31. Potpuna kvadratna jednačina
Potpunu kvaadratnu jednačinu ax 2 + bx + c = 0 možemo rešiti pomoću obrasca:
x1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac
- dva rešenja kvadratne jednačine.
2a
ZADATAK 1. Reši jednačinu 6 x 2 − x − 2 = 0 .
Rešenje:
a = 6, b = −1, c = −2
⇒
x1, 2 =
2
− b ± b 2 − 4ac − (−1) ± (−1) − 4 ⋅ 6 ⋅ (−2)
=
2a
2⋅6
tj.
x1 =
1 − 49
1 + 49
∧ x2 =
12
12
1
2
x1 = − ∧ x 2 = .
2
3
Ovde imamo dva realna različita rešenja.
ZADATAK 2. Reši jednačinu x 2 − 2 x + 1 = 0 .
Rešenje:
a = 1, b = −2, c = 1
⇒
x1, 2 =
− ( − 2) ± ( − 2) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ± 0
=
2 ⋅1
2
tj.
x1 =
2−0
2+0
∧ x2 =
2
2
x1 = 1 ∧ x 2 = 1 .
Rešenje ove jednačine je realno i dvostruko.
ZADATAK 3. Rešiti jednačinu x 2 − 4 x + 5 = 0 .
Rešenje:
a = 1, b = −4, c = 5
⇒
x1, 2 =
4 ± 16 − 20
2
1
tj.
x1 =
4− −4
4+ −4
∧ x2 =
2
2
x1 = 2 − 2i ∧ x 2 = 2 + 2i .
Ova dva rešenja nisu realna, nego konjugovano kompleksna broja.
ZADATAK 4. Rešiti jednačine:
a) x 2 − 9 x + 14 = 0
[R : x1 = 2, x2 = 7]
b) 3 x 2 − 10 x + 3 = 0
1


R
:
x
=
, x 2 = 3
1

3


c) x 2 − 6 x + 8 = 0
[R : x1 = 2, x 2 = 4]
d) x 2 − 2 x + 2 = 0
[R : x1 = 1 + i, x2 = 1 − i ]
e) 0,9 x 2 + 1,8 x + 2,7 = 0
[R : x1 = −3, x2 = 1]
f)
[R : x
x 2 − 2 2x + 3 = 0
1
DOMAĆI ZADATAK: Vene T. Bogoslavov 2 – 423, 424.
2
= 2 − i, x 2 = 2 + i
]
Download

31. Potpuna kvadratna jednačina