
1
b) Ispitati i nacrtati gafik funkcije f (x) = (5x − 1)e x .
Napomena:
Da bi položili kolokvij potrebno je osvojiti najmanje 10 bodova iz teoretskog dijela (dijelovi
zadataka pod a) i 15 bodova iz praktičnog dijela (dijelovi zadataka pod b).
Parcijalni ispit iz Matematike II
24. April 2012.
Probni test
I dio: Diferencijalni račun
Zadatak 1 (6+8): a) Definisati i objasniti graničnu vrijednost lim f (t) = U . Navesti
t→m
pravila za računanje graničnih vrijednosti.
b) Bez primjene L’Hospitalovog pravila naći limese
p
lim ( n2 − 3n + 2 − n + 1)
lim
n→∞
x→∞
x2 − 1
x2 + 1
! x−1
x+1
.
Zadatak 2 (7+6): a) Definisati prvi izvod funkcije i dati geometrijsko tumačenje prvog
izvoda. Navesti pravila za traženje izvoda. Napisati tablicu elementarnih izvoda.
b) Odrediti jednačinu tangente i normale na funkciju f (x) =
−16
16+x2
u tački M (4, f (4)).
Zadatak 3 (7+16): a) Dati definiciju lokalnog ekstremuma, a zatim formulisati teoremu
koja nam govori o potrebnim i dovoljnim uslovima da bi funkcija imala ekstrem u tački
x0 .
1
b) Ispitati i nacrtati grafik funkcije f (x) = xe x−2 .
Napomena:
Da bi položili kolokvij potrebno je osvojiti najmanje 10 bodova iz teoretskog dijela (dijelovi
zadataka pod a) i 15 bodova iz praktičnog dijela (dijelovi zadataka pod b).
Download

Ispit iz Matematike II