1. Pojam realne funkcije realnog argumenta
Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematiˇckoj analizi i centralni objekat
svih njenih razmatranja.
Definicija 0
Neka je dat skup D ⊆ R. Ako je svakom x ∈ D po nekom zakonu (pravilu) pridružen
jedan i samo jedan y ∈ R, tada kažemo da je na skupu D definirana realna funkcija
f realne promjenljive x . Pravilo po kojem se vrši pridruživanje oznaˇcavamo sa f ,
odnosno
y = f (x), x ∈ D.
Ovdje je x argument ili nezavisno promjenljiva, a skup D (ˇcesto se obilježava i sa
Df ) je definiciono podruˇcje ili domen funkcije f .
Broj y0 , pridružen vrijednosti x0 argumenta x, zove se vrijednost funkcije u taˇcki
x = x0 i oznaˇcava se f (x0 ). Skup svih vrijednosti funkcije f oznaˇcava se Rf i zove se
kodomen funkcije f .
Ako nije unaprijed dato definiciono podruˇcje funkcije f , onda se podrazumijeva da
je to maksimalan (po inkluziji) skup za cˇ ije elemente x funkcija f (x) ima smisla.
Definicija 1
textitNeka je f ⊆ R × R binarna relacija i neka Df oznaˇcava skup svih prvih komponenti uredenih
parova (x, y) ∈ f .
¯
Ako relacija f zadovoljava uslov da se svaki x ∈ Df pojavljuje samo jednom kao
prva komponenta svih uredenih
parova iz f , tj. ako
¯
(∀x ∈ Df ) :
(x, y1 ) ∈ f ∧ (x, y2 ) ∈ f ⇒ y1 = y2 ,
onda skup f nazivamo realnom funkcijom na skupu Df ⊆ R.
Funkcija se može zadati na razne naˇcine, ali je najzanimljiviji sluˇcaj kad se funkcija
zadaje putem nekog analitiˇckog izraza f (x)– kojim se propisuju pravila pridruživanja
elementima skupa Df – elemenata kodomena Rf . Funkcija
r
2
3 3x + 2
f (x) =
(1)
7x
je primjer gdje je f (x) eksplicitno dato u funkciji od argumenta x. Inaˇce, analitiˇcki
funkcija može biti zadana, osim ovog tzv. eksplicitnog i parametarski. Naime, nekad
se promjenljiva x i promjenljiva y mogu zadati u funkciji nekog realnog parametra t.
Neka je
x = φ(t) ; y = ψ(t), t ∈ A ⊆ R,
(2)
gdje su φ i ψ realne funkcije definirane na istome podskupu A ⊆ R. Ako je ϕ : A → B
bijekcija, tj. ako postoji funkcija
t = ϕ−1 (x),
tada je, sistemom (2), parametarski definirana funkcija
y = ψ ϕ−1 (x) .
Relacijom Φ(x, y) = 0, cˇ esto, može biti zadata funkcija
y = f (x),
ili funkcija x = g(y). Naprimjer, izrazom 7xy 3 − 3x2 − 2 = 0 je takode
¯ zadata i
realna funkcija (1). Uzmimo sada primjer kada je parametar ugao t ∈ [0, π], a
x = cos t; y = sin t.
Jasno je da možemo iz posljednjih jednaˇcina eliminirati parametar t (kvadriranjem
jednaˇcina i sabiranjem kvadrata) i dobiti
x2 + y 2 − 1 = 0,
odnosno, rješavanjem ove jednaˇcine po y, izmedu
¯ ostalog imati analitiˇcke izraze
p
p
y = 1 − x2 i y = − 1 − x2 .
ˇ
Cesto
se funkcija zadaje bez ikakve formule.
Takav je primjer funkcije E(x)– "cijeli dio broja x" (ili cjelobrojno x). Nije teško
uoˇciti da za cijelobrojno x vrijedi
√
E(2) = 2, E(3, 5) = 3, E( 13) = 3, E(− π2 ) = −2, ....
y
3
2
1
-3
-2
-1
1
0
2
3
4
x
-1
y = E(x)
-2
-3
Slika 2.1.
Osim analitiˇckog, zadavanje funkcije f može biti tabelarno i grafiˇcko.
Tabelarno se funkcija zadaje u prilikama kad je mogu´ce vrijednosti nezavisno
promjenljive x i zavisno promjenljive (tj. funkcije) y ispisati u jednoj tabeli, tako da se
može uoˇciti funkcionalna zavisnost y = y(x).
Prisjetimo se ovdje linearne funkcije y = ax + b. Ona se, uz napomenu da se radi
o linearnoj funkciji, može tabelarno predstaviti sa samo dva para vrijednosti (xi , yi ).
Definicija 2.
2
x
y
x0
ax0 + b
x1
ax1 + b
Grafik funkcije y = f (x) je skup
Gf = {(x, y) ∈ R2 |x ∈ Df ∧ y = f (x)}.
Svaki podskup u R2 = R × R, ne može biti grafik funkcije. Da bi neki skup A ⊂ R2 ,
bio grafik jedne funkcije, potrebno je i dovoljno, da svaka prava paralelna sa y- osom,
sijeˇce skup A najviše u jednoj taˇcki.
y
y 2= x
0
1
x
x
Naime, u definiciji funkcije f iz skupa X u skup Y , zahtjeva se da svakome x ∈ X
pridružimo jedan i samo jedan element y ∈ Y . Drugim rijeˇcima, svaka funkcija je po
konvenciji jednoznaˇcno preslikavanje, tj.,
f (x1 ) 6= f (x2 ) ⇒ x1 6= x2 .
(3)
U nizu sluˇcajeva može se odrediti grafik funkcije y = F (x), transformacijom ve´c
poznatog grafika druge funkcije y = f (x). Neke od jednostavnijih primjera takvih
transformacija dajemo u sljede´coj tabeli.
Funkcija
y = F (x)
y = f (x) + α
y = f (x + α)
y = f (−x)
y = −f (x)
y = αf (x)
y = f (αx)
Transformacija grafika funkcije
y = f (x)
Pomak (shift) duž Oy ose za α
Pomak duž apscisne ose za α
udesno ako je α < 0 , ulijevo ako je α > 0
Simetrija u odnosu na osu ordinata
Simetrija u odnosu na apscisnu osu
Homotetija taˇcaka f (x)na ordinati
Homotetija taˇcaka x na apscisi1
3
Za svaku taˇcku (x, y) ∈ R × R, za koju je (x, y) 6= (0, 0), vrijedi
!2
!2
y
x
p
+ p
= 1.
x2 + y 2
x2 + y 2
Može se zakljuˇciti da postoji jednoznaˇcno odreden
¯ realan broj θ ∈ (−π, π] (ili pak,
θ ∈ [0, 2π)), takav da je
y
x
sin θ = p
, cos θ = p
.
2
2
2
x +y
x + y2
p
Broj θ nazivamo polarni ugao taˇcke (x, y), a nenegativni broj ρ = x2 + y 2 zovemo
polarni radius taˇcke (x, y). Brojevi ρ i θ su polarne koordinate taˇcke (x, y), koju oni
jasno jednoznaˇcno odreduju.
Dakle,
¯
x = ρ cos θ, y = ρ sin θ;
(4)
p
y
ρ = x2 + y 2 , = tgθ.
(5)
x
Prirodno je da se pomo´cu polarnih koordinata predstavljaju i grafici funkcija u ravni.
Ako je zadata veza ρ = f (θ), gdje je
f : (α, β) ⊂ (−π, π] → R+ ∪ {0} ,
tada skup taˇcaka u ravni cˇ ije su polarne koordinate
(θ, ρ) = (θ, f (θ))
može predstavljati grafik neke realne funkcije ρ = f (θ).
Kažemo, u tome sluˇcaju, da je funkcija f zadata u polarnim koordinatama ili
zadata polarno. Ako je ρ = f (θ), θ ∈ (α, β), tada iz (4) slijedi
x = f (θ) cos θ, y = f (θ) sin θ; θ ∈ (α, β) ,
tj., grafik polarno zadate funkcije se transformiše u grafik parametarski zadate funkcije,
gdje je sad θ−parametar.
1.1. Neke klase realnih funkcija
Sve osobine koje posjeduju funkcije mogli bi podijeliti na lokalne i globalne, pa prema
tim svojstvima se i izdvajaju klase realnih funkcija. Preciznije, re´ci c´ emo da je neko
svojstvo globalno za funkciju f : Df → R ako ono vrijedi (po definiciji) na cˇ itavome
skupu A ⊆ Df , nasuprot lokalnog svojstva koje vrijedi ( takode,
¯ po definiciji) samo u
okolini taˇcke skupa A ⊆ Df .
Za neki skup D kažemo da je simetriˇcan skup, ako vrijedi
x∈D
⇒ −x ∈ D.
Oˇcigledno da se ovdje radi o simetriji skupa D u odnosu na taˇcku 0.
4
Definicija 3. Funkcija f : Df → R, definirana na simetriˇcnom skupu Df ⊆ R, je
parna na skupu Df , ako vrijedi
(∀x ∈ Df )f (x) = f (−x);
a neparna na Df ako je
(∀x ∈ Df )f (−x) = −f (x).
y
y
Gf
Gf
1
f(x0 )
-x0
f(-x0 )
1
-1
-x0 -1
0
x
-1
f(x0 )
f(-x0 )
1 x0
x
1 x0
Slika 2.4, a
Slika 2.4, b
Primjer 1. Polinom parnih stepena
p(x) = a0 + a1 x2 + a2 x4 + · · · + an x2n ,
je primjer parne funkcije koja je definirana na simetriˇcnom skupu Dp = R.
Primjer 2. f (x) = sin x, koja je definirana na R , primjer je neparne funkcije.
Ve´cina funkcija nema svojstvo parnosti niti neparnosti. Sa druge strane, lako se pokazuje
da se svaka funkcija f definirana na simetriˇcnom skupu X ⊆ R, može predstaviti u
obliku sume
f (x) = h(x) + s(x)
jedne parne i jedne neparne funkcije. To se postiže sabiranjem funkcija h i s, koje su
zadate pomo´cu
h(x) = 21 (f (x) + f (−x)), s(x) = 12 (f (x) − f (−x)),
od kojih je oˇcigledno prva parna, a druga neparna funkcija.
Definicija 4. Funkcija
f : Df → R je ograniˇcena sa donje strane na skupu X ⊆ Df , ako postoji m ∈ R,
tako da je za svako x ∈ X, f (x) ≥ m. Simboliˇcki
f : X → R je ograniˇcena na Xsa donje strane ako
(∃m ∈ R)(∀x ∈ X)(f (x) ≥ m)
5
Funkcija f : X → R je ograniˇcena sa gornje strane na skupu X ⊆ Df ako postoji
M ∈ R, tako da je za svako x ∈ X, f (x) ≤ M . Drugim rijeˇcima, funkcija f : Df →
R je ograniˇcena na X sa gornje strane ako
(∃M ∈ R)(∀x ∈ X)(f (x) ≤ M ).
Definicija 5. Za funkciju f : Df → R, kažemo da je perodiˇcna, ako postoji broj
ω(perioda) takav da vrijedi
(∀x ∈ Df )(x + ω ∈ Df )(f (x + ω) = f (x)).
(6)
Klasu tih funkcija (ako je Df = (a, b)) oznaˇci´cemo sa P(a,b) . Inaˇce periodiˇcnost je
prisutna i u prirodi u mnogim njenim pojavama; primjeri su: godišnja doba, no´c-dan,
plima-oseka, mjeseˇceva svjetlost i sl. Stav 1. Ako je ω perioda funkcije f , tj., ako je
f (x + ω) = f (x), za svako x ∈ Df , tada je kω, (k ∈ Z, x ∈ Df ⇒ x + kω ∈ Df )
perioda funkcije f.
Dakle vrijedi f (x + kω) = f (x), za svaki cijeli broj k, što smo i trebali dokazati.
Najmanji pozitivan broj T za koji vrijedi (6) naziva se osnovna perioda funkcije.
Da ima smisla što je, pored periode, definirana i osnovna perioda funkcije, kao
najmanji pozitivan broj T pokazuju funkcije koje mogu imati svojstvo periodiˇcnosti, a
da nemaju osnovnu periodu. Primjer funkcije
1, x ∈ Q
ϕ(x) =
0, x ∈ J,
gdje su Q i J skupovi racionalnih, odnosno iracionalnih brojeva, to najbolje pokazuje.
Primjer. f (x) = sin x ima osnovnu periodu T = 2π.
Definicija 1..1. Realna funkcija f : D → R naziva se:
rastu´com na razmaku A ⊆ D, ako
(∀x1 , x2 ∈ A)(x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ));
strogo rastu´com na razmaku A, ako
(∀x1 , x2 ∈ A)(x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ));
opadaju´com na razmaku A ⊆ D, ako
(∀x1 , x2 ∈ A)(x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ));
strogo opadaju´com na razmaku A, ako
(∀x1 , x2 ∈ A)(x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )).
Za svaku od ovih funkcija f re´ci c´ emo da je monotona funkcija na razmaku definiranosti ako je A = Df ; pišemo f ∈ MA .
Dakako, osobina monotonosti je globalno svojstvo funkcije.
6
Primjer. Funkcija f (x) =
√
3
x2 nije monotona na D = [−1, +1].
Definicija 1..2. Realna funkcija f : Df → R je ograniˇcena na skupu A ⊆ Df , ako
je {f (x) |x ∈ A } ograniˇcen skup. Drugim rijeˇcima, ako
(∃M ∈ R+ )(∀x ∈ A)(|f (x)| ≤ M ).
(∗)
Ako je funkcija f ograniˇcena na skupu A, pišemo f ∈ BA . Dakle, ograniˇcenost
funkcije na Df je globalno svojstvo te funkcije.
2. Graniˇcna vrijednost funkcije
Definicija 2..1. Neka je f : D → R i a ∈ R = R ∪ {−∞, +∞} taˇcka nagomilavanja
skupa D.Taˇcka b ∈ R ∪ {−∞, +∞} je graniˇcna vrijednost funkcije f u taˇcki a(ili kada
x → a) ako za svaku ε−okolinu V (b, ε), taˇcke b postoji δ−okolina U (a, δ) taˇcke a,
tako da vrijedi
(∀x ∈ D ∩ (U (a, δ)\ {a}) ⇒ f (x) ∈ V (b, ε)).
(7)
U tom sluˇcaju koristimo oznaku lim f (x) = b.
x→a
Podsjetimo da je ε−okolina taˇcke b, skup
V (b, ε) = {x |b − ε < x < b + ε } = (b − ε, b + ε) ,
ako je b ∈ R; ako je b ∈ {−∞, +∞}, npr., b = +∞, tada
x ∈ V (b, ε) ⇔ (∀ε > 0, x > ε).
Ekvivalentna definicija
Definicija 2..2. Neka su a, b ∈ R i a taˇcka nagomilavanja skupa Df , tada imamo:
def
lim f (x) = b ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ Df )
x→a
(0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − b| < ε)
)
Neka je b = +∞ i a ∈ R taˇcka nagomilavanja skupa Df , tada
lim f (x) = +∞
def
x→a
⇔
(∀M > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ Df )(0 < |x − a| < δ
⇒
f (x) > M ).
Ako je a = +∞ i b = +∞, tada je
def
lim f (x) = +∞ ⇔ (∀M > 0)(∃N > 0)(∀x ∈ Df )(x > N ⇒ f (x) > M ).
x→+∞
7
(8)
Za vjedbu
¯ - ispisati odgovarajuæe relacije za
lim f (x) = −∞, lim f (x) = −∞, lim f (x) = ±∞.
x→a
x→+∞
x→−∞
Neka je f : D → R i a, b ∈ R, gdje je a taˇcka nagomilavanja skupa D. Taˇcka b ∈ R
nije granica funkcije f (x) kada x → a, ako
(∃ε > 0)(∀δ > 0)(∃xδ ∈ Df )(0 < |xδ − a| < δ ⇒ |f (xδ ) − b| ≥ ε).
Primjer. Funkcija f (x) = x2 ima graniˇcnu vrijednost b = 9 u taˇcki a = 3.
Primjer. Koriste´ci uradeni
primjer, za funkciju f (x) = x2 i par (a, b) = (3, 9), pop¯
uniti sljede´cu "ε − δ" tablicu za istu funkciju i par (a, b) = (2, 4):
ε
δ(ε)
0, 1
0, 01
1
2
x→2 (x−2)
Primjer. Pokazati da je lim
M
δ(M )
10
0, 001
0, 0001
...
= +∞, a potom popuniti datu "M − δ" tablicu.
100
1000
10000
...

 1, x > 0
Primjer. Data je funkcija σ(x) = sgn(x) =
0 x=0
. Pokazati da funkcija

−1 x < 0
|σ(x)| ima graniˇcnu vrijednost u taˇcki a = 0, dok lim σ(x) ne postoji.
x→0
Primjer. Pokazati da za funkciju f (x) = cos x, x ∈ R, vrijedi
lim cos x = cos a,
x→a
za svako a ∈ R.
2.1. Neprekidnost funkcija
Prvi i posljednji primjer su ilustracija svojstva koje ima cˇ itava jedna klasa funkcija. To
svojstvo je neprekidnost funkcije i njega precizno opisuje
Definicija 2..3. Za realnu funkciju f : D → R, kažemo da je neprekidna u taˇcki
a ∈ D ako je zadovoljen jedan od sljede´cih uslova
(1) a je izolovana taˇcka skupa D;
(2) a je taˇcka nagomilavanja skupa D i vrijedi
lim f (x) = f (a)(= f (lim x)).
x→a
x→a
Funkcija f : D → R je neprekidna na skupu D, ako je neprekidna u svakoj taˇcki toga
skupa. U tom sluˇcaju pišemo f ∈ CD .
8
3. Bazne i elementarne funkcije
Definicija 3..1. Klasu B baznih funkcija realne promjenljive, po definiciji, cˇ ine:
• konstantna i jediniˇcna (identiˇcka) funkcija;
• eksponencijalna i logaritamska funkcija;
• stepena funkcija;
• trigonometrijska funkcija cos x i njena inverzna funkcija arc cos x (arkuskosinus).
Definicija 3..2. Definicija 13. Elementarne funkcije realne promjenljive su one funkcije
koje cˇ ine najmanju klasu funkcija E sa svojstvima:
1. f ∈ B ⇒ f ∈ E;
2. f1 , f2 ∈ E ⇒ f1 ± f2 ∈ E, f1 · f2 ∈ E,
zajedniˇckom dijelu domena, a za
f1
f2
f1
f2
∈ E , gdje su funkcije definirane na
iskljuˇcene su taˇcke u kojima je f2 = 0;
3. f : A → B, g : B → C (A, B, C ⊆ R) i f, g ∈ E ⇒ f ◦ g ∈ E.
Drugim rijeˇcima elementarne funkcije su one koje se iz baznih funkcija dobijaju konaˇcnom primjenom algebarskih operacija +, −, ·, : i konaˇcnim brojem superpozicija tih
funkcija.
Najjednostavniji primjeri elementarnih funkcija su: afina funkcija
α(x) = ax + b, (x ∈ R) ;
zatim kvadratna funkcija
y = ax2 + bx + c, (x ∈ R) ;
Nešto složeniji primjer takve funkcije je, naprimjer funkcija
f (x) = x sin x1 , (x ∈ R\ {0}) .
Još mnogo primjera elementarnih funkcija bi´ce dato u daljem izlaganju, budu´ci da se
osnovni kurs matematiˇcke analize iskljuˇcivo njima i bavi. Po dogovoru, konstantnu
funkciju ubrajamo u bazne, na njenome domenu. To znaˇci da se, konstantnom funkcijom, svaki x iz domena preslikava u istu konstantu.
Razmotrimo sada realne funkcije l, koje imaju sljede´ce dvije osobine
1. (∀x, y ∈ Q) (l(x + y) = l(x) + l(y));
2. (∀a ∈ R) ( lim l(x) = l(a)).
Qx→a
9
Tvrdimo da se takve funkcije eksplicitno zadaju formulom
l(x) = mx,
m = l(1), (l : R → R).
Dakako, ovakve realne funkcije nazivamo linearnim funkcijama.
Za m = l(1) = 1, dobija se linearna funkcija i(x) = x, koju zovemo jediniˇcnom
funkcijom i ona je za nas bazna funkcija.
Osim toga, pomo´cu i(x) = x indukcijom uvodimo funkciju, ϕ(x) = xn , (vidi
i (S), poglavlje (1.4)). Funkciju ϕ(x) = xn , (n ∈ N) zovemo stepenom funkcijom
prirodnog eksponenta n i realnog argumenta x. Uzimaju´ci u obzir da smo, ovim,
definirali stepenu funkciju prirodnog eksponenta, sada možemo takvu funkciju uopštiti,
tj. proširiti polje iz kojeg se uzima stepen argumenta. Na taj naˇcin proširenu funkciju,
funkcije ϕ(x) = xn ,
s(x) = xα , (α ∈ R\ {0, 1}),
(9)
nazva´cemo stepenom funkcijom.
y
p
α>1
p
p
α= q <0
α= q >1
p - parno p - neparno
q - neparno q - parno
0<α<1, α= q
α=1
0<α<1
1
p - parno
q - neparno
α<0
-1
1
x
p
α= q <0
-1
p - neparno
q - neparno
p
p
0<α<1, α= q
p - neparno
q - neparno
α= q >1
p - neparno
q - neparno
Slika 2.6
Primijetimo da funkcija s(x), oˇcigledno zadovoljava funkcionalnu jednaˇcinu
s(xy) = s(x)s(y), (x, y > 0).
(10)
Još više, nije teško pokazati da ako je s neprekidna na [0, +∞) i ima svojstvo (10),
onda je ona oblika (9), ili je, pak, identiˇcki konstanta na [0, +∞).
Sljede´ci zadatak je da definiramo šta podrazumijevamo pod izrazom ax , ako je x
bilo koji realan broj.
U tome cilju, pretpostavimo da je data realna funkcija ϕ sa osobinama
10
• (∀x, y ∈ Q)(ϕ(x + y) = ϕ(x)ϕ(y));
• (∀b ∈ R) ( lim ϕ(x) = ϕ(b)).
Qx→b
Stav
Ako realna funkcija ϕ zadovoljava gornje uslove , tada je ϕ(x) ≡ 0 ili ima reprezentaciju
na skupu realnih brojeva
ϕ(x) = ax , ϕ(1) = a > 0.
Prirodno je funkciju ϕ, koja zadovoljava prethodnu tvrdnju, a nije identiˇcki konstanta, nazvati eksponencijalnom funkcijom i, kao što smo definirali, ϕ(x) = ax , a ∈
R+ \ {1} je ukljuˇcena u kolekciju baznih funkcija.
y
x
x
y=a,a>1
y=a,0<a<1
1
0
x
1
Ve´c možemo dobiti neke složenije elementarne funkcije, npr.
shx =
1
2
(ex − e−x ) ,
chx =
1
2
(ex + e−x ) ,
(11)
kao linerne kombinacije eksponencijalnih. Funkcije zadate relacijama (11), nazivamo
redom "sinus hiperbolicus" i "cosinus hiperbolicus". Primijetimo, dalje, da je eksponencijalna funkcija ϕ(x) = ax , ϕ(1) = a > 0 bijekcija iz R u R+ .
Bijektivnost funkcije ϕ garantira postojanje njene inverzne funkcije ϕ−1 : R+ →
R (v. definiciju 10 poglavlja (0.3)), koju nazivamo logaritamskom funkcijom sa osnovicom a. Eksplicitno je zapisujemo pomo´cu
x = loga ϕ ⇔ ϕ = ax ,
a grafiˇcki prikazujemo, zajedno ϕ( x) i ϕ( x)−1 ,
11
y
y
y = ax, a > 1
x
y=a,0<a<1
y = logax, a > 1
1
1
0
x
1
0
1
x
y = logax, 0 < a < 1
Na taj naˇcin je, po definiciji dakle, loga (ax ) = x, (∀x ∈ R) i aloga ϕ = ϕ, (∀ϕ ∈
R ).
Može se dokazati da funkcija ψ : R+ → R, koja ima svojstva :
3∗
(∀x, y ∈ Q ∩ R+ )(ψ(xy) = ψ(x) + ψ(y)),
∗
4
(∀b ∈ R+ ) ( lim ψ(x) = ψ(b)),
+
Qx→b
predstavlja logaritamsku funkciju, tj., da je ψ = ϕ−1 .
U konstrukciji klase elementarnih funkcija, logaritamska funkcija
ψ(x) = loga x, takode
¯ pripada skupu baznih funkcija. Na ovom putu uvodenja
¯
elementarnih funkcija, pokazuje se dovoljnim definirati samo jednu trigonometrijsku
funkciju. Pored toga, nužno je, takode,
¯ uvesti i njenu inverznu funkciju.
Prije nego što uvedemo baznu trigonometrijsku funkciju, trebamo pokazati barem
naprimjeru funkcije cos x, kako se ona uvodi elementarnim putem.
y
C
B
α
0
A
1
x
Podimo
od centralne kružnice radijusa 1, cˇ ija je jednaˇcina
¯
x2 + y 2 = 1,
što znamo iz analitiˇcke geometrije. Posmatrajmo kružni isjeˇcak O1B, na slici 2.9, gdje
taˇcka 1 ima koordinate (1, 0), a taˇcka B (x, y). Oznaˇcimo površinu toga kružnog
c = α).
isjeˇcka sa α2 , (onda je dužina luka 1B
12
Sada se može izre´ci definicija: Pod trigonometrijskim funkcijama "cosinus"i"sinus"
argumenta α smatraju se koordinate x i y krajnje taˇcke B kružnog isjeˇcka površine α2 :
x = cos α, y = sin α.
Ako sada mijenjamo koordinate taˇcke B pove´cavaju´ci α
x(α) = cos α, y(α) = sin α ,
lako dobijamo odgovaraju´ce predstavljanje u obliku grafika funkcija sinus i cosinus u
pravouglom sistemu koordinata.
cosϕ
sinϕ
ϕ
0
π
2
π
3π
2
2π
Na taj naˇcin se dobijaju poznate "valovite" linije, koje imaju periodu 2π; pri tome je
broj π definiran, dakle, kao površina kruga radijusa r = 1 (a ne kao dužina polukružnice
istoga radijusa).
Ako iskoristimo adicione teoreme za cos α, tj. formule
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y,
lako dobijamo da, za svako x, y ∈ R, vrijedi
cos(x + y) + cos(x − y) = 2 cos x cos y.
Stav
Ako neprekidna nekonstantna funkcija φ zadovoljava uslove
50 (∀x, y ∈ R) (φ(x + y) + φ(x − y) = 2φ(x)φ(y));
60 (∀x ∈ R) (φ(x) ≤ 1),
tada je φ(x) = cos ax
Kao što smo ve´c kazali, uvodimo elementarnu trigonometrijsku funkciju sin x pomo´cu φ(x − π2 ) = sin x.
Funkcija φ(x) = cos x, na E = [0, π] ima inverznu funkciju φ−1 (x) = arc cos x,
budu´ci da je na E = [0, π] injektivna; vidi sliku gdje su prikazane zapravo funkcije
cos x i arccos x na razmaku [0, π].
13
y
π
π/2
arccosx
1
cosx
π
π/2
0
-1
1
x
-1
Definicija 1. Vrijednost
lim
R+
a ∩D∋x→a
f (x) oznaˇcavamo sa
lim f (x) ili kra´ce
x→a+0
f (a+0), kadgod ta vrijednost postoji i zovemo desnom graniˇcnom vrijednosti funkcije
f u taˇcki a . Ako je a = 0, onda se piše lim f (x), tj., f (+0) (ili pak, f (0+)). Po
x→+0
analogiji se definira i lijeva graniˇcna vrijednost
lim f (x) = f (a − 0).
x→a−0
Nije teško zakljuˇciti da vrijedi
lim f (x) = b ⇔ lim f (x) = lim f (x) = b.
x→a
Primjer 4. Data je funkcija f (x) =
x→a−0
|x|
x ,x
x→a+0
6= 0; f (0) = 12 . Da li postoji lim f (x) ?
x→0
3.1. Operacije sa limesima funkcije
Teorem Ako realna funkcija f ima konaˇcnu graniˇcnu vrijednost u taˇcki a, tada postoji
δ-okolina U (a, δ) taˇcke a, tako da f ∈ BU gdje je U = U (a, δ)\ {a}, a BU klasa
ograniˇcenih funkcija na skupu U. Teorem Ako je lim f (x) = b, lim g(x) = cib <
x→a
x→a
c(b > c), tada postoji okolina U (a) taˇcke a , takva da je
f (x) < g(x), x ∈ U (a)\ {a} (f (x) > g(x), x ∈ U (a)\ {a}).
Algebra limesa
Teorem Neka je lim f (x) = b,
x→a
lim g(x) = c
x→a
lim [f (x) ± g(x)] = b ± c;
x→a
20
30
lim [f (x)g(x)] = b · c;
i
(x)
lim fg(x)
= bc , c 6= 0;
x→a h
x→a
14
i
b, c ∈ R ; tada vrijedi 10
40
lim |f (x)| = |b|; Teorem (Teorem o dvije funkcije) Ako postoji okolina
x→a
U (a), taˇcke a, takva da za svako x ∈ U (a) važi f (x) ≤ g(x)(x ∈ U (a)
⇒
f (x) ≥ g(x) ) i postoje graniˇcne vrijednosti funkcija f ig u taˇcki a, tada je lim f (x) ≤
x→a
lim g(x)( lim f (x) ≥ lim g(x)). Teorem (Teorem o tri funkcije ) Neka su f, g, h :
x→a
x→a
D → R date funkcije i neka je a taˇcka nagomilavanja skupa D. Ako postoji okolina
U (a) taˇcke a, takva da za svako x ∈ U (a) važi f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) i postoje
graniˇcne vrijednosti funkcija f ih u taˇcki a, tada ako je lim f (x) = lim h(x) = b, b ∈
x→a
x→a
x→a
R ∪ {−∞, +∞}, onda je i lim g(x) = b. Primjer 5. Dokazati da je lim
x→a
α→0
gdje je α ugao koji se izražava u radijanima.
sin α
α
= 1,
Definicija Oscilacija funkcije f : D → R , na skupu X ⊆ D definira se pomo´cu
ω(f, X) =
sup |f (x1 ) − f (x2 )| .
(12)
x1 ,x2 ∈X
Naprimjer,
ω(sin, R) = 2; ω(sgn, R+ ) = 0;
ω(tg, − π2 , π2 ) = +∞.
ω(arctg, R) = π;
Veza oscilacije i graniˇcne vrijednosti
Funkcija f : D → R ima konaˇcnu graniˇcnu vrijednost u taˇcki a ∈ R∪{−∞, +∞}
ako i samo ako za svako ε > 0 postoji okolina U (a) taˇcke a, tako da vrijedi ω(f, D ∩
U (a)\ {a}) < ε.
4. Neprekidnost realne funkcije
Jedan od važnijih objekata matematiˇcke analize jeste klasa neprekidnih funkcija.
15
Definicija Za funkciju f : D → R, kažemo da je neprekidna u taˇcki a ∈ D ako
(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ D) (|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε,
tj., ako je lim f (x) = f (a)(= f (lim x)). Funkcija f je neprekidna na skupu D ako
x→a
x→a
je neprekidna u svakoj taˇcki toga skupa. U tom sluˇcaju pišemo f ∈ CD . Definicija neprekidnosti u taˇcki sliˇcna je, ali ne i jednaka sa definicijom graniˇcne vrijednosti
funkcije u toj taˇcki. Najprije taˇcka a, u kojoj je funkcija f : D → R neprekidna, pripada skupu D i ne mora biti njegova taˇcka nagomilavanja. Taˇcka a ∈ D može, cˇ ak biti
i izolovana taˇcka skupa D.
Drugo, kod graniˇcne vrijednosti funkcije u zadatoj taˇcki ne pretpostavlja se da ta
taˇcka pripada domenu funkcije.
Tre´ce, kada postoji graniˇcna vrijednost b neprekidne funkcije f u zadatoj taˇcki a,
onda je b = f (a). Ako je f : D → R i a ∈ D. Tada je funkcija f neprekidna u taˇcki
a ako za svaku ε−okolinu V (f (a), ε), taˇcke f (a) postoji δ−okolina U (a, δ) taˇcke a,
tako da vrijedi
(∀x ∈ D ∩ U (a, δ)) ⇒ f (x) ∈ V (f (a), ε)).
Definicija. - Oscilacija u taˇcki Postoji limes
lim ω (f, V (a, δ)) ,
δ→+0
cˇ iju c´ emo vrijednost zvati oscilacijom funkcije f u taˇcki a i oznaˇcavati ω (f, a). Oscilacija funkcije je nenegativna, tj., vrijedi ω (f, a) ≥ 0.
Veza neprekidnosti i oscilacije
Stav Funkcija f : Df → R je neprekidna u taˇcki a ∈ Df , ako i samo ako je
ω (f, a) = 0.
Osnovna svojstva neprekidnih funkcija sumira´cemo u dva sljede´ca teorema. Teorem Ako su f : Df → R i g : Dg → R dvije neprekidne funkcije u taˇcki a ∈ Df ∩ Dg ,
tada su u istoj taˇcki neprekidne funkcije
T
T
f + g : Df Dg → R, f g : Df Dg → R, αf : Df → R, α ∈ R;
ako je g(x) 6= 0 (∀x ∈ Df ∩ Dg ) neprekidna, tada je neprekidna i funkcija fg : Df ∩
Dg → R, u istoj taˇcki a.
Teorem Neka je funkcija f : Df → R neprekidna u taˇcki a ∈ Df , a funkcija
g : Dg ⊃ f (Df ) → R neprekidna u taˇcki f (a) ∈ Dg . Tada je složena funkcija
h = g ◦ f : D → R, neprekidna u taˇcki a, tj.,
lim h(x) = lim (g ◦ f )(x) = lim g(f (x)) = h(a).
x→a
x→a
x→a
Kada se govori o neprekidnosti funkcije f u nekoj taˇcki domena Df , onda je prirodno
ista´ci i one taˇcke u kojima funkcija f nije neprekidna (ili, ako želimo izbje´ci upotrebu
dvije negacije, kaže se “taˇcke u kojima funkcija f ima prekid “).
Najprije c´ emo definirati šta je taˇcka prekida funkcije.
16
Definicija 4. Za taˇcku a ∈ D kažemo da je taˇcka prekida funkcije f : D → R ako
f nije neprekidna u toj taˇcki.
U saglasnosti sa oznakama koje smo uveli, pisa´cemo f ∈
/ CD , ako postoji prekidna
taˇcka funkcije f u skupu D. Primjetimo da se ovdje govori o taˇckama prekida koje
pripadaju domenu funkcije. Dakle, po definiciji 4, taˇcka u kojoj funkcija nije definirana
(ˇcak i ako je u pitanju taˇcka nagomilavanja domena te funkcije) ne može biti taˇcka
prekida te funkcije.
Prema tome, taˇcke prekida realne funkcije f , (koje su taˇcke nagomilavanja domena
i pripadaju domenu) su: one taˇcke a ∈ Df kod kojih lim f (x) ne postoji ili one taˇcke
x→a
b ∈ Df u kojim lim f (x) - postoji, ali nije jednak vrijednosti f (b). Definicija 5. Neka
x→b
je a ∈ D taˇcka prekida funkcije f : D → R . Kažemo da je u taˇcki a :
(i) prekid prve vrste ako postoje konaˇcne graniˇcne vrijednosti
lim f (x)i lim f (x), (∗)
x→a+0
x→a−0
pri cˇ emu je taˇcna barem jedna od relacija
lim f (x) 6= f (a),
lim f (x) 6= f (a);
x→a+0
x→a−0
ako je a taˇcka nagomilavanja samo jednog od skupova {x ∈ D |x > a } ili {x ∈ D |x < a },
onda se zahtjeva postojanje i konaˇcnost samo odgovaraju´ceg limesa iz (*);
(ii) prekid druge vrste je svaki prekid funkcije f koji nije prekid prve vrste. Prema
tome, dva su mogu´ca razloga da funkcija f ima prekid prve vrste u taˇcki a : ili je
f (a + 0) 6= f (a − 0) (u tome sluˇcaju vrijednost f (a) nije presudna), ili je f (a + 0) =
f (a − 0) 6= f (a).
Ako je u taˇcki a prekid prve vrste nastao iz poslednjeg razloga, tj. postoje lim f (x)
x→a+0
i lim f (x) te su jednaki (odnosno, postoji lim f (x)), onda se kaže da je prekid u
x→a
x→a−0
toj taˇcki otklonljiv.
Naprimjer, pokazuje se da: funkcija σ(x) = sgnx ima u a = 0, prekid prve vrste,
koji nije otklonljiv; funkcija |sgnx| u istoj taˇcki ima otklonljiv prekid; Sa druge strane
je mogu´ce, kad postoji lim f (x) 6= f (a) definirati novu funkciju F koja se “gotovo
x→a
podudara” sa datom funkcijom f : D → R, ali je F (x) “bolja” jer nema prekid u
pomenutoj taˇcki prekida funkcije f . Naprimjer,
(
f (x),
x ∈ D\ {a}
F (x) =
lim f (x),
x=a
x→a
nema prekid u taˇcki a, a sa datom funkcijom f se poklapa u svim ostalim taˇckama. Mi
c´ emo funkcijuF nazvati i neprekidnom ekstenzijom funkcije f . Primjer 12. Pokazati
et −1
t , t 6= 0 , neprekidna u taˇ
da je ϕ(t) =
cki t = 0.
1,
t=0
Definicija 6. Funkcija f : D → R je neprekidna
slijeva (zdesna) u taˇcki a ∈ D
ako je lim f (x) = f (a)
x→a−0
lim f (x) = f (a) .
x→a+0
17
Jasno je da vrijedi: f je neprekidna u taˇcki a ako i samo ako je neprekidna slijeva i
zdesna u taˇcki a.
5. Asimptotske oznake o i O. Ekvivalentne funkcije
Ovdje c´ emo, koriste´ci pojam graniˇcne vrijednost funkcije u zadanoj taˇcki, definirati
relacije uporedivanja
o(f ) i O(f ).
¯
Definicija 7. Funkcija α : Dα → R je beskonaˇcno mala veliˇcina (infinitezimala)
kada x → a (x → ∞) ako je
lim α(x) = 0 lim α(x) = 0 .
x→a
x→∞
Za funkciju β : Dβ → R,
kažemo da je beskonaˇ
cno velika kada x → a(x → ∞ )
ako je lim |β(x)| = +∞ lim |β(x)| = +∞ . Neka je sada lim f (x) = Λ. Prema
x→a
x→∞
x→a
definiciji graniˇcne vrijednosti funkcije, slijedi
(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x |0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − Λ| < ε ) ,
odnosno, ako oznaˇcimo α(x) = f (x) − Λ, funkcija α(x) je infinitezimala kada x → a.
Ovim smo, jednim dijelom, dokazali
Teorem 13. Funkcija f : D → R ima graniˇcnu vrijednost Λ, kada x → a (gdje je
a taˇcka nagomilavanja skupa D ) ako i samo ako se može predstaviti u obliku
f (x) = Λ + α(x),
gdje je α(x) infinitezimala kada x → a. Vrijedno je što se infinitezimale mogu
uporedivati.
Naime, za dvije beskonaˇcno male funkcije f i g re´ci c´ emo da su istoga
¯
(x)
reda, kada x → a, ako je lim fg(x)
= L 6= 0.
x→a
f (x)
= 0,
x→a g(x)
Ako je, pak, lim
tada je infinitezimala f “manja” od g ; u tom sluˇcaju,
koristi se oznaka f = o(g) i cˇ ita - f je zanemarljivo mala u odnosu na beskonaˇcno
malu veliˇcinu g (kada x → a) ili kra´ce f je malo o od g (ili u odnosu na g), kada
x → a. Dakle, po definiciji, o(g)(x → a) nije oznaka za jednu funkciju, ve´c za cˇ itav
skup funkcija koje su zanemarljivo male u odnosu na g kada x → a.
Dakle iz f = o(g), ne slijedi o(g) = f .
Naprimjer, vrijedi relacija x2 = o(x)(x → 0) (tj., funkcija x2 je zanemarljivo mala
u odnosu na funkciju x(x → a)). Medutim,
bez smisla je napisati o(x) = x2 (x → 0),
¯
2
jer bi to znaˇcilo da je x jedina zanemarljivo mala funkcija u odnosu na funkciju x
(x → a) ; što naravno nije taˇcno. Mogu´ce je uporedenje
i kada su funkcije φ i ϕ
¯
beskonaˇcno velike, kada x → a. Ako je, naprimjer φ beskonaˇcno velika (x → a) i
vrijedi φ = o(ϕ) kada x → a, re´ci c´ emo da je ϕ beskonaˇcno velika višega reda nego φ
(kada x → a) (beskonaˇcno velika funkcija se definira po analogiji beskonaˇcno velikom
nizu, v. (3.4), definicija 8 i definiciju 7, ovog poglavlja.)
U op´cem sluˇcaju, za bilo koje dvije funkcije f i g, koje su definirane u okolini
konaˇcne ili beskonaˇcne taˇcke x = a, uvodi se relacija uporedivanja
f = o(g)(x →
¯
a) definicijom, dakle Definicija 8. Kaza´cemo da je funkcija f zanemarljivo mala u
odnosu na funkciju g kada x → a i oznaˇciti
18
f = o(g)(x → a),
ako postoji okolina U (a) taˇcke a , tako da je za svako x ∈ U (a) f (x) = α(x)g(x),
gdje je α(x) beskonaˇcno mala veliˇcina kada x → a.
Definicija 9. Kažemo da se funkcija f asimptotski ponaša kao funkcija g(x → a
) i pišemo f ∼ g(x → a), ako je
f (x)
= lim β(x) = 1,
x→a g(x)
x→a
lim
gdje je f (x) = β(x)g(x), x ∈ U (a). Ako su f i g ekvivalentne, tada je f − g = o(g),
jer je
f (x) − g(x)
lim
= 0.
x→a
g(x)
Dakle, u tom sluˇcaju je f = g + o(g).
Prema definiciji, oznaka f = o(1)(x → a) jednostavno znaˇci da je limes lim f (x) =
x→a
0. Definicija 10. Ako je koliˇcnik funkcija f i g ograniˇcena funkcija, tj. ograniˇcena je
funkcija
f (x)
γ(x) =
(x ∈ U (a)),
g(x)
gdje je U (a) okolina taˇcke a, pisa´cemo f = O(g)(x → a) i re´ci da funkcija g
dominira nad funkcijom f , kada x → a.
Ako je istovremeno g = O(f ) i f = O(g)(x → a) , kažemo da su funkcije f i g
istoga reda kada x → a. Primjer 17. Sljede´ci parovi funkcija su ekvivalentne funkcije
kada x → 0 :
(i) sin x ∼ x(x → 0), odnosno vrijedi sin x = x + o(x)(x → 0)
(ii) ln(1 + x) ∼ x(x → 0), tj. ln(1 + x) = x + o(x)(x → 0) ;
(iii) (1 + x)α − 1 ∼ αx(x → 0),
odnosno (1 + x)α = 1 + αx + o(x)(x → 0), α ∈ R ;
(iv) ax − 1 ∼ x ln a(x → 0), odnosno ax = 1 + x ln a + o(x)(x → 0). Teorem
14. Neka su f ig definirane u okolini U (a) taˇcke a, tada vrijedi:
(i) f ∼ g(x → a) ⇒ o(f ) = o(g)(x → a) ;
(ii) f · o(g) = o(f g)(x → a) ;
(iii) o(f ) + o(f ) = o(f )(x → a) ;
(iv) o(o(f )) = o(f )(x → a) ;
(v) O(f ) + O(f ) = O(f )(x → a) ;
(vi) g = o(f ) ⇒ g = O(f )(x → a).
Asimptote funkcije.
Definicija.
Pretpostavimo da je data funkcija f (x) definirana za x > Λ (x < Λ), gdje je Λ−
neki realan broj. Prava y = mx + n naziva se kosom asimptotom krive y = f (x) za
x → +∞ (x → −∞), ako je
f (x) = mx + n + o(1), x → +∞ (x → −∞) .
19
Sa druge strane, ako je f (x) definirana na skupu U (x0 )\ {x0 } (ili za U (x0 )∩(x0 , ∞) , odnosnoU (x0 )∩
(−∞, x0 ) ) i ako je lim f (x) = ∞ ili je
x→x0 +0
lim
x→x0 +0
f (x) = −∞ i(ili)
lim
x→x0 −0
f (x) = ∞ili
lim
x→x0 −0
f (x) = −∞
;
tada se prava x = x0 naziva vertikalnom asimptotom krive y = f (x). Podsje´camo da,
prema definiciji 9, oznaka
ϕ(x) = o(1), x → ∞,
znaˇci da je lim ϕ(x) = 0. Dakle, iz definicije (ograniˇcimo se na sluˇcaj kada x →
x→∞
+∞) dobijamo
lim (f (x) − mx − n) = 0,
x→∞
odakle je
f (x)
in = lim (f (x) − mx) .
x→+∞
x
Sliˇcno se odreduje
¯ i asimptota krive za x → −∞.
Asimptota se, dakle, naziva kosom ako je m 6= 0, |n| =
6 ∞, a horizontalnom ako
je m = 0.
Na slici je prikazan grafik neke funkcije, koja ima sve vrste asimptota.
m = lim
x→+∞
Kako se praktiˇcno odreduju
asimptote, dajemo
¯
Primjer 21. Funkcija ϕ(x) =
(x+2)3
(x−2)2
ima kosu i vertikalnu asimptotu.
5.1. Neprekidne funkcije na segmentu
Za razliku od lokalnih, takozvana globalna svojstva neprekidnih funkcija ovise od njihove neprekidnosti na cˇ itavome skupu taˇcaka (npr. na razmaku). Globalna svojstva
neprekidnih funkcija, koja c´ emo navesti u ovom odeljku, bitno c´ e ovisiti ne samo od
20
same neprekidnosti funkcije, ve´c i od osobina skupa na kojem je definirana ta funkcija.
Prvo takvo globalno svojstvo daje tzv. Bolzano-Cauchyev teorem o meduvrijednostima
¯
funkcije.
Teorem 15. (Bolzano-Cauchy) Neka je f ∈ C[a,b] , f (a) = α, f (b) = β(α <
β) i γ proizvoljno izabrana vrijednost iz [α, β]. Tada postoji taˇcka c ∈ [a, b], takva
da je f (c) = γ.
Primjer. Funkcija f : 0, 12 ∪ [1, 2] → R definirana pomo´cu
−1, x ∈ 0, 12
f (x) =
,
(**)
1,
x ∈ [1, 2]
neprekidna je na Df = 0, 12 ∪[1, 2] i na krajevima uzima vrijednosti razliˇcitog znaka,
tj. f (0)f (2) < 0. Medutim,
¯
funkcija
se ne anulira niti u jednoj taˇcki.
Primjetimo da je Df = 0, 21 ∪ [1, 2] zatvoren i ograniˇcen skup, dakle cˇ ak i kompaktnost domena Df neprekidne funkcije nije dovoljan uslov da vrijedi tvrdnja teorema
13. Ovdje Df ima nedostatak što nije “povezan” skup.
Teorem 16. (Weierstrass). Ako je f ∈ C[a,b] , tada je f ∈ B[a,b] . Još više, postoje
taˇcke toga segmenta u kojima funkcija f dostiže svoju najve´cu, odnosno svoju najmanju
vrijednost. Primijetimo da su osim neprekidnosti funkcije f , za tvrdnju i ovog kao i
prethodnog teorema, bitna i neka svojstva domena funkcije.
Ako sada uzmemo f : (0, 1] → R, definiranu pomo´cu f (x) = x1 , vidimo da
za dato µ ≥ 1 možemo na´ci xµ ∈ (0, µ1 ) ⊆ (0, 1]. Odakle xµ < µ1 povlaˇci da je
f (xµ ) = x1µ > µ, pa funkcija f (x) = x1 nije ograniˇcena na domenu (0, 1]. Prema
tome, teorem 16 ne vrijedi za neprekidnu funkciju na skupu koji nije zatvoren.
Sa druge strane funkcija g : [0, 1) → R gdje je g(x) = x2 , ograniˇcena je na svome
domenu ali ne dostiže svoj maximum na razmaku [0, 1), pa Weierstrassov teorem ne
vrijedi ni u ovom sluˇcaju.
6. Ravnomjerna neprekidnost funkcije
Definicija 11. Za funkciju f : D → R kažemo da je ravnomjerno (uniformno)
neprekidna na skupu D ⊂ R ako se za svako ε > 0 može na´ci pozitivan broj δ = δ(ε)
takav da za svake dvije taˇcke x1 , x2 ∈ D, cˇ ije je medusobno
rastojanje manje od δ ,
¯
vrijedi |f (x1 ) − f (x2 )| < ε.
Prema tome, f je ravnomjerno neprekidna funkcija na skupu D, ako
(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x1 , x2 ∈ D)
(|x1 − x2 | < δ ⇒ |f (x1 ) − f (x1 )| < ε) .
(∆)
Odmah c´ emo izre´ci i negaciju iskaza (∆), tj. dati dovoljan uslov kad funkcija f nije
ravnomjerno neprekidna na nekom skupu D.
21
Dakle, funkcija f nije ravnomjerno neprekidna na skupu D, ako
(∃ε > 0) (∀δ > 0) ∃x1δ , x2δ ∈ D
1
x − x2 < δ i f (x1 ) − f (x2 ) ≥ ε . (∆c )
δ
δ
δ
δ
Primjer 24. Funkcija f (x) = sin x je ravnomjerno neprekidna na R.
⊲ Zaista, iz elementarne nejednakosti, koju smo ve´c koristili, slijedi
2
2
|sin x1 − sin x2 | = 2 cos x1 +x
· sin x1 −x
≤ |x1 − x2 | ,
2
2
odakle je jasno da se (u relaciji (∆), za bilo koje ε > 0) može staviti δ(ε) = ε (preciznije, odgovara svako pozitivano δ ≤ ε.) ⊳ Primjer 25. Funkcija f : (0, 1] → R
zadana sa f (x) = x1 je neprekidna na D = (0, 1] ali nije ravnomjerno neprekidna na
istome skupu.
⊲ Iz nejednakosti
1
− 1 = x − x0 = |x − x0 | ≤ 2 |x − x0 | ,
x x0 xx0 xx0
x20
koja oˇcito vrijedi za svako odabrano x ≥ x20 , zakljuˇcujemo da je funkcija f (x) = x1
neprekidna u svakoj taˇcki x0 ∈ (0, 1]. Sa druge strane, ako odaberemo dva niza
(1)
(2)
(1)
(2)
1
brojeva xn , xn ∈ (0, 1] , pomo´cu xn = n1 , xn = 2n
jasno je da se biraju´ci n ∈ N
dovoljno veliko, razlika
1
(1)
xn − x(2)
n =
2n
može uˇciniti proizvoljno malom. Manjom od bilo kojeg unaprijed zadatog δ > 0. No,
razlika vrijednosti funkcije u tim taˇckama je
(2) f (x(1)
n ) − f (xn ) = |n − 2n| = n ≥ 1.
(1)
Konaˇc no uzmimo ε = 1, tada za bilo koje δ > 0 postoji xn =
(1)
(2) da je xn − xn < δ i
1
n,
(2)
i xn =
1
2n ,
tako
1
1 (1)
(2) f (xn ) − f (xn ) = (1) − (2) ≥ 1 = ε.
xn
xn
Ispitivanje ravnomjerne neprekidnosti, koriste´ci definiciju, nije uvijek jednostavno, pa
bi bilo dobro imati neki dovoljan kriterij koji obezbjeduje
ravnomjernu neprekidnost
¯
funkcije, a da njegova aplikacija ne iziskuje mnogo posla. Takav nam kriterij daje
Teorem 17. (Cantor) Ako je f ∈ C[a,b] , tada je f ravnomjerno neprekidna na [a, b] .
Primjer 27. Funkcija f (x) = x1 definirana na D = [α, 1], gdje je α proizvoljno mali
pozitivan broj je ravnomjerno neprekidna na skupu D = [α, 1].
22
⊲ Ta cˇ injenica je neposredna posljedica Cantorovog teorema. Medutim,
naša je
¯
namjera da na ovom primjeru pokažemo koliko je bila presudna promjena definicionog
podruˇcja funkcije f (x) = x1 za njenu uniformnu neprekidnost. Ako uporedimo sa
primjerom 22, vidimo da je domen funkcije f (x) = x1 iz (0, 1] promijenjen u [α, 1]
(gdje je α, po volji mali pozitivan broj). Da bismo to istakli, pokažimo i direktno da je
ova funkcija sada ravnomjerno neprekidna. Za bilo koje x1 , x2 ∈ [α, 1], vrijedi
1
− 1 = x2 − x1 ≤ |x1 − x2 | ,
x1
x2
x1 x2 α2
te je jasno da je dovoljno za δ, u smislu definicije (∆), uzeti
0 < δ = δ(ε) ≤ α2 ε,
pa da vrijedi
1
1 (∀x1 , x2 ∈ [α, 1]) |x1 − x2 | < δ ⇒ − < ε .⊳
x1
x2
6.1. Klase neprekidnih i druge klase funkcija
Ovdje c´ emo ispitati najprije vezu izmedu
¯ monotonosti i neprekidnosti realnih funkcija
(dakle, vezu klase monotonih i klase neprekidnih funkcija), a zatim c´ emo razmotriti
neprekidnost na klasama elementarnih funkcija.
Teorem 19. Neka je f : [a, b] → R monotona funkcija, tj. f ∈ M[a,b] . Neka za
svaku taˇcku γ koja leži izmedu
¯ vrijednosti f (a)if (b) postoji vrijednost c ∈ [a, b], takva
da je f (c) = γ (drugim rijeˇcima, neka funkcija f slika segment [a, b] u neki segment).
Tada je f ∈ C[a,b] . Dobijamo neophodan i dovoljan uslov neprekidnosti monotone
funkcije, kao što tvrdi
Posljedica. Neka je f : [a, b] → R monotona funkcija. Tada f ∈ C[a,b] , ako i samo
ako je f ([a, b]) = E, gdje je E segment cˇ iji su krajevi f (a)if (b).
Veza monotonosti i inverzne funkcije
Teorem 20. Ako je f : D → E ⊂ R strogo monotona na skupu D ⊂ R i
E = f (D), tada postoji inverzna funkcija f −1 : E → D i ona je takode
¯ strogo
monotona (rastu´ca ako je f rastu´ca i opadaju´ca ako je f opadaju´ca).
Veza injektivnosti i monotonosti
Teorem 21. Neka je funkcija f ∈ C[a,b] injekcija. Tada je f strogo monotona
funkcija na [a, b] .
Dokaz. Pretpostavimo da neprekidna na segmentu [a, b] funkcija f, koja je i injekcija, nije strogo monotona na [a, b]. Tada možemo na´ci tri taˇcke x1 , x2 , x3 ∈ [a, b]
23
takve da je x1 < x2 < x3 , ali vrijednost f (x2 ) nije izmedu
¯ f (x1 ) i f (x3 ). Neka je npr.,
f (x2 ) < f (x1 ) < f (x3 ). Budu´ci da je f ∈ C[x2 ,x3 ] , po teoremu o meduvrijednosti
¯
neprekidne funkcije (v. teorem 15), postoji taˇcka c ∈ [x2 , x3 ] takva da je f (c) = f (x1 )
; odakle, zbog injektivnosti funkcije f, slijedi da je c = x1 , što je nemogu´ce (jer je
x1 < c). Teorem 22. Neka je f : [a, b] → E ⊂ R neprekidna i strogo monotona
funkcija i E = f ([a, b]). Tada je E segment u R cˇ iji su krajevi f (a) i f (b) na kojem je
definirana funkcija f −1 : E → R koja je neprekidna na E i strogo monotona (rastu´ca,
ako je f rastu´ca, odnosno opadaju´ca, ako je f opadaju´ca).
Dokaz. Ako iskoristimo dokazane tvrdnje teorema 20 i posljedice teorema 19,
zakljuˇci´cemo da c´ e dokaz teorema 22, biti kompletan ako pokažemo neprekidnost
funkcije f −1 na E. Medutim,
kako je f −1 strogo monotona, E je segment i f −1 (E) =
¯
[a, b] je takode
¯ segment, to neprekidnost funkcije f −1 na E slijedi takode
¯ pozivanjem
na posljedicu teorema 19, što je trebalo dokazati. Definicija 12. Bazne funkcije realne
promjenljive, po definiciji, su: konstantna i jediniˇcna (identiˇcka) funkcija, eksponencijalna i logaritamskih funkcija, stepena funkcija, trigonometrijska funkcija cos x i njena
inverzna funkcija arc cos x (arkuskosinus).
Definicija 13. Realnu funkciju f zovemo elementarnom funkcijom ako se može
predstaviti baznim elementarnim funkcijama koriste´ci konaˇcan broj aritmetiˇckih operacija medu
¯ tim funkcijama i konaˇcan broj njihovih superpozicija. Teorem 23. Svaka
elementarna funkcija je neprekidne funkcija na svojem domenu.
24
Download

1. Pojam realne funkcije realnog argumenta